Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA III M.H MECHANIKA III 1. DÍL MECHANIKA TEKUTIN - 1 -

Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA III

© M.H. 2004

MECHANIKA III 1. DÍL MECHANIKA TEKUTIN

Studijní obor (kód a název):

23-41-M/001 Strojírenství

-1-


© M.H. 2004

Úvodem Cílem tohoto učebního textu je sloužit jako pomůcka při výuce v předmětu MECHANIKA ve 3. ročníku oboru STROJÍRENSTVÍ.

Obsah Úvodem

2

Obsah

2

1. Úvod do mechaniky

4

1.1. Obsah a členění předmětu mechanika 1.2. Opakování fyzikálních veličin, základní jednotky SI

3 3

2. Mechanika tekutin

3

3. Hydromechanika

4

3.1. Hydrostatika

4

3.1.1. Absolutní tlak, přetlak a podtlak 3.1.2. Hydrostatický tlak – tlak na dno nádrže 3.1.3. Síla namáhající dno nádrže 3.1.4. Hydrostatické paradoxon 3.1.5. Tlak na boční stěnu nádrže 3.1.6. Měření přetlaku a podtlaku kapalinovým manometrem 3.1.7. Měření barometrického tlaku 3.1.8. Spojené nádoby, kapilární elevace a deprese 3.1.9. Pascalův zákon 3.1.10. Archimedův zákon 3.1.11. Opakování 3.2. Hydrodynamika

18

3.2.1. Průtok kapaliny potrubím – hmotnostní a objemový tok (průtok) 3.2.2. Druhy proudění v potrubí 3.2.3. Rozložení rychlosti proudění v průřezu potrubí 3.2.4. Rovnice spojitosti toku 3.2.5. Bernoulliho rovnice 3.2.6. Ztráty v potrubí 3.2.7. Rozšířená Bernoulliho rovnice 3.2.8. Výtok kapaliny otvorem ve dně nádrže 3.2.9. Výtok kapaliny otvorem v boční stěně 3.2.10. Opakování 3.3. Základy teorie hydrodynamických lopatkových strojů 3.3.1. 3.3.2. 3.3.3. 3.3.4.

4 5 6 8 9 10 12 13 14 15 18

Rozdělení hydrodynamických lopatkových strojů Hydrodynamická čerpadla Lopatkové hydrodynamické motory – vodní turbíny Opakování

-2-

18 19 19 20 21 25 30 34 35 36 36 36 36 42 46


© M.H. 2004

1. ÚVOD DO MECHANIKY 1.1.

OBSAH A ČLENĚNÍ PŘEDMĚTU MECHANIKA

Studiem přírodních jevů na zemi i ve vesmíru se zabývá několik vědních oborů, které společně označujeme přírodní vědy. Patří sem zejména fyzika, chemie, biologie a astronomie. Součástí fyziky je i mechanika, jež se zabývá studiem mechanického pohybu – to je mechanického přemísťování hmoty v prostoru a čase. Rozdělení mechaniky: - mechanika tuhých a poddajných těles (pružnost, pevnost) - mechanika tekutin (kapalin, par a plynů) - termomechanika (působení tepla na látky) Další dělení: - statika (pojednává o rovnováze tuhých těles, kapalin a plynů) - kinematika (vyšetřuje pohyby bez zřetele na příčiny) - dynamika (pojednává o pohybu a jeho příčinách)

1.2.

OPAKOVÁNÍ FYZIKÁLNÍCH VELIČIN, ZÁKLADNÍ JEDNOTKY SI

Pohyb hmoty se děje v prostoru a čase, proto hmotnost, délka a čas jsou základními veličinami mechaniky. Namísto hmotnosti lze zavést sílu jako příčinu pohybu. Rozdělení fyzikálních veličin: - skaláry – jsou určeny pouze velikostí (hmotnost, čas, energie) - vektory – jsou určeny velikostí, směrem a smyslem (síla, rychlost, zrychlení) K číselnému vyjádření hodnot veličin používáme jednotky. Jednotky rozdělujeme na základní a druhotné (odvozené). Uzákoněné základní jednotky jsou jednotky Mezinárodní měrové soustavy SI (Systém Internationál d´Unités). 1. metr [m] 2. kilogram [kg] 3. ampér [A] 4. sekunda [s] 5. stupeň [deg; K; °C] 6. kandela [cd]

základní jednotka délky základní jednotka hmotnosti základní jednotka elektrického proudu základní jednotka času základní jednotka teplotního rozdílu základní jednotka svítivosti

Násobky jednotek vyjadřujeme pomocí předpon a značek. Předpona: Značka: Význam:

tera T 12 10 6

giga G 9 10

mega M 6 10

kilo k 3 10

mili m -3 10

mikro µ -6 10

nano n -9 10

piko p -12 10

3

Příklad: Mpa = 10 Pa; km = 10 m

2.

MECHANIKA TEKUTIN

Tekutiny jsou látky jejichž základními vlastnostmi jsou: o schopnost vyplňovat určitý prostor o schopnost tečení Dělíme je na kapaliny a vzdušiny. Kapaliny jsou tekutiny s těmito základními vlastnostmi: o se změnami tlaku a teploty mění svůj objem nepatrně o jejich stlačitelnost je malá o v nádrži při normálních tlakových a teplotních podmínkách tvoří volnou hladinu

-3-


© M.H. 2004

Vzdušiny jsou tekutiny s těmito základními vlastnostmi: o se změnami tlaku a teploty mění svůj objem výrazně o jejich stlačitelnost je velká o v uzavřené nádobě vyplňují její prostor a netvoří volnou hladinu Do této skupiny patří páry a plyny. Ideální tekutina je látka, která je dokonale tekutá, její částice lze vzájemně posouvat bez působení vnějších sil (neexistuje u ní vnitřní tření). Skutečná tekutina se svými vlastnostmi liší. o existuje u ní vnitřní tření, tzv. viskozita o je přilnavá na stěny nádoby o má schopnost absorbovat(vyšší tlak a nízká teplota) a uvolňovat(nízký tlak a vyšší teplota) plyny

Obr.1: Rozdělení mechaniky tekutin

Hydrostatika se zabývá problémy kapalin, jež jsou vzhledem ke stěnám nádrže nebo potrubí v relativním klidu (neproudí). Hydrodynamika řeší problémy kapalin, které se vzhledem ke stěnám nádrže nebo potrubí pohybují (proudí). Aerostatika se zabývá problémy, kde vzdušina vzhledem k nádrži nebo potrubí je v klidu (neproudí). Aerodynamika řeší problémy relativního pohybu tělesa ve vzdušině.

3.

HYDROMECHANIKA

3.1. HYDROSTATIKA V hydrostatice řešíme otázky spojené s konstrukcí otevřených nádrží i tlakových nádob, různá tlaková hydraulická zařízení jako jsou hydraulické brzdové systémy, hydraulické ovládání např. spojek, hydraulické lisy, hydraulické zvedáky, multiplikátory, tlakové akumulátory apod. Dále se hydrostatika zabývá otázkami spojenými s plováním těles (plováky, lodě, ponorky, atd.). Do hydrostatiky spadá i měření přetlaků kapalinovými manometry, měření barometrického tlaku rtuťovými barometry a dále chování kapalin v pohybující se nádrži.

3.1.1.

Absolutní tlak, přetlak a podtlak

K vysvětlení pojmu využijeme obrázek.

-4-


© M.H. 2004

Obr.2: Grafické znázornění absolutního tlaku, přetlaku a podtlaku

p b …… atmosférický (barometrický) tlak Při technických výpočtech uvažujeme

p b = 100000 Pa = 0,1 MPa . Barometrický tlak ve

skutečnosti kolem této hodnoty kolísá v závislosti na změnách počasí. Barometrický tlak také klesá s nadmořskou výškou. Tuto okolnost bereme v úvahu např. při návrhu vysokohorských čerpacích stanic (nutnost velmi krátkého sacího potrubí).

p1, p 2 … absolutní tlaky (izobary 1 a 2) ∆p1 ….. přetlak (absolutní tlak je vyšší než barometrický) ∆p 2 ….. podtlak (absolutní tlak je nižší než barometrický) 3.1.2.

∆p 1 = p 1 − p b ∆p 2 = p b − p 2

Hydrostatický tlak – tlak na dno nádrže

Obr.3: Grafické znázornění průběhu hydrostatického tlaku

Na obrázku je znázorněna nádrž s kapalinou o hustotě ρ . Celkový absolutní tlak na dno nádrže je dán součtem barometrického tlaku a tlaku sloupce kapaliny o výšce h, který se nazývá hydrostatický tlak. Hydrostatický tlak

p h = ρ ⋅ g ⋅ h [Pa]

Celkový absolutní tlak na dno

p c = pb + ph = pb + ρ ⋅ g ⋅ h

Přetlak na dno

∆p c = p c − p b = ρ ⋅ g ⋅ h = p h -5-


© M.H. 2004

Hydrostatický tlak je totožný s přetlakem, který působí na dno nádrže: 3.1.3. o

∆p c = p h .

