§k
BALOGH
ALBERT-DR.
DUKÁTI
FERENC
Megbízhatósági vizsgálatok Weibull-eloszláson alapuló mintavételi eljárásai és tervei ETO
A megbízhatósági vizsgálatok mintavételi terveinek elkészítésekor a legfontosabb tényező az alkatrészek tényleges működés (általában működési idő) elosz lásának ismerete. Ennek alapján válik lehetővé a megfelelő mintavételi eljárások megválasztása és a tervek elkészítése. Jelen cikk szerzői exponenciális eloszlás esetében m á r t á r g y a l t á k a mintavételi eljá r á s o k a t és terveket [ 1 , 2 ] . A vizsgálatok eredményei nek értékelésénél azonban igen gyakran alkalmazzák a Weibull-eloszlást. Ennek oka az, hogy alkatrész vizsgálatokhoz sokszor a Weibull-, míg készülékek vizsgálatához az exponenciális eloszlás ad jobb köze lítést. A dolgozat a Weibull-eloszláson alapuló m i n t a v é teli tervekkel kapcsolatos matematikai meggondolá sokat ismerteti és gyakorlati p é l d á k a t mutat be azok alkalmazására.
1. A Weibull-eloszlás általános jellemzői A Weibull-eloszlás h á r o m p a r a m é t e r e s alakját te kintjük, ez az eloszlásfüggvény a k ö v e t k e z ő :
F(f) =
-exp
(t- y y
51926: 62-192:
621.3.019.S
veket mégis erre a y=0 esetre adjuk meg. Ennek oka az, hogy ezekből a tervekből egyszerű eljárással kaphatjuk meg a y ^ O esetre v o n a t k o z ó terveket. A /? a l a k p a r a m é t e r értéke a sűrűségfüggvény alak j á t h a t á r o z z a meg. A Weibull-eloszlás sűrűségfügg vénye y = 0 esetben az ( l a ) képletből differenciálás sal h a t á r o z h a t ó meg (általános esetben hasonló k é p p e n az ( l a ) képletből n y e r h e t ő ) :
/(f)=F'(0 =
Hí
, ha í s O
exp
r]\rj
(2)
, ha f < 0 .
0 Ha akkor f(t) monoton csökkenő függvény, ha (i = \, akkor az exponenciális eloszlást kapjuk, ha akkor a sűrűségfüggvénynek m a x i m u m helye van. Az 1. á b r a / ? = % , 1 és 2 értékekre adja meg a Weibull-eloszlás sűrűségfüggvényét, — 1 és y = 0 esetén. A Weibull-eloszlás esetében a meghibásodási ráta (tényező) időfüggvénye a következő (y = 0 ) :
m
, ha fsO
0
, ha í < 0 .
l-l
Hf\-
ha U
í ( t )
-
(1)
(3)
ha t < y. F(i) megadja a í tényleges m ű k ö d é s alatti meghibá sodási valószínűséget (a selejtarányt). A z (1) k é p letben o o O az ú n . skálaparaméter, /9>-0 az alakp a r a m é t e r , y & 0 a h e l y p a r a m é t e r . A gyakorlati számítások megkönnyítése céljából célszerű (l)-ben j_
az iq = ofi helyettesítést alkalmazni, ekkor az ( ^ k é p let a következő alakú lesz: F(ty.
•exp
i-m-
ha í S y ,
(la)
ha í < v .
A y h e l y p a r a m é t e r a gyakorlati alkalmazásoknak csak kis részében egyenlő 0-val, a m i n t a v é t e l i ter
J
0,2
0,t,
0,6
0,8
i0
1,2
it
4,6
4,8 2,0 Z2 t [1000 óra] mm-m 1. ábra. W e i b u l l - e l o s z l á s s ű r ű s é g f ü g g v é n y e § = %, 1 é s 2 é r t é kekre
1
HÍRADÁSTECHNIKA X X I V . ÉVF. 1. SZ.
H a fi
1 , akkor A(í) monoton növekvő függvény. A 2. á b r a fi— %, 1 és 2 értékekre adja meg a A(í) függ v é n y t r? = l és y = 0 esetén. Weibull-eloszlás esetében a várható tényleges mű ködés y — 0 értékre a k ö v e t k e z ő : lt=E(T)
= jtKt)dt = jd\^ o
exp
o
-•44
A z előzőekben vázolt mintavételi eljárás hasonló a minősítéses mintavételi eljáráshoz [ 3 ] . A minősítéses mintavételi eljárásnál a tétel p selejtarányának el lenőrzése a feladat, e s e t ü n k b e n azonban a v á r h a t ó (átlagos) tényleges működésé, illetve a meghibásodási r á t á é . A következőkben megmutatjuk, hogyan függ össze a t e r m é k e k t tényleges m ű k ö d é s alatti meghibá sodási valószínűsége (selejtaránya) az átlagos t é n y leges működéssel, illetve a meghibásodási r á t á v a l . Az összefüggések alapján ezekre a jellemzőkre vo n a t k o z ó mintavételi tervek visszavezethetők a m i nősítéses mintavételi tervekre.
