HYDROMECHANIKA 3. HYDRODYNAMIKA

SPŠ a VOŠ KLADNO

HYDROMECHANIKA

3. HYDRODYNAMIKA Hydrodynamika - část hydromechaniky zabývající se příčinami a důsledky pohybu kapalin

3.1 ZÁKLADY PROUDĚNÍ Stavové veličiny proudění Hustota tekutin Tlak Teplota Rychlost

 [kgm-3] p [Pa] T [K] w [ms-1]

Proud tekutiny Proudnice (proudové čáry) - sledují vlastní tok tekutiny; v každém bodě proudnice je směr rychlosti tekutiny k proudnici tečný

Průtočný profil Průtočná plocha s [m2] - plošný obsah rovinného řezu kolmého na střední proudnici proudové trubice Bodová rychlost

- okamžitá rychlost tekutiny v daném místě průtočné plochy

Průřezová rychlost

- stanovená jako aritmetický střed bodových rychlostí všech částí tekutiny v průtočné ploše. Je ve všech místech průtočné plochy stejně velká a kolmá na průtočnou plochu

-1-

SPŠ a VOŠ KLADNO

HYDROMECHANIKA

Druhy proudění Sledujeme-li spojité (kontinuální) proudění tekutiny v závislosti na čase, rozlišujeme Ustálené (stacionární) proudění - rychlost a tlak tekutiny v daném místě průtočné plochy je stále stejný a nezávislý na čase. V praxi se realizuje při průtoku tekutiny potrubím nebo kanály při stálém zdroji hnací energie proudění Neustálené (nestacionární) proudění – proudění, jehož rychlost a tlak v daném místě průtočné plochy mění v závislosti na čase, tj. mění směr nebo velikost, nebo i směr a velikost proudění. V praxi např. při pulsujícím průtoku tekutiny, u pístových strojů, při otvírání a zavírání potrubí apod. Průtoková rovnice

S [m2]… průtočná plocha w [m.s-1]…průřezová rychlost τ[s]… čas

w

Objemový tok

V 

V





s.l



V



- objem tekutiny protékající průtočnou plochou za čas τ.

 s.w

  V m  objem tekutiny

V m3 s 1 Objemový tok (průtok) 3

S [m2]… průtočná plocha l [m]… délka trubice τ[s]… čas w [m.s-1]…průřezová rychlost



Hmotnostní tok m kgs1



m  V .  s.w.

 kg.m 3 

l

hustota tekutiny

-2-

SPŠ a VOŠ KLADNO

HYDROMECHANIKA

3.2 USTÁLENÝ TOK IDEÁLNÍ TEKUTINY Pohyb tekutin se obecně řídí stejnými zákony jako pohyb těles. Proudění ideální tekutiny vzniká vzájemnou přeměnou mechanické energie Základní rovnice hydrodynamiky - průtoková rovnice - rovnice spojitosti toku (kontinuity) – vyjadřuje zákon o zachování hmoty - Bernoulliho rovnice – vyjadřuje zákon o zachování a přeměně energie 3..2.1 Průtoková rovnice

S [m2]… průtočná plocha w [m.s-1]…průřezová rychlost τ[s]… čas

w

l



Objemový tok V - objem tekutiny protékající průtočnou plochou za čas τ

V 

V





s.l



 s.w

  V m  objem tekutiny

V m3 s 1 Objemový tok (průtok) 3

S [m2]… průtočná plocha l [m]… délka trubice τ[s]… čas w [m.s-1]…průřezová rychlost



Hmotnostní tok m kgs1



m  V .  s.w.

