DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU
studium příčin změn pohybového stavu hmotného bodu „Proč?“ „Za jakých podmínek?“ 3 zákony formulované I. Newtonem (17. stol.) Síla : vektor charakterizující vzájemné působení těles : je určena r velikostí, směrem a působištěm : ozn. F jednotka newton: N = kg.m.s-2
Skládání sil: při působení více sil na HB (či na pevné těleso v jednom bodě) současně, lze tyto síly nahradit silou jedinou se stejným pohybovým účinkem (vektorový rovnoběžník resp. silový mnohoúhelník) tzv. výslednice dané soustavy sil
INTERAKCE (vzájemné silové působení) ⇒ při vzájemném dotyku (náraz, výstřel, posunutí …) ⇒ prostřednictvím jiných těles (dvojice těles spojených pružinou …) ⇒ prostřednictvím silových polí (gravitační, magnetické…)
Účinky silového působení: ⇒ deformace (statické účinky síly) ⇒ změna pohybového stavu (dynamické účinky)
Volné těleso (resp. volný hmotný bod): těleso (hmotný bod), na které nepůsobí silou žádné jiné těleso a neuplatňuje se ani působení silových polí
HYBNOST
r p
r r p = mv
• pohybový stav hmotného bodu • jednotka: kg.m.s-1 • směr totožný se směrem okamžité rychlosti hmotného bodu
1. NEWTONŮV POHYBOVÝ ZÁKON (ZÁKON SETRVAČNOSTI) „ Každé těleso setrvává v relativním klidu nebo v pohybu rovnoměrném přímočarém, dokud není přinuceno silovým působením jiných těles tento svůj pohybový stav změnit.“
r r p = mv = konst
tj.
r v = konst
(včetně
r r ), r r v = o a =o
INERCIÁLNÍ VZTAŽNÁ SOUSTAVA ¾ hmotný bod setrvává v klidu či v pohybu rovnoměrném přímočarém, pokud na něj nepůsobí jiná tělesa v soustavě ¾ platí Newtonův zákon setrvačnosti ¾ jakákoliv změna pohybového stavu může nastat jen silovým působením jiných těles ¾ máme-li IVS, pak každá další vztažná soustava, která je vůči ní v klidu či v pohybu rovnoměrném přímočarém je také inerciální ¾ u příkladů v pozemských podmínkách považujeme vztažnou soustavu spojenou s povrchem Země za inerciální (zanedbáváme rotaci Země kolem vlastní osy, rotaci Země kolem Slunce, …) Vztažné soustavy, ve kterých tyto vlastnosti neplatí nazýváme NEINERCIÁLNÍ.
GALILEŮV PRINCIP RELATIVITY
„Klid a pohyb rovnoměrný přímočarý jsou dva rovnocenné stavy, které lze rozlišit jen relativně (tj. ve vztahu k okolí)“ „Všechny IVS jsou z mechanického hlediska EKVIVALENTNÍ, žádným mechanickým pokusem provedeným uvnitř IVS nelze jednoznačně určit, zda a jakou rychlostí se soustava pohybuje vzhledem k jiné IVS.“
2. NEWTONŮV POHYBOVÝ ZÁKON (ZÁKON SÍLY) „ Časová změna hybnosti tělesa je úměrná působící síle.“
r d pr F = dt
A) v případě konstantní hmotnosti tělesa platí:
r r dpr d dv r r F= = ( mv ) = m = ma dt dt dt B) mění-li se hmotnost tělesa platí:
r r dpr d dm r dv dm r r r F= v+m = ( mv ) = = v + ma dt dt dt dt dt
Setrvačná hmotnost: hmotnost tělesa určená na základě zrychlení, které těleso získá po působení určité síly
r r F = ma
IMPULS SÍLY časový účinek síly
r r I = ∫ Fdt
jednotka: N.s
r I =
v případě konstantní síly platí:
t
∫ 0
r rt r Fdt = F ∫ dt = Ft 0
dle 2. NPZ:
r I =
t
∫ 0
r Fdt =
t
∫ 0
r dp dt = dt
t
∫ 0
r r t r r d ( m v ) = [m v ]0 = [m v ]t − [m v ]0
r r I = ∆p
3. NEWTONŮV POHYBOVÝ ZÁKON ZÁKON AKCE A REAKCE Síly vzájemného působení dvou těles jsou stejně velké, stejného směru ale opačné orientace.“
F1 = F2
∧
r r F1 ↑↓ F2
∧
r r F1 = − F2
∧
síly existují současně
- nezáleží na způsobu vzájemného působení (tahem, tlakem, prostřednictvím jiných těles, prostřednictvím silových polí,…) Příklad: srážka dvou těles
r r F1 = − F2 r r m1a1 = − m2 a2
r a1 m2 r =− a2 m1
a1 m2 ⇒ = a2 m1
F2
m1
m2 F1
Síly se ve svém účinku neruší!
