DYNAMIKA. ΣF i =0 - silová podmínka statické rovnováhy. ΣF i =ma pohybová rovnice pro translační pohyb tělesa

1

5- Dynamika Bodového Tělesa

DYNAMIKA Dynamika-úvod Dynamika je třetím oborem technické mechaniky těles. V rámci dynamiky studujeme hlavně pohyby a vzájemné interakce mezi tuhými tělesy pohybujícími se jako celek s nenulovým zrychlením. Pro její aplikace je tedy nezbytné kromě zvládnutí popisu silových účinků při jejich působení na tělesa umět popsat i pohybové stavy těles tj. kinematiku. Základními veličinami s kterými se v dynamice pracuje jsou síly, prostor, čas a jako parametr geometricko- hmotnostní charakteristiky těles. Na závěr kursu dynamiky jsou však také uvažovány důsledky deformací těles tj. popsán vznik a charakter kmitání reálných těles. Ve statice základní úlohou bylo nalezení vztahů mezi působícími silovými účinky za předpokladu že zrychlení studovaných těles jsou nulová. Síly zde měly přitom hlavně význam míry interakce mezi tělesy při jejich vzájemném kontaktu. Pro řešení úloh měly ve statice základní význam rovnice statické rovnováhy, které umožnily rozhodnout zda při daném silovém působení a daném uložení jsou studované hmotné objekty (tělesa, soustavy těles) v klidu nebo pohybu s konstantní rychlostí. V dynamice zkoumáme tělesa aniž bychom předem omezovali jejich pohybový stav tj. zrychlení těles jsou obecně různá od nuly, působící síly pak mají hlavně význam jako příčiny změn pohybového stavu těles. Základní úlohou dynamiky je nalezení vztahů mezi působícími silovými účinky a vyvolanými pohyby tj. sestavení pohybových rovnic. Z formálního hlediska tvar základních vztahů tj. rovnic statické rovnováhy a rovnic pohybových existuje jistá formální analogie tj. na statiku se můžeme dívat jako na zvláštní případ dynamiky. Po matematické stránce se však obě discipliny liší tím, že statika pracuje se systémy rovnic algebraických, zatímco dynamika se systémy rovnic diferenciálních. Z toho také okamžitě vyplývá obtížnost hledání řešení pohybových rovnic, kdy často je možné nalézt řešení jen numericky za pomoci počítače. Další odlišností proti statice souvisí s tím, že v některých případech je nutné pracovat i se soustavami neinerciálními tj. se soustavami, které vůči nehybnému pozorovateli rotují nebo jejich počátek zrychluje. V těchto soustavách pak musíme kromě „standardních“ působících silových účinků známých ze statiky uvažovat i silové účinky související s neinerciálností vztažné soustavy tj. setrvačné síly a setrvačné ROVNICE STATICKÉ ROVNOVÁHY

ΣFi=0

-

silová

podmínka

POHYBOVÉ ROVNICE

statické

rovnováhy

ΣMoi=0

ΣFi=ma

– pohybová translační pohyb tělesa

rovnice

pro

-

momentová podmínka statické rovnováhy vzhledem k ose o

-1-

ΣMoi=Ioα

- pohybová rovnice pro rotační pohyb tělesa kolem stálé osy otáčení

2


momenty. Dynamika je tedy svým způsobem jakousi syntézou statiky a kinematiky. Pro zvládnutí řešení dynamiky je proto nezbytná znalost základních úloh těchto disciplin, a to zejména zvládnutí procesu uvolnění těles, zjišťování reakčních silových účinků, popis působení pasivních odporů a řešení úloh na zjišťování zákonů pohybu při zadaném zrychlení. Z hlediska matematiky jsou nezbytné základní znalosti řešení diferenciálních rovnic. Základní úlohy dynamiky jsou členěny na přímé, kdy hledáme pohyby těles při působení zadaných silových účinků, a nepřímé (inverzní, kinetostatické), kdy hledáme síly, které definovaný pohyb způsobily. Pro formulování základních principů dynamiky bylo nezbytné zvládnutí přesného měření času (proto principy dynamiky byly formulovány později (17.st.) než principy statiky (jejíž počátky základní principy byly známy již ve starověku). Různé je také pojetí hmoty těles. Ve statice je hmotnost těles chápána pouze jako veličina určující gravitační sílu mezi tělesy, v dynamice hmotnost těles je nejen mírou gravitačních účinků ale i mírou setrvačných účinků tj. vyjadřuje „odpor“ těles vůči změně rychlosti. Při sestavování pohybových rovnic můžeme postupovat dvěma způsoby. V případě vektorové mechaniky (Newton, D’Alembert, Galileo Galilei – přelom 17. a 18.stol.) skládáme vektorově působící síly a momenty a dáváme je do relace s vyvolanými pohyby podle 2. Newtonova zákona, podobně jako ve statice přitom používáme princip uvolňování. Poněkud jiný přístup konstrukce pohybových rovnic používá mechanika analytická (Lagrange, Euler, Leibnitz 2.pol. 18.st.), která vychází ze skalárních veličin (práce, energie apod.) a pohybové rovnice dovozuje z variačních principů. Každý z obou přístupů má své výhody a nevýhody. Předností vektorové mechaniky je její názornost, častými zdroji chyb však bývají znaménka při zápisu složek vektorů v pohybových rovnicích. Pro složitější soustavy těles jsou také systémy pohybových rovnic již značně komplikované a jejich řešení vyžaduje použití počítače. Proto pro složitější soustavy s velkým počtem stupňů volnosti popř. v případech, kdy nás nezajímají hodnoty reakcí, je výhodnější používání metod analytické mechaniky. Z variačních principů analytické mechaniky také vychází v současné době velmi často ve strojírenství používaná numerická metoda konečných prvků ( MKP).

-2-

3


5 Dynamika hmotného bodu Základní zjednodušení reálných těles je jejich nahrazení hmotným bodem (bodovým tělesem). Z hlediska dynamiky je hmotný bod modelem reálného tělesa, které koná translační pohyb pod působením centrální silové soustavy, jejíž výslednice prochází v těžištěm. Rozložení hmotnosti pak není podstatné, tělesa mohou mít libovolný rozměr, např. za hmotný bod můžeme považovat auto, velkou loď, letadlo apod. Hmotný bod tedy nemá rozměry, celková hmotnost je lokalizovaná do těžiště. Pro takto pojatá tělesa platí Newtonovy pohybové zákony, které jsou základem vektorové mechaniky. 5.1 Newtonovy pohybové zákony Zákon setrvačnosti (první pohybový zákon): Nepůsobí-li na těleso žádná vnější síla, zůstává těleso v relativním klidu nebo se pohybuje rovnoměrně přímočaře. Jde o kvalitativní definici síly jako příčiny změny pohybového stavu. Matematicky můžeme 1. Newtonův zákon vyjádřit pomocí vztahu: Je-li F = 0

je v = konst.

(5.1)

Pro charakterizaci pohybového stavu při translačním pohybu („mírou pohybu“) Newton zavedl pojem hybnosti jako součin hmotnosti tělesa a rychlosti h = mv

.

(5.2)

Přímočarý rovnoměrný pohyb je tedy charakterizován konstantní hybností. První pohybový zákon tedy říká, že bez vnějšího působení zachovává těleso svou hybnost tj. pohybuje se rovnoměrně přímočaře. Zákon síly (druhý pohybový zákon): . Časová změna hybnosti hmotného bodu je úměrná působící síle a má stejný směr jako působící síla. Jde o kvantitativní definici síly, která dává do relace vnější sílu a vyvolané zrychlení. Druhý Newtonův zákon je základním zákonem klasické mechaniky. Působí-li tedy na těleso po dobu ∆t konstantní působící síla F, pak

F=

∆p ∆( m v ) = . ∆t ∆t

(5.3)

∆v ∆t

(5.4)

Je-li hmotnost m konstantní, pak F=m

a v limitě můžeme psát F =ma

,

(5.5a)

kde a je zrychlení tělesa. Jestliže na bodové tělesio působí více sil, pak výslednice je určena vektorovým součtem všech působících sil tj. FV = ∑ Fi . V tomto obecném případě

-3-

4


pak vztah mezi výslednicí centrální soustavy působících sil a vyvolaným zrychlením můžeme zapsat ve tvaru

∑F

i

= ma

(5.5b)

Zrychlení hmotného bodu je tedy určeno výslednicí všech působících sil.