 kg.m 3 

hustota tekutiny

-3-

SPŠ a VOŠ KLADNO

HYDROMECHANIKA

3.2.2 Rovnice spojitosti toku (kontinuity) Zákon o zachování hmoty: hmotnostní tok je ve všech průřezech stejný

m 1  m 2  m  konst .S1.w1  .S 2 .w2  .S.w  konst S1.w1  S 2 .w2  konst. V 1  V 2  konst. 3.2.3 Bernoulliho pohybová rovnice vyjadřuje zákon o zachování mechanické energie pro proudící kapalinu. Proudící kapalina má v různých místech proudové trubice různou energii polohovou (tíhovou), kinetickou a tlakovou. Jejich součet ve všech průtočných průřezech je stejný. Jeden druh energie se přeměňuje v jiný Polohová (tíhová) energie – závisí na hmotnosti tekutiny m a geodetické výšce h od srovnávací hladiny Eg  m.g.h

Kinetická energie pohybu (posuvného a rotačního) kaliny: 1 1 m.w 2  I . 2 2 2 Při pohybu částic tekutiny je kinetická energie rotačního pohybu zanedbatelná, proto E k  E kp  E kr 

1 E k  m.w 2 2

Tlaková energie Práce síly F W  Fp .l  p.S .l  p.V  m.

E p  m.

p



-4-

p



 Ep

SPŠ a VOŠ KLADNO

HYDROMECHANIKA

Bernoulliho rovnice Celková energie proudící kapaliny je ve všech průtočných průřezech stejná w2 p2

Em1  Em 2  konst. Eg1  E p1  Ek1  Eg 2  E p 2  Ek 2 p1

h2

w1

h1

p1

B.r. ve formě tlaků:

.g.h1  p1 

.w12

 .g.h2  p2 

.g.h  ph

2 hydrostatický tlak

p  pv

vnější tlak

.

.w2 2 2

, kde

2

w  pd 2

dynamický tlak

B.r. ve formě výšek - po úpravě předchozí B.r. /:(.g ) 2 2 p w p w h1  1  1  h2  2  2 , kde  .g 2.g 2.g 2.g h  hg geodetická výška

p  hp  .g

tlaková výška

w2  hd 2.g

rychlostní výška

2

w p w m.g.h1  m.  m. 1  m.g.h2  m. 2  m. 2  2  2  B.r. pro průtok 1 kg tekutiny 2 2 p w p w g.h1  1  1  g.h2  2  2 /.   2  2

-5-

2

/:m

SPŠ a VOŠ KLADNO

HYDROMECHANIKA

3.3 USTÁLENÝ TOK SKUTEČNÝCH KAPALIN Proudění skutečných (vazkých) tekutin je vždy provázeno - ztrátami mechanické energie (část se jí vlivem tření a víření mění v tepelnou energii, kterou již zpět nedokážeme proměnit) - odporem proti pohybu 3.3.1 Vazkost tekutin Vazkost = vnitřní tření kapaliny - působí proti jejímu pohybu Při pohybu vznikají následkem vazkosti uvnitř kapaliny tečné síly mezi jednotlivými vrstvami a tedy i tečná napětí Rychlost proudění přechází spojitě od nuly (u stěny) po maximální hodnotu v ose potrubí τ

 Pa  kgm1s 1 



w kgm1s 1 ym

Mírou vazkosti kapalin je dynamická viskozita 



Newtonův zákon viskozity: w , kde   y tečné napětí mezi sousedními vrstvami dynamická viskozita přírůstek rychlosti mezi sousedními vrstvami kapaliny vzdálenost sousedních vrstev

Kinematická viskozita



 , kde  kinematické viskozita (voda:   106 m2 s 1 )  m 2 s 1  hustota kapaliny  kg.m3 



-6-

SPŠ a VOŠ KLADNO

HYDROMECHANIKA

3.3.2 Proudění skutečné tekutiny Velikost hydraulických odporů (ztrát) závisí na režimu proudění v potrubí, který může být laminární nebo turbulentní. Kritériem je Reynoldsovo číslo Re

