Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem
Műszaki Mechanika Tanszék
Mechanika I-II. Példatár 2012. május 24.
Előszó A példatár célja, hogy támogassa a mechanika I. és mechanika II. tárgy oktatását és a diákok tanulását. Az itt szereplő példák megoldása nem helyettesíti a tanórákon való részvételt, illetve a számonkérések a példatárban szereplő feladatoktól eltérő feladatok megldása alapján is történhet. Az elméleti tények megértése elsősorban az elmélet példákon való alkalmazásán keresztül lehetséges. A példatárban szereplő példák önálló megoldása, majd az eredmények ellenőrzése a leginkább célravezető. A példák megoldásához a mechanika elméletének megértése is szükséges, ehhez más irodalmakat is célszerű igénybevenni, pl: [1], [2]. A példatárban szereplő esetleges hibákért felelősséget nem vállalunk, az ezekre vonatkozó észrevételeket a példatár fejlesztésérre felhasználjuk.
i
Tartalomjegyzék 1. Statika 1.1. Vektoralgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Egyenúlyi erőrendszerek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 2 3
2. Szilárdságtan 2.1. Fezsültség . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Alakváltozási energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 4 5
3. Kinematika 3.1. Anyagi pont kinematikája . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Merev testek kinematikaja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6 6 7
4. Dinamika 4.1. Anyagi pont dinamikája . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Merev testek dinamikája . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8 8 9
5. Rezgéstan 5.1. Harmonikus rezgőmozgás . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1. Példa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.2. Példa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.3. Példa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Egy szabadsági fokú csillapítatlan lengőrendszerek 5.2.1. Példa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Egy szabadsági fokú csillapított lengőrendszerek . 5.4. Egy szabadsági fokú gerjesztett lengőrendszerek . 5.4.1. Példa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Irodalomjegyzék
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
10 10 10 11 11 13 13 15 16 16 18
1
1. fejezet Statika 1.1.
Vektoralgebra
Abc...
2
STATIKA
1.2. Abc...
Egyenúlyi erőrendszerek
3
2. fejezet Szilárdságtan 2.1.
Fezsültség
Abc...
4
SZILÁRDSÁGTAN
2.2. Abc...
Alakváltozási energia
5
3. fejezet Kinematika 3.1.
Anyagi pont kinematikája
Abc...
6
KINEMATIKA
3.2. Abc...
Merev testek kinematikaja
7
4. fejezet Dinamika 4.1.
Anyagi pont dinamikája
Abc...
8
DINAMIKA
4.2. Abc...
Merev testek dinamikája
9
5. fejezet Rezgéstan 5.1.
Harmonikus rezgőmozgás
Harmonikus rezgőmozgás esetén a mozgástörvényt, azaz a rezgőmozgást végző test elmozdulásának időfüggvényét a következő alakban adhatjuk meg: x(t) = A sin(ωt + ϑ),
(5.1)
ahol A a rezgés amplitúdója, ω a rezgés körfrekvenciája és ϑ a fázistolás. az elmozdulást leíró függvény ismeretében a sebesség és a gyorsulás időfüggvénye idő szerinti deriválással előállítható az alábbiak szerint: v(t) = x(t) ˙ = Aω cos(ωt + ϑ), a(t) = v(t) ˙ = x¨(t) = −Aω 2 sin(ωt + ϑ).
(5.2) (5.3)
Mivel a sin() függvény maximuma 1, a maximális elmozdulás maga az amplitúdó, a maximális sebesség és gyorsulás pedig az alábbiak szerint alakul: xmax = A, vmax = Aω, amax = Aω 2 .
(5.4) (5.5) (5.6)
A körfrekvencia (mértékegysége [rad/s]) alapján a frekvencia (mértékegysége [periodus/s], vagyis [Hz]) majd ebből az egy teljes lengéshez tartozó periódusidő (mértékegysége [s]) kiszámítható: ω , 2π 1 T = . f f =
5.1.1.
(5.7) (5.8)
Példa
Egy tömegpont harmonikus rezgőmozgást végez. Ismert a rezgés amplitúdója: A = 300[mm] és a tömegpont maximális gyorsulása: amax = 5[m/s2 ]. Határozzuk meg a tömegpont maximális sebességét, a mozgás frekvenciáját és a periódusidőt!
