III. Dynamika hmotn´ eho bodu Pˇ r´ıklad 1. Vlak o hmotnosti 800 t se na dr´ aze 500 m rozjel z nulov´e rychlosti na rychlost 20 m . s−1 . Lokomotiva p˚ usobila silou 350 kN. Urˇcete souˇcinitel smykov´eho tˇren´ı. [0,004] N´ avod: Nejprve urˇc´ıme zrychlen´ı vlaku. Protoˇze se pohybuje rovnomˇernˇe zrychlen´ ym pohybem s nulovou poˇc´ateˇcn´ı rychlost´ı, plat´ı, ˇze v = at, s =
1 v2 . 1 2 1 v2 at =⇒ s = =⇒ a = = 0,4 m s−2 . 2 2 a 2 s
Celkovou s´ılu p˚ usob´ıc´ı na vlak urˇc´ıme ze vztahu F = ma =
1 mv 2 . 2 s
Tato s´ıla je rovn´ a rozd´ılu taˇzn´e s´ıly lokomotivy Fl = 350 kN a tˇrec´ı s´ıly Ft = f R = f FG = f mg, proto plat´ı, ˇze Fl − f mg = ma, odkud pro f souˇcinitel smykov´eho tˇren´ı vypl´ yv´a, ˇze f=
350000 - 800000 . 0,4 . Fl − ma = = 0, 004. mg 800000 . 9,8
Pˇ r´ıklad 2. Tˇeleso o hmotnosti 6,0 kg leˇz´ı na podloˇzce s koeficientem smykov´eho tˇren´ı 0,25. Vodorovnˇe na tˇeleso zaˇcne p˚ usobit s´ıla 28 N. Jakou rychlost tˇeleso z´ısk´ a za 8,0 s ? [17,7 m . s−1 ] N´ avod: V´ yslednice sil p˚ usob´ıc´ıch na tˇeleso je rozd´ıl taˇzn´e a tˇrec´ı s´ıly, tedy . . FV = F − Ft = F − f mg = 28 N − 0,25 . 6 . 9,8 N = 13,3 N. Tˇeleso se tedy pohybuje rovnomˇernˇe zrychlen´ ym pohybem se zrychlen´ım a=
F − f mg . FV = = 2,22 m s−2 . m m
Za ˇcas t = 8,0 s z´ısk´ a rychlost v = at =
F − f mg . t = 17,7 m/s. ma
Pˇ r´ıklad 3. Vlak m´ a hmotnost 400 t a pohybuje se rovnomˇernˇe. V urˇcit´em okamˇziku pˇrestane p˚ usobit taˇzn´ a s´ıla lokomotivy a vlak se zastav´ı u ´ˇcinkem odporov´ych sil o velikosti 200 kN za dobu 1 min. a) Urˇcete p˚ uvodn´ı rychlost vlaku pˇri rovnomˇern´em pohybu. b) Na jak´e dr´ aze vlak zastavil? [30 m . s−1 , 900 m]
1
N´ avod: a) Zrychlen´ı, s n´ımˇz vlak zpomaluje, m´a velikost a=
F 200 kN = = 0,5 m . s−2 . m 400 t
Zastavuje po dobu t = 1 min = 60 s, mˇel tedy rychlost v0 = at = 30 m/s. b) Vlak zastav´ı na dr´ aze (pohyb rovnomˇernˇe zpomalen´ y = z´aporn´e zrychlen´ı) 1 1 s = v0 t + at2 = 30 · 60 m + · (−0,5) · 602 m = 900 m. 2 2 Pˇ r´ıklad 4. Automobil o hmotnosti 2,5 t jel rychlost´ı 18 km . h−1 . P˚ usoben´ım st´ al´e s´ıly zrychlil na dr´ aze 150 m na rychlost 54 km . h−1 . Vypoˇctˇete velikost s´ıly, jestliˇze tˇren´ı a odpor zanedb´ av´ ame. N´ avod: Pˇrevody: 18 km/h = 18 : 3,6 m/s = 5 m/s, 54 km/h = 54 : 3,6 m/s = 15 m/s. Oznaˇcme v1 = 18 km/h = 5 m/s, v2 = 54 km/h = 15 m/s. Abychom vypoˇcetli p˚ usob´ıc´ı s´ılu F , mus´ıme vypoˇc´ıtat zrychlen´ı automobilu a. To vypoˇcteme ze vztahu v2 − v1 (∗) a= t kde t je ˇcas, za kter´ y automobil zrychlil z rychlosti v1 na rychlost v2 . Ten nezn´ ame, v´ıme vˇsak, ˇze automobil bˇehem zrychlov´an´ı urazil dr´ahu s = 150 m, kterou m˚ uˇzeme vypoˇc´ıtat ze vztahu s=
1 2 at + v1 t 2
