11. Mechanika tekutin 11.1. Základní poznatky Pascalův zákon Působí-li na tekutinu vnější tlak pouze v jednom směru, pak uvnitř tekutiny působí v každém místě stejně velký tlak, a to ve všech směrech. Hydrostatický tlak v hloubce h pod povrchem kapaliny o hustotě ρ p = hρg. Archimedův zákon Těleso ponořené do kapaliny je nadlehčováno silou Fvz směřující svisle vzhůru. Velikost této síly je rovna velikosti tíhy kapaliny o stejném objemu V, jakou má ponořená část tělesa, tj. Fvz = Vρkg, kde ρk je hustota kapaliny. Tlaková síla r r F = ∫ p dS , (S )
r kde dS je vektor elementu plochy kolmý na plochu o velikosti dS v místě, kde je tlak p.
Barometrický tlak p ve výšce h p = p0 ⋅ e
−
ρ0 g p0
h
,
kde p0 je tlak při hladině moře, tj. ve výšce h = 0 a ρ0 je hustota vzduchu pro h = 0. Rovnice kontinuity Svρ = konst., případně S1v1ρ1 = S2v2ρ2, kde S je průřez trubice, ρ je hustota kapaliny a v je rychlost jejího proudění. Při ustáleném proudění ideální kapaliny projde každým průřezem trubice za jednotku času stejné množství kapaliny. Objemový tok Q = S⋅v, kde v je rychlost proudění kapaliny v trubici s průřezem S. Výtoková rychlost v kapaliny otvorem v nádobě v=
2( p1 − p 2 )
ρ
,
kde p1 je tlak uvnitř kapaliny v místě otvoru, p2 tlak vně nádoby a ρ hustota kapaliny. 118
Bernoulliho rovnice (viz obr. 48)
p + hρg +
1 2 ρv = konst. , 2
příp. pro ρ = konst. p1 + h1 ρg +
1 2 1 ρv1 = p 2 + h2 ρg + ρv 22 . 2 2
obr. 48 Objemová hustota energie proudící ideální kapaliny je stálá a ve všech bodech trubice stejná. r r Síla, kterou působí kapalina na stěnu trubice při změně rychlosti z v1 na v 2 (věta o zachování hybnosti) r r r F = Qm (v1 − v 2 ) , kde Qm =
m je tzv. hmotnostní tok. t
Viskozita kapaliny
ν=
η , ρ
kde ν je součinitel kinematické viskozity, η je dynamická viskozita a ρ hustota kapaliny. Reynoldsovo číslo R=
vd
ν
,
kde v je rychlost kapaliny, d průměr trubice a ν součinitel kinematické viskozity. Hagenův – Poisseuillův vztah
πr 4 Δp QV = ⋅ . 8η Δl Objemový tok QV viskózní tekutiny při laminárním proudění trubicí kruhového průřezu je přímo úměrný tlakovému spádu
Δp a čtvrté mocnině poloměru trubice r a nepřímo úměrný Δl
dynamické viskozitě η. 119
Odpor prostředí Stokesův vztah r r F = −6πηrv , r kde F je síla odporu, který klade prostředí s dynamickou viskozitou η kulovitému tělesu o r poloměru r pohybujícímu se rychlostí v .
