Tekutiny Tekutiny tekutiny (plyny a kapaliny) se výrazně liší z hlediska vnitřní struktury od pevných látek
Pevná látka
Kapalina
Plyn
molekuly nejsou vázány na neproměnné rovnovážné polohy, ale mohou se vzájemně volně posouvat (tekutiny jsou tvarově nestálé) •
viskozita (odpor proti změně tvaru) se projevuje pouze při pohybu
•
kapaliny a plyny se navzájem liší stlačitelností a rozpínavostí
•
u plynu lze velmi snadno měnit tvar i objem (plyny se snaží vyplnit celý uzavřený prostor – nevytváří volnou hladinu)
Kapaliny Kapaliny nízká viskozita způsobuje tvarovou nestálost (tvar je dán tvarem nádoby) kapaliny jsou velmi málo stlačitelné (κ =
10-8-10-10
Pa-1)
κ=−
1 dV V dp
ve statickém stavu u izotropních tekutin neexistují smyková napětí pouze normálová (tlaková) napětí
úkolem hydromechaniky je určit tlak p, hustotu ρ a rychlost v proudění, jako funkce polohy a času
Charakteristiky proudění Laminární proudění - proudová vlákna probíhají rovnoběžně a nemísí se - rozložení rychlosti je parabolické
Turbulentní proudění - při určité kritické rychlosti začne převládat rušivý vliv vírů - proudová vlákna se mísí
Charakteristiky proudění vx v y vz = = dx dy dz
Proudočáry: - mají směr vektoru rychlosti v daném časovém okamžiku - můžeme pomocí nich graficky znázornit velikost toku - v závislosti na typu proudění mohou být otevřené i uzavřené křivky
Proudová trubice: - myšlené trubice, jejichž stěny jsou tvořeny sousedícími proudočárami. - v ustáleném laminárním proudění zůstávají proudové trubice konstantní jak v prostoru tak v čase proudová trubice
Charakteristiky vektorových polí proudočáry mohou vznikat i zanikat. O jejich přírůstku nebo úbytku nás informuje divergence vektoru rychlosti. divergence – výtok vektoru z objemového elementu jednotkové velikosti r • Tok vektoru uzavřenou plochou: r r N = ∫ v dΩ ∆Ω
tok můžeme charakterizovat počtem proudočar
N>0 … vytéká více než vtéká (zřídla toku) N<0 … vytéká méně než vtéká (propady toku) N=0 … stejný vtok i výtok
r div v = 0 proudění nezřídlové
r div v ≠ 0
r 1 div v = lim ∆V → 0 ∆ V
r dN v d Ω = ∫ dV ∆Ω
Divergence vyjadřuje to, zda dané vektorové pole (např. pole rychlosti proudící kapaliny, elektromagnetické pole,…) obsahuje v daném místě zdroje či úbytky toku dané veličiny Umožňuje určit tok daného vektorového pole ve specifikovaném objemu, např. hmotnostní průtok kapaliny
Charakteristiky vektorových polí Tok vektoru ve směru y: dN y = dv y ⋅ d Ω y =
∂v y ∂y
dy d x d z =
x3 ≡ z
∂v y ∂y
dV
r v
dV
v y + dv y
vy
x2 ≡ y
Celkový tok vektoru v objemu dV:
x1 ≡ x
⎛ ∂v ∂v y ∂vz ⎞ r ⎟⎟dV = div v d V dN = dN x + dN y + dN z = ⎜⎜ x + + ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠
Divergence vektorového pole: ∂v y
r r ⎛ d r ⎞ ⎛ ∂v ∂v ⎞ + z ⎟⎟ div v = (∇ ⋅ v ) = ⎜ r ⋅ v ⎟ = ⎜⎜ x + ∂z ⎠ ∂y ⎝ d r ⎠ ⎝ ∂x
- výsledkem této diferenciální operace je skalár (číslo)
Gaussova věta:
∫( Ω
∫
Ω
)
r r r v ⋅ dΩ = ∫ div v dV V
r S dΩ = ∫ grad S dV V
Charakteristiky vektorových polí jestliže některé proudočáry jsou uzavřené křivky, pak jde o tzv. vírový pohyb vírový pohyb je možno charakterizovat rotací rychlosti: r r ⎡ d r⎤ rot v = [∇ × v ] = ⎢ r × v ⎥ ⎣ dr ⎦
r drT r r d rot vT = rot = (rot rT ) = 0 dt dt
Stokesova věta:
r r r r r r r rot v = rot vT + rot [ω × r ] = rot [ω × r ] = 2ω
∫
rotace rychlosti jednoho bodu kontinua
r r rot v = 0
r r ω=0
Ω
vírový pohyb
r r r r rot V dΩ = ∫ V dr Γ
Gradient skalární funkce Gradient skalární funkce:
dS ⎛ ∂S ∂S ∂S ⎞ grad S = ∇ ⋅ S = r = ⎜⎜ , , ⎟⎟ dr ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠
• výsledkem této diferenciální operace je vektor Gradient vyjadřuje vektor směru maximální prostorové změny skalární veličiny S, tj. směr, kterým nám v daném místě prostoru daná veličina (např.teplota) nejvíce narůstá