Po dosazen´ı za zrychlen´ı a dostaneme 1 v2 − v1 2 1 1 1 1 1 v1 + v2 s= t +v1 t = (v2 −v1 )t+v1 t = v2 t− v1 t+v1 t = v2 t+ v1 t = t 2 t 2 2 2 2 2 2 Z v´ ysledn´eho vztahu s=
v1 + v2 t 2
t=
2s v1 + v2
vyj´ adˇr´ıme, ˇze
a po dosazen´ı do vztahu (∗) pro zrychlen´ı dostaneme a=
v2 − v1 v2 − v1 v 2 − v12 (v2 − v1 )(v2 + v1 ) = = = 2 2s t 2s 2s v1 +v2
2
ˇ ıselnˇe vyjde C´ a=
152 − 52 225 − 25 2 m . s−2 = m . s−2 = m . s−2 2 · 150 300 3
Pro p˚ usob´ıc´ı s´ılu pak m´ ame vztah (m = 2,5 t = 2500 kg) F = ma = 2500 ·
2 5000 5 . N= N = kN = 1, 66 kN. 3 3 3
Pˇ r´ıklad 5. Cyklista jedouc´ı rychlost´ı 18 km . h−1 do kopce se sklonem 5% pˇrestal ˇslapat. Jak daleko dojede setrvaˇcnost´ı, m˚ uˇzeme-li odpor vzduchu zanedbat? [25 m] (V kopii na str´ ank´ ach je chybn´ y v´ ysledek.) N´ avod: Cyklista se pohybuje po naklonˇen´e rovinˇe. Jej´ı sklon mus´ıme pˇrepoˇc´ıtat na u ´hel n´ aklonu. Sklon 5% znaˇc´ı, ˇze na 100 m dr´ahy cyklista vystoup´a o 5 m. Pro odpov´ıdaj´ıc´ı u ´hel α plat´ı sin α =
5 = 0, 05 100
Proti cyklistovi p˚ usob´ı s´ıla F = FG · sin α = mg sin α = 0, 05mg Ta jej zpomaluje, pro zpomalen´ı plat´ı a=
F 0, 05mg . . = = 0, 05g = 0, 05 · 9, 81 m . s−2 = 0, 49m . s−2 m m
Oznaˇcme v0 = 18 km/h = 5 m/s poˇc´ateˇcn´ı rychlost cyklisty. S vypoˇcten´ ym zpomalen´ım cyklista ujede dr´ahu 1 s = v0 tz − at2z 2 kde tz je ˇcas, kter´ y uplyne do zastaven´ı cyklisty. Tento ˇcas potˇrebujeme urˇcit. Protoˇze pro rychlost v cyklisty plat´ı, ˇze v = v0 − at, pro ˇcas tz , kdy rychlost v klesne na nulu, plat´ı 0 = v0 − atz v0 a Po dosazen´ı dosazen´ı do vztahu pro dr´ahu m´ame tz =
s = v0
v0 1 v2 1 v02 1 52 . − a 02 = = m = 25 m a 2 a 2 a 2 0, 49 3
Pˇ r´ıklad 6. Naklonˇen´ a rovina sv´ır´ a s vodorovnou u ´hel 20◦ a jej´ı d´elka je 2,5 m. Jakou rychlost z´ısk´ a tˇeleso, kter´e poloˇz´ıme na vrchol a nech´ ame je sjet z naklonˇen´e roviny. Tˇren´ı zanedb´ av´ ame. [4,1 m . s−1 ] N´ avod: Na tˇeleso p˚ usob´ı ve smˇeru pod´el naklonˇen´e roviny s´ıla F = FG sin α = mg sin α kter´ a tˇelesu udˇeluje zrychlen´ı a=
F = g sin α m
Dr´ ahu s tˇeleso (rozj´ıˇzdˇej´ıc´ı se z klidu) uraz´ı za ˇcas t, pro kter´ y plat´ı r 2s 1 s = at2 =⇒ t = 2 a Za tento ˇcas z´ısk´ a rychlost r v = at = a ˇc´ıselnˇe v=
p
p 2s √ = 2sa = 2sg sin α a
. 2 · 2, 5 · 9, 81 · sin 20◦ m/s = 4, 1 m/s
ˇ ızek sklouzl z desky stolu v okamˇziku, kdy tˇretina d´elky visela Pˇ r´ıklad 7. Ret´ pˇres hranu desky. Urˇcete souˇcinitel smykov´eho tˇren´ı na desce. [0,5] N´ avod: Oznaˇcme m hmotnost ˇret´ızku. Ve chv´ıli, kdy jeho jedna tˇretina vis´ı ze stolu, p˚ usob´ı na tuto tˇretinu t´ıhov´a s´ıla FG =
1 mg 3
Dvˇe tˇretiny leˇz´ıc´ı na stole naopak brzd´ı s´ıla tˇren´ı, pro kterou plat´ı Ft =
2 f mg 3
Tyto dvˇe s´ıly jsou podle zad´an´ı pˇribliˇznˇe v rovnov´aze (ˇret´ızek sklouzl aˇz ve chv´ıli, kdy jedna tˇretina visela ze stolu, pˇredt´ım ne). Proto 2 1 mg = f mg 3 3 1 2 = f 3 3 1 = 2f 1 f = = 0, 5 2 4
