Mechanika tekutin FyzikaII základní pojmy Mechanika tekutin studuje podmínky rovnováhy a zákonitosti pohybu kapalin, plynů a pevných těles do nich ponořených Vlastnosti:
Částice tekutiny jsou od sebe ve větších vzdálenostech než u PL - působí na sebe menšími silami, soudržnost sousedních částic velmi malá. Makroskopický popis: kontinuum (spojité prostředí), předpokládáme, že jsou izotropické. Tekutost je způsobena snadnou vzájemnou pohyblivostí částic. Nemají stálý tvar, přizpůsobují se tvaru okolních pevných těles – tvaru nádoby, rozlévají se po stole, přehrazené řeky vyplňují údolí, plyny vyplňují nádoby, v nichž jsou umístěny.
Jsou pružné při změně objemu, jsou stlačitelné. Kapaliny zachovávají stálý objem, jsou velmi málo stlačitelné. Kapaliny v klidu, v tíhovém poli Země vytvářejí vodorovný povrch – volnou hladinu. Obecně nabývá jejich povrch vlivem vnějších sil takového tvaru, kdy výslednice vnějších sil má v každém místě kapaliny směr normály k povrchu.
Plyny nemají stálý tvar ani stálý objem, jsou velmi snadno stlačitelné. Vzdálenosti mezi molekulami plynu jsou mnohem větší než u kapalin, což umožňuje jejich stlačení. Tvar a objem jsou dány tvarem a objemem nádoby, v nichž je plyn umístěn. Zvětšíme-li objem tělesa, plyn vyplní opět celý objem nádoby.
Různé kapaliny a plyny se liší svou tekutostí (např. voda a med). Tekutější kapaliny mají menší vnitřní tření – viskozitu (tření vznikající smýkáním molekul po jiných molekulách, odpor proti vzájemnému pohybu částic tekutiny). Viskozita plynů je mnohem menší než viskozita kapalin. Pro zjednodušení se zavedly pojmy:
ideální kapalina – dokonale tekutá, bez vnitřního tření, zcela nestlačitelná ideální plyn – dokonale tekutý, bez vnitřního tření, dokonale stlačitelný
I.M.Hlaváčová
Strana 1
LS2014
Mechanika tekutin
Fyzika II
Hydrostatika - podmínky rovnováhy kapalin, u plynů je aerostatika. Tekutina je v rovnovážném stavu, nejsou-li v ní žádná tečná napětí, v případě kapaliny se částice vůči sobě nepohybují. Tlak v kapalinách a plynech Tlak p charakterizuje stav tekutiny v klidu, - důsledek působení normálové síly směrem do kapaliny: p
dF , kde dF velikost tlakové síly působící kolmo na dS. dS
pro dS obklopenou kapalinou - vnitřní tlak kapaliny, pro dS na okraji (povrchu kapaliny) - vnější tlak. Tlak v ideální kapalině je jednoznačně určen svou hodnotou, je to skalární veličina. Tlaková síla dF p dS je vždy kolmá k plošce dS celková síla působící na rovinnou plochu –2
–1
F p S ; na obecnou plochu F p dS S
–2
jednotka Pa (pascal) = N m = kg m s další jednotky: hPa, kPa, MPa, bar (=105Pa), torr (1mm Hg), PSI. K měření tlaku se používají manometry (kapalinové – tlak se odečítá z rozdílu hladin vyvolaných tlakem, kovové – tlak pružně deformuje určité části přístroje) příčiny tlaku v tekutinách: – vnější síla působící prostřednictvím pevného tělesa, které je s tekutým tělesem v přímém styku – tíhová síla, kterou působí na tekuté těleso Země I.M.Hlaváčová
Strana 2
LS2014
Mechanika tekutin
Fyzika II
Tlak v kapalinách vyvolaný vnější silou: Tlaková síla v kapalinách F se přenáší do všech směrů, působí vždy kolmo na určitou plochu kapalného tělesa. Pascalův zákon (platí i pro plyny). Využití - hydraulická a pneumatická zařízení:
Tlak vyvolaný vnější silou, která působí na kapalné těleso v uzavřené nádobě, je ve všech místech kapaliny stejný.
hydraulické lisy, zvedáky, brzdy automobilů, aj.
