Dynamika soustavy hmotných bodů. Posuvný a rotační pohyb tělesa

Dynamika II, 2. přednáška

Dynamika soustavy hmotných bodů. Posuvný a rotační pohyb tělesa. Dynamika soustavy hmotných bodů, - střed hmotnosti, - základní věty dynamiky soustavy hmotných bodů. Posuvný pohyb - kinematika a dynamika. Rotační pohyb - kinematika a dynamika.

Dynamika soustavy hmotných bodů

G1, G2, G3 N1, N2

m3 S31 S13 G1 m1

S32 G3

S12

T1

pohyb

T1, T2 S12, S21, S13, S31, S23, S32

S23 S21


G2 m2

r r Sij = −S ji

T2

síly vnější Gi, Ni, Ti,

N2

externí

N1

interní

síly vnitřní Sij

síly akční Gi, S13, S31, S23, S32

síly pracovní Gi, Ti, S13, S31, S23, S32

jsou síly reakční Ni, Ti, S12, S21 spojeny

síly nepracovní N1, N2, S12, S21

s vazbou



d’Alembertův princip

m3 D3

a3

Sji G3

Sij D1

m1

a1

D2

G1 T1

r r D = −m ⋅ a

m2 a2 G2

T2

Aplikace d’Alembertova principu v dynamice soustavy hmotných bodů se nijak neliší od aplikace v dynamice hmotného bodu. Každému bodu přiřadíme d’Alembertovu sílu velikosti D=m·a, proti směru zrychlení. Pak sestavíme rovnice pseudostatické rovnováhy.

r r r ∑ Fi + ∑ Di = 0

N2

yVnitřní síly Sij = -Sji (na schématu zelené) jsou vždy v páru a navzájem se vyruší, v součtu pak zůstávají vnější (externí) síly. r rE r

∑F

Samozřejmě musí být splněny i momentové rovnice rovnováhy.

i

+ ∑ Di = 0

r r rE r r ∑ ri × F i + ∑ ri × Di = 0

Dynamika soustavy hmotných bodů m3

střed hmotnosti soustavy hmotných bodů

r r r r m1 ⋅ r1 + m 2 ⋅ r2 + m 3 ⋅ r3 = rS = m1 + m 2 + m 3

S m1

r r1

m2

r r3

r rS

r r2 polohový vektor

y x


r ∑ m i ⋅ ri

∑m

mC = ∑ mi xS

m ∑ =

yS = zS =

i

⋅ xi

mC ∑ mi ⋅ yi mC ∑ mi ⋅ zi mC

i

Dynamika soustavy hmotných bodů m3


střed hmotnosti soustavy hmotných bodů

r r r r m1 ⋅ r1 + m 2 ⋅ r2 + m 3 ⋅ r3 = rS = m1 + m 2 + m 3

r ∑ m i ⋅ ri

∑m

i

Střed hmotnosti svou definicí připomíná jiný S důležitý bod - těžiště. To je definováno jako působiště výslednice m1 m2 tíhových sil a ve výrazech pro souřadnice těžiště je tedy navíc gravitační zrychlení g. Pokud je gravitační zrychlení ve všech bodech stejné, můžeme je v čitateli i ve jmenovateli r r r r r1 r3 rS r2 vytknout a následně vykrátit. Výrazy pro souřadnice středu hmotnosti polohový vektor a těžiště jsou pak shodné. V tomto učebním textu Ve velkém prostoru, V malém prostoru (ve srovnání bude implicitně v němž je gravitační zrychlení s rozměry Země), v němž lze uvažován malý v každém bodě jiné, gravitační zrychlení pokládat prostor, jsou těžiště a střed hmotnosti za neměnné (jak co do velikosti, v němž oba tyto body dva různé body. tak co do směru), střed hmotnosti splývají v jeden. a těžiště splývají v jeden bod.



r rS = G3 F1

pohyb

m2 G2

G1 T1

T2 N1

á ru p v vě d né y a d v ž o v t ien sou r j o y l ě í r r rI čn ís a n I p ř t o i F ij + F ji = 0 vn lké, e v ě stejn

mC

r& r& & & m C ⋅ rS = ∑ m i ⋅ ri

S F2

m1

r ∑ m i ⋅ ri

r r mC ⋅ a S = ∑ mi ⋅ a i

r rE rI r m i ⋅ a i = ∑ Fj = ∑ F j + ∑ F j

N2

r ∑ mi ⋅ a i = ∑

Střed hmotnosti se pohybuje tak, jakoby v něm byla soustředěna hmotnost a působily na něj vnější síly.