(4) 3. A megbízhatóságvizscjálati mintavételi tervek visszavezetése a minősítéses mintavételi tervekre 3.1 Áz átlagos tényleges működés ellenőrzésére tervek
szolgáló
Legyen feltételeink szerint a fi a l a k p a r a m é t e r is mert és y = 0. Ekkor az ( l a ) képletben elvégezve a (4) képletből szármázó r)=-
r U+ 0
2.
0,2
ábra.
Ofi
0,6
0,8
iO
1,2
1A
1,6
Weibull-eloszlás meghibásodási j S = i / , 1 és 2 é r t é k e k r e
1,8 2,0 2,2 t [1000 óra] wm-Bt. ráta
helyettesítést kapjuk, hogy
függvénye
p = F(0=l-exp{-[lr(l ^)J].
2
2. A mintavételi eljárások leírása
+
Mindkét esetben fi-t ismertnek tételezzük fel. A mintavételi eljárás lépései m i n d k é t esetben azo nosak: a) K i v á l a s z t u n k a tételből egy n elemű m i n t á t . b) A m i n t á n előre megadott t ideig végezzük el a tényleges m ű k ö d é s vizsgálatát. A d o t t esetben a vizsgálat nemcsak a tartammal, hanem m á s k é n t is elő lehet írva (pl. ciklusokkal). c) Megfigyeljük a f-ig b e k ö v e t k e z e t t meghibáso dások r s z á m á t . d) A t é t e l t átvesszük, ha r á c (c előre megadott átvételi szám), a t é t e l t visszautasítjuk, ha r>c. Megjegyzések: a) n és c értéke az átvételi és visszautasítási koc k á z a t t ó l függ. Ezt k é s ő b b t á r g y a l j u k részlete sen.b) A vizsgálat tartama rövidebb, mint í abban az esetben, ha a ( c + l ) - e d i k meghibásodás t előtt fordul elő.
2
(5)
Az (5) képletből átalakítással és logaritmikus transz formációval kapjuk, hogy
A következőkben t á r g y a l a n d ó mintavételi eljárá sok k é t csoportra o s z t h a t ó k : — a v á r h a t ó tényleges működésre vonatkozó k ö vetelmény ellenőrzésére szolgáló eljárás, — a meghibásodási r á t á r a vonatkozó követel m é n y ellenőrzésére irányuló eljárás.
:
(6)
r[-in i-,)fr(i4 (
í g y közvetlen összefüggést kaptunk ismert fi ese t é n - és p között, azaz a vizsgálat tartama (t) és a v á r h a t ó (átlagos) tényleges m ű k ö d é s (fi) hányadosa, valamint a p selejtarány között. Ennek megfelelően, ha
t-t
és p,-t előírjuk, akkor —höz egyértelműen
tartozik a (6) összefüggés alapján egy p érték és for dítva, ha p ismert, akkor m e g h a t á r o z h a t ó - értéke. Az 1. és 2. t á b l á z a t o k b a n ismertetjük / ? = - , 1 és t
2 értékekre p és - X l O O összefüggését. Az 1. t á b l á ja zatban p %-ban megadott értékének
függvényében
adjuk meg - X l O O értékét. A 2. t á b l á z a t b a n pedig - X l O O függvényében közöljük p%-os fi
értékét.
Jelölje N a tétel d a r a b s z á m á t és n a mintanagy ságot (n
BALOGH A.—DR. DÜKÁTI F . : MEGBÍZHATÓSÁGI VIZSGÁLATOK p %-os értékei f/,ttx 100 f ü g g v é n y é b e n , p *= y , 1 é s 2 értékeire
tjfi x 100 p%-nak a f ü g g v é n y é b e n , 1 P = —, 1 é s 2 é r t é k e k r e
táblázat
1
%
0,010 0,010 0,015 0,020 0,025
1,13 1,24 1,38 1,59 1,78
0,030 0,040 0,050 0,065 0,080
0,030 0,040 0,050 0,065 0,080
1,95 2,26 2,53 2,88 3,19
0,100 0,12 0,15 0,20 0,25
0,10 0,12 0,15 0,20 0,25
3,57 3,92 4,37 5,07 5,64
0,30 0,40 0,50 0,65 0,80
0,001 0,002 0,003
0,30 0,40 0,50 0,65 0,80
6,18 7,14 7,99 9,12 10,11
1,00 1,2 1,5 2,0 2,5
0,005 0,007 0,011 0,020 0,032
1,01 1,21 1,51 2,02 2,53
11,31 12,40 13,87 16,03 17,95
3,0 4,0 5,0 6,5 8,0
0,047 0,083 0,130 0,230 0,350
3,05 4,08 5,13 6,72 8,34
19,69 22,79 25,58 29,25 32,59
n és p p a r a m é t e r e k k e l , akkor az á t v é t e l P ( A ) való színűsége a k ö v e t k e z ő :
p(A)=íj$P (i-prk
k=0
•np_
(8)
«!
