Aplikovaná lomová mechanika

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE _________________________________________________________________________________________________________________

Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská

Aplikovaná lomová mechanika

Doc. Ing. Jiří Kunz, CSc.

2005 ________________________________________________________________ Vydavatelství ČVUT

Lektor: Ing. Lubomír Gajdoš, CSc. ©

Jiří Kunz, 2000 ISBN 80-01-00579-8 (1. vyd) ISBN 80-01-01215-8 (2. přeprac.) ISBN 80-01-02248-X (3. přeprac.) ISBN (4. přeprac.)

OBSAH _________________________________________________________________________________________

OBSAH PŘEDMLUVA KE ČTVRTÉMU, PŘEPRACOVANÉMU VYDÁNÍ ..………..……... SEZNAM NEJDŮLEŽITĚJŠÍCH SYMBOLŮ ………...………………………………... l. HISTORICKÉ POZADÍ VZNIKU LOMOVÉ MECHANIKY ……………………. LITERATURA K 1. KAPITOLE …………………………………………………… 2. LOMOVÝ PROCES ………………………………………….……………………… 2.1 HOUŽEVNATOST MATERIÁLU ……………………………………………... 2.2 KŘEHKÝ LOM ………………………………………………………………… 2.3 HOUŽEVNATÝ LOM ………………………………………………………….. 2.4 FAKTORY OVLIVŇUJÍCÍ CHARAKTER LOMOVÉHO PROCESU ……... LITERATURA K 2. KAPITOLE …………………………………………………… 3. POLE NAPĚTÍ A DEFORMACÍ V OKOLÍ VRUBU A TRHLINY ...…………. 3.1 SHRNUTÍ ZÁKLADNÍCH VZTAHŮ TEORETICKÉ PRUŽNOSTI ……….. 3.2 VLIV VRUBU NA NAPJATOST V TĚLESE ………………………………. 3.3 NAPJATOST V TĚLESE S TRHLINOU …………………………………….. 3.3.1 Definice a základní pojmy ………………………………………………… 3.3.2 Tahový mód I ……………………………………………………………… 3.3.3 Rovinný smykový mód II ………………………………………………….. 3.3.4 Antirovinný smykový mód III ……………………………………………... LITERATURA KE 3. KAPITOLE ………………………………………………….. 4. DEFINICE MEZNÍHO STAVU A VÝBĚR PARAMETRU CHARAKTERIZUJÍCÍHO LOMOVÝ PROCES …………………………………... LITERATURA KE 4. KAPITOLE ………………………………………………….. 5. FAKTOR INTENZITY NAPĚTÍ ………………….………………………………... 5.1 ÚVOD …………………………………………………………………………… 5.1.1 Definice ………………………………………………………………….. 5.1.2 Nekonečně velké těleso ………………………………………………….. 5.1.3 Princip superpozice ……………………………………………………… Příklad 5.1 ………………………………………………………………... 5.1.4 Těleso konečných rozměrů ….…………………………………………… 5.2 TĚLESO OBDÉLNÍKOVÉHO PRŮŘEZU S CENTRÁLNÍ TRHLINOU .…. 5.2.1 Vliv konečné šířky W ……..……………………………………………… 5.2.2 Vliv konečné délky L …………………………………………………….. 5.2.3 Vliv průměru iniciačního kruhového otvoru d .…………………….……. 5.2.4 Vliv asymetrie šíření trhliny (excentricity e) …………………………….. 5.3 TĚLESO OBDÉLNÍKOVÉHO PRŮŘEZU S JEDNOSTRANNOU OKRAJOVOU TRHLINOU ………………………….…………………………. 5.3.1 Zatížení jednoosým tahem za podmínky konstantního napětí ..………….. 5.3.2 Zatížení jednoosým tahem za podmínky konstantního posuvu ..………… 5.3.3 Zatížení čistým, resp. tříbodovým ohybem ………………………………. Příklad 5.2 ………………………………………………………………... 5.4 TĚLESO S POVRCHOVOU TRHLINOU ZATÍŽENÉ TAHEM NEBO OHYBEM ………………………………………………………………... 5.5 LOMOVÁ HOUŽEVNATOST ……………..…………………………………... 5.5.1 Úvod …………………………………………………………....………... 5.5.2 Vliv materiálu tělesa ……………………………………………………... 5.5.3 Vliv rozměrů tělesa ………………………………………………………. 5.5.4 Vliv teploty ………………………………………………………………. -3-

6 8 11 17 18 18 19 20 22 23 25 25 28 41 41 44 51 54 56 58 60 61 61 61 61 64 64 66 68 68 71 71 72 74 74 76 77 80 82 85 85 86 87 90

OBSAH _________________________________________________________________________________________

5.5.5 Vliv prostředí ……………………………………………………………… 91 5.5.6 Vliv rychlosti zatěžování ………………………………………………….. 91 5.5.7 Stanovení přípustných technologických, konstrukčních či provozních parametrů …………………………………………………. 92 5.5.8 Měření lomové houževnatosti ve stavu rovinné deformace ……………..... 92 Příklad 5.3 ……………………………………………………………….... 100 LITERATURA K 5. KAPITOLE …………………………………………………… 100 6. PLASTICKÁ ZÓNA NA ČELE TRHLINY ….……………………………...……. 106 6.1 VELIKOST A TVAR PLASTICKÉ ZÓNY V PODMÍNKÁCH ROVINNÉ NAPJATOSTI A ROVINNÉ DEFORMACE ……………………. 106 6.1.1 Analytický výpočet velikosti plastické zóny ………………………….…... 106 6.1.2 Experimentální možnosti stanoveni velikosti a tvaru plastické zóny …..…. 119 6.2 MOŽNOSTI POUŽITÍ KRITERIÍ LINEÁRNÍ LOMOVÉ MECHANIKY V PŘÍPADĚ VÝSKYTU PLASTICKÉ DEFORMACE ……………………... 120 LITERATURA K 6. KAPITOLE …………………………………………………… 123 7. HNACÍ SÍLA TRHLINY (RYCHLOST UVOLŇOVÁNÍ DEFORMAČNÍ ENERGIE) ……………………... 125 7.1 CELKOVÁ ENERGETICKÁ BILANCE, DEFINICE G ……………………. 125 7.2 GRIFFITHOVO KRITERIUM STABILITY TRHLINY ……………………… 129 7.3 ZOBECNĚNÍ GRIFFITHOVA KRITERIA ……………………………………. 133 7.3.1 Konečné rozměry tělesa, módy porušování II a III ………………..………. 133 7.3.2 Elastoplastický materiál ……………………………..…………………….. 135 7.3.3 R-křivky ………………………………………………………………..….. 136 7.4 ZÁVĚREČNÉ POZNÁMKY ……………….…………………………………... 142 LITERATURA K 7. KAPITOLE …………………………………………………… 142 8. FAKTOR HUSTOTY DEFORMAČNÍ ENERGIE ….…………………………….. 143 8.1 ÚVOD ……………………………………………….………………………….. 143 8.2 DEFINICE A ZÁKLADNÍ HYPOTÉZY ……………………………………... 145 8.3 JEDNODUCHÉ PŘÍKLADY APLIKACÍ ……………………………………. 146 8.3.1 Tahový mód I ………………………………….………………………..…. 146 8.3.2 Rovinný smykový mód II ……………..…………………………………… 147 8.3.3 Antirovinný smykový mód III …………..…………………………………. 149 8.3.4 Smíšený mód I + II, dvouosé namáhání ……………..…………………….. 150 8.3.5 Smíšený mód I + II, jednoosé namáhání ………………..……………….… 154 8.4 ZÁVĚREČNÉ POZNÁMKY …………….…………………………………….. 158 LITERATURA K 8. KAPITOLE …………………………………………………… 159 9. OTEVŘENÍ TRHLINY (COD, CTOD) …….……………………………………… 160 9.1 DEFINICE COD A CTOD ……………….……………………………………. 160 9.2 POUŽITÍ CTOD V PŘÍPADĚ PLASTICKÉ DEFORMACE MALÉHO ROZSAHU (V OBORU PLATNOSTI LLM) ..…………………… 162 9.2.1 Vztah mezi CTOD, K a G .………………………………..……………….. 162 9.2.2 Měření CTOD v laboratorních podmínkách ………………..……………... 163 9.2.3 Kriterium stability trhliny; praktické způsoby určování CTOD ……..….… 164 9.3 POUŽITÍ CTOD V PŘÍPADĚ PLASTICKÉ DEFORMACE VELKÉHO ROZSAHU ……………………….………………………….……... 165 9.3.1 Materiály s nízkou lomovou houževnatostí, oblast krátkých trhlin ……….. 165 9.3.2 Materiály s vysokou lomovou houževnatostí ……………..……………….. 166 9.3.3 Určování CTOD …………………………………..…………………..…… 167 9.3.4 Určování CTODc (CTODin) ………………………………...……………… 170 9.4 FAKTORY OVLIVŇUJÍCÍ CTODc (CTODin) …………………………….….. 172 -4-

OBSAH _________________________________________________________________________________________

9.5 MOŽNOSTI POUŽITÍ CTODc (CTODin) V PRAXI ……………………….... 173 LITERATURA K 9. KAPITOLE …………………………………………………… 174 10. J – INTEGRÁL ….……………………………………………………………………. 176 10.1 ÚVOD …………………………………………..……………………………….. 176 10.2 DEFINICE, VLASTNOSTI A STANOVENÍ J-INTEGRÁLU ……….……... 176 Příklad 10.1 …………………………………………………………………….... 181 Příklad 10.2 …………………………………………………………………….... 182 10.3 STANOVENÍ HODNOTY JIc (Jin) ………………………………….………… 184 10.3.1 Stanovení JIc pro lineárně elastický materiál …………………………….. 184 10.3.2 Universální metoda stanovení JIc ………………………………………… 184 10.3.3 Metoda stanovení JIc při totálním zplastizování zbylého nosného průřezu ………………………………………………… 185 10.4 FAKTORY OVLIVŇUJÍCÍ JIc (Jin) …….………….………………….………. 193 10.5 MOŽNOSTI POUŽITÍ JIc (Jin) V PRAXI ……………………………………. 193 LITERATURA K 10. KAPITOLE ………………………………………………….. 195 11. VYUŽITÍ LOMOVÉ MECHANIKY PŘI STUDIU ŠÍŘENÍ ÚNAVOVÝCH TRHLIN ….………………………………………………………… 199 11.1 SHRNUTÍ ZÁKLADNÍCH POZNATKŮ O ÚNAVĚ MATERIÁLŮ ……… 199 11.1.1 Charakter zatěžování ………………….…………………………………. 199 11.1.2 Proces únavového porušování materiálu ………………………………… 202 11.2 ŠÍŘENÍ ÚNAVOVÝCH TRHLIN ………………………………………….…. 209 11.2.1 Faktory ovlivňující rychlost šíření únavové trhliny ……..………………. 209 11.2.2 Otevírání a uzavírání únavové trhliny ………………….……………….. 211 11.2.3 Experimentální sledování šíření únavové trhliny ……………………….. 218 11.2.4 Stanovení rychlosti šíření únavové trhliny ………………………………. 223 11.2.5 Oblast prahových hodnot Kp …………………………………………….226 11.2.6 Problematika krátkých trhlin …………………………………………….. 234 Praktický příklad 11.1 ……………………………………………………………. 239 11.2.7 Oblast platnosti Parisova vztahu (II) …………………………………….. 242 11.2.8 Oblast rychlého růstu únavové trhliny a závěrečného dolomu (III) …….... 257 LITERATURA K 11. KAPITOLE ………………………………………………….. 259 ANGLICKO-ČESKÝ SLOVNÍK NEJDŮLEŽITĚJŠÍCH ODBORNÝCH POJMŮ.…... 271

-5-

PŘEDMLUVA __________________________________________________________________________________________

PŘEDMLUVA KE ČTVRTÉMU, PŘEPRACOVANÉMU VYDÁNÍ MOTTO aneb

„Myslím si totiž, v tom je ta potíž, že trocha beletrie nikoho nezabije! (parafráze na text Jiřího Suchého):

„Bez hranic se lidská díla zdokonalují a stávají správnějšími; navěky se stále více přibližují a podobají samotnému rozumu lidskému. Avšak od počátku jejich zdají se býti dvě řady: jedna, v níž postupuje konstruktivní tvořivost člověka a všechny velké realizace jeho podle zákona příčinnosti a správnosti; a druhá řada poruch, která jest nezákonná a bezpříčinná, zplozená zmatkem, a proto je člověku věčně neovládnutelná, neboť je to řada nevědomí a nepořádku. Oběma těmito řadami prochází neustále život, prodloužení jedné řady znamená prodloužení druhé, vždy nová dokonalost zavádí poruchy nově možné; jsou-li lidská díla divy, budou vždy podléhati zázrakům zkázy. Ale ani tento poměr není jakýmsi zákonem zániku; kdyby byl zákonem, dovedl by jej člověk ovládnouti, ale neovládne ho.“ (Karel a Josef Čapkovi: Lumír, 1912) „Antipov otravoval opravárenskou službu stížnostmi na materiál, který mu přidělili na obnovu svršku kolejnic. Ocel měla nedostatečnou kujnost. Koleje nevydržely zkoušku v ohybu a lomu a podle Antipova mínění měly na mraze popraskat.“ (Boris Pasternak: Doktor Živago, 1955, přeložil Jan Zábrana) „Ten, kdo rozláme věc, aby zjistil, co je zač, opustil cestu moudrosti.“ (John Ronald Reuel Tolkien: Společenstvo prstenů, 1954, přeložila Stanislava Pošustová) „Seděli jsme spolu a zíráme na křídlo a vidíme, že z toho křídla plápolá asi tři čtvrtě metru dlouhá niť. Mrská sebou, pochopitelně, vždyť kus před ní je vrtule, a když se letí, tak je to fofr. A Voskovec, hledě na tu nit, řekl klasickou větu, kterou si dodnes opakuji, kdykoliv letím: Strachuji se, aby únava materiálu nezavinila pád letounu…“ (JanWerich vzpomíná … vlastně potlach, 1983)

Pro čtenáře, kteří s problematikou mechaniky lomu přicházejí do styku poprvé, několik slov úvodem: U celé řady konstrukčních prvků či celků, mezi které patří i tak exponovaná zařízení jako tlaková nádoba jaderného reaktoru či křídlo dopravního letounu, se z technologicko-ekonomických příčin není možno zcela vyvarovat výskytu trhlin či jiných ostrých defektů. S jejich objektivní existencí je proto třeba počítat při výběru optimálního materiálu, dimenzování konstrukcí, posuzování bezpečnosti jejich provozu, odhadu jejich životnosti, plánování harmonogramu prohlídek a oprav apod. Klasická konstrukční filosofie je schopna vzít existenci trhlin v úvahu pouze z hlediska oslabení nosného průřezu. Trhlina je však též velmi účinným koncentrátorem napětí; v okolí

-6-

PŘEDMLUVA __________________________________________________________________________________________

jejího čela dochází k výrazným kvantitativním i kvalitativním změnám pole napětí a deformací. Použití konvenční konstrukční filosofie není v tomto případě adekvátní, může vést k podhodnocení nebezpečí vzniku poruchy a tedy ke zvýšení rizika havárie s velmi závažnými následky. Pro objektivní posouzení vlivu přítomnosti trhliny je třeba zcela změnit přístup a vzít v úvahu poznatky multidisciplinárního oboru, kterým je lomová mechaniky. Únosnost konstrukčních prvků s trhlinami, stanovená na základě koncepce lomové mechaniky, bývá obvykle podstatně nižší než hodnoty predikované konvenčním postupem. Při použití lomové mechaniky neposuzujeme pouze mezní stav materiálu, ale mezní stav soustavy materiál – těleso (daného tvaru a rozměrů) za daných exploatačních podmínek (způsob a úroveň mechanického namáhání, teplota, prostředí apod.). V porovnání s klasickou konstrukční filosofií dochází mnohdy k výrazným změnám, které v některých případech vyúsťují k překvapivým a mnohdy i protikladným závěrům - např. odolnost vůči ztrátě stability trhliny roste s klesající mezí kluzu materiálu, s rostoucí teplotou, s klesající tloušťkou tělesa apod. V průběhu 15 let, která uplynula od prvního vydání, se jednotlivé výtisky těchto skript dostaly do rukou celé řady pregraduálních studentů i doktorandů jak na ČVUT v Praze, tak i na některých dalších českých a slovenských technických univerzitách. Ve snaze zlepšit aktuálnost a úplnost předkládaných informací bylo toto 4. vydání doplněno a rozšířeno. Doufám, že daný text bude i nadále plnit své hlavní poslání, kterým je seznámit studenty, vědecko-výzkumné pracovníky, konstruktéry, technology apod. s teoretickými základy, s možnostmi využití poznatků lomové mechaniky v praxi, ale i s omezeními, se kterými je nutno počítat. Pozornost věnovaná jednotlivým tématům (tj. obsah i rozsah jednotlivých kapitol, podkapitol a odstavců), je dána subjektivním přístupem, vycházejícím z dosavadních zkušeností autora, získaných v rámci dosavadní spolupráce s průmyslovými podniky, vědecko-výzkumnými ústavy a univerzitami. Největší pozornost je věnována únavovému procesu, neboť je primární příčinou převážné většiny lomů v praxi. V textu je uvedena řada odkazů na publikace, v nichž lze nalézt podrobnější informace a hlubší analýzu problémů, které jsou v předkládaných skriptech mnohdy jen naznačeny. Jiří Kunz Praha, červenec 2005

-7-

SEZNAM NEJDŮLEŽITĚJŠÍCH SYMBOLŮ _________________________________________________________________________________________

SEZNAM NEJDŮLEŽITĚJŠÍCH SYMBOLŮ a

délka (hloubka) trhliny, hloubka vrubu

[m]

ap

šířka zóny protažení

[m]

A

práce vnějších sil

[J]

b

délka ústí povrchové trhliny

[m]

B

tloušťka tělesa

[m]

C

poddajnost tělesa, obecně konstanta

COD

otevření trhliny

[m]

CTOD

otevření čela trhliny

[m]

C

bezrozměrný gradient napětí

[1]

d

průměr kruhového otvoru, velikost zrna materiálu

[m] [m]

D

poměr makroskopické rychlosti šíření únavové trhliny a rozteče striací

e

excentricita

E

modul pružnosti v tahu

Ep

součinitel deformačního zpevnění („plastický“ modul)

f

frekvence zatěžování

f(...)

tvarová funkce

[1]

F

síla

[N]

Fcl

uzavírací síla

[N]

Fop

otevírací síla

[N]

F(x,y)

Airyho funkce napětí

G

hnací síla trhliny, modul pružnosti ve smyku

i

imaginární jednotka

Im(...)

označení imaginární části komplexního výrazu

J

Riceův (Čerepanovův) J-integrál

k

poměr napětí 1 a 2 u dvouosého namáhání

K

faktor intenzity napětí

[MPa.ml/2]

Kc

lomová houževnatost

[MPa.ml/2]

Kcf

únavová lomová houževnatost

[MPa.ml/2]

KIc

lomová houževnatost ve stavu rovinné deformace

[MPa.ml/2]

[m/N]

[m] [MPa] [MPam] [Hz]

[N/m = J/m2] [MPa] [1]

-8-

[J/m2 = N/m] [1]


KIEAC

"prahová" hodnota, nad kterou dochází k šíření trhliny vlivem agresivního prostředí

[MPa.ml/2]

KISCC

"prahová" hodnota, nad kterou dochází k šíření trhliny v důsledku korozního praskání

[MPa.ml/2]

K

rozkmit faktoru intenzity napětí

[MPa.ml/2]

Kef

efektivní hodnota rozkmitu faktoru intenzity napěti

[MPa.ml/2]

Kp

prahová hodnota rozkmitu faktoru intenzity napětí

[MPa.ml/2]

Kpo

prahová hodnota rozkmitu faktoru intenzity napětí při R = 0

[MPa.ml/2]

Kpz

základní prahová hodnota rozkmitu faktoru intenzity napětí

[MPa.ml/2]

L

délka tělesa, vzdálenost podpor

[m]

m

exponent deformačního zpevnění

[1]

M

ohybový moment

[N.m]

n

obecně exponent

[1]

N

počet zatěžovacích cyklů

[1]

P

parametr asymetrie cyklu

[1]

r

polární souřadnice, rotační součinitel

[m] [1]

rp

rozměr plastické zóny

[m]

R

odpor proti šíření trhliny, parametr asymetrie cyklu

Rm

mez pevnosti materiálu v tahu

[MPa]

Rp0,2

smluvní mez kluzu materiálu

[MPa]

Re(...)

označení reálné části komplexního výrazu

s

kvantitativní parametr charakterizující strukturu materiálu, rozteč striací

S

velikost lomové plochy, faktor hustoty deformační energie

[m2] [N/m = J/m2]

Sc

kritická hodnota faktoru hustoty deformační energie

[N/m = J/m2]

t

čas

T

teplota, obecně podmínky exploatace

U

deformační energie

[J]

U(R)

poměr charakterizující otevření trhliny

[1]

u, v, w

složky vektoru posuvu

[m]

v

rychlost šíření únavové trhliny da/dN

V

objem

[N/m = J/m2] [1]

[m] [m]

[s] [C]

[m/cyklus] [m3]

-9-


W

šířka tělesa

X

obecné ozn. parametru, pomocí kterého se posuzuje stabilita trhliny

Z()

komplexní napěťová funkce

, g, n

součinitel koncentrace napětí



úhel definující orientaci trhliny vůči ose namáhání



specifická energie

ij

složky tenzoru deformace

[1]



faktor stísnění

[1]



komplexní číslo ( = x + iy)



komplexně sdružené číslo (   x  iy )



Poissonovo číslo materiálu

[1]



poloměr zakřivení dna vrubu

[m]

ij

složky tenzoru napětí

[MPa]

c

mez únavy hladkého tělesa

[MPa]

cl

uzavírací napětí

[MPa]

op

otevírací napětí

[MPa]

ij

smykové složky tenzoru napětí

[MPa]



polární souřadnice

[rad]

o

predikovaný směr šíření trhliny

[rad]

  


  


[m]

[1] [rad] [J/m2 = N/m]

- 10 -

1. HISTORICKÉ POZADÍ VZNIKU LOMOVÉ MECHANIKY _________________________________________________________________________________________

l. HISTORICKÉ POZADÍ VZNIKU LOMOVÉ MECHANIKY Vývoj lidské civilizace je úzce spjat s vývojem a výrobou nejrůznějších předmětů (zejména nástrojů), které lidem usnadňují jejich práci a významně rozšiřují jejich možnosti. Proces technického rozvoje s sebou přináší stále nové a složitější úkoly. V době kamenné bylo hlavním problémem pouze využití (tj. tvarování) přírodních materiálů (kamene, dřeva, kosti apod.). Již v této době však pračlověk intuitivně využíval zákonitostí mechaniky lomu např. při štípání pazourků [1],[2] – na základě empirických zkušeností optimalizoval svůj „technologický postup“ tak, aby k lomu došlo v požadovaném místě a s co nejmenším vynaložením energie. V době bronzové a železné navíc přibyl problém výroby a zpracování. Naznačená změna charakterizuje významný kvalitativní posun, související s hledáním optimálního materiálu pro daný účel. Výroba kovových materiálů je podmíněna použitím ohně. „Oheň je plamenný meč, jehož ostří proniká za viditelnou strukturu do nitra kamene“ uvádí J. Bronowski [3]. Měď začali používat lidé na Předním východě již téměř před deseti tisíci lety. Zpočátku zpracovávali pouze kov, který byl obsažen v hroudách, nacházejících se volně na povrchu země. Asi před sedmi tisíci lety se měď začala získávat tavením rudy (malachitu). Tím se lidské možnosti podstatně rozšířily. Čistá měď však měla jen malou pevnost a tvrdost a na měděných nástrojích nebylo možno vytvořit ostří požadované kvality. Potřebných vlastností bylo dosaženo přidáním arzénu, cínu, olova či dalších prvků, čímž vznikla nová slitina - bronz. Přestože samotný cín má ještě nižší tvrdost než měď, slitina těchto dvou kovů má tvrdost podstatně vyšší – např. bronz obsahující 10% Sn může mít až osmkrát větší tvrdost než čistá měď. S výrobou bronzu se začalo téměř před šesti tisíci lety na Předním východě, v severním Thajsku a v Číně [4]. Mezi starými čínskými obětními bronzovými nádobami jsou exempláře, které mají hmotnost až 1000 kg a výšku až 0,5 m. Protože v Číně až dosud nebyla objevena žádná vysoká nebo tavící pec z doby bronzové, musela být surovina pro takto veliké nádoby zároveň tavena a legována v mnoha hliněných tavících kelímcích na otevřeném ohni. To předpokládá navíc vysoký stupeň organizace práce a součinnost velkého počtu pracovních sil (podle odhadů i více než 200) [5]. Četnost výskytu železa v přírodě je podstatně větší, než četnost výskytu mědi. Pro tavení železných rud je však třeba vyvinout teplotu o cca 500C vyšší, než v případě rud měděných. Železo začali lidé používat nejdříve v jeho přirozené formě, které se na zemský povrch dostávalo prostřednictvím meteoritů. Sumerové proto železu říkali „kov z nebes“[3]. Jeden z nejstarších železných nástrojů byl nalezen zapadlý mezi kamennými kvádry pyramidy, - 11 -


postavené asi před 4500 lety v Egyptě. První ocel, tj. slitina železa s uhlíkem, byla patrně vyrobena asi před třemi tisíci lety v Indii. Odlévání železa bylo vynalezeno v Číně – nejstarší licí formy (na motyky a sekery) jsou dochovány z období 5. až 3. stolení př.n.l. (v Evropě se odlévání objevuje až ve 14. století n. l.) [5]. Asi od 2. až 4. století n. l. se pro tavení železné rudy začalo v Číně používat uhlí, což ještě ve 13. století vyvolalo velký obdiv Marka Pola: „Po celé zemi katajské se nachází jakýsi druh černých kamenů, které se dobývají v horách na způsob žil; tyto kameny žhnou a hoří jako dřevěné uhlí a udržují teplo daleko lépe než dříví. Tyto kameny nedávají plamen, leč něco málo na počátku, a když jsou takto rozdmýchávány, vydávají veliké teplo“ [5]. Kromě tavení se též postupně vyvíjela technologie kování. Až do nedávné doby však byla ocel vzácná a rozsah jejího použití byl velmi omezený. Nedostatek „železa“ byl trvalým problémem Říše římské. Tento materiál byl cennou kořistí římských armád při výpravách v oblasti Středozemního moře. V 7. století však islámské země Středozemní moře pro křesťanské lodě uzavřely. Pozornost Římanů se proto obrátila na země severně od Alp, kde se železo vyskytovalo ve větším množství. „Pilířem karolinských armád byla kavalerie obrněných jezdců a pilířem impéria železo“ píše historik P. Johnson [6]. „Když se karolinská armáda objevila před hradbami Pávie, hlavního města lombardského království, obléhaného krále Desideria hluboce zasáhl kovový třpyt nepřátel. Zvolal: O ferrum! Heu ferrum!“ Trvalo celou řadu století, než byla problematika výroby dnes běžných kovových slitin a technologie jejich zpracování uspokojivě vyřešena jak z hlediska technického, tak i ekonomického. Kovové výrobky byly značně drahé a tudíž pro širší použití nedostupné. Lze např. odhadnout, že ve 13. století byla výzbroj a výstroj rytíře a jeho koně přibližně stejně nákladná jako tank ve 2. světové válce [7].

Obr.1.1 – První parní lokomotiva Rocket, kterou navrhl konstruktér G. Stephenson (1829). - 12 -


Ke skutečně masovému uplatnění ocelí a dalších slitin kovů došlo až v 19. století. Důvodem byl vzájemně provázaný, řetězový proces objevů a změn, ke kterým v tomto období došlo [8]. V roce 1828 James Beaumont Neilson podal patent, týkající se ohřevu vzduchu vháněného do vysokých pecí na cca 300°C. Použití tohoto postupu v praxi jednak snížilo spotřebu uhlí potřebného pro tavení železa asi na jednu třetinu, jednak umožňovalo efektivně využít i méně kvalitní druhy železných rud. V roce 1829 George Stephenson zkonstruoval a uvedl do provozu první parní lokomotivu (viz obr.1.1). Nákladní vlaky začaly rychle a levně přepravovat stále větší a větší množství uhlí a železné rudy, což např. ve Skotsku v období 1829-1845 umožnilo zvýšit produkci surového železa více než šestnáctkrát. V letech 18201900 tak došlo k poklesu ceny oceli přibližně k řád. Rostoucí dostupnost výrazně rozšířila možnosti využití kovových materiálů v běžné praxi. Zatímco na počátku 19. století bylo použití kovových slitin stále ještě spíše jen sporadické a např. kolejnice byly dosud dřevěné, koncem téhož století byly průmyslově vyspělé státy protkány již poměrně hustou železniční sítí, v Paříži byla v roce 1889 z 15 tisíc ocelových dílů a 2,5 miliónu nýtů postavena tehdy nejvyšší stavba na světě - Eiffelova věž (obr.1.2) apod.

Obr.1.2 – Stavba Eiffelovky věže v Paříži (zahájení 1887, dokončení 1889). - 13 -


Výrazný technický pokrok však byl provázen rostoucím počtem havárií konstrukcí (např. ocelových mostů, částí podvozků železničních vozů, kolejnic, rozměrných zásobníků plynu, kotlů apod.). Řada těchto havárií měla tragické následky. Např. v letech 1860 - 1870 umíralo ve Velké Británii asi 200 lidí ročně při železničních neštěstích [7]. Některé z těchto havárií byly způsobeny špatným konstrukčním návrhem. Posléze se však zjistilo, že primární příčinou porušení by mohly být defekty v použitém materiálu. Postupné zkvalitňování technologie a prohlubování poznatků o vlastnostech konstrukčních materiálů a o možnostech jejich využití přispělo ke snížení počtu havárií na přípustnou mez. Druhá fáze značného nárůstu počtu katastrof nastala v době širšího uplatnění velkých celosvařovaných konstrukcí ve 40. až 60. letech 20. století. Např. v průběhu 2. světové války bylo za pomoci této technologie postaveno asi 2 500 lodí, které byly součástí spojenecké flotily Liberty. Z této flotily se celkem 145 lodí (tj. asi 6 %) rozlomilo na dvě části a u téměř 700 dalších došlo k velmi vážným poruchám způsobeným lomy. Některé z těchto havárií nastaly při relativně velmi malém namáhání. Např. v roce 1943 došlo k rozlomení tankové lodi S. S. Schenectady na dvě části při kotvení v přístavu (viz obr.1.3). Při analýze napjatosti bylo odhadnuto, že v kritickém místě horní části paluby mohlo být vyvoláno napětí asi 70 MPa, což odpovídá pouze asi 50% přípustného pracovního zatížení, na které byla loď konstruována. K porušení došlo při relativně nízké teplotě - teplota vzduchu byla -3C, teplota vody v pří-stavu 4,5C [9], [10].

Obr.1.3 – Tanková loď S.S. Schenectady rozlomená na dvě části při kotvení v přístavu (1943).

- 14 -


K velmi vážným haváriím došlo i u jiných velkých svařovaných konstrukcí - např. u mostů, plynovodů, parovodních trub, tlakových nádob apod. Tyto zpočátku zdánlivě nevysvětlitelné nehody se po rozsáhlých výzkumech posléze podařilo vysvětlit. Primární příčinou byly opět defekty v konstrukčních materiálech či ostré konstrukční vruby, na kterých docházelo k lokální koncentraci napětí a ke vzniku trojosé napjatosti. Lomy měly křehký charakter a byly provázeny jen velmi malou plastickou deformací. Ke vzniku křehkého lomu přispěly nízké teploty. Nad určitou (tzv. přechodovou) teplotou měly lomy tvárný charakter. Bylo zjištěno, že k nežádoucímu zvýšení přechodové teploty, vedoucímu ke křehkému lomu, může dojít v důsledku lokálního ohřevu materiálu při svařování konstrukce. V současné době lze křehkému lomu svařovaných ocelových konstrukcí s úspěchem zabránit - používané materiály mají nízké přechodové teploty a proces svařování lze optimalizovat tak, aby se při něm přechodová teplota příliš nezvyšovala. Konstrukce se navrhují tak, aby se omezil výskyt míst s velkou koncentrací napětí a kritická místa se podrobují defektoskopické kontrole. počet obětí

počet nehod

počet obětí počet nehod Obr.1.4 – Statistika počtu nehod a obětí leteckých neštěstí v letech 1945-2004 [11]. Po 2. světové válce došlo k rychlému rozvoji letecké dopravy, který však byl provázen výrazným nárůstem počtu nehod i počtu obětí leteckých neštěstí (viz graf na obr.1.4). Hlavní konstrukční části letadel se v rostoucí míře vyráběly ze slitin na bázi Al či Ti, vyznačujících se jak vysokou pevností, tak i nízkou hmotností. Současně s vývojem nových konstrukčních materiálů se vyvíjely i metody, umožňující spolehlivější určení napjatosti. Využitím nově získaných poznatků bylo možno snížit koeficient bezpečnosti (který je v podstatě - 15 -


"koeficientem neznalosti"), což umožnilo další snížení hmotnosti konstrukcí letadel. Takto navrhované části z vysokopevných materiálů však měly jen malou zásobu bezpečnosti. Náhodné zvýšení provozního napětí (např. v důsledku výrazných poryvů větru apod.) spolu s případným vlivem agresivního prostředí pak mohou vést ke vzniku trhlin - zejména v místech výskytu již existujících defektů či jiných koncentrátorů napětí. Materiály s vysokou statickou pevností mají obvykle poměrně nízkou lomovou houževnatost, tj. mají nízký odpor proti vzniku a šíření nestabilních trhlin. Zbytková pevnost těles a konstrukcí s trhlinou je tedy v tomto případě nízká. Existence i relativně malé trhliny může způsobit, že se konstrukce z vysokopevného materiálu může porušit při napětí podstatně nižším, než je maximální přípustné provozní napětí, pro které byla tato konstrukce podle klasické koncepce navrhována. Lomy při nízkých napětích, iniciované na malých trhlinách, jsou v mnoha ohledech podobné výše zmíněným křehkým lomům ve svařovaných konstrukcích z ocelí o nižší pevnosti. Dochází při nich k velmi malé plastické deformaci a lom je z inženýrského hlediska křehký, i když z hlediska fraktografického je mikromechanismus separace stejný jako u lomu tvárného. Snaha po objasnění zákonitostí vzniku lomu při relativně nízkých napětích v materiálech o vysoké pevnosti, používaných zejména v leteckém průmyslu, vedla k vytvoření nové vědní disciplíny - mechaniky lomu, která je interdisciplinárním oborem mezi naukou o materiálu a mechanikou. Lomová mechanika je schopna poskytnout metodologii, potřebnou pro kompenzaci neadekvátnosti konvenčních konstrukčních návrhů, které jsou založeny na tahové pevnosti, mezi kluzu, pevnosti ve vzpěru a podobných klasických statických vlastnostech materiálu. Tato konvenční kritéria jsou adekvátní pro mnoho inženýrských konstrukcí, ale jsou neúspěšná v případě, že připustíme možnost výskytu defektů. Existence těchto defektů (strukturní vady materiálu, stopy po opracování či po jiných technologických procesech, trhliny apod.) je však objektivním jevem, který je třeba při konstrukčním návrhu v řadě případů vzít v úvahu. Hlavním úkolem lomové mechaniky je stanovení příčin vzniku trhlin, popis jejich šíření a stanovení podmínek jejich zastavení. Vhodnou aplikací poznatků lomové mechaniky již ve stadiu návrhu a vývoje lze významně snížit riziko poruchy a tedy zvýšit bezpečnost a spolehlivost provozu konstrukce. Poznatky lomové mechaniky v současné době přispívají nejen k řešení případů, ve kterých je třeba vzniku a šíření trhlin zabránit, ale i v případech opačných. Příkladem může být dobývání a drcení hornin, narušování ledových vrstev na vodních hladinách (viz např. [12]), štěpení monokrystalů, třískové obrábění materiálů, drcení šrotu apod. V těchto případech je lom užitečným jevem a naší snahou je optimalizovat podmínky jeho vzniku tak,

- 16 -


aby k porušení soudržnosti a celistvosti materiálu docházelo při minimální spotřebě energie. Jiným příkladem mohou být mechanické pojistky, zajišťující bezpečnost provozu některých technických zařízení. U těchto pojistek je třeba s vysokou spolehlivostí zajistit porušení funkčního elementu po dosažení kritické, předem zvolené hodnoty vnějšího zatížení. Je zřejmé, že poznání zákonitostí lomových procesů a možnost jejich uplatnění v praxi úzce souvisí nejen s otázkami technickými, ale i ekonomickými, sociálními, ekologickými apod. Pro ilustraci je možno např. uvést, že poruchy v důsledku lomů způsobují ročně škodu ve výši odpovídající přibližně 4 % celkového hrubého národního produktu (k obdobně vysokým ztrátám dochází též v důsledku koroze materiálů) [13], [14]. Přitom lze odhadnout, že asi třetině těchto ztrát by bylo možno zabránit aplikací poznatků lomové mechaniky, které jsou již v současné době k dispozici.

L I T E R A T U R A K 1. K A P I T O L E [1]

HOWELL,F.C.: Early Man. New York, Time-Life Books 1973.

[2]

http://donsmaps.com/makingflinttools.html

[3]

BRONOWSKI,J.: Vzestup člověka. Praha, Odeon 1985, 446 s.

[4]

HUMMEL,R.E.: Understanding Materials Science: History, Properties, Applications. New York, Springer-Verlag 1998, 407 p.

[5]

BÖTTGER,W.: Kultura ve staré Číně. Praha, Panorama 1984, 223 s.

[6]

JOHNSON,P.: Nepřátelé společnosti. Řevnice, Rozmluvy 1999, 242 s.

[7]

BROEK,D.: Elementary Engineering Fracture Mechanics. 4th Ed. Dordrecht, Martinus Nijhoff Publishers 1987, 516 p.

[8]

BURKE,J.: Efekt Tivoli. Brno, Books 1998, 376 s.

[9]

VASILČENKO,G.S. - KOŠELEV,P.F.: Praktičeskoje primenenije mechaniky razrušenija dlja ocenki pročnosti konstrukcij. Moskva, Izdavatělstvo Nauka 1974, 148 s.

[10] SMITH,R.A.: Fatigue Crack Growth. Oxford, Pergamon Press 1986, 146 p. [11] http:/aviation-safety.net [12] KUSUMOTO,S. - UCHIDA,T. - KIMURA,N. - OCHI,T.: Effect of Test Conditions on the Fracture Toughness of Fresh-Water Ice. In: Fracture Mechanics. Eds. H.Okamura, and K.Ogura. London and New York, Elsevier Appl. Sci. 1991, pp.43-63. [13] TAIT,R.B. - GARRETT,G.G.: Fracture and Fracture Mechanics. Case Studies. (Proc. 2nd Nat. Conf. on Fracture.) 1st Ed. Oxford, Pergamon Press 1985, 343 p. [14] Anon.: Fracture Costs US Industry $ 119 000 Million Every Year. Int. J. Fatigue, 5, 1983, No.3, p.176.

- 17 -

2. LOMOVÝ PROCES _________________________________________________________________________________________

2. LOMOVÝ PROCES Šířením trhliny dochází v původně celistvém materiálu k vytváření nových volných povrchů, tj. lomových ploch. Lom je procesem časově i prostorově nehomogenním, skládá se ze dvou základních etap - z etapy iniciace, probíhající ve větším či menším počtu lokalizovaných oblastí, a z etapy šíření a propojování jednotlivých dílčích diskontinuit.

2.1 HOUŽEVNATOST MATERIÁLU Z inženýrského hlediska je významnou vlastností konstrukčních materiálů jejich houževnatost, kterou lze obecně definovat jako schopnost absorbce energie. K absorbci energie dochází v zatíženém tělese jak v etapě předcházející porušování, tak v průběhu vlastního lomového procesu. Z hlediska lomové mechaniky houževnatost materiálu úzce souvisí zejména se schopností plastické deformace, která je dána pohyblivostí dislokací. Klesá-li tato pohyblivost (např. nahromaděním dislokací na určité překážce, snížením teploty apod.), klesá schopnost plastické deformace a tedy i schopnost absorbce energie houževnatost materiálu se snižuje. Houževnatost konstrukční slitiny je mimo jiné ovlivněna rovněž typem krystalové mříže základního kovu (např. austenitické oceli s kubickou plošně centrovanou mřížkou jsou houževnatější, než feritické oceli s kubickou prostorově centrovanou mřížkou) a přítomností intersticiálních či substitučních atomů v této mřížce (příkladem může být změna houževnatosti v průběhu deformačního či disperzního vytvrzování). Houževnatost materiálu ovlivňuje do značné míry lomový proces a tedy i charakter lomové plochy porušeného tělesa. Je-li houževnatost materiálu malá, jde o lom křehký, provázený relativně malou plastickou deformací, zatímco u materiálů s velkou houževnatostí jde o lom houževnatý, charakterizovaný plastickou deformací většího rozsahu. Členění lomů na lomy křehké a houževnaté je založeno na hledisku energetické náročnosti. Postačuje-li k lomu relativně malé množství energie, jde o lom křehký. Druhým extrémním případem je lom houževnatý, vyžadující relativně velké množství energie. Poznamenejme, že při uvedeném členění lomů obecně nezávisí na mikromechanismu porušování. Charakter mikromechanismu fraktografického.

porušování Každému

se

bere

v

úvahu

mikromechanismu

při

klasifikaci

porušování

odpovídá

lomů z hlediska určitý

soubor

mikrofraktografických znaků (tj. mikroskopických znaků lomové plochy). Podle jejich charakteru pak lomy dělíme jednak na štěpné a tvárné, jednak na transkrystalické a - 18 -

2. LOMOVÝ PROCES _________________________________________________________________________________________

interkrystalické. Přesto, že obvykle křehké lomy mají štěpný charakter a houževnaté lomy mají tvárný charakter, nelze obecně lomově-mechanické a fraktografické pojmy zaměňovat.

2.2 KŘEHKÝ LOM Z fraktografického hlediska je typickým představitelem křehkého lomu štěpný transkrystalický lom (obr.2.1), který je charakterizován především porušováním meziatomových vazeb podél určitých význačných krystalografických rovin - u železa např. podél rovin (100).

Obr.2.1 - Schéma transkrystalického lomu.

Obr.2.2 - Transkrystalický štěpný lom tělesa z oceli 11 600.

Obr.2.3 - Interkrystalický lom tělesa ze slitiny FE-28Al-4Cr.

Důsledkem tohoto lomového procesu je téměř rovinný a relativně hladký lom jednotlivých zrn v polykrystalickém materiálu (viz např. obr.2.2, na kterém je uveden snímek lomové plochy - 19 -

2. LOMOVÝ PROCES _________________________________________________________________________________________

tělesa z oceli 11 600, pořízený na řádkovacím elektronovém mikroskopu [1]). Poněvadž sousední zrna mají odlišnou krystalografickou orientaci, liší se i orientace štěpných faset v jednotlivých zrnech. Při přechodu trhliny z jednoho zrna do druhého dochází na jejich hranici k reiniciaci, která se na lomové ploše projeví tzv. říčkováním (viz např. [2]). Ploché fasety, odpovídající jednotlivým štěpně porušeným zrnům, dodávají lomu z makroskopického hlediska jasný, lesklý vzhled. Jiným příkladem křehkého lomu je štěpný interkrystalický lom (interkrystalická dekoheze), při kterém trhlina sleduje hranice zrn. Příklad lomu tohoto typu je uveden na obr.2.3 [3].

2.3 HOUŽEVNATÝ LOM Houževnatý (z fraktografického hlediska tvárný) lom vzniká působením mechanismů nukleace, růstu a koalescence (tj. propojování) mikroporuch, vznikajících na částicích sekundárních fází (tj. na inkluzích a precipitátech) obsažených v základní matrici (obr.2.4a).

a

b

c

d

Obr.2.4 - Schéma houževnatého tvárného lomu – vznik, vývoj a koalescence mikroporuch. Deformační charakteristiky těchto částic jsou odlišné od deformačních charakteristik okolní matrice - tyto částice např. mívají obvykle mnohem nižší houževnatost než matrice. Dojde-li v okolí částic k výraznému toku materiálu matrice, částice ztrácejí koherenci s matricí nebo praskají (obr.2.4b). Důsledkem je vytváření mikroporuch materiálu, které postupně rostou (obr.2.4c). Tvárné můstky matrice mezi jednotlivými poruchami se zužují (zaškrcují), až dochází k jejich 100% kontrakci, jednotlivé poruchy se propojují a dochází k závěrečnému, makroskopicky pozorovatelnému lomu tělesa (obr.2.4d). Působení uvedených mechanismů dodává tvárným lomům charakteristický vzhled – z makroskopického hlediska jsou matné, při mikroskopickém pozorování zjišťujeme, že lomová plocha je tvořena tzv. tvárnými důlky (viz - 20 -

2. LOMOVÝ PROCES _________________________________________________________________________________________

obr.2.5 a 2.6), které vznikly koalescencí mikroporuch, iniciovaných na jednotlivých částicích sekundárních fází. Tyto částice lze při mikrofraktografické analýze v některých případech uvnitř důlků nalézt. Obdobně jako u lomu štěpného rozeznáváme tvárný lom transkrystalický (viz např. obr.2.5, na kterém je uveden snímek lomové plochy tělesa ze slitiny FeCrlBTilNiB [4]) a interkrystalický (obr.2.6 - slitina FeCrS [4]). Na rozdíl od štěpení však tvárný lom nemůže nastat bez významné plastické deformace. Mechanismus výsledné separace je přímým důsledkem pohybu dislokací a skluzových posuvů, nezbytných pro růst a koalescenci mikroporuch. K tomu, aby nastala tvárná separace materiálu, je tedy třeba určité plastické deformace. Tato plastická deformace však může být omezena pouze na malý objem materiálu, těsně přilehlý k čelu šířící se trhliny. Z makroskopického hlediska dochází v těchto případech k relativně malé plastické deformaci, vyžadující dodání pouze malé energie.

Obr.2.5 - Transkrystalický tvárný lom tělesa ze slitiny FeCr18Ti1Ni8.

Obr.2.6 - Interkrystalický tvárný lom tělesa ze slitiny FeCr5.

Lomová plocha je pak relativně rovná a přibližně kolmá ke směru maximálního tahového napětí. Lomy uvedeného typu (vyskytující se např. u konstrukčních slitin s vysokou pevností a nízkou houževnatostí) lze z praktického inženýrského hlediska považovat za křehké, přestože mikromechanismus porušování má tvárný charakter. Proto je třeba důsledně odlišovat členění lomů z hlediska lomové mechaniky (lomy křehké, lomy houževnaté) od členění z hlediska fraktografického (lomy štěpné, lomy tvárné). - 21 -

2. LOMOVÝ PROCES _________________________________________________________________________________________

2.4 FAKTORY OVLIVŇUJÍCÍ CHARAKTER LOMOVÉHO PROCESU Pravděpodobnost vzniku křehkého lomu roste s klesající teplotou – viz obr.2.7 (podle [5]), na kterém je schématicky znázorněn graf teplotní závislosti vrubové houževnatosti. Je zřejmé, že křehký lom je energeticky méně náročný než lom houževnatý. Přechodová (tranzitní) teplota, při které dochází k výraznému poklesu vrubové houževnatosti, je velmi důležitou charakteristikou vrubové citlivosti konstrukčních materiálů.

Obr.2.7 – Schematické znázornění vlivu teploty a rychlosti zatěžování na vrubovou houževnatost a typ lomu. Tvar (strmost) a poloha křivky teplotní závislosti vrubové houževnatosti obecně závisí na řadě různých faktorů, např. na rychlosti zatěžování (resp. rychlosti deformace – viz obr. 2.7), agresivitě prostředí (voda, kyseliny, soli atd.), radiačním ozáření a podmínkách, za kterých k němu došlo apod. U ocelí hraje významnou roli chemické složení – se snižujícím se obsahem uhlíku vrubová houževnatost roste a přechodová teplota se snižuje [6]. Podobně pozitivní vliv má např. naopak rostoucí obsah manganu a niklu [7]. 100

100

80

80

60

60

40

40

fk [%]

20

0 -100

KCV [J/cm2]

0

100

200

300

20

podíl křehkého lomu fk [%]

vrubová houževnatost KCV [J/cm2]

OCEL N10

0 400

teplota T [°C]

Obr.2.8 - Závislost vrubové houževnatosti a podílu křehkého lomu na teplotě pro ocel N10. - 22 -

2. LOMOVÝ PROCES _________________________________________________________________________________________

Konkrétní příklad závislosti vrubové houževnatosti KCV na teplotě pro Cr-Mo ocel N10 je uveden na obr.2.8 [8],[9]. V témže obrázku je vynesena teplotní závislost fraktograficky stanoveného podílu křehkého lomu fk na procesu porušování. Je zřejmé, že pokles vrubové houževnatosti souvisí s růstem podílu energeticky méně náročného křehkého lomu. U kovů, které mají schopnost se porušovat jak štěpným, tak tvárným mechanismem, je přechod mezi těmito mechanismy závislý i na stavu napjatosti, neboť štěpný lom je řízen maximální tahovou složkou napětí, zatímco tvárný lom obvykle závisí na maximální smykové složce. Blíží-li se stav napjatosti podmínkám hydrostatické napjatosti, kdy x = y = z a smykové napětí je nulové, roste pravděpodobnost, že za daných podmínek (tj. materiálových vlastností, teploty, prostředí, rychlosti deformace apod.) dojde ke štěpení. Roste-li naopak vliv smyku, tj. plastické deformace podél rovin atomů, které mají vůči smyku nízký odpor a které se nazývají skluzové roviny, nastává v rostoucí míře lom tvárný a makroskopický vzhled lomu se mění - lom přechází z roviny kolmé na směr hlavního tahového napěti do roviny šikmé, svírající se směrem tahového napětí úhel přibližně 45. Vývoj konstrukčních materiálů z hlediska odolnosti vůči křehkému lomu lze ilustrovat na příkladu ocelových plechů, používaných při výrobě lodí – současné oceli mají v porovnání s ocelí použitou při stavbě Titanicu podstatně nižší přechodovou teplotu i vyšší vrubovou houževnatost (např. při teplotě 0°C ve směru příčném ke směru válcování asi 10x, ve směru podélném dokonce 30x) [10].


NEDBAL,I. - KUNZ,J. - SIEGL,J.: Fraktografická analýza únavových lomů náhodně zatěžovaných tyčí z oceli 11 600. (Výzkumná zpráva V-KMAT-106/82.) Praha, ČVUTFJFI-KMAT 1982, 35 s.

[2]

WHITESON,B.V. - PHILLIPS,A. - KERLINS,V.: Electron Fractographic Techniques. In: Techniques of Metals Research. Ed. R.F.Bunshah, Vol. II, New York, Interscience Publishers 1968, pp.445-497.

[3]

KARLÍK,M. - SIEGL,J. - KRATOCHVÍL,P. - HAUŠILD,P.: Mechanical Properties and Fracture of an Intermetallic Alloy Fe-28Al-4Cr-0.1Ce (at.%). Acta Polytechnica – Journal of Advanced Engineering, 40, 2000, No.4, pp.130-136.

[4]

KUNZ,J. - NEDBAL,I.: Výsledky orientační fraktografické analýzy lomových ploch litých vzorků ze slitin typu Fe-Cr-Ti. (Výzkumná zpráva V-KMAT-65/79.) Praha, ČVUT-FJFI-KMAT 1979, 27 s.

[5]


- 23 -

2. LOMOVÝ PROCES _________________________________________________________________________________________

[6]

IRVINE,W.H. – QUIRK, A. – BEVITT.E.: Fast Fracture of Pressure Vessels: an Appraisal of Theoretical and Experimental Aspects and Application to Operational Safety. J. British Nuclear Energy Society, 3, 1964, No.1, pp.31-48.

[7]

CUKR,B. et al.: Oceli pro jadernou energetiku. I. Zahraniční zkušenosti. (Poradenská příručka/17). Praha, TEVÚH 1976, 283 s.

[8]

ČMAKAL,J. - KUDRMAN,J.: Degradace vlastností.oceli VT dílců výroby čpavku během dlouhodobého provozu. [Zpráva č. 988.] UJP PRAHA, a.s. 2002, 43 s.

[9]

KUNZ,J. – SIEGL,J. – ČMAKAL,J. – KUDRMAN,J.: Vliv dlouhodobého provozu na mechanické vlastnosti oceli N10. In: Sborník 10. konference Přínos metalografie pro řešení výrobních problémů (Lázně Libverda). Plzeň, ŠKODA VÝZKUM 2005, s.1 -5.

[10] LEIGHLY,H.P.Jr. – BRAMFITT,B.L. – LAWRENCE,S.J.: RMS Titanic: A Metallurgical Problem. Practical Failure Analysis, 1, 2001, No.2, pp.10-13, 33-37.

- 24 -

3. POLE NAPĚTÍ A DEFORMACÍ V OKOLÍ VRUBU A TRHLINY _________________________________________________________________________________________

3. POLE NAPĚTÍ A DEFORMACÍ V OKOLÍ VRUBU A TRHLINY 3.1 SHRNUTÍ ZÁKLADNÍCH VZTAHŮ TEORETICKÉ PRUŽNOSTI Dříve než přejdeme k popisu pole napětí a deformací v okolí vrubu nebo trhliny, uveďme stručné shrnutí nejdůležitějších základních vztahů z teorie pružnosti (viz např. [1] až [3]). Zvolme pravoúhlou souřadnou soustavu x, y, z. Posuvy ve směru os x, y, z označme u, v, w. Obecně platí u  u ( x, y , z ) v  v ( x, y , z ) w  w ( x, y , z ) .

(3.1)

Složky tenzoru deformace označme ij (i, j = x, y, z), resp. pro jednoduchost i  ii. Vztahy mezi složkami vektoru posuvu a složkami tenzoru deformace jsou dány Cauchyho vztahy

x 

u x

1  u v   xy     2  y x 

v y w z  z

1  v w   yz     2  z y  1  w u   xz    . 2  x z 

y 

(3.2)

Složky tenzoru deformace musí splňovat rovnice kompatibility 2  2 xy  2 x   y   2 xy y 2 x 2

   yz  zx  xy   2 x     x  x y z  yz

 2 y

2    yz  zx  xy    y      y  x y z  xz

z 2



 2 yz  2 z  2 yz y 2

(3.3)

   yz  zx  xy   2 z     . z  x y z  xy

 2 zx  2 z  2 x   2 zx x 2 z 2

Složky tenzoru napětí označme ij (i, j = x, y, z), přičemž normálová napětí (tahová či tlaková, i = j) označme pro jednoduchost i  ii - viz obr.3.1. Pro smyková napětí ij  ij (i  j) platí poučka o sdruženosti napětí

 ij   ji

(i, j = x, y, z).

(3.4)

Složky tenzoru napětí musí splňovat diferenciální rovnice rovnováhy, které mají v případě zanedbání objemových sil tvar

 x  xy  xz    0, x y z

 xy  y  yz    0, x y z - 25 -

 xz  yz  z    0. x y z

(3.5)


y

yy yx

zy

yx yz

0

zz

zx

xz

xx x

z Obr.3.1 - Složky tenzoru napětí. Vztah mezi složkami tenzoru napětí a složkami tenzoru deformace je dán zobecněným Hookovým zákonem  

 x  2G  x   

 y  2G  y   

 z  2G  z 

 1  2

 1  2

 1  2



x



x



x

   y   z  

 xy  2G  xy

   y   z  

 yz  2G. yz

   y   z  

 zx  2G  zx ,

(3.6)

resp. v inverzním tvaru

x 

1  x    y   z  E

 xy 

y 

1  y    z   x  E

 yz 

z 

1  z    x   y  E

 zx 

- 26 -

 xy 2G

 yz

(3.7)

2G

 zx 2G

.


Zobecněný Hookův zákon lze vyjádřit též v maticovém tvaru  xx    0 0 0   xx  1        1  v 0 0 0   yy   yy    zz     1  0 0 0   zz  E     , 0 0 1  2 0 0   yz   yz  1     1  2   0    0 0 0 0 1  2 0   zx   zx       xy  0 0 0 0 1  2   xy   0

(3.8)

resp.  xx  1     yy    zz  1      yz  E  0   0  zx    xy   0

kde

 1  0 0 0

 0 0 0   xx    v 0 0 0   yy  1 0 0 0   zz    , 0 1  0 0   yz  0 0 1  0   zx     0 0 0 1     xy 

(3.9)

E = modul pružnosti v tahu [MPa], G = modul pružnosti ve smyku [MPa],

 = Poissonovo číslo [1]. Mezi elastickými konstantami E, G a  platí vztah E G . 21   

(3.10)

Orientační hodnoty elastických konstant E, G a  pro některé materiály jsou shrnuty v Tab. 3.1 (podle [4], [5], [27]). Rozeznáváme dva základní typy rovinných úloh – rovinnou deformaci a rovinnou napjatost, pro které platí následující vztahy: a) rovinná deformace (ozn. RD)

u  u ( x, y )

z  0

 z    x   y 

v  v ( x, y )

 xz  0

 yz  0

w  0 , resp. konst.

 yz  0

 xz  0,

b) rovinná napjatost (ozn. RN)



 xz  0

z  

 yz  0

 yz  0

z  0

 xz  0 . - 27 -

1 



x

(3.11)

 y

 (3.12)


Tab.3.1 – Elastické konstanty některých materiálů. MATERIÁL (při T  20°C) Čisté kovy Hliník Hořčík Chróm Kadmium Měď Nikl Niob Stříbro Tantal Titan Vanad Wolfram Zlato Železo Konstrukční slitiny Hliníkové slitiny Mosaz Ocel Feritická tvárná litina Šedá litina Titanové slitiny Další materiály Mramor Žula Křemen tavený Karbid wolframu Sklo Sklo křemité Alkalické hlinito-křemičité porcelány Křemičitany hořečnaté Vysoce hlinitá korundová keramika Tepna

E [GPa]

G [GPa]

 [1]

70.3 44.7 279.1 49.9 129.8 199.5 104.9 82.7 185.7 115.7 127.6 411.0 78.0 211.4

26.1 17.3 115.4 19.2 48.3 76.0 37.5 30.3 69.2 43.8 46.7 160.6 27.0 81.6

0.345 0.291 0.21 0.30 0.343 0.312 0.397 0.367 0.342 0.321 0.365 0.28 0.44 0.293

70.0 103.5 210.0 169.0 103.5 115.0

26.25 38.89 84.0 63.7 - 65.7 41.85 43.56

0.333 0.33 0.25 0.286 - 0.327 0.26 0.32

55.17 21.89 48.28 18.86 73.1 31.2 534.4 219.0 68.97 27.81 80.1 31.5 50.0 - 100.0 20.0 - 40.0 60.0 - 110.0 24.0 - 46.0 200.0 - 400.0 80.0 - 165.0 0.0001 0.0000394

0.26 0.28 0.17 0.22 0.24 0.27 0.15 - 0.25 0.2 - 0.3 0.2 - 0.3 0.27

3.2 VLIV VRUBU NA NAPJATOST V TĚLESE Lomový proces je úzce spojen s lokálním výskytem vysokých koncentrací napětí a deformací. Při studiu zákonitostí vzniku a šíření trhlin se do jisté míry vycházelo z poznatků, získaných při analýze napjatosti v okolí vrubů. Pod obecný pojem “vrub” zahrnujeme jak vruby konstrukční, dané lokálními tvarovými změnami těles (otvory pro nýty či šrouby, zápichy, drážky apod. - viz např. obr. 3.2), tak i defekty technologického původu, způsobené např. heterogenitou použitého materiálu (dutiny, inkluze), třískovým obráběním atd. a defekty, - 28 -


ke kterým došlo za provozu v důsledku opotřebení (rýhy, vrypy), vlivem agresivního prostředí (korozní důlky) apod. K poznání zákonitostí změn napjatosti v okolí vrubu přispěl svými pracemi ve 30. letech zejména Neuber [6]. Zjistil, že účinkem vrubů dochází v jejich okolí k lokální změně silového toku, která se projeví kvalitativními i kvantitativními změnami pole napětí a pole deformací.

Obr.3.2 – Příklady konstrukčních vrubů, na kterých dochází ke koncentraci napětí. V okolí vrubu dochází ke vzniku trojosé napjatosti (a to i v případě, že nominální makroskopické namáhání tělesa je pouze jednoosé) a ke koncentraci napětí. Velikost koncentrace napětí charakterizuje tzv. součinitel koncentrace napětí (tvarový součinitel), obecně označovaný  (někdy též Kt).



a

Obr.3.3 - Hlavní geometrické parametry vrubu. V praxi se můžeme setkat se dvěma typy těchto koeficientů, které se liší definicí: Součinitel koncentrace napětí g je definován vztahem

g 

 max , 

- 29 -

(3.13)


kde max je maximální napětí na okraji (tj. v kořeni) vrubu a  je střední napětí v tělese vztažené k “brutto” průřezu, tj. k průřezu neoslabenému vrubem. Součinitel koncentrace napětí n je definován vztahem

n 

 max , n

(3.14)

kde max má tentýž význam jako ve vztahu (3.10) a n označuje nominální napětí, tj. střední napětí v tělese vztažené k “netto” průřezu, tj. ke skutečnému průřezu v místě vrubu. Hodnoty obou součinitelů koncentrace napětí g a n se od sebe mohou výrazně lišit. Při přejímání výsledků z literatury je proto třeba vždy znát, o který součinitel jde. Vzájemný přepočet g a n je obvykle snadný (obecně platí g > n). V případech, kdy jsou rozměry vrubů ve srovnání s rozměry tělesa zanedbatelné, však platí g = n  . Velikost součinitele koncentrace napětí ovlivňují tyto faktory: a) tvar a rozměry vrubu (zejména poloměr zakřivení dna  a hloubka a - viz obr.3.3), b) tvar a rozměry tělesa, c) způsob zatížení (tj. např. tah, ohyb, smyk apod.). Příklad, ilustrující vliv rozměrů vrubu na součinitel koncentrace napětí, je uveden na obr. 3.4. Jde o jednostranný vrub tvaru „U“ v polonekonečném tělese (tj. hloubka vrubu a je podstatně menší, než šířka tělesa W). V tomto případě platí a   2,7357    

0 , 4358

.

tah

(3.15)

součinitel koncentrace napětí 

15

13

11

9

7

5

U-vrub v polonekonečné desce zatížené tahem



 a W >> a

3

poměr a /



1 0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Obr.3.4 – Součinitel koncentrace napětí pro polonekonečné těleso s U-vrubem. - 30 -


V práci [28] je např. dokumentován povrchový korozní důlek, který má přibližně tvar Uvrubu s hloubkou a  0,15 mm a poloměrem zaoblení kořene   0,015 mm. Ze vztahu (3.15) pro tento konkrétní případ vyplývá součinitel koncentrace napětí   7,46. Z podmínky rovnováhy sil vyplývá, že dochází-li v bezprostřední blízkosti kořene vrubu ke koncentraci napětí, musí ve větší vzdálenosti od vrubu docházet naopak k odlehčení, tj. sledovaná složka tenzoru napětí musí poklesnout pod střední hodnotu  či n (viz obr.3.5).

 max =  .  těleso s vrubem zatížené nominálním napětím 

 y x )   d  gradient   y   dx  x  0 kořen vrubu

x

0 -0,2

Obr.3.5 - Koncentrace napětí na vrubu. Platí zákon poklesu, který lze zformulovat tak, že čím větší je špička napětí max v kořeni vrubu, tím rychleji dochází k poklesu napětí s rostoucí vzdáleností od vrubu, tj. tím menší má tato špička prostorový rozsah. Pokles napětí s rostoucí vzdáleností od kořene vrubu lze charakterizovat bezrozměrným gradientem napětí C , definovaným vztahem

  d  C    .    dx  x  0  max

(3.16)

Je zřejmé, že součinitel koncentrace napětí  a bezrozměrný gradient napětí C spolu souvisejí - obecně lze v souladu se zákonem poklesu konstatovat, že s rostoucím  klesá C. Např. pro případ eliptického centrálního vrubu v nekonečné desce platí vztah C  2   1 [7], ze kterého vyplývá odhad 2  C  3 . - 31 -




y

2b

z

x 2a

2W >> 2a

 Obr.3.6 - Těleso s centrálním vrubem eliptického tvaru zatížené tahem. Při výpočtu součinitele koncentrace napětí Neuber vycházel ze základních vztahů teoretické pružnosti. Příkladem výsledného analytického řešení může být vztah pro výpočet součinitele koncentrace napětí v široké desce s centrálním vrubem eliptického tvaru, zatížené tahovým napětím  (viz obr.3.6), kdy platí 1

 a   1  2   

2

,

tah

(3.17)

b2 kde   je poloměr křivosti elipsy s hlavní poloosou a a vedlejší poloosou b v jejím a vrcholu na ose x (viz obr.3.6). Závislost (3.17) je graficky znázorněna na obr.3.7 a porovnána  a s průběhy závislostí      pro tutéž geometrii tělesa s vrubem pro případ ohybového a   smykového zatížení, kdy platí [6]  a  1    

1

3  a      2    

1

2

2

 a 2   

- 32 -

 12

 .  

ohyb

(3.18)

smyk

(3.19)

3. POLE NAPĚTÍ A DEFORMACÍ V OKOLÍ VRUBU A TRHLINY _________________________________________________________________________________________ 12

 = max /nom

11



10 9

smyk 8

tah 7 6

ohyb

5 4 3 2 1

a /  0 0

5

10

15

20

25

30

Obr.3.7 - Závislost součinitele koncentrace napětí na geometrických parametrech vrubu v tělese zatíženém tahem, ohybem nebo smykem. Speciálním případem eliptického vrubu je kruhový otvor průměru d  2a  2b  2 (viz obr.3.8). V případě relativně malého otvoru ( d  2W ) platí podle vztahů (3.17) až (3.19)

  3 (tah),   2 (ohyb), resp.   6 (smyk). Je-li průměr kruhového otvoru d srovnatelný s šířkou tělesa 2W, je součinitel koncentrace napětí závislý na poměru d/2W - např. pro zatížení v tahu platí Heywoodův vztah [16]:  

 n  2  1  resp.

3

d   , 2W 

tah 2

d   g   1   , d 2W   1 2W 2

(3.20)

(3.21)

který je graficky znázorněný na obr.3.8. Tento graf mimo jiné názorně ilustruje rozdíl mezi součiniteli koncentrace napětí g a n - viz definiční vztahy (3.13) a (3.14).

- 33 -


TAH

11

9 8 7 6

d

součinitel koncentrace napětí 

10

F

g

5

2W

4

n

3

F

2 1

d /2W

0 0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

Obr.3.8 - Závislost součinitele koncentrace napětí na velikosti kruhového otvoru v tělese zatíženém tahem.

12

TAH

10

součinitel

9 8 7

e /W = 0,6

e /W = 0,4

e /W = 0,2

e /W = 0

F

d

6

e /W = 0,8

koncentrace napětí

g

11

5

e

4 3

2W 2 1

d/2W

F

0 0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

Obr.3.9 - Závislost součinitele koncentrace napětí na velikosti a excentricitě polohy kruhového otvoru v tělese zatíženém tahem.

- 34 -


V případě, že je kruhový otvor umístěn excentricky (viz obr.3.9), závisí součinitel koncentrace napětí nejen na poměru d/2W, ale i na poměru e/W:    d   0.00097    2W  e g    1    3.04    1  1 e  W   1  e   W    W

  e  0.8093 1  W  e  1   W 

 d    0.8551 1 e     1.6215  2W 1    W   e  e   1  1   W   W   

     1.9291   

(3.22)

Z grafu na obr.3.9 je zřejmé, že s rostoucí excentricitou součinitel koncentrace napětí g roste. Součinitel koncentrace napětí se dále zvyšuje v případě přenosu smykové síly z dříku nýtu či šroubu, procházejícího kruhovým otvorem, do tělesa [9] - viz obr.3.10.

