I. MECHANIKA (Klasszikus mechanika)

I. MECHANIKA (Klasszikus mechanika) I.1. A mechanika tárgya Klasszikus mechanika olyan közelítés, amely a közönséges (makro) méretű és sebességű (fénysebességnél jóval kisebb) tárgyak mozgásával foglalkozik: Klasszikus mechanika

Mikroméretű (elemi részek) Kvantummechanika

Fénysebességhez közeli Relativitáselmélet

Relativisztikus kvantummechanika

Lakner: FIZIKA I. MECHANIKA

1

I.2 Mértékrendszerek A mozgások térben és időben játszódnak le Þ Mennyiségek: Mennyiségek = mértékszám + mértékegység Kezdetben teljesen önkényes volt a megválasztásuk (font, láb, stb) ÞFrancia forradalom „természetes” mértékrendszer ÞSI A mechanikában használt mértékegységek (Systeme Internatinal d' Unite = SI) · Hosszúság: méter, m (Sevresi ősméter Ü a fény útja 1/299792458 s alatt), · Tömeg: kilogramm, kg (Sevresi platinahenger tömege), · Idő: Másodperc, s ( a 133 tömegszámú Ce atom megfelelő sugárzása 9192631770 periódusának időtartama), · Síkszög: Radián, rad (a kör sugarával megegyező körívhez tartozó szög), · Térszög: Szteradián, sr (a gömbsugár négyzetével egyenlő területhez tartozó középponti térszög). Ezek az alapmennyiségek, használatosak decimális törtrészeik (deci, centi, milli, mikró, nanó) és többszöröseik (.., hektó, kiló), az időnél a perc, és az óra. Származtatott mennyiségek. Fizikai definició alapján. Például: út m sebesség m 2 Gyorsulás = = Sebesség = = idő s , idő s m2 Erő = tömeg x gyorsulás = kg x = newton stb. s


2

I.3. Az anyagi pont kinematikája Anyagi pont: kiterjedése nincs, tömege van, Û közelítés Mozgás leírása: vonatkoztatási rendszer = koordinátarendszer y r

y

j k

Derékszögű, jobbsodrású koordinátarendszer: P az anyagi pont,

P

r(t) a helyvektor az idő függvénye.

x

i

r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k

z

x, y, z a koordináták

x

z

i, j, k az egységvektorok

Az r(t) helyvektor egy térgörbét ír le (vektorok vastagon jelölve, _

írásban képletben felülhúzva, r ). P r(t)

Ds = út Dr = elmozdulás

r(t+Dt )

P' pálya

A Dr a Dt alatt a P pontból a P' pontba történő elmozdulás : vektor A Ds az ívhossz a Dt alatt megtett út: skalár

A sebesség: időegység alatt megtett út: egyenesvonalú egyen-letes mozgásra igaz. Általános esetbe a sebesség az r(t) helyvektor idő szerinti első deriváltja, azaz szintén vektor lesz:

Dr dr · v = lim = = r Dt dt Lakner: FIZIKA I. MECHANIKA

3

gyakran jelölik ponttal is (időszerinti derivált). Koordinátákkal: · · · dx dy dz v= i+ j+ k = x i + y j + z k = vx i + vy j + vz k dt dt dt

v =v=

v 2x + v 2y + v 2z

a sebesség nagysága.

Dimenziója: hosszúság/idő, mértékegysége: m/s A gyorsulás: időegység alatti sebességváltozás egyenletesen gyorsuló mozgásra igaz. Általában a sebesség első (a helyvektor második) deriváltja:

dv d 2 r a= = 2 dt dt

·

vagy

··

a=v=r

A gyorsulás derékszögű koordinátarendszerben: ··

··

··

a ( t ) = x (t ) i + y j + z (t ) k = ax i + a y j + az k

a = a = a x2 + a y2 + a z2 . Dimenziója: sebesség/idő = hosszúság/időnégyzet, m/s2 . Legegyszerűbb eset: állandó gyorsulással rendelkező, egyen-letesen változó mozgás. Legyen a gyorsulás a (gravitációs gyorsulás) továbbá t = 0 r = r0 és v = v0 kezdeti feltételek. A gyorsulás: dv a (t ) = ebből d v = g d t . dt Kiintegrálva és a v(t=0) = v0

v (t ) = a t + b

a v(t=0) = v0 kezdeti feltétel miatt

v (t ) = a t + v 0

b = v0.