A különböző p értékekhez t a r t o z ó P(A) átvételi valószínűségek a Poisson- vagy a binomiális eloszlás táblázataiból h a t á r o z h a t ó k meg. A mintavételi eljárás jelleggörbéjének m e g h a t á r o zására a következőben egy példát i s m e r t e t ü n k . Az OC jelleggörbe, mint ismeretes, megadja a különböző fi átlagos tényleges működésekhez t a r t o z ó átvételi valószínűségeket. 1. Példa T e g y ü k fel, hogy p átvételi értéke 2,5%, valamint olyan mintavételi tervet v á l a s z t u n k k i a minősítéses
0,010 0,012 0,015 0,020 0,025
1,40 1,54 1,72 1,98 2,21
0,010 0,012 0,015 0,020 0,025
0,030 0,040 0,050 0,065 0,080
2,42 2,79 3,11 3,54 3,92
0,030 0,040 0,050 0,065 0,080
0,100 0,12 0,15 0,20 0,25
4,37 4,78 5,33 6,13 6,83
0,10 0,12 0,15 0,20 0,25
0,30 0,40 0,50 0,65 0,80
7,45 8,56 9,52 10,78 11,88
0,30 0,40 0,50 0,65 0,80
1,00 1,2 1,5 2,0 2,5
13,19 14,35 15,90 18,13 20,04
3,0 4,0 5,0 6,5 8,0
21,73 24,64 27,11 30,27 32,97
2,96 3,92 4,88 6,29 7,69
0,071 0,13 0,20 0,33 0,50
10,0 12 15 20 25
36,06 38,73 42,17 46,87 50,69
9,52 11,31 13,93 18,13 22,12
0,78 1,12 1,75 3,09 4,79
53,91 59,12 63,21 68,02 71,77 75,69
25,92 32,97 39,35 47,80 55,07 63,21
6,82 11,81 17,83 28,24 39,51 54,41
30 40 50 65 80 100
(7)
A (7) képlet által adott P(A) átvételi valószínűség megadja annak valószínűségét, hogy a meghibáso dások száma kisebb, mint c vagy azzal egyenlő. H a a m i n t a d a r a b s z á m viszonylag nagy és p v i szonylag kicsiny, akkor az átvételi valószínűség k i számításakor közelítésként a Poisson-eloszlást alkal mazhatjuk:
P ( A ) = i t « -
2
1 2
0,010 0,012 0,015 0,020 0,025
táblázat
fi alakparaméter
i6 alakparaméter p%
2.
2
1.
-
1,00 1,19 1,49 1,98 2,47
0,001 0,002 0,003 0,005 .:
0,008 0,011 0,018 0,31 0,49
m i n t a v é t e l i t á b l á z a t b ó l , amelyre n = 75, c = 4. T o v á b b á a vizsgálat tartama í = 1000 óra, az alkatrészek tényleges működéseloszlása pedig Weibull-eloszlást követ ismert /? = 2 és y = 0 p a r a m é t e r e k k e l . Az egyes p értékekhez t a r t o z ó P ( A ) átvételi való színűségek vagy a binomiális eloszlás t á b l á z a t á b ó l , vagy a Poisson-eloszlás t á b l á z a t á b ó l h a t á r o z h a t ó k meg. A 3. t á b l á z a t 1. és 2. oszlopában n é h á n y é r t é k e t sorolunk fel ezek közül. A 3. t á b l á z a t 3. oszlopában az egyes p értékekhez t a r t o z ó í/^XlOO értékeket l á t h a t j u k , amelyeket az 1. t á b l á z a t b ó l h a t á r o z t u n k meg ^ 2 - r e . E z u t á n a ~ X 1 0 0 képletből í = 1000 órára m e g h a t á r o z t u k fi értékét. Például p = 5% ese t é n - X 100 = 25,58, ezért í = 1 0 0 0 óra esetén a —
íoooxioo =
- ^ 5 8 -
Q Q n n =
3
9
0
0
, °
r a
3
HÍRADÁSTECHNIKA X X I V . ÉVF. 1. SZ.
3.2 Meghibásodási
A z OC görbe m e g s z e r k e s z t é s é h e z s z ü k s é g e s adatok fi = 2, rí = 75, c = 4, t = 1000 e s e t é n P(A)
p%
2 3 4 5 6,5 8 10 12 15
0,98 0,92 0,82 0,68 0,46 0,27 0,12 0,04 0,01
3.
ráta
ellenőrzésére
szolgáló
tervek
táblázat
lly-X 100
li (óra)
16,03 19,69 22,79 25,58 29,25 32,59 36,63 40,34 45,48
6250 5075 4400 3900 3400 3070 2730 2490 2200
Legyen ez esetben is /S ismert és y = 0. E k k o r a (3) egyenlet m i n d k é t oldalát í//3-val megszorozva kapjuk, hogy
Ezt helyettesítsük be az ( l a ) képletbe, ekkor kapjuk, hogy tUt)
p = F(t) = í~e
e .
(10)
(10) azonos á t a l a k í t á s á v a l és logaritmizálásával a d ó dik, hogy íA(í)--/31n(l-p). (11)
2,0
3.0
4,0
5,0
6,0
W
80
(11) egyértelmű összefüggést ad íA(í) és p k ö z ö t t , is mert /? esetén. th(f) és p összefüggésére vonatkozik a 4. és 5. t á b l á z a t . A 4. t á b l á z a t *A(í)XlOO-at adja meg 1 4 p% függvényében P=^, 1, ^ és 2 értékekre, az 5. t á b l á z a t pedig a p%-ot tartalmazza fA(í)XlOO függ vényében ezekre a /? értékekre. A P{A) átvételi valószínűséget — a 3.1-ben ismer tetett eljáráshoz hasonlóan — a binomiális vagy a Poisson-eloszlás t á b l á z a t á b ó l kell meghatározni.