F

d

velikost otvoru d /2W 0,2 0,3 0,4

součinitel koncentrace napětí  otvor s dříkem otvor bez dříku (obr.3.10) (obr.3.8) 6,55 3,14 5,25 3,36 4,96 3,74

2W

F

Obr.3.10 – Vliv přenosu síly přes dřík v otvoru na součinitel koncentrace napětí. Novější analytická, numerická i experimentální řešení napjatosti v okolí vrubů naznačila, že součinitel koncentrace napětí je o něco větší, než odpovídá původnímu Neuberovu řešení. Podrobnější diskusi této problematiky lze spolu s dalšími postupy výpočtu  nalézt např. v pracích [11], [12], [13] (pro oboustranný boční vrub), resp. v [10] (pro jednostranný vrub). Detailní rozbor problematiky pole napětí a posuvů v okolí eliptických vrubů je uveden např. v souhrnné práci [14]. Vztahy umožňující výpočet součinitele koncentrace napětí pro celou řadu dalších geometrických konfigurací těles s vruby lze nalézt např. v [6], [15] a [16]. Dosud jsme se při popisování stavu napjatosti v okolí vrubu zabývali pouze maximem tahového napětí y,max v bodě (x = 0, y = 0) - viz např. obr.3.5. V případě rovinných úloh lze poměrně snadno analyticky popsat průběh tahových složek tenzoru napětí x a y v rovině y = 0 v závislosti na souřadnici x. Např. v případě široké desky s centrálním kruhovým vrubem (obr.3.11), zatížené tahovým napětím , platí za předpokladu 2W  d [17] - 35 -


kde  

3  x x,0   2

2 4  2 x   2x    1    1     d    d

1  y x,0   2

2 4   2x   2x    1  3  1 , 2     d     d

(3.23)

F . 2WB 3



2,5

d

2

2W >> d

1,5



 y (x, 0)/  1

0,5

3  8

 x (x, 0)/  x /d [1]

0

d

0 2 1 2

1

2

3

4

5

Obr.3.11 - Závislost napětí x a y (pro y = 0) na vzdálenosti od kruhového otvoru v tělese zatíženém tahem. Průběh závislostí  x  x,0 a  y  x,0 je graficky znázorněn na obr.3.11. Je zřejmé, že v souladu s dříve uvedenými poznatky nabývá funkce  y  x,0 svého maxima v bodě (0,0), tj. na okraji otvoru, a dosahuje hodnoty  y,max  3 , tj.   3 . Funkce  x  x,0 dosahuje svého maxima v bodě x 



 d2 , kde nabývá hodnoty 

2 1

- 36 -

x,max

3  . 8


Obr.3.12 - Průběh napětí y v okolí kruhového otvoru v tělese zatíženém tahem. Čísla u isochromat udávají poměr y/ , kde  je nominální napětí. Hodnota  y,max  3 představuje maximum funkce  y  x, y  nejen na přímce y = 0, ale i v celé rovině x, y. Na obr.3.12 jsou znázorněny isochromaty (tj. čáry konstantního napětí), spojující body se stejnou úrovní napětí  y  x, y  . d  d Funkce  x  x, y  nabývá v rovině x, y největší absolutní hodnoty v bodě   ;   , kde 2  2 platí  x ,max    .

Glinka a Newport [18] odvodili obecné univerzální aproximativní vztahy, umožňující přibližně vyšetřit průběh závislostí  x  x,0 a  y  x,0 pro libovolné typy vrubů: a) tělesa s nižším součinitelem koncentrace napětí (  4,5), zatížená tahem 1 3 5 7   2 2 2 2         x x x x   x x,0    0,278   0,262   0,093   0,0116             3 2 3  x  x 2 x x    y x,0    1  2,33   2,59   0,907   0,037           

b) tělesa s vyšším součinitelem koncentrace napětí (  4,5), zatížená tahem

- 37 -

(3.24)

3. POLE NAPĚTÍ A DEFORMACÍ V OKOLÍ VRUBU A TRHLINY _________________________________________________________________________________________ 1 3 5 7   2 2 2 2         x x x x   x x,0    0,278   0,168   0,041   0,0032             1 3 2   x 2 x  x 2 x    y x,0    1  0,235   1,33   1,28   0,337  .          

(3.25)

Uvedené vztahy jsou graficky znázorněny na obr.3.13 pro tři různé úrovně součinitele koncentrace napětí . Průběhy funkcí (3.24) a (3.25) jsou kvalitativně podobné jako průběhy funkcí (3.23), uvedené na obr.3.11. 6,0

 y (x,0)

5,5

5,0

ORIENTAČNÍ PRŮBĚHY NAPĚTÍ PŘED DNEM VRUBU LIBOVOLNÉHO TYPU

4,5

4,0

3,5

3,0

=6

2,5  = 4,5

2,0 =3 1,5

 x (x,0)

1,0

=6  = 4,5

0,5

=3

x / 0,0 0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

Obr.3.13 - Průběh složek tenzoru napětí  x  x,0 a  y  x,0 před vrubem libovolného typu – viz vztahy (3.24) a (3.25). Vztahy (3.24) a (3.25) platí pro souřadnici x splňující podmínku 0  x  3. U vztahů pro výpočet  x  x,0 musí být navíc splněna i podmínka (W - a)  3.

- 38 -


Výsledky prací Neubera a jeho následovníků byly významným přínosem pro konstruktérskou praxi, neboť poskytly objektivní podklady pro kvantitativní posouzení stupně nebezpečnosti konstrukčních vrubů či technologických defektů. Při aplikaci těchto poznatků v praxi je však třeba vzít v úvahu jistá omezení, plynoucí ze základních předpokladů, na nichž byla teorie vrubů odvozena: 3,0

 2,5

 yy /R p 0,2 2,0

elastický stav d

elastoplastický stav

2W >> d

1,5

1,0

 0,5

x/d = relativní vzdálenost od okraje kruhového otvoru 0,0 0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Obr.3.14 – Porovnání průběhu závislosti yy = yy(x) pro elastický a elastoplastický materiál ve stavu RN (výsledky numerické simulace). 3,0

 2,5

2,0

 yy .E /R p 0,2

elastický stav d

elastoplastický stav

2W >> d

1,5

1,0

 0,5

x/d = relativní vzdálenost od okraje kruhového otvoru 0,0 0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Obr.3.15 – Porovnání průběhu závislosti yy = yy(x) pro elastický a elastoplastický materiál ve stavu RN (výsledky numerické simulace). - 39 -


Základním předpokladem byl elastický stav napjatosti, tj. předpoklad, že ani lokální napětí nepřekročí mez pružnosti daného konstrukčního materiálu. V případě ostrých vrubů (tj. vrubů s velmi malým poloměrem zaoblení ) je zřejmé, že součinitel koncentrace napětí stanovený na základě Neuberovy teorie by byl tak vysoký, že by odpovídající hodnoty maximálního napětí nebyly fyzikálně reálné. U běžných konstrukčních materiálů dojde v nejbližším okolí dna vrubu k plastické deformaci a redistribuci (tj. přerozdělení) napětí. Skutečný, tj elastoplastický, stav se projeví zvětšením deformace a snížením napětí v okolí vrubu ve srovnání se stavem čistě elastickým – viz obr.3.14 a 3.15, na kterých jsou graficky znázorněny výsledky numerického řešení pomocí metody konečných prvků pro ideálně elastoplastický materiál ve stavu rovinné napjatosti [29]. Je zřejmé, že v okolí kořene vrubu dochází obecně nejen ke koncentraci napětí, ale i ke koncentraci deformace. V čistě elastickém stavu z Hookova zákona vyplývá, že součinitel koncentrace deformace  je roven součiniteli koncentrace napětí  , tj.  =  = t , kde t označuje výše uvedenou teoretickou hodnotu součinitele koncentrace. V případě totálního zplastizování zbylého nosného průřezu však ke koncentraci napětí (narozdíl od koncentrace deformace) nedochází, tj.  = 1. Vztah mezi  a  je dán Neuberovým postulátem [19]

     t2

(3.26)

Např. v případě tělesa s kruhovým otvorem o průměru d ( d  2W ) zatíženého tahem v souladu se vztahem (3.17) platí t = 3. Ze vztahu (3.26) pro čistě elastický stav vyplývá rovnost  =  = t = 3, zatímco pro případ totálního zplastizování zbylého nosného průřezu

 = 1 a  = t2 = 9. Dalším omezujícím předpokladem byly úvahy, ze kterých se vycházelo při odvozování základních vztahů teoretické pružnosti. V zavedení pojmu nekonečně malého elementu tělesa je zahrnut apriorní předpoklad, že hmotu lze takto dělit, aniž by se měnily její vlastnosti. To mimo jiné znamená, že není brána v úvahu struktura materiálu. V praxi je tento předpoklad přijatelný jen v těch případech, kdy je poloměr křivosti vrubu  dostatečně velký ve srovnání s velikostí kvantitativního parametru (obecně ozn. s), charakterizujícího strukturu materiálu (tj. např. rozměr zrna). Pro případy, kdy tato podmínka splněna není, doporučoval Neuber počítat součinitel koncentrace napětí v závislosti na velikosti strukturního parametru s místo na poloměru křivosti vrubu , tj.



a . s

- 40 -

(3.27)


V blízkosti kořene vrubu dochází ke vzniku plastické deformace, která lokální špičky napětí “odbourává” (lze říci, že materiál se tak brání proti výrazným špičkám napětí). S touto skutečností se Neuber vyrovnal tak, že předpokládal, že až do vzdálenosti s od kořene vrubu je napětí konstatní. Vzhledem k tomu, že trhliny lze považovat za vruby s velmi malým poloměrem zaoblení, je třeba vzít výše uvedené poznatky v úvahu i v dalších kapitolách, zabývajících se vznikem a šířením trhlin v tělesech, vyrobených z reálných konstrukčních materiálů.

3.3 NAPJATOST V TĚLESE S TRHLINOU 3.3.1 Definice a základní pojmy Pro popis napjatosti tělesa s trhlinou použijeme pravoúhlý souřadnicový systém x, y, z, jehož zavedení je zřejmé z obr.3.16. Osa x je orientována ve směru šíření trhliny, tj. kolmo na její čelo, které zde pro jednoduchost budeme považovat za přímkové. Celkový rozměr tělesa obdélníkového průřezu ve směru osy x se nazývá šířka tělesa (ozn. W). Osa y je orientována kolmo na rovinu lomu, celkový rozměr tělesa ve směru osy y se nazývá délka tělesa (ozn. L). Osa z je rovnoběžná s čelem trhliny a celkový rozměr tělesa ve směru této osy se nazývá tloušťka tělesa (ozn. B).

y

L

a x

0

z B W Obr.3.16 - Zavedení souřadné soustavy a označení hlavních rozměrů tělesa s trhlinou. - 41 -


Pro řešení elastické napjatosti v okolí čela trhliny v tělese se používá zákona superpozice. Výsledné řešení obecného případu je dáno superpozicí dílčích řešení, odpovídajících třem základním módům (způsobům , typům) namáhání, resp. porušování. Tyto tři módy (ozn. I, II, III) se liší orientací vnějšího zatížení, působícího na těleso, vzhledem k rovině lomu a k čelu šířící se trhliny a tedy i směrem vzájemného pohybu obou lící lomu (obr.3.17).

Obr.3.17 - Módy porušování tělesa (I – tahový mód, II – rovinný smykový mód, III – antirovinný smykový mód). Tahový mód I (v angl. literatuře nazývaný ”opening mode” nebo “tensile mode”) je charakterizován vnější silou působící kolmo na rovinu lomu, tj. ve směru osy y - viz obr.3.17a. Růst trhliny je v tomto případě řízen tahovou složkou tenzoru napětí y (viz obr.3.1). Rovinný smykový mód II (v angl. literatuře ”sliding mode”, “edge sliding“ nebo “inplane shear”) je charakterizován vnějšími silami působícími ve směru šíření trhliny, tj. ve směru x - viz obr.3.17b. Růst trhliny je řízen smykovou složkou tenzoru napětí xy (viz obr.3.1). Antirovinný smykový mód III (v angl. literatuře nazývaný ”tearing mode”, “antiplane shear” nebo “out-of-plane shear”) je charakterizován orientací vnějších sil ve směru rovnoběžném s čelem trhliny, tj. ve směru osy z - viz obr.3.17c. Růst trhliny je řízen smykovou složkou tenzoru napětí yz (viz obr.3.1). Z hlediska běžné technické praxe je nejdůležitější tahový mód I. Obecné řešení pole napětí deformací a posuvů je v případě složitější geometrie tělesa s trhlinou značně obtížné. V případě rovinných úloh (viz kap. 3.1), na které je možno celou řadu problémů vyskytujících se v běžné technické praxi zredukovat, je řešení podstatně jednodušší:

- 42 -


Diferenciální rovnice rovnováhy (3.5) jsou splněny, vyjádříme-li složky tenzoru napětí pomocí Airyho funkce napětí F(x,y), tj.

 2F y  2 x

 2F x  2 y

 xy  

 2F xy

(3.28)

Mají-li být navíc splněny rovnice kompatibility (3.3), vyjadřující spojitost materiálu deformovaného tělesa, musí být funkce F(x,y) biharmonická, tj. musí splňovat rovnici

 4F  4F  4F  2   0. x 4 x 2y 2 y 4

(3.29)

Libovolnou biharmonickou funkci F(x,y) lze podle Muschelišviliho [20] vyjádřit pomocí dvou holomorfních funkcí   a    komplexní proměnné   x  iy ve tvaru





F x, y   Re         ,

(3.30)

kde Re označuje reálnou část výrazu a  je komplexně sdružené číslo k   x  iy , tj.

  x  iy . Funkce F x, y   F   musí splňovat Cauchyho-Riemannovy podmínky, tj.  Re F  Im F F   Re x y 

 Im F  Re F F .   Im x y 

(3.31)

Pro složky tenzoru napětí v rovinných úlohách platí podle (3.28) vztahy 1                  2 1  x                             2 i  xy                     , 2

 y         

(3.32)

které se obvykle uvádějí ve formě tzv. Kolosovových vztahů





 x   y  2         4 Re   

 y   x  2i xy  2       , resp.

(3.33)

 y  i xy                .

Neznámé hodnoty složek tenzoru napětí určíme odseparováním reálných a imaginárních částí uvedených rovnic. Příkladem komplexních napěťových funkcí   a    mohou být tzv. Goursatovy polynomické funkce

- 43 -

3. POLE NAPĚTÍ A DEFORMACÍ V OKOLÍ VRUBU A TRHLINY _________________________________________________________________________________________ 



    Ai   i

     Bi    1 , i

i 0

(3.34)

i 0

kde exponenty i jsou reálné a koeficienty Ai , resp. Bi (i = 0, 1, 2,...) komplexní konstanty. Poznamenejme, že vyjádření složek tenzoru napětí pomocí komplexních napěťových funkcí se používá zvláště při numerických metodách řešení napjatosti v tělesech (např. při určování faktoru intenzity napětí pomocí metody konečných prvků [21]).

3.3.2 Tahový mód I Při řešení celé řady rovinných úloh lze v případě módu I složky tenzoru napětí stanovit pomocí postupu, který navrhl Westergaard [22]. Zvolíme holomorfní funkci komplexní proměnné Z   Re Z   i Im Z  splňující Cauchyho-Riemannovy podmínky (3.31) a stanovíme Airyho funkci napětí pomocí vztahu

F x, y   Re  Z  d  y  Im  Z  d . Pro tuto funkci platí

tj.

(3.35)

 4F  Re Z ( )  y  Im Z ( ) , x 4  4F  3 Re Z ( )  y  Im Z ( ) , y 4  4F  Re Z ( )  y  Im Z ( ) , x 2y 2  4F  4F  4F  2   0. x 4 x 2y 2 y 4

Funkce F(x,y) je tedy biharmonická a splňuje podmínky kompatibility (3.3). Westergaardovo řešení (3.35) je speciálním případem obecného Muschelišviliho řešení (3.30), odpovídající komplexním napěťovým funkcím  a (, pro které platí    

1 1 Z          Z   . (3.36) 2 2 Airyho funkci napětí ve Westergaardově tvaru (3.35) odpovídají podle vztahů (3.32)

a (3.36) za použití C.R. podmínek (3.31) složky tenzoru napětí

 y  Re Z    y  Im Z  

 x  Re Z    y  Im Z  

(3.37)

 xy   y  Re Z  . Pro ostatní složky tenzoru napětí platí vztahy

 z    x   y   2  Re Z  

RD

z  0

RN - 44 -

(3.38)


 xz  0

 yz  0 . Dosadíme-li do rovnic zobecněného Hookova zákona (3.7) za složky tenzoru napětí podle (3.37), dostáváme složky tenzoru deformace

x 

1 1  1  2  Re Z    y  Im Z    x   y   z   E E

x  y 





RD

1 1  x   y   z   1   Re Z    1   y  Im Z   E E





RN

1 1  1  2  Re Z    y  Im Z    y   x   z   E E

RD

y 







(3.39)



1 1  y   x   z   1   Re Z    1   y  Im Z   RN E E

z  0 z  

 xy 

 xy 2G



RD

2 Re Z   E

RN

1   y  Re Z   . E

Po integraci (3.39) s využitím Cauchyho vztahů (3.2) a úpravě dostáváme rovnice pro výpočet složek vektoru posuvu

 

 

1  1  2  Re  Z   d  y  Im Z   E 1  v    y dy  21   Im  Z   d  y  Re Z   E

u    x dx 

RD

w    z dz 0

 

(3.40)



1 u    x dx  1   Re  Z   d  1    y  Im Z   E 1 v    y dy  2 Im  Z   d  1    y  Re Z   E 2 w    z dz    z  Re Z   . E



RN

Vyjádření Airyho funkce napětí podle uvedeného Westergaardova postupu není zcela korektní [23], [24]. V obecném případě je třeba výsledné složky tenzoru napětí (3.37) doplnit o konstantní členy, které jsou nulové pouze za určitých speciálních podmínek zatěžování. Konkrétní tvar komplexní funkce Z   se určí tak, aby odpovídající složky tenzoru napětí splňovaly požadované okrajové podmínky.

- 45 -


Aplikujme Westergaardův způsob řešení na nekonečně velké těleso s trhlinou délky 2a, zatížené dvouosým tahem - viz obr.3.18. Počátek pravoúhlého souřadného systému x, y zvolme v první fázi řešení v poloviční délce trhliny. Komplexní funkci Z   je třeba v tomto případě zvolit tak, aby funkce  y  x, y  splňovala následující podmínky: a) V dostatečné vzdálenosti od trhliny je vliv trhliny na napjatost tělesa zanedbatelný, tj. lim  y x, y    .

x 

b) V důsledku vrubového účinku trhliny bude v těsné blízkosti jejich čel docházet ke koncentraci napětí, tj.

 y  x, y    pro x  a  , resp. x   a , a y  0. c) Ze symetrie vůči ose y vyplývá

 y  x, y    y   x, y  . d) Líce trhliny jsou volným povrchem nepřenášejícím tahová napětí, tj.

 y x, y   0 pro  a  x  a a y = 0.



y





x 2a



Obr.3.18 - Nekonečně velké těleso s centrální trhlinou zatížené dvouosým tahem (Westergaardova úloha). Podmínky ad a) až c) bude splňovat např. jednoduchá funkce

 y  x, y  

 a 1    x

2



   x  x2  a2

- 46 -





1 2

.


Ze vztahu (3.37) vyplývá, že pro y = 0 bude  y  Re Z  . Má-li být splněna podmínka ad d), musí pro  a  x  a být funkce Z   čistě imaginární. Na základě uvedených úvah lze navrhnout komplexní funkci



Z   

a 1     

2



      2  a2





1 2

,

(3.41)

kterou použijeme pro řešení dané úlohy. Složky tenzoru napětí  x ,  y a  xy stanovíme pomocí rovnic (3.37). Je zřejmé, že okrajové podmínky jsou splněny, neboť

 x =  y =  a  xy = 0 pro    ,  y =  xy = 0 pro  a  x  a a y = 0.

y

y

 xy x r 2a





x

Obr.3.19 - Složky tenzoru napětí v okolí čela trhliny, zavedení polárních souřadnic.

Posuneme-li počátek souřadného systému do bodu (a, 0), tj. do kořene trhliny (viz obr.3.19), je třeba vztah (3.41) přepsat do tvaru

Z       a      2a 



1 2

.

(3.42)

V blízkém okolí čela trhliny, charakterizovaném nerovností   a , lze tento vztah zjednodušit do tvaru

Z   

 a

2 

1 2 1 2

.

Vyjádříme-li komplexní proměnnou v exponenciálním tvaru (obr.3.19), tj. - 47 -

(3.43)


  r. e i , resp. x  r  cos  , y  r  sin  , 1

Z    Z r,   

pak

 a2

2r 

e

1 2

i

(3.44)

 2

.

(3.45)

Z rovnice (3.45) vyplývají dílčí vztahy Re Z    Im Z   

 a

2r 

 a

1 2

1 2

cos

1 2

2r 2r 

1 2

sin

 2

Z    

,

3 , 2

Re Z     1

y  Im Z    r  sin   Im Z   

 a2

2r 

1 2

sin

 2

1

y  Re Z    r  sin   Re Z    

 a2

2r 

sin

1 2

cos

 2

 a

2r 2r 

 a

1 2

2

sin

 2

e

 3i

1 2

2r 2r 



cos

1 2

1 2

cos

 2

3 , 2

3 , 2

cos

3 , 2

potřebné pro výpočet složek tenzoru napětí podle rovnic (3.37), (3.38), tj. 1 2

 y r,   

 a 

 x r,   

 a2 

 xy r ,  

 a2

2r 

1 2 1

2r 

1 2 1

2r 

 z r ,    2 

 z r ,   0

1 2

 3   1  sin sin  cos , 2 2  2 

 3   1  sin sin  cos , 2 2  2    3 sin cos cos , 2 2 2

 a

2r 

1 2 1 2

 cos



(3.46)

RD,

2

RN,

 xz  0 ,  yz  0 . Uvedená řešení složek tenzoru napětí odpovídají předpokládanému dvouosému tahovému zatěžování (viz obr.3.18). Je-li totéž těleso zatíženo pouze jednoosým tahovým napětím  ve směru osy y, je třeba při výpočtu složky x podle vztahu (3.46) odečíst konstantní člen . Z rovnice (3.43) po integraci a úpravě vyplývají pomocné vztahy

 Z  d   a

1 2

1 2

1 2

1 2

i



(2 )    a (2r ) e 2 ,

- 48 -

3. POLE NAPĚTÍ A DEFORMACÍ V OKOLÍ VRUBU A TRHLINY _________________________________________________________________________________________ 1 2



1 2

Re  Z  d    a (2r ) cos , 2 1

1

Im  Z   d    a (2r ) 2 sin 2



. 2 Po dosazení za Z   do (3.40) dostáváme vztahy pro výpočet složek vektoru posuvů, tj.

u v

1 2

1

1 2

1

 a  r 2 

 2      1  2  sin   cos , G 2  2  2 

 a  r 2 

 2      2  2  cos   sin , G 2  2  2 

RD

w  0, (3.47)

u

1 2

1 2

 a  r  1        sin 2   cos ,    G  2  1   2  2  1

1

  a 2  r 2  2     v  cos 2   sin ,    G  2  1   2  2 

RN

1

2  a2  w  z  cos . 1 E 2r 2 2 Vztahy (3.46) a (3.47), popisující pole napětí a posuvů v okolí čela trhliny, byly odvozeny pouze pro nejbližší okolí čela trhliny. Omezující podmínku jsme v komplexní rovině zformulovali pomocí nerovnosti   a , tj. r a  1 . Za tohoto předpokladu jsme použili funkci Z   ve zjednodušeném tvaru (3.43). Při obecném řešení je třeba použít funkce Z   v exaktním tvaru (3.42), resp. po rozvoji této funkce v řadu je třeba vzít v úvahu i členy vyšších řádů. Při obecném řešení budou mít složky tenzoru napětí tvar r  ij r ,   C1   a



1 2

1



C1 a 2 r

1 2

1

0

r  r 2 f1ij    C 2   f 2ij    C3   f 3ij    ...  a a 

r f1ij     C n   a n2

n2 2

(3.48) f nij  .

Vztahy pro složky tenzoru napětí (3.46), odvozené pro blízké okolí kořene trhliny, lze ve zjednodušené formě zapsat ve tvaru

 ij r ,   

 a

1 2

2r  2 1

f ij   

- 49 -

 r   2 a



1 2

f ij  ,

(3.49)


který odpovídá prvnímu členu rozvoje (3.48) pro C1 



. 2 Míru nepřesnosti stanovení složek tenzoru napětí v důsledku zanedbání vyšších členů

rozvoje lze ilustrovat následujícím příkladem: Aproximujeme-li složku tenzoru napětí y před čelem trhliny (tj. pro  = 0, resp. y = 0) prvním členem rozvoje (3.48), tj. zanedbáme-li

 r členy obsahující    a

n 2 2

pro n  2, platí ve shodě s rovnicemi (3.46) a (3.49) 1

 y r ,0 

1

 a2

2r 

1 2

.

Přesnější hodnotu  y r,0 lze stanovit dosáhnout použitím aproximativního vztahu [23]

 y r,0 

5

1 1 3    r    r  2 3  r  2 1  r  2   1            , 4a 4a  2  a   4a   

  r  a  

2ar 2 1

 r který odpovídá prvním pěti členům rozvoje (3.48), tj. zanedbáním členů obsahujících    a pro n  6. Tato aproximace se již od exaktního řešení odlišuje velmi málo [25].

n 2 2

0,9

0,8

0,7

pouze 1. člen rozvoje  y (r ,  =0 ) 1. až 5. člen rozvoje  y (r ,  =0 )

1,0

r /a 0,6 0,001

0,01

0,1

1

Obr.3.20 - Vliv relativní vzdálenosti od čela trhliny na přesnost určení y (r,  = 0) při použití vztahu (3.45), tj. při aproximaci prvním členem rozvoje (3.48). Na obr.3.20 je vynesena závislost poměru 1 y r,0 5 y r,0 na relativní vzdálenosti od čela trhliny, tj. na poměru r a . Je zřejmé, že pro r a  0,1 by použití aproximace 1 y r,0 vedlo ke značné nepřesnosti. Tento kvantitativní odhad, specifikující pojem „blízké okolí čela trhliny“, je v souladu s poznatky získanými numericky [26]: do vzdálenosti r = 0,1  a od čela - 50 -


trhliny je chyba stanovení složek tenzoru napětí způsobená zanedbáním vyšších členů rozvoje (pro n  2) řádově 10%. V případě tělesa konečných rozměrů však tato chyba může být větší.

3.3.3 Rovinný smykový mód II Příklad namáhání tělesa s trhlinou, které odpovídá módu II, je uvedeno na obr.3.21. Jde o nekonečně velké těleso s centrální trhlinou, zatížené smykovým napětím  xy   působícím ve směru osy x. Při řešení pole napjatosti v okolí trhliny postupujeme zcela obdobně jako v případě módu I. Komplexní napěťovou funkci Z   opět volíme tak, aby splňovala příslušné okrajové podmínky, tj. v daném případě



Z        2  a 2





1 2

.

(3.50)

Odpovídající Airyho funkci napětí určíme pomocí vztahu [23]

F x, y    y  Re  Z   d .

(3.51)

y

 x 2a



Obr.3.21 - Nekonečně velké těleso s centrální trhlinou namáhané smykovým napětím (mód II). Dosazením (3.51) do (3.28) a použitím Cauchyho-Riemannových podmínek (3.31) dostáváme složky tenzoru napětí

 x  2 Im Z    y  Re Z    y   y  Re Z   - 51 -


 xy  Re Z    y  Im Z  

(3.52)

 z    x   y   2  Im Z  

RD

z  0

RN.

Obdobně jako v případě tahového módu I po dosazení do rovnic zobecněného Hookova zákona (3.7) za složky tenzoru napětí podle (3.52) dostáváme složky tenzoru deformace

x 

1 1  2  2  Im Z    y  Re Z    x   y   z   E E

x 





RD

1 1  x   y   z   2 Im Z    1    y  Re Z   E E





RN

y 

1 1  y  Re Z    2  Im Z    y   x   z    E E

y 

1 1  y   x   z    1     y  Re Z    2 Im Z   E E





RD





RN

z  0 z  

 xy 

 xy 2G



(3.53)

RD

2 Im Z   E

RN

1   Re Z    y  Re Z   . E

Po integraci (3.53) s využitím Cauchyho vztahů (3.2) a úpravě dostáváme rovnice pro výpočet složek vektoru posuvu

 

 

1  2  2  Im  Z   d  y  Re Z   E 1  2  1 Re  Z   d  y  Im Z   v    y dy  E

u    x dx 

RD

w    z dz 0

 

(3.54)



1 u    x dx  2 Im  Z   d  1     y  Re Z   E 1 v    y dy    1 Re  Z   d  1     y  Im Z   E 2 w    z dz    z  Im Z  . E



RN

Posuneme-li počátek souřadného systému do bodu (a, 0) a omezíme-li se na blízké okolí čela trhliny (tj. předpokládáme-li   r  a ), lze funkci Z   danou vztahem (3.50) zjednodušit do tvaru

- 52 -


 .a 2

Z   

tj.

Z r,   

 a

2r 

1 2

e

1 2

i

2 





2

1 2 1 2

,

(3.55)

 .a 

2r 

1 2

   cos  i  sin  , 2 2 

kterému podle vztahů (3.52) odpovídají složky tenzoru napětí

 x r,    

1 2

 a 

2r 

1 2

 3    2  cos cos  sin , 2 2  2 

1

 y r ,   

 a2

 xy r,   

 a2 

2r 

sin

1 2 1

2r 

 z r ,   0 ,

 3 cos cos , 2 2 2

 3   , 1  sin sin cos  2 2  2

1 2

 z r ,    2 



 a

2r 

1 2 1 2

 sin

 2

,

(3.56)

RD, RN,

 xz  0 ,

 yz  0 . a podle vztahů (3.54) složky vektoru posuvu

u v

1 2

1

1 2

1

  a  r 2 

 2      2  2  cos   sin , G 2  2  2 

  a  r 2 

 2      2  1  sin   cos , G 2  2  2 

RD

w  0, (3.57)

u

1 2

1 2

1

1

 a  r   2      cos 2   sin ,    G  2  1   2  2 

  a 2  r  2   1     v  sin 2   cos ,    G  2  1   2  2  1

2   a 2  w  z  sin . 1 E 2r 2 2

- 53 -

RN


3.3.4 Antirovinný smykový mód III Působí-li na nekonečně velké těleso s centrální trhlinou smykové napětí  yz   , působící ve směru osy z, jde o antirovinný smykový mód III - viz obr.3.22. Při tomto typu zatěžování obecně platí pro složky vektoru posuvu

u 0 v0

(3.58)

w  w ( x, y )  w (r,  ) .

y

 x 2a



Obr.3.22 - Nekonečně velké těleso s centrální trhlinou namáhané smykovým napětím (mód III). Z Cauchyho vztahů (3.2) vyplývají složky tenzoru deformace

x 0

 xy  0

y 0

 yz 

z 0

 zx

1 w 2 y 1 w  . 2 x

(3.59)

a z Hookova zákona (3.6) složky tenzoru napětí

x  0

y  0 z  0

 xy  0

w y w  zx  G . x  yz  G

- 54 -

(3.60)


Dosadíme-li pomocí (3.60) do diferenciálních rovnic rovnováhy (3.5), dostáváme po úpravě

 2w  2w   0.  x2  y2

(3.61)

Řešení harmonické rovnice (3.61) zvolíme ve tvaru [23] wx, y   w  

1 Im Z   . G

(3.62)

Takto definovaná funkce w(x,y) je harmonická, neboť platí

 2 w  2 w 1   2 Im Z x, y   2 Im Z x, y   1   2 Re Z x, y   2 Re Z x, y       0.       x y  x y   x 2  y 2 G   x2  y2  G Komplexní napěťová funkce Z   musí odpovídat příslušným okrajovým podmínkám, tj. v daném případě musí platit

Z         a 2

2





1 2

.

(3.63)

Dvě nenulové složky tenzoru napětí (3.60) jsou po využití zobecněného Hookova zákona (3.6), Chauchyho vztahů (3.2) a Cauchyho-Riemannových podmínek (3.31) dány vztahy

 xz  2G xz  G   yz  2G yz  G 

w  Im Z   Im Z   x x w  Im Z   Re Z   . y y

(3.64)

Posuneme-li počátek souřadného systému do bodu (a, 0) a omezíme-li se na blízké okolí čela trhliny (tj.   r  a ), lze funkci Z   danou vztahem (3.63) zjednodušit do tvaru 1

Z   

tj.

Z r,   

 a

2r 

1 2 1 2

e

i

 2



 .a 2

2 

1 2

,

(3.65)

1 2

 a    cos  i  sin  . 1  2 2r 2  2

Dosazením (3.65) do (3.64) dostaneme pro nenulové složky tenzoru napětí rovnice 1

 xz r ,    

 a2

2r 

1 2

sin

 2

, (3.66)

 yz r ,   

 a

2r 

1 2 1 2



cos . 2

- 55 -


Po integraci vztahu (3.65) podle  dostáváme 1

Z       a 2 2 



1 2

1

d    a 2 2  2 , 1

resp. 1 2

Z r,      a 2r   e 1 2

i

 2

1       a 2r 2  cos  i  sin  . 2 2  1 2

(3.67)

Dosadíme-li do vztahu (3.62) za Z   pomocí (3.67), dostáváme 1

wr ,   

 a2 G

1



2r  2 sin . 2

(3.68)

L I T E R A T U R A K E 3. K A P I T O L E [1]

DVOŘÁK,J.: Základy teoretické pružnosti. (Skripta ČVUT-FTJF.) Praha, SNTL 1965, 130 s.

[2]

OLIVA,Vl.: Aplikovaná mechanika kontinua I. Elastomechanika. (Skripta ČVUT-FJFI.) Praha, ES ČVUT 1982, 175 s.

[3]

FENNER,R.T.: Engineering Elasticity. Application of Numerical and Analytical Techniques. Chichester, Ellis Horwood Limited 1986, 434 p.

[4]

HERTZBERG,R.W.: Deformation and Fracture Mechanics of Engineering Materials. 2nd Ed. New York, John Wiley and Sons 1983, 700 p.

[5]

FÜRBACHER,I. - MACEK,K. - STEIDL,J. a kol.: Lexikon technických materiálů. Praha, Verlag Dashöfer 1998.

[6]

NEUBER,H.: Kerbspannungslehre. l.Auflage. Berlin-Heidelberg, Springer-Verlag 1937. 2. Auflage. Berlin-Heidelberg, Springer-Verlag 1958. 3. völlig neubearbeitete und erweiterte Auflage. Berlin, Akademie-Verlag 1985. Anglický překlad: Theory of Notch Stresses. London, J.W.Edwards 1946. Ruský překlad: Koncentracija naprjaženij. Moskva, Gostěchizdat 1947.

[7]

SCHIJVE,J.: Stress Gradients around Notches. Fatigue Engng Mater. Struct., 3, 1980, No.4, pp.325-338.

[8]

HERTEL,H.: Ermüdungsfestigkeit der Konstruktionen. Berlin-Heidelberg-New York, Springer-Verlag 1969, 660 s.

[9]

MAREK,P.: Vybrané stati z ocelových konstrukcí. (Aplikace mechaniky lomu.) III. díl. (Skripta ČVUT-FS.) Praha, Vydavatelství ČVUT 1973, 104 s.

[10] NODA,N. - NISITANI,H.: Stress Concentration of a Strip with a Single Edge Notch. Engng Fracture Mech., 28, 1987, No.2, pp.223-238. [11] NISITANI,H. - NODA,N.: Stress Concentration of a Strip with Double Edge Notches under Tension or In-Plane Bending. Engng Fracture Mech., 23; 1986, No.6, pp.10511065. [12] SHIN,C.S. - SMITH,R.A.: Fatigue Crack Growth from Sharp Notches. Int. J. Fatigue, 7, 1985, No.2, pp.87-93.

- 56 -


[13] SCHIJVE,J.: A Brief Note on the Estimation of Stress Concentration Factors of Sharp Notches. (Technical Note.) Int. J. Fatigue, 8, 1986, No.2, pp.95-97. [14] MAUGIS,D.: Stresses and Displacements around Cracks and Elliptical Cavities: Exact Solutions. Engng Fracture Mech., 43, 1992, No.2, pp.217-255. [15] BĚŤÁK,V.: Diagramy tvarových činitelů k výpočtu koncentrace napětí strojních částí a konstrukcí. Technické příručky sv.1. Praha - Běchovice, SVÚSS 1975. [16] PETERSON,R.E.. Stress Concentration Factors. New York, John Wiley and Sons 1974. Ruský překlad: Koefficienty koncentracii naprjaženij. Moskva, Izdavatělstvo Mir 1977, 304 s. [17] TIMOSHENKO,S. - GOODIER,J.N.: Theory of Elasticity. 2nd Ed. New York, McGraw-Hill 1951. [18] GLINKA,G. - NEWPORT,A.: Universal Features of Elastic Notch - Tip Stress Fields. Int. J. Fatigue, 9, 1987, No.3, pp.143-150. [19] BROEK,D.: The Practical Use of Fracture Mechanics. Dordrecht, Kluwer Academic Publishers 1988, 600 p. [20] MUSCHELIŠVILI,N.I.: Někotoryje osnovnyje zadači matěmatičeskoj teorii uprugosti. Moskva, Izdavatělstvo Nauka 1966. Anglický překlad: Some Basic Problems of Mathematical Theory of Elasticity. Groningen, P. Nordhoff and Co. 1953. [21] OWEN,D.R.J. - FAWKES,A.J.: Engineering Fracture Mechanics. Numerical Methods and Applications. Swansea, Pineridge Press Ltd. 1983, 305 p. [22] WESTERGAARD,H.M.: Bearing Pressures and Cracks. Trans. ASME, J. Appl. Mech., 6, 1939, No.2, pp. A49-A53. [23] SIH,G.C.: On the Westergaard Method of Crack Analysis. Int. J. Fracture Mech., 2, 1966, pp.628-631. [24] EFTIS,J. - LIEBOWITZ,H.: On the Modified Westergaard Equations for Certain Plane Crack Problems. Int. J. Fracture Mech., 8, 1972, pp.383-392. [25] KNOTT,J.F.: Fundamentals of Fracture Mechanics. London, Butterworth 1973, 267 p. [26] SMITH,R.A.: On the Short Crack Limitations of Fracture Mechanics. Int. J. Fracture, 13, 1977, No.5, pp.717-720. [27] BLAKE,A.: Practical Stress Analysis in Engineering Design. New York and Basel, Marcel Dekker, Inc. 1990, 690 p. [28] SCHIJVE,J.: Fatigue of Structures and Materials. Dordrecht, Kluwer Academic Publishers 2001, 513 p. [29] MATERNA,A.: Nepublikované výsledky.

- 57 -

4. DEFINICE MEZNÍHO STAVU A VÝBĚR PARAMETRU CHARAKTERIZUJÍCÍHO LOMOVÝ PROCES _________________________________________________________________________________________

4. DEFINICE MEZNÍHO STAVU A VÝBĚR PARAMETRU CHARAKTERIZUJÍCÍHO LOMOVÝ PROCES Mezní stav systému (tj. např. tělesa či konstrukce) lze definovat jako takový stav, který může být z hlediska funkce pro předepsanou povahu a délku provozu nepřípustný [1]. Takto vymezený pojem mezního stavu je značně obecný a zahrnuje v sobě celou řadu jevů. Příkladem může být porucha, definovaná jako jev spočívající v ukončení provozuschopného stavu objektu [2]. Speciálním případem poruchy je lom, vzniklý šířením trhliny, tj. porušením soudržností materiálu v kritickém místě tělesa či konstrukce. Úkolem lomové mechaniky je popsat podmínky stability a šíření trhlin. Poznání zákonitostí chování trhlin poskytuje podklady pro zajištění bezpečného a spolehlivého provozu těles a konstrukcí s trhlinami, s jejichž existencí je třeba v technické praxi objektivně počítat. Pro posouzení stability a pro popis kinetiky trhliny v zatíženém tělese se v lomové mechanice používá různých mechanických parametrů. Tyto parametry (obecně ozn. X) jsou funkcí [3]: a) způsobu a velikosti vnějšího zatížení včetně zbytkových pnutí apod., módu porušování, charakteru okrajových podmínek (ozn. ), b) polohy, tvaru a rozměrů a počtu jednotlivých trhlin (ozn. a), c) tvaru a rozměrů tělesa (ozn. L), d) mechanických vlastností materiálu, zejména modulu pružnosti a Poissonova čísla (ozn. M), tj.

X  X  , a, L, M .

(4.1)

Jedním ze základních požadavků, kladených na parametr X, je jeho geometrická invariantnost, jejíž splnění umožňuje stanovit kritickou hodnotu tohoto parametru (obecně ozn. Xc) na jednoduchých laboratorních zkušebních tělesech a používat tuto hodnotu pro tělesa rozmanitých tvarů a rozměrů. Je-li požadavek geometrické invariantnosti splněn, lze kritickou hodnotu Xc pokládat za materiálovou konstantu, charakterizující odpor dané slitiny proti šíření trhliny. Tato hodnota závisí jednak na struktuře materiálu a jeho nehomogenitách (soubor těchto veličin ozn. m), jednak na podmínkách exploatace (tj. např. na teplotě, agresivnosti prostředí, rychlosti deformace apod., ozn. T), tj. X c  X c m,T .

(4.2)

Hodnota Xc se stanovuje experimentálně. Postup určování hodnoty Xc je možno obecně popsat následujícím způsobem [3]: Ze zkoušeného materiálu, charakterizovaného souborem vlastností ozn. M a m, zhotovíme zkušební těleso (obvykle normalizované), jehož geometrie je dána parametry Ln a an. Toto těleso podrobíme za podmínek T vnějšímu zatížení n. Toto - 58 -


zatížení, jehož způsob je obvykle také normalizován, postupně narůstá, až dosáhne kritické hodnoty nc, při které se začne šířit trhlina. Kritická hodnota Xc se pomocí vztahu (4.1) vypočte jako

X c  X c  nc , an , Ln , M .

(4.3)

Kritériem dosažení mezního stavu, tj. z hlediska lomové mechaniky dosažení stavu, kdy se začne šířit trhlina, je porovnání parametru X, charakterizujícího okamžitý stav tělesa s trhlinou, s odpovídající kritickou hodnotou Xc. tj. X  Xc .

(4.4)

Charakter kritické hodnoty Xc závisí na mechanismu porušování, který proces šíření trhliny řídí. Nejčastěji používaným lomově mechanickým parametrem X je v praxi faktor intenzity napětí K (viz 5.kap.). Konkrétními příklady kritické hodnoty tohoto parametru, kvantifikujícími dosažení určitého mezního stavu, mohou být následující charakteristiky: a) V případě křehkého lomu je kritickou hodnotou lomová houževnatost Kc (viz odst. 5.4). Dosáhne-li faktor intenzity napětí K v tělese s trhlinou hodnoty Kc, trhlina ztrácí stabilitu a dojde k náhlému porušení zbylého nosného průřezu. b) V případě únavového procesu je řídícím lomově mechanickým parametrem rozkmit faktoru intenzity napětí K =Kmax - Kmin, kritickou hodnotou je prahová hodnota tohoto rozkmitu Kp (viz odst. 11.2). Dosáhne-li K hodnoty Kp, dochází ke stabilnímu, únavovému šíření trhliny. c) V případě korozního praskání dochází ke kombinovanému vlivu mechanického namáhání a chemických procesů. K uplatnění vlivu agresivního prostředí na stabilní šíření trhliny dochází, dosáhne-li faktor intenzity napětí K mezní hodnoty KSCC (resp. KEAC), závisející jak na vlastnostech sledovaného materiálu, tak i prostředí, ve kterém k porušování dochází. Pomocí kritéria stability, obecně vyjádřeného podmínkou X < Xc, lze např. řešit otázky spojené s návrhem konstrukce, provozované s existující, ale stabilní (tj. stojící nebo pomalu se šířící) trhlinou. V praxi to např. znamená určit maximální přípustnou délku trhliny amax a dimenzovat danou součást pro dané zatížení a daný typ materiálu. S technologickým požadavkem, aby součást obsahovala pouze trhliny délek a < amax úzce souvisí požadavek na zabezpečení defektoskopické kontroly, při které by se součásti s trhlinami délky a  amax vyřazovaly. Rozlišovací schopnosti defektoskopických zařízení zpětně ovlivňují volbu amax a tedy i konstrukční návrh či výběr materiálu - možnost detekce relativně malých trhlin je zvláště v případě rozměrnějších a geometricky členitějších konstrukcí omezena. - 59 -


V následujících kapitolách se věnujeme podrobněji několika konkrétním parametrům X, kterých se v lomové mechanice pro charakterizování stavu napjatosti v tělese a posouzení stability trhliny nejčastěji používá (faktor intenzity napětí K, otevření trhliny COD, hnací síla trhliny G, J-integrál). Výběr nejvhodnějšího parametru pro řešení konkrétního problému ovlivňuje několik různorodých faktorů, mezi které patří zejména: a) rozsah plastické deformace v tělese, b) materiál, ze kterého je těleso vyrobeno, c) charakter zatěžování, d) tvar a rozměry porušovaného tělesa, e) zkušenosti a experimentální možnosti pracoviště apod.

L I T E R A T U R A K E 4. K A P I T O L E [1]

ONDRÁČEK,E. - FARLÍK,A.: Mezní stavy v pevnostních výpočtech. Praha, SNTL 1973, 313 s.

[2]

ČSN Ol 0102. Názvosloví spolehlivosti v technice. 1979.

[3]

KROUPA,F.: Lomová mechanika. Čs. čas. fyz., A 28, 1978, č.2, s.101-123.

- 60 -

5. FAKTOR INTENZITY NAPĚTÍ _________________________________________________________________________________________

5. FAKTOR INTENZITY NAPĚTÍ 5.1 ÚVOD Faktor intenzity napětí je jednou z nejdůležitějších a v současné době i nejpoužívanějších mechanických veličin popisujících stav napjatosti v tělese s trhlinou. Jde o parametr, který zahrnuje jak velikost a způsob vnějšího zatížení, tak i základní kvalitativní a kvantitativní charakteristiky geometrie tělesa a trhliny.

5.1.1 Definice Rozevírání trhliny v tělese je řízeno velikostí rozhodující složky tenzoru napětí před čelem trhliny (tj. pro  = 0, resp. y = 0). Těmito složkami jsou y (pro mód I), xy (pro mód II) a yz (pro mód III). Pomocí uvedených složek tenzoru napětí jsou pro tři základní způsoby porušování definovány faktory intenzity napětí vztahy

K I  lim 2 r   y r,0 1/ 2

r 0

K II  lim 2 r   xy r,0 1/ 2

r 0

(5.1)

K III  lim 2 r   yz r,0 . 1/ 2

r 0

Z uvedených definic je zřejmý rozměr těchto parametrů, tj. (MPa.ml/2). Poznamenejme, že v naší i zahraniční literatuře se někdy dosud používají i jednotky jiné, např. (kp.mm-3/2) a (ksi.inl/2), pro které platí transformační vztahy 1 kp.mm-3/2 = 0,31 MPa.ml/2, 1 ksi.inl/2 = 1,1 MPa.ml/2.

5.1.2 Nekonečně velké těleso Dosadíme-li do vztahů (5.1) za y, xy a yz pomocí vztahů (3.46), (3.56), (3.66) a položíme-li  = 0, dostáváme faktory intenzity napětí pro nekonečné těleso K I    a 

1/ 2

K II    a 

1/ 2

(5.2)

K III    a  . 1/ 2

Poznamenejme, že někteří autoři (např. Sih) používají definice faktoru intenzity napětí, která neobsahuje člen 1/2. Při přejímání a aplikaci poznatků z literatury je proto třeba vždy vyjít z definice používané daným autorem. - 61 -


Součiny typu   a  , resp.   a  , se vyskytují ve všech výsledných pro výpočet 12

12

složek tenzoru napětí či složek vektoru posuvu - viz 3. kap. Je zřejmé, že známe-li velikost faktoru intenzity napětí, lze složky tenzoru napětí i složky vektoru posuvu v okolí čela trhliny snadno vyjádřit: a) Tahový mód I, stav rovinné deformace

 x r,   

 y r,   

KI

2 r 

1 2

KI

2 r 

 z r,    2

 xy r,   

1 2

 3    1  sin sin  cos , 2 2  2 

 3    1  sin sin  cos , 2 2  2 

KI

2 r  KI

2 r 

1 2

1 2

cos

sin

 2

 2

cos

,

 2

cos

3 , 2

(5.3)

1

K  r 2      u  I   1  2  sin 2   cos , G  2   2  2  1

K v I G

  r 2  2      2  2  cos   sin , 2  2    2 

w  0, b) Tahový mód I, stav rovinné napjatosti

 x r,   

 y r,   

KI

2 r 

1 2

KI

2 r 

1 2

 3    1  sin sin  cos , 2 2  2 

 3    1  sin sin  cos , 2 2  2 

 z r ,   0 ,  xy r,   

KI

2 r 

1 2

sin

 2

cos

 2

cos

3 , 2

1

K  r  2 1       u r ,    I     sin 2   cos , G  2  1   2  2  1

K vr ,   I G wr ,    

 r 2  2      cos 2   sin ,    2  2  1    2 

2 KI   z  cos . 1 E 2 r  2 2

- 62 -

(5.4)


c) Rovinný smykový mód II, stav rovinné deformace K II   3    x r,     2  cos cos  sin , 1  2 2  2 2 r 2 

 y r,   

K II

2 r 

 z r,     2  xy r,   

1 2

sin

 2

K II

2 r 

K II

2 r 

1 2

1 2

cos

sin

 2

 2

cos

3 , 2

,

 3    1  sin 2 sin 2  cos 2 ,

(5.5)

1

K  r 2      u r ,   II   2  2  cos 2   sin , G  2   2  2  1

K vr ,   II G

  r 2  2      2  1  sin   cos , 2  2    2 

wr ,   0 , d) Rovinný smykový mód II, stav rovinné napjatosti K II   3    x r,     2  cos cos  sin , 1  2 2  2 2 r 2 

 y r,   

K II

2 r 

1 2

sin

 2

cos

 2

cos

3 , 2

 z r,   0,  xy r ,   

K II

2r 

1 2

 3    1  sin 2 sin 2  cos 2 ,

(5.6)

1

K u r ,    II G

 r 2  2      cos 2   sin ,    2  2  1    2  1

K  r  2   1     vr ,    II     sin 2   cos , G  2  1   2  2  2 K II  wr ,     z  sin , 1 E 2 r  2 2

e) Antirovinný smykový mód III K III   xz r,     sin , 1 2 r 2 2 K III   yz r,    cos , 1 2 r 2 2 1

K  2r  2  wr,    III   sin . G   2 - 63 -

(5.7)


5.1.3 Princip superpozice Z definice K-faktoru a z principu superpozice, platného pro elastické pole napětí, lze odvodit: a) Působí-li na těleso n různých vnějších zatížení, pak jsou- li pro jednotlivá zatížení známy Westergaardovy funkce napětí Zj(), resp. obecněji Muschelišviliho napěťové potenciály j a j, j = 1, 2,..., n), pak lze tyto jednotlivé funkce sečíst a z výsledné součtové napěťové funkce n

Z     Z j   , resp. j 1

n

n

j 1

j 1

      j    a        j    ,

(5.8)

určit složky tenzoru napětí, složky tenzoru deformace, resp. složky vektoru posuvu. b) Jestliže každému z n působících vnějších zatížení (tj. sil, momentů apod.) odpovídá určitá hodnota faktoru intenzity napětí Kij, kde i = I, II, III; j = 1, 2,.., n, pak výsledný faktor intenzity napětí je dán součtem jednotlivých příspěvků v daném způsobu (módu) zatěžování, tj. n

K i   Kij

(i = I, II, III).

(5.9)

j 1

Obdobným způsobem lze princip superpozice uplatnit i při výpočtu složek tenzoru napětí, tenzoru deformací a vektoru posuvu. Příklad 5.1 - Použití principu superpozice při výpočtu faktoru intenzity napětí Jednoduchým příkladem aplikace principu superpozice může být řešení pole napjatosti v nekonečně velkém tělese s centrální trhlinou, u kterého je v horní polovině přenos tahové síly F realizován přes dřík nýtu, zatímco ve spodní polovině jde o standardní zatížení rovnoměrným konstantním napětím  = F/2WB, kde 2W je celková šířka tělesa a B je jeho tloušťka (viz obr.5.1 zcela vlevo). Úkolem je stanovit faktor intenzity napětí KI1 pro tento asymetrický případ kombinovaného namáhání. Pootočíme-li danou konfiguraci o 180° (viz druhý obrázek zleva), dostáváme tentýž faktor intenzity napětí, tj. platí KI1 = KI2. Superpozici obou uvedených případů (prostřední obrázek) tedy odpovídá faktor intenzity napětí KI3 = KI1 + KI2 = 2KI1. Tuto úlohu lze dále nahradit sumou dvou jednodušších symetrických případů, tj. tělesa zatíženého osovou silou F (druhý obrázek zprava) a tělesa zatíženého podél horního i dolního okraje konstantním napětím  = F/2WB (zcela vpravo). Platí tedy KI3 = KI4 + KI5. Porovnáme-li pravé strany uvedených rovnic, dostáváme - 64 -


K I1 

KI4  KI5 . 2

Uvedeným dvěma symetrickým případům odpovídají Westergaardovy komplexní napěťové funkce Zj(), j = 4 (zatížení silou F), j = 5 (zatížení napětím ) ve tvaru [1]









Z 4    Fa  B    2  a 2 1

resp. viz vztah (3.41)

Z 5        2  a 2

1 / 2

,

1 / 2

,

kde   x  i  y . 



F

F

a

a



2W

+

a

a

=

a

F

=

a

a

F



KI1

F

a

+

a

F



KI2 = KI1

a



KI3 = 2KI1

KI4

KI5

Obr.5.1 – Nekonečně velké těleso s centrální trhlinou zatížené silou F a napětím  = F/2WB. Posuneme-li počátek souřadného systému na čelo trhliny, dostáváme za předpokladu

  a komplexní napěťové funkce ve tvaru Z 4   

F

F



    cos  i sin  2 2 

 B  2a   B  2ar   a   a1 / 2    Z 5     cos  i sin  1/ 2 1/ 2  2 2a  2r   2 1/ 2

1/ 2

Složky tenzoru napětí yj, j = 4, 5, které jsou v případě tahového módu I rozhodující, stanovíme pomocí vztahu (3.37), který se pro y = 0 ( = 0) zredukuje do tvaru

 yj  x,0  Re Z j   , j = 4, 5, tj.

 y 4 r ,0   y 5 r ,0 

F

 B  2a r  1 / 2  a1 / 2

2r  1 / 2

- 65 -

.

,


Dosadíme-li pomocí uvedených rovnic do definičního vztahu (5.1), dostáváme K I 4  lim 2 r   y 4 r ,0 

F  a 1 / 2 , B r 0 F 1/ 2 1/ 2 1/ 2  lim 2 r   y 5 r ,0     a     a  . 2WB r 0 1/ 2

KI5

Pro výchozí případ (viz obr.5.1 zcela vlevo) tedy pro výpočet faktoru intenzity napětí dostáváme výsledný vztah ve tvaru

K I1 

1/ 2   KI4  KI5 1  F F 1 / 2  a 1 / 2   F   a   1  1  .    a   2 2B 2WB 2B    a  2W 

Závislost faktoru intenzity napětí v normalizovaném tvaru na relativní délce trhliny je graficky znázorněna na obr.5.2. 20

F

15

a

a

10 2W

5



a/W [1] 0 0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

0,1

Obr. 5.2 – Závislost faktoru intenzity napětí na relativní délce trhliny

5.1.4 Těleso konečných rozměrů U reálného tělesa s konečnými rozměry bude pole napětí v okolí čela trhliny ovlivněno volnými okraji tělesa. V těchto případech bude faktor intenzity napětí záviset i na geometrických parametrech, charakterizujících tvar a rozměry tělesa (zejména na šířce W a na délce L - viz obr.3.18), což lze obecně vyjádřit vztahy K I    a 

f I a, W , L,...

K II    a 

f II a, W , L,...

1/ 2

1/ 2

K III    a 

1/ 2

f III a, W , L,....

- 66 -

(5.10)


Funkce fj(a,W,L,...), j = I, II, III, respektující konečné rozměry tělesa, jsou tzv. tvarové funkce. Je zřejmé, že rovnice (5.2), platné pouze pro nekonečná tělesa, jsou speciálním případem vztahů (5.4) pro fj(a,W,L,...) = 1, j = I, II, III. Určování tvarových funkcí pro konkrétní geometrickou konfiguraci tělesa s trhlinou (tj. tzv. K-kalibrace) se v praxi provádí několika různými metodami. Tyto metody lze orientačně rozdělit do čtyř základních skupin: a) metody analytické (metoda komplexních napěťových potenciálů, metoda konformního zobrazení apod. - viz např. [2], [3]), b) metody semianalytické (metoda kolokace okrajových podmínek apod. - viz např. [2], [3]), c) metody numerické (zejména metoda konečných prvků - viz např. [4] až [9]), d) metody experimentální, využívající různých měřících technik, např. 

fotoelasticimetrie [10] až [15],



odporová tenzometrie [16] (na základě této metody byly vyvinuty snímače, umožňující měření faktoru intenzity napětí i přímo na konstrukčních částech v provozních podmínkách [17] až [19]),



interferometrie [20],



moiré [21],



měření poddajnosti [22], [23],



měření rychlosti šíření únavové trhliny [20], [24], [25] apod. Vzhledem k tomu, že naší hlavní snahou je naznačit možnosti poznatků lomové

mechaniky při řešení problematiky výzkumné či provozní praxe, nebudeme se metodami určování faktoru intenzity napětí zabývat podrobněji. V současné: době jsou již k dispozici obsáhlé příručky ([3], [26] až [28]), které shrnují výsledky řešení pro celou řadu geometrických konfigurací těles s trhlinou pro různé typy zatěžování i pro různé okrajové podmínky. V těchto příručkách bývají výsledky řešení jednotlivých případů uvedeny buď analyticky, graficky nebo tabelárně. Uveďme řešení několika typů úloh, které se ve výzkumné praxi vyskytují nejčastěji (odst. 5.2 a 5.3).

- 67 -


5.2 TĚLESO OBDÉLNÍKOVÉHO PRŮŘEZU S CENTRÁLNÍ TRHLINOU 5.2.1 Vliv konečné šířky W V případě nekonečně širokého tělesa zatíženého rovnoměrným tahem (mód I) platí podle vztahu (5.2) K I    a  . V případě tělesa konečné šířky 2W (viz obr.5.3 vlevo) lze faktor 1/ 2

intenzity napětí vyjádřit ve tvaru (5.4). tj. K I    a 

1/ 2

f I a / W   F 2BW   a  1

1/ 2

f I a / W ,

(5.11)

kde fI(a/W) je tvarová funkce. Pro tuto nejčastěji diskutovanou konfiguraci tělesa s trhlinou se v literatuře vyskytuje celá řada analytických řešení tvarových funkcí fI(a/W). Jednotlivá řešení se liší jednak oborem hodnot a/W, ve kterém jsou použitelné, jednak přesností (tato poznámka platí obecně i pro další typy úloh). V průniku jednotlivých oborů platností se výsledky, stanovené podle různých analytických vztahů, obvykle liší jen velmi málo. MÓD II



MÓD III



a

2W

a

2L

a

2L



a

a



a

2L

MÓD I

 2W

2W

 Obr.5.3 – Těleso konečných rozměrů s centrální trhlinou namáhané tahovým módem I, rovinným smykovým módem II a antirovinným smykovým módem III. V praxi bývá nejčastěji používán vztah  a     a  f I    cos   W    2W 



1 2

,

(5.12)

doporučený normou ASTM [29], který pro a / W  0,7 umožňuje stanovit faktor intenzity napětí s přesností 0,3%, resp. pro a / W  0,8 s přesností 1%. - 68 -


Pro danou geometrickou konfiguraci se používá též tvarové funkce [26] 2

3

a a a (5.13) f I a / W   1  0,128    0,288    1,525   , W  W  W  pomocí které lze v případě splnění podmínky a / W  0,7 vypočítat hodnotu faktoru intenzity

napětí s přesností 0,5%. Průběh tvarové funkce (5.13) je graficky znázorněn na obr.5.4. 1,5 CENTRÁLNÍ TRHLINA

1,4 MÓD I a II (5.13)

1,3 f (a/W )

1,2 MÓD III (5.16)

1,1

a/W [1]

1 0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

Obr.5.4 - Průběh tvarových funkcí pro výpočet faktoru intenzity napětí v tělese konečné šířky (módy I, II a III- viz obr.5.3) Z hlediska rozsahu použitelných hodnot a/W i z hlediska přesnosti se však zdá být nejvýhodnější vztah [26] 1

 2 4 a  a  a      a  2 f I    1  0,025    0,06     cos  ,  W   W   W     2W 

(5.14)

platný v celém oboru hodnot a/W (tj. 0  a/W  1) s přesností 0,1%. Je- li těleso s centrální trhlinou zatíženo smykovým napětím, je tvarová funkce v případě módu II (viz obr.5.3 uprostřed) totožná s tvarovou funkcí módu I [26], tj. platí K II    a 

1/ 2

kde

f II a / W ,

f II  a / W   f I  a / W .

(5.15)

V případě módu III (obr.5.3 vpravo) lze faktor intenzity napětí exaktně stanovit pomocí vztahu K III    a 

1/ 2

f III a / W ,

kde 1/ 2

 2W   a  f III a / W    tg   .   a  2W 

- 69 -

(5.16)


Graf závislosti (5.16) je uveden na obr.5.4. V další části této kapitoly se budeme zabývat pouze tahovým zatížením, tj. módem I, který je v praxi nejběžnější. 

a



a

a



a

2W

a



a

2W

a



a

a

a

2W

2W 2W











Obr.5.5 - Nekonečně široké těleso s nekonečnou řadou kolineárních trhlin délky 2a s roztečí 2W, konečné těleso šířky 2W s centrální trhlinou délky 2a. Vliv konečných rozměrů tělesa (a tedy i okrajových podmínek) na pole napětí a deformací v okolí čela trhliny, charakterizované faktorem intenzity napětí, lze ilustrovat příkladem uvedeným na obr.5.5. 4

3

těleso konečné šířky 2W

f I (a/W )

nekonečně široké těleso

2

a/W [1] 1 0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Obr.5.6 - Porovnání průběhu tvarových funkcí (5.17) a (5.12) pro nekonečné a konečné těleso z obr.5.5. - 70 -


Nekonečně široké těleso s řadou kolineárních trhlin délky 2a s roztečí 2W je zatíženo tahovým napětím . Odpovídající tvarová funkce je dána vztahem [28] tg a / 2W  a . fI    a / 2W W 

(5.17)

Jestliže z daného nekonečného tělesa vyčleníme jednu periodicky se opakující část, tj. těleso šířky 2W s centrální trhlinou délky 2a zatížené stejným tahovým napětím  je tvarová funkce dána vztahem (5.12). Porovnání tvarových funkcí (5.17) a (5.12) je graficky znázorněno na obr.5.6. Je zřejmé, že důsledkem volného povrchu na bočních stěnách konečného tělesa je zvýšení faktoru intenzity napětí.

5.2.2 Vliv konečné délky L Při výpočtu faktoru intenzity napětí se obvykle předpokládá, že vliv délky tělesa (na obr.5.3 ozn. 2L) je zanedbatelný. Tento předpoklad je splněn, je-li poměr L/W dostatečně velký - orientačně se uvádí nerovnost L/W > 1,5 [30]. V případě L/W < 1,5 hraje významnou roli charakter okrajových podmínek:. v případě konstantního napětí 

podél horního a

dolního okraje tělesa tvarová funkce fI(a/W, L/W) s klesající délkou tělesa (tj. s klesajícím poměrem L/W) nabývá větších funkčních hodnot, v případě konstantního posuvu v podél těchto okrajů (tj. v případě pevně uchycených okrajů tělesa) je tomu naopak, tj. čím menší je poměr L/W, tím menší je i funkční hodnota fI(a/W, L/W) [30].

5.2.3 Vliv průměru iniciačního kruhového otvoru d Jak v inženýrské praxi (např. u nýtových či šroubových spojů), tak při laboratorních zkouškách modelových těles dochází k iniciaci trhlin na kruhovém otvoru. Je-li průměr otvoru malý (tj. d/2W << 1), je řešení uvedeného případu totožné s řešením předchozím, tj. jako u tělesa bez otvoru. V případě větších otvorů však jejich vliv na napjatost v okolí čela trhliny zanedbat nelze. Vliv poměru d/2W na průběh tvarové funkce f I a / W , d / 2W  je graficky znázorněn na obr.5.7. Analytický tvar této tvarové funkce je uveden v původním příspěvku [75], resp. v příručce [28]. Z uvedeného grafu lze pro dané hodnoty a/W a d/2W odpovídající funkční hodnotu tvarové funkce odečíst. Obecně platí, že f I a / W , d / 2W  je rostoucí funkcí poměru d/2W. Pro porovnání je na tomto obrázku čárkovaně vyznačen i graf funkce (5.12), která odpovídá tělesu s centrální trhlinou bez kruhového otvoru (tj. d/2W ~ 0.

- 71 -


Podrobnější rozbor problematiky výpočtu faktoru intenzity napětí pro trhliny šířící se z kruhových otvorů lze nalézt např. v publikacích [31] a [76]. 5



4

3 a

fI(a/W;d/2W)

a

2 d

1

2W

d/2W d/2W = 0,1

0,2

0,3 a/W [1]

0

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0,4

0.5

0.6

0,5

0.7

0.8

0.9



Obr.5.7 – Vliv průměru centrálního kruhového otvoru v tělese na faktor intenzity napětí. Čárkovaně je vyznačen graf tvarové funkce (5.12), která odpovídá tělesu bez otvoru, resp. tělesu s otvorem velmi malého průměru, tj. d/2W ~ 0.

5.2.4 Vliv asymetrie šíření trhliny (excentricity e) Ve všech dosavadních úvahách jsme předpokládali symetrii trhliny vůči podélné ose tělesa. V některých případech je však třeba řešit i úlohu asymetrickou, při které střed trhliny neleží na ose tělesa - viz obr.5.8. 



e A

a W

a

B W





Obr.5.8 – Asymetrická trhlina. - 72 -


Excentricita je kvantifikována souřadnicí e, která udává vzdálenost osy trhliny od osy tělesa (v případě symetrie tedy platí e = 0). V okolí obou čel trhliny (ozn. A a B) jsou v tomto případě různá pole napětí a tedy i různé hodnoty faktoru intenzity napětí. Tvarové funkce lze obecně vyjádřit pomocí polynomů [77] 19

19

f IA (a / W )  1   Cn a / W 

f IB (a / W )  1    1 Cn a / W  ,

n

n2

n

n

(5.17)

n2

přičemž koeficienty Cn jsou funkcemi excentricity e. Konkrétní funkční hodnoty lze odečíst z grafů či tabulek uvedených v původním příspěvku [77], výzkumné zprávě [78] nebo v příručkách [3],[27],[28]. Tvarová funkce nabývá větších funkčních hodnot na čele trhliny, které je dál od středu tělesa (na obr.5.8 ozn. A). Na tomto čele trhliny je tedy i větší faktor intenzity napětí.Tvarovou funkci lze v tomto případě aproximovat empirickým vztahem [28]

  eW   sin  2  a W   1  e W    f IA a W ; e W     a W eW  cos  2  a W  1 e W  2 1 e W 

1 2

   ,    

(5.18)

graficky znázorněným na obr.5.9. 3,0 2,8 e/W = 0,9

2,6

0,7

0,5

0,3

0,1

2,4

fIA (a/W;e/W )

2,2 2,0 1,8 1,6 1,4 1,2 a/W [1] 1,0 0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

Obr.5.9 – Vliv asymetrie trhliny na faktor intenzity napětí na čele bližším okraji tělesa (na obr.5.9 ozn. A) – viz vztah (5.18). - 73 -

1,0


5.3 TĚLESO OBDÉLNÍKOVÉHO PRŮŘEZU S JEDNOSTRANNOU OKRAJOVOU TRHLINOU 5.3.1 Zatížení jednoosým tahem za podmínky konstantního napětí Pro nekonečně velké těleso (a << W) platí K I  1,12   a  . 1/ 2

(5.18)

Tento vztah byl odvozen od předchozího případu nekonečně velkého tělesa s centrální trhlinou fiktivním odříznutím jedné poloroviny (obr.5.10). V případě; centrální trhliny působila v rovině myšleného řezu napětí, která trhlinu částečně uzavírala. „Odříznutím“ jedné poloroviny vznikl nový volný povrch, na kterém tato napětí vymizela. Důsledkem je větší posuv na okraji trhliny a tedy i větší faktor intenzity napětí - na základě analýzy napjatosti asi o 12% (viz vztah (5.18)); než v tělese s centrální trhlinou.







L



a

a

a

L

W









Obr.5.10 – Přechod od centrální trhliny k okrajové trhlině.

Obr.5.11 – Okrajová trhlina v konečném tělese.

V případě tělesa konečných rozměrů (konečné šířky W - viz obr.5.11) lze faktor intenzity napětí vyjádřit obecně pomocí vztahu K I    a 

1/ 2

f I a / W  ,

(5.19)

F a f I  a / W  je tvarová funkce, která v sobě zahrnuje i součinitel 1,12 z řešení BW pro nekonečné těleso (5.18). Pro vyjádření této tvarové funkce existuje v literatuře několik

kde  

vztahů, z nichž se nejčastěji používá vztah [26] 2

3

4

a a a a a f I    1,12  0,231    10,55    21,72    30,39   , W  W  W  W  W 

- 74 -

(5.20)


platný pro a/W  0,6 a L/W  l,0 s přesností 0,5%. Vztah

a    a  0,752  2,02  0,37 1  sin  W  2W   a   2W   a   fI     tg    a   W    a  2W  cos   2W 

3

1 2

(5.21)

platí v celém rozsahu délek trhliny (tj. pro 0  a/W  1) s přesností lepší než 0,5% [26]. Výsledky experimentů, uvedené v práci [32], však zpochybňují geometrickou invariantnost vztahu (5.21) – v důsledku rotace konců tělesa je ohybový moment a tedy i faktor intenzity napětí K menší, než odpovídá uvedenému vztahu. Tento vliv roste s rostoucí délkou trhliny a důsledkem může být až 10% chyba vypočtené hodnoty faktoru intenzity napětí. Naznačenou nepřesnost je možno redukovat pomocí empirické korekce.