Obecně r r F = − kηlv , kde k je konstanta závislá na tvaru tělesa a l je tzv. charakteristický rozměr tělesa. Newtonův vztah
F =C⋅
1 Sρv 2 , 2
kde C je tvarový součinitel odporu, S příčný průřez tělesa, ρ je hustota prostředí a v je rychlost pohybu tělesa. Obecně síla odporu prostředí F = Av + Bv 2 ,
kde A, B jsou pro dané těleso a tekutinu konstanty. 11.2. Otázky a problémové úlohy 11.2.1. Charakterizujte skupenství pevné, kapalné a plynné z hlediska jejich struktury a vlastností. 11.2.2. Vysvětlete a rozlište pojmy – tekutina, kapalina, plyn, ideální kapalina, ideální plyn, skutečná kapalina, skutečný plyn. 11.2.3. Formulujte Pascalův zákon. Jak lze dokázat, že tlak tekutiny je vždy kolmý na stěnu nádoby? 11.2.4. Co je hydrostatické paradoxon? Vysvětlete fyzikálně. 11.2.5. Odvoďte platnost Pascalova zákona ze zákona zachování energie. 11.2.6. Proč je povrch klidné kapaliny vodorovný? Jaký tvar má povrch kapaliny, která rotuje spolu s válcovou nádobou? 11.2.7. Co je hydrostatický tlak vznikající účinkem tíhy? 11.2.8. Na čem závisí velikost tlakové síly na dno nádoby způsobené hydrostatickým tlakem? 11.2.9. Nádoba mající tvar kvádru je naplněna kapalinou až po okraj. Jak vypočítáme velikost tlakové síly na svislou stěnu nádoby? 11.2.10. Na čem závisí velikost vztlakové síly? Vyslovte zákon o vztlakové síle. 120
11.2.11. Jaká podmínka musí být splněna, aby těleso plovalo na hladině kapaliny? 11.2.12. Proveďte rozbor stability plovoucích těles. 11.2.13. Popište Torricelliho pokus. Co dokazuje tento pokus? 11.2.14. Vysvětlete funkci a princip následujících přístrojů a zařízení − barometr, otevřený manometr, uzavřený manometr, hustilka, kompresor, vývěva. 11.2.15. Objasněte fyzikálně princip spojených nádob a uveďte, jak jich lze užít k měření hustoty. 11.2.16. Vysvětlete fyzikální podstatu hydraulického lisu. 11.2.17. Vysvětlete pojmy – stacionární proudění, proudnice, proudová trubice, proudové vlákno, objemový průtok, hmotnostní průtok. 11.2.18. Jakými grafickými prostředky mapujeme rychlostní pole proudící tekutiny? 11.2.19. Co je rovnice kontinuity toku? Platí pouze pro ideální kapalinu nebo i pro kapalinu skutečnou? 11.2.20. Ukažte, že tlak v kapalině lze pokládat za energii objemové jednotky kapaliny. Odvoďte vztah pro rychlost vytékání kapaliny otvorem ve stěně nádoby. Jaký tvar má tento vztah, vytéká-li kapalina jen účinkem vlastní tíhy? 11.2.21. Vyslovte Bernoulliho rovnici, formulujte ji matematicky, proveďte její rozbor. 11.2.22. Vysvětlete pojmy – rychlostní výška, tlaková výška, tlakový spád. 11.2.23. Vysvětlete fyzikální podstatu tzv. hydrodynamického paradoxu. Kde je tento jev využíván v praxi? 11.2.24. Co je hydrodynamický tlak? Může tento tlak být záporný? 11.2.25. Jak lze změřit dynamický a jak statický tlak proudící kapaliny? 11.2.26. Vysvětlete fyzikální funkci Mariottovy láhve (obr. 49), z níž vytéká voda stálou rychlostí. 11.2.27. Jak vysvětlíme skutečnost, že foukáme-li mezi dvě aerodynamicky prohnuté pohlednice (obr. 50), přitahují se pohlednice k sobě, místo aby se odpuzovaly?
obr. 49
obr. 50 121
11.2.28. Co je Prandtlova trubice a k čemu se používá? 11.2.29. Vysvětlete funkci Venturiho trubice. 11.2.30. Míček stolního tenisu vložíme do proudícího vzduchu. Vysvětlete chování míčku v situacích, které jsou znázorněny na obr. 51.