interní - vnitřní síly

věta o pohybu středu hmotnosti

m3

externí - vnější síly

F3

(

součet sil na jednom bodu =0

rE rI rI ∑ F + ∑ F ij + ∑ F ji

součet sil přes všechny body

rE r mC ⋅ aS = ∑ F i

)

Dynamika soustavy hmotných bodů F3


věta o změně hybnosti soustavy hmotných bodů

m3

r rS = G3 F1

pohyb

m2 G2

G1 T1

T2 N1

mC

r& r& m C ⋅ rS = ∑ m i ⋅ ri

S F2

m1

r ∑ m i ⋅ ri

N2

V součtu přes všechny body se impulsy párových (stejně velkých, opačně orientovaných) vnitřních sil navzájem odečtou. r

r r m C ⋅ vS = ∑ m i ⋅ v i r r Δ (m C ⋅ v S ) = ∑ Δ (m i ⋅ v i ) r r Δp S = ∑ Δp i t r t r r Δp i = ∫ F E ⋅ dt + ∫ F I ⋅ dt

r pS = m C ⋅ vS

Změna hybnosti soustavy hmotných bodů je rovna impulsu vnějších sil.

0

t r r Δp S = ∫ F E ⋅ dt 0

0


m3

věta o změně momentu hybnosti soustavy hmotných bodů

r r r L P _ i = ri × p i

r r LP = ∑ LP _i

G3 F1

S F2 pohyb

m1

m2 G2

G1 T1

r r1

r rS

y P

x

r r2


0

r r r rE ΔL P = L P _1 − L P _ 0 = ∑ IM r r r r L P = rS × m ⋅ vS + LS

T2 N2

r L rP r rrS × m ⋅ vS LS

t r r IM = ∫ M ( t ) ⋅ dt

- moment hybnosti k počátku P, - moment hybnosti středu hmotnosti k počátku P, - moment hybnosti bodů ke středu hmotnosti S.

Změna momentu hybnosti soustavy hmotných bodů je rovna impulsu momentu vnějších sil.



m3

Sji

F1 m1

věta o změně kinetické energie soustavy hmotných bodů

E K = ∑ 12 ⋅ m i ⋅ v i

Δr3

(

S F2 Δr1

m2 Δr2

G1 T1

)

ΔE K = ∑ Δ 12 ⋅ m i ⋅ v i = ∑ ΔE Ki

G3

Sij

2

G2 T2

N1

N2

E K = ⋅ m C ⋅ vS

ΔE Ki

r r = A = ∑ Fi ⋅ Δ ri

ΔE Ki

rE r rI r = ∑ F i ⋅ Δ ri + ∑ F i ⋅ Δ ri

rE r rI r ΔE K = ∑ F i ⋅ Δ ri + ∑ F i ⋅ Δ ri

Narozdíl od impulsu, práce vnitřních sil se navzájem neodečtou - každá síla působí na jiné dráze. 1 2

2

2

r r ΔE K = A = ∑ Fi ⋅ Δ ri

Změna kinetické energie je rovna práci všech sil (vnějších i vnitřních).



m3

Sji

F1 m1

věta o změně kinetické energie soustavy hmotných bodů

(

Sij

S F2 Δr1

m2 Δr2 G2 T2

N1

2

)

ΔE K = ∑ Δ 12 ⋅ m i ⋅ v i = ∑ ΔE Ki

G3

G1 T1

E K = ∑ 12 ⋅ m i ⋅ v i

Δr3

2

ΔE Ki

r r = A = ∑ Fi ⋅ Δ ri

ΔE Ki

rE r rI r = ∑ F i ⋅ Δ ri + ∑ F i ⋅ Δ ri

N2

Kinetickou energii soustavy hmotných bodů lze (podobně jako moment hybnosti) vyjádřit jako součet kinetické energie hmotnosti celé soustavy, soustředěné do středu hmotnosti, a kinetické energie rotace hmotných bodů okolo středu hmotnosti. Tato teze bývá obvykle označována jako tzv. Königova věta. S postupem vyšetřování pohybu rozkladem na posuv ve směru pohybu jistého zvoleného bodu a rotaci okolo tohoto bodu se seznámíme později. Nazveme jej základní rozklad.

