Mechanika tekutin I.
Autor: Ing. Marek KLIMKO
KKE
MECHANIKA TEKUTIN I.
Ing. Marek KLIMKO
Obsah 1. Úvod do problematiky – základní pojmy, matematický aparát hydromechaniky ...................... 4 1.1 Základní vlastnosti tekutin ......................................................................................................... 4 1.1.1 Izotermický součinitel objemové stlačitelnosti .................................................................... 5 1.1.2 Izochorický součinitel tlakové rozpínavosti......................................................................... 5 1.1.3 Izobarický součinitel objemové roztažnosti ......................................................................... 5 1.1.4 Viskozita tekutin, smykové napětí ...................................................................................... 6 1.1.5 Povrchové napětí ................................................................................................................ 9 1.2 Matematický aparát hydromechaniky ...................................................................................... 10 1.2.1 Parciální a totální derivace ................................................................................................ 10 1.2.2 Gradient, divergence, rotace ............................................................................................. 12 1.2.3 Integrální vety .................................................................................................................. 13 2. Statika tekutin ............................................................................................................................. 14 2.1 Eulerova rovnice hydrostatiky ................................................................................................. 14 2.2 Kapalina v gravitačním poli ..................................................................................................... 16 2.3 Relativní klid kapalin .............................................................................................................. 17 2.3.1 Rovnoměrný přímočarý pohyb.......................................................................................... 17 2.3.2 Přímočarý pohyb rovnoměrně zrychlený ........................................................................... 17 2.3.3 Rotační pohyb kolem svislé osy při ω = konst .................................................................. 22 2.4 Tlakové síly ............................................................................................................................ 25 2.4.1 Tlaková síla kapaliny na rovinnou stěnu ........................................................................... 25 2.4.2 Tlaková síla kapaliny na šikmou stěnu .............................................................................. 25 2.4.3 Tlaková síla kapaliny na zakřivenou stěnu ........................................................................ 26 2.5 Stabilita plovoucího tělesa ....................................................................................................... 30 3. Dynamika tekutin........................................................................................................................ 33 3.1 Rozdělení proudění ................................................................................................................. 33 3.2 Proudnice ................................................................................................................................ 34 3.3 Rovnice spojitosti .................................................................................................................... 37 3.4 Potenciální proudění ................................................................................................................ 39 3.4.1 Rotor rychlosti.................................................................................................................. 39 3.5 Vazké proudění ....................................................................................................................... 41 3.5.1 Navier-Stokesova pohybová rovnice ................................................................................. 41 3.6 Bernoulliho rovnica ................................................................................................................. 43 3.7 Měření rychlosti, tlaku a průtokového množství ....................................................................... 48 3.7.1 Celkový tlak ..................................................................................................................... 49 3.7.2 Statický tlak ..................................................................................................................... 49 3.7.3 Dynamický tlak, průtokové množství ................................................................................ 50
KKE
MECHANIKA TEKUTIN I.
Ing. Marek KLIMKO
3.8 Věta o změně toku hybnosti (VZTH) ....................................................................................... 52 3.9 Rychlostní profily.................................................................................................................... 54 3.9.1 Laminární proudění v trubici kruhového průřezu .............................................................. 54 3.10 Tlakové ztráty v potrubí......................................................................................................... 56 3.10.1 Straty náhlým rozšířením proudu .................................................................................... 57 3.10.2 Třecí ztráty ..................................................................................................................... 59 Použitá literatura ............................................................................................................................ 63
KKE
1.
MECHANIKA TEKUTIN I.
Ing. Marek KLIMKO
Úvod do problematiky – základní pojmy, matematický aparát
hydromechaniky Mechanika tekutin, resp. hydromechanika je součástí mechaniky, která se dělí na: a) Mechanika tuhých těles – studuje rovnováhu a pohyb hmotností, které nemění svůj tvar účinkem vnějších sil, b) Pružnost a pevnost – vyšetřuje napětí a deformace od vnějších sil v poddajných pevných tělesech, c) Mechanika tekutin – studuje vlastnosti nepohyblivých a proudících tekutin na základě
I.
zákonitostí předcházejících 2 oborů mechaniky.
V hydromechanice považujeme tekutinu za izotropní, spojíte prostředí (kontinuum) se
stejnými fyzikálními vlastnostmi ve všech směrech. Parametry, jako např. tlak, rychlost,
Základní vlastnosti tekutin
M
1.1
T
hustota a pod. se spojitě mění, co umožňuje jejich vyjádření spojitými funkcemi.
Stavové parametry v neproudící tekutině jsou hustota ρ, tlak p a teplota T. V proudící tekutině k těmto třem parametrům patří navíc rychlost w. K určení stavových parametrů musíme mít k dispozici samozřejmě stejný počet rovnic. V prvním případě 3 a v druhém 4
K E/
rovnice, které se řeší jako soustava.
Stavová rovnice udává vazbu mezi p, ρ, T a má následující tvary: -
Ideální plyn:
= ∙ , kde r je plynová konstanta, např. rvzduch = 287,04 J.kg-1.K-1,
-
Reálný plyn:
= ∙
∙ [1 +
∙
( )+
∙
( ) + ⋯ ], kde a1 a a2 sú konstanty
závislé na teplotě a upravují rovnici ideálního plynu v souladu se skutečností, Ideální kapalina: ρ = konst.,
-
Reálna kapalina:
K
-
∙ ∙
= 1.
kde: ε – izotermický součinitel objemové stlačitelnosti, β – izochorický součinitel tlakové rozpínavosti, α – izobarický součinitel objemové roztažnosti, p – referenční tlak (přibližně 101 325 Pa).
KKE 1.1.1
MECHANIKA TEKUTIN I.
Ing. Marek KLIMKO
Izotermický součinitel objemové stlačitelnosti
Stlačitelnost tekutin je schopnost tekutin měnit svůj objem při změně tlaku, přičemž se teplota nemění. Proces diferenciálního stlačování reálné tekutiny při konstantní teplotě popíšeme na základě úplného diferenciálu stavové veličiny měrného objemu, jako funkci tlaku a teploty. = ( , )
=
− ∆
=
+
=− ∙
→
=−
∙
1
I.
=
→
ε je izotermický součinitel objemové stlačitelnosti. Reciproká hodnota tohoto součinitele je
T
modul objemové pružnosti k.
1.1.2 Izochorický součinitel tlakové rozpínavosti
M
Když přivedeme teplo dQ do reálné kapaliny s objemem V, která je v pevné nádobě, zvýší se jednak teplota média o dT a rovněž tlak o dp. Jelikož se v tomto případě jedná o tlakovou rozpínavost, budeme vycházet z úplného diferenciálu tlaku, který je funkcí teploty a objemu. = ( , )
=
K E/
→
=
=
− −
=
∙
(
+
= 0° ) →
=
−
∙
1
β je izochorický součinitel tlakové rozpínavosti.
K
1.1.3 Izobarický součinitel objemové roztažnosti
Vytknutému objemu reálné kapaliny V dodáme teplo dQ, které způsobí nárůst teploty o dT
a objemu o dV při konstantním tlaku.
=
= ( , ) =
− −
→ =
= ∙
(
α je izobarický součinitel objemové roztažnosti.
+ = 0° ) →
=
−
∙
1
KKE
MECHANIKA TEKUTIN I.
Ing. Marek KLIMKO
1.1.4 Viskozita tekutin, smykové napětí Tato vlastnost se projevuje za pohybu skutečných kapalin. Pokud se pohybují sousední vrstvy kapaliny různými rychlostmi, vzniká na jejich rozhraní smykové napětí, které bráni pohybu. Pomalejší vrstva je urychlována a naopak zase rychlejší zpomalována. Smykové napětí je vyvolané vnitřním třením, resp. viskozitou tekutin, která je úměrná změně rychlosti ve směru kolmém na směr pohybu podle Newtonovho vztahu: =
[
∙
]
I.
kde η je dynamická viskozita a dw/dy je gradient rychlosti ve směru kolmém na směr pohybu. Tuto formulaci uvedl v r. 1687 anglický fyzik Isaac Newton pro laminární proudění.
K E/
M
T
Smykové napětí způsobuje úhlovou deformaci elementárního objemu tekutiny.
Obr. 1 Smykové napětí při laminárním proudění
Jednotka dynamické viskozity se definuje ze vztahu pro smykové napětí: [ ]=
[ ][ ] = [ ]
∙
=
∙
=
∙
K
Kinematická viskozita označovaná řeckým písmenem ν je dána podílem dynamické
viskozity a hustoty podle vztahu: =
[
∙
]
Příklad č. 1 Těleso o známé hmotnosti se sesouvá po nakloněné rovině, na které je nanesená tenká vrstva oleje. Za předpokladu lineárního rozložení rychlosti v olejovém filmu odvoďte analytický výraz pro konečnou rychlost tělesa (rychlost bez uvážení akcelerace).
KKE
MECHANIKA TEKUTIN I.
Ing. Marek KLIMKO
Řešení: ∙
− ∙
= ∙
=
∙ ∙
−
∙
∙
ℎ
=0
T
Příklad č. 2
∙
I.
=
Viskozita tekutiny je měřena viskozimetrem sestávajícím ze dvou 40 cm dlouhých
M
koaxiálních válců. Průměr vnitřního válce je 12 cm a mezera mezi válci 0,15 cm. Otáčky vnitřního válce jsou n = 300 ot/min a kroutící moment má velikost 1,8 Nm. Vypočítejte dynamickou viskozitu tekutiny.
K E/
Zadané hodnoty: L = 40 cm, D = 12 cm, l = 0,15 cm, n = 300 ot/min, T = 1,8 N.m Vypočítejte: η
Řešení:
=
K
= ∙ =
∙
=2∙
∙
=
∙
=
= =
∙
4∙
2∙
∙
∙ 60
∙ 60 ∙ ∙ ∙
∙
1,8 ∙ 60 ∙ 0,0015 = , 4∙ ∙ 0,06 ∙ 0,4 ∙ 300
= ∙
∙
KKE
MECHANIKA TEKUTIN I.
Ing. Marek KLIMKO
Příklad č. 3 Kapalina protéká potrubím kruhového průřezu. Laminární rychlostní profil je definovaný rovnicí: ( )=
∙ 1−
R je poloměr potrubí, r je radiální vzdálenost od středu potrubí a wmax je maximální rychlost proudění ve středu potrubí. Odvoďte vztah pro odporovou sílu, která je generována
I.
tekutinou na části potrubí s délkou L. Vypočítejte hodnotu této odporové síly na základě zadaných parametrů.
Zadané hodnoty: η = 0,001 N.m-2.s, R = 0,08 m, L = 15 m, wmax = 3 m.s-1
K E/
M
T
Vypočítejte: FD
Řešení:
=
∙
∙ 1−
K
=
= ∙
= =− ∙
∙
∙
∙ − ∙4∙
∙
2∙
=− ∙
= −0,001 ∙ 3 ∙ 4 ∙
∙
2
∙ 15 = − ,
KKE
MECHANIKA TEKUTIN I.
Ing. Marek KLIMKO
1.1.5 Povrchové napětí Povrchové napětí je způsobené silami působícími mezi molekulami kapaliny. Vevnitř kapaliny je každá molekula obklopená molekulami stejné látky ze všech stran, takže jejich přitažlivé síly se vyrovnávají. Na rozhraní fází jsou molekuly obklopené pouze z jedné strany, jejich síly se tedy nevyrovnávají, a proto na molekulu působí síla, která tento nerovnovážný silový účinek vrací zpátky do rovnováhy. Představme si mýdlovou bublinu, kterou protneme rovinou a spodní část odstraníme. Aby se zachovala napjatost, musíme vliv odstraněné části nahradit napětím σ, které působí
[ ∙
]
M
T
=
I.
tangenciálně k bublině a kolmo k průsečnici.