Síla namáhající dno nádrže OTEVŘENÁ NÁDRŽ

Obr.4: Síla působící na dno otevřené nádrže

F = S ⋅ (p c − p b ) = S ⋅ (p b + p h − p b ) = S ⋅ p h F = S ⋅ ρ ⋅ g ⋅ h [N] Síla namáhající dno otevřené nádrže se rovná součinu plochy dna a hydrostatického tlaku. o

UZAVŘENÁ NÁDRŽ – TLAKOVÁ NÁDOBA

Obr.5: Síla působící na dno tlakové nádoby

Celkový absolutní tlak na dno

p c = p1 + p h

Síla, působící na dno

F = S ⋅ (p c − p b ) = S ⋅ (p1 + p h − p b ) = S ⋅ ∆p -6-


© M.H. 2004

Přetlak plynu v horní části

p1 − p b = ∆p1

Síla na dno

F = S ⋅ (p h + ∆p1 ) = S ⋅ (ρ ⋅ g ⋅ h + ∆p1 ) [N]

Přetlak na dno

∆p = p h + ∆p1

S je průmět plochy dna do roviny kolmé k ose nádoby. Pro kruhový průřez bude

S=

π ⋅ D2 . Vydutí dna nemá na plochu vliv. 4

Příklad 1

D = 20 m , výška hladiny ropy h = 8 m , hustota Nádrž na ropu má průměr

ρ = 860 kg ⋅ m −3 , barometrický −2 tlak p b = 0,1 MPa , g = 10 m ⋅ s . ropy

Obr.6

Vypočítejte: a) Celkový absolutní tlak na dno

pc = ? b) Hydrostatický tlak na dno p h = ? c) Sílu namáhající dno F = ?

ad a)

p c = pb + ph =

ad b)

ph = ρ ⋅ g ⋅ h =

ad c)

π ⋅ D2 F = S ⋅ ph = ⋅ ph = 4

Příklad 2

D = 2000 mm , výška hladiny kapaliny h = 12 m , hustota kapaliny ρ = 850 kg ⋅ m −3 , barometrický tlak p b = 0,1 MPa , g = 10 m ⋅ s −2 .

Tlaková nádrž má průměr

-7-


© M.H. 2004

Vypočítejte: d) Absolutní tlak na dno

pc = ? e) Přetlak působící na dno ∆p = ? f) Sílu působící na dno F = ?

Obr.7

ad a)

p c = p1 + p h =

ad b)

∆p = p1 + p h − p b =

ad c)

π ⋅ D2 F = S ⋅ ∆p = ⋅ ∆p = 4

3.1.4.

Hydrostatické paradoxon a)

b)

c)

Obr.8

-8-

d)


© M.H. 2004

Na obr. 8 jsou nakresleny 4 nádoby s kapalinou o stejné hustotě, která je ve všech nádobách ve stejné výšce h . Plocha dna je u všech nádob stejně velká: S1 = S 2 = S 3 = S 4 .

F1 = S1 ⋅ p h = S1 ⋅ ρ ⋅ g ⋅ h [N] F2 = S 2 ⋅ p h = S 2 ⋅ ρ ⋅ g ⋅ h [N] F3 = S 3 ⋅ p h = S 3 ⋅ ρ ⋅ g ⋅ h [N] F4 = S 4 ⋅ p h = S 4 ⋅ ρ ⋅ g ⋅ h [N] Protože S1 = S 2 = S 3 = S 4 , budou i síly F1 = F2 = F3 = F4 . U všech nádob bude zatížení dna

Síly působící na dna nádob vypočítáme ze vztahů:

stejné. Na první pohled by se zdálo, že největší zatížení bude u dna nádoby a) a nejmenší u nádoby d). Není tomu, jak je shora matematicky dokázáno. Tento jev se nazývá hydrostatické paradoxon. Vysvětlení tohoto jevu spočívá ve stejném tlaku u dna všech čtyř nádob, neboť hydrostatický tlak závisí na výšce kapaliny. Tyto výšky jsou u všech čtyř nádob stejné. Nutno ale poznamenat, že zatímco síly na dno nádob F1 = F2 = F3 = F4 , nebudou stejné reakce mezi dny těchto nádob a podložkou. Je to v důsledku rozdílných tíhových sil kapaliny v jednotlivých nádobách. Velikost těchto tíhových sil závisí na objemech V1, V2 , V3 , V4 v jednotlivých nádobách.

3.1.5.

Tlak na boční stěnu nádrže

Obr.9: Síla působící na boční stěnu nádrže

Boční stěna nádrže (obr. 9) je namáhána hydrostatickým tlakem. Velikost síly namáhající boční stěnu bude záviset na velikosti plochy stěny smočené kapalinou tj. S = b ⋅ h a na hydrostatickém tlaku. Protože hydrostatický tlak je proměnlivý, budeme uvažovat jeho střední hodnotu

ps =

ph 1 = ⋅ρ⋅g⋅h . 2 2

Zátěžná síla na boční stěnu pak bude:

F = S ⋅ ps = b ⋅ h ⋅

1 1 ⋅ ρ ⋅ g ⋅ h = ⋅ ρ ⋅ g ⋅ b ⋅ h 2 [N] 2 2

nebo

F = S ⋅ ps =

1 ⋅ S ⋅ p h [N] ; 2

-9-

yF =

2 ⋅ h [m] 3

Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA III Působiště síly leží ve 3.1.6.

© M.H. 2004

2 hloubky h . 3

Měření přetlaku a podtlaku kapalinovým manometrem

Obr.10: Princip měření přetlaku kapalinovým manometrem

Na obr.10 je nakreslen princip měření menších přetlaků kapalinovým manometrem. Čím větší bude tlak p v nádrži, tím větší bude i rozdíl hladin v manometru. Závislost rozdílu hladin ∆h a měřeného přetlaku

∆p určíme takto: k je tlak

V levé větvi manometru v rovině V pravé větvi v téže rovině je tlak

p1 = p p 2 = p b + ρ k ⋅ g ⋅ ∆h

Pro rovnováhu platí:

Takže měřený přetlak je kde ∆h = h 2 naplněn.

p1 = p 2 p = p b + ρ k ⋅ g ⋅ ∆h p − p b = ρ k ⋅ g ⋅ ∆h ; p − p b = ∆p ∆p = ρ k ⋅ g ⋅ ∆h [Pa]

[

]

− h1 [m] je rozdíl výšek hladin a ρ k kg ⋅ m −3 je hustota kapaliny, kterou je manometr

- 10 -


© M.H. 2004

Obr.11: Princip měření podtlaku kapalinovým manometrem

Podobně bude platit pro měření podtlaku (obr.11):

k je tlak

V levé větvi manometru v rovině V pravé větvi v téže rovině je tlak

p1 = p + ρ k ⋅ g ⋅ ∆h p 2 = pb

Pro rovnováhu platí:

p1 = p 2 p + ρ k ⋅ g ⋅ ∆h = p b p b − p = ρ k ⋅ g ⋅ ∆h ; p b − p = ∆p ∆p = ρ k ⋅ g ⋅ ∆h [Pa]

Takže měřený podtlak je kde ∆h = h 2 − h1 manometr naplněn.

[m]

je opět rozdíl výšek hladin a

[

ρ k kg ⋅ m −3

]

hustota kapaliny, kterou je

Příklad 3 Jak velký přetlak a absolutní tlak je v potrubí, na nějž je upevněn kapalinový manometr naplněný rtutí

ρ k = 13600 kg ⋅ m −3 , g = 10 m ⋅ s −2 a na manometru byly odečteny výšky hladin h1 = 60 mm a h 2 = 280 mm .

o hustotě

∆p = ρ k ⋅ g ⋅ ∆h = p = ∆p + pb = Příklad 4

- 11 -


© M.H. 2004

Jak velký podtlak a absolutní tlak je v podtlakové nádrži. Použitý kapalinový manometr je naplněn

ρ k = 1000 kg ⋅ m −3 , g = 10 m ⋅ s −2 a na manometru byly odečteny výšky hladin h1 = 250 mm a h 2 = 50 mm .

vodou o hustotě

∆p = ρ k ⋅ g ⋅ ∆h = p = p b − ∆p =

POZNÁMKA Pro velmi malé přetlaky použijeme jako náplň vodu, kterou můžeme pro zlepšení viditelnosti obarvit. Pro větší přetlaky používáme rtuť. Pro velké přetlaky není tato metoda vhodná, protože měřící trubice vychází velmi dlouhé. Na velké přetlaky se v technické praxi používají jiné typy manometrů, např. manometry deformační.

3.1.7.

