ˇ Blanka Sediv´ a
MME 2012/2013
6
V´ıcerovnicov´ e ekonometrick´ e soustavy
Obsah 6 V´ıcerovnicov´ e ekonometrick´ e soustavy 6.1 SUR - Seemingly unrelated regression (zd´anlivˇe nepropojen´e regrese) 6.2 Panelov´a data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Panelov´ y model s fixn´ımi efekty . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2 Panelov´a data s n´ahodn´ ymi efekty . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Simult´ann´ı soustavy rovnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1 Pˇrevod na redukovan´ y tvar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.2 Maticov´e vyj´adˇren´ı simult´ann´ıch soustav . . . . . . . . . . . . 6.3.3 Probl´em identifikace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.4 Metody odhadu simult´ann´ıch rovnic . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.5 Klasick´a metoda nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u . . . . . . . . . . . . . . 6.3.6 Nepˇr´ım´a metoda nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u (ILS) . . . . . . . . . . . ˇ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.7 Dvoustupˇ nov´ y odhad MNC ˇ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.8 Tˇr´ıstupˇ nov´ y odhad MNC 6.4 Dynamick´e simult´ann´ı rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
1 3 5 5 6 6 7 9 10 14 14 15 16 17 18
Ve velk´e ˇradˇe ekonometrick´ ych aplikac´ı (a nejenom v ekonometrick´ ych) je tˇreba vysvˇetlovat chov´an´ı v´ıce vysvˇetlovan´ ych veliˇcin. Pokud mezi rovnice existuje dalˇs´ı souvislost, napˇr´ıklad se jedn´a o kauz´aln´ı vztah dvou promˇenn´ ych, kdy v jedn´e rovnici vystupuje veliˇcina v pozici vysvˇetluj´ıc´ı promˇenn´e a v druh´e rovnici v pozici promˇenn´e vysvˇetlovan´e, je v´ yhodn´e uvaˇzovat o modelu jako o modelu soustavy rovnic a odhadovat parametry simult´annˇe. V takov´ ychto pˇr´ıpadech se jedn´a o v´ıcerovnicov´e soustavy. Jak uv´ad´ı [Cipra] lze k v´ıcerovnicov´ ym soustav´am pˇristupovat i z hlediska datov´e struktury. Typick´ ym pˇr´ıkladem datov´e sady pro ekonometrickou anal´ yzu jsou data, kter´a zachycuj´ı sadu promˇenn´ ych, kter´e jsou z´aroveˇ n pozorov´any v urˇcit´ ych ˇcasov´ ych intervalech (denn´ı v´ ynosy r˚ uzn´ ych akci´ı, ˇctvrtletn´ı HDP pro r˚ uzn´e st´aty, ziskovost jednotliv´ ych spoleˇcnost´ı,. . . .) U tˇechto dat doch´az´ı ke kombinaci pr˚ uˇrezov´ ych informac´ı (r˚ uzn´e akcie, r˚ uzn´e spoleˇcnosti, r˚ uzn´e st´aty,. . . ) a informac´ı ˇcasov´ ych (jednotliv´e burzovn´ı dny, jednotliv´a ˇctvrtlet´ı, . . . ). Tato data jsou tak´e naz´ yv´ana poolov´a data a lze je popsat n´asleduj´ıc´ım modelem yjt = αjt + xjt γ jt + εjt , j = 1, 2, . . . , m, t = 1, 2, . . . , T, Var(ε) = Ω Pracujeme tedy s m vysvˇetlovan´ ymi promˇenn´ ymi y1 , y2 , ldots, ym v rozd´ıln´ ych ˇcase, celkem uvaˇzujeme T ˇcasov´ ych jednotek. A d´ale pˇredpokl´ad´ame, ˇze v modelech je absolutn´ı ˇclen αjt a k vysvˇetluj´ıc´ıch promˇenn´ ych x1jt , x2jt , . . . , xkjt . Tento model je velmi obecn´ y a pro odhad nevhodn´ y, protoˇze obsahuje v´ıce parametr˚ u neˇz je poˇcet mˇeˇren´ı, kter´a m´ame k dispozici. Poˇcet parametr˚ u je p · m · T vystupuj´ıc´ıch v line´arn´ı vazbˇe a m · T · (m · T + 1)/2 je poˇcet parametr˚ u ve varianˇcn´ı matici. Poˇcet mˇeˇren´ı, kter´e m´ame k dispozici je pouze m · T. V praxi se tedy pouˇz´ıvaj´ı speci´aln´ı pˇr´ıpady tohoto obecn´eho modelu SUR soustavy, kdy αjt = αj , γ jt = γ j pro vˇsechny t = 1, 2, . . . , T, 1
ˇ Blanka Sediv´ a
MME 2012/2013
panelov´ a data, kdy uvaˇzujeme stejnou ˇcasovou stabilitu parametr˚ u z line´arn´ı vazby jaku u SUR a d´ale nav´ıc uvaˇzujeme, ˇze varianˇcn´ı matice je diagon´aln´ı s konstantami na diagon´ale, simult´ ann´ı soustavy, kdy pˇredpokl´ad´ame, ˇze ˇc´ast vysvˇetlovan´ ych promˇenn´ ych yj se z´aroveˇ n objevuje v matici vysvˇetluj´ıc´ıch promˇenn´ ych x. Uvedeme nˇekolik pˇr´ıklad˚ u pouˇzit´ı v´ıcerovnicov´ ych ekonometrick´ ych model˚ u: Pˇ r´ıklad 1 - capital asset pricing model rit − rf t = αi + βi (rmt − rf t ) + εit rit . . . v´ ynos i-t´e akcie rf t . . . bezrizikov´a sazba rmt . . . trˇzn´ı v´ ynos Pˇ r´ıklad 2 Iit = β1i + β2i Fit + β3i Cit + it Iit . . . investice Fit . . . trˇzn´ı cena podniku Cit . . . hodnota v´ yrobn´ıch prostˇredk˚ u