K E/
Obr. 2 Povrchové napětí
Povrchové napětí určité kapaliny závisí na druhu látek, které tvoří rozhraní. Kapalina se
může stýkat s pevnou látkou, kapalinou nebo plynem. Vznik povrchového napětí byl vysvětlen nerovnováhou molekulárních sil za předpokladu, že kapalina není na rozhraní se žádnou cizí látkou. Ve skutečnosti je vždy obklopena jinou látkou, a proto se mezimolekulární síly od vlastní kapaliny budou vyrovnávat s kvalitativně stejnými silami sousedního prostředí.
Výsledné povrchové napětí bude tedy dané vektorovým součtem obou složek.
K
Kapilarita se vyskytuje u trubek s velmi malým průměrem (kapilár), anebo v porézním
prostředí. V případě, že jsou adhezní síly (povrchové napětí mezi kapalinou a tuhou látkou) větší jako kohezní (povrchové napětí mezi kapalinou a vzduchem), vystupuje kapalina
v kapiláře do výšky h (kapilární elevace). V opačném případě je výška hladiny v kapiláře nižší jako výška v nádobě, do které je kapilára ponořená (obr. 3). Pak říkáme o tzv. kapilární depresi.
MECHANIKA TEKUTIN I.
Ing. Marek KLIMKO
I.
KKE
Obr. 4 Detail kontaktního úhlu θ
T
Obr. 3 Kapilární elevace (vlevo) a deprese (vpravo)
Kontaktní úhel θ je úhel, který svírá okraj kapaliny s pevným povrchem. Velikost tohoto
M
úhlu je závislá na rozdílu povrchových napětí tuhého tělesa vzhledem k plynu a tuhého tělesa vzhledem ke kapalině. Na základě hodnoty tohoto úhlu jsme schopni určit další vlastnost kapaliny – smáčivost. Kapaliny teda rozdělujeme podle smáčivosti na dobře smáčivé
K E/
(cos θ ≥ 1) a kapaliny nesmáčivé (cos θ ≤ -1).
Příklad č. 4
Odvoďte vztah pro změnu výšky kapaliny v kruhové trubici, pokud poznáme velikost
povrchového napětí a kontaktní úhel θ.
Zadané hodnoty: σ = 0,073 N.m-1, θ = 0°, ρ = 1000 kg.m-3, R = 1mm
K
Vypočítejte: h
Řešení: 2 ∙
∙
∙ ∆ =
ℎ=
=
2 ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙
= ∙
∙
∙∆
∙ℎ =
2 ∙ ∙ ∙
2 ∙ 0,073 ∙ (0) = , 1 ∙ 10 ∙ 1000 ∙ 9,81
=
KKE
MECHANIKA TEKUTIN I.
Ing. Marek KLIMKO
Příklad č. 5 Na rybníku sedí vodní ploštice. Zjistěte minimální délku rozhraní mezi vodní plochou a nohama ploštice potřebnou k tomu, aby ji vodná hladina byla schopna udržet. Vypočítejte taky délku tohoto rozhraní, pokud bychom uvažovali místo ploštice dospělou osobu s hmotností 75 kg. Zadané hodnoty: σ = 7,34.10-2 N.m-1, GP = 10-4 N, mO = 75 kg
I.
Vypočítejte: lP, lO
T
Řešení:
=
10 7,34 ∙ 10
M P
=
∙
=
= ,
75 ∙ 9,81 = , 7,34 ∙ 10
∙
∙
K E/
=
=
∙
1.2
Matematický aparát hydromechaniky
Studium mechaniky tekutin se neobejde bez základních matematických znalostí, jakými
jsou např. integrální věty, vlastnosti funkcí s více proměnnými a pod. Proudění je vždy
K
prostorové, obecně nestacionární a je popisované parciálními diferenciálními rovnicemi.
Z tohoto důvodu budou v této části uvedené základní matematické operace používané v teorii mechaniky tekutin, samozřejmě bez hlubšího výkladu. 1.2.1
Parciální a totální derivace
Jednou z velmi často používaných veličin je rychlost w. Rychlost je funkcí prostorových souřadnic x, y, z a času t. Parciální derivaci (např. ∂w/∂x) dostaneme tak, že w derivujeme podle souřadnice x, přičemž y, z a t považujeme za konstanty. Obdobně se dokážeme dopracovat k parciálním derivacím rychlosti podle zbylých proměnných. = ( , , , )
KKE
MECHANIKA TEKUTIN I. = =3
+2 ,
+2
Ing. Marek KLIMKO
−
=2 ,
= −2 ,
=2
Totální (resp. úplný) diferenciál získáme součtem všech parciálních derivací. Podělením levé a pravé strany časem dt dostaneme totální derivaci (v tomto případě zrychlení). =
+
∙
+
|:
+
∙
+
∙
+
I.
=
+
Tenzorový zápis zrychlení: +
, kde
je sčítací index
T
∙
M
=
1.2.2 Gradient, divergence, rotace
Gradient obecného skaláru φ můžeme zapsat buď jako součet jednotlivých parciálních
K E/
derivací nebo pomocí operátoru nabla ∇ (Hamiltonov operátor). + ⃗∙
= ⃗∙
+ ⃗∙
= ⃗
+⃗
+⃗
∙
= ⃗
Skalární součin dvou operátorů ∇⃗ je Laplaceov operátor Δ (výsledkem je samozřejmě
skalár).
K
∆= ⃗ ∙ ⃗ = ⃗
+⃗
+⃗
∙ ⃗
+⃗
+⃗
=
+
+
=
V další části si ukážeme zápis divergence součinu skaláru a vektoru. Rotor obecného
vektoru ⃗ je opět vektor, který udává dvounásobek úhlové rychlosti otáčení vektorového pole. ( ⃗) =
+ ∙
( ∙
+
⃗=⃗
)
+
−
+
∙
+
= ⃗ ⃗+
+⃗
−
( ∙
)
=
⃗⃗ =
+ ⃗
+
∙ ⃗+
−
+
∙
⃗=
+ (
= ⃗× ⃗ =
)
KKE
MECHANIKA TEKUTIN I. ⃗
Ing. Marek KLIMKO
⃗
⃗
=
1.2.3 Integrální věty Stokesova věta převádí křivkový integrál ze skalárního součinu ⃗ ⃗ , kde
⃗ je
diferenciální úsek křivky, na plošný integrál, v kterém se rot ⃗ skalárně násobí diferenciálem ⃗ a tyto součiny se integrují po ploše uzavřenou křivkou. ⃗ ⃗=
⃗ ⃗
Greenova věta převádí plošný integrál z
⃗, kde
⃗ je elementární plocha povrchu
. Přičemž dV je element objemu.
T
uzavřeného objemu V, na objemový integrál z grad
I.
plochy
M
⃗=
Gaussova – Ostrogradského věta převádí rovněž plošný integrál na objemový, kde
K E/
integrand na jedné straně je skalární součin ⃗ ⃗ a na druhé straně
K
⃗ ⃗=
⃗
⃗
.
KKE
2.
MECHANIKA TEKUTIN I.
Ing. Marek KLIMKO
Statika tekutin Statika tekutin (hydrostatika) se zabývá rovnováhou sil působících na kapalinu v klidu.
Tato rovnováha nastane tehdy, když se částice tekutiny vůči sobě nepohybují, to znamená, že tvar objemu kapaliny se nemění. Do hydrostatiky zařadíme taktéž případy relativního klidu, kdy je kapalina vůči stěnám ´nádoby´ v klidu, ale celá soustava koná pohyb. Zákony statiky platí pro všechny tekutiny bez ohledu na viskozitu, protože vnitřní tření se může projevit až za pohybu. Kapalina v klidu přenáší pouze kolmé síly, tahové síly
I.
v tekutině neexistují. Tlak v tekutině působí vždy kolmo na plochu, kterou do tekutiny vložíme. Tlak
2.1
Eulerova rovnice hydrostatiky
T
v daném místě je jen jeden, nemá složky, nemá směr, má pouze velikost. Tedy je skalár.
⃗,
M
V tekutině vytkneme element s objemem V. Na povrchu S zvolíme elementární plošku
na kterou okolitá tekutina působí tlakem p. Vevnitř objemu V zvolíme elementární objem dV.
K
K E/
Tekutina má v tomto místě hustotu ρ a setrvačné zrychlení ⃗.
Obr. 5 Pomocný obrázek k odvození ERH
Síly vyvolané setrvačným zrychlením ⃗ a povrchová síla od tlaku p musí být u tekutiny
v klidu v rovnováze.
−
⃗+
⃗
=0
Pomocí Greenovy věty převedeme plošný integrál na objemový.
KKE
MECHANIKA TEKUTIN I.
−
⃗
+
=0
Ing. Marek KLIMKO
−
⃗
+
=0
Jednoduchou úpravou dostáváme Eulerovu rovnici hydrostatiky. −
⃗=0
+
Pro praktické využití tuto rovnici převedeme na tzv. tlakovou rovnici. Vektor ⃗ a grad p rozepíšeme do jednotlivých složek. +⃗
+⃗
=−
+⃗
I.
− ⃗
⃗
+⃗
Pokud porovnáme členy, které mají shodné jednotkové vektory, dostaneme 3 rovnice
T
soustavy. Každou z rovnic soustavy vynásobíme diferenciály příslušných souřadnic a následně rovnice sečteme. |∙
+
=
|∙
,
=
+
+
K E/
+
,
M
=
=
→
|∙
=
Na levé straně poslední rovnice vznikl totální diferenciál tlaku. =
+
+
→
=
Tlakovou rovnici používáme k výpočtu tlaku v libovolném místě tekutiny, která je
v relativním klidu. V takové tekutině existují plochy s různým konstantním tlakem, tzv. tlakové hladiny. Protože v každém bodě prostoru vyplněného tekutinou je jediný tlak,
K
přechází ním jediná tlaková hladina. Hladinové plochy mají v úlohách hydrostatiky velký význam, především vytvářejí rozhraní mezi okolitým vzduchem a kapalinou. Rovnici tlakové hladiny dostaneme, když položíme p = konst., tedy dp = 0. +
+
=0 →
=0
KKE 2.2
MECHANIKA TEKUTIN I.
Ing. Marek KLIMKO
Kapalina v gravitačním poli
V tomto případě má na kapalinu ze všech možných setrvačných zrychlení vliv jedině gravitační zrychlení působící svisle dolů. Řešit budeme rozložení tlaku a tlakové hladiny v nestlačitelné kapalině (ρ = konst.). Jako příklad uvedeme vodu v rybníku. Zvolíme souřadný systém, který má počátek na
T
I.
volné hladině. Nejdřív se budeme věnovat tlakové rovnici.
=
M
Obr. 5 Kapalina v gravitačním poli
→
= 0,
=− ,
=0
=− ∙
=−
+
K E/
Na volné hladině (y = 0) působí atmosférický tlak p0. Na základě této skutečnosti dokážeme definovat integrační konstantu C a zapsat obecnou rovnici tlaku v tekutině. :
=
⇒
=0
=
=−
+
=
+
ℎ
U tekutiny v gravitačním poli roste tlak lineárně s hloubkou z počátečního tlaku p0 na
K
volné hladině.
Obr. 6 Lineární nárůst tlaku v tekutině
KKE
MECHANIKA TEKUTIN I.