Pˇ r´ıklad 8. Dvˇe tˇelesa o hmotnostech 25 kg a 65 kg jsou vzd´ alena 8,0 m. Prvn´ı tˇeleso zaˇcne pˇritahovat druh´e st´ alou silou 12 N. Za jak dlouho se setkaj´ı? [4,9 s] N´ avod: S´ıla F = 12 N prvn´ımu tˇelesu udˇel´ı zrychlen´ı a1 =
F 12 = m . s−2 m1 25
a2 =
F 12 = m . s−2 m2 65
a druh´emu tˇelesu zrychlen´ı
Obˇe tˇelesa jsou na poˇc´ atku v klidu a ve vzd´alenosti s = 8,0 m. P˚ usoben´ım s´ıly F se zaˇcnou pohybovat proti sobˇe rovnomˇernˇe zrychlen´ ym pohybem, prvn´ı tˇeleso uraz´ı dr´ ahu s1 = 21 a1 t2 a druh´e dr´ahu s2 = 21 a2 t2 , obˇe se totiˇz pohybuj´ı po stejn´ y ˇcas t. Souˇcet drah pˇri sr´aˇzce mus´ı d´at dr´ahu s = 8 m, plat´ı tedy s = s1 + s2 s=
1 2 1 2 a1 t + a2 t 2 2
2s = a1 t2 + a2 t2 2s = (a1 + a2 )t2 2s a1 + a2 r 2s t= a1 + a2 t2 =
ˇ ıselnˇe C´ r t=
2s = a1 + a2
s
2·8 . s = 4,9 s + 12 25
12 65
Pˇ r´ıklad 9. Pruˇzn´ a koule o hmotnosti 30 g dopadne na stˇenu rychlost´ı 9,0 m . s−1 . Vektor rychlosti sv´ır´ a se stˇenou u ´hel 40◦ . N´ araz trv´ a 0,20 s a koule se po nˇem odraz´ı se stejnou rychlost´ı. Urˇcete jakou pr˚ umˇernou silou p˚ usobila stˇena na kouli. [1,7 N] N´ avod: Oznaˇcme α = 40◦ a ∆t = 0,20 s ˇcas sr´aˇzky. Vektor rychlosti rozloˇz´ıme do dvou smˇer˚ u: kolm´eho na stˇenu v⊥ = v sin α a rovnobˇeˇzn´eho se stˇenou vk = v cos α. Sloˇzka rychlosti vk rovnobˇeˇzn´a se stˇenou se nemˇen´ı. Sloˇzka rychlosti v⊥ kolm´ a ke stˇenˇe si zachov´ a velikost, zmˇen´ı se ale jej´ı orientace na opaˇcnou. Z hodnoty v⊥ se tedy zmˇen´ı na hodnotu −v⊥ . Rozd´ıl pˇred a po sr´aˇzce je tedy ∆v = v⊥ − (−v⊥ ) = 2v⊥ = 2v sin α. Hodnota zrychlen´ı je tud´ıˇz a=
2v sin α ∆v = ∆t ∆t 5
P˚ usob´ıc´ı s´ıla bˇehem sr´ aˇzky m´a velikost F = ma = ˇc´ıselnˇe F =
2mv sin α ∆t
2 · 0, 03 · 9, 0 · sin 40◦ . N = 1,7 N. 0, 20
Pˇ r´ıklad 10. Na tˇeleso pohybuj´ıc´ı se vodorovnˇe rychlost´ı 3,0 m . s−1 zaˇcne ve smˇeru pohybu p˚ usobit st´ al´ a s´ıla 20 N. Za jak dlouho od tohoto okamˇziku uraz´ı tˇeleso dr´ ahu 27 m? Hmotnost tˇelesa je 40 kg. [6 s] N´ avod: S´ıla bude tˇeleso urychlovat, zrychlen´ı bude a=
20 F = m . s−2 = 0, 5 m . s−2 . m 40
Pro dr´ ahu plat´ı s=
1 2 at + v0 t 2
po dosazen´ı 1 · 0, 5 · t2 + 3 · t 2 27 = 0, 25t2 + 3t /·4 27 =
108 = t2 + 12t t2 + 12t − 108 = 0 Kvadratick´ y trojˇclen na lev´e stranˇe lze rozloˇzit (t − 6)(t + 18) = 0 a kvadratick´ a rovnice m´ a tedy dvˇe ˇreˇsen´ı, t1 = 6 s a t2 = −18 s. Druh´e (z´aporn´e) ˇreˇsen´ı oznaˇcuje nˇejak´ y ˇcas v minulosti, kter´ y n´as nezaj´ım´a. Tud´ıˇz odpovˇed’ je t1 = 6 s. Pˇ r´ıklad 11. Tˇeleso o hmotnosti 400 g leˇr´ı na desce a je spojeno nit´ı pˇres kladku s tˇelesem o hmotnosti 50 g, kter´e volnˇe vis´ı ve vzduchu. Urˇcete zrychlen´ı obou tˇeles a s´ılu