Tlak v kapalinách vyvolaný tíhovou silou V tíhovém poli Země působí na všechny částice kapalného tělesa tíhová síla. Výsledkem tohoto působení je hydrostatická tlaková síla Fh. Velikost hydrostatické tlakové síly závisí na hustotě kapaliny, na obsahu dna a na hloubce pod volným povrchem kapaliny. Ft1 Ft2 Nezávisí na tvaru a celkovém objemu kapalného tělesa F F2 hydrostatické paradoxon. (v nádobách, jejichž stěny 1 Fv1 Fv2 nejsou svislé, působí také reakce stěn na kolmé tlakové síly kapaliny). FG Tlak vyvolaný hydrostatickou tlakovou silou je hydrostatický tlak ph. Hydrostatický tlak v hloubce h pod volným povrchem kapaliny o hustotě je p h gh , - je přímo úměrný hustotě kapaliny a hloubce. Místa o stejném hydrostatickém tlaku – hladiny; hladina o nulovém hydrostatickém tlaku - volná hladina. I.M.Hlaváčová
Strana 3
LS2014
Mechanika tekutin
Fyzika II
Na základě hydrostatického tlaku lze vysvětlit podstatu spojených nádob. Spojené nádoby jsou nádoby, které jsou u dna spojeny trubicí. Jejich tvar může být jakýkoli. Nalijeme-li do těchto nádob kapalinu o stejné hustotě, hladina se ve všech nádobách ustálí ve stejné výšce h nad společným dnem. Je to způsobeno důsledkem Pascalova zákona – ve všech místech kapaliny je stejný tlak. U dna tedy bude tlak ph = h g. Hustota a tíhové zrychlení g jsou stejné, proto musí být i stejná výška h. Z toho, že princip spojených nádob vychází z Pascalova zákona, můžeme odvodit i to, že ve spojených nádobách, ve kterých jsou různé kapaliny, jsou hustoty kapalin v převráceném poměru k výškám kapalin nad společným rozhraním, protože tam je hydrostatický tlak stejný. 1 h2 1 h1 g 2 h 2 g 2 h1 Tlak vzduchu vyvolaný tíhovou silou. Stejně jako na kapaliny i na atmosféru působí tíha. Tíha atmosféry, která působí kolmo k dané rovině, je atmosférická tlaková síla Fa. Působí na všechna tělesa i na celý povrch Země. Tlak jí vyvolaný se nazývá atmosférický tlak pa. Normální atmosférický tlak u hladiny moře je 101325 Pa, každých 100 m do výšky se zmenší asi o 1,3 kPa. (Tloušťku atmosféry Ze vztahu pro hydrostatický tlak kapalin nelze spočítat, protože hustota vzduchu není stálá, zmenšuje se s výškou. Kdyby měl vzduch stále stejnou hustotu jako u země, byla by tloušťka atmosféry h
p 8,1 km .) g
Tlak vzduchu se měří barometry. Rtuťový barometr poprvé realizoval Torricelli – tvoří ho trubice, která má zatavený jeden konec. Když ji naplníme rtutí, ponoříme do nádobky a otočíme tak, aby rtuť nevytekla, ustálí se rtuťový sloupec ve výšce h, při níž je hydrostatický tlak rtuti stejný jako atmosférický tlak. Výška hladiny určuje tlak vzduchu (jednotka torr = mm Hg; normální tlak – 760 mm Hg). I.M.Hlaváčová Strana 4 LS2014
Mechanika tekutin
Fyzika II
Normální tlak určený rtutí: pn = h g = 0,76 13595,1 9,80665 = 101325 Pa Běžnější, ale méně přesný barometr je kovový – aneroid (vpravo). Pro průběžné zaznamenávání tlaku se používá barograf (vlevo). Atmosférický tlak se mění, tyto změny provází změny počasí – při vysokém tlaku bývá jasno a sucho; při nízkém zataženo, vlhký vzduch, často prší. Zejména u kapalin je někdy důležitý tzv. absolutní tlak. Většina tlaků, které se v praxi měří, jsou přetlaky nebo podtlaky, měří se jako rozdíl od jiného tlaku, většinou atmosférického. (Potápěč v hloubce 10 m pod hladinou má v plicích polovinu objemu vzduchu oproti tomu, kdy byl na hladině. Celkový tlak, který