2
ˇ Blanka Sediv´ a
MME 2012/2013
6.1
SUR - Seemingly unrelated regression (zd´ anlivˇ e nepropojen´ e regrese)
Uvaˇzujme v´ıcerovnicov´ y model v n´asleduj´ıc´ım tvaru s parametry α a γ konstantn´ımi v ˇcase. yjt = αj + xjt γ j + jt
j = 1, 2, . . . , m,
kde n´ahodn´ı sloˇzka modelu splˇ nuje pˇredpoklady (P1) E(εit , εjt ) = σij (P2) E(εis , εjt ) = 0
∀i, j = 1, 2, . . . , m s 6= t
Pˇredpoklady tedy zachycuj´ı skuteˇcnost, ˇze n´ahodn´e sloˇzky jsou souˇcasnˇe korelov´any, ale nejsou ˇcasovˇe korelov´any, t´ımto poˇzadavkem je pr´avˇe zajiˇstˇeno propojen´ı rovnic. Pokud poˇcet vysvˇetluj´ıc´ıch promˇenn´ ych x je k a oznaˇc´ıme poˇcet odhadovan´ ych parametr˚ u pro kaˇzdou rovnici p = k + 1. m(m + 1) Poˇcet parametr˚ u soustavy je p · m + 2 Zahrneme d´ale u ´rovˇ novou konstantu k parametr˚ um γ a oznaˇcme β = (α, γ 1 , γ 2 , . . . , γ k a pˇrep´ıˇseme model do n´asleduj´ıc´ıho tvaru y1 x1 0 . . . 0 β1 ε1 y 0 x 2 . . . 0 β ε2 2 2 .. = .. .. . . .. .. + .. . . . . . . . ym 0 0 . . . xm βm εm kde y j jsou vektory rozmˇer˚ u T × 1 zachycuj´ıc´ı hodnoty vysvˇetlovan´ ych promˇenn´ ych v jednotliv´ ych ˇcasech, xj jsou matice rozmˇer˚ u T × p zachycuj´ıc´ı vysvˇetluj´ıc´ı promˇenn´e pro jednotliv´a j (prvn´ı sloupec t´eto matice je jednotkov´ y a koresponduje s u ´rovˇ novou konstantou αj modelu a zbyl´ ych p − 1 = k zachycuj´ı vysvˇetluj´ıc´ı promˇenn´e. Vektory β j = (αj , γ1j , γ2j , . . . , γkj ) jsou parametry line´arn´ı vazby pro j tou vysvˇetlovanou promˇennou a εj je vektor residu´aln´ıch sloˇzek modelu pro j− tou promˇennou. Pˇredpokl´adejme, ˇze pro variaˇcn´ı matici plat´ı σ11 I . . . σ1m I σ21 I . . . σ2m I Var (ε) = .. .. = Σ . . . . . σm1 I . . . σmm I Oznaˇcme y = (y 1 , y 2 , . . . , y m ), ε = (ε1 , ε2 , . . . , εm ) vektory vznikl´e ”naskl´ad´an´ım”jednotliv´ ych vektor˚ u do jedin´eho sloupce a d´ale X blokovˇe diagon´aln´ı matici s bloky x1 , x2 , . . . , xm . Pak zap´ıˇseme model ve tvaru y = X β + ε, kter´ y koresponduje s klasick´ ym line´arn´ım regresn´ım modelem. Tento model vˇsak nelze odhadovat metodou nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u, protoˇze n´ahodn´a sloˇzka ε nesplˇ nuje pˇredpoklady nez´avislosti. Lze vˇsak pouˇz´ıt zobecnˇenou metodu nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u s obecnou varianˇcn´ı matic´ı Σ. 3
ˇ Blanka Sediv´ a
MME 2012/2013
Zobecnˇen´ y odhad m´a tvar b = (X T Σ−1 X)−1 X T Σ−1 y kde Σ je nezn´am´a varianˇcn´ı matice. V praktick´ ych realizac´ıch postupujeme dvoustupˇ novˇe: 1. V prvn´ı f´azi odhadneme parametry modelu klasick´ ym vztahem b1 = (X T X)−1 X T y 2. d´ale na z´akladˇe z´ıskan´eho odhadu, odhadneme varianˇcn´ı strukturu ˆ: Σ
T 1X eit ejt σˆij = T t=1
3. odhadu varianˇcn´ı matice vyuˇzijeme k zpˇresnˇen´ı odhadu b1 a dost´av´ame −1 T ˆ −1 ˆ −1 y b2 = X Σ X XT Σ kroky lze pˇr´ıpadnˇe i iteraˇcnˇe opakovat a d´ale tak zlepˇsovat odhad. Za pˇredpoklad˚ u, kter´e b´ yvaj´ı v praxi obvykle splnˇeny, je z´ıskan´ y odhad konzistentn´ı, asymptoticky vydatn´ y a s pˇredpokladem normality t´eˇz asymptoticky norm´aln´ı. ˆ −1 X)−1 b2 ∼ N β; (X T Σ Tato metoda je pouˇziteln´a, pokud m ≤ T , tj. poˇcet rovnic odpov´ıdaj´ıc´ı pr˚ uˇrezov´ ym jednotk´am nen´ı vˇetˇs´ı neˇz poˇcet ˇcasov´ ych interval˚ u, kter´a m´ame k dispozici. Odhady lze samozˇrejmˇe z´ıskat t´eˇz ”postupn´ ym”odhadem pro kaˇzdou j− tou jednotku, simult´annˇe realizovan´ y odhad vˇsak nen´ı vydatn´ y (nevyuˇz´ıv´a vˇsechny informace, kter´e m´ame k dispozici). V pˇr´ıpadˇe, ˇze je splnˇena jedna z n´asleduj´ıc´ıch podm´ınek i) xj = x
pro vˇsechna j,
ii) σij = 0 pro vˇsechny i 6= j ˇ pro jednotliv´e jednotky samostatnˇe a z´ıskat vydatn´e odhady. lze pouˇz´ıt MNC Nekorelovanost residu´ı lze pˇritom testovat, formulujeme nulovou hypot´ezu H0 : σij = 0, testovac´ı krit´erium m´a tvar m−1 m X X 2 T rij
kde
rij = √
i=1 j=i+1
σˆij σiiσjj