∑F

i

Obr. 5.1

Působící síly a vyvolané zrychlení hmotného bodu

Druhý Newtonův zákon (5.5) neplatí v libovolné soustavě souřadnic, ale platí jen v inerciálních soustavách tj. soustavách které ani nerotují a ani jejich počátek se nepohybuje zrychleně vůči nehybnému pozorovateli. Hodnota zrychlení a A bodového tělesa A (které bychom naměřili v inerciální soustavě při působení vnější síly F) tedy odpovídá absolutnímu zrychlení a aA zavedenému v kinematice. Příkladem inerciální soustavy je např. soustava spojená se stálicemi. Z hlediska technické mechaniky však takovému požadavku zpravidla vyhovují i soustavy spojené s rámem tj. s povrchem zemským. Zákon akce a reakce (třetí Newtonův zákon): Akce a reakce jsou síly stejně velké, mají společnou nositelku, ale jsou opačně orientované. Každá síla působící na těleso z vnějšku (akce) vyvolává stejně velkou, opačně orientovanou sílu (reakci). Poznámka: Zákon akcee a reakce přitom platí jak v případě přímého kontaktu mezi tělesy, tak i pro působení mezi tělesy na dálku prostřednictvím silových polí. 5.2 Newtonův gravitační zákon

Definuje velikost přitažlivé síly mezi dvěma tělesy. Tělesa o hmotnostech m1, m2 se vzájemně přitahují silou velikosti F F = κ

m1 m2 , r2

(5.5)

kde r je vzdálenost mezi těžišti obou těles. K tomuto zákonu dospěl Newton dedukcí na základě výsledků astronomických pozorování. Pohybuje-li se planeta rovnoměrně po kruhové dráze kolem Slunce, pak mezi nimi musí působit síla, která leží stále ve spojnici těchto dvou těles. Velikost této síly podle 2. Newtonova zákona je úměrná velikosti radiálního zrychlení a, kterou můžeme vyjádřit pomocí poloměru dráhy r a úhlové frekvence ω

-4-

5

a=


v2 4π 2 = rω 2 = 2 r , kde T je doba oběhu planety. r T

(a)

Síla, kterou působí Slunce na planetu hmotnosti m, má velikost

4π 2 r , kde m je hmotnost planety. (b) T2 2 3 Dosadíme-li do této rovnice 3.Keplerův zákon T = kr , kde k je konstanta, pak rovnici (a) můžeme přepsat F = ma = m

na tvar

F =k

m . r2

(c)

Podle zákona akce a reakce planeta také působí na Slunce silou stejně velkou, ale opačně orientovanou. Tato síla má velikost

4π 2 M r = k´ 2 , kde M je hmotnost Slunce. 2 T r Dále platí F = F ´ , tj. F´ = M

(d)

m M = k´ 2 ⇒ km = k´M , 2 r r k k´ −11 položíme-li κ = = , kde κ = 6 , 67.10 N . .m2. kg-2je gravitační konstanta. M m Tedy k = κ M a rovnici (a) můžeme přepsat na tvar Mm F =κ 2 . r k

(e)

(f)

Tento výsledek zobecnil Newton pro libovolná dvě tělesa.

Tíha tělesa na povrchu Země je výslednicí gravitační síly mezi tělesem a Zemí a odstředivé síly určené rotací Země. Proto je tíha tělesa největší na pólech a nejmenší na rovníku. Pro strojírenskou praxi můžeme působení odstředivé síly zanedbat a pro tíhovou (gravitační) sílu Fg na povrchu zemském můžeme předpokládat že směřuje do středu země a je rovna hodnotě

Fg = mg 0 , kde g 0 = κ

MZ RZ

2

(5.6)

kde κ je gravitační konstanta, MZ je hmotnost Země a RZ je poloměr Země, g0 je tíhové zrychlení na povrchu Země. Pro hodnotu normálního tíhového zrychlení na povrchu zemském platí g0 =9.81 m/s2. Se zvyšováním nadmořské výšky h se hodnota tíhového zrychlení snižuje, protože roste vzdálenost mezi tělesem a středem Země. Ve výšce h je síla tíže

Fgh = κ

mM z ≐ mg 0 ∆h ( Rz + h )2

(5.7)

Vydělením vztahů (5.6) a (5.7) pak dostáváme pro změnu tíhového zrychlení vztah RZ2 g ( h) = g0 ( RZ + h) 2

-5-

(5.8)

6


5.3 Sestavování pohybových rovnic pro hmotný bod podle 2. Newtonova zákona 5.3.1 Zápis pohybových rovnic pro hmotný bod ve složkách Hledání vztahů mezi působícími silovými účinky a vyvolanými zrychleními těles tj. sestavování pohybových rovnic je jednou ze základních úloh dynamiky. K sestavení pohybových rovnic pro hmotné body používáme 2.Newtonův zákon F = m a , kde F je výslednice všech sil působících na bodové těleso. Při pohybu volného hmotného bodu, na který působí síly obecného směru, nelze obvykle o charakteru pohybu nic říci předem. V takovém případě volíme zpravidla pravoúhlý kartézský souřadný systém Oxyz.. Působící sílu F rozkládáme na složky Fx , Fy , Fz ve směru souřadnicových os (obr 5.2) a podobně rozkládáme i složky zrychlení na a x , a y , a z .

Obr. 5. 1

Vektorovou pohybovou rovnici

∑F = ma i

(5.9)

pak můžeme rozepsat do třech rovnic složkových:

x:

∑

Fix = max = mxɺɺ

y:

∑

Fiy = ma y = myɺɺ

z:

∑

Fiz = maz = mzɺɺ

-6-

(5.10)

7


Jde o řešení simultánních diferenciálních rovnic druhého řádu. Jejich analytické řešení lze nalézt integrováním každé z rovnic samostatně pouze pro případ, kdy Fi jsou konstantní nebo jsou-li pouze funkcemi času. Z pravidla v úlohách dynamiky vyšetřujeme pohyby těles na základě daných akčních silových účinků. Abychom při zápisu složkových rovnic předešli chybám ve znaménkách, je vhodné účelně volit vztažnou soustavu. Např. pokud pohyb je přímočarý, ztotožníme směr pohybu s některou z os kartézského souřadného systému a volíme kladný směr této osy tak, aby souhlasil se směrem pohybu (ten je určen směrem vektoru rychlosti). V případě nejasnosti (např. směr rychlosti se mění nebo není definovaný), pak kladný směr souřadné osy volíme ve směru odečítání výchylky (např. u harmonického pohybu). Vektor zrychlení pak do pracovního diagramu kreslíme jako vektor souhlasně kolineární se souřadnou osou. V případě, že je jeho skutečná orientace je opačná (tj. pohyb je zpožděný), pak souřadnice vektoru zrychlení nám ve výsledku vyjde záporná. V případě rovinného pohybu bodového tělesa po známé dráze nebo při pohybu bodu vázaného k dané křivce je vhodné použít přirozený souřadný systém (vektor zrychlení leží v oskulační rovině a rozkládáme jej tedy jen do dvou složek). Složkové rovnice pak mají tvar pro tečný směr t:

d 2s ∑ Fit = mat = m dt 2 ,

(5.11)

pro normálový směr n:

sɺ2 ∑ Fin = man = m R ,

(5.12)

kde R je poloměr oskulační kružnice

∑F

a pro směr binormály b:

ib

= 0.

(5.13)

Při vyšetřování rotačních pohybů v rovině je někdy pohyb popsán pomocí souřadnic polárních. Složkové pohybové rovnice pak mají tvar pro příčný směr ϕ:

∑ Fϕ

pro radiální směr ρ:

∑ Fρ

i

i

ɺ ɺ ), = maϕ = m( ρϕɺɺ + 2 ρϕ

(5.14)

= maρ = m( ρɺɺ − ρϕɺ 2 ) .

(5.15)

U vázaných těles složkové pohybové rovnice pro směry, v kterých je pohyb možný (zrychlení jsou různá od nuly), budeme dále nazývat hlavní pohybové rovnice. Podobně jako ve statice zavádíme pojem vlastní pohybové rovnice pro rovnice které neobsahují reakce. V případě, že hlavní pohybové rovnice obsahují reakce (např. rovnice pro pohyb se smýkáním obsahuje normálovou složku reakce), pak z těchto rovnic pak dostaneme rovnice vlastní, jestliže reakce vyjádříme z ostatních rovnic prostřednictvím zadaných působících sil. Hlavní význam vlastních pohybových rovnic je v tom, že z nich již lze přímou integrací řešit pohyb těles.

-7-

8


Poznámka : Pohybové rovnice (5.9) platí i pro tuhá tělesa (nezanedbatelných rozměrů vůči okolí), jestliže tato tělesa konají čistě translační pohyb.

5.3.2 Sestavování pohybových rovnic pro volný a vázaný hmotný bod podle 2. Newtonova zákona Pohyb hmotného bodu může být volný nebo vázaný. Volný pohyb nastává, když pohybující se hmotný bod není ve styku s žádným jiným tělesem. V tomto případě uvažujeme v pohybových rovnicích kromě akčních působících sil jen síly od okolí (potenciálové, odpor prostředí apod.) Při sestavování pohybových rovnic pro vázaná tělesa tj. tělesa která jsou v neustálém kontaktu s rámem nebo okolními tělesy, postupujeme podobně jako ve statice tj. používáme princip uvolňování (tj. vazby nahrazujeme silovými účinky). Při uvolňování těles přitom dodržujeme pravidla pro orientaci sil (např. tah lana musí mířit z tělesa, opora musí mířit do tělesa, reakční moment kolem hran posouvajícího se hranolu musí mířit do tělesa, třecí síla proti směru relativního pohybu apod.). Pohybové rovnice zpravidla zapisujeme i pro složky pohybu, kde je hodnota zrychlení nulová - např. pro hranol sesouvající se po nakloněné rovině to je směr kolmý na směr posuvu. To nám umožní zjistit hodnoty reakcí. V případě, že nám po vyřešení systému pohybových rovnic hodnota u některého z vypočítaných reakčních silových účinků vyjde záporná, měli bychom u takového reakčního účinku přehodit směr. V případě, že to není možné (např. jestliže síla v laně by mířila do tělesa), není pak předpokládaný pohyb reálný. Příklad 5. 1 Sestavte pohybové rovnice rakety při zapnutých pomocných tažných motorech H, odpor prostředí FD=kv2.

