HYDROMECHANIKA
HYDROSTATIKA základní zákony hydrostatiky Část 3 Literatura : Otakar Maštovský; HYDROMECHANIKA Jaromír Noskijevič, MECHANIKA TEKUTIN František Šob; HYDROMECHANIKA
Hydrostatika - obsah Základny hydrostatiky Definice hydrostatického problému Orientace plochy Příklady kde je využívána hydrostatika v praxi Šíření tlaku v kapalině - Pascalův zákon Eulerova rovnice hydrostatiky - rovnice rovnováhy Přírůstek tlaku v kapalině, tlakové plochy, hladina Aplikace hydrostatických zákonů Nestlačitelná kapalina za působení zemské tíže. Stlačitelná kapalina za působení zemské tíže. Hydraulický lis Hydrostatika v relativním prostoru Konec
•1
Hydrostatika Čím se budeme v hydrostatice zabývat? V hydrostatice se budeme zabývat kapalinou, která je v klidu. To je kapalinou, jejíž částice se nepohybují vůči sobě a vůči stěnám nádoby. Síly působící na element kapaliny. Hmotnostní síly (Objemové síly) Gravitační síla
dFG = g ⋅ ρ ⋅ dV
Setrvačná síla
dFSE = A ⋅ ρ ⋅ dV
Plošné síly pouze ve směru normály k ploše - není tam vzájemný pohyb.
dFS = p ⋅ dS Orientace plochy????
Obsah
Poznámka Orientace plochy aneb plocha jako vektor a její složky
n = (n x , n y , n z ) = (cos ϕ, sin ϕ, 0 ) n = n 2x + n 2y + n 2z = 1 S = a⋅b
S = a ⋅ b ⋅n Sx = a ⋅ b ⋅ n x = a ⋅ b ⋅ cos ϕ
Sy = a ⋅ b ⋅ n y = a ⋅ b ⋅ sin ϕ
Sz = a ⋅ b ⋅ n z = a ⋅ b ⋅ 0 = 0
Obsah
•2
Příklady z praxe
Hydraulický píst na ovládání rozváděcích lopatek turbíny.
Obsah
Příklady z praxe Rozváděcí lopatky oběžného kola kaplanovy turbíny
Obsah
•3
Příklady z praxe
Obsah
Příklady z praxe
Obsah
•4
Příklady z praxe
Obsah
Příklady z praxe
Obsah
•5
Hydrostatika--Pascalův zákon Hydrostatika Je-li kapalina v hydrostatické rovnováze pak se tlak v kapalině šíři všemi směry stejně.
Blaise Pascal (1623-1662)
Silová rovnováha ve směru x :
p x ⋅ dy ⋅ dz = p ⋅ dl ⋅ dz ⋅ sin α p x ⋅ Sx = p ⋅ S x
y :
p y ⋅ dx ⋅ dz = p ⋅ dl ⋅ dz ⋅ cos α p y ⋅ Sy = p ⋅ S y
p = px = py = pz
Obsah
Hydrostatika--Eulerova rovnice hydrostatiky Hydrostatika Euler Leonardo (1707-1783) Eulerova rovnice hydrostatiky vyjadřuje rovnováhu sil působících na makroskopickou částici, za předpokladu, že kapalina se nachází hydrostatické rovnováze Odvození:
Obsah
•6
Hydrostatika--Eulerova rovnice hydrostatiky Hydrostatika Ve složkách: ve směru x:
Ax −
1 ∂p =0 ρ ∂x
ve směru y:
Ay −
1 ∂p =0 ρ ∂y
ve směru z:
Az −
1 ∂p =0 ρ ∂z
Vektorově:
1 A − grad ( p) = 0 ρ Obsah
Hydrostatika--Přírůstek tlaku v kapalině Hydrostatika Přírůstek tlaku můžeme vyjádřit obecně platnou diferenciální rovnicí:
dp = grad (p ).dl Eulerova rovnice hydrostatiky (ERHS)
1 A − grad ( p) = 0 ρ Po dosazení z ERHS dostaneme obecnou diferenciální rovnici funkce tlaku
dp = ρA.dl Integrací pak dostáváme funkci tlaku
p = ∫ ρA.dl = ∫ ρ(A x .dx + A y .dy + A z .dz ) l
l
Obsah
•7
Hydrostatika--Tlakové hladiny Hydrostatika Tlaková hladina je plocha, kde je tlak konstantní. Platí pro ni tato diferenciální rovnice:
ρA.dl = 0 Objemové zrychlení (objemová jednotková síla) je na tlakovou hladinu kolmé
A⊥dl
Konkrétní tlakovou hladinu dostaneme z tlakové funkce.
