5. Mechanika tuhého t lesa Rozm ry a tvar t lesa jsou asto p i ešení mechanických problém rozhodující a podstatn ovliv ují pohybové ú inky sil, které na n p sobí. Taková t lesa samoz ejm nelze nahradit hmotným bodem. Ú inky sil na t leso: a) statické (deforma ní) b) dynamické (pohybové) Tuhé t leso – ideální, nedeformovatelné p icházejí v úvahu pouze dynamické ú inky sil. Jejich d sledek: 1) posuvný pohyb – takový, kdy všechny body t lesa mají v daném okamžiku stejnou okamžitou rychlost – kinematický popis t lesa je stejný jako popis hmotného bodu 2) otá ivý pohyb kolem nehybné osy – všechny body t lesa opisují soust edné kružnice se st edem na ose rotace a mají v daném okamžiku stejnou úhlovou rychlost. Otá ivý ú inek síly na t leso záleží na a) velikosti síly b) sm ru síly c) poloze p sobišt síly vzhledem k ose rotace. 1 Kinetická energie rotujícího t lesa: Ek = . J. 2 , kde je úhlová rychlost a J je moment 2 setrva nosti (skalární veli ina, která vyjad uje rozložení hmotnosti jednotlivých ástic v t lese vzhledem k ose rotace). Pozn. 1: Výpo et momentu setrva nosti je matematicky náro ný (obecn je definován
vztahem J = m1r12 + m2r22 + … + mnrn2 =
n k =1
2
m k rk )
Pozn. 2: Pom rn jednoduše lze ur it moment setrva nosti pravidelných homogenních t les vzhledem k ose procházející jejich t žišt m: a) válec b) koule c) ty R l T
T
R T
1 J = 2 mR2
2 J = 5 mR2
J=
1 2 ml 12
Pozn. 3: Setrva níky jsou t lesa, u kterých je látka rozložena symetricky a daleko od osy rotace. Mají velký moment setrva nosti a p i rotaci velkou kinetickou energii. Osa rozto eného setrva níku zachovává v prostoru stálý sm r – užití ke stabilizaci lodí, kompas , zatá kom r v letadlech, … Libovolný pohyb tuhého t lesa si m žeme p edstavit složený z posuvného pohybu a z otá ivého pohybu kolem osy, procházející t žišt m t lesa. Kinetická energie t lesa je pak dána sou tem energie posuvného pohybu a energie otá ivého pohybu kolem osy jdoucí t žišt m:
Moment síly vzhledem k ose otá ení:
1) vztah pro velikost momentu síly … M = F.r o
F … síla r … rameno síly
r F
2) moment jako vektor – ur ení polohy a sm ru 3) Momentová v ta: Otá ivý ú inek sil p sobících na tuhé t leso se ruší, je-li sou et jejich moment vzhledem k téže ose nulový: M = M 1 + M 2 + M 3 + ... + M n = 0
Skládání sil F1, F2 p sobících na t leso (nahrazení sil jejich výslednicí F, která má na t leso stejný pohybový ú inek jako skládané síly): Pozn. Tuhé t leso je nedeformovatelné, takže každou ze sil, které na n p sobí, lze libovoln posunout po její vektorové p ímce. 1) dv r znob žné síly F = F1 + F2
C F2 F1
F
B A F1
O
F2
F
2) dv rovnob žné síly stejného sm ru F = F1 + F2 F = F1 + F2 M1 = M2 F1. AO = F2. BO
F
F1 F2
A
O
B
3) dv rovnob žné síly opa ného sm ru F1
F = F1 + F2 F = F1 - F2 M1 = M2 F1. AO = F2. BO
F
O
A
B
F2 Dvojice sil: dv stejn velké síly opa ného sm ru neležící v jedné p ímce. Jejich ú inek nelze nahradit ú inkem jedné výsledné síly. Moment dvojice sil:
1)
2)
F
x
d–x
o
o
d
x
F
d
F´ F´ ´
o … osa rotace F ´= − F F´ = F
M1 = F.x M1 = F.(d + x) M2 = F´.(d – x) = F.(d – x) M2 = F´.x = F.x M = M1 + M 2 M = M1 + M 2 M = M1 + M2 = F.x + F.(d – x) = M = M1 - M2 = F.(d + x) – F.x = = F.x + F.d – F.x = F.d = F.d + F.x – F.x = F.d se vždy rovná sou inu jedné síly F a ramene dvojice sil d. Pozn. Ramenem dvojice sil nazýváme kolmou vzdálenost vektorových p ímek obou sil. Rozkládání sil na složky (nahrazení síly dv ma jinými silami, které mají na t leso stejný pohybový ú inek jako daná síla): opa ný postup než je skládání sil, pravidla jsou obdobná 1. Rozklad síly na dv r znob žné složky: .
F F
2. Rozklad síly na dv rovnob žné složky: A
O
F
B F1 - ?, F2 - ? F1 + F2 = F F1. AO = F2. BO
T žišt t lesa (je p sobišt tíhové síly t lesa): význam, zp soby jeho ur ení – pokusn , graficky, výpo tem Stabilita t lesa: dána velikostí práce, kterou musíme vykonat, abychom podep ené t leso p emístili z rovnovážné polohy stálé do rovnovážné polohy vratké. Rovnovážná poloha t lesa: aby bylo t leso v rovnovážné poloze, musí být v klidu a pohybové ú inky všech sil p sobících na t leso se musí navzájem rušit. Druhy rovnovážných poloh t lesa (s uvedením polohy t žišt a hodnoty potenciální energie): a) stálá (stabilní) … p . … O – osa rotace T – nejníže O T - t žišt Ep - minimální T
b) vratká (labilní) … p . … T - nejvýše Ep - maximální
c) volná (indiferentní) … p . …
T O
T=O
Jednoduché stroje: za ízení, která p enášejí sílu a mechanický pohyb z jednoho t lesa na jiné t leso. Usnad ují konání mechanické práce (ale práci neušet í!) tím, že umož ují m nit velikost a sm r p sobící síly. Rozd lení jednoduchých stroj : 1) založené na rovnováze moment sil a) páka b) kladka c) kolo na h ídeli 2) založené na rovnováze sil a) naklon ná rovina b) šroub c) klín
