2010. Eötvös Loránd Szakközép és Szakiskola Molnár István ©
[MECHANIKA- HAJLÍTÁS] 1
A hajlításra való méretezést sok helyen lehet használni, sok mechanikai probléma modelljét vissza lehet vezetni a hajlítás problémájára. A hajlítás tárgyalása előtt elevenítsük fel a statika témaköréből a veszélyes keresztmetszet meghatározását. A veszélyes keresztmetszet meghatározásához első körben meg kell állapítani, hogy mekkora erők hatnak a tartóra, amely statikailag nyugalomban van. Ezután pedig az igénybevételi ábrákat rajzoljuk fel, ahonnan meg tudjuk határozni, hogy melyik keresztmetszetet veszi igénybe legjobban a a terhelés, és hogy mekkora a terhelés nagysága az adott keresztmetszeten. Nézzük a következő példát:
A következő adatok ismertek: F (terhelőerő), l és l1 (a rúd jellemző hosszúságai). A feladat a tartó legjobban igénybevett keresztmetszetének meghatározása. Mivel a rúd statikailag nyugalomban van, meg lehet határozni az Fa és Fb erőt. A rúdra ható erők eredője nulla (statika első főtétele), így az eredő erő komponensei is nullára adódnak. Mivel x irányú erő nem hat rá, ezért az y irányú eredő erő nagyságát írjuk fel: Mivel ebben az egyenletben kettő ismeretlen van, ezért nem tudjuki megoldani. Keressünk egy olyan egyenletet, amelyben egy ismeretlen szerepel. Ha a rúd valamelyik végpontjára felírjuk a nyomatéki egyenletet, akkor az adott végpontban ható erő ki fog esni, hiszen az erő hatásvonala áthalad a ponton, amire a nyomatékot számítjuk. Az A pontra felírt nyomatéki egyenlet: Ebből az Fb-t kifejezve:
Ha ismerjük az Fb-t, akkor Fa kifejezhető az elsőként felírt egyenletből: HA ismerjük a szerkezetre ható összes erőt, akkor fel tudjuk rajzolni az igénybevételi ábrákat.
2
A T y(l) ábrán a függőleges irányú erőket ábrázoljuk előjelhelyesen. Ami azt jelenti, hogy ami pozitív irányba mutat, azt pozitív irányba ábrázoljuk, ami negatív irányba, azt negatív irányba ábrázoljuk. Az ábra kezdőpontjából (origó) elindulva Fa egységet pozitív irányba mozdulunk el. Nem hat másik függőleges irányú erő a szerkezetre egészen addig a pontig, ahol az F erő hat. Itt F erőnyi egységet elmozdulunk lefele. Ha jó a számításunk, akkor az l tengelytől pontosan –Fb távolságra leszünk. a rúd végpontjáig negatív tartományban maradunk, a rúd végpontjában pedig Fb erő hat, így a nulla értékre térünk vissza. A szerkezet nyíróerő (függőleges irányú erő) ábrája:
A nyíróerő ábrából meghatározható a hajlító nyomatéki ábra ( Mhz) . A nyomaték az erő nagyságának és az erőkarnak a szorzata. Ha megnézzük a hajlító nyomatéki ábrát, akkor láthatjuk, hogy az erőkart a vízszintes az erő nagyságát a függőleges tengelyről tudjuk leolvasni, azaz a nyomatékot az ábrán látható téglalapok területének nagyságával meg tudjuk határozni. A nyomatéki ábra első fele úgy határozható meg, hogy az első téglalap területét ábrázoljuk. A kezdőpontban nulla a terület, és ahol az F erő hat ott a nyomaték a terület képlet alapján: Ami a nyíróerő ábrán pozitív tartományban van, azt a nyomatéki ábrán negatívnak tekintjük, ami a nyíróerő ábrán negatív tartományban van, azt pozitívnak tekintjük. A nyomatéki ábra:
A feladat során az ábrákat egymás alá rendezzük. Az Nx ábra a vízszintes irányú erőket tartalmazza, ami a mi esetünkben nulla minden pontban, hiszen nem hat a szerkezetre vízszintes irányú erő.
3
A szerkezet veszélyes keresztmetszete pedig az a keresztmetszet lesz, ahol a legnagyobb nyomaték hat ( Mhz,max). Ezt a pontot visszavetítjük a rúdra. és jelöljük. Ez lesz az a pont, amit majd a hajlításra való méretezés során méretezni fogunk.