Měření barometrického tlaku

K měření barometrického tlaku použijeme manometr naplněný rtutí, který se nazývá barometr. Princip měření barometrického tlaku je na obr.12.

Obr.12: Měření barometrického tlaku kapalinovým manometrem

V rovině

k platí:

Pro rovnováhu platí

p 1 = ρ k ⋅ g ⋅ h1 p 2 = p b + ρk ⋅ g ⋅ h 2 p1 = p 2 ρ k ⋅ g ⋅ h 1 = p b + ρ k ⋅ g ⋅ h 2 ⇒ p b = ρ k ⋅ g ⋅ h1 − ρ k ⋅ g ⋅ h 2 p b = ρ k ⋅ g ⋅ (h1 − h 2 ) - 12 -


© M.H. 2004

p b = ρ k ⋅ g ⋅ ∆h [Pa]

Barometrický tlak potom je

3.1.8.

Spojené nádoby, kapilární elevace a deprese

Obr.13: Poloha hladiny kapaliny ve spojených nádobách

V nádobách, které jsou vzájemně propojené a jejichž hladina je pod stejným tlakem, je výška hladiny v obou nádobách ve stejné výšce h1 = h 2 .

(

)

Výjimku tvoří případ, kdy jedna ze spojených nádob je kapilára (tenká trubice) – viz obr.14.

Obr.14:

a) kapilární elevace

b) kapilární deprese

Na obr.14 a) je případ, kdy v kapiláře stojí hladina výš než je výška hladiny v levé nádobě. Rozdíl hladin ∆h = h 2 − h1 se nazývá kapilární elevace. Takto se chová v kapiláře např. voda. Obr.14 b) představuje opačný jev. Rozdíl hladin ∆h = h 2 − h1 (má znaménko mínus) se nazývá kapilární deprese. Projevuje se např. u rtuti. Popsaný jev pozorujeme u stěn nádob a trubic měřících přístrojů plněných kapalinou (manometry, barometry, vakuometry). Při odečítání výšky hladiny v trubici odečítáme vždy střed hladiny a neuvažujeme elevaci nebo depresi u stěn trubice (viz obr.15).

Obr.15: a) Odečítání hladiny při kapilární elevaci

b) Odečítání hladiny při kapilární depresi

- 13 -


© M.H. 2004

Praktické využití principu spojených nádob je např. u hadicové vodováhy, nebo např. u starších typů automobilových karburátorů, kde tvoří spojené nádoby plováková komora a palivová trubice.

3.1.9.

Pascalův zákon

V uzavřeném hydraulickém systému se šíří tlak v kapalině všemi směry a má konstantní hodnotu. Pascalův zákon využíváme při řešení různých hydraulických systémů, jako např. brzdové systémy, ovládání spojek, hydraulické zvedáky, lisy, upínače, multiplikátory, hydraulické jeřáby, plošiny, výtahy atd. Jako příklad řešení hydraulického systému je uvedeno ovládání hydraulického zvedáku (obr.16).

Obr.16: Princip hydraulického zvedáku

Podle Pascalova zákona bude platit:

∆p =

[Pa]

F1 Q = 2 π⋅d π ⋅ D2 4 4

Po úpravě:

F1 = Q ⋅

d2 D2

[N]

Dále řešíme rovnováhu na páce

F ⋅ a = F1 ⋅ b ⇒ F = F1 ⋅ d2 b F = Q⋅ 2 ⋅ D a

b a

[N]

Příklad 5 Jaká je tíha břemene zvedaného hydraulickým zvedákem (viz obr.16) je-li dáno: Zvedací síla F = 100 N , průměry pístů d = 10 mm a D = 80 mm , ramena zvedací páky

a = 800 mm a b = 100 mm . - 14 -


© M.H. 2004

d2 D2 D2 Q = F⋅ 2 d

F = Q⋅

b ⇒Q a a ⋅ = b ⋅

3.1.10. Archimedův zákon

[

]

[

]

ρ t kg ⋅ m −3 ... hustota tělesa ρ k kg ⋅ m −3 ... hustota kapaliny G [N] ... tíha tělesa Fvz [N] ... vztlaková síla

[ ]

V m 3 ... objem tělesa

Obr.17: Silové poměry na ponořeném tělese

Na obr.17 je nakresleno ponořené těleso pod hladinu kapaliny. Na horní plochu tělesa působí síla

F1 = a ⋅ b ⋅ p h1 = a ⋅ b ⋅ ρ k ⋅ g ⋅ h1

[N]

Na dolní plochu působí síla

F2 = a ⋅ b ⋅ ph2 = a ⋅ b ⋅ ρk ⋅ g ⋅ h2 Protože

[N]

h 2 > h1 , musí být F2 > F1 .

Rozdíl sil vztlak.

F2 − F1 = Fvz = síla působící ve svislém směru vzhůru a nazývá se vztlaková síla nebo

Z obr.17 plyne, že:

Fvz = F2 − F1 = a ⋅ b ⋅ ρ k ⋅ g ⋅ h 2 − a ⋅ b ⋅ ρ k ⋅ g ⋅ h1 = a ⋅ b ⋅ ρ k ⋅ g ⋅ (h 2 − h1 ) Fvz = a ⋅ b ⋅ c ⋅ ρ k ⋅ g = V ⋅ ρ k ⋅ g [N] - 15 -

Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA III Součin

© M.H. 2004

V ⋅ ρ k ⋅ g = Gk = tíha kapaliny tělesem vytlačené.

Archimedův zákon má následující znění: Ponoříme-li do kapaliny těleso, je toto nadlehčováno vztlakovou silou, která se rovná tíze kapaliny tělesem vytlačené.

Fvz = G k = V ⋅ ρ k ⋅ g

[N]

Podle vzájemného vztahu vztlaku a tíhy tělesa mohou nastat 3 případy (viz obr.18).

Obr.18: a)

b)

c)

Jestliže je tíha tělesa větší než vztlak (obr.18 a), těleso klesá ke dnu. V opačném případě (obr.18 b) se vynoří a zůstane částečně ponořené tak, že se síly G a Fvz vyrovnají. Těleso plove. V posledním případě (obr.18 c) je u ponořeného tělesa rovnováha sil

G = Fvz a těleso se v kapalině volně vznáší.

Na obr.22 je nakreslen jednoduchý plovák z homogenního materiálu o hustotě hranolu o rozměrech a ⋅ b ⋅ c .

Obr.19: Silové poměry na plovoucím tělese

Vp = ponořený objem; h p = ponor; G k = tíha vytlačené kapaliny; Fvz = G k = Vp ⋅ ρ k ⋅ g = G = m ⋅ g - 16 -

(m = V ⋅ ρ t )

ρ t . Plovák má tvar


© M.H. 2004

Z této rovnice můžeme vypočítat ponořený objem

Vp =

m⋅g m = ρ k ⋅ g ρk

[m ] 3

Pro těleso tvaru hranolu bude platit

Vp = a ⋅ b ⋅ h p =

Vp m m ⇒ hp = = ρk a ⋅ b ρk ⋅ a ⋅ b

[m]

Příklad 6 U plováku z polystyrenu, který má tvar hranolu (viz obr.19) vypočítejte: a) Vztlak Fvz = ? b) Ponor

hp = ?

Zadané hodnoty:

a = 800 mm ;

b = 500 mm ;

c = 150 mm ;

ρ t = 150 kg ⋅ m −3 ;

ρ k = 1000 kg ⋅ m −3 ;

g = 10 m ⋅ s −2 . Fvz = m ⋅ g = V ⋅ ρ t ⋅ g = a ⋅ b ⋅ c ⋅ ρ t ⋅ g =

hp =

ρ V ⋅ ρt a ⋅ b ⋅ c ⋅ ρt m =c⋅ t = = = ρk a ⋅ b ⋅ ρk a ⋅ b ⋅ ρk a ⋅ b ⋅ ρk

Příklad 7 Vypočítejte, jak se změní ponor plováku z příkladu 6, bude-li plovat na oleji o hustotě

ρ k = 850 kg ⋅ m −3 .

hp = c ⋅

ρt = ρk

Příklad 8 Plovák o stejných rozměrech jako v příkladech 6 a 7 vyrobíme z ocelového plechu o tloušťce

t = 3 mm , hustota oceli ρ t = 7850 kg ⋅ m −3 . Vypočítejte ponor. m = V ⋅ ρ t = S ⋅ t ⋅ ρ t = (2 ⋅ a ⋅ b + 2 ⋅ a ⋅ c + 2 ⋅ b ⋅ c ) ⋅ t ⋅ ρ t = - 17 -


© M.H. 2004

Vp =

m = ρk

hp =

Vp a ⋅b

=

3.1.11. Opakování

3.2. HYDRODYNAMIKA 3.2.1.

Průtok kapaliny potrubím – hmotnostní a objemový tok (průtok)

Obr.20: Základní parametry při průtoku kapaliny potrubím

Qm = S ⋅ c ⋅ ρ =

Objemový tok

π ⋅ d2 Qv = S ⋅ c = ⋅c 4 Qm = Q v ⋅ ρ =

kde

v = měrný objem, v =

1 ρ

Qv v

[m

[kg ⋅ s ]

π ⋅ d2 ⋅c ⋅ρ 4

Hmotnostní tok

3

[m

nebo

⋅ kg −1

−1

3

⋅ s −1

]

Qv =

Qm = Qm ⋅ v ρ

]

U kapalin pracujeme obyčejně s objemovým tokem, protože hustota (nebo měrný objem) se nemění. Naproti tomu u vzdušin (plyny a páry) musíme brát v úvahu změnu hustoty (měrného objemu) s měnícím se tlakem a proto zde pracujeme s hmotnostním tokem. Rovnici pro objemový tok použijeme k výpočtu světlosti potrubí pro zadaný objemový tok a rychlost proudění.