dle 2. NPZ:
r r dp1 dp2 d r r r =− ⇒ ( p1 + p2 ) = o dt dt dt
„Celková změna hybnosti této dvojice těles je nulová. Hybnost této soustavy těles se nezměnila.“ Zobecnění pro izolovanou soustavu obsahující n těles (resp. n hmotných bodů), které na sebe vzájemně působí: n
d dt
⇒
∑ i =1
r r pi = o
r ∑ pi = konst i
… . . ZÁKON ZACHOVÁNÍ HYBNOSTI Axiom o nezávislosti silového působení: „Zrychlení tělesa, na které působí současně několik sil, je rovno vektorovému součtu zrychlení, které tělesu udílejí jednotlivé síly.“
PŘÍKLAD: Síla působící na těleso o hmotnosti 11,9 kg vzrůstá dle vztahu F= 10+2t. a)Jaký impulz udělí síla tělesu v prvních dvou sekundách působení? b)Jak dlouho musí síla působit, aby její impulz byl 119 Ns? c)Jaká bude rychlost tělesa na konci tohoto intervalu, jestliže jeho počáteční rychlost byla 3 m/s? d)Jakou celkovou dráhu za tu dobu těleso urazí?
Těleso o hmotnosti 10 kg se pohybuje účinkem proměnné síly F= p(q-t), kde p = 100 N/s a q = 1s. Za jak dlouho těleso zastaví, jestliže v čase t = 0 s mělo rychlost 0,2 m/s. Síla má směr rychlosti. Jakou dráhu urazí těleso do zastavení? Jaký bude celkový impulz síly za dvě sekundy od začátku působení?
NEWTONOVA POHYBOVÁ ROVNICE pro hmotný bod
r r ma = ∑ Fi
dle 2. NPZ:
i
r Fi jsou síly působící na HB v dané vztažné soustavě vektorovou rovnici lze nahradit soustavou tří nezávislých rovnic pro souřadnice, z nichž lze určit pohyb tělesa vzhledem ke zvolené soustavě souřadnic, známe-li okamžité souřadnice síly:
ma
x
ma
y
ma
z
dvx = m = m dt dv y = m = m dt dvz = m = m dt
d2x = Fx 2 dt d2y = Fy 2 dt d2z = Fz 2 dt
1. PŘÍMOČARÝ POHYB A) jestliže
Fx = Fy = Fz = 0 r r r r r r dv r F = ma = o ⇒ a = = o ⇒ v = konst dt
…… hmotný bod setrvává v pohybu rovnoměrném přímočarém
B) jestliže
r r F = ma = konst
⇒
r a = konst
…… hmotný bod se pohybuje rovnoměrně zrychleným přímočarým pohybem
2. POHYB PO KŘIVOČARÉ TRAJEKTORII ¾ zrychlení celkové lze rozložit na složku tečnou a normálovou ¾ analogicky i působící sílu rozložíme na dvě vzájemně kolmé složky:
tečná síla: normálová síla:
dv Ft = ma t = m dt v2 Fn = ma n = m R
¾ normálová složka má směr do středu křivosti trajektorie ⇒ dostředivá síla, kterou na pohybující se hmotný bod působí vazba nutící jej ke křivočarému pohybu ¾ dle 3. NPZ existuje reakce na tuto sílu ⇒ odstředivá síla, kterou působí hmotný bod na vazbu
ODSTŘEDIVÁ A DOSTŘEDIVÁ SÍLA - př.: kolotoč, vozidlo v zatáčce, kulička na vlákně • vlákno působí na kuličku dostředivou silou • kulička působí na vlákno odstředivou silou - dle zákona akce a reakce jsou tyto síly: • stejně velké • stejného směru • opačné orientace
r v r Fd
r Fo
R
S
v2 Fo = Fd = mad = m R
, kde
R je poloměr trajektorie
Bruslař jede rovnoměrně přímočaře rychlostí v. Chce-li opsat kruhový oblouk o poloměru r, musí se odklonit o úhel α od svislého směru.