a pˇri platnosti nulov´e hypot´ezy m´a asymptoticky χ2 rozdˇelen´ı, tj. m(m − 1) ) 2 Podobnˇe lze testovat pomoc´ı Waldova testu zda je splnˇen pˇredpoklad SUR model˚ u, ˇze β 1 = β 2 = . . . = β m jsou shodn´e pro vˇsechny pr˚ uˇrezov´e jednotky. T |H0 ∼ χ2 (ν =
4
ˇ Blanka Sediv´ a
MME 2012/2013
6.2
Panelov´ a data
Soustava SUR je pouˇziteln´a pouze v pˇr´ıpadˇe, ˇze m´ame k dispozici dostateˇcn´ y poˇcet dat (nutn´ y k odhadu varianˇcn´ı struktury residu´ı). V pˇr´ıpadˇe, ˇze m´ame k dispozici menˇs´ı poˇcet dat, mluv´ıme o panelov´ ych datech (panel data, longitudial data). V takov´ ychto pˇr´ıpadech mus´ıme zes´ılit pˇredpoklady na varianˇcn´ı strukturu residu´ı a omezit tak poˇcet parametr˚ u, kter´e bude tˇreba odhadovat. Zesiluj´ıc´ı poˇzadavek pˇredpokl´ad´a, ˇze residu´aln´ı sloˇzky jsou nekorelovan´e (souˇcasnˇe i v r˚ uzn´ ych ˇcasech) 2 a homoskedastick´e, tj. E (εis , εjt ) = 0 pro vˇsechny i, j, t, s s v´ yjimkou E (εis , εis ) = σ . Podle r˚ uzn´ ych form´aln´ıch z´apis˚ u rozliˇsujeme dva typy panelov´ ych model˚ u. 6.2.1
Panelov´ y model s fixn´ımi efekty
V tomto modelu pˇredpokl´ad´ame, ˇze vˇsechny odliˇsnosti mezi jednotliv´ ymi pr˚ uˇrezov´ ymi jednotkami je soustˇredˇen v u ´rovˇ nov´e konstantˇe α. Form´alnˇe zap´ıˇseme model ve tvaru y jt = αj + xjt γ + εjt kde j = 1, 2, . . . , m, t = 1, 2, . . . , T a εjt = i.i.d.(0; σ 2 ). Term´ın model s fixn´ımi efekty je odvozen od skuteˇcnosti, ˇze rozd´ılnost mezi jednotliv´ ymi j jednotkami je pouze v u ´rovˇ nov´e konstantˇe (fixn´ı efekt), ale koeficienty vysvˇetluj´ıc´ıch promˇenn´ ych jsou pro vˇsechny tyto jednotky shodn´e. Maticovˇe zap´ıˇseme model ε1 x1 y1 J 0 ... 0 y 0 J . . . 0 ε2 x2 2 .. = .. .. . . .. α + .. γ + .. . . . . . . . εm ym 0 0 ... J xm kde y j = (yj1 , yj2 , . . . , yjt ) . . . je vektor vysvˇetlovan´ ych promˇenn´ ych, xj . . . je matice vysvˇetluj´ıc´ıch promˇenn´ ych s rozmˇery T × k, oznaˇc´ıme xjt • jej´ı t− t´ y ˇr´adek, γ = (γ1 , γ2 , . . . , γk ) . . . je vektor odhadovan´ ych parametr˚ u shodn´ ych pro vˇsechny jednotky, J = (1, 1, . . . , 1)T je sloupcov´ y jedniˇckov´ y vektor rozmˇer˚ u T ×1 α = (α1 , α2 , . . . , αm ) . . . je vektor odhadovan´ ych u ´rovˇ nov´ ych konstant. Pokud jsou vysvˇetluj´ıc´ı promˇenn´e exogenn´ı (podm´ınˇen´e rozdˇelen´ı y za podm´ınky x se nemˇen´ı pˇri zmˇen´ach procesu generuj´ıc´ıho x, vstupuj´ı do modelu zvnˇejˇsku nebo jsou tvoˇreny v minul´em ˇcase), pak lze uk´azat, ˇze vydatn´ ym odhadem je parametr˚ u γ a α je odhad ve tvaru T m X T m X X X T −1 (xjt • − x¯j • )T (yjt − y¯j ) c=( (xjt • − x¯j • ) (xjt • − x¯j • )) j=1 t=1
j=1 t=1
a a=α ˆ = y¯j − x¯j b Pro konzistenci odhadu parametru β staˇc´ı mT → ∞. Parametry lze odhadnout i pro pomˇernˇe kr´atk´e ˇcasov´e ˇrady, pokud m´ame k dispozici dostateˇcn´ y poˇcet pr˚ uˇrezov´ ych jednotek. Naopak pro konzistenci odhadu parametru α je tˇreba T → ∞. 5
ˇ Blanka Sediv´ a
MME 2012/2013
6.2.2
Panelov´ a data s n´ ahodn´ ymi efekty
U tohoto typu panelov´ ych model˚ u pˇredpokl´ad´ame, ˇze parametry α a γ jsou shodn´e pro vˇsechny pr˚ uˇrezov´e jednotky a rozd´ılnost je mezi jednotkami je obsaˇzena v n´ahodn´e sloˇzce. Form´alnˇe model zap´ıˇseme ve tvaru yjt = α + xjt γ + ωjt kde ωjt = εjt + ηj εjt ∼ iid(0; σ 2 ) ηj ∼ iid(0; σα2 ). Na rozd´ıl od modelu s fixn´ımi efekty modelu situaci tak, ˇze jednotliv´e efekty lze zapsat ve tvaru αj = α + ωjt a pˇrev´est tak model s n´ahodn´ ymi efekty na model s efekty fixn´ımi. V takov´eto formulaci pak plat´ı E(ωjt ) = 0,
2 E(ωjt ) = σ 2 + σα2 ,
E(ωis ωit ) = σα2 , pro s 6= t,
E(ωis ωjt ) = 0, pro i 6= j
Pokud model s fixn´ımi efekty m´a celkem p + m parametr˚ u, pak model s n´ahodn´ ymi efekty m´a p + 2 odhadovan´ ych parametr˚ u. Sn´ıˇzen´ı poˇctu odhadovan´ ych parametr˚ u zvyˇsuje obecnˇe stupeˇ n volnosti modelu (umoˇzn ˇuje odhadnout parametry i pro menˇs´ı poˇcet dat), na druhou stranu je poruˇsen pˇredpoklad nez´avislosti n´ahodn´e sloˇzky a je tˇreba odhadovat parametry opˇet ve dvou kroc´ıch. Odhad kovarianˇcn´ı struktury se vˇsak redukuje na pomˇernˇe jednoduch´ y odhad dvou parametr˚ u σ 2 a σα2 .