Re 

ideální turbulentní laminární

w.d

 Re kr  2300 - kritické Reynoldsovo číslo – při něm přechází laminární proudění v turbulentní Laminární (vláknové) proudění wL max  2wid Turbulentní proudění wT max  1,2wid

wid wmax turb wmax lam

Re Re kr

Re Re kr

Re  2300  10000 … přechodová oblast Re10000 … v celé trubici turbulentní proudění

3.3.3 Hydraulické ztráty - ztráty způsobené třením tekutiny o stěny potrubí - ztráty způsobené vířením tekutiny při průtoku jednotlivými částmi potrubí Ztráty způsobené třením tekutiny o stěny potrubí

w

1

Ød

pzt  p2id  p2  p1  p2

2

p2 pzt p2id

p1

L 

T 

64 … laminární proudění Re

0,3164 4

Re

… turbulentní

l l w2 pd   . d d 2g

p zt Pa 

l

p

pzt  

tlaková ztráta třením tekutiny o stěny potrubí

w2

Pa  dynamický tlak 2  1 odporový součinitel – závisí na režimu proudění pd 

l m

délka potrubí

d m

vnitřní průměr potrubí

 kgm3 



w ms 1 -7-



hustota tekutiny průřezová rychlost tekutiny

SPŠ a VOŠ KLADNO

HYDROMECHANIKA

Ztrátu energie lze vyjádřit rovněž ztrátovou výškou, případně měrnou ztrátovou energií Ztrátová výška hzt

p zt l w2  g d 2 Měrná ztrátová energie p l w2 ezt  zt  . . Jkg 1  d 2 hzt 





Místní ztráty - vznikají v jednotlivých částech potrubí rušením pravidelného proudění místnímu vlivy (tvoření vírů při obtékání překážek, při změně průřezu potrubí, změně směru proudění atd.) Místní tlaková ztráta p zm w2 p zm   . pd   . , kde 2 součinitel místní ztráty  3  kgm …hustota tekutiny

  wms  … průřezová rychlost tekutiny 1

w2

Pa  …dynamický tlak 2 Součinitelé místních ztrát pd 

Místní ztrátová výška hzm

pzm w2  g 2g Měrná místní ztrátová energie p zm w2 ezm   .  2 hzm 

Celková tlaková ztráta v potrubí

p z  p zi  p zti  p zmi pz  

li w2 w2  i    i  di 2 2

l w2 (i i  i ) 2 di

-8-

SPŠ a VOŠ KLADNO

HYDROMECHANIKA

3.3.4 Pohybová Bernoulliho rovnice pro skutečné kapaliny Zahrnujeme do ní ztracenou energii ve výstupním průřezu 2 2 p1 w1 p2 w2 g.h1    g.h2    ez  2  2 B.r. ve tvaru tlaků  .w12  .w2 2  .g.h1  p1    .g.h2  p2   pz 2 2 B.r. ve tvaru výšek 2 2 p w p w h1  1  1  h2  2  2  hz  .g 2.g 2.g 2.g

3.4 USTÁLENÝ VÝTOK KAPALINY Nastává tehdy, jestliže z nádoby vytéká tolik kapaliny, jako do ní přitéká. Volná hladina je stále ve stejné výši 3.4.1 Výtok kapaliny otvorem ve dně nádoby a) Výtok ideální tekutiny (beze ztrát)

p1=pb d1

B.r. pro 1 – 2 2 w p1 w1 p h1    0  2  2id  .g 2 g  .g 2 g

1

Pro w1  0 p1  p2  pb  w2id  Ideální objemový výtok

h1

V  S .w2id

d2

w2

2 p2=pb

-9-

V

2 gh

SPŠ a VOŠ KLADNO

HYDROMECHANIKA

b) Výtok skutečné kapaliny se ztrátami d0

wskut  wid

w  .wid , kde  1 … rychlostní součinitel (závisí na tvaru výtokového otvoru a na vazkosti kapaliny)

d s0 s

Při výtoku dochází vlivem setrvačnosti k zúžení (kontrakci) proudu, což vyjadřuje součinitel kontrakce ε S d2   2 S0 dO Celkově lze vyjádřit vliv vnitřního tření v kapalině na zmenšení rychlosti i vliv tvaru výtokového otvoru tzv. výtokovým součinitelem μ V    .   Vid