Pohyb tělesa posuvný pohyb rotační pohyb obecný rovinný pohyb posuvný pohyb sférický pohyb šroubový pohyb obecný prostorový pohyb

rovinný pohyb : Všechny body tělesa se pohybují v navzájem rovnoběžných rovinách.

prostorový pohyb


Pohyb tělesa posuvný pohyb


Žádná přímka tělesa nemění svůj směr.

Pohyb tělesa


Jedna přímka tělesa nemění svou polohu. rotační pohyb

Pohyb tělesa

obecný rovinný pohyb


Pohyb tělesa


Žádná přímka tělesa nemění svůj směr.

posuvný pohyb

Pohyb tělesa


Jeden bod tělesa nemění svou polohu.

sférický pohyb

Pohyb tělesa


Jeden bod tělesa nemění svou polohu.

sférický pohyb


Pohyb tělesa

Těleso rotuje okolo osy a současně se posouvá ve směru této osy.

rotace

šroubový pohyb

posuv

Pohyb tělesa

obecný prostorový pohyb


Pohyb tělesa


rovinný pohyb

obecný rovinný pohyb posuvný pohyb sférický pohyb šroubový pohyb obecný prostorový pohyb

prostorový pohyb

Ja k ý je je koliv p den ohy b z tě chto tělesa 6 ty pů p ohy bu

rotační pohyb

.

posuvný pohyb


Posuvný pohyb. Žádná přímka tělesa nemění svůj směr. 1, 2, 3 stupně volnosti y η

x,y,z - pevný (nehybný) souřadný systém; počátek P

A

Ω

P ζ

ξ x

z

ξ,η,ζ - tělesový souřadný systém - pevně spojený s tělesem; počátek Ω ξ//x, η//y, ζ//z A - běžný bod tělesa


Posuvný pohyb. Žádná přímka tělesa nemění svůj směr. 1, 2, 3 stupně volnosti y r r r rA = rΩ + rAΩ η

r rA

P

r rΩ ζ

rA - polohový vektor bodu A vůči xyz

A r rAΩ Ω ξ x

z

rΩ - polohový vektor bodu Ω vůči xyz, poloha tělesa v prostoru rAΩ - polohový vektor bodu A vůči ξηζ, poloha bodu A uvnitř tělesa



P

r rA r rΩ ζ

z

derivace podle času r r r r v A = r&A = r&Ω + r&AΩ r r& rAΩ = 0 r r vA = vΩ

A

r rAΩ Ω ξ

Polohový vektor rAΩ má velikost a směr. x Velikost je konstantní s ohledem na nedeformovatelnost tělesa - těleso se nemůže protáhnout, platí vždy (pro absolutně tuhé těleso). Směr je konstantní s ohledem na definici posuvného pohybu - platí pouze pro posuvný pohyb.



P

r rA r rΩ ζ

derivace podle času r r r r v A = r&A = r&Ω + r&AΩ r r& rAΩ = 0 r r vA = vΩ

A

r rAΩ Ω ξ x

z

derivace podle času r r r r a A = v& A = v& Ω = a Ω r r aA = aΩ

Všechny body se pohybují po stejné trajektorii, stejnou rychlostí, se stejným zrychlením.

Posuvný pohyb. Žádná přímka tělesa nemění svůj směr.


Pohyb posuvný přímočarý.




Pohyb posuvný kruhový.

R




Pohyb posuvný cykloidní.


Posuvný pohyb - dynamika. r r m ⋅ a = ∑ Fi Pohybová rovnice posuvného pohybu tělesa je shodná s pohybovou rovnicí hmotného bodu. Všechny body tělesa mají stejné zrychlení.



Posuvný pohyb - dynamika.

r

r t ý . : b y D = − m ⋅ a áhy m musí vnováh v o n rov sobiště nice ro r r r m í c ů i v p n o Fi + D = 0 k rov různým entová r a k ám vu sil s om n z m o i P d’Alembertův princip má stejnou usta splněna o s o r ě p ejm ř podobu jako u hmotného bodu. z o sam

∑

dG dG dm

T dm dG

G

dD

D

dm dm dG

dm a

dD

a dm

dD

dD T dm

dm a

a

Vzniká otázka kde leží působiště d’Alembertovy síly.