na něj působí, je součet hydrostatického tlaku vody, v 10m asi 105Pa, a atmosférického tlaku, rovněž 105Pa, tedy 2105 Pa, tj. dvojnásobek atmosférického.) Naměříme-li v pneumatice tlak kolem 3105 Pa, absolutní tlak vzhledem k tlaku vakua (0 Pa) je 4105 Pa. Podtlak se využívá v mechanických rozprašovačích, ale také např. pro čerpání vody ze studny: Zvedáme-li píst, atmosférický tlak se snaží vyrovnat vzniklý podtlak, tím se načerpá další voda. Ze studny lze ručně nebo jedním čerpadlem získat vodu maximálně z deseti metrů (v této výšce už jen samotný vodní sloupec vyvolá tlak, který je roven atmosférickému, proto nevznikne dole ve studni dostatečný podtlak). I.M.Hlaváčová
Strana 5
LS2014
Mechanika tekutin
Fyzika II
Vztlaková síla v kapalinách a plynech Tělesa, která ponoříme do kapaliny, jsou lehčí než ve vzduchu. Nadlehčuje je vztlaková síla Fvz. Směřuje vzhůru a je důsledkem hydrostatického tlaku kapaliny. Ponoříme-li do kapaliny kvádr, působí na každou jeho stěnu kolmá tlaková síla. Síly působící na boční stěny se vyruší, na horní stěnu působí síly F1 = ph1S a na spodní F2 = ph2S. Jejich výslednice je vztlaková síla Fvz F2 F1 Sh2 g Sh1g Shg Vg , V = Sh je objem kvádru. Tento poznatek formuluje Archimédův zákon: Těleso ponořené do kapaliny je nadlehčováno vztlakovou silou, jejíž velikost se rovná tíze kapaliny stejného objemu, jako je objem ponořeného tělesa. Důsledkem Archimédova zákona je různé chování těles v kapalině. Na každé těleso ponořené do kapaliny totiž působí Země tíhovou silou FG = tVg ve svislém směru dolů a kapalina vztlakovou Fvz = V g. Hustota t je průměrná hustota ponořeného tělesa, je hustota kapaliny a V objem ponořeného tělesa. Mohou nastat tři případy: 1) t > FG > Fvz výslednice sil F směřuje dolů a těleso klesá ke dnu (př.: kovové předměty ve vodě). 2) t = FG = Fvz výslednice sil F = 0 a těleso se v kapalině vznáší (př.: ryby a mořští živočichové). 3) t < FG < Fvz výslednice sil F směřuje nahoru a těleso stoupá k volné hladině kapaliny.
Jakmile jí dosáhne, částečně se vynoří a ustálí se v takové poloze, že tíhová síla FG je v rovnováze se vztlakovou silou F‘vz, jejíž velikost se rovná tíze G‘ kapaliny stejného objemu V‘, kterou vytlačuje ponořená část tělesa (př.: dřevěný špalek ve vodě).
I.M.Hlaváčová
Strana 6
LS2014
Mechanika tekutin
Fyzika II
Mezi hustotami tělesa a kapaliny a celým a ponořeným objemem tělesa je vztah vyplývající z rovnosti sil: V t V
Těleso se ponoří do kapaliny tím větší částí svého objemu, čím je jeho hustota větší (čím je hustota kapaliny menší). Tohoto poznatku využívají hustoměry (slouží k měření hustoty kapalin). Vztlakovou silou působí nejen kapaliny, ale také plyny. Nadlehčována jsou tedy i všechna tělesa ve vzduchu. Vztlaková síla plynů působící na tělesa je mnohem menší než vztlaková síla kapalin kvůli malé hustotě plynů (vzduch ~ 1,3 kg m–3). Při vážení předmětů, které mají hustotu mnohem větší než plyny, lze vztlakovou sílu zanedbat. Její existenci můžeme dokázat následujícím pokusem: Na vzduchu na dvouramenné váze vyvážíme skleněnou baňku. Přiklopíme-li váhu skleněným zvonem a odčerpáme vzduch, baňka klesne, protože ve skutečnosti je těžší. Když pod zvon opět pustíme vzduch, baňka a závaží budou opět v rovnováze. Na principu vztlakové síly vzduchu fungují balóny a vzducholodě (teplý vzduch a vodík nebo helium jsou lehčí než studený vzduch).
