Stavební mechanika 01 (K132SM01)

Stavební mechanika 01 (K132SM01) Přednáší: prof. Ing. Petr Kabele, Ph.D. Katedra mechaniky K11132 místnost B328 tel. linka: 4485 e-mail: [email protected] http://people.fsv.cvut.cz/~pkabele a doc. Ing. Matěj Lepš, Ph.D. Katedra mechaniky K11132

1

© Petr Kabele 2005-2014

Tři pilíře studia na vysoké škole

Přednášky • širší pohled na problematiku • teoretické základy pro další tvůrčí rozvoj • ilustrativní příklady

Cvičení • využití získaných znalostí pro řešení konkrétních příkladů pod vedením pedagoga • praktické „triky“ a návody

Petr Šmerkl, Wikipedia

2

Samostatná práce • studium látky z přednášek a cvičení - pochopení • domácí úkoly a příprava k testům a zkouškám využití získaných znalostí pro samostatné řešení konkrétních příkladů © Petr Kabele 2005-2014

Organizace a podmínky výuky předmětu: • http://people.fsv.cvut.cz/~pkabele → Stavební mechanika 1 Literatura: • Kabele a kol.: Stavební mechanika 1. Příklady, ES ČVUT (2014) • Kufner, Kuklík: Stavební mechanika 10, ES ČVUT • Kufner, Kuklík: Stavební mechanika 20, ES ČVUT • (Kufner, Kratěnová, Kuklík: Teoretická mechanika, Příklady, ES ČVUT) (Beer, Johnston: Vector Analysis for Engineers, McGraw-Hill) Další studijní materiály: • Wiki stránky katedry mechaniky: http://mech.fsv.cvut.cz/wiki/index.php/Department_of_Mechanics:_Student %27s_corner • PROJEKT: Posílení vazby teoretických předmětů a profesní orientace v prvních dvou ročnících bakalářského studijního programu Stavební inženýrství http://www.fsv.cvut.cz/oppa/ 3


1. Úvod Co je to mechanika? Nauka o chování těles vystavených působení sil. zde chováním rozumíme: přenášení zatížení, změny tvaru a objemu (deformace), pohyb, ... Stavební mechanika: studuje přenášení zatížení, deformace, pohyb, porušení, ... stavebních konstrukcí vystavených účinkům zatížení. Statika se zabývá tělesy nacházejícími se v klidu, silami, které mezi takovýmito tělesy působí a rovnováhou celého systému. Dynamika se zabývá tělesy v pohybu a zohledňuje působení setrvačných a tlumících sil.

4


Proč je nutno studovat (stavební) mechaniku?

1) Bezpečnost a spolehlivost stavebních konstrukcí Specifika stavebních konstrukcí: • požadovaná životnost: desítky až stovky let • vážné společenské a hmotné následky případné chyby v projektu či havárie ⇒ inženýr musí umět navrhnout stavební konstrukci tak, aby byla bezpečná a spolehlivá po celou dobu své životnosti

5


Havárie mostu Tacoma Narrows Bridge (USA)

• zavěšený most, délka 1810 m • uveden do provozu 1. července 1940 • zřítil se 7. listopadu 1940 v důsledku vibrací vybuzených větrem o rychlosti 70 km/h

6


Tacoma Narrows Bridge

7


Tacoma Narrows Bridge

8


Havárie mostu Tacoma Narrows Bridge (USA)

• příčina – použití nového řešení mostovky: plné I profily namísto příhradových → při obtékání větru pod a nad mostovkou interakce proudícího vzduchu a konstrukce způsobila nestabilní oscilace (aeroelastický flutter)

9


Velké zemětřesení v oblasti Hanšin (Kóbe) Japonsko)

• 17. ledna 1995, před 6. hodinou ráno • magnituda Mw 6,8 • intenzita 5-7 na sedmistupňové japonské stupnici • zrychlení na povrchu až 0,8 g (8 m/s2) • kolaps mnoha stavebních konstrukcí, zejm. postavených podle starých norem