6.3
Simult´ ann´ı soustavy rovnic
Modely simult´ann´ı soustav jsou zaloˇzeny na pˇredpokladech, ˇze mezi vysvˇetlovan´ ymi a vysvˇetluj´ıc´ımi promˇenn´ ymi existuje vz´ajemn´ y simult´ann´ı vztah. V simult´ann´ıch soustav´ach existuj´ı promˇenn´e, kter´e v jedn´e rovnici vystupuj´ı v pozici vysvˇetlovan´e promˇenn´e a z´aroveˇ n v jin´e rovnici vystupuj´ı jako promˇenn´e vysvˇetluj´ıc´ı. Promˇenn´e vstupuj´ıc´ıch do modelu tedy rozdˇel´ıme do dvou skupin - endogenn´ı promˇenn´e, kter´e vystupuj´ı jako vysvˇetlovan´e promˇenn´e a exogenn´ı promˇenn´e. Poˇcet endogenn´ıch promˇenn´ ych odpov´ıd´a poˇctu rovnic v modelu. Exogenn´ı promˇenn´e lze jeˇstˇe d´ale rozdˇelit na striktnˇe exogenn´ı promˇenn´e, kter´e vstupuj´ı do modelu zcela nez´avisle a predeterminovan´e promˇenn´e, kter´e jsou nekorelov´ana v dan´em ˇcase, ale byla modelem vytvoˇrena v minul´ ych obdob´ıch. Probl´em lze demonstrovat na klasick´em modelu nab´ıdky a popt´avky q =α + βp + ε p =α0 + β 0 q + ε0
je popt´avkov´a funkce D1 je nab´ıdkov´a funkce S
V tomto modelu jsou pouze dvˇe endogenn´ı promˇenn´e a ˇza´dn´a promˇenn´a exogenn´ı. Vzhledem k absolutn´ı prov´azanosti tohoto modelu nelze parametry modelu jednoduˇse odhadnout. 6
ˇ Blanka Sediv´ a
MME 2012/2013
Na druhou stranu u modifikovan´eho rozˇs´ıˇren´eho modelu ve tvaru
q =a1 + b1 p + c1 y + ε1 q =a2 + b2 p + c2 R + ε2
popt´avka D nab´ıdka S
je model, kde q, p . . . jsou endogenn´ı promˇenn´e y, R . . . jsou exogenn´ı promˇenn´e (napˇr´ıklad d˚ uchod y ovlivˇ nuj´ıc´ı popt´avku a R u ´roveˇ n sr´aˇzek ovlivˇ nuj´ıc´ıch nab´ıdku zemˇedˇelsk´ ych komodit) a1 , a2 . . . jsou strukturn´ı parametry simult´ann´ıch rovnic. Formˇe modelu, kter´ y je sestaven na z´akladˇe ekonomick´ ych formulac´ı a pravidel se ˇr´ık´a strukturn´ı tvar modelu. V r´amci strukturn´ıho tvaru maj´ı parametry modelu sv´e ekonomick´e interpretace a omezen´ı. Pˇri anal´ yze soustavy simult´ann´ıch rovnic tedy zaˇc´ın´ame rozliˇsen´ım, kter´e promˇenn´e jsou endogenn´ıho a kter´e exogenn´ıho tvaru, odstranˇen´ım ekonomick´ ych identit a pˇreveden´ım na tvar, kdy kaˇzd´e endogenn´ı promˇenn´e odpov´ıd´a pr´avˇe jedna rovnice soustavy. Tyto kroky se souhrnnˇe oznaˇcuj´ı jako kroky vedouc´ı k pˇrevodu na redukovan´ y tvar. 6.3.1
Pˇ revod na redukovan´ y tvar
Pˇrevod na redukovan´ y tvar demostrujeme na nˇekolika jednoduch´ ych pˇr´ıkladech. Pˇ r´ıklad 1: Nab´ıdka a popt´ avka Postupujeme napˇr´ıklad tak, ˇze pˇr´ısluˇsn´e rovnice odeˇcteme a dost´av´ame 0 = (a2 − a1 ) + p(b2 − b1 ) + c2 R − c1 y + . . . po u ´prav´ach dost´av´ame soustavu v redukovan´em tvaru c1 c2 a1 − a2 + y− + chyba b2 − b1 b2 − b1 b 2 − b1 c 1 b2 c 2 b1 a1 b2 − a2 b1 + y− + chyba q= b2 − b 1 b2 − b1 b2 − b 1
p=
neboli po pˇreznaˇcen´ı parametr˚ u
q =π1 + π2 y + π3 R + v1 p =π4 + π5 y + π6 R + v2
7
ˇ Blanka Sediv´ a
MME 2012/2013
kde π1 , π2 , . . . , π6 jsou redukovan´e parametry a v1 , v2 , jsou n´ahodn´e sloˇzky redukovan´eho modelu. V tomto jednoduch´em modelu lze i pˇr´ımo vyj´adˇrit vztah mezi parametry strukturn´ımi a parametry redukovan´eho tvaru. πˆ3 bˆ1 = , πˆ6 cˆ2 = πˆ6 (bˆ1 − bˆ2 ), a1 = πˆ1 − b1 π4 ,
