16
6 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ Pohyblivost mechanické soustavy charakterizujeme počtem stupňů volnosti. Je to číslo, které udává, kolika nezávislými parametry je určena poloha jednotlivých členů soustavy (v daném případě tedy hmotných bodů). Vazby mezi jednotlivými členy soustavy přitom omezují pohyblivost soustavy. Vzhledem k tomu, že poloha bodu je v prostoru určena 3 souřadnicemi, pak v prostoru pro počet stupňů n volnosti soustavy N vázaných bodů s m vazbami platí vztah n = 3N − m
(6.1)
Podobně pro rovinou soustavu bodových těles platí n = 2N − m
(6.2)
V případě pohybu bodových těles po přímce je počet stupňů volnosti n = N −m
(6.3)
Např. dvouhmotová soustava na obr. 6.1 má dva stupně volnosti, neboť její poloha je určena dvěma souřadnicemi s1, s2 (styk těles pružinami není vazba).
Obr. 6. 1
Síly působící v rámci sledované soustavy rozdělujeme na : Síly vnější............................ N1 , N 2 ,G 1 ,G 2 ,S1 ,T1 , T2 Síly vnitřní............................S, -S Síly akční............................... G 1 ,G 2 ,S1 ,S, - S Síly reakční........................... N1 , N 2 , T1 , T2 Síly pracovní.......................... G 1 ,G 2 ,S1 ,S, - S, T1 , T2 Síly nepracovní …………...... N1 , N 2 .
16
17 O tom, zda nějaká síla je silou vnější nebo vnitřní rozhodujeme až při formulaci problému. Např. pokud nás zajímá pohyb jen jednoho z těles (např. tělesa 2), je pro něj síla –S již silou vnější.
Pohybové rovnice pro soustavu vázaných hmotných bodů metodou uvolňování Pohybové rovnice soustavy hmotných bodů metodou uvolňování získáme tak, že jednotlivé body uvolníme ze soustavy. K rovnicím pohybovým pak připojíme rovnice další (kinematické, statické apod.) tak, aby souhlasil počet neznámých a počet rovnic. Příklad 6. 1 Sestavte pohybové rovnice dvouhmotové soustavy podle obr. 6.2 pohybující se pod vlivem tíhových sil v hladkých drážkách z počáteční vyčárkované polohy.
s2
A x
O
s1
N1 y
Obr. 6. 2
Řešení: Zavedeme polohové souřadnice obou bodů s1 a s2 a úhel φ charakterizující sklon spojovací tyče . V obecné poloze pro 1. hmotný bod platí G1 + N1 + S = m1a1 Podobně pro 2. hmotný bod G 2 + N 2 − S = m2a 2 Po rozepsání do os x, y dostáváme systém rovnic x: y:
− S cos ϕ + N1 = 0
(a)
m1 g − S sin ϕ = m1 ɺɺ s1
(b)
x: S cos ϕ = m2 ɺɺ s2
(c)
17
18 y:
− m2 g + N 2 − S sin ϕ = 0
(d)
Soustava má 10 volnosti, proměnné veličiny s1 ,s2 ,ϕ jsou svázány vztahy s12 + ( l − s2 )2 = l 2
(e)
l sin ϕ = s1
(f)
Máme tedy 6 rovnic pro 6 neznámých s1, s2, φ, S, N1, N2.
Hybnost a moment hybnosti soustavy hmotných bodů Tak jak byly definovány zákony zachování pro bodové těleso, platí i pro soustavu bodových těles. Výsledná hybnost H resp. výsledný moment hybnosti BO soustavy hmotných bodů k bodu O je rovna vektorovému součtu hybností hi resp. momentů hybností bOi jednotlivých bodů soustavy n
n
i =1
i=1
H = ∑ hi , B O = ∑ bO i .