nap´ınaj´ıc´ı nit. Tˇren´ı, hmotnost kladky i nit´ı zanedb´ av´ ame. [1,1 m . s−2 , 0,44 N] N´ avod: Na tˇeleso o hmotnosti m2 = 50 g = 0,05 kg p˚ usob´ı s´ıla t´ıhov´a FG = m2 g a proti n´ı F s´ıla, kter´ a je reakc´ı na nap´ınan´e lanko. Celkov´a s´ıla p˚ usob´ıc´ı na volnˇe vis´ıc´ı tˇeleso je tedy FG − F = m2 g − F . S´ıla o stejn´e velikosti F z´aroveˇ n p˚ usob´ı na tˇeleso o hmotnosti m1 = 400 g = 0,4 kg leˇz´ıc´ı na desce. Jestliˇze zanedb´ av´ ame tˇren´ı, je jedin´ a. Obˇe tˇelesa jsou spojen´a napnut´ ym lankem, mus´ı se tedy pohybovat se stejn´ ym zrychlen´ım a. Pro tˇeleso na desce plat´ı F = m1 a 6
pro tˇeleso vis´ıc´ı ve vzduchu plat´ı FG − F = m2 a Po dosazen´ı ze vztahu pro t´ıhovou s´ılu FG = m2 g a ze vztahu F = m1 a v´ yˇse m´ ame m2 g − m1 a = m2 a m2 g = m1 a + m2 a m2 g = (m1 + m2 )a m2 g a= m1 + m2 ˇ ıselnˇe C´ a=
0, 05 · 9, 81 . m . s−2 = 1,1 m . s−2 0, 05 + 0, 4
Pro s´ılu F nap´ınaj´ıc´ı nit m´ ame (viz vztah v´ yˇse) . F = m1 a = 0, 4 · 1, 1 N = 0,44 N. Pˇ r´ıklad 12. Hmotnost rakety je 15 t. Po svisl´em startu m´ a za 100 s z´ıskat rovnomˇernˇe zrychlen´ym pohybem rychlost 2,0 km . s−1 . Jak velk´ a mus´ı b´yt tahov´ a ´ s´ıla motoru? V jak´e v´yˇsce nad zem´ı v tu chv´ıli bude? Ubytek hmotnosti paliva a odpor zanedb´ av´ ame a t´ıhov´e zrychlen´ı povaˇzujeme za st´ al´e. [447 kN, 100 km] N´ avod: Jestliˇze tahov´ a s´ıla F motoru m´a b´ yt st´al´a, raketa bude m´ıt tak´e st´al´e zrychlen´ı a. Za ˇcas ∆t = 100 s m´a zrychlit o ∆v = 2,0 km/s = 2 000 m/s, zrychlen´ı je tedy a=
∆v 2000 = m . s−2 = 20 m . s−2 ∆t 100
Mus´ıme si uvˇedomit, ˇze proti tahov´e s´ıle motoru F p˚ usob´ı jeˇstˇe t´ıhov´a s´ıla FG . Plat´ı, ˇze F − FG = ma a pro tahovou s´ılu motoru tedy m´ame (m = 15 t = 15 000 kg) . F = ma+FG = ma+mg = m(a+g)15000·(20+9, 81) N = 447 150 N = 447 kN. V´ yˇska nad zem´ı je rovna uraˇzen´e dr´aze s, pro kterou plat´ı s=
1 2 1 at = · 20 · 1002 m = 100 000 m = 100 km 2 2
Pˇ r´ıklad 13. Stˇrela o hmotnosti 10 g je vystˇrelena rychlost´ı 900 m . s−1 z puˇsky o hmotnosti 3,75 kg. Jakou rychlost z´ısk´ a puˇska, jestliˇze nen´ı upevnˇena? [2,4 m . s−1 ]
7
N´ avod: Oznaˇcme m1 = 10 g = 0,01 kg hmotnost stˇrely a v1 = 900 m/s jej´ı rychlost. Oznaˇcme m2 = 3,75 kg hmotnost puˇsky a v2 = ? jej´ı rychlost, kterou m´ ame spoˇc´ıtat. Hybnost puˇsky i stˇrely pˇred v´ ystˇrelem byla nulov´a, podle z´akona zachov´ an´ı hybnosti mus´ı celkov´a hybnost z˚ ustat nulov´a tak´e po v´ ystˇrelu. To znamen´ a, ˇze 0 = m1 v1 + m2 v2 a tedy m2 v2 = −m1 v1 m1 v1 v2 = − m2 ˇc´ıselnˇe v2 = −
0, 01 · 900 m/s = −2, 4 m/s 3, 75