obr. 51 11.2.31. Co je proudění laminární a co turbulentní? 11.2.32. Co je dynamická a co kinematická viskozita? 11.2.33. Na čem závisí velikost tečného napětí při proudění skutečné kapaliny. 11.2.34. Platí při proudění skutečné kapaliny věta o zachování mechanické energie? 11.2.35. Kterými metodami lze měřit viskozitu? Jak závisí viskozita kapalin na teplotě? 11.2.36. Na čem závisí odporová síla prostředí? 11.2.37. Co vyjadřuje Stokesův zákon? 11.2.38. Odvoďte Newtonův vzorec pro odpor prostředí. 11.2.39. Vysvětlete podstatu vzniku dynamického vztlaku na nosnou plochu letadla. 11.2.40. Jak vypočteme rychlost, kterou na povrch Země dopadne kapka vody, padá-li z velké výšky? 11.2.41. Na kterém zákonu jsou založeny průtokové viskozimetry? 11.3. Řešené úlohy 11.3.1. Na klidné vodní hladině plave míč, jehož vnitřní poloměr je r1 a tloušťka stěny je d. Hustota materiálu, z něhož je míč vyroben je ρm. Vložíme-li do míče těleso o hmotnosti m, bude se míč s tělesem v kapalině volně vznášet tak, že bude celý ponořený. Jaká je hmotnost m tělesa? Hmotnost vzduchu uvnitř míče zanedbejte, hustota vody je ρv. Řešení: Nejdříve určíme hmotnost ms celé soustavy míč + těleso. Platí
(
)
4 4 ⎡4 ⎤ ms = m + ρ m ⎢ π (r1 + d )3 − πr13 ⎥ = m + πρ m 3r12 d + 3r1 d 2 + d 3 . 3 3 ⎣3 ⎦
122
Tedy na celou soustavu působí tíhová síla
(
4 FG = mg + πρ m g 3r12 d + 3r1 d 2 + d 3 3
)
Současně je celá soustava nadnášena hydrostatickou vztlakovou silou Fvz, pro kterou platí podle Archimédova zákona
(
)
4 Fvz = Vρ v g = πρ v g r13 + 3r12 d + 3r1 d 2 + d 3 . 3 Při volném plování tělesa musejí být obě síly v rovnováze, tedy porovnáním pravých stran předchozích rovnic dostaneme po úpravě pro hledanou hmotnost m vztah
[(
]
)
4 m = π 3r12 d + 3r1 d 2 + d 3 ⋅ ( ρ v − ρ m ) + ρ v r13 . 3 11.3.2. Tenká homogenní tyčinka je jedním koncem připevněna ke stěně nádoby a druhým koncem je ponořena do kapaliny. Tyčinka se může volně otáčet kolem bodu připevnění na stěně umístěného nad volnou hladinou kapaliny. Určete hustotu ρ materiálu tyčinky, je-li ve stavu rovnováhy pouze n–tina tyčinky neponořena. Hustota kapaliny je ρk. Kapilární jevy a tření v bodě otáčení zanedbejte. Řešení: Na tyčinku působí v jejím těžišti tíhová síla FG a ve středu ponořené části hydrostatická vztlaková síla Fvz daná Archimédovým zákonem. Obě tyto síly mají nenulový moment vzhledem k bodu upevnění tyčinky. Oba momenty musejí být v okamžiku rovnováhy stejně velké a opačně orientované. Pro síly platí FG = ρ⋅S⋅l⋅g,
Fvz = S ⋅
n −1 ⋅ lρ k g , n
kde S je průřez tyčinky a l je její délka. Označme α úhel, který svírá tyčinka s boční stěnou nádoby. Pro ramena obou předchozích sil tak platí rG =
l ⋅ sin α , 2
l n +1 ⎛ 1 n −1 ⎞ rvz = ⎜ l − ⋅ ⋅ l ⎟ ⋅ sin α = ⋅ ⋅ sin α . 2 n 2 n ⎝ ⎠
Z rovnosti velikostí obou momentů sil FG⋅rG = Fvz⋅rvz plyne pro hledanou hustotu ρ ⎛ ⎝
ρ = ρ k ⋅ ⎜1 −
1 ⎞ ⎟. n2 ⎠
11.3.3. Vodorovně položená trubice malého průřezu a délky l je naplněná ideální kapalinou. Trubice rotuje s konstantní úhlovou rychlostí ω kolem svislé osy procházející jedním jejím koncem. Ve druhém konci je malý otvor, kterým může kapalina vytékat.
123
Určete závislost výtokové rychlosti v kapaliny na délce h kapalinového sloupce v trubici. Řešení:
obr. 52 Zvolme si element hmotnosti dm kapaliny v trubici. Označme vzdálenosti l, h, x a dx tak, jak ukazuje obr. 52. Odstředivá síla působící na element hmotnosti dm vyvolá v kapalině tlak o velikosti dp =
dm ⋅ ( x + l − h ) ⋅ ω 2 = ρω 2 ⋅ ( x + l − h ) ⋅ dx , S
kde S je průřez trubice a ρ je hustota kapaliny. Celkový tlak kapaliny vyvolaný odstředivou silou je h
⎡ x2 ⎤ 1 p = ∫ dp = ρω ⋅ ∫ ( x + l − h )dx = ρω ⋅ ⎢ + lx − hx ⎥ = ρω 2 h ⋅ (2l − h ) . ⎣ 2 ⎦0 2 0 2
h
2
Zanedbáme-li tlak vzduchu v okolí otvoru, plyne z Bernoulliho rovnice pro ideální kapalinu p=
1 2 ρv . 2
Porovnáním s předchozím vztahem dostaneme po úpravě hledanou rychlost v v = ω ⋅ h ⋅ (2l − h ) .
