DYNAMIKA ROTAČNÍ POHYB
Dynamika rotačního pohybu hmotného bodu kolem pevné osy při rotační pohybu hmotného bodu kolem stálé osy stálými otáčkami kolem pevné osy (pak hovoříme o rovnoměrném rotačním pohybu) působí na hmotný bod odstředivá síla, která je reakcí k síle dostředivé aby se bod pohyboval po kružnici musí dostředivá síla hmotnému bodu udílet stálé dostředivé neboli normálové zrychlení do středu pohybu; jak bylo vysvětleno v části Kinematika, při rovnoměrném rotačním pohybu bodu mění obvodová rychlost pohybu neustále svůj směr a postupně otáčí ke středu otáčení;
Dynamika rotačního pohybu hmotného bodu kolem pevné osy -z toho plyne, že rotující hmotný bod je neustále urychlován do středu kružnice a proto při rotačním pohybu bodu mu musí být udělováno směrem ke středu zrychlení nazývané „dostředivé“ nebo normálové zrychlení an, protože působí ve směru normály pohybu; -v Kinematice byl odvozen vztah v závislosti : „v“ je obvodová rychlost hmotného bodu „ω“ je úhlová rychlost hmotného bodu; obvodová rychlost je v=π.D.n = 2π.R.n, kde n[s-1] jsou otáčky hmotného bodu ,D [m] je průměr dráhy pohybu a R [m] je poloměr dráhy
Dynamika rotačního pohybu hmotného bodu kolem pevné osy -
úhlová rychlost hmotného bodu je ω=2π.n (s-1) po dosazení za „v“ a „ω“ dostaneme vztah
[
v2 an = R ⋅ ω = m ⋅ s− 2 R 2
]
[ ]
FC = m ⋅ an = m ⋅ R ⋅ ω N - síla odstředivá je dle třetího Newtonova zákona reakcí dostředivé síly; 2
Dynamika rotačního pohybu hmotného bodu kolem pevné osy Fc
m
Fd
-
an
u rotačního pohybu hmotného bodu kolem stálé osy musíme rozlišit případ rotace stálými otáčkami kolem svislé a vodorovné osy;
Rotační pohyb hmotného bodu kolem svislé osy - rotace ve vodorovné rovině - působení odstředivé síly - ve svislém směru působí stálá tíhová síla - například průjezd vozidla zatáčkou
Příklad : Průjezd vozidla zatáčkou Vypočtěte, jak velkou rychlostí může projet automobil o hmotnosti 1000 kg vodorovnou neklopenou zatáčkou o poloměru 25 m, jestliže rozchod kol je 1400 mm, těžiště vozidla je 800 mm nad vozovkou a součinitel smykového tření je 0,2.
Rotační pohyb hmotného bodu kolem vodorovné osy - při rotaci hmotného bodu ve svislé rovině kolem pevné osy stálou úhlovou rychlostí působí odstředivá síla vždy ze středu otáčení ve směru normály ; - neustále se měnící se směr odstředivé síly způsobuje, že výsledná síla působící na hmotný bod (je dána vektorovým součtem odstředivé a gravitační síly, viz obr) s úhlem natočení a mění svůj směr i velikost; - pak výsledná síla je F = F 2 + G 2 + 2 ⋅ F ⋅ G ⋅ cos α V
-
C
C
například rotace tělesa kolem pevné vodorovné osy, centrifuga nebo přejezd vozidla přes terénní nerovnosti
Rotační pohyb hmotného bodu kolem vodorovné osy
- aby se bod udržel na kruhové dráze (např. lano stále napnuto, voda nevyteče z nádoby): – horní poloha : FC = G m.R. ω2 = m.g
Zadání příkladu : Nádoba s vodou se otáčí ve svislé rovině v kruhu o poloměru 800 mm. Určete nejmenší počet otáček, aby voda z nádoby nevytékala.
Zadání příkladu : Na vodorovné desce leží ve vzdálenosti R = 300 mm od středu otáčení těleso o hmotnosti m = 20 kg. Určete max. otáčky , nemá-li těleso z desky sklouznout (f = 0,1).