A sebesség pedig a helyvektor deriváltja azaz


4

v (t ) =

dr = at + v 0 . dt

Kiintegrálva a tömegpont helye mint az idő függvénye pedig:

t2 r (t ) = a + v 0t + r0 . 2 Eszerint a Dr = r(t) - r0 , azaz az elmozdulás vektor mindig az a gyorsulás és a v0 kezdeti sebesség által meghatározott síkban van Þ síkmozgás: leírásához elegendő az x, y koordináta-rendszer.

Speciális esetek: 1. Szabadesés (Galileo Galilei, Pisai ferde torony) A gyorsulás:

y

h

y(t) v g


a = (0, -g, 0).

A kezdeti feltételek: r0 = (0, h, 0) v0 = (0, 0, 0).

g 2 y ( t ) = h t A mozgásegyenlet: 2 Az esési idő (y = 0): t m =

2h g .

A végsebesség: vm = gtm = 2gh .

5

2. Ferde hajítás y

a = (0, -g, 0) r0 = (0, 0, 0) v0 = (v0cosa, v0sina,0)

x(t)

v0 y(t) a

l

h

A koordináták mint az idő függvényei:

x :

A pálya egyenlete egy parabola: A repülési távolság (y = 0):

v0 = kezdeti sebesség nagysága a = az x tengellyel bezárt szög

x( t ) = ( v0 cosa )t g y( t ) = - t 2 + ( v0 sina )t 2 g y( t )= - 2 2 x2 + xtga 2v0 cos a 2v cosasina v0 l= 0 = sin2a g g

Adott v0 kezdősebességnél akkor repül a legmesszebbre, ha a = 450 2 v 0 sin a g v02 sin2 a h= 2g tm =

A repülési idő (y = 0): A repülési magasság (h = y(tm/2): A valóságos pálya a levegő közegellenállása miatt az un. ballisztikus pálya

y

x


6

A mozgás leírása polárkoordinátákkal (síkmozgás) x(t)=r(t)cosj(t) Pálya

y(t)=r(t)sinj(t)

r(t)

r(t)=r(t)(cosj(t)i + sinj(t)j )

j

A sebesség az r -nek a t szerinti első (szorzat), a gyorsulás a második deriváltja:

Speciális esete a körmozgás: R

·

j (t ) = w (t ) szögsebesség R = konstans j er = cosj(t)i + sinj(t)j radiális egységvektor et = -sinj(t)i + cosj(t)j tangenciális egy.vektor

Sebesség: v(t)=Rw(t)(-sinj(t)i + cosj(t)j)=Rw(t) w(t) et tangenciális irányú Gyorsulás: ·

a(t) = -Rw2 (cosj( t )i + sinj( t )j + R w( - sinj( t )ι + cosj( t )j ) ·

a(t) = -Rw 2e r + Rw e t van radiális (befele mutató) és azaz tangenciális komponense is.

Ha w = const. egyenletes körmozgás. Ekkor a gyorsulásnak nincs tangenciális komponense, az a kör középpontja felé mutat: kerületi sebesség v = Rw 2 v 2 a= centripetális gyorsulás: acp = Rw a=Rw2 R Lakner: FIZIKA I. MECHANIKA

7


8

I.2. Az anyagi pont kinetikája A kinetika feladata a mozgás közvetlen okainak ismeretében a mozgás meghatározása. (Ókori felfogás: a nyugalom a termé-szetes, a mozgás rendellenes)Þ(Galileo Galilei, Isaac Newton) axiómák (Newton axiómák): 1. A tehetetlenség törvénye (Newton I. axiómája): Minden test megtartja egyenes vonalú egyenletes mozgását vagy nyugalmi állapotát, mindaddig míg más testek ennek megváltoztatására nem kényszerítik Þ Tehetetlenség. Következménye: A mozgás a természetes, a nyugalom relatív, Inerciarendszer: olyan koordinátarendszer, ahol érvényes az I. axióma. (ha egy van akkor számtalan van: minden hozzá képest egyenes vonalú egyenletes mozgást végző). Közelítés (pld. a Földhöz rögzített). 2. Az erő (kölcsönhatás) törvénye (Newton II. axiómája): a mozgás megváltozása más testekkel való kölcsönhatás Þ mértéke az erő (F). A sebesség megváltozása arányos a testre ható erővel: dv 1 = F dt m

az arányossági tényező reciproka a tömeg, az m. Azt fejezi ki, hogy a test mennyire áll ellent az erőnek, mennyire akarja mozgását megtartani. Minél nagyobb annál inkább, így az m a mozgás megtartóképességének, a tehetetlenségnek a mértéke, így ezt a tömeget a test tehetetlen tömegének nevezzük. Az előzőek szerint: ·· d 2r m 2 = mr = F dt


9

komponenseként egy-egy másodrendű differenciálegyenletet (összesen három) jelent, ··

m x = Fx

··

··

m y = Fy m z = Fz

amik F(Fx,Fy,Fz) ismeretében, az említett kezdeti feltételek mellett (r(t=0)=r0(x0, y0, z0) és v(t=0)=v0(v0x, v0y, v0z)) megoldhatók. 3. Erő ellenerő törvénye (Newton III. axiómája): Minden erővel szemben fellép egy ugyanolyan nagyságú, de ellentétes irányú ellenerő.