πˆ2 bˆ2 = πˆ5 cˆ1 = −πˆ5 (bˆ1 − bˆ2 ) aˆ2 = πˆ1 − b2 π4
Je vidˇet, ˇze i u velmi jednoduch´eho modelu m˚ uˇze b´ yt vztah mezi strukturn´ımi parametry a redukovan´ ymi parametry velmi sloˇzit´ y. Pˇ r´ıklad 2: Spotˇ rebn´ı funkce (1) (2) Ct yt It
Ct = β1 + β2 yt + ut yt = Ct + It
0 < β2 < 1 t = 1, 2, ..., T
spotˇreba ve st´al´ ych cen´ach HDP ˇcist´e investiˇcn´ı v´ ydaje
add (1) spotˇrebn´ı funkce: MP C =
∂C = β2 ∂y
mezn´ı sklon ke spotˇrebˇe add (2) identita (! nen´ı n´ahodn´a sloˇzka) C, Y endogenn´ı I exogenn´ı existuje zpˇetn´a vazba ⇒ Strukturn´ı vzorec Pˇ revod na redukovan´ y tvar (1) dosad´ıme do (2) (3)
β1 1 1 + It + · ut 1 − β2 1 − β2 1 − β2 = π1 + π2 It + vt
yt = yt
πi ... pˇr´ım´e (bˇeˇzn´e) multiplik´atory 8
ˇ Blanka Sediv´ a
MME 2012/2013
... okamˇzit´a oˇcek´avan´a reakce ... v´ ysledky komparativn´ı stability ... mezn´ı veliˇciny 6.3.2
Maticov´ e vyj´ adˇ ren´ı simult´ ann´ıch soustav
Obecnˇe uvaˇzujme, ˇze v modelu vystupuj´ı n´asleduj´ıc´ı skupiny promˇenn´ ych promˇenn´e: y1 , y2 , . . . , yG . . . endogenn´ı promˇenn´e a x1 , x2 , . . . , xk . . . exogenn´ı promˇenn´e. Maticovˇe zapisujeme strukturn´ı tvar n´asledovnˇe. By + Γx = ε kde - B . . . matice G × G pˇredstavuje matici strukturn´ıch odhadovan´ ych parametr˚ u efekt˚ u mezi endogenn´ımi promˇenn´ ymi, - y . . . vektor G × 1 je vektor endogenn´ıch promˇenn´ ych, - Γ . . . matice G × k pˇredstavuje matici exogenn´ıch odhadovan´ ych parametr˚ u efekt˚ u mezi endogenn´ımi a exogenn´ımi promˇenn´ ymi, - x . . . vektor k × 1 exogenn´ıch promˇenn´ ych, - ε . . . vektor G × 1 vektor n´ahodn´ ych sloˇzek. s podm´ınkami podm´ınky: E(εt ) = 0 E(εt εs ) = 0
[t 6= s]
resp. maticovˇe zaps´ano ε ∼ N (0, Σ),
kde Σ je pozitivnˇe definitn´ı kovarianˇcn´ı matice n´ahodn´ ych sloˇzek
Pokud je matice B ˇctvercov´a a regul´arn´ı, lze vyn´asobit strukturn´ı tvar inverzn´ı matic´ı zleva a dostaneme B −1 By + B −1 Γx = B −1 ε pˇreznaˇcen´ım dost´av´ame redukovan´ y tvar y = ΠX + w 9
ˇ Blanka Sediv´ a
MME 2012/2013 kde Π = −B −1 Γ je matice parametr˚ u rozmˇer˚ u G × k redukovan´eho tvaru.
Podm´ınky na n´ahodnou sloˇzku se transformuj´ı do tvaru w = B −1 ε a zachov´avaj´ı si sv´e vlastnosti. tj.
E(wt ) = 0 E(wt ws ) = 0
[t 6= s]
maticovˇe zaps´ano w ∼ N (0, Ω) kde Ω = B −1 Σ(B −1 )T V redukovan´em tvaru pohl´ıˇz´ıme tedy na vˇsechny endogenn´ı promˇenn´e jako na v´ ystupy ostatn´ıch promˇenn´ ych. 6.3.3
Probl´ em identifikace
Probl´em identifikace struktur´aln´ıho tvaru soustavy simult´ann´ıch rovnic je probl´em soustˇred’uj´ıc´ı se na ot´azku, zda a za jak´ ych pˇredpoklad˚ u lze z matice koeficient˚ u redukovan´eho tvaru Π z´ıskat odhady koeficienty struktur´aln´ıho tvaru. Vzhledem ke vztahu mezi tˇemito koeficienty Π = −B −1 Γ je zˇrejm´e, ˇze obecnˇe tato u ´loha nemus´ı b´ yt ˇreˇsiteln´a. Probl´em lze demonstrovat na jednoduch´ ych pˇr´ıkladech popt´avkov´e a nab´ıdkov´e funkce: Pˇ r´ıklad 1 q = a1 + b1 p + c1 y + 1 q = a2 + b2 p + 2 ⇓ c 1 b2 a1 b 2 − a2 b 1 + y + v1 b2 − b1 b2 − b1 q = π3 + π 4 y + v 1 a1 − a2 c1 p= + y + v2 b2 − b1 b2 − b1 p = π1 + π2 y + v2
q=
π2 π4 a1 =? b2 =
a2 = π 1 − b 2 π 3 b1 =?