Tíhová síla G je výslednicí nekonečně D’Alembertova síla D je výslednicí nekonečně mnoha elementárních tíhových sil dG. mnoha elementárních d’Alembertových sil dD. Elementární d’Alembertova síla dD=dm·a. Elementární tíhová síla dG=dm·g. Gravitační zrychlení g má ve všech bodech Zrychlení a má ve všech bodech stejnou velikost i směr. stejnou velikost i směr.


Posuvný pohyb - dynamika.

r

r t ý . : b y D = − m ⋅ a áhy m musí vnováh v o n rov sobiště nice ro r r r m í c ů i v p n o Fi + D = 0 k rov různým entová r a k ám vu sil s om n z m o i P d’Alembertův princip má stejnou usta splněna o s o r ě p ejm ř podobu jako u hmotného bodu. z o sam

∑

dG dG dm

T dm dG

G

dD

D

dm dm dG

dm a

dD

a dm

dD

dD T dm

dm a

a

Vzniká otázka kde leží působiště d’Alembertovy síly.

Z analogie mezi rozložením elementárních tíhových sil dG a elementárních d’Alembertových sil dD vyplývá : D’Alembertova síla D působí v těžišti. Správně působí ve středu hmotnosti. Je-li těleso malé (ve srovnání se Zemí), je gravitační zrychlení g ve všech bodech tělesa shodné. Střed hmotnost a těžiště pak splývají v jeden bod.


Posuvný pohyb - dynamika. r r b m ⋅ a = ∑ Fi A

pohybová rovnice

r r

b D

m

T

C

G

A

r T φ G

Za účelem sestavení (a následného řešení) pohybové rovnice lze těleso nahradit hmotným bodem ... kterýmkoliv - všechny body se pohybují po stejné trajektorii stejnou rychlostí a se stejným zrychlením.

m ⋅ r ⋅ ε = m ⋅ g ⋅ cos φ g ε = ⋅ cos φ r dω g ω⋅ = ⋅ cos φ dφ r g ω ⋅ dω = ⋅ cos φ ⋅ dφ r φ ω g g 2 ω ⋅ d ω = ⋅ cos φ ⋅ d φ ω = ω + 2 ⋅ ⋅ (sin φ − sin φ0 ) (φ ) 0 ∫ω0 ∫φ0 r r

φ

m

m ⋅ a t = G ⋅ cos φ

B

B

at

[

1 2

⋅ ω2

]

ω ω0

=

g φ ⋅ [sin φ]φ 0 r

v (φ ) = ω(φ ) ⋅ r = ω0 ⋅ r 2 + 2 ⋅ r ⋅ g ⋅ (sin φ − sin φ0 ) 2


Posuvný pohyb - dynamika. d’Alembertův princip Do těžiště zavedeme d’Alembertovu sílu tečnou a normálovou složku.

r r D = −m ⋅ a r r r ∑ Fi + D = 0

b A

B

r r

b D

m

T

C

A

G

B

D t = m ⋅ a t = m ⋅ g ⋅ cos φ SD

D n = m ⋅ a n = m ⋅ r ⋅ ω2 = g ⎡ 2 ⎤ = m ⋅ r ⋅ ⎢ω0 + 2 ⋅ ⋅ (sin φ − sin φ0 )⎥ r ⎣ ⎦ Ze tří rovnic rovnováhy vyřešíme : 1) pohybovou rovnici, 2) reakční síly.

∑F

xi

=0

g ε = ⋅ cos φ r

D

SC

Dt Dn

T

C

G

y x

∑F

yi

=0

SC = K

∑M

i

=0

SD = K


Posuvný pohyb - dynamika. r r b m ⋅ a = ∑ Fi A

B

r r

b D

m

r r D = −m ⋅ a r r r ∑ Fi + D = 0

T

C

G

Pro sestavení (a následné řešení) pohybové rovnice lze hmotu soustředit do jednoho bodu a řešit pohyb hmotného bodu. Pro řešení sil (nejčastěji reakcí) je třeba počítat s rozměry tělesa a uvažovat soustavu sil s různým působištěm. D’Alembertovu sílu pak zavádíme do těžiště.


