Mechanika tekutin Tekutiny = plyny a kapaliny
1
Zařazení mechaniky tekutin
2
Rozdělení tekutin
3
Základní pojmy Tekutina je pojem zahrnující kapaliny a plyny. Je to spojité prostředí, které je homogenní a izotropní (jeho vlastnosti jsou ve všech směrech stejné). Kapaliny se odlišují od plynů a par konstantní či téměř konstantní měrnou hmotností, tj. hustotou ( = konst ) a jsou tedy nestlačitelné či velmi málo stlačitelné. Zavádí se pojem kapaliny ideální, což je kapalina bez vnitřního tření a nestlačitelná.
Fyzikální vlastnosti tekutin
rovnicí ve tvaru pV = mRT p/RT
(R je plynová konstanta)
4
5
se změnou teploty se mění také hustota vztah: ρ = ρ0. ( 1 - β∆T) voda je mezi kapalinami výjimkou z hlediska závislosti objemu na teplotě
ze závislosti objemu na teplotě vyplývá, že hustota vody se od teploty 0 °C do 4 °C zvětšuje a teprve nad touto teplotou se zmenšuje tato odlišná změna hustoty se nazývá anomálie vody Velký význam v přírodě : ve 4 °C má voda největší ρ, drží se u dna, v zimě při zamrzání rybníků voda začíná zamrzat na hladině, ale u dna je voda stále kapalná (vysvětlením je dvojí struktura vody a její shlukování do klastrů, 6 viz např. http://www.lsbu.ac.uk/water/explan2.html#density)
7
Stlačitelnost
8
9
10
11
12
Povrchová vrstva kapalin
− volný povrch kapaliny se chová stejně jako tenká pružná blána, − kolem každé molekuly je tzv. sféra molekulového působení, poloměr (rm ) řádově 1 nm − je-li molekula i její sféra uvnitř kapaliny výslednice přitažlivých sil je nulová , −jiná situace u molekul , jejichž vzdálenost od volného povrchu je menší než rm výslednice F přitažlivých sil je kolmá k volnému povrchu a má směr dovnitř kapaliny, −vrstva molekul, jejíž vzdálenost od volného povrchu je menší než rm 13 = povrchová vrstva kapaliny
„Na každou molekulu ležící v povrchové vrstvě kapaliny působí sousední molekuly výslednou přitažlivou silou, která směřuje dovnitř kapaliny a je kolmá na volný povrch.“ povrchová vrstva má povrchovou energie (molekuly povrchové vrstvy mají
větší Ep než molekuly uvnitř kapaliny), povrchová energie – jednou ze složek vnitřní energie, kapalina má tendenci nabývat takového tvaru, aby obsah jejího povrchu byl co nejmenší a tím byla minimální povrchová energie – při daném objemu má nejmenší obsah povrchu koule, proto se tvoří kapky (deformují se účinkem tíhové síly)
14
15
16
17
18
Měření povrchového napětí na základě povrchových jevů
Hladina kapaliny v úzké trubici: -není rovinná, - povrch se zakřivuje, tvoří meniskus (dutý nebo vypouklý), - při vydutém vystoupí kapalina výše (kapilární elevace), - při vypouklém stojí kapalina níže (kapilární deprese) Při elevaci – zdvižený sloupec kapaliny h visí svou povrchovou blanou na vnitřní stěně trubičky. Svislá složka povrchového napětí při krajovém úhlu je cos . 19
Na celý vnitřní obvod trubice o poloměru R připadá síla 2.R.cos , - ta udržuje v rovnováze tíhu .R2..h.g zdviženého sloupce kapaliny o hustotě
Z rovnosti obou sil pro příslušné povrchové napětí plyne:
= Krajový úhel je tak malý, že je možno položit cos = 1 Potom lze vztahu použít k měření povrchového napětí z výšky výstupu h v úzké trubičce známého vnitřního průměru. Stejný vztah platí i pro kapilární depresi. 20