H

Fg Obr. 5. 2

Pohybová rovnice ve vektorovém vyjádření je dána vztahem H + FD + Fg = ma

-8-

9


=k ( xɺ 2 + yɺ 2 + zɺ 2 ) a pro hodnotu xɺ yɺ zɺ souřadnic FD x = FD cos α = FD , FD y = FD cos β = FD , FD z = FD cos γ = FD . v v v Orientujeme-li souřadnou soustavu tak, aby vektor rychlosti rakety směřoval z 1.kvadrantu, pak ve složkách pak platí: Pro

velikost

odporové

síly

platí

FD

x: − k xɺ ( xɺ 2 + yɺ 2 + zɺ 2 ) + H x = mxɺɺ y: − k yɺ ( xɺ 2 + yɺ 2 + zɺ 2 ) − Fg + H y = myɺɺ z: − k zɺ ( xɺ 2 + yɺ 2 + zɺ 2 ) + H z = mzɺɺ

Řešením uvedené soustavy diferenciálních rovnic bychom dostali průběhy x(t), y(t), z(t), jimiž by byla vyjádřena trajektorie v parametrickém tvaru. Vzhledem k tomu, že se jedná o soustavu simultánních, nelineárních diferenciálních rovnic 2.řádu, prakticky by bylo možné dosáhnout jejich řešení jen přibližnými metodami. Je-li pohybující se hmotný bod ve stálém styku s jiným tělesem, pak jde o pohyb vázaný. V pohybových rovnicích pro uvolněné těleso pak kromě akčních sil uvažujeme i reakce vazeb. Jejich směr a orientaci přitom získáme metodou uvolňování, stejným způsobem jako ve statice. Uvolněný hmotný bod pak vyšetřujeme jako pohyb volný, k působícím silám přidáme i síly vazební. Jestliže z pohybové rovnice nezískáme kompletní informace o pohybu, použijeme pro jeho úplný popis kinematické vztahy. Přitom orientace os souřadného systému použitého pro kinematické rovnice musí být stejná jako souřadného systému použitého při konstrukci pohybových rovnic. Poznámka :Jestliže neznáme velikost a smysl některých souřadnic vektorů v nebo a , pak je z důvodu matematické jednoduchosti považujeme za kladně orientované tj. ve směru os použitého souřadného systému. Příklad 5. 2 Určete zrychlení hmotného bodu posouvajícího se po horizontální rovině při působení vnější síly o velikosti F působící pod úhlem α (obr.5.4), součinitel smykového tření je f .

Obr. 5. 3

Řešení: Vektorová pohybová rovnice: F + T + N + G = ma .

-9-

10


Rozložíme-li sílu na složku kolmou a tečnou k rovině pak ve složkách platí x : F cos α − T = ma y : F sin α + N − G = 0 Pro normálovou sílu pak vychází: N = G − F sin α . Uvážíme-li že třecí síla: T = Nf dostáváme pro zrychlení F cos α − ( G − F sin α ) f a= . m

Příklad 5. 3 Sestavte pohybovou rovnici hmotného bodu o hmotnosti m, který se posouvá po nakloněné rovině s úhlem sklonu α . Na bod působí vnější síla Fv působící pod úhlem svírajícím s nakloněnou rovinou úhel β, součinitel smykového tření je f (obr. 5.5) .

Obr. 5. 4

Řešení: Vektorová pohybová rovnice: G + Fv + N + Ft = ma

(a)

Fv cos β − mg sin α − Ft = ma Fv cos β − mg sin α − Nf = ma Zrychlení ve směru osy y je rovno 0: y : Fv sin β + mg cos α − N = 0 ⇒ N = Fv sin β + G ⋅ cos α Dosazením do (c) dostaneme vlastní pohybovou rovnici: x:

Fv ( cos β − f sin β ) − mg ( sin α + f cos α ) = ma

-10-

(b) (c)

(d)

11


Příklad 5. 4 Jakou silou Fl je namáháno lano klece výtahu při rozjíždění a) směrem nahoru; b) při rozjíždění směrem dolů; c) při zastavování klece při pohybu směrem dolů. Hmotnost klece s nákladem je m = 500 kg a hodnota zrychlení (tj. jeho velikost) je vždy a = 3 m/s 2 ?

Řešení: Vazbu lanem nahradíme silou Fl. Ve všech 3 případech je zápis vektorové pohybové rovnice stejný tj. Fl + G = ma . Kladný směr osy y volíme vždy podle směru pohybu, ve složkové rovnici pro směr y přiřazujeme znaménka souřadnic vektorů podle orientace průmětů do osy. Pak a) Při rozjíždění ve směru nahoru je souřadnice zrychlení ay=3 m/s2 y : Fl − G = ma y ⇒ Fl = m ⋅ g + ma y = m ( g + a y ) Fl Fl = 500 ⋅ (10 + 3) = 6500 N

Obr. 5.6a

Fl

b) Při rozjíždění směrem dolů volíme směr osy y ve směru pohybu tj. dolů. Souřadnice vektoru zrychlení je opět ay=3 m/s2 : y : − Fl + G = m a y ⇒ Fl = mg − ma y = m ( g − a y )

y

Fl = 500 ⋅ (10 − 3) = 3500 N

Obr. 5.6 b

c) Při zastavování pohybu směrem dolů je y-ová souřadnice zrychlení ay= - 3 m/s2: y : − Fl + G = m a y ⇒ Fl = mg − ma y = m ( g − a y )

Fl

Fl = 500 ⋅ (10 − (−3) ) = 6500 N

a

y Obr.5.6c

-11-

12


Příklad 5. 5 Hmotný bod je zavěšen na nehmotném vlákně délky l. Určete dobu kyvu Tk a závislost síly v laně na okamžité výchylce. Řešení: Jde o vyšetření pohybu hmotného bodu po vázané křivce – kružnici o poloměru l . Použijeme polární souřadnice s tím, že ρ=const.=l

Fl

Fg Obr. 5. 7

Vektorová pohybová rovnice: Fg + Fl = ma . Použijeme polární souřadnice. Pak platí v příčném směru ϕ : -mgsinφ= maϕ=m l ϕɺɺ a v radiálním směru ρ : -Fl + mgcosφ=maρ = - m l ϕɺ 2 První ze složkových rovnic je vlastní pohybová rovnice (nejsou v ní neznámé složky reakcí) a můžeme ji využít pro určení kinematických závislostí. Po úpravách dostáváme g ϕɺɺ + sin ϕ = 0 l Vzhledem k φ(t) jde o nelineární rovnici. Pro malé výchylky však můžeme předpokládat sin ϕ ≐ ϕ , takže původní rovnice se zjednoduší na g ϕɺɺ + ϕ = 0 l To je rovnice harmonického pohybu. Pro řešení tedy můžeme psát φ=C.sin (ωt+γ). Dosazením do původní rovnice dostáváme g π l Ω 2 = , takže doba kyvu matematického kyvadla Tk = = π l Ω g Chceme-li určit sílu ve vlákně, vyjdeme ze složkové pohybové rovnice ve směru radiálním. Z ní dostáváme Fl =m l ϕɺ 2 + mg cos ϕ .

-12-

13


Obvykle nás zajímá síla Fl v závislosti na poloze. Ze zákona zachování mechanické energie vyplývá: m 2 2 ( v − v0 ) = −mgl ( cos ϕ0 − cos ϕ ) . 2 Při počáteční hodnotě rychlosti v0 a počáteční výchylce ϕ0 pak uvážením vztahu v=l ϕɺ dostáváme  v02  Fl = m  − 2 g cos ϕ0 + 3 g cos ϕ  . l  Poznámka. 1: V pohybových rovnicích jsou dvě neznámé tj. Fl a ϕɺɺ . Závislosti φ(t) a ϕɺ( t ) určíme s uvážením počátečních podmínek integrací ϕɺɺ tj. nejsou to další neznámé. Poznámka 2: Kyvadlo umístěné v kostele (tím byla dosažena dlouhá doba kyvu a tím poměrně vysoká přesnost) bylo používáno pro určování gravitačního zrychlení g. Příklad 5. 6 Zjistěte závislost na rychlosti na čase t a závislost rychlosti na vzdálenosti x, jestliže se hmotný bod pohybuje tak, že kromě odporu prostředí Fodp = k1 + k2 v 2 nepůsobí žádné jiné síly a počáteční rychlost bodu je vo. Zjistěte na jaké dráze lz se těleso zastaví (obr. 5.8) a Fodp v0

x Obr. 5. 8

Vektorová pohybová rovnice: Fodp=ma x: -k1 –k2 v2= max Pokud se zajímáme o závislost rychlosti na vzdálenosti pak použijeme vztah známý

( ) . Pak

2 1d v z kinematiky tj. a = 2 dx 2 − md (v ) k1 + k2 v 2 = 2(dx)

( (

v k1 + k2 v 2 dv 2 dv 2 −m ∫0 2dx = −mv∫ k1 + k2 v 2 ⇒ x = −mv∫ 2(k1 + k2 v 2 ) = 2k2 ln k + k v 2 1 2 0 0 0 x

v

− 1 Pak v( x ) = ( k1 + k2 v02 )e k2

2 k2 x m

) )

− k1

Pro zjištění dráhy na které se těleso zastaví položíme horní mez rovnu nule: 0 dv 2 −m k1 lz = − m ∫ = ln 2 2(k1 + k2 v ) 2 k1 + k2 v02 v0

-13-

14


Pokud se zajímáme o vývoj rychlosti v čase, pak vyjdeme ze vztahu t v − 1 dv dv 2 m ( k1 + k2 v0 )e − k1 k1 + k2 v = − m ⇒ t = ∫ ⇒ v = v(t ) = k2 dt − m(k1 + k2 v 2 ) vo

2

Příklad 5. 7 Sáně s nákladem mají hmotnost 23.0 kg a jsou taženy silou F=kt, kde k=20 N/s. Vypočtěte rychlost saní v2 pro čas t2=2s, počáteční rychlost saní je v0=0,9 m.s-1, součinitel smykového tření saní f=0,3.

