Mechanika nenewtonských tekutin
Josef Málek
1
1. přednáška, 5. října 2011 Otázky: Q1) Co se rozumí mechanikou? Q2) Co je tekutina? Q3) Co je newtonská tekutina? Q4) Co je nenewtonská tekutina? Q5) Proč je NDIR057 důležitá přednáška? Q6) Jaké jsou jevy, které nelze klasickými (newtonskými) tekutinami popsat? Q7) V čem je tento kurz výjimečný (oproti jiným kurzům z mechaniky tekutin možných absolvovat na jiných technických školách)? Q8) Neměli bychom používat jiné přístupy, např. teorie směsí, statistické přístupy, diskrétní přístupy? Odpovědi: Ad Q1) Mechanika nenewtonských tekutin je součást mechaniky kontinua (termodynamiky kontinua). Základní koncept – kontinuum
Q: Jak popsat odezvu materiálu na externí zatížení (mechanické, tepelné, elektrické, magnetické)? A: Dva typy prostředků k popisu odezev: 1) Obecnějšího charakteru – bilanční rovnice hmoty, hybnosti, momentu hybnosti, energie a formulace druhého zákona termodynamiky. 2) Konstitutivní vztahy (rovnice) – charakterizují odezvy „idealizovaných materiálůÿ. Příklady konstitutivních vztahů: (a) Elastický materiál (po vypnutí zatížení se materiál okamžitě vrátí do původního stavu) Pokud je vztah mezi napětím (silou) a deformací (změny úhlů, délek) lineární, pak mluvíme o lineárně pružné pevné látce. (b) Viskózní tekutina Pokud je napětí přímoúměrné rychlosti změny délek a úhlů, pak mluvíme o lineárně viskózní tekutině.
2
Ad Q2) Tekutina je materiál, který neudrží smykové napětí v časovém měřítku pozorovatele. Ad Q3) Konstituvní vztah pro nestlačitelnou newtonskou tekutinu: T = −pI + 2µD(v),
div v = 0
kde p je tlak, µ dynamická viskozita, D symetrická část gradientu rychlosti, v je rychlost tekutiny. Stlačitelná newtonská tekutina má tenzor napětí ve tvaru T = −p(ρ, θ)I + 2µ(ρ, θ)D(v) + λ(ρ, θ)(div v)I, ρ je hustota tekutiny, θ je teplota. Ad Q4) Nenewtonská tekutina je taková tekutina, kterou nelze popsat výše uvedenými vztahy. Ad Q5) Aplikace v biomateriálech (efekty v medicíně), geomateriálech (silnice, ranveje), chemickém průmyslu, potravinovém průmyslu (kečup ;-)). Ad Q6) Budeme mluvit o tekutinách, které se nemusí na první pohled jevit jako tekutiny jak je známe – třeba voda. Ukážeme tekutiny, které vykazují chování, které newtonské tekutiny popsané Navier-Stokesovými rovnicemi nevykazují. Ukážeme například viskoelastické tekutiny, které se chovají částečně viskozně (jako newtonská tekutina – voda) a částěčně elasticky (jako elastická látka – guma). Nenewtonské jevy (ukázána videa): • Weissenberg effect (rod climbing – šplhání po tyči) • Fano flow (tekutina se brání přerušení proudu ze stříkačky) • Open channel extensional flow (tekutina teče z kádinky dál i když by už neměla) • Barus effect (Die swell) (rozšíření proudu při výtoku z trubice) • Kaye effect (tekutina volně padající do misky s tou tekutinou tvoří „tlustá stříkající vláknaÿ) • Electro-rheological fluid (tekutina mění ohromně svou viskozitu v elektrickém poli) (křeslo pro vozíčkáře) • Viscoealstic solid-like fluid (viskoelastická tekutina, která se chová více jako pevná látka) • Silly Putty (hračka s různým chováním, na krátké časové škále křehká, postupně s delším časem se chová více jako tekutina) • Shear thickening non-newtonian fluid (tekutina se při rychlém pohybu chová jako pevná látka, při pomalém pohybu jako tekutina)
3
Příkladem nenewtonské tekutiny je třeba krev, je to viskoelastická shearthinning tekutina. V tepnách proudí rychle a má nízkou viskozitu, ve vlásečnicích pomalu a má vysokou viskozitu (krev proudí okolo zranění pomalu s vysokou viskozitou, více ulpívá, snadněji se zahojí). Ad Q7) Tento kurz je výjimečný v tom, že si zde ukážeme nové přístupy (Rajagopal), které se jinde neučí. Ad Q8) Budeme se soustředit na konstitutivní rovnice, zůstaneme ve standardním kontinuu.
4
2. přednáška, 12. října 2011
Rámec Newtonských tekutin Nechť B je abstraktní těleso, K0 (B) konfigurace v počátečním stavu a Kt (B) konfigurace v čase t (viz obrázek).
Pak definujme pohyb χ zobrazující z K0 (B) do Kt (B) : x = χ(X, t). Dále definujme další kinematických veličiny: vektor posunutí u = x − X = χ(X, t) − X rychlostní pole v = ∂χ ∂t ∂χ deformační gradient FK0 = ∂X Bilanční rovnice bilance hmoty bilance hybnosti bilance energie
ρ˙ = −ρ div v ρv˙ = div T + ρb ρE˙ = div(Tv − q) + ρb · v + ρr
kde E = e + (ρ|v|2 )/2 a ∂z + ∇z · v ∂t ∂z z˙ = + (∇z)v ∂t z˙ =
Dále platí (v poslední rovnosti použijeme symetrii T = TT ) (I)3 − (I)2 · v ⇔ ρe˙ − div q = T · ∇v + ρr = T · D + ρr.