Gyakorlás: Határozza meg a tartó veszélyes keresztmetszeteit, ha ismertek az alábbi adatok: F [N]
l1[m]
l [m]
20000
1,5
3
50000
1
3
75000
2
3
60000
2,2
3,4
4
Méretezés: A méretezés elvégzéséhez szükséges a hajlítás során megismert alapfogalmak ismerete, illetve a következő összefüggések. Keresztmetszeti tényező: A keresztmetszeti tényező a keresztmetszet egyik geometriai tulajdonsága. Az összefüggések levezetése komoly matematikai tudást igényel, ezért ezek levezetését hanyagoljuk és csak a kiszámítás módját írjuk fel. Keresztmetszet A [mm2]
Kz[mm3]
Téglalap Kör
A hajlítófeszültség meghatározása:
,ahol : a rúdban ébredő hajlító feszültség [MPa] Mhz: a hajlító nyomaték [Nm] Kz: a keresztmetszeti tényező [mm3] A hajlítás során is méretezhetünk, illetve ellenőrizhetünk egy adott szerkezetet. A méretezés során a keresztmetszet minimális nagyságát határozzuk meg. Azt a minimális nagyságot, ami elbírja az adott terhelést. A méretezés lépései: 1. A hiányzó támasztóerők meghatározása (Fa;Fb). Nyomatéki és egyensúlyi egyenletből. 2. Nyíróerő ábra felrajzolása. 3. Hajlító nyomatéki ábra felrajzolása 4. Maximális hajlító nyomaték meghatározása, veszélyes keresztmetszet meghatározása. 5. A rúd választott anyagából a megengedhető feszültség meghatározása.
, ahol: : megengedhető feszültség [MPa] : a rúd anyagára megadott maximális feszültség [MPa] : biztonsági tényező [-]
5
6. A megengedhető feszültségből és a hajlító nyomatékból a minimális keresztmetszeti tényező meghatározása.
, ahol: Kz,min: minimális keresztmetszeti tényező [mm3] Mhz: hajlító nyomaték az adott keresztmetszeten [Nm] : megengedhető feszültség [MPa] 7. A minimális keresztmetszeti tényezőből a minimális méretek meghatározás (keresztmetszet meghatározása). Kör esetén: , ahol: dmin: minimális átmérő [mm] Kz,min: minimális keresztmetszeti tényező [mm3] 8. Felkerekítjük a kapott értéket ötös pontossággal. d>dmin Példa a méretezésre: Határozzuk meg a tartó keresztmetszetét! Adott: F=50000 [N] l=2 [m] l1=1 [m] A méretezés során ismerjük a terhelést, és a tartó geometriai méreteit, azonban nem ismerjük a tartó keresztmetszetét. A számítások során a keresztmetszetet kell meghatározni, hogy az 50000 N-os terhelés hatására nem hajoljon el a rúd, illetve ne törjön el a tartó.
6
Határozzuk meg a hiányzó erőket, és maximális terhelést valamint a veszélyes keresztmetszetet!
A veszélyes keresztmetszet a C pontban lesz, ahol az F erő hat a tartóra. A választott keresztmetszet: kör A választott anyag: A választott biztonsági tényező: n=1,5 A megengedhető feszültség:
A minimális keresztmetszeti tényező meghatározása:
A minimális átmérő meghatározása:
7
A választott átmérő: d=15 [mm] Gyakorló példák: l1[m]
l [m]
F [N]
d[mm]
1
2
60000
?
1,5
3
70000
?
1
2
80000
?
2
3
90000
?
1,1
2
80000
?
Ellenőrzés Ha egy kész szerkezeten meg szeretnénk változtatni a terhelést, akkor ellenőrzőleg el kell végeznünk egy számítást, aminek a végeredményeképpen megkapjuk, hogy a tartó megfelel-e a terhelésre vagy sem.
8
Az ellenőrzés lépései: 1. A megengedhető feszültség meghatározása:
,ahol : megengedhető feszültség [MPa] : maximális feszültség [MPa] :biztonsági tényező [-] 2. A jellemző feszültség meghatározása: 2/a. A hiányzó erők meghatározása:
,ahol: MA: nyomaték [Nm] F;Fa;Fb: erő [N] l;l1: a rúd geometriai méretei [m] 2/b. A veszélyes keresztmetszetet terhelő nyomaték meghatározása:
,ahol: Mhz,max: maximális hajlító nyomaték [Nm] Fa;Fb: a rúd végpontjaiban ébredő erő [N] l;l1: a rúd geometriai méretei [m] 2/c. A keresztmetszeti tényező meghatározása:
Kz: keresztmetszeti tényező [mm3] d: a keresztmetszet átmérője [mm] 2/d. A jellemző feszültség meghatározása:
,ahol: : a rúdban ébredő jellemző feszültség [MPa] : a maximális hajlító nyomaték [Nm] : keresztmetszeti tényező [mm3] 9
3. A megengedhető és jellemző feszültségek összehasonlítása: Ha
NEM MEGFELELŐ
Ha
MEGFELELŐ
Példa ellenőrzésre: Ellenőrizzük le a következő tartót! Az ábrán látható tartón a következő adatok ismertek: l=2 [m] l1=1[m] 450 [MPa] n=1,5 [-] Mhz,C:25000 [N] d=10 [mm]
Határozzuk meg a megengedhető feszültséget:
Határozzuk meg a keresztmetszeti tényező nagyságát:
A rúdban ébredő jellemző feszültség meghatározása:
A jellemző és a megengedett feszültség összehasonlítása:
A tartó MEGFELELŐ
10
Gyakorló példák: Határozza meg, hogy a rúd megfelelő-e vagy sem? l
l1
Mhz
n
[m]
[m]
[Nm]
[-]
3
1
2
d [MPa]
[mm]
50000 1,2
500
10
1
35000 1,4
400
11
4
1
80000 1,1
500
10
2
1,1
40000 1,5
450
15
3
1,1
50000 1,5
400
15
11
12
13