L

F = . B.W

L

F = . B.W

a

a

L

W

L

W

F = . B.W

F = . B.W Obr.5.12 – Zatížení tělesa při okrajové podmínce konstantního napětí.

Obr.5.13 – Zatížení tělesa při okrajové podmínce konstantního posuvu.

U relativně krátkých těles (L/W  1) je třeba vzít v úvahu i vliv konečné délky tělesa L viz např. [27].

- 75 -


Závislosti uvedené v tomto odstavci odpovídají okrajovým podmínkám konstantního napětí podél horního a dolního okraje tělesa, tj. platí za předpokladu  d y     0.  dx  y   L Aby tyto podmínky mohly být splněny, je třeba přenos zatěžovací síly na těleso realizovat tak,

aby se horní a dolní okraje tělesa mohly v průběhu šíření trhliny vůči sobě natáčet - viz např. obr.5.12. Těleso je v tomto případě namáháno nejen tahem, ale i přídavným ohybem (vliv tohoto ohybu je již ve vztazích (5.20) a (5.21) zahrnut). 5,0

4,5

4,0

3,5

f(a/W)

3,0

konstantní napětí (d /dx )y = ±L = 0

2,5

konstantní posuv (dv/dx )y = ±L = 0

2,0

1,5

a/W [1] 1,0 0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

Obr.5.14 – Vliv okrajových podmínek na průběh tvarové funkce u tělesa s okrajovou trhlinou: konstantní napětí – vztah (5.20), konstantní posuv - vztah (5.22).

5.3.2 Zatížení jednoosým tahem za podmínky konstantního posuvu Zcela jiný stav napjatosti než v předchozím případě (odst. 5.3.1) nastane, jsou-li konce tělesa pevně upnuty a tím je zabráněno vzniku přídavného ohybu, který přispíval k otevírání trhliny (srv. obr.5.12 a 5.13). Horní a dolní okraje tělesa jsou v tomto případě trvale rovnoběžné, což odpovídá okrajovým podmínkám konstantního posuvu, tj.  dv   0.    dx  y   L

- 76 -


Pro tento případ se nejčastěji používá tvarová funkce, vyjádřená aproximativním vztahem 2  a a a  f I    5 20  13  7    W W   W   



1 2

,

(5.22)

který odvodil Harris [33]. Chyba určení faktoru intenzity napětí pomocí vztahu (5.22) může být až 8% [27]. Výrazný vliv okrajových podmínek na stav napjatosti v tělese s trhlinou (a tedy i na velikost faktoru intenzity napětí) je dobře patrný z obr.5.14, na kterém jsou porovnány průběhy závislostí tvarových funkcí fI(a/W), vyjádřených pomocí vztahů (5.20) a (5.22). Je zřejmé, že vliv okrajových podmínek je akcentován zvláště u relativně dlouhých trhlin, kdy za jinak identických okolností může být faktor intenzity napětí při konstantním napětí až několikanásobně větší než při konstantním posuvu. Později provedená numerická [34], [35] i analytická [36], [37] řešení daného typu úlohy prokázala významný vliv délky tělesa (charakterizované poměrem L/W - viz obr.5.13) na stav napjatosti v tělese a tedy i na velikost faktoru intenzity napětí. Tato skutečnost se promítla do charakteru tvarové funkce, která při těchto okrajových podmínkách závisí jak na poměru a/W, tak i na poměru L/W [37]. Z uvedených poznatků je zřejmé, že Harrisův aproximativní vztah (5.22) nelze považovat za zcela universálně použitelný. Vliv délky tělesa na faktor intenzity napětí ve dvou diskutovaných případech je kvantitativně i kvalitativně odlišný. Zatímco při okrajové podmínce  = konst je vliv poměru L/W relativně malý (pro L/W > 1 dokonce zanedbatelný) a v oboru L/W  1 s rostoucí délkou tělesa faktor intenzity napětí mírně klesá, při okrajové podmínce v = konst je vliv poměru L/W významný i při vysokých hodnotách poměru L/W, přičemž s rostoucí délkou tělesa faktor intenzity napětí naopak roste [27].

5.3.3 Zatížení čistým, resp. tříbodovým ohybem Podmínkám tzv. čistého ohybu (obr.5.15) se v praxi nejvíce blíží čtyřbodový ohyb. Nejčastěji se však pro jednoduchost používá ohyb tříbodový (obr.5.16). V obou uvedených případech lze faktor intenzity napětí vyjádřit pomocí obecného vztahu 1 a K I   o,max  a 2 f I  , W 

kde maximální ohybové napětí v kritickém místě

 o,max 

6M , W 2B

- 77 -

(5.23)


M je ohybový moment, pro který v případě tříbodového ohybu platí v místě trhliny vztah M 

FL . 2

F/2

F/2

M

a

W

M

F/2

F/2

Obr.5.15 – Těleso s okrajovou trhlinou namáhané čistým, resp. čtyřbodovým ohybem.

a

W

F

L

F/2

L

F/2

Obr.5.16 – Těleso s okrajovou trhlinou namáhané tříbodovým ohybem. Funkční hodnoty tvarové funkce závisejí nejen na šířce tělesa (tj. na poměru a/W), ale u trojbodového ohybu i na vzdálenosti podpor 2L (resp. na poměru L/W), která představuje "funkční délku" tělesa. Obecně lze tvarovou funkci vyjádřit ve tvaru polynomu j

a 4 a f I     Aj   ,  W  j 0  W 

(5.24)

přičemž konstanty Aj (j = 0, 1, 2, 3, 4) jsou u trojbodového ohybu funkcemi poměru L/W. Konkrétní hodnoty těchto koeficientů pro L/W = 2, L/W = 4 a pro čistý ohyb jsou uvedeny v tab.5.1 [26]. Tabulka 5.1 - Koeficienty polynomu tvarové funkce (5.24). OHYB

A0

A1

A2

A3

A4

tříbodový, L/W = 2

1,090

-1,735 8,20

-14,18

14,57

tříbodový, L/W = 4

1,107

-2,120 7,71

-13,55

14,25

čistý, resp. čtyřbodový

1,122

-1,400 7,33

-13,08

14,00

- 78 -


Konstanty pro čistý ohyb platí i pro ohyb čtyřbodový. Přesnost stanovení faktoru intenzity napětí pomocí tvarové funkce (5.24) pro a/W  0,6 je 0,2%. Grafické porovnání tvarových funkcí pro tři případy uvedené v tab.5.1 je provedeno na obr.5.17. 2,0

1,8

f I (a/W ) [1]

1,6

1,4

1,2

4P 3PB (L/W=2 )

1,0

3PB (L/W=4 ) a/W [1] 0,8 0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

Obr.5.17 – Průběh tvarové funkce (5.24) pro čistý, resp.čtyřbodový (ozn. 4PB)a tříbodový ohyb (ozn. 3PB). V případě tělesa namáhaného tříbodovým ohybem umožňuje výše uvedený postup výpočet funkčních hodnot tvarové funkce pouze pro dvě diskrétní hodnoty vzdálenosti podpor L/W = 2 a L/W = 4. Byla však rovněž odvozena dvouparametrická tvarová funkce [38], která analyticky postihuje jak vliv konečné šířky tělesa, tak i vliv vzdálenosti podpor (viz obr.5.18):

kde

a L a a L f I  ,   Y1    Y2  , , W W  W  W W  2 3 4 a a a a a Y1    2,057  3,83  22,14   43,24   41,94  , W W  W  W  W 

- 79 -

(5.25)

5. FAKTOR INTENZITY NAPĚTÍ _________________________________________________________________________________________ 2

3

L a L L L Y2  ,   0,4607  0,0968  0,0252   0,0024   W W W  W  W 

(5.26) 2 a L a L  0,0118   0,0012    . W W W W  a L Uvedené vztahy jsou platné v oboru 0.1   0.7 a 2   10 s chybou menší než 1%. W W 6,0

3PB

5,5

5,0

4,5

4,0 f I (a/W, L/W ) [1] 3,5

3,0 L/W = 10

9

8

7

6

5 4 2

2,5

2,0

1,5 a/W [1] 1,0 0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

Obr.5.18 - Průběh tvarové funkce (5.25) pro tříbodový ohyb tělesa různé délky. Příklad 5.2 - Analytický výpočet faktoru intenzity napětí. Těleso obdélníkového průřezu šířky W = 120 mm a tloušťky B = 10 mm je namáháno silou F = 100 kN. Přenos síly je realizován pomocí válcových čepů, volně uložených v otvorech tělesa (viz obr.5.19). Vzdálenost os těchto otvorů od okraje tělesa je b = 100 mm. Úkolem je určit faktor intenzity napětí, je-li v tělese jednostranná boční trhlina délky a = 6 mm.

- 80 -


F

b

a W

F

Obr.5.19 – Excentrické zatížení tělesa. Předpokládejme, že délka tělesa je dostatečně velká, takže její vliv na napjatost v okolí trhliny lze zanedbat. Předpokládejme rovněž elastický stav napjatosti, resp. pouze malý rozsah plastické deformace v okolí čela trhliny. Ze způsobu zatížení je zřejmé, že těleso je namáháno excentrickým tahem, přičemž okrajové podmínky odpovídají případu konstantního napětí

 

F . BW

Danou úlohu převedeme na známý případ tak, že sílu F posuneme do podélné osy tělesa a vnější namáhání doplníme silovou dvojicí, jejíž moment M je dán součinem síly F a vzdálenosti osy otvorů od podélné osy tělesa - viz obr.5.20, tj. W  M  F  b  . 2  Sledované těleso je tedy namáháno jednak tahovou silou F, působící v podélné ose

tělesa za podmínky konstantního napětí, jednak ohybovým momentem M. Výsledné řešení bude na základě principu superpozice dáno součtem obou dílčích řešení, odpovídajících namáhání F a M, tj. K I  K I 1  K I 2 . Pro zatížení tahovou silou F platí 1 F  a  2 f I 1  a , BW W  kde tvarová funkce fI1 je dána vztahem (5.20), a pro zatížení ohybovým momentem M platí

K I1 

KI2 

6M  a  W 2B

1 2

W  6F  b   1 2 a a  2 f    fI2    a , I2 2 W B W  W 

- 81 -


kde tvarová funkce f I 2 a W  je dána vztahem (5.24), do kterého dosadíme koeficienty Aj, j = 0, 1, 2, 3, 4 z tab.5.1 pro čistý ohyb. Po dosazení konkrétních hodnot za a, b, B, W a F dostáváme KI1 = 12,95 MPa.ml/2, KI2 = 24,46 MPa.ml/2 a KI = 37,41 MPa.ml/2. M = F.(b-W/2) F

(F) F

b-W/2

(F)

=

a

F

a

(F)

+

a

(F) F M = F.(b-W/2)

Obr.5.20 – Schéma principu superpozice použitého při řešení úlohy z obr.5.19.

5.4 TĚLESO S POVRCHOVOU TRHLINOU ZATÍŽENÉ TAHEM NEBO OHYBEM Kritickým místem konstrukčních částí bývá v praxi velmi často jejich povrch. Na povrchových vrubech technologického původu dochází ke koncentraci napětí a v případě časově proměnného zatěžování k iniciaci únavových trhlin (podrobněji viz 11. kap.). Povrchovou trhlinu lze pro zjednodušení modelovat polovinou elipsy s poloosami a (délka ústí trhliny na povrchu je tedy 2a) a b (tj. maximální hloubka trhliny pod povrchem) – viz obr.5.21. Z hlediska lomové mechaniky jde v tomto případě o úlohu dvourozměrnou, neboť faktor intenzity napětí závisí na velikosti obou charakteristických rozměrů trhliny a i b, resp. na elipticitě trhliny b/a a na relativní hloubce trhliny b/B (viz obr.5.21). Na rozdíl od předchozích jednodušších případů, uvedených v odst. 5.2 a 5.3, není obecně faktor intenzity napětí podél čela trhliny konstantní. V dalších úvahách se zaměříme na dva nejvýznamnější body čela semieliptické trhliny, kterými jsou nejhlubší místo (na obr. 5.21 ozn. A) a kořen ústí trhliny na povrchu (ozn. B).

- 82 -

B


B

b

A B

2a 2W

Obr.5.21 – Povrchová semieliptická trhlina. V případě tahového zatížení je faktor intenzity napětí v místě A dán vztahem [28]

K IAt    b

1/ 2

f IAt b a ; b B  ,

(5.27)

kde    0.89    b B 2   1.13  0.09 b a     0.54  0.2  b a     1  1.464b a 1.65  0.5 (5.28) f IAt b a ; b B       1 24  4  0.5    141  b a    b B  0.65  b a    



v místě B vztahem kde

K IBt    b

1/ 2

f IBt b a ; b B  ,



2



(5.29)



f IBt b a ; b B   f IAt b a ; b B   1.1  0.35b B   b a  . 0.5

(5.30)

Ve vztazích (5.27) a (5.29)  označuje nominální tahové napětí, tj.  = F/2BW, kde F je zátěžná síla. V případě zatížení ohybem je faktor intenzity napětí v nejhlubším místě trhliny A dán vztahem [28]

K IAb   b  b

1/ 2

kde

f IAb b a ; b B  ,

(5.31)

f IAb b a ; b B   f IAt b a ; b B  





 1  1.22  0.12 b a   b B   0.55  1.05b a 

0.75

 0.47b a 

1.5

 b B , 2

(5.32)

v místě B na povrchu tělesa

K IBb   b  b

1/ 2

kde

f IBb b a ; b B 

f IBb b a ; b B  f IBt b a ; b B  1  0.34  0.11b a   b B .

(5.33) (5.34)

V rovnicích (5.31) a (5.33) b označuje maximální ohybové napětí, tj. b = 3M/WB2, kde M je ohybový moment. Uvedené vztahy jsou platné pro b/a ≤ 1, b/B ≤ 0,8, a/W ≤ 0,2 a L/W ≥ 2. Průběh tvarových funkcí (5.28), (5.30), (5.32) a (5.34) je pro dvě elipticity trhliny b/a = 0,1 a b/a = 0,5 graficky znázorněn na obr.5.22 (pro tah) a na obr.5.23 (pro ohyb). - 83 -

5. FAKTOR INTENZITY NAPĚTÍ _________________________________________________________________________________________ 3,0

1,2

TAH

OHYB

2,5

1,0 f A (b/B;b/a ) f B (b/B;b/a )

bod A: b/a = 0,1

2,0

bod A: b/a = 0,5

0,8

bod B: b/a = 0,5

1,5

0,6 bod A: b/a = 0,1 bod B: b/a = 0,1 bod A: b/a = 0,5

1,0

0,4

bod B: b/a = 0,5 bod B: b/a = 0,1

0,5

f A (b/B;b/a ) f B (b/B;b/a )

0,2

b/B

b/B

0,0

0,0 0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

Obr.5.22 – Graf tvarových funkcí pro těleso s povrchovou trhlinou (tah).

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

Obr.5.23 - Graf tvarových funkcí pro těleso s povrchovou trhlinou (ohyb).

Z uvedených grafů je zřejmý výrazný vliv způsobu namáhání na charakter tvarové funkce: V případě tahového namáhání tvarová funkce s rostoucí relativní hloubkou trhliny b/B v bodech A i B roste a funkční hodnoty jsou relativně velké. V případě namáhání ohybem tvarová funkce s rostoucí relativní hloubkou trhliny b/B roste pouze v bodě B, zatímco v bodě A klesá a funkční hodnoty jsou relativně nízké. 1,0 TAH, OHYB : TRHLINA SE RYCHLEJI ŠÍŘÍ NA POVRCHU

0,9 0,8

TAH : TRHLINA SE RYCHLEJI ŠÍŘÍ DO HLOUBKY OHYB : TRHLINA SE RYCHLEJI ŠÍŘÍ NA POVRCHU

elipticita trhliny b/a

0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2

TAH, OHYB : TRHLINA SE RYCHLEJI ŠÍŘÍ DO HLOUBKY 0,1

hloubka trhliny b / tloušťka tělesa B 0,0 0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

Obr.5.24 – Graf znázorňující závislost místa, ve kterém je největší faktor intenzity napětí, na relativní hloubce trhliny, elipticitě trhliny a způsobu namáhání. - 84 -


Z hlediska šíření trhliny je důležité, na kterém místě čela trhliny je faktor intenzity napětí největší. Výsledek závisí na elipticitě trhliny b/a, relativní hloubce trhliny b/B a na způsobu zatěžování. Řešení této úlohy je znázorněno na obr.5.24 – závisí na poloze bodu o souřadnicích (b/B; b/a), které charakterizují rozměry povrchové trhliny, v uvedeném grafu. Mezní křivky vynesené na obr.5.24 odpovídají takovým rozměrům povrchové trhliny, při kterých je faktor intenzity napětí v místě A i B pro daný typ zatěžování stejný.

5.5 LOMOVÁ HOUŽEVNATOST 5.5.1 Úvod Faktor intenzity napětí charakterizuje stav napjatosti v tělese s trhlinou. Mají-li tělesa různých geometrických tvarů, s různě dlouhými trhlinami, zatížená různým vnějším namáháním tentýž faktor intenzity napětí, mají v okolí kořene trhliny i stejný stav napjatosti. Překročí-li faktor intenzity napětí určitou kritickou hodnotu (obecně ozn. Kc), dochází k nestabilnímu šíření trhliny, tj. k nevratnému procesu, při kterém dojde k rychlému porušení zbylého nosného průřezu tělesa bez potřeby dalšího zvyšování zatížení či jiného vnějšího dodávání. energie. Hodnotu Kc lze vyjádřit pomocí obecného vztahu (4.3), tj. 1 a  (5.35) K c   c  ac  2 f  c ,... , W  kde c a ac jsou velikosti vnějšího nominálního napětí, resp. délky trhliny, v okamžiku

porušení. Podmínky ztráty stability trhliny pro jednotlivé módy porušování lze vyjádřit pomocí nerovnosti K j  K jc

(j = I, II, III).

(5.36)

Etapě nestabilního šíření u tvárných materiálů obvykle předchází etapa stabilního šíření trhliny, během které může s rostoucí délkou trhliny růst nejen faktor intenzity napětí Kj, ale i lomová houževnatost Kjc. Podmínku (5.36) je proto třeba doplnit nerovností (viz např. [39])

K j K jc  a a

(j = I, II, III).

Hodnota Kc se nazývá lomová houževnatost. Její velikost závisí zejména na: a) materiálu tělesa, b) rozměrech tělesa, c) teplotě, d) rychlosti deformace, e) agresivitě prostředí. - 85 -

(5.37)


5.5.2 Vliv materiálu tělesa Lomová houževnatost obecně závisí jak na chemickém složení matrice, tak i na obsahu legujících prvků či nečistot. Například u oceli ČSN 12 053, ze které se vyrábějí železniční soukolí, bylo prokázáno, že lomová houževnatost roste s rostoucím obsahem Mn, Ni a Mo a s klesajícím obsahem C a V [40].

Obr.5.25 – Způsoby odběru zkušebních těles z válcovaného polotovaru. Lomová houževnatost však závisí nejen na chemickém složení, ale i na struktuře materiálu. Je-li struktura materiálu polotovaru (např. válcovaného) heterogenní, může mít za následek značnou variabilitu hodnot lomové houževnatosti (viz např. [41], [42], [43]), neboť závisí na místu a způsobu odběru zkušebních těles z polotovaru - viz obr.5.25. Na uvedeném obrázku jsou zkušební tělesa označena symbolem X-Y, kde X = osa zkušebního tělesa (směr zatížení), Y = směr šíření trhliny v tomto tělese; kde X, Y = L („longitudinal“, směr válcování), T („transverse“, směr odpovídající šířce válcovaného polotovaru), ST („short transverse“, směr odpovídající tloušťce válcovaného polotovaru). Příkladem může být hliníková slitina 7075-T651 [41], pro kterou byly naměřeny tyto hodnoty lomové houževnatosti: KIC = 29,7 MPa.m1/2 pro orientaci L-T, KIC = 24,5 MPa.m1/2 pro orientaci T-L a KIC = 16,3 MPa.m1/2 pro orientaci S-T. U tělesa s orientací S-T je tedy lomová houževnatost o více než 40% menší, než u tělesa s orientací L-T. Orientační informaci o velikosti hodnot KIc (tj. lomové houževnatosti ve stavu rovinné deformace) u běžných konstrukčních materiálů podává graf na obr.5.26 (podle [44]).

- 86 -


Z uvedeného obrázku je patrný obecný trend - čím nižší je mez kluzu materiálu (v určité třídě, např. Al-slitin, Ti-slitin, ocelí), tím vyšší je jeho lomová houževnatost.

Obr.5.26 – Orientační hodnoty lomové houževnatosti a meze kluzu kovových konstrukčních materiálů.

5.5.3 Vliv rozměrů tělesa Závislost lomové houževnatosti na rozměrech tělesa s trhlinou je v rozporu s požadavkem geometrické invariantnosti, obecně kladeném na mechanické parametry charakterizující stabilitu defektu (viz 4. kap.).

Obr.5.27 – Závislost lomové houževnatosti Kc a podílu plochého lomu x/B na tloušťce tělesa B. - 87 -


Experimentálně bylo prokázáno, že se hodnota lomové houževnatosti může měnit zvláště v závislosti na tloušťce tělesa. Výsledky, získané na různých materiálech za různých podmínek, však nejsou jednoznačné [45]. Nejčastější průběh závislosti lomové houževnatosti Kc na tloušťce tělesa B je uveden na obr.5.27 - u těles s malou tloušťkou bývá lomová houževnatost obvykle podstatně vyšší, než u těles s větší tloušťkou (viz např. [46], [47], [48]). Při větších tloušťkách tělesa se již lomová houževnatost mění jen velmi málo a hodnoty Kc se asymptoticky blíží jisté minimální hodnotě (na obr.5.27 ozn. KIc), která představuje lomovou houževnatost ve stavu rovinné deformace (angl. „plain strain fracture toughness“). Tato hodnota je pro daný mód zatěžování materiálovou charakteristikou, nezávislou na rozměrech tělesa. Pro analytický popis závislosti Kc = Kc(B) uvedeného typu jsou v literatuře k dispozici různé empirické vztahy (viz např. [45], [79] až [81]). Příkladem může být vztah Irwina [79] 4

1.4  K Ic  , K c  K Ic  1  2   B  R p 0.2 

(5.38)

graficky znázorněný na obr.5.28 pro dva konkrétní typy konstrukčních slitin. 3

K Ic R p 0.2

2

VLIV TLOUŠŤKY TĚLESA NA LOMOVOU HOUŽEVNATOST

m  1/ 2

AlCu4Mg1 K Ic = 34 MPa.m1/2, Rp 0,2 = 392 MPa

Ti6Al6V2,5Sn K Ic = 34 MPa.m1/2, R p 0,2 = 1200 MPa

1

K c /K Ic [1] tloušťka tělesa B [mm] 0 0

5

10

15

20

25

Obr.5.28 - Závislost lomové houževnatosti Kc na tloušťce tělesa B ve tvaru empirického vztahu (5.38) pro dvě konstrukční slitiny: KIC označuje lomovou houževnatost ve stavu RD, která je materiálovou, na tloušťce tělesa nezávislou, konstantou. Průběh závislosti Kc = Kc(B), uvedený na obr.5.27, bývá fyzikálně zdůvodňován dvěma skutečnostmi: - 88 -


a)

Na rozdíl od těles s větší tloušťkou je u tenkých těles značně omezen vliv trojososti napětí, což usnadňuje plastickou deformaci, která trhlinu otupuje. S tím souvisí i změna stavu napjatosti - u těles malé tloušťky převažuje stav rovinné napjatosti, ve kterém je velikost plastické zóny na čele trhliny asi 3x větší, než za jinak stejných podmínek ve stavu rovinné deformace, který převládá u těles s větší tloušťkou (viz 6. kap.). Změna stavu napjatosti je provázena změnou makromorfologie lomové plochy porušeného tělesa. S klesající tloušťkou tělesa roste podíl šikmého lomu a klesá podíl lomu plochého, kvantifikovaného poměrem x/B - viz obr.5.27 a 5.29. Podmínkám RN odpovídá šikmý lom, zatímco podmínkám RD lom plochý.

b) U těles s různou tloušťkou (resp. obecně různých rozměrů) se uplatňuje statistická teorie nejslabšího článku, tj. s rostoucím objemem materiálu roste pravděpodobnost výskytu výraznějšího defektu technologického původu, který usnadňuje iniciaci lomu.

Obr.5.29 – Typický makroskopický vzhled lomu ve stavu RD a RN Je zřejmé, že jev ad a) se uplatňuje v případě houževnatých lomů, zatímco jev ad b) se uplatňuje zejména u lomů křehkých. Průběh závislosti Kc = Kc(B), uvedený na obr.5.27, však neplatí zcela obecně a nelze jej považovat za universální. Při některých experimentálních pracích byl prokázán zcela opačný charakter této závislosti, tj. pokles lomové houževnatosti s klesající tloušťkou tělesa (viz např. [45], [49]), v jiných případech nebyla prokázána žádná závislost Kc na B (viz např. [45], [50]). Lomová houževnatost může do určité míry záviset i na dalších geometrických charakteristikách tělesa, např. na relativní délce trhliny a/W (viz např. [48], [51], [52], [53]). Konkrétním příkladem mohou být experimentální výsledky uvedené v práci [51], ze kterých vyplývá, že při a/W < 0,1 je lomová houževnatost asi o 25% větší než při a/W > 0,1. - 89 -


Závislost lomové houževnatosti na rozměrech tělesa hraje významnou roli zejména v případech, kdy jsme při konstrukčním návrhu nuceni aplikovat experimentální data, získaná na tělesech jiných rozměrů či dokonce jiné geometrie. Naznačený problém je podrobněji analyzován např. v [54] až [56]. Z hlediska spolehlivosti výsledků by bylo optimální úplné vyloučení možnosti vlivu rozměrů tělesa, tj. provádění zkoušek lomové houževnatosti přímo na finálních výrobcích. Tento přístup však je v celé řadě případů z praktického, resp. ekonomického, hlediska nereálný.

5.5.4 Vliv teploty Konkrétní průběh závislosti lomové houževnatosti na teplotě závisí zejména na chemickém složení slitiny [57]. U většiny ocelí, titanových slitin a dalších konstrukčních materiálů s rostoucí teplotou lomová houževnatost (a tedy i odolnost vůči křehkému porušení) roste, zatímco mez kluzu obvykle klesá. Důsledkem je, že v případě tělesa bez trhliny s rostoucí teplotou odolnost vůči statickému porušení klesá, zatímco u tělesa s trhlinou je tomu naopak. Je zřejmé. že uvedený kvalitativní rozdíl se musí výrazně promítnout do konstrukční filosofie. K naznačenému monotónnímu růstu lomové houževnatosti s rostoucí teplotou však dochází pouze v oblasti nízkých a středních teplot, tj. pro T  Tu, kde Tu (angl.“upper shelf temperature“) označuje teplotu, při které lomová houževnatost dosahuje svého maxima. Při dalším zvyšování teploty pak lomová houževnatost začíná naopak klesat, neboť se začíná výraznější měrou uplatňovat rostoucí hustota vakancí, což usnadňuje koalescenci mikroporuch. Tvorba tvárných důlků, které jsou mikrofraktografickým znakem tvárného lomu, se tak stává energeticky méně náročnou. V oblasti T  Tu lze závislost lomové houževnatosti KIc na teplotě T analyticky popsat pomocí vztahu [58] K Ic  K u  A e

 TB   T T u 

   

,

(5.39)

kde A [MPa.m1/2] a TB [C, K] jsou materiálové konstanty a Ku je maximální hodnota lomové houževnatosti, odpovídající teplotě Tu (např. pro reaktorovou ocel A533B byly naměřeny hodnoty Tu  80C a Ku  355 MPa.m1/2 [58]). Závěrem tohoto odstavce poznamenejme, že u jiných konstrukčních materiálů může mít průběh závislosti KIc(T) zcela odlišný charakter než u ocelí. Např. u celé řady hliníkových či niklových slitin se s klesající teplotou lomová houževnatost buď prakticky nemění nebo dokonce roste (viz např. souhrnný článek [57]). - 90 -


5.5.5 Vliv prostředí Odolnost vůči ztrátě stability trhliny závisí i na chemickém složení a vlastnostech prostředí, ve kterém je těleso s trhlinou vystaveno mechanickému zatížení. Ke snížení lomové houževnatosti může v některých případech přispět agresivní prostředí, jehož účinkem dochází ke korozi, vodíkovému zkřehnutí apod., neutronové záření, vyvolávající radiační zkřehnutí konstrukčních materiálů (viz např. [41]) apod.

5.5.6 Vliv rychlosti zatěžování Lomová houževnatost obecně závisí na rychlosti zatěžování d/dt, resp. rychlosti deformace d/dt. Se zvětšující se rychlostí zatěžování se zvětšuje i rychlost růstu faktoru intenzity napětí K, tj. dK/dt (kde t označuje čas). Při klasických laboratorních zkouškách lomové houževnatosti zatěžujeme tělesa obvykle kvazistaticky, čemuž odpovídá přibližně dKI/dt = 1 MPa.ml/2.s-l. V praxi jsou však rychlosti zatěžování často o několik řádů vyšší např. u podvozků letadel dKI/dt = 104 MPa.ml/2.s-l, u vojenských zařízení při explozi či nárazu projektilu dKI/dt = 1010 MPa.ml/2.s-l apod. [59]. Pro praktické použití se proto rozlišuje: a) lomová houževnatost při kvazistatickém zatěžování KIc (pro dKI/dt  100 MPa.ml/2.s-l), b) lomová houževnatost při rychlém zatěžování KIc() (pro dKI/dt  (101 až 104) MPa.ml/2.s-l, c) lomová houževnatost při dynamickém zatěžování KId (pro dKI/dt  105 MPa.ml/2.s-l). Citlivost na rychlost zatěžování může být u jednotlivých konstrukčních materiálů výrazně odlišná. Zatímco u některých slitin lomová houževnatost na rychlosti zatěžování prakticky nezávisí, u jiných lomová houževnatost s rostoucí rychlostí zatěžování výrazně klesá. Dosud jsme předpokládali "stojící" trhlinu (tj. trhlinu délky a = konst) a s časem narůstající zatížení , tj. d/dt  0. Teoretické či experimentální výsledky, získané za uvedených předpokladů, nelze obecně aplikovat při řešení příkladu opačného, tj. případu trhliny, pohybující se při konstantním zatížení, tj. da/dt  0 a  = konst. [60]. Úlohami, ve kterých se bere v úvahu pohyb trhliny, se zabývá speciální partie lomové mechaniky, která se nazývá dynamika lomu - viz např. [61], [82].

- 91 -


5.5.7 Stanoveni přípustných technologických, konstrukčních či provozních parametrů Je zřejmé, že se změny lomové houževnatosti v důsledku výše uvedených vlivů promítnou do úrovně přípustných napěti, velikosti přípustných defektů apod. Orientační představu o tom poskytuje obr.5.30, ve kterém je graficky znázorněna závislost nejvýše přípustného vnějšího napětí  na délce trhliny (resp. obecněji na velikosti defektu) pro dvě různé úrovně KIc. Uvažujeme-li pro jednoduchost nekonečné těleso, platí



K Ic , resp. a

a

K Ic2

(5.40)

 2

Uvedené závislosti je třeba vzít v úvahu jak při dimenzování konstrukcí na požadované zatížení, tak i při formulování kvalitativních i kvantitativních požadavků na defektoskopickou kontrolu materiálu. 600

500

400

zvolená délka trhliny a

c2

zvolené napětí 

300

K IC = 60 MPa.m1/2

 [MPa]

200

 c1 K IC = 30 MPa.m1/2

100

a c1

a c2

a [mm ]

0 0

5

10

15

20

25

Obr.5.30 – Vztah mezi maximálně přípustným napětím a délkou trhliny – ilustrační příklad pro dvě různé hodnoty lomové houževnatosti KIc.

5.5.8 Měření lomové houževnatosti ve stavu rovinné deformace Postup při experimentálním zjišťování lomové houževnatosti v podmínkách rovinné deformace je u nás (ČSN [62]), obdobně jako v jiných zemích (viz např. ASTM [63], [64], [65], [66], [67] apod.), normalizován. Zkoušky lomové houževnatosti se v souladu s normou [62] provádějí na tělesech dvou základních typů, ozn. A a B - viz obr.5.31 a 5.32. - 92 -


Obr.5.31 – Zkušební těleso typu A (3PB) namáhané tříbodovým ohybem.

Obr.5.32 – Zkušební těleso typu B (CT) namáhané excentrickým tahem. Ve speciálních případech se v praxi používají i zkušební tělesa jiné geometrie. Zkušební těleso typu A (v literatuře obvykle označované 3PB) je při zkoušce namáháno trojbodovým ohybem (viz obr.5.31); zkušební těleso typu B (v literatuře obvykle označované CT) je namáháno excentrickým tahem (obr.5.32). Oba typy zkušebních těles jsou opatřeny jednostranným vrubem, který může být buď přímý (obr.5.33) nebo lomený (obr.5.34). Lomený vrub (angl. „chevron notch“) je výhodný zvláště u těles větších tlouštěk (B  25 mm), neboť jeho použití eliminuje možnost iniciace trhliny na rohu tělesa, ke které u přímého vrubu často dochází. - 93 -


Obr.5.33 – Přímý vrub v tělese.

Obr.5.34 – Lomený vrub v tělese.

Rozměry standardních zkušebních těles musí vyhovovat jistým požadavkům, jejichž splnění je nezbytné pro zachování podmínek rovinné deformace na čele trhliny. Základní podmínky lze vyjádřit ve tvaru nerovností 2

 K  B  2,5  Ic  ,  R 0,2   p  2

 K  a  2,5  Ic  ,  R 0,2   p 

(5.41)

2

  W  a   2,5  K Ic  .  R p 0,2 

Podmínky (5.41) vyplývají z empiricky stanoveného požadavku, aby odpovídající velikost plastické zóny rp* před čelem trhliny ve stavu rovinné deformace, která je dle vztahu (6.16) 2

1 rovna rp  6

 K Ic    , byla alespoň 50x menší, než příslušný geometrický parametr B, a,  R 0,2   p 

resp. (W - a). V tab.5.2 jsou uvedeny některé konkrétní údaje, týkající se požadavku na minimální tloušťku zkušebního tělesa Bmin podle vztahu (5.41). Z uvedených údajů je zřejmé, že u materiálů s velmi nízkou mezí kluzu a vysokou lomovou houževnatostí lze předepsanou podmínku v praxi splnit jen velmi obtížně. U materiálů těchto vlastností se obvykle lomová houževnatost zjišťuje jiným způsobem - viz např. kap. 8 a 9. Ostatní rozměry standardních zkušebních těles obou typů jsou odvozeny od tloušťky B např. šířka tělesa W = 2B apod. [62]. Ve speciálních případech, ve kterých by standardně stanovené rozměry zkušebních těles byly z praktického hlediska nevhodné, se vzájemný poměr jednotlivých rozměrů volí jiný (např. u těles typu A: 0,25W  B  W, u těles typu B: 0,25W  B  0,5W apod.).

- 94 -


Tabulka 5.2 – Minimální tloušťka zkušebních těles pro měření KIc. SLITINA martenzitická ocel austenitická ocel uhlíkatá ocel Ti6Al4V AlZn6Mg2Cu AlCu4Mg1 Kompozity WC-Co PMMA

Rp0,2 [MPa] 1 962 343 235 1 099 540 392 300 30

KIc [MPa.ml/2] 56 195 217 38 29 34 13 1

Bmin [mm] 2,1 810 2 150 3 7,3 19 4,7 2,8

Vruby ve zkušebních tělesech jsou iniciátory únavových trhlin, které se před vlastní zkouškou lomové houževnatosti vytvoří cyklickým zatěžováním. Při zkoušce lomové houževnatosti by se tyto skutečné trhliny, představující velmi ostrý defekt, neměly nahrazovat trhlinami umělými (tj. vruby), neboť naměřená hodnota KIc výrazně závisí na poloměru zaoblení kořene defektu  [85],[86]. Příkladem mohou být výsledky zkoušek těles z hliníkové slitiny 7178 [83], při kterých bylo prokázáno, že zvýšení poloměru zaoblení kořene umělé trhliny z hodnoty  = 0,1 mm na  = 1 mm vedlo k více než dvojnásobnému zvýšení formálně stanovené hodnoty KIc. Je zřejmé, že nekritická aplikace takto stanovené hodnoty v praxi by mohla mít velmi negativní následky. Cyklické zatěžování, kterým je vytvářena únavová trhlina, musí splňovat podmínku, aby maximum faktoru intenzity napětí Kmax (odpovídající maximální síle v cyklu Fmax) nepřesáhlo hodnotu 0,75.KIc (ve stadiu iniciace a šíření v lomeném vrubu), resp. hodnotu 0,6.KIc (ve stadiu šíření únavové trhliny mimo tento vrub). Doporučená hodnota parametru asymetrie cyklu R = Fmin/Fmax je 0,1 až 0,25. Podrobnější analýza vlivu Kmax a R na naměřené hodnoty lomové houževnatosti je provedena v [68]. Celková délka nacyklované únavové trhliny má podle [62] splňovat podmínku 0,45  a/W  0,55. Uvedený požadavek souvisí s podmínkami (5.41).

Obr.5.35 – Sponový snímač na měření COD. - 95 -

Obr.5.36 - Odporový můstek.


Při vlastní zkoušce lomové houževnatosti je snímána závislost zátěžné síly F na rozevření trhliny v (tj. COD - viz 9. kap.). Signál odpovídající síle F je veden na zapisovač přímo z měřícího elementu zatěžovacího zařízení nebo z tenzometru na zatěžovacím přípravku. Příklad nejčastěji používaného snímače rozevření trhliny je uveden na obr.5.35. Jde o sponový snímač, na jehož planžetách jsou umístěny čtyři tenzometry, zapojené do můstku (obr.5.36).

Obr.5.37 – Závislost zátěžné síly F na rozevření trhliny v – způsob stanovení kritické hodnoty FQ při měření lomové houževnatosti. V praxi se vyskytuje závislost zátěžné síly F na rozevření trhliny v třech základních typů (obr.5.37) [62]. Nelineární začátek záznamu, odpovídající usazování snímače, se zanedbá. Průsečíkem lineární části záznamu s osou rozevření trhliny v se vede přímka, svírající s osou v úhel , jehož tangenta je o 5% menší, než tangenta lineární části záznamu F = F(v). Průsečík záznamu závislosti F = F(v) s takto definovanou přímkou je označen F5. Velikost síly FQ, ze které se počítá lomová houževnatost, se určuje u jednotlivých typů závislosti F = F(v) takto: a) typ I

FQ = F5,

b) typ II

FQ = síla, při které dochází na grafu závislosti F = F(v) k prodlevě,

c) typ III

FQ = síla při porušení tělesa, tj. maximum síly na záznamu F = F(v).

Pro výpočet lomové houževnatosti je dále nezbytné stanovit délku trhliny a, odpovídající rozhraní mezi únavovou a statickou částí lomu. Čelo trhliny obvykle nemívá tvar přímky, ale rovinné či prostorové křivky. V blízkosti bočních povrchů bývá trhlina nejkratší a uprostřed tělesa nejdelší - viz např. obr.5.38. Na uvedeném snímku jsou zachyceny lomové plochy zkušebních těles typu B (tj. CT), porušených při zkoušce lomové houževnatosti. Tato zkušební tělesa z hliníkové slitiny AlCu4Mg1 měla tloušťku B = 50, 35, 25, 18, 12, 8 a 5 mm. U všech zkušebních těles je v dolní části patrný lomený vrub (viz též obr.5.34), který byl iniciátorem únavového lomu, nacházejícího se ve střední části snímku. Nahoře se nachází

- 96 -


tvárný dolom, který vznikl při vlastní zkoušce lomové houževnatosti. Na obrázku jsou patrná rozhraní mezi únavovou a statickou částí lomu. Tvar těchto rozhraní (tj. čelo trhliny) lze aproximovat např. částí elipsy, částí paraboly nebo kruhovým obloukem, jehož poloměr r přibližně odpovídá tloušťce tělesa B [69], [70], tj. r  B (viz obr.5.39).

Obr.5.38 – Lomové plochy CT těles ze slitiny AlCu4Mg1 porušených při zkoušce lomové houževnatosti. 60

Slitina AlCu4Mg1, tělesa typu CT

r=B

50

40

r [mm]

30

20

10

B [mm] 0 0

10

20

30

40

50

60

Obr.5.39 – Korelace mezi poloměrem zaoblení čela trhliny r a tloušťkou tělesa B. Plnou čarou je znázorněna regresní křivka, čárkovaně přímka r = B. - 97 -


Z uvedených poznatků je zřejmé, že způsob měření délky trhliny je třeba smluvně definovat. Podle ČSN [62] se délka trhliny a, kterou použijeme pro výpočet lomové houževnatosti, stanoví pomocí vztahu a

1 a1  a2  a3 , 3

(5.42)

kde hodnoty al, a2, a3 odpovídají makrofraktograficky stanovené délce trhliny v 1/4, 1/2 a 3/4 tloušťky tělesa B - viz obr. 5.40 (otázce optimalizace počtu měření je věnována např. práce [71]). Žádné dvě z naměřených hodnot al, a2 a a3 se přitom nesmějí lišit o více než 2,5% W, tj. ai - aj  0,025W pro i, j = 1, 2, 3, a žádné dvě libovolné délky trhliny, odpovídající danému čelu, se nesmějí lišit o více než 5% W (tato podmínka bývá kritická zvláště při porovnávání délky trhliny na povrchu a uprostřed tělesa).

Obr.5.40 – Fraktografické stanovení délky trhliny. Úhel mezi rovinou únavové trhliny a rovinou vrubu má být menší než 5 (obr.5.41) a dále nesmí dojít k větvení trhliny [62].

Obr.5.41 – Povolený odklon roviny únavového lomu od původní roviny vrubu. - 98 -


Provizorní hodnota lomové houževnatosti (ozn. KQ) se vypočte a) v případě zkušebního tělesa A (tříbodový ohyb, 3PB) v souladu s normou ČSN [62] pomocí tvarové funkce (5.24) pro L = 2W (viz obr.5.16 a 5.31), tj. 1 3 5 7 9  2 2 2 2 2 FQ L  a a a a a 5,79    9,21    43,59    75,33    77,40    KQ   3  W  W  W  W  W   BW 2  

(5.43)

nebo (podle norem ASTM [63] a [67]) pomocí vztahu 1

2 a  a   a  a 2   a   3  1,99  1    2,15  3,93  2,7   W  W   W  W   FQ L  W   KQ   , 3 3 2 2 a  a  BW 1  2   1   W  W 

(5.44)

b) v případě zkušebního tělesa typu B (excentrický tah, CT) dle ČSN [62] pomocí vztahu 1 3 5 7 9   2 2 2 2 2 a a a a a 29,6    185,5    655,7    1017    638,9    KQ   1  W  W  W  W  W   BW 2  

FQ

(5.45)

nebo (podle norem ASTM [63] a [67]) pomocí vztahu a  2    2 3 4 W a a a a   KQ   0,886  4,64   13,32   14,72   5,6   . 1 3  W  W  W   W    2 2  a B W 1      W FQ

(5.46)

Jsou-li pro takto stanovenou hodnotu KQ splněny předpoklady (5.41), tj. 2

 KQ   , B  2,5.  R 0,2  p  

2

 K  a  2,5. Q  ,  R 0,2   p 

2

 K  W  a   2,5. Q  ,  R p 0,2 

pak lomová houževnatost ve stavu rovinné deformace KIc = KQ. Není-li tomu tak, je třeba při dalších experimentech zvětšit příslušné rozměry zkušebních těles. Uvedená klasická metoda experimentálního určování lomové houževnatosti ve stavu rovinné deformace KIc je časově i finančně poměrně náročná. Objevují se proto snahy o vývoj nových, jednodušších experimentálních postupů, které by tuto nevýhodu eliminovaly. Tyto alternativní postupy vycházejí např. z křivek závislosti napětí - deformace [72], závislosti napětí - čas při jednoosé tahové zkoušce [73], závislosti mezi lomovou a vrubovou houževnatostí apod. Jinou možností je použití speciálních nástrojů [74],[84], umožňujících porušení vrubovaných zkušebních těles relativně malých rozměrů, podrobněji specifikovaných v normě [64], pouhou lidskou silou, tj. bez použití složitého zatěžovacího strojního zařízení. - 99 -


Příklad 5.3 – Vyhodnocení výsledků měření lomové houževnatosti. Při zkoušce lomové houževnatosti konstrukční slitiny AlCu4Mg1 tělese typu CT (viz obr.5.32) šířky W = 50 mm a tloušťky B = 12,5 mm byla naměřena kritická velikost síly FQ = 9,05 kN. Při následné fraktografické analýze lomové plochy porušeného tělesa byla zjištěna průměrná délka trhliny a = 25 mm. Smluvní mez kluzu daného materiálu je Rp0,2 = 390 MPa. Po dosazení do za FQ, a, W a B do vztahu (5.46) dostáváme provizorní hodnotu lomové houževnatosti KQ = 31,28 MPa.m1/2. Z empirických podmínek zachování stavu rovinné deformace (5.41) vyplývá požadavek, aby tloušťka tělesa B byla větší než minimální hodnota 2

Bmin

2  KQ    2,5 31,28   0,01608 m  16,08 mm .  2,5  R 0,2   390   p 

Z nerovnosti B = 12,5 mm < Bmin = 16,08 mm je tedy zřejmé, že stanovenou hodnotu KQ = 31,28 MPa.m1/2 nelze považovat za lomovou houževnatost ve stavu rovinné deformace KIc. Z obecného charakteru závislosti lomové houževnatosti na tloušťce tělesa (viz např. obr.5.27 a 5.28) vyplývá jednostranný odhad

K Ic  K Q  31,27 MPa.m1 / 2 . Z výsledků experimentu a jejich analýzy je zřejmé, tloušťka tělesa B = 12,5 mm je příliš malá a nesplňuje podmínku (5.41) stavu RD, tj. platí nerovnost 2

 K Ic   , B  2.5  R 0,2  p   ze které vyplývá

B 0,0125 R p 0,2   390  27,58 MPa.m1 / 2 . 2,5 2,5 Na základě výsledků experimentu a výše uvedených odhadů tedy lze konstatovat, že K Ic 

lomová houževnatost daného materiálu ve stavu rovinné deformace KIc.bude ležet v intervalu

(27,58  K Ic  31,27) MPa.m1 / 2 .


KNOTT,J.F.: Fundamentals of Fracture Mechanics. London, Butterworth 1973, 267 p.

[2]

ZEMÁNKOVÁ,J.: Technická mechanika I. Úvod do lomové mechaniky. (Skripta ČVUT-FJFI.) Praha, ES ČVUT 1981, 123 s.

[3]

SIH,G.C.. Handbook of Stress Intensity Factors. Bethlehem, PA., Lehigh University 1973.

[4]

OWEN,D.R.J. - FAWKES,A.J.: Engineering Fracture Mechanics. Numerical Methods and Applications. Swansea, Pineridge Press Ltd. 1983, 305 p. - 100 -


[5]

CHAN,S.K. - TUBA,I.S. - WILSON,W.K.: On the Finite Element Method in Linear Fracture Mechanics. Engng Fracture Mech., 2, 1970, No.1 pp.1-17.

[6]

TRACEY,D.M.: Finite Elements for Determination of Crack Tip Elastic Stress Intensity Factors. Engng Fracture Mech., 3, 1971, No.3, pp.255-265.

[7]

CARPENTER,W.C.: Extrapolation Techniques for Determining Stress Intensity Factors. Engng Fracture Mech., 18, 1983, No.2, pp.325-332.

[8]

WALSH,P.F.: Linear Fracture Mechanics Solutions for Zero and Right Angle Notches. CSIRO Aust. Div. Bldg Res. Tech. Pap. (Second Series), 1974, No.2, pp.l-16.

[9]

KNÉSL,Z.: Stanovení hodnot faktoru intenzity napětí při kombinovaném namáhání pomocí hnací síly trhliny. Strojírenství, 38, 1988, č.3, s.163-166.

[10] SUBRAMANIAN,A. - CHANDRA,R. - MURTHY,M.V.V. - RAO,A.K.: Photoelastic Determination of Stress Intensity Factors in Patched Cracked Plates. Engng Fracture Mech., 18, 1983, No.2, pp.305-313. [11] OLADIMEJI,M.K.: Photoelastic Analysis of Practical Mode I Fracture Test Specimens. Engng Fracture Mech., 19, 1984, No.4, pp.717-738. [12] MURTHY,N.S. - RAO,P.R.: Photoelastic Parametric Studies of Mode I Stress Intensity Factors. Engng Fracture Mech., 22, 1985, No.3, pp.527-532. [13] WANG,W.CH. - CHEN,T.L.: Half-Fringe Photoelastic Determination of Opening Mode Stress Intensity Factor for Edge Cracked Strips. Engng Fracture Mech., 32, 1989, No.1, pp.111-122. [14] KAZEMI,A.D.A. - MURTHY,N.S.: Stress Intensity Factor Determination of Radially Cracked Circular Rings Subjected to Tension Using Photoelastic Technique. Engng Fracture Mech., 32, 1989, No.3, pp.403-408. [15] JAYARAMA RAO,G. - NARAYANAN,R.: Photoelastic Analysis of Mode I Stress Intensity Factor by Two-Parameter Method. Engng Fracture Mech., 33, 1989, No.5, pp.733-744. [16] SHUKLA,A. - AGARWAL,B.D. - BHUSHAH,B.: Determination of Stress Intensity Factor in Orthotropic Composite Materials Using Strain Gages. Engng Fracture Mech., 32, 1989, No.3, pp.469-477. [17] MIYAKE,S. - NAWA,Y. - KONDO,Y. - ENDO,T.: Application of the “K-Gage” to Aircraft Structural Testing. In: Aeronautical Fatigue in the Electronic Era (Proc. 15th ICAF, Jerusalem). Ed. A.Berkovits. Cradley Heath, EMAS 1989, pp.369-394. [18] KONDO,Y.: Stress Intensity Factor Measurement under Service Conditions Using the “K-gauge”. In: Fracture Mechanics. Current Japanese Materials Research – Vol.8. Eds. H.Okamura, and K.Ogura. London and New York, Elsevier Appl. Sci. 1991, pp.255267. [19] KUANG,J.H. - CHEN,L.S.: A Single Strain Gage Method for KI Measurement. Technical Note. Engng Fracture Mech., 51, 1995, No.5, pp.871-878. [20] SOMMER,E.: Experimental Methods for the Determination of Stress Intensity Factors under Various Loading Conditions. In: Prospects of Fracture Mechanics. Ed. Sih, Elst and Broek. Leyden, Noordhoff Intern. Publ. 1974, pp.593-607.

- 101 -


[21] HUNG,P.-CH. - VOLOSHIN,A.S.: Experimental Determination of Stress Intensity Factors for Plane Strain and Plane Stress. In: Recent Advanced in Experimental Mechanics. Eds. S.Gomes et al. Rotterdam, Balkema 1994, pp.263-267. [22] HADRBOLETZ,A. - CHEN,D.L. - WEISS,B. - STICKLER,R.: Experimental Kcalibration of Elliptical Surface Cracks Under Bending. Engng Fracture Mech., 44, 1993, No.3, pp.437-448. [23] HADRBOLETZ,A. - CHEN,D.L. - WEISS,B. - STICKLER,R.: Experimental Kcalibration for Surface Flaws Under Bending for Different Materials and Stress Ratios. Engng Fracture Mech., 49, 1994, No.3, pp.473-485. [24] SCHIJVE,J.: Comparison between Empirical and Calculated Stress Intensity Factors of Hole Edge Cracks. Engng Fracture Mech., 22, 1985, No.1, pp.49-58. [25] RŮŽEK,R.: Tvarová funkce pro výpočet součinitele intenzity napětí v tělese s jednostrannou okrajovou trhlinou uchyceném v pevných čelistech zkušebního stroje AMSLER (Výzkumná zpráva). Praha, VZLÚ 1991, 52 s. [26] TADA,H. - PARIS,P. - IRWIN,G.: The Stress Analysis of Crack Handbook. Hellertown, PA., Del Research Co. 1973. [27] ROOKE,D.P. - CARTWRIGHT,D.J. Compendium of Stress Intensity Factors. London, Her Majesty’s Stationery Office 1976. [28] MURAKAMI,Y.: Stress Intensity Factors Handbook. Oxford, Pergamon Press 1987, 1456 p. [29] ASTM Standard E 647-91. Standard Test Method for Measurement of Fatigue Crack Growth Rates. 1991. In: Annual Book of ASTM Standards, pp.654-681. [30] ISIDA,M.: Effect of Width and Length on Stress Intensity Factors of Internally Cracked Plates under Various Boundary Conditions. Int. J. Fracture Mech., 7, 1971, No.3, pp.301-316. [31] KARLSSON,A. - BÖKLUND,J.: Summary of SIF Design Graphs for Cracks Emanating from Circular Holes. Int. Journ. of Fracture, 14, 1978, No.6, pp.585-596. [32] WAN,K.C. - CHEN,G.S. - GAO,M. - WEI,R.P.: On the Conventional K Calibration Equations for Single-Edge-Cracked Tension Specimens. Technical Note. Engng Fracture Mech., 54, 1996, No.2, pp.301-305. [33] HARRIS,D.O.: Stress Intensity Factors for Hollow Circumferentially Notched Round Bars. J. Bas. Engng, Trans. ASME, Series D, B9, 1967, No.1, pp.49-54. [34] PERL,M. - ORE,E.: Effect of Geometry and Poisson Ratio on Stress-Intensity Factors in a SEN Specimen under Fixed-Grip Conditions. Engng Fracture Mech., 23, 1986, No.5, pp.843-849. [35] SHMUELY,M. - PERL,M.: The SMF2D Code for Proper Simulation of Crack Propagation. Crack Arrest Methodology and Applications, ASTM STP 711. ASTM 1980, pp.54-69. [36] TORVIK,P.J.: On the Determination of Stresses, Displacements, and Stress-Intensity Factors in Edge-Cracked Sheets with Mixed Boundary Conditions. Trans. ASME, J. Appl. Mech., 46, 1979, Sept., pp.611-617. [37] MARCHAND,N. - PARKS,D.M. - PELLOUX,R.M.: KI-Solutions for Single Edge Notch Specimens under Fixed End Displacements. Int. J. Fracture, 31, 1986, pp.53-65. - 102 -


[38] NALLATHAMBI,P. - KARIHALOO,B.L.: Stress Intensity Factor and Energy Release Rate for Three-Point Bend Specimens. Engng Fracture Mech., 25, 1986, No.3, pp.315321. [39] WOOD,H.A. - ENGLE,R.M.Jr.. USAF Damage Tolerant Design Handbook. Guidelines for the Analysis and Design of Damage Tolerant Aircraft. (Technical Report AFFDLTR-79-3021.) Air Force Flight Dynamic Laboratory (AFFDL/FBE), Wright Patterson AFB, Ohio 45433, 1979. [40] KUNZ,J. - SIEGL,J. - NEDBAL,I.: Sledování vlivu materiálových a geometrických faktorů na hodnotu lomové houževnatosti oceli jakosti R7T. (Výzkumná zpráva VKMAT-379/93.) Praha, ČVUT-FJFI-KMAT 1993, 30 s. [41] HERTZBERG,R.W.: Deformation and Fracture Mechanics of Engineering Materials. 2nd Ed. New York, John Wiley and Sons 1983, 700 p. [42] BROWN,K.R.: Factors Influencing the Fracture Toughness of High Strength Aluminium Alloys. In: Strength of Metals and Alloys. (Proc. ICSMA 6, Melbourne.) Ed. R.C.Gifkins, Vol.3, Oxford, Pergamon Press 1982, pp.765-771. [43] KAUFMAN,J.G. - NELSON,F.G. - WYGONIK,R.H.: Large Scale Fracture Toughness Tests of Thick 5083-0 Plate and 5183 Welded Panels at Room Temperature, -260 and -320F. Fatigue and Fracture Toughness – Cryogenic Behavior. ASTM STP 556. ASTM 1974, pp.125-158. [44] FUCHS,H.O. - STEPHENS,R.I.: Metal Fatigue in Engineering. 1st Ed. New York, John Wiley and Sons 1980, 318 p. [45] WALLIN,K.: The Size Effect in KIc Results. Engng Fracture Mech., 22, 1985, No.1, pp.l49-163. [46] BURIAN,P.: Vliv stavu napjatosti na odolnost hliníkové slitiny ČSN 42 4203 proti porušení "křehkým" lomem. Zpravodaj VZLÚ, 1981, č.6 (150), s.285-294. [47] LAI,M.O. - FERGUSON,W.G.: Effect of Specimen Thickness on Fracture Toughness. Engng Fracture Mech., 23, 1986, No.4, pp.649-659. [48] NEVALAINEN,M. - WALLIN,K.: The Effect of Crack Depth and Absolute Thickness on Fracture Toughness of 3PB Specimens. In: Structural Integrity: Experiments-ModelsApplications. (Proc. ECF 10, Berlin). Eds. K.-H.Schwalbe and C.Berger, Vol.II, Cradley Heath, EMAS 1994, pp.997-1006. [49] GURUMOORTHY,B. - KIRCHNER,H.O.K. - PRINZ,F.B. - SINCLAIR,G.B.: Thickness Effects May Not Do What You Think They Do. Engng Fracture Mech., 29, 1988, No.6, pp.637-640. [50] SULLIVAN,A.M. - STOOP,J. - FREED,C.N.: The Influence of Sheet Thickness upon the Fracture Resistance of Structural Aluminum Alloys. Washington, Naval Research Laboratory 1972, 11 p. [51] LI,Q. - HU,S. - PAN,X.: Effects of Crack Depth and Shape on Fracture Toughness in a Spring Steel. Engng Fracture Mech., 36, 1990, No.l, pp.1-7. [52] ZHANG,D.Z. - XIAO,Y.J. - JU,Q.H.: On the Effect of the Ratio a/W on the Value of KIc in a High Strength Steel. Technical Note. Engng Fracture Mech., 36, 1990, No.5, pp.795-796.

- 103 -


[53] LI,Q. - HU,S. - ZHONG,B. - WEI,J.: A Further Study About the Crack Depth and Shape On Fracture Toughness. Engng Fracture Mech., 39, 1991, No.2, pp.219-227. [54] SINCLAIR,G.B. - CHAMBERS,A.E.: Strength Size Effects and Fracture Mechanics. What Does the Physical Evidence Say? Engng Fracture Mech., 26, 1987, No.2, pp.279310. [55] MUNZ,D.: Letter to the Editor. Comment on Strength Size Effects and Fracture Mechanics. What Does the Physical Evidence Say? Engng Fracture Mech., 31, 1988, No.3, pp.553-554. [56] PETROSKI,H.J.: Size Effects in Fracture Mechanics. Implications for Fast Reactor Subassembly Analysis and Safety. Theoret. Appl. Fract. Mech., 1, 1984, No.1, pp.95102. [57] CAMPBELL,J.E.: Fracture Toughness of High Strength Alloys at Low Temperature – A Review. Fatigue and Fracture Toughness – Cryogenic Behavior. ASTM STP 556. ASTM 1974, pp.3-25. [58] LI YU-DE: Technical Note. An Explanation of the Relationship of Fracture Toughness to Temperature in the Range from Upper Shelf to First Phase Transformation. Engng Fracture Mech., 43, 1992, No.2, pp.305-311. [59] HOLZMANN,M.: Současný stav a nové poznatky při statickém a dynamickém zatěžování těles s trhlinami. In: Pokroky v aplikaci lomové mechaniky II. Brno, Čs. věd. spol. pro nauku o kovech ČSAV 1989, s.1.1-1.5. [60] BROEK,D.: Elementary Engineering Fracture Mechanics. 4th Ed. Dordrecht, Martinus Nijhoff Publishers 1987, 516 p. [61] NĚMEC,J. - ZEMÁNKOVÁ,J. - MACHOVÁ,A. - BREPTA,R.: Dynamika lomu. Studie ČSAV č.9/86. Praha, Academia 1986, 120 s. [62] ČSN 42 0347 Návrh. Zkoušení kovů. Zkouška lomové houževnatosti KIc při rovinné deformaci. 1975. [63] ASTM Standard E 399-90. Standard Test Method for Plane-Strain Fracture Toughness of Metallic Materials. 1991. In: Annual Book of ASTM Standards, pp.485-515. [64] ASTM Standard E 1304-89. Standard Test Method for Plane-Strain (Chevron Notch) Fracture Toughness of Metallic Materials. 1991. In: Annual Book of ASTM Standards, pp.940-950. [65] ASTM Standard B 645-91. Standard Practice for Plane-Strain Fracture Toughness Testing of Aluminum Alloys. 1991. In: Annual Book of ASTM Standards, pp.74-76. [66] ASTM Standard B 646-87. Standard Practice for Fracture Toughness of Aluminum Alloys. 1991. In: Annual Book of ASTM Standards, pp.77-81. [67] ASTM Standard E 1820-99. Standard Test Method for Measurement of Fracture Toughness. 1999. In: Annual Book of ASTM Standards, pp.972-1005. [68] STEFFEN,A.A. - PACKMAN,P.F. - DAWES,M.G.: The Effect of Precracking Variables R and Kfmax on Fracture Toughness. In: Advances in Fracture Research Proc. ICF 7, Houston.) Eds. K.Salama et al., Vol.2, Oxford, Pergamon Press 1989, pp.14451452. [69] KUNZ,J.: Fraktografické studium šíření únavových trhlin. (Kandidátská disertační práce.) Praha, ČVUT - fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská 1983, 228 s. - 104 -


[70] FORSYTH,P.J.E.: A Unified Description of Micro and Macroscopic Fatigue Crack Behaviour. Int.J.Fatigue, 5, 1983, No.1, pp.3-14. [71] BHATTACHARYA,S. - KUMAR,A.N.: A Study on the Offset Measurement Numbers for Average Crack Size Estimation in Elliptical Crack Front. Engng Fracture Mech., 49, 1994, No.1, pp.85-94. [72] FARAHMAND,B. - BOCKRATH,G.E.: A Theoretical Approach for Evaluating the Plane Strain Fracture Toughness of Ductile Metals. Engng Fracture Mech., 53, 1996, No.6, pp.975-990. [73] HUNG-KUK OH: Determination of Fracture Toughness by Uniaxial Tensile Test. Engng Fracture Mech., 55, 1996, No.5, pp.865-868. [74] Anon.: New Test Cuts Cost of Measuring KIc. Advanced materials & Processes, 141, 1992, No.3, p.9. [75] FÜHRING,H.: Approximation Functions for K-factors of Cracks in Notches. Int. Journ. of Fracture, 9, 1973, pp.328-331. [76] PASTRAMA,S.D. - de CASTRO,P.M.S.T.: Stress Intensity Factors for Cracks Starting at Rivet Holes. [Report ADMIRE-TR-2-31/35.F-1.0/IDMEC.] University Politehnica of Bucharest – IDMEC Porto 2001, 49 p. [77] ISIDA,M.: Stress-Intensity Factors for the Tension of an Eccentrically Cracked Strip. Trans. ASME, Ser. E, J. Appl. Mech., 33, 1966, pp.674-675. [78] PASTRAMA,S.D. - de CASTRO,P.M.S.T.: Stress Intensity Factor Computation Using the Compounding Method. [Report ADMIRE-TR-2-31/35.F-1.0/IDMEC.] University Politehnica of Bucharest – IDMEC Porto 2001, 31 p. [79] IRWIN,G.R.: Fracture Mode Transition for a Crack Traversing a Plate. J. Basic Engng ASME, 82, 1960, pp.417-425. [80] SCHWALBE,K.-H.: Influence of Stress State on Static Crack Growth in AlZnMgCu0,5. Engng Fracture Mech., 9, 1977, pp.557-583. [81] BURIAN,P.: Vliv stavu napjatosti na odolnost hliníkové slitiny ČSN 424203 proti porušení „křehkým“ lomem. Zpravodaj VZLÚ, 6(150), 1981, s.285-294. [82] HAO,S. - LIU,W.K. - KLEIN,P.A. - ROSAKIS,A.J.: Modeling and Simulation of Intersonic Crack Growth. Int. J. Solids Struct., 41, 2004, pp.1773-1799. [83] POOK,L.P.: Linear Elastic Fracture Mechanics for Engineers: Theory and Applications. Southampton, Boston, WIT Press 2000, 154 p. [84] WANG,J.A. - LIU,K.C. - McCABE,D.E. - DAVID,S.A.: Using Torsional Bar Testing to Determine Fracture Toughness. Fatigue Fract. Engng Mat. Struct., 23, 2000, No.11, pp.917-927. [85] AKOURRI,O. - LOUAH,M. - KIFANI, A. - GILGERT,G. - PLUVINAGE,G.: The Effect of Notch Radius on Fracture Toughness JIC. Engng Fracture Mech., 65, 2000, No.4, pp.491-505. [86] ELAYACHI,I. - PLUVINAGE,G. - BENSALAH,M.O. - LEBIENVENU,M. - DLOUHÝ,I.: To Joint Effect of Temperature and Notch Root Radius on Fracture Toughness. Engineering Mechanics, 12, 2005, No.1, pp.11-22.

- 105 -

6. PLASTICKÁ ZÓNA NA ČELE TRHLINY _________________________________________________________________________________________

6. PLASTICKÁ ZÓNA NA ČELE TRHLINY 6.1 VELIKOST A TVAR PLASTICKÉ ZÓNY V PODMÍNKÁCH ROVINNÉ NAPJATOSTI A ROVINNÉ DEFORMACE Řešení pole napětí v okolí čela trhliny, kterému byla věnována 4. kapitola, bylo odvozeno za předpokladu čistě elastického chování materiálu. Z výsledných analytických vztahů pro výpočet složek tenzoru napětí (viz např. obecný vztah (3.48)) je zřejmé, že v blízkém okolí čela trhliny dochází k výrazné koncentraci napětí, která by v důsledku závislosti ij  r-1/2 v limitním případě r  0 vedla k tzv. napěťové singularitě ij  . Tento závěr však není z fyzikálního hlediska přijatelný. Ve skutečnosti kovové materiály vykazují mez kluzu, která omezuje platnost předpokladu elasticity. V místě koncentrace napětí dochází k překročení meze kluzu, jehož důsledkem je vznik lokální plastické deformace v okolí čela trhliny. V této oblasti, tj. v tzv. plastické zóně na čele trhliny, jsou složky napětí menší (problém singularity tak odpadá) a složky deformace větší, než by odpovídalo čistě elastickému řešení - obdobně jako v případě konstrukčních vrubů - viz obr. 3.14 a 3.15. Je zřejmé, že stav napjatosti v tělese bude do značné míry ovlivněn velikostí plastické zóny na čele trhliny. Rozměry a tvar plastické zóny se určují buď početně (analyticky i numericky) nebo experimentálně.

6.1.1 Analytický výpočet velikosti plastické zóny Analytický výpočet, umožňující odhad velikosti plastické zóny, lze provést na základě následujících úvah: Předpokládejme tahový mód I a stav rovinné napjatosti. Na obr.6.1 je znázorněn průběh napěti před čelem trhliny (tj. pro  = 0, resp. y = 0), stanovený na základě předpokladu čistě elastického chování materiálu. Vzdálenost od čela trhliny, ve které napětí y dosáhne meze kluzu Rp0,2, je označena rp* , pro r  rp* platí y = Rp0,2. V prvém přiblížení lze tedy hodnotu rp* považovat za rozměr plastické zóny. Dosadíme-li do vztahu (3.46) za  = 0,

r  rp* a y = Rp0,2, dostáváme po úpravě

2a

1 r   2 2 R p 0,2 2  p

 KI     R 0,2   p 

2

stav RN.

(6.1)

Skutečný rozměr plastické zóny však musí být větší než rp* , neboť je třeba vzít v úvahu přenos zatížení, odpovídající na obr.6.1 vyšrafované oblasti. Irwin [1], [2], [3] uvedl, že - 106 -


přítomnost plastické zóny na čele trhliny způsobuje, že se těleso chová tak, jako by v něm byla trhlina delší, než odpovídá rozměru a (větší posunutí konců, menší tuhost tělesa apod.). Tuto efektivní délku trhliny (ozn. aef) lze vyjádřit jako součet "fyzikální" délky a a korekce , jejíž velikost je třeba určit. Na obr.6.2 je znázorněn průběh napětí y před čelem trhliny o efektivní délce aef. Situace je obdobná jako na obr.6.1 - velikost napětí y je opět omezeno mezí kluzu Rp0,2. Korekce  musí být tak velká, aby bylo přeneseno zatížení odpovídající vyšrafované ploše ozn. A, tj. aby platilo A = B.