10


Velké zemětřesení v oblasti Hanšin Dálnice Hanšin

• monolitické železobetonové pilíře (typ „piltz“) 11


Velké zemětřesení v oblasti Hanšin

simulace: Concrete Lab., Univ. of Tokyo

• příčina kolapsu: nedostatečná a příliš nízko ukončená podélná výztuž, nedostatečné kotvení výztuže, nedostatečná smyková kapacita pilířů 12


Velké zemětřesení v oblasti Tóhoku (Japonsko) •11. března 2011 • magnituda Mw 9 • maximální zrychlení na povrchu 2,99 g

foto: Report by the First Joint Survey Team of the JSCE Concrete and Structural Engineering Committees on the damage caused by the Great East Japan Earthquake

• pilíř zesílený proti účinkům zemětřesení pomocí železobetonové obálky 13


Proč je nutno studovat (stavební) mechaniku?

2) Vzrůstající nároky na stavební konstrukce • vyšší, delší, větší ... • kvalitnější • trvanlivější • levnější

konstrukce

Inovativní mechanická (statická) řešení konstrukce a vývoj a vyžití nových materiálů jsou kritickým faktory pro splnění těchto požadavků.

14


Vláknocementové kompozity s tahovým zpevněním Engineered Cementitious Composite (ECC) - „ohebný beton“

15


Vývoj ECC materiálu • víceúrovňový mechanický model • mikromechanicky odladěná skladba Makro

Mezo II

Mezo I

Mikro xi

10-2 m

10-3 m Sk+ i σ crack =

tɶi 10-3 m

σ

ri K m′

π ri 10-4 m

1 Nb t = ∑ Pϕ Ac i =1 b


Inovativní konstrukční řešení s použitím ECC

KM Building (Ósaka, Japonsko, 9/2008)

• celková výška 210 m • počet podlaží: 54 nadzemních 1 podzemní

• počet bytových jednotek: 465 • výstavba: 15.9.2006 ~ 31.3.2009 • seizmické zatížení

17


Konstrukční řešení

Tradiční řešení: • ŽB jádro (superstěna) + super nosník + tlumiče

Inovativní řešení: • supernosník nahrazen smykovými nosníky z duktilního vláknobetonu ECC 18

obrázek: Kajima Technical Research Institute


19


20


21


Metoda mechaniky Fyzická úloha

modelování

Matematická úloha

Výsledek: řešení

předpověď, reprodukce chování kce.

Soustava rovnic

22


Modelování: • idealizace, zjednodušení - identifikace dominantního mechanismu chování • definice veličin popisujících působení zatížení, jeho přenášení v konstrukci a následné chování konstrukce (síla, přemístění, napětí, deformace, ...) • definice vztahů mezi těmito veličinami: vychází z obecně platných fyzikálních zákonů a axiomů (zákony zachování energie, hmoty, hybnosti, zákon síly, ...) Řešení: • podle typu matematické úlohy využíváme různých matematických a výpočetních technik (analytické, numerické - vhodné pro počítač, ...) 23


V tomto předmětu (SM1): • konstrukce či její části budou idealizovány jako body nebo tuhé prvky (desky nebo tělesa) • budeme studovat rovnováhu konstrukce a jejích částí, přenášení sil v konstrukci

24


2. Přehled některých základní znalostí z matematiky 2.1 Trigonometrie c

Pravoúhlý trojúhelník sin α = a/c cos α = b/c tan α = a/b Pythagorova věta: c2 = a2 + b2

a α b

Obecný trojúhelník Sinová věta: a : b : c = sin α : sin β : sin γ Kosinová věta: a2 = b2 + c2 – 2bc cos α b2 = a2 + c2 – 2ac cos β c2 = a2 + b2 – 2ab cos γ 25

b

a

γ β

α c


2. Přehled některých základní znalostí z matematiky 2.2 Vektorový počet z 2.2.1 Kartézský souřadnicový systém Souřadnicový systém v prostoru: • soustava tří vzájemně kolmých os x, y, z • pravotočivá soustava: pootočení x → y v kladném smyslu kolem z y → z v kladném smyslu kolem x z → x v kladném smyslu kolem y (kladný smysl - proti směru hodin. ručiček při pohledu proti ose)

x

26

x

x x y

Souřadnicový systém v rovině:

y

y

z

z © Petr Kabele 2005-2014

2.2.2 Vektor Skalár: • veličina daná pouze velikostí, nezávisí na volbě souřadnicového systému

z

Vektor V: • veličina daná velikostí, směrem a orientací • vždy se vztahuje k souřadnicovému systému

e3

Bázové vektory (souřadnicové vektory) e1, e2, e3: • jednotkové vektory v kladných směrech souřadnicových os

