RELATIVISTICKÁ DYNAMIKA Klasická dynamika
Klasická dynamika se zabývá p í inami pohybu t les – vzájemným silovým p sobením dvou a více t les. Je založena na Newtonových pohybových zákonech (zákon setrva nosti, zákon síly a zákon akce a reakce), p i emž nep edpokládá zm nu hmotnosti t lesa v závislosti na rychlosti t lesa. Navíc p edpokládá, že rychlost t lesa m že nabývat libovolných hodnot (i v tších než rychlost sv tla ve vakuu). Pro popis pohybových vlastností t lesa zavádíme fyzikální veli inu hybnost t lesa, kterou vypo teme jako sou in hmotnosti t lesa m a okamžité rychlosti t lesa v. Platí: p
mv .
Rychlost t lesa je veli ina vektorová, a tedy musí být i hybnost t lesa vektorová veli ina. Sm r vektoru hybnosti je stejný jako sm r vektoru okamžité rychlosti, tj. sm r te ny k trajektorii pohybu. Zárove víme, že v tzv. izolované soustav t les (= soustava t les, na které nep sobí vn jší síly) musí platit zákon zachování hybnosti: Celková hybnost izolované soustavy t les se vzájemným silovým p sobením mezi t lesy soustavy nem ní. V dnešní dob používáme klasickou dynamiku pro popis p í in pohybu t les, jejichž rychlost je zanedbatelná ve srovnání s rychlostí sv tla ve vakuu. Relativistická dynamika
V relativistické dynamice se budeme podobn jako v klasické dynamice zabývat závislostí hmotnosti na rychlosti pohybu t lesa, hybností t lesa a vztahem mezi energií a hmotností t lesa.
Hmotnost t lesa
Závislost hmotnosti t lesa na rychlosti t lesa odvodíme na základ zákona zachování hybnosti (jak víte z klasické fyziky pat í mezi nejobecn jší fyzikální zákony a musí platit univerzáln ). P edpokládejme, že inerciální vztažná soustava S´ se pohybuje v kladném sm ru osy x vzhledem k jiné inerciální vztažné soustav S rychlostí blízkou rychlosti sv tla tak, že jejich osy x splývají. V soustav S´ vyst elíme v kladném sm ru osy y náboj o hmotnosti m´ tak, aby rychlost tohoto náboje ve sm ru osy x´ byla nulová (tj. platí u x 0 – viz obr. 1). Sou asn je také rychlost ástice ve sm ru osy z´ nulová.
Obr. 1: K odvození relativistické hmotnosti Podle zákona zachování hybnosti je hybnost ástice konstantní – tzn., že hybnost ve sm ru osy y´ je stejná jako hybnost téhož t lesa ve sm ru osy y, což m žeme zapsat pomocí rovnice py
py
m uy
mu y .
Pomocí vztah pro skládání rychlostí m žeme ur it rychlost t lesa vzhledem k soustav S:
uy 1
uy
1
v2 c2
v ux c2
uy 1
v2 . c2
Tento vztah dosadíme do zákona zachování hybnosti a vyjád íme z rovnice hmotnost t lesa vzhledem k soustav S: m
m
v2 m 1 2 , a tedy c
m0
m 2
v 1 2 c
v2 1 2 c
Pokud zvolíme soustavu S´ za klidovou soustavu ástice, pak hmotnost m´ budeme nazývat klidovou hmotností ástice a ozna ovat m0. Na rozdíl od klasické mechaniky, kde jsme p edpokládali, že hmotnost t lesa nezávisí na rychlosti t lesa, se ve speciální teorii relativity hmotnost t lesa zvyšuje tím více, ím se rychlost t lesa blíží rychlosti sv tla ve vakuu. Pokud by se t leso mohlo pohybovat rychlostí sv tla, pak by jeho hmotnost byla nekone ná. Závislost hmotnosti t lesa na jeho rychlosti ze zachycena na obrázku . 2.
Obr. 2: Závislost hmotnosti t lesa na rychlosti t lesa (p evzato z energyweb.cz) Jestliže je rychlost t lesa zanedbatelná ve srovnání s rychlostí sv tla, platí zákony klasické mechaniky. Pokud na t leso za ne p sobit stálá síla o velikosti F, pak podle 2. Newtonova zákona tato síla ud lí t lesu F zrychlení o velikosti a . Se zv tšující se rychlostí roste také m hmotnost t lesa, proto stálá síla F ud luje t lesu stále menší a menší zrychlení. Z tohoto d vodu se žádné hmotné t leso nem že pohybovat rychlostí sv tla (pouze se rychlost t lesa m že blížit rychlosti sv tla). M žeme také vyslovit relativistický zákon zachování hmotnosti: Celková relativistická hmotnost izolované soustavy t les z stává p i všech d jích probíhajících uvnit soustavy konstantní.