c1 =? 10
ˇ Blanka Sediv´ a
MME 2012/2013
⇒ popt´avkov´a funkce nen´ı identifikov´ana Pˇ r´ıklad 2 q = a1 + b1 p + 1 q = a2 + b2 p + c2 R + 2 ⇒ nab´ıdkov´a funkce nen´ı identifikov´ana Pˇ r´ıklad 3 q = a1 + b1 p + c1 y + d1 R + 1 q = a2 + b2 p + 2 ⇓ q=
c 1 b2 d 1 b2 a1 b 2 − a2 b 1 + y+ R + v1 b2 − b1 b2 − b1 b2 − b 1 q = π1 + π2 y + π3 R + v1
a1 − a2 c1 d1 + y+ R + v2 b2 − b1 b2 − b1 b2 − b1 π2 π3 bˆ2 = , bˆ2 = , dva odhady π5 π6
p=
Z uveden´ ych pˇr´ıklad˚ u je vidˇet, ˇze pro kaˇzdou rovnici ve studovan´e soustavˇe mohou nastat n´asleduj´ıc´ı situace • z redukovan´ ych parametr˚ u lze z´ıskat pr´avˇe jeden soubor strukturn´ıch parametr˚ u • z redukovan´ ych parametr˚ u lze z´ıskat soubor strukturn´ıch parametr˚ u, ale tento soubor nen´ı jednoznaˇcn´ y (Pˇr´ıklad 3) • z redukovan´ ych parametr˚ u nelze strukturn´ı parametry z´ıskat (Pˇr´ıklad 1 a 2). Identifikaci ekonometrick´ ych model˚ u se vˇenuje cel´a ˇrada literatury a jednotliv´e v´ yˇse uveden´e situace lze naj´ıt pod r˚ uzn´ ymi n´azvy. ˇ Rekneme, ˇze rovnice se naz´ yv´a Pˇ resnˇ e identifikovan´ a rovnice (dobˇre identifikov´ana, exactly identified, just identified) pokud lze z parametr˚ u redukovan´eho tvaru z´ıskat jednoznaˇcn´e vyj´adˇren´ı pro parametry strukturn´ıho tvaru. Podidentifikovan´ a rovnice (neidentifikovan´a, under-identified, unidentified) pokud z parametr˚ u redukovan´eho tvaru nelze z´ıskat ˇza´dn´e vyj´adˇren´ı pro parametry strukturn´ıho tvaru. Pˇ reidentifikovan´ a rovnice (over-identified) pokud lze z parametr˚ u redukovan´eho tvaru z´ıskat vyj´adˇren´ı pro parametry strukturn´ıho tvaru, ale toto vyj´adˇren´ı nen´ı jednoznaˇcn´e.
11
MME 2012/2013
ˇ Blanka Sediv´ a
Je moˇzn´e si vˇsimnout, ˇze v jedn´e soustavˇe m˚ uˇze b´ yt nˇekter´a z rovnic pˇresnˇe identifikov´ana a jin´a podidentifikov´ana. Probl´em identifikace tedy nen´ı probl´em cel´e soustavy, ale probl´em konkr´etn´ı rovnice v dan´e soustavˇe. Nav´ıc probl´em ˇspatn´e identifikovatelnosti jedn´e rovnice lze vyˇreˇsit pˇrid´an´ım dalˇs´ı promˇenn´e do jin´e rovnice. Identifikaci lze tedy zlepˇsit, pokud modifikujeme jinou rovnici. tento jev naz´ yv´ame identifikaˇ cn´ım paradoxem. K ovˇeˇrov´an´ı identifikovatelnosti jednotliv´ ych rovnic pouˇz´ıv´ame u rozs´ahl´ ych simult´ann´ıch soustav lze pouˇz´ıt krit´eria identifikace ve formˇe nutn´ ych a postaˇcuj´ıc´ı podm´ınek k identifikaci rovnic. Nutn´e podm´ınky jsou obvykle naz´ yv´any rozmˇerov´ ymi podm´ınkami identifikace (order condition) a jsou zaloˇzeny na porovn´an´ı poˇctu endogenn´ıch a exogenn´ıch promˇenn´ ych v cel´e soustavˇe a ve studovan´e rovnici. Naproti tomu nutn´a a postaˇcuj´ıc´ı podm´ınka, kter´a je zaloˇzena na hodnostech matic parametr˚ u, se naz´ yv´a podm´ınkou hodnostn´ı (rank condition). Jej´ı praktick´e ovˇeˇren´ı je vˇsak u rozs´ahl´ ych soustav jiˇz n´aroˇcnˇejˇs´ı. Nutn´ a podm´ınka identifikace Nejprve zavedeme n´asleduj´ıc´ı znaˇcen´ı pro poˇcet promˇenn´ ych: G . . . celkov´ y poˇcet endogenn´ıch promˇenn´ ych (z´aroveˇ n se jedn´a o poˇcet rovnic) G1 . . . celkov´ y poˇcet endogenn´ıch promˇenn´ ych v dan´e rovnici K . . . celkov´ y poˇcet exogenn´ıch promˇenn´ ych K1 . . . celkov´ y poˇcet exogenn´ıch promˇenn´ ych v dan´e rovnici Pak pokud plat´ı • K −K1 = G1 −1, pak je rovnice pˇresnˇe identifikovan´a, pokud pˇrep´ıˇseme podm´ınku do tvaru (K − K1 ) + (G − G1 ) = G − 1 pak lze vztah interpretovat tak´e takto: poˇcet vynechan´ ych promˇenn´ ych (exogenn´ıch i endogenn´ıch) ve studovan´e rovnici je roven zbyl´emu poˇctu rovnic soustavy), • K −K1 > G1 −1, pak je rovnice pˇreidentifikovan´a (poˇcet vynechan´ ych promˇenn´ ych - exogenn´ıch i endogenn´ıch je vˇetˇs´ı neˇz poˇcet zbyl´ ych rovnic v soustavˇe), • K − K1 < G1 − 1, pak je rovnice podidentifikovan´a. Pouˇzit´ı nutn´e podm´ınky uk´aˇzeme na pˇr´ıkladech popt´avkov´e a nab´ıdkov´e funkce: viz. Pˇr´ıklad 1 - popt´avkov´a funkce G = 2, G1 = 2 K = 1, K1 = 1 0 < 1 ⇒ podidentifikovan´a funkce viz. Pˇr´ıklad 1 - nab´ıdkov´a funkce G = 2, G1 = 2 K = 1, K1 = 0 1 = 1 ⇒ pˇresnˇe identifikovan´a funkce viz. Pˇr´ıklad 2 - popt´avkov´a funkce G = 2, G1 = 2 12
ˇ Blanka Sediv´ a
MME 2012/2013
K = 2, K1 = 2 0 < 1 ⇒ podidentifikovan´a funkce viz. Pˇr´ıklad 2 - nab´ıdkov´a funkce G = 2, G1 = 2 K = 2, K1 = 0 2 > 1 ⇒ pˇreidentifikovan´a funkce