FAB B

A FBA

FAB = - FBA

4. Az erők szuperpozíciójának elve: Ha egy testre több erő hat, akkor ezek hatása helyettesíthető az eredőjük hatásával, azaz: F = F1 + F2 +.....+ Fn . ennek és a II. axióma felhasználásával: ··

mr = F = å Fi

a dinamika alapegyenlete. Az erő származtatott mennyiség, mértékegysége N (Newton) = kgm/s2. Az impulzus: a mozgásmennyiség p = mv jobban jellemzi a testet, mivel az erő hatására ez változok meg, Ennek megváltozása arányos az erővel (impulzustétel): d p d ( mv ) = =F dt dt Lakner: FIZIKA I. MECHANIKA

10

a Newton II. törvényének általánosabb megfogalmazását jelenti, mivel a tömeg is változhat a mozgás közben (Forma-I versenyautó) A t1 t2 közötti impulzusváltozás (erőlökés) arányos lesz az erő integráljával: t2

p(t 2 ) - p(t1 ) = ò Fdt t1

amely tartalmazza egyben az impulzus megmaradásának tételét is, ugyanis, ha egy testre ható erők eredője F = 0, akkor az előzőből p(t)= állandó. Az impulzust I-vel is jelöljük.

A munka A munka az erőnek az elmozdulás irányába eső vetületének és az elmozdulásnak (út) szorzata. Állandó erő és egyenes pálya esetén igaz. W = Fs · s IrI=s

F Dr

a Fs s

W = IFI IDrI cosa W = F · Dr a két vektor skalárszorzata

Amennyiben az erő nem állandó, akkor a pályát az A és B pont között felbontjuk n db Dri elemi elmozdulásokra, amelyekhez tartozó Fi állandónak tekinthető, így az elemi munka: DWi = Fi Dri . A teljes munka a pálya A és B pontja között az előzőek összege, azaz:


11

WAB =

rB

n

å F Dr i

Þ ò Fdr = ò ( Fx dx + Fy dy + Fz dz )

i

i =1

rA

g

finomítva a felosztást átmegy integrálba (vonalmenti integrál). Értéke általában nemcsak az A és B végpontoktól függ, hanem attól is, hogy milyen g görbe mentén végezzük az integrálást (vagyis az úttól is). Mivel dr=vdt ezért a munka az alábbi módon is felírható: W =

rB

tB

rA

tA

ò F d r = ò Fv dt .

Származtatott mennyiség, egysége: J(Joule)=Nm= kgm 2/s2. A mozgási energia Hogy egy test mozgásállapota hogyan változik, az nemcsak az erőktől, hanem azok munkájától is függ Þ munkavégzőképesség = energia. Az F=ma erő munkája az előzőek szerint: W =

rB

tB

tB

rA

tA

tA

ò Fdr = ò mavdt = ò

t

B d æ1 é1 2ö 2ù ç mv ÷ dt = ê mv ú ø dt è 2 û tA ë2

ugyanis dvy 1 æ dv dv ö d æ 1 2ö 1 d 2 2 2 + 2vz z ÷ = va . vx + vy + vz = ç 2vx x + 2vy ç v÷= 2è dt ø dt dt dt è 2 ø 2 dt

(

)

Amennyiben a W = O, azaz nincs munkavégzés, akkor

1 2 mv = constans 2 a mozgó testre jellemző mennyiség, amit kinetikus (mozgási) energiának nevezünk. Amennyiben a test sebessége v1-ről (t1 időpillanatban) v2- re (t2 időpillanatban) változik, munkavégzés történik:


12

ha W>0 azaz v2>v1 a testen végeznek munkát ha W<0 azaz v2 < v1 a test végez munkát