Hybnost t lesa
V klasické mechanice je hybnost t lesa definována jako sou in hmotnosti t lesa a rychlosti t lesa. Ve speciální teorii relativity platí stejný vztah, pouze hmotnost t lesa zam níme za relativistickou hmotnost. Platí:
p
mv
m0 v v2 1 2 c
.
Stejn jako platí zákon zachování hmotnosti, platí také zákon zachování hybnosti, který jsme již použili k odvození závislosti hmotnosti na rychlosti t lesa. Celková relativistická hybnost izolované soustavy t les z stává p i všech d jích probíhajících uvnit soustavy konstantní. Tento zákon pat í mezi nejobecn jší zákony fyziky a stejn jako zákon zachování hmotnosti platí ve všech inerciálních vztažných soustavách.
ty vektor hybnosti Pro popis d j a pohyb navrhl Hermann Minkowski speciální „prostoro as“, který má ty i sou adnice – t i klasické prostorové (jsou reálné) a jednu sou adnici asovou (komplexní). V tzv. Minkowského prostoro ase má každý vektor ty i složky – proto zde vektory ozna ujeme jako ty vektory, nap . ty vektor rychlosti (zkrácen ty rychlost), ty vektor hybnosti ( ty hybnost) nebo ty vektor síly ( ty síla). U ty vektoru hybnosti tyto složky ozna ujeme p1, p2, p3 a p4 a platí pro n :
p1
mu x
p2
mu y
p3
mu z
p4
imc
m0 u x v2 1 2 c m0 u y v2 1 2 c m0 u z v2 1 2 c im0 c 1
2
v c2
... hybnost t lesa ve sm ru osy x;
... hybnost t lesa ve sm ru osy y;
... hybnost t lesa ve sm ru osy z ;
i m0 c 2 c v2 1 2 c
i
E . c
Tyto rovnice pozd ji použijeme k odvození vztahu mezi hybností t lesa a energií t lesa.
Energie t lesa
V klasické mechanice neexistuje p ímá souvislost energie t lesa a setrva nou hmotností t lesa. T leso m že mít r znou pohybovou energii, ale hmotnost t lesa z stává po ád stejná. Ve speciální teorii relativity každá zm na energie musí souviset se zm nou hmotnosti t lesa. P sobí-li na t leso o klidové hmotnosti m0 síla F a uvede t leso z klidu do pohybu, pak se pohybová energie t lesa zv tší o E k , sou asn se ale zv tší hmotnost t lesa o hodnotu m
m m0 .
Albert Einstein dokázal, že obecn platí p ímá souvislost zm ny celkové energie a zm ny hmotnosti t lesa: E
mc 2 ,
kde c je rychlost sv tla ve vakuu. Tento vztah platí vždy a nezávisí na zp sobu zm ny energie t lesa. Einstein dále p edpokládal, že analogický vztah musí platit také mezi celkovou energií soustavy a její hmotností:
E
mc 2 .
Jestliže se t leso nachází v klidu vzhledem ke zvolené vztažné soustav , pak íkáme, že má v této soustav tzv. klidovou energii E0, kterou vypo teme podle vztahu E 0 m0 c 2 . Celkovou energii t lesa pak vypo teme jako sou et klidové energie t lesa a pohybové energie t lesa. Pro celkovou energii soustavy platí zákon zachování energie: Celková energie izolované soustavy t les z stává p i všech d jích probíhajících uvnit soustavy konstantní. Zatímco v klasické fyzice jsou zákony zachování hmotnosti a energie dv ma zákony, ve speciální teorii relativity oba zákony splývají díky vztahu mezi energií t lesa a hmotností t lesa. Ješt si všimneme vztahu mezi hybností t lesa, hmotností t lesa a energií t lesa. K odvození tohoto vztahu využijeme skalární sou in ty vektoru hybnosti:
E2 m02 c 2 . 2 c Jestliže z této rovnice vyjád íme energii, získáme vztah, který se asto užívá v kvantové fyzice: p.p
p12
p 22
E
p32
p 42
p2
p2
m02 c 2 .
Vyplývá z n j, že m žeme najít také takové stavy, v nichž má ástice zápornou energii.
ešené p íklady
1) Vypo t te, jakou hmotnost bude mít t leso s klidovou hmotností 20 kg, jestliže se bude pohybovat rychlostí: a) 0,01c; b) 0,9c. m0 = 20 kg, v1 = 0,01c, v2 = 0,9c, m1 = ?, m2 = ?
ešení: Oba p ípady vy ešíme pomocí vztahu pro relativistickou hmotnost:
m
m0 v2 1 2 c
a) v prvním p ípad platí: m0 20 kg m1 0,012.c 2 v12 1 2 1 c c2
.
20 1 0,012
kg
20,001 kg.