Obr. 6.1 – Průběh napětí y před čelem trhliny délky a.

Obr. 6.2 – Průběh napětí y před čelem trhliny efektivní délky aef.

Vzdálenost  lze vyjádřit analogicky jako rp* , tj. pomocí vztahu (3.46) pro  = 0,

y = Rp0,2 a aef = a +  : 2

1        a   . 2  R p 0,2 

(6.2)

Ze vztahů (6.1) a (6.2) vyplývá, že pro  << a platí   rp* . Velikost ploch A a B na obr.6.2 lze vyjádřit pomocí vztahů 



 a   2

0

2r 

A    y dr   R p 0,2   0

1

1 2

dr   R p 0,2   2 a   2   R p 0,2, 1

B   R p 0,2

(6.3a)

(6.3b)

Z podmínky A = B vyplývá

    R p 0,2   2 a    2 . 1

- 107 -


Za předpokladu  << a (tj.   rp* ) dostáváme vztah

R p 0,2   rp*    2arp*  2 , 1

který lze upravit do tvaru

  r 

2

* 2 p

   *  rp  4 rp* 2 ,  2a   R 0,2   p 

z něhož vyplývá

  rp*

(6.4)

a tedy

rp      2rp* .

(6.5)

Rozměr plastické zóny rp je tedy dvakrát větší než odpovídá první aproximaci rp* . Efektivní délku trhliny aef lze vyjádřit jako

aef  a    a  rp* .

(6.6)

Hodnota rp* se nazývá Irwinova korekce na velikost plastické zóny. 1,5 NEKONEČNÉ TĚLESO 1,4

CENTRÁLNÍ TRHLINA (C = 1,00) JEDNOSTRANNÁ TRHLINA (C = 1,12)

1,3

K(a ef )/K(a) 1,2

1,1

 /Rp0,2 1,0 0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

Obr.6.3 – Graf závislosti korigované a nekorigované hodnoty faktoru intenzity napětí na relativní velikosti tahového napětí (6.7). Efektivní délce trhliny aef odpovídá korigovaná hodnota faktoru intenzity napětí K(aef), kterou v případě nekonečného tělesa (tj. za předpokladu a << W) dostaneme řešením rovnice 2   K aef    1 * 1/ 2   , K aef   C   a  rp  C  a   2  R p 0.2      2  1  C   2    C 2 2a  K a 2 , K aef  1     2  R p 0,2    



tj.

1/ 2



- 108 -

6. PLASTICKÁ ZÓNA NA ČELE TRHLINY _________________________________________________________________________________________ 

1

2 2 K aef   1  C       resp. po úpravě , (6.7)  1 K a   2  R p 0,2     kde C = 1 pro tělesa s centrálním a C = 1,12 pro tělesa s jednostrannou trhlinou. Graf

závislosti (6.7) je uveden na obr.6.3. Je zřejmé, že význam korekce roste s rostoucí velikostí napětí . Jiný způsob výpočtu korigované hodnoty faktoru intenzity napětí K(aef), aplikovatelný i v případě tělesa konečných rozměrů (tj. s uvážením tvarové funkce f(a/W)), je iterační postup. První iterace K1(a) je dána vztahem



  f a  r K a/ W ,

K1 a   C  a  rp* K (a) 

1 2

* p

(6.8)

obecně další i-tá iterace Ki(a) (i = 2,3,…) pak



  f a  r K

K i a   C  a  rp* K i 1 (a)

1 2

* p

i 1

a / W .

1,00

0,95

NEKONEČNÉ TĚLESO

0,90

K 1 (a )/K (a ef ) CENTRÁLNÍ TRHLINA

0,85

(C = 1,00)

JEDNOSTRANNÁ TRHLINA (C = 1,12) 0,80

 /Rp0,2 0,75 0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

Obr.6.4 – Graf závislosti poměru (6.10), tj. první iterace a přímo stanovené korigované hodnoty faktoru intenzity napětí na relativní velikosti tahového napětí pro nekonečné těleso. Jako postačující se obvykle doporučuje použití první iterace (6.8). Míru nepřesnosti použití tohoto postupu lze posoudit porovnáním výsledku první iterace s výše uvedeným přímým řešením (6.7) pro nekonečné těleso. Ze vztahu (6.8) pro nekonečné těleso vyplývá



  C

K1 a   C  a  rp* K a 

1 2

- 109 -

1 2

 1  C     , a 1    2

 

2  R p 0.2   

6. PLASTICKÁ ZÓNA NA ČELE TRHLINY _________________________________________________________________________________________ 1

2 2 K1 a   1  C    . tj. po úpravě  1  K a   2  R p 0.2     Vydělením rovnic (6.9) a (6.7) dostáváme poměr

(6.9)

1

1

2 2 4  2   C   2 K 1 a    1  C    1  C    1   ,  1     1     1  K a ef    2  R p 0.2    2  R p 0,2     4  R p 0.2        

(6.10)

graficky znázorněný na obr.6.4. Z grafu je zřejmé, že v oblasti nízkých napětí je přesnost první iterace korekce faktoru intenzity napětí na velikost plastické zóny plně postačující. Kromě výše uvedeného Irwinova odhadu velikosti plastické zóny, který je nejjednodušší a v praxi se používá nejčastěji, se v literatuře objevily i postupy jiné ([4] až [6]). Např. Dugdale uvádí pro odhad velikosti plastické zóny před čelem trhliny ve stavu rovinné napjatosti alternativní vztah  p

r 

  K I 

2

8  R p 0,2 

stav RN.

(6.11)

V dosavadních úvahách jsme se omezili na vyjádření velikosti plastické zóny pouze ve směru osy x (tj. pro  = 0) a předpokládali jsme, že tato zóna má tvar válce. Přesnější odhad tvaru a velikosti plastické zóny lze získat vyjádřením podmínek plasticity i pro   0 pomocí hypotézy von Misesovy (ozn. HMH) nebo hypotézy Trescovy.

Obr. 6.5 – Mohrova kružnice napětí, vyjádření hlavních napětí. a) Hypotéza HMH Podstatou hypotézy HMH je výpočet redukovaného napětí, které porovnáváme s určitou kritickou hodnotou, kterou je v našem případě mez kluzu materiálu Rp0,2. Tuto hypotézu lze vyjádřit ve tvaru - 110 -

6. PLASTICKÁ ZÓNA NA ČELE TRHLINY _________________________________________________________________________________________ 1

 red

  1   2 2   2   3 2   3   1 2  2    R p 0,2, 2  

 1   2 2   2   3 2   3   1 2  2 R p2 0,2,

tj.

(6.12)

kde j (j = 1, 2, 3) jsou hlavní napětí, jejichž velikost lze vyjádřit z Mohrových kružnic (viz obr.6.5): 1

1 1 2  1   x   y     x   y 2   xy2  2 4  1

1 1 2  2   x   y     x   y 2   xy2  2 4  3   z .

(6.13)

0,7

HMH 0,6 0,5 0,4 RD n = 0,3

0,3

RD n = 0,2

0,2

RD n = 0,1

0,1

RN

0 -0,3

-0,2

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

-0,1 -0,2 -0,3 -0,4 -0,5 -0,6 -0,7

Obr. 6.6 – Plastická zóna na čele trhliny podle hypotézy HMH (tahový mód I, stav RN, RD).

- 111 -

0,6


Dosadíme-li do vztahů (6.13) za x, y, xy pomocí vztahů (3.46), dostáváme po úpravě a dosazení K I    a 2 1

1 

2 

KI

2 .r 

1 2

KI

2 .r 

1 2

  cos 1  sin  2 2 cos



 1  sin  2 2

 3  n  1   2   2n

KI

2 r 

1 2

cos

(6.14)

 2

stav RD

3  0

stav RN. Dosadíme-li vztahy (6.14) do rovnice hypotézy HMH (6.12), dostáváme po úpravě vztahy, definující hranice plastické zóny v polárních souřadnicích (r = rp): 2

1 rp    4

 KI   3 2  2   sin   1  2n  1  cos    R 0,2   2   p 

1 rp    4

 KI     R 0,2   p 

2

3 2   1  sin   cos   2  

stav RD,

(6.15a)

stav RN.

(6.15b)

Tvary plastické zóny ve stavu RN a RD pro různé hodnoty Poissonova čísla n

podle

uvedených vztahů jsou uvedeny na obr.6.6. b) Trescova hypotéza Podle Trescovy hypotézy k plasticitě dochází, dosáhne-li maximální smykové napětí hodnoty meze kluzu ve smyku, která je přibližně rovna polovině meze kluzu v tahu, tj.

 max 

Obr. 6.7 – Mohrova kružnice napětí, maximální smykové napětí (stav RN).

1 R p 0,2. 2

(6.16)

Obr. 6.8 – Mohrova kružnice napětí, maximální smykové napětí (stav RD).

- 112 -


Z Mohrových kružnic vyplývá, že ve stavu RN (obr.6.7) a ve stavu RD (obr.6.8) platí

 max 

 max  resp.

 max 

1

stav RN,

2

1   3 2

1   2 2

v případě  3   2 , tj.

 1 1 n  2 n

v případě  3   2 , tj.

 1 1 n  2 n

stav RD,

(6.17)

stav RD.

0,8

TRESCA 0,7 0,6 0,5

RD 3 > 2

0,4 0,3

RD n = 0,3 RD n = 0,2

0,2 0,1

-0,3

-0,2

0 -0,1 0 -0,1

0,1

0,2

0,3

RD n = 0,1

0,4

0,5

RN

0,6

0,7

-0,2 -0,3 -0,4 -0,5 -0,6 -0,7 -0,8

Obr. 6.9 – Plastická zóna na čele trhliny podle Trescovy hypotézy (tahový mód I, stav RN, RD). Dosadíme-li do vztahů (6.17) za max pomocí Trescovy podmínky plasticity (6.16) a za l,

2, 3 pomocí (6.14), dostáváme po úpravě pro stav RN:

1 rp    2

 KI     R 0,2  p  

- 113 -

2

2

    cos 2 1  sin 2  ,   

(6.18a)


pro stav RD: 2

 1 n v případě  3   2 , tj. 1  2 n

1 rp    2

2 2  KI      cos   1  2n  sin   ,  R 0,2   2  2  p 

1 rp    2

 KI    sin 2  .  R 0,2   p 

resp. 2

 1 n v případě  3   2 , tj. 1  2 n

(6.18b)

Tvar plastické zóny odpovídající uvedeným vztahům (pro n = 1/3) je patrný z obr.6.9. Porovnáme-li obr.6.9 s obr. 6.6, je zřejmé, že tvary a rozměry plastické zóny stanovené podle obou uvažovaných hypotéz jsou poněkud odlišné. V podmínkách RN je však velikost plastické zóny před čelem trhliny (tj. pro y = 0, resp.  = 0) podle obou hypotéz stejná: 2

1  KI     rp* rp   0; RN   2  R p 0,2 

(6.19)

a rovná Irwinovu odhadu velikosti plastické zóny rp* - viz vztah (6.1). Konkrétní představu o velikosti plastické zóny před čelem trhliny v podmínkách RN u nejběžnějších konstrukčních materiálů si lze udělat z grafu na obr.6.10. Z grafů u vedených na obr.6.6 a 6.9 je zřejmé, že za jinak stejných podmínek je ve stavu RN plastická zóna podstatně větší, než ve stavu RD. Poměr velikosti plastických zón ve stavu RD a RN závisí na úhlu  a na Poissonově čísle materiálu n. Pro  = 0 je tento poměr rovný (1 - 2n)2 a nezávisí na přijaté hypotéze. Veškeré dosavadní úvahy, týkající se porovnání velikosti plastické zóny ve stavu RN a RD, byly založeny na aplikaci hypotézy HMH, resp. Trescovy hypotézy. Použité postupy v sobě implicitně zahrnovaly předpoklad, že efektivní hodnota meze kluzu materiálu v podmínkách RD (tj. v podmínkách víceosé napjatosti) je asi 3x větší, než klasická jednoosá mez kluzu Rp0,2, tj. že v plastické zóně před čelem trhliny může napětí a dosáhnout hodnoty až 3Rp0,2 (obr.6.11). Experimentálně však bylo prokázáno [7], že efektivní hodnota meze kluzu v podmínkách RD je ve skutečnosti nižší a pohybuje se přibližně v rozmezí (1,5 až 2)Rp0,2. Získané experimentální údaje jsou v souladu s hodnotou 23/4  1,68, kterou navrhl Irwin [2]. Provedeme-li příslušnou korekci meze kluzu ve vztahu (6.1) pro výpočet velikosti plastické zóny ve stavu RN, dostáváme 2

1 r  2 * p

    KI    1  KI   1,68 R 0,2  6  R p 0,2  p  

2

- 114 -

stav RD.

(6.20)


Ve stavu RD je tedy ve skutečnosti plastická zóna asi 3x menší než ve stavu RN, zatímco dříve uvedený předpoklad trojnásobného zvýšení meze kluzu by pro n = 1/3 vedl k hodnotě 9x menší.

Obr. 6.10 – Graf závislosti velikosti plastické zóny před čelem trhliny na faktoru intenzity napětí K a na mezi kluzu materiálu Rp0,2 (ve stavu RN). - 115 -


Obr. 6.11 – Průběh napětí y před čelem trhliny ve stavu RN a RD. V případě reálného trojrozměrného tělesa jsou podmínky RN splněny na jeho vnějším povrchu, neboť napětí kolmá na tento povrch jsou nulová, tj. z = 3 = 0. S rostoucí vzdáleností od povrchu směrem dovnitř tělesa velikost této složky napětí postupně narůstá.

Obr. 6.12 – Prostorové znázornění plastické zóny na čele trhliny. Má-li těleso dostatečnou tloušťku, jsou ve střední oblasti splněny podmínky RD a složka

z nabývá hodnoty n.(x + y). S rostoucí vzdáleností od povrchu současně klesá velikost plastické zóny - na povrchu tělesa je největší (odpovídající stavu RN), uvnitř tělesa nejmenší (v případě tělesa dostatečné tloušťky odpovídá stavu RD) - viz obr.6.12. - 116 -


Je zřejmé, že stav napjatosti a velikost plastické zóny jsou na sebe úzce vázány. Důležitým faktorem, ovlivňujícím stav napjatosti, je poměr velikosti plastické zóny rp k tloušťce tělesa B. V případě rp/B > 1 nastává rovinná napjatost. Má-li v podstatné části tloušťky tělesa dojít ke stavu rovinné deformace, musí být poměr rp/B dostatečně malý, tj. podstatně menší než 1. Podmínku stavu RD, vyjádřenou nerovností (5.41), lze přepsat do tvaru 2

1 2

 K     R 0,2  1 p    , B 2,5  2

tj.

rp* ( RN ) B

 0,0637 .

Číselná hodnota na pravé straně uvedené nerovnosti je založena na empirických zkušenostech a má smluvní charakter (např. v práci [9] je na pravé straně této nerovnosti uvedena méně konzervativní hodnota 0,2).

Obr. 6.13 – Velikost plastické zóny - lineární interpolace v oblasti přechodu mezi stavem RD a RN.





V případě 0,0637  rp* ( RN ) / B  1 jde o přechodový stav napjatosti mezi RD a RN. Velikost plastické zóny před čelem trhliny, ozn. rp(RN+RD), lze v tomto případě orientačně odhadnout na základě lineární interpolace mezi oběma mezními případy [9] (viz obr. 6.13), tj. 1

2

1 rp ( RN  RD )  k

 KI    r * ( RN )   , kde k  0,356 p  0,144 .  R 0,2  B    p 

(6.21)

Kvalitativní odlišnost stavu napjatosti v tělese v podmínkách RN a RD lze názorně ilustrovat pomocí Mohrových kružnic (viz obr. 6.7 a 6.8). Hlavní napětí 1 a 2 jsou rovna složkám tenzoru napětí y a x před čelem trhliny, tj. 1 = y( = 0), 2 = x( = 0), a jsou ve stavu RN stejná jako ve stavu RD. Třetí hlavní napětí je dáno vztahem 3 = z.

- 117 -


Obr. 6.14 – Roviny maximálního smykového napětí před čelem trhliny (RN).

Obr. 6.15 – Roviny maximálního smykového napětí před čelem trhliny (RD).

Z Mohrových kružnic vyplývá, že k maximálnímu smykovému napěti max dochází ve stavu RN v rovinách, procházejících osou x a svírajících úhel 45 s osami y a z (obr. 6.7 a 6.14), zatímco ve stavu RD (při plastické deformaci vede požadavek konstantního objemu k rovnosti n = 0,5) v rovinách procházejících osou z a svírajících úhel 45 s osami y a x (obr. 6.8 a 6.15). Je tedy zřejmé, že maximální smykové napětí max je ve stavu RD nejen podstatně menší než ve stavu RN, ale dochází k němu navíc i v odlišných rovinách.

Obr. 6.16 – Tvárná deformace kloubového typu. Maximální smyková složka max řídí skluzové procesy, které jsou projevem plastické deformace materiálu (viz 2. kap.). Ve stavu RN bude tedy k maximálnímu skluzu docházet v rovinách, procházejících osou x a svírajících úhel 45 s rovinou x, z (obr. 6.14). V případě tvárného porušování se v těchže rovinách bude šířit i trhlina. Makroskopický vzhled lomu tělesa porušeného v podmínkách RN je patrný na obr. 5.29a. Ve stavu RD dochází k maximálnímu skluzu v rovinách, procházejících osou z a svírajících úhel 45 s rovinou x, z - 118 -


(pro n = 0,5). V oblasti před čelem trhliny dochází z makroskopického hlediska k deformaci tzv. kloubového typu (obr. 6.16). Důsledkem je šíření trhliny v rovině x, z, tj. v rovině kolmé na směr vnějšího zatížení. Makroskopický vzhled lomové plochy, vzniklé šířením trhliny převážně v podmínkách RD, je patrný na obr. 5.29c. Všechny dosavadní úvahy o plastické zóně se týkaly tahového módu I. Obdobné analýzy lze provést i v případě smykových módů II a III. Tvary plastických zón, odvozené na základě hypotézy HMH, jsou graficky znázorněny na obr.6.17 a 6.18 [8].

Obr. 6.17 – Plastická zóna na čele trhliny (mód II, stav RN a RD).

Obr. 6.18 – Plastická zóna na čele trhliny (mód III).

6.1.2 Experimentální možnosti stanoveni velikosti a tvaru plastické zóny Cenné informace o velikosti a tvaru plastické zóny před čelem trhliny a případně i další charakteristiky, kvantifikující velikost plastické deformace v této oblasti, může poskytnout experimentální výzkum. V praxi se pro tyto účely používá celá řada metod, založených na různých fyzikálních principech [10]. Mezi nejpoužívanější patří: a) metoda leptání, b) rentgenografické metody, c) tenzometrické metody [17], [18], d) rekrystalizační metody [19], [20], e) metody elektronové mikroskopie [14], f)

metody moiré [15],

g) metody interferenční mikroskopie [16], holografická interferometrie, h) fotoelasticimetrie [21], [22], i)

stereometrie [23],

j)

infračervená termografie, - 119 -


k) metoda měření mikrotvrdosti [10] až [13] (viz např. obr. 6.19),

Obr.6.19 – Plastická zóna na čele trhliny stanovená pomocí měření mikrotvrdosti HVM. l)

mikrostrukturní metoda,

m) metody mřížek, sítí, deformovaných kružnic [24] apod.

6.2 MOŽNOSTI POUŽITÍ KRITERIÍ LINEÁRNÍ LOMOVÉ MECHANIKY V PŘÍPADĚ VÝSKYTU PLASTICKÉ DEFORMACE Kriteria lineární lomové mechaniky jsou aplikovatelná pouze v případech, je-li velikost plastické zóny malá ve srovnání s délkou trhliny a a s šířkou zbylého nosného průřezu (W - a). Tyto podmínky jsou splněny tehdy, dochází-li k lomu při napětí podstatně nižším než je mez kluzu materiálu a to zvláště v podmínkách RD. V uvedených případech lze ztrátu stability trhliny charakterizovat hodnotou lomové houževnatosti. Ve stavu RN je rozměr plastické zóny na čele trhliny podstatně větší než ve stavu RD. Dochází-li však i za těchto podmínek k lomu při napětí nižším než je mez kluzu materiálu, lze kriterií stability trhliny založených na principech lineární lomové mechaniky, rovněž použít. Je-li rozměr plastické zóny před čelem trhliny ve srovnání s délkou trhliny velký (tj. při vysokých napětích při lomu nebo při velkém odporu materiálu vůči šíření trhliny), nelze

- 120 -


zákony lineární lomové mechaniky použít. V praxi k těmto situacím dochází ve dvou případech: a) u materiálů s nízkou lomovou houževnatostí v oblasti velmi krátkých trhlin, b) u materiálů s vysokou lomovou houževnatostí.

A

A - nízká lomová houževnatost B - vysoká lomová houževnatost

B

R p 0,2

 c,max

c

OBLAST PLATNOSTI LLM 0

0

a min /W

a/W

1

Obr.6.20 – Použitelnost kriterií lineární lomové mechaniky pro určení kritických hodnot napětí či délky trhliny. V případě materiálů s nízkou lomovou houževnatostí by pro délky trhlin blížící se nule mělo napětí při lomu, tj.  c  K Ic  a  2 , růst nade všechny meze, což je nereálné. Lom ve 

1

skutečnosti v tomto případě nastane při napětí nižším než napětí c stanovené výše uvedeným postupem, založeným na principech lineární lomové mechaniky - viz obr.6.20. Dosáhne-li napětí ve zbylém nosném průřezu n meze kluzu Rp0,2, tj. platí-li

n 

F W   R p 0,2, B W  a  W a

(6.22)

dojde v celém tomto průřezu k plastické deformaci. V případě velmi krátkých trhlin, u kterých je splněna podmínka a  W, platí n  . V prvním přiblížení lze tedy říci, že kriterium lineární lomové mechaniky vyjádřené pomocí hodnoty KIc lze pro posouzení stability trhliny použít, pokud platí c < Rp0,2. V praxi se vychází z tzv. Feddersenova kriteria, které je založeno na předpokladu, že poznatky lineární lomové mechaniky lze aplikovat pouze pro napětí c < c,max, kde c,max odpovídá bodu na grafu závislosti  c   c a  , ve kterém křivka - 121 -


c 

K Ic

(6.23)

a

přechází spojitě v lineární funkci, která pro a = 0 nabývá hodnoty c = Rp0,2 (viz obr.6.20), tj.

 c  R p 0.2 

R p 0.2   c ,max a min

a .

(6.24)

Jednou z podmínek spojitosti v mezním bodě o souřadnicích a = amin a c = c,max je rovnost gradientů, tj. derivací d c / da těchto funkcí:

 c ,max  d  K   1 K Ic   d c        Ic          c     2a min  da  a amin  da  a   a amin  2a a  a amin  2a  a amin R p 0.2   c ,max  d c  .    a min  da  a amin

(6.25)

(6.26)

Z rovnosti levých stran rovnic (6.25) a (6.26) vyplývá  c,max  2R p 0.2   c,max  , tj.

 c ,max 

2 R p 0.2 . 3

(6.27)

Feddersenovo kriteriim tedy omezuje použitelnost poznatků lineární lomové mechaniky na 2

2 9  K Ic  případy  c  R p 0.2 , resp. a  (viz obr. 6.20). 3 4  R p 0.2 

V případě materiálů s vysokou lomovou houževnatostí vyjdeme z podmínky zplastizování celého zbytkového nosného průřezu (6.22), kterou lze přepsat do tvaru

 

 n  R p 0,2 1 

a , W

(6.28)

což je rovnice přímky, procházející body (0, Rp0,2) a (1, 0) - viz obr.6.20. Je zřejmé, že napětí

c, predikované na základě kriteria lineární lomové mechaniky, je i v tomto případě vždy vyšší, než napětí potřebné k zplastizování celého zbylého nosného průřezu c = Rp0,2, tj. platí

 c  R p 0,2  1  a W  . V obou diskutovaných případech dojde k zplastizování celého nosného průřezu v kritickém místě. Šíření trhliny nastane, dosáhne-li plastická deformace na čele trhliny určité kritické hodnoty. Měřítkem velikosti plastické deformace na čele trhliny je např. otevření čela trhliny CTOD (viz 9. kap.). Dosáhne-li CTOD určité kritické hodnoty. dojde ke ztrátě stability trhliny (tj. tzv. Wellsovo kriterium stability trhliny).

- 122 -



IRWIN,G.R.: Fracture. In: Encyklopedia of Physics, Vol.VI, Berlin-Heidelberg, Springer 1958, pp.551-590.

[2]

IRWIN,G.R.: Plastic Zone Near a Crack and Fracture Toughness. In: Sagamore Res. Ord. Materials (Proc. 7th Conf.) 1960, pp.IV-63.

[3]

IRWIN,G.R.: Linear Fracture Mechanics, Fracture Transition, and Fracture Control. Engng Fracture Mech., 1, 1968, No.2, pp.241-257.

[4]

DUGDALE,D.S.: Yielding of Steel Sheets Containing Slits. J. Mech. Phys. Solid., 8, 1960, pp.100-108.

[5]

LU,T.J. - CHOW,C.L.: A Modified Dugdale Model for Crack Tip Plasticity and Its Related Problems. Engng Fracture Mech., 37, 1990, No.3, pp.551-568.

[6]

BARRENBLATT,G.I.: The Mathematical Theory of Equilibrium of Cracks in Brittle Fracture. Advances in Appl. Mech., 7, 1962, pp.55-129.

[7]

HAHN,G.T. - ROSENFIELD,A.R.: Experimental Determination of Plastic Constraint ahead of a Sharp Crack under Plane-Strain Conditions. ASM Trans., 59, 1966, pp.909919.

[8]


[9]

NATHAN,A. - BENOUALID,D. - BROT,A.: The Effect of Thickness on Crack Growth Rate. In: New Materials and Fatigue Resistant Aircraft Design (14th ICAF Symposium, Ottawa). Ed. D.L.Simpson. Cradley Heath, EMAS 1987, pp.283-296.

[10] KRÖBL,L. - NEDBAL,I.: Experimentální studium charakteristik plastické zóny na čele únavové trhliny. (Výzkumná zpráva V-KMAT-143/84.) Praha, ČVUT-FJFI-KMAT 19B4, 151 s. [11] NEDBAL,I. - KUNZ,J. - SIEGL,J.: Vliv čistoty slitin typu AlCuMg na kinetiku únavového porušování. [Výzkumná zpráva V-KMAT-113/82.] Praha, ČVUT-FJFIKMAT 1982, 75 s. [12] NEDBAL,I. - KUNZ,J. - SIEGL,J.: Some Remarks on Fatigue Fracture Marking. In: Fatigue ’99 (Beijing). Vol. 4/4. Eds. X.R.Wu, and Z.G.Wang. Beijing - Cradley Heath, HEP - EMAS 1999, pp.2373-2378. [13] SAXENA,A. - ANTOLOVICH,S.D.. Low Cycle Fatigue, Fatigue Crack Propagation and Substructures in a Series of Polycrystalline Cu-Al Alloys. Met. Trans., 6A, 1975, No.9, pp.1975-1809. [14] IKEDA,S. - IZUMI,Y. - FINE,M.E.: Plastic Work during Fatigue Crack Propagation in a High Strength Low Alloy Steel and in 7050 Al-Alloy. Engng Fracture Mech., 9, 1977, No.1, pp.123-136. [15] FINE,M.E.: Fatigue Resistance of Metals. Met. Trans., 11A, 1980, No.3, pp.365-379. [16] NUNOMURA,S. - HIGO,Y. - SETO,K.: Direct Measurement of Plastic Zones in Side Grooved Fracture Toughness Specimens. In: Fracture 1977 (Proc. ICF 4, Waterloo). Ed. D.M.R.Taplin, Vol.3, pp.573-581. [17] CSIZMAZIA,A. - CZOBOLY,E.: Determination of Plastic Zones in Compact Specimens of Aluminium. Theor. Appl. Fracture Mech., 8, 1987, No.1; pp.11-19. - 123 -


[18] GUANGXIA,L. - XIPING,L. - CHANGCHUN,L. - SHUYUN,C.: A Micro and Macro Analysis of Strain at Crack Tip. Engng Fracture Mech., 32, 1989, No.4, pp.499-508. [19] NICOLETTO,G.: Fatigue Crack Tip Strains in 7075-T6 Aluminum Alloy. Fatigue Fract. Engng Mat. Struct., 10, 1987, No.1, pp.37-49. [20] CHANANI,G.R.: Effect of Thickness on Retardation Behavior of 7075 and 2024 Aluminum Alloys. In: Flaw Growth and Fracture, ASTM STP 631. Ed. J.M.Barsom. Philadelphia, ASTM 1977, pp.365-387. [21] YUNLIN,L.: A New Method for Measuring the Shape and Size of the Plastic Zones around Slit Ends - Direct Showing Method. Engng Fracture Mech., 26, 1987, No.3, pp.383-392. [22] MISHRA,S.C. - PARIDA,B.K.: Determination of the Size of Crack-Tip Plastic Zone in a Thin Sheet under Unaxial Loading. Engng Fracture Mech., 22, 1985, No.3, pp.351357. [23] DAVIDSON,D.L.: The Distribution of Strain within Crack Tip Plastic Zones. Engng Fracture Mech., 25, 1986, No.1, pp.123-132. [24] VAVŘÍK,D.: Optická identifikace povrchového tvaru a velikosti plastické zóny na čele trhliny. (Doktorská disertační práce.) Praha, ČVUT - fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská 1999, 77 s.

- 124 -

7. HNACÍ SÍLA TRHLINY (RYCHLOST UVOLŇOVÁNÍ DEFORMAČNÍ ENERGIE) _________________________________________________________________________________________

7. HNACÍ SÍLA TRHLINY (RYCHLOST UVOLŇOVÁNÍ DEFORMAČNÍ ENERGIE) 7.1 CELKOVÁ ENERGETICKÁ BILANCE, DEFINICE G Celkovou energetickou bilanci tělesa s trhlinou, zatíženého vnějšími silami, lze vyjádřit pomocí obecného vztahu Wv   A  U  W ,

kde

(7.1)

Wv = celková volná energie tělesa [J/m], A = práce vnějších sil působících na těleso [J/m], U = deformační elastická energie tělesa [J/m], W = disipační (resp. potenciální) energie trhliny [J/m], kterou lze vyjádřit ve tvaru W 

kde

S B

(7.2)

,

 = specifická energie trhliny [J/m2], S = velikost lomové plochy, vytvořené šířící se trhlinou [m2], B = tloušťka tělesa [m].

Specifická energie trhliny  se obecně skládá z několika složek [1]:

  2 o   pl   t   k , kde

(7.3)

o = specifická potenciální povrchová energie trhliny, pl = specifická potenciální energie oblastí v nejbližším okolí trhliny (zahrnuje zejména vliv plastické deformace),

t = specifické teplo uvolněné v oblasti čela trhliny, k = specifická kinetická energie oblastí v nejbližším okolí trhliny (promění se v teplo), resp. kinetická energie jednotlivých částí tělesa v konečné fázi lomu. Dosáhne-li celková volná energie tělesa s trhlinou svého maxima, dochází k ztrátě stability trhliny. Podmínku nestability trhliny lze tedy vyjádřit ve tvaru diferenciální rovnice





dWv d   A  U  W  0, da da

(7.4a)

dW d  A U   , da da

(7.4b)

kterou lze přepsat do tvaru

Pravá strana rovnice (7.4b), tj. R

dW

, (7.5) da charakterizuje lomovou houževnatost materiálu a představuje odpor tělesa vůči šíření trhliny,

tj. energii, kterou je třeba dodat k vytvoření lomové plochy jednotkové velikosti. Potřebná - 125 -


energie je dodávána prací vnějších sil A a nebo částí elastické deformační energie U, uvolňované při šíření trhliny. Veličina G

d  A  U , da

(7.6)

tj. levá strana rovnice (7.4b), se nazývá rychlost uvolňování deformační energie nebo hnací síla trhliny. Jednotkou G a R je J/m2 = N/m. Obecnou podmínku ztráty stability trhliny, vyjádřenou vztahem (7.4b), lze pomocí veličin G a R přepsat do jednoduchého tvaru [J/m2 = N/m].

G=R

(7.7)

Obr.7.1 – Těleso s trhlinou – označení základních veličin. Je li těleso s trhlinou délky a zatíženo vnější silou F (viz obr.7.1), dochází v bodech působení síly k posuvu v, který lze za předpokladu čistě elastických deformací vyjádřit ve tvaru v CF ,

(7.8)

kde C [m/N] je poddajnost tělesa (tj. reciproká hodnota tuhosti). Např. poddajnost tělesa obdélníkového průřezu bez trhliny lze vyjádřit ve tvaru L C , W BE kde L je délka, W šířka, B tloušťka tělesa a E je modul pružnosti materiálu v tahu. S rostoucí délkou trhliny a poddajnost tělesa C roste, neboť platí úměra C

1 . W a

- 126 -


Zvětší-li se délka trhliny o a, vzroste poddajnost tělesa o C a zvětší se i posuv o v. V případě okrajové úlohy 1. druhu, kdy předpokládáme F = konst, lze přírůstek práce vnějších sil odpovídající přírůstku posuvu vyjádřit ve tvaru A 

1 ( F  v ). B

(7.9)

Ze vztahů (7.9) a (7.8) vyplývá dA 1 dv 1 2 dC  F  F . da B da B da

(7.10)

Elastickou energii tělesa s trhlinou zatíženého silou F lze vyjádřit pomocí vztahu

U

1 1  1 2 F C.  F v  B2  2B

(7.11)

Derivací vztahu (7.11) podle délky trhliny a dostáváme dU 1 2 dC  F . da 2 B da

(7.12)

Dosazením (7.10) a (7.12) do (7.6) dostáváme hnací sílu trhliny G pro F = konst: G

1 2 dC F . 2B da

(7.13)

V případě okrajové úlohy 2. druhu předpokládáme konstantní posuv, tj. v = konst. Za tohoto předpokladu vnější síly práci nekonají, z čehož vyplývá dA  0. da

(7.14)

Elastická energie tělesa je dána vztahem (7.11), který lze pomocí (7.8) upravit do tvaru U

1 2 1 v . 2B C

(7.15)

Zderivujeme-li uvedenou rovnici podle délky trhliny a, dostáváme po úpravě pomocí vztahu (7.8) 2

dU 1  v  dC 1 2 dC   F .   da 2 B  C  da 2B da

(7.16)

Dosazením (7.14) a (7.16) do (7.6) dostáváme hnací sílu trhliny G pro v = konst: G

1 2 dC F . 2B da

(7.17)

Ze vztahů (7.13) a (7.17) je zřejmé, že hnací síla trhliny je pro obě diskutované okrajové úlohy shodná. Ze vztahů (7.12) a (7.16) navíc vyplývá, že pro oba typy okrajových podmínek lze hnací sílu trhliny G vyjádřit jako derivaci elastické energie podle délky trhliny a (liší se pouze znaménkem), tj. - 127 -


G  dU / da F konst   dU / da vkonst .

(7.18)

Grafické znázornění změny elastické deformační energie tělesa v důsledku růstu trhliny je provedeno na obr.7.2. Za předpokladu čistě elastických deformací má závislost vnější síly F na posuvu v lineární charakter. Parametrem této závislosti je délka trhliny a, implicitně charakterizující poddajnost tělesa s trhlinou C.

a a+a

Obr.7.2 – Grafické znázornění změny elastické deformační energie tělesa v důsledku prodloužení trhliny o a. Předpokládejme, že dosáhne -li zatížení hodnoty F1, zvětší se trhlina z původní délky a na délku (a+a). Důsledkem je zvýšení poddajnosti (tj. snížení tuhosti) tělesa, které se projeví snížením směrnice přímky, charakterizující závislost F = F(v) - viz obr.7.2. Jsou-li konce tělesa pevně uchyceny, zůstávají posunutí okrajů tělesa konstantní v  v1  a zatížení klesá z hodnoty F1 na F1  F  . Vnější síly v tomto případě práci nekonají. Při zvětšení délky trhliny o a dojde k poklesu elastické energie z hodnoty odpovídající ploše trojúhelníka OAB na hodnotu odpovídající ploše trojúhelníka OBC, tj. dojde k uvolnění elastické energie, jejíž velikost je úměrná ploše trojúhelníku OAC. Zůstává-li při prodloužení trhliny o a konstantní zatěžovací síla F  F1  , vzroste posuv na hodnotu (vl + v). Práce vnějších sil je rovna součinu F1  v , což odpovídá ploše obdélníka ABED. Elastická energie tělesa vzroste z původní hodnoty, odpovídající ploše - 128 -


trojúhelníka OAB, na hodnotu odpovídající trojúhelníka ODE. Přírůstek elastické deformační energie tělesa, jehož velikost odpovídá ploše trojúhelníka OAD, je hrazen z práce vnějších sil Obsah trojúhelníka OAD je roven polovině obsahu obdélníka ABED, tj. z práce vnějších sil zbývá druhá polovina - část, jejíž velikost odpovídá ploše trojúhelníka OAD. Zanedbáme-li obsah trojúhelníka ACD (jeho plocha je úměrná součinu v.F, tj. jde o nekonečně malou veličinu 2. řádu), jsou plochy trojúhelníků OAC a OAD stejné. Uvedený závěr lze interpretovat tak, že velikost energie, která řídí růst trhliny (tj. uvolněná elastická deformační energie nebo část práce vnějších sil), je v případě obou okrajových úloh stejná. Uvedený závěr je v souladu se vztahem (7.18).

7.2 GRIFFITHOVO KRITERIUM STABILITY TRHLINY První teoretickou prací (viz historické studie [2],[3]), věnovanou pevnosti tělesa s trhlinou, byl nejspíše článek K. Wieghardta [4] z roku 1907. Tento průkopnický příspěvek, publikovaný v nepříliš sledovaném německém časopise (anglický překlad viz [5]), však bohužel zůstal dlouhá léta bez povšimnutí. Širší uplatnění nalezly až výsledky práce A.A. Griffithe, který v roce 1920 navrhl kriterium, umožňující posouzení stability trhliny v tělese na základě celkové energetické bilance [6]. Výsledky prací tohoto autora představují část základů, na kterých byla přibližně po 40 letech vybudována lomová mechanika jakožto samostatná nová vědní disciplína. Griffith své kriterium odvodil pro nekonečně velké těleso s centrální trhlinou eliptického tvaru délky 2a (obr.7.3). Toto těleso bylo zatíženo tahovým napětím (tj. mód I). Dalšími předpoklady byly konstantní posuvy konců tělesa (tj. okrajová podmínka v = konst) a dokonale křehký materiál typu skla (z čehož mimo jiné vyplývá pl = 0). Griffith rovněž nebral v úvahu kinetickou ani tepelnou energii trhliny, tj. předpokládal k = 0, t = 0. Z uvedených před-pokladů vyplývá, že v Griffithově pojetí byla disipační energie trhliny W tvořena pouze povrchovou energií, tj. 2 o S , B

(7.19)

W  2 o a .

(7.20)

W 

kde S  B  a , tj.

Z Griffithových předpokladů dA / da  0 a ze vztahů (7.18) a (7.5) vyplývá hnací síla trhliny GI  

dU da

(index označuje příslušný mód porušování) a odpor proti šíření trhliny - 129 -

(7.21)


R  2 o .

(7.22)

Obr.7.3 – Griffithova úloha – nekonečné těleso s centrální trhlinou zatížené tahem. Podmínka ztráty stability trhliny, vyjádřená obecným vztahem (7.7), se za daných předpokladů zjednoduší do tvaru 

dU  2 o . da

(7.23)

Velikost specifické povrchové energie trhliny o, charakterizující odpor proti šíření trhliny, Griffith stanovil extrapolací teplotní závislosti povrchového pnutí roztaveného skla na teplotu pokojovou. Velikost elastické deformační energie tělesa s trhlinou U je možno vyjádřit pomocí rozdílu U  Uo U a ,

(7.24)

kde Uo je elastická deformační energie tělesa bez trhliny za stejných okrajových podmínek a Ua označuje úbytek elastické energie tělesa v důsledku existence trhliny délky a, tj. uvolněnou deformační energii. Závislost U = U(a) Griffith stanovil na základě řešení pole napětí a posuvů v okolí centrální trhliny v nekonečném tělese (původním autorem byl Inglis [7]). Ke shodnému řešení dojdeme i na základě výsledků, získaných v pozdějších letech pomocí Westergaardovy komplexní napěťové funkce (viz 3. kap.). Předpokládejme, že se trhlina délky a v důsledku působení vnějších sil prodloužila o a bez uvolnění napětí y, což vede k opětovnému - 130 -


uzavření trhliny (obr.7.4). Okrajová podmínka nulovosti napětí kolmého k povrchu trhliny však vyžaduje, aby napětí y bylo uvolněno. Při uvolňování tohoto napětí se absorbuje energie U a  U a ( a), neboť v důsledku silových účinků dochází k posuvu obou lící trhliny ve

směru osy y. Tuto energii lze vyjádřit ve tvaru a

1 U a  2   y r, 0  v a  r,  dr, 2 0

(7.25)

kde podle vztahu (3.46)

 y r, 0  

a 2r

(7.26)

a podle vztahu (3.47)

v a  r,    4

v a  r,   

1  2 a  r  a E 2

4 a  r  a E 2

pro stav RD,

(7.27)

pro stav RN.

(7.28)

Obr.7.4 – Uvolnění napětí y(r, 0) po prodloužení trhliny o a. Po dosazení (7.26) a (7.27) do (7.25) a integraci (za použití substituce r = a.cos2) dostáváme 1

a

1  2 2 1  2 2  a  r  2 U a  2  a   a  dr  4 E r  E  0  0

1

 1  cos 2   2   a cos   sin   d  2  cos  

2







2 2 1  2 2 1  2 2 1  2 2 sin 2  2  4  a a  sin 2  d  2  a a  1  cos 2 d  2  a a   , E E E 2  0  0 0

tj.

U a 

1  2   2 a a E

pro stav RD.

- 131 -

(7.29)


Obdobně po dosazení (7.26) a (7.28) do (7.25), integraci a úpravě dostáváme U a 

1   2 a a E

pro stav RN.

(7.30)

Je zřejmé, že ve stavu RD i RN elastická deformační energie tělesa Ua roste s druhou mocninou délky trhliny a. Ze vztahů (7.21) a (7.24) vyplývá GI  

dU a U a dU d ,   U o  U a    lim a 0 a da da da

(7.31)

tj. po dosazení 1  2   2a E 1 GI    2 a E

GI 

pro stav RD,

(7.32)

pro stav RN.

(7.33)

Po dosazení (7.20) a (7.24) do (7.1) dostáváme pro A = 0 (vyplývá z předpokladu v = konst) celkovou volnou energii tělesa Wv  U o  U a  2 o a.

Obr.7.5 – Graf závislosti celkové volné energie tělesa na délce trhliny. Závislost Wv na délce trhliny a je graficky znázorněna na obr.7.5. Kritickou délku trhliny ac lze pro zadané vnější napětí  určit z podmínky (7.23), ze které po dosazení za GI pomocí (7.32), resp. (7.33), a po úpravě vyplývá ac 

ac 

2 o E  1   2  2

2 o E

 2

- 132 -

pro stav RD

(7.34)

pro stav RN.

(7.35)


Z podmínky (7.23) lze též pro danou délku trhliny a naopak určit kritické napětí c:

c 

2 o E  a 1   2 

pro stav RD,

(7.36)

2 o E pro stav RN. (7.37)  a. Z předchozích úvah je zřejmé, že Griffithovu podmínku stability trhliny lze vyjádřit

c 

v některé z následujících forem: G  R,

a  ac,

  c.

(7.38)

Přes omezení, vyplývající z celá řady předpokladů, bylo Griffithovo energetické kriterium dlouhá léta relativně s úspěchem využíváno v konstruktérské praxi - a to i pro jiné materiály než dokonale křehké.

7.3 ZOBECNĚNÍ GRIFFITHOVA KRITERIA S rostoucím prohlubováním poznatků o zákonitostech lomového procesu, probíhajícího v reálných konstrukčních materiálech, se Griffithovo kriterium postupně zobecňovalo a odstraňovaly se některé předpoklady, omezující jeho aplikovatelnost.

7.3.1 Konečné rozměry tělesa, módy porušování II a III Jedním ze základních nedostatků původního Griffithova kriteria bylo, že neumožňovalo vzít v úvahu reálné tvary a rozměry těles s trhlinami. Uvedený nedostatek byl odstraněn vyjádřením hnací síly trhliny G pomocí faktoru intenzity napětí K. V případě nekonečného tělesa s centrální trhlinou, zatíženého rovnoměrným tahovým napětím, je faktor intenzity napěti dán vztahem (5.2), tj. K I    a 

1/ 2

. Dosadíme-li tento vztah do rovnic (7.32)

a (7.33), dostáváme jednoznačnou vazbu mezi hnací silou trhliny GI a faktorem intenzity napětí KI:

1  2 2 KI E 1 G I  K I2 E GI 

pro stav RD

(7.39)

pro stav RN.

(7.40)

Obdobné vztahy platí i pro rovinný smykový mód II i antirovinný smykový mód III (viz např. [8]). Analogicky jako v případě tahového módu I (viz vztah (7.25)) vyjádříme změnu elastické deformační energie tělesa Ua pro mód II ve tvaru

- 133 -

7. HNACÍ SÍLA TRHLINY (RYCHLOST UVOLŇOVÁNÍ DEFORMAČNÍ ENERGIE) _________________________________________________________________________________________ a

1 U a  2   xy r, 0  ua  r,  dr 2 0

pro mód II

(7.41)

kde podle (3.56) a (3.57)

 xy r, 0  

a 2r

(7.42)

1  2 a  r ua  r,    4  a E 2 ua  r,   

4 a  r  a E 2

pro stav RD,

(7.43)

pro stav RN.

(7.44)

pro mód III,

(7.45)

Obdobně v případě módu III a

1 U a  2   yz r, 0  wa  r,  dr 2 0 kde podle (3.66) a (3.68)

 yz r, 0  

a 2r

wa  r,   

(7.46)

21     a 2a  r  . E

(7.47)

Po dosazení, integraci a úpravě dostáváme U a 

1  2   2 a a E

pro mód II, stav RD

(7.48)

U a 

1   2 a a E

pro mód II, stav RN

(7.49)

U a 

1    2 a a E

pro mód III.

(7.50)

Analogicky jako v případě módu I (viz vztah (7.31)) vyjádříme hnací sílu trhliny jako Gj 

dU a U a  lim a 0 a da

pro j = II, III.

(7.51)

Dosadíme-li do (7.51) za Ua pomocí (7.48), (7.49), (7.50) a provedeme-li substituci pomocí vztahu (5.2), tj. K j    a 

1/ 2

pro j = II, III, dostáváme

1  2 2 GII  K II E 1 GII  K II2 E 1  2 GIII  K III . E

pro stav RD

(7.52)

pro stav RN

(7.53) (7.54)

- 134 -


Transformačních vztahů (7.39), (7.40), (7.52), (7.53) a (7.54) lze použít i v případě těles konečných rozměrů, pro která je faktor intenzity napětí vyjádřen pomocí tvarových funkcí fj(a, W, L,...), j = I, II, III - viz obecné vztahy (5.10). Naznačený postup umožňuje i v případě hnací síly trhliny G vzít v úvahu skutečnou geometrickou konfiguraci tělesa s trhlinou (včetně jeho rozměrů) i reálné zatěžovací podmínky. Kriterium stability trhliny lze přepsat do obecného tvaru Gj  Gjc,

j = I, II, III,

(7.55)

kde Gjc jsou kritické hodnoty hnací sily trhliny, stanovené např. dosazením kritických hodnot faktoru intenzity napětí (tj. lomových houževnatostí Kjc, j = I, II, III) do uvedených transformačních vztahů. V případě kombinovaného namáhání (tj. kombinace módů I, II, III se v praxi někdy používá kriteria stability trhliny ve tvaru GI + GII + GIII  R,

(7.56)

které bez hlubšího teoretického zdůvodnění vychází ze součtu hnacích sil trhliny (tj. energií, které jsou skalárními veličinami), odpovídajících jednotlivým módům porušování. Uvedené zobecnění kriteria stability však neodpovídá zcela realitě, neboť vychází z apriorního předpokladu, že se směr šíření trhliny po ztrátě stability nezmění. Tento předpoklad však v případě módů II a III obecně splněn není. Úlohy s kombinovaným namáháním (smíšeným módem porušování) je vhodné řešit pomocí tzv. faktoru hustoty deformační energie S, jehož použití umožňuje predikci směru šíření trhliny (viz 8. kap.).

7.3.2 Elastoplastický materiál Dalším významným předpokladem, který jsme dosud brali v úvahu, bylo čistě elastické chování materiálu, tj. předpoklad dokonale křehkého materiálu. Postupem času bylo Griffithovo kriterium částečně rozšířeno a zobecněno i pro materiály s elastoplastickým chováním. Vznik plastické deformace v okolí trhliny ovlivní jak velikost hnací síly trhliny G, tak i odpor materiálu proti šíření trhliny, obecně ozn. R: Předpokládáme-li plastickou deformaci malého rozsahu, lze odpovídající hodnotu G určit pomocí transformačních vztahů (7.39), (7.40), (7.52), (7.53) a (7.54), do kterých dosadíme faktor intenzity napětí K, korigovaný na velikost plastické zóny pomocí vztahu (6.7). Je-li proces šíření trhliny doprovázen plastickou deformací materiálu v okolí čela trhliny, mění se i charakteristika R, která kvantifikuje celkové množství energie, potřebné pro vznik

- 135 -


lomové plochy jednotkové velikosti. V původní verzi Griffithova kriteria stability trhliny byla hodnota R tvořena pouze specifickou povrchovou energií o - viz vztah (7.22). U tvárných materiálů je však třeba vzít v úvahu i ostatní složky specifické energie trhliny, vyjádřené ve vztahu (7.3). Na vznik plastické deformace na čele trhliny je třeba dodat relativně značné množství energie. Např. u kovů je tato energie podstatně vyšší, než energie povrchová [1], [9], tj. platí pl  2o. Je tedy zřejmé, že plastická deformace výrazně zvyšuje odpor proti nestabilnímu šíření trhliny R. Původní Griffithovu podmínku ztráty stability trhliny, kterou lze vyjádřit vztahem

G(a )  2 o

(7.57)

a platnou pro čistě elastické materiály, lze pro elastoplastické materiály (za předpokladu malého rozsahu plastické deformace) přepsat do tvaru

G(a  rp* )  2 o   pl .

(7.58)

7.3.3 R-křivky Kritické hodnoty hnací síly trhliny R lze určovat experimentálně - např. v případě tahového módu I měřením napětí c, které vede k lomu, tj. obdobně jako při určování lomové houževnatosti Kc - viz odst.5.4. Naměřená kritická hodnota napětí c se použitím vztahu (7.32), resp. (7.33), přepočte na kritickou hodnotu Gc  R . Tato charakteristika významně závisí na teplotě i na ostatních faktorech. ovlivňujících lomovou houževnatost (viz odst. 5.4). Velikost R se např. u ocelí pohybuje v rozsahu 10 až 106 J/m2 [1].

Obr.7.6 – Závislost hnací síly G a odporu proti šíření R (ve stavu RD) na délce trhliny a.

- 136 -


Ve stavu rovinné deformace lze v prvém přiblížení odpor proti šíření trhliny R, charakterizující lomovou houževnatost, považovat za materiálovou konstantu. V případě nekonečného tělesa (tj. za předpokladu a  W ) je dle vztahu (7.32) hnací síla trhliny G přímo úměrná délce trhliny a, přičemž parametrem této závislosti je v případě okrajové úlohy 1. druhu zatěžovací síla F, resp. napětí  - viz obr.7.6. Z uvedeného grafu je zřejmé, jak při daném odporu proti šíření trhliny R závisí kritická délka trhliny ac na úrovni napětí . Na obr.7.7 je uvedena univerzálnější verze tohoto grafu – na vodorovné ose je vlevo od počátku souřadného systému (ozn. O) vynesena výchozí délka trhliny a, vpravo přírůstek délky trhliny

a. Výchozí délce trhliny aj odpovídá dle (7.7) a (7.32) kritické napětí j, kde 1

 E R  2 .  j    2   1   a j 

(7.59)

Tomuto napětí odpovídá na obr.7.7 přímka, procházející body (aj, 0) a (0, R). Je-li splněna nerovnost  < j, je trhlina stabilní.

Obr.7.7 – Univerzálnější verze grafu z obr.7.6 (pro stav RD). V odstavci 7.1 bylo uvedeno, že v případě okrajových úloh 1. i 2. druhu je za jinak stejných podmínek hnací síla trhliny G stejná – viz vztah (7.18). Uvedená rovnost však platí pouze za předpokladu, že se výchozí délka trhliny nemění, tj. pro a = 0. S rostoucí délkou trhliny (a > 0) dochází ke zvyšování poddajnosti tělesa C. Mají-li v tomto případě zůstat zachovány podmínky okrajové úlohy 2. druhu (tj. v = konst), musí s rostoucí délkou trhliny napětí  odpovídajícím způsobem klesat – viz např. vztah (7.27). Důsledkem je, že v oblasti

a > 0 roste hnací síla G s rostoucí délkou trhliny a v případě okrajové podmínky v = konst pomaleji, než v případě okrajové podmínky  = konst (resp. F = konst) [10] – viz obr.7.8. - 137 -


Obr.7.8 – Vliv okrajových podmínek na průběh závislosti G(a), stav RD. Ve stavu rovinné napjatosti není odpor proti šíření trhliny R konstantní, ale je obecně funkcí délky trhliny a, tj. R  Ra  . V tomto případě okamžiku, ve kterém dochází ke ztrátě stability trhliny, předchází etapa stabilního šíření, tj. etapa, ve které je další nárůst trhliny podmíněn zvýšením napětí , resp. síly F. Ke stabilnímu šíření dojde, dosáhne-li hnací síla trhliny G určité prahové hodnoty ozn. Gi. Tato etapa končí, dosáhne-li hnací síla G kritické hodnoty Gc, při které trhlina ztrácí stabilitu a tedy pro její následný růst již není další zvyšování napětí, resp. síly nutné. V závislosti na velikosti hnací síly G se tedy trhlina chová následovně: a) G  Gi ……………trhlina se nešíří, b) Gi  G  Gc ……...trhlina se šíří stabilně (podkritické stádium šíření), c) G  Gc ……………trhlina se šíří nestabilně.

Obr.7.9 – Závislost délky trhliny a a napětí  ve stavu RN, jednotlivé etapy šíření trhliny.

- 138 -


Na obr.7.9 jsou jednotlivá stadia vývoje trhliny znázorněna graficky ve formě závislosti délky trhliny a na napětí . Výchozí délka trhliny je označena ai. Je-li splněna nerovnost

   i , trhlina se nešíří, tj. a  ai  konst . Dosáhne-li napětí úrovně  i (odpovídající hnací síle Gi), trhlina se infinitesimálně prodlouží. Pro další růst je však zapotřebí další zvyšování napětí. Dosáhne-li napětí kritické hodnoty  c , resp. délka trhliny kritické hodnoty ac, odpovídající hnací síle Gc, trhlina ztratí stabilitu a poruší zbylý nosný průřez tělesa. Kritická hodnota napětí  c tedy představuje z praktického hlediska velmi důležitou zbytkovou pevnost tělesa s trhlinou výchozí délky ai. V průběhu etapy stabilního šíření (tj. v oblasti Gi  G  Gc ) platí R = G, přičemž podle vztahu (7.33) G    2 a E 1 . Protože v tomto stadiu roste nejen délka trhliny a, ale i napětí , roste hnací síla G a tedy i kritická hodnota R progresivněji – tato závislost je na obr. 7.10 znázorněna konkávní křivkou, ležící nad extrapolovanou částí lineární závislosti G  G(a ) , odpovídající napětí i pro a = 0.

Obr.7.10 – Porovnání R-křivek a kritických délek trhlin ve stavu RN a RD V souladu s dříve uvedenými vztahy (4.4), resp. (5.36) a (5.37), ke ztrátě stability trhliny dojde, jsou-li splněny podmínky

a

GR

(7.60)

G R  . a a

(7.61)

Tyto podmínky jsou splněny, dosáhne-li přírůstek délky trhliny ve stadiu stabilního růstu kritické hodnoty ac, resp. dosáhne-li trhlina celkové kritické délky ac = aI+ac – viz obr.7.10. - 139 -


Obr.7.11 – R-křivka pro tvárné materiály ve stavu RN, vztah mezi výchozí délkou trhliny aj, kritickým napětím c a kritickou celkovou délkou trhliny ac. V případě tvárných materiálů je ve stavu rovinné napjatosti odpor proti šíření trhliny R dán především prací potřebnou pro vytvoření plastické zóny na čele trhliny, neboť práce potřebná pro iniciaci, růst a koalescenci mikroporuch je podstatně menší. Za uvedených předpokladů tedy R-křivka prochází počátkem souřadnic – viz obr.7.11. Z uvedeného grafu je zřejmá závislost kritického napětí cj (tj. zbytkové pevnosti tělesa s trhlinou, jejíž velikost je úměrná gradientu tečny, procházející bodem (aj, 0)) a celkové kritické délky trhliny v okamžiku ztráty stability acj na výchozí délce trhliny aj a na průběhu závislosti R(a).

Obr.7.12 – Vliv konečných rozměrů tělesa (zejména šířky W a délky L) na průběh závislosti G(a) a na velikost kritické celkové délky trhliny ac.

- 140 -


V dosavadních úvahách, týkajících se R-křivek, jsme předpokládali nekonečné těleso (tj. a << W) a nebrali jsme tudíž v úvahu vliv konečných rozměrů tělesa, způsobu zatěžování a okrajových podmínek. Za těchto předpokladů byla závislosti Gj = Gj(a) lineární. Vliv uvedených faktorů lze do výpočtu zahrnout prostřednictvím tvarové funkce fj(a/W, L/W, …), j = I, II, III, neboť v souladu s transformačními vztahy (7.39), (7.40), (7.52), (7.53), (7.54)

G j  K 2j   2a f j2 (a / W , L / W ,...) , pro j = I, II, III.

(7.62)

Důsledkem je změna charakteru závislosti Gj = Gj(a) [11] a obecně tedy i změna kritické délky trhliny ac a kritického napětí c – viz např. obr.7.12.

Obr.7.13 – Vliv tloušťky tělesa B na průběh R-křivky, porovnání kritické délky trhliny ac ve stavu RD a RN. V předchozí 6.kapitole jsme uvedli smluvní podmínky, jejichž splnění je nutné k zajištění stavu rovinné napjatosti či rovinné deformace. Tyto podmínky vycházejí ze vztahu mezi odhadem velikosti plastické zóny před čelem trhliny rp ve stavu RN a tloušťkou tělesa B. Je-li splněna podmínka rp* ( RN ) / B  0,0637 , jde o typický stav rovinné deformace a R = konst, je-li splněna podmínka rp* ( RN ) / B  1 , jde o typický stav rovinné napjatosti a R dosahuje největších hodnot – viz obr.7.13. Z uvedeného grafu je mimo jiné zřejmé, že celková kritická délka trhliny ac v okamžiku ztráty stability může být při stejném napětí  ve stavu RN podstatně větší, než ve stavu RD. Jde-li o kombinovanou rovinnou úlohu RN + RD, tj. v případě 0,0637  rp* ( RN ) / B  1 , leží odpovídající R-křivka mezi oběma uvedenými krajními polohami – viz obr.7.13. Parametrem, ovlivňujícím tvar a polohu R-křivky, je za jinak identických podmínek tloušťka tělesa B. - 141 -


7.4 ZÁVĚREČNÉ POZNÁMKY Z předchozích úvah vyplývá, že obě dosud uvedená kriteria lineární lomové mechaniky, posuzující stabilitu trhliny pomocí faktoru intenzity napětí K (5. kapitola) a hnací síly trhliny G (7. kapitola) stejně jako kriterium, založené na faktoru hustoty deformační energie S (8. kapitola), jsou ekvivalentní, neboť vycházejí ze shodných předpokladů. Nevýhodou všech zmíněných kriterií je omezení výpočtů polí napětí a deformací pouze na blízké okolí čela trhliny a jejich nepoužitelnost v případě plastické deformace většího rozsahu. Uvedený nedostatek byl odstraněn odvozením jiných kriterií, např. kriteria, které posuzuje stabilitu trhliny pomocí otevření čela trhliny CTOD (9. kapitola), J-integrálu (10. kapitola) apod.



[2]

ROSSMANITH,H.P.: Fracture Mechanics and Materials Testing: Forgotten Pioneers of the Early 20th Century. Fatigue Fract. Engng Mater. Struct., 22, 1999, No.9, pp.781-797.

[3]

ROSSMANITH,H.P.: An Introduction to K. Wieghardt’s Historical Paper “On Spliting and Cracking of Elastic bodies”. Fatigue Fract. Engng Mater. Struct., 18, 1995, No.12, pp.1367-1369.

[4]

WIEGHARDT,K.: Über das Spalten und Zerreissen elastischer Körper. Z. Mathematik Physik, 55, 1907, pp.60-103.

[5]

ROSSMANITH,H.P.: English Translation of [4]. Fatigue Fract. Engng Mater. Struct., 18, 1995, No.12, pp.1371-1405.

[6]

GRIFFITH,A.A.: The Phenomenon of Rupture and Flow in Solids. Phil. Trans. Royal Soc., A 221, 1921, pp.163-198.

[7]

INGLIS,C.E.: Stresses in a Plate Due to the Presence of Cracks and Sharp Corners. Trans. Inst. Naval Archit., 55, 1913, No.1, pp.219-241.

[8]

SIH,G.C. - LIEBOWITZ,H.: Mathematical Theories of Brittle Fracture. In: Fracture. Ed. H.Liebowitz. Vol.II, New York and London, Academic Press 1968, pp.67-190.

[9]


[10] EWALDS,H.L. - WANHILL,R.J.H.: Fracture Mechanics. London, Edward Arnold 1989, 304 p. [11] BROEK,D.: The Practical Use of Fracture Mechanics. Kluwer Academic Publishers 1988, 600 p.

- 142 -

8. FAKTOR HUSTOTY DEFORMAČNÍ ENERGIE _________________________________________________________________________________________

8. FAKTOR HUSTOTY DEFORMAČNÍ ENERGIE 8.1 ÚVOD Konstrukční součásti bývají v praxi velmi často vystaveny kombinovanému, víceosému namáhání. Trhliny v těchto součástech bývají vůči směru vnějšího namáhání orientovány tak, že jde o smíšený mód porušování. Dosud uvedená kriteria stability trhliny byla založena na implicitním předpokladu, že a priori známe směr šíření trhliny. Předpokládali jsme, že k šíření trhliny dojde ve směru osy x, daném předchozí orientací trhliny (viz např. obr.3.18). V případě, že nejde o čistý tahový mód I, však tento předpoklad nemusí být splněn. Aplikace předchozích kritérií lomové mechaniky by v těchto případech mohla vést ke značným chybám (např. při určování kritických hodnot zatížení apod.). Obecně lze konstatovat, že směr šíření trhliny závisí na rozložení energie v tělese a na vlastnostech materiálu před čelem trhliny (např. na výskytu strukturních nehomogenit apod.). Pro exaktní popis chování trhliny v zatíženém tělese a pro řešení otázek její stability je nezbytná objektivní predikce směru šíření trhliny. Naznačenou problematikou se ve svých pracích zabývá zejména Sih (viz např. [1] až [3]). Vychází přitom z koncepce hustoty deformační energie: Za předpokladu lineárně elastického materiálu lze objemovou hustotu deformační energie dU/dV (v anglicky psaných publikacích někdy též označovanou jako SED = „Strain Energy Density“) vyjádřit pomocí obecného vztahu [4], [5] (viz odst.10.2)  ij

dU 1     ij d ij   ij  ij dV i, j 0 i, j 2

[J/m3; MPa].

(8.1)

Dosadíme-li do vztahu (8.1) za složky tenzoru deformace ij pomocí zobecněného Hookova zákona (3.7), dostáváme













dU 1 1 1 1 1 1   x  x    y   z    y  y    z   x    z  z    x   y   dV 2 E 2 E 2 E  xy 1  yz 1  1   xy    yz    zx  zx , 2 G 2 G 2 G

tj. po úpravě a dosazení za modul pružnosti ve smyku G pomocí (3.10) dU 1  1  2   x2   y2   z2   x y   y z   z x    xy   yz2   zx2 . dV 2 E E E









(8.2)

Předpokládejme obecný, smíšený mód porušování (tj. I + II + III). Podle principu superpozice platí

 ij   ijI   ijII   ijIII .

- 143 -

(8.3)


V blízkém okolí čela trhliny jsou složky tenzoru napětí ij (i = x, y, z; j = x, y, z) pro jednotlilivé módy porušování dány rovnicemi (5.3) až (5.7). Tyto vztahy lze obecně vyjádřit ve tvaru f ijk    a (i = x, y, z; j = x, y, z; k = I, II, III), (8.4)  ijk  f ijk    K k 2r 2r který vyjadřuje závislost ijk na faktoru intenzity napětí Kk (k = I, II, III) a na polárních souřadnicích r a . Dosadíme-li pomocí (5.3) až (5.7) do vztahu (8.3), dostáváme

  3    3    K I cos 2 1  sin 2 sin 2   K II sin 2  2  cos 2 cos 2       1    3    3  y  K I cos 1  sin sin   K II sin cos cos   2 2 2  2 2 2 2 r  2    z  K I cos  K II sin  pro RD,  2 2 2 r  x 

1 2 r

z  0

pro RN,

  3   3    K I sin 2 cos 2 cos 2  K II cos 2 1  sin 2 sin 2    

 xy 

1 2 r

 yz 

1  K III cos 2 2 r

 zx  

(8.5)

1  K III sin . 2 2 r

Dosadíme-li do rovnice (8.2) za složky tenzoru napětí i a ij pomocí vztahů (8.5), dostáváme po úpravě hustotu deformační energie dU/dV vyjádřenou v kvadratické formě dU 1  a11K I2  2a12 K I K II  a22 K II2  a33K III2  [J/m3, MPa], dV r přičemž koeficienty aij (i , j= 1, 2, 3) [MPa-1]) jsou definovány rovnicemi

a11 

1 16 G

3  4  cos    1  cos  

pro stav RD

 3      cos    1  cos     16 G  1     1 a12  sin   cos   1  2  8 G a11 

1

pro stav RN pro stav RD

1 1    sin   cos   8 G 1     1 41     1  cos    1  cos    3 cos   1 a22  16 G

a12 

 4 1  cos    1  cos    3 cos   1  16 G 1    1 a33  . 4 G

a22 

(8.6)

1

- 144 -

pro stav RN pro stav RD pro stav RN

(8.7)


8.2 DEFINICE A ZÁKLADNÍ HYPOTÉZY Faktor hustoty deformační energie S je definován vztahem dU [N/m = J/m2]. Sr dV (Ve starší anglosaské literatuře byl používán rozměr lb/in  175,2 N/m.)

(8.8)

Dosadíme-li do uvedeného vztahu za dU/dV pomocí (8.6), dostáváme transformační vztah mezi faktorem hustoty deformační energie S a faktory intenzity napětí Kk (k = I, II, III): S  a11K I2  2a12 K I K II  a22 K II2  a33K III2 ,

(8.9)

kde koeficienty aij= aij(, G, ) (i, j = 1, 2, 3) jsou dány vztahy (8.7). Zatímco faktor intenzity napětí, hnací síla trhliny a jiné dříve diskutované parametry lomové mechaniky kvantifikují pouze "amplitudu" pole napětí v okolí čela trhliny, faktor hustoty deformační energie S je navíc i směrově citlivý. Rozdíl mezi faktory K a S je tedy možno přirovnat k rozdílu mezi skalárem a vektorem. Sihova teorie nestabilního šíření trhliny je založena na dvou základních hypotézách: 1) Hypotéza 1: K šíření trhliny dojde ve směru, ve kterém je faktor hustoty deformační energie S minimální (tj. hustota potenciální energie maximální). Úhel o, udávající směr šíření, je tedy určen podmínkami

S 0, 

(8.10a)

tj. ve stavu RD sin  cos   2  1K I2  2cos 2  cos  1  2 K I K II  sin  1  2  3 cos  K II2  0 ,

resp. ve stavu RN 1   2 1      1   sin   cos    3 cos   K II2  0  K I  2 cos 2  cos   K I K II  sin   1   1     1  

 2S  0,  2

a

(8.10b)

tj. ve stavu RD

cos 2  1  2  cos  K I2  2 sin   4 cos   1  2 K I K II  1  2  cos   3 cos 2 K II2

0

resp. ve stavu RN

cos 2  1  2 cos K I2  2 sin  4 cos  1  2 K I K II  1  2 cos  3cos 2 K II2

 0.