Puˇska se tedy bude pohybovat rychlost´ı 2,4 m/s, znam´enko minus znaˇc´ı, ˇze opaˇcn´ ym smˇerem neˇz vystˇrelen´ y n´aboj. Pˇ r´ıklad 14. Z dˇela byla vystˇrelena stˇrela o hmotnosti 30 kg rychlost´ı v = 600 m . s−1 . Hmotnost dˇela je 1200 kg. Hlaveˇ n se zastavila na dr´ aze 0,8 m. Vypoˇctˇete a) maxim´ aln´ı rychlost hlavnˇe, b) pr˚ umˇernou s´ılu proti pohybu hlavnˇe, c) oˇc se zmˇenila energie hlavnˇe. (Nauˇc´ıme se poˇc´ıtat ve 4. kapitole – Pr´ ace, v´ykon, energie.) N´ avod: Oznaˇcme m = 30 kg hmotnost stˇrely a v = 600 m/s jej´ı rychlost. Oznaˇcme md = 1200 kg hmotnost dˇela, vd = ? rychlost hlavnˇe po v´ ystˇrelu (m´ ame spoˇc´ıtat) a s = 0,8 m j´ım uraˇzenou dr´ahu. Maxim´ aln´ı rychlost m´ a hlaveˇ n hned po v´ ystˇrelu. Podle z´akona zachov´an´ı hybnosti (viz tak´e minul´ y pˇr´ıklad pro podrobnˇejˇs´ı koment´aˇr) plat´ı, ˇze hlaveˇ n se pohybuje opaˇcn´ ym smˇerem neˇz stˇrela s rychlost´ı md vd = mv vd =
mv 30 · 600 = m/s = 15 m/s md 1200
Pˇredpokl´ adejme, ˇze hlaveˇ n zpomaluje s konstantn´ım zrychlen´ım a p˚ usoben´ım st´ al´e (pr˚ umˇern´e) s´ıly F . Pro dr´ahu, kterou hlaveˇ n uraz´ı, m´ame 1 s = vd t − at2 2 a protoˇze hlaveˇ n zpomaluje do nulov´e rychlosti, je a = dosazen´ı za t do vztahu pro dr´ahu dostaneme s = vd
vd 1 v2 1 vd2 − a d2 = a 2 a 2 a
8
vd t ,
tud´ıˇz t =
vd a .
Po
odkud vyj´ adˇr´ıme, ˇze a=
vd2 152 . = m . s−2 = 140 m . s−2 2s 2 · 0, 8
Pr˚ umˇern´ a s´ıla proti pohybu hlavnˇe mus´ı b´ yt . F = md a = 1200 · 140 N = 168 kN. Energie hlavnˇe se zmˇenila o kinetickou energii udˇelenou n´ arazem, tedy o hodnotu Ek =
1 1 . md vd2 = · 1200 · 152 J = 135 kJ. 2 2
Pˇ r´ıklad 15. Hlaveˇ n dˇela m´ a hmotnost 200 kg. Vylet´ı z n´ı n´ aboj o hmotnosti 30 kg. Pohyb hlavnˇe trv´ a 18 ms a hlaveˇ n zastav´ı na 80 cm. Urˇcete rychlost n´ aboje. N´ avod: Nejprve urˇc´ıme rychlost hlavnˇe vd hned po v´ ystˇrelu. Oznaˇcme s = 80 cm = 0,8 m dr´ ahu, kterou hlaveˇ n uraz´ı, a t = 18 ms = 0,018 s ˇcas do zastaven´ı. Pro uraˇznou dr´ ahu plat´ı 1 s = vd t − at2 2 kde a je zpomalen´ı hlavnˇe. To m˚ uˇzeme vypoˇc´ıtat ze vztahu a = vtd , nebot’ za ˇcas t hlaveˇ n zpomal´ı z rychlosti vd na nulu. Po dosazen´ı dostaneme s = vd t −
1 vd 2 1 t = vd t 2 t 2
tedy s=
1 vd t 2
a odtud vyj´ adˇr´ıme vd =
2s 2 · 0, 8 . = m/s = 88,9 m/s t 0, 018
Oznaˇcme nyn´ı m = 30 kg hmotnost stˇrely a v = ? jej´ı rychlost, kterou m´ame spoˇc´ıtat. Podle z´ akona zachov´an´ı hybnosti (viz tak´e pˇr´ıklady pˇredchoz´ı) m´ame, ˇze mv = md vd md 2s 200 2 · 0, 8 md . vd = = m/s = 590 m/s. v= m m t 30 0, 018 Pˇ r´ıklad 16. Prvn´ı koule m´ a hmotnost 0,50 kg a rychlost 5,0 m . s−1 a druh´ a koule hmotnost 1,0 kg a rychlost 8,0 m . s−1 . Pohybuj´ı se stejn´ym smˇerem a sraz´ı se dokonale nepruˇzn´ym r´ azem. Jakou rychlost´ı se budou spoleˇcnˇe pohybovat a kolik mechanick´e energie se pˇremˇen´ı na energii jin´eho druhu? [7 m . s−1 , 1,5 J] 9