Qv =

π ⋅ d2 ⋅c 4

⇒

d=

4 ⋅ Qv π ⋅c

- 18 -

[m]

Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA III 3.2.2.

© M.H. 2004

Druhy proudění v potrubí

Proudění kapaliny v potrubí může být buď ustálené (stacionární) nebo neustálené (nestacionární). Při ustáleném proudění, které nastane při plynulé dodávce kapaliny potrubím, je rychlost a tlak v potrubí stálý. Při neustáleném proudění, nastane při dodávce pulzující, se tlak i rychlost mění. Jako příklad ustáleného proudění je např. proudění ve výtlačném potrubí hydrodynamického čerpadla (odstředivé čerpadlo), nebo ve výtlačném potrubí šroubového čerpadla. Neustálené proudění vznikne např. ve výtlačném potrubí pístového čerpadla. Proudění kapaliny v potrubí může probíhat jako soustava vzájemně rovnoběžných proudnic, které se neproplétají. Tento druh proudění se nazývá proudění laminární. Jestliže se proudnice vzájemně proplétají za současného vzniku víření hovoříme o proudění turbulentním (viz obr.21).

a) Laminární proudění

b) Turbulentní proudění

Obr.21: Schematické znázornění proudění v potrubí

Rozhodujícím kritériem (hranicí) pro typ proudění je tzv. Reynoldsovo číslo ( Re ).

Re =

[

]

[

]

c ⋅d ν

c m ⋅ s −1 …….. rychlost proudění d [m] ………….. světlost potrubí ν m ⋅ s −1 …….. kinematická viskozita Kritická (mezní) hodnota je

Re k = 2300 .

Re k je proudění turbulentní, pro Re < Re k proudění laminární. V praxi považujeme rozmezí Re = 2300 − 10000 za tzv. přechodovou oblast. V tomto rozmezí proudí kapalina Pro Re >

smíšeným způsobem, tzn. Že některé proudnice si ještě udržují laminární charakter a některé se zdeformovaly do turbulentního charakteru. Pro Re > 10000 se jedná o čistě turbulentní proudění. Čím je kinematická viskozita větší (při nízkých teplotách), tím snadněji vznikne laminární proudění. Také u malých světlostí a při malých rychlostech proudění probíhá proudění jako laminární.

3.2.3.

Rozložení rychlosti proudění v průřezu potrubí

U stěn potrubí je rychlost nulová, v ose potrubí je největší (viz obr.22). Výpočet provádíme pro střední rychlost c . Pro maximální rychlost platí při laminárním proudění c max = 2 ⋅ c a pro turbulentní proudění

c max = 1,2 ⋅ c .

- 19 -


© M.H. 2004

a) Laminární proudění

b) Turbulentní proudění

Obr.22: Rozložení rychlosti proudění v průřezu potrubí

3.2.4.

Rovnice spojitosti toku

Obr.23: Průtok potrubím s proměnlivým průřezem

Podle zákona o zachování hmoty musí platit:

Q m1 = Q m 2 ; Q m1 = S1 ⋅ c 1 ⋅ ρ1 ; Q m 2 = S 2 ⋅ c 2 ⋅ ρ 2

Po dosazení:

S 1 ⋅ c 1 ⋅ ρ1 = S 2 ⋅ c 2 ⋅ ρ 2

Pro kapaliny je

ρ1 = ρ 2 = ρ S1 ⋅ c 1 = S 2 ⋅ c 2

Tato rovnice je tzv. rovnice spojitosti toku (rovnice kontinuity). Pro kruhový průřez můžeme rovnici upravit:

π ⋅ d12 π ⋅ d 22 ⋅ c1 = ⋅c2 4 4 a po vykrácení:

d12 ⋅ c 1 = d 22 ⋅ c 2

Příklad 9 Voda proudí z trysky Peltonovy turbíny rychlostí

c 2 = 40 m ⋅ s −1 . Průměr trysky d 2 = 150 mm . - 20 -


© M.H. 2004

Vypočítejte: a) Průměr přiváděcího potrubí

d1 = ? −1 b) Objemový průtok v přivaděči Q v = ? je-li rychlost c 1 = 8 m ⋅ s .

Obr.24: Schema trysky u Peltonovy turbíny

ad a)

d12 ⋅ c 1 = d 22 ⋅ c 2 d1 = d 2 ⋅

ad b)

3.2.5.

Qv =

c2 = c1

π ⋅ d12 ⋅ c1 = 4

Bernoulliho rovnice

Obr.25: Základní parametry při průtoku kapaliny obecným potrubím

- 21 -


© M.H. 2004

Na obr.25 je nakreslen úsek potrubí, kterým protéká kapalina. Na vstupní straně ve výšce

h1 má

S1 , tlak je zde p1 a rychlost proudění c 1 . Na výstupní straně je ve výšce h 2 průřez S 2 , tlak p 2 a rychlost c 2 . Hmotný element ∆m má v bodě 1 : potrubí průřez

o

polohovou energii

E p1 = ∆m ⋅ g ⋅ h1

[J]

o

tlakovou energii

E tl1 = ∆V1 ⋅ p1 =

∆m ⋅ p1 ρ

o

pohybovou energii

E k1 =

[J]

[J]

1 ⋅ ∆m ⋅ c 12 2

Podobně můžeme psát pro výstup z potrubí v bodě

2:

[J]

o

polohovou energii

E p 2 = ∆m ⋅ g ⋅ h 2

o

tlakovou energii

E tl 2 = ∆V2 ⋅ p 2 =

o

pohybovou energii

Ek 2 =

1 ⋅ ∆m ⋅ c 22 2

∆m ⋅ p2 ρ

[J]

[J]

Podle zákona o zachování energie musí být součet energií v bodě energií v bodě 2 (výstupní průřez).

1 (vstupní průřez) roven součtu

Matematickým vyjádřením tohoto zákona je Bernoulliho rovnice:

E p1 + E tl1 + E k1 = E p 2 + E tl2 + E k 2 ∆m ⋅ g ⋅ h1 + Položíme-li

[J]

∆m 1 ∆m 1 ⋅ p 2 + ⋅ ∆m ⋅ c 22 ⋅ p1 + ⋅ ∆m ⋅ c 12 = ∆m ⋅ g ⋅ h 2 + ρ 2 ρ 2

∆m = 1 kg a dělíme-li celou rovnici ∆m dostaneme: p1 c 12 p 2 c 22 g ⋅ h1 + + = g ⋅ h2 + + ρ 2 ρ 2

[J ⋅ kg ] −1

Tento tvar Bernoulliho rovnice se nazývá energetický tvar. Položíme-li: o o

o

g ⋅ h1 = Yp1 p1 = Ytl1 ρ c 12 = Yk1 2

a totéž provedeme pro bod

(polohová měrná energie) (tlaková měrná energie)

(pohybová měrná energie

2 , dostaneme Bernoulliho rovnici ve tvaru: Yp1 + Ytl1 + Yk1 = Yp 2 + Ytl2 + Yk 2

- 22 -

[J ⋅ kg ] −1


© M.H. 2004

Bernoulliho rovnici lze použít i v tzv. výškovém tvaru, který obdržíme dělením energetického tvaru tíhovým zrychlením g .

p1 c 12 p2 c 22 + = h2 + + h1 + ρ⋅g 2⋅g ρ⋅g 2⋅g

[m]

Každý člen v této rovnici reprezentuje výšku v metrech: o o

o

h1 ; h 2 p1 p 2 ; ρ⋅g ρ⋅g c 12 c 22 ; 2⋅g 2⋅g

jsou geodetické (polohové) výšky jsou tlakové výšky

jsou rychlostní výšky

Výškový tvar Bernoulliho rovnice lze znázornit graficky (viz obr.26).