Úhel θ se nazývá stykový úhel θ = 0° dokonale smáčí stěny θ =180° dokonale nesmáčí stěny 0°< θ < 90° smáčí stěny 90°< θ < 180° nesmáčí stěny zakřivení povrchu kapaliny při stěnách nádoby ,v kapilárách, u kapek a bublin způsobuje vznik přídavného tlaku v kapalinách. Tento tlak se nazývá kapilární tlak o pod vypuklým povrchem je tlak větší o kapilární tlak než tlak uvnitř kapaliny, o pod dutým je o tento tlak menší o pokud má volný povrch tvar kulového vrchlíku (koule) , kde je povrchové napětí a R je poloměr kulového povrchu pak vztah pro kapilární tlak je: Pk = 2 σ / R o u mýdlové bubliny ( 2 povrchy) je to: 21 Pk = 4 σ / R
h.ρ.g = 2 σ / R h = 2 σ / R.ρ.g při daném poloměru kapiláry je výška h tím větší, čím větší má kapalina povrchové napětí Stejné vztahy platí i pro kapilární depresi 22
Uplatnění v praxi:
• voda stoupá v půdě a vypařuje se – vzlínavost, • zabraňuje se mu rozrušením kapilár orbou, okopáváním rostlin, apod., • naopak stlačováním půdy se kapiláry v půdě nevytvářejí, to umožňuje vzlínání vody k povrchu se zasetými semeny, • kapilární elevací se kapalina nasává do knotů, vysává se pórovitými látkami( dřevo,cukr, cihly,.), vzlíná do stěn domů při špatné izolaci proti vlhkosti, • vzlínavost v cévách rostlin umožňuje pronikání živých roztoků z kořenů až do vrcholku rostlin. 23
24
Hydrostatika
Nauka o rovnováze kapalin a jejich účinků na tuhá tělesa v klidu. Kapalina je v rovnováze v klidu, jestliže se její částečky nepohybují vzhledem ke stěnám nádoby, v níž se nachází. Je–li nádoba vůči zemi v klidu a kapalina se nepohybuje, hovoříme o absolutní rovnováze. Pohybuje–li se nádoba a kapalina je vůči stěnám v klidu, hovoříme o relativní rovnováze. Tlak Vyjadřuje plošný účinek síly a je určen silou působící kolmo na jednotku plochy.
25
Tlak v kapalině vyvozený vnější silou Na povrch kapaliny se přenáší účinek vnějších sil jako tlak působící na kapalinu z vnějšku – tzv. vnější tlak pv Vnější tlak může být vyvozen:
26
c) Tlakem vzdušného obalu Země – atmosférickým (barometrickým) tlakem působícím na hladinu otevřených nádob – pb
Plocha, na kterou působí atmosférický tlak se nazývá volná hladina. Plocha, na kterou působí jiný než atmosférický tlak, se nazývá napjatá hladina. Neuvažujeme–li působení tíhového pole Země, platí Pascalův zákon: Tlak v celém objemu kapaliny je stejný, v kapalině se šíří rovnoměrně všemi směry a působí vždy kolmo na ponořená tělesa (stěny).
27
Pascalův zákon • Tlak vyvolaný vnější silou, která působí na kapalinu v uzavřené nádobě, je ve všech místech kapaliny stejný (platí i pro plyny)
Tlaková síla působící na rovinnou plochu: Podle Pascalova zákona je tlak v celém objemu kapaliny stejný, tlaková energie je proto rovna součinu objemu a tlaku.
28
Aplikace Pascalova zákona Hydraulická zařízení
F1 p S1
F2 p S2
F1 F2 S1 S 2
F1 S1 F2 S 2
29
Aplikace Pascalova zákona • Pneumatická zařízení Pracují na stejném principu jako hydraulická zařízení, rozdíl je v tom, že tlak se přenáší stlačeným vzduchem
30
Hydrostatická tlaková síla Hydrostatickou tlakovou silou působí kapalina na dno a na stěny nádoby a na všechna tělesa ponořená v kapalině
Fh G m.g
V S.h
m V .