N´ avod: Oznaˇcme m1 = 0,5 kg, v1 = 5,0 m/s, m2 = 1,0 kg, v2 = 8,0 m/s. Po sr´ aˇzce se koule pohybuj´ı spoleˇcnˇe rychlost´ı v = ?, kterou m´ame spoˇc´ıtat. Podle z´ akona zachov´ an´ı hybnosti plat´ı celkov´ a hybnost pˇred sr´aˇzkou = celkov´a hybnost po sr´aˇzce m1 v1 + m2 v2 = (m1 + m2 )v a tedy
0, 5 · 5, 0 + 1, 0 · 8, 0 m1 v1 + m2 v2 . = m/s = 7 m/s. m1 + m2 0, 5 + 1, 0 Energie koul´ı pˇred sr´ aˇzkou je v=
1 1 m1 v12 + m2 v22 = 6,25 J + 32 J = 38,25 J, 2 2 energie po sr´ aˇzce je 1 (m1 + m2 )v 2 = 36,75 J. 2 Rozd´ıl celkov´e (kinetick´e) energie koul´ı pˇred a po sr´aˇzce je 38, 25 J − 36, 75 J = 1,5 J. Tato energie se pˇremˇenila na vnitˇrn´ı energii koul´ı pˇri deformaci (sr´aˇzka byla nepruˇzn´ a). Pˇ r´ıklad 17. Jedeme setrvaˇcnost´ı na voz´ıku, jehoˇz hmotnosti i s n´ ami a n´ akladem ˇcin´ı 200 kg rychlost´ı 2 m . s−1 . Smˇerem dozadu vyhod´ıme z´ avaˇz´ı 15 kg rychlost´ı 6,0 m . s−1 vzhledem k zemi. Na jakou hodnotu se v tu chv´ıli zmˇen´ı rychlost voz´ıku? [2,45 m . s−1 ] ˇ (Spatn´ y v´ ysledek na kopii.) N´ avod: Oznaˇcme m = 200 kg, v1 = 2 m/s, mz = 15 kg, vz = 6 m/s a v2 = ? rychlost voz´ıku po odhozen´ı z´avaˇz´ı, kterou m´ame spoˇc´ıtat. Podle z´akona zachov´ an´ı hybnosti se celkov´a hybnost zachov´av´a, je tedy mv1 = mz (−vz ) + mv2 , pˇritom znam´enko minus u vz znaˇc´ı, ˇze z´avaˇz´ı h´az´ıme opaˇcn´ ym smˇerem, neˇz se pohybuje voz´ık. Je tedy mv1 = mz (−vz ) + mv2 mv1 = −mz vz + mv2 mv1 + mz vz = mv2 mz mv1 + mz vz v2 = = v1 + vz m m ˇ ıselnˇe C´ v2 = 2 m/s +
15 · 6 m/s = 2 m/s + 0, 45 m/s = 2, 45 m/s. 200 10
Pˇ r´ıklad 18. Zavˇeˇsen´y gran´ at o hmotnosti 800 g se v´ybuchem roztrhl na tˇri ˇc´ asti. Prvn´ı ˇc´ ast o hmotnosti 250 g se po v´ybuchu pohybovala rychlost´ı 18 m . s−1 , druh´ a o hmotnosti 150 g se pohybovala rychlost´ı 22 m . s−1 . Rychlosti jsou na sebe kolm´e. Urˇcete rychlost tˇret´ı ˇc´ asti. N´ avod: Hybnost gran´ atu (resp. vˇsech jeho tˇr´ı ˇc´ast´ı) pˇred v´ ybuchem byla nulov´ a. Podle z´ akona zachov´ an´ı hybnosti mus´ı b´ yt celkov´a hybnost nulov´a st´ale. Oznaˇcme p~1 , p~2 a p~3 hybnosti prvn´ı, druh´e a tˇret´ı ˇc´asti po sr´aˇzce – jejich vektorov´ y souˇcet mus´ı b´ yt nulov´ y, jak naznaˇcuje diagram n´ıˇze. p~3
p~1
p~2 Velikost hybnosti p3 (rovnou d´elce ˇsipky p~3 , resp. d´elce ˇc´arkovan´e ˇsipky v diagramu) m˚ uˇzeme z hybnost´ı p1 a p2 vypoˇc´ıtat podle Pythagorovy vˇety: q q p3 = p21 + p22 = m21 v12 + m22 v22 Po dosazen´ı p3 = m3 v3 m´ ame m3 v3 =
q
m21 v12 + m22 v22
a dˇelen´ım m3 dostaneme, ˇze v3 =
1 m3
q m21 v12 + m22 v22
Hmotnosti ˇc´ ast´ı jsou m1 = 0,25 kg, m2 = 0,15 kg, m3 = m − m1 − m2 = 0,4 ˇ ıselnˇe tedy vyjde kg. Rychlosti jsou v1 = 18 m/s, v2 = 22 m/s. C´ v3 =
1 p . 0, 252 · 182 + 0, 152 · 222 m/s = 14,0 m/s. 0, 4