Rotující deska
Zadání příkladu : Jeřábový vozík s břemenem o hmotnosti m = 300 kg zavěšeným na laně o délce l = 5 m se náhle zastaví při dopravní rychlosti v = 2 m/s. Určete vzdálenost „x“, do jaké se vychýlí břemeno následkem setrvačnosti.
v
5m
z
m x
Příklad : Průjezd moto zatáčkou Vypočtěte, s jakým sklonem může projet motocyklista vodorovnou neklopenou zatáčkou o poloměru 20 m. Hmotnost motocyklu s řidičem je 200 kg, těžiště motocyklu je b = 800 mm nad vozovkou a součinitel smykového tření je 0,2.
Dynamika - rotační pohyb tělesa představme si pohyb plného dokonale tuhého rotujícího válce kolem pevné osy způsobený kroutícím momentem; celý válec rozdělíme na části stejné hmotnosti ∆m;
Dynamika rotační pohyb tělesa pokud je osa rotace v těžišti, můžeme zanedbat tíhu hmotných elementů, protože se dynamický účinek tíhy vyruší; při uložení válce v jeho těžišti, se odstředivé síly ∆FC a dostředivé síly ∆Fd všech elementárních částí tělesa vyruší, nebo-li jsou v rovnováze;
Dynamika - rotační pohyb tělesa -tečná nebo-li obvodová síla ∆Ft je způsobena momentem ∆M a způsobuje zvyšování obvodové rychlosti elementu a tím také otáček válce; -pak ∆M = ∆Ft .r, po dosazení za sílu z druhého pohybového zákona dostaneme ∆M = ∆m.at.r a pokud dosadíme za tečné zrychlení vztah at = r .ε, získáme výraz pro elementární kroutící moment ∆M = ∆m .r .ε .r = ∆m .r2 .ε.; -nyní sečteme všechny dílčí kroutící momenty všech částí válce a získáme celkový „zrychlující“ moment:
Dynamika - rotační pohyb tělesa -tečná nebo-li obvodová sila ∆Ft je způsobena momentem ∆M a způsobuje zvyšování obvodové rychlosti elementu a tím také otáček válce; -pak ∆M = ∆Ft .r, po dosazení za sílu z druhého pohybového zákona dostaneme ∆M = ∆m.at.r a pokud dosadíme za tečné zrychlení vztah at = r .ε, získáme výraz pro elementární kroutící moment ∆M = ∆m .r .ε .r = ∆m .r2 .ε.; -nyní sečteme všechny dílčí kroutící momenty všech částí válce a získáme celkový „zrychlující“ moment: M =
n
∑
i= 1
n
n
∆ M i = ∑ ∆ mi ⋅ ri ⋅ ε = ε ⋅ ∑ ∆ mi ⋅ ri 2 i= 1
2
i= 1
Dynamika - rotační pohyb tělesa -kde vztah Io =
n
∑
i= 1
∆ mi ⋅ ri 2
je moment setrvačnosti hmoty tělesa k ose rotace a má jednotky [kg.m2] -zrychlující moment: M = Io. ε vztah je analogický druhému pohybovému zákonu o zrychlující síle u přímočarého pohybu F = m . a;
Dynamika - rotační pohyb tělesa
-pohybová rovnice rotačního pohybu má tvar
M K − I0 ⋅ ε −
n
∑
i= 1
M Pi = 0
, kde MK[N.m] je hnací moment, I0[kg.m2] je moment setrvačnosti tělesa, ε [s-2] je úhlové zrychlení tělesa, MPi [Nm] je moment odporů při pohybu překonávaných. (například moment čepového tření, vnější „zatěžující“ momenty lan, řemenů, pásů, řetězů, ozubených kol