2) Hypotéza 2: K šíření trhliny dojde, jestliže faktor hustoty deformační energie S dosáhne ve směru definovaném úhlem o kritické hodnoty Sc, tj. S    o   Sc .

(8.11)

Hodnota Sc charakterizuje (obdobně jako lomová houževnatost Kc) odpor materiálu proti šíření trhliny. Vztah (8.11) je tedy kriteriem ztráty stability trhliny. - 145 -


8.3 JEDNODUCHÉ PŘÍKLADY APLIKACÍ 8.3.1 Tahový mód I Nekonečné těleso s centrální trhlinou délky 2a je namáháno tahovým napětím , působícím ve směru osy y. Odpovídající faktory intenzity napětí Kk (k = I, II, III) jsou dány vztahy (5.2), podle kterých

KI    a K II  0

(8.12)

K III  0 .

Dosadíme-li pomocí (8.12) a (8.7) do vztahu (8.9), dostáváme pro stav rovinné deformace S  a11K I2 

 2a 16G

3  4  cos    1  cos   .

(8.13)

Podle podmínky (8.10a) dojde k šíření trhliny ve směru, ve kterém platí

a S  2a   2 a 11  sin   cos   2  1  0.   8G

(8.14)

Rovnice (8.14) má dvě řešení: 1  0 a  2   arccos 1  2  . Podmínku minima (8.10b), tj.

 2 a11  2 a  2S 2 cos 2  cos   2  1  0,    a   2  2 8G

(8.15)

splňuje pouze první řešení, neboť   2S   2 a  2   0 4G   1

zatímco

pro všechna 0 <  < 0,5,

  2S   2a  2      1  0 pro všechna 0 <  < 0,5. 2G   2

Trhlina se tedy bude šířit ve směru 0 = 1 = 0. V tomto směru nabývá faktor hustoty deformační energie své minimální hodnoty S min  S   0 

1  2 2  a. 4G

Ke ztrátě stability trhliny dojde, dosáhne-li napětí  kritické hodnoty c, resp. dosáhne-li S ve směru o = 0 kritické hodnoty Sc, jejíž velikost vyplývá ze vztahu (8.13), položíme-li KI = KIc, tj. - 146 -


Sc 

1  2 2 1  2 2 c a  K Ic 4G 4 G

pro stav RD.

(8.16)

Některé konkrétní hodnoty Sc pro běžné konstrukční slitiny jsou uvedeny v tab.8.1. Tabulka 8.1 – Příklady kritických hodnot Sc některých slitin při pokojové teplotě. Slitina

E [MPa]

G [MPa]

Martenzitická ocel Austenitická ocel Uhlíkatá ocel Ti-6A1-4V Ti-8Mo-8V-2Fe-3A1 AlCu4Mg1 AlZn6Mg2Cu

210 000 210 000 210 000 115 000 115 000 70 000 70 000

84 000 84 000 84 000 43 560 43 560 26 250 26 250

 [1] 0,25 0,25 0,25 0,32 0,32 1/3 1/3

KIc [MPa.ml/2] 56 195 217 80 55 34 29

Sc [J/m2] 1 485 18 012 22 305 4 209 1 989 1 168 850

8.3.2 Rovinný smykový mód II Nekonečné těleso s centrální trhlinou délky 2a je namáháno smykovým napětím , působícím v rovině x, y (viz obr.3.21). Podle vztahů (5.2) pro tento případ platí

KI  0

K II    a

(8.17)

K III  0 .

Dosadíme-li pomocí (8.17) a (8.7) do vztahu (8.9), dostáváme pro stav rovinné deformace S  a22 K II2 

 2a 16G

41     1  cos    1  cos    3 cos   1.

(8.18)

Z první podmínky minima (8.10) vyplývá rovnice

a S  2a   2 a 22  sin   1  2  3 cos    0 ,   8G která má řešení

(8.19)

 1  2   . Druhá derivace S podle , tj.  3 

1  0 a  2   arccos 

 2 a22  2 a  2S 2  3 cos 2  cos   1  2  ,    a   2  2 8G

(8.20)

je pro   1  0 záporná (tj. podmínka minima splněna není), neboť platí   2S   2a  2    1     0 pro všechna 0 <  < 0,5. 4G   1

Je tedy zřejmé, že v tomto případě dojde ke změně směru šíření trhliny. Pro   2S   2a  1  2      2     2   0 pro všechna 0 <  < 0,5. platí    2   arccos   2   6G  3     2

- 147 -


Obr.8.1 - Obecné označení směru šíření po ztrátě stability trhliny v případě módu II. Z fyzikálního hlediska (při znaménkové konvenci podle obr.8.1) platí pouze řešení záporné (v případě kladného řešení by naopak docházelo k uzavírání trhliny). K šíření trhliny tedy  1  2  dojde ve směru definovaném úhlem  2   arccos   . Z uvedeného výsledku je zřejmé,  3  že úhel šíření trhliny o závisí na Poissonově čísle materiálu  (viz obr.8.2). Např. pro oceli ( = 0,25) platí o = - 80,4, pro hliníkové slitiny ( = 1/3) platí o = - 83,60 apod. -70 ROVINNÝ SMYKOVÝ MÓD II -75

-80

směr šíření trhliny

-85

 1  2   0   arccos    3 

oceli Al-slitiny

Poissonovo číslo  1 -90 0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

Obr.8.2 - Závislost směru šíření trhliny o na Poissonově čísle  (mód II). Ve směru definovaném úhlem o bude faktor hustoty deformační energie S minimální, 2   1  2  21      2  a. Ke ztrátě stability trhliny dojde, tj. S min  S    arccos    12G  3   dosáhne-li napětí  kritické hodnoty c, která odpovídá kritické hodnotě Sc Sc 

21      2 2 21      2 2 c a  K IIc 12G 12 G

pro stav RD.

(8.21)

Protože předpokládáme, že Sc je čistě materiálová konstanta, musí být pravá strana rovnice (8.21) rovna pravé straně rovnice (8.16), odvozené pro tahový mód I, tj.

- 148 -


21      2 2 1  2 2 K IIc  K Ic , 12 G 4 G

resp.

(8.22)

21      2 1  2 2 c a  ca. 12G 4G 2

Z rovnic (8.22) vyplývá, že poměr lomových houževnatostí ve stavu RD (resp. poměr kritických napětí) v módu II a I, je funkcí Poissonova čísla materiálu : 31  2  . 21      2

K IIc  c   K Ic  c

(8.23)

Z uvedené závislosti (graficky znázorněné na obr.8.3) vyplývá, že pro materiály s nižší hodnotou Poissonova čísla (0 <   0,268) platí KIIc/KIc  1 (např. v případě ocelí s  = 0,25 platí KIIc/KIc = 1,02), zatímco pro materiály s vyšší hodnotou Poissonova čísla (0,268   < 0,5) platí KIIc/KIc  1 (např. pro hliníkové slitiny s  = 1/3 platí KIIc/KIc = 0,905). 1,3 1,2

K IIc /K I

1,0

c

0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1

poměr lomových houževnatostí

1,1

0,0 0,00

K IIIc /K Ic

Poissonovo číslo  [1] 0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

Obr.8.3 - Závislost poměru lomových houževnatostí KIIc/KIc a KIIIc/KIc na Poissonově čísle materiálu  - viz vztahy (8.23) a (8.28).

8.3.3 Antirovinný smykový mód III Nekonečné těleso s centrální trhlinou délky 2a je namáháno smykovým napětím , působícím v rovině y,z (viz obr.3.24). Podle (5.2) v tomto případě platí KI  0 K II  0

(8.24)

K III    a . - 149 -


Dosadíme-li pomocí (8.24) a (8.7) do (8.9), dostáváme faktor hustoty deformační energie 1 2 (8.25)  a, 4G který v tomto případě není funkcí polárního úhlu . Ke ztrátě stability trhliny dojde, dosáhneS  a33K III2 

li smykové napětí  kritické hodnoty c , odpovídající kritické hodnotě Sc , tj. 1 2 1 2 . (8.26) Sc  c a  K IIIc 4G 4 G Předpokládáme, že Sc je materiálová konstanta. Porovnáme-li pravé strany rovnic (8.26) a (8.16), dostáváme

1 1  2 2 2 K IIIc  K Ic 4 G 4 G

resp.

(8.27) 1 2 1  2 2 c a  ca. 4G 4G Ze vztahů (8.27) vyplývá, že poměr lomových houževnatostí ve stavu RD (resp. poměr kritických napětí) v módu III a I je klesající funkcí Poissonova čísla materiálu  (viz obr.8.3): K IIIc  c   1  2 . K Ic c

(8.28)

Z uvedeného vztahu vyplývá, že pro všechny hodnoty Poissonova čísla (0 <  < 0,5) platí KIIIc/KIc < 1 - např. pro oceli s  = 0,25 platí KIIIc/KIc = c/c = 0,707, pro hliníkové slitiny s  = 1/3 platí KIIIc/KIc = c/c = 0,577 apod.

8.3.4 Smíšený mód I + II, dvouosé namáhání Nekonečné těleso s trhlinou délky 2a je namáháno dvouosým zatížením, kterému odpovídají napětí l a 2 = k.l, kde k je libovolné reálné číslo. Osa trhliny (ozn. x) svírá se směrem působení napětí l úhel  - viz obr.8.4.

Obr.8.4 - Těleso s trhlinou zatížené dvouosým namáháním ve smíšeném módu I + II. - 150 -


Při řešení této úlohy můžeme použít buď princip superpozice, nebo přímou metodu, vycházející z Mohrovy kružnice pro dvouosé zatížení: 1) Využití principu superpozice. Schéma, podle kterého byla daná úloha rozložena na dvě jednodušší, je uvedeno na obr.8.4. Výsledné hodnoty faktoru intenzity napětí Ki (i = I, II, III) jsou dány algebraickým součtem dílčích řešení Kij (i = I, II, III; j = 1, 2), která odpovídají samostatně působícím jednoosým napětím l a 2.

Obr.8.5 - Schéma principu superpozice použitého pro řešení úlohy z obr.8.4. a) Vliv napětí l Z Mohrovy kružnice (viz obr.8.6) vyplývá, že hlavnímu napětí l odpovídá: tahové napětí, působící ve směru osy y

 I1 

1 2



1 2

cos  2   

1 2

1  cos 2    1 sin 2  ,

(8.29)

smykové napětí, působící ve směru osy x

 II 1 

1 2

sin  2   

1 2

sin 2    1 sin  cos  .

Obr.8.6 - Mohrova kružnice pro jednoosé zatížení napětím 1.

(8.30)

Obr.8.7 - Mohrova kružnice pro jednoosé zatížení napětím 2.

Faktory intenzity napětí, odpovídající napětí l, jsou dány vztahy - 151 -


K I 1   I 1  a   1  a sin 2  , K II 1   II 1 a   1  a sin  cos  ,

(8.31)

K III 1  0.

2) Vliv napětí 2 = k.l. Obdobně jako v první části úlohy z Mohrovy kružnice vyplývá (viz obr.8.7), že napětí 2 odpovídá: tahové napětí, působící ve směru osy y

 I2 

2 2



2 2

cos  2   

2 2

1  cos 2    2 cos 2   k 1 cos 2  ,

(8.32)

smykové napětí, působící ve směru osy x

 II 2  

2 2

sin  2    

2 2

sin 2   k 1 sin  cos 

(8.33)

Odpovídající faktory intenzity napětí jsou dány vztahy K I 2   I 2 .  . a  k.1 .  . a .cos2  , K II 2   II 2 .  .a   k. 1.  .a . sin . . cos  ,

(8.34)

K III 2  0.

Superpozicí dílčích výsledků (8.29) až (8.34) dostáváme výsledné řešení

resp.

 I   I 1   I 2   1 sin 2   k cos 2  

(8.35)

 II   II 1   II 2   1 1  k sin  cos  ,

(8.36)

K I  K I 1  K I 2   1  a sin 2   k cos 2   K II  K II 1  K II 2   1  a 1  k sin  cos  KIII  KIII 1  KIII 2  0 .

Obr.8.8 - Mohrova kružnice pro dvouosé namáhání, použitá pro přímé řešení úlohy z obr.8.4.

- 152 -

(8.37)


2) Přímá metoda. Zadanou úlohu je možno řešit i bez použití principu superpozice pomocí Mohrovy kružnice pro dvouosé namáhání (obr.8.8):

I   II 

1   2 2

1   2 2



1   2 2

cos  2   

sin  2   

 1  k 1 2

1 2

1  k   1  k  cos 2    1 sin 2   k cos 2   ,

sin 2    1 1  k  sin  cos  .

Uvedené vztahy jsou totožné s řešením, získaným pomocí metody superpozice (8.35) a (8.36).

Obr.8.9 - Závislost faktoru intenzity napětí KI na orientaci trhliny  a na poměru k = 1/2.

Obr.8.10 - Závislost faktoru intenzity napětí KII na orientaci trhliny  a na poměru k = 1/2. - 153 -


Ze vztahů (8.37), graficky znázorněných na obr.8.9 a 8.10, je zřejmá závislost hodnot KI a KII na úhlu  (tj. na orientaci trhliny vůči vnějšímu zatěžování) a na poměru k = l /2. V případě, kdy v obou na sebe kolmých směrech působí stejné tahové napětí l = 2 (tj. k = 1), hodnoty faktoru intenzity napětí KI i KII na úhlu  nezávisejí a platí K I   1  a a K II  K III  0 - jde tedy o čistý tahový mód I.

V případě, že obě vnější napětí mají stejnou velikost ale opačný smysl (tj. jde-li o kombinaci tahu a tlaku za podmínky 2 = - 1, resp. k = - 1), hodnoty KI a KII na úhlu  závisejí a obecně jde o smíšený mód porušováni I + II. Ze vztahů (8.37) vyplývá, že pro každé k < 0 existuje úhel , při kterém je těleso s trhlinou namáháno pouze čistým rovinným smykem, tj. platí KII  0 a KI = KIII = 0. Příslušná velikost úhlu  je dána vztahem   arctg





 k . Z uvedeného vztahu vyplývá, že např. pro

k = - 1 je touto hodnotou  = 45, přičemž K II   1  a .

8.3.5 Smíšený mód I + II, jednoosé namáhání V dalších úvahách, zaměřených na predikci směru šíření trhliny v případě smíšeného módu I + II (viz obr.8.4), budeme pro jednoduchost předpokládat pouze jednoosé zatížení, tj.

l =   0, 2 = 0 (resp. k = 0). Dosadíme-li do (8.9) za KI a KII pomocí (8.31), dostáváme faktor hustoty deformační energie S   2 a sin 2  a11 sin 2   2a12 sin  cos   a22 cos 2  .

(8.38)

K šíření trhliny dojde ve směru definovaném podmínkami (8.10) - dosadíme-li za S pomocí a a S  a  (8.38), dostáváme   2 a sin 2   11 sin 2   12 sin 2   22 cos 2    0 .       Dosadíme-li dále do této podmínky za koeficienty aij pomocí (8.7), dostáváme po derivaci a úpravě za předpokladu   0: a) ve stavu rovinné deformace

(8.39)

sin  cos   2  1 sin 2   cos 2  1  2  cos  sin 2   sin  1  2  3 cos   cos 2    1  2  sin  2    sin2     sin  cos   0,

b) ve stavu rovinné napjatosti

(8.40)

1   2 1      1   sin   cos   sin 2   sin    3 cos   cos 2    sin   cos 2  cos   1   1     1   1   sin  2    sin2     sin  cos   0. 1 

- 154 -


Obr.8.11 - Směr šíření trhliny o v závislosti na orientaci  a na Poissonově čísle  pro jednoosé tahové zatížení ve stavu RD.

Obr.8.12 - Směr šíření trhliny o v závislosti na orientaci  a na Poissonově čísle  pro jednoosé tlakové zatížení ve stavu RD. - 155 -


Obr.8.13 - Závislost faktoru hustoty deformační energie So ve směru šíření o na úhlu  a na Poissonově čísle  pro jednoosý tah ve stavu RD.

Obr.8.14 - Závislost faktoru hustoty deformační energie So ve směru šíření o na úhlu  a na Poissonově čísle  pro jednoosý tlak ve stavu RD. - 156 -


Obr.8.15 - Závislost kritického napětí c na úhlu  a na Poissonově čísle  pro jednoosý tah ve stavu RD.

Obr.8.16 - Závislost kritického napětí c na úhlu  a na Poissonově čísle  pro jednoosý tlak ve stavu RD.

- 157 -


Rovnice (10.39) a (10.40) mají v intervalu (-180, +180) z čistě matematického hlediska více řešení o. Tato řešení jsou funkcí úhlu  a Poissonova čísla . Jednoosému tahu (tj.  > 0) fyzikálně odpovídají záporná řešení o  (- 180, 0). Na obr.8.11 je graficky znázorněna závislost o(, ), tj. řešení rovnice (8.39), pro stav rovinné deformace. Uvedené teoretické výsledky jsou v souladu s experimenty [1]. Jednoosému tlaku (tj.  < 0) fyzikálně odpovídají kladná řešení o  (0, 180) - viz obr.8.11, na kterém jsou vyneseny závislosti o(, ) pro stav rovinné deformace. Názornou ukázkou směrové citlivosti faktoru hustoty deformační. energie je závislost  16G S  poměru  2 o  , představujícího normalizovanou hodnotu So, na úhlu  a na Poissonově   a 

čísle  - viz obr.8.13 a 8.14. So odpovídá úhlu o, který definuje směr, ve kterém je faktor hustoty deformační energie S minimální (viz obr.8.11 a 8.12). Z grafů na obr.8.13 je zřejmé, že v případě jednoosého tahu má uvedená závislost monotónní charakter - s rostoucím úhlem  faktor hustoty deformační energie So roste a dosahuje maxima při  = 90, tj. v případě čistě tahového módu I. Ke ztrátě stability trhliny dojde, dosáhne-li So kritické hodnoty Sc, tj. So = Sc. Je zřejmé, že odpovídající kritická hodnota vnějšího tahového napětí c závisí na úhlu  (při  = 90 je c minimální) a na Poissonově čísle  (c je tím nižší, čím menší je Poissonovo číslo , tj. čím křehčí je materiál) - viz obr.8.15. V případě jednoosého tlaku pro každé  existuje určitý úhel o, při kterém So nabývá svého maxima (viz obr.8.14). Při ztrátě stability trhliny tedy úhlu o odpovídá minimální kritická hodnota vnějšího tlakového napět c - viz obr.8.16.

8.4 ZÁVĚREČNÉ POZNÁMKY Vztahy (3.46), (3.56) a (3.66), vyjadřující složky tenzoru napětí v tělese s trhlinou pro tahový mód I, rovinný smykový mód II a antirovinný smykový mód III, byly odvozeny pomocí komplexních napěťových funkcí, u kterých byly zanedbány členy vyšších řádů. Je zřejmé, že toto zjednodušení v případě smíšeného módu porušování může negativně ovlivnit přesnost výsledných složek tenzoru napětí (8.5) a tedy i přesnost výpočtu hustoty deformační energie (8.6). Vlivy členů vyšších řádů na hustotu deformační energie a s tím související důsledky pro predikci směru šíření trhliny jsou podrobněji analyzovány např. v pracích [6] až [8]. Hlavním přínosem kritéria lomové mechaniky, vyjádřeného pomocí faktoru hustoty deformační energie S, je vytvoření objektivních podkladů umožňujících posouzení: - 158 -


a) stability trhliny v případech smíšených módů, b) predikci směru šíření trhliny. Použitelnost výše uvedených postupů je však omezena pouze na oblast lineární lomové mechaniky, neboť se při jejich odvozování vycházelo z předpokladu čistě elastického chování materiálu (splnění tohoto předpokladu např. podmiňuje možnost použití principu superpozice). Potenciální možnosti využiti hustoty deformační energie v případě větších plastických deformací jsou naznačeny v práci [9].


SIH,G.C.: Introductory Chapter: A Special Theory of Crack Propagation. In: Mechanics of Fracture 1. Methods of Analysis and Solutions of Crack Problems. Ed. G.C.Sih, Leyden, Noordhoff International Publishing 1973, pp.XXI-XLV.

[2]

SIH,G.C.: Some Basic Problems in Fracture Mechanics and New Concepts. Engng Fracture Mech., 5, 1973, No.2, pp.365-377.

[3]

SIH,G.C.: Handbook of Stress Intensity Factors. Bethlehem, PA., Lehigh University 1973.

[4]

DVOŘÁK,J.: Základy teoretické pružnosti. (Skripta ČVUT-FTJF.) Praha, SNTL 1965, 130 s.

[5]

OLIVA,Vl.: Aplikovaná mechanika kontinua I. Elastomechanika. (Skripta ČVUT-FJFI.) Praha, ES ČVUT 1982, 175 s.

[6]

EFTIS,J. - SUBRAMONIAN,N.: The Inclined Crack Under Biaxial Load. Engng Fracture Mech., 10, 1978, No.1, pp.43-67.

[7]

MAITI,S.K. - SMITH,R.A.: Criteria for Brittle Fracture in Biaxial Tension. Engng Fracture Mech., 19, 1984, No.5, pp.793-804.

[8]

SMITH,R.N.L.: Second-Order Terms and Strain Energy Density for the Angled Crack Problem. Engng Fracture Mech., 26, 1987, No.3, pp.463-469.

[9]

SIH,G.C. - MADENCI,E.: Fracture Initiation Under Gross Yielding. Strain Energy Density Criterion. Engng Fracture Mech., 18, 1983, No.3, pp.667-677.

- 159 -

9. OTEVŘENÍ TRHLINY (COD, CTOD) _________________________________________________________________________________________

9. OTEVŘENÍ TRHLINY (COD, CTOD) 9.1 DEFINICE COD A CTOD Otevření trhliny (ozn. COD = Crack Opening Displacement) je obecně definováno rozdílem rozhodujících složek vektoru posuvu na obou lících trhliny. V případě tahového módu I je COD ve vzdálenosti x od středu centrální trhliny v tělese (obr.9.1) dáno vztahem

CODx   2vx, 0 .

s

s

s

(9.1)

s

s

s

v(x,0) COD(x)

y

x

x

0 2a

s

s

s

s

s

s

Obr.9.1 – Zavedení souřadného systému a definice COD(x), čistě elastický stav napjatosti. Dosadíme-li do obecných vztahů pro výpočet složek posuvu (3.40) Westergaardovu funkci napětí Z() ve tvaru (3.41) a položíme-li y = 0, dostáváme









2 1  2 2 1  2 vx, 0   Im  Z  d   s  Im x 2  a 2  E E 1 2s 1   2  2  v  x, 0   a  x2  2 tj. E

resp.

v  x, 0  



1 2s 2  a  x2  2 E



1

2





2   2 1   s  Imi a 2  x 2   E





1

2

stav RD

(9.2)

stav RN.

(9.3)

stav RD

(9.4)

Po dosazení vztahů (9.2) a (9.3) do (9.1) dostáváme CODx  

1 4s 1   2  2  a  x2  2 E

- 160 -

, 


CODx  

1 4s 2  a  x2  2 E

stav RN.

(9.5)

Uvedené vztahy platí pro čistě elastický stav napjatosti. Je zřejmé, že za tohoto předpokladu je otevření čela trhliny CTOD (Crack Tip Opening Displacement), definované vztahem CTOD  CODx  a  ,

(9.6)

nulové. Předpokládejme, že před čelem trhliny dochází k plastické deformaci. Provedeme-li pomocí obecného vztahu (6.6) korekci délky trhliny na velikost plastická zóny, lze vztahy (9.4) a (9.5) přepsat do tvaru



CODx  

2 4s 1   2   a  rp*   x 2 E

CODx  

2 4s  a  rp*   x 2 E









1

2



1

2

stav RD

(9.7)

stav RN,

(9.8)

kde a  rp*  a ef je efektivní délka trhliny (viz 6. kap.). Otevření čela trhliny je v tomto případě (tj. pro x = a) 2 4s 1   2  2a rp*  rp* E 1 2 2 4s CTOD  2a rp*  rp* E



CTOD 



1

2





stav RD

(9.9)

stav RN.

(9.10)

Za předpokladu malé plastické deformace ( rp* << 2a) lze vztahy (9.9) a (9.10) upravit do tvaru 1 4s 1   2   CTOD  2a rp*  2 E

CTOD 

1 4s  2a rp*  2 E

Dosadíme-li do rovnice (9.12) za s a

1

2

stav RD

(9.11)

stav RN.

(9.12)

pomocí vztahu (6.1), který vyjadřuje Irwinovu

korekci na velikost plastické zóny rp* , tj.

s a  2rp*  R p 0,2 , 1

1

2

2

dostáváme

CTOD 

8R p 0,2 E

rp*

stav RN.

(9.13)

Z uvedeného vztahu je zřejmá přímá úměra mezi CTOD a rp* . CTOD je tedy měřítkem velikosti plastické zóny před čelem trhliny.

- 161 -


9.2 POUŽITÍ CTOD V PŘÍPADĚ PLASTICKÉ DEFORMACE MALÉHO ROZSAHU (V OBORU PLATNOSTI LLM) 9.2.1 Vztah mezi CTOD, K a G Posuneme-li počátek souřadného systému na čelo "efektivní" trhliny (viz obr.9.2), tj. provedeme-li substituci x  a  rp*  r , lze vztah (9.8) za předpokladu r << a přepsat do tvaru CODr  

4s 2a  rp* r E





1

2

stav RN,

(9.14)

Dosadíme-li do tohoto vztahu za r  rp* , kde rp* je dáno vztahem (6.1), dostáváme za předpokladu rp* << a vztah mezi otevřením čela trhliny CTOD a faktorem intenzity napětí KI:

s

s



K I2   E R p 0,2

s

4

s

y´

y

r

s

s

s

s

(9.15)

s

x

0´

0 2a

rp*

stav RN.

COD(r)



CTOD  COD r  r

* p

rp*

s

s

s

Obr.9.2 – Zavedení souřadného systému a definice COD(r), malá plastická deformace na čele trhliny. Analytické stanovení velikosti plastické zóny rp* není dosud zcela jednoznačnou záležitostí. Jednotlivé výsledky, získané na základě různých předpokladů, se od sebe kvantitativně odlišují. Důsledkem je i odlišná korekce délky trhliny na velikost plastické zóny.

4 , vystupující ve vztahu (9.15), odpovídá Irwinovu výpočtu velikosti plastické  zóny - viz vztah (6.1). Podle jiných autorů nabývá zmíněný číselný faktor jiných hodnot Číselný faktor

např. podle Dugdaleova modelu [1] je tento faktor roven 1 [2]. Obecně lze vztah mezi CTOD - 162 -


a KI vyjádřit ve tvaru CTOD 

K I2 1   2   E R p 0,2

K I2 CTOD   E R p 0,2

stav RD,

(9.16)

stav RN,

(9.17)

kde  označuje bezrozměrnou konstantu (tzv. faktor stísnění). Při teoretickém výpočtu rp* podle Irwina platí    / 4 , podle Dugdala   1 apod. Konstantu  lze stanovit i experimentálně - přímým měřením závislosti CTOD (viz odst. 9.2.2 a 9.2.3) na faktoru intenzity napětí KI. Její velikost závisí na řadě faktorů, mezi které patří zejména (viz [2] až [5]):  místo, ve kterém je hodnota CTOD měřena (závisí na definici polohy čela trhliny),  způsob měření CTOD,  typ zkušebního tělesa,  způsob zatěžování,  mez kluzu materiálu apod.. Výsledky teoretických a experimentálních prací věnovaných této problematice naznačují, že hodnota  se obvykle pohybuje v intervalu  / 4    2 [3]. Dosadíme-li do rovnic (9.16) a (9.17) pomocí transformačních vztahů (7.39) a (7.40), dostáváme vztah mezi CTOD a hnací silou trhliny G:

CTOD 

G .  R p 0,2

(9.18)

9.2.2 Měření CTOD v laboratorních podmínkách Měření CTOD lze v laboratorních podmínkách provádět následujícími způsoby: a)

Přímým optickým měřením na fotografiích ústí kořene trhliny na povrchu zatíženého tělesa.

b) Nepřímým optickým měřením na replikách, sejmutých v uvedeném místě zatíženého tělesa. c)

Měřením na metalografických řezech, pořízených v různých místech čela trhliny; přičemž vzájemnou polohu obou lící trhliny je třeba zafixovat v poloze při zatížení pomocí plastické hmoty, která vyplní prostor mezi nimi.

d) Pravděpodobně nejspolehlivější měření CTOD se provádí tak, že se prostor mezi lícemi trhliny vyplní tvrdnoucí silikonovou gumou. Takto pořízený "odlitek" trhliny lze po - 163 -


pokovení (obvykle zlatem ve vakuové napařovačce) pozorovat a proměřovat pomocí řádkovacího elektronového mikroskopu.

9.2.3 Kriterium stability trhliny; praktické způsoby určování CTOD Aplikovatelnost kriteria stability trhliny, vyjádřeného pomocí CTOD, tj. CTOD  CTODc,

(9.19)

je podmíněna možností měření CTOD a stanovení kritické hodnoty CTODc. Metody, uvedené v odst. 9.2.2, jsou vhodné pro laboratorní použití v rámci základního výzkumu, ale možnosti jejich uplatnění v běžné technické praxi jsou značně omezené. U reálných těles je proto třeba použít jiných postupů: a) Využití transformačních vztahů mezi CTOD a K. Transformační vztahy (9.16) a (9.17) umožňují stanovit CTOD nepřímo - na základě znalosti faktoru intenzity napětí KI a konstanty  (její velikost je možno zjistit výše uvedeným postupem v rámci nástupního experimentu v laboratorních podmínkách). Vztahů (9.16) a (9.17) lze užít i pro stanovení kritické hodnoty otevření čela trhliny CTODc, při které dojde ke ztrátě stability trhliny, tj.

K Ic2 1   2  CTODc  ,  E R p 0,2 CTODc 

K c2 ,  E R p 0,2

stav RD,

(9.20)

stav RN,

(9.21)

kde KIc, resp. Kc, představuje lomovou houževnatost materiálu ve stavu RD, resp. RN, za daných experimentálních podmínek. b) Výpočet CTOD z naměřené hodnoty COD. Ze vztahu (9.7), resp. (9.8) vyplývá 2

*2 p

 COD( x)  E    x2  a2 2   4s  1  

stav RD

*2 p

 COD( x)  E    x2  a2  4s  

stav RN.

2ar  r * p





2

resp.

2ar  r * p

2

Dosadíme-li pomocí uvedených vztahů za 2arp*  rp* do (9.9), resp. (9.10), dostáváme



 

16s 2 1   2  a 2  x 2 CTOD  COD x   E2 2

CTOD  COD 2 x  

2

16s 2 a 2  x 2  . E2

- 164 -



stav RD

(9.22)

stav RN.

(9.23)


Hodnotu COD(x), vystupující v uvedených vztazích, změříme ve vhodném místě pomocí sponového snímače. U těles s centrální trhlinou se měří obvykle uprostřed trhliny (tj. x = 0 – viz obr.9.1), u těles s okrajovou trhlinou se měření obvykle provádí na jejím ústí (viz např. obr.5.34). Výhodou uvedeného postupu je, že při jeho aplikaci není třeba přijímat žádný předpoklad o korekci délky trhliny na velikost plastické zóny a že tudíž odpadá i problém stanovení koeficientu . Naznačeným postupem lze experimentálně určovat i kritické hodnoty CTODc, vystupující na pravé straně lomového kriteria (9.19). Hodnoty Kc, odpovídající podle vztahu (9.20) experimentálně stanoveným hodnotám CTOD, jsou ve velmi dobré shodě s hodnotami Kc, stanovenými jinými nezávislými metodami.

9.3 POUŽITÍ CTOD V PŘÍPADĚ PLASTICKÉ DEFORMACE VELKÉHO ROZSAHU Narozdíl od kriterií lineární lomové mechaniky lze lomové kriterium vyjádřené pomocí CTOD použít i v případě napětí, jejichž velikost odpovídá mezi kluzu materiálu. Lze určit kritickou hodnotu CTODc, kterou lze (i když s určitými výhradami) považovat za materiálovou charakteristiku. Z této skutečnosti vyplývají značně rozšířené aplikační možnosti.

9.3.1 Materiály s nízkou lomovou houževnatostí, oblast krátkých trhlin V případě materiálů s nízkou lomovou houževnatostí by v oblasti krátkých trhlin (na obr.9.3 ozn. a1) podle kriteria lineární lomové mechaniky mělo k porušení dojít při napětí scl, které je však vyšší než napětí, při kterém dojde ke zplastizování zbylého nosného průřezu, tj.  

a1   . Při větší délce trhliny (na obr.9.3 ozn. a2) dochází k lomu při napětí W

 

a2   . V obou případech by však podle výše uvedeného předpokladu měla W

s c1  R p 0,2  1  s c 2  R p 0,2  1 

být stejná kritická hodnota CTODc (podrobnější diskuse tohoto předpokladu viz odst. 9.4). Vztahy (9.16) a (9.17), vyjadřující vazbu mezi otevřením čela trhliny a faktorem intenzity napětí, byly původně odvozeny za předpokladu malé plastické zóny na čele trhliny a jsou tedy platné pro délku trhliny a2, ale neplatí pro délku trhliny al (obr.9.3). Vzhledem k tomu, že kritická hodnota CTODc by v obou případech měla být stejná, je možno CTODc určit na tělese s malou délkou trhliny, což je z praktického hlediska výhodné. Dosazením takto určené hodnoty CTODc do vztahu (9.16) nebo (9.17) lze nepřímo určit lomovou houževnatost - 165 -


materiálu KIc na základě experimentálních výsledků získaných na malých zkušebních tělesech s malou délkou trhliny. Geometrické požadavky (5.41), kladené na zkušební tělesa při přímém měření KIc, nemusí být v tomto případě splněny.

Rm ZTRÁTA STABILITY TRHLINY PODLE KRITERIA LINEÁRNÍ LOMOVÉ MECHANIKY

s c1 R p 0,2

PODMÍINKA ZPLASTIZOVÁNÍ ZBYLÉHO NOSNÉHO PRŮŘEZU

sc s c2

a/W 0

0

a 1 /W

0,2 a 2 /W

0,4

0,6

0,8

Obr.9.3 – Závislost kritického napětí sc na relativní délce trhliny a/W při použití kritéria lineární lomové mechaniky.

9.3.2 Materiály s vysokou lomovou houževnatostí U vysoce houževnatých materiálů nelze hodnotu KIc přímým měřením stanovit (viz obr.6.20), neboť ke ztrátě stability trhliny dochází po totálním zplastizování celého nosného průřezu. Houževnatost tohoto materiálu však lze charakterizovat hodnotou CTODc, která umožňuje porovnání jednotlivých materiálů z hlediska jejich odolnosti vůči šíření trhliny. Tato skutečnost rozšiřuje možnosti aplikace lomové mechaniky i pro materiály s vysokou lomovou houževnatostí. Kvantifikace kritických veličin (např. ac, sc), důležitých z hlediska konstruktéra i provozovatele, je však v tomto případě problematická, neboť vztahy typu (9.4) či (9.7) v případě plastické deformace velkého rozsahu neplatí.

- 166 -

1


9.3.3 Určování CTOD V případě totálního zplastizování nosného průřezu v kritickém místě tělesa se problém stanovení CTOD komplikuje, neboť jednoznačný, obecně platný vztah mezi COD a CTOD typu (9.21) a (9.22) není v tomto případě k dispozici. a) Výpočet CTOD z naměřené hodnoty COD s využitím rotačního součinitele. Měření COD se obvykle provádí na zkušebních tělesech, zatěžovaných tříbodovým ohybem (ozn. 3PB). Po zplastizování celého nosného průřezu se před čelem trhliny vytvoří plastický kloub, jehož střed otáčení leží ve vzdálenosti r  W  a  od čela trhliny (obr.9.4), kde r je tzv. rotační součinitel, jehož velikost se určuje experimentálně (viz např. [6], [7]).

F

r.(W-a)

plastický kloub

CTOD

Obr.9.4 – Určení polohy středu plastického kloubu pomocí rotačního součinitele r.

r.(W-a)

střed plastického kloubu

čelo trhliny

a

CTOD

okraj tělesa (místo měření)

COD

Obr.9.5 – Vztah mezi COD měřeným na okraji tělesa a CTOD. - 167 -


Podrobnější rozbor problematiky rotačního součinitele je proveden např. v [8] až [12]. Vztah mezi COD měřeným na okraji tělesa a CTOD v tomto případě vyplývá z podobnosti trojúhelníků - viz obr.9.5: COD a  r  W  a  a ,   1 CTOD r  W  a  r  W  a 

resp. po úpravě CTOD 

COD . a 1 r  W  a 

(9.24)

Použití vztahu (9.24) je podmíněno znalostí rotačního součinitele r. Obecně je třeba předpokládat, že r není konstantní. Experimentálně bylo prokázáno, že velikost rotačního součinitele v průběhu zatěžování roste s rostoucím rozsahem plastické deformace. V literatuře jsou uvedeny různé empirické vztahy, vyjadřující růst rotačního součinitele např. v závislosti na: 

CTOD, pro CTOD v mm [13] (pro různé slitiny Fe, Al, Ti - viz obr.9.6) r  0,0427  3,697 CTOD  14,43 CTOD  22,58 CTOD 0,50

0,45

0,45

0,40

0,35

0,30

rotační součinitel r [1]

0,50

3

rotační součinitel r [1]

2

0,40

vztah (9.25)

0,35

0,30

0,25

0,25

0,20

0,20

0,15

0,15

0,10

0,10

0,05

0,05

vztah (9.26)

(9.25)

vztah (9.27)

CTOD [mm] 0,00 0,00

a /W [1] 0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

Obr.9.6 – Příklad závislosti rotačního součinitele r na CTOD.

0,30

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

Obr.9.7 – Příklad závislosti rotačního součinitele r na poměru a/W.

- 168 -




relativní délce trhliny a/W [14], [15] (viz obr.9.7) 2

r  0,029  1,3



a a  0,9   , W W 

(9.26)

napětí ve zbylém nosném průřezu sn , resp. na nominálním napětí s [16] (viz obr.9.7)

r

1 a sn 1 a s    . 3 W R p 0,2 3 W  a R p 0,2

(9.27)

Experimentální výsledky naznačují, že velikost rotačního součinitele r závisí rovněž na mezi kluzu materiálu Rp0,2 [2], [16], na tloušťce tělesa B [17] apod..

b) Výpočet CTOD z dvojice hodnot COD naměřených dvojitým sponovým snímačem. Problému stanovení rotačního součinitele r se lze vyhnout, dovoluje-li experimentální uspořádání použití dvojitého sponového snímače, umožňujícího paralelní měření COD ve dvou různých místech [15], [18] - viz obr.9.8 a 9.9. Z podobnosti trojúhelníků v tomto případě vyplývá

COD1 COD2 CTOD ,   a  r  W  a   x1 a  r  W  a   x2 r  W  a  odkud po úpravě dostáváme CTOD 

COD1  x2  a   COD2  x1  a  . x2  x1

Obr.9.8 – Měření COD ve dvou místech tělesa (dvojitý sponový snímač).

- 169 -

(9.28)

Obr.9.9 – Vztah mezi COD1, COD2 a CTOD (viz obr.9.8).


Uvedený postup umožňuje vyjádřit rotační součinitel r v závislosti na experimentálně stanovených hodnotách COD1 a COD2: r

COD1  x2  a   COD2  x1  a  CTOD  x2  x1  .  COD1  COD2   W  a  COD1  COD2   W  a 

(9.29)

Metodu použití dvou snímačů lze modifikovat tak, že jeden ze snímačů detekuje otevření trhliny COD na jejím ústí a druhý měří posuv v bodě, ve kterém na těleso působí zatěžovací síla [19].

9.3.4 Určování CTODc (CTODin) Vztahů (9.24), resp. (9.28), lze použít i pro měření kritické hodnoty CTODc. Tato hodnota by měla odpovídat okamžiku lomu. Problémem je však definice tohoto okamžiku. Závěrečnému oddělení obou částí tělesa předchází etapa relativně pomalého, stabilního šíření trhliny, jehož detekce je obtížná. V praxi proto hodnota CTODc obvykle odpovídá maximálnímu zatížení tělesa. Má-li se však naznačeného postupu použít např. pro nepřímé stanovení lomové houževnatosti KIc [20], je třeba měření CTOD provést za výše uvedené podmínky, tj. na počátku stabilního šíření trhliny předcházejícího dolomu. Pro detekci počátku stabilního šíření trhliny se v praxi používá nejčastěji elektrické potenciálové metody. Odpovídající kritická hodnota CTOD se označuje CTODin. V laboratorních podmínkách lze pro měření CTODin použít některou z metod, uvedených v odst. 9.2.2 (viz např. [21]). Praktické postupy měření kritické hodnoty CTODin jsou (obdobně jako v případě měření lomové houževnatosti KIc) normalizovány – viz např. normy ASTM [22], [23]. Výsledná hodnota je v případě měření COD na okraji tělesa a využití rotačního součinitele dána pro stav RD vztahem CTODin 

kde

K in2 1   2   2 E R p 0,2

CODin , ao 1 r W  ain   ain  ao

ao

původní délka trhliny,

ain

délka trhliny v okamžiku ztráty stability,

Kin

faktor intenzity napětí odpovídající délce trhliny ain,

CODin

plastická část otevření trhliny, měřeného na okraji tělesa,

r

rotační součinitel,

E

modul pružnosti v tahu,



Poissonovo číslo,

Rp0,2

smluvní mez kluzu v tahu,

W

šířka tělesa. - 170 -

(9.30)


Je zřejmé, že první člen pravé strany vztahu (9.30) odpovídá elastické složce (viz vztah (9.20) pro  = 2) a druhý člen plastické složce (viz vztah (9.24)). Další podmínkou aplikovatelnosti metody měření CTOD pro nepřímé určení KIc je zajištění stavu rovinné deformace na čele trhliny, související s požadavkem na rozměrovou nezávislost (a tedy reprodukovatelnost) naměřené hodnoty lomové houževnatosti. Obdobně jako v případě přímého měření KIc (viz odst. 5.5.8) je proto třeba, aby rozhodující rozměry zkušebního tělesa (tj. tloušťka B, délka trhliny a a šířka zbylého nosného průřezu (W-a)), byly větší než minimální, empiricky stanovená hodnota, která je určitým k-násobkem CTODin, tj. B; a; W  a    .CTODin .

(9.31)

Uvedený vztah lze pomocí transformačního vztahu (9.16) převést do tvaru

B; a; W  a    . resp. po úpravě

K Ic2 1   2  , E R p 0,2

1    R B; a; W  a    .

(9.32a)

2

2

p

E

0,2  K Ic    .  R 0,2  p  

(9.32b)

Názory na velikost konstanty  se s rostoucím objemem a zvyšující se kvalitou experimentálních dat postupně mění a upřesňují. Dříve se doporučovala a používala hodnota

 = 25 (viz např. [5]). Experimenty, z jejichž výsledků byl uvedený požadavek odvozen, byly provedeny na oceli s nízkou lomovou houževnatostí. Po dosazení materiálových konstant (E = 200 000 MPa, Rp0,2 = 900 MPa,  = 1/3) lze podmínku (9.32b) přepsat do tvaru 2

 K  B; a; W  a   0,1  Ic  .  R 0,2   p 

Je zřejmé, že za daných předpokladů by při nepřímém určování KIc pomocí měření CTODc bylo možno použít zkušební tělesa podstatně (cca 25x) menších rozměrů, než při zkouškách klasických, kdy je třeba dodržet podmínku (5.41), tj. 2

 K  B; a; W  a   2,5  Ic  .  R 0,2   p 

Závěry některých experimentálních prací (viz např. [21]) byly ještě optimističtější a naznačovaly, že by konstanta  mohla být ještě nižší. Později však porovnání experimentálních dat, získaných v různých laboratořích na různých materiálech, vedlo k podstatně konzervativnějšímu odhadu  = 300 (viz např. [24]).

- 171 -


9.4 FAKTORY OVLIVŇUJÍCÍ CTODc (CTODin) Kritická hodnota CTODc, resp. CTODin, závisí obdobně jako lomová houževnatost KIc na celé řadě faktorů, mezi které patří zejména (viz např. [17]): a) Teplota. S klesající teplotou T klesá schopnost plastické deformace a tedy i odolnost materiálu vůči nestabilnímu šíření trhliny. Závislost CTODc(T), resp. CTODin(T) má tedy (obdobně jako jiné charakteristiky lomové houževnatosti) v oblasti nižších a středních teplot rostoucí charakter. b) Rychlost deformace. Závislost CTODc, resp. CTODin na rychlosti deformace d/dt má (zejména v oblasti nižších hodnot d/dt) klesající charakter. c) Délka trhliny. S klesající relativní délkou trhliny, tj. s klesajícím poměrem a/W, kritická hodnota CTODc, resp. CTODin roste (viz např. [14],[25]). V práci [25] bylo při experimentech na tělesech ze slitinové oceli prokázáno, že kritická hodnota CTODin s klesající délkou trhliny roste - zejména v oblasti a/W  0,2 (v daném případě byla pro trhlinu délky a/W = 0,1 naměřena hodnota CTODin přibližně 3x větší, než pro trhlinu délky a/W = 0,4). Uvedená závislost je objasňována tak, že s rostoucí délkou trhliny roste hydrostatické napětí, které odpor proti šíření trhliny snižuje [26]. d) Tloušťka tělesa. S klesající tloušťkou tělesa může kritická hodnota CTODc, resp. CTODin růst. Míra této závislosti je dána zejména typem materiálu a charakteristikami prostředí, ve kterém k porušování dochází. Vliv tloušťky tělesa je podrobněji analyzován např. v pracích [27] až [29]. e) Geometrie tělesa a způsob zatěžování. Na obr.9.10 jsou uvedeny výsledky měření CTODin pro tentýž materiál při šesti různých geometrických konfiguracích tělesa s trhlinou

Obr.9.10 – Příklad závislosti CTODin na geometrii tělesa a na způsobu zatěžování [30].

- 172 -


(podle [30]). Uvedený příklad ilustruje, že vliv geometrie tělesa a způsobu jeho zatěžování může být velmi výrazný - minimální a maximální naměřené hodnoty CTODin se liší v daném případě o řád. Závislost kritických hodnot CTODc, resp. CTODin, charakterizujících lomovou houževnatost materiálu, na délce trhliny, tloušťce a geometrii tělesa dokazuje, že jeden ze základních teoretických požadavků kladených na lomově mechanické parametry, tj. geometrická invariantnost, není obecně splněn. K této skutečnosti je třeba přihlédnout zejména při přenosu výsledků, získaných na jednoduchých laboratorních tělesech, na reálné konstrukční části.

9.5 MOŽNOSTI POUŽITÍ CTODc (CTODin) V PRAXI Je zřejmé, že aplikovatelnost hodnot CTODc (resp. CTODin), naměřených na jednoduchých zkušebních tělesech, v reálné konstrukční praxi je do značné míry omezena, neboť tyto hodnoty jednak nejsou obecně geometricky invariantní, jednak neumožňují jednoznačný, přímý výpočet napětí při lomu sc či kritické délky trhliny ac. Z transformační rovnice (9.21) sice po dosazení za K c  s c   ac vyplývá vztah ac 

CTODc   E R p 0,2

  s c2

CTODc   E    R p 0,2

 sc     R 0,2   p 

2

stav RN,

(9.33)

umožňující pro danou úroveň napětí sc výpočet kritické délky trhliny ac. Použití uvedeného vztahu je však omezeno podmínkou (sc/Rp0,2) ≤ 0,5 [16]. Komplikace uplatnění naznačených postupů v praxi způsobuje rovněž nejednoznačnost definice CTOD. Přes naznačené problémy se ukazuje, že kriterium stability trhliny, vyjádřené pomocí CTOD, je zvláště v případech velkých plastických deformací (včetně úplného zplastizování zbylého nosného průřezu), kdy je použitelnost jiných kriterií omezena či dokonce vyloučena, velmi výhodné. Měření kritických hodnot CTODc a CTODin poskytuje cenné a objektivní podklady pro vývoj a výběr materiálů pro konstrukce, u kterých je rozhodujícím kriteriem odpor proti nestabilnímu šíření trhliny.

- 173 -



DUGDALE,D.S.: Yielding of Steel Sheets Containing Slits. J. Mech. Phys. Solid., 8, 1960, pp.100-108.

[2]

PRATAP,C.R. - PANDEY,R.K.: A New Approach to Determination of CTOD and Axis of Rotation in Small Scale Yielding Situation. Engng Fracture Mech., 19, 1984, No.6, pp.1139-1150.

[3]

PRATAP,C.R. - PANDEY,R.K.: Studies of Constraint Factors in K-CTOD and K-R Relationships: Effect of Specimen, Loading Geometry and Material. Engng Fracture Mech., 34, 1989, No.1, pp.233-243.

[4]

ZEMÁNKOVÁ,J.: Technická mechanika I. Úvod do lomové mechaniky. (Skripta ČVUT-FJFI.) Praha, ES ČVUT 1981, 123 s.

[5]


[6]

RICHTER,M.A. - WAGNER,J.W.: Experimental Evaluation of Hinge Phenomenon in Notched Three Point Bend Bars Using Laser Speckle Metrology. Engng Fracture Mech., 30, 1988, No.6, pp.819-826.

[7]

PANDEY,R.K. - PRATAP,C.R. - CHINADURAI,R.: Significance of Rotational Factor r in CTOD Determination and the Effect of Material and Loading Geometry on r. Engng Fracture Mech., 31, 1988, No.1, pp.105-118.

[8]

KOLEDNIK,O.: On the Calculation of COD from the Clip-Gauge Displacement in CT and Bend Specimens. Engng Fracture Mech., 29, 1988, No.2, pp.l73-188.

[9]

KOLEDNIK,O.: An Improved Procedure for Calculating COD in Bend and CT Specimens. Engng Fracture Mech., 33, 1989, No.5, pp.813-826.

[10] BHATTACHARYA,S. - KUMAR,A.N.: Rotational Factor Using Bending Moment Approach Under Elasto-Plastic Situation - I. Notch 3PB Geometry. Engng Fracture Mech., 50, 1995, No.4, pp.493-505. [11] BHATTACHARYA,S. - KUMAR,A.N.: Rotational Factor Using Bending Moment Approach Under Elasto-Plastic Situation - II. Notch 3PB Geometry. Engng Fracture Mech., 50, 1995, No.4, pp.507-517. [12] LI,Z. - ZHANG,L. - DONG,G. - LIU,X. - ZHONG,B. - WEI,J.: Effect of Several Variables on J-COD Relationship and Plastic Rotational Factor rp. Engng Fracture Mech., 53, 1996, No.3, pp.473-480. [13] ROBINSON,J.N. - TETELMAN,A.S.: Measurement of KIc on Small Specimens Using Critical Crack Tip Opening Displacement. Fracture Toughness and Slow-Stable Cracking, ASTM STP 559, Part I, Philadelphia, ASTM 1974, pp.139-158. [14] ZHANG,D.Z. - WANG,H.: On the Effect of the Ratio a/W on the Values i and Ji in a Structural Steel. Engng Fracture Mech., 26, 1987, No.2, pp.247-250. [15] ZHANG,D.Z. - ZHU,S.F.: Use of Double Clip Gauge Method to Measure the Plastic Rotational Factor r. Engng Fracture Mech., 31, 1988, No.6, pp.917-921. [16] KÁLNA,K.: Odolnosť zváraných konštrukcií proti krehkému porušeniu. In: Mezní stavy a spolehlivost mechanických systémů. Praha, ČKD Praha a Škoda Plzeň 1981, s.69-79.

- 174 -


[17] VASILČENKO,G.S. - KOŠELEV,P.F.: Praktičeskoje primenenije mechaniky razrušenija dlja ocenki pročnosti konstrukcij. Moskva, Izdavatělstvo Nauka 1974, 148 s. [18] VEERMAN,C.C. - MULLER,T.: The Location of the Apparent Rotation Axis in Notched Bend Testing. Engng Fracture Mech., 4, 1972, No.1, pp.25-32. [19] SHANG-XIAN,W.: Plastic Rotational Factor and J-COD Relationship of Three Point Bend Specimen. Engng Fracture Mech., 18, 1983, No.1, pp.83-95. [20] LAI,M.O.: Use of COD in KIc Determination. Engng Fracture Mech., 24, 1986, No.2, pp.307-313. [21] LUO,L.G. - QUARRINGTON,A.I. - EMBURY,J.D.: Effect of Specimen Geometry on Ductile Initiation CTODin Using a Direct Method. Engng Fracture Mech., 31, 1988, No.2, pp.349-356. [22] ASTM Standard E 1290-89. Standard Test Method for Crack-Tip Opening Displacement (CTOD) Fracture Toughness Measurement. 1991. In: Annual Book of ASTM Standards, pp.924-939. [23] ASTM Standard E 1820-01. Standard Test Method for Measurement of Fracture Toughness. 2001. ASTM International, 46 p. [24] SCHWALBE,K.-H.: Fracture Mechanics testing Standards. Communication from Subcommitee 1.4. ESIS Newsletter, 1991, Nr.16, p.5. [25] LI,Q. - ZHOU,L. - LI,S.: Technical Note. The Effect of a/W Ratio on Crack Initiation Values of COD and J-integral. Engng Fracture Mech., 23, 1986, No.5, pp.925-928. [26] MATSOUKAS,G. - COTTERELL,B. - MAI,Y.W.: Effect of Geometry on the Crack Opening Displacement of a Low Carbon Steel. Engng Fracture Mech., 23, 1986, No.4, pp.661-665. [27] MACHIDA,K. - KIKUCHI,M. - MIYAMOTO,H.: The Thickness Effects of the CT and CCT Specimens. Resent Research on Mechanical Behavior of Solids. (Bulletin of Fracture Mechanics Laboratory, Science University of Tokyo.), 3, 1984, pp.29-43. [28] KOERS,R.W.J. - BRAAM,H. - BAKKER,A.: Investigation into the Effect of Thickness on Three- and Four-Point Single Edge Notch Bend Specimens Using Two- and ThreeDimensional Elastic-Plastic Stress Analysis. In: Advances in Fracture Research (Proc. ICF 7, Houston). Eds. K.Salama et al., Vol.1, Oxford, Pergamon Press 1989, pp.379389. [29] KOLEDNIK,O. - KUTLEŠA,P.: On the Influence of Specimen Geometry on the Critical Crack-Tip-Opening Displacement. Engng Fracture Mech., 33, 1989, No.2, pp.215-223. [30] LIU,H.W.: On the Fundamental Basis of Fracture Mechanics. Engng Fracture Mech., 17, 1983, No.5, pp.425-438.

- 175 -

10. J – INTEGRÁL _________________________________________________________________________________________

10. J - INTEGRÁL 10.1 ÚVOD Objektivním fyzikálním východiskem pro posouzení stability trhliny je celková energetická bilance porušovaného tělesa při daném vnějším namáhání. Základním kriteriem stability trhliny, vycházejícím z energetických úvah, je Griffithovo kriterium (7. kap.), které bylo původně odvozeno pro dokonale křehké materiály, tj. pro lineárně elastický stav napjatosti v okolí čela trhliny. Toto kriterium bylo postupně zobecněno i pro reálné konstrukční materiály, u nichž dochází v okolí čela trhliny k lokální plastické deformaci, tj. ke vzniku plastické zóny malého rozsahu. Parametrem charakterizujícím stabilitu trhliny byla v těchto případech hnací síla G, jejíž výpočet vycházel z elastického řešení stavu napjatosti v okolí trhliny. Dojde-li však v deformovaném tělese ke vzniku plastické deformace většího rozsahu, nelze kriteria stability trhliny vyjádřeného pomocí hnací síly G použít, neboť tato plastická deformace výrazně ovlivní pole napětí a deformací v okolí čela trhliny. Naznačený problém se do jisté míry podařilo odstranit zavedením nového lomového parametru, kterým je J-integrál (nazývaný též Riceův nebo Čerepanovův integrál). J-integrál je zobecněním hnací síly trhliny G a umožňuje použití i v případech plastické deformace většího rozsahu.

10.2 DEFINICE, VLASTNOSTI A STANOVENÍ J-INTEGRÁLU Eshelby [1] při výpočtu složek sil působících na defekty a nehomogenity, nacházející se uvnitř určité plochy, odvodil na základě principu virtuálních prací, že: a)

Hodnota křivkového integrálu, definovaného vztahem

dU v w   u dy   Tx  Ty  Tz  ds dV  x  x  x   

J 

[ J m 2 ]  [ N m],

(10.1)

nezávisí na integrační cestě v deformovaném tělese, tj. nezávisí na konkrétním tvaru křivky . b) V případě libovolné uzavřené křivky  platí J = 0. Symboly vystupující ve vztahu (10.1) mají následující význam (viz obr.10.l):  ij dU     ij d ij 0 dV i, j

objemová hustota deformační energie (tj. deformační energie na objemovou jednotku materiálu, funkce hustoty deformační energie, resp. měrná deformační energie) [MPa = MJ/m3];

Ti   ij n j

i-tá složka vektoru povrchové tahové síly kolmé na křivku , kde

j

- 176 -

10. J – INTEGRÁL _________________________________________________________________________________________

i, j = x, y, z, nj je j-tá složka jednotkového vektoru normály ke křivce  (nz = 0, neboť křivka  leží v rovině x, y) tj. v případě módu I a II (w = 0, xz = yz = 0): Ty   xy n x   y n y ,

Tx   x n x   xy n y ,

Tz  0 ,

v případě módu III (u = 0, v = 0, x = y = z = xy = 0):

Ty  0 ,

Tx  0 , u, v, w

složky vektoru posuvu;

ds

elementární úsek křivky .

Obr.10.1 - Uzavřená křivka  kolem nehomogenity v tělese.

Obr.10.2 - Uzavřená křivka ABCD kolem kořene trhliny.

Tz   xz n x   yz n y ;

Obr.10.3 - Dvě křivky 1 a 2 kolem kořene trhliny.

Uvedené poznatky aplikoval Rice [2], [3] na problematiku trhlin (obr.10.2). Křivka procházející body A, B, C a D je uzavřená a platí tedy pro ni J = 0. Líce trhliny (tj. úseky AD a BC) představují volný povrch, na kterém musejí být splněny příslušné okrajové podmínky, tj. Ti  0 (i = x, y, z) a y = konst, tj. dy = 0, z čehož vyplývá

dU v w  dU v w   u  u A dV dy   Tx x  Ty x  Tz x  ds  C dV dy   Tx x  Ty x  Tz x  ds  0 B

D

(10.2)

Označíme-li křivky BA = l a CD = 2 (orientace křivek je v obou případech proti směru otáčení hodinových ručiček - viz obr.10.3) a odpovídající hodnoty J-integrálu dU v w   u dy   Tx  Ty  Tz  ds , pro i = 1, 2, dV x x   x i

Ji  

pak ze vztahu (10.2) vyplývá J1  J 2 . Uvedený závěr lze obecně interpretovat tak, že hodnota J-integrálu podél libovolné křivky obklopující kořen trhliny (tj. podél křivky začínající na jedné a končící na druhé líci trhliny - viz obr.10.3) nezávisí na integrační cestě. - 177 -

10. J – INTEGRÁL _________________________________________________________________________________________

Původně byl vztah (10.1) odvozen pro lineárně elastický materiál a umožňoval výpočet hnací síly trhliny G. Ukázalo se však, že J-integrál má význam hnací síly trhliny i v případě výskytu plastické deformace na čele trhliny. Místům, ve kterých není klasická elastická teorie kontinua aplikovatelná, se lze vyhnout - integrační křivku  volíme tak, aby procházela pouze elasticky deformovanými oblastmi vně plastické zóny. Konkrétní tvar integrační křivky optimalizujeme tak, aby procházela místy, ve kterých je vyjádření pole napětí a deformací nejjednodušší [4]. J-integrál obecně udává celkovou sílu ve směru osy x působící na všechny defekty a nehomogenity, nacházející se uvnitř křivky . V daném případě je tedy J-integrál roven hnací síle, působící na trhlinu a plastickou zónu, pohybují-li se společně jako jediný "tuhý" objekt. Nezahrnuje však působení samotné plastické zóny a ztrácí svůj význam, jestliže se rozměr plastické zóny mění [5]. Potenciální energie tělesa s trhlinou je obecně dána rozdílem (A - U), kde A je práce vnějších sil působících na těleso a U je elastická deformační energie tělesa s trhlinou (viz kap.7.1). Rice [2], [3] prokázal, že J-integrál vyjadřuje změnu potenciální energie tělesa v závislosti na délce trhliny a, tj. J

d  A U . da

(10.3)

Pravá strana rovnice (10.3) je shodná s pravou stranou rovnice (7.6). V oboru platnosti lineární lomové mechaniky, tj. za předpokladu lineárně elastického materiálu, platí (s určitými výhradami, uvedenými v diskusi ke vztahu (7.50)) pro obecný smíšený mód namáhání vztahy J  G  GI  GII  GIII ,

resp.

(10.4)

J

1  1     K I2  K II2   K III2 E

J

1 2 K I  K II2  1   K III2 E









pro stav RD

(10.5)

pro stav RN

(10.6)

Transformační vztahy (10.5) a (10.6) umožňují nepřímé stanovení J-integrálu na základě výpočtu hodnot faktoru intenzity napětí Kj, j = I, II, III, pomocí obecných vztahů (5.4), tj. vztahů typu K I    a  . f I (a, W , L,...). Tvarové funkce f j (a,W , L,...) , j = I, II, III, jsou 1/ 2

v současné době známy již pro celou řadu geometrických konfigurací tělesa s trhlinou, různé typy zatížení a různé okrajové podmínky ([6] až [9]). Této znalosti lze v případě lineárně elastického chování materiálu pro stanovení J-integrálu s výhodou využít.

- 178 -

10. J – INTEGRÁL _________________________________________________________________________________________

Obr.10.4 – Závislost F = F(v) pro nelineárně elastický materiál – grafické znázornění hodnoty J-integrálu. Rovnice (10.3) obecně platí i pro nelineárně elastický materiál (viz obr.10.4). Analogicky jako v případě lineárně elastického materiálu (viz vztah (7.18)) platí po zanedbání nekonečně malé veličiny 2. řádu (na obr.10.4 trojúhelník o ploše

1 dv dF ) rovnost absolutních 2

hodnot J-integrálu pro oba základní typy okrajových podmínek, tj. pro konstantní sílu F, resp. konstantní posuv v:

 U   U  J      a  F konst  a  v konst

(10.7)

1  v   U     dF ,    a  F konst B 0  a  F konst

(10.8)

1  U       a  v konst B 0

(10.9)

kde F

v

 F  dv .    a  v konst

V případě lineární závislosti F = F(v) platí po integraci pravých stran rovnic (10.8) a (10.9) vztahy

1 v  U   F    a  F konst 2 B a

a

1 F  U   v ,    a  v konst 2 B a

které jsou v souladu s dříve uvedenými vztahy (7.12) a (7.16). V praxi se často na elastoplastický materiál pohlíží jako na elastický materiál s nelineární deformační charakteristikou. Je však třeba zdůraznit, že v případě lineárně i nelineárně elastického materiálu jsou při snižování a zvyšování zatížení křivky závislosti F = F(v) - 179 -

10. J – INTEGRÁL _________________________________________________________________________________________

totožné, zatímco v elastoplastickém stavu, který je u reálných konstrukčních materiálů běžný, tomu tak není. Z existence plastické deformace vyplývá, že velikost uvolněné potenciální energie neodpovídá zcela přesně velikosti vyšrafované plochy na obr.10.4. Uvedená skutečnost je podstatou všech problémů a omezení, spojených s použitím J-integrálu v případech větší plastické zóny na čele trhliny. Kriterium stability trhliny lze pomocí J-integrálu vyjádřit v obecném tvaru J i  J ic (i = I, II, III).

(10.10)

Hlavní výhodou uvedeného kriteria je jeho aplikovatelnost i v případě větších plastických deformací. Toto kriterium je tedy mnohem universálnější, než kriterium vyjádřené pomocí hnací síly G. Je zřejmé, že v konkrétním případě je při aplikaci kriteria stability trhliny ve tvaru (10.10) třeba umět jednak vypočítat hodnotu Ji, jednak stanovit kritickou hodnotu Jic, (i = I, II, III). V případě elastoplastického chování materiálu se v praxi obvykle hodnoty J-integrálu určují numericky pomocí metody konečných prvků. Objevily se rovněž pokusy použit pro výpočet J-integrálu i v případě elastoplastického chování materiálu analytické aproximativní vztahy, obsahující členy obdobné tvarovým funkcím používaným v elastickém řešení při výpočtu faktoru intenzity napětí [11], [12]. Např. v případě tahového módu I lze J-integrál vyjádřit ve tvaru J

 m1 a Ep

 g I a,W , L...

(10.11)

m je součinitel deformačního zpevnění o (resp. tzv. "plastický" modul), vystupující v Rambergově-Osgoodově vztahu mezi napětím  kde m je exponent deformačního zpevnění, E p 

a plastickou deformací p: m

  m  p   o    , Ep o 

(10.12)

a g I a,W , L... je geometrický faktor, závislý na tvarové funkci pro výpočet faktoru intenzity napětí f I a,W , L.... a na exponentu deformačního zpevnění m [12], tj.

g I a,W , L....   f I a,W , L....

m 1



m 1 2

.

(10.13)

Poznamenejme, že vztahy (10.11) a (10.13) zahrnují elastický stav jako speciální případ (pro m = 1 a Ep = E), kdy J 

 2  a E

 f I2 a,W .L,... 

- 180 -

K I2 . E

10. J – INTEGRÁL _________________________________________________________________________________________

Samotný výpočet J-integrálu pomocí aproximativního vztahu (10.13) není příliš přesný, ale umožňuje následovně s dostatečnou přesností určit kritickou hodnotu napětí c, což je z praktického hlediska rozhodující - viz odst. 10.3.5. Hodnoty J-integrálu lze určovat i experimentálně - např. pomocí tenzometrické metody [13]. Kritické hodnoty JIc, vystupující na pravé straně lomového kriteria (10.10) a charakterizující lomovou houževnatost materiálu, se určují experimentálně, obvykle podle normalizovaných postupů. Této problematice je věnován samostatný odstavec 10.3.

Příklad 10.1 - Určení J-integrálu z definice (podle [3]) Těleso nekonečné šířky s jednostrannou trhlinou je zatíženo jednoosým tahovým napětím ve směru osy y (jde tedy o tahový mód I) - viz obr.10.5. Konce tělesa jsou pevně upnuty, což odpovídá podmínce konstantního posuvu (v = konst). Pro výpočet J-integrálu zvolíme křivku  ve tvaru obdélníka, procházejícího body Aj (j = 1, 2,...,6) - viz obr.10.5.

Obr.10.5 – Nekonečné těleso s okrajovou trhlinou zatížené v módu I při okrajové podmínce konstantního posuvu podél horního a dolního okraje tělesa. 5

Obecný vztah (10.1) lze schematicky přepsat do sumárního tvaru J   J j , kde j 1

A j 1

Jj 



Aj

dU v w   u dy   Tx  Ty  Tz ds , dV x x   x

j = 1, 2,...,5.

Z okrajových podmínek vyplývá, že podél upnutých okrajů (tj. na úsečkách A2A3 a A4A5) bude platit y = konst (tj. dy = 0),

u v w    0 a tedy J2 = J4 = 0. x x x

- 181 -

10. J – INTEGRÁL _________________________________________________________________________________________

Pro x  -  (tj. na úsečkách A1A2 a A5A6) platí ij = 0 a Ti = 0 pro i, j = x, y, z , neboť v důsledku existence trhliny dochází k odlehčení tělesa, z čehož vyplývá dU/dV = 0 a tedy J1 = J5 = 0. Z uvedených podmínek vyplývá J = J3 (tj. integrujeme pouze podél úsečky A3A4).

u v w    0 , neboť v dostatečné vzdálenosti od trhliny není x x x

Pro x  +  bude platit

pole napětí ani posuvu trhlinou ovlivněno. Po dosazení 

A4

dU J dy  dV A3

L 2

 2 



1

y

 y  dy 

L 2

1  y y  L . 2

Podle zobecněného Hookova zákona (3.6)  

 y  2G  y 

 1  2



x

   y   z  . 