Ing. Marek KLIMKO
Tlakové plochy vyřešíme podobným způsobem. Zapíšeme rovnici tlakové hladiny, použijeme stejné složky setrvačných zrychlení jako v předcházejícím případě. =0
→
= 0, −
=
=0
=0
− −
=− ,
=
popisuje soustavu vodorovných rovin. Pokud z nich chceme vyčlenit jenom jednu,
= −
=
→
I.
určíme konstantu C pro bod (např. –y1), kterým tato hladina prochází.
=−
T
Výraz y = -y1 je rovnice vodorovné roviny, která leží y1 pod volnou hladinou. Při jednom a zároveň konstantním setrvačném zrychlení, kterým je v tomto případě
M
zrychlení gravitační, vycházejí poměrně jednoduché vztahy. V úlohách, které budou předmětem další části, se budeme setkávat s několika setrvačnými zrychleními. Vztahy se sice
K E/
zkomplikují, ale postup řešení bude stále stejný.
2.3
Relativní klid kapalin
V této kapitole probereme několik typických případů pohybu nádob naplněných kapalinou,
která je v klidu vzhledem k stěnám, kterými je obklopena. Cílem bude vyšetřit rozložení tlaku v kapalině, průběh tlakových hladin, případně určit síly od kapaliny působící na stěny nádoby.
2.3.1 Rovnoměrný přímočarý pohyb
K
Pro kapalinu, která v podmínkách standardní atmosféry koná rovnoměrný přímočarý
pohyb v libovolném směru, tzn. s nulovým zrychlením, platí všechny zákonitosti statiky odvozené pro gravitační pole.
2.3.2 Přímočarý pohyb rovnoměrně zrychlený Máme nádobu s kapalinou, která se pohybuje rovnoměrně zrychleným pohybem s akčním zrychlením a po přímé vodorovné dráze směrem doprava.
KKE
MECHANIKA TEKUTIN I.
Ing. Marek KLIMKO
I.
Obr. 7 Rovnoměrný přímočarý pohyb
Počátek souřadného systému byl zvolen v levém dolním rohu nádoby. V kapalině zvolíme libovolnou částici a vyznačíme setrvačná zrychlení, které na ni působí. Vycházet budeme
T
z tlakové rovnice, kterou aplikujeme na vybraný bod, kde působí setrvačná zrychlení -a, -g proti kladným směrům os x, y. Po dosazení setrvačných zrychlení a integraci rovnice bez hranic určíme integrační konstantu z podmínky, že v bode Y poznáme hodnotu tlaku
M
(atmosférický tlak). V případě, že se žádná kapalina nevylila, můžeme integrační konstantu určit pomocí souřadnic (x = A/2, y = Y0), tedy střed volné hladiny, který je v tomto případě shodný za pohybu i za klidu.
→
=− ,
K E/
=
=−
= 0,
=
+
=
=− [
=0
−
=− (
:
=− ,
)+ →
=
+
+ ( − )] +
K
Tlak v konkrétním bodě tekutiny získáme dosazením souřadnic za x a y. Největší tlak bude
v místě x = y = 0, tedy platí
=
+
.
K řešení tlakových hladin využijeme rovnici tlakové hladiny. Podobným postupem
dostaneme rovnici, která popisuje soustavu nakloněných rovin. Když z této soustavy chceme vybrat rovnici volné hladiny, musíme správně stanovit integrační konstantu. To znamená najít bod, o kterém víme, že ním volná hladina prochází. Tímto bodem je pro nás levý horní okraj nádoby. =0
→
=− ,
=− ,
=0
KKE
MECHANIKA TEKUTIN I. −
−
− :
= 0,
=0
− =
Ing. Marek KLIMKO
= →
( − )−
=− =0
Pokud chceme vypočítat sílu na některou ze stěn, integrujeme elementární sílu dF, danou místními tlaky p na příslušné plochy dS. Ve výpočtu neuvažujeme atmosférický tlak, který se
|
=
=
−
|
=
=
( −
)
K E/
Příklad č. 6
( − )
=
−
=
2
T
=
|
=
=
−
1 2
2
=
M
|
=
I.
zruší, protože působí na stěnu nádoby z vnitřní a taky i vnější strany.
Nákladní automobil s cisternou tvaru kvádra s rozměry H x L x B se pohybuje přímočarým
pohybem po nakloněné rovině se zrychlením a. Cisterna je naplněna do 2/3 svého objemu. Vypočítejte takové zrychlení, aby se volná hladina dotkla horního rohu cisterny. Vypočítejte sílu na zadní čelo a dno cisterny.
K
Zadané hodnoty: H = 2 m, L = 4 m, B = 2,2 m, a = 1,5 m.s-2, ρ = 720 kg.m-3, α = 5°
Vypočítejte: a, Fčelo, Fdno
KKE
MECHANIKA TEKUTIN I.
Ing. Marek KLIMKO
Řešení: Zvolíme souřadný systém podle obrázku. Gravitační zrychlení musíme rozložit do složek. =
∙
= 9,81 ∙ sin(5°) = 0,85
∙
=
∙
= 9,81 ∙ cos(5°) = 9,77
∙
V dalším se již nemusíme zaobírat faktem, že se automobil pohybuje po nakloněné rovině. Využijeme rovnici hladinových ploch v zobrazeném souřadném systému, dosadíme vnější
podmínek. =0
=− − )∙
−
=−
∙
T
0 = −( +
,
I.
setrvačná zrychlení, rovnici integrujeme a určíme integrační konstantu z okrajových
Volná hladina bude procházet zadním rohem cisterny, to znamená, že využijeme jeho
M
souřadnice, určíme integrační konstantu, kterou dosadíme zpětně do původní rovnice. 0 = −( +
)∙
−
)∙
| = 0,
+
=
∙( − )
+
K E/
0 = −( +
∙
Jelikož víme, že bod o souřadnicích (L/2, 2/3 H) leží na volné hladině, dosadíme tyto
souřadnice do rovnice volné hladiny a následně určíme takové zrychlení a, aby se volná hladina dotkla levého horního rohu cisterny. 0 = −( +
)∙ +
K
( +
∙( − )
)∙
+
=
∙
−
−
=
2 ∙ 3
−
∙
=
= , 2
∙( − )
=
=
:
∙
2 −3∙
−
2 =
∙
2∙ 3∙
−
= 9,81 ∙ cos(5°) ∙
2∙2 = , 3∙4
∙
KKE
MECHANIKA TEKUTIN I.
Ing. Marek KLIMKO
Aby bylo možné určit sílu na zadní čelo popřípadě na dno, je nutné znát rozložení tlaku v těchto plochách. Rozložení tlaku v tekutině určíme ze znalosti Eulerovy rovnice hydrostatiky. =
∙
∙
=− −
=− ∙ ( + =− ∙ ( +
)∙
,
=−
+
)∙
+
∙ ∙
+
protože se nacházíme na volné hladině. : +
=
∙ −( +
:
=
)∙ +
∙( − )
T
=
= 0,
I.
Pro určení integrační konstanty je možné využít bod (0, H), kde je určitě atmosférický tlak,
Při výpočtu síly budeme vycházet ze základní definice síly.
M
.
=
K E/
V tomto případě je možné využít získané rovnice popisující rozložení tlaku v tekutině bez uvážení atmosférického tlaku, který působí z obou stran cisterny. Dál musíme vyjádřit
rozložení tlaku na požadované ploše. Protože se jedná o zadní čelo cisterny, pro které platí x = 0, dosadíme tuto hodnotu do obecné rovnice rozložení tlaku. Elementární plocha dS se vyjádří jako B.dy.
=
K
č
č
=
∙
|
∙( − )∙
∙
č
∙
| |
∙
=
∙
= 2,2 ∙ 720 ∙ 9,81 ∙
∙
=
∙
5° ∙
∙( − )
∙
−
2
=
∙
∙
∙
∙
2
2 = 2
Obdobným způsobem získáme sílu působící na dno cisterny. Vyjádříme rozložení tlaku na požadované ploše (y = 0). Elementární plocha dS bude v tomto případě B.dx.
KKE
MECHANIKA TEKUTIN I.
Ing. Marek KLIMKO
.
=
=
=
∙
|
∙
∙ −( +
∙
)∙ +
| |
∙
=
∙ −( +
∙
=
∙
∙
∙
∙
4 = 2
∙
−( +
)∙
2
,
I.
= 4 ∙ 720 ∙ 2,2 ∙ 9,77 ∙ 2 − (2,4 + 0,85) ∙
)∙ +
T
2.3.3 Rotační pohyb okolo svislé osy při ω = konst.
Postup řešení při takovém druhu pohybu je podobný jako při přímočarém rovnoměrně
M
zrychleném pohybu, jen s tím rozdílem, že nám ve výpočtu bude vystupovat nový parametr – otáčky nádoby (resp. úhlová rychlost). Řešení si ukážeme přímo na konkrétním příkladu. Příklad č. 7
K E/
Otevřená válcová nádoba s poloměrem R a výškou H je za klidu naplněna vodou až po
okraj. Nádoba rotuje konstantními otáčkami n. Určete tlaky pA a pB, obecné rozložení tlaku
v tekutině, rovnici volné hladiny, otáčky, při kterých se paraboloid dotkne dna, a objem vylité časti vody při těchto otáčkách.
Zadané hodnoty: ρ = 1000 kg.m-3, H = 0,6 m, R = 0,3 m, p0 = 0,1 MPa
K
Vypočítejte: p, pA, pB, n, Vv
KKE
MECHANIKA TEKUTIN I.
Ing. Marek KLIMKO
Řešení: Jak plyne ze zadání, nádoba byla před roztočením naplněna až po okraj vodou. Při roztáčení nádoby okolo své osy se samozřejmě část kapaliny vyleje. Po ustálení otáček na ω= = konst. bude mít volná hladina zbylé kapaliny v nádobě tvar rotačního paraboloidu, který prochází horním okrajem nádoby. Při vysokých otáčkách volná hladina vytkne na dne suchý středový kruh a naopak při nízkých otáčkách bude vrchol hladinového paraboloidu nad dnem. Vyšetříme tedy rozložení tlaku a tvar tlakových hladin. Využijeme při tom cylindrický
=
∙
∙ =
∙(
−
∙
∙ 2
∙
=
−
−
=−
)
∙
| : = ,
+
∙ 2
∙
−
=
,
=
∙
M
=
∙ ∙
∙ ,
T
=
I.
souřadný systém.
+
∙
2
∙(
)+
−
K E/
=
∙( − )
Jednu z úloh máme vyřešenou. Obecné rozložení tlaku v tekutiny je popsané poslední
rovnicí, na základě které dokážeme vypočítat velikosti tlaků v konkrétních bodech A a B. Souřadnice bodu A = (0, 0)
=
+
∙ −
2
∙
+
∙
K
Souřadnice bodu B = (R, 0) =
+
∙
∙
= 10 + 1000 ∙ 9,81 ∙ 0,6 =
Tlak pB jsme byli schopni dopočítat na základě zadaných parametrů. Co se týče tlaku
v bode A, nepoznáme úhlovou rychlost, proto si ji musíme nejdřív dopočítat z rovnice tlakové hladiny. 0=
∙ 0=
= ∙ ∙
∙ , −
∙
=−
KKE
MECHANIKA TEKUTIN I. ∙ 2
0=
−
∙
Ing. Marek KLIMKO
+
Integrační konstantu určíme ze znalosti bodu, kterým má volná hladina procházet. C: r = R, y = H −
0=
2
∙
+
∙(
→
=
)+
∙( − )
−
∙
∙ 2
−
I.
∙ 2
0=
Neznámou vypočteme pomocí souřadnic vrcholu rotačního paraboloidu (r = y = 0).