Fh S.h..g
31
Tlak na dno nádoby
32
Statický tlak Souhrnný účinek tlaku vyvozeného působením vnějších sil a hydrostatického tlaku nazýváme tlakem statickým. ps = pv + ph Působí–li na volnou hladinu otevřené nádoby pouze atmosférický tlak , pak statický tlak se rovná pb
ps = pb + ph
33
Spojené nádoby
užití spojených nádob: plavební komory, kapalinové manometry, vodoznaky (např.: cisternách a nádržích), hadicové libely, sifóny, rozvod vody, …
34
Hydrostatické paradoxon Velikost hydrostatické tlakové síly nezávisí na tvaru a celkovém objemu nádoby
35
Atmosférický tlak • pa • nedá se určit podle vztahu p = h.ρ.g, protože hustota vzduchu není stálá • Rovná se hydrostatickému tlaku rtuťového sloupce v Torricelliho trubici
36
Torricelliho pokus
37
Torricelliho pokus
38
Torricelliho pokus • Atmosférický tlak pa je v rovnováze s hydrostatickým tlakem ph = h.ρ.g rtuťového sloupce • Normální atmosférický tlak pn = 101,325 kPa
39
Hydrostatický vztlak
40
Vztlaková síla v kapalinách Archimédův zákon těleso ponořené do kapaliny je nadlehčováno vztlakovou silou, jejíž velikost se rovná tíze kapaliny stejného objemu, jako je objem ponořené části tělesa
41
Chování těles ponořených v kapalině
Částečně ponořené těleso
42
Zcela ponořené těleso
43
Nadlehčování těles v plynu • Platí také Archimédův zákon, ale vzhledem k malé hustotě plynů je vztlaková síla menší než u kapalin
44
Proudění tekutin Proudnice = trajektorie jednotlivých částic proudící kapaliny Turbulentní proudění – tvoří se nepravidelné víry Laminární proudění – nejjednodušší druh proudění, proudnice jsou souběžné a navzájem se neprotínají, vzniká při malé rychlosti proudění Každým průřezem proudové trubice prochází za jednotku času stejné mn. Tekutiny Za jednotku času projde průřezem mn.tekutiny objemu V1=S1v1 o hmotnosti m=V11=S1v11 V jiném místě m=V22=S2v22 Platí obecně pro libovolný průřez Sv=konst.
45
Proudění tekutin Ustálené proudění ideální kapaliny je charakterizováno stálou rychlostí a stálým tlakem v určitém libovolně zvoleném místě toku Objemový průtok QV = objem kapaliny, který proteče daným průřezem za jednotku času QV = S . v S……………..průřez …….m2 v……………rychlost proudění……….m/s QV………….objemový průtok ………m3/s 46
Rovnice kontinuity Kapalina se při proudění nemůže hromadit v trubici, proto dojde-li ke zúžení nebo rozšíření proudící trubice zůstává objemový průtok konstantní
47
Rovnice kontinuity Při ustáleném proudění ideální kapaliny je součin obsahu průřezu S a rychlosti proudění v v každém místě trubice stejný
S1.v1 = S2.v2
S . v = konst. V menším průřezu má kapalina větší rychlost než ve větším průřezu 48
Proudění kapaliny Mění-li se rychlost proudící kapaliny ve vodorovné trubici, mění se její kinetická energie. V užší části má kapalina větší kinetickou energii a podle zákona zachování energie má menší potenciální energii tlakovou – projeví se snížením tlaku
49
Bernoulliova rovnice Vyjadřuje zákon zachování energie proudící tekutiny
• Kinetická energie kapaliny o jednotkovém objemu Ek 1 m .v 2 1 . .v 2 V 2 V 2
• Potenciální energie tlaková kapaliny o jednotkovém objemu E p m . g .h
V
V
. g .h
• Pro ustálené proudění nestlačitelné tekutiny ještě člen p – tlaková energie 50
Bernoulliova rovnice Součet kinetické, potenciální a tlakové energie kapaliny o jednotkovém objemu je ve všech místech vodorovné trubice stejný 1 1 1.v 2 h g p1 .2 .v 2 h g p2 1 1 1 2 2 2 2 2
1 .v 2 h g p konst 2 Úpravu provedeme dělením rovnice konstantními veličinami g,
Tento tvar se uplatňuje hlavně v technické praxi, všechny tři sčítance mají rozměr délky a mají následující význam: 51