I.M.Hlaváčová
Strana 7
LS2014
Mechanika tekutin Hydrodynamika (a aerodynamika) - proudění kapalin (a plynů)
Fyzika II
Proudění - u částic tekutiny převažuje pohyb v jednom směru. Pohyb tekutin je složitější než pohyb pevných látek, protože jednotlivé částice mohou měnit vzájemnou polohu. Každá částice v proudící tekutině má určitou rychlost v, jejíž velikost a směr se může v závislosti na místě a čase měnit. Je-li rychlost v částic stálá, jde o ustálené, stacionární proudění. Trajektorie jednotlivých částic proudící tekutiny znázorňujeme proudnicemi. Proudnice je myšlená čára, jejíž tečna v libovolném bodě má směr rychlosti v pohybující se částice. Při ustáleném proudění prochází každým bodem proudící tekutiny jen jedna proudnice proudnice se nemohou navzájem protínat. Proudová trubice = všechny proudnice procházející určitou uzavřenou křivkou. Proudové vlákno kapalina vymezená proudovou trubicí. U ideální kapaliny je rychlost všech částic v určitém průřezu proudového vlákna stejná Ustálené proudění ideální kapaliny je nejjednodušším případem proudění kapalin. Při něm protéká každým průřezem trubice stejný objem kapaliny. objemový průtok QV - objem kapaliny, který proteče daným průřezem trubice za jednotku času: QV S v jednotka - m3s–1 rovnice kontinuity Při ustáleném proudění ideální kapaliny je součin obsahu průřezu S a rychlosti proudu v (objemový průtok) v každém místě trubice stejný. Plyny jsou stlačitelné - nutno zavést hmotnostní průtok Qm. Vyjadřuje hmotnost látky, která projde průřezem trubice za jednotku času. Qm QV jednotka - kg s–1 I.M.Hlaváčová
Strana 8
LS2014
Mechanika tekutin
Fyzika II
Bernoulliho rovnice Bernoulliho rovnice vyjadřuje zákon zachování energie pro proudění ideální kapaliny. ideální kapalina proudící vodorovným potrubím. V zúženém místě se zvětší rychlost kapaliny, vzroste tedy i její Ek. ZZE Ek = Ep . nemůže jít o potenciální energii tíhovou (vodorovná trubice), ani potenciální energii pružnosti (nestlačitelnost). U proudící kapaliny jde o změnu související s jejím tlakem tlaková potenciální energie. Velikost tlakové potenciální síly zjistíme, necháme-li tlakovou sílu F působit na píst. Při posunutí pístu o ploše S vodorovným potrubím o délku l vykoná síla F, práci W F l pSl pV . odtud tlaková potenciální energie kapaliny E p p V 1 1 1 Kinetická energie: Ek mv 2 Vv 2 Ze ZZE tedy plyne v 2 p konst. 2 2 2 první člen - kinetická energie jednotkového objemu proudící kapaliny, druhý člen tlaková potenciální energie jednotkového objemu proudící kapaliny (rovná se tlaku kapaliny). Součet kinetické a tlakové potenciální energie jednotkového objemu kapaliny je ve všech částech vodorovné trubice stejný. Při zobecnění rovnice na nevodorovnou trubici uvažujeme i tíhovou potenciální energií kapaliny 1 2 E p mgh Vgh . Pro jednotkový objem platí v p gh konst. 2 2 p1 p2 1 2 využití - Pitotova trubice - určení rychlosti proudící kapaliny p1 v p2 v2 2 I.M.Hlaváčová Strana 9 LS2014
Mechanika tekutin
Fyzika II
Při velkém zúžení trubice může rychlost proudící kapaliny nabývat tak velkých hodnot, že absolutní tlak kapaliny (tlak způsobený vnější silou + hydrostatický + atmosférický) může klesnout až pod hodnotu atmosférického tlaku podtlak. Na principu podtlaku pracuje rozprašovač (v karburátoru) nebo vývěva. Snížení tlaku v zúžené trubici =hydrodynamické paradoxon. Foukneme-li mezi dva listy papíru, proudící vzduch vyvolá podtlak a listy se přitahují = aerodynamické paradoxon. Ze zákona zachování energie Torricelliho vzorec pro rychlost kapaliny vytékající otvorem v nádobě v hloubce h pod hladinou kapaliny. Tíhová potenciální energie se mění na kinetickou (u kapaliny pracujeme s energií na jednotkový objem): 1 2 v g h v 2gh 2 29. Nad hladinou benzínu v nádrži je tlak 3 atm (1 atm = 101 325 Pa). Benzín má hustotu 660 kg.m-3. Jakou rychlostí začal benzín stříkat malým otvorem v hloubce 50 cm? Rychlost pohybu hladiny zanedbejte. (pozn.: rozlišit absolutní tlak a přetlak!) [25 m.s-1] 30. Ve dně válcové nádoby poloměru R je kruhový otvor poloměru r, kterým vytéká kapalina. Určete rychlost klesání hladiny v nádobě v závislosti na výšce x hladiny nade dnem nádoby.[ v r R2gx ] r 2