Skutečný objemový tok

V  .Vid  .S.wid

3.4.2 Výtok kapaliny malým otvorem v boční stěně

pb

wT

wT

hT h2

h1

p1  p2  pb widy  2 g. y ideální výtoková rychlost v hloubce y (rovnice paraboly) Střední výtoková rychlost wid  2 g.hT

pb wmax

Skutečný objemový tok V  .Vid  .S.wid

3.4.3 Výtok kapaliny ponořeným otvorem

s w

V  .S.wid h2

h1

h

wid  2.g.h

- 10 -

SPŠ a VOŠ KLADNO

HYDROMECHANIKA

3.4.4.Výtok kapaliny velkým otvorem – přepad přes jez

V  .Vid  .S.wids kde wids je střední ideální výtoková rychlost

ws

h

Určí se z rovnosti obsahu parabolické 2 úseče S p  h.widh a obdélníku 3 S o  h.wids 2 h.widh  h.wids  3

wh

b

2 2 wids  widh  2.g.h 3 3 Objemový tok skutečné kapaliny 2 V  .S .wids  .S . widh 3 Pozn. Při výtoku skutečné kapaliny není rychlost u hladiny samozřejmě nulová. Vlivem tření není průběh rychlosti přesně parabolický a v určité vzdálenosti před jezem dochází ke snížení hladiny 3.4.5 Výtok kapaliny velkým otvorem pod hladinou v boční stěně

h2

Řešíme tak, jako by šlo o rozdíl výtoku dvěma velkými otvory dosahujícími až k hladině

wh2

V  V 1  V 2 

2 2 .S1 . 2.g.h1  .S 2 . 2.g.h2 3 3

2 2 2 3 3 V  ..b.h1. 2.g.h1  ..b.h2 . 2.g.h2  .b. 2 g (h1  h2 ) 3 3 3

wh1

Je-li otvor umístěn v dostatečné hloubce, lze Vτ určit s vyhovující přesností ze střední výtokové rychlosti v těžišti otvoru

- 11 -

SPŠ a VOŠ KLADNO

HYDROMECHANIKA

3.5. DYNAMICKÉ ÚČINKY PROUDU KAPALINY -projevují se působením sil na těleso, kolem jehož stěn kapalina proudí Z mechaniky tuhých těles: Věta o změně hybnosti Ft  m(v  v0 ) I  H Proudící kapalina Vztah mezi impulsem síly a změnou hybnosti kapaliny (1)

F  mw  H m.w F  m w  V  .w  w.S . .w   .S .w2  H - průtoková hybnost (hybnost



kapaliny, která proteče rychlostí w kontrolním průřezem za 1s

H   kg.m 3 .m2 .m2 .s 2  kg.m.s 2  N Průtoková hybnost má fyzikální význam a jednotku síly Zákon akce a reakce F  FR Síla působící z tělesa na kapalinu Síla, kterou působí kapalina na těleso

Věta o změně průtokové hybnosti I F  H  H 2  H1 FR .  m.(w2  w1 ) /:τ

FR  m (w2  w1 )   F

Odtud F   FR  m (w1  w2 )

síla, kterou působí kapalina na těleso

Změna průtokové hybnosti daná (vektorovým) rozdílem průtokové hybnosti tekutiny, jež kontrolní plochu opouští a tekutiny, která do ní vstupuje, je rovna výslednici vnějších sil působících na tekutinu v kontrolní ploše

Věta o změně momentu průtokové hybnosti

M R  M H  M H 2  M H 1  H 2 .r2  H 1.r1  M F

- 12 -

SPŠ a VOŠ KLADNO

HYDROMECHANIKA

3.5.1 Proudový motor

Předpoklad: p1  p2  po … tlak okolí m 1  m 2  m

F   FR  H  H 1  H 2 F   FR  m (w1  w2 ) 3.5.2 Výtok z uzavřené nádoby (raketový motor)