β e1

Směrové úhly α, β, γ: • úhly mezi kladnými souřadnicovými poloosami a vektorem V • platí cos2α + cos2β + cos2γ = 1

27

V

γ

α

e2

y

x


Vyjádření vektoru prostřednictvím složek: • složky: kolmé průměty vektoru do směrů souřadnicových os • V = { Vx; Vy; Vz } • s použitím směrových úhlů: Vx = |V| cos α Vy = |V| cos β Vz = |V| cos γ |V| ... velikost vektoru

z

V

Vz e3 γ β

Vx e1

α

e2

Vy y

x • bázové vektory: e1 = {1; 0; 0} e2 = {0; 1; 0} e3 = {0; 0; 1} 28


• |V| ... velikost (délka) vektoru V: V = Vx2 + Vy2 + Vz2 ≥ 0 • samotný symbol V ... může nabývat záporných i nezáporných hodnot, nese informaci o velikosti vektoru V a jeho orientaci: kladná hodnota ... orientace shodná s předpokládanou záporná hodnota ... orientace opačná s předpokládanou Např: předpokládaná orientace vektoru V:

výsledek výpočtu:

skutečná orientace vektoru V:

V = -5 |V|=5 V V=3 |V| = 3 29


z

Vektor určený dvěma body: K [xK, yK, zK] a L [xL, yL, zL]

V K

zL

zK

V = KL = {xL-xK, yL-yK, zL-zK}

L

y

xK yK

x

30

xL yL


2.2.3 Operace s vektory Součet vektorů A a B je vektor C, pro který platí: C = { Ax+Bx; Ay+By; Az+Bz} • značení: C = A + B • vlastnosti: A + B = B + A

y C

•geometrický význam:

C y

B

By A

Ay

x Bx

31

Ax

Cx


Součinem skaláru s a vektoru A je vektor B, pro který platí: B = {s Ax, s Ay, s Az} • značení: B = s A Ay • vlastnosti: *sA=As * vektory A B jsou rovnoběžné * velikost B = s 2 Ax2 + s 2 Ay2 + s 2 Az2 = s A

32

y

B

sAy = By A Ax sAx = Bx

x


Použití: Vyjádření složek jednotkového vektoru f ležícího v paprsku daném dvěma body K [xK, yK, zK] a L [xL, yL, zL]: Hledáme f = { fx; fy; fz }; | f| = 1 KL = {xL-xK, yL-yK, zL-zK}

z KL

KL = ( xL − xK ) 2 + ( yL − yK ) 2 + ( z L − z K ) 2 ≠ 1

f

Abychom získali jednotkový vektor, přenásobíme KL skalárem f= fx = 33

1 KL

K

1 KL

KL

x ;

fy =

yL − yK KL

;

zL

zK xK yK

KL

xL − xK

fz =

L

y xL

yL

zL − zK KL © Petr Kabele 2005-2014

Použití: Vyjádření složek vektoru s použitím jednotkového vektoru ve směru V: Dáno: f = { fx; fy; fz }; | f| = 1

z

hledáme V V f

Vx = |V| fx Vy = |V| fy Vz = |V| fz Také fx = cos α fy = cos β fz = cos γ

34

f

z

f y

y fx

x


B

Skalárním součinem vektorů A a B je skalár s, pro který platí: s = |A| |B| cos ϕ = Ax Bx + Ay By + Az Bz

ϕ

• značení: s = A . B • vlastnosti: *A.B=B.A * pro A ⊥ B: cos ϕ = 0, s = 0 • geometrický význam a použití: * např. vyjádření složek vektoru V Vx = |V| cos α = V . e1 Vy = |V| cos β = V . e2 Vz = |V| cos γ = V . e3 * skalární součin V. e vyjadřuje průmět vektoru V do osy určené jednotkovým vektorem e 35