5
(I)
Domácí úkol č. 1 Přepište rovnice do tvaru ∂ρ + div(ρv) = 0 ∂t ∂(ρv) + div(ρv ⊗ v) − div T = ρb ∂t
(III)
∂(ρE) + div(ρEv) + div q − div(Tv) = ρb · v + ρr ∂t Domácí úkol č. 2 Definujme operátor časoprostorové divergence Divt,x ve třech prostorových proměnných takto: Divt,x = Najděte vektory Hi , do tvaru
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + + + = + div . ∂t ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂t
i = 1, 2, 3, 4, 5 a přepište soustavu z domácího úkolu č. 1 Divt,x Hi = gi ,
i = 1, 2, 3, 4, 5.
Naše neznámé jsou ρ, v, e a T = (Tij )3i,j=1 + předpoklad platnosti bilance momentu hybnosti T = TT ⇒ 6 veličin tenzoru napětí a znalosti q. Celkem tedy máme i pro tento jednoduchý případ 9 konstitutivních vztahů pro T, q.
Navierovy-Stokesovy-Fourierovy rovnice Stlačitelná tekutina T = −p(ρ, θ)I + 2µ(ρ, θ)D(v) + λ(ρ, θ)(div v)I, q = K(ρ, θ)∇θ, µ je smyková viskozita, λ objemová viskozita, K(ρ, θ) je pozitivně definitní matice. Nestlačitelná tekutina Objem tekutiny je roven Z V (Pt ) =
dx. Pt
Materiál je nestlačitelný, když d V (Pt ) = 0 ⇒ det FK0 = 1 ⇒ div v = 0. dt Nestlačitelná tekutina splňuje div v = 0 T = −pI + 2µ(ρ, θ)D(v), q = K(ρ, θ)∇θ, Zde tlak p má jiný význam než v předchozí rovnici. U nestlačitelné tekutiny se jedná o neznámou (není způsob jak konstitutivně určit sférickou část tenzoru napětí), u stlačitelné musí být popsán konstitutivním vztahem. 6
Z podmínky div v = 0 neplyne, že by hustota byla konstantní, tj. ρ(x, t) = ρ∗ , kde ρ∗ ∈ (0, ∞). Neboť z (I)1 plyne ∂ρ + ∇ρ · v = 0 ⇔ ρ je konstantní podél charakteristik, ∂t kde charakteristika je χ. Když v K0 (B)∃X1 , X2 : ρ(X1 ) 6= ρ(X2 ), pak takový materiál nazveme nehomogenní nestlačitelná tekutina. Je-li ovšem na počátku hustota konstantní, pak zůstává konstantní po celou dobu a mluvíme o homogenní nestlačitelná tekutina. Dále v případě izotermálního procesu, kde θ(x, t) = θ∗ ∈ (0, ∞) a ∇θ = 0 máme bilanční rovnice pro nehomogenní nestlačitelné Navier-Stokesovy rovnice div v = 0 ∂ρ + ∇ρ · v = 0 ∂t ∂(ρv) + div ρv ⊗ v = −∇p + div(2µ(ρ)D(v)) + ρb ∂t a bilanční rovnice pro homogenní nestlačitelné Navier-Stokesovy rovnice
ρ∗
div v = 0 ∂v + div v ⊗ v = −∇p + µ∗ ∆v + ρ∗ b. ∂t
Newton (1687): ”The resistence arising from the want of lubricity in parts of the fluid, other things being equal, is proportional to the velocity with which the parts of the fluid are separated from one another.”
Síla je úměrná rozdílu rychlostí a nepřímoúměrná výšce h F v(h) − v(0) ∼ . A h |{z} Txy
7
Máme-li tedy jednoduché smykové proudění s rychlostí ve tvaru v = (v(y), 0, 0), pak Txy = µv 0 (y) = 2µDxy (v). Někdo může chápat slovíčko proportional obecněji ve smyslu libovolné závislosti, pak můžeme chápat Newtonův výrok ve smyslu implicitní vazby G(Txy , Dxy , . . . ) = 0 Všimněme si nyní fyzikálních rozměrů dynamické viskozity [µ] =
N m kg m s−2 = s = kg m−1 s−1 m2 m s−1 m2
a kinematické viskozity
[µ∗ ] = m2 s. [ρ∗ ]
Příklady velikostí viskozit Tekutina Viskozita [cP] vzduch (18 ◦ C) 0,02638 voda 1 olivový olej 84 motorový olej SAE50 540 med 2000 – 3000 kečup 50000 – 70000 burákové máslo 150000 – 250000 asfalt 3 × 1010 zemská kůra 3 × 1025 Domácí úkol č. 3 Jaká jednotka je označována cP? Má blíže k dynamické (µ) nebo kinematické viskozitě (µ∗ /ρ)? Jméno jakého vědce je „schovánoÿ v této jednotce? Jaká byla jeho oblast zájmu a co studoval?
8