Obr. 5. 9

Řešení: I když sáně nesplňují podmínku pro hmotný bod (působící silová soustava není centrální), jejich pohyb je translační. Proto pro sestavení pohybových rovnic můžeme použít 2.Newtonův zákon: F + G + Fn + Ft = m a Uvážíme-li pro třecí sílu vztah Ft = f Fn , pak ve složkách platí

x:

F − Fn f + m g sin 30° = ma

y : Fn − m g cos 30° = 0 Řešením dostáváme pro normálovou složku reakce Fn = mg cos 30° = ( 23 ) 9 ,81 cos 30° = 195, 4 N . F − Fn f + m g sin 30° 20 t − 58, 6 + 112 ,8 Zrychlení: a = = = ( 0 ,87t + 2 ,35 ) m/s 2 m 60 . Vzhledem k tomu, že zrychlení je funkce času, rychlost saní získáme integrací vztahu dv = a dt v

2

0.3

0

∫ dv = ∫ ( 0,87t + 2,35)dt v = 0, 43t 2 + 2,35t + 0,3 v Pro t2 =2 s tedy dostáváme v2= 6,72 m/s Pozn. 1. Ověřte tento výsledek pomocí zákona zachování mechanické energie

-14-

15


Pozn. 2. Součinitel tření při pohybu na sněhu silně závisí na teplotě (s poklesem teploty jeho hodnota roste). Zanedbáním této skutečnosti bylo jednou z příčin tragédie výpravy W. Scota k pólu. Zvýhodňuje to také těžší sjezdaře na lyžích, pod kterými dochází vzhledem k vyšší hodnotě tíže k vyššímu ohřevu mezi lyží a sněhem což má za následek snížení součinitele smykového tření.

5.4 Sledování pohybu hmotného bodu v neinerciální vztažné soustavě Při sledování pohybů těles v soustavách, jejichž počátek vůči nehybnému pozorovateli akceleruje nebo které vůči nehybnému pozorovateli rotují (takové soustavy budeme nazývat neinerciální), je při konstrukci pohybových rovnic nutné k akčním působícím silám přidat ještě další doplňkové (setrvačné) síly. Tyto síly setrvačné síly jsou přitom reakcí, kterou se těleso „brání“ proti změně pohybového stavu. Nyní si provedeme diskusi všech možných typů setrvačných sil souvisejících s neinerciálností vztažné soustavy. 5.4.1 Setrvačná síla unášivá při akceleraci počátku vztažné soustavy Uvažujme vozík o hmotnosti m se pohybující se přímočaře po vodorovných kolejnicích se zanedbatelným třením (obr. 5.10).

Obr. 5. 10

Působením vnější síly F se vozík pohybuje vůči nehybné soustavě O x1 y1 spojeném se zemí se zrychlením a21=a (obr.5.11). Soustava O x1 y1 je nehybná a platí v ní 2. Newtonův zákon tj. můžeme psát F = ma

(5.16)

Pokud bychom pro sledování pohybů těles použili soustavu O x2 y2 spojenou s vozíčkem, pak v takové soustavě se pozorovateli vozíček jeví jako nehybný tj. a22=0. Pravá strana rovnice (5.16) tedy musí být rovna nule. Aby byl dosažen tento rovnovážný stav, musíme k vnější působící síle přidat takovou nějakou doplňkovou sílu, označíme ji S FO . Jak vyplývá z rovnice (5.16), velikost a směr této síly je určena hmotností tělesa a vyvolaným zrychlením tj. platí S FO = − maO , kde aO = a je zrychlení počátku Ox2y2 pohybující se vztažné soustavy souřadnic. Tato síla má opačný směr než je zrychlení počátku pohybující se vztažné soustavy, budeme ji nazývat setrvačnou silou unášivou počátku, do pracovního

-15-

16


schématu ji budeme zakreslovat jako vektor s působištěm v těžišti. V soustavě O x2 y2 tedy platí F + S FO = 0

(5.17)

V soustavě jejíž počátek zrychluje kromě standardních působících sil musíme tedy uvážit i sílu setrvačnou unášivou S FO = − maO . Tato síla je přitom úměrná hmotě tělesa a vyvolanému zrychlení, její směr je namířen proti zrychlení a její působiště je v těžišti. Zvolíme-li směr pohybu jako kladný směr souřadné osy, pak do příslušné složkové pohybové rovnice ji zapisujeme jako vektor o záporné souřadnici tj. S FO = − m a O = − ma . 5.4.2 Sestavování pohybových rovnic pro hmotný bod pomocí DÁlembertova principu Spojíme-li vztažnou souřadnou soustavu s pohybujícím se bodovým tělesem, pak pro sestavení pohybové rovnice můžeme použít vztah (5.17), který slovně můžeme vyjádřit pomocí dÁlembertova principu: V soustavě spojené s pohybujícím se tělesem jsou síly setrvačné v rovnováze s vnějšími působícími silami. Při použití vztažné soustavy spojené s bodovým tělesem můžeme tedy pohybové rovnice popř. působící síly zjišťovat z rovnováhy součtu působících sil a sil setrvačných. Toto tzv. kinetostatické řešení dynamikých úloh používáme hlavně v případech, kdy je pohyb těles zadán. Vyšetřují se pak akční silové účinky potřebné pro udržení zadaného pohybu, reakce ve vazbách, vnitřní silové účinky apod. Poznámka: Do složkové pohybové rovnice zapisujeme souřadnici setrvačné síly s FO = − ma s tím, že pokud je pohyb zadán (tj. známe velikost a směr zrychlení vzhledem ke směru pohybu), za souřadnici a budeme dosazovat číselně kladnou hodnotu při pohybu zrychleném a hodnotu zápornou při pohybu zpomaleném. Příklad 5.8 Jakou silou Fl je namáháno lano klece výtahu při rozjíždění a) směrem nahoru, b) při rozjíždění směrem dolů. Hmotnost klece s nákladem je m = 500 kg a zrychlení a = 3 m/s 2 . Řešte pomocí d'Alembertova principu tj. pomocí souřadné soustavy spojené s kabinou výtahu. Řešení: Vektorová pohybová rovnice je Fl + Fg + S FO = 0 Směr osy y orientujeme vždy ve směru pohybu, setrvačnou sílu orientujeme vždy proti směru pohybu a do složkové rovnice zapisujeme − ma 0 = − ma . Pak a) Při rozjíždění směrem nahoru:

Fl y

y : Fl − mg − ma O = 0

S

Fo Fg -16Obr. 5. 14a

17


Pohyb je zrychlený tj. souřadnice zrychlení ve směru y má hodnotu a 0 = 3 m / s 2 . Po dosazení dostáváme Fl = 500 ⋅ (10 + 3) = 6500 N

b) Při rozjíždění směrem dolů je pohyb opět zrychlený tj. souřadnice zrychlení ve směru y má hodnotu a 0 = 3 m / s 2 .

Fl

y : − Fl + mg − ma O = 0

Fl = 500 ⋅ (10 − 3) = 3500 N s

Fo

y

Fg

Obr. 5.14b

Příklad 5. 9 Družice Země o hmotnosti md=200 kg se pohybuje po kruhové trajektorii v rovině poledníku s oběžnou dobou Td=2 hod, poloměr Země RZ =6378 km. Určete: a) výšku hd družice nad povrchem Země; b) rychlost družice vd ; c) jaká musí být rovina dráhy a jakou výšku hds musí mít družice, aby byla družicí stacionární

Obr. 5.15

Řešení: Pro úlohu nalezení výšky družice (výška určuje velikost působící gravitační síly) použijeme dÁlembertův princip tj. zavedeme přirozenou soustavu souřadnic spojenou s družicí. Vůči takové soustavě se družice nepohybuje tj. musí být rovnováha mezi působícími a setrvačnou silou. V daném případě musí tedy být rovnováha mezi silou tíže a

-17-

18


silou setrvačnou počátku souřadnic tj. musí platit Fg + S FO = 0 . Zrychlení počátku přirozené soustavy souřadnic a O je v daném případě rovno normálovému zrychlení and v místě polohy družice. a) Podle rovnice (5.8) ve výšce hd na družici působí gravitační síla g RZ2 md Fg (hd ) = . 2 ( RZ + hd ) Pro velikost setrvačné síly unášivé počátku v daném případě tedy platí: 2 vd 2π S FO = md , kde rychlost družice vd = ( RZ + hd ) ωd = ( RZ + hd ) . Td ( RZ + hd ) Podle dÁlembertova principu tedy platí

Fg + S FO = 0 Pro normálový směr tedy platí M Z ⋅ md

n: κ

( RZ + hd )

2

= m ωd2 ( RZ + hd ) ⇒ hd =

Po dosazení dostáváme výsledek

3

2 κ ⋅ M Z ⋅ Td 2 g . RZ2 ⋅ Td 3 − R = − RZ . Z 4π 2 4π 2

hd = 1, 7 ⋅ 106 m.