A

z

Vz e3

V γ β

Vx e1

α

Vy y

e2

x V

. .

e

V.e © Petr Kabele 2005-2014

Vektorovým součinem vektorů A a B je vektor C který má následující vlastnosti: 1. velikost |C| = |A| |B| |sin ϕ| (plocha rovnoběžníka) 2. vektor C je kolmý k vektorům A a B C 3. vektory A, B, C tvoří pravotočivou soustavu . . • značení: C = A x B • vlastnosti:

C

B ϕ A

*AxB=-BxA * s (A x B) = (s A) x B = A x (s B) * (A + B) x D = A x D + B x D • vyjádření složek e1

e2

e3

C = A × B = Ax

Ay

A z = (A yB z − B y A z ) e1 + (A zB x − B z A x ) e 2 + (A xB y − B x A y ) e3

Bx

By

Bz

= C x e1 + C y e 2 + C z e3 = {C x , C y , C z } 36


Vsuvka: výpočet determinantu matice 3x3 a11 a21 a31

37

a12 a22 a32

a13 a11 ⋅ a22 ⋅ a33 + a21 ⋅ a32 ⋅ a13 + a12 ⋅ a23 ⋅ a31 a23 = a33 − a13 ⋅ a22 ⋅ a31 − a12 ⋅ a21 ⋅ a33 − a23 ⋅ a32 ⋅ a11


• smíšeným součinem vektorů A , B a C je skalár s definovaný determinantem: Ax s = Bx Cx

Ay By Cy

Az B z = A x B y C z + A y B z C x + A zB x C y - A z B y C x − A y B x C z − A x B z C y Cz

• značení: s = (A x B) . C C • geometrický význam: objem rovnoběžnostěnu B . . určeného vektory A, B, C A • vlastnosti: * (A x B) . C > 0 jestliže vektory A, B, C neleží v jedné rovině a tvoří pravotočivou soustavu * (A x B) . C = 0 leží-li vektory A, B, C v jedné rovině nebo je-li aspoň jeden z nich nulový * (A x B) . C = C . ( A x B ) * (A x B) . C = -(B x A) . C * (A x B) . C = (B x C) . A = (C x A) . B 38


3. Geometrie sil 3.1 Síly působící v jednom bodě 3.1.1 Zadání úlohy, předpoklady Úloha této kapitoly: matematicky popsat mechanické účinky zatížení na konstrukci a účinky částí konstrukce navzájem. Zjednodušující předpoklad: konstrukci (její části) můžeme idealizovat jako bod. Účinky budeme popisovat prostřednictvím vektorové veličiny -- síly. 39


3.1.2 Síla • značení F, R • definice, např. ze zákona síly: Změna hybnosti hmotného bodu za jednotku času je rovna síle působící na hmotný bod: dH d (mv ) = =F dt dt

při konstantní hmotnosti bodu: m

dv = ma = F dt

• základní jednotka: N (Newton) 1N = 1 kg m s-2

40


• síla je vektor vázaný na bod ve kterém působí (působiště) (operace se silami = operace s vektory)

z

* složky F = { Fx; Fy; Fz }

F

Fz Fx = F . e1 = |F| cos α = |F| fx Fy = F . e2 = |F| cos β = |F| fy Fz = F . e3 = |F| cos γ = |F| fz * velikost síly: 2 x

2 y

2 z

Fx

γf β α

Fy y

x

F = F +F +F

41


3.1.3 Základní axiomy F

• v souladu s vektorovým pojetím síly • Axiom o rovnováze sil: F + (-F) = { Fx+(-Fx); Fy+(-Fy); Fz+(-Fz) } -F

= { 0; 0; 0 } = 0 Věta o posunu působiště síly po jejím paprsku: Účinek síly na tuhé těleso se nezmění, posune-li se její působiště po paprsku, v němž síla působí. F

=

F

(tuhá tělesa ... síla je vektor vázaný na paprsek) 42


• Axiom o rovnoběžníku sil (sčítání sil): (geometrická interpretace) Fr … výslednice sil F1 a F2 |Fr | … velikost výslednice z kosinové věty: Fr =