9,0 10,0 /J. [1000óra]
3. ábra. OC görbe az á t l a g o s t é n y l e g e s m ű k ö d é s f ü g g v é n y é b e n /3 = 2, f = 1000, n = 75 és c = 4 é r t é k e k r e
tX{t) x 100 p% f ü g g v é n y é b e n 4.
0 = y , 1, ÍVs és 2 é r t é k e k r e 2
A különböző p értékekhez t a r t o z ó ti értékeket a 3. t á b l á z a t utolsó oszlopában t ü n t e t j ü k fel. Ezek u t á n megszerkeszthető az OC görbe ix függvényében. í = 1 0 0 0 óra,. /3=2 értékek esetén, az OC görbe a 3. ábrán látható. A következő példa az átvételi szám (c) és a visszautasítási valószínűséghez t a r t o z ó ix érték m e g h a t á r o z á s á t mutatja be: 2.
Példa
Tételezzük fel, hogy ^ = 52 000 óra v á r h a t ó t é n y leges m ű k ö d é s t akarunk ellenőrizni í = 1 0 0 0 órás vizsgálattal, ismert [ $ = \ a l a k p a r a m é t e r - é r t é k
ese-
t é n , n = 150 db-os m i n t a n a g y s á g mellett. Legyen a ^ = 52 000 óra érték átvételi valószínűsége 0,95. Ekkor a c átvételi szám m e g h a t á r o z á s a a következő képpen történik: . / ... , 1000X100 A - X 1 0 0 érték — = l,93-dal egyenlő, az yti OÁ UUU ennek megfelelő p érték a 2. t á b l á z a t b ó l / J = ^ ese t é n k b . 18%. A binomiális eloszlás t á b l á z a t á b ó l a d ó dik, hogy a fenti értékek mellett a c átvételi szám 35. A visszautasítási átlagos tényleges m ű k ö d é s a következőképpen s z á m í t h a t ó k i : Legyen a visszautasítás P(V) valószínűsége 0,9, azaz az átvétel valószínűsége P(A)=0,1. Ekkor /? = 150 és c = 3 5 esetén />%28,4%. A 2. t á b l á z a t b ó l az ehhez t a r t o z ó — X 1 0 0 érték 5,7, így í = 1 0 0 0 óra esetén ^ = 1 7 500 óra. v
4
táblázat
j9 alakparaméter . p%
y
2
l
1
V„
2
0,010 0,012 0,015 0,020 0,025
0,005 0,006 0,007 0,010 0,012
0,010 0,012 0,015 0,020 0,025
0,013 0,016 0,020 0,027 0,033
0,020 0,024 0,030 0,040 0,050
0,030 0,040 0,050 0,065 0,080
0,015 0,020 0,025 0,032 0,040
0,030 0,040 0,050 0,065 0,080
0,040 0,053 0,067 0,087 0,107
0,060 0,080 0,100 0,130 0,160
0,100 0,12 0,15 0,20 0,25
0,050 0,060 0,075 0,100 0,125
0,100 0,120 0,150 0,200 0,250
0,133 0,160 0,200 0,266 0,333
0,200 0,240 0,300 0,400 0,500
0,30 0,40 0,50 0,65 0,80
0,150 0,201 0,251 0,326 0,402
0,300 0,401 0,501 0,652 0,803
0,400 0,535 0,668 0,869 1,071
0,600 0,802 1,002 1,304 1,606
1,00 1,2 1,5 2,0 2,5
0,503 0,604 0,756 1,010 1,266
1,005 1,207 1,511 2,020 2,532
1,340 1,609 2,015 2,693 3,376
2,010 2,414 3,022 4,040 5,064
3,0 4,0 5,0 6,5 8,0
1,523 2,041 2,565 3,360 4,169
3,046 4,082 5,129 6,721 8,338
4,061 5,443 6,839 8,961 11,117
6,092 8,164 10,258 13,442 16,676
10,0
5,268
10,536
14,048
21,072
BALOGH
A.—DR. DUKÁTI
F . : MEGBÍZHATÓSÁGI
p% f x / l ( í ) x 1 0 0 f ü g g v é n y é b e n , (S = y , 1, 1 1/3 é s 2 é r t é k e k r e
/x'.(oxioo
/S alakparaméter
y
2
1
l /,
2
1
0,010 0,012 0,015 0,020 0,025
0,020 0,024 0,030 0,040 0,050
0,010 0,012 0,015 0,020 0,025
0,008 0,009 0,011 0,015 0,019
0,005 0,006 0,008 0,010 0,013
0,030 0,040 0,050 0,065 0,080
0,060 0,080 0,100 0,130 0,160
0,030 0,040 0,050 0,065 0,080
0,022 0,030 0,038 0,049 0,060
0,015 0,020 0,025 0,032 0,040
0,100 0,12 0,15 0,20 0,25
0,200 0,240 0,300 0,400 0,499
0,100 0,120 0,150 0,200 0,250
0,075 0,090 0,112 0,150 0,187
0,050 0,060 0,075 0,100 0,125
0,30 0,40 0,50 0,65 0,80
0,598 0,797 0,995 1,292 1,587
0,300 0,399 0,499 0,648 0,797
0,225 0,300 0,374 0,481 0,598
0,150 0,200 0,250 0,324 0,399
1,00 1,2 1,5 2,0 2,5
1,980 2,371 2,955 3,921 4,877
0,995 1,193 1,489 1,980 2,469
0,747 0,896 1,119 1,489 1,858
0,499 0,598 0,747 0,995 1,242
3,0 4,0 5,0 6,5 8,0
5,824 7,688 9,516 ^12,190 14,786
2,955 3,921 4,877 6,293 7,688
2,225 2,955 3,681 4,758 5,824
1,489 1,980 2,469 3,198 3,921
10,0
18,127
9,516
7,226
4,877
P(A)
6.