1 2 1 2 mv2 - mv1 = W 2 2

A fenti összefüggést munkatételnek hívjuk. A nehézségi erő munkája Mozogjon egy m tömegpont a gravitációs térben, a = (0,-g,0). y r1

r

y1

F = (0, -mg, 0) r1 = (x1, y1, z1) r2 = (x2, y2, z2)

mg r 2

y2

z

x

A munka az előzőek alapján: r2

W = ò Fdr = ò ( Fx dx + Fy dy + Fz dz ) = mg( y1 - y 2 ) r1

g

látható, hogy az csak a magasságkülönbségtől függ és független attól, hogy milyen úton jutottunk az r1 pontból az r2-be. Az mgy mennyiséget az anyagi pont potenciális (helyzeti) energiájának nevezzük. A munkatétel értelmében ez a munka a mozgási energia megváltoztatására fordítódik, így a kettőt összevetve: 1 2 1 2 mv2 - mv1 = mgy1 - mgy2 . 2 2


13

Átrendezve egy fontos megmaradási tételt kapunk: 1 2 1 mv2 + mgy 2 = mv12 + mgy1 azaz 2 2 1 2 mv + mgy = constans 2

a mechanikai energia megmaradásának a tétele. A megmaradási tétel nemcsak nehézségi erő esetén érvényes. Minden olyan esetben fennáll, amikor az erő munkája csak a két pont helyzetétől függ és nem függ az úttól (körintegrálja zérus). Az ilyen erőt konzervatív erőnek nevezzük (ilyenek még, többek között az elektromos és a mágneses erők). Ekkor érvényes a mechanikai energia megmaradásának tétele. Az F(r) erő egy vektor-vektor függvény, ezért a tér minden pontjához rendelhető egy-egy vektor, amelyek un. vektorteret alkotnak, amit erőtérnek nevezünk. Az E térerősséggel jellemezhető, ami az egységnyi tömegű (töltésű) pontra ható erő és így: F=mE Konzervatív erő(tér) esetén a térerősség előállítható egy F(r) vektor skalár függvény teljes deriváltjaként, azaz (definíció szerint annak negatív) gradienseként:

E = -grad F (r ) = -(

¶ F ¶ F ¶F , , ) ¶x ¶y ¶z

azaz vektor lesz, amely a legnagyobb potenciálváltozás irányá-ba mutat. Az F(r) függvényt az erőtér (skalár) potenciáljának hívjuk, akkor létezik, ha rotE=0 (egyenértékű a körintegrál zérussal).


14

Töltött részecskék mozgása elektromágneses mezőben Vákuumban viszonylag kis sebességgel (fénysebesség hatodánál kisebb, a relativisztikus effektus elhanyagolható) pontszerű részecskék mozgása, melyekre ható gravitációs erő szintén elhanyagolható. A q töltésre ható erő a Lorentz erő: F=qE+q(vxB) E a villamos térerősség, B a mágneses indukció, v a részecske sebessége. Speciális eseteket vizsgálunk: Elektromos térben történő mozgás. A mozgásegyenlet: ··

m r = qE

kezdősebesség:

v0

a) a kezdősebesség párhuzamos a térerősséggel: v0(v0,0,0), E(E,0,0) akkor a(a,0,0), ahol a=qE/m egyenesvonalú, egyenletesen gyorsuló, (ha a kezdősebesség és az erő egyirányú) mozgás, illetve egyenletesen lassuló (ha ellentétes irányú). Az elektromos erőtér (gravitáció analógiájára) munkája: x2

W1,2 = ò qEdx = -q(F 2 - F1 ) = qU ahol x1

U = F1 - F2 potenciálkülönbség

Ha az elektron 1V potenciálkülönbségen átfut akkor 1eV=1,6·10-19J energiára tesz szert, amit az energiaegységként atomfizikában gyakran használunk. b) a kezdősebesség szöget zár be a térerősséggel, akkor a pálya a ferde hajításnál megismert paray bolapálya lesz. Ha ez a szög 900-os, akkor: -q x qE 2 x y= 2v 0 E az eltérítés arányos az E-vel, azaz az elektromos térerősséggel (potenciállal)


15

Katódsugárcsőben a felgyorsított elektronokat két egymásra merőleges lemezpár téríti el x és y irányba. A vizszintes eltérítőre un. fűrészrezgést kapcsolnak, míg a függőlegesre a vizsgált jelet.

Mágneses térben történő mozgás A mágneses mező munkája: r2

t2

r1

t1

W1,2 = ò q( vxB)dr = ò q( vxB) vdt = 0

azaz a mágneses tér nem változtatja meg a részeske sebességének a nagyságát, csak az irányát. Három eset: a) vIIB ekkor a részecskére ható erő 0, tehát a sebesség nem változik b) v^B ebben az esetben a részecskére ható erő merőleges lesz annak sebességére (centripetális erő), azaz a részecske körmozgást végez, azaz:

v2 qvB = m r v (q / m)B 2p q w= = B T m

ebből a pálya sugara: r = körfrekvenciája

az un. cikrotronfrekvencia. 2p 2p A körülfordulási idő: T = w = (q/ m)B független a részecske sebességétől és csak a q/m-től, a részecske fajlagos töltésétől függ.