PŘÍKLAD:
r Fd
r R
r r Fo = − Fd
r FG
Při odklonění lze tíhovou sílu bruslaře (působící v těžišti) rozložitr na dvě složky: sílu r dostředivou Fd a sílu R působící na led v místě dotyku brusle s ledem. r r Rozložíme-li složku R na dvěr složky FG a r r Fo = − Fd , ruší se složka FG pevností ledu (pokud se led neproboří). r F Složka o je odstředivá síla, kterou odtlačuje bruslař led, spojený pevně se zemí, doleva. Led spojený se zemí odtlačuje bruslaře doprava, pokud ovšem nedojde ke smyku.
r R
r FG
Je to tedy vlastně země, která stáčí bruslaře a tak mění jeho pohybový stav.
NEKLOPENÁ (PLOCHÁ) ZATÁČKA
dostředivou silou je síla třecí
KLOPENÁ ZATÁČKA
dostředivou silou je průmět tlakové síly, kterou na vozidlo působí silnice
PŘÍKLAD O jaký úhel by měla být ideálně nakloněna zatáčka o poloměru 30m (pro těžiště cyklistů) na cyklistickém oválu na rychlost závodníků při průjezdu zatáčkou rychlostí 54 km/h? Jakou silou pak podpírá cyklistu o hmotnosti 70 kg jeho vlastní kolo?
NÁPOVĚDA: Na cyklistu při průjezdu zatáčkou působí dostředivá síla, která je výslednicí tíhové síly a síly normálové, kterou na cyklistu s kolem působí závodní dráha. Dostředivá síla musí mít směr do středu zatáčky a velikost odpovídající jejímu poloměru a rychlosti cyklisty.
INERCIÁLNÍ VZTAŽNÉ SOUSTAVY • • • •
soustavy, v nichž platí Newtonovy pohybové zákony mechanický pohyb se z hlediska různých vztažných soustav jeví různě inerciálních vztažných soustav je nekonečně mnoho vzájemný mechanický pohyb IVS má nulové zrychlení
NEINERCIÁLNÍ VZTAŽNÉ SOUSTAVY • takové vztažné soustavy, které se vzhledem k libovolné IVS pohybují s nenulovým zrychlením • působí zde síly setrvačné nemající původ v reálných tělesech uvnitř soustav (ozn. síly zdánlivé, fiktivní) • síly setrvačné mají směr proti zrychlení dané soustavy • výsledná síla působící na těleso je rovna vektorovému součtu sil skutečných a sil setrvačných
SETRVAČNÁ SÍLA V NEINERCIÁLNÍCH SOUSTAVÁCH Př. těleso ve výtahu
výtah v klidu nebo v rovnoměrném přímočarém pohybu
1. rozjezd směrem dolů
1. rozjezd směrem vzhůru 2. brždění při dojezdu směrem dolů
v rotujících soustavách:
v2 FS = man = m R
2. brždění při dojezdu směrem vzhůru
(auto v zatáčce, kolotoč…)
TÍHOVÁ SÍLA
r FG
-je příčinou volného pádu těles -popisuje silové působení tíhového pole Země na hmotná tělesa -ozn. Fr = m gr G
-působiště v těžišti, její směr označujeme za svislý směr
r G
TÍHA TĚLESA
- projevuje se jako tlaková resp. tahová síla - popisuje silové působení hmotného tělesa v tíhovém poli Země na vodorovnou podložku resp. svislý závěs - působiště leží ve styčné ploše tělesa s podložkou resp. se závěsem
T
r G
T
r FG
r G
r FG
BEZPEČNÝ PRŮJEZD SMYČKOU
NEVYDAŘENÝ PRŮJEZD SMYČKOU
MECHANICKÁ PRÁCE, VÝKON, ENERGIE