M(0X100
0
táblázat
Hfi (KTVóra)
5
10
15
20
25
30
35
\H167-BDM
4. ábra.
OC "görbe a m e g h i b á s o d á s i r á t a f ü g g v é n y é b e n (8 = 2, í = 500, n = 115 é s c = 3 é r t é k e k r e
X(t) függvényében m e g h a t á r o z h a t j u k az OC jelleg görbét a fenti értékekre. A z ezeket az adatokat tar t a l m a z ó 6. t á b l á z a t összeállításának m ó d j á t a k ö vetkező s z á m p é l d á n szemléltetjük. p = 5%-os selejtarány átvételi valószínűsége 0,17, a p = 5% é r t é k n e k megfelelő fA(í)Xl00 szorzat értéke a 4. t á b l á z a t b ó l 10,258. E b b ő l f = 5 0 0 óra esetén A(500) = 2 0 , 5 2 X l O - / ó r a érték adódik. A 6. t á b l á z a t alapján megszerkesztett OC g ö r b é t /?=2, n = 115, c = 3 és f = 500 óra értékekre a 4. á b r á n l á t h a t j u k . Az előző p é l d á b a n y = 0 volt. H a y^O, akkor be vezetjük a t =t—y helyettesítést, e z u t á n f A(f )X 100-ra végezzük el az előzőekben részletezett számí t á s o k a t , majd a kapott értékből y hozzáadásával s z á r m a z t a t h a t j u k a feladat megoldását. Megjegy zendő, hogy ez az eljárás nemcsak a meghibásodási r á t a esetében, hanem a 3.1 pontban ismertetett v á r h a t ó tényleges m ű k ö d é s ellenőrzésekor is alkal m a z h a t ó . P é l d a k é n t t e k i n t s ü k a következő gyakor lati feladatot: s
0
4.
OC görbe m e g s z e r k e s z t é s é h e z s z ü k s é g e s adatok /? = 2, n = 115, c = 3, t = 500 e s e t é n
p%
P(A)
5. íáMózaí
2
VIZSGÁLATOK
0
0
Példa
4 Legyen /S=-^, y = 4 0 0 óra, a vizsgálat tartama o 1200 óra, X(t) átvételi értéke í = 1 2 0 0 óránál 4,4X X l 0 - / ó r a . Legyen a X (1200)=4,4 X l 0 - / ó r a érték átvételi valószínűsége: P ( A ) = 0,99. Legyen a visszautasítási meghibásodási r á t a értéke í = 1 2 0 0 óra tényleges m ű k ö d é s r e : A (1200) = 1,55 X l 0 ~ / > ~ nek az é r t é k n e k átvételi valószínűsége pedig 0,05, azaz a visszautasítási valószínűség P ( V ) = 0 , 9 5 . Első lépés a vizsgálati terv megszerkesztésénél a t =t-y = 1200-400 = 800 óra értékének kiszámí t á s a . A következő lépés í A(í )XlOO m e g h a t á r o z á s a mind az átvételi, mind a visszautasítási A(í ) é r t é k r e : 5
5
A
0,5 0,8 1,0 1,2 1,5 2,0 2,5 3,0 4,0 5,0 6,5 8,0
0,99 0,98 0,97 0,95 0,90 0,80 0,68 0,55 0,33 0,17 0,06 0,02
1,002 1,606 2,010 2,414 3,022 4,040 5,064 6,092 8,164 Í0,258 13,442 16,676
2,00 3,21 4,02 4,83 6,04 8,08 10,13 12,18 16,33 20,52 26,88 33,35
4
o r a
e n
v
0
0
0
0
t X(t ) X 1 0 0 = 8 0 0 X 4,4 X 1 0 - X 1 0 0 = 3 , 5 2 (12) 5
0
0
az átvételi A(í ) értékre, 0
Az eljárás illusztrálására szolgál a következő p é l d a :
f A(f )X100=800X 1 5 , 5 X 1 0 - X 1 0 0 = 1 2 , 4 (13) 5
0
3. Példa Legyen a m i n t a n a g y s á g n = 115, az átvételi szám c = 3, a vizsgálat tartama í = 5 0 0 óra, /?=2, y = 0. Először m e g h a t á r o z z u k az egyes p értékekhez tar tozó P(A) átvételi valószínűségeket. E z u t á n a 4. t á b l á z a t b ó l kikeressük az ehhez t a r t o z ó í/l(í)XlOO szorzatot, majd ebből kiszámítjuk értékét. í g y
0
a visszautasítási A(í ) értékre. Az 5. t á b l á z a t b ó l kapjuk, hogy p=2,6% a (12) k é p let esetében, valamint p = 8,9% a (13) képletre vo natkozóan. A Poisson- vagy a binomiális valószínűségeloszlási t á b l á z a t o k b ó l adódik, hogy erre a vizsgálati tervre n = 184, c = 10. 0
5
H Í R A D Á S T E C H N I K A X X I V . É V F . 1. S Z .