Obr.26: Grafické znázornění Bernoulliho rovnice

Příklad 10 U otevřeného hydraulického systému (gravitační vodovod) vypočítejte:

c2 = ? b) Tlak a přetlak v bodě A při uzavřeném ventilu (p A = ? ; ∆p A = ? ) a) Teoretickou rychlost při otevřeném ventilu

Zadáno:

h = 50 m ; p b = 10 5 Pa ; ρ = 10 3 kg ⋅ m −3

- 23 -


© M.H. 2004

Obr.27: Schema gravitačního vodovodu

Výstup:

h1 = h ; p1 = p b ; c 1 = 0 (přítok, hladina v nádrži se prakticky nemění) h2 = 0 ; p2 = pb ; c 2 = c 2

ad a)

g⋅h =

ad b)

p A = pb + ph = pb + ρ ⋅ g ⋅ h =

Vstup:

c 22 ⇒ c2 = 2⋅g⋅h = 2

∆p A = p A − p b = Příklad 11 U uzavřeného hydraulického systému (tlakový vodovod) vypočítejte:

c2 = ? b) Tlak a přetlak v bodě A při uzavřeném ventilu (p A = ? ; ∆p A = ? ) a) Teoretickou rychlost při otevřeném ventilu

Zadáno:

h = 15 m ; p = 0,3 MPa ; p b = 10 5 Pa ; ρ = 10 3 kg ⋅ m −3

Obr.28: Schema tlakového vodovodu

- 24 -

Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA III Vstup: Výstup:

© M.H. 2004

h1 = 0 ; p1 = p ; c 1 = 0 (přítok, hladina v nádrži se prakticky nemění) h2 = h ; p 2 = pb ; c 2 = c 2

ad a)

p b c 22 p = g⋅h + + ⇒ c2 = ρ ρ 2

ad b)

p A = p − ph = p − ρ ⋅ g ⋅ h = ∆p A = p A − p b =

3.2.6.

Ztráty v potrubí

Při průtoku skutečné kapaliny potrubím dochází ke vzniku: o o

Ztrát třením Ztrát vloženými odpory (místní ztráty)

Ztráty v potrubí můžeme vyjádřit třemi způsoby:

[

YZ J ⋅ kg −1 b) jako tlakovou ztrátu ∆p Z [Pa] c) jako ztrátu na spádu (výšce) h Z [m] a) jako ztrátu na měrné energii

]

Ztráty třením v potrubí

Obr.29

Energetická ztráta třením při průtoku kapaliny potrubím závisí na měrné kinetické energii

Yk , na délce

potrubí l , na světlosti d a na odporovém součiniteli λ , který závisí na tom, zda proudění v potrubí je laminární nebo turbulentní a u turbulentního proudění též na drsnosti vnitřních stěn potrubí:

YZt = Yk ⋅ λ ⋅

l c2 l = ⋅λ⋅ d 2 d

[J ⋅ kg ] −1

Z tohoto vztahu je patrné, že s rostoucí délkou potrubí rostou úměrně i ztráty třením. Naopak s rostoucím průměrem (světlostí) se ztráty třením snižují.

- 25 -


© M.H. 2004

Další možnosti zápisu ztrát třením:

∆p Zt = ρ ⋅ YZt = ρ ⋅ h Zt =

c2 l ⋅λ⋅ 2 d

YZt c2 l = ⋅λ⋅ g 2⋅g d

Uvedené vztahy plynou z rovnice

YZt =

∆p Zt = g ⋅ h Zt ρ

[Pa]

[m]

[J ⋅ kg ] −1

Velikost odporového součinitele λ můžeme vypočítat pro hladké vnitřní stěny potrubí v závislosti na Reynoldsově čísle, nebo uvažujeme-li drsnost vnitřních stěn, tak odporový součinitel určíme z diagramu.

o

Pro laminární proudění

λ= o

Pro turbulentní proudění pro Re ≤ 100000

λ= o

64 Re

0,316 4

Re

Pro turbulentní proudění pro Re > 100000

λ = 0,0054 +

0,396 Re 0,3

Ztráty vloženými odpory Tyto ztráty vznikají např. změnou směru proudění v potrubí, změnou průřezu, vložením uzavírek, v různých armaturách jako jsou např. měřící sondy, průtoková měřidla, dilatační kompenzátory apod.

Obr.30: Vložený odpor v potrubí - ventil

Velikost ztráty způsobené vloženým odporem je závislá opět na měrné kinetické energii proudící kapaliny a ztrátovém součiniteli vloženého odporu ξ .

[J ⋅ kg ]

YZv = Yk ⋅ ξ =

c2 ⋅ξ 2

∆p Zv = ρ ⋅ YZv

c2 = ρ⋅ ⋅ξ 2

−1

Další zápisy

[Pa] - 26 -


h Zv =

© M.H. 2004

YZv c2 = ⋅ξ g 2⋅g

[m]

Obr.31: Schema potrubí s řadou vložených odporů

Pro větší počet vložených odporů platí

YZv =

∆p Zv = ρ ⋅ YZv = ρ ⋅ h Zv =

[J ⋅ kg ]

c2 c2 ⋅ (ξ 1 + ξ 2 + .....) = ⋅ ∑ξ 2 2 c2 ⋅ ∑ξ 2

YZv c2 = ⋅∑ξ g 2⋅g

−1

[Pa] [m]

Hodnoty ztrátových součinitelů pro různé tvarové prvky potrubí je možno vyhledat v tabulkách. U uzavírek potrubí (kohouty, ventily, šoupátka) je velikost ztrátových součinitelů proměnlivá. U kohoutů závisí na úhlu přivření (pootočení kužele kohoutu), u ventilů na procentuálním otevření průtoku a u šoupátek na vzájemném poměru zdvihu ke světlosti (viz obr.32).

- 27 -


© M.H. 2004

Obr.32: Závislost ztrátového součinitele na průtoku uzavírkou v potrubí (kohout, ventil, šoupátko)

Celkové ztráty (třením + vloženými odpory)

YZ = YZt + YZv =

c2  l  ⋅λ ⋅ + ∑ξ  2  d 

∆p Z = ∆p Zt + ∆p Zv = ρ ⋅

h Z = h Zt + h Zv =

[J ⋅ kg ] −1

c2  l  ⋅λ ⋅ + ∑ξ  2  d 

c2  l  ⋅λ ⋅ + ∑ξ  2⋅g  d 

- 28 -

[m]

[Pa]


© M.H. 2004

Příklad 12

Obr.33

Q v = 5 l ⋅ s −1 . Délka l = 200 m ; −6 2 −1 světlost d = 60 mm ; tlak v bodě 1 p1 = 0,4 MPa . Kinematická viskozita ν = 1,3 ⋅ 10 m ⋅ s . Potrubím dle obr.33 protéká studená voda. Objemový průtok

Vypočítejte ztrátu tření na zadaném úseku a vyjádřete ji všemi třemi způsoby zápisu.

Qv =

π ⋅ d2 ⋅c ⇒ c = 4

Re =

c⋅d = ν

λ=

0,316 4

Re

∆p Zt = ρ ⋅

4 ⋅ Qv = π ⋅ d2 proudění …

= c2 l ⋅λ⋅ = 2 d

YZt =

∆p Zt = ρ

h Zt =

YZt = g

p 2 = p1 − ∆p Zt = Příklad 13 Jak se změní ztráta třením z předchozího příkladu, bude-li protékat potrubím voda o teplotě 60°C . Kinematická viskozita

Re =

ν = 0,482 ⋅ 10 −6 m 2 ⋅ s −1 .

c⋅d = ν

λ = 0,0054 + ∆p Zt = ρ ⋅

0,396 = Re 0,3

c2 l ⋅λ⋅ = 2 d

YZt =

∆p Zt = ρ

h Zt =

YZt = g

p 2 = p1 − ∆p Zt = Příklad 14 Vypočítejte celkovou tlakovou ztrátu zadaného potrubí a vyjádřete ji opět všemi způsoby zápisu. Dále jak velký tlak bude v bodě 2 . - 29 -


© M.H. 2004

Obr.34

Zadané hodnoty:

p1 = 0,5 MPa ; ξ 1 = ξ 3 = 5 ; ξ 2 = 3 ; d = 25 mm ; l = 50 m ; c = 2 m ⋅ s −1 ; ρ = 10 3 kg ⋅ m −3 ; ν = 1,3 ⋅ 10 −6 m 2 ⋅ s −1 . Re = λ=

c⋅d = ν

0,316 4

Re

=

∆p Z = ∆p Zt + ∆p Zv = ρ ⋅ YZt =

∆p Zt = ρ

h Zt =

YZt = g

c2  l  ⋅λ ⋅ + ∑ξ  = 2  d 

p 2 = p1 − ∆p Zt =

3.2.7.