ENERGIE - skalární veličina - charakterizuje pohybový stav hmotných těles a schopnost jejich interakce s jinými objekty prostřednictvím silových polí Přenos energie
⇒ z tělesa na těleso ⇒ přeměna jednotlivých forem
MECHANICKÁ PRÁCE „Děj, který je spojen s přenosem a přeměnou energie je spojen s konáním práce.“ ⇒ MÍRA ZMĚNY energie je MECHANICKÁ PRÁCE „Těleso koná mechanickou práci, jestliže působí silou na jiné těleso, které se působením této síly přemisťuje po určité trajektorii.“ Mechanická práce charakterizuje dráhový účinek síly.
r dr
2
r v1 1
r r 0
α
r r r + ∆r
3
r F
r v3 elementární práce: r r dW = Fdr = Fds cosα r r2
r r s2 celková práce: W = r∫ Fdr = ∫ F cosα ds r1
s1
PŘÍKLAD: Jak velkou práci vykoná síla
r r 2r r F = t i + 5 j + 4k
jejíž působiště se posouvá po křivce
,
r r r r 2 r = 3ti − 2t j + 15tk
v době od první do páté sekundy?
PRÁCE VYKONANÁ PŘI PŘEMÍSTĚNÍ TĚLESA PO PŘÍMCE F2
-je-li síla konstantní:
F
-je-li síla konstantní a působí-li ve směru posunutí: W = Fs
α F1 FG
DISKUSE
α ∈ 0°, 90°) B: α = 90°
A: C:
W = Fs cos α = F1 s
α ∈ (90°, 180°
… práce je kladná, síla koná práci … síla práci nekoná … práce je záporná, síla spotřebovává práci
Jednotka: N.m = kg.m2.s-2 = J … joule Definice 1J: Práci 1J vykonáme tehdy, jestliže silou 1N přemístíme těleso po dráze 1m ve směru působící síly.
PRÁCE PROMĚNNÉ SÍLY
Např. práce při protažení pružiny:
F = kx
PRÁCE TÍHOVÉ SÍLY V HOMOGENNÍM TÍHOVÉM POLI ZEMĚ: 1
h1
r r F = − FG
r FG
h
h2
1
2
2
F = FG = mg Působící síla odpovídá tíhové síle HB: Pohyb HB mezi body 1 a 2 je rovnoměrný.
W = FG h = mgh1 − mgh2 = −(mgh2 − mgh1 ) r r (pro F = − FG obráceně)
DISKUSE: 1. je-li h1 > h2 2. je-li h1 < h2
W > 0 ⇒ FG koná práci ⇒ W < 0 ⇒ FG spotřebovává práci
⇒
Práce tíhové síly nezávisí na tvaru trajektorie, ale pouze na počáteční a koncové poloze HB, který tato síla přemisťuje: y
1
h1 h h2
2
r ds α
r FG
0
x
r r r r dW = FG ds = − mgdy , kde ds = (dx, dy, dz ) a FG = (0,− mg ,0 ) celková práce mezi body 1 a 2: h2
W = ∫ − mgdy = −mg (h2 − h1 ) = −(mgh2 − mgh1 ) h1
VÝKON „ … jak rychle se koná práce…“ ¾ průměrný výkon: PP =
W ∆t kde W
¾okamžitý výkon:
je práce síly v intervalu
∆t
W dW = ∆t → 0 ∆ t dt
P = lim
r r r r r r dW Fdr dr P= = =F = Fv dt dt dt
P = Fv cosα jednotka: J.s-1 = kg.m2.s-3 = W … watt
… je-li působící síla konstantní
ÚČINNOST
η=
W PV = W0 PP
⇒
η=
PV × 100% PP
¾ podíl užitečné práce W (skutečně vykonané) a práce W , kterou by měl stroj vykonat na základě dodané energie 0
¾ podíl užitečného výkonu a dodaného výkonu (příkonu)
PŘÍKLAD:
Na svahu skloněném pod úhlem 37° má být zřízen lyžařský vlek, jehož lano se má pohybovat rychlostí 12 km/h. Jak velký musí být příkon lanovky, aby byla zajištěna současná přeprava 80ti osob, z nichž každá má průměrně hmotnost 75 kg a předpokládá-li se účinnost 30%.