2
∙ (0 −
)+
∙ ( − 0) →
=
+
−
+
2
∙
→
=
2∙
∙
=
2 ∙ 9,81 ∙ 0,6 = 11,4368 0,3
∙
2∙
=
11,4368 = 1,8211 2∙
M
=2∙
=
T
0=
∙
= 10 + 1000 ∙ −
11,4368 ∙ 0,3 + 9,81 ∙ 0,6 =̇ 2
K E/
Zůstává nám poslední bod zadání, a to určení objemu vylité části vody z nádoby. Jedná se v podstatě o objem mezi horním okrajem nádoby a paraboloidem. Pro lepší představu vypočítáme objem ´vzduchu´ v nádobě nad volnou hladinou. Z rovnice volné hladiny si vyjádříme poloměr r = f(y)
K
=
=
∙
=
∙
=
∙
2∙
∙ ∙
− −
∙
∙
=
∙( − )+
=
∙( − )
2∙
∙
2∙
∙
2
+
−
+
∙ ∙
=
∙ 0,6 ∙ 0,3 −
9,81 ∙ 0,6 = , 11,4368
∙
=
KKE 2.4
MECHANIKA TEKUTIN I.
Ing. Marek KLIMKO
Tlakové síly
Kapitola bude rozdělená na tlakové síly působící na vodorovné rovinné plochy, šikmé rovinné plochy a zakřivené plochy.
2.4.1 Tlaková sila kapaliny na rovinnou stěnu Při výpočte tlakové síly na vodorovné dno nádoby vycházíme ze skutečnosti, že tlak kapaliny je v každém bodě vodorovného dna nádoby stejný. Je tedy rovnoměrně rozložený po celé ploše a výsledná tlaková síla je rovná: ∙
=
ℎ =
I.
=
V případe, že má nádoba bočné stěny jiné jako svislé, je výslední tlaková síla F na dno dána stejným výrazem, protože svislá vzdálenost h plochy od hladiny je konstantní. Jedná se o
T
tzv. Pascalův hydrostatický paradox. Ten v podstatě hovoří o tom, že tvar nádoby nemá vliv na průběh tlaku. Pokud máme několik nádob o stejné velikosti dna a všechny nádoby jsou naplněné do stejné výšky, bude v nich na dno působit stejný tlak a stejná síla F i přes
M
rozdílnou váhu kapalin (m.g).
2.4.2 Tlaková sila kapaliny na šikmou stěnu
Výslednici tlakové síly na šikmou rovinnou stěnu určíme integrací elementární tlakové síly
K E/
na vybrané ploše dS. Na tuto plochu působí tlaková sila dF = ρghdS. Výslednice je dána integrálem:
ℎ
K
=
Obr. 8 Síla na šikmou rovinnou plochu
KKE
MECHANIKA TEKUTIN I.
Ing. Marek KLIMKO
Při výpočtu tlakové síly na šikmou rovinnou plochu nebudeme uvažovat atmosférický tlak, který zpravidla působí i z opačné strany. Výslednou sílu F dostaneme integrací sil dF na elementu dS s šířkou dy. Ve výsledném vzorci je statický moment plochy S k osy y, který je možné vyjádřit pomocí vzdálenosti těžiště plochy od osy x, t.j. S.yT. Vzdálenost yT potom můžeme nahradit hloubkou těžiště hT = yTsinα. =
=
=
ℎ
=
= =
=
ℎ
I.
Z obrázku je zřejmé, že síla nepůsobí v těžišti T plochy. Další úlohou je tedy stanovení působiště síly na stěnu. Působiště nazýváme centrum C a budeme hledat jeho souřadnice xC a yC.
T
Souřadnici yC určíme z rovnosti momentů sil k ose x, obdobně xC z rovnosti momentů sil k ose y. Součástí rozvinutých výrazů je kvadratický moment plochy k ose x Jx (vyjádření pomocí Steinerovy vety Jx = Jx,T + SyT2) a deviační moment plochy k osám x, y Dxy (element
=
=
=
+
K E/
=
M
plochy pro výpočet deviačního momentu je dS = dx.dy).
=
=
=
,
=
=
=
,
+
=
=
=
,
+
=
=
,
+
K
=
=
=
2.4.3 Tlaková síla kapaliny na zakřivenou plochu Problematiku působení tlakové síly na zakřivenou plochu si vysvětlíme pomocí
následujícího obrázku. Volná hladina je na úrovni horné hrany našeho útvaru. Celková síla F na vybranou plochu je dána složkami Fx, Fy a Fz ve směru souřadnicových os.
MECHANIKA TEKUTIN I.
Ing. Marek KLIMKO
I.
KKE
T
Obr. 9 Síla na zakřivenou plochu
Vodorovné složky Fx a Fz obsahují v odvozených vzorcích statické momenty průmětů
M
plochy Sx a Sz k jejich průsečnicím s volnou hladinou, tzn. k osám z, resp. x. Svislá složka síly Fy je dána integrálem vah svislých ´válečků´ elementárních průřezů dSy, které mají jeden
K E/
konec na křivé stěně a druhý na volné hladině.
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
,
=
=
K
=
=
=
=
,
=
+
+
Uvedené rovnice je možné shrnout slovně těmito slovy: Hydrostatická síla v libovolném vodorovném směru na křivou plochu se rovná součinu hustoty, gravitačního zrychlení,
KKE
MECHANIKA TEKUTIN I.
Ing. Marek KLIMKO
velikosti průmětu křivé plochy do roviny kolmé na uvažovaný směr a vzdálenosti těžiště průmětu plochy od volné hladiny. Svislá hydrostatická síla na zakřivenou plochu se rovná váze kapaliny obsáhlé ve svislém objemu mezi danou plochou a jejím kolmým průmětem na volnou hladinu bez ohledu na to, jestli je řešená oblast přímo vyplněna kapalinou nebo nikoliv. Poslední větu vysvětluje následující obrázek, na kterém je znázorněna stěna ve tvaru polokoule vystavená tlaku kapaliny zespodu. Volná hladina je o něco vyšší. Síla F je dána
M
T
I.
zatěžovacím objemem, který je na obrázku vyšrafovaný, ale tekutina v něm není.
Obr. 10 Vertikální síla na zakřivenou plochu
K E/
Uvedené teoretické poznatky si ukážeme na konkrétních příkladech.
Příklad č. 8
Vypočítejte horizontální a vertikální složku hydrostatické síly působící na pravý dolní roh
nádoby čtvrť kruhového tvaru.
Zadané hodnoty: a = b = 2 m, h = 5 m, c = 6 m, ρ = 1000 kg.m-3
K
Vypočítejte: FH, FV
KKE
MECHANIKA TEKUTIN I.
Ing. Marek KLIMKO
Řešení:
∙
∙ℎ ∙
=
∙
∙ ℎ+
∙
2
∙
2 ∙2∙6 = 2
T
=
I.
Výpočet horizontální složky sily:
= 1000 ∙ 9,81 ∙ 5 +
M
Výpočet vertikální složky sily:
Vertikální složku určíme jako rozdíl tíhy objemu tekutiny v pomocném (náhradním) hranolu a tíhy objemu tekutiny ve čtvrť kruhovém výseku. Náhradní hranol vznikne
K E/
zanedbáním čtvrť kruhové části. =
=[ ∙
−
ý
=[ ∙
∙
∙ . ( + ℎ) ∙ ] −
∙
K
= [9810 ∙ 2 ∙ (2 + 5) ∙ 6] − 9810 ∙
∙
]− ∙ 4
∙
∙
ý
=
∙
∙2 ∙6 = 4
,
Výslední hydrostatická síla je dána vektorovým součtem obou složek. =
+
=
,
Příklad č. 9 Nádoba ve tvaru polokoule s tíhou 30 kN je naplněna vodou a přišroubovaná k základové desce šesti šrouby. Jaká je potřebná síla v každém šroubu, aby se nádoba od základové desky neodpojila?
KKE
MECHANIKA TEKUTIN I.
Ing. Marek KLIMKO
Zadané hodnoty: R = 2 m, h = 4 m, d = 3 cm, G = 30 kN, ρ = 1000 kg.m-3
I.
Vypočítejte: Fs
Řešení:
T
Při řešení uvažujeme dokonalou těsnost všech šroubových spojů. Hydrostatická síla se rovná tíze chybějící vody. Jinými slovy je to tíha objemu vody v pomyslném válci
M
s průměrem 4 m a výškou 6 m (R+h), mínus tíha objemu vody v polokouli a trubce umístěné v horné časti.
= ∙
∙
−
vá
polokoule
−
=
∙
∙
= 1000 ∙ 9,81 ∙
−
polokoule
K E/
=
vá
trubka
−
trubka
2 ∙ − ∙ ∙ℎ = 3 4 2 ∙ 2 ∙ (2 + 4) − ∙ 2 − ∙ 0,03 ∙ 4 = 574969,08 3 4
∙
∙ ( + ℎ) −
Šroubům napomáhá váha samotné nádoby, to znamená, že šrouby musí společně vytvářet
K
sílu, která je zmenšená o tuto hodnotu. á
= 574969,08 − 30000 = 544969,08
Síla na jeden šroub je pak: =
2.5
á
6
=
544969,08 = 6
,
Stabilita plovoucího tělesa
Stabilita je odpor, který klade plovoucí těleso proti vychýlení z požadované rovnovážné polohy nebo naopak schopnost se do vzpřímené polohy znova dostat.
KKE
MECHANIKA TEKUTIN I.
Ing. Marek KLIMKO
Stabilitu si vysvětlíme na chování třech průřezově a materiálově shodných válcích
I.
s různými výškami. Požadujeme, aby válce plavali se svislou osou.
Obr. 11 Stabilita plovoucích těles
T
Je jasné, že nejstabilnější bude případ A. Pokud bychom tento váleček vychýlili např. o 90°, vrátil by se do původní stabilní polohy. U válce B by se návrat z vychýlené polohy
M
neobešel bez určitého kolísání, které by na klidné hladině kapaliny nakonec ustalo, protože svislá poloha je stále stabilní. V případě C se válec po ponoření okamžitě převrhne, protože ve svislé poloze je nestabilní. Někde mezi případem B a C existuje délka válce, při které je plavání válce s vertikální osou na hranici mezi stabilitou a nestabilitou.
K E/
Ve všeobecnosti poznáme 2 druhy stability:
a) Statická – je dána momentem dvojice sil tvořené váhou tělesa a vztlakovou sílu. Momentem se těleso vrací do požadované polohy,
b) Dynamická – je dána prací potřebnou k vychýlení tělesa z požadované polohy. U lodí se určuje stabilita příčná a podélná, rozhodující je samozřejmě příčná. V dalším se
budeme zabývat pouze příčnou statickou stabilitou. Pomocí následujícího obrázku
K
nadefinujeme základné veličiny rozhodující o statické stabilitě plovoucího tělesa.
MECHANIKA TEKUTIN I.
Ing. Marek KLIMKO
I.
KKE
Obr. 12 Možné polohy plovoucího tělese
T
C – působiště vztlakové síly (centrum) v rovnovážné poloze tělesa, C´ - působiště vztlakové síly ve vychýlené poloze,
tělesa,
M
M – metacentrum je průsečík vektoru vztlakové síly F s osou symetrie příčného průřezu
T – těžiště plavidla (předpokládáme, že je v stálém místě, tzn. náklad je upevněn),
K E/
m – metacentrická výška, udává vzdálenost metacentra od těžiště a je kladná, když je metacentrum nad těžištěm, s – vzdálenost bodů C a T.
A – rovnovážná poloha: G = m.g a vztlaková síla F leží na ose příčného řezu plavidla
K
a vzájemně se ruší.