4
I.M.Hlaváčová
Strana 10
4
LS2014
Mechanika tekutin
Fyzika II
Proudění reálné tekutiny V reálné kapalině působí vždy proti pohybu částic odporové síly způsobené vnitřním třením (viskozitou) kapaliny, u plynů se neprojevují tak znatelně kvůli nízké viskozitě. Ideální kapalina - stejná rychlost v každém bodě průřezu. Reálná kapalina - částice se středem trubice pohybují rychleji než na kraji, nejpomalejší jsou částice na mezní vrstvě kapaliny (dotýkají se stěny nulová rychlost - důsledek vnějšího tření). Při malých rychlostech proudění jsou proudnice rovnoběžné → laminární proudění. Při vyšších rychlostech se kvůli rozdílům v rychlosti pohybu částic tvoří víry → turbulentní proudění. Na překonání odporu kapaliny se používá čerpadel → zvýšení tlaku. síly vnitřního tření mají směr tečen k povrchu jednotlivých vrstev proudící kapaliny, jsou tím větší čím větší je rozdíl rychlostí obou vrstev čím větší je plocha, na níž působí čím menší je vzdálenost vrstev síly vnitřního tření závisí na druhu kapaliny
I.M.Hlaváčová
Strana 11
LS2014
Mechanika tekutin
Fyzika II
matematické vyjádření těchto závislostí dF
dv dS dy
kde je součinitel dynamické viskozity (je funkcí teploty) jednotka: N.m-2.s = Pa.s = kg.m-1.s-1
odtud lze odvodit tečné napětí:
dF dv dS dy
[kg.m-1.s-2]
viskozita tekutiny s jednotkovou hustotou je kinematická viskozita:
[m2.s-1]
Viskozita tekutin je funkcí teploty a tlaku. Obtékání těles reálnou tekutinou Když se těleso pohybuje vzhledem k tekutině, v níž je, dojde k obtékání. Při obtékání působí tření mezi tělesem a tekutinou hydrodynamická (u kapalin) a aerodynamická (u plynů) odporová síla odpor prostředí. Při malých rychlostech je proudění kolem těles laminární a odporová síla F je poměrně malá, roste přímo úměrně s relativní rychlostí v (tělesa vzhledem k prostředí). Při větších rychlostech vzniká proudění turbulentní, velikost odporové síly F se zvětšuje už s druhou mocninou rychlosti v. I.M.Hlaváčová
Strana 12
LS2014
Mechanika tekutin
Fyzika II
1 Pro velikost aerodynamické odporové síly odvodil Newton F C Sv 2 , kde C je součinitel odporu pro 2 daný tvar tělesa, hustota plynu, S obsah průřezu tělesa kolmého ke směru pohybu a v relativní rychlost.
Největší odpor má dutá polokoule (padáky), nejmenší těleso proudnicového neboli aerodynamického tvaru (ptáci, letadla, v největší možné míře auta, ale zde jsou značné rozdíly – kamion × formule 1 – kamion má do aerodynamického tvaru daleko). Křídla malých letadel jsou také aerodynamického tvaru, ale nejsou souměrná. Horní plocha je větší než spodní, vzduch ji obtéká rychleji. V důsledku většího tlaku na spodní plochu křídla působí na celou nosnou plochu křídla vztlaková aerodynamická síla Fy. Dále na křídlo působí ještě odporová síla Fx, překonávající tah motorů. Výslednicí je výsledná aerodynamická síla F. Newtonův vztah pro odporovou sílu platí jen pro středně velké rychlosti. Nad rychlostí šíření zvuku je rychlost odporové síly úměrná třetí mocnině rychlosti v. Těleso vytváří rázovou vlnu – rány při přeletu nadzvukových letadel. I.M.Hlaváčová
Strana 13
LS2014
Mechanika tekutin
Fyzika II
Proudění kapalin Hmotnostní a objemový tok kapaliny, rovnice kontinuity (obrázek, odvození, význam, aplikace), Bernoulliho rovnice (obrázek, odvození, význam, aplikace), proudění ideální a reálné tekutiny, viskozita. Pozn.: hydrostatika není předmětem zkoušky z Fyziky II!
I.M.Hlaváčová
Strana 14
LS2012