(6.4)
dH =F . dt
(6.5)
dB O = MO , dt
(6.6)
kde M O je roven výslednému momentu všech působících vnějších sil. Pro soustavu hmotných bodů tedy platí podobně jako pro jeden hmotný bod impulsové věty: 1. impulsová věta-Časová změna celkové hybnosti soustavy hmotných bodů je rovna výslednici vnějších sil. Vnitřní síly nemají vliv na celkovou hybnost soustavy. 2. impulsová věta- Časová změna celkového momentu hybnosti soustavy hmotných bodů k libovolnému pevnému bodu je rovna výslednému vnějšímu momentu k témuž bodu. Obecně lze říci: Vět o změně hybnosti a momentu hybnosti použijeme tehdy, když půjde o určení závislosti rychlostí na konci nějakého děje, při kterém jsou působící síly konstantní nebo jejich závislost na čase je známá. Věty o hybnosti jsou vhodné pro vyšetřování dějů kdy odehrávající se pohyby jsou přímočaré (např. přímé srážky těles), věty o momentu hybnosti hlavně při existenci rotačních vazeb mezi tělesy těles (např. srážka 2 těles uchycených na laně). Pro pohyb těžiště soustavy hmotných bodů platí maT =
dH =F dt
(6.7)
Slovně tuto rovnici lze vyjádřit větou o pohybu středu soustavy hmotných bodů - střed hmotnosti soustavy bodových těles se pohybuje jako hmotné bodové těleso, ve kterém je soustředěna celá hmotnost soustavy a na nějž působí všechny vnější síly. Při interakci bodových těles často v některém směru nepůsobí žádné vnější síly– soustava je v daném směru izolovaná. Např. při srážce 2 těles pohybujících se v horizontální rovině je soustava při zanedbání tření izolovaná v libovolném horizontálním směru. Pak
18
19 během interakce je výsledný impuls vnějších sil roven nule a pro soustavu platí v daném směru zákon zachování hybnosti tj. H2=H1. Hmotný střed soustavy pak setrvává v klidu nebo se pohybuje v daném směru rovnoměrně přímočaře (věta o pohybu hmotného středu). Při srážkách těles se však často setkáváme s případy, že během srážky na sebe tělesa působí neznámými vnitřními silami a nastávají ztráty energie které neznáme (nepružné srážky). Pak pro určení rychlosti bodů po srážce nemůžeme použít zákon zachování energie. Pokud je však během srážky výsledný impuls popř. výsledný moment impulsu vnějších sil roven nule, můžeme použít zákon zachování hybnosti H2=H1 popř. zákon zachování momentu hybnosti BO2 = BO1 . Např. chceme určit hodnotu rychlosti v1 střely z výchylky zavěšené olověné desky po vstřelu náboje (viz obr. 6.3). Vzhledem k tomu, že deformační síly během vstřelu vykonají neznámou práci, tak pro děj vstřelu nemůžeme použít zákon zachování mechanické energie. Za předpokladu, že střelu i desku budeme považovat za bodová tělesa (tj. nehmotný závěs bude mít velkou délku l), pak pro případ vstřelu náboje horizontálním směrem můžeme na soustavu střela-deska použít zákon zachování momentu hybnosti. Pak pro okamžik bezprostředně po vstřelu platí pro hodnotu rychlost v koule se zabořenou střelou vztah
m1v1 = ( m1 + m2 )v ⇒ v =
m1v1 m1 + m2
Následnou aplikací zákona zachování mechanické energie pak již můžeme z výchylky β desky snadno zjistit hodnotu rychlosti střely.
V1
Obr. 6. 3
Příklad 6. 5 Dva železniční vagóny o hmotách m1, m2 se pohybují bez tření po přímé horizontální trati. Na prvním vagonu je uložen náklad n1, součinitel smykového tření mezi nákladem a plošinou vagonu je f. Určete a) jaká bude rychlost po nárazu, jestliže v1 > v2 a předpokládáme nepružnou srážku. (obr.6.4).
19
20
Obr. 6.4b
Obr. 6. 4a
Řešení: Po nepružném nárazu se budou spojené vagóny pohybovat rychlostí v Síly vzniklé při úderu vagónu o vagón jsou silami vnitřními. Ve směru pohybu je proto výslednice vnějších sil rovna nule. Tedy součet hybností po nárazu je roven hybnosti před nárazem: m1v1 + m2v2 = ( m1 + m2 ) v , kde v je společná rychlost po nárazu.
m1v1 + m2 v 2 m1 + m2 Poznámka1: Pro řešení úlohy nemůžeme použít zákona zachování mechanické energie , protože neznáme energii ztracenou při deformaci. Poznámka 2: V případě, že by na prvém vagónu byl volně uložen náklad n1, pak pro okamžik těsně po srážce (impuls třecích sil je vzhledem ke krátkosti děje zanedbatelný) platil vztah ( m1 + n1 ) v1 + ( m2 ) v2 v' = m1 + m2 v=
Pro rychlost obou vagónů v' ' po ukončení smýkání by pak platilo ( m1 + n1 ) v1 + m2 v2 v' ' = m1 + m2 + n1 Poznámka 3: Pokud bychom znali součinitel smykového tření f, pak bychom podle zákona o zachování mechanické energie mohli určit přemístění zavazadla ∆ x po povrchu prvého vagónu 2 1 1 1 ( m1 + m2 + n1 ) v'' + n1g f ∆ x = n1v12 + ( m1 + m2 ) v' 2 + ⇒ 2 2 2 n v 2 + ( m1 + m2 ) v' 2 − ( m1 + n1 + m2 ) v'' ⇒ ∆x = 1 1 2n1 g f Z velikosti impulsu třecí síly bychom mohli určit dobu tp přemísťování nákladu n1 : 2
n1gft p = n1 (v '' − v1 ) ⇒ t p =
(v '' − v1 ) gf
20
21 Příklad 6. 2 Přes kladku je přehozeno lano, po němž začnou z klidu šplhat dvě stejně těžké opice. První má schopnost šplhat vůči lanu relativní rychlostí c1 , druhá relativní rychlostí c2 . Která z nich bude nahoře dříve a jaká bude rychlost vl pohybu lana, zanedbáme-li pasivní opory, hmotnost kladky a lana.