Rotační pohyb. Jedna přímka tělesa nemění svou polohu (osa rotace). každý bod se pohybuje 1 stupeň volnosti o po kružnici o poloměru R φ úhel natočení dφ & úhlová rychlost φ ω= =φ ω, ε dt 2 ω φ && d d r r r ε = = ω = = φ úhlové zrychlení & ω, ε r 2 dt dt dω 1 d (ω2 ) ε = ω⋅ = ⋅ r dφ 2 dφ a r v s = φ⋅R r a r r r v = ω ⋅ R v = ω× r r polohový vektor R φ, ω, ε r r r v obvodová rychlost a = ε ⋅ R a t = ε× r t S at tečné zrychlení r r r a n = ω2 ⋅ R a n = ω × v an normálové zrychlení t

n


Rotační pohyb - dynamika. r r V dynamice nevystačíme s pohybovou rovnicí m ⋅ a = ∑ Fi hmotného bodu ! ω, ε d’Alembertův princip at m

S

r

an

dm dDn dDt

nahrazení silové soustavy

dD t = dm ⋅ a t = dm ⋅ r ⋅ ε dD n = dm ⋅ a n = dm ⋅ r ⋅ ω2

r r r D = ∫ (dD t + dD n )

M D = ∫ dD t ⋅ r = ∫ ε ⋅ r ⋅ dm ⋅ r

m Z tělesa vybereme hmotový element dm. Tomu přiřadíme tečné a normálové zrychlení at a an. M D = ε ⋅ r 2 ⋅ dm Zavedeme elementární d’Alembertovy síly dDt a dDn m (tečnou a normálovou). 2 I = r ⋅ dm Provedeme ekvivalentní nahrazení silové soustavy S m nekonečně mnoha elementárních d’Alembertových moment setrvačnosti [kg·m2] sil jednou silou a momentem.

∫

∫


Rotační pohyb - dynamika.

m - hmotnost tělesa IS - moment setrvačnosti ke středu rotace S ω - úhlová rychlost ε - úhlové zrychlení aTt - zrychlení těžiště, tečná složka aTn - zrychlení těžiště, normálová složka rT - vzdálenost těžiště od středu rotace

ω, ε

rT S

aTt aTn

Dn

T

m, IS MD

Dt

M D = IS ⋅ ε D t = m ⋅ a Tt = m ⋅ ε ⋅ rT D n = m ⋅ a Tn = m ⋅ ω ⋅ rT 2

doplňkový (d’Alembertův) moment MD působí proti směru úhlového zrychlení ε. doplňkové (d’Alembertovy) síly Dt a Dn působí proti směru zrychlení těžiště aTt a aTn.

výsledný silový účinek (působiště ve středu rotace !) výsledný momentový účinek


Rotační pohyb - dynamika. y

akční síly (zatížení) ω, ε

Rx S

reakce

Ry

doplňkové účinky Dn

MD

Dt

M D = IS ⋅ ε D t = m ⋅ a Tt = m ⋅ ε ⋅ rT D n = m ⋅ a Tn = m ⋅ ω2 ⋅ rT doplňková (d’Alembertova) síla - tečná a normálová složka doplňkový (d’Alembertův) moment

x

řešení reakcí z rovnic rovnováhy ∑ Fxi = 0 ⇒ R x = K včetně

∑F = 0 ∑M = 0 yi

⇒ Ry =K

Si

pohybová rovnice IS ⋅ ε = ∑ M Si

doplňkových sil !

neobsahuje reakce ani doplňkové síly

včetně doplňkového momentu neobsahuje doplňkový moment



akční síly (zatížení)

pohybová rovnice IS ⋅ ε = ∑ M Si

ω, ε S

IS

- moment setrvačnosti [kg·m2] - úhlové zrychlení [rad/s2]

ΣMSi

- součet momentů vnějších sil ke středu rotace [N·m]

ε



E K = 12 ⋅ m ⋅ v 2

ω v

m r S

dm

kinetická energie dE K = 12 ⋅ dm ⋅ v 2 = 12 ⋅ dm ⋅ (r ⋅ ω)

2

E K = ∫ 12 ⋅ dm ⋅ (r ⋅ ω) = 12 ⋅ ω2 ⋅ ∫ r 2 ⋅ dm 2

m

E K = 12 ⋅ IS ⋅ ω2 Z tělesa vybereme hmotový element dm. Tomu přiřadíme rychlost v a kinetickou energii dEK. Kinetickou energii tělesa určíme integrováním přes celé těleso.

m

I

moment S setrvačnosti

analogie mezi posuvným a rotačním pohybem

posuvný pohyb


rotační pohyb

Z porovnáním kinematiky a dynamiky posuvného a rotačního pohybu vyplývá analogie (podobnost) mezi oběma pohyby. Tato analogie spočívá v tom, že jednotlivým fyzikálním veličinám, vztahujícím se k posuvnému pohybu, odpovídají jiné veličiny, vztahující se k rotačnímu pohybu. Vztahy mezi nimi pak jsou shodné. Jestliže ve vztazích, týkajících se posuvného pohybu, nahradíme jedny veličiny druhými, dostaneme analogické vztahy, týkající se rotačního pohybu.


posuvný pohyb

rotační pohyb úhel

φ

[rad, °]

[m/s]

~ ~

úhlová rychlost

ω

[rad/s]

[m/s2]

~

úhlové zrychlení

ε

[rad/s2]

dráha

s, x, ...