KINETICKÁ ENERGIE - skalární veličina charakterizující pohybový stav hmotného bodu či tělesa vzhledem ke zvolené inerciální vztažné soustavě - vyjadřuje schopnost tělesa konat práci, jestliže se nachází v určitém pohybovém stavu Pro hmotný bod:
r r r r r dr r dr = m dv = dW = Fdr = d (m v ) dt dt r v 1 = m v d v = mv d v = d ( mv 2 ) 2 ⎛ v2 d ⎜⎜ ⎝ 2
⎞ ⎟⎟ ⎠
⇒ dW = dE K , po integraci
W=
1 2 mv 2
1 W = ∆EK = mv 2 2
za zjednodušených podmínek: (konstantní síla působící na hmotný bod v klidu jej uvádí do rovnoměrně zrychleného přímočarého pohybu):
1 2 1 2 W = Fs = ma at = mv 2 2 W = ∆EK = E2 − E1 = E2 − 0 = EK
POTENCIÁLNÍ ENERGIE - polohová energie tělesa (hmotného bodu) v silovém poli jiného tělesa (HB) - předpokládejme, že v určité oblasti prostoru máme v každém bodě definovánu sílu, která působí na těleso v tomto bodě ⇒ tímto definujeme SILOVÉ POLE Tíhová potenciální energie:
EP = mgh
W = −(mgh2 − mgh1 ) = −∆EP
ZÁKON ZACHOVÁNÍ MECHANICKÉ ENERGIE
dW = dE K = −dE P dE K + dE P = 0 d(E K + E P ) = 0 ⇔ E K + E P = konst = E Ryze mechanické děje: neobjevují se jiné formy energie …prakticky neexistují Konzervativní síly: - v konzervativním (potenciálovém) silovém poli se zachovává (konzervuje) mechanická energie Disipativní síly (nekonzervativní): - práce vykonaná disipativními silami při pohybu hmotného bodu je záporná - v poli disipativních sil nastává částečná přeměna mechanické energie v jiné druhy energie (zejména teplo) např.: odpor prostředí, tření
PŘÍKLAD: kyvadlo
v=0
v = + vmax ROVNOVÁŽNÁ POLOHA
AMPLITUDA
ROVNOVÁŽNÁ POLOHA
v = −vmax
v=0 AMPLITUDA
PRINCIP INVARIANCE
„Fyzikální zákony musí mít stejný tvar ve všech inerciálních vztažných soustavách.“ Není podstatné, jakou inerciální vztažnou soustavu si pro popis pohybu zvolíme, avšak v průběhu řešení úlohy tuto soustavu nesmíme měnit!
PŘÍKLAD:
Jakou mechanickou energii má matematické kyvadlo o délce 1m a hmotnosti 1 kg, je-li jeho maximální odchylka do rovnovážné polohy 30°? Jakou silou je namáhán závěs při průchodu kyvadla rovnovážnou polohou?
Jakou nejmenší rychlostí musí vjet cyklista do svislé kruhové smyčky o poloměru 5 m, aby jí bez nehody projel? Těžiště cyklisty s kolem je ve výšce 1,2 m.