4. A mintavételi táblázatok és azok felhasználása
t á b l á z a t o t ) . A t á b l á z a t felhasználását illuztrálja a következő p é l d a :
4.1 A várható tényleges működés ellenőrzésére eljárás mintavételi táblázatai
5. Példa
szolgáló
A mintavételi t á b l á z a t o k fi különböző értékeire m e g a d j á k a n minimális m i n t a d a r a b s z á m o t - X l O O H függvényében, különböző c átvételi számokra. A t á b lázat adatai arra vonatkoznak, hogy a megfelelő —XlOO értékű tétel átvételének valószínűsége 0,1 vagy a n n á l kisebb, azaz ez az érték a visszautasítási átlagos tényleges működésre vonatkozik, mivel ez az érték biztosítja a vásárlót arról, hogy ilyen átlagos tényleges m ű k ö d é s ű t é t e l t csak kis valószínűséggel vesz á t . A t á b l á z a t o k b a n azonban zárójelben feltün t e t j ü k , hogy az adott m i n t a n a g y s á g esetén P(A) — = 0,95 valószínűséggel mekkora - X l O O , azaz ebből kiszámítva milyen \i átlagos tényleges m ű k ö d é s é r t é k kel s z á m o l h a t u n k átvételi é r t é k k é n t . P é l d a k é n t fi=Y -re adjuk meg a mintavételi t á b l á z a t o t (í. 7. 2
7.
táblázat
M i n t a v é t e l i t e r v / 3 = y - r e , a v á r h a tó t é n y l e g e s 2
m ű k ö d é s ellenőrzésére n mintadarabszám átvételi szám
í/MXlOO értéke, amelyre P(A)S0,1 50
0 1
2 3 ;
4 5
|
3 (0,02) 5 (0,32) 7 (0,94) 9 (1,7) 11 (2,5) 13 (3,3)
10
10 10 (0,07) 13 (0,24) 17 (0,40) 20 (0,60) 24 (0,75)
|
5
1
|
8 13 (0,04) 18 (0,12) 23 (0,21) 28 (0,30) 32 (0,40)
17 28 (0,01) 39 (0,02) 49 (0,04) 59 (0,06) 68 (0,08)
Legyen a tétel visszautasítási átlagos tényleges működése (f/ ) 4000 óra P(A) = 0,1 átvételi való színűséggel [P(V)=0,9], a tétel átvételi átlagos tényleges működése ( / i 9 ) pedig 25 000 óra P(A) = = 0,95 átvételi valószínűséggel. í=400 óra tényleges 0j1
0 >
működésre és
fi=\,
5
y = 0 értékekre kell m e g h a t á -
rozni az n m i n t a n a g y s á g o t és a c átvételi számot. Először kiszámítjuk ^„^XlOO értékét, ez a követ kező:
^ ^ Q Q Q ^
=
1Q- Hasonlóképpen kapjuk, hogy
—— X 1 0 0 = ^ ^ o ° = 1> 4
6
A
7. t á b l á z a t b a n ezek-
hez az értékekhez n = 43, c = l l tartozik. Ez azt je lenti, hogy 43 db-os m i n t á t kell megvizsgálni, és a még megengedett meghibásodások száma 11. H a a t á b l á z a t b a n nem áll rendelkezésre a - X l O O érték, fi akkor óvatosan a következő, kisebb hányadossal kell számolni. 4.2 Meghibásodási ráta ellenőrzésére vételi táblázatok
szolgáló
minta
A meghibásodási r á t a ellenőrzésére szolgáló minta vételi t á b l á z a t o k fA(r)XlOO értékekre adják meg n és c értékét P(A) = Q,1 átvételi valószínűséggel [P(V) = 0,9], valamint a m i n t a d a r a b s z á m alatt záró jelben szerepel az a íA(í)XlOO érték, amelyből k i s z á m í t h a t ó X(t) értéket ezen eljárás esetén P(A) = =0,95 valószínűséggel fogadunk el. A t á b l á z a t o k különböző fi értékekre vonatkoznak. P é l d a k é n t a /S = l és 2 értékekre v o n a t k o z ó t á b l á z a t o k a t ismer t e t j ü k (8. és 9. t á b l á z a t ) . A t á b l á z a t alkalmazását mutatja be a következő p é l d a : 6. Példa Legyen a í = 1000 ó r a tényleges működésre vo natkozó visszautasítási meghibásodási r á t a A (1000)= = 10- /óra, ekkor tX A (t)X100 = 1000X 10~ X100 = = 10, az átvételi meghibásodási r á t a 1000 óránál pedig A (1000) = 9 x l 0 - / ó r a , ekkor Í X M 0 X l O O = = 1000X9X10- X100 = 0,9. Ennek a k é t értéknek megfelelő m i n t a n a g y s á g fi = 2 érték esetén a 9. t á b lázatból n = 79, az átvételi szám pedig c = l . A fenti eljárás csak akkor alkalmazható, ha a / vizsgálati i d ő t a r t a m és az á tényleges működesérték, amelyre a meghibásodási r á t á t előírják, azonos. A b ban az esetben, ha ez a k é t érték különböző, akkor az előírt i d ő t a r t a m r a vonatkozó meghibásodási r á t á t á t kell számítani a vizsgálati i d ő t a r t a m r a . Ez az átszá m í t á s azon alapszik, hogy k é t különböző — t és f — i d ő p o n t b a n a meghibásodási r á t á k hányadosa (3) képletből a k ö v e t k e z ő : v
4
4
v
6 7 8 9 10
11 12 13 14 15
14 (4,7) 16 (5,3) 18 (6,0) 20 (6,4) 22 (6,8) 23 (8,0) 25 (8,8) 27 (9,0) 29 (9,2) 31 (9,4)
.