p = ∫ ρA.dl = ∫ ρ(A x .dx + A y .dy + A z .dz ) l
l
Dosadíme konkrétní tlak Co je to hladina? Obsah
Hydrostatika--Přírůstek tlaku v kapalině Hydrostatika Nestlačitelná kapalina v klidu za působení zemské tíže Přírůstek tlaku můžeme vyjádřit již zmiňovanou rovnicí:
dp = ρ ⋅ Adl A(0 ; − g ; 0 )
dl(dx ; dy ; dz ) dp = −ρ ⋅ gdy Po integraci
p = −ρ ⋅ gy + C
Okrajové podmínky
y = y0
p = p0
p = p0 + ρ ⋅ gh p h = ρ ⋅ gh Obsah
•8
Hydrostatika--Přírůstek tlaku v kapalině Hydrostatika Nestlačitelná kapalina v klidu za působení zemské tíže Jak to bude vypadat, když budeme mít dvě kapaliny, které se vzájemně nebudou mísit?
p = p0 + ρ1 ⋅ g ⋅ h1 + ρ2 ⋅ g ⋅ h p h = ρ1 ⋅ g ⋅ h1 + ρ 2 ⋅ g ⋅ h Obsah
Hydrostatika--Přírůstek tlaku v kapalině Hydrostatika Stlačitelná kapalina v klidu za působení zemské tíže Musíme nejdříve vyjádřit závislost hustoty na tlaku. Vycházíme ze vztahu při definici modulu objemové pružnosti:
dρ dp = ρ K
Předpoklad K=konst.
Po integraci, s uvážením okrajové podmínky že pro p=p0, ρ= ρ0
ρ = ρ 0e
p − p0 K
Přírůstek tlaku je dán diferenciální rovnicí
dp = −ρ ⋅ g ⋅ dy = −ρ0 ⋅ g ⋅ dy ⋅ e e
−
p − p0 K
p − p0 K
dp = −ρ0 ⋅ g ⋅ dy Obsah
•9
Hydrostatika--Přírůstek tlaku v kapalině Hydrostatika Stlačitelná kapalina v klidu za působení zemské tíže Tuto rovnici budeme integrovat:
− K⋅e
−
p − p0 K
= −ρ0 ⋅ g ⋅ y + C
S uvážením okrajové podmínky že pro y=y0 je p=p0, dostaneme výsledný vztah:
ρ ⋅g⋅h p = p0 − K ⋅ ln1 − 0 K Zkusme srovnat tlak vody v hloubce 1000 m bez uvažování stlačitelnost a s uvažováním stlačitelnosti. Modul objemové stlačitelnosti při t=20°C, K=2,36.109 . a) nestlačitelná kapalina
ph = 10 000 000 Pa = 10 MPa
b) stlačitelná kapalina
ph = 10 021 246 Pa = 10, 021246 MPa
Rozdíl je 21 246,5 Pa to odpovídá hloubce 2,1 m Rozdíl při 2000 m odpovídá tlaku 8,5 m vodníhosloupce Obsah
Hydrostatika--Pascalův zákon a hydraulický lis Hydrostatika U hydraulických lisů můžeme hmotnostní síly zanedbat vůči silám plošným.
FO << F∆S Předpokládáme-li že ρ = konst., pak Eulerova rovnice hydrostatiky má tvar:
grad ( p) = 0 Ztoho vyplývá, že p= konst. Pak platí:
p=
F1 F2 = S1 S2
F2 = F1
S2 S1 Obsah
•10
Hydrostatika - Relativní prostor rovnoměrně zrychlený/zpomalený ve vodorovném směru rovnoměrně zrychlený/zpomalený ve svislém směru Rotující nádoba
Obsah
Hydrostatika - Relativní prostor Rovnoměrně zrychlený/zpomalený ve vodorovném směru
dp = ρ ⋅ Adl A (a ; − g ; 0 )
dl(dx ; dy ; dz )
Obsah
•11
Hydrostatika - Relativní prostor Rovnoměrně zrychlený/zpomalený ve svislém směru
dp = ρ ⋅ Adl A (0 ; ± a − g ; 0 )
dl(dx ; dy ; dz )
Obsah
Hydrostatika – relativní prostor – rotující nádoba
Nádoba je v klidu. Známe: poloměr R, výšku hladiny v nádobě h0, výšku nádoby Hv
Obsah
•12
Hydrostatika – relativní prostor – rotující nádoba
Nádoba rotuje konstantní úhlovou rychlostí. Známe: úhlovou rychlost w Hledáme: tvar hladiny, vztah pro určení tlaku v nádobě.