Rozšířená Bernoulliho rovnice

Teoretická Bernoulliho rovnice bez uvažování ztrát má tvar:

Yp1 + Ytl1 + Yk1 = Yp 2 + Ytl2 + Yk 2 S ohledem na ztráty nutno pravou stranu rozšířit o ztrátovou energii

YZ :

Yp1 + Ytl1 + Yk1 = Yp2 + Ytl2 + Yk 2 + YZ Po dosazení dostaneme energetický tvar rozšířené Bernoulliho rovnice:

g ⋅ h1 +

p1 c 12 p c2 c2  l  + = g ⋅ h2 + 2 + 2 + 2 ⋅  λ ⋅ + ∑ ξ  ρ 2 ρ 2 2  d 

- 30 -

[J ⋅ kg ] −1


© M.H. 2004

Nebo výškový tvar:

h1 +

p1 c2 p c2 c2  l  + 1 = h2 + 2 + 2 + 2 ⋅  λ ⋅ + ∑ ξ  ρ⋅g 2⋅g ρ⋅g 2⋅g 2⋅g  d 

[m]

Příklad 15

Obr.35

Vypočítejte rychlost č.10. Zadání:

c 2 u gravitačního vodovodu s ohledem na ztráty. Porovnejte s výsledky příkladu

h = 50 m ; p b = 0,1 MPa ; ρ = 10 3 kg ⋅ m −3 ; d = 50 mm ; l = 80 m ; λ = 0,02 ; ξ 1 = 0,2 ; ξ 2 = ξ 3 = 0,3 ; ξ 5 = 5 . g ⋅ h1 + g⋅h =

c2 =

p1 c 12 p c2 c2 + = g ⋅ h2 + 2 + 2 + 2 ρ 2 ρ 2 2

 l  ⋅λ ⋅ + ∑ξ   d 

c 22  l  ⋅ 1 + λ ⋅ + ∑ ξ  2  d  2⋅g⋅h = l 1+ λ ⋅ + ∑ ξ d

Příklad 16 Vypočítejte rychlost č.11. Zadání:

c 2 u tlakového vodovodu s ohledem na ztráty. Porovnejte s výsledky příkladu

h = 15 m ; p = 0,3 MPa ; p b = 0,1 MPa ; ρ = 10 3 kg ⋅ m −3 ; d = 40 mm ; l = 30 m ; λ = 0,02 ; ξ 1 = 0,2 ; ξ 2 = ξ 3 = 0,3 ; ξ 5 = 5 .

- 31 -


© M.H. 2004

Obr.36

g ⋅ h1 +

p1 c 12 p c2 c2  l  + = g ⋅ h2 + 2 + 2 + 2 ⋅  λ ⋅ + ∑ ξ  ρ 2 ρ 2 2  d 

p pb c 22  l  = g⋅h + + ⋅ 1 + λ ⋅ + ∑ ξ  ρ ρ 2  d 

c2 =

 p − pb  − g ⋅ h  2 ⋅   ρ  = l   1 + λ ⋅ + ∑ ξ  d  

Příklad 17 Vypočítejte, jak velký tlak musí být ve spodní nádobě, aby voda proudila potrubím do horní nádoby rychlostí c = 2 m ⋅ s Zadané hodnoty:

−1

.

h = 8 m ; p 2 = 0,3 MPa ; ρ = 10 3 kg ⋅ m −3 ; d = 60 mm ; l = 12 m ; ξ 1 = 0,2 ; ξ 2 = ξ 4 = 0,5 ; ξ 3 = 4,2 ; ν = 1,3 ⋅ 10 −6 m 2 ⋅ s −1 .

- 32 -


© M.H. 2004

Obr.37

g ⋅ h1 +

p1 c 12 p c2 c2  l  + = g ⋅ h2 + 2 + 2 + 2 ⋅  λ ⋅ + ∑ ξ  ρ 2 ρ 2 2  d 

p1 p c2  l  = g⋅h + 2 + ⋅ 1 + λ ⋅ + ∑ ξ  ρ ρ 2  d  Re = λ=

c⋅d = ν

0,316 4

Re

=

 p2 c 2  l  p 1 = g ⋅ h + + ⋅ 1 + λ ⋅ + ∑ ξ   ⋅ ρ = ρ 2  d  

- 33 -

Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA III 3.2.8.

© M.H. 2004

Výtok kapaliny otvorem ve dně nádrže

Otevřená nádrž – výtok do atmosféry

Obr.38: Výtok kapaliny otvorem ve dně nádrže

Řešení provedeme pomocí Bernoulliho rovnice.

g ⋅ h1 +

p1 c 12 p c2 + = g ⋅ h2 + 2 + 2 ρ 2 ρ 2

c2 2 c = 2⋅g⋅h g ⋅ h1 =

[m ⋅ s ] −1

c je teoretická výtoková rychlost. Skutečná rychlost bude menší. Projeví se zde tření kapaliny ve výtokovém otvoru.

c sk = φ ⋅ 2 ⋅ g ⋅ h

φ … rychlostní součinitel

U vytékajícího proudu kapaliny se projeví zúžení (kontrakce) proudu (viz obr.39). Průřez vytékajícího proudu je menší než průřez otvoru.

π ⋅ d12 π ⋅ d2 ; průřez paprsku S1 = 4 4 S1 = ε ⋅ S , kde ε = součinitel kontrakce.

Průřez otvoru

S=

Tento součinitel závisí na provedení výtokového otvoru. Pro vytékající objemový tok bude platit

Q v = c sk ⋅ S1 = φ ⋅ c ⋅ ε ⋅ S

Qv = μ ⋅ S ⋅ c = μ ⋅ S ⋅ 2 ⋅ g ⋅ h

[m

μ = φ ⋅ ε = tzv. výtokový součinitel (v tabulkách). Obr.39

- 34 -

3

⋅ kg −1

]


© M.H. 2004

Tlaková nádoba – výtok do atmosféry

Obr.40: Výtok kapaliny otvorem ve dně tlakové nádoby

Řešíme obdobně jako předchozí případ Bernoulliho rovnicí.

p1 c 12 p 2 c 22 g ⋅ h1 + + = g ⋅ h2 + + ρ 2 ρ 2 2 p p c g⋅h + = b + ρ ρ 2 p − pb  c = 2 ⋅  g ⋅ h + ρ 

  

[m ⋅ s ] −1

p − pb  Q v = μ ⋅ S ⋅ c = μ ⋅ S ⋅ 2 ⋅  g ⋅ h + ρ  3.2.9.

  

[m

3

⋅ kg −1

]

Výtok kapaliny otvorem v boční stěně

Otevřená nádrž – výtok do atmosféry

Obr.41: Výtok kapaliny bočním otvorem v nádrži

- 35 -


© M.H. 2004

Podmínky pro výpočet rychlosti a objemového toku jsou podobné jako u výtoku z otvoru ve dně nádoby.

c sk = φ ⋅ c = φ ⋅ 2 ⋅ g ⋅ h T ;

S1 = ε ⋅ S

μ = φ⋅ε

[

Q v = c sk ⋅ S1 = φ ⋅ c ⋅ ε ⋅ S = μ ⋅ S ⋅ c = μ ⋅ S ⋅ 2 ⋅ g ⋅ h T m 3 ⋅ kg −1

]

h T = hloubka těžiště výtokového otvoru Tlaková nádoba – výtok do atmosféry Platí analogický vztah jako u výtoku otvorem ve dně.

p − pb  Q v = μ ⋅ S ⋅ c = μ ⋅ S ⋅ 2 ⋅  g ⋅ h T + ρ 

  

[m

3

⋅ kg −1

]

3.2.10. Opakování

3.3. ZÁKLADY TEORIE HYDRODYNAMICKÝCH LOPATKOVÝCH STROJŮ 3.3.1.

Rozdělení hydrodynamických lopatkových strojů

Hydrodynamické lopatkové stroje dělíme na: o Hydrodynamické lopatkové pracovní stroje (čerpadla) o Hydrodynamické lopatkové motory (turbíny)

3.3.2.