Dosadíme-li do uvedeného vztahu pomocí (3.12), tj.

z  

 1 



x

  y  pro stav RN, kde  x 

u  0 pro x   , x

dostáváme 

 y  2G  y  



 E   2G  y   y  y .  y  1  2  1    1   1  2

Po dosazení do vztahu pro výpočet J-integrálu J

EL   y 2 . 2 2 1   

Příklad 10.2 - Analytický výpočet J-integrálu (podle [3]) Těleso s jednostrannou trhlinou délky a je na okraji zatíženo silou F = konst - viz obr.10.6. Uvažujme lineárně elastický případ a stav rovinné napjatosti. Horní (nebo obdobně dolní) polovinu tělesa lze považovat za nosník délky a, vetknutý v kořeni trhliny, tj. v místě x = a. Z poznatků teorie elasticity (viz např. [10]) pro ohyb nosníku vyplývá diferenciální rovnice ohybové čáry d 2 v 2 M x  12 Fx   3 , 2 dx IyE BL E

1 BL3 je kvadratický moment obdélníkového průřezu. 12 Po dosazení za M x    Fx do uvedeného vztahu a integraci, tj.

kde I y 

- 182 -

10. J – INTEGRÁL _________________________________________________________________________________________

d v 2 6Fx 2 2 Fx 3  3  C1 , v 2  3  C1 x  C2 , dx BL E BL E za okrajových podmínek v místě vetknutí (x = a)    v / 2   x   0   x a

a

v / 2xa

a

C2 

 0,

ze kterých vyplývá

C1  

6Fa 2 BL3 E

4 Fa 3 , BL3 E

dostáváme po úpravě závislost posuvu v (tj. průhybu na okraji tělesa pro x = 0) na zátěžné síle F ve tvaru 8Fa 3 vx  0  2C 2  3 . BL E

Obr.10.6 – Těleso s trhlinou zatížené na okraji silou F. Ze vztahů (10.7) a (10.8) vyplývá

1 v 1 v J  dF  F . B 0 a 2 B a F

Dosadíme-li za

v 24 Fa 2  , a BL3 E dostáváme J G

12 F 2 a 2 , B 2 L3 E

resp. podle (10.6) pro stav RN K I  JE  2 3

- 183 -

Fa . BL3 / 2

10. J – INTEGRÁL _________________________________________________________________________________________

10.3 STANOVENÍ HODNOTY JIc (Jin) Měření kritické hodnoty JIc se (obdobně jako měření lomové houževnatosti KIc) provádí obvykle na standardních zkušebních tělesech dvojího typu: a) tělesa namáhaná tříbodovým ohybem (3PB vzorky), b) tělesa namáhaná excentrickým tahem (CT vzorky). Pro stanovení hodnoty JIc se v praxi používá několika metod. Volba metody závisí zejména na rozsahu plastické deformace v tělese a na experimentálních možnostech pracoviště.

10.3.1 Stanovení JIc pro lineárně elastický materiál V případě lineárně elastického materiálu lze hodnoty JIc určit nepřímo - na základě znalosti KIc nebo GIc pomocí transformačních vztahů (10.4) a (10.5), tj. J Ic  GIc

(10.14)

resp. J Ic 

1  2 2 K Ic E

Obr.10.7 – Stanovení hodnoty J-integrálu ze záznamu závislosti F = F(v).

(pro stav RD).

(10.15)

Obr.10.8 – Určení JIc z grafu závislosti J = J(v) při různých délkách ai.

10.3.2 Universální metoda stanovení JIc Vezmeme-li v úvahu výše uvedená omezení, týkající se rozdílu mezi elastoplastickým a nelineárně elastickým materiálem, lze J-integrálu použít pro posouzení stability trhliny i v případě větší plastické deformace. Obecná podstata měření J-integrálu je zřejmá z obr.10.7. Vychází se (obdobně jako při měření hnací síly trhliny G v případě lineárně

- 184 -

10. J – INTEGRÁL _________________________________________________________________________________________

elastického materiálu) z výsledků měření závislosti zatížení F na posuvu v, přičemž parametrem této závislosti je délka trhliny a, resp. poddajnost tělesa - viz obr.10.7. Tato měření se provádějí buď na několika tělesech s různou délkou trhliny, nebo na jediném tělese, u kterého je délka trhliny postupně zvětšována. Plochu mezi křivkami závislosti F = F(v), odpovídajícími dvěma různým, nepříliš odlišným délkám trhliny a a (a+a), lze určit např. analyticky nebo graficky. Takto získané hodnoty J-integrálu vyneseme do grafu v závislosti na posuvu v a délce trhliny a (viz obr.10.8). Změříme-li kritickou hodnotu posuvu vc, pak odpovídající hodnota J-integrálu, určená z grafu závislosti J = J(v, a ), představuje kritickou hodnotu JIc. Popsaná metoda stanovení JIc je nejuniversálnější, neboť jí lze použít bez ohledu na rozsah plastické deformace a na typ zkušebního tělesa. Z praktického hlediska však použití této metody není příliš výhodné neboť je pracné a časově náročné.

10.3.3 Metoda stanovení JIc při totálním zplastizování zbylého nosného průřezu V případě zplastizování celého zbytkového nosného průřezu tělesa s trhlinou (obr.10.9) lze pro stanovení hodnoty JIc použít jednodušších metod. Omezující podmínkou je však předpoklad, že k plastické deformaci dochází pouze v kritické oblasti nosného průřezu, zatímco zbytek tělesa je namáhán elasticky. V důsledku působení vnějšího zatížení F se konce porušovaného tělesa pootočí o úhel , který lze rozdělit na část elastickou a část plastickou:

  el  pl .

(10.16)

Plastická část úhlu pl je funkcí ohybového momentu M, rozměru zbytkového nosného průřezu (W - a), tloušťky tělesa B a materiálových vlastností, charakterizovaných parametry o a m Rambergova-Osgoodova vztahu (10.12) a modulu pružnosti E. Protože úhel pl je bezrozměrná veličina, musí uvedené parametry ve funkčním vztahu pro výpočet pl vystupovat v bezrozměrné formě, což lze obecně vyjádřit ve tvaru    M pl  f  , o , m . 2  B W  a   o E 

(10.17)

Za předpokladu úplného zplastizování zbytkového nosného průřezu tělesa platí el << pl, resp.   pl. Za těchto podmínek lze vztah (10.17) přepsat do tvaru

   2 M  B W  a   o g   pl , o , m . E   - 185 -

(10.18)

10. J – INTEGRÁL _________________________________________________________________________________________

Obr.10.9 – Těleso s trhlinou namáhané tříbodovým ohybem, zbylý nosný průřez totálně zplastizován. Ohybový moment M je úměrný součinu F.L, kde F je zatížení a 2L je délka tělesa, resp. vzdálenost podpor (viz obr.10.9). Za předpokladu, že lze obě části zkušebního vzorku považovat za tuhá tělesa, která se prostřednictvím plastického kloubu vůči sobě natáčejí, platí v [rad ] L kde v je průhyb zkušebního tělesa (viz obr.10.9). Vztah (10.18) lze přepsat do tvaru  pl 

F

B W  a 2  o h v ,  o , m . L L E 

Obr.10.10 – Stanovení hodnoty J-integrálu z plochy pod křivkou závislosti F = F(v). - 186 -

(10.19)

(10.20)

10. J – INTEGRÁL _________________________________________________________________________________________

Rovnici (10.20) lze použít pro oba základní typy zkušebních těles, používaných pro měření lomové houževnatosti, tj. jak pro zkušební těleso namáhané tříbodovým ohybem, pro které byla tato rovnice přímo odvozena, tak i pro zkušební těleso namáhané excentrickým tahem. Po derivaci vztahu (10.20) podle délky trhliny a dostáváme

F F B 2F v      2 W  a  o h  , o , m    . a  W  a  L W a L E 

(10.21)

Použijeme-li pro výpočet J-integrálu vztahů (10.7) a (10.9), dostáváme po dosazení pomocí (10.21)

1  F  2  U  J      dv  Fdv.  B 0  a  v konst B W  a  0  a  v konst v

v

(10.22)

Integrál, vystupující na pravé straně vztahu (10.22), je roven ploše A pod křivkou závislosti F = F(v) - viz obr.9.10, tj. v

 Fdv  A.

(10.23)

0

Vztah (10.22) lze po dosazení pomocí (10.23) upravit do tvaru 2A J . B W  a 

(10.24)

Obr.10.11 – Rozdělení J-integrálu na elastickou a plastickou složku. Podstata alternativní varianty stanovení hodnoty J-integrálu je schematicky znázorněna na obr.10.11. Plocha pod křivkou závislosti F = F(v) je v tomto případě rozdělena na část, odpovídající elastické deformaci (ozn. Ael) a na část odpovídající plastické deformaci (ozn. Apl). Výsledná hodnota J-integrálu je dána součtem elastické (Jel) a plastické části (Jpl), tj. J  J el  J pl .

- 187 -

(10.25)

10. J – INTEGRÁL _________________________________________________________________________________________

Elastickou část lze pro stav rovinné deformace určit pomocí transformačního vztahu (10.5); pro tahový mód I ve stavu RD tedy platí J el 

1  2 2 KI . E

(10.26)

Plastická část J-integrálu je dána vztahem J pl 

2 Apl

B W  a 

.

(10.27)

Číselný faktor 2, vystupující na pravých stranách vztahů (10.24) a (10.27), vyjadřuje poměr J-integrálu a práce A, přepočtené na jednotku plochy zbylého neporušeného nosného průřezu. Označme obecně tento poměr symbolem  , tj. J B W  a  J B W  a  , resp.   pl . (10.28) Apl A Výzkumy naznačují, že poměr  je obecně závisí na typu tělesa, relativní délce trhliny a/W,



Poissonově čísle materiálu  a stavu napjatosti (tj. RN či RD) [14]. Pro zkušební tělesa namáhaná tříbodovým ohybem (3PB) je doporučeno v praxi používat hodnotu   2 , která je v souladu se vztahem (10.24), resp. (10.27) [15], [16]. Další informace o výpočtu J-integrálu a podrobnější analýzu problematiky poměru  u 3PB těles jsou uvedeny např. v [14] a [17]. V případě zkušebních těles namáhaných excentrickým tahem (CT) se doporučuje hodnotu

 stanovit pomocí empirického vztahu [16]  

  2  0,522 1 

a . W

(10.29)

Standardní postup při měření kritické hodnoty JIc (resp. Jin, tj. hodnoty J-integrálu, odpovídající počátku stabilního šíření trhliny) je normalizován – viz např. normy ASTM [18], [19], [20], ve kterých lze nalézt další podrobné informace. Obdobně jako v předchozím případě (viz odst. 10.3.2) se měření JIc (Jin) mohou provádět buď na několika tělesech, nebo na tělese jediném: a) Stanovení JIc (Jin) na několika zkušebních tělesech Stanovení hodnoty JIc lze provést pomocí souboru k zkušebních těles, ve kterých byla předem nacyklována únavová trhlina téže délky a, splňující podmínku 0,5  a/W  0,75. Každé z těchto těles zatížíme na jinou úroveň síly Fi (i = 1, 2,..., k; k ≥ 4) a odtížíme (viz obr.10.12). Potřebujeme určit délku přírůstku trhliny a odpovídající zatížení na hladinu Fi (i = 1, 2,..., k). Tento přírůstek se před statickým dotržením vyznačí a zviditelní na lomové ploše prostřednictvím tzv. značkování (obecnější poznatky o problematice značkování jsou uvedeny v [21], [22]). U zkušebních těles z ocelí a Ti-slitin se používá nejčastěji značkování - 188 -

10. J – INTEGRÁL _________________________________________________________________________________________

pomocí změny teploty, tj. žíháním. Ohřev na vhodnou teplotu po určitou dobu (např. na 300C po dobu 10 minut [18]) způsobí oxidaci lomové plochy, což vyvolá barevný kontrast umožňující stanovení ai.

Obr.10.12 – Křivka F = F(v) pro k zkušebních těles se stejnou délkou trhliny, zatížených na různou úroveň síly Fk. U jiných materiálů se používá značkování pomocí dodatečného cyklického zatěžování zkušebního tělesa. Parametry zatěžovacích cyklů je třeba vhodně zvolit. Je-li maximální hodnota síly v cyklu menší než Fi (Fmax  0,9Fi), lze dosáhnout dostatečné odlišitelnosti morfologie únavového lomu od morfologie oblasti, odpovídající přírůstku trhliny o ai v důsledku zatížení na úroveň Fi. Po statickém dolomení zbytkového nosného průřezu se hodnota ai určí fraktograficky jako průměrná hodnota z několika měření.

Obr.10.13 - Fraktografická metoda měření přírůstku délky trhliny a. - 189 -

10. J – INTEGRÁL _________________________________________________________________________________________

V práci [16] je navržen postup, podle kterého se tato měření provádějí v 9 místech lomové plochy (viz obr.10.13) a výsledná hodnota ai se vypočte pomoci vztahu 8  1  a  ai 9 ai   i1   aij . 8 2 j 2 

(10.30)

Hodnoty J-integrálu pro každé zkušební těleso určíme pomocí vztahu (10.24), resp. (10.25) až (10.27) z křivky závislosti F = F(v). Takto stanovené hodnoty Ji vyneseme v závislosti na ai a těmito experimentálními body proložíme regresní křivku ve tvaru [16] J  c1 a  c2  , n

(10.31)

kde cl, c2 a n jsou regresní konstanty - viz obr.10.14. Zpočátku ostrá trhlina se předtím, než dojde k jejímu šíření, otupuje. Toto otupování vede k prodloužení trhliny o a (viz obr.10.15). Předpokládáme, že přírůstek délky trhliny způsobený otupením čela je dán vztahem a 

Obr.10.14 – Stanovení Jin ze závislosti J(a) pomocí čáry otupení.

1 CTOD. 2

(10.32)

Obr.10.15 – Schématické znázornění vztahu mezi přírůstkem a a CTOD.

Obdobně jako hnací síla trhliny G (viz 9. kap.) je i J-integrál přímo úměrný otevření kořene trhliny CTOD a platí pro něj vztah (viz [23] až [26]) J    CTOD  R p 0,2,

(10.33)

který je analogií vztahu (9.18). Problematika koeficientu  (tj. tzv. faktoru stísnění) je podrobněji diskutována např. v [27]. Poznamenejme, že exaktně vztah (10.33) platí pouze pro - 190 -

10. J – INTEGRÁL _________________________________________________________________________________________

lineární a nelineární elastické materiály. Při jeho použití pro elastoplastické materiály se tedy dopouštíme jisté, již dříve diskutované nepřesnosti. Dosadíme-li do vztahu (10.33) za CTOD pomocí vztahu (10.32), dostáváme za předpokladu  = 1 J  2 R p 0,2  a

(10.34)

Graf uvedené závislosti se nazývá čarou otupení (angl. blunting line) a vynáší se do těchže souřadnic, jako regresní křivka proložená experimentálními body (ai, Ji) - viz obr.10.14. Průsečík obou uvedených grafů odpovídá okamžiku, kdy dochází k počátku stabilního šíření trhliny. Hodnota J-integrálu, odpovídající tomuto průsečíku, určuje kritickou hodnotu JIc = Jin. Kromě vztahu (10.34) se v literatuře objevují i jiné vztahy pro vyjádření závislosti J = J(a), tj. čáry otupení, např. [28],[29],[55]: J  k R p 0,2  Rm  a, kde k = 1; 1,5 nebo 2, J  3,7 R p 0,2  a

J 

(10.35)

E a apod. 89

Je zřejmé, že čára otupení má smluvní charakter. Zdá se, že volba nejvhodnějšího vztahu definujícího čáru otupení závisí do jisté míry na typu a vlastnostech materiálu. Ukazuje se, že v některých případech lze reprodukovatelnou hodnotu JIc určit i bez čáry otupení, tj. přímo z experimentálně stanovených dat (ai, Ji) - extrapolací regresní křivky proložené těmito body pro a  0 [30] - viz obr.10.16.

Obr.10.16 – Odhad hodnoty JIc pomocí extrapolace závislosti J = J(a).

Obr.10.17 – Stanovení Jin ze závislosti J(a) pomocí šířky zóny protažení ap.

- 191 -

10. J – INTEGRÁL _________________________________________________________________________________________

 směr šíření trhliny 

ÚNAVOVÝ LOM

ZÓNA PROTAŽENÍ

DOLOM

Obr.10.18 – Zóna protažení na lomové ploše CT-tělesa z oceli R7T (snímek SEM, zvětšení cca 500x, ap  60 m). Jinou možností, jak se problémům spojeným s čárou otupení vyhnout, je změření šířky zóny protažení (angl. stretch zone) na lomové ploše [16], [31] až [34]. V grafu závislosti J = J(a) odpovídá fraktograficky stanovené šířce zóny protažení ap hodnota Jin - viz obr.10.17. Příklad zóny protažení je uveden na obr.10.18 [35]. Kromě nejasností, vyplývajících ze smluvního charakteru čáry otupení, má uvedená metoda i některé další nevýhody, např. experimenty je třeba provádět na větším počtu těles (minimálně na 4 až 5 tělesech). Měření a není příliš přesné, což může významně ovlivnit parametry regresní závislosti (10.31) a tedy i přesnost určení JIc, resp. Jin.

Obr.10.19 – Stanovení Jin ze závislosti J(a) na jediném zkušebním tělese. - 192 -

10. J – INTEGRÁL _________________________________________________________________________________________

b) Stanovení JIc na jediném zkušebním tělese Při měření JIc na jediném zkušebním tělese odpadá problém s definicí čáry otupení. Postup měření je obdobný jako v předchozím případě (podrobněji viz např. [16], [30], [36] až [40]). Aplikace této metody je však podmíněna možností spolehlivého měření délky trhliny v průběhu zatěžování. Obvykle se používá elektropotenciálové metody (viz např. [30], [41]), komplianční metody (tj. metody měření poddajnosti), metody akustické emise (viz např. [42]) apod. V průběhu zatěžování je detekován počátek stabilního růstu trhliny. Kritická hodnota Jin je dána bodem odklonu grafu závislosti J = J(a) od přímky - viz obr.10.19 (podle [30]).

10.4 FAKTORY OVLIVŇUJÍCÍ JIc (Jin) Kritickou hodnotu J-integrálu JIc (Jin) ovlivňují zejména následující faktory: 

materiál, jeho mikrostruktura apod. [43],



teplota [43] až [45)],



rychlost deformace, resp. zatěžování [44], [46],



geometrie a rozměry tělesa [47] až [50],



délka trhliny [50] až [52],



radiační záření [45],



agresivita prostředí apod.

Vliv těchto faktorů na JIc, resp. Jin, je kvalitativně obdobný jako na kritické hodnoty ostatních parametrů lomové mechaniky - viz např. odst. 5.4.2 až 5.4.6.

10.5 MOŽNOSTI POUŽITÍ JIc (Jin) V PRAXI Přes určité, již dříve diskutované problémy spojené s aplikaci J-integrálu jsou kritické hodnoty JIc po transformaci pomocí vztahu (10.15) ve velmi dobré shodě s hodnotami lomové houževnatosti ve stavu rovinné deformace KIc, stanovenými jinými, nezávislými metodami viz např. obr.10.20 (podle [23]). Měření JIc lze tedy použit jako alternativní metody stanovení KIc v těch případech, kdy např. tloušťka zkušebních těles B nevyhovuje podmínkám (5.21), jejichž splnění je při přímém měření KIc třeba dodržet (viz 5. kap.).

- 193 -

10. J – INTEGRÁL _________________________________________________________________________________________

Obr.10.20 – Porovnání hodnot KIc naměřených přímo s hodnotami přepočtenými z JIc. I při měření JIc je však třeba dodržet podmínky stavu rovinné deformace, které lze vyjádřit pomocí empiricky stanovených nerovností

B; a, W  a   

J Ic , R p 0,2

(10.36)

kde  = 25 (podle dnes již neplatné normy [18]), resp.  = 200 (podle novějších konzervativnějších odhadů [53]). Splnění uvedených podmínek je nezbytné pro zajištění geometrické nezávislosti naměřených hodnot JIc. Pro ilustraci porovnejme požadavky kladené na rozměry zkušebního tělesa při měření KIc a JIc ve stavu RD pro dural (Rp0,2 = 390 MPa, E = 70 000 MPa, KIc = 35 MPa.m1/2,  = 1/3): z nerovnosti (5.21) vyplývá B; a, W  a   20 mm , z nerovnosti (10.36) a transformačního vztahu (10.5) vyplývá B; a, W  a   1 mm (pro  = 25), resp. B; a, W  a   8 mm (pro  = = 200). Hlavním cílem měření JIc však není jen nepřímé stanovení lomové houževnatosti KIc. Hodnoty JIc se používají zejména jako významné materiálové parametry, charakterizující odolnost vůči šíření trhliny u vysoce houževnatých materiálů, u kterých nelze použít poznatků lineární lomové mechaniky (viz odst.6.2, obr.6.17). Z praktického hlediska je u těchto materiálů výhodnější používat parametru JIc než parametru CTODc. Otevření čela trhliny CTOD není jednoznačně definovanou veličinou a možnosti použití CTODc pro stanovení kritické délky trhliny a zbytkové pevnosti tělesa s trhlinou jsou značně omezené (viz 9. kap.).

- 194 -

10. J – INTEGRÁL _________________________________________________________________________________________

Poznamenejme však, že ani při použití J-integrálu není stanovení ac či c zcela jednoduché ani jednoznačné. V literatuře se např. vyskytuje několik různých vztahů pro výpočet ac, jejichž použití vede k výrazně odlišným výsledkům [54]. Tyto vztahy tedy nemají obecnou platnost a jejich aplikovatelnost je třeba vždy v daném konkrétním případě ověřit. Obecně lze kritické hodnoty ac či c vypočítat pomocí vztahu (10.11): Dosadíme-li za J kritickou hodnotu JIc, dostáváme po úpravě ac 

J Ic E p

 m1  g I a,W , L...

,

(10.37)

1

J Ic E p   m1  .  c    a  g I a,W , L... 

(10.38)

Je zřejmé, že uvedené vztahy můžeme použít pouze za předpokladu, že známe: a) exponent m a součinitel Ep deformačního zpevnění materiálu - viz vztah (10.12), b) geometrický faktor g I a,W , L... , tj. "tvarovou funkci" pro danou geometrii tělesa s trhlinou, daný typ zatížení a příslušné okrajové podmínky - viz vztah (10.13). Naznačený postup však dosud nebyl v dostatečné míře experimentálně ověřen.


ESHELBY,J.D.: Stress Analysis of Cracks. ISI Publication, 121, 1968, pp.13-48.

[2]

RICE,J.R.: A Path Independent Integral and the Approximate Analysis of Strain Concentrations by Notches and Cracks. J. Appl. Mech., 35, 1968, pp.379-386.

[3]

RICE,J.R.: Mathematical Analysis in the Mechanics of Fracture. In: Fracture. Ed. H.Liebowitz, Vol.II, New York and London, Academic Press 1968, pp.191-311.

[4]

NĚMEC,J. - ZEMÁNKOVÁ,J. - BRUMOVSKÝ,M.: Křehké porušování plastických hmot z hlediska lineární lomové mechaniky. (Příručka pro techniky ve výzkumu a v průmyslu.) Praha, ČVUT-FJFI-KMAT Praha a ZJE Škoda Plzeň 1975, 114 s.

[5]


[6]

SIH,G.C.: Handbook of Stress Intensity Factors. Bethlehem, Lehigh University 1973.

[7]

TADA,H. - PARIS,P. - IRWIN,G.: The Stress Analysis of Crack Handbook. Hellertown, PA., Del Research Co. 1973.

[8]

ROOKE,D.P. - CARTWRIGHT,D.J.: Compendium of Stress Intensity Factors. London, Her Majesty’s Stationery Office 1976.

[9]

MURAKAMI,Y.: Stress Intensity Factors Handbook. Oxford, Pergamon Press 1987, 1 456 p.

[10] OLIVA,Vl.: Aplikovaná mechanika kontinua I. Elastomechanika. (Skripta ČVUT-FJFI.) Praha, ES ČVUT 1982, 175 s. - 195 -

10. J – INTEGRÁL _________________________________________________________________________________________

[11] LIEBOWITZ,H. - EFTIS,J.: On Nonlinear Effects in Fracture Mechanics. Engng Fracture Mech., 3, 1971, No.3, pp.267-281. [12] BROEK,D.: J Astray and Back to Normalcy. In: Fracture Control of Engineering Structures. (Proc. ECF 6, Amsterdam). Eds. H.C.van Elst and A.Bakker, Vol.II, Cradley Heath, EMAS 1986, pp.745-759. [13] FREDIANI,A.: Experimental Measurement of the J-integral. Engng Fracture Mech., 19, 1984, No.6, pp.1105-1137. [14] KIM,B.H. - LOE,C.R.: On the Ratio () of the J-integral to the Total Work Done per Unit Uncracked Area. Engng Fracture Mech., 32, 1989, No.6, pp.953-963. [15] SRAWLEY,J.E.: On the Relation of JI to Work Done per Unit Uncracked Area: Total or Component Due to Crack. Int. J. Fracture, 12, 1976, pp.470-474. [16] SCHWALBE,K.H. - NEALE,B.K. - INGHAM,T.: Draft EGF Recommendations for Determining the Fracture Resistance of Ductile Materials. EGF Procedure EGF P1-87D. Fatigue Fract. Engng Mater. Struct., 11, 1988, No.6, pp.409-420. [17] ZHANG,D.Z. - LIN,J.: A General Formula for Three-Point Bend Specimen J-Integral Calculation. Engng Fracture Mech., 36, 1990, No.5, pp.789-793. [18] ASTM Standard E 813-89. Standard Test Method for JIc, A Measure of Fracture Toughness. 1991. In: Annual Book of ASTM Standards, pp.713-727. [19] ASTM Standard E 1152-87. Standard Test Method for Determining J-R Curves. 1991. In: Annual Book of ASTM Standards, pp.825-835. [20] ASTM Standard E 1820-01. Standard Test Method for Measurement of Fracture Toughness. 2001. ASTM International, 46 p. [21] NEDBAL,I. - KUNZ,J. - SIEGL,J.: Značkování lomových ploch při únavových zkouškách těles a konstrukcí. In: Sborník VIII. Celoštátna fraktografická konferencia. Tatranské Matliare, ÚEM SAV Košice 1985, s.207-211. [22] NEDBAL,I. - KUNZ,J. - SIEGL,J.: Využití kvantitativní fraktografie při výzkumu únavového porušování konstrukcí. Strojírenství, 38, 1988, č.11, s.669-684. [23] BROEK,D.: Elementary Engineering Fracture Mechanics. 4th Ed. Dordrecht, Martinus Nijhoff Publishers 1987, 516 p. [24] SCHINDLER,H.J.: On the Relationship between J-integral and Crack Opening Displacement. Engng Fracture Mech., 20, 1984, No.2, pp.281-287. [25] PEREZ IPIŇA,J.E. - TOLOY,H.L:. Effect of Several Physical and Mechanical Variables on the Relation between COD and J. Engng Fracture Mech., 24, 1986, No.1, pp.1-9. [26] EWALDS,H.L. - WANHILL,R.J.H.: Fracture Mechanics. London, Edward Arnold 1989, 304 p. [27] LI,Z. - ZHANG,L. - DONG,G. - LIU,X. - ZHONG,B. - WEI,J.: Effect of Several Variables on J-COD Relationship and Plastic Rotational Factor rp. Engng Fracture Mech., 53, 1996, No.3, pp.473-480. [28] LAI,Z.-H. - MA,CH.-X.: Technical Note. Comparison of Several Methods of JIc Determination. Engng Fracture Mech., 22, 1985, No.6, pp.1117-1119.

- 196 -

10. J – INTEGRÁL _________________________________________________________________________________________

[29] CHEN,B.Y. - SHI,Y.W.: A Comparison of Various Dynamic Elastoplastic Fracture Toughness Evaluating Procedure by Instrumented Impact Test. Engng Fracture Mech., 36, 1990, No.1, pp.17-26. [30] KROMPHOLZ,K. - ULLRICH,G.: Determination of J-integral R Curves for the Pressure Vessel Material A533 B1 Using the Potential-Drop Technique and the Multispecimen Method. Engng Fracture Mech., 23, 1986, No.5, pp.803-820. [31] HOPKINS,P. - JOLLEY,G.: Technical Note. Limitations of the Crack Tip Blunting Line Used in the JIc Test Procedure. Engng Fracture Mech., 18, 1983, No.1, pp.239-242. [32] YIN,S.-W. - GERBRANDS,R.A. - HARTEVELT,M.: An Investigation of the Blunting Line. Engng Fracture Mech., 18, 1983, No.5, pp.1025-1036. [33] DOING,P. - SMITH,R.F. - FLEWITT,P.E.J.: The Use of Stretch Zone Width Measurements in the Determination of Fracture Toughness of Low Strength Steels. Engng Fracture Mech., 19, 1984, No.4, pp.653-664. [34] HEERENS,J. - CORNEC,A. - SCHWALBE,K.-H.: Results of a Round Robin on Stretch Zone Width Determination. Fatigue Fract. Engng Mater. Struct., 11, 1988, No.1, pp.19-29. [35] KUNZ,J. - SIEGL,J. - NEDBAL,I.: Sledování vlivu materiálových a geometrických faktorů na hodnotu lomové houževnatosti oceli jakosti R7T. (Výzkumná zpráva VKMAT-379/93.) Praha, ČVUT-FJFI-KMAT 1993, 30 s. [36] LEREIM,J. - EMBURY,J.D.: A Simple Method for the Determination of J-integral Values. Engng Fracture Mech., 11, 1979, No.1, pp.161-164. [37] LEREIM,J. - LOHNE,P.W.: A Single Specimen JIc Test Method. Int. J. Fracture, 16, 1980, pp. R223-R228. [38] LAI,Z.H. - CHEN,L.J. - CHANG,C.M. - MA,C.S. - CHAO,C.S.: A New Method of Determining JIc of Steel by Means of Single Specimen. Engng Fracture Mech., 17, 1983, No.5, pp.395-403. [39] KIM,B.H. - JOE,C.R.: Single Specimen Test Method for Determining Fracture Energy (Jc) of Highly Deformable Materials. Engng Fracture Mech., 32, 1989, No.1, pp.155161. [40] NING,X.G. - LAI,Z.H.: Realization of Single Specimen Analytical Method of JIc Determination by Using Compact Tension Loading. Engng Fracture Mech., 34, 1989, No.5/6, pp.1013-1021. [41] GIBSON,G.P.: The Use of Alternating Current Potential Drop for Determining J-Crack Resistance Curves. Engng Fracture Mech., 26, 1987, No.2, pp.213-222. [42] BLANCHETTE,Y. - DICKSON,J.I. - BASSIM,M.N.: The Use of Acoustic Emission to Evaluate Critical Values of K and J in 7075-T7651 Aluminum Alloy. Engng Fracture Mech., 20, 1984, No.2, pp.359-371. [43] BAYOUMI,M.R. - BASSIM,M.N.: Effect of Microstructure on Relationship Between Fracture Toughness and Ductility. Engng Fracture Mech., 24, 1986, No.1, pp.111-120. [44] NAKAJIMA,Y. - IINO,Y. - SUZUKI,M.: Fracture Toughness Behaviour of ServiceExposed Type 321 Stainless Steel at Room and Elevated Temperature Under Normal and Low Straining Rates. Engng Fracture Mech., 33, 1989, No.2, pp.295-307.

- 197 -

10. J – INTEGRÁL _________________________________________________________________________________________

[45] MILLS,W.J.: Fracture Toughness of Two Ni-Fe-Cr Alloys. Engng Fracture Mech., 26, 1987, No.2, pp.223-238. [46] BASSIM,M.N. - BAYOUMI,M.R. - SHUM,D.: Technical Note. Study of the Variation of Fracture Toughness with Loading Rate Using Compact Tension Specimens. Engng Fracture Mech., 26, 1987, No.4, pp.619-623. [47] MACHIDA,K. - KIKUCHI,M. - MIYAMOTO,H.: The Thickness Effects of the CT and CCT Specimens. Resent Research on Mechanical Behavior of Solids. (Bulletin of Fracture Mechanics Laboratory, Science University of Tokyo.), 3, 1984, pp.29-43. [48] GIBSON,G.P. - DRUCE,C.G.: Progress in Understanding Specimen Size and Geometry Effects on Ductile Fracture. In: Advances in Fracture Research (Proc. ICF 7, Houston). Eds. K.Salama et al., Vol.1, Oxford, Pergamon Press 1989, pp.181-188. [49] ROUSSELIER,G. - DEVESA,G. - BETNMONT,M.: Effect of Specimen Geometry on J-Resistance Curves in Near Small-Scale Yielding Conditions. In: Advances in Fracture Research (Proc. ICF 7, Houston). Eds. K.Salama et al., Vol.1, Oxford, Pergamon Press 1989, pp.249-258. [50] NEVALAINEN,M. - WALLIN,K.: The Effect of Crack Depth and Absolute Thickness on Fracture Toughness of 3PB Specimens. In: Structural Integrity: Experiments-ModelsApplications. (Proc. ECF 10, Berlin). Eds. K-H.Schwalbe and C.Berger, Vol.II, Cradley Heath, EMAS 1994, pp.997-1006. [51] ZHANG,D.Z. - WANG,H.: On the Effect of the Ratio a/W on the Values i and Ji in a Structural Steel. Engng Fracture Mech., 26, 1987, No.2, pp.247-250. [52] KIM,B.H. - JOE,C.R.: The Effect of Remote Energy Absorption in Determining Jc Value. Engng Fracture Mech., 32, 1989, No.2, pp.225-232. [53] SCHWALBE,K.-H.: Fracture Mechanics testing Standards. Communication from Subcommitee 1.4. ESIS Newsletter, 1991, Nr.16, p.5. [54] KÁLNA,K.: Odolnosť zváraných konštrukcií proti krehkému porušeniu. In: Mezní stavy a spolehlivost mechanických systémů. Praha, ČKD Praha a Škoda Plzeň 1981, s.69-79. [55] TOSAL,L. - RODRÍGUEZ,F. – BELZUNCE,F.J. – BETEGÓN, C.: A Crack Tip Blunting Analysis in the Ductile-to-Brittle Transition of a Structural Steel. Fatigue Fract. Engng Mater. Struct., 23, 2000, No.4, pp.365-369.

- 198 -

11. VYUŽITÍ LOMOVÉ MECHANIKY PŘI STUDIU ŠÍŘENÍ ÚNAVOVÝCH TRHLIN _________________________________________________________________________________________

11. VYUŽITÍ LOMOVÉ MECHANIKY PŘI STUDIU ŠÍŘENÍ ÚNAVOVÝCH TRHLIN 11.1 SHRNUTÍ ZÁKLADNÍCH POZNATKŮ O ÚNAVĚ MATERIÁLŮ 11.1.1 Charakter zatěžování Zatížení, kterým jsou konstrukce při svém provozu vystaveny, lze podle závislosti na čase t obecně rozdělit do tří základních skupin:

Obr.11.1 – Statické zatížení. Obr.11.2 – Monotónní zatěžování. Obr.11.3 – Proměnné zatěžování.

1) Statické zatížení (obr.11.1) - velikost zatížení (a tedy i odpovídající napětí) je prakticky konstantní, tj. d/dt = 0. Příkladem mohou být budovy (tj. konstrukce namáhané pouze silou tíže), přehrady apod. V laboratorních podmínkách se statického zatížení používá např. při creepových nebo korozních zkouškách apod. 2) Monotónní zatěžování - závislost zatížení (napětí) na čase má monotónní charakter; platí např. d/dt = konst  0 (viz obr.11.2). Tohoto způsobu zatěžování se v laboratorních podmínkách používá např. při klasických tahových zkouškách nebo při zkouškách lomové houževnatosti. 3) Proměnné zatěžování (obr.11.3) - zatížení a jím vyvolané napětí se v čase mění, přičemž dochází ke střídání etap růstu s etapami poklesu (tj. ke střídání znaménka derivace d/dt). Proměnná zatěžování lze dále dělit na stacionární a nestacionární (blíže viz např. [1]). Nejjednodušším příkladem stacionárního proměnného zatěžování je cyklické zatěžování s konstantní amplitudou napětí (viz obr.11.4). Základními charakteristikami zatěžovacího cyklu jsou: a) maximální napětí v cyklu max, b) minimální napětí v cyklu min, c) střední napětí v cyklu s

s 

 max   min 2 - 199 -

,

(11.1)


 (t)  max

D  s

a  min T čas t

Obr.11.4 – Základní parametry cyklického zatěžování. d) rozkmit napětí D, resp. amplituda napětí a D   max   min ,

a 

D  max   min  , 2 2

(11.2) (11.3)

e) parametr asymetrie cyklu R či P [2] (konkrétní příklady viz obr.11.5)

 min ,  max

(11.4)

 max 2  , a 1 R

(11.5)

R

P f) frekvence zatěžování f

f 

1 T

(11.6)

kde T = perioda zatěžování (viz obr.11.4), g) tvar cyklu (sinový, obdélníkový, trojúhelníkový - viz např. obr.11.4 apod.). Analogického názvosloví i označení budeme používat i v případě, že stav napjatosti v tělese s trhlinou je charakterizován některým z parametrů lomové mechaniky (např. DK = = Kmax - Kmin je rozkmit faktoru intenzity napětí apod.).

- 200 -

11. VYUŽITÍ LOMOVÉ MECHANIKY PŘI STUDIU ŠÍŘENÍ ÚNAVOVÝCH TRHLIN _________________________________________________________________________________________ 40 R = 1/3 P =3

30 R =0 P =2

20

R = -1 P =1

10 R =- P =0

0

0

míjivý tah

R =3 P = -1

-10

 (t)

střídavý tah-tlak

-20 míjivý tlak -30 čas t -40

Obr.11.5 – Příklady cyklického zatěžování s různým parametrem asymetrie cyklu. Typickými příklady konstrukcí, vystavených časově proměnnému zatěžování, mohou být dopravní prostředky, motory, čerpadla, obráběcí stroje apod. Např. spalovací motor a klikový mechanismus je za celkovou dobu provozu osobního automobilu vystaven řádově 108 cyklů, části hnacího mechanismu na jízdním kole řádově 106 cyklů apod. Provozní zatěžování konstrukcí má v řadě případů velmi složitý charakter. Pro ilustraci např. uveďme, jakým druhům zatěžování je za provozu vystaveno letadlo [3] (viz obr.11.6): 1) Cykly typu "země - vzduch - země", vyvolané gravitačními silami. 2) Změny tlaku vzduchu na vnějším povrchu letadla, vyvolané poryvy větru. Tyto poryvy mohou působit v různých směrech. Působí-li např. směrem nahoru, přičítají se k zatížení, vyvolanému gravitačními silami. Působí-li poryvy naopak směrem dolů, pak se jimi vyvolaná zatížení od gravitačních sil odečítají. 3) Zatížení vyvolaná řízením letadla, tj. manévrováním. 4) Zatížení vyvolaná vnitřním přetlakem vzduchu, působícím na kabinu letadla. 5) Vibrace ovládacích částí letadla (včetně akustických vibrací vyvolaných tryskáním reaktivních plynů apod.). 6) Zatížení vyvolaná přistáváním, pojezdem po letišti, tahem motorů, zatížením klapek apod.

- 201 -


PORYVY VĚTRU, MANÉVRY PILOTA ATD.

TAH

0

TLAK

ZEMĚ VZDUCH ZEMĚ

ČAS POJEZD PŘED STARTEM

POJEZD PO PŘISTÁNÍ, TANKOVÁNÍ

Obr.11.6 - Časový průběh namáhání spodní strany křídla dopravního dopravního letounu v průběhu jednoho letu (podle [3]).

11.1.2 Proces únavového porušování materiálu Při řešení otázek souvisejících s životností a spolehlivostí těles a konstrukcí, vystavených za provozu proměnnému zatěžování, je třeba vzít v úvahu únavu materiálu, která je primární příčinou převážné většiny lomů, ke kterým v běžné praxi dochází. Únava materiálu je degradačním procesem, který výrazně závisí na časovém průběhu zatěžování a má etapovitý charakter. Z historického hlediska počátky výzkumu únavy materiálů úzce souvisejí s rozvojem moderních dopravních prostředků: První etapa výzkumu únavy souvisela zejména s řešením problematiky lomů os železničních vagónů [4], druhá nejvýznamnější etapa pak s analýzou příčin závažných provozních poruch konstrukčních částí letadel [3], [5]. Podstatou únavového procesu je opakovaná plastická deformace. Na čele trhliny se v průběhu cyklického zatěžování kumuluje nevratné poškození, v jehož důsledku dochází ke vzniku a šíření únavové trhliny. Je tedy zřejmé, že plastická deformace hraje v únavovém procesu zcela klíčovou roli. Dokonale křehký (tj. čistě elasticky se deformující) materiál degradačnímu procesu únavového typu nepodléhá. Materiály tohoto typu se však v běžné technické praxi používají jen zřídka. Z hlediska odporu materiálu proti šíření trhliny je zřejmý kvalitativní rozdíl mezi účinky monotónně rostoucího zatěžování (např. při měření KIc) a cyklického, resp. obecně časově proměnného zatěžování: zatímco v prvním případě je tvárnost materiálu (tj. jeho schopnost se plasticky deformovat) vlastností pozitivní, zvyšující odolnost proti lomu (tj. lomovou houževnatost), v případě druhém je tomu naopak - čím snáze je materiál plasticky deformovatelný, tím snadněji únavový proces probíhá. Naznačený

- 202 -


paradox G.G.Garrett [6] charakterizuje jako příklad uplatnění základního principu materiálového inženýrství, kterým je "zákon schválnosti". Rozsah plastické deformace, vyvolané cyklickým zatěžováním, lze kvantifikovat velikostí plastické zóny před čelem únavové trhliny: V zatěžovací části cyklu, charakterizované nerovnosti d/dt  0, se na čele trhliny vytvoří monotónní plastická zóna (viz obr.11.7 - podle [7]), jejíž velikost je nepřímo úměrná druhé mocnině meze kluzu v tahu. V souladu se vztahy (6.1) a (6.2): 1  K    rp  2  R p 0,2 

2

1  K    rp  6  R p 0,2 

2

ve stavu rovinné napjatosti,

(11.7)

ve stavu rovinné deformace.

(11.8)

Obr.11.7 – Monotónní a reverzní plastická zóna na čele trhliny. V odlehčovací části cyklu (d/dt  0) vznikají před čelem trhliny zbytková tlaková pnutí, která jsou tím větší, čím větší je pokles napětí. V důsledku těchto tlakových pnutí dojde k vytvoření reverzní plastické zóny (viz obr.11.7), jejíž velikost je nepřímo úměrná druhé mocnině meze kluzu v tlaku, která je v důsledku Bauschingerova efektu asi 2x větší než mez kluzu v tahu, tj.

- 203 -


 DK     2 R 0,2   p 

2

1 rpc  2

 DK     2 R 0,2  p  

2

1 rpc  6


(11.9)

ve stavu rovinné deformace.

(11.10)

Únavový život cyklicky zatěžované konstrukce se skládá z několika kvalitativně odlišných etap (viz obr.11.8). šíření makrotrhliny

šíření mikrotrhliny

nukleace

stabilní růst

iniciace

statický dolom nestabilní růst

únavový život tělesa nebo konstrukce Obr.11.8 – Jednotlivé etapy únavového života cyklicky zatěžované konstrukce. K nukleaci únavových trhlin dochází [2]: a) v únavových skluzových pásech, b) na hranicích zrn, c) na rozhraní mezi inkluzemi a matricí. Etapa iniciace únavové trhliny je ovlivněna celou řadou faktorů, mezi které patří zejména: a) velikost a charakter zatěžování, b) technologické vruby - např. stopy po opracování (povrchová drsnost), strukturní nehomogenity (vměstky, dutiny) apod., c) konstrukční vruby - náhlé změny tvaru součásti (např. zápichy, otvory pro nýty či šrouby apod.), d) zbytková pnutí v povrchové vrstvě (tlaková pnutí mají vliv pozitivní, zatímco tahová pnutí mají vliv negativní), e) struktura, chemické složení a tedy i vlastnosti materiálu na povrchu - povrch tělesa se může od jeho jádra lišit buď záměrně (v důsledku povrchového kalení, cementování, nitridování, pokovení, otryskání, žárového či plazmatického nástřiku apod.) nebo samovolně (u ocelí např. následkem oduhličení apod.), f) agresivita prostředí (jeho chemické složení, skupenství apod.), g) teplota atd. - 204 -


Obr.11.9 – Iniciace únavové trhliny na strukturní nehomogenitě.

Obr.11.10 – Iniciace únavové trhliny na povrchové dutině.

Z výsledků analýz mnoha provozních poruch je v souladu s výše uvedeným výčtem faktorů zřejmé, že z hlediska etapy iniciace únavových trhlin jsou rozhodující povrchové vlastnosti [8]. Několik příkladů povrchových iniciačních center je uvedeno na snímcích z řádkovacího elektronového mikroskopu na obr.11.9 až 11.12. V prvním případě (obr.11.9) došlo k iniciaci únavové trhliny na povrchové strukturní nehomogenitě, v druhém případě (obr.11.10) na povrchové dutině [9]. Na lomu vrtáku, uvedeném na obr.11.11, je únavová část lomu dobře odlišitelná od oblasti statického dolomu. I v tomto případě došlo k iniciaci únavové trhliny na povrchu - na dně žlábku šroubovice. V místě iniciace (označeném šipkou) byly nalezeny povrchové mikrotrhliny technologického původu, vzniklé na stopách po frézování (viz detailní snímek na obr.11.12) [10]. Pro úplnost je třeba uvést, že v některých případech dochází k iniciaci únavových trhlin i mimo povrch tělesa (tj. uvnitř) - např. na výrazných strukturních nehomogenitách, v místech lokálních špiček napětí (kontaktní únava) apod. V etapě iniciace jsou rozhodující lokální vlastnosti materiálu. Důsledkem je obvykle velký rozptyl experimentálních dat, charakterizujících tuto etapu únavového procesu (např. počet cyklů, potřebných pro vytvoření mikrotrhliny určité smluvní délky). Tento rozptyl se obvykle s rostoucím zatížením zmenšuje.

- 205 -


Obr.11.11 – Iniciace únavové trhliny na povrchové stopě po frézování ve žlábku šroubovice vrtáku.

Obr.11.12 – Povrchové mikrotrhliny technologického původu na dně žlábku šroubovice vrtáku.

Rozhraní mezi etapou iniciace a etapou šíření souvisí se změnou mikrotrhliny v makrotrhlinu (viz obr.11.8). Růst makrotrhliny již není ovlivňován lokálními podmínkami, které byly rozhodující ve fázi iniciace, a pro popis jejího chování je již možno použít poznatků lomové mechaniky. Šíření makrotrhliny má zpočátku krystalografický charakter. V této fázi se výrazně uplatňuje struktura materiálu. Kromě tahového módu I zpočátku působí i smykový mód II, neboť k šíření trhliny dochází ve směru svírajícím s osou hlavního napětí úhel přibližně 45. V další fázi rozvoje trhliny, ve které je již rovina únavového lomu kolmá ke směru hlavního napětí, dominuje tahový mód I. V závěrečné fázi, ve které dochází k přechodu ze stavu rovinné deformace do stavu rovinné napjatosti, svírá rovina lomu se směrem hlavního napětí úhel přibližně 45 - jde o smíšený mód porušování (obecně I + II + III). Význam jednotlivých etap procesu únavového porušování se může v jednotlivých konkrétních případech významně lišit: U některých součástí či konstrukcí je třeba z důvodů bezpečnosti a spolehlivosti únavový proces pokud možno zcela vyloučit (např. u některých částí leteckých či automobilových motorů). V těchto případech se postupuje podle konstrukční filosofie typu "safe-life" (tj. spolehlivý život). Rozhodující je zde etapa iniciace únavových trhlin. Výrobky s primárními defekty technologického původu, na nichž by při předpokládaném provozním zatěžování mohlo v průběhu předpokládané doby provozu dojít k iniciaci únavových trhlin, se při defektoskopické kontrole vyloučí.

- 206 -


Odlišným případem jsou konstrukce, u kterých při současných technologických a ekonomických možnostech není možno výskyt výraznějších primárních defektů vyloučit. Konkrétním příkladem mohou být rozměrné tlakové nádoby či jiné svařované konstrukce [11]. V obdobných případech je třeba počítat se zkrácením etapy iniciace únavové trhliny na minimum. Z hlediska životnosti je pak rozhodující etapa šíření trhliny. Konstrukční návrh je proto třeba optimalizovat tak, aby únavová trhlina (šířící se z primárního defektu) nedosáhla kritické délky (tj. aby nedošlo k poruše) dříve, než bude detekována při plánované prohlídce nebo než daná konstrukce bude odstavena z provozu. Naznačeného typu konstrukční filosofie, označovaného jako "damage tolerance", se používá též u letadel [12] (zejména u vojenských stíhacích [13]). Jinou konstrukční filosofií, ve které hraje etapa šíření únavových trhlin rozhodující roli, je koncepce "fail-safe", podle které se konstrukce navrhuje tak, aby byla bezpečná i při poruše. Významnou součástí této konstrukční filosofie jsou průběžné provozní defektoskopické prohlídky. Na základě výsledků těchto prohlídek a poznatků lomové mechaniky se určuje další povolená délka provozu, termín a rozsah oprav, termín úplného odstavení konstrukce z provozu apod. Některé konstrukční části, navrhované podle této koncepce, mohou být zálohované - v průběhu jejich únavového porušování je silový tok převeden na ostatní, dosud neporušené elementy. Tato konstrukční filosofie se používá zejména u civilních dopravních letadel. Drak dopravního letadla je typickým příkladem konstrukce, u které je třeba věnovat značnou pozornost jak etapě iniciace, tak i etapě šíření únavových trhlin (např. v nosnících a potazích křídel). Poslední etapou únavového porušování, uvedenou ve schématu na obr.11.6, je dolom. Tato etapa je tvořena posledním zatěžovacím cyklem. Dosáhne-li v tomto cyklu maximální hodnota faktoru intenzity napětí Kmax hodnoty únavové (resp. cyklické) lomové houževnatosti Kcf, dojde ke ztrátě stability trhliny a k náhlému porušení zbylého nosného průřezu v kritickém místě. Z obecného vztahu DK = (1-R).Kmax vyplývá, že k tomuto meznímu stavu dochází, dosáhne-li rozkmit faktoru intenzity napětí DK kritické hodnoty DKc = (1-R).Kcf (viz obr.11.14). Únavovou lomovou houževnatost Kcf obecně nelze ztotožňovat s klasickou lomovou houževnatostí KIc, určovanou standardním normalizovaným postupem, která charakterizuje odpor materiálu vůči ztrátě stability trhliny při statickém zatížení (viz kap. 5.4). Poměr Kcf/KIc může být větší i menší než 1 a jeho velikost závisí zejména na následujících faktorech (viz např. [14]):

- 207 -




chemické složení a struktura materiálu, ovlivňující jeho citlivost na rychlost zatěžování (resp. rychlost deformace) a charakter cyklické deformační křivky (cyklické změkčení či zpevnění materiálu),



parametry cyklického zatěžování,



počet aplikovaných zatěžovacích cyklů,



teplota a další charakteristiky prostředí, ovlivňující schopnost plastické deformace materiálu v okolí čela trhliny apod. Bylo prokázáno, že u cyklicky změkčujících materiálů poměr Kcf /KIc klesá s rostoucí

statickou lomovou houževnatostí KIc [188],[189]. Naznačený trend lze aproximovat empirickým vztahem K cf K Ic  1  b K Ic ,

(11.11)

kde konstanta b nabývá v případě lomů ve stavu rovinné deformace hodnot přibližně (45).10- 3 MPa-1.m-1/2 – viz obr.11.13. 100 90

1:1

80 70 1/2

50 40

1

-1/2

-1

-1/2

b = 4.10-3 MPa- m

Kcf [MPa.m ]

60

b = 5.10-3 MPa m

30 20 10 K Ic [MPa.m1/2] 0 0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Obr.11.13 – Závislost únavové lomové houževnatosti Kcf na klasické statické lomové houževnatosti KIc podle vztahu (11.11). Při studiu únavových procesů se poznatky lomové mechaniky uplatňují zejména v etapě makroskopického šířeni trhliny. Této etapě jsou věnovány následující odstavce této kapitoly. - 208 -


11.2 ŠÍŘENÍ ÚNAVOVÝCH TRHLIN 11.2.1 Faktory ovlivňující rychlost šíření únavové trhliny Rychlost šíření únavové trhliny v = da/dN, která je významnou veličinou, charakterizující odezvu materiálu na cyklické zatěžování, je ovlivněna celou řadou faktorů. Tyto faktory lze rozdělit do čtyř následujících skupin (podle [15]): 1. Charakteristiky zatěžování (obecně ozn. Z) a) Rozkmit napětí D, resp. odpovídající rozkmit faktoru intenzity napěti DK. b) Parametr asymetrie cyklu R. (Připomeňme, že explicitně vyjádřený vliv D, resp. DK, a R v sobě implicitně zahrnuje i vliv maximálního napětí max, resp. Kmax, vliv středního napětí s, resp. Ks apod.). c) Frekvence zatěžování f. d) Tvar zatěžovacího cyklu (např. sinový, obdélníkový, pilový apod.). e) Interakce mezi zatěžovacími cykly při zatěžování s proměnnou amplitudou napětí. f) Stav napjatosti (rovinná deformace, rovinná napjatost). g) Zbytková pnutí. 2. Geometrické charakteristiky (obecně ozn. A) a) Absolutní a relativní rozměry trhliny (např. a, a/W apod.). b) Geometrie trhliny (např. tvar, orientace vůči hlavnímu napětí apod.). c) Geometrie tělesa s trhlinou. d) Koncentrace napětí na konstrukčních vrubech. 3. Materiálové charakteristiky (obecně ozn. M) a) Chemické složení slitiny. b) Rozložení legujících prvků a nečistot. c) Mikrostruktura a krystalová struktura. d) Tepelné zpracování (kalení, žíhání apod.). e) Mechanické zpracování (válcování, lisování, obrábění apod.). f) Textura (přednostní orientace zrn a jejich hranic). g) Mechanické vlastnosti (modul pružnosti v tahu a ve smyku, pevnost, tažnost, mez kluzu, lomová houževnatost apod.). 4. Charakteristiky prostředí (obecně ozn. T). a) Teplota. b) Typ prostředí (skupenství plynné, kapalné apod.).

- 209 -


c) Parciální tlak poškozujících složek v plynném prostředí. d) Koncentrace poškozujících složek v tekutém (např. vodním) prostředí. e) Elektrický potenciál. f) Kyselost (pH). g) Viskozita. h) Radiační tok. i) Povrchové povlaky, inhibitory atd. Vzhledem ke značnému množství faktorů, ovlivňujících šíření únavové trhliny, a složitému charakteru jejich vzájemných interakcí není prakticky možné nalézt univerzální vztah typu v  v( Z , A, M , T ) ,

(11.12)

který by umožňoval výpočet rychlosti šíření trhliny v v libovolném obecném případě. V odborné literatuře je v současné době k dispozici několik desítek rovnic typu (11.12), které explicitně charakterizují vliv většího či menšího počtu výše uvedených faktorů (viz např. souhrnné práce [16] až [19]). Čím jsou tyto vztahy složitější, tím by teoreticky mohly být i obecnější. S rostoucí složitostí těchto vztahů však roste i počet parametrů, které je třeba znát, což skutečné možnosti uplatnění v praxi značně omezuje. V daném materiálu a za daných provozních podmínek je rychlost šíření únavové trhliny řízena polem napětí v okolí jejího čela. Výsledná úroveň napětí je zde dána superpozicí: 1) lokální odezvy materiálu na vnější silové účinky, působící na těleso v daném časovém okamžiku, 2) zbytkových pnutí, vyvolaných v tělese elasto-plastickou odezvou materiálu na předchozí zatěžování (tuto vlastnost materiálu můžeme nazvat „krátkodobou pamětí“), 3) zbytkových pnutí technologického původu („dlouhodobá paměť“ materiálu). Pole napětí před čelem trhliny lze charakterizovat některým z parametrů, používaných v lomové mechanice. V případě únavových trhlin se používá nejčastěji rozkmitu faktoru intenzity napětí DK. Rychlost šíření únavové trhliny v = da/dN je obecně funkcí DK, tj.

v  vDK .

(11.13)

Objevení naznačené závislosti je jedním z nejvýznamnějších úspěchů výzkumu únavového procesu [20]. Aplikace lomové mechaniky prostřednictvím vztahu (11.13) umožňuje zobecnění výsledků laboratorních únavových zkoušek a jejich přenos na reálné konstrukční části. Parametry vztahu (11.13) mohou být obecně funkcí všech ostatních faktorů, ovlivňujících rychlost šíření únavové trhliny (srv. vztahy (11.12) a (11.13)), neboť ve veličině DK je zahrnut - 210 -


pouze rozkmit napětí D a geometrické charakteristiky daného tělesa s trhlinou. Z výsledků značného množství experimentálních prací vyplývá, že graf funkce (11.13), znázorněný v loglog souřadnicích, má obecně esovitý charakter - viz obr.11.14. Tento graf lze rozdělit do tří kvalitativně odlišných oblastí (větví), kterými jsou: a) Oblast prahových hodnot rozkmitu faktoru intenzity napětí a nízkých rychlostí šíření únavových trhlin (ozn. I). b) Oblast lineární závislosti log(v) na log(DK), tj. oblast platnosti tzv. Parisova vztahu (ozn. II). c) Oblast vysokých rychlostí šíření únavových trhlin a závěrečného dolomu, tj. oblast, ve které se Kmax blíží hodnotě únavové lomové houževnatosti materiálu Kcf, nebo-li DK se blíží hodnotě (1-R).Kcf (oblast ozn. III).

I

II

III

v = da/dN

DK DKp

(1-R)Kcf

Obr.11.14 – Obecná závislost rychlosti šíření únavové trhliny v na DK.

11.2.2 Otevírání a uzavírání únavové trhliny Reverzní plastická zóna, vznikající při poklesu napětí v odlehčovací části cyklu (viz obr.11.7), vyvolává v oblasti čela únavové trhliny zbytková tlaková pnutí, která přitlačují obě líce lomu k sobě a tím trhlinu uzavírají. K tomuto uzavření dochází, poklesne-li vnější tahové napětí (resp. síla) pod určitou mezní hodnotu cl  0 (Fcl  0). Obdobně v zátěžné části cyklu dojde k opětovnému otevření trhliny až tehdy, dosáhne-li vnější tahové napětí (síla) určité mezní hodnoty op  0 (Fop  0).

- 211 -


Nejobvyklejší experimentální metoda určování hodnot Fcl a Fop je založena na měření závislosti otevření trhliny COD (viz 9. kap.) na zátěžné síle F. Typický příklad této závislosti, naměřený v průběhu jednoho zatěžovacího cyklu, je uveden na obr.11.15. Hodnotám Fcl a Fop odpovídají body zlomu na uvedeném grafu. Pro jednoduchost budeme dále předpokládat Fcl = Fop - obecně však tato rovnost platit nemusí. K šíření únavové trhliny dochází pouze v té části zatěžovacího cyklu, ve které je trhlina plně otevřena [21], tj. v intervalu (Fop, Fmax). Síle Fop (resp. Fmin, Fmax, DF) odpovídá faktor intenzity napětí Kop (resp. Kmin, Kmax, DK). Ve skutečnosti se tedy na šíření únavové trhliny nepodílí celý rozkmit faktoru intenzity napětí

DK = Kmax - Kmin, ale jen jeho část - tzv. efektivní rozkmit faktoru intenzity napětí DKef (viz obr.11.16), definovaný vztahem

DK ef  K max  Kop .

Obr.11.15 – Závislost otevření trhliny COD na síle F v průběhu cyklu.

(11.14)

Obr.11.16 – Efektivní rozkmit faktoru intenzity napětí DKef.

Relativní část zatěžovacího cyklu, ve které je trhlina plně otevřena, lze charakterizovat poměrem

U

DKef DK

.

(11.15)

Ze vztahů (11.14) a (11.15) tedy vyplývá

U

K 1  1  op 1 R  K max

  , 

tj. Kop  K max [1  (1  R) U ],

kde R je parametr asymetrie cyklu.

- 212 -

(11.16)


Tab.11.1 – Příklady parametrů vztahu (11.17) vyjadřujícího závislost poměru U = DKef/DK na parametru asymetrie cyklu R. LITERÁRNÍ ODKAZ Elber [21] Kobayashi, Murakami, Nakazawa [22] Schijve [23] Lam, Lian [24] Zhang et al. [25] Mousuva, Radon [26]

SLITINA, EXPER. PODMÍNKY Al-slitina 2024-T3 ocel 10B35 temp. 100°C ocel 10B35 temp. 600°C nízkouhlíková ocel Al-slitina 2024-T3 Al-slitina 2024-T3 Al-slitina 7475-T7351 ocel BS4360-50C B=24mm, f=0,25Hz ocel BS4360-50C B=12mm, f=0,25Hz ocel BS4360-50C B=12mm, f=30Hz

Kurihara et al. [27]

ocel JIS SM50B

Newman [28] Wanhill [29]

stav RD, max/Rp0,2 = 1/3

Katcher, Kaplan [30] Maddox et al. [31] Kumar a Garg [32]

Al-slitina 2219-T851 Ti-6Al-4V rekryst. žíhána konstrukční oceli Al-slitina 6061-T6 Al-slitina 6063-T6

DEFINIČNÍ OBOR R

b0

b1

b2

b3

c0

c1

(-0,1; 0,7)

0,5

0,4

0

0

1

0

(0,06; 0,4)

0,5

0,36

0

0

1

0

(0,06; 0,4)

0,5

0,20

0

0

1

0

-

0,5

0,17

0

0

1

0

(-1; 1)

0,55

0,35

0,1

0

1

0

-

0,51

0,42

0,24

0

1

0

(0; 1)

0,62

0,37

0,14

0

1

0

(0; 1)

1

-0,9

0

0

1

-1

(0; 1)

1

-0,86

0

0

1

-1

(0; 1)

1

-0,89

0

0

1

-1

(-5; 0,5)

1

0

0

0

1,5

-1

(0,5; 0,8)

1

0

0

0

1

0

(-1; 0)

0,75

-0,078

0

0

1

-1

(0; 1)

0,75

-0,06

-1,13

0,44

1

-1

(0,08; 0,32)

0,68

0,91

0

0

1

0

(0,08; 0,35)

0,73

0,82

0

0

1

0

-

0,75

0,25

0

0

1

0

(0; 0,3)

0,69

0,5

0,12

0

1

0

-

0,55

0,6

0,12

0

1

0

Poměr U, definovaný vztahem (11.15), může být funkcí všech faktorů, které ovlivňují šíření únavové trhliny (viz odst.11.2.1). Za daných podmínek (tj. materiál, těleso, prostředí atd.) je dominantním faktorem, ovlivňujícím otevírání a uzavírání trhliny (a tedy i poměr U), parametr asymetrie cyklu R. V literatuře lze nalézt řadu různých empirických vztahů, které závislost U = U(R) vyjadřují analyticky (viz např. souhrnné články [32], [33]). Většinu těchto - 213 -


vztahů lze zobecnit do tvaru racionálního zlomku U ( R) 

bo  b1 R  b2 R 2  b3 R 3 . co  c1 R

(11.17)

Některé konkrétní hodnoty konstant bo až b3, co a cl, vystupující ve vztahu (11.17), jsou spolu s příslušným definičním oborem R a typem slitiny uvedeny v tab.11.1, shrnující výsledky prací [21] až [32]. Je zřejmé, že tyto konstanty závisejí zejména na materiálu, tj. na jeho chemickém složení a struktuře. Průběhy některých z uvedených funkcí U(R) jsou znázorněny graficky na obr.11.17. 1,0 0,9 Newman [28], Wanhill [29]

0,8

Schijve [23] Zhang

U (R ) [1]

Elber [21]

0,7 Maddox [31]

0,6

Kurihara [27]

0,5 0,4

Lam, Lian [24]

0,3 0,2 0,1

R [1]

0,0 -1,0

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Obr.11.17 – Závislost poměru U = DKef /DK na parametru asymetrie cyklu R podle různých autorů (viz tab.11.1). Kromě závislosti typu (11.17) se v literatuře vyskytují i jiné analytické tvary funkce U(R), např. [34]

1 R , 1 R kde n je exponent Parisova vztahu (11.54), nebo [35] až [38] U ( R)  n

U ( R)  1  R , p

(11.18)

(11.19)

kde p (-1  p  0) je konstanta, jejíž závisí na materiálu, prostředí, způsobu zatěžování apod. Pokud by poměr U byl funkcí pouze parametru asymetrie cyklu R, mělo by např. pro dva typy zatěžovacích cyklů, znázorněných na obr.11.18 a charakterizovaných shodným paramet- 214 -


rem asymetrie cyklu Rl = R2, platit U1 = U2. Experimentální výsledky řady prací však naznačily, že tomu tak není a že poměr U je obecně funkcí nejen R, ale i Kmax (a tedy i DK) – viz např. [39] až [46]. Davidson [43] uvádí pro Al-slitiny závislost U = U(R, Kmax) ve tvaru U  1

DK p

1  R  K max

 1

DK p DK

,

(11.20)

kde DKp je prahová hodnota rozkmitu faktoru intenzity napětí (viz obr.11.14). Ze vztahů (11.15), (11.16) a (11.20) pak vyplývá resp.

DKef  DK  DK p ,

(11.21)

Kop  Kmin  DK p .

(11.22)

Otevřenou otázkou však zůstává, do jaké míry mají uvedené vztahy obecnou platnost. 40 R1 = R2

35

R 2 = K 2,min /K 2,max = 1/3 K 2,min = 10 MPa.m 1/2 K 2,max = 30 MPa.m 1/2

K [MPa.m1/2] 30 25 R 1 = K 1,min /K 1,max = 1/3 K 1,min =

20

5 MPa.m 1/2

K 1,max = 15 MPa.m 1/2

15 10 5 čas t

0

0

Obr.11.18 – Ilustrační znázornění dvou případů cyklického zatěžování se stejným parametrem asymetrie cyklu R, ale s různou maximální hodnotou Kmax (resp. s různým DK). Dalším významným faktorem, ovlivňujícím hodnotu Kop (a tedy i U a DKef), je tzv. faktor stísnění (angl. „constraint factor“) , který je funkcí jednak poměru velikosti plastické zóny na čele trhliny rp a tloušťky tělesa B, jednak Poissonově čísle materiálu ν:

- 215 -

11. VYUŽITÍ LOMOVÉ MECHANIKY PŘI STUDIU ŠÍŘENÍ ÚNAVOVÝCH TRHLIN _________________________________________________________________________________________ 1 2    rp  2  rp   1  c1     2   B   B    ,  (11.23) 1 2    rp  2  rp   1  2  c2     2   B   B    kde c1 a c2 jsou konstanty. Guo et al. ve své práci [47] uvádějí hodnoty c1 = 0,6378 a

c2 = 0,5402 - pro tyto velikosti konstant a tři hodnoty Poissonova čísla  je průběh funkce (11.23) graficky znázorněn na obr.11.19.

3 RD

 = 0.35  = 1/3

faktor stísnění 

2,5  = 0.3

 = 0.25

2

 = 0.2

1,5

RN

log(r p /B ) 1 0,01

0,1

1

10

Obr.11.19 – Závislost faktoru stísnění  na poměru velikosti plastické zóny rp a tloušťky tělesa B. Parametrem je Poissonovo číslo . K op Poměr U lze vypočítat pomocí vztahu (11.16), do kterého za dosadíme pomocí K max následujícího empirického vztahu, který odvodil Newman (převzato z [47]): K op  op   A0  A1 R  A2 R 2  A3 R 3 pro R  0 , K max  max resp. (11.24) K op  op   A0  A1 R pro  1  R  0 , K max  max 1

kde

     A0  0,825  0,34  0,05 2  cos  max  ,   2 R p 0,2  - 216 -


A1  0,415  0,071  

 max R p 0,2

,

A2  2  3A0  2 A1 , A3  2 A0  A1  1.

Funkce    rp B  (11.23) má klesající charakter, přičemž její maximum ( max  3 ) odpovídá stavu rovinné deformace a minimum ( min  1 ) stavu rovinné napjatosti. Dosadíme-li do vztahu (11.16) za K op K max pomocí (11.24), dostáváme závislost U  U R, ,  max / R p 0.2 , která je rostoucí funkcí parametru asymetrie cyklu R, faktoru

stísnění  i relativní velikosti maximálního napětí vyjádřené poměrem max/Rp0,2 – viz grafy na obr.11.20. V tab.1.1 a na obr.11.17 je jako speciální příklad uvedena závislost U(R) tohoto typu pro  = 3, tj. stav RD, a poměr max/Rp0,2 = 1/3 (Newman, Wanhill). 1,0

1,0

 = 0.25 0,9

 max /R p 0.2 = 0.1

0.20

0,9

faktor stísnění  = 1.5

0.15 0,8

0,7

0,6

U (R ,  , max /Rp0.2 )

U (R ,  , max /Rp0.2 )

0,8

0,7

0,6

 max /R p 0.2 = 0.5 0,5

0,5 0.3

0,4

0,4

0.1

R [1]

R [1] 0,3 -1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

0,3 -1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

Obr.11.20 – Příklady závislosti poměru U = DKef/DK na parametru asymetrie R, faktoru stísnění  a relativní velikosti maximálního napětí max/Rp0,2. Z uvedených závislostí vyplývá, že např. s klesající tloušťkou tělesa B, rostoucí délkou trhliny a nebo klesající mezí kluzu materiálu Rp0,2 (a tedy rostoucí velikostí plastické zóny na čele trhliny rp) za jinak stejných podmínek roste hodnota Kop, klesá poměr U a tedy klesá i hodnota DKef. - 217 -


V počáteční fázi šíření se čelo trhliny nachází v kvalitativně odlišné oblasti, ovlivněné spíše okrajovými a počátečními podmínkami (nezatížený stav), než polem elasto-plastických deformací, které se účinkem cyklování postupně mění. Oblast zbytkových pnutí, která vzniká v důsledku opakované lokální plastické deformace v okolí čela trhliny, dosud není plně vyvinuta. Důsledkem je relativně nižší uzavírací napětí op (resp. Kop) a tedy větší hodnota DKef , než za jinak shodných podmínek při větší délce trhliny v již stabilizovaném stavu. Orientační představu o míře vlivu tohoto faktoru si lze udělat na základě výsledků, získaných metodou konečných prvků [184], [185]: v daném případě délce trhliny a = ao (počáteční délka trhliny) odpovídala hodnota DKef přibližně dvakrát větší, než délce trhliny a  1,02 ao. V některých experimentálních pracích bylo prokázáno, že poměr U může být ovlivněn i dalšími, dosud neuvedenými faktory, např. tvarem tělesa, agresivitou prostředí, teplotou apod. - viz např. souhrnný článek [48]. Otevírání a uzavírání trhliny obecně závisí na časovém průběhu zatěžování. Veškeré dosavadní úvahy se týkaly jednoduchého zatěžování s konstantní amplitudou napětí. V případě složitějších zatěžovacích spekter může být proces otevírání a uzavírání trhliny výrazně ovlivněn nejen parametry jednotlivých cyklů, ale i jejich sousledností apod. Na základě koncepce uzavírání a otevírání trhliny lze původní obecnou závislost

v  vDK  převést do tvaru v  vDK ef  .