11.3.4. V boční stěně nádoby se nachází malý otvor, jehož hrana je ve výšce h nad vodorovnou rovinou. Určete velikost vodorovného zrychlení a nádoby, se kterým by se musela pohybovat, aby z ní kapalina otvorem nevytékala. Výška sloupce kapaliny v nádobě je H a šířka přední stěny nádoby je l. Řešení: Pokud by se nádoba nepohybovala, vytékala by kapalina otvorem rychlostí v = 2 g (H − h ) .
124
Ze zákona zachování hybnosti plyne, že při výtoku kapaliny o hmotnosti dm danou rychlostí v za dobu dt bude nádobě udělena hybnost dp = v⋅dm = v⋅ρSv⋅dt = ρS⋅2g⋅(H − h)⋅dt, kde S je plocha otvoru. Na kapalinu o objemu V = Sl, která je ve výšce otvoru uvnitř nádoby, působí síla dp = 2 ρgS ⋅ (H − h ) . dt
F=
Při pohybu nádoby působí na stejný objem kapaliny setrvačná síla Fs, která má opačný směr, než je směr zrychlení a, a která musí mít i opačný směr než síla F a musí být minimálně stejně velká, aby kapalina otvorem nevytékala. Z toho plyne, že nádoba musí mít zrychlení na tu stranu, na kterou míří otvor ve stěně nádoby. Navíc musí platit Fs = ma = ρSla ≥ F. Odsud pro hledanou velikost zrychlení a platí a≥
2 g (H − h ) . l
11.3.5. Určete konečnou rychlost v pádu dešťové kapky ve tvaru kuličky o poloměru r ve vzduchu, je-li dynamická viskozita vzduchu η a hustota vody ρ. Hustotu vzduchu vzhledem k hustotě vody zanedbejte. Řešení: Při volném pádu je těleso urychlováno směrem k zemi tíhovou sílou FG, pro kterou platí 4 FG = mg = ρ vVg = πr 3 ρ v g , 3 kde ρv je hustota dešťové vody. Při pohybu v odporovém prostředí působí na těleso také odporová síla Fo, která je pro tělesa kulovitého tvaru pohybující se rychlostí v dána Stokesovým zákonem, tedy Fo = 6π⋅r⋅η⋅v. Obě síly mají navzájem opačný směr a tedy při vyrovnání jejich velikostí bude výsledná síla působící na kapku nulová a podle Newtonova zákona setrvačnosti se bude dále kapka pohybovat rovnoměrně přímočaře rychlostí v. Porovnáním vztahů pro obě síly dostaneme po úpravě v=
2 ρ ⋅ r2g ⋅ . 9 η
125
11.4. Úlohy 11.4.1. Průřez vodorovné trubice, kterou proudí voda, se zužuje z hodnoty S1 = 20 cm2 na S2 = 10 cm2. Manometrické trubice umístěné v místech obou průřezů, ukazují rozdíl hladin Δh = 20 cm. Určete, jaký objem Q vody proteče trubicí za t = 1 s.
Q = S1 S 2
2Δhg S12
−
S 22
= 2,29⋅10-3 m3⋅s-1
11.4.2. Určete, do jaké hloubky hl se ponoří plný homogenní kužel výšky h, hustoty ρ1, plovoucí na kapalině hustoty ρ2 a) vrcholem dolů, b) vrcholem nahoru.
⎛ ρ − ρ1 a) h1 = h ⋅ ⎜1 − 3 2 ⎜ ρ2 ⎝
⎞ ⎟, ⎟ ⎠
b) h1 = h ⋅ 3
ρ1 ρ2
11.4.3. Skleněný válec výšky h = 20 cm a průřezu S = 30 cm2 naplníme vodou, přikryjeme listem papíru a obrátíme. Jak velkou silou F je papír přitlačován k válci, je-li barometrický tlak p0 = 9,8⋅104 Pa?