Hydrodynamická čerpadla

Dělí se na čerpadla: o Radiální o Axiální o Diagonální Princip je patrný z obr.42. Podrobnější popis viz předmět Stavba a provoz strojů 4.ročník.

a) Radiální

b) Axiální Obr.42: Základní typy hydrodynamických čerpadel

- 36 -

c) Diagonální

Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA III •

© M.H. 2004

Průtok kapaliny oběžným kolem radiálního hydrodynamického čerpadla

Obr.43: Hlavní rozměry a rychlostní poměry v oběžném kole radiálního hydrodynamického čerpadla

c1 = u1 = w1 = β1 = c2 = u2 = w2 = β2 =

absolutní rychlost na vstupní hraně lopatky obvodová (unášivá) rychlost na vstupní hraně relativní rychlost na vstupní hraně úhel sklonu začátku oběžné lopatky absolutní rychlost na výstupní hraně lopatky obvodová (unášivá) rychlost na výstupní hraně relativní rychlost na výstupní hraně úhel sklonu konci oběžné lopatky

c 0 (viz obr.43). Proud kapaliny se pak ohne o 90° a pod úhlem α1 vstupuje rychlostí c 1 do mezilopatkových kanálů (bod 1 ). Bod 1 ležící na vstupní hraně oběžné lopatky se pohybuje obvodovou (unášivou) rychlostí u1 . Pozorovateli, který by byl umístěn v bodě 1 se zdá, že kapalina se pohybuje rychlostí − u1 . Složením vektorů c 1 a − u1 dostaneme relativní rychlost w 1 . Aby nenastal ráz proudící kapaliny, musí být začátek lopatky tečný k relativní rychlosti w 1 . Kapalina dál klouže podél zakřivené lopatky a na výstupní hraně opouští lopatku relativní rychlostí w 2 pod úhlem β 2 . Rychlost w 2 je vlivem tření částic kapaliny o stěny kanálů menší než w 1 . Bod 2 na výstupní hraně oběžné lopatky se pohybuje obvodovou (unášivou) rychlostí u 2 . Složením vektorů w 2 a u 2 obdržíme výslednou absolutní rychlost c 2 a tím i směr

Kapalina vstupuje do sacího hrdla oběžného kola rychlostí

proudění vystupující kapaliny z oběžného kola čerpadla.

- 37 -


© M.H. 2004

Hnací moment, příkon, dopravní hydrodynamického radiálního čerpadla

výška,

energetická

a

pracovní

rovnice

Obr.44

Potřebný moment k pohonu oběžného kola je dán rozdílem momentů na vstupní a výstupní hraně lopatky.

M = M2 − M1 = F2 ⋅ R 2 − F1 ⋅ R1 M1 = moment na vstupní hraně lopatky M2 = moment na výstupní hraně lopatky Podle věty o impulsu síly a změně hybnosti bude platit:

F1 ⋅ t = m ⋅ c u1 ⇒ F1 =

m ⋅ c u1 = Q m ⋅ c u1 = Q v ⋅ ρ ⋅ c u1 t

F2 ⋅ t = m ⋅ c u2 ⇒ F2 =

m ⋅ c u2 = Q m ⋅ c u 2 = Q v ⋅ ρ ⋅ c u2 t

Potřebný moment bude:

M = Q v ⋅ ρ ⋅ c u2 ⋅ R 2 − Q v ⋅ ρ ⋅ c u1 ⋅ R1 = Q v ⋅ ρ ⋅ (c u2 ⋅ R 2 − c u1 ⋅ R1 ) Potřebný teoretický příkon je:

Pt = ω ⋅ M = Q v ⋅ ρ ⋅ (c u2 ⋅ ω ⋅ R 2 − c u1 ⋅ ω ⋅ R1 ) Nyní dosadíme za

ω ⋅ R 2 = u 2 ; ω ⋅ R 1 = u1 - 38 -


© M.H. 2004

Pt = Q v ⋅ ρ ⋅ (c u2 ⋅ u 2 − c u1 ⋅ u1 ) = Q m ⋅ (c u2 ⋅ u 2 − c u1 ⋅ u1 )

[W ]

Teoretický příkon můžeme také stanovit pomocí vztahu

Pt = Q m ⋅ Yt

[W ]

Porovnáním tedy musí platit, že teoretická měrná energie, získaná v oběžném kole, bude:

Yt = c u2 ⋅ u 2 − c u1 ⋅ u1

[J ⋅ kg ] −1

…..

tzv. Eulerova rovnice pracovních lopatkových strojů (1. forma)

Protože

Yt = g ⋅ H t , bude teoretická dopravní výška Ht =

[m]

Yt 1 = ⋅ (c u2 ⋅ u2 − c u1 ⋅ u1 ) g g

Skutečná dopravní výška bude menší vlivem hydraulických ztrát, které vyjádříme hydraulickou účinností η h < 1.

H = Ht ⋅ ηh =

Yt Y η ⋅ η h = = h ⋅ (c u2 ⋅ u 2 − c u1 ⋅ u1 ) g g g

[m]

Po úpravě dostaneme energetickou rovnici hydrodynamického radiálního čerpadla.

[J ⋅ kg ]

Y = H ⋅ g = η h ⋅ (c u2 ⋅ u 2 − c u1 ⋅ u1 )

−1

Efektivní (skutečný) příkon určíme z teoretického

Y = Yt ⋅ η h ⇒ Yt = Pt = Qm ⋅ Pe =

Pt = Q m ⋅ Yt .

Y ηh

Y = H⋅g

Y Qv ⋅ ρ ⋅ H ⋅ g = ηh ηh

Pt Q ⋅ ρ ⋅ H ⋅ g Q v ⋅ ρ ⋅ H ⋅ g Q v ⋅ ∆p = v = = ηc ηm ηh ⋅ ηm ηc

[W ]

∆p = ρ ⋅ g ⋅ H = pracovní přetlak čerpadla η c = η h ⋅ η c = celková účinnost čerpadla Pro stanovení teoretické měrné energie, resp. dopravní výšky lze použít též tzv. pracovní rovnici čerpadla, neboli Eulerovu rovnici pracovních lopatkových strojů (2. formu). Získáme ji odvozením z 1. formy pomocí cosinové věty.

u 22 − u12 w 12 − w 22 c 22 − c 12 Yt = g ⋅ H t = + + 2 2 2

- 39 -

[J ⋅ kg ] −1


Ht =

© M.H. 2004

Yt u 22 − u12 w 12 − w 22 c 22 − c 12 = + + g 2⋅g 2⋅g 2⋅g

[m]

Teoretický přetlak získaný v oběžném kole potom bude

 u 2 − u12 w 12 − w 22 c 22 − c 12 ∆p t = ρ ⋅ g ⋅ H t = ρ ⋅  2 + + 2 ⋅ g 2 ⋅ g 2⋅g 

   

[Pa]

  ⋅ ηh  

[Pa]

a skutečný přetlak

∆p = ∆p t ⋅ η h = ρ ⋅ g ⋅ H t ⋅ η h = ρ ⋅ g ⋅ H

[Pa]

 u 2 − u12 w 12 − w 22 c 22 − c 12 ∆p = ρ ⋅ g ⋅ H = ρ ⋅  2 + + 2 2 2 

•

Funkce difuzoru

Obr.45: Rychlostní poměry v difuzoru radiálního hydrodynamického čerpadla

Difuzor je pevný (nepohyblivý) lopatkový věnec. Mezilopatkové kanály se rozšiřují (viz obr. 45). Tím klesá v difuzoru průtočná rychlost z c 2 na c 3 < c 2 . S klesající rychlostí klesá kinetická energie proudící kapaliny a podle zákona o zachování se tato kinetická energie mění na energii tlakovou. Rozdíl kinetických energií před a za difuzorem

Yd = Y2 − Y3 =

c 22 − c 23 2

se v difuzoru mění na tlak a tak se získá přírůstek teoretického přetlaku

- 40 -


© M.H. 2004

∆p = ρ ⋅ Yd = ρ ⋅ kde

c 22 − c 32 = ρ ⋅ g ⋅ ∆Hd 2

[Pa]

∆Hd je přírůstek dopravní výšky ∆Hd =

∆p d c 22 − c 23 = ρ⋅g 2⋅g

[m]

Čerpadlo s difuzorem tedy vytlačí kapalinu do větší výšky než čerpadlo bez difuzoru. S použitím pracovní (Eulerovy) rovnice lze psát pro dopravní výšku čerpadla: a) Bez difuzoru:

ηh η h  u 22 − u12 w 12 − w 22 c 22 − c 12 H= ⋅ (c u2 ⋅ u 2 − c u1 ⋅ u1 ) = ⋅ + + g g  2 2 2

   

[m]

b) S difuzorem:

H=

•

ηh g

 u 2 − u12 w 12 − w 22 c 22 − c 12 c 22 − c 32   ⋅  2 + + + 2 2 2   2

[m]

Průtok kapaliny oběžným kolem axiálního hydrodynamického čerpadla – vrtulové čerpadlo

Obr.46: Princip vrtulového čerpadla a rychlostní poměry na oběžných lopatkách

Oběžné kolo axiálního hydrodynamického čerpadla má tvar několikalisté vrtule (propeleru). Lopatky mají proměnlivý sklon β. Největší úhel sklonu mají u náboje a nejmenší na obvodu. Teoretická měrná energie

Yt = g ⋅ H t =

u 22S − u12S w 12S − w 22S c 22S − c 12S + + 2 2 2 - 41 -

[J ⋅ kg ] −1


© M.H. 2004

uvedené rychlosti jsou uvažovány na středním průměru oběžného kola Jelikož platí, že

Ds =

DX + DZ 2

u 2S = u1S , pak bude teoretická měrná energie

w 12S − w 22S c 22S − c 12S + Yt = g ⋅ H t = 2 2

[J ⋅ kg ] −1

odtud teoretická dopravní výška

Ht =

Yt w 12S − w 22S c 22S − c 12S = + g 2⋅g 2⋅g

[m]

skutečná dopravní výška

H = Ht ⋅ ηh =

ηh g

 w 2 − w 22S c 22S − c 12S ⋅  1S + 2 2 

   

[m]

Efektivní příkon vrtulového čerpadla

Pe =

Pt Q ⋅Y Q ⋅ ρ ⋅ Y Q v ⋅ ρ ⋅ H ⋅ g Q v ⋅ ∆p = = = m t = v ηm ηm η h ⋅ ηm ηc ηc

[W ]

Dopravní výška tohoto čerpadla je poměrně malá. Tato čerpadla jsou vhodná pro velké objemové průtoky Q v a menší dopravní výšky H .