10
REZGÉSTAN
11
Megoldás: Az (5.6) egyenlet alapján kiszámítható a mozgás körfrekvenciája: s r a 5[m/s2 ] max amax = Aω 2 −→ ω = = = 4, 082[rad/s]. A 0, 3[m] A körfrekvencia ismeretében az (5.5) felhasználásával a maximális sebesség meghatározható: vmax = Aω = 0, 3[m]4, 082[rad/s] = 1, 225[m/s]. A körfrekvenciából a frekvencia és a periódusidő is kiszámítható: ω = 0, 6497[Hz], 2π 2π 1 T = = = 1, 539[s]. f ω f =
5.1.2.
Példa
Határozzuk meg egy harmonikus rezgőmozgással mozgó tömegpont amplitúdóját és maximális sebességét, ha a maximális gyorsulása amax = 12[m/s2 ] és a frekvenciája f = 3[Hz]! Megoldás: Első lépésben a körfrekvenciát kell kiszámítatnunk: ω = 2πf = 18, 849[rad/s]. Az ω körfrekvencia ismeretében a rezgési amplitúdó meghatározható: amax = Aω 2
−→
A=
amax = 0, 03377[m]. ω2
Az ω körfrekvencia és az A amplitúdó ismeretében a maximális sebesség meghatározható: vmax = Aω = 0, 6366[m/s].
5.1.3.
Példa
Egy harmonikus rezgőmozgással mozgó tömegpont amplitúdója A = 2[cm], a maximális sebessége vmax = 25[m/s]! Számítsuk ki a rezgés körfrekvenciáját, frekvenciáját és periódusidejét, valamint a tömegpont maximális gyorsulását!
REZGÉSTAN
12
Megoldás: A rezgés körfrekvenciája: vmax = Aω
−→
ω=
vmax = 1250[rad/s]. A
A frekvencia és a periódusidő: ω = 198, 9[Hz], 2π 1 2π T = = = 5, 026 · 10−3 [s]. f ω f =
A maximális gyorsulás: amax = Aω 2 = 31250[m/s2 ].
REZGÉSTAN
5.2.
13
Egy szabadsági fokú csillapítatlan lengőrendszerek
A csillapítatlan, egy szabadsági fokú, lineáris, gerjesztetlen lengőrendszer referencia egyenlete: x¨ + α2 x = 0.
5.2.1.
(5.9)
Példa
Adott a 5.1. ábrán látható lengőrendszer. A test tömege: m = 2[kg], a rugómerevség: s = 50[N/m]. a) Írjuk fel a rendszer mozgásegyenletét! b) Határozzuk meg a rendszer sajátfrekvenciáját! s m
5.1. ábra.
Megoldás: a) Választunk egy koordinátát, amellyel leírhatjuk az m tömegű test pozícióját az egyensúlyi helyzethez képest, ez legyen az x. A lengőrendszer mozgásegyenletének felírásához felrajzoljuk az m tömegű test szabadtest ábráját pozitív irányban kitérített x koordináta esetén. x Fr
as
5.2. ábra. A szabadtest ábra alapján a dinamika alaptételének segítségével felírható az alábbi egyenlet: mas = −Fr . A fenti egyenlet tovább alakítható felhasználva egyrészt azt, hogy az as gyorsulás az x koordináta második idő szerinti deriváltjával egyezik meg, másrészt azt, hogy a rugóerő a rendszerben szereplő lineáris rugó esetén a rugó x megnyúlásával arányos, és az arányossági tényező az s rugómerevség. m¨ x = −sx. m¨ x + sx = 0.
(5.10)
REZGÉSTAN
14
b) A sajátfrekvencia meghatározásához össze kell hasonlítanunk a mozgásegyenletben szereplő együtthatókat, a referencia egyenletben szereplő együtthatókkal. A mozgásegyenletünk és a referencia egyenlet azonos alakra rendezve: s x = 0, m x¨ + α2 x = 0.
x¨ +
Az x együtthatójának összehasonlításából: s = α2 m
−→
α=
r
s = m
s
50[N/m] = 5[rad/s]. 2[kg]
REZGÉSTAN
5.3.