[m, mm]

rychlost

v

zrychlení

a

v = s&


a = v& = &s& = v ⋅

dv ds

ω = φ&

dω & & ε=ω & = φ = ω⋅ dφ

příklad - rovnoměrně zrychlený pohyb

v = a ⋅ t + v0

~

ω = ε ⋅ t + ω0

s = 12 ⋅ a ⋅ t 2 + v 0 ⋅ t + s 0

~

φ = 12 ⋅ ε ⋅ t 2 + ω0 ⋅ t + φ0


posuvný pohyb síla

F, G, ...

hmotnost m

[N] [kg]


rotační pohyb

~ ~

moment síly M

[N·m]

moment setrvačnosti

[kg·m2]

I

pohybová rovnice

r r m ⋅ a = ∑ Fi

~

pohybová rovnice

I ⋅ ε = ∑ Mi

doplňková síla

r r D = −m ⋅ a

~

doplňkový moment

M D = −I ⋅ ε


posuvný pohyb hybnost hmoty impuls síly

r r p = m⋅v r tr I = ∫ F ⋅ dt 0

kinetická energie

E K = 12 ⋅ m ⋅ v 2

výkon

~ ~

[N·s]

změna hybnosti

práce

rotační pohyb

[kg·m/s]

r r r r Δp = p1 − p 0 = I

r r A = ∫ F ⋅ ds r r P = F⋅ v

změna kinetická energie


~

moment hybnosti impuls momentu

r r L = I ⋅ ω [kg·m2/s] t r r IM = ∫ M ⋅ dt [N·m·s] 0

r r r r ΔL = L1 − L 0 = IM

změna momentu hybnosti

~ kinetická

E K = 12 ⋅ I ⋅ ω2

[N·m]

~ práce

A = ∫ M ⋅ dφ [N·m]

[W]

~ výkon

P = M ⋅ω

[J]

energie

ΔE K = E K1 − E K 0 = A

[J]

[W]

[J ~ N·m]


geometrie hmot m

dm r


I = ∫ r 2 ⋅ dm m

S

tenká obruč

r = konst

I = ∫ r 2 ⋅ dm = r 2 ⋅ ∫ dm = m ⋅ r 2 m

m


geometrie hmot m


dm

I = ∫ r 2 ⋅ dm

r

m

S

m dm x

dx

l

prizmatická tyč rotující okolo osy, procházející koncem tyče

dm dx m = ⇒ dm = ⋅ dx l l m

I = ∫ x 2 ⋅ dm m l

I = ∫ x2 ⋅ 0

l

m m ⋅ dx = ⋅ ∫ x 2 ⋅ dx l l 0 l

m ⎡x ⎤ m l3 I = ⋅⎢ ⎥ = ⋅ l ⎣ 3 ⎦0 l 3 3

1 I = ⋅ m ⋅ l2 3


geometrie hmot m


dm

I = ∫ r 2 ⋅ dm

r

m

S

m dm x

l

I = ∫ x 2 ⋅ dm m

dx

I=

l/ 2

∫

−l / 2

prizmatická tyč rotující okolo osy, procházející středem tyče

x2 ⋅

dm dx m = ⇒ dm = ⋅ dx l l m l/ 2

m m ⋅ dx = ⋅ ∫ x 2 ⋅ dx l l −l / 2

l/ 2

m ⎡x ⎤ m 1 ⎡ l3 − l3 ⎤ m 1 l3 I = ⋅⎢ ⎥ = ⋅ ⋅⎢ − = ⋅ ⋅ ⎥ 8 ⎦ l 3 4 l ⎣ 3 ⎦ −l / 2 l 3 ⎣ 8 3