Dynamika - rotační pohyb tělesa I0[kg.m2] - moment setrvačnosti tělesa, - je fyzikálně veličina obdobná kvadratickému momentu plochy (viz Mechanika PP) a pro výpočet momentu setrvačnosti platí obdobné principy jako pro stanovení kvadratického momentu plochy; -momenty setrvačnosti dílčích hmot (těles) I01, I02, I03, až I0n lze algebraicky sčítat nebo odčítat ; -moment setrvačnosti hmoty, jejíž těžiště neleží na ose rotace „o“ se počítá pomocí Steinerovy věty, která zní: „moment setrvačnosti hmoty tělesa k ose neprocházející jeho těžištěm (osa „o“) se rovná momentu setrvačnosti hmoty tělesa k ose procházející těžištěm tohoto tělesa (osa „oT“) rovnoběžné s osou „o“, zvětšenému o součin hmotnosti tělesa a druhé mocniny vzdálenosti obou os;
Dynamika - rotační pohyb tělesa
I 0 = I 0T + m ⋅ a
2
m T
oT
a o
Dynamika - rotační pohyb tělesa - moment setrvačnosti válce k jeho ose z materiálu o hustotě ρ [kg.m-3] je:
π ⋅ D4 ⋅ B ⋅ ρ IO = 32
D [m] je průměr válce, B [m] je výška válce,
-moment setrvačnosti hranolu o rozměrech a x b x c ; k jeho ose rovnoběžné s rozměrem c a procházející těžištěm:
IO =
a ⋅ b ⋅ c ⋅ ( a 2 + b2 ) ⋅ ρ 12
Dynamika - rotační pohyb tělesa - moment setrvačnosti válce k jeho ose z materiálu o hustotě ρ [kg.m-3] je:
π ⋅ D4 ⋅ B ⋅ ρ IO = 32
D [m] je průměr válce, B [m] je výška válce,
-moment setrvačnosti hranolu o rozměrech a x b x c ; k jeho ose rovnoběžné s rozměrem c a procházející těžištěm:
IO =
a ⋅ b ⋅ c ⋅ ( a 2 + b2 ) ⋅ ρ 12
Dynamika - rotační pohyb tělesa -moment setrvačnosti kužele k jeho ose z materiálu o hustotě ρ [kg.m-3] IO
;
π ⋅ D4 ⋅ H ⋅ ρ = 160
D [m] je průměr kužele H [m] je výška kužele
Příklad : moment setrvačnosti tělesa Vypočtěte moment setrvačnosti součásti dle obr. z oceli o hustotě 7850 kg.m-3 k ose „oT“, jestliže D1 = 320 mm, D2 = 80 mm, D3 = 40 mm, h1 = 40 mm a h2 = 30
Příklad : moment setrvačnosti kliky Vypočtěte moment setrvačnosti kliky dle obrázku z materiálu o hustotě 7850 kg.m-3 k ose rotace, jestliže D= 200mm, d1= 60mm, d2= 30mm, a= 50mm, b= 40mm a výstřednost e= 75mm. Dále vypočtěte velikost kroutícího momentu, jestliže se roztáčí rovnoměrně zrychleně působením stálého kroutícího momentu z klidu a za 30 s setrvačník dosáhne otáček 300 min-1.
Impulsové věty
první impulsová věta řeší přímočarý pohyb tělesa - je odvozena z druhého Newtonova pohybového zákona - zákona zrychlující síly, tj. F=m.a; vztah F=m.a vynásobíme přírůstkem času ∆ t a pak dostaneme: F ⋅ ∆ t = m⋅ a⋅ ∆ t = m⋅ ∆ v kde F ⋅ ∆ t = účinku síly;
I , se nazývá impuls síly a je mírou časového
m⋅ ∆v = ∆H
, se nazývá změna hybnosti hmoty; první impulsová věta zní: „Impuls síly se rovná změně hybnosti hmoty“
Impulsové věty uvádíme-li těleso do pohybu z klidu, pak impuls síly se rovná hybnosti hmoty z nulové počáteční rychlosti a dostaneme vztah
F ⋅ t = m⋅ v U druhé impulsové věty vyjdeme ze zrychlujícího momentu
M k = IO ⋅ ε a opět vynásobíme časem
∆t
M k ⋅ ∆ t = IO ⋅ ε ⋅ ∆ t = IO ⋅ ∆ ω
Impulsové věty druhá impulsová věta zní: Impuls momentu se rovná změně momentu hybnosti
Mk ⋅ ∆ t = L
I0 ⋅ ∆ ω = ∆ b
se nazývá impuls momentu; se nazývá změna momentu hybnosti; .
pro pohyb z klidu dostaneme vztah
M k ⋅ t = IO ⋅ ω
Příklad : impulsová věta Jak dlouho musí působit na ocelový kotouč o hustotě 7850 kg.m-3, průměru 500mm a tloušťce 50 mm kroutící moment 50 N.m, aby kotouč získal z klidu otáčky 1500 min-1.