(11.25)

Ze vztahu (11.24) např. vyplývá, že dvě různě dlouhé únavové trhliny (a1  a2) se při různých zatěžovacích režimech (D1  D2, R1  R2,...) budou šířit stejnou rychlostí v1 = v2, bude-li splněna podmínka DKef,1 = DKef,2.

11.2.3 Experimentální sledování šíření únavové trhliny Základní vstupní informací, umožňující zkonstruování křivky závislosti v(DK), bývá v praxi nejčastěji soubor dvojic experimentálních dat typu (ai, Ni), kde ai je délka únavové trhliny odpovídající počtu cyklů Ni (i = 1, 2,..., n). Počet cyklů N (nebo jiný údaj časového charakteru) lze v laboratorních podmínkách odečíst přímo na počítadle zatěžovacího stroje. V okamžiku měření délky trhliny je obvykle třeba zatěžování přerušit, což může sledovaný únavový proces nežádoucím způsobem ovlivnit (viz např. [199]). Tento artefakt je třeba vzít v úvahu při analýze a interpretaci výsledků. Experimentální metody měření délky trhliny lze podle jejich fyzikální podstaty rozdělit do následujících skupin: - 218 -


1) Optické metody, patřící dosud pro svou jednoduchost a dostupnost k nejpoužívanějším, lze dále dělit na a) Přímé metody - pomocí lupy nebo optického mikroskopu a měřítka (mikrometrického šroubu) zjišťujeme přímo délku ústí trhliny na povrchu porušovaného tělesa (viz např. obr.11.21). V laboratorních podmínkách se sledovaný povrch vzorku obvykle nejdříve vyleští. V mnohých případech bývá užitečné na vyleštěném povrchu předem vyznačit rysky, které umožňují snadnější odečítání délek trhliny. b) Nepřímé metody - měření délky trhliny se provádí na replikách, sejmutých z povrchu porušovaného tělesa. Mezi nepřímé metody lze zahrnout rovněž metody fotografické (viz např. [49], [50]), při kterých se v průběhu zatěžování pořizuje záznam šíření trhliny na povrchu tělesa. Tento záznam se pak vyhodnocuje dodatečně. Výhodou této metody je trvalá dokumentace jednotlivých neopakovatelných stavů porušování tělesa s možností časově neomezeného, podrobného vyhodnocování, odděleného od vlastního únavového experimentu ve zkušebně.

Obr.11.21 – Aparatura pro přímé měření délky únavové trhliny na povrchu tělesa pomocí optického mikroskopu (laboratoř Vítkovice, a.s.). 2) Komplianční metody jsou založeny na vazbě mezi tuhostí (resp. její reciprokou hodnotou, tj. poddajností) tělesa s trhlinou a délkou trhliny. Pomocí tenzometrů se měří deformace zbylého nosného průřezu, která je délce trhliny úměrná: - 219 -


a) Měření deformace na zadní straně porušovaného tělesa. Při této variantě je tenzometr umístěn uprostřed zadní stěny tělesa, rovnoběžně se směrem zatěžování [51], [52]. V první fázi měření je třeba provést kalibraci závislosti délky trhliny na měřené deformaci. Tato závislost bývá v širokém rozsahu lineární. Vysoké citlivosti této metody lze s výhodou využít zvláště pro detekci iniciace a první fáze šíření únavových trhlin. Výstupního signálu z tenzometru lze navíc využít jako zpětnou vazbu pro řízení servohydraulických pulsátorů. Tímto způsobem lze např. provádět únavové zkoušky při konstantní hodnotě DK apod. [53]. b) Měření deformace v blízkém okolí čela trhliny. Způsob měření je obdobný jako u předchozí varianty. Tenzometry jsou však umístěny na boční stěně tělesa. c) Měření COD. Tato metoda je založena na vazbě mezi otevřením trhliny, měřeným na jejím ústí sponovým snímačem, a délkou trhliny (viz např. [54] až [57]). Před vlastním měřením je zapotřebí stanovit kalibrační křivku této závislosti, jejíž průběh je ovlivněn zejména tvarem a rozměry tělesa, elastickými vlastnostmi materiálu a velikostí a způsobem zatěžování tělesa s trhlinou. Vztah mezi COD a délkou trhliny a lze obecně vyjádřit ve tvaru Z (11.26) f a, W , B, ... , E´ kde Z představuje některý z parametrů kvantifikujících zatížení daného tělesa s trhCOD 

linou (tj. napětí , sílu F, ohybový moment M apod.) a E´ E


E ve stavu rovinné deformace. 1  2 Konkrétní analytické tvary funkcí (11.26) pro nejčastěji používaná zkušební tělesa E´

jsou uvedeny v příručkách [58] až [61]. Např. (podle [61]): 

těleso s centrální trhlinou, zatížení tahovým napětím , COD měřeno uprostřed tělesa

W a

2

3

4

5

6

a a a a a COD  4   0,065    0,241    3,76    6,63    4,93   E  W W  W  W  W  W   těleso s jednostrannou okrajovou trhlinou, zatížené ohybovým momentem

(čistý ohyb), COD měřeno na okraji ústí trhliny (vrubu) na boku tělesa 2 3   a a a 1,458  0,304    0,924     W M  W  W   COD  24 4 5 6 E BW  a a a  48,34    123,5    120,5     W  W   W  

- 220 -

 ,  M




standardní CT-těleso, namáhané excentricky tahovou silou F, COD měřeno na okraji ústí vrubu na boku tělesa

a   1 F  0,25   W 1  . COD  a  a E B    1 W  W 

2 2    1,6137  12,678 a  14,231  a     W W      3 4 5     16,610  a   35,050  a   14,494  a     W  W   W   

Při aplikaci této metody v praxi měříme v průběhu únavové zkoušky sponovým snímačem v daném místě tělesa hodnoty COD, které pak na základě inverze analytické funkce výše uvedeného typu či experimentálně stanovené kalibrační křivky pomocí vhodné numerické metody přepočteme na odpovídající relativní délku trhliny a W . 3) Elektrické odporové (resp. potenciálové) metody jsou založeny na vazbě mezi elektrickým odporem a nosným průřezem, jehož velikost je závislá na délce trhliny v tělese. Odpor s rostoucí délkou trhliny narůstá. Odpovídajícím způsobem se pak mění i potenciál, tj. napětí (viz např. [62]): a) Metoda využívající stejnosměrného proudu. Závislost odporu na délce trhliny je v počáteční fázi, kdy k sobě líce trhliny přiléhají, nelineární. Po oddálení lící trhliny se tato závislost linearizuje [63]. Trhlina při svém šíření narušuje potenciálové pole tělesa a odporová změna se při průchodu konstantního stejnosměrného proudu projeví jako změna potenciálu. Je-li těleso odizolováno od zatěžovacího zařízení, lze tyto změny potenciálu snímat, zesilovat a registrovat. Této metody se v praxi používá i pro detekci okamžiku iniciace únavové trhliny [64], [65]. Metoda je aplikovatelná nejen při zatěžování cyklickým tahem, ale i krutem [66], [67]. Problémem této varianty metody je však zmíněné odizolování sledovaného tělesa od zatěžovacího zařízení. b) Metoda využívající střídavého proudu. V tomto případě není třeba sledované těleso od zkušebního zařízení odizolovat [68]. Tato varianta metody měření je navíc i velmi citlivá [69]. U geometricky jednodušších těles navíc umožňuje sledovat změny tvaru a orientace čela únavové trhliny v jednotlivých fázích jejího šíření [70], [71]. Přes řadu výhod mohou být výsledky, získané touto metodou (obdobně jako metodou předchozí), negativně ovlivněny celou řadou rušivých faktorů. Důsledkem je obtížná interpretovatelnost a tedy i snížená přesnost naměřených dat. c) Použití povrchových snímačů. Tyto snímače mohou být složeny z řady elektricky vodivých elementů (drátků), které jsou při růstu únavové trhliny postupně porušovány. Tím dochází ke skokovým: změnám odporu snímače. Každá elementární

- 221 -


změna odporu, zaregistrovaná měřícím přístrojem, odpovídá přírůstku délky trhliny o vzdálenost dvou sousedních elementů snímače [49], [72]. Jiným typem povrchového snímače může být snímač foliový [73]. Tento snímač je přilepen na sledované těleso a porušuje se spolu s ním. Je zřejmé, že při použití povrchových snímačů lze (narozdíl od předchozích dvou variant elektrické potenciálové metody) detekovat pouze změnu délky ústí únavové trhliny na povrchu tělesa. 4) Ultrazvukové metody využívají odrazu signálu na nehomogenitě, kterou je v daném případě šířící se únavová trhlina. Velikost echa je přímo úměrná velikosti lomové plochy a tedy i délce trhliny [74]. Posouváme-li sondu zaměřenou na čelo trhliny v průběhu šíření trhliny tak, aby odražené echo mělo konstantní amplitudu, pak okamžitá poloha sondy udává délku trhliny [75]. Tato metoda umožňuje vyšetření celého čela únavové trhliny. Při interpretaci výsledků je však třeba počítat s negativním vlivem rušivých signálů. 5) Metody akustické emise umožňují sledovat šíření trhliny pomocí detekce napěťových vln, které rozvoj trhliny doprovázejí. Ke snímání emitovaných vln se používá piezoelektrických snímačů. Výstupní signál je po zesílení a zaznamenání možno frekvenčně a amplitudově analyzovat. Detekovaný signál se skládá ze dvou základních složek, kterými jsou kontinuální emise (odpovídající pohybu dislokací a procesu plastické deformace materiálu) a diskontinuální emise (tvořená většími elastickými vlnami, odpovídajícími mechanickým skokům trhliny) [76] až [78]. Pro sledování kinetiky šíření únavových trhlin se v praxi používá obou těchto složek (detekce kontinuální emise bylo použito např. v pracích [79] až [83], detekce diskontinuální emise např. v [76]). Aplikace metod akustické emise vyžaduje poměrně nákladné přístrojové vybavení. Vazba mezi detekovaným signálem a délkou únavové trhliny je negativně ovlivněna rušivými faktory (šum zkušebního stroje apod.). 6) Metody řádkovací elektronové mikroskopie, řádkovací akustické mikroskopie apod., umožňující průběžné sledování ústí únavové trhliny na povrchu tělesa. Výše uvedené členění vycházelo z fyzikální podstaty daných experimentálních metod. Jiné členění je možno provést podle charakteru (dimenze) oblasti, ze které se při měření čerpají informace. Podle tohoto kriteria lze experimentální metody dělit na povrchové a objemové. V případě povrchových metod se nesleduje pohyb celého čela únavové trhliny, ale nanejvýš jen obou jeho krajních bodů. Jsou-li takto získané délky trhliny považovány za charakteristické pro celý průřez tělesa, dochází často vzhledem k zakřivení čela trhliny k podhodnocení skutečného stavu (viz např. obr.5.38, 5.39 a 10.13). Naznačený problém je zvláště aktuální u těles větší tloušťky. Mezi povrchové metody lze z výše uvedeného přehledu

- 222 -


zařadit optické metody (1a, 1b), elektrické odporové metody používající povrchových snímačů (3c) a metody elektronové či akustické mikroskopie (6). V případě použití objemových metod jsou informace získávány z většího objemu materiálu, než u metod povrchových. Vzhledem k tomu, že skutečné čelo šířící se únavové trhliny uvnitř tělesa přímo sledovat nemůžeme, vycházejí všechny objemové metody z měření některé jiné (mechanické, elektrické atd.) veličiny, která na délce trhliny závisí. Délka trhliny je tedy měřena nepřímo. Ve většině případů je výsledkem měření "střední" délka trhliny, representativní pro celý průřez tělesa. Tato hodnota charakterizuje rozsah únavového poškození tělesa mnohem lépe, než data získaná pomocí metod povrchových. Společnou nevýhodou objemových metod (tj. metod 2a, 2b, 2c, 3a, 3b, 4 a 5 - viz výše uvedený přehled) je poněkud obtížnější interpretovatelnost výsledků, daná negativním působením celé řady faktorů, ovlivňujících průběh měření.

11.2.4 Stanovení rychlosti šíření únavové trhliny Primární soubor dvojic experimentálních dat (ai, Ni), i = 1, 2,..., n, je třeba převést na soubor dvojic typu (vi, ai), tj. na závislost rychlosti šíření únavové trhliny na její délce. Při výpočtu rychlosti šířeni únavové trhliny se v praxi používají následující numerické metody [84]: 1) Metoda sečná. Tato metoda je založena na výpočtu směrnice úsečky spojující dva sousední body experimentálně stanovené závislosti a = a(N): střední délce trhliny ai 

ai  ai 1 2

(i = 1, 2,..., n-1)

vi 

ai 1  ai N i 1  N i

(i = 1, 2,..., n-1).

(11.27) je přiřazena rychlost

(11.28)

Sečná metoda je pro svou jednoduchost v praxi nejpoužívanější. Výsledná závislost v(a), získaná touto metodou, však může být zatížena značným rozptylem dat - zvláště v případě výraznějšího lokálního zpomalování a zrychlování trhliny. Křivka této závislosti pak není dostatečně vyhlazena. 2) Metoda British Standards Institution (BS 00186:1991). Tato metoda je určitou modifikací předchozí sečné metody. Délce trhliny ai (i = 2, 3,..., n-1), je přiřazena rychlost šíření vi 

ai 1  ai 1 N i 1  N i 1

(i = 2, 3,..., n-1).

- 223 -

(11.29)


Výsledná závislost v(a) není v tomto případě zatížena tak velkými fluktuacemi jako v případě použití sečné metody v původní verzi. 3) Metoda ASTM (ASTM Standard E 647) [85]. Při použití této metody proložíme vždy k sousedními experimentálními body (ai, Ni), kde k je liché přirozené číslo, regresní funkci ve tvaru polynomu 2. stupně aN   c0i  c1i N  c2i N 2

k 1 k  3 k 1 k  1  , ,....., n  , n i  , 2 2 2 2  

(11.30)

kde coi, c1i a c2i jsou konstanty. Derivace funkce a(N) v bodě ai udává odpovídající rychlost šíření únavové trhliny vi, tj. vi  (da / dN ) a ai

k 1 k  3 k 1 k  1  , ,....., n  , n i  . 2 2 2 2  

(11.31)

V praxi se v současné době používá několika variant této metody, lišících se počtem k sousedních experimentálních bodů, které při výpočtu bereme v úvahu: Devítibodová (k = 9) a sedmibodová (k = 7) varianta se používá tehdy, je-li k dispozici rozsáhlejší soubor dvojic experimentálních dat typu (ai, Ni), i = 1, 2,..., n. Výsledná křivka závislosti v(a) je relativně hladká, což je vhodné zvláště v případech, kdy chceme získat obecnou makroskopickou charakteristiku únavových vlastností sledovaného materiálu. Pětibodová varianta (k = 5) má obdobné vlastnosti jako varianty předchozí. Lze ji však použít i v případě méně rozsáhlého souboru experimentálních dat (ai, Ni), i = 1, 2,..., n. Tato varianta umožňuje i detekci lokálního zrychlení či zpomalení růstu únavové trhliny. Tříbodová varianta (k = 3) může vést k tomu, že výsledná závislost v(a) bude zatížena značným rozptylem - pro obecnou makroskopickou charakteristiku únavového chování materiálu proto není příliš vhodná. Všechny výše uvedené metody stanovení závislosti rychlosti šíření na délce trhliny vycházely z experimentálních makroskopických dat typu (ai, Ni). Kvalitativně odlišnou metodou určování rychlosti šíření únavové trhliny je metoda fraktografická (viz např. [86], [87]). Tato metoda je aplikovatelná "ex post", tj. po zpřístupnění lomových ploch vytvořených šířením únavové trhliny v cyklicky zatěžovaném tělese. Typickým mikromorfologickým znakem únavových lomů celé řady konstrukčních materiálů jsou striace (viz např. obr.11.22, na kterém je detailní snímek únavového lomu niklové slitiny EI 437B [88], pořízený na řádkovacím elektronovém mikroskopu). Při kvantitativní fraktografické analýze únavových lomů se stanoví závislost rozteče striací s na délce trhliny a. Primárním souborem experimentálních dat jsou tedy v tomto případě dvojice (si, ai), i = 1, 2,..., n. - 224 -


Obr.11.22 – Striace – typický mikromorfologický znak únavových lomů. Rozteč striací si podává informace o lokální mikroskopické rychlosti šíření únavové trhliny v místě, definovaném délkou trhliny ai. Ztotožnit rozteč striací s s makroskopickou rychlostí šíření únavové trhliny v = da/dN obecně nelze. Vztah těchto veličin je dán rovnicí [89] v  Ds.

(11.32)

Součinitel D je funkcí rozkmitu faktoru intenzity napětí DK. V oblasti nižších hodnot DK, ve které se uplatňuje zejména odlišnost lokálního a makroskopického směru šíření a časově i prostorově nehomogenní postup čela únavové trhliny, nabývá součinitel D hodnot menších než l. V oblasti vyšších hodnot DK se kromě mechanismu tvorby striací uplatňují i další ("rychlejší") mikromechanismy šíření trhliny (tj. např. tvárný lom, interkrystalická dekoheze apod.), což vede k hodnotám D  1. Charakter závislosti D = D(DK) lze v praxi zjistit např. pomocí laboratorního experimentu na jednoduchých tělesech. Tuto závislost je z praktických důvodů užitečné přetransformovat na závislost D = D(s). V případě použití uvedené fraktografické metody tedy délce trhliny ai, při které byla na lomové ploše naměřena rozteč striací si, přiřazujeme mikroskopickou rychlost šíření

vi  Di  si

(i = 1, 2,..., n).

(11.33)

Fraktografická analýza únavových lomů může poskytnout informace nejen o závislosti délky trhliny na počtu cyklů (či na jiné časově vázané charakteristice zatěžování, tj. např. na počtu programových zatěžovacích bloků, počtu provozních hodin, počtu ujetých kilometrů, počtu letů apod.), ale i o současně probíhajících změnách tvaru a orientace celého čela trhliny v porušovaném tělese. Tato informace je důležitá zvláště v případě těles se složitější geometrií - 225 -


nosného průřezu. Výsledky kvantitativní fraktografické analýzy v těchto případech mohou poskytnout podklady, umožňující podrobný a přesný dvourozměrný popis průběhu šíření únavové trhliny, tj. např. stanovení závislosti porušeného nosného průřezu na počtu zatěžovacích cyklů apod. (viz např. [90] až [92]).

11.2.5 Oblast prahových hodnot DKp V první etapě šíření únavové trhliny má křivka závislosti rychlosti šíření únavové trhliny na rozkmitu faktoru intenzity napětí v = v(DK) v logaritmických souřadnicích konkávní charakter (viz obr.11.11). S klesající hodnotou DK se tato křivka asymptoticky blíží k tzv. prahové hodnotě DKp. Pro analytický popis závislosti v(DK) v etapě I se používá nejčastěji vztahu Klesnila a Lukáše [2]

v  A DK m  DK pm ,

(11.34)

kde A a m jsou materiálové konstanty. Teoreticky by hodnota DKp měla odpovídat nulové rychlosti šíření únavové trhliny (v = 0). Z praktického hlediska je však třeba zvolit určitou minimální, experimentálně detekovatelnou rychlost v  0 a jí odpovídající hodnotu DK považovat za smluvní prahovou hodnotu DKp. Z fyzikálního hlediska by byla vhodná volba smluvní rychlosti šíření v  10-10 m/cyklus, neboť lokální mikroskopický přírůstek délky trhliny za jeden cyklus nemůže být menší, než mřížkový parametr daného materiálu, tj. řádově 10-10 m. Z praktického hlediska je však rozhodující průměrná makroskopická rychlost šíření, která bývá ještě o několik řádů nižší. Vliv volby minimální rychlosti šíření únavové trhliny na velikost smluvní prahové hodnoty DKp lze ilustrovat následujícími údaji [93]: hodnota DK odpovídající rychlosti v = 10-10 m/cyklus je asi o (14 až 38)% větší, než hodnota DK odpovídající rychlosti v = 10-14 m/cyklus. Zvolíme-li však rychlost v = 10-11 m/cyklus, je již uvedená odchylka menší než 10%, což je z praktického hlediska přijatelný kompromis. Prahová hodnota DKp se zjišťuje experimentálně. Výsledek měření je ovlivněn celou řadou faktorů (DKp závisí např. na předchozí historii zatěžování, tj. na úrovni napětí  nebo deformace  - viz např. [94], na délce trhliny a, na parametru asymetrie cyklu R apod.). Obecně se proto doporučuje, aby se podmínky experimentu co nejvíce blížily podmínkám provozním. V laboratorní praxi se používá několika metod měření DKp, které se liší zejména způsobem změny zatěžování v průběhu experimentu, např. [95]:

- 226 -


a) pokles DK, Kmax i Kmin při zachování podmínky R = Kmin/Kmax = konst (tato metoda je doporučena normou ASTM E647-93 [85]), b) pokles DK a růst Kmin při zachování podmínky Kmax = konst, tj. R = Kmin/Kmax v průběhu měření roste, c) použití trhlin předcyklovaných v tlaku (tj. R > 1) s následným cyklickým zatěžováním v tahu (0 < R < 1), při kterém roste DK a Kmax a Kmin = konst. Výsledná hodnota DKp do jisté míry závisí na použité experimentální metodě: Nejčastější metodou měření DKp je metoda postupného snižování zatížení ad a). Pokles zatížení (resp. pokles faktoru intenzity napětí) může být řízen buď spojitě nebo po diskrétních krocích. Rychlost tohoto poklesu lze charakterizovat parametrem [96] C

1 d DK   [m 1 ] . DK da

(11.35)

1,0

0,8

0,6

D K/ D K o [1] 0,4

0,2 (a - a o ) [mm] 0,0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Obr.11.23 – Exponenciální pokles rozkmitu faktoru intenzity napětí DK při měření prahové hodnoty DKp. Je-li uvedený parametr konstantní (obvykle C = - 0,1 mm-1), pak DK exponenciálně klesá s rostoucí délkou trhliny a – viz obr.11.23, kde ao, resp. DKo, je výchozí délka trhliny, resp. výchozí hodnota rozkmitu faktoru intenzity napětí. Jak při poklesu zatížení, tak i při jeho následném opětovném růstu je měřena rychlost šíření únavové trhliny. Prahová hodnota DKp je dána rozkmitem faktoru intenzity napětí DK, při kterém rychlost šíření únavové trhliny poklesne pod určitou výše diskutovanou smluvní mez, tj. např. pod 10-11 m/cyklus. Odlišnou variantou této metody je experiment, při kterém je řízeným parametrem některá z veličin, charakterizujících deformaci tělesa s trhlinou, tj. např. tenzometricky měřená - 227 -


deformace na zadní stěně tělesa nebo otevření trhliny COD, měřené na jejím ústí pomocí sponového snímače. Z hlediska možnosti automatizace řízení únavového experimentu je tato varianta měření DKp jednodušší a výhodnější, než varianta původní. Při použití obou zmíněných variant této klasické metody měření však zůstává určitým problémem závislost měřené rychlosti šíření únavové trhliny (a tedy i výsledné prahové hodnoty DKp) na předchozí historii zatěžování (o této problematice podrobněji viz např. [94]). Metoda Klesnila a Lukáše [97] bere vliv historie předchozího zatěžování v úvahu. Je založena na předpokladu, že prahová hodnota rozkmitu napětí D, odpovídající prahové hodnotě DKp při dané délce trhliny a, je dána úrovní makroskopických a mikroskopických vnitřních pnutí v okolí čela trhliny. Tato tlaková pnutí, představující odpor proti následné plastické deformaci (a tedy i proti otevírání trhliny), určují podmínky, za kterých se trhlina nebude šířit. Úroveň těchto vnitřních pnutí je ovlivněna hodnotou DK, dosaženou při cyklickém zatěžování před vlastním měření prahové hodnoty DKp, tj. před řízeným poklesem zatížení. V souladu s uvedenými předpoklady byla experimentálně prokázána závislost prahové hodnoty DKp na výchozí úrovni DK. Tato závislost má v logaritmických souřadnicích lineární charakter (viz schematický graf na obr.11.24). Lze ji tedy analyticky vyjádřit ve tvaru

DK p  C p DK  , q

(11.36)

kde Cp a q jsou materiálové konstanty, resp. po substituci C p  DK pz 

1 q

q

 DK   . DK p  DK pz   DK  pz  

Obr.11.24 – Princip měření prahové hodnoty DKp podle metody Klesnila a Lukáše.

- 228 -

(11.37)


Nejnižší možná hodnota DKp, tj. tzv. základní prahová hodnota DKpz, na DK nezávisí a představuje vlastní odpor materiálu proti šíření trhliny. Hodnota DKpz se určí extrapolací z experimentálních dat - viz obr.11.24. Fyzikální zdůvodnění oprávněnosti této extrapolace však dosud chybí. Druhá materiálová konstanta, vystupující ve vztahu (11.37), tj. exponent q, roste s rostoucí pevností materiálu. Čím vyšší je tedy pevnost materiálu, tím výraznější je závislost

DKp na DK. Naopak u velmi tvárných materiálů je prahová hodnota DKp na DK prakticky nezávislá a platí DKp = DKpz. Další možností, jak se vlivu předchozího zatěžování vyvarovat, je použití zkušebních těles, která byla po nacyklování únavové trhliny ještě před vlastním měřením prahové hodnoty vyžíhána. V důsledku tohoto žíhání dojde k odstranění vnitřních pnutí. Soubor takto připravených těles se použije pro experiment, který je obdobný měření Wöhlerových S-N křivek - nezávisle proměnnou veličinou je však v tomto případě místo amplitudy napětí rozkmit faktoru intenzity napětí. Veličina, která je analogií meze únavy, pak udává prahovou hodnotu DKp. Obdobné zkoušky jsou však náročné jak z hlediska potřebného počtu zkušebních těles (minimálně cca 10 kusů), tak i z hlediska času, neboť jednotlivé experimenty končí až závěrečným dolomem. Dalším problémem je, že u některých materiálů (např. u většiny Al-slitin, u některých druhů ocelí apod.) je k plnému uvolnění zbytkových pnutí třeba dosáhnout tak vysokých teplot, že při nich dochází k trvalé změně mikrostruktury a tedy i vlastností původního materiálu. Prahová hodnota DKp (a tedy i šíření únavové trhliny v oblasti I - viz obr.11.14) je ovlivněna celou řadou faktorů [98], charakterizujících exploatační podmínky, za kterých k únavovému porušování dochází, vlastnosti materiálu, tvar a rozměry tělesa s trhlinou apod. Mezi nejvýznamnější faktory patří: a) Parametr asymetrie cyklu R, charakterizující v podstatě střední hodnotu napětí během zatěžovacího cyklu. Vliv parametru asymetrie cyklu R na šíření únavové trhliny v oblasti I a na prahovou hodnotu DKp je graficky znázorněn na symbolickém obr.11.25 (viz např. [93], [99]). S rostoucím R klesá prahová hodnota DKp a roste rychlost šíření únavové trhliny v. V literatuře existuje několik empirických vztahů, které závislost DKp(R) vyjadřují analyticky. Nejčastěji se používá vztahu Klesnila a Lukáše [100], [101], [102]

DK p R   1  R  DK po 

(11.38)

ve kterém DKpo označuje prahovou hodnotu rozkmitu faktoru intenzity napětí při parametru asymetrie cyklu R = 0 a  je konstanta, závislá na materiálu a na prostředí (0    1). Např. pro hliníkové slitiny [29] a perlitické oceli [103] se uvádí hodnota   1, pro oceli s vysokou - 229 -


pevností  = 0,71 [102], pro martenzitické oceli  = 0,53, pro austenitické oceli a mosaz 60/40

 = 0,25, pro feritické oceli   0 [103] apod. Čím více se  blíží hodnotě 1, tím více prahová hodnota DKp závisí na parametru asymetrie cyklu R a tím méně se mění odpovídající hodnota Kmax = DKp (1-R)-1. V těchto případech je tedy vhodnější prahové podmínky definovat pomocí "kritické" hodnoty Kmax [104], [105]. 1.00E-07 1.00E-08 R1 > R2 1.00E-09 v= 1.00E-10

DKp(R1)

1.00E-11

<

DK [MPa.m1/2]

1

10

Obr.11.25 - Symbolické znázornění vlivu parametru asymetrie cyklu R na prahovou hodnotu rozkmitu faktoru intenzity napětí DKp. Jinými příklady závislosti DKp(R) mohou být vztahy [106], [107] DK p R   DK po  b R ,

(11.39)

DK p R   DK po 1  c R  ,

(11.40)

kde b [MPa.ml/2], resp. c = b.DKpo-1 [1] jsou materiálové konstanty (např. u feritickoperlitických ocelí se hodnoty b pohybují v intervalu 3 až 13 MPa.m1/2 a hodnoty c v intervalu 0,4 až l, u martenzitických ocelí b = 1 až 8 MPa.ml/2 a c = 0,3 až 0,9 [106] apod.). Pravé strany rovnic (11.38), (11.39) a (11.40) jsou totožné v případě  = 1, b = DKpo a c = 1. Obdobný vztah

DK p R   DK po (1  R)

pro R  Rc,

DK p R   konst

pro R  Rc

(11.41)

navíc umožňuje respektovat skutečnost, že překročí-li parametr asymetrie cyklu R jistou kritickou hodnotu Rc, prahová hodnota DKp se již s dále rostoucím R prakticky nemění [108]. Z praktického hlediska se zdá být nejuniverzálnější vztah [109]

- 230 -


DK p R   DK po .

1,8

  2   1  R  1  R      4   1  R 1  R          neboť v něm nevystupuje žádná materiálová konstanta. 1 2

1 2

,

(11.42)

Na obr.11.26 jsou porovnány grafy závislostí DKp(R), odpovídající vztahům (11.38) pro

  0,25 a 0,53, (11.40) pro c = 0,3 a 0,9 a (11.42). Z poměrně značných rozdílů mezi jednotlivými funkcemi (prakticky shodné jsou pouze závislosti (11.42) a (11.38) pro   0,53) je zřejmé, že při výběru vhodného vztahu DKp(R) pro řešení konkrétního případu v praxi je třeba postupovat velmi obezřetně. Bez experimentálního ověření lze odhady DKp, založené na výše uvedených fenomenologických vztazích, považovat pouze za orientační. 1,0 0,9 0,8 (11.40) pro c = 0,3 0,7 (11.42) (11.38) pro  = 0,53

(11.40) pro c = 0,9 0,6 0,5

(11.38) pro  = 0,25

D K p / D K po

0,4 0,3 0,2 0,1

parametr asymetrie cyklu R [1]

0,0 0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

Obr.11.26 – Závislost poměru DKp/DKpo na parametru asymetrie cyklu R (DKpo = DKp(R=0)). b) Strukturní a mechanické vlastnosti materiálu, ovlivněné zejména chemickým složením a typem použitého tepelného zpracování. Nejvýznamnějším mikrostrukturním parametrem je rozměr zrna d. Charakter závislosti DKp(d) může být u různých materiálů odlišný nejen kvantitativně, ale i kvalitativně (viz např. [108], [110] až [112]). Např. u ocelí s nízkou pevností (Rp0,2  500 MPa), titanových slitin apod. prahová hodnota DKp s rostoucí

- 231 -


velikostí zrna d roste, zatímco u ocelí s vysokou pevností naopak klesá (viz např. [111]). Závislost DK p d  lze analyticky vyjádřit ve tvaru [113], [114], [115]

DK p d   C1  C2 d 1/ 2 ,

(11.43)

kde C1 a C2 jsou konstanty závislé nejen na materiálu, ale i na parametru asymetrie cyklu R (viz např. [93]). Dvouparametrickou závislost DKp(d,R) lze explicitně vyjádřit např. pomocí funkce

DK p d , R   1  R   C3  C4 d 1/ 2 ,

(11.44)

ve které C3 a C4 jsou materiálové konstanty. Základními mechanickými vlastnostmi materiálu, ovlivňujícími prahovou hodnotu DKp, jsou mez pevnosti Rm, resp. statická mez kluzu Rp0,2 či cyklická mez kluzu kc. V dostupným teoretickým i empirických vztazích má naznačená závislost charakter přímé úměry [186]. Příkladem může být tříparametrická závislost (viz graf na obr.11.27):

DK p d , R, Rm   Rm 6 d 1  R 

0.3

nebo [187]

(11.45)

DK p d , R, Rm   3.28   kc d 1  R  .

(11.46)

0,045 0,040 parametr asymetrie cyklu R = 0

0,035

R = 0,3 0,030

R = 0,5

DK p /R m [m1/2]

0,025

R = 0,7

0,020 0,015 0,010 0,005

rozměr zrna d [mm]

0,000 0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Obr.11.27 – Graf závislosti (11.45) prahové hodnoty DKp na rozměru zrna d, parametru asymetrie cyklu R a mezi pevnosti materiálu Rm. U nízkopevných ocelí a Ti-slitin podle Hallova-Petchova vztahu sice s klesajícím rozměrem zrna roste mez kluzu RP0,2 i mez únavy Dc, ale zároveň klesá odpor proti šíření únavové trhliny, charakterizovaný prahovou hodnotou DKp. U vysokopevných ocelí je z obou uvedených hledisek vhodnější jemnější struktura.

- 232 -


V literatuře lze nalézt analytické vztahy, kvantifikující korelaci mezi prahovou hodnotou

DKp a jinými mechanickými vlastnostmi materiálu. Příkladem může být lineární závislost DKp na modulu pružnosti v tahu E [116], [117], [108], Vickersově tvrdosti Hv [118], mezi kluzu Rp0,2 [115] apod. c) Prostředí (chemické složení, skupenství, agresivita apod.). Příklad vlivu prostředí (spolu s vlivem mikrostruktury materiálu, charakterizované zde implicitně typem tepelného zpracování) na prahovou hodnotu DKp hliníkové slitiny 7075 je uveden v tab.11.2. Je zřejmé, že s rostoucí agresivitou prostředí DKp klesá. Obdobná závislost byla experimentálně prokázána i u jiných typů slitin (viz např. [112]). Tabulka 11.2 – Závislost prahové hodnoty DKp na tepelném zpracování a prostředí pro hliníkovou slitinu 7075 (podle [93]).

Stav Nedostárnutý Optimálně stárnutý Přestárnutý Značně přestárnutý

Tepelné Rp0,2 DKp [MPa.m1/2] při R = 0,1 zpracování [MPa] vakuum vzduch dusík T 351 458 6,00 4,20 3,50 T 651 527 5,00 3,90 T 7351 470 2,70 3,20 2,00 234 3,00 2,10 -

d) Teplota. S rostoucí teplotou dochází u běžných konstrukčních materiálů obvykle k poklesu prahové hodnoty DKp a růstu rychlosti šíření únavové trhliny v = da/dN v oblasti I (obr.11.14) – viz např. [119]. e) Geometrické charakteristiky tělesa s trhlinou. Příkladem může být délka trhliny a (krátké trhliny se při vysokých úrovních D chovají jinak, než dlouhé trhliny při nízkých úrovních D, přestože odpovídající, formálně stanovená hodnota DK je v obou případech stejná - podrobněji viz následující odst.11.2.6), plocha trhliny A, tj. velikost lomové plochy (v práci [118] je uvedeno, že prahová hodnota DKp je úměrná A1/6), drsnost lomové plochy (s rostoucí drsností prahová hodnota DKp roste [117]), tloušťka tělesa B (experimentální výsledky uvedené v práci [112] naznačují, že menší tloušťce B odpovídá za jinak stejných podmínek větší prahová hodnota DKp) apod.

- 233 -


11.2.6 Problematika krátkých trhlin Jednou ze základních vlastností faktoru intenzity napětí by měla být geometrická invariantnost vůči délce trhliny. Tuto vlastnost lze velmi zjednodušeně (po zanedbání vlivu konečných rozměrů tělesa) ilustrovat tak, že je-li těleso A s trhlinou délky a zatěžováno napětím s rozkmitem D a těleso B s trhlinou délky a/4 zatěžováno napětím s rozkmitem 2D, je u obou těles stejný rozkmit faktoru intenzity napětí DK A  D  a 

12

12

 a  2D     4

 DK B ,

kvalitativně i kvantitativně stejné pole napětí v okolí čela trhliny a lze tedy očekávat i stejnou rychlost šíření trhliny v = da/dN. Experimentální výzkumy však prokázaly, že uvedená vlastnost má pouze omezenou platnost - objevil se problém tzv. krátkých trhlin. Protože faktor intenzity napětí neumožňuje dostatečně přesný popis pole deformací, vznikajících v okolí čela krátké trhliny při vysokých úrovních napětí, není pomocí něj ani možné zcela jednoznačně popsat šíření těchto trhlin. Tím je zpochybněna použitelnost poznatků lineární lomové mechaniky v této oblasti. Z hlediska lomové mechaniky je krátká trhlina pojem relativní, závislý zejména na úrovni napětí (resp. deformace) a na materiálu. Porovnáním chování klasické (tj. dlouhé) trhliny při nízkém rozkmitu napětí a krátké trhliny při vysokém rozkmitu napětí bylo zjištěno, že při formálně tomtéž DK je rychlost šíření krátké trhliny podstatně větší, než rychlost šíření dlouhé trhliny. Naznačený rozdíl je tím větší, čím větší je v případě krátké trhliny rozkmit napětí - viz schematický graf na obr.11.28 (podle [120]). Rychlost šíření krátké trhliny (tj. povrchové mikrotrhliny) výrazně závisí nejen na úrovni napětí (tj. na D a R), ale i na mikrostruktuře materiálu. Čím vyšší je úroveň napětí v kritickém místě, tím větší je plastická deformace v povrchovém zrnu materiálu a tím větší rychlostí se trhlina v tomto zrnu šíří. Počáteční postupný pokles rychlosti v (viz obr.11.28 a 11.29) je způsoben interakcí čela únavové trhliny s první podpovrchovou hranicí zrn. Rychlost šíření povrchové mikrotrhliny je minimální, je-li její délka (resp. hloubka) a rovna rozměru zrna d, tj. a = d [110], [121] - viz obr.11.28. Při nižších úrovních napětí (  c = mez únavy) může na hranicích zrn dojít i k zastavení trhliny (viz obr.11.28 vlevo). V tomto případě není lokální napětí v okolí hranice zrn dost velké k tomu, aby došlo k reiniciaci únavové trhliny v sousedním zrnu. Je-li naopak úroveň napětí relativně vysoká (  c), závisí na vlastnostech hranice zrn, na orientaci mikrotrhliny vůči této hranici apod. Trhlina prochází hranicí zrn

- 234 -


plynule, prorůstá do dalších podpovrchových zrn a začíná se postupně chovat jako dlouhá trhlina (obr.11.28).

Obr.11.28 – Vliv rozkmitu napětí D na závislost v = v(a, resp. DK).

Obr.11.29 – Vliv velikosti zrna d na závislost v = v(a, resp. DK).

Je zřejmé, že závislost rychlosti šíření krátkých trhlin na jejich délce a (resp. na formálně stanoveném rozkmitu faktoru intenzity napětí DK) se skládá ze dvou kvalitativně odlišných větví (viz obr.11.28 a 11.29): 1) V první (klesající) větvi této závislosti je rozhodující plastická deformace povrchových zrn a vliv trhliny jako vrubu je zanedbatelný. Zákonitosti lineární lomové mechaniky v této oblasti

neplatí

a

nelze

ji

proto

použít.

Rychlost

šíření

krátké

únavo-

vé trhliny da/dN lze v této oblasti vyjádřit ve tvaru [122] da 1  C a  d  a  , pro a < d, dN

(11.47)

kde d [m] je velikost zrna (resp. obecněji strukturní parametr), a [m] je délka trhliny, C [1] je konstanta závislá na rozkmitu smykové deformace (a tedy i na rozkmitu smykového napětí a na elastických konstantách materiálu) [123] a exponent  [1] je empirická konstanta, která může nabývat kladných i záporných hodnot blízkých 0 (viz např. [124]: – 0,27    0,08). Závislost rychlosti šíření krátké únavové trhliny da/dN na poměru délky této trhliny a velikosti zrna a/d je graficky znázorněna na obr.11.30.

- 235 -

11. VYUŽITÍ LOMOVÉ MECHANIKY PŘI STUDIU ŠÍŘENÍ ÚNAVOVÝCH TRHLIN _________________________________________________________________________________________ 3

RYCHLOST ŠÍŘENÍ KRÁTKÝCH TRHLIN 2,5

2

 = - 0,25 1,5

- 0,15

- 0,05

1

(da/dN )/(C.d ) [1]

+ 0,05

0,5

a/d [1]

0 0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

Obr.11.30 – Závislost rychlosti šíření krátké únavové trhliny da/dN na poměru délky této trhliny a velikosti zrna d/a (pro a < d) - viz vztah (11.47). 2) V druhé, stoupající (a > d) větvi začíná vrubový účinek trhliny hrát významnou roli. Obdobně jako u dlouhých trhlin je rozhodující plastická zóna na čele trhliny. Šíření únavové trhliny přestává být ovlivněno lokálními podmínkami na povrchu tělesa a začíná se řídit zákonitostmi lineární lomové mechaniky [121], které lze vyjádřit analyticky např. vztahem Klesnila a Lukáše (11.34). Prahová hodnota DKp je u krátkých trhlin menší, než u trhlin dlouhých. V případě, že by hodnota DKp byla konstantní (tj. stejná pro krátké i dlouhé trhliny), musela by odpovídající prahová hodnota rozkmitu napětí Dp i u krátkých trhlin vyhovovat vztahu D p 

 a 

DK p

1/ 2

f a / W ,...

.

Experimentálně však bylo prokázáno, že u krátkých trhlin je Dp nižší. - 236 -

(11.48)


Hodnota Dp v podstatě představuje mez únavy tělesa s trhlinou [125]. Závislost meze únavy na délce trhliny lze vyjádřit pomocí tzv. Kitagawova diagramu (viz obr.11.31 - podle [126]). V oblasti a  ao mez únavy na délce trhliny nezávisí, tj. platí Dp = Dc = konst.

Obr.11.31 – Kitagawův diagram závislosti prahové hodnoty Dp na délce únavové trhliny. V oblasti a > ao mez únavy tělesa s rostoucí délkou trhliny klesá. Zanedbáme-li vliv konečných rozměrů tělesa (což lze tehdy, jsou-li rozměry tělesa podstatně větší než délka trhliny a), blíží se graf závislosti meze únavy na délce trhliny v logaritmických souřadnicích asymptoticky k přímce se směrnicí - 0,5. Naznačená závislost vyplývá ze vztahu (11.48), dosadíme-li za tvarovou funkci f(a/W,...) = 1. V případě dlouhých trhlin platí DKp = konst a mez únavy Dp tedy klesá s druhou odmocninou délky trhliny a, tj.

D p  a 1/ 2 .

(11.49)

Kitagawův diagram, uvedený na obr.11.31, lze převést na závislost prahové hodnoty rozkmitu faktoru intenzity napětí DK ´p na délce trhliny a pomocí vztahu (11.48). Obecný charakter závislosti DK ´p a  je zřejmý z grafu, uvedeného na obr.11.32: s rostoucí délkou trhliny a prahová hodnota rozkmitu faktoru intenzity napětí postupně narůstá a graf závislosti

DK ´p a  se asymptoticky blíží k přímce, charakterizující nezávislost DKp na délce trhliny a u dlouhých trhlin. Analyticky lze závislost prahové hodnoty rozkmitu faktoru intenzity napětí na délce trhliny, uvedenou na obr.11.32, vyjádřit ve tvaru [125] 1/ 2

  a  DK p    a  ao  Ao 

DK p .

(11.50)

Pro dlouhé trhliny, tj. pro a  (Ao - ao), ze vztahu (11.50) vyplývá DK ´p  DK p . - 237 -


Obr.11.32 – Kitagawův diagram závislosti prahové hodnoty DK ´p na délce únavové trhliny. Formální (matematický) význam hodnot ao a Ao je zřejmý z obr.11.31 a 11.32. Z fyzikálního hlediska lze ao považovat za strukturní parametr. Závěry práce [125] např. naznačují korelaci ao a velikosti zrna d.

Obr.11.33 – Rozměry povrchové semieliptické trhliny. Hodnotu Ao můžeme analyticky stanovit ze vztahu

DK p  D p  a 

1/ 2

f a / b, a / B,... ,

(11.51)

kde f(a/b;a/B;...) je tvarová funkce pro semieliptickou povrchovou mikrotrhlinu (viz obr.11.33), dosadíme-li za Dp = Dc (tj. mez únavy hladkého tělesa) a za a = Ao, tj.

DK p  D c  Ao 

1/ 2

f  Ao / b, Ao / B,...,

(11.52)

odkud 2

DK p  1 Ao   .   D c f  Ao / b, Ao / B,... - 238 -

(11.53)


Zanedbáme-li vliv geometrie tělesa s trhlinou, tj. položíme-li f(Ao/b, Ao/B,...) = 1, pak ze vztahu (11.53) vyplývá např. pro nízkouhlíkovou ocel (DKp = 6 MPa.ml/2, Dc = 210 MPa) hodnota Ao = 0,26 mm, pro tepelně zpracovanou chromniklovou ocel (DKp = 6 MPa.ml/2,

Dc = 480 MPa) hodnota Ao = 0,05 mm apod. [127]. Experimentálně stanovené hodnoty Ao leží obvykle v intervalu (d, 10 d), kde d je rozměr zrna materiálu [128]. Je-li splněna nerovnost a > 4Ao, lze danou trhlinu považovat za dlouhou [190] a k popisu jejího šíření lze použít zákonitostí lineární lomové mechaniky, tj. např. K-faktoru.

Praktický příklad 11.1

Odhad kritických rozměrů eliptické povrchové trhliny v listové pružině nákladního automobilu

Při rozboru poruch nákladních automobilů bylo prokázáno, že jednou z nejčastějších a nejzávažnějších poruch je lom listových pružin [129]. Tyto pružiny jsou v provozu namáhány cyklickým ohybovým napětím. Kritickým místem listové pružiny je střed spodní strany, kde je tahové napětí maximální (D = 400 MPa, R = 0,53).

Obr.11.34 – Schéma únavové zkoušky - segmenty listových pružin byly namáhány opakovaným čtyřbodovým ohybem. Fraktografická analýza lomů těchto pružin porušených při únavových zkouškách simulujících provozní podmínky [130] (viz schéma na obr.11.34) prokázala, že primární příčinou všech lomů byla únavová trhlina, iniciovaná na spodní (tj. tahové) straně pružinového listu [131], [132]. K iniciaci těchto trhlin došlo na povrchových mikrovrubech technologického původu. Povrchová únavová trhlina semieliptického tvaru se během cyklického zatěžování postupně zvětšovala, až dosáhla rozměrů, odpovídajících při daných parametrech zatěžování lomové houževnatosti materiálu. Po ztrátě stability trhliny došlo k statickému, křehkému dolomení zbylého nosného průřezu - viz obr.11.35. Vzhledem k charakteru provozu je zřejmé, že k zajištění požadované životnosti listových pružin, a tím i spolehlivosti celého nákladního automobilu, je zapotřebí odstranit primární příčinu lomů, tj. zabránit šíření únavových trhlin. Odpor materiálu vůči vzniku a šíření

- 239 -


únavové trhliny je dán prahovou hodnotou rozkmitu faktoru intenzity napětí DKp. Pružinové listy se vyrábějí z oceli 14 260, vyznačující se vysokou statickou pevností (Rm = 1600 MPa) a vysokou mezí kluzu (Rp0,2 = 1450 MPa). Z dostupných pramenů se podařilo zjistit prahovou hodnotu amplitudy faktoru intenzity napětí Kap, naměřenou na vzorcích z oceli 14 260 při střídavém cyklickém zatěžování (tj. při parametru asymetrie cyklu R = -1): Kap(R = - 1) = 3,38 MPa.ml/2 [133]. Odhad prahové hodnoty DKp pro předpokládanou provozní hodnotu R = 0,53 provedeme pomocí vztahu (11.38). Z tohoto vztahu vyplývá, že poměr prahové hodnoty DKp1, odpovídající parametru asymetrie cyklu R1, a prahové hodnoty DKp2, odpovídající parametru asymetrie cyklu R2, je dán vztahem DK p1 DK p 2



 1  R2   .   1  R1 

Z uvedeného vztahu po dosazení za R1 = -1, DKp1 = 2Kap1 = 2.3,38 = 6,76 MPa.m1/2, R2 = 0,53 a  = 0,53 [103] vyplývá odhad prahové hodnoty DK p 2

 1  0,53   DK p R  0,53  6,76   1   1

0,53

 3,14 MPa.m1 / 2 .

Obr.11.35 – Snímek lomové plochy listové pružiny. Nahradíme-li pro zjednodušení skutečný průřez pružinového listu (viz obr.11.35) obdélníkem o rozměrech (20 x 120) mm, lze rozkmit faktoru intenzity napětí DK, charakterizující stav napjatosti v tělese s povrchovou semieliptickou trhlinou délky 2b a hloubky a (viz obr.11.33), vyjádřit pomocí obecného vztahu DK  D  a 

1/ 2

f a / b, a / B  .

Tvarová funkce f(a/b; a/B) je v případě ohybového namáhání dána vztahem [61] f(a/b; a/B) = 1,1359 - 0,3929 a/b - 0,344 (a/b)2 + 0,2613 (a/b)3 + + a/B [-1,5184 + 0,4178 a/b + 0,7846 (a/b)2 - 0,6329 (a/b)3] + + (a/B)2 [4,3721 - 13,9152 a/b + 16,255 (a/b)2 - 6,4894 (a/b)3] + + (a/B)3 [-3,9502 + 12,5334 a/b - 14,6137 (a/b)2 + 5,811 (a/b)3].

- 240 -


Označme rozměry trhliny, odpovídající prahové hodnotě DKp(R) při rozkmitu napětí D symboly ac a bc, tj.

DK p R   D  ac 

1/ 2

f ac / bc , ac / B .

Dosadíme-li do uvedeného vztahu parametry, charakterizující předpokládané provozní cyklické napětí (tj. D = 400 MPa, R = 0,53) a odhadnutou prahovou hodnotu

DKp2 = DKp(R = 0,53) = 3,14 MPa.ml/2, lze vypočítat odpovídající kritické rozměry trhliny ac a bc. Numerické řešení vede v daném případě k hodnotám ac a bc řádově 0,01 až 0,1 mm (viz obr.11.36). Tyto rozměry jsou srovnatelné s velikosti povrchových mikronerovností technologického původu, nalezených na tahové straně pružinových listů. Je tedy zřejmé, že při daných zatěžovacích podmínkách (D, R) má použitá pružinová ocel 14 260 velmi malou odolnost vůči šíření únavových trhlin. 0,14 0,12 kritické rozměry ac, bc [mm]

bc

0,10 0,08 0,06 0,04

ac 0,02 elipticita povrchové trhliny a/b [1]

0,00 0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

Obr.11.36 – Kritické rozměry povrchové semieliptické trhliny ac a bc. Vzniklý problém lze obecně řešit buď konstrukční úpravou, vedoucí ke snížení úrovně cyklického napětí v kritickém místě pružinového listu, nebo technologickou úpravou, umožňující zvýšení prahové hodnoty DKp. V daném konkrétním případě jsou z praktického hlediska přijatelnější úpravy technologické, spočívající buď ve volbě jiného materiálu (resp. v optimalizaci tepelného zpracování materiálu stávajícího), nebo ve zkvalitnění povrchové úpravy tahové strany pružinových listů (např. tryskáním za vhodně zvolených podmínek lze vyvolat podpovrchová tlaková pnutí, která budou dostatečná pro zastavení případných únavových mikrotrhlin, iniciovaných na povrchu). - 241 -


11.2.7 Oblast platnosti Parisova vztahu (II) Střední část křivky závislosti v = v(DK), vyjádřené v logaritmických souřadnicích, má obvykle lineární charakter - viz obr.11.11. V této oblasti lze tedy závislost v = v(DK) vyjádřit analyticky pomocí Parisova vztahu [134] v  C DK  , n

(11.54)

který díky své jednoduchosti nalezl v praxi široké uplatnění. Parametry tohoto vztahu, tj. konstantu C a exponent n, lze snadno určit matematicko-statistickým zpracováním (lineární regresní analýzou) souboru dvojic vzájemně si odpovídajících experimentálních dat (DKi, vi), i = 1, 2,..., k. V odstavci 11.2.1 jsme uvedli přehled hlavních faktorů, které obecně ovlivňují šíření únavových trhlin. Vlivu nejdůležitějších z těchto faktorů na rychlost šíření únavové trhliny v oblasti II se nyní věnujeme podrobněji. a) Parametry zatěžovacího režimu Dominantním faktorem, ovlivňujícím šíření únavové trhliny, je rozkmit napětí D. S rostoucím D roste DK a tedy i rychlost šíření únavové trhliny v = da/dN. 1,00 KOROZIVZDORNÁ OCEL AISI 304L

v [mm/cyklus]

R = 0,6 R = 0,3 R = 0,05

0,10 CCT tělesa B = 3 mm 2W = 56 mm T = 20°C f = 10 Hz

D K [MPa.m1/2] 0,01 10

100

Obr.11.37 – Příklad vlivu asymetrie cyklu na závislost v(DK) (podle [191]). - 242 -


Vliv parametru asymetrie cyklu R je v oblasti II kvalitativně obdobný jako v oblasti prahových hodnot I (tj. s rostoucím R obvykle rychlost šíření únavové trhliny v roste), ale je méně výrazný. Citlivost na asymetrii cyklu je u jednotlivých konstrukčních materiálů různá závisí nejen na chemickém složení slitiny, ale i na jejím tepelném zpracování. Materiály křehčí (tj. s nižší lomovou houževnatostí Kc) bývají na vliv parametru asymetrie cyklu R citlivější, než materiály houževnatější (viz např. [135]). Příklad závislosti v = v(DK, R) pro korozivzdornou ocel 304L je uveden na obr.11.37 (podle [191]). Obdobný charakter má tato závislost i pro jiné konstrukční materiály – viz např. [136], kde jsou uvedeny výsledky únavových zkoušek těles ze slitiny Ti6Al4V pro parametr asymetrie cyklu v širokém intervalu -5 ≤ R ≤ 0,7. Analyticky lze závislost v(R) vyjádřit pomocí efektivní hodnoty rozkmitu faktoru intenzity napěti DKef. Ze vztahů (11.15) a (11.54) vyplývá

v  C1 DK ef  , n

(11.55)

kde C1  C [U R ]  n . Je zřejmé, že vztah (11.55) je zobecněnou modifikací původní verze Parisova vztahu (11.54).

Obr.11.38 – Sjednocení experimentálních dat odpovídajících různým hodnotách parametru asymetrie cyklu R pomocí DKef. Na schematickém obr.11.38 je graficky porovnána závislost v(DK) se závislostí v(DKef) pro dvě různé hodnoty parametru asymetrie cyklu R1 a R2 (R1  R2). Zatímco v případě v(DK) bylo třeba oba soubory experimentálních dat zpracovat odděleně, v případě v(DKef) bylo možno tatáž data zpracovat jako soubor jediný. V interakci s vlivem prostředí a teplotou může do určité míry rychlost šíření únavové trhliny ovlivňovat i frekvence zatěžováni f. S rostoucí frekvencí obvykle rychlost šíření - 243 -


únavové trhliny za jinak stejných podmínek mírně klesá (viz např. [137],[138]). Příklad závislosti v(DK, f) je uveden na obr.11.39 (podle [137]). Analyticky lze závislost v(DK, f) vyjádřit ve tvaru (viz [137] až [141]) v  C2 f   DK  , n

(11.56)

kde 0    1 je materiálová konstanta (např. pro Al-slitinu 2024-T3 bylo stanoveno  = 0,08 až 0,09, pro ocel  = 0,12 až 0,14 [137], pro práškovou slitinu Udimet 720Li při 650C  = 0,38 [141] apod.). Míra ovlivnění rychlosti šíření únavové trhliny změnou zatěžovací frekvence je graficky znázorněna na obr.11.40. Naznačenou skutečnost je třeba vzít v úvahu např. při aplikaci laboratorních výsledků, naměřených při podstatně vyšší frekvenci, v praxi. 4,0 VLIV FREKVENCE NA RYCHLOST ŠÍŘENÍ ÚNAVOVÉ TRHLINY

3,5 v 2 /v 1 = (f 1 /f 2 )

3,0

  0,15

2,5

  0,10

2,0

1,5

  0,05 f 1 /f 2

1,0 1

Obr.11.39 – Příklad vlivu frekvence zatěžování f na v(DK).

10

100

1 000

10 000

Obr.11.40 – Vliv změny frekvence na změnu rychlosti šíření únavové trhliny podle (11.56).

Naznačený vliv frekvence zatěžování f na rychlost šíření únavové trhliny v je však omezen jistou mezní hodnotu fmc, tj. platí pouze pro frekvence, splňující podmínku f  fmc. Nad touto mezní hodnotou je již vliv frekvence zanedbatelný [141]. Mezní hodnota fmc závisí na materiálu, na DK (s rostoucím DK hodnota fmc klesá), na parametru asymetrie cyklu R, na teplotě T a na prostředí. S ohledem na uvedené omezení lze vztah (11.56) přepsat do tvaru 

f  n v  C3  mc  DK  , pro f  fmc.  f  - 244 -

(11.57)


b) Tvarové a rozměrové charakteristiky tělesa s trhlinou Vliv některých rozměrů tělesa (např. šířky W, délky L atd.) a rozměrů trhliny (např. její délky či hloubky a apod.) je prostřednictvím tvarové funkce zahrnut již do výpočtu DK. Rychlost šíření únavové trhliny je však též závislá i na tloušťce tělesa B (viz např. [142], [143]). Příklad závislosti v(DK, B) je uveden na obr.11.41 (podle [143]). 100 SLITINA AlCu4Mg1

B = 5 mm B = 3 mm B = 2 mm

10

1 v [mm/cyklus] 0,1

0,01

D K [MPa.m1/2] 0,001 1

10

100

Obr.11.41 – Příklad vlivu tloušťky tělesa B na závislost v = v(DK). Rychlost šíření únavové trhliny je funkcí DK ef  U DK (viz vztah (11.14)), přičemž poměr U závisí mimo jiné i na faktoru stísnění  a tedy i na tloušťce tělesa B – viz vztahy (11.15) a (11.22) [144], [47]. V paragrafu 11.2.2 jsme uvedli, že s klesající tloušťkou tělesa B klesá za jinak stejných podmínek faktor stísnění , což vede k většímu uzavírání trhliny a tedy k poklesu poměru U. Důsledkem snížení hodnoty DKef je i nižší rychlost šíření únavové trhliny da/dN. Vliv tloušťky tělesa na rychlost šíření únavové trhliny souvisí dále se vznikem a rozvojem smykových okrajů na lomu podél bočních stěn tělesa - v případě jejich nepřítomnosti vliv tloušťky prokázán nebyl [192]. Naznačená vazba je vysvětlována tak, že v důsledku existence smykových okrajů dojde k prodloužení čela trhliny (a tedy ke zvětšení nového volného - 245 -


povrchu, tj. lomové plochy) a tím i ke snížení efektivní hodnoty DKef a tedy i rychlosti šíření únavové trhliny. Se vznikem smykových okrajů dochází k přechodu od čistě takového módu I ke smíšenému módu porušování (obecně I+II+III) – podrobněji viz [193]. c) Materiál Rychlost šíření únavové trhliny (a tedy i parametry Parisova vztahu C a n) závisí nejen na chemickém složení slitiny, ale i na jejím tepelném zpracování (tj. na struktuře materiálu, charakterizované nejčastěji velikostí zrna, na obsahu nečistot apod.). Např. v práci [145] jsou porovnány závislosti v(DK) pro slitinu AlCuMg (2014) s různým tepelným zpracováním a pro obdobnou slitinu s přídavkem lithia, tj. AlLiCuMg. Z dosažených výsledků je zřejmé, že jako nejlepší se z hlediska odporu proti šíření únavové trhliny jeví nedostárnutý stav slitiny AlCuMg. K dalšímu poklesu rychlosti šíření únavové trhliny pak dochází přídavkem Li. Rozdíl mezi AlCuMg a AlLiCuMg s rostoucím DK klesá. Zlepšení únavových vlastností spolu s 10% snížením hustoty a 8% zvýšením modulu pružnosti v tahu naznačuje potenciální možnosti využití slitin typu AlLiCuMg v praxi (zejména v leteckém průmyslu). 10,0000

SLITINA AlCu4Mg1 0.11% Fe, 0,12% Si 0.33% Fe, 0,24% Si 0.06% Fe, 0,10% Si

1,0000

v [mm/cyklus]

0,1000

0,0100

0,0010

DK [MPa.m1/2] 0,0001 4

5

6

7 8 9 10

20

Obr.11.42 – Vliv obsahu nečistot (Fe a Si) na závislost v(DK) u slitiny AlCu4Mg1. - 246 -


Z obr.11.42 je zřejmý negativní vliv obsahu nečistot v duralu (tj. AlCu4Mg1) na rychlost šíření únavové trhliny [147],[194] - čím nižší je obsah Fe a Si, tím lepší jsou únavové vlastnosti dané konstrukční slitiny. Rychlost šíření únavové trhliny klesá s rostoucí velikostí zrna – viz např. [104] (titanové slitiny) a [146] (Ni-slitina za zvýšené teploty). Citlivost na velikost zrna přitom s rostoucím rozkmitem faktoru intenzity napětí DK klesá. Naznačená závislost však zcela obecně neplatí u některých jiných slitin může být vliv velikosti zrna kvalitativně odlišný, tj. opačný.

Obr.11.43 – Příklad vlivu snížené teploty T na závislost v = v(DK) (podle [111]). d) Teplota Za normálních a zvýšených teplot je obvykle rychlost šíření únavové trhliny úměrná velikosti plastické zóny na jejím čele. Roste-li teplota, klesá mez kluzu materiálu a velikost plastické zóny se zvětšuje. Důsledkem je, že s rostoucí teplotou T rychlost šíření únavové trhliny v za jinak stejných podmínek roste (viz např. [104]). Závislost v(DK, T) lze analyticky vyjádřit ve tvaru [140], [148] v  C4 e Q / kT DK  , n

(11.58)

kde Q  Qo  g  ln DK  je aktivační energie pro šíření trhlin (závislá na DK) a k je plynová konstanta. - 247 -


Naznačený charakter závislosti rychlosti šíření únavové trhliny na teplotě však neplatí zcela univerzálně. Při výše uvedených úvahách jsme vycházeli z implicitního předpokladu, že mikromechanismus šíření únavové trhliny se v důsledku změny teploty kvalitativně nemění. Není-li však tento předpoklad splněn, může mít závislost rychlosti šíření únavové trhliny na teplotě odlišný charakter. Příkladem může být závislost v(DK, T) pro binární slitinu Fe-2,4Si [111], uvedená na obr.11.43: Při poklesu teploty z +23C na -40C se tato slitina chová v souladu s předchozím popisem - dochází k výraznému poklesu rychlosti šíření únavové trhliny a k růstu meze kluzu materiálu. Při dalším poklesu teploty na -100C a na -150C však naopak rychlost šíření únavové trhliny roste - a to i přesto, že mez kluzu materiálu dále vzrůstá. Tuto skutečnost lze vysvětlit tak, že tyto teploty jsou nižší, než přechodová teplota, při které dochází ke zkřehnutí materiálu. Větší rychlosti šíření únavové trhliny při nižších teplotách tedy souvisejí se změnou houževnatého (z fraktografického hlediska tvárného) lomu na křehký (štěpný) lom.

Obr.11.44 – Schematické znázornění mechanismů porušování v případě současného působení napětí a agresivního prostředí [149]. e) Prostředí Rychlost šíření únavové trhliny roste rovněž s rostoucí agresivitou prostředí (tj. např. s rostoucí vlhkostí vzduchu, s rostoucí kyselostí prostředí, s rostoucím obsahem solí v tekutém prostředí apod.). Působení agresivního prostředí na růst únavové trhliny je výsledkem složité interakce vlivu různých chemických, mechanických a metalurgických faktorů (viz např. souhrnný článek [198]). Procesy porušování, při kterých je podkritický růst trhliny ovlivňován agresivitou prostředí, lze obecně rozdělit do tří základních skupin: a)

únava za koroze (angl. „corrosion fatigue“),

b) vodíkové zkřehnutí (angl. „hydrogen embrittlement“) - tento mechanismus porušování je ovlivněn zejména metalurgickými faktory a pevnosti materiálu), - 248 -


c)

koroze pod napětím, resp. korozní praskání (angl. „stress-corrosion“) - tento mechanismus je ovlivněn zejména elektrochemickými procesy, probíhajícími na čele trhliny. Zatímco k únavě za koroze dochází pouze při cyklickém zatěžování, k vodíkovému

zkřehnutí a korozi pod napětím dochází i při statickém zatížení tělesa. V praxi často dochází ke kombinaci uvedených základních mechanismů (viz schéma na obr.11.44 podle [149]), přičemž míra uplatnění jednotlivých mechanismů závisí na charakteristikách zatěžování zejména na parametru asymetrie cyklu R a na frekvenci zatěžováni f.

Obr.11.45 – Vodíkové zkřehnutí (superpozice vlivů).

Obr.11.46 – Koroze pod napětím Obr.11.47 – Kombinace (interakce vlivů). mechanismů.

Na podílu, jakým se jednotlivé mechanismy podílejí na procesu porušování, pak závisí charakter vlivu prostředí na rychlost šíření únavové trhliny. V praxi můžeme rozlišit dva základní typy této závislosti (viz obr.11.45 a obr.11.46): V prvním případě (obr.11.45) dochází k uplatnění vlivu prostředí až od určité "prahové" hodnoty faktoru intenzity napětí, označované KISCC (SCC = stress corrosion cracking) nebo obecněji KIEAC (EAC = environment assisted cracking) [104]. V tab.11.3 jsou jako příklady uvedeny hodnoty KIEAC (KISCC) pro některé konkrétní konstrukční slitiny. Jedna z metod používaných při určování této charakteristiky je např. popsána v [197]. Výsledná rychlost šíření trhliny je dána součtem rychlosti šíření trhliny při odpovídajícím statickém napětí v daném agresivním prostředí a rychlostí šíření únavové trhliny při daném cyklickém zatěžování v inertním prostředí. V tomto případě k výraznější interakci vlivu agresivního prostředí a únavového porušování nedochází. Konkrétním příkladem může být působení plynného vodíku na oceli, vedoucí k vodíkovému zkřehnutí (viz průnik A na obr.11.44). - 249 -


Tabulka 11.3 – Příklady kritických hodnot KIEAC pro různé materiály a různá prostředí. Materiál

Prostředí

Al-slitina 2024-T351 Al-slitina 2024-T852 Al-slitina 7075-T6 Al-slitina 7075-T7351 Ocel 18Ni(300)-maraging CrNiMo ocel 4340 Korozivdorná ocel 300M Ti-slitina Ti-6Al-4V Ti-slitina Ti-8Al-1Mo-1V Ti-slitina Ti-8Al-1Mo-1V

3,5% NaCl mořská voda 3,5% NaCl 3,5% NaCl roztok NaCl roztok NaCl 3,5% NaCl 3,5% NaCl 3,5% NaCl voda

Rp0,2 [MPa] 325 370 505 360 1 960 1 335 1 735 890 745 855

KIc [MPa.m1/2] 55 19 25 26 80 79 70 99 123 105

KIEAC [MPa.m1/2] 11 15 21 23 8 9 22 45 31 29

V druhém případě (viz obr.11.46) dochází k uplatnění vlivu prostředí i při hodnotách Kmax menších než KISCC. Výsledný proces porušování je výsledkem interakce vlivu cyklického namáhání a vlivu agresivního prostředí, tj. interakce únavy a koroze. Konkrétním příkladem může být účinek vody na šíření únavové trhliny v tělesech z hliníkových slitin nebo vzduchu na šíření únavové trhliny v tělesech z titanové slitiny Ti-6A1-2Sn-4Zr-2Mo-0 [150]). Tomuto typu závislosti odpovídá průnik B na obr.11.44.