2π = 7040 m/s. Td c) Podle statiky, dvě síly mohou být v rovnováze tehdy a jen tehdy, jestliže jejich nositelky jsou totožné. Z toho pak vyplývá, že roviny kruhových drah družic Země musí procházet středem Země. U stacionární družice musí být navíc splněno, že rychlost družice vss musí být rovna obvodové rychlosti kruhového pohybu s úhlovou frekvencí rovnající se zemské rotaci ωZ tj. musí platit vds = ωZ ( R + hds ) . Z toho pak vyplývá, že rovina dráhy totožná s rovinou b)

vd = ( RZ + hd ) ωd = ( RZ + hd )

rovníku. Výšku družice určíme podle předchozího vztahu tak, že dosadíme Tds = TZ = 24 hodin 2

g .RZ2 TZ − RZ = 35800 km 4π 2 Poznámka 1: Úlohu nalezení výšky stacionární družice bychom také řešit tak, že bychom použili soustavu spojenou s rotující Zemí a uvažovali rovnováhu mezi silo tíže a silou odstředivou. Poznámka 2: Všechny stacionární družice jsou tedy lokalizovány na kružnici nad rovníkem, v současné době již v poměrně velké hustotě. Poznámka 3: U nestacionárních družic s dráhou skloněnou vůči rovině rovníku je relativní rychlost vůči soustavě spojené se Zemí různá od nuly. Na družice pak kromě síly setrvačné odstředivé působí i síla setrvačná Coriolisova. V důsledku jejího působení dochází ke stáčení roviny dráhy družice. Podobně ke stáčení roviny dráhy dochází i při pohybu kyvadla. hds =

3

-18-

19


Příklad 5. 10 Určete pod jakým úhlem θ má být klopená zatáčka zkušebního závodního okruhu pro její bezpečný průjezd. Poloměr r=183 m, auto jede v zatáčce konstantní rychlostí v=30,48 m/s.

Obr. 5. 16

Řešení: Pro bezpečný průjezd zatáčkou je nutné, aby tečné složky reakcí mezi vozovkou a boky kol byly nulové tj. aby zatáčka nebyla sklopená ani moc (vozidlo by se sesouvalo vlastní vahou) ani málo (vznikalo by nebezpečí smyku v důsledku působení odstředivé síly). Tečné složky na bocích kol zřejmě nebudou vznikat, jestliže součet odstředivé síly a váhy

vozu bude v rovnováze s normálovou složkou reakce NC. V soustavě spojené s vozovkou má vektorová pohybová rovnice má pak tvar Fg + N c = m a Vzhledem ke kruhovému pohybu auta je vhodné tto vektorovou rovnici rozepsat do přirozených souřadnic tj. ∑ Fib = 0 : N c cosθ − mg = 0. mv 2 r Po převedení mg v 1. rovnici na pravou stranu dostaneme po vydělení obou rovnic: v2 30, 482 tan θ = = = 0,517 ⇒ θ = 27 ,36°. gr 9,81 ⋅ 183

∑ Fin = man :

N c sin θ =

-19-

20


Poznámka: Předpokládáme-li nulovou hodnotu tečné složky reakce u vířící kapaliny, dostáváme na základě výsledků tohoto příkladu pro tvar povrchu rotující kapaliny rotační dy ω 2 x paraboloid-dokažte! [Návod-pro tečnu k povrchu použijte vztah tg Θ = = , kde ω je dx g úhlová rychlost víření kapaliny]. Příklad 5. 11 Letadlo letí rychlostí 720 km/h po kruhovém oblouku o poloměru r = 420 m . Jaká odstředivá síla působí na letce hmotnosti m = 72 kg ? Za předpokladu, že poloměr letu zůstane konstantní určete jakou největší rychlostí může letadlo letět, jestliže letec snese 10x větší zrychlení, než je zrychlení gravitační? Řešení: v = 720 km/hod = 200 m/s v2 2002 ⋅ = 72 ⋅ = 6857 N r 420 = 10mg = 10 ⋅ 72 ⋅ 9 ,81 = 7063, 2 N

s

Fn = m

s

Fn max

2 vmax Fn max = m r Fo max r 7063, 2 ⋅ 420 . vmax = = = 203 m/s m 72 s

Příklad 5. 12 Hmotný bod se pohybuje po nakloněné rovině, která přejde ve válcovou oblinu poloměru r. Určete úhel φk , ve kterém se hmotný bod oddělí od válcové plochy. Počáteční rychlost hmotného bodu je v, délka nakloněné roviny je l a úhel sklonu nakloněné roviny je α, tření zanedbejte.

s

Ft

s

Fn

N

Obr. 5. 17

-20-

21


Řešení: Zavedeme soustavu polárních souřadnic s počátkem ve středu válce. V této soustavě musí existovat rovnováha mezi působícími vnějšími silami a silami setrvačnými mg + Ν + S Fn + S Ft = 0 Z hlediska odpoutání kuličky od válcové plochy je rozhodná složková rovnice ve směru radiálním pro kterou platí: mv 2 ρ: N − mg cos ϕ + S F n = 0, kde S F n = r Hmotný bod opustí válcovou plochu při takové hodnotě úhlu ϕ= φk, kdy normálová složka reakce N je rovna nule. Tento stav nastane, jestliže síla odstředivá bude v rovnováze s normálovou složkou tíže tj. bude platit mv 2 mg cos ϕk = k r Rychlost kuličky v místě odpoutání vk od válcové plochy zjistíme ze zákona zachování energie: 2 2 mvk mv 2 2 − 0 = mgh ⇒ vk = v0 + 2 gh , 2 2 kde h = l sin α + r cos α − r cos ϕ k Dosazením za h dostáváme vztah mg cos ϕ0 =

(

m v0 + 2 g [l sin α + r cos α − r cos ϕk ] 2

r

),

odkud

v0  l sin α  + 2g  + cos α  r  r . cos ϕ k = 3g 2

5.4.3 Setrvačné síly při rotaci vztažné soustavy V technické mechanice jsme však často nuceni pracovat se soustavami spojenými s rotujícími tělesy. Při sledování pohybů těles v takových soustavách kromě standardních působících sil musíme uvažovat i setrvačné síly související s neinerciálností rotující vztažné soustavy. Směry a orientaci jednotlivých typů setrvačných sil souvisejících s rotací vztažné soustavy si ukážeme na základě pocitů člověka pohybujícího se na plošině rotujícího kolotoče. Uvažujme 3 případy pohybu kolotoče a člověka A: a ) –kolotoč se otáčí s konstantní úhlovou rychlostí ω, člověk je vůči disku v klidu (obr. 5.11). Na člověka v tomto případě působí síla odstředivá (setrvačná síla normálová) SFAn= - m (ω ωx (ω x rA)). Pokud by nebylo tření, pak v důsledku působení odstředivé síly by se člověk začal odvalovat rovnoměrně zrychleně ve směru radiálním.

-21-

22


z

ω

y S

rA

FnA

x

A Obr. 5. 11

b) kolotoč se roztáčí z klidu s úhlovým zrychlením α. V opačném smyslu než se roztáčí kolotoč začne člověku podrážet nohy ve směru tečném á síla Eulerova (setrvačná síla tečná) s F = − mat = − m( α x r A ) (obr. 5.12).

α

z

y

rA S

F t

x

A

Obr. 5. 12

c) –člověk kráčí od středu po disku rotujícího disku rotujícím s konstantní úhlovou rychlostí ω ve směru radiálním relativní rychlostí v rA (obr. 5.13). Dostává se tedy z místa s nižší obvodovou rychlostí do místa s vyšší obvodovou rychlostí. Ke změně hodnoty rychlosti je přitom potřeba síla, která bude při pohybu od středu kolotoče člověku podrážet nohy ve směru jeho pravé ruky. Tato síla je setrvačnou silou Coriolisovou SFAC= -(maC)= - 2m(ω x v rA ). V obecné poloze člověka na kolotoči tato síla působí současně se silou odstředivou, její samotné působení je omezeno na okamžik průchodu středem kolotoče

-22-

23

ω


z y

x A vAr

S

FcA Obr. 5. 13

Pokud bychom rotující disk umístil na akcelerující vozík, pak v soustavě spojené s diskem by pohyb bodového tělesa A byl obecně popsán pomocí vztahu F + S FO + S FnA + S FtA + S FCA = ma rA ,

(5.17)

kde a rA je relativní zrychlení bodového tělesa A vůči soustavě spojené s diskem. Při sledování těles v pohybujících soustavách musíme tedy k působícím silám musíme přidat i síly setrvačné související s neinerciálností vztažné soustavy.