Mechanická práce mechanickou práci konáme, překonáváme-li odpory silou působící po určité dráze. Velikost mechanické práce je rovna součinu síly působící na hmotný bod a dráhy hmotného bodu ve směru síly; W = F ⋅ s[ J ] pak , kde F[N] je hnací síla ve směru dráhy pohybu tělesa a s[m] je dráha pohybu tělesa; jednotkou mechanické . práce je joule [J]; pokud stálá síla působí v nesouhlasném směru k dráze, musíme počítat se složkou síly ve směru dráhy; pro určení velikosti mechanické práce síly proměnné velikosti využíváme grafu F-s, kde plocha grafu je úměrná velikosti práce
Mechanická práce
.
Mechanická práce při rotačním pohybu síla F mění neustále svůj směr a tudíž stále působí ve směru dráhy, síla F na dráze odpovídající úhlu natočení ϕ
s = R ⋅ϕ
vykoná práci
W = F ⋅ R⋅ϕ dosadíme-li za
.
F ⋅ R = Mk
dostaneme vztah pro práci při rotačním pohybu
W = Mk ⋅ ϕ [ N ⋅ m = J ]
kde Mk[Nm] je kroutící moment, ϕ[rad] je úhlová dráha pohybu tělesa.
Mechanická práce -ke stejnému vztahu dospějeme při odvození práce obvodové síly F za jednu otáčku, kdy dráha je rovna obvodu kružnice o = 2 ⋅ π ⋅ R -pak práce při jedné otáčce
W1 = F ⋅ o = F ⋅ 2 ⋅ π ⋅ R .
-celková práce při rotačním pohybu je dána jako práce při jedné otáčce vynásobené počtem otáček, pak
W = W1 ⋅ i = F ⋅ 2π ⋅ R ⋅ i = F ⋅ R ⋅ 2π ⋅ i
. ,
kde i = počet otáček; dosadíme-li za
2π ⋅ i = ϕ
dostaneme
W = Mk ⋅ ϕ [J]
Příklad : práce při rotačním pohybu Ocelový kotouč o hustotě 7850 kg.m-3 tvaru kotouče o průměru 200 mm a tloušťce 20 mm se roztáčí z klidu a za 20 s získá otáčky 120 min-1. Vypočtěte velikost kroutícího momentu potřebného k rozběhu tělesa a množství vynaložené práce.
Výkon „Výkon je mechanická práce vykonaná za jednotku času.“ P=
W t
W [J] – vykonaná mechanická práce t [s] – čas konání mechanické práce
jednotkou mechanické výkonu watt, který má rozměr .
J 2 −3 W = = kg ⋅ m ⋅ s s
při přímočarém pohybu můžeme vztah pro výpočet výkonu upravit tak, že za dosadíme za práci a dostaneme .
W F⋅ s P= = = F⋅ v t t F[N] - hnací síla ve směru pohybu tělesa, v [m.s-1] - rychlost pohybu tělesa (v = s/t)
Energie rotačního pohybu po dosazení za
n
∑
i= 1
,
∆ m i ⋅ ri2 = I O
což je moment setrvačnosti tělesa, dostaneme vztah pro kinetickou energii rotujícího tělesa ve tvaru
IO ⋅ ω 2 ER = J = kg ⋅ m 2 ⋅ s − 2 2 . - rozdíl kinetických energii počáteční a konečné je roven práci zrychlujících sil vynaložené na zvýšení otáček tělesa nebo práci vykonané při snížení jeho otáček (princip práce setrvačníku);
[
]
.