Obsah
Hydrostatika – relativní prostor – rotující nádoba
Vycházíme ze vztahu pro přírůstek tlaku v kapalině
dp = ρ ⋅ A ⋅ dl
A (rω2 , − g )
dl (dr , dy )
Obsah
•13
Hydrostatika – relativní prostor – rotující nádoba
Vycházíme ze vztahu pro přírůstek tlaku v kapalině
dp = ρ ⋅ A ⋅ dl
A (rω2 , − g )
dl (dr , dy )
Po dosazení a integraci
p = ρ ⋅ ∫ (rω2dr − gdy )
p = ρ⋅
r 2ω2 −ρ⋅g⋅y + C 2
Obsah
Hydrostatika – relativní prostor – rotující nádoba
Vycházíme ze vztahu pro přírůstek tlaku v kapalině
dp = ρ ⋅ A ⋅ dl
A (rω2 , − g )
dl (dr , dy )
Po dosazení a integraci
p = ρ ⋅ ∫ (rω2dr − gdy ) p = ρ⋅
r 2ω2 −ρ⋅g⋅y + C 2
Jak určíme integrační konstantu?
Obsah
•14
Hydrostatika – relativní prostor – rotující nádoba p = ρ⋅
r 2ω2 −ρ⋅g⋅y + C 2
Určení integrační konstanty C. Víme že pro
r=0
y = y0
platí
p = pa
Obsah
Hydrostatika – relativní prostor – rotující nádoba p = ρ⋅
r 2ω2 −ρ⋅g⋅y + C 2
Určení integrační konstanty C. Víme že pro
r=0
y = y0
platí
p = pa pak
C = pa + ρ ⋅ g ⋅ y0
Obsah
•15
Hydrostatika – relativní prostor – rotující nádoba p = ρ⋅
r 2ω2 −ρ⋅g⋅y + C 2
Určení integrační konstanty C. Víme že pro
r=0
y = y0
platí
p = pa pak
C = pa + ρ ⋅ g ⋅ y0 a tedy
p = pa + ρ ⋅
r 2 ω2 + ρ ⋅ g ⋅ (y 0 − y ) 2
Obsah
Hydrostatika – relativní prostor – rotující nádoba Jak určíme velikost y0? Určíme ho z rovnosti objemů.
Obsah
•16
Hydrostatika – relativní prostor – rotující nádoba Nejdříve určíme objem VI
V = π.R 2 .h
Obsah
Hydrostatika – relativní prostor – rotující nádoba Nejdříve určíme objem VI
VI = π.R 2 .h Objem VII R 2π 2
VII = ∫ 0
R 2 ω2 πR 2 r ω2 rd dr ϕ = ∫0 2 ⋅ g 2⋅g 2
Obsah
•17
Hydrostatika – relativní prostor – rotující nádoba Nejdříve určíme objem VI
VI = π.R 2 .h Objem VII R 2π 2
VII = ∫ 0
R 2 ω2 πR 2 r ω2 rd dr ϕ = ∫0 2 ⋅ g 2⋅g 2
Srovnáním dostaneme
h=
R 2 ω2 4⋅g
y0 = h 0 − h = h 0 −
R 2 ω2 4⋅g Obsah
Hydrostatika – relativní prostor – rotující nádoba Dále platí:
H=
R 2 ω2 = 2.h 2⋅g
Obsah
•18
Hydrostatika – relativní prostor – rotující nádoba Výsledná rovnice pro přírůstek tlaku v rotující nádobě tedy je:
p = pa + ρ ⋅
ω2 2
2 R2 + ρ ⋅ g ⋅ (h 0 − y ) r − 2
Rovnice hladiny pak je
y = h0 + ρ ⋅
ω2 2 R 2 r − 2.g 2
Obsah
•19