16

c) A v szöget zár be B-vel. A sebességvektor v(v0cosb, v0sinb). A mozgás egy állandó menetemelkedésű csavarmozgás lesz, ahol a pálya sugara:

r=

v0 sin b (q / m)B

körülfordulási idő pedig:

T=

2p (q/ m)B

ezen idő alatt a részecske a függőleges irányban h távolságra jut, így a menetemelkedés: h (v0 cosb )= T =

2pv0 cosb (q / m)B

Ezen az elven működik pl. a TV képcső eltérítője.


17

Perdület (impulzusmomentum) Az m tömegű anyagi pontra ható F erőnek egy tetszőleges 0 pontra vonatkoztatott nyomatéka (momentuma) a forgatónyomaték (erő x erő karja): F a r

ïrïsina a

M=ïFïïrïsina amely vektor, azaz két vektor vektoriális (vektort eredményező szorzata: r x F = M.

Hasonló módon értelmezhetjük az m anyagi pont impulzusának a nyomatékát is, perdületét, impulzusmomentumát: r x mv = r x p = L képezzük a perdület idő szerinti deriváltját: dL d dr d( m v ) = (r xm v ) = xm v + r x dt dt dt dt

az első tag 0 és a második pedig a forgatónyomaték, így dL =M dt

a végeredmény a perdülettétel (analóg az impulzustétellel). Amennyiben M=0, akkor L=állandó vektor, a perdület megmaradásának a tétele (vö. az impulzus megmaradása tételével).


18

Kényszermozgás Az anyagi pont mozgását gyakran geometriai feltételek korlátozzák Þ kényszermozgás. Nézzük például a legegyszerűbb esetet a lejtőt 0

-N

s

G a súlyerő N a nyomóerő

F N

-N a nyomóerő ellenereje

G

F a testre ható erő

a A testre ható erő: F = G + (-N)

és

F = G sina

párhuzamos a lejtő síkjával. A mozgásegyenlet:

gsina 2 t . 2 A matematikai inga : egy tömegpont leng egy felfüggesztett fonalon. ··

s=

m s = mgsina

Az erő

F = -mgsina ··

A mozgásegyenlet: ml a = -mgsina

a

g a+ a = 0 l ··

l

Kis kitérésekre:

a=a0sin(wt+j) l g 2 = 2 T p w = ahol: g l A lengési idő csak az inga hosszától függ, nem függ a kitérés nagyságától. Megoldása:

F a

G


19

Súrlódás A vízszintes lapra helyezett test csak egy bizonyos erő hatására mozdul el, a mozgó test lassul Þ súrlódás = súrlódó erő. A súrlódást az okozza, hogy a test hozzányomódik a felülethez, így nagysága arányos a nyomóerővel, azaz: ïSï = m ïNï. iránya párhuzamos a felülettel. A m a súrlódási együttható, függ a felülettől. · Tapadási súrlódás: meginduláskor · Csúszási súrlódás: kisebb a tapadásinál. Közegellenállás Közegben mozgó testre hat még egy erő, mivel a mozgó testnek "deformálni kell" a közeget. Ez az erő: K = -c v

c =aql

arányos a sebességgel, az arányossági tényező függ a közeg anyagi minőségétől (a) a mozgó tárgy keresztmetszetétől (q) és a l alaktényezőtől (amely síklapnál 1, gömbnél 0,6 és cseppnél 0.3). A mozgásegyenlet: ··

mr = F + K

··

·

illetve m r + c r = F .

Példa: a vízbe ejtett test sebessége (ejtőernyős, stb.) ·

m v + c v = mg K=-cv s

c v = g m

elsőrendű inhomogén differenciálegyenlet a homogén megoldása:

F=mg

·

v+

v = ce

c - t m

az inhomogén egy partikuláris megoldása: v=B így B=mg/c c


20

A differenciálegyenlet a teljes megoldás: ahol a kezdeti feltételből, azaz: Így a vízbe ejtett test sebessége

c - t m

mg , c mg c=c

v = ce

+

c - tö mg æ m v= ç1 - e ÷ c è ø

a sebesség egy darabig nő, majd állandó marad.


21

I. MECHANIKA (Klasszikus mechanika)

Recommend Documents