F   FR  H  H 1  H 2 , kde H 1 = 0 F   FR  m .w   .S.w2

3.5.3 Působení proudu na nehybnou desku (předpoklad úplného odklonu proudu)

x: F   FR  H 1  0  m .w1  Sw1

2

Hybnost je vektorová veličina, počítáme tedy s její složkou ve směru působící síly Kontrolní plocha – na vstupu i výstupu je stejný tlak

- 13 -

SPŠ a VOŠ KLADNO

HYDROMECHANIKA

3.5.4 Pohybující se deska (lopatka vodní kolo kola) u … unášivá rychlost desky w … relativní rychlost tekutiny vzhledem k desce c … absolutní rychlost tekutiny vzhledem k pevnému bodu v okolí

H  .S.w2 je relativní průtoková hybnost    c  wu w1  c  u x: F   FR  H 1  0  m .w1  m (c  u) , kde

Vodní kolo Teoretický výkon P  F .u  m (c  u).u Pmax při u 

c 2

c c c c2 Pmax  F .  m (c  ).  m . 2 2 2 4 Teoreticky dosažitelná účinnost: c2 m . P 4  0,5  50 0   max  0 , kde c2 Ppř m . 2

Ppř 

Ek





m.c 2 c2  m . …příkon (pohybová en. proudu 2. 2 kapaliny za 1s)

3.5.5 Nehybná zakřivená deska Fx   FR  H 1. cos   H 2 . cos   2..S.w2 . cos 

V případě, že   0 Fx  2. .S.w2 , to znamená, že síla při úplném obrácení proudu je oproti rovinné desce dvojnásobná. Toho se využívá u lopatky peltonovy turbíny

- 14 -

SPŠ a VOŠ KLADNO

HYDROMECHANIKA

3.5.6 Peltoltonova lopatka a) V klidu c1  c2  c F  H  H 1  Hx 2  m .c  2

m c. cos  2

F  m .c(1  cos  ) b) Pohyb lopatky unášivou rychlostí u

F  H  m .w(1  cos  )  m .(c  u ).(1  cos  )

Výkon peltonovy turbíny

P  F .u  m (c  u).(1  cos  ).u c Max.výkon při u  ,   0 2 Účinnost peltonovy turbíny c2 m . P 2  1  100 0 teor  max  0 c2 Ppř m . 2

c c Pmax id  m .(c  )(1  1). 2 2 2 c Pmax id  m . 2

3.5.7 Proudění rotujícím kanálem Hydrodynamická síla působící na lopatku vyvolává moment – moment průtokové hybnosti Výsledný moment je dán rozdílem momentů průtokových hybností na vstupu a výstupu

M  M H1  M H 2 MH1, MH2 ... momenty průtokové hybnosti na vstupu (poloměru r1) a výstupu (poloměru r2 ) . Tyto momenty jsou dány součinem poloměru a složky vektoru průtokové hybnosti do směru kolmého na poloměr, tj. do směru obvodové rychlosti u (při respektování účinku vší proteklé vody)

- 15 -

SPŠ a VOŠ KLADNO

HYDROMECHANIKA

M  m cu1r1 r1  m cu 2 r2 Pracovní rovnice turbíny – první turbínová věta (Eulerova)

M  m (cu1r1  cu 2 r2 ) /.

P  M .  m (cu1u1  cu 2 u2 ) 



Y  gH J .kg 1 H



W





mgH



 m .Y

ideální výkon turbíny, kde

měrná energie a

P 1  (cu1u1  cu 2 u2 ) je teoretický spád m g g

Eulerova rovnice platí rovněž pro čerpadla, kde průtok má opačný smysl

P  M .  m (u2cu 2  u1cu1 ) teoretický výkon čerpadla

- 16 -