F = S⋅(p0 – hρvg) = 288 N
11.4.4. Do nádoby přitéká voda rovnoměrně tak, že za t = 1 s přiteče množství QV = 150 cm3⋅s-1. Ve dnu nádoby je otvor o průřezu S = 0,5 cm2. V jaké výšce h se ustálí hladina vody v nádobě? Zúžení vodního paprsku vytékajícího otvorem zanedbejte.
h=
QV2 2gS 2
= 45,9 cm
11.4.5. Jak velkou tlakovou silou F působí voda na svislou obdélníkovou stěnu nádoby, je-li výška vody v nádobě h = 40 cm a šířka stěny a = 30 cm?
F=
1 2 ah ρ v g = 235,44 N 2
11.4.6. Ve dvouramenné spojené nádobě je nalita rtuť. Do jednoho ramene přilijeme kapalinu o neznámé hustotě. Sloupec této kapaliny má výšku h1 = 24 cm, rtuť ve druhém rameni (měřeno od společného rozhraní) má výšku h2 = 2 cm. Určete hustotu ρ1 kapaliny, je-li hustota rtuti ρ2 = 13,6⋅103 kg⋅m-3.
ρ1 = ρ 2
h2 = 1133 kg⋅m-3 h1
126
11.4.7. Trubici zahnutou do pravého úhlu vložíme do proudící kapaliny. Do jaké výšky h vystoupí kapalina v této trubici, jestliže ve stejné trubici, která není zahnutá, vystoupí kapalina do výšky h1? Rychlost proudění kapaliny v daném místě je v1.
h = h1 +
v12 2g
11.4.8. Jaká je plocha S nejmenší ledové kry, která právě unese těleso o hmotnosti m = 96 kg? Tloušťka kry je d = 0,3 m, hustota ledu ρL = 920 kg⋅m-3.
S=
m = 4 m2 d ⋅ (ρ v − ρ L )
11.4.9. Jak velkou silou F zvedneme ve vodě kámen, jehož hustota je ρK = 2500 kg⋅m-3 a hmotnost m = 100 kg?
F = mg
ρK − ρv = 588,6 N ρK
11.4.10. Ledovec hustoty ρ1 = 920 kg⋅m-3 plave na mořské hladině. Hustota mořské vody je
ρ2 = 1030 kg⋅m-3. Jaká část V1 celkového objemu V ledovce je nad hladinou?
V1 =
ρ 2 − ρ1 V = 0,11⋅V, tedy 11 % ρ2
11.4.11. Mosazné těleso bylo vyváženo na vzduchu závažím o hmotnosti m1 = 0,16 kg, ve vodě závažím o hmotnosti m2 = 0,14 kg. Určete hustotu ρM mosazi.
ρM =
m1 ρ v = 8000 kg⋅m-3 m1 − m 2
11.4.12. Do válce Segnerova kola byly nality V = 2 l vody, takže výška vodního sloupce byla h = 60 cm. Určete potenciální energii Ep, kterou tato voda v přístroji představuje.
Ep =
1 ρ vVgh = 5,89 J 2
11.4.13. Uzavřená nádoba zčásti naplněná vodou má výtokový otvor v hloubce h = 3 m pod hladinou. Jaká je počáteční výtoková rychlost v vody, má-li vzduch nad hladinou tlak p2 = 2,7⋅105 Pa, vzduch vně nádoby tlak p1 = 105 Pa?
v=
2 ⋅ ( p 2 − p1 )
ρv
+ 2hg = 19,97 m⋅s-1
127
11.4.14. Do nádoby přitéká voda rovnoměrným proudem tak, že za t = 1 min přiteče objem V = 30 l. Ve dnu nádoby je otvor o průřezu S = 2 cm2. V jaké výšce h se ustálí voda v nádobě?
h=
V2
2 gt 2 S 2
= 31,8 cm
11.4.15. Ohnutá trubice byla vložena do proudící vody (obr. 53). Rychlost proudu vzhledem k trubici je v = 2,5 m⋅s-1. V uzavřeném horním konci trubice je malý otvor, nacházející se ve výšce h0 = 12 cm nad hladinou proudící vody. Do jaké výšky h bude stříkat voda z tohoto malého otvoru?