B – stabilní poloha: Při vychýlení plavidla zůstává těžiště T na místě a působiště vztlakové síly se z polohy C posune do polohy C´. Vztlaková síla protíná os příčného řezu v metacentru
M. Vzniklá dvojice sil G a F plavidlo vzpřimuje, metacentrum M leží nad těžištěm,
metacentrická výška m je kladná. C – nestabilní poloha: Ve vychýlené poloze se těleso ještě víc naklání a vlivem momentů generovaných polohou dvojice sil F a G se těleso není schopné vrátit do rovnovážné polohy. Metacentrum je pod těžištěm, metacentrická výška je záporná.
KKE
MECHANIKA TEKUTIN I.
Ing. Marek KLIMKO
D – indiferentní poloha: Ve vychýlené poloze leží vektory G a F na jedné svislici, tzn. vztlaková síla prochází těžištěm, metacentrum je totožné s těžištěm a metacentrická výška je nulová. Statickou stabilitu či nestabilitu určuje metacentrická výška m.
3.
Dynamika tekutin Dynamika tekutin je po statice druhou – významnější částí mechaniky tekutin, která se
I.
zaobírá zákonitostmi pohybu tekutin. Z klasického pohledu je proudění předmětem jednak kinematiky, která zanedbává vliv napětí a sil v tekutině a jednak dynamiky, popisující jak kinematické, tedy časově-prostorové závislosti proudění, tak i jevy silové.
Proudění je tedy složitým časovým a prostorovým procesem, který je výpočtově poměrně
Rozdělení proudění
a) Podle vazkosti:
M
3.1
T
náročný. Z tohoto důvodu je nutné zavést do výpočtů určitá zjednodušení.
-
nevazké proudění (při vysokých rychlostech)
-
vazké proudění (newtonská, nenewtonská tekutina)
K E/
b) Podle stlačitelnosti:
-
nestlačitelné proudění
-
stlačitelné proudění
c) Podle ustálenosti -
ustálené proudění (tzv. stacionární – nemění se s časem)
-
neustálené proudění (nestacionární – závislé na čase)
d) Podle druhu funkčních částic tekutiny
Modelové částice: nevířivé proudění (částice se neotáčejí kolem vlastního středu,
K
-
konají pouze translační pohyb)
-
vířivé proudění (částice konají translační i rotační pohyby)
Mikročástice: laminární proudění (hybnost v tekutině se přenáší hlavně molekulami) turbulentní proudění (hybnost se přenáší s molekulovými částicemi, z nichž jsou složené náhodné turbulentní víry)
KKE
MECHANIKA TEKUTIN I.
Ing. Marek KLIMKO
e) Podle geometrického uspořádání -
trojrozměrné (prostorové) proudění
-
dvourozměrné (rovinné) proudění
-
jednorozměrné proudění
3.2
Proudnice
Proudnice jsou čáry v prostoru, kterých tečny udávají směr proudění v bodech styku.
M
T
I.
Proudnice znázorňují okamžitý stav proudění.
K E/
Obr. 11 Grafické znázornění proudnice v trojrozměrném prostoru
Odvození rovnice proudnice vychází z Obr. 11. Element proudnice
⃗ a rychlost proudění
v bodě A rozložíme do složek. Dostaneme tak podobné trojúhelníky, pro které platí: =
=
Každá proudnice je spojitá křivka. U obtékaných těles začíná před tělesem v nekonečnu
a končí za tělesem taky v nekonečnu. V kapalinách začínají proudnice na volné hladině
K
a končí ve výtoku. V některých případech je proudnice uzavřenou křivkou, např. u potenciálního víru (vychází z teorie potenciálního proudění, která bude v rámci těchto učebních textů popsána jen okrajově).
KKE
MECHANIKA TEKUTIN I.
Ing. Marek KLIMKO
Příklad č. 10 Letadlo vytváří vířivé proudění v blízkosti koncových části křídel. Za určitých okolností může být toto proudění aproximováno rychlostním polem, které je popsané složkami: =
− ∙ +
,
=
∙ +
1
Parametr K je konstanta závislá na různých parametrech vztahujících se k samotnému letadlu (t.zn. hmotnost letadla, rychlost …) a x, y sú hodnoty měřené ze středu víru.
=
+
I.
a) Dokažte, že pro toto proudění je rychlost nepřímo úměrná vzdálenosti od počátku
∙
=
Zadané hodnoty:
=
∙
K E/
M
Vypočítejte: a), b)
,
T
b) Dokažte, že proudnice mají v tomto případě kruhový tvar
Řešení:
Výslednou rychlost určíme z vektorového součtu jednotlivých složek rychlostí u a v.
K
=
+
=
(− ∙ ) ( ∙ ) + = ( + ) ( + )
+
=
Rovnice proudnice je:
=
∙ + = − ∙ +
=−
Po roznásobení členů a následné separaci proměnných dostaneme tvar připravený na integrování. 1
Zahraniční literatura uvádí označení složek rychlosti jako: u = wx, v = wy, w = wz
KKE
MECHANIKA TEKUTIN I. ∙ 1 2
Ing. Marek KLIMKO
=− ∙ =−
1 2
+
= 2∙
+
Poslední vztah popisuje obecnou rovnici kružnice.
Příklad č. 11 Dvourozměrné rychlostní pole je dané rovnicemi u = 1 + y a v = 1. Určete rovnici
M
T
I.
proudnice, která prochází počátkem souřadného systému.
K E/
Řešení:
=
=
1 1+
:
=
Integrací dostáváme:
+
1 2
=
+
→
K
=
+
1 2
=0
→
=0
KKE 3.3
MECHANIKA TEKUTIN I.
Ing. Marek KLIMKO
Rovnice spojitosti
Rovnice spojitosti (kontinuity) je zákonem zachování hmotnosti. Jinými slovy, hmotnost tekutiny, která protéká kontrolním objemem, musí být konstantní. U kontrolního objemu můžu vzniknout dvě změny hmotnosti, a to lokální změna v samotném kontrolním objemu (tekutina se stláčí a rozpíná) a konvektivní změna hmotnosti, způsobená rozdílem vstupující a vystupující hmotnosti z kontrolního objemu. Obě změny musí dávat v konečném důsledku nulovou změnu hmotnosti, co je možné pouze v případě, kdy jsou obě změny stejně velké, ale s opačným znamínkem. Tedy jedna znamená zvětšení a druhá zmenšení hmotnosti.
M
T
I.
Rovnici si odvodíme pomocí pružné trubice, ve které proudí tekutina. V trubici vytkneme elementární objem tekutiny = ⃗ ⃗ s průřezem ⃗ a dĺžky ⃗.
Obr. 13 Odvození rovnice kontinuity pro proudovou trubici
Pokud levým řezem do vytknutého objemu vstupuje určité množství tekutiny m, pak +
⃗
⃗. To, že vystupuje víc tekutiny než vstoupilo, se musí projevit
K E/
pravým vystupuje
úbytkem hmotnosti vevnitř vybraného objemu, což je způsobené snížením hustoty ρ.
⃗
⃗=−
K
⃗⃗ ⃗
⃗⃗ ⃗
(
⃗=−
⃗
∙ ⃗
=−
+
)
∙ ⃗ ⃗
⃗
⃗
⃗⃗ =0 ⃗
Poslední vztah je rovnice kontinuity pro proudovou trubici. V případě, že se průřez nebude v čase měnit (uvažujeme pouze změnu polohy), rovnice se zjednoduší na následující tvar: ⃗
+
⃗⃗ =0 ⃗
Pokud i parametr hustoty budeme popisovat jenom z hlediska změny polohy, dostaneme:
KKE
MECHANIKA TEKUTIN I. ⃗⃗ =0 ⃗
0+
⃗⃗=
→
Ing. Marek KLIMKO
.
Pokud budeme považovat všechny parametry jako proměnné a jen průřez bude konstantní, dostaneme: (v závorce vpravo je uvedený tvar rovnice kontinuity pro prostorové proudění). +
(
⃗) ⃗
+ ∇⃗( ⃗ ) = 0
=
I.
Příklad č. 12
Nestlačitelné 2-D rychlostní pole je určené ve směru osy y rovnicí: −
T
=3
Určete rovnici složky rychlosti u, působící ve směru osy x.
Vypočítejte: u
Řešení:
=3
−
, ρ = konst.
M
Zadané hodnoty:
K E/
Vycházet budeme z obecné 3-D rovnice kontinuity, která má tvar: +
( ∙ )
+
( ∙ )
+
( ∙ )
=0
Ze zadání víme, že rychlostní pole je nestlačitelné, aplikujeme tedy podmínku ρ = konst.
Ve všech parciálních derivací na levé strany rovnice nám vypadne parametr hustoty tekutiny.
K
Proudění je rovinné (2D), to znamená, že taky vypadne i poslední člen levé strany rovnice. + =3 −
=0 →
=
−3
Přepíšeme parciální derivaci do tvaru totálního diferenciálu a následně integrujeme. = =
( −
−3 ) +
KKE
MECHANIKA TEKUTIN I.
Ing. Marek KLIMKO
V zadání nejsou bližší specifikované podmínky, které by nám pomohli určit integrační konstantu. Proto výsledný vztah pro x-ovou složku rychlosti zapíšeme s obecnou konstantou C. 3.4
Potenciální proudění
Potenciální proudění je nejjednodušší proudění jaké může existovat. Ze všech vlastností, které toto proudění může mít, respektuje pouze kontinuitu a setrvačnost. Setrvačnost je taková vlastnost proudící tekutiny, která způsobuje, že při obtékání ostrého rohu se proudnice nelomí ostře, ale procházejí do nového směru obloukem. Souhrn vlastností potenciálního proudění je:
I.
nevazké, nestlačitelné, ustálené, dvourozměrné, nevířivé (pracuje se s modelovými částicemi).
V některých případech je ale možné do potenciálního proudění zavést viskozitu, stlačitelnost nebo nestacionaritu.
T
Potenciální proudění zavedli matematici, který při zkoumaní určitých tříd funkcí zjistili, že jejich chování odpovídá proudění tekutiny. Pracuje se ze dvěma funkcemi. První je proudová funkce označována jako Ψ a druhou potenciál rychlosti Φ. Pokud známe alespoň jednu z nich,
M
máme v podstatě úlohu splněnou, protože jejich určitým derivováním získáme složky rychlosti proudění a tlak v proudovém poli. Za proudovou funkci se skrývá objemový průtok ̇ , za potenciálem rychlosti zase cirkulace Γ. Pomocí obou funkcí je možné řešit obtékání
K E/
některých plošných těles nebo průtok kanálem.
Problematiku potenciálního proudění nebudeme v těchto podkladech detailně popisovat. Je
ale potřebné, aby měli studenti aspoň okrajovou představu o tomto proudění. Co si však ale ukážeme v rámci potenciálního proudění, je tzv. rotor rychlosti, který bude předmětem následující podkapitoly.
3.4.1 Rotor rychlosti
K
Pojem rotor rychlosti je v proudění důležitý protože vyjadřuje, jestli je proudění vířivé
nebo nevířivé. Při nevířivém proudění konají modelové částice jenom translační (posuvný) pohyb, nikoliv rotační. Rotor, resp. rotace byla vysvětlená v kapitole 1.2.2. V této kapitole si vysvětlíme fyzikální význam rotace v případě, že vektorem je rychlost ⃗ v dvourozměrném
proudovém poli.
MECHANIKA TEKUTIN I.
Ing. Marek KLIMKO
I.