To znamená, že p i rychlosti 3 000 000 m.s-1 se hmotnost t lesa zv tšila o jeden gram! b) ve druhém p ípad budeme postupovat podobn : m0 20 20 kg 45,883 kg. m2 kg v22 1 0,9 2 0,9 2.c 2 1 2 1 c c2 P i rychlosti 270 000 000 m.-1 je hmotnost t lesa více než dvojnásobná.
2) Vypo t te, p i jaké rychlosti bude mít t leso desetkrát v tší hmotnost než v klidu. m = 10m0, v = ?
ešení: Op t vyjdeme z rovnice pro relativistickou hmotnost:
m
m0 v2 1 2 c
.
Z této rovnice musíme vyjád it okamžitou rychlost t lesa. Nejprve p evedeme odmocninu ze jmenovatele zlomku na druhou stranu rovnice: v2 1 2 c
m0 m
Nyní celou rovnici umocníme a upravíme:
v2
1
c2
2
m0
,
m
a tedy:
v
m0 m
c 1
2
.
Po dosazení íselných hodnot vypo teme rychlost t lesa. Ve speciální relativit je možné výsledek ponechat ve tvaru „k.c“ (rychlost jako násobek rychlosti sv tla). M jte ovšem na pam ti, že tento výsledek musí být vždy menší než c!!! v
c 1
2
m0 10m0
0,995c
T leso bude mít desetkrát v tší hmotnost p i rychlosti 0,995c.
3) V urychlova i získal elektron rychlost v = 0,999 999 92c. Vypo t te jeho relativistickou hmotnost a porovnejte ji s klidovou hmotností protonu mp = 1,67.10-27 kg. Klidová hmotnost elektronu m0 = 9,1.10-31 kg. m0 = 9,1.10-31 kg, v = 0,999 999 92c, mp = 1,67.10-27 kg, m = ?
ešení: Z rovnice pro relativistickou hmotnost vypo teme hmotnost urychleného elektronu: m
m0
9,1.10 2
v 1 2 c
31 2
0,999 999 92 .c 1 c2
2
kg
2,25.10
27
kg.
Urychlený elektron má v tší hmotnost než je klidová hmotnost protonu. (pozn.: hmotnost elektronu se zv tšila 2 500krát) 4) Hliníkový kvádr o rozm rech a0, b0, c0 a hmotnosti m0 se pohybuje rychlostí 0,995c ve sm ru osy x vzhledem k soustav sou adnic S tak, že jeho hrana a0 je rovnob žná s osou x této soustavy. Ur ete hustotu hliníku vzhledem k soustav sou adnic S. m0, a0, b0, c0, v = 0,995c, 0 = 2 700 kg.m-3, = ?
ešení: Kvádr se pohybuje tak, že strana a0 leží ve sm ru pohybu. Vzhledem k tomu, že se rychlost kvádru blíží k rychlosti sv tla, pak se tato hrana bude zkracovat, délka obou zbývajících hran se nezm ní (jsou kolmé na sm r pohybu). Po áte ní (= klidovou) hustotu hliníku m žeme vyjád it jako podíl klidové hmotnosti
kvádru a jeho objemu v klidu: 0
m0 V0
m0 . a 0b0 c 0
Délka strany a0 se vlivem kontrakce délky zmenší na hodnotu a
v2 . c2
a0 1
Objem kvádru, který se pohybuje rychlostí v, m žeme vypo ítat podle vztahu: V
ab0 c0
a0b0 c0
v2 1 2 c
v2 V0 1 2 . c
Hustota pohybujícího s kvádru závisí také na jeho hmotnosti, která se zv tší na hodnotu m0 m . v2 1 2 c Potom pro hustotu kvádru platí: m0
m V
v2 c2 v2 1 2 c
1 V0
m0 v2 V0 1 2 c
0
v2 1 2 c
.
Dosazením íselných hodnot pak získáme výsledek: 100
0
P i rychlosti 0,995c bude hustota hliníku p ibližn stokrát v tší než klidová hustota.
Použitá literatura:
[1] BARTUŠKA, K. Deset kapitol ze speciální teorie relativity. 1. vyd. Praha: SPN, 1980 [2] BARTUŠKA, K. Sbírka ešených úloh z fyziky IV. 1. vyd. Praha: Prometheus 2000 [3] BARTUŠKA, K. Fyzika pro gymnázia – speciální teorie relativity. 1. vyd. Praha: Prometheus 2000 [4] HALLIDAY, D., RESNICK, R., WALKER, J.: Fyzika. 1. vyd. Brno: VUTIUM, 2000 [5] HORÁK, Z., KRUPKA, F.: Fyzika. 2. vyd. Praha: SNTL, 1976 [6] JAVORSKIJ, B. M., SELEZN V, J. A. P ehled elementární fyziky. 1. vyd., Praha: SNTL, 1989
[7] VON LAUE, M. D jiny fyziky. 1. vyd. Praha: Orbis, 1958 [8] Joch, J. Speciální teorie relativity. Dostupné online z: http://oldwww.upol.cz/resources/ktf/joch/index.html