5.4.4 Sestavování pohybových rovnic při složeném pohybu hmotného bodu Při pohybu hmotného bodu na jiné pohybující se těleso (tj. při složeném pohybu hmmotného bodu) můžeme tedy pohybové rovnice sestavovat dvěma způsoby: a) Použijeme soustavu spojenou s pohybujícím se tělesem (tj. soustavu neinerciální) a hodnotu relativního zrychlení a rA vůči pohybujícímu se tělesu nalezneme s uvážením příslušných sil setrvačných tj. pomocí vztahu (5.17). Např. v případě rotující přímé vidlice (viz obr. 5.18) je zřejmě vhodná soustava Ox2 y2 , jejíž osa x2 je totožná s rotující vidlicí. Tato soustava je však podle předchozích odstavců neinerciální, a proto v ní musíme uvážit i síly setrvačné F + S FO + S FnA + S FtA + S FCA = marA , kde

S

(5.18a)

FO = − maO je setrvačná síla unášivá počátku (je dána zrychlením počátku vztažné

souřadné soustavy - ta je v našem případě nulová),

S

FnA = − mω x (ω x r A ) je setrvačná síla

normálová (odstředivá), S FtA = − mα x r A je setrvačná síla tečná (Eulerova), S FCA = −2mω x v rA je setrvačná síla Coriolisova. K nalezení setrvačných sil přitom použijeme vztahy pro rozklad rovinného pohybu. Unášivé zrychlení auA bodu A rozložíme na zrychlení počátku O souřadné

-23-

24

aOu

soustavy

a

zrychlení

auAO

rotačního


pohybu

bodu

A

kolem

O

tj.

auA = auO + au = aOu + anAO + a AO = aOu + ω x (ω x r A ) + α x r A , kde ω a α je úhlová rychlost a τ úhlové zrychlení rotace soustavy vzhledem k nehybnému pozorovateli. Relativní zrychlení arA , můžeme pro případ rotující přímé vidlice přepsat na tvar AO

F + ( − mω x (ω x r A )) + ( − mα x r A ) + ( −2mω x v rA ) = marA ,

arA y2

(5.18b)

x2

A

O

Obr. 5. 18

b) Použijem soustavu spojenou s rámem (tj. soustavu inerciální) a sestavíme pohybovou rovnici pomocí 2. Newtonova zákona F = m a aA .

(5.19a)

Hodnotu a rA pak hledáme rozkladem zrychlení při složeném pohybu tj. arA = aaA - auA - aCA

(5.19b)

První způsob je vhodný pro určení směru reakcí. Např. můžeme predigovat „roztáčivý“ efekt setrvačné Coriolisovy síly (která zvyšuje tlakovou sílu působící na lopatku turbiny) v případě Kaplanovy turbiny s vertikální osou rotace (tzv. reakční turbiny) – viz obr. 5.19. Částice kapaliny vstupují mezi rotující lopatky v radiálním směru, přitom jsou unášeny lopatkami turbiny. Dochází tedy k přemisťování hmot v radiálním směru při rotačním unášivém pohybu,

-24-

25


lopatky voda

Obr. 5.19

což vyvolává vznik Coriolisových setrvačných sil, které zvyšují otáčky a tím i účinnost turbiny. Můžeme také předpovídat směry pohybů - např. můžeme určit smysl rotace víru v nálevce na severní a jižní polokouli, předvídat důsledky působení setrvačných sil v přírodě (např. pravé břehy na sever tekoucích sibiřských řek jsou více vymílány), vznik pasátních větrů popř. Tornád. V některých případech je však tento způsob pro numerický výpočet a rA málo vhodný.např. Při zkřiveném vztahu rotující vidlice-viz obr. 5.20a a 5.20b. Poznámka 1 : V případě pohybu hmotného bodu po kružnici, je nutné jako vztažnou soustavu uvažovat soustavu polárních nebo přirozených souřadnic (viz obr. 5.20a a 5.20b).

α21 O

α21

Obr. 5. 20a

-25-

Obr. 5. 20b

26


Jestliže počátek neinerciální souřadné soustavy rotuje (obr. 5.20b), pak S FO může mít obecně dvě složky tj. sílu unášivou počátku tečnou S FO t a sílu unášivou počátku normálovou S FO n (zrychlení počátku O má v tomto případě dvě složky tj. aO = aOτ + anO ). Poznámka 2: Vzhledem k tomu, že se nacházíme na Zemi tj. rotujícím tělese, s nenulovou hodnotou Coriolisovy síly bychom se měli setkávat poměrně často. Vzhledem k nízké hodnotě úhlové rotace Země však hodnota Coriolisovy síly bývá zpravidla v přírodě zanedbatelná. V technické praxi však v některých případech sledujeme relativní pohyby těles po rychle rostoucích vedeních a v těchto případech již hodnoty Coriolisovy síly zanedbatelné být nemusí. Vliv Coriolisovy síly se mohou také projevit při pohybech na velké vzdálenosti. Např. při výstřelu z děla Berta používaného pro ostřelování Paříže na vzdálenost 110 km byla odchylka zásahu v důsledku Corioloisovy síly 1600 m. Při pohybu setrvačné síly závisí obecně na souřadnicích tj. vytváří silová pole. V některých případech tato pole jsou přitom nerozlišitelná od působení polí potenciálových- např. v rozjíždějícím se výtahu nemůžeme rozlišit, zda zrychlení padajících těles je pouze od zvýšené gravitace nebo od akcelerace výtahu. Např. při úloze nalezení doby kyvu matematického kyvadla nacházejícího se v akcelerujícím výtahu směrem vzhůru se zrychlením a můžeme výsledek najít úvahou tak, že výsledek

při působení vertikální gravitační síly vertikální síly

Tk = π

g odvozený pro nepohybující se výtah l

Fg = mg zaměníme za vztah Tk = π

g +a odpovídající působení l

Fg' = Fg + ( −ma ) . Změřením doby kyvu bychom tedy mohli zjistit zrychlení výtahu.

Pokud bychom měli řešit úlohu nalezení vnitřních silových účinků mezi na sobě položenými tělesy při jejich zrychleném zvedání (viz obr. 5.21), můžeme zřejmě výsledek získat snadno z rovnic statické rovnováhy s tím, že ke spojitému zatížení silami tíže bychom přidali spojité zatížení setrvačnými silami unášivými stejného směru. Z hlediska vnitřních silových účinků, za pohybu dochází k jejich změnám nejen důsledku změn hodnot reakcí, ale také v důsledku působení sil setrvačných. Při úloze nalezení úhlu α výstřelu projektilu pro zasažení padajícího objektu A (vypuštěného pod úhlem ϕ ze vzdálenosti L současně s výstřelem – viz obr. 5.22), nemusíme řešit obtížně kinematické rovnice pro šikmý vrh vzhůru a volný pád. Zavedeme-li totiž soustavu spojenou s padajícím objektem, pak ke gravitační síle působící na střelu musíme přidat sílu setrvačnou unášivou –mg. V takové soustavě je pak zrychlení střely nulové (gravitační síla je v rovnováze se silou setrvačnou unášivou. Zrychlení střely je v takové soustavě nulové tj. střela se v ní pohybuje pohybuje přímočaře, objekt A je nepohyblivý. Při přímočarém pohybu cíl zasáhneme zřejmě tehdy, jestliže položíme α=φ.

-26-

27

Obr. 5.21


Obr. 5.22

Kontrolní otázky 1) 2) 3) 4)

Jak orientujeme směr souřadných os při přímočarém pohybu? Co jsou to stacionární družice, jaký je poloměr jejich dráhy? Který břeh řeky tekoucí na severní polokouli od jihu k severu je více podemletý? Při pohybu tělesa po povrchu Země podél rovníku ve směru rotace zemské, bude v důsledku Coriolisovy síly tíhové zrychlení nabývat nižší nebo vyšší hodnoty nebo se nezmění ? 5) Proč se při rotaci kapaliny částice písku pohybují v blízkosti osy kádinky nikoliv po jejím obvodu? 6) Proč vzniká vír v nálevce? 7) Co je podstatotou cyklonů a pasátních větrů? 8) Proč je výhodné používat při pohybu po kružnici při rozepsání pohybové rovnice do složek polární souřadnice? 9) Při rotaci kádinky s vodou je tvořící křivkou povrchu parabola-dokažte! 10) Co je podstatou metody uvolňování? 11) Kdy je soustava inerciální? 12) Co je to DÁlembertův princip? 13) Jaké setrvačné síly mohou vznikat v neinerciálních soustavách 14) Jak se změní tíha kádinky s vodou, ponořím-li do kádinky těleso o známém objemu a známé hustotě ρ, jestliže těleso a) bude zavěšeno na niti b) odstřihneme od niti c) v důsledku odporové síly bude klesat se známou konstantní rychlostí vmax d) klesne na dno kádinky. 15) Člověk běží po obvodu rotujícího kolotoče tak, že jeho absolutní hodnota rychlosti je rovna obvodové rychlosti rotujícího kolotoče. V soustavě spojené s kolotočem tedy na člověka působí jednak síla odstředivá s Fn = mω 2 R a jednak v opačném směru síla Coriolisova s FC = 2mω 2 . Působí na člověka ještě tečná složka reakce ve směru radiálním?

-27-

28


5.5 Základní věty dynamiky hmotného bodu Při sledování pohybu těles v potenciálových silových polích je možné pohybové rovnice integrovat. Slovním vyjádření těchto integrálních vztahů vznikly zákony zachování hybnosti, momentu hybnosti a mechanické energie. Používáme je hlavně v případech, kdy známe pohybový stav tělesa na začátku děje a zajímáme se o polohu nebo rychlost na konci děje. Vzhledem k tomu, že příslušné integrace byly prováděny z 2. Newtonova zákona, příslušné integrální vztahy platí jen pro soustavy inerciální tj. všechny kinematické veličiny v nich vystupující (např. rychlosti) musí být vztaženy vzhledem k soustavám nepohyblivým. 5.4.1 Hybnost a impuls síly, moment hybnosti a impuls momentu Jak již bylo zmíněno v úvodu, základní veličinou popisující pohybový stav hmotného bodu je hybnost: h=mv

 kg.m.s -1 = N.s  ,

(5.18)

kde m je hmotnost, v rychlost hmotného bodu. Podle druhého Newtonova zákona v případě, že hmotnost m je konstantní platí

F=

dh dv =m . dt dt

(5.19)

Veličinou charakterizující časový účinek síly je impuls síly I t2

I = ∫ F (t )dt .