2

2

F1 + F2 − 2 F1 F2 cos(π − ϕ )

y Fr F2 π−ϕ

ϕ2 ϕ ϕ1

F1

x

cos(π − ϕ ) = − cos ϕ Fr =

2

2

F1 + F2 + 2 F1 F2 cos ϕ

sinová věta:

F2 sin ϕ sin ϕ1 1 = = sin(π − ϕ ) Fr sin ϕ F1 sin ϕ 2 sin ϕ 2 = = sin(π − ϕ ) Fr sin(ϕ )

43

Fr F2

ϕ2 ϕ1

π−ϕ F1


odvození pomocí vektorového počtu • výslednice Fr dvou sil F1 a F2 Fr = F1 + F2 = { F1x+F2x; F1y+F2y} (komutitativnost sčítání sil) • velikost výslednice Fr dvou sil F1 a F2 Fr = F + F = 2 rx

2 ry

(F

1x

+ F2x ) + (F1y + F2y ) 2

2

= F1x2 + F2x2 + 2F1xF2x + F1y2 + F2y2 + 2F1yF2y 2 2 = F+ F2 + 2 F1 ⋅ F2 1

skalární součin

This image cannot currently be display ed.

44


Příklad: Rozložte sílu F do dvou složek, které působící v paprscích a a b.

b

F = 10kN

Fb

ϕ' ϕb = 85°

Fa ϕa = 30°

a

ϕ ' = 180°− 30°− 85° = 65°

sinová věta: sin ϕa = Fb ⇒ F = F sin ϕa = 10 sin 30° = 5,517 kN b sin ϕ ' F sin ϕ ' sin 65° sin ϕb Fa sin ϕb sin 85° = ⇒ Fa = F = 10 = 10,992 kN sin ϕ ' F sin ϕ ' sin 65° 45


3.1.4 Svazek sil

Soustava sil = seskupení sil působících na těleso {Fi} = {F1, F2, F3, ..., Fn} Svazek sil = soustava sil, jejichž paprsky se protínají v jednom bodě - prostorový - rovinný: všechny paprsky leží v jedné rovině

46


Úlohy: • výsledný účinek svazku sil: nahrazení svazku sil jedinou silou se stejným účinkem - výslednicí {Fi}

Fr

=

• úloha rovnováhy: zrušení účinku svazku sil {Fi} přidáním svazku {Ri} {Fi}

+

=0

{Ri}

• úloha ekvivalence: nahrazení účinku svazku sil {Fi} svazkem {Ri}

{Fi} 47

=

{Ri} © Petr Kabele 2005-2014

3.1.5 Prostorový svazek sil Př.1: Určete výsledný účinek svazku sil 1. Určit složky krychle o hraně 3m x F =|F | f O ix

F3=3kN A F2=10kN

C

b 1 5 A 2 10 C 3 3 A r 48

Fry=F1y+F2y+F3y Frz=F1z+F2z+F3z

3. Velikost výslednice

z i Fi

ix

Fiy=|Fi| fiy Fiz=|Fi| fiz i=1,2,3

B y F1=5kN

i

2. Výslednice Fr=F1+F2+F3 Frx=F1x+F2x+F3x

Fr = Frx2 + Fry2 + Frz2 = 7.290 kN poč x y 3 3 0 3 3 3

z 3 3 3

b B A O

kon x y 0 3 3 3 0 0

z 0 3 0

x -3 3 -3

vektor jednot. vektor vektor síly y z vel fix fiy fiz Fix Fiy Fiz 0 -3 4.243 -0.707 0 -0.707 -3.536 0 -3.536 0 0 3 1 0 0 10 0 0 -3 -3 5.196 -0.577 -0.577 -0.577 -1.732 -1.732 -1.732 4.7324 -1.732 -5.268 © Petr Kabele 2005-2014

x

5.268 kN

Fr = 7.290 kN y

A 4.732 kN

z

49


Př.2: Uveďte svazek sil z př.1 do rovnováhy 3 silami R1, R2, R3 krychle o hraně 3m Podmínky rovnováhy E x O B

y

R3 z

R1 D

R2

50

b 1 E 2 D 3 B

x: Frx+R1x+R2x+R3x=0 y: Fry+R1y+R2y+R3y =0

A

Pozn.: Vyznačené orientace sil R1, R2, R3 předpokládáme. Protože skutečné orientace jsou neznámé, do výpočtu zavádíme R1, R2, R3 namísto velikostí |R1|, |R2|, |R3|. Znaménka R1, R2, R3 pak určí skutečnou orientaci. i