Rozmˇerov´a podm´ınky vypov´ıd´a tedy o ”pˇrimˇeˇrenosti”poˇctu vynechan´ ych promˇenn´ ych ve studovan´e rovnici. Pokud vynech´ame pˇr´ıliˇs mnoho promˇenn´ ych, pak nelze jednoznaˇcnˇe odvodit hodnoty parametr˚ u strukturn´ıho tvaru z parametr˚ u tvaru redukovan´eho a rovnice je pˇreidentifikov´ana. Pokud naopak vynech´ame m´alo promˇenn´ ych (nebo ˇza´dnou), pak matice B a Γ maj´ı pˇr´ıliˇs nenulov´ ych prvk˚ u a nelze je zpˇetnˇe zrekonstruovat z matice Π. Postaˇ cuj´ıc´ı podm´ınka identifikace je zaloˇzena na studiu hodnosti submatic parametr˚ u soustavy a lze ji formulovat v n´asleduj´ıc´ım tvaru. Studovan´a strukturn´ı rovnice je pˇresnˇe identifikov´ana pr´avˇe tehdy, kdyˇz hodnost matice vytvoˇren´e ze strukturn´ıch koeficient˚ u nevyskytuj´ıc´ıch se ve zkouman´e rovnici je G − 1 (neboli, pokud existuje alespoˇ n jeden nenulov´ y subdeterminant ˇra´du (G − 1) × (G − 1). Pˇ r´ıklad y1 β21 y1 β31 y1
+β12 y2 +y2
+β13 y3
+γ11 x1 +γ21 x1 +γ31 x1
+β33 y3
y1 1 β21 β31
y2 β12 1 0
y3 β13 0 1
x1 γ11 γ21 γ31
+γ22 x2 +γ32 x2
x2 0 γ22 γ32
+γ23 x3 +γ33 x3
=v1 =v2 =v3
x3 0 γ23 γ33
1. rovnice je identifikov´ana, 2. a 3. rovnice jsou podidentifikov´any. V praktick´ ych ekonomick´ ych modelech se obvykle setk´av´ame s pˇreidentifikovan´ ymi rovnicemi. Znalost identifikovatelnosti jednotliv´ ych rovnic n´am slouˇz´ı ke spr´avnˇe volbˇe odhadovac´ıch postup˚ u. Pokud je z podm´ınek identifikovatelnosti jasn´e, ˇze nelze z parametr˚ u redukovan´eho tvaru odvodit parametry tvaru strukturn´ıho, nem´a smysl rovnici do tohoto tvaru pˇrev´adˇet a snaˇzit se takto parametry odhadnout. Pokud je rovnice pˇreidentifikov´ana, tj. existuje v´ıce odhad˚ u odvozen´ ych z redukovan´eho tvaru, budou tyto odhady sice konzistentn´ı, ale nebudou vydatn´e, protoˇze nevyuˇz´ıvaj´ı vˇsech informac´ı, kter´e m´ame k dispozici. 13
ˇ Blanka Sediv´ a
MME 2012/2013
6.3.4
Metody odhadu simult´ ann´ıch rovnic
Odhadov´e funkce pro soustavy simult´ann´ıch rovnic jsou zaloˇzeny na krit´eri´ıch nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u nebo na principech maxim´aln´ı vˇerohodnosti. Vˇsechny odvozen´e zp˚ usoby odhadu maj´ı charakter odhad˚ u single - odhady s omezenou informac´ı nebo system - odhady s u ´plnou informac´ı. Metody odhadu s omezenou informac´ı (limited information methods) nevyuˇz´ıvaj´ı vˇsechny informace, kter´e m´ame k dispozici a odhaduj´ı kaˇzdou z rovnic zvl´aˇst’. Mezi jej´ı pˇredstavitele patˇr´ı: • Klasick´a metoda nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u (odhadujeme kaˇzdou z rovnic zvl´aˇst’). • Nepˇr´ım´a metoda nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u (ILS) • Dvoustupˇ nov´a metoda nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u (2SLS) Metody odhadu s u ´plnou informac´ı(full information methods) odhaduj´ı najednou vˇsechny rovnice a vyuˇzij´ı tak veˇsker´e informace v datech. Do t´eto skupiny ˇrad´ıme zejm´ena • Tˇr´ıstupˇ nov´a metoda nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u (3SLS) • Maxim´alnˇe vˇerohodn´e odhady s u ´plnou informac´ı 6.3.5
Klasick´ a metoda nejmenˇ s´ıch ˇ ctverc˚ u
Pokud pouˇzijeme klasick´ y pˇr´ıstup pro odhad parametr˚ u zaloˇzen´ y na pˇredpokladu vz´ajemn´e nez´avislosti rovnic obsaˇzen´ ych v soustavˇe dostaneme odhady, kter´e jsou vych´ ylen´e a nekonzistentn´ı. Vych´ ylenost odhad˚ u je d˚ usledkem poruˇsen´ı pˇredpokladu nez´avislosti vysvˇetluj´ıc´ı n´ahodn´e promˇenn´e a n´ahodn´e sloˇzky. V soustav´ach simult´ann´ıch rovnic tuto podm´ınku poruˇsuj´ı pr´avˇe promˇenn´e, kter´e vystupuj´ı jak na pozici vysvˇetluj´ıc´ı tak vysvˇetlovan´e promˇenn´e. Na pˇr´ıkladu y1t =
a
14
ˇ Blanka Sediv´ a
MME 2012/2013
6.3.6
Nepˇ r´ım´ a metoda nejmenˇ s´ıch ˇ ctverc˚ u (ILS)
Simult´ann´ı soustavu pˇrevedeme na redukovan´ y tvar y = Πx + w ˆ = (X T X)−1 X T y Π
15
ˇ Blanka Sediv´ a
MME 2012/2013
6.3.7
ˇ Dvoustupˇ nov´ y odhad MNC yj = βj Yj + Γj Xj + j
• Nejprve odhadneme endogenn´ı promˇenn´e na prav´e stranˇe pomoc´ı dalˇs´ıch rovnic a vˇsech exogenn´ıch promˇenn´ ych. • V p˚ uvodn´ı rovnici nahrad´ıme yˆ na prav´e stranˇe. Pˇ r´ıklad
y1 β21 y1 β31 y1
+β12 y2 +y2
+β13 y3 +y3
+γ11 x1 +γ21 x1 +γ31 x1
+γ22 x2 +γ32 x2
+γ23 x3 +γ33 x3
=v1 =v2 =v3
1. y2 = f1 (x1 , x2 , x3 ) ⇒ yˆ2 y3 = f2 (x1 , x2 , x3 ) ⇒ yˆ3 y1 = f3 (yˆ2 , yˆ3 , x1 ) ⇒ odhad 2SLS 2. y1 = f (x1 , x2 , x3 ) ⇒ yˆ1 y3 = f (x1 , x2 , x3 ) ⇒ yˆ3 y2 = f (yˆ1 , x1 , x2 , x3 ) ⇒ 3. y1 = f (x1 , x2 , x3 ) ⇒ yˆ1 y2 = f (x1 , x2 , x3 ) ⇒ yˆ2 y3 = f (yˆ3 , x1 , x2 , x3 ) ⇒
16
MME 2012/2013
6.3.8
ˇ Blanka Sediv´ a
ˇ Tˇ r´ıstupˇ nov´ y odhad MNC
Prvn´ı a druh´ y stupeˇ n jsou shodn´e s dvoustupˇ novou metodou. ˆ Tˇret´ı stupeˇ n je odhad Σ s pouˇzit´ım GLS.