KKE
Obr. 12 Odvození rotoru rychlosti
T
Na obrázku (Obr. 12) máme modelovou částici tekutiny s poloměrem dr, která se otáčí kolem osy z úhlovou rychlostí ωz. Obvodová rychlost dw je rozložená do složek dwx a dwy. Úhlovou rychlost můžeme vyjádřit jako z dwx, tak z dwy. Pokud obě odvozené výrazy úhlové
=−
∙
=−
∙
→
=−
=
∙
→
=
2
=
∙
K E/
=
M
rychlosti sečteme, dostaneme výraz pro výpočet rotoru okolo osy z.
Výraz 2
⃗=
⃗ +
=
−
popsaný jako vektor je rotor rychlosti: 2
V případě 3-D prostoru je
=−
⃗ +
=
⃗ = ⃗
−
.
⃗.
K
Rotor rychlosti je tedy v daném místě proudového pole dvounásobkem úhlové rychlosti
částice, která rotuje kolem vlastního středu. V případě, že částice nerotuje, je u rovinné úlohy =0 →
⃗ = 0. Podmínkou nevířivého proudění je tedy: −
=0
⇔
⃗ =0
Příklad č. 13 Uvažujme 3-D rychlostní pole, které je popsané vektorem se složkami rychlosti: ⃗ = ( , , ) = (3 + 2 − ) ∙ ⃗ + (2 − 2 ) ∙ ⃗ + 0,5
∙⃗
KKE
MECHANIKA TEKUTIN I.
Ing. Marek KLIMKO
Vypočítejte rotaci vektoru jako funkci prostorových souřadnic (x, y, z). Řešení: Do rovnice pro rotaci vektoru postupně dosadíme všechny složky rychlosti ze zadání a parciálně derivujeme podle jednotlivých prostorových souřadnic: ⃗ = (0,5 − 0) ∙ ⃗ + (0 − 0,5 ) ∙ ⃗ + [2 − (−1)] ∙ ⃗ = ,
Vazké proudění
∙ ⃗+
∙ ⃗
I.
3.5
∙ ⃗− ,
Každé proudění je vazké. V těchto učebních materiálech se budeme zabývat převážně laminárním prouděním. O molekulárním tření budeme zásadně předpokládat, že je
T
newtonovské a tekutina jednofázová (kapalina nebo plyn).
3.5.1 Navier – Stokesova pohybová rovnice
M
Pohybová rovnice pro trojrozměrné vazké proudění je nejdůležitější z parciálních diferenciálních rovnic proudění. Nazývá se Navier – Stokesova rovnice. Odvození této rovnice vychází z II. Newtonova pohybového zákona. =
⃗
K E/
⃗
Uvedenou rovnici opět aplikujeme na vybraný objem proudící tekutiny s objemem V,
hmotností m a povrchem S. Vevnitř elementu je vyznačený elementární objem dV, ve kterém je hustota ρ, a kde působí setrvačné zrychlení ⃗. Obě veličiny se mění s polohou, hustota
i s časem. Na povrchu vybrané tekutiny je zvolena elementární plocha dS. Vektor napětí ⃗ , který v této ploše působí, je v každém místě povrchu S jiný a reprezentuje účinek vybraného
K
objemu látky na okolitou tekutinu.
MECHANIKA TEKUTIN I.
Ing. Marek KLIMKO
I.
KKE
Obr. 13 Odvození N-S rovnice
Když ⃗ a ⃗ dosadíme do hmotnostní a povrchové síly, získáme integrální vektorovou
rovnici, kterou můžeme následně rozepsat do tří rovnic pro směry x, y, z (obecně pro i-tý
=
⃗+
=
+
⃗
⃗× ⃗
+
M
⃗
T
směr).
⃗× ⃗
K E/
+
Do rovnic je zařazena taky elektrická síla, dána vektorovým součinem proudové hustoty ⃗
a elektromagnetické indukce ⃗, abychom si uvědomili možnost působení i jiných sil než jen sil hmotnostních a povrchových. V dalších úpravách tuto sílu uvažovat nebudeme. Kompletní odvození N-S rovnice, které je poměrně rozsáhlé, nebude uvedené. V případě
K
zájmu je možné konkrétní postup dohledat v literatuře [1]. Ukážeme si výslednou N-S rovnici a popíšeme si její jednotlivé členy.
1. Člen
+
=
−
1
+
+
1 3
je místní (lokální) zrychlení, které zaznamenáme při sledování určitého bodu
proudového pole v průběhu času. 2. Člen
je vnitřní setrvačné zrychlení, které zaznamenáme, když se posuneme do
sousedního bodu prostoru, kde je jiná rychlost.
KKE
MECHANIKA TEKUTIN I.
3. Člen
Ing. Marek KLIMKO
je vnější setrvačné zrychlení, dané vnějšími účinky na proudové pole
(gravitační zrychlení, odstředivé zrychlení, dané rotací kanálu, v kterém probíhá proudění apod.). 4. Člen
je zrychlení od tlakových sil od rozložení tlaku v proudovém poli.
5. Člen
je zrychlení od třecích sil bez ohledu na stlačitelnost proudění.
6. Člen
je zrychlení od třecích sil s ohledem na stlačitelnost proudění.
I.
Z matematického hlediska je N-S rovnice parciální diferenciální rovnicí druhého řádu, obecně eliptického typu a obecně nelineární. Nelinearitu způsobuje 2. člen, který má za následek náročné řešení a hysterezi výsledků, především rychlosti w. Analytické řešení je možné pouze u zjednodušených případů, např. když máme možnost některé členy (nelineární)
realizuje pomocí komerčních programů.
T
vynechat, a pokud je geometrie řešeného útvaru prostá. Numerické řešení je reálné a běžně se
M
Je důležité poznamenat, že tato rovnice platí jak pro laminární, tak pro turbulentní proudění. Numerické řešení u turbulentních úloh, kdy se všechny parametry (w, p, ρ) stochasticky mění, si vyžaduje určitou úpravu N-S rovnice (ustředění v čase).
K E/
Na závěr této kapitoly uvedeme rozpis N-S rovnice v pravoúhlém dvourozměrném prostoru:
+
=
−
+
+
=
−
1
1
+
+
+
1 3
+
+
+
+
1 3
+
K
+
3.6
Bernoulliho rovnice
Odvození Bernoulliho rovnice vychází z N-S rovnice odvozené v předcházející kapitole,
na kterou postupně zavedeme určitá zjednodušující předpoklady. Především zanedbáme vliv kinematické viskozity (ν = 0). Tímto krokem dostaneme tzv. Eulerovou rovnici.
=
− =
1
/∙ −
1
KKE
MECHANIKA TEKUTIN I.
:
=
→
=
=
,
−
=
=
−
1
+ 1
Ing. Marek KLIMKO
⇒
=
−
−
Poslední rovnice vyjadřuje obecnou Bernoulliho rovnici, kterou je ještě možné upravovat
I.
na základě následujících zjednodušení. Když budeme při řešení úloh uvažovat stacionární proudění, tedy Bernoulliho rovnica nadobudne tvar: −
T
=
= 0, potom
M
Pokud bude na tekutinu působit jenom gravitační zrychlení (Rx = Rz = 0, Ry = -g) a uvažujeme, že se jedná o nestlačitelné proudění, pak: =−
K E/
1
−
2
2
+
+
2
+
=
/∙
+
=
/∙
+
+
=
→
.
→
→
ě
.
. .
í
ě ýš
ě
ů
K
Důležitou informací je, že uvedené formy Bernoulliho rovnice neuvažují ztráty. Rovnici je
však možné modifikovat taky pro úlohy s uvážením ztrát. Tato problematika bude uvedená v rámci kapitoly ´Tlakové ztráty v potrubí´.
Příklad č. 14 Vypočítejte hmotnostní průtok vody, která vytéká z válcové nádoby s průměrem D do volné atmosféry kruhovým otvorem s průměrem d ( ≪ ). Do výpočtu zaveďte také zadaný výtokový součinitel μ.
KKE
MECHANIKA TEKUTIN I.
Ing. Marek KLIMKO
Zadané hodnoty: D = 0,9 m, d = 0,09 m, h = 0,8 m, p1 = 1,12.105 Pa, p2 = p0= 101325 Pa, μ = 0,9, ρ = 1000 kg.m-3 Vypočítejte: ṁ
Řešení:
I.
Z Bernoulliho rovnice určíme velikost teoretické výtokové rychlosti a k určení závislosti rychlostí w1 a w2 použijeme rovnici kontinuity pro nestlačitelnou tekutinu. +
2
∙ℎ=
+
2
+
∙0
T
+
M
∙ ∙ 4 = ∙ ∙ = ∙ → = ∙ = ∙ 4 Dosazením z rovnice kontinuity do B.R. získáme teoretickou výtokovou rychlost.
K E/
2 ∙ℎ+2∙
+
2
∙
+
∙ℎ=
+
2
→
−
=
= 6,087
∙
1−
Skutečný objemový a hmotnostní průtok vody bude: ̇
=
∙
=
=
∙
∙ ̇
K
̇
∙
∙ 4
∙
=̇
= 0,035
∙
∙
Příklad č. 15
Závěsný kluzák se vznáší v určité nadmořské výšce rychlostí 10 m/s. Vypočítejte tlak
v stagnačním bodě. Zadané hodnoty: p1 = 105 Pa, w1 = 10 m.s-1 Vypočítejte: p2
KKE
MECHANIKA TEKUTIN I.
Ing. Marek KLIMKO
Řešení: Před samotným řešením této úlohy si musíme nejdřív ujasnit pojem stagnační bod. Jinými slovy se jedná o bod, ve kterém je rychlost nulová. Představme si těleso, které je obtékané rovnoměrným nestlačitelným proudem vzduchu. Před tělesem uhýbá proud na obě strany, aby se vyhol ´překážce´. Jedna proudnice je však donucená narazit kolmo na přední část tělesa (bod 2), takže její rychlost v tomto bodě klesne na nulu. Bod 2 je pro nás v tomto případě stagnačním bodem, tedy bod nulové rychlosti. Z toho vyplývá, že nám na pravé straně B.R. vypadne celý druhý člen. Body (1 a 2) leží v stejné rovině, proto z celé rovnice vypadne taky i
+
+
2
+
+
+
2
/∙
=
2
/∙
+
2
= 10 +
10 ∙ 1,23 = 2
,
K E/
Příklad č. 16
∙
∙
M
=
=
T
∙
I.
parametr výšky.
Objemový průtok benzínu potrubím na obr. je 0,018 m3.s-1. Určete statický tlak p1, ztráty
neuvažujte.
Dané: d1 = 8 cm, d2 = 5 cm, h = 12 m, ρbenzín = 680 kg.m-3
K
Vypočítejte: p1
Řešení:
+
2
+
=
= 4 ̇
+
= 3,58
2
+
→
,
=
= 0, 4 ̇
= ℎ,
= 9,167
=
KKE
MECHANIKA TEKUTIN I. + ( 2
=
)+
−
Ing. Marek KLIMKO
ℎ=
Příklad č. 16 Určete dobu výtoku z otevřené válcové nádoby otvorem ve spodní části. Zadané hodnoty: D = 0,2 m, d = 0,01 m, H = 1,3 m, μ = 0,8, ρ = 1000 kg.m-3
M
T
I.
Vypočítejte: t
Řešení:
K E/
a) Rychlost klesání hladiny v nádobě zanedbáme. +
=
2∙
2
∙
+
∙
̇
,
=
=
+
∙
|
2
∙
=
= ∙ 4
∙
∙ 2∙
∙
Budeme vycházet z předpokladu, že objem, který proteče za elementární úsek otvorem,
K
musí odpovídat objemu, o který poklesne hladina v nádobě.