y
x
Obr. 6. 3
Řešení: Protože moment vnějších (v daném případě gravitačních) sil vzhledem k ose otáčení kladky je nulový, je moment hybnosti soustavy k ose kladky stálý (vnitřní síly nemají vliv na pohyb soustavy jako celku), vzhledem k počáteční podmínce klidu na začátku šplhu nulový. Pro uplatnění zákonů zachování musíme používat absolutní rychlosti. Celková výsledná hodnota momentu hybnosti vzhledem k počátku zvolené souřadné soustavy tedy musí být během pohybu rovna nule tj. platí: z: − mv1a r + mv2 a r = 0 ⇒ v1a = v2 a , kde v1a = v1 ,v2 a = v2 značí absolutní rychlosti. Obě opice jsou tedy v cíly současně. Rychlost lana určíme z kinematických vztahů v1a = v1r + v1u a v 2 a = v 2 r + v 2u Z hlediska velikosti platí v1r=c1, v2r=c2 a v1u=v2u =vl. Aby byla splněna podmínka neměnnosti absolutních rychlostí, musí rychlejší opice vyvolat pohyb lana na své straně vzhledem k zemi tj. vzhledem ke směru vzhůru. Musí tedy platit: c +c y: v1a=c1-vl=c2+vl + v2a ⇒ vl = 1 2 2 Dělo o hmotnosti m2 = 400kg stojí na vodorovné rovině. Střela o hmotnosti m1 = 2 kg opouští hlaveň děla rychlostí v1 = 500 m.s -1 . Jakou zpětnou rychlostí se bude pohybovat dělo po výstřelu? Příklad 5.16
x
Řešení:
21
22 Za předpokladu, že dělo není uchyceno k základu, můžeme dělo a střelu považovat za soustavu dvou bodových těles izolovaných v horizontální směru od okolí tj. impuls vnějších sil v horizontální směru je během výstřelu nulový. Celková hybnost soustavy obou těles bude tedy před i po výstřelu stejná. Protože celková hybnost soustavy před výstřelem byla nulová, pro hybnost po výstřelu tedy platí: H = m1 ⋅ v1 + m2 ⋅ v 2 = 0 , m1 ⋅ v1 6 ⋅ 500 = = 7 ,5 m.s -1 m2 400 Poznámka: Z hlediska používání kanónů je důležitá tzv. dynamická reakce působící na rám kanónu od základu při zabudování hlavně děla do základu. Hodnotu této dynamické reakce lze značně snížit použitím brzdového mechanismu hlavně, který způsobí, že časový úsek přenosu síly děla na rám na základ je značně delší. Pak reakce od rámu nenabývá vysoké hodnoty a zákon zachování hybnosti lze s jistou nepřesností opět použít. V případě pevného spojení děla se základem je reakce od základu z hlediska soustavy dělo-střela silou vnější tj. nelze použít zákon zachování hybnosti. Úsťová rychlost střely však bude v tomto případě o něco vyšší - nebudou ztráty energie výstřelu na pohyb děla a také úsťová rychlost střely nebude snížena o záporně orientovanou hodnotu unášivé rychlosti. Pro celkovou kinetickou energii soustavy hmotných bodů platí vztah x : m1 ⋅ v1 − m2 ⋅ v2 = 0 ⇒ v2 =
Ek =
1 1 m vT2 + ∑ m j v 2jT 2 2
(6.19a)
Slovním vyjádřením této rovnice je Koenigova věta- Kinetická energie soustavy hmotných bodů je dána součtem kinetické energie hmotnosti soustředěné v jejím hmotném středu a kinetické energie při pohybu vzhledem k hmotnému středu. Věta o změně mechanické energie nám umožňuje nalézt souvislosti mezi rychlostmi bodů, jejich polohami a působícími pracovními silami. DOM. CV.
22