Pˇ r´ıklad 19. Z´ avˇes ˇret´ızkov´eho kolotoˇce, kter´y je zavˇeˇsen na obvodu vodorovnˇe se ot´ aˇcej´ıc´ıho disku o polomˇeru r = 3,0 m, sv´ır´ a s osou ot´ aˇcen´ı u ´hel 30◦ . D´elka z´ avˇesu je 6,0 m. Urˇcete u ´hlovou rychlost ot´ aˇcen´ı sedaˇcky. [0,97 rad. s−1 ] N´ avod: Ve vztaˇzn´e soustavˇe spojen´e se sedaˇckou na sedaˇcku p˚ usob´ı n´asleduj´ıc´ı s´ıly: s´ıla t´ıhov´ a F~G svisle dol˚ u, s´ıla (setrvaˇcn´a) odstˇrediv´a FS vodorovnˇe od stˇredu kolotoˇce a s´ıla F~ , kterou je nap´ın´an z´avˇes. Protoˇze sedaˇcka je v t´eto 11
vztaˇzn´e soustavˇe v klidu, mus´ı b´ yt vektorov´ y souˇcet tˇechto sil nulov´ y, jak naznaˇcuje tak´e silov´ y diagram n´ıˇze. Pˇritom u ´hel α v diagramu je roven 30◦ , nebot’ s´ıla F~ m´ a smˇer z´ avˇesu (a ten sv´ır´a se svisl´ ym smˇerem u ´hel 30◦ podle zad´an´ı u ´lohy). F~
F~s α F~G Z diagramu vypl´ yv´ a, ˇze tg α =
Fs FG
pˇritom FS = mω 2 r a FG = mg, kde m je hmotnost sedaˇcky, ω jej´ı u ´hlov´a rychlost a r polomˇer kruˇznice, kterou ob´ıh´a. Po dosazen´ı a zkr´acen´ı dostaneme, ˇze mω 2 r tg α = mg tg α =
ω2 r g
g tg α ω2 = r r g tg α ω= r zb´ yv´ a tedy dopoˇc´ıtat r. Je d´ano, ˇze disk horn´ı ˇc´asti kolotoˇce m´a polomˇer R = 3 m a z´ avˇes d´elku l = 6 m (viz obr´azek).
R l α
r
12
Podle obr´ azku je r = R + l sin α Tud´ıˇz
r ω=
ˇ ıselnˇe C´
g tg α = r
r
g tg α R + l sin α
. ω = 0, 97 rad . s−1 .
Pˇ r´ıklad 20. Pˇri jak´e rychlosti je tlakov´ a s´ıla automobilu na kruhov´y mostn´ı oblouk poloviˇcn´ı neˇz jeho t´ıha? Polomˇer oblouku je 30 m. [12,1 m . s−1 ] N´ avod: Pˇri takov´e, kdy je velikost odstˇrediv´e s´ıly poloviˇcn´ı neˇz velikost t´ıhov´e s´ıly, tedy kdyˇz plat´ı 1 Fs = FG 2 m
v2 1 = mg r 2
1 v2 = g r 2 1 v 2 = gr 2 r 1 v= gr 2 . ˇ ıselnˇe v = C´ 12,1 m/s. Pˇ r´ıklad 21. Na jednom konci lodˇe o hmotnosti 45 kg a d´elce 3,6 m stoj´ı ˇclovˇek o hmotnosti 90 kg. Jak daleko by se lod’ posunula, kdyby ˇclovˇek pˇreˇsel na jej´ı opaˇcn´y konec? Odpor vody zanedb´ av´ ame. [2,4 m] N´ avod: Jestliˇze nep˚ usob´ı vnˇejˇs´ı s´ıly a celkov´a hybnost je nulov´a, pak (ve vztaˇzn´e soustavˇe spojen´e se zem´ı) se zachov´av´a poloha tˇeˇziˇstˇe soustavy. Jestliˇze ˇclovˇek o hmotnosti m1 sed´ı na jednom konci lod’ky o hmotnosti m2 a d´elce l, pak pro polohu x tˇeˇziˇstˇe od kraje lod’ky, kde ˇclovˇek sed´ı, plat´ı x=
m1 · 0 + m2 l/2 m2 l = m1 + m2 2(m1 + m2 )
ˇ ıselnˇe C´ x = 0, 6 m Od stˇredu lod’ky m´ a tedy tˇeˇziˇstˇe vzd´alenost l − x = 1,2 m 2
13
Pokud by ˇclovˇek sedˇel na druh´e stranˇe, tˇeˇziˇstˇe by se z jedn´e strany lod’ky tak´e pˇresunulo na druhou, tedy se ”posune” o dvakr´at 1,2 m, tedy celkem o 2,4 m. O tolik se tak´e mus´ı posunout lod’ka, aby tˇeˇziˇstˇe soustavy z˚ ustalo ve stejn´e poloze (v˚ uˇci zemi). Pˇ r´ıklad 22. Pˇres pevnou kladku zanedbateln´e hmotnosti je vedeno vl´ akno, na kter´em vis´ı z´ avaˇz´ı o hmotnosti 200 g a 300 g. Urˇcete