=−
∙
= ̇∙
− ∙
−
∙ 2∙
∙ 4
∙
=
∙
=
=
∙
∙
2∙
∙√
∙
∙ 2∙
∙ 4
∙ 2∙
=
∙ 2∙
∙ 1
∙
,
∙
=
∙
∙ 2∙
∙
1 2
KKE
MECHANIKA TEKUTIN I.
Ing. Marek KLIMKO
b) Uvažujeme rychlost poklesu hladiny v nádobě. Tuto rychlost si určíme z rovnice kontinuity, kterou následně dosadíme do B.R. a vyjádříme rychlost w2. ∙
=
=
2∙
∙
∙
→
̇
,
=
∙
=
∙
=
∙
=
∙
∙ 4
=
1−
∙ 4
∙
∙
∙
2∙
∙
=
∙
1−
∙
∙
1−
∙
=
1−
∙
∙
∙ 2∙
∙
1
∙
∙ 1−
K E/
2∙
∙ 2∙
2∙
T
∙
M
=−
∙ 4
∙
I.
1−
−
∙
∙
∙ 2∙
=
,
Podstatnou úlohu při rozhodovaní o zanedbání rychlosti poklesu hladiny v nádobě má
druhá mocnina poměru průřezu otvoru a průřezu nádoby (resp. v tomto případě čtvrtá mocnina těchto průměrů). Jak můžeme vidět, pokud se druhá mocnina poměru průřezů blíží
K
k nule, je možné rychlost klesání zanedbat bez toho, abychom se dopustili výrazné chyby.
3.7
Měření rychlosti, tlaku a průtokového množství
V této kapitole si ukážeme, jakým způsobem dokážeme změřit celkové, statické a dynamické tlaky, spočítat rychlosti proudění a objemové, či hmotnostní průtoky proudících médií.
KKE
MECHANIKA TEKUTIN I.
Ing. Marek KLIMKO
3.7.1 Celkový tlak Celkový tlak se měří tzv. Pitotovou trubicí, jejíž otevřené rameno směruje proti proudu a je s tímto proudem rovnoběžné. Druhý konec je připojený k tlakoměru (kapalinový manometr naplněný tekutinou s hustotou ρK). Samozřejmě v dnešní době je tlakoměrem elektronická sonda, to znamená, že druhé rameno končí membránou snímače, nikoliv
M
T
I.
manometrem.
Obr. 14 Schéma Pitotovy trubice
V obou případech je ale pravá trubice uzavřená, takže částice tekutiny přecházející
K E/
centrální proudnicí otevřeným ramenem do trubice jsou brzděné na nulovou rychlost a tlak je tu celkový. Při dokonalém tvarování měří Pitotova trubice s přesností ~ 1%. =
2
+
=
∙
∙
3.7.2 Statický tlak
Statický tlak se měří pomocí otvorů vyvrtaných ve stěně, která je ve styku so sledovaným
K
prostředím. Otvory jsou vrtané kolmo ke stěně. Ideální průměr otvorů je 0,3 až 0,5 mm.
V případě použití větších otvorů se společně se statickým tlakem snímá i část dynamického tlaku.
KKE
MECHANIKA TEKUTIN I.
Ing. Marek KLIMKO
Obr. 15 Otvory v stene obtékaného tělesa
3.7.3 Dynamický tlak, průtokové množství Na měření dynamického tlaku se používá Prandtlova sonda anebo Venturiho trubice. Prandtlova sonda vznikla spojením Pitotovy a statické trubice (Pitot-statická trubice). Jak je možné vidět na schematickém obrázku, Pitotova trubice je vložená do osy statické trubice
M
T
I.
a obě trubice jsou připojené k vstupům diferenciálního manometru.
Obr. 16 Pitot-statická (Prandtlova) sonda
K E/
Z rovnováhy tlaků dokážeme jednoduše vypočítat dynamický tlak, resp. rychlost proudění. +
=
+
−
=
2
=
+
(
2
( −
− )= (
)
2
− )
K
=
=
Venturiho trubice slouží jednak k měření dynamického tlaku, ale taky s ní dokážeme určit
průtokové množství pracovního média. Řešení si ukážeme na konkrétním příkladu. Příklad č. 18
Na základě zadaných parametrů zjistěte hmotnostní průtok vody protékající Venturiho trubicí. Dané: D = 0,25 m, d = 7,5 cm, Δh = 0,55 m, h = 5 cm, ρv = 1000 kg.m-3, ρHg = 13534 kg.m-3 Vypočítejte: ṁ
MECHANIKA TEKUTIN I.
Řešení:
2
+
=
+
+
2
→
=
=0
M T
+
Ing. Marek KLIMKO
I.
KKE
−
+
=
ℎ=
−
(
2
)
−
(ℎ − ∆ℎ) +
+
(ℎ − ∆ℎ) +
=
=−
∆ℎ −
∆ℎ +
−
∆ℎ
−
=
2
(
K
−
=
=
2 ∆ℎ
2
−
1−
̇ =
−
)
−
∆ℎ
=
= ∆ℎ
4
ℎ
∆ℎ
K E/
−
∆ℎ
2
1−
= 11,67
= 51,35
→
= 2
=
KKE
MECHANIKA TEKUTIN I.
Ing. Marek KLIMKO
Průtokové množství je možné určit taky pomocí clony nebo dýzy. U clony se proud tekutiny vložením desky s průtokovým otvorem menším jako světlost potrubí stáhne do úzkého paprsku s vysokou rychlostí, následně se odměří pokles tlaku v tomto místě a z něj se pak dopočítá rychlost a protékající objem nebo hmotnost. Výpočet průtokového množství u dýzy je stejný jako u clony.
3.8
Věta o změně toku hybnosti (VZTH)
VZTH je velmi vhodným nástrojem na vyšetřování aerodynamických sil a momentů,
I.
kterými proudící tekutina působí na těleso. Uplatňuje se hlavně u lopatkových turbostrojů.
Výhoda požití VZTH spočívá v tom, že aerodynamické účinky řešíme na základě znalosti stavu proudění na tzv. kontrolní ploše ´obklopující´ zkoumané proudové pole, přitom k tomu
´black box´.
T
nepotřebujeme znát vlastnosti tohoto pole. VZTH můžeme tedy zařadit mezi metody typu
Postup řešení touto metodou je možné shrnout do tří bodů.
M
1) Volba souřadnicového systému 2) Volba vhodné kontrolní plochy
3) Zápis VZTH ve směru souřadnicových os
Levá strana rovnice obsahuje síly, kterými tekutina uzavřená v kontrolní ploše působí
K E/
-
na kontrolní plochu a na obtékané těleso (znamínka se určují podle směru os).
-
Pravá strana rovnice sestává ze sumy toků hybnosti, přičemž se vstupní toky značí kladně, výstupní záporně a směry toků opět korespondují se směry příslušných os.
Kontrolní plochu volíme tak, aby vyčíslení výrazu pro průtokové hybnosti bylo co
K
nejjednodušší. Možné příklady jsou uvedené na následujících obrázcích.
MECHANIKA TEKUTIN I.
Ing. Marek KLIMKO
T
I.
KKE
Obr. 17 Volba kontrolních ploch: a) těleso obtékané tekutinou, b) průtokový kanál, c) částečně obtékané
M
těleso, d) výtok z nádoby
VZTH se uplatňuje taky při výpočtu tahu proudového motoru. Do proudového motoru, který je schematický znázorněný na následujícím obrázku vstupuje objemové množství ̇ rychlostí w1 a vystupuje objemové množství ̇ rychlostí w2. Tlak okolitého
K E/ vzduchu
vzduchu považujme za atmosférický (p0) a tlaky na vstupu a výstupu si označme jako p1 a p2.
K
Zavedeme souřadný systém a kontrolní plochu ztotožníme s obrysem tělesa motoru.
Obr. 18 Schéma proudového motoru
Napíšeme VZTH ve vodorovném směru x, ze které dokážeme vypočítat tah motoru T. − −
(
−
)+
(
−
)=
− −
(
−
)+
(
−
)=
̇
̇
̇
− −
̇
KKE
MECHANIKA TEKUTIN I.
Vystupující hmotnost spalin
Ing. Marek KLIMKO
̇ je o hmotnost paliva větší jako
̇ . Rozdíl je však
nepatrný a proto je možné v rámci hrubého výpočtu dát tyto hmotnosti do rovnosti ̇ =
=
̇ =
̇ . V případě, že budeme považovat vstupní a výstupní tlak za atmosférický,
dostáváme zjednodušený vztah pro výpočet tahu proudového motoru. = 3.9
̇(
−
)
Rychlostní profily
S rychlostním profilem jsme se setkali již v úvodu těchto učebních textů, kde jsme se
I.
seznamovali se smykovým napětím, které ovlivňuje tvar rychlostního profilu. Uvedená fyzikální podstata bude založená na úvaze laminárního proudění, které je
nesrovnatelně jednodušší řešitelné jako proudění turbulentní. V technické praxi se laminární
proudění vyskytuje při nižších rychlostech, v malých průtokových kanálech a u tekutin s vyšší
T
viskozitou.
V teorii dynamiky tekutin se popisují 4 nejčastější případy, na základě kterých se získají
M
obecné řešení rychlostního profilu laminárního proudění. Jedná se o laminární proudění v trubici kruhového průřezu, mezi dvěma rovnoběžnými deskami, klínovou mezerou a mezerou mezikruhového průřezu. Nám bude stačit, když si ukážeme odvození rychlostního
K E/
profilu v trubici kruhového průřezu.
3.9.1 Laminární proudění v trubici kruhového průřezu Trubicí s průměrem D = 2R proudí nestlačitelná vazká tekutina se zanedbatelnou
K
setrvačností. Proudění je symetrické k osy trubice.
Obr. 19 Laminární proudění v trubici kruhového průřezu
Zavedeme válcový souřadný systém a zvolíme válcový element s poloměrem r, délkou dx. Zapíšeme rovnováhu sil, kterými proudící tekutina působí na vybraný válec. Jedná se o síly od smykového napětí (Ft) na povrchu válce a od tlaků p a p+dp (Fp1, Fp2), působící na čela válečků.
KKE
MECHANIKA TEKUTIN I. = 0:
−
−
=0 → −( +
∙
−
=( +
=
∙
,
)
− ∙2
∙ − ∙2 =−
∙
2
Ing. Marek KLIMKO )
,
= ∙2
=0
=0
=
∙
2
V poslední rovnici jsme nahradili diferenciál tlaku ztrátovým tlakem pz a diferenciál
I.
souřadnice x délkou našeho elementu l. Smykové napětí dokážeme určit taky z Newtonovy rovnice, kde za dy můžeme dosadit dr podle níže uvedených souvislostí. ∙
=
∙
T
=
+ /´
M
= =
+
→
=0
K E/
=
∙
=−
=−
∙
2
∙
2∙ ∙
K
Po integraci posledního vztahu dostaneme: =−
∙
4∙ ∙
+
→
: =
=− =
∙ 4∙ ∙
4∙ ∙
→
+ ∙(
=0 ⇒
=
∙ 4∙ ∙
∙ 4∙ ∙ −
)
Poslední vztah popisuje obecnou rychlost proudění tekutiny v potrubí kruhového průřezu. Pokud za proměnnou r dosadíme konkrétní bod, získáme v tomto místě aktuální hodnotu rychlosti. Maximální rychlost bude určitě ve středu potrubí, v místě r = 0.
KKE
MECHANIKA TEKUTIN I.