udává výšku, ze které by těleso muselo padat, aby dosáhlo rychlosti v, nazývá se rychlostní výška Určuje výšku, kterou musí mít sloupec tekutiny, aby měl hydrostatický tlak p, nazývá se tlaková výška h udává tzv. místní výšku uvažovaného místa (proudnice nad nulovou hladinou potenciální energie), nazývá se potenciální výška Slovní vyjádření rovnice: Součet výšky rychlostí, tlakové a místní je v každém místě ustáleného proudového pole nestlačitelné tekutiny stálý Proudí-li kapalina vodorovnou trubicí, potom je místní výška h stálá a rovnice nabývá tvaru: 1 1 1.v 2 p1 .2 .v 2 p2 1 2 2 2
1 2 .v p konst 2
52
Vysvětlení některých jevů, se kterými se setkáme v praxi 1) Proudění tekutiny trubicí, jejíž průřez se mění V místě zúžení trubice pokles tlaku uvnitř tekutiny. V místě širokého průřezu je rychlost malá a tlak velký, v zúženém místě se rychlost zvětší a tlak je menší Je-li v takto zúženém místě otvor ve stěně trubice, nejenže kapalina otvorem nevytéká, ale naopak nasává do trubice okolní vzduch Využití – vodní vývěva, rozprašovače kapalin, plynový kahan, v přírodě potom zvednutí střechy při silném větru, nadzvedávání aut při rychlé jízdě, vznik vodních vln na hladině, obtížné dýchání při silném větru Dosavadní předpoklad: Při proudění kapalin a plynů nepůsobí žádné vnitřní tření. Při pohybu kapaliny trubicí pracujeme s předpokladem, že kapalina se ve všech místech průřezu pohybuje stejnou rychlostí. Zkušenost: Rychlost proudění v celém průřezu trubice není stejná. Při stěně je rovna nule, s rostoucí vzdáleností od stěny se postupně zvyšuje. Největší – v ose trubice. Příčina: V proudící tekutině vznikají tečné síly, tzv. síly vnitřního tření (vznikají mezi sousedními vrstvami tekutiny, mají směr tečny k povrchu vrstvy a způsobují zpomalení rychlejších vrstev a zrychlení pomalejších vrstev. 53
Důsledkem vnitřního tření je odpor, který kapaliny kladou pohybu tuhých těles. Při velmi malých rychlostech a hladkém tvaru tělesa – odpor vyvolán pouze viskozitou kapaliny, obtékání těles je laminární, potom pro odpor těles platí Stokesův zákon: Odpor je přímo úměrný prvé mocnině rychlosti, dynamické viskozitě a lineárním rozměrům tělesa. Pro těleso tvaru koule platí pro odpor vztah: F = 6rv kde r je poloměr koule a v je její rychlost
54
Řešme situaci: V tekutině o viskozitě padá koule o poloměru r. Její rychlost v se bude zpočátku zvětšovat, tím bude růst i odpor tekutiny. Koule nabude konečné rychlosti, tzv. mezní rychlosti vm, při níž se síla zrychlující (tíha koule zmenšená o vztlakovou sílu) právě vyrovná síle brzdné (odporu tekutiny).
55
Tělískový viskozimetr Viskozimetry tohoto typu jsou založeny na rychlosti pádu tělíska, nejčastěji hladké koule ve zkoumané tekutině. Předpokládejme, že se koule o průměru „d“ a hustoty k pohybuje ustálenou rychlostí w (tato rychlost se také nazývá sedimentační nebo pádová) vlastní tíhou v kapalině, kapalina má hustotu v a dynamickou viskozitu . Na pohybující se kouli podle obr. působí tíhová síla G, vztlaková síla Fv a odporová síla Fo
56
Definujme Reynoldsovo číslo sedimentace
Je-li Re ≤1, potom se jedená o laminární otékání koule a součinitel odporu podle Stokese je definován rovnicí
S využitím posledních dvou rovnic pro odporovou sílu dostaneme vztah, označovaný také jako Stokesův zákon
Z rovnic pro dynamickou viskozitu po jednoduchých úpravách odvodíme rovnici 57
Viskozimetr Stokesův – patří mezi nejjednodušší tělískové viskozimetry. Je to v podstatě skleněný válec naplněný měřenou kapalinou, na válci jsou vyznačeny dvě rysky, jejich vzdálenost je L, stopkami se změří čas průchodu kuličky mezi dvěma ryskami a z rovnice se pro známou hustotu kuličky a měřené kapaliny vypočítá velikost dynamické viskozity. Celé zařízení je možné vhodně temperovat a potom se dá měřit dynamická viskozita i jako funkce teploty. U tohoto viskozimetru je třeba dodržet podmínku, že průměr kulička je výrazně menší, než je průměr válce.