17
ˇ Blanka Sediv´ a
MME 2012/2013
6.4
Dynamick´ e simult´ ann´ı rovnice
Obsahuj´ı zpoˇzdˇen´ı endogenn´ıch promˇenn´ ych. Byt + Γ1 xt + Γ2 yt−1 = t yt = Π1 xt + Π2 yt−1 + t yt−1 = Π1 xt−1 + Π2 yt−2 + t−1 ⇒ yt = Π1 xt + Π2 Π1 xt−1 + Π22 yt−2 + t + Π2 t−1 Pokud Πt2 −−−→ 0 t→∞
Potom yt = M0 xt + M1 xt−1 + M2 xt−2 + . . . + wt Cs =
s X
Mr
kumulativn´ı multiplik´atory
Mr
dlouhodob´e multiplik´atory
n=0
C=
∞ X
n=0 X
(Π02 + Π12 + Π22 + . . .)Π1 Π1 C= 1 − Π2 Pˇ r´ıklad C=
(1) Ct = β1 + β2 yt + ut1 (2) It = α1 + α2 yt + α3 yt−1 + ut2 (3) yt = Ct + It + Gt C spotˇreba I investice G veˇrejn´e v´ ydaje add(1) spotˇrebn´ı funkce add(2) investiˇcn´ı funkce add(3) definiˇcn´ı funkce (identita) C, y, I endogenn´ı G exogenn´ı y predeterminovan´a (zpoˇzdˇen´a) 0 < β2 < 1 mezn´ı sklon ke spotˇrebˇe 0 < α2 , α3 < 1 mezn´ı sklon k investic´ım Redukovan´ y tvar 18
ˇ Blanka Sediv´ a
MME 2012/2013
dosad´ıme (1) do (3) (2) (3) + (1)
It = α1 + α2 yt + α3 yt−1 + ut2 1 1 ut1 β1 + It + Gt + yt = 1 − β2 1 − β2 1 − β2 1 − β2
[β2 6= 1]
dosad´ıme: β1 1 1 1 + α1 + α2 y t + α3 yt−1 + 1 − β2 1 − β2 1 − β2 1 − β2 1 ut1 ut2 Gt + + + 1 − β2 1 − β1 1 − β2 α1 + β1 α3 1 ut1 ut2 α2 ) = + yt−1 + Gt + + yt (1 − 1 − β2 1 − β2 1 − β2 1 − β2 1 − β1 1 − β2 yt =
(4)
vt1 (5)
α1 + β1 α3 1 + yt−1 + Gt + vt1 1 − α2 − β2 1 − α2 − β2 1 − α2 − β2 | {z } | {z } | {z } π11 π12 π13 ut1 + ut2 = 1 − α2 − β2 α1 − α1 β2 + α2 β1 α3 − α3 β2 α2 = + yt−1 + Gt + vt2 1 − α 2 − β2 1 − α 2 − β2 1 − α2 − β2 | | {z } | {z } {z } π21 π22 π23 α2 ut1 + ut2 − β2 ut2 = 1 − α 2 − β2
yt =
It
vt2
a dost´av´ame redukovan´ y tvar (∗) (∗∗)
yt = π11 + π12 yt−1 + π13 Gt + vt1 It = π21 + π22 yt−1 + π23 Gt + vt2 t = 1, 2, ..., T
Rovnice (*) m´a autoregresn´ı charakter (diferenˇcn´ı rovnice) vyj´adˇr´ıme (*) pro yt−1 = π11 + π12 yt−2 + π13 Gt−1 + vt−1,1 : (∗)
2 yt = π11 (1 + π12 ) + π12 yt−2 + π13 (Gt + π12 Gt−1 ) + vt1 + π12 vt−1,1
2 t−1 yt = π11 (1 + π12 + π12 + ... + π12 )+ absolutn´ı ˇclen t +π12 y0 t 2 t−1 +π13 (Gt + π12 Gt−1 + π12 Gt−2 + ... + π12 G1 ) 2 t−1 +vt1 + π12 vt−1,1 + π12 vt−2,1 + ... + π12 v1,1 ) n´ahodn´a sloˇzka
19
ˇ Blanka Sediv´ a
MME 2012/2013
Rovnice koneˇ cn´ eho tvaru Multiplik´atory HDP: ∂yt = π13 ∂Gt ∂yt = π13 π12 ∂Gt−1 π13 + π13 π12 2 π13 (1 + π12 + π12 + ...) π13 = (1 − π12 )
pˇr´ım´ y, bˇeˇzn´ y multiplik´ator dynamick´ y multiplik´ator kr´atkodob´ y kumulovan´ y multiplik´ator (za 2 obdob´ı) dlouhodob´ı (celkov´ y) multiplik´ator
20