Fr+R1+R2+R3=0

z: Frz+R1z+R2z+R3z =0 x: Frx+R1f1x+R2f2x+R3f3x=0 y: Fry+R1f1y+R2f2y+R3f3y =0 z: Frz+R1f1z+R2f2z+R3f3z =0

poč kon vektor jednot. vektor x y z b x y z x y z vel fix fiy fiz 3 0 0 A 3 3 3 0 3 3 4.243 0 0.707 0.707 0 0 3 A 3 3 3 3 3 0 4.243 0.707 0.707 0 0 3 0 A 3 3 3 3 0 3 4.243 0.707 0 0.707 © Petr Kabele 2005-2014

x: 4.732 + 0 R1+ 0.707 R2+ 0.707 R3= 0 y: -1.732 + 0.707 R1+ 0.707 R2+0 R3 = 0 z: -5.268 + 0.707 R1+0 R2+ 0.707 R3= 0 R1 = 8.297 kN R2 = -5.847 kN R3 = -0.846 kN O

E

x

nebo O

x

B

B |R1|=8.297 kN

y

R1=8.297 kN

y D

D R3= -0.846 kN

|R3|= 0.846 kN

z 51

E

A |R2|=5.847 kN

z

A R2=-5.847 kN


Př.3: Nahraďte svazek sil z př.1 třemi silami R4, R5, R6 (ekvivalence) krychle o hraně 3m B

y

R6

x

G

R4 D

R5 z

A

Pozn.: Vyznačené orientace sil R4, R5, R6 předpokládáme. Protože skutečné orientace jsou neznámé, do výpočtu zavádíme R4, R5, R6 namísto velikostí |R4|, |R5|, |R6|. Znaménka R4, R5, R6 pak určí skutečnou orientaci. i

52

b 4 A 5 D 6 B

Podmínky ekvivalence Fr=R4+R5+R6 x: Frx=R4x+R5x+R6x y: Fry=R4y+R5y+R6y z: Frz=R4z+R5z+R6z x: Frx=R4f4x+R5f5x+R6f6x y: Fry=R4f4y+R5f5y+R6f6y z: Frz=R4f4z+R5f5z+R6f6z

poč kon vektor jednot. vektor x y z b x y z x y z vel fix fiy fiz 3 3 3 G 3 3 0 0 0 -3 3 0 0 -1 0 0 3 A 3 3 3 3 3 0 4.243 0.707 0.707 0 0 3 0 A 3 3 3 3 0 3 4.243 0.707 0 0.707 © Petr Kabele 2005-2014

x: 4.732 = 0 R4+ 0.707 R5+ 0.707 R6 y: -1.732 = 0 R4+ 0.707 R5+ 0 R6 z: -5.268 = -1 R4+0 R5+ 0.707 R6 R4 = 11.732 kN R5 = -2.450 kN R6 = 9.143 kN B

x

G

y

nebo

B

y

|R6| = 9.143 kN D

|R4| = 11.732 kN

R6 = 9.143 kN

R4 = 11.732 kN

D

A

53

x

G

A

|R5| = 2.450 kN

R5 = -2.450 kN

z

z


3.1.6 Rovinný svazek sil

54


Tento dokument je určen výhradně jako doplněk k přednáškám z předmětu Stavební mechanika 1 pro studenty Stavební fakulty ČVUT v Praze. Dokument je průběžně doplňován, opravován a aktualizován a i přes veškerou snahu autora může obsahovat nepřesnosti a chyby.

Datum poslední revize: 24.9.2014 10:00 55


Stavební mechanika 01 (K132SM01)

Recommend Documents