(5.20)

t1

Z rovnice (5.19) pak vyplývá vztah

I = h 2 - h1 =m(v2-v1).

(5.21)

Přírůstek hybnosti v určitém časovém intervalu je dán impulsem působících sil v témže časovém intervalu (věta o změně hybnosti). Známe-li tedy závislost síly na čase tj. F = F( t ) mezi časy t1 a t2, pak můžeme z tohoto vztahu zjistit změnu hybnosti změnu rychlosti. Název impuls znamená vlastně náraz. Nárazové síly však mají stálý směr (např. náraz kladiva) a z hlediska jejich velikosti je můžeme zpravidla nahradit střední hodnotou F . Pro tyto nárazové síly popř. pro děje při kterých je působící síla konstantní pak můžeme ve směru působící síly psát t2

I = ∫ F (t )dt = F (t2 − t1 ) = F ∆t

(5.22)

t1

kde ∆ t je doba trvání nárazu. Známe-li hybnost před a po nárazu a dobu trvání nárazu, pak můžeme z předchozí rovnice určit velikost působící impulsní síly. Předpoklad konstantní hodnoty impulsní síly někdy také nahrazujeme nějakou jednoduchou závislostí na čase F(t).

-28-

29


Příklad 5. 4 Určete maximální hodnotu úderu kladiva, jestliže těleso o hmotnosti m=5kg je z klidu urychleno nárazem kladiva z nulové rychlosti na hodnotu v2=5m/s, doba trvání nárazu je ∆t = τ = 10−3 s Řešení: Pro náraz kladiva můžeme předpokládat lineární nárůst tlakové síly až do hodnoty Fmax, následně pak opět lineární pokles tlakové síly (obr. 5.24).

F

Fmax

τ

O

t

Obr. 5. 24

Dosazením do vztahu (5.23) pak dostáváme pro výsledný impuls tlakové síly působící na těleso τ/2 τ/2 kτ 2 kτ 2 I = 2 ∫ kt dt = = mv2 ⇒ k = 6 , 0.106 kg m s -2 I = 2 ∫ kt dt = = mv2 ⇒ k = 6 , 0.106 kg m s -2 2 2 0 0 K maximální hodnotě tlakové síly dojde za čas Fmax = k

τ 2

τ 2

tj. pro její hodnotu dostáváme

= 3, 0.103 N

Rovnice (5.21) je rovnice vektorová a obvykle ji rozepisujeme do složek ve směrech souřadnicových os. Jestliže na těleso nepůsobí z vnějšku žádné síly (těleso je izolováno od okolí), pak výsledný impuls je nulový a těleso nemění svoji rychlost. To v praxi zřejmě nemůže nikdy nastat (např. nemůžeme odstranit působení gravitačních sil). Můžou však nastat případy, kdy můžeme zanedbat síly působící v určitých směrech nebo rovinách. Potom hovoříme v daném směru nebo v dané rovině o pseudoizolaci od okolí. Např. při kolmém výstřelu střely s počáteční rychlostí výstřelu v1y= vs z vozíku jedoucího horizontálně konstantní rychlostí vv ve směru osy x je při zanedbání odporu prostředí nulová hodnota impulsu ve směru osy x tj. Ix =∫Fxdt=0. Střela se tedy ve směru x tedy pohybuje pořád stejnou rychlostí jakou měla na začátku tj. je rovna rychlosti vozíku (pohybuje se tedy neustále nachází nad vozíkem). Po návratu do horizontální roviny střela dopadne na vozík ve vzdálenosti ∆x od bodu výstřelu, vzhledem k zákonu zachování mechanické energie musí být velikost rychlosti dopadu rovna rychlosti výstřelu

v2 y = vs . Vozík dráhu ∆x urazí za čas ∆t =

-29-

∆x vsx

=

∆x vv

.

30


Ve směru vertikálním během letu působí na střelu konstantní tíhová síla Fy=Fg,, její impuls ∆t

I y = ∫ Fg dt = Fg ∆t = m( vs − ( −vs )) = 2mvs . Z doby dopadu střely tedy můžeme určit počáteční rychlost 0

výstřelu

vs =

Fg ∆t 2m

. Podobně jestliže pasažér sedící v autobuse jedoucím s konstantní rychlostí se musí zase

vrátit na sedadlo.

Nechť vazby působící na hmotný bod jsou takového charakteru, že bod koná při působení vnějších sil kruhový pohyb kolem pevné osy o. Pak po vynásobení vztahu (5.19) vektorově průvodičem r platí d ( r x m v ) dr d(mv) d( mv ) = xmv + r x =rx = r xF dt dt dt dt

(5.23)

Výsledný moment působících sil M o = r x F tedy můžeme vyjádřit vztahem

Mo =

db o , dt

(5.24)

kde b o = (r x m v ) je moment hybnosti (“míra pohybu” při rotaci hmotného bodu kolem osy o). Pro bodové těleso tedy platí věta o časové změně momentu hybnosti: Časová změna momentu hybnosti hmotného bodu k určité ose je dána momentem všech působících sil k této ose. Rovnice (5.24) je pohybovou rovnicí pro hmotný bod konající rotační pohyb kolem stálé osy otáčení o. Podobně jako byl zaveden impuls síly, zavedeme i impuls momentu Lo (časový účinek momentu) vztahem t

L o = ∫ M o dt = b o 2 - b o1 .

(5.25)

t1

Platí opět věta o změně momentu hybnosti: Přírůstek momentu hybnosti k určité ose v uvažovaném časovém intervalu je dán impulsem momentů všech působících sil k téže ose v témže časovém intervalu. Pokud Lo=const, pak těleso koná pohyb rovnoměrný kruhovýnapř. planety kolem Slunce. Příklad 5. 5 Těleso hmotnosti m=10 kg se začne pohybovat působením konstantní síly F=150 N. a) b) c) d)

S jakým zrychlením se těleso pohybuje. Jakou rychlost dosáhne při t=8 s. Jakou dráhu přitom vykoná. Jak velký je impuls zadané síly.

-30-

31


Obr. 5. 25

Řešení: a)

F = ma F 150 a= = = 15, 0 m/s m 10

b) F = konst. je v1 = 0, km/s , ∆t = 8s . Pak podle rovnice(5.25): I = F ∆ t = mv2 − mv1 = mv2 v2 =

F ∆ t 150 ⋅ 8 = = 120 , 0 m/s m 10

c) a = konst. , proto můžeme použít z kinematiky pro pohyb přímočarý rovnoměrně zrychlený: 1 s = s0 + v0 t + at 2 a s0 = v0 = 0 2 1 s = at 2 2 1 s = ⋅ 15 ⋅ 82 = 480 m 2 d) I = F ∆t = 150 ⋅ 8 = 1200 N.s

Příklad 5. 6 Určete závislost rychlosti letounu o hmotnosti m=1800kg na čase, jestliže letounu pohybujícího se přímočaře rychlostí 120 m/s je zapnut přídavný motor o síle F=8500N. t

v

0

vo

∫ Fdt = m ∫ dv ⇒ v = vo +

F t =120+4,7t [m/s] m

Větu o změně hybnosti (nebo momentu hybnosti) tedy používáme tehdy, když během nějakého děje jsou působící síly konstantní poopř. známe jejich závislost na čase, známe dobu působení a zajímáme se o rychlost na konci děje.

5.5.2 Práce, energie, výkon

-31-

32


Až dosud jsem pohybový stav hmotného bodu charakterizovali vektorovými veličinami tj. zrychlením, hybností či momentem hybnosti. Někdy je však výhodné charakterizovat skalární veličinou. Síla koná práci, když se v důsledku jejího působení mění poloha hmotného bodu z polohy A do polohy B, je to tedy dráhový účinek síly B

A = AB

∫ F . dr

(5.26)

A

Poznámka: V rovnici (5.26) se vyskytuje skalární součin vektoru síly F a vektoru přemístění dr. V případě že působící síly jsou tedy kolmé na přemístění, jejich práce je nulová. Proto také normálové složky reakcí označujeme za síly nepracovní. Práci tedy koná jen tangenciální složka síly vzhledem k dráze. Elementární práci vykonanou vnějšími silami můžeme vyjádřit pomocí skalární veličiny kterou budeme dále nazývat kinetickou energií Ek. Platí: dv dv 1 d (mv 2 ) dA = F. dr = m . dr = m . vdt = md ( v.v ) = = dEk dt dt 2 2

(5.27)

Změna kinetické energie Ek při změně polohy tělesa je tedy rovna práci všech sil na těleso působících B

EkB − EkA = ∫ F . dr

(5.28)

A

Časová změna kinetické energie je dána okamžitým výkonem pracovních sil tj. P=

F . dr = F.v = Ft v , dt

(5.29)

kde Ft je složka síly ve směru pohybu (ten je dán vektorem rychlosti). Jsou-li vazby takového charakteru, že hmotný bod pod působením vnějších sil koná pohyb po kružnici o poloměru r se středem v bodě O, pak dr = r x dϕ , kde dφ je vektor pootočení kolem osy o. Výraz pro práci (5.26) pak můžeme přepsat do tvaru B