I=

1 ⋅ m ⋅ l2 12


geometrie hmot

moment setrvačnosti m

dr r

I = ∫ r 2 ⋅ dm m

dm = ρ ⋅ dV = ρ ⋅ dS ⋅ h = ρ ⋅ (2 ⋅ π ⋅ r ⋅ dr ) ⋅ h h

R

válec rotující okolo své osy

2·π·r dS

dr


geometrie hmot

moment setrvačnosti m

I = ∫ r 2 ⋅ dm

dr r

m

dm = ρ ⋅ dV = ρ ⋅ dS ⋅ h = ρ ⋅ (2 ⋅ π ⋅ r ⋅ dr ) ⋅ h h

R

válec rotující okolo své osy R

m m m ρ= = = V S⋅ h π ⋅ R2 ⋅ h m m dm = 2 r dr h 2 ⋅ ⋅ π ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ r ⋅ dr 2 2 π⋅R ⋅h R R

m m m I = ∫ r 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ r ⋅ dr = 2 ⋅ 2 ⋅ ∫ r 3 ⋅ dr = 2 ⋅ 2 R R 0 R 0 I=

1 ⋅m⋅R2 2

R

⎡r ⎤ m R4 ⋅⎢ ⎥ = 2⋅ 2 ⋅ R 4 ⎣ 4 ⎦0 4

geometrie hmot moment setrvačnosti k posunuté ose

I = ∫ r 2 ⋅ dm

m

m

dm

m

r S

α

e

rT T

rT·cos(α)

2

r 2 = rT + e 2 − 2 ⋅ rT ⋅ e ⋅ cos α e

Steinerova věta

I = IT + m ⋅ e2

IT - moment setrvačnosti k ose procházející těžištěm (těžištní osa), I - moment setrvačnosti k rovnoběžně posunuté ose.

(

)

IS = ∫ r ⋅ dm = ∫ rT + e 2 − 2 ⋅ rT ⋅ e ⋅ cos α ⋅ dm 2

2

m

m

IS = ∫ rT ⋅ dm + ∫ e 2 ⋅ dm − ∫ 2 ⋅ rT ⋅ e ⋅ cos α ⋅ dm 2

m

m

m

IS = ∫ rT ⋅ dm + e 2 ⋅ ∫ dm − 2 ⋅ e ⋅ ∫ rT ⋅ cos α ⋅ dm 2

m

m

IT

e2·m

m

=0


geometrie hmot

tenká obdélníková deska

tenká kruhová deska

IT = ⋅ m ⋅ r 1 4

r

2

z

y

m

m

b a

válec

kužel

(

I T _ z = 121 ⋅ m ⋅ a 2 + b 2 I T _ y = 121 ⋅ m ⋅ a 2 2 1 I = ⋅ m ⋅ b x T _ x 12 r m

)

koule

I T = 52 ⋅ m ⋅ r 2 jehlan

r m

a

(

I T = 14 ⋅ m ⋅ r 2 + 13 ⋅ a 2

)

m

m r I T = 103 ⋅ m ⋅ r 2

b a I T = 201 ⋅ m ⋅ a 2 + b 2

(

)

geometrie hmot firemní literatura


geometrie hmot firemní literatura


geometrie hmot


3D CAD modelování

PRINT MASS PROPERTIES ASSOCIATED WITH THE CURRENTLY SELECTED VOLUMES TOTAL NUMBER OF VOLUMES SELECTED = 1 (OUT OF 1 DEFINED) *********************************************** SUMMATION OF ALL SELECTED VOLUMES TOTAL VOLUME = 0.11537E+08 TOTAL MASS = 0.92296E-01 CENTER OF MASS: XC=-0.14674E-03 YC= 0.0000 ZC= 0.0000 *** MOMENTS OF INERTIA *** ABOUT ORIGIN ABOUT CENTER OF MASS PRINCIPAL IXX = 1752.3 1752.3 1752.3 IYY = 1752.3 1752.3 1752.3 IZZ = 3392.2 3392.2 3392.2 IXY = 0.55354E-03 0.55354E-03 IYZ = 0.46905E-04 0.46905E-04 IZX = -0.62350E-04 -0.62350E-04 PRINCIPAL ORIENTATION VECTORS (X,Y,Z): 0.993 -0.116 0.000 0.116 0.993 0.000 0.000 0.000 1.000 (THXY= -6.635 THYZ= 0.000 THZX= 0.000)


geometrie hmot I = 14 ⋅ GD 2 tenká obruč

φD

2 D I = m ⋅ r2 = m ⋅ 4


doplňkové účinky - prostorová silová soustava M

ω

ω

T

T

x

D t = ∫ dD t = ∫ ε ⋅ R ⋅ dm

dDn r

m

dDt

D n = ∫ dD n = ∫ ω2 ⋅ R ⋅ dm

R

ω, ε

ω y

z≡o

m

(

r r r r r r M D = ∫ r × dD = ∫ r × dD t + dD n nahrazení silové soustavy

)