27 (0,94) 30 (1,1) 34 (1,2) 37 (1,4) 40 (1,5)
37 (0,46) 41 (0,55) 46 (0,61) 50 (0,73), 54 (0,78)
78 (0,10) 87 (0,11) 96 (0,13) 105 (0,14) 118 (0,15)
43 (1,6) 47 (1,7) 50 (1,9) 53 (2,0) 56 (2,2)
58 (0,83.) 66 (0,87) 70 (0,90) 75 (0,92) 79 (0,98)
126 (0,16) 135 (0,17) 144 (0,19) 153 (0,20) 162 (0,21)
M e g j e g y z é s : t//j,x 100 z á r ó j e l b e n szereplő é r t é k é r e P(A)
6
s0,95
6
A
6
2
x
Az átszámítás megkönnyítésére szolgál a 10. t á b lázat, i l l . az ennek megfelelő 5. á b r a , amelyek meg-
B A L O G H A.—DR. DUKÁTI F.: MEGBÍZHATÓSÁGI
8. M i n t a v é t e l i terv
VIZSGÁLATOK
táblázat
= l - r e a m e g h i b á s o d á s i r á t a ellenőrzésére
9. M i n t a v é t e l i terv /S = 2-re, a m e g h i b á s o d á s i r á t a n mintanagyság
n mintanagyság átvételi szám
0 1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
11 12 13 14 15
M(Í)X100 értéke, amelyre P ( A ) s O , l 50
5 (1,0) 9 (4,2) 12 (7,4) 15 (10) 19 (12) 22 (13)
5
10
24 (0,20) 40 (0,90) 55 (1,5) 69 (2,0) 82 (2,4) 96 (2,8)
átvételi szám
46 (0,11) 79 (0,45) 108 .. (0,76) 135 (1,0) 164 (1,2) 191 (1,4)
0
6
25 (15) 28 (16) 31 (17) 34 (18) 37 (19)
109 (3,0) 122 (3,3) 135 (3,5) 147 (3,7) 162 (3,9)
216 (1,5) 242 (1,7) 267 (1,8) 292 (1,9) 316 (2,0)
40 (20) 43 • (20) ' 45 (21) 48 (22) 51 (22)
175 (4,0) 187 (4,2) 200 (4,3) 212 (4,4) 224 (4,6)
341 (2,1) 365 (2,2) 389 (2,2) 413 (2,3) 437 (2,4)
M e g j e g y z é s : M ( í ) x l 0 0 z á r ó j e l b e n szereplő
táblázat
ellenőrzésére
értékére
Í > ( A ) B 0,95.
tH!)X 100 értéke, amelyre P(A)S0,1 50
1 2 3 4 5
7
8. 9 10
11 12 13 14 15
10
5
10 (1,0) 16 (4,5) 29 (7,5) 29 (10) 34 (12) 40 (13)
46 (0,22) 79 (0,90) 108 (1,5) 135 (2,0) 163 (2,4) 190 (2,7)
92 (0,11) 158 (0,44) 216 (0,75) 271 (1,0) 324 (1,2) 376 (1,4)
45 (15) 51 (16) 57 (17) 62 (19) 70 (18)
216 (3,0) 241 (3,3) 266 (3,5) 291 (3,7) 316 (3,0)
427 (1,5) 477 (1,6) 526 (1,7) 575
75 (19) 80 (20) 86 (20) 91 (21) 96 (22)
340 (4,1) 365 (4,2) 389 . (4,4) 413 (4,5) 437 (4,6)
M e g j e g y z é s : Ü(t)xl00 zárójelben P(A)sO,95.
szereplő
,
(1,9) 624 (1,9) 672 (2,0) 720 (2,1) 768 (2,2) 815 (2,2) 862 (2,3) értékére
10.
táblázat
M e g h i b á s o d á s i r á t á k h á n y a d o s a t,/^ f ü g g v é n y é b e n , k ü l ö n b ö z ő (í é r t é k e k r e . KhVKh) fl értékei
5.
ábra.