B

B

B

A

A

A

A

A = ∫ F .dr = ∫ F .( r x d ϕ ) = ∫ ( r x F ) .d ϕ = ∫ M O .dφ ,

(5.30)

kde MO je výsledný moment působících sil k bodu O. Při kruhovém pohybu bodu je rychlost v = r ω a okamžitý výkon je pak dán vztahem

P = M Op ω ,

(5.31)

kde M Op je průmět působícího momentu do osy rotace. Síla je míra interakce mezi tělesy. Přitom tato interakce se může realizovat buď stykem (stykové síly) nebo působením na dálku (síly-gravitační, jaderné, elmg. apod.) Ke změně pohybového stavu těles tedy dochází nejen v důsledku jejich vzájemného kontaktu ale také v důsledku působení silových polí. Silovým polem přitom nazýváme prostor, ve kterém je

-32-

33


působící síla funkcí jeho polohy tj. v každém bodě prostoru známe hodnotu síly F = F( Fx ,Fy ,Fz ) . Jestliže pro silové pole platí ∂Fx ∂Fy = , ∂y ∂x ∂Fy ∂Fz = , ∂z ∂y ∂Fz ∂Fy = , ∂y ∂z

(5.32)

pak při přemisťování hmotného bodu vykonaná práce nezávisí na prošlé dráze ale pouze na počáteční a koncové poloze. Takové silové pole pak nazýváme potenciálové (konzervativní). Z rovnic (5.32) pak vyplývá, že sílu pole F můžeme vyjádřit pomocí totálního diferenciálu skalární veličiny tj. potenciálu U. Platí tedy, že lze nalézt takovou skalární funkci U(x,y,z), pro kterou platí dU = Fx dx + Fy dy + Fz dz =

∂U ∂U ∂U dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z

(5.33)

Tuto rovnici můžeme zapsat vektorově F= grad U

(5.34)

Místo potenciálové funkce U je zpravidla používána její záporná hodnota – při přemístění hmotného potenciální energie Ep=-U. V potenciálovém poli pak práci A AB bodu z polohy A do polohy B můžeme vyjádřit pomocí rozdílu potenciálních energií tj. B

A = − ∫ F . dr = E pB − E pA = ∆E p AB

(5.35)

A

Poznámka: Rozdíl potenciálové energie je přitom kladný (tj. ∆EP>0), jestliže při přemístění musíme práci vykonávat proti silám pole, záporný (∆EP<0) jestliže je naopak práce působením potenciálových sil vykonána. Např. při zvednutí tělesa v zemském gravitačním poli o výšku ∆h <
R +∆h

∫ R

R +∆h

mM  mM  −κ 2 dr =  −κ r r  R 

≐ mg ∆h ,

při přemístění tělesa o výšku ∆h směrem dolů je ∆ E p ≐ − mg ∆h . Pro technické aplikace (především pro analýzu kmitů mechanických soustav) je důležitý vztah pro potenciální energii pružiny. Při stlačení popř. prodloužení pružiny z rovnovážné polohy o délku x působí na těleso direkční síla pružiny F=-kx, kde k je tuhost pružiny (znaménko – vyjadřuje to, že síla pružiny působí vždy proti směru výchylky x). Pak při stlačení nebo protažení pružiny se hodnota potenciálové energie změní o hodnotu x

1 2

∆ E p = A = − ∫ −kx dx = k x 2 0

-33-

(5.36)

34


Jestliže na těleso nepůsobí třecí síly pak při stlačení a následném uvolnění pružiny je celková změna ∆Ep=0.

Obr. 5. 26

Jestliže se hmotný bod hmotnosti m přemístí z bodu M1 do M2 (obr.5.27), pak je změna potenciální energie pružiny vyjádřena vztahem E p = E p2 − E p1 =

1 2 1 2 1 2 k x2 − k x1 = k ( ∆ x ) . 2 2 2

(5.37)

Obr. 5.27

Při pohybu těles v potenciálovém poli se práce potenciálových sil projeví snížením energie potenciální a navýšením energie kinetické

-34-

35


B

∫ F . dr = E

kB

− EkA = −( E pB − E pA )

(5.38)

A

Pro dvě polohy A a B bodového tělesa tedy platí

EkA + E pA = EkB + E pB

(5.39)

Konají-li při pohybu tělesa práci pouze síly potenciální, pak při přemístění tělesa platí zákon zachování celkové mechanické energie W - součet kinetické a potenciální energie (celková mechanická energie) konstantní : W=Ek+Ep=const

(5.40)

V případě, že při přemísťování bodového tělesa působí kromě sil potenciálových i síly tření Ftř,, pak tento zákon při přemístění z A do B musíme upravit na tvar B

EkA + E pA = EkB + E pB − ∫ Ftř . dr

(5.41)

A

Poznámka: Zákon zachování mechanické energie používáme, známe-li pohybový stav tělesa na začátku jeho přemisťování v potencálových polích a zajímáme se o polohu nebo rychlost na konci přemístění. Podobně zákon zachování energie můžeme použít pro nalezení dráhy při známých působících silách a známém pohybovém stavu na začátku a konci děje.

Příklad 5. 7 Určete délku dráhy lz na které se bodové těleso o hmotnost m při působení třecí síly zastaví z počáteční rychlosti vo . Hodnota součinitele smykového tření je f.

a m Ftř

v0

v=0

,

lz x Obr. 5. 28

Řešení:

-35-

36


l

∆Ek =

z 1 2 v2 mvo = − ∫ Ftř . dr = m g f lz ⇒ lz = o 2 2g f 0

Ke stejnému výsledku však dospějeme integrací pohybové rovnice: Ftř = m a x : − m g f = m ax = m lz

1 d (v x )2 2 dx

0

vo2 − ∫ 2 g f dx = ∫ dv x ⇒ l z = 2g f 0 v0 2

Příklad 5. 8 Těleso o hmotnosti m vystřelíme ze země svisle vzhůru, za čas td těleso dopadne zpět. Jaká je rychlost výstřelu vv a do jaké výšky h těleso vyletí? Řešení: Časový a dráhový účinek síly můžeme kombinovat. Při zanedbání odporu prostředí z rovnosti kinetických energií v místě výstřelu a v místě dopadu střely vyplývá, že rychlost dopadu vd se rovná rychlosti výstřelu vv. Z impulsu gravitační síly Fg td==m(vd-(-vv)) pak můžeme určit gt rychlost výstřelu vv = d 2 . V nejvyšším bodě dráhy dojde k přeměně energie kinetické na potenciální tj. 2 vv 1 2 Ek = m vv = mgh ⇒ h = . 2 2g

-36-

37


Příklad 5. 9 Kyvadlo má délku l = 1,5 m . Koule kyvadla má hmotnost m = 2 kg . Jakou práci .

vykonáme, vychýlíme-li kyvadlo o úhel α = 30° ? ( g = 10 m/s 2 ). Jaká bude jeho rychlost vmax při uvolnění koule, jestliže ji z vychýlené polohy vypustíme s nulovou počáteční rychlostí?

Řešení: h = l − l cos 30° = l ( 1 − cos 30° ) = 0 , 2 m A = m g h = 2 ⋅ 10 ⋅ 0 , 2 = 4 J Tato práce se přemění na zvýšení energie potenciální ∆Ep= mgh. Při uvolnění kuličky bude docházet k postupné přeměně potenciální energie na energii kinetickou, v nejnižším bodě dráhy (tj, v rovnovážné poloze) tedy bude nejvyšší hodnota energie 1 2 kinetické Ekmax = m vmax = m g h = m g ( l − l cos α ) , 2 tedy vmax = 2 gh = 2 m/s

l

Obr. 5.29

Příklad 5. 10 Jakou rychlostí se bude pohybovat bod o hmotnosti m = 5 kg ve výšce 2m, jestliže je z výšky 5,2 m puštěn rychlostí v0 = 6 m/s ?

Řešení: Ze zákona o zachování mech. energie (3.16) platí Ek0 + E p0 = Ek1 + E p1 . Tedy

1 2 1 mv0 + mgh0 = mv12 + mgh1 2 2 1 mgh0 − mgh1 = mv12 − mv02 , tedy 2 1 2 g ( h0 − h1 ) = v1 − v02 , ozn. h = h0 − h1 2 2 2 v1 = 2 gh + v0 ,

(

Obr. 5. 30

(

)

)

v1 = 2 gh + v02 , v1 = 2 ⋅ 10 ⋅ ( 5, 2 − 2 ) + 6 2 = 10 m/s

-37-

38


Kontrolní otázky 1) Čím je významný 2.Newtonův zákon 2) Jakou soustavu použijeme pro rozklad pohybové rovnice do složek při přímočarém pohybu po nakloněné rovině 3) Jakou soustavu použijeme pro rozklad pohybové rovnice do složek při pohybu po kružnici 4) Jaká je souvislost kinetické energie a práce 5) Jak určujeme hodnotu energie potenciální 6) Jaký je charakter impulsních sil

-38-

DYNAMIKA. ΣF i =0 - silová podmínka statické rovnováhy. ΣF i =ma pohybová rovnice pro translační pohyb tělesa

Recommend Documents