=
Ing. Marek KLIMKO
∙ 4∙ ∙
Objemový průtok dostaneme, když vynásobíme obecnou rychlost s diferenciálem plochy, pričemž tento součin integrujeme v hranicích od 0 do R. Postupnými úpravami dostaneme tzv. Hagen-Poisellovou rovnici. ̇ =
128
∙
4∙ ∙
∙(
)∙2
−
=
∙
(
2∙ ∙
∙ ∙
)
−
=
∙ 2∙ ∙
∙
4
=
I.
=
=
Pokud H-P rovnici dáme do rovnosti s obecným objemovým průtokem, dokážeme
T
následnými cílenými úpravami odvodit vztah pro ztrátový tlak, který bude předmětem nasledující kapitoly.
=
∙ ∙
∙
M
∙
∙
=
128
∙ ∙
∙
K E/
∙ 4
128
=
32 ∙
∙ ∙
=
32 ∙
∙ ∙
=
∙
2 ∙ ∙ 2
∙
=
64
∙
∙
2
2
je ztrátový součnitel označovaný písmenem ζ.
K
∙
∙
∙
3.10
Tlakové ztráty v potrubí
Při proudění tekutin dochází neustále k disipaci, tj. k proměně části kinetické energie
tekutiny vlivem tření na teplo. Projevem tohoto procesu je klesání celkového tlaku, a pokud se nemění rychlost proudění, tak i tlaku statického. Z výpočtového hlediska rozdělujeme tlakové ztráty v potrubních systémech na ztráty místní a třecí.
KKE
MECHANIKA TEKUTIN I.
Ing. Marek KLIMKO
3.10.1 Ztráty náhlým rozšířením proudu Zdrojem místních ztrát je intenzivní víření, které vznikne při náhlé změně směru proudění nebo změné velikosti rychlosti, např. náhlým zúžením. K tomu dochází v kolenách, T-kusech, potrubních uzlech při náhlých rozšířeních, popř. zúženích průtokového průřezu potrubí, ve ventilech, clonách, dýzach, atd. K určení místních ztrátových součinitelů se používají výpočtové vzorce, tabulky, grafy, někedy jejich kombinace. Jsou samozřejmě výsledkem experimentů.
I.
Dál si ukážeme, jak vypočítat tlakovou ztrátu v potrubí s náhlým rozšířením proudu. Výpočet vychází z kombinace Bernoulliho rovnice beze ztrát, VZTH a rovnice kontinuity.
Klasickým způsobem si zavedeme kontrolnou plochu tak, aby rozšíření proudu na zvětšený
K E/
M
T
průřez proběhlo vevnitř kontrolní plochy.
Obr. 20 Straty náhlým rozšířením proudu
Zapíšeme rovnici kontinuity pro nestlačitelné proudění a vypočteme z ní rychlost w2.
Z VZTH, která zahrnuje ztráty se vypočítá tlak p2 a z Bernoulliho rovnice, která zase naopak ztráty zanedbává, se určí teoretický tlak p2t. Tlaková ztráta je dána rozdílem teoretického
K
a skutečného tlaku na výstupu z kontrolní plochy (∆ =
=
:
−
=
∙
+ ∙
∙
−
−
|
−
). Ý
−+ ̇ −
=
+
=
−
= ++ ̇ ∙
−
∙
=
∙
+
→
=
MECHANIKA TEKUTIN I.
=
. :
+
+
2
=
+
2 =
+
=
+
∙
2
−
+
2 −
2
Ing. Marek KLIMKO
+
|
+
→
=
+
∙
=
+
=
2 ∙ 2
,
−
=
2
∙
∙
∙ 1−
I.
KKE
Jak jsme v úvodu naznačili, tlaková ztráta je dána rozdílem teoretického a skutečného tlaku.
+
∙ 2
∙ 1−
−
∙
∙
−
+
M
∆ =
−
T
∆ =
∙ 2
∙ 1−
−2∙
+2∙
K E/
∆ =
∆ =
∆ =
Člen
−
∙ 2
∙ 2
∙ 1−2∙
∙ 1−
=
+
∙ 2
∙
−
v poslední rovnici nazýváme ztrátový koeficient pro náhlé rozšíření
K
proudu a označujeme ho ζ.
3.10.2 Třecí ztráty
Třecí ztráty se týkají dlouhých přímých potrubních úseků. Pro výpočet tlakových ztrát používáme vztah odvozený v předcházející kapitole. =
∙
∙
2
KKE
MECHANIKA TEKUTIN I.
Ing. Marek KLIMKO
Tento vztah se využíva jak pro laminární, tak pro turbulentní proudění. Jediným rozdílem je výpočet součinitele tření λ, který v sobě ukrývá Reynoldsovo číslo. Právě toto číslo je rozhodujícim faktorem při určování typu proudění. < 2300 − 2300 ≤
á
≤ 8 ∙ 10 −
í
í
ě í ě í
→
→
=
=
64
0,3164 √
(
ℎ)
ů
U turbulentního proudění je tangenciální napětí větší, a proto jsou ztráty třením větší jako
drsnosti
I.
u proudění laminárního. Součinitel tření je závislý na velikosti Reynoldsova čísla a relativní
= , kde k je absolutní drsnost stěny potrubí, definována jako střední hodnota
nerovnosti na stěně. Rovnice pro výpočet součinitele tření jsou stanovené na základě
T
experimentálních měření. Uvedený Blasiův vztah se používá pro hladké potrubí (k = 0). Pro oblast, kde se projeví vliv drsnosti, byli odvozené desítky rovnic, nejčastěji se používá
M
vztah Colebrook-White.
1
=
2,51 √
+ 0,27
K E/
2
Příklad č. 18
Vypočítejte tlakovou ztrátu v potrubí pro: a) w = 0,2 m.s-1 b) w = 5 m.s-1
K
Uvažujte hydraulicky hladké potrubí.
Zadané hodnoty: D = 0,01 m, L = 10 m, η = 0,001 Pa.s, ρ = 1000 kg.m-3 Vypočítejte:∆p
Řešení: a) w = 0,2 m.s-1 =
∙
=
∙
∙
=
1000 ∙ 0,2 ∙ 0,01 = 2000 < 2300 → 0,001
á
í
ě í
KKE
MECHANIKA TEKUTIN I.
Ing. Marek KLIMKO
Pro třecí ztráty pak platí: =
∙
Součinitel tření určíme pomocí odvozeného vztahu a dopočítáme tlakovou ztrátu. =
∆ =
∙ 2
∙
=
64 = 0,032 2000
= 0,032 ∙
10 0,2 ∙ 1000 ∙ = 0,01 2
=
∙
=
∙
∙
=
I.
w = 5 m.s-1
1000 ∙ 5 ∙ 0,01 = 50000 > 2300 → 0,001 =
Příklad č. 19
∙
∙
∙ 2
=
0,3164
ě í
√
√50000
= 0,02116
= 0,02116 ∙
10 5 ∙ 1000 ∙ = 0,01 2
,
M
∆ =
0,3164
í
T
b)
∙
64
Na základě uvedených parametrů vypočítejte rychlost proudění vody v potrubí. Zanedbejte
K E/
vliv místních ztrát.
Dané: D = 10 cm, L = 3 m, Δh = 1 cm, Re = 1800, ρv = 1000 kg.m-3, ρHg = 13 534 kg.m-3
K
Vypočítejte: w
=
∙
∙
∙ 2 =
⟹
−
=
2
KKE
MECHANIKA TEKUTIN I. =
+ −
ℎ=
−
=
(ℎ − ∆ℎ) +
+
(ℎ − ∆ℎ) +
=
∆ℎ −
= ∆ℎ
2 ∙ ∆ℎ ∙
∆ℎ ℎ
−
− ∙ ∙
Ing. Marek KLIMKO
= ,
64
I.
Příklad č. 20 Vypočítejte příkon zahradního rozprašovače. Potrubí je hydraulicky hladké. V nádrži je
sací koš. Potrubí zavlažovacího systému je zakončené rozprašovačem. Výškový rozdíl mezi
T
volnou hladinou a rozprašovačem je 3 m a dýza má 12 dírek s průměrem 2,5 mm. Zadané hodnoty: L1 = 1 m, L2 = 10 m, L3 = 1 m, D = 30 mm, d = 2,5 mm ̇ = 1,2 l/s, ηč =0,49,
M
η = 0,001 Pa.s, ρ = 1000 kg.m-3, ξSK = 0,5, ξT = 0,8, ξKO = 0,33
K
K E/
Vypočítejte: PPČ
Řešení: Při výpočtu budeme vycházet z Bernoulliho rovnice v energetickém tvaru mezi body 0 a 1 (podle obrázku), s uvážením ztrátové energie od práce čerpadla:
2
+g∙
+
−
+
č
=
2
+g∙
+
|
= 0,
= 0,
=ℎ
KKE
MECHANIKA TEKUTIN I.
−
+
č
=
+g∙h+
2
=
=
+g∙h 2 Ztrátová energie v našem případě zahrnuje třecí ztráty v potrubí a místní ztráty vznikající č
=
|
Ing. Marek KLIMKO
+
v sacím koši, koleně a výstupní trysce. Pro tuto energii použijeme vztah vycházející z teorie mechaniky tekutin ve formě:
2
∙
=
∙
2
+
∙
+
∙
+
+
∙
+
I.
=
Pro další postup potřebujeme vypočítat koeficient tření, který se určuje pomocí Reynoldsova čísla. ̇
w=
̇
1,2 ∙ 10 ∙ 0,03 4
T
⇒
=
=
∙ 4
= 1,7
.
M
̇ =S∙w
∙
Re =
∙
=
∙
=
1000 ∙ 1,7 ∙ 0,03 = 51 000 0,001
Ze střední rychlosti v potrubí jsme určili Re a jeho hodnota daleko převyšuje kritické Re =
K E/
= 2300, což je horná hranice limitující laminární proudění v potrubí kruhového průřezu. Proto pro výpočet koeficientu tření můžeme použít Blasiův vztah pro hydraulicky hladké potrubí. =
=
=
0,3164 √
=
0,3164
√51000
= 0,021
Zpětně vypočítáme ztrátovou energii a rychlost na výstupu z dýzy. Nakonec dopočítáme
příkon čerpadla pomocí známé účinnosti.
K
=
=
2
∙
+
+
+
∙(
+
+
)
1,7 0,021 ∙ 0,5 + 0,33 + 0,5 + ∙ (1 + 10 + 1) = 14,52 J ∙ kg 2 0,03
w =
̇
̇
= 12 ∙
∙ 4
=
1,2 ∙ 10 = 20,37 ∙ (2,5 ∙ 10 ) 12 ∙ 4
.
KKE
MECHANIKA TEKUTIN I.
č
=
č
+
=
č
2
+ g ∙ h = 14,52 +
∙ ̇ =
č
20,37 + 9,81 ∙ 3 = 251,42 J ∙ kg 2
∙ ρ ∙ ̇ = 251,42 ∙ 1000 ∙ 1,2 ∙ 10
=
č č
=
301,7 = 0,49
= 301,7 W
,
I.
Č
Ing. Marek KLIMKO
Použitá literatura:
T
[1] Linhart J.: Mechanika tekutin I., Západočeská univerzita v Plzni, 2007.
[2] Drábkova S. a kol.: Mechanika tekutin, Vysoká škola báňská – TU Ostrava, 2007.
M
[3] Janalík J., Šťáva P.: Mechanika tekutin, Vysoká škola báňská – TU Ostrava. [4] White M. F.: Fluid mechanics – 7th edition, University of Rhode Island, 2009.
K E/
[5] Kalčík J.: Technická termodynamika, Nakladatelství Československé akademie věd –
K
Praha 1960.