15
Egy szabadsági fokú csillapított lengőrendszerek
A csillapítatott, egy szabadsági fokú, lineáris, gerjesztetlen lengőrendszer referencia egyenlete: x¨ + 2Dαx˙ + α2 x = 0.
(5.11)
REZGÉSTAN
5.4.
16
Egy szabadsági fokú gerjesztett lengőrendszerek
A csillapított, egy szabadsági fokú, lineáris, gerjesztett lengőrendszer referencia egyenlete: (5.12)
x¨ + 2Dαx˙ + α2 x = f0 α2 sin(ωt + ϑ). Dimenziótlan nagyítási függvény a λ frekvenciahányados függvényében: D=0
4.5
D=0.125
4 3.5
D=
0.1
768
3 2.5
N[-] .25
D =0
2
D=0.3536
1.5
D=0.5
1
D=0
.70
D= 1.4
14 D =2 D=2 .828
0.5 0
7
D=1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
w l= a [-]
5.3. ábra. Nagyítási függvény
5.4.1.
Példa
Adott egy m = 0.5[kg] tömegű testből és egy s = 8[N/m] merevségű rugóból, valamint egy csillapítóelemből összeállított lengőrendszer. A relatív csillapítási tényező D = 0, 25[−]. A rendszert egy időben harmonikusan változó, adott amplitúdójú erő gerjeszti. Adott a rendszer rezonanciagörbéje (5.5 ábra). a) Számítsa ki a rendszer csillapítatlan sajátkörfrekvenciáját! b) A rendszer rezonanciagörbéje alapján állapítsa meg, hogy mekkora állandósult rezgési amplitúdó alakul ki ω = 2[rad/s] körfrekvenciájú gerjesztés esetén! c) Mekkora lehet a gerjesztés körfrekvenciája ahhoz, hogy a létrejött rezgési amplitúdó ne legyen nagyobb 5[mm]-nél? Megoldás: a) A rendszer csillapítatlan sajátkörfrekvenciája (lásd: 5.2.1. példa): s r s 8[N/m] α= = = 4[rad/s]. m 0.5[kg]
(5.13)
REZGÉSTAN
17
D=0
45
D=0.125
40 35
0.1
768
30
s
D=
k m
Fcos(wt)
25
A[mm] .25
D=0
20
D=0.3536
15
D=0.5
10
D=0
D=
5.4. ábra.
.70
7
D =1
14 D =2 D=2. 828
5 0
1.4
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
l= w a [-]
5.5. ábra. b) A rendszer rezonanciagörbéje alapján megállapítható, hogy mekkora állandósult rezgési amplitúdó alakul ki ω = 2[rad/s] körfrekvenciájú gerjesztés esetén. Ehhez elsőként a frekvenciahányadost kell meghatározni, amely a gerjesztőerő körfrekvenciájának és a rendszer sajátkörfrekvenciájának a hányadosát jelenti: λ=
ω 2[rad/s] = = 0, 5[−]. α 4[rad/s]
(5.14)
Ezután a feladatban szereplő rendszerhez megadott rezonanciagörbe alapján (D = 0, 25[−] relatív csillapítási értékhez tartozó görbéről) leolvasható, hogy a létrejövő állandósult rezgésamplitúdó: A = 12, 6[mm].
(5.15)
c) A rezonancia görbék diagramjáról először az 5[mm] nagyságú amplitúdóhoz lehet leolvasni a frekvenciahányadost: λ = 1, 67[−].
(5.16)
A frekvenciahányadosból és a rendszer sajátkörfrekvenciájából az 5[mm] amplitúdóhoz tartozó gerjesztési frekvencia kiszámítható: ω = λα = 1, 67[−] · 4[rad/s] = 6, 68[rad/s]. Tehát a gerjesztési körfrekvencia 6, 68[rad/s] vagy annál nagyobb értékű lehet.
(5.17)
Irodalomjegyzék [1] Gy. Béda, Szilárdságtan I., Tankönyvkiadó, Budapest, 1975. [2] Gy. Béda and Bezák A., Kinematika és dinamika, Tankönyvkiadó, Budapest, 1991.
18