zrychlen´ı z´ avaˇz´ı a s´ıly, kter´ymi je nap´ın´ ano vl´ akno. [1,96 m . s−2 , 2,35 N] N´ avod: Tˇeˇzˇs´ı tˇeleso o hmotnosti m2 = 0,3 kg se zˇrejmˇe bude pohybovat dol˚ u a lehˇc´ı o hmotnosti m1 = 0,2 kg vzh˚ uru. Obˇe tˇelesa se budou pohybovat se stejn´ ym konstantn´ım zrychlen´ım a (nebot’ p˚ usob´ıc´ı s´ıly maj´ı st´al´e velikosti i smˇery). Na tˇeˇzˇs´ı tˇeleso p˚ usob´ı t´ıhov´a s´ıla FG2 = m2 g (ve smˇeru pohybu) a proti n´ı s´ıla nap´ınaj´ıc´ı vl´ akno F . M´ ame tedy FG2 − F = m2 a m2 g − F = m2 a Na lehˇc´ı tˇeleso p˚ usob´ı t´ıhov´a s´ıla FG1 = m1 g (proti smˇeru pohybu) a proti n´ı s´ıla nap´ınaj´ıc´ı vl´ akno F . M´ ame tedy F − FG1 = m1 a F − m1 g = m1 a Dost´ av´ ame tedy soustavu rovnic m2 g − F = m2 a F − m1 g = m1 a s nezn´ am´ ymi F a a. Seˇcten´ım obou rovnic dostaneme m2 g − F + F − m1 g = m2 a + m1 a m2 g − m1 g = m2 a + m1 a g(m2 − m1 ) = a(m2 + m1 ) m2 − m1 g a= m2 + m1 coˇz po dosazen´ı d´ av´ a 1 . g = 1,96 m . s−2 5 Pro s´ılu nap´ınaj´ıc´ı vl´ akno m˚ uˇzeme vyj´adˇrit napˇr´ıklad z rovnice pro prvn´ı tˇeleso a=
F − m1 g = m1 a F = m1 g + m1 a = m1 (g + a) ˇc´ıselnˇe vyjde
. F = 2,35 N. 14
Pˇ r´ıklad 23. Vzduˇsn´y balon o celkov´e hmotnosti M (vˇcetnˇe plynov´e n´ aplnˇe) kles´ a s konstantn´ı rychlost´ı v. Jakou hmotnost m mus´ı m´ıt vyhozen´ a z´ atˇeˇz, aby balon rovnomˇernˇe stoupal rychlost´ı o stejn´e velikosti? Celkov´y objem balonu je V , hustota okoln´ıho vzduchu %. Zmˇenu tlakov´e s´ıly ˇ ste nejprve a zmˇenu velikosti odporu vzduchu odhozen´ım z´ atˇeˇze zanedbejte. Reˇ obecnˇe, pak numericky pro hodnoty M = 1050 kg, V = 1000 m3 , % = 1,0 kg . m−3 . [m = 2(M − %V ), 100 kg] Pˇr´ıklad obsahuje vztlakov´e s´ıly (a Archim´ed˚ uv z´akon), o nich bude ˇreˇc v sedm´e kapitole Mechanika kapalin a plyn˚ u. N´ avod: Ve chv´ıli, kdy balon kles´a, p˚ usob´ı na nˇej s´ıla t´ıhov´a FG = M g a proti n´ı s´ıla vztlakov´ a Fvz = V %g a odpor vzduchu Fo , pˇriˇcemˇz tyto s´ıly mus´ı b´ yt v rovnov´ aze, protoˇze bal´ on se pohybuje rovnomˇ ernˇ e. Je tedy FG − Fvz − Fo = 0 a tedy Fo = M g − V %g Po odhozen´ı z´ atˇeˇze s bal´ on pohybuje rovnomˇernˇe vzh˚ uru. Opˇet na nˇej p˚ usob´ı 0 t´ıhov´ a s´ıla FG0 = (M −m)g (menˇs´ı o odhozenou z´atˇeˇz), vztlakov´a s´ıla Fvz = V %g (ta se nezmˇen´ı) a odpor vzduchu Fo , kter´ y m´a stejnou velikost jako prve, ale protoˇze p˚ usob´ı vˇzdy proti smˇeru pohybu, p˚ usob´ı nyn´ı spoleˇcnˇe s t´ıhovou silou svisle dol˚ u. S´ıly jsou opˇet v rovnov´aze (pohyb je rovnomˇern´ y), a tud´ıˇz m´ame 0 FG0 − Fvz + Fo = 0
a tedy po dosazen´ı ze vztah˚ u v´ yˇse m´ame (M − m)g − V %g + M g − V %g = 0 Odtud m´ ame vyj´ adˇrit m. M g − mg − V %g + M g − V %g = 0 2M g − 2V %g = mg odkud po zkr´ acen´ı g vypl´ yv´ a, ˇze m = 2(M − %V ) ˇ ıselnˇe m = 100 kg. C´
15