- pak práce daná změnou energie se vypočte ze vztahu W = E R 2 − E R1
IO = ⋅ ( ω 22 − ω 2
2 1
)[ J]
Obecný rovinný pohyb obecný rovinný pohyb je vlastně rotačním pohybem kolem okamžité osy otáčení úhlovou rychlostí ω, respektive kolem pólu otáčení P, kdy osa otáčení (pól) neustále mění svou polohu
.
valení válce ( jednodušší obecný rovinný pohyb) po vodorovné podložce si lze představit jako současně probíhající pohyb . přímočarý posuvný rychlostí vT a rotační pohyb kolem osy válce procházející jeho těžištěm T úhlovou rychlostí otáčení ω R
Obecný rovinný pohyb celková pohybová energie valivého pohybu je dána jako součet kinetické energie posuvného pohybu tělesa EKP a kinetické energie rotačního pohybu kolem okamžité osy otáčení ER
m ⋅ v 2T I 0 ⋅ ω EK = + 2 2
.
2 R .
m [kg] - hmotnost tělesa, vT [m.s-1] - rychlost posuvného pohybu tělesa; I0 [kg.m2] - moment setrvačnosti tělesa , ωR [s-1] - úhlová rychlost rotačního pohybu tělesa k ose tělesa.
Příklad - obecný rovinný pohyb Jakou pohybovou energii má ocelový válec o hustotě 7850 kg.m-3, průměru 100 mm a délce 500 mm, který se valí po vodorovné rovině stálou rychlostí 5 m.s-1.
.
.
Vyvažování Zajištění klidného chodu zařízení je velmi důležité : - stroj bez vibrací a hluku působí z fyziologického hlediska lépe na obsluhu - klidný chod ⇒ dlouhodobý bezporuchový provoz ⇒ klesají náklady na opravy, zkracují se prostoje - nevyváženost otáčejících se částí vzniká nerovnoměrným . rozložením hmoty součásti vzhledem o ose rotace - neváženost ⇒ odstředivé síly ⇒ chvění Vyvažování rotujících hmot .
a) dynamické – náročné metody na specielních vyvažovacích strojích na principu pružných rámů (viz VŠ)
Vyvažování rotujících hmot b) statické – jednoduché, ale jen „na hrubo“ pomocným vývažkem při konstrukci účinek odstředivé síly otáčející se hmoty nevyvážené části tělesa FC „vyrušíme“ odstředivou silou jiné rotující hmoty FV,tak zvaného . vývažku;
.
podmínkou takovéhoto způsobu vyvážení je, že síly FC a FV musí být v rovnováze n
∑
i= 1
Fi = 0 ⇒ FC − FV = 0 ⇒ FC = FV
Vyvažování rotujících hmot
FC = m ⋅ R ⋅ ω
FV = mV ⋅ RV ⋅ ω
2
2
úhlová rychlost rotačního pohybu tělesa i vývažku musí být stejná
FC = FV ⇒ m ⋅ R ⋅ ω = mV ⋅ RV ⋅ ω ⇒ m ⋅ R = mV ⋅ RV 2
.
.
2
Vyvažování rotujících hmot Možnosti výpočtu : 1) volíme poloměr dráhy rotačního pohybu vývažku a počítáme hmotnost vývažku R m ⋅ R = mV ⋅ RV ⇒ mV = m ⋅ R.V
2) zvolíme hmotnost vývažku a vypočítáme poloměr dráhy rotačního pohybu .
m ⋅ R = mV ⋅ RV ⇒ RV = R ⋅
m mV
Příklad - vyvažování rotujících hmot Navrhněte rozměry vývažku tvaru válce (o průměru DV a výšce HV) u součásti dle obrázku, jestliže nevyvážená hmota má také tvar válce o průměru D1 = 40mm a výšce H1 = 50mm. Součást je z materiálu o hustotě 7850kg.m-3 a má otáčky 600min-1. Těžiště nevyvážené hmoty se pohybuje o . kružnici o poloměru R = 120mm, poloměr dráhy vývažku je RV = 150mm a průměr vývažku je DV = 50mm. .