h=
v2 − h0 = 19,9 cm 2g
obr. 53 11.4.16. Přístroj umožňující vytékání kapaliny z nádoby s konstantní rychlostí je zobrazen na obr. 54 (tzv. Mariottova láhev). Určete rychlost v proudění kapaliny v tomto případě, jestliže známe vzdálenost h.
v = 2 gh
obr. 54 128
11.4.17. Ve svislé válcové nádobě je nalita voda do výšky h = 80 cm. Ve stěně nádoby jsou dva otvory nad sebou a proudy vody, které z nich tryskají, dopadají na totéž místo vodorovné roviny, na níž stojí nádoba. V jaké výšce h2 je druhý otvor, je-li první ve výšce h1 = 20 cm?
h2 = h – hl = 60 cm
11.4.18. Krychle o hraně a je naplněna až po okraj vodou. V jejím dně je otvor o průřezu S. Za jakou dobu t vyteče voda z krychle?
t=
2a 3 S ⋅ 2 ga
11.4.19. Na vozíku stojí válcová nádoba naplněná vodou do výšky h = 1 m. V nádobě jsou proti sobě vyvrtány dva stejné otvory o průřezu S = 10 cm2, jeden ve výšce h1 = 25 cm a druhý ve výšce h2 = 50 cm nad dnem nádoby. Jak velikou silou F a ve kterém směru musíme působit na vozík, aby se nepohyboval, vytéká-li volně oběma otvory voda.
F = 2ρvSg (h2 – hl) = 4,9 N směrem od otvoru ve větší výšce k otvoru v menší výšce
11.4.20. Určete rychlost stacionárního proudění malým otvorem pro ideální kapalinu nacházející se pod tlakem p plynu v uzavřené nádobě (obr. 55), je-li v okolí nádoby barometrický tlak p0. Otvor se nachází ve hloubce h pod hladinou kapaliny a hustota kapaliny je ρ.
v=
2 ⋅ ( p − p0 )
ρ
+ 2hg
obr. 55
129
11.4.21. Průřez vodorovného potrubí se zužuje z S1 = 40 cm2 na S2 = 16 cm2. Rychlost vody v širší části je v1 = 1 m⋅s-1, přičemž manometr v této části ukazuje přetlak p1 = 7500 Pa. Jaký je přetlak p2 v zúžené části potrubí?
2 2 1 2 S 2 − S1 = 4875 Pa p 2 = p1 + ρ v v1 ⋅ 2 S 22
11.4.22. Při měření viskozity vody bylo zjištěno, že kapilárou o délce l = 10 cm a vnitřním průměru d = 1 mm protekl za dobu t = 3 min objem V = 220 cm3 vody, přičemž tlakový rozdíl na koncích kapiláry byl dán vodním sloupcem o výšce h = 50 cm. Určete dynamickou viskozitu η vody.
η=
πd 4 hρ v gt 128 ⋅ Vl
= 9,84⋅10-4 kg⋅m-1⋅s-1
11.4.23. Určete konečnou rychlost pádu dešťové kapky, je-li její poloměr r = 0,5 mm a dynamická viskozita vzduchu η = 1,8⋅10-5 kg⋅m-1⋅s-1. Vztlak vzduchu zanedbejte.
2 ρ v gr 2 v= = 30,3 m⋅s-1 9η
11.4.24. Korková kulička o poloměru r = 2 mm a hustotě ρK = 300 kg.m-3 je upevněna na dně nádrže s vodou. Jakou mezní rychlostí v bude kulička vystupovat, jestliže ji uvolníme? Dynamická viskozita vody je η = 1,1⋅10-3 kg⋅m-1⋅s-1.
v=
2r 2 g ⋅ ( ρ v − ρ K ) = 5,55 m⋅s-1 9η
11.4.25. Jak velký objem V glycerínu proteče za dobu t = 10 min trubicí o poloměru r = 2 mm a délky l = 20 cm při přetlaku na koncích trubice p = 5⋅104 Pa? Dynamická viskozita glycerínu je η = 1,2 kg⋅m-1⋅s-1.
V=
πr 4 pt = 0,785 l 8ηl
130