3.3.3.

Lopatkové hydrodynamické motory – vodní turbíny

Vodní turbíny dělíme do dvou skupin, na vodní motory rovnotlakové (akční) a vodní motory přetlakové (reakční). U rovnotlakových se otáčí oběžné kolo v prostoru se stejným tlakem (barometrickým), u přetlakových je před oběžným kolem tlak větší než za ním. •

Dynamické účinky proudu kapaliny na rovinné lopatce

Obr.47: Silové a rychlostní poměry na rovinné lopatce vodního motoru

Působení proudu kapaliny na rovinnou lopatku zjišťujeme pro dva případy: a)

u = 0 (lopatka se nepohybuje)

F⋅ t = m⋅c ⇒ F =

m ⋅ c = Qm ⋅ c = Q v ⋅ ρ ⋅ c t - 42 -

[N]

Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA III b)

© M.H. 2004

u > 0 (lopatka se pohybuje unášivou rychlostí u ) F ⋅ t = m ⋅ (c − u) ⇒ Qm ⋅ (c − u) = Q v ⋅ ρ ⋅ (c − u)

[N]

Skutečný objemový tok z trysky bude

π ⋅ d02 ⋅c Qv = μ ⋅ S ⋅ c = μ ⋅ 4

kde

d 0 = průměr trysky

Výkon vodního motoru s rovinnými lopatkami

P = F ⋅ u = Q v ⋅ ρ ⋅ (c − u) ⋅ u Maximální síla (pro

[W ]

u = 0)

[N]

Fmax = Q v ⋅ ρ ⋅ c Maximální výkon (pro u =

c ) 2

c c 1  Pmax = Q v ⋅ ρ ⋅ (c − u) ⋅ u = Q v ⋅ ρ ⋅  c −  ⋅ = ⋅ Q v ⋅ ρ ⋅ c 2 2 2 4 

[W ]

Kroutící moment na hřídeli

Mk = F ⋅

D 2

[N⋅ m]

kde D = průměr na nějž působí osa paprsku, proudícího z trysky. Teoretická účinnost vodního motoru s rovinnými lopatkami

c2 Pt = Q m ⋅ Y = Q v ⋅ ρ ⋅ 2

[W ]

1 ⋅Q ⋅ρ ⋅ c2 Pmax 4 v 1 = ηt = = = 0,5 1 Pt 2 ⋅ Qv ⋅ ρ ⋅ c 2 2 Teoretická účinnost nezahrnuje ztráty mechanické a hydraulické. S ohledem na ně by klesla celková účinnost na hodnotu 0,3 až 0,4 . Vodní motory s rovinnými lopatkami patří již do historie. Používaly se jako vodní kola k pohonu pil, mlýnů, hamrů, drtíren rudy atd.

- 43 -


© M.H. 2004

Dynamické účinky proudu kapaliny na zakřivené lopatce - Peltonova turbína

Obr.48: Oběžná lopatka Peltonovy vodní turbíny

Na obr.48 je nakreslena zakřivená lopatka tvaru dvojité misky, kterou použil Pelton pro svoji vodní turbínu. Na ostrém břitu se vodní paprsek proudící kapaliny rozdělí na poloviny a po zakřivených plochách lopatky se obrátí do protisměru. c)

u = 0 (lopatka se nepohybuje) Výsledná síla na lopatku:

F1 = Q v ⋅ ρ ⋅ c ; F = Qv ⋅ ρ ⋅ c + d)

F = F1 + F2 + F3

F2 = F3 =

Qv ⋅ρ⋅c ; 2

Qv Q ⋅ ρ ⋅ c + v ⋅ ρ ⋅ c = 2 ⋅ Qv ⋅ ρ ⋅ c 2 2

u > 0 (lopatka se pohybuje unášivou rychlostí u )

[N]

F = 2 ⋅ Q v ⋅ ρ ⋅ (c − u) Výkon:

P = F ⋅ u = 2 ⋅ Q v ⋅ ρ ⋅ (c − u) ⋅ u

Maximální síla (pro

[W ]

u = 0)

Fmax = 2 ⋅ Q v ⋅ ρ ⋅ c

[N]

- 44 -

[N]


© M.H. 2004

Maximální výkon (pro u =

c ) 2

c c 1  Pmax = 2 ⋅ Q v ⋅ ρ ⋅ (c − u) ⋅ u = 2 ⋅ Q v ⋅ ρ ⋅  c −  ⋅ = ⋅ Q v ⋅ ρ ⋅ c 2 2 2 2 

[W ]

Teoretická účinnost vodního motoru s rovinnými lopatkami

Pt = Q m ⋅ Y = Q v ⋅ ρ ⋅

ηt =

Pmax Pt

c2 2

[W ]

1 ⋅ Qv ⋅ ρ ⋅ c 2 = 2 =1 1 2 ⋅ Qv ⋅ ρ ⋅ c 2

Vlivem hydraulických a mechanických ztrát bude účinnost skutečného stroje menší ( 0,88 až

0,94 ).

Na účinnost má vliv i ta skutečnost, že konec lopatek musí být skloněn o určitý úhel β 2 tak, aby voda odcházela z oběžných lopatek na bok a tím bylo zabráněno narážení dalších lopatek na odcházející

c 22 je nevyužitá, ztrátová. vodu. Voda odchází rychlostí c 2 . Měrná energie Y2 = 2

Obr.49: Rychlostní poměry na odtokové hraně lopatky Peltonovy turbíny

Tato energie je však velmi malá, pro běžné výpočty můžeme brát •

Y2 =

c 22 = 0. 2

Efektivní výkon vodního motoru

Maximální teoretický výkon vodní turbíny se zakřivenými lopatkami je dán vztahem:

Pmax =

Dosadíme-li za

1 ⋅ Qv ⋅ ρ ⋅ c 2 2

Q v ⋅ ρ = Q m a za

[W ] c2 = Y = g ⋅ Huž , dostaneme 2

Pmax = Q m ⋅ Y = Q v ⋅ ρ ⋅ g ⋅ H už

[W ] - 45 -


© M.H. 2004

Huž = tzv. užitečný spád, který se využije ve vodním motoru. Efektivní výkon vodní turbíny je menší o ztráty:

[W ]

Pe = Pmax ⋅ η = Q m ⋅ Y = Q v ⋅ ρ ⋅ g ⋅ Huž ⋅ η

Tyto vztahy platí jak pro turbíny rovnotlakové, tak i přetlakové! •

Užitečný spád u rovnotlakových vodních turbín (Peltonova)

Nebudeme-li uvažovat ztráty, pak v turbíně využijeme spád:

Huž

•

c2 = 2⋅g

[m]

Užitečný spád u přetlakových vodních turbín (Francisova, Kaplanova, Dériazova)

Konstrukce, regulace a provoz těchto turbín viz předmět SPS (4.ročník). V přetlakové vodní turbíně využijeme:

- měrnou kinetickou energii

Yk =

c 12 − c 22 2

[J ⋅ kg ]

- měrnou tlakovou energii

Ytl =

p1 − p2 ρ

[J ⋅ kg ]

- měrnou kinetickou energii získanou v savce

c 22 − c 32 Ys = 2

[J ⋅ kg ]

Celková měrná energie

Y = Huž ⋅ g = Yk + Ytl + Ys

−1

−1

−1

Využitý spád:

Huž

3.3.4.

c 12 − c 22 p1 − p 2 c 22 − c 23 + + c 2 − c 32 p1 − p 2 2 ρ 2 = = 1 + g 2⋅g ρ⋅g

[m]

Opakování

Literatura: V. Vondráček a kol. Mojmír Hofírek

Mechanika IV. (Mechanika tekutin a termomechanika) SNTL 1977 Mechanika tekutin, hydromechanika a základy aeromechaniky Fragment 1998

- 46 -

Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA III M.H MECHANIKA III 1. DÍL MECHANIKA TEKUTIN - 1 -

Recommend Documents