58
Budeme-li měřit pádovou rychlost kuličky jako proběhnutou dráhu za čas
potom lze předcházející rovnice pro dynamickou viskozitu upravit na tvar
Z této rovnice můžeme vypočítat velikost dynamické viskozity tekutiny, za předpokladu, že změříme čas potřebný pro proběhnutí kuličky na dráze L. Pro danou vzdálenost L a průměr kuličky „d“ se předcházející rovnice zjednoduší
kde k je konstanta viskozimetru
59
Měření viskozity se provádí dvojím způsobem: relativní měření– v tomto případě se viskozity měřené kapaliny stanoví relativně s viskozitou známé kapaliny. • Do stojánku podle obr. C se vloží několik trubiček se známou viskozitou a současně se vloží trubička s měřenou kapalinou, • stojánek se otočí o 180o , vzduchové bubliny se přesunou nahoru, • pak se stojánek s trubičkami otočí zpět o 180o a sleduje se pohyb bublin v trubičkách, • měřená kapalina má pak viskozitu stejnou jako má kapalina v trubičce, ve které bubliny proběhla dráhu 100 m za stejný čas jako u měřené kapaliny. Viskozimetr obsahuje cca 20 trubiček s kapalinou známé, ale rozdílné viskozity, dá se tedy relativně stanovit viskozita měřené kapaliny. Když se vzduchová bublina pohybuje rychleji než bublina ve vzorku, potom má měřená kapalina viskozitu menší a naopak. absolutní měření– v tomto případě se měří doba, za kterou vzduchová bublina projde mezi dvěma ryskami 27 a 100 mm, tj., za jaký čas urazí dráhu 73 mm. Viskozita se stanoví tak, že 1 sekunda odpovídá viskozitě 1Stokes. U viskozimetru se dá očekávat následující relativní nejistota – chyba: Vliv teploty – změna o 1oC ………….. relativní chyba 10%¨ Vliv sklonu trubky o 5o …………..relativní chyba 10% Vliv výšky hladin 0,1 mm …………..relativní chyba 2% 60
Höpplerův viskozimetr - pád kuličky ve skleněné trubici skloněné od vertikály o 10o Výměna kuličky je velmi snadná, viskozimetr se vyznačuje jednoduchou konstrukcí, snadnou obsluhou při měření, relativně vysokou přesností a opakovatelností měření. Skládá z kalibrované skleněné trubice, ve které padá kulička v měřené kapalině, trubice je opatřena dvěma ryskami, mezi kterými se měří doba průchodu kuličky známého průměru. Kuličky jsou skleněné nebo kovové, různého průměru, tím je umožněno měření v širokém intervalu viskozity.
61
Pro rovnováhu sil pří pohybu kuličky v šikmé trubce podle obr. B po dosazení za jednotlivé síly a úpravách provedených v části o Stokesově viskozimetru je dynamická viskozita dána vztahem
po dosazení za jednotlivé síly a úpravách provedených v části o Stokesově viskozimetru je dynamická viskozita dána vztahem
Protože průměr kuličky a měřící trubice se od sebe příliš neliší, výpočet podle této rovnice je zatížen velkou chybou, dynamická viskozita se proto vypočítá z rovnice
kde - dynamická viskozita k - konstanta viskozimetru, je stanovena pro každou kuličku výrobcem, nebo je stanovena cejchováním v kapalině známé viskozity v, k - hustota kulička a měřené kapaliny Pro snadnější manipulaci - hlavice viskozimetru je otočná okolo vodorovné osy, tím je umožněno po měření přesunout kuličku do horní polohy a měření opakovat, aniž 62 je nutné kuličku z měřící trubice vyndávat.
Podtlak • Při značném zúžení trubice může poklesnout tlak kapaliny tak, že je menší než atmosférický. Ve zúženém místě vzniká podtlak a do manometrické trubice se nasává vzduch
63
Vytékání kapaliny otvorem v nádobě • Tlaková energie objemové jednotky se mění v energii kinetickou
1 2 . .v h. .g 2 v 2.h.g 64
Obtékání těles tekutinou 1. Tekutina proudí, těleso je v klidu 2. Tekutina je v klidu, těleso se pohybuje
Vznikají odporové síly, působící proti pohybu tělesa Hydrodynamická odporová síla – v kapalině Aerodynamická odporová síla – v plynu 65
Odporové síly – odpor prostředí O jejich velikosti rozhodují: • rozměry a tvar tělesa • hustota tekutiny • vzájemná rychlost tělesa a tekutiny
66