R = 0,3 B-voda

R = 0,3 T = 20°C B-voda

T = 20°C

vzduch

T = 300°C

Obr.11.48 – Závislost v = v(DK) pro austenitickou ocel AISI 304L: vliv vodního prostředí v primárním okruhu JE při pokojové teplotě (vlevo), vliv zvýšené teploty ve vodním prostředí (vpravo) [195].

- 250 -


Graf na obr.11.47 charakterizuje kombinaci předchozích dvou základních typů vlivu agresivního prostředí na šíření únavových trhlin – v oboru Kmax  KISCC dominuje druhý typ, tj. interakce vlivu prostředí a únavy materiálu, zatímco v oboru Kmax  KISCC převládá první typ, tj. superpozice obou těchto procesů [15]. Zmíněnému kombinovanému procesu odpovídá průnik, označený na obr.11.44 symbolem C. 3

Austenitická ocel AISI 304L T = 20°C, R = 0,3 2,5

DK = 20 MPa.m1/2

v B-voda /v vzduch [1]

2

DK

DK = 25 MPa.m1/2 1,5

DK = 30 MPa.m1/2 1

DK = 35 MPa.m1/2 0,5

podíl interkrystalického lomu [%] 0 0

1

2

3

4

5

6

7

Obr.11.49 – Závislost poměrného zvýšení rychlosti šíření únavové trhliny ve vodním prostředí na podílu interkrystalických faset na lomu [196]. Vliv prostředí na rychlost šíření únavové trhliny může být výrazně ovlivněn interakcí s dalšími spolupůsobícími faktory. Na obr.11.48 vlevo je uvedena závislost v = v(DK) pro austenitickou oceli AISI 304L při pokojové teplotě jednak na vzduchu, jednak ve vodním prostředí (tzv. B-vodě), simulující podmínky v primárním okruhu jaderné elektrárny. Agresivní vodní prostředí způsobuje, že se na šíření únavové trhliny částečně podílí i interkrystalická dekoheze, což vede ke zvýšení rychlosti šíření – viz obr.11.49 [196].

- 251 -


Naznačený vliv prostředí klesá s rostoucí hodnotou DK. Zvýšením teploty vodního prostředí na T = 300°C je podíl interkrystalické dekoheze eliminován. Důsledkem je, že při této zvýšené teplotě je rychlost šíření únavové trhliny asi o 60% nižší, než při teplotě pokojové – viz obr.11.48 vpravo [195], [196]. Rychlost šíření únavové trhliny je obecně výsledkem spolupůsobení a vzájemné interakce všech výše uvedených faktorů. Kombinací vztahů (11.55), (11.56) a příp. i (11.58) dostáváme [151]

v  C5 [U R ] f   DK  ,

(11.59)

v  C6 [U R ] n f   e Q / kT DK  n.

(11.60)

n

resp.

n

Vztah (11.60) vyjadřuje závislost rychlosti šíření únavové trhliny na DK (tj. na rozkmitu napětí D, délce trhliny a a na geometrických charakteristikách tělesa s trhlinou), na parametru asymetrie cyklu R, frekvenci f a teplotě T. Velikost konstanty C6 závisí na materiálu a na ostatních výše zmíněných faktorech, které ovlivňují šíření únavové trhliny a ve vztahu (11.60) explicitně nevystupují. Aplikovatelnost vztahů typu (11.60) v praxi je však omezená, neboť je podmíněna znalostí značného počtu empirických konstant. Hlavní význam uvedeného vztahu tedy spočívá v naznačení složitosti procesu šíření únavových trhlin.

Parametry Parisova vztahu a jejich vzájemný vztah. Konstanta C, vystupující v původní verzi Parisova vztahu (11.54), může být u jednotlivých materiálů značně odlišná. Experimentální výsledky např. naznačují, že konstanta C výrazně klesá s rostoucím modulem pružnosti v tahu E [152], [153] - viz tab.11.4. Tabulka 11.4 – Závislost konstanty Parisova vztahu C na modulu pružnosti v tahu E (podle [153]). Materiál Mg Al Ti Ocel 93W(Ni,Fe)

E [GPa] 45 71 116 210 300

[*] pro v [m/cyklus] a DK [MPa.m1/2]

- 252 -

C [*] 3.10-9 5.10-10 3.10-12 7.10-13 7.10-27


Z úvah uvedených v předchozím odstavci je však zřejmé, že z obecného hlediska je materiálová "konstanta" C ve skutečnosti funkcí mnoha dalších proměnných. Porovnáme-li např. pravé strany rovnic (11.54) a (11.60), dostáváme funkční vztahy

C  C6 [U R ] f   e Q / kT , n

(11.61)

vyjadřující explicitně závislost konstanty Parisova vztahu C na parametru asymetrie cyklu R, frekvenci zatěžováni f a teplotě T. Vliv dalších faktorů je implicitně obsažen v konstantě C6. Rovněž exponent n, vystupující v Parisově vztahu (11.54), je funkcí celé řady faktorů. Jeho velikost závisí zejména na podílu jednotlivých mikromechanismů porušování na procesu šíření únavové trhliny. Tyto mikromechanismy (např. tvorba striací, tvárný lom, interkrystalická dekoheze apod.) se od sebe liší jak kvalitativně (tj. svou fyzikální podstatou), tak i kvantitativně (např. energetickou náročností a odpovídající rychlosti šíření únavové trhliny). Podíl (míra uplatnění) jednotlivých mikromechanismů na procesu šíření únavové trhliny je výsledkem působení a interakce řady faktorů, mezi které patři zejména: a) chemické složení a struktura materiálu, b) pole napětí v okolí čela trhliny (charakterizované např. DK), c) podmínky exploatace (teplota, agresivita prostředí apod.). Experimentálně lze podíl jednotlivých mikromechanismů porušování stanovit pomocí četnosti výskytu odpovídajících mikrofraktografických znaků na lomové ploše. Na obr.11.50 je např. vynesen plošný podíl polí striací na lomové ploše ps v závislosti na DK. Tato závislost byla stanovena při kvantitativní fraktografické analýze lomových ploch těles z konstrukční hliníkové slitiny typu AlCu4Mg1 [154], [155]. Ve sledovaném rozsahu DK zpočátku dominoval mechanismus tvorby striací, čemuž odpovídá podíl ps  l (oblast velmi nízkých hodnot

DK, ve které se striace dosud netvoří a kde platí ps  0, v uvedeném grafu není zachycena). Rozteč striací s, podávající informaci o lokální mikroskopické rychlosti šíření únavové trhliny, je u hliníkových a některých dalších slitin přímo úměrná CTOD, resp. velikosti plastické zóny před čelem trhliny rp*. V souladu se vztahy (9.15) a (6.16) je tedy rozteč striací úměrná 2. mocnině rozkmitu faktoru intenzity napětí DK [152], [156], tj. s  Cs .  DK  , 2

(11.62)

kde Cs je materiálová konstanta. Součinitel D, kvantifikující vztah mezi roztečí striací s a mikroskopickou rychlostí šíření únavové trhliny v = da/dN (viz vztah (11.32)), je v oblasti středních hodnot DK, kde platí ps  1, přibližně konstantní [87], [89]. Dosadíme-li do vztahu (11.32) za D = konst a za s pomocí (11.62), dostáváme Parisův

- 253 -


vztah ve tvaru

v  C DK  , 2

(11.63)

kde C = Cs.D. Za uvedených podmínek (tj. ps  1) tedy pro exponent Parisova vztahu platí n = 2. S rostoucím rozkmitem faktoru intenzity napětí DK podíl polí striací na lomové ploše ps klesá (viz obr.11.50) a přibývá tvárných důlků, odpovídajících tvárnému lomu. Důsledkem je urychlování únavové trhliny, které se projeví růstem gradientu závislosti v(DK) - viz oblast III na obr.11.14.

Obr.11.50 – Závislost plošného podílu polí striací na lomové ploše ps na DK u slitiny typu AlCuMg. Vzhledem k tomu, že podíl jednotlivých mikromechanismů na šíření únavové trhliny závisí mino jiné i na teplotě, bude na teplotě záviset i exponent Parisova vztahu n. Např. u řady slitin na bázi Fe exponent n s klesající teplotou T roste což souvisí s rostoucím podílem štěpného lomu [111]. K růstu exponentu n však může dojít i v opačném případě, tj. při zvyšování teploty, přičemž příčiny tohoto jevu jsou kvalitativně obdobné jako v případě klesajících teplot. Např. u niklové slitiny Inconel X-750 došlo v důsledku zvýšení teploty z 538C na 649C ke zvýšení exponentu Parisova vztahu z hodnoty n = 3,192 na hodnotu n = 4,725 [35]. Zvýšení teploty v tomto případě vyvolalo oslabení hranic zrn a přechod od transkrystalického lomu na lom interkrystalický. Důsledkem bylo zvýšení rychlosti šíření únavové trhliny a odpovídající zvýšení exponentu Parisova vztahu n.

- 254 -


V literatuře lze dále nalézt příklady závislosti exponentu Parisova vztahu n na některých elasto-plastických charakteristikách materiálu - např. na lomové houževnatosti ve stavu rovinné deformace KIc. U ocelí s vysokou hodnotou KIc je exponent Parisova vztahu n prakticky konstantní (n  2), s klesající lomovou houževnatostí však tento exponent roste [135], [157]. Tato skutečnost je vysvětlována rostoucím podílem jiných (statických) mikromechanismů porušování. Naznačený charakter závislosti exponentu Parisova vztahu na lomové houževnatosti je v souladu s výše uvedeným charakterem závislosti tohoto exponentu na teplotě - s klesající teplotou lomová houževnatost materiálu klesá (viz odst.5.4.4). Jiný příklad vazby mezi exponentem Parisova vztahu n a elasto-plastickými vlastnostmi materiálu je uveden na obr.11.51 (podle [158]), kde je znázorněna závislost n na exponentu únavové tažnosti , vystupujícím v Mansonově-Coffinově vztahu

D p N f  Co .

(11.64)

Uvedený vztah vyjadřuje závislost počtu cyklů do lomu Nf na rozkmitu plastické deformace

Dp. Součinitel únavové tažnosti Co představuje extrapolovanou hodnotu rozkmitu plastické deformace na první cyklus (viz např. [159]). Z experimentálních dat získaných na celé řadě různých slitin vyplývá vztah [158], [160]

n

2



.

(11.65)

Obr.11.51 – Vztah mezi exponentem Parisova vztahu n a exponentem únavové tažnosti  (podle [158]). Výše uvedené poznatky naznačují fyzikální význam parametrů Parisova vztahu C a n. Při analýze experimentálních dat bylo zjištěno, že mezi těmito parametry existuje určitá vazba. Někteří autoři (viz např. [161], [162]) fyzikální objektivnost této vazby popírají a uvádějí, že zdánlivá korelace mezi C a n je pouze důsledkem matematicko-statistického zpracování - 255 -


experimentálních dat typu (v, DK) v logaritmických souřadnicích. Existence vazby mezi C a n však apriorně vyplývá již z rozměrové analýzy Parisova vztahu (11.54): protože exponent n není

univerzální

konstantou,

mění

se

obecně

i

fyzikální

rozměr

konstanty C

[MPa-n.m-n/2]. Tento fakt úvahy o případném fyzikálním smyslu této konstanty komplikuje. Z čistě matematického hlediska má konstanta C význam rychlosti šíření únavové trhliny při DK = 1 MPa.m1/2 [157]. Z fyzikálního hlediska je však tento význam nepřijatelný, neboť: a) U běžných konstrukčních slitin hodnota DK = 1 MPa.ml/2 leží mimo oblast platnosti Parisova vztahu a ve většině případů je dokonce menší než prahová hodnota DKp. b) Konstanta C nemá stejný rozměr jako rychlost šíření únavové trhliny v = da/dN.

¨ Obr.11.52 – Korelace mezi exponentem n a konstantou C Parisova vztahu u Al-slitin. Naznačená vazba byla potvrzena zpracováním souboru konstant C a n, stanovených v rámci celé řady experimentálních programů, realizovaných na různých materiálech a za různých exploatačních podmínek (viz např. [163] až [178]). Byla prokázána silná korelace mezi oběma konstantami. Vzájemný vztah mezi C a n lze vyjádřit ve tvaru log C  c1  c2 n,

(11.66)

kde c1 < 0 a c2 < 0 jsou dva parametry, konstantní pro danou třídu materiálů, tj. např. pro Alslitiny (viz např. obr.11.52, na kterém jsou zpracována experimentální data z [179]), pro oceli apod. Zlogaritmujeme-li Parisův vztah (11.54) a dosadíme-li do něj za logC pomocí vztahu (11.66), dostáváme

log v  log C  n log DK  c1  n c2  log DK .

(11.67)

Po úpravě, založené na substituci c1  log A

c2   log DK  ,

lze vztah (11.67) přepsat do tvaru

- 256 -

(11.68)


 DK  v  A .    DK  n

(11.69)

Porovnáme-li tento tříparametrický tvar Parisova vztahu s původním dvouparametrickým tvarem (11.54), dostáváme

C  A DK   . n

(11.70)

Transformace Parisova vztahu (11.54) do tvaru (11.69) je i přes zvýšení počtu materiálových parametrů ze dvou (C, n) na tři (A, DK*, n) výhodná, neboť odstranila problémy související s proměnným rozměrem (a tedy obtížnou fyzikální interpretovatelností) konstanty C – parametr A má rozměr rychlosti šíření trhliny v, parametr DK* má rozměr faktoru intenzity napětí. Ze substitučních vztahů (11.68) je zřejmé, že jsou-li pro danou třídu materiálů konstantní parametry c1 a c2, jsou konstantní i parametry A a DK*. Ze vztahu (11.69) pak vyplývá, že při rozkmitu faktoru intenzity DK = DK* se budou únavové trhliny ve všech materiálech dané třídy šířit stejnou rychlostí v = A. Bod o souřadnicích (DK*, A) je společným průsečíkem grafů všech závislostí v(DK) v dané třídě materiálů (tento bod bývá v anglicky psané literatuře označován jako "crossover point" [163] nebo "pivot point" [166]) - viz např. schematické grafy na obr.11.53. Fyzikální význam uvedeného bodu (např. vazba mezi přírůstkem délky trhliny za jeden cyklus A a nějakým strukturním parametrem) dosud nebyl uspokojivě objasněn.

Obr.11.53 –Znázornění souvislosti korelace mezi exponentem n a konstantou C Parisova vztahu (11.54) a společným bodem odpovídajících křivek závislostí v(DK).

11.2.8 Oblast rychlého růstu únavové trhliny a závěrečného dolomu (III) V oblasti III (viz obr.11.14) šíření únavové trhliny výrazně ovlivňuje zejména: a) mikrostruktura materiálu, b) parametr asymetrie cyklu R (resp. střední hodnota napětí m), c) tloušťka tělesa B. - 257 -


Kromě uvedených dominantních faktorů zde rychlost šíření únavové trhliny do jisté míry ovlivňuje i prostředí. V oboru vysokých hodnot DK (tj. v oblasti, ve které se Kmax blíží hodnotě lomové houževnatosti Kcf - viz obr.11.14) se začínají na šíření trhliny kromě únavových mechanismů rostoucí měrou podílet i mechanismy statického porušování (např. tvárný lom - viz obr.11.50). Důsledkem je výraznější zrychlování šíření trhliny, než by odpovídalo Parisovu vztahu (11.54) – v oblasti III má závislost v(DK) konvexní charakter. Naznačený trend lze charakterizovat např. rostoucím exponentem mocninné závislosti v(DK) [180] n



DK ,

kT

(11.71)

kde T je absolutní teplota, k je Boltzmanova konstanta a  je konstanta, vyjadřující vztah mezi prací vnějších sil a DK. Uvedený vztah byl odvozen teoreticky. K analytickému popisu závislosti v(DK) v oblasti III se však nejčastěji používá Formanův vztah [181]

C DK  C DK  v  , 1  R   K cf  K max  1  R   K cf  DK n

n

(11.72)

kde C a n jsou materiálové konstanty, Kcf je únavová lomová houževnatost a R je parametr asymetrie cyklu. V literatuře se vyskytuje několik víceparametrických regresních vztahů, umožňujících analytický popis závislosti v = v(DK) v celém rozsahu DK (tj. v oblastech I, II i III). Tyto funkce umožňují postihnout typický esovitý tvar závislosti v(DK) vynesené v logaritmických souřadnicích (viz obr.11.14). Příkladem může být modifikovaný Formanův vztah [182] C DK   DK  DK p  n

v

[1  R  K

cf

 DK ]

p

q

(11.73)

,

obsahující šest materiálových parametrů (konstanta C, exponenty n, p, q, prahovou hodnotu

DKp a únavovou lomovou houževnatost Kcf , pro Al-slitinu 2124 bylo např. zjištěno p = 0,5 a q = 1). Některé další typy regresních vztahů obdobných vlastností shrnuje ve své práci [183] Kohout. Autor zde uvádí i svůj nově navržený vztah, který umožňuje vzít v úvahu též vliv parametru asymetrie cyklu R:

 DK  v  AK     1  R   n cf

m p

[DK 1  R ]  DK K  [DK 1  R  ] 

n

cf

Význam symbolů DKpo a  stejný jako ve vztahu (11.38). - 258 -

p

p po 1 n

.

(11.74)



BÍLÝ,M. - IVANOVA,M.S. - TERENTEV,V.F.: Pevnosť súčastí pri premennom zaťažení. Bratislava, VEDA 1976, 448 s.

[2]

KLESNIL,M. - LUKÁŠ,P.: Únava kovových materiálů při mechanickém namáhání. Praha, Academia 1976, 222 s.

[3]

FORSYTH,P.J.E.: Fatigue Problems in Service. Aircraft Structures. Metal Science, 11, 1977, No.8, pp.293-302.

[4]

FINE,M.E.: Fatigue Resistance of Metals. Met. Trans., 11A, 1980, No.3, pp.365-379.

[5]

CAMPBELL,G.S.: A Note on Fatal Aircraft Accidents Involving Metal Fatigue. Int. J. Fatigue, 3, 1981, No.4, pp.181-185.

[6]

GARRETT,G.G.: Failure by Fatigue. In: Engineering Applications of Fracture Analysis (Proc. First Nat. Conf. on Fracture, Johannesburg). Eds. G.G.Garrett and D.L.Marriott. Oxford, Pergamon Press 1980, pp.79-93.

[7]

SCHIJVE,J.: Four Lectures on Fatigue Crack Growth. (Report LR-254.) Delft, Delft University of Technology - Department of Aerospace Engineering 1977, 83 s. Též: Engng Fracture Mech., 11, 1979, No.1, pp.167-221.

[8]

KUNZ,J. - NEDBAL,I. - SIEGL,J. - PÁRTL,O.: Vliv kvality povrchu na únavové porušování těles a konstrukcí. In: Sborník 6. konference Přínos metalografie pro řešení výrobních problémů. Mariánské Lázně, ČVTS ŠKODA VÝZKUM Plzeň 1993, s.191-194.

[9]

KUNZ,J.: Sledování vlivu strukturních nehomogenit a experimentálních podmínek na iniciaci a rozvoj únavových trhlin na tyčích z oceli 22K. (Výzkumná zpráva V-KMAT63/79.) ČVUT-FJFI-KMAT 1979, 40 s.

[10] KUNZ,J. - NEDBAL,I. - SIEGL,J.: Analýza poruch vrtáků. (Výzkumná zpráva VKMAT-321/91.) Praha, ČVUT-FJFI-KMAT 1991, 37 s. [11] HARRISON,J.D.: Damage Tolerant Design. In: Fatigue Crack Growth. 30 Years of Progress. (Proc. Conf. Fatigue Crack Growth, Cambridge). Ed. R.A.Smith. Oxford, Pergamon Press 1984, pp.117-131. [12] SWIFT,T.: Damage Tolerance in Pressurized Fuselages. In: New Materials and Fatigue Resistant Aircraft Design. (Proc. 14th ICAF Symposium, Ottawa). Ed. D.L.Simpson. Cradley Heath, EMAS 1987, s.1-77. [13] WOOD,H.A. - ENGLE,R.M.Jr.: USAF Damage Tolerant Design Handbook. Guidelines for the Analysis and Design of Damage Tolerant Aircraft. (Technical Report AFFDLTR-79-3021.) Air Force Flight Dynamic Laboratory (AFFDL/FBE), Wright Patterson AFB, Ohio 45433, 1979. [14] TROSHCHENKO,V.T. - PROKOPENKO,A.V. - POKROVSKY,V.V.: Cyclic Loading and Fracture Toughness of Steels. Fatigue Engng Mat. Struct., 1, 1979, No.2, pp.247-266. [15] WEI,R.P.: Fracture Mechanics Approach to Fatigue Analysis in Design. J. Engng Mat. Tech., Trans. ASME, 100, 1978, April, pp.113-120. [16] HOEPPNER,D.W. - KRUPP,W.E.: Prediction of Component Life by Application of Fatigue Crack Growth Knowledge. Engng Fracture Mech., 6, 1974, No.1, pp.47-70. [17] WÄSTBERG,S.: Fatigue Crack Propagation Laws - A Review. (Rapport 13.) Stockholm, The Royal Institute of Technology 1975, 10 p. - 259 -


[18] ROMVARI,P. - TOTH,L. - NAGY,G.: Analiz zakonomernostěj rasprostraněnija ustalostych treščin v metallach. Problemy pročnosti, 1980, No.12, s.18-28. [19] CHAND,S. - GARG,B.L.: Crack Propagation Under Constant Amplitude Loading. Engng Fracture Mech., 21, 1985, No.1, pp.1-30. [20] SMITH,R.A.: Thirty Years of Fatigue Crack Growth - an Historical Review. In: Fatigue Crack Growth. 30 Years of Progress. (Proc. Conf. Fatigue Crack Growth, Cambridge). Ed. R.A.Smith. Oxford, Pergamon Press 1984, pp.1-16. [21] ELBER,W.: The Significance of Fatigue Crack Closure. Damage Tolerance in Aircraft Structures, ASTM STP 486, Philadelphia, ASTM 1971, pp.230-242. [22] KOBAYASHI,H. - MURAKAMI,R. - NAKAZAWA,N.: The Influence of Microstructure and Microscopic Fracture Mechanisms on Fatigue Crack Growth Rates in High Strength Steels. In: Fracture Mechanics and Technology. Eds. G.C.Sih and C.L.Chow. Vol.I, Alphen aan den Rijn, Sijthoff and Noordhoff Int. Publ. 1977, pp.205-219. [23] SCHIJVE,J.: Some Formulas for the Crack Opening Stress Level. Engng Fracture Mech., 14, 1981, No.3, pp.461-465. [24] LAM,Y.C. - LIAN,K.S.: The Effect of Residual Stress and Its Redistribution on Fatigue Crack Growth. Theor. Appl. Fracture Mech., 12, 1989, No.l, pp.59-66. [25] ZHANG,S. - MARISSEN,R. - SCHULTE,K. - TRAUTMANN,K.K. - PJOWACK,H. SCHIJVE,J.: Crack Propagation Studies on Al 7475 on the Basis of Constant Amplitude and Selective Variable Amplitude Loading Histories. Fatigue Fract. Engng Mater. Struct., 10, 1987, No.4, pp.315-332. [26] MUSUVA,J.K. - RADON,J.C.: The Effect of Stress Ratio and Frequency on Fatigue Crack Growth. Fatigue Engng Mat. Struct., 1, 1979, No.4, pp.457-470. [27] KURIHARA,M. - KATOH,A. - KAWAHARA,M.: Effects of Stress Ratio and Step Loading on Fatigue Crack Propagation Rate. In: Current Research on Fatigue Cracks. Eds. T.Tanaka et al. London and New York, Elsevier 1987, pp.247-265. [28] NEWMAN,J.C.Jr.: A Crack-Closure Model for Predicting Fatigue Crack Growth Under Aircraft Spectrum Loading. Methods for Predicting Fatigue Crack Growth under Random Loading. ASTM STP 748, Eds. J.B.Chang and C.M.Hudson. ASTM 1981, pp.53-84. [29] WANHILL,R.J.H.: Low Stress Intensity Fatigue Crack Growth in 2024-T3 and T351. Engng Fracture Mech., 30, 1988, No.2, pp.233-260. [30] KATCHER,M. - KAPLAN,M.: Effects of R-Factor and Crack Closure on Fatigue Crack Growth for Aluminum and Titanium Alloys. Fracture Toughness and Slow-Stable Cracking, ASTM STP 559, Part I, ASTM 1974, pp.264-282. [31] MADDOX,S.J. - CURNEY,T.R. - MUMMEY,A.M. - BOOTH,G.S.: An Investigation of the Influence of Applied Stress Ratio on Fatigue Crack Propagation In Structural Steels. (Research Report 72/1978). Welding Institute 1978. [32] KUMAR,R. - SINGH,K.: Influence of Stress Ratio on Fatigue Crack Growth in Mild Steel. Engng Fracture Mech., 50, 1995, No.3, pp.377-384. [33] FINNEY,J.M. - DEIRMENDJIAN,G.: Delta –K-Effective: Which Formula? Fatigue Fract. Mater. Struct., 15, 1992, No.2, pp.151-158. [34] ALLEN,R.J. - BOOTH,G.S. - JUTLA,T.: A Review of Fatigue Crack Growth Characterisation by Linear Elastic Fracture Mechanics (LEFM). Part II - Advisory - 260 -


Documents and Applications Within National Standards. Fatigue Fract. Engng Mater. Struct., 11, 1988, No.2, pp.71-108. [35] MILLS,W.J. - JAMES,L.A.: Effect of Temperature on the Fatigue-Crack Propagation Behaviour of Inconel X-750. Fatigue Engng Mat. Struct., 3, 1980, No.2, pp.l59-175. [36] BILIR,Ö.G. - HARUN,M.: Effect of Stress Ratio on the Rate of Growth of Fatigue Cracks in 1100 Al-alloy. Engng Fracture Mech., 30, 1988, č.2, s.233-260. [37] WALKER,K.: The Effect of Stress Ratio During Crack Propagation and Fatigue for 2024-T3 and 7075-T6 Aluminium. Effects of Environment and Complex Load History on Fatigue Life, ASTM STP 462, ASTM 1970, pp.1-14. [38] ZHENG,J. - POWELL,B.E.: Effect of Stress Ratio and Test Methods on Fatigue Crack Growth rate for Nickel Based Superalloy Udimet 720. Technical Note. Int. J. Fatigue, 21,1999, No.5, pp.507-513. [39] BACHMANN,V. - MUNZ,D.: Crack Closure in Fatigue of a Titanium Alloy. Int. J. Fracture, 11, 1975, pp.713-716. [40] STOFANAK,R.J. - HERTZBERG,R.W. - MILLER,G. - JACCARD,R. - DONALD,K.: On The Cyclic Behavior of Cast and Extruded Aluminum Alloys. Part A. Fatigue Crack Propagation. Engng Fracture Mech., 17, 1983, No.6, pp.527-539. [41] SRIVASTAVA,Y.P. - GARG,S,B.L.: Influence of R on Effective Stress Range Ratio and Crack Growth. Engng Fracture Mech., 22, 1985, No.6, pp.915-926. [42] HUDAK,S.J.Jr. - DAVIDSON,Q.L.: The Dependence of Crack Closure on Fatigue Loading Variables. Mechanics of Closure. ASTM STP 982. Eds. J.C.Newman and W.Elber. ASTM 1988, pp.121-138. [43] DAVIDSON,D.L.: Fatigue Crack Closure. Engng Fracture Mech., 38, 1991, No.6, pp.393-402. [44] SHIH,T.T. - WEI,R.P.: A Study of Crack Closure in Fatigue. Engng Fracture Mech., 6, 1974, No.1, pp.19-32. [45] CHAND,S. - GARG,S.B.L.: Crack Closure Studies Under Constant Amplitude Loading. Engng Fracture Mech., 18, 1983, No.2, pp.333-347. [46] CHAND,S. - GARG,S.B.L.: Crack Propagation Under Constant Amplitude Loading. Engng Fracture Mech., 21, 1985, No.1, pp.1-30. [47] GUO,W. - WANG,C.H. - ROSE,L.R.F.: The Influence of Cross-Sectional Thickness on Fatigue Crack Growth. Fatigue Fracture Engng Mat. Struct., 22, 1999, No.5, pp.437-444. [48] KUMAR,R.: Review on Crack Closure for Constant Amplitude Loading in Fatigue. Engng Fracture Mech., 42, 1992, No.2, pp.389-400. [49] NAGAI,A. - TOYOSANA,M. - OKAMOTO,T.: A Study on the Fatigue Crack Growth in 9% Ni Steel Plate (Growth Rate of Surface Crack in a Plate Under Arbitrary Combined Tension and Bending). Engng Fracture Mech., 7, 1975, No.3, pp.481-490. [50] PAPIRNO,R. - PARKER,B.S.: An Automatic Flash Photomicrographic System for Fatigue Crack Initiation Studies. Cyclic Stress-Strain Behavior-Analysis, Experimentation, and Failure Prediction, ASTM STP 519, ASTM 1973, pp.98-108. [51] DEANS,W.F. - RICHARDS,C.E.: A Simple and Sensitive Method of Monitoring Crack and Load in Compact Fracture Mechanics Specimens Using Strain Gauges. J. Test. Eval., 7, 1979, No.3, pp.147-154. - 261 -


[52] DEANS,W.F. - RICHARDS,C.E.: A Technique for Measuring Crack Length and Load in Compact Fracture Mechanics Specimens Using Strain Gauges. In: Advances in Fracture Research (ICF 5, Cannes). Eds. D.Francois et al., Vol.4, Oxford, Pergamon Press 1981, pp.1989-1996. [53] MAYES,I.C. - BAKER,T.J.: An Understanding of Fatigue Thresholds Through the Influence of Non-Metallic Inclusions in Steel. Fatigue Engng Mat. Struct., 4, 1981, No.1, pp.79-96. [54] DONAHUE,R.J. - CLARK,H.McI. - ATANMO,P. - KUMBLE,R. - McEVILLY,A.J.: Crack Opening Displacement and the Rate of Fatigue Crack Growth. Int. Fracture Mech., 8, 1972, No.2, pp.209-219. [55] SULLIVAN,A.M. - CROOKER,T.W.: Crack-Opening-Displacement Technique for Crack Length Measurement in Fatigue Crack Growth Rate Testing - Development and Evaluation. Engng Fracture Mech., 9, 1977, No.1, pp.159-166. [56] EFTIS,J. - LIEBOWITZ,H.: On the Modified Westergaard Equations for Certain Plane Crack Problems. Int. J. Fracture Mech., 4, 1972, No.4, pp.383-391. [57] SAXENA,A. - HUDAK,S.J.Jr.: Review and Extension of Compliance Information for Common Crack Growth Specimens. Int. J. Fracture Mech., 14, 1978, No.5, pp.453-468. [58] SIH,G.C.: Handbook of Stress Intensity Factors. Bethlehem, Lehigh University 1973. [59] TADA,H. - PARIS,P. - IRWIN,G.: The Stress Analysis of Crack Handbook. Hellertown, PA., Del Research Co. 1973. [60] ROOKE,D.P. - CARTWRIGHT,D.J.: Compendium of Stress Intensity Factors. London, Her Majesty’s Stationery Office 1976. [61] MURAKAMI,Y.: Stress Intensity Factors Handbook. Oxford, Pergamon Press 1987, 1 456 p. [62] SCHWALBE,K.-H. - HELLMANN,D.: Application of the Electrical Potential Method to Crack Length Measurements Using Johnson’s Formula. Journal of Testing and Evaluation, JTEVA, 9, 1981, No.3, pp.218-221. [63] CLARKE,C.K. - CASSATT,G.C.: A Study of Fatigue Crack Closure Using Electric Potential and Compliance Techniques. Engng Fracture Mech., 9, 1977, No.3, pp.675-688. [64] TAIRA,S. - TANAKA,K.: Thickness Effect of Notched Metal Sheets on Deformation and Fracture Under Tension. Engng Fracture Mech., 11, 1979, No.2, pp.231-249. [65] GAPJGLOFF,R.P.: Electrical Potential Monitoring of Crack Formation and Subcritical Growth from Small Defects. Fatigue Engng Mat. Struct., 4, 1981, No.1, pp.15-33. [66] HAY,E. - BROWN,M.V.: A D.C. Potential Drop Method to Monitor Crack Growth in Notches Subjected to Torsion. Fatigue Engng Mat. Struct., 4, 1981, No.3, pp.287-290. [67] RITTER,M.A. - RITCHIE,R.O.: On the Calibration, Optimization and the Use of d.c. Electrical Potential Methods for Monitoring Mode III Crack Growth in TorsionallyLoaded Samples. Fatigue Engng Mat. Struct., 5, 1982, No.1, pp.91-99. [68] ÖBERG,H.: An Electrical Impedance Method for Determination of Crack Growth. (Raport 14.) Stockholm, Dept of Strength of Materials and Solid Mechanics. The Royal Institute of Technology 1975, 14 p.

- 262 -


[69] VERPOEST,I. - AERNOUDT,E. - DERUYTTERE,A. - NEYRINCK,M.: An Improved A.C. Potential Drop Method for Detecting Surface Microcracks During Fatigue Tests of Unnotched Specimens. Fatigue Engng Mat. Struct., 3, 1981, No.3, pp.203-217. [70] BAUDIN,G. - POLICELLA,H.: Progress in Potential Drop Technique. Application to Three-Dimensional Crack Fronts. In: Advances in Fracture Research (ICF 5, Cannes). Eds. D.Francois et al. Vol.4, Oxford, Pergamon Press 1981, pp.1957-1964. [71] DOVER,W.D. - CHARLESWORTH,F.D.W. - TAYLOR,K.A.: A.C. Field Measurements. A New Method for Detecting and Measuring Fatigue Cracks. In: Advances in Fracture Research (ICF 5, Cannes). Eds. D.Francois et al. Vnl.4, Oxford, Pergamon Press 1981, pp.1965-1973. [72] WHITESON,B.V. - PHILLIPS,A. - KERLINS,V. - RAVE,R.A.: Special Fractographic Techniques for Failure Analysis. ASTM STP 436, ASTM 1968, pp.151-178. [73] BOROBJEV,A.Z. - DOCENKO,A.M. - KORDONSKIJ,CH.B. - MARTYNOV,JU.A.: Razvitije treščiny ustalosti. Zavodskaja laboratorija, 36, 1970, s.714. [74] BUCK,O.: Characterization of Propagating Crack by Ultrasonic Techniques. Int. J. Fracture Mech., 8, 1972, No.1, pp.121-124. [75] KASALICKÝ,P.: Moderní metody mechanického zkoušení kovů. In: Lomy ocelových výrobků. III.díl, Plzeň, ÚVZÚ Škoda 1978, s.334-352. [76] DESAI,J.D. - GERBERICH,W.W.: Analysis of Incremental Cracking by the StressWave Emission Technique. Engng Fracture Mech., 7, No.1, 1975, pp.153-165. [77] PŘEVOROVSKÝ,Z. - HAVLÍČEK,V.: Hodnocení charakteristik akustické emise při studiu mechanismů šíření trhlin. (Výzkumná zpráva.) Praha, Ústav termomechaniky ČSAV, 15 s. [78] CRHA,J.: Měření emise napěťových vln u velkých těles. In: Sylaby přednášek pro den výměny zkušeností na téma "Měření lomové houževnatosti". Praha, Výzkumné zkušební středisko 080 VŽKG Ostrava 1975, s.16-23. [79] DUNEGAN,H.L. - HARRIS,D.G. - TATRO,C.A.: Fracture Analysis by Use of Acoustic Emission. Engng Fracture Mech., 1, 1968, No.l, pp.105-122. [80] MORTON,T.M. - HARRINGTON,R.M. - BJELETICH,J.G.: Acoustic Emissions of Fatigue Crack Growth. Engng Fracture Mech., 5, 1973, No.3, pp.691-697. [81] HAMEL,F. - BAILON,J.P. - BASSIM,M.N.: Acoustic Emission Mechanisms During High-Cycle Fatigue. Engng Fracture Mech., 14, 1981, No.4, pp.853-860. [82] MASOUNAVE,J. - LANTEIGNE,J. - BASSIM,H.N. - HAY,D.R.: Acoustic Emission and Fracture of Ductile Materials. Engng Fracture Mech., 8, 1976, No.4, pp.701-709. [83] GREEN,G. - McINTYRE,P.: A Study of Stress Corrosion Cracking in Nigh Strength Steels Using Acoustic Emission Techniques. In: Advances in Fracture Research (ICF 5, Cannes). Eds. D.Francois et al. Vol.4, Oxford, Pergamon Press 1981, pp.2049-2057. [84] YATES,J.R.: Crack Growth Monitoring Techniques. (Paper presented at Course on Metal Fatigue.) University of Sheffield 1991. [85] ASTM Standard E 647-91. Standard Test Method for Measurement of Fatigue Crack Growth Rates. 1991. In: Annual Book of ASTM Standards, pp.654-681.

- 263 -


[86] NEDBAL,I. - SIEGL,J. - KUNZ,J.: Fractographic Study of Fatigue Crack Kinetics in Bodies and Structures. In: Advances in Fracture Research 84’ (ICF 6, New Delhi). Eds. S.R.Valluri et al., Vol.III, Oxford, Pergamon Press 1984, pp.2033-2040. [87] NEDBAL,I. - KUNZ,J.- SIEGL,J.: Využití kvantitativní fraktografie při výzkumu únavového porušování konstrukcí. Strojírenství, 38, 1988, č.11, s.669-684. [88] SIEGL,J. - NEDBAL,I. - KUNZ,J.: Fraktografické aspekty růstu únavových trhlin při programovém zatěžování těles ze slitiny EI 437 B. (Výzkumná zpráva V-KMAT312/91.) Praha, ČVUT-FJFI-KMAT 1991, 60 s. [89] NEDBAL,I. - SIEGL,J. - KUNZ,J.: Relation Between Striation Spacing and Fatigue Crack Growth Rate in A1-Alloy Sheets. In: Advances in Fracture Research (ICF 7, Houston). Eds. K.Salama et al.. Vol.5, Oxford, Pergamon Press 1989, pp.3483-3491. [90] KUNZ,J. - NEDBAL,I. - SIEGL,J.: Application of Fractography in Full-Scale Tests of Aircraft Structure Parts. In: Fracture Behaviour and Design of Materials and Structures (Proc. ECF 8, Torino). Ed. D.Firrao. Vol.III. Cradley Heath, EMAS 1990, pp.1662-1669. [91] NEDBAL,I. - KUNZ,J. - SIEGL,J.: Some Remarks on Fatigue Fracture Marking. In: Fatigue ’99 (Proc. 7th Int. Fatigue Congress, Beijing). Vol. 4/4. Eds. X.R.Wu, and Z.G.Wang. Beijing - Cradley Heath, HEP - EMAS 1999, pp.2373-2378. [92] NEDBAL,I. - SIEGL,J. - KUNZ,J.: Využití značkování trhlin při únavové zkoušce letounu. In: Sborník 8. konference Přínos metalografie pro řešení výrobních problémů (Mariánské Lázně). Ostrava, TANGER 1999, s.173-176. [93] TAYLOR,D.: A Compendium of Fatigue Thresholds and Growth Rates. Cradley Heath, EMAS 1985, 380 p. [94] NIAN,L. - BAI-PING,D.: The Effect of Low-Stress High-Cycle Fatigue on the Microstructure and Fatigue Threshold of a 40Cr Steel. Int. J. Fatigue, 17, 1995, No.1, pp.43-48. [95] PIPPAN,R. - STÜWE,H.P.- GOLOS,K.: A Comparison of Different Methods to Determine the Threshold of Fatigue Crack Propagation. Int. J. Fatigue, 16, 1994, No.8, pp.579-582. [96] TAYLOR,D.: Fatigue Review. Fatigue Thresholds: Their Applicability to Engineering Situations. Int. J. Fatigue, 10, 1988, No.2, pp.67-79. [97] KLESNIL,M. - LUKÁŠ,P.: Influence of Strength and Stress History on Growth and Stabilisation of Fatigue Cracks. Engng Fracture mech., 4, 1972, No.l, pp.77-92. [98] CHIANG,C.R.: Threshold Stress Intensity Factor of Fatigue Cracks. Engng Fracture Mech., 49, 1994, No.1, pp.29-33. [99] SURESH,S. - RITCHIE,R.O.: On the Influence of Environment on the Load Ratio Dependence of Fatigue Thresholds in Pressure Vessel Steel. Engng Fracture Mech., 18, 1983, No.4, pp.785-800. [100] KLESNIL,M. - LUKÁŠ,P.: The Effect of Stress Cycle Asymmetry on Fatigue Crack Growth. Mater. Sci. Engng, 9, 1972, pp.231-239. [101] KLESNIL,M. - LUKÁŠ,P.: Vliv asymetrie cyklu na rozvoj únavových trhlin. Strojírenství, 23, 1973, č.1, s.34-40. [102] OHTA,A. - SASAKI,E.: Influence of Stress Ratio on the Threshold Level for Fatigue Crack Propagation in High Strength Steels. Engng Fracture Mech., 9, 1977, No.2, pp.307-315. - 264 -


[103] COOKE,R.J. - IRVING,P.E. - BOOTH,G.S. - BEEVERS,C.J.: The Slow Fatigue Crack Growth and Threshold Behaviour of a Medium Carbon Alloy Steel in Air and Vacuum. Engng Fracture Mech., 7, 1975, No.l, pp.69-77. [104] HERTZBERG,R.W.: Deformation and Fracture Mechanics of Engineering Materials. 2nd Ed. New York, John Wiley and Sons 1983, 700 p. [105] STOFANAK,R.J. - HERTZBERG,R.W. - LEUPP,J. - JACCARD,R.: On the Cyclic Behavior of Cast and Extruded Aluminum Alloys. Part B: Fractography. Engng Fracture Mech., 17, 1983, No.6, pp.541-554. [106] VOSIKOVSKY,O.: The Effect of Stress Ratio on Fatigue Crack Growth Rates in Steels. Engng Fracture Mech., 11, 1979, No.3, pp.595-602. [107] ALLEN,R.J. - BOOTH,G.S. - JUTLA,T.: A Review of Fatigue Crack Growth Characterisation by Linear Elastic Fracture Mechanics (LEFM). Part I - Principles and Methods of Data Generation. Fatigue Fracture Engng Mater. Struct., 11, 1988, No.1, pp.45-69. [108] LAL,D.N. - NAMBOODHIRI,T.K.G.: A Model for the Effect of the Mean Stress on the Treshold Condition for Fatigue Crack Propagation. Mater. Sci. Engng, A 130, 1990, pp.37-49. [109] KUJAWSKI,D. - ELLYIN,F.: A Unified Approach to Mean Stress Effect on Fatigue Threshold Conditions. Int. J. Fatigue, 17, 1995, No.8, pp.101-106. [110] LINDLEY,T.C. - NIX,K.J.: Metallurgical Aspects of Fatigue Crack Growth. In: Fatigue Crack Growth. 30 Years of Progress. Ed. R.A.Smith. Oxford, Pergamon Press 1986, pp.53-74. [111] GERBERICH,W.W. - MOODY,N.R.: A Review of Fatigue Fracture Topology Effects on Threshold and Growth Mechanisms. Fatigue Mechanisms, ASTM STP 675, Ed. J.T. Fong, ASTM 1979, s.292-341. [112] KENDALL,J.M. - KNOTT,J.F.: Near-Threshold Fatigue Crack Growth in Air and Vacuum. Basic Questions in Fatigue. Vol.II. ASTM STP 924, ASTM 1988, pp.103-114. [113] BEEVERS,C.J.: Some Aspects of Fatigue Crack Growth in Metals and Alloys. In: Fracture 1977 (ICF 4, Waterloo). Ed. D.M.R.Taplin. Vol.1. Waterloo, University of Waterloo Press 1977, pp.239-260. [114] MASOUNAVE,J. - BAILON,J.P.: The Effect of Grain Size on the Threshold Stress Intensity Factor in Fatigue of a Ferritic Steel. Scripta Metal., 10, 1976, s.165-170. [115] YODER,G.R. - COOLEY,L.A. - CROOKER,T.W.: A Critical Analysis of Grain Size and Yield Strength Dependence of Near-Threshold Fatigue Crack Growth in Steels. Fracture Mechanics. 14th Symposium. Volume I: Theory and Analysis. ASTM STP 791, Eds. J.C.Lewis and G.Sines. ASTM 1983, pp.I-348-I-365. [116] YOKOBORI,J.R. - YOKOBORI,A.T.: On Micro- nad Macro-mechanics of Fatigue Thresholds. In: Proc. Int. Conf. Fatigue Thresholds 1 (Stockholm). Vol.1. Cradley Heath, EMAS 1981, pp.171-189. [117] WASÉN,J. - HEIER,E.: Fatigue Crack Growth Thresholds – the Influence of Young’s Modulus and Fracture Surface Roughness. Int. J. Fatigue, 20, 1998, No.10, pp.737-742. [118] MURAKAMI,Y. - ENDO,M.: Prediction for DKth of Various Metals Containing Small Defects in Terms of the Vickers Hardness (Hv) and Square Root of the Projected Area of

- 265 -


Defects ( area ).In: Fracture Mechanics. Current Japanese Materials Research – Vol.8. Eds. H.Okamura and K.Ogura. London and New York, Elsevier 1991, pp.105-124. [119] BEEVERS,C.J. - WARD-CLOSE,C.P.: DK Thresholds in Titanium Alloys - the Role of Microstructure, Temperature and Environment. In: Fatigue Environment and Temperature Effects. Sagamore Army Materials Research Conference Proceedings 27. Eds. J.J.Burke and V.Weiss. New York and London, Plenum Press 1983, pp.83-102. [120] OBABUEKI,A.O. - LEE,C.H. - TANAKA,T. - MILLER,A.K.: A Unified Model for Fatigue Crack Initiation, Short Crack Growth, Long Crack Propagation, and Closure Effects. In: Fatigue 87. Eds. R.O.Ritchie and E.A.Starke, Jr. Vol. I, Cradley Heath, EMAS 1987, pp.381-391. [121] LANKFORD,J.: The Growth of Small Fatigue Cracks in 7075-T6 Aluminum. Fatigue Engng Mat. Struct., 5, 1982, No.3, pp.233-248. [122] HOBSON,P.D.: The Formulation of a Crack Equation for Short Cracks. Fatigue Engng Mat. Struct., 5, 1982, No.4, pp.323-327. [123] MURTAZA,G. - AKID,R.: Modelling Short Fatigue Crack Growth in a Heat Treated Low Alloy Steel. Int. J. Fatigue, 17, 1995, No.3, pp.207-214. [124] SEED,G.M. - MURPHY,G.S.: The Applicability of Neural Networks in Modelling the Growth of Short Fatigue Cracks. Fatigue Fracture Engng Mat. Struct., 21, 1998, No.2, pp.183-190. [125] LUKÁŠ,P. - KUNZ,L.: Prahové hodnoty pro šíření krátkých i dlouhých únavových trhlin v Cr-Mo oceli. Strojírenství, 39, 1989, č.3, s.l71-175. [126] KITAGAWA,H. - TAKAHASHI,S.: Applicability of Fracture Mechanics to Very Small Cracks or the Cracks in the Early Stage. In: Proc.2nd Int. Conf. on Mech. Behavior of Materials (ICM II). Boston, pp.627-631. [127] SMITH,R.A.: On the Short Crack Limitations of Fracture Mechanics. Int. J. Fracture, 13, 1977, No.5, pp.717-720. [128] TAYLOR,D. - KNOTT,J.F.: Fatigue Crack Propagation Behaviour of Short Cracks; The Effect of Microstructure. Fatigue Engng Mat. Struct., 4, 1981, No.2, pp.l47-155. [129] FLORIANOVÁ,J.: Listové pružiny TATRA - současný stav poznatků, perspektivní směry dalšího vývoje. (Zpráva č. 08.01.815-63.) Kopřivnice, Tatra, Kombinát Kopřivnice 1990, 27 s. [130] KUNČAR,Z.: Únavové zkoušky segmentů listových per různého provedení. (Zpráva č. 08.01.815-56.) Kopřivnice, Tatra, Kombinát Kopřivnice 1984, 25 s. [131] KUNZ,J. - NEDBAL,I.: Analýza poruch segmentů listových pružin. (Výzkumná zpráva V-KMAT-309/91.) ČVUT-FJFI-KMAT 1991, 41 s. [132] KUNZ,J. - NEDBAL,I. - SIEGL,J.: Využití fraktografie a lomové mechaniky při analýze poruch listových pruřin nákladních automobilů. In: Sbornik Fraktografia 91 (11.CFK, Herl’any). Košice, ÚEM SAV 1991, s.361-367. [133] CVITANOVIČOVÁ,J. et al.: Listové pružiny pro nákladní automobily. (Zpráva pro kontrolní den.) VÚHŽ Dobrá, říjen 1990, 13 s. [134] PARIS,P.C. - ERDOGAN,F.: A Critical Analysis of Crack Propagation Laws. J. Basic Engng, 85, 1963, No.4, pp.528-534.

- 266 -


[135] RITCHIE,R.O. - KNOTT,J.F.: Mechanisms of Fatigue Crack Growth in Low Alloy Steel. Acta Metallurgica, 21, 1973, No.5, pp.639-648. [136] YUEN,A. - HOPKINS,S.W. - LEVERANT,G.R. - RAU,C.A.: Correlations Between Fracture Surface and Fracture Mechanics Parameters for Stage II Fatigue Crack Propagation in Al-6A1-4V. Met. Trans., 5, 1974, No.4, pp.1833-1842. [137] YOKOBORI,T. - SATO,K.: The Effect of Frequency on Fatigue Crack Propagation Rate and Striation Spacing in 2024-T3 Aluminium Alloy and SM-50 Steel. Engng Fracture Mech., 8, 1976, No.1, pp.81-88. [138] JAMES,A.: The Effect of Frequency Upon the Fatigue Crack Growth of Type 304 Stainless Steel at l000F. Stress Analysis and Crack Growth. ASTM STP 513, ASTM 1972, s.218-229. [139] SAXENA,A.: A Model for Predicting the Effect of Frequency on Fatigue Crack Growth Behavior at Elevated Temperature. Fatigue Engng Mat. Struct., 3, 1981, No.3, pp.247-255. [140] SCHUCHTAR,E. - PLUMTREE,A.: Temperature and Frequency Effects on Fatigue Crack Propagation. In: Failure Analysis - Theory and Practice. (ECF 7, Budapest.) Ed. E.Czoboly. Vol.II, Cradley Heath, EMAS 1988, pp.1081-1086. [141] TONG,J. - BYRNE,J.: Effects of Frequency on Fatigue Crack Growth at Elevated Temperature. Fatigue Fracture Engng Mat. Struct., 22, 1999, No.3, pp.185-193. [142] BROEK,O. - SCHIJVE,J.: The Influence of Sheet Thickness on Crack Propagation. Aircraft Engineering, 38, Nov. 1966, pp.31-33. [143] BUBENÍČEK,M. - KUNZ,J.: Vliv periodicky se opakujicího přetěžování na šíření únavových trhlin v tělesech z hlinikové slitiny ČSN 42 4202. (Výzkumná zpráva VKMAT-345/92.) Praha, ČVUT-FJFI-KMAT 1992, 122 s. [144] FLECK,N.A.: Fatigue Crack Growth - the Complications. In: Fatigue Crack Growth. 30 Years of Progress. Ed. R.A.Smith. Oxford, Pergamon Press 1986, pp.75-88. [145] HARRIS,S.J. - NOBLE,B. - DINSDALE,K.: Fatigue Crack Growth Characteristics of Al-Li Based Alloys. In: Fatigue 84. Ed. C.J.Beevers. Vol.I, Cradley Heath, EMAS 1984, pp.361-369. [146] ANTQLOVICH,S.D. - JAYARAMAN,N.: The Effect of Microstructure on the Fatigue Behavior of Ni Base Superalloys. In: Fatigue Environment and Temperature Effects. Eds. J.J.Burke and V.Weiss. New York and London, Plenum Press 1983, pp.119-144. [147] NEDBAL,I. - KUNZ,J. - SIEGL,J.: Vliv čistoty AlCu4Mgl na kinetiku únavového porušování. Kovové materiály, 23, 1985, č.6, s.725-737. [148] McGOWAN,J.J. - LIU,H.W.: A Kinetic Model of High Temperature Fatigue Crack Growth. In: Fatigue Environment and Temperature Effects. Eds. J.J.Burke and V.Weiss. New York and London, Plenum Press 1983, pp.377-390. [149] FORD,F.P.: Corrosion Fatigue Crack Propagation. In: Fatigue Environment and Temperature Effects. Eds. J.J.Burke and V.Weiss. New York and London, Plenum Press 1983, pp.41-57. [150] RUPPEN,J.A. - HOFFMANN,C.L. - RADHAKRISHNAN,V.M. - McEVILLY,A.J.: The Effect of Environment and Temperature on the Fatigue Behavior of Titanium Alloys. In: Fatigue Environment and Temperature Effects. Eds. J.J.Burke and V.Weiss. New York and London 1983, pp.265-300. - 267 -


[151] KUNZ,J.: Vliv některých charakteristik zatěžovacího spektra na proces únavového porušování konstrukčních slitin. Kovové materiály, 20, 1982, č.3, s.301-312. [152] HERTZBERG,R.W. - VON EUW,E.F.J.: Crack Closure and Fatigue Striations in 2024T3 Aluminum Alloy. Met. Trans., 4, 1973, No.3, pp.887-889. [153] ROMAN,I. - JINCHUK,D.: Fatigue Crack Growth in a Sintered Tungsten Alloy. Fatigue Engng Mat. Struct., 5, 1982, No.1, pp.71-76. [154] KUNZ,J.- NEDBAL,I.- SIEGL,J.: Fraktografické studium kinetiky únavového porušování. In: Sborník VI. CFK (Zlatá Idka). ÚEM SAV Košice 1981, s.291-297. [155] NEDBAL,I. - KUNZ,J. - SIEGL,J.: Quantitative Fractography - Possibilities and Applications in Aircraft Research. In: Basic Mechanisms in Fatigue of Metals (Proc. Int. Colloq., Brno). Eds. P.Lukáš and J.Polák. Praha/Amsterdam, Academia/Elsevier 1988, pp.393-403. [156] LIU,H.W. - KOBAYASHI,H.: Stretch Zone Width and Striation Spacing - The Comparison of Theories and Experiments. Scripta Metal., 14, 1980, No.5, pp.525-530. [157] McEVILY,A.J.: On the Quantitative Analysis of Fatigue Crack Propagation. Fatigue Mechanisms. Advances in Quantitative Measurement of Physical Damage, ASTM STP 811, ASTM 1983, pp.283-312. [158] BAILON,J.P. - ANTOLOVICH,S.D.: Effect of Microstructure on Fatigue Crack Propagation. A Review of Existing Models and Suggestions for Further Research. Fatigue Mechanisms. Advances in Quantitative Measurement of Physical Damage, ASTM STP 811, ASTM 1983, pp.313-349. [159] POLÁK,J.: Cyklická plasticita a nízkocyklová únavová odolnost kovových materiálů. Studie ČSAV. Praha, Academia 1986, 136 s. [160] ROVEN,H.J. - LANGY,M.A. - NES,A.: Striations and the Fatigue Growth Mechanism in a Micro Alloyed Steel. In: Fatigue 87. Eds. R.O.Ritchie and E.A.Starke. Vol.I, Cradley Heath, EMAS 1987, pp.175-184. [161] CORTIE,M.B. - GARRETT,G.G.: On the Correlation Between the C and m in the Paris Equation for Fatigue Crack Propagation. Engng Fracture Mech., 30, 1988, No.1, pp.49-58. [162] CORTIE,M.B.: Technical Note. The Irrepressible Relationship between the Paris Law Parameters. Engng Fracture Mech., 40, 1991, No.3, pp.681-682. [163] HICKERSON.P. - HERTZBERG,R.W.: The Role of Mechanical Properties in LowStress Fatigue Crack Propagation. Met. Trans., 3, 1972, No.1, pp.l79-189. [164] NICCOLLS,E.H.: A Correlation for Fatigue Crack Growth Rate. Scripta Metallurgica, 10, 1976, pp.295-298. [165] BAFLON,J.P. - MASOUNAVE,J. - BATHIAS,C.: On the Relationship Between the Parameters of Paris’ Law for Fatigue Crack Growth in Aluminium Alloys. Scripta Metallurgica, 11, 1977, pp.1101-1106. [166] TANAKA,K. - MATSUOKA,S.: Tentative Explanation for Two Parameters, C and m, in Paris Equation of Fatigue Crack Growth. Int. J. Fracture, 13, 1977, No.5, pp.563-583. [167] BENSON,J.P. - EDMONDS,D.V.: The Relationship Between the Parameters C and m of Paris’ Law for Fatigue Crack Growth in Low-Alloy Steel. Scripta Metallurgica, 12, 1978, pp.645-647.

- 268 -


[168] ISHII,H. - YUKAWA,K.: The Role of Dislocation Substructure in Fatigue Crack Propagation in Copper and Alpha Brass. Met. Trans., 10A, 1979, No.12, pp.1881-1887. [169] RAOHAKRISHNAN,V.M.: Quantifying the Parameters in Fatigue Crack Propagation. Engng Fracture Mech., 13, 1980, No.1, pp.129-141. [170] GRINBERG,N.M.: Stage II Fatigue Crack Growth. Int. J. Fatigue, 6, 1984, No.4, pp.229-242. [171] GRINBERG,N.M.: Physical Base for the Fatigue Crack Growth Parameters and Their Change at Low Temperature. In: Basic Mechanisms in Fatigue of Metals. Eds. P.Lukáš and J.Polák. Prague/Amsterdam, Academia/Elsevier 1988, pp.255-262. [172] TANAKA,K. - MASUDA,C. - NISHIJIMA,S.: The Generalized Relationship Between the Parameters C and m of Paris’ Law for Fatigue Crack Growth. Scripta Metallurgica, 15, 1981, No.3, pp.259-264. [173] LEE,J.B. - LEE,D.N.: Correlation of Two Constants in the Paris Equation for Fatigue Crack Propagation Rate in Region II. In: Advances in Fracture Research (ICF 6, New Delhi). Eds. S.R.Valluri et al. Vol.3. Oxford, Pergamon Press 1984, pp.1727-1733. [174] KRASOWSKY,A.J. - KRAMARENKO,I.V. - KALAIDA,V.V.: Fracture Toughness of Nodular Graphite Cast Irons Under Static, Impact and Cyclic Loading. Fatigue Fracture Engng Mater. Struct., 10, 1987, No.3, pp.223-237. [175] TÓTH,L. - NAGY,Gy. - ROMVARI,P.: Application of the ASPEF Concept for Estimation of Material Behaviour Under Cyclic Loading. In: Failure Analysis - Theory and Practice (ECF 7, Budapest). Ed. E.Czoboly. Vol.II. Cradley Heath, EMAS 1988, pp.649-655. [176] BILIR,Ö.: Technical Note. The Relationship between the Parameters C and n of Paris’ Law for Fatigue Crack Growth in a SAE 1010 Steel. Engng Fracture Mech., 36, 1990, No.2, pp.361-364. [177] IOST,A. - LESAGE,J.: On the Existence of a Pivot Point for Stage II Fatigue Crack Growth. Engng Fracture Mech., 36, 1990, No.4, pp.585-596. [178] VESIER,L.S. - ANTOLOVICH,S.D.: Fatigue Crack Propagation in Ti-6242 as a Function of Temperature and Waveform. Engng Fracture Mech., 37, 1990, No.4, pp.753-775. [179] SINCLAIR,G.B. - PIERI,R.V.: On Obtaining Fatigue Crack Growth Parameters from the Literature. Int. J. Fatigue, 12, 1990, No.1, pp.57-62. [180] KRAUSZ,K. - KRAUSZ,A.S.: On the Physical Meaning of the Power-Function Type Fatigue Equations. Int. J. Fracture, 47, 1991, pp.R37-R42. [181] FORMAN,R.G. - KEARNEY,V.E. - ENGLE,R.M.: Numerical Analysis of Crack Propagation in a Cyclic-Loaded Structure. J. Basic Engng, Trans. ASME, 89D, 1967, No.3, pp.459-464. [182] FORMAN,R.G. - HU,T.: Application of Fracture Mechanics on the Space Shuttle. Damage Tolerance of Metallic Structures: Analysis Methods and Applications, ASTM STP 842, ASTM 1984, pp.108-133. [183] KOHOUT,J.: A New Function Describing Fatigue Crack Growth Curves. Int. J. Fatigue, 21, 1999, No.8, pp.813-821. [184] NAKAGAKI,M. - ATLURI,S.N.: Fatigue Crack Closure and Delay Effects under Mode I Spectrum Loading: An Efficient Elastic-Plastic Analysis Procedure. Fatigue Engng Mat. Struct., 1, 1979, No.4, pp.421-429. - 269 -


[185] POOK,L.P.: Linear Elastic Fracture Mechanics for Engineers: Theory and Applications. Southampton, Boston, WIT Press 2000, 154 p. [186] HEROLD,H. - STREITENBERGER,M. - ZINKE,M. - ORAZI, L. – CAMMEROTA, G.P.: An Experimental and Theoretical Approach for an Estimation of DKth. Fatigue Fract. Engng Mater. Struct., 23, 2000, No.9, pp.805-812. [187] BARTOSIEWICZ,L. - KRAUSE,A.R. - SENGUPTA,A. - PUTATUNDA, S.K.: Application of a New Model for Fatigue Threshold in a Structural Steel Weldment. Engng Fracture Mech., 45, 1993, No.4, pp.463-477. [188] TROSHCHENKO,V.T. - POKROVSKII,V.V.: Fatigue Fracture Toughness of Metals and Alloys. Part 1. Experimental Procedures and Materials and General Principles. Strength of Materials, 35, 2003, No.1, pp.1-13. [189] TROSHCHENKO,V.T. - POKROVSKII,V.V.: Fatigue Fracture Toughness of Metals and Alloys. Part 2. The Influence of Service and Manufacturing Factors. Strength of Materials, 35, 2003, No.2, pp.105-113. [190] KFOURI,A.P.: Limitations on the Use of the Stress Intensity Factor, K, as a Fracture Parameter in the Fatigue Propagation of Short Cracks. Fatigue Fracture Engng Mater. Struct., 20, 1997, No.12, pp.1687-1698. [191] NEDBAL,I. - KOPŘIVA,P. - KUNZ,J. - SIEGL,J. - KARLÍK, M.: Fatigue Tests and Fractography of Stainless Steel 304L. [Report V-KMAT-423/96.] Praha, ČVUT-FJFIKMAT 1996, 88+116 p. [192] ZUIDEMA,J. - BLAAUW,H.S.: Slant Fatigue Crack Growth in Al 2024 Sheet Material. Engng Fracture Mech., 34, 1989, No.2, pp.445-456. [193] KUNZ,J.: Vliv smykových okrajů na rychlost šíření únavové trhliny. In: Degradácia vlastností konštrukčných materiálov únavou (VII. konf., Rajecké Teplice). Žilina, Žilinská univerzita 2001, s.91-96. [194] NEDBAL,I. - KUNZ,J. - SIEGL,J. - KOPŘIVA,P.: Porovnání kinetiky únavových trhlin v tělesech ze slitin typu AlCuMg o různém stupni čistoty. [Výzkumná zpráva V-KMAT149/84.] Praha, ČVUT-FJFI-KMAT 1984, 58 s. [195] NEDBAL,I. - KUNZ,J. - SIEGL,J.: Fatigue Crack Growth in Austenitic Steel AISI 304L in PWR Primary Water at Room and Elevated Temperature. In: Environmental Degradation of Engineering Materials (Proc. 2nd Int. Conf., Event No.264 of the European Federation of Corrosion). LMP Université Bordeaux 1, 2003, CD-Rom. [196] KUNZ,J. - NEDBAL,I. - SIEGL,J.: Vliv vodního prostředí a zvýšené teploty na únavové porušování austenitické oceli. In: Degradácia vlastností konštrukčných materiálov (VIII. konf., Terchová-Biely Potok). Žilina, Žilinská univerzita 2003, s.13-18. [197] ANDREYKIV,O.Ye. - LYSAK, M.V. - SKALSKY,V.R.: Method of Accelerated Evaluation of KIscc under Stress Corrosion Cracking. Engng Fracture Mech., 54, 1996, No.3, pp.387-394. [198] WEI,R.P.: Environmental Considerations for Fatigue Cracking. Fatigue Fract. Engng Mater. Struct., 25, 2002, No.8/9, pp.845-854. [199] KUNZ,J. - SIEGL,J. - NEDBAL,I. - AUGUSTIN,P. - PÍŠTĚK,A.: Application of Quantitative Microfractography in Damage-Tolerance and Fatigue Evaluation of Wing Spar. In: Proc. 24th International Congress of the Aeronautical Sciences (ICAS 2004, Yokohama). Ed. I.Grant. Optimage Ltd., Edinburgh 2004, 10 p., CD-Rom. - 270 -

ANGLICKO - ČESKÝ SLOVNÍK NEJDŮLEŽITĚJŠÍCH ODBORNÝCH POJMŮ _________________________________________________________________________________________ ANGLICKO-ČESKÝ SLOVNÍK NEJDŮLEŽITĚJŠÍCH ODBORNÝCH POJMŮ

antiplane shear blunting line body brittle cleavage chevron notch clip gauge compliance constraint factor corrosion fatigue crack crack closure crack driving force crack front crack growth crack growth rate crack opening displacement crack propagation crack tip crack tip opening displacement displacement ductile edge sliding embrittlement energy release rate facet failure fatigue fatigue limit final fracture finite element method (FEM) flat fracture flaw fractograph fracture fracture criterion fracture mechanics fracture toughness grain grain boundary hardening hydrogen embrittlement initiation

antirovinný smykový mód (ozn. III) čára otupení těleso křehký štěpný, štěpení šípový vrub sponový snímač poddajnost faktor stísnění únava za koroze trhlina uzavření trhliny hnací síla trhliny (G) čelo trhliny růst trhliny rychlost šíření trhliny otevření trhliny, COD šíření trhliny čelo trhliny otevření čela trhliny, CTOD posunutí tvárný rovinný smykový mód (ozn. II) zkřehnutí rychlost uvolňování deformační energie (G) faseta lom únava mez únavy dolom, závěrečný lom metoda konečných prvků (MKP) plochý lom vada, kaz fraktografický snímek, snímek lomové plochy lom kritérium lomu lomová mechanika, mechanika lomu lomová houževnatost zrno hranice zrn zpevnění vodíkové zkřehnutí iniciace - 271 -

ANGLICKO - ČESKÝ SLOVNÍK NEJDŮLEŽITĚJŠÍCH ODBORNÝCH POJMŮ _________________________________________________________________________________________

in-plane shear intergranular fracture marking monotonic plastic zone load notch opening mode out-of-plane shear plain strain plain strain fracture toughness plain stress plastic zone size pressure range reversed plastic zone sample scanning electron microscope service (conditions) shear lip short crack size effect slant fracture sliding mode specimen stainless material strain strain energy density strain gauge stress stress corrosion cracking stress intensity factor stress ratio stretch zone striation striation spacing structure material tearing mode tensile tensile mode threshold value tough toughness transgranular transition temperature yield strength

rovinný smykový mód (ozn. II) interkrystalický značkování lomu monotonní plastická zóna zatížení vrub tahový mód (ozn. I) antirovinný smykový mód (ozn. III) rovinná deformace lomová houževnatost ve stavu rovinné deformace rovinná napjatost velikost plastické zóny tlak rozkmit, rozsah reverzní plastická zóna vzorek řádkovací elektronový mikroskop provoz, provozní podmínky smykový okraj (lomu) krátká trhlina vliv velikosti (tělesa) šikmý lom rovinný smykový mód (ozn. II) vzorek korozivzdorný materiál deformace hustota deformační energie tenzometr napětí koroze pod napětím, korozní praskání faktor intenzity napětí (K) parametr asymetrie cyklu zóna protažení striace (mikrofraktografický znak únavového lomu) rozteč striací konstrukční materiál antirovinný smykový mód (ozn. III) tah tahový mód (ozn. I) prahová hodnota houževnatý houževnatost transkrystalický přechodová teplota mez kluzu - 272 -

ANGLICKO - ČESKÝ SLOVNÍK NEJDŮLEŽITĚJŠÍCH ODBORNÝCH POJMŮ _________________________________________________________________________________________

- 273 -

Aplikovaná lomová mechanika

Recommend Documents