ω

ω

T

T

D t = m ⋅ a Tt = m ⋅ ε ⋅ e

x x

φ

D n = m ⋅ a Tn = m ⋅ ω2 ⋅ e

MDx Dt rT a Tt

Dn φ y

y

MDz

T aTn

M Dx = D xz ⋅ ε − D yz ⋅ ω2

xT = e

M Dy = D yz ⋅ ε + D xz ⋅ ω2

ω, ε ω

MDy deviační momenty setrvačnosti

z≡o

M Dz = −I z ⋅ ε

D xz = ∫ x ⋅ z ⋅ dm m

D yz = ∫ y ⋅ z ⋅ dm m


ω

ω

T

T

x x

φ

φ y

y

∑ Fx = 0 ∑ Fy = 0 ∑ Fz = 0 ∑ Mx = 0 ∑ My = 0 ∑ Mz = 0 i

MDx Dn


Dt rT a Tt MDz

MDy R

6 rovnic rovnováhy

T aTn

i

xT = e ω, ε z≡o

ω

R

včetně Dn včetně Dt

i

i

včetně MDx

i

včetně MDy

i

včetně MDz


ω

ω

T

T

x x

φ

MDx Dn φ y

y

Dt rT a Tt MDz

MDy R


T aTn

xT = e ω, ε z≡o

ω

R

6 rovnic rovnováhy ... 5 reakcí + pohybová rovnice

∑ Fx = 0 ∑ Fy = 0 ∑ Fz = 0 ∑ Mx = 0 ∑ My = 0 ∑ Mz = 0 i

R Ax = ?

i

R Ay = ?

i

R Bx = ?

i

i

i

R By = ? R Bz = ? I ⋅ ε = ∑ Mi



ω

ω

T

T

těleso je staticky vyvážené dynamicky nevyvážené M

těleso je staticky vyvážené i dynamicky vyvážené

ω T

deviační momenty setrvačnosti

D xz = ∫ x ⋅ z ⋅ dm m

těleso je staticky nevyvážené i dynamicky nevyvážené

D yz = ∫ y ⋅ z ⋅ dm m


doplňkové účinky - prostorová silová soustava x

b

x m

b m

a

a T

-a

T -a

z

m -b těleso je staticky vyvážené dynamicky nevyvážené D xz = m ⋅ a ⋅ b + m ⋅ (− a ) ⋅ (− b ) = 2 ⋅ m ⋅ a ⋅ b

m b těleso je staticky vyvážené i dynamicky vyvážené D xz = m ⋅ a ⋅ b + m ⋅ (− a ) ⋅ b = 0 deviační momenty setrvačnosti

D xz = ∫ x ⋅ z ⋅ dm m

D yz = ∫ y ⋅ z ⋅ dm m

z


doplňkové účinky - prostorová silová soustava x

l

s

δ

D xz = ∫ x ⋅ z ⋅ dm

dm ds

m

z m

dm ds = l m D xz =

l/ 2

∫

dm =

x = s ⋅ sin δ z = s ⋅ cos δ

m ⋅ ds l

s ⋅ sin δ ⋅ s ⋅ cos δ ⋅

−l / 2

m ⋅ ds l

l/ 2

m D xz = ⋅ sin δ ⋅ cos δ ⋅ ∫ s 2 ⋅ ds l −l / 2

[ ]

D xz =

m ⋅ sin δ ⋅ cos δ ⋅ 13 ⋅ s 3 l

D xz =

m 3 3 ⋅ sin δ ⋅ cos δ ⋅ 13 ⋅ ( 12 ⋅ l ) − (− 12 ⋅ l ) l

D xz =

m ⋅ sin δ ⋅ cos δ ⋅ 13 ⋅ 18 ⋅ l 3 + 18 ⋅ l 3 l

l/ 2

−l / 2

[

[

D xz = 121 ⋅ m ⋅ sin δ ⋅ cos δ ⋅ l 2

]

]

Dynamika soustavy hmotných bodů. Posuvný a rotační pohyb tělesa

Recommend Documents