X(t0jUtj) h á n y a d o s tj/í, f ü g g v é n y é b e n P értékekre
különböző
1
1
2
3
2
3
1. '
i
L
3
2
1,25 0,862 1,50 0,763 1,75 • - 0,689 2,00 0,630
0,894 0,816 0,756 0,707
0,928 0,873 0,823 0,794
1,00 1,00 1,00 1,00
1,08 1,14 1,21 1,26
1,25 1,50 1,75 2,00
2,25 2,50 2,75 3,00
0,583 0,543 0,510 0,481
0,667 0,632 0,603 0,577
0,763 0,734 0,714 0,694
1,00 1,00 1,00 1,00
1,31 1,36 1,40 1,44
2,25 2,50 2,75 3,00
3,25 3,50 3,75 4,00
0,456 0,434 0,414 0,397
0,555 0,534 0,516 0,500
0,675 0,659 0,644 0,630
1,00 1,00 1,00 1,00
1,48 1,52 1,55 1,59
3,25 3,50 3,75 4,00
4,25 4,50 4,75 5,00
0,381 0,367 0,354 0,342
0,485 0,472 0,459 0,447
0,617 0,606 0,595 0,585
1,00 1,00 1,00 1,00
1,62 1,65 1,68 1,71
4,25 4,50 4,75 5,00
7
HÍRADÁSTECHNIKA
adják l(L^IX(t^ é r t é k é t különböző i^t és /? értékek re. A z á t s z á m í t á s r a a következő p é l d á t i s m e r t e t j ü k : x
7. Példa Olyan vizsgálati tervet készítünk, amelyben a meghibásodási r á t a visszautasítási értéke £ = 4 0 0 0 óra tényleges m ű k ö d é s r e : A (4000)=3,75 X 1 0 - / ó r a , P(A)=0,1 átvételi valószínűséggel. A vizsgálat tar tama azonban 1000 óra, értéke pedig 2, y = 0. E k k o r a (14) egyenletből £,=4000 és ^ = 1000, illetve ;.(/ ) = 3 , 7 5 X l O ~ / helyettesítéssel kapjuk, hogy 4
v
4
o r a
2
•
1 -
1. S Z .
(18)-ból adódik, hogy bármilyen eloszlásra alkalmaz h a t ó az átlagos meghibásodási r á t á n alapuló minta vételi tervek m e g h a t á r o z á s á r a a Weibull-eloszlás mintavételi t á b l á z a t a /?=1 esetén (1. (4) egyenlet és 8. t á b l á z a t ) . 8. Példa Legyen 1000 órás vizsgálatnál az átlagos meghi básodási r á t a Á (1000) visszautasítási értéke 1 0 / /óra, P(A) = 0,í átvételi valószínűséggel, a 1^(1000) átvételi átlagos meghibásodási r á t a pedig P ( A ) = = 0,95 valószínűséggel l,5XlO~ /óra. Ekkor a tX ^(í)XlOO szorzat az átvételi és visszautasítási á t lagos meghibásodási r á t á r a - 5
v
6
KQ _ 3 , 7 5 X 1 0 ~ _ 3,75 X 1 0 /í ^- /4000f4 * 4
X X I V . ÉVF.
4
1
2
ÍXA (1000)X100=10 X1,5X10- X10 =0,15, 3
%0,94xl0- /óra. 4
6
2
A
Ebből
és
t X X(t) X100=1000X 0,94X 10" X 100= 0,94 X 4
tX
X10=9,4. c = l átvételi szám esetére a 8. t á b l á z a t b ó l a d ó dik, hogy az n m i n t a d a r a b s z á m 79.
M 1 0 0 0 )
X100=10 x io- X10 =1,0. 3
5
2
í g y a 8. t á b l á z a t b ó l kapjuk, hogy ezen feltételek nek c = 2 átvételi szám és /? = 533 m i n t a d a r a b s z á m felel meg.
5. Átlagos meghibásodási r á t a tervek A t tényleges működésre v o n a t k o z ó átlagos meghi básodási r á t a J(t) a k ö v e t k e z ő : t
X(f)=jJ\x)dx=^,
(15)
o
ahol
t
A(t)=jX(x)dx.
(16)
o
6. Következtetések A dolgozatban ismertetett, Weibull-eloszláson alapuló mintavételi tervek és eljárások lehetővé te szik a t e r m é k e k egységes megbízhatósági ellenőrzé sét és minősítését. Ezeknek az eljárásoknak szabvá nyosítása — hasonlóan az exponenciális eloszláson alapuló eljárások szabványosításához — szintén szükséges a t e r m é k e k megbízhatósági adatainak egységes módszerrel t ö r t é n ő meghatározása céljá ból.
Megjegyzés: Eltolásos eloszlás esetében az integrálás alsó ha tára y»0. Figyelembe véve, hogy a meghibásodás valószínű sége b á r m e l y tényleges működéseloszlás esetében: / -/A(x)dx
F(t)=l-e p = F(t)
helyettesítéssel
*
-iM.0
=l-e kapjuk,
f!(0=-m(l-p).
8
,
(17)
hogy
(18)
I R O D A L O M [1] Balogh A . — d r . Dukáti F.: É l e t t a r t a m - ós m e g b í z h a t ó s á g i v i z s g á l a t o k m i n t a v é t e l i eljárásai é s tervei. Minőség é s M e g b í z h a t ó s á g , 1971. febr. [2] Balogh A.—dr. Dukáti F.: É l e t t a r t a m - és m e g b í z h a t ó s á g i v i z s g á l a t o k e x p o n e n c i á l i s eloszláson a l a p u l ó szekven ciális m i n t a v é t e l i eljárásai é s tervei. H í r a d á s t e c h n i k a , 1972. j a n . 13] MSZ 278—55. sz. s z a b v á n y . T ö m e g c i k k e k matematikai statisztikai m i n ő s í t é s e .