z = f ( x, y ) = x ⋅ e − ( x
2
+ y2 )
Hydromechanika Tlaková síla v kapalině u kapalin v klidu neexistují smyková napětí (pouze normálová tlaková napětí) tlak v kapalině působí všesměrně tlaková síla na zvolenou plochu poté působí vždy kolmo a proti směru vnější normály k ploše
r dn
r r r dFp = − p dS = − pn ⋅ dS
p=
dFp dS
r dFp dS ∆V
Hydromechanika Vnitřní tření - viskozita kapalin tečné napětí mezi vrstvami proudící kapaliny je úměrné rychlostnímu gradientu
τ yx = η
Newtonovská kapalina
dv x dy
y + dy y
v + dv v
vnitřní tření způsobuje ztrátu mechanické (tlakové) energie proudící kapaliny tlakové ztráty závisí na viskozitě, rychlosti a typu proudění, průřezu potrubí
viskózní síla v kapalině
∆=∇
2
τ yx
Fyx = τ yx S = Sη
dv x dy
∂τ yx
d 2vx ∂ ⎛ dv x ⎞ ⎟⎟ dy = dV η 2 dFyx = S dy = S ⎜⎜ η dy ∂y ∂y ⎝ dy ⎠
r r r r r dFv = dFx + dFy + dFz = dV η ∆v
Hydromechanika Ideální kapalina nestlačitelná kapalina s nulovou viskozitou
dFv = 0 κ = 0
stlačitelnost reálných kapalin je velmi nízká, za běžných tlaků jsou téměř nestlačitelné v praxi lze též často u některých velmi málo viskózních kapalin zanedbat vnitřní tření (např. voda, líh,…) takovéto kapaliny lze za určitých podmínek považovat za ideální
med η =3000•103 [kgs-2]
voda η =1•103 [kgs-2]
Základní rovnice hydromechaniky Rovnice kontinuity:
dm =0 dt
-
vyjadřuje zákon zachování hmoty
-
úbytek hmotnosti, ke kterému v objemu ∆V dojde za časovou jednotku, r je roven toku hmotnosti přes povrch ∆Ω objemu ∆V dS r r r r d m = ρ dV = ρ dS ⋅ v dS = n ⋅ dS r v r r ∂ ∂ρ dS m = ∫∫ ρ v dS m = − ∫ ρ dV = − ∫ dV ∆V ∂t ∂t ∆V ∆S ∆V
hmotnostní tok kapaliny za jednotku času v objemu ∆V
- použitím Gaussovy věty získáme
r r r ∂ρ ρ v d S = div ρ v d V = − dV ∫∫ ∫ ∫ t ∂ ∆S ∆V ∆V
rovnice kontinuity
∂ρ r + div ρv = 0 ∂t
Základní rovnice hydromechaniky Rovnice kontinuity pro stacionární proudění nestlačitelné tekutiny: ∂ρ =0 ∂t
∫ (
r div ρv = 0
∆Ω
dS 3 r n3
- ustálené proudění proudovou trubicí
∫(
S1
) (
) (
)
r r r r r r ρ v ⋅ dS + ∫ ρ v ⋅ d S + ∫ ρ v ⋅ dS = 0 S2
ρ1v1S1 = ρ2v2 S 2
S3
dS1 r n1
)
r r ρv ⋅ dS = 0
r v1
r v3
dS 2 r r n2 v 2
S1 S2
r ( ρ r , t ) = konst. - u nestlačitelné kapaliny: v1S1 = v2 S 2
Pohybová rovnice kapaliny Pohybová rovnice ideální kapaliny: r r r r r r⎤ dv ⎡ ∂v r dM ⋅ a = dM = d M ⎢ + (v ⋅ ∇)v ⎥ = dFO + dFp dt ⎣ ∂t ⎦
r r r ρa = f O + f p
r r v = v ( x(t ), y (t ), z (t ), t ) r r dFO = E dM r r dFp = − p dS = −grad p dV
pohybová rovnice ideální kapaliny
- v případě ideální kapaliny v tíhovém poli: r r ρa = ρg − grad p
Eulerova rovnice
r f p = −grad p r r f O = ρg = −ρ grad ϕ
Pohybová rovnice kapaliny Pohybová rovnice vazké kapaliny: r r r r dv dM = dFO + dFp + dFv dt
r r r r ρa = f O + f p + f v
pohybová rovnice vazké kapaliny
r r dFv = dV η ∆v r r dFO = E dM r r dFp = − p dS = −grad p dV
- v případě vazké kapaliny v tíhovém poli: r r r ρa = ρg − grad p + η∆v
Navier-Stokesova rovnice
r r f v = η∆v r f p = −grad p r r f O = ρg = −ρ grad ϕ
Pohybová rovnice kapaliny Navier-Stokesova rovnice
r r ∂v r r r 1 η r a= + (v ⋅ ∇)v = g − grad p + ∆v ∂t ρ ρ
r r r r r r r r r r ∇ (a ⋅ b ) = (a ∇)b + (b ∇) a + a × (∇ × b ) + b × (∇ × a ) r r 1 r r ( v ∇ ) v = ∇ ( v 2 ) − v × (∇ × v ) 2
r r ∂v r r r 1 η r 1 a= − v × (∇ × v ) = g − grad p − ∇(v 2 ) + ∆v ρ ∂t ρ 2
nevírové proudění
r ∇×v = 0
ustálené proudění
r ∂v =0 ∂t
Hydromechanika Hydrostatika: uvažuje kapalinu v klidu, tj. (nulová rychlost a tření). r ρg = grad p
r v =0
základní rovnice hydrostatiky
p
h
pa
0
r r d p = p − p = ρ g a ∫ ∫ dr = ∫ ρg dz =ρgh
pa r g
h p
hydrostatický tlak
z
nezávisí na tvaru nádoby
• pokud na tekutinu žádné objemové síly nepůsobí (nebo se dají zanedbat): grad p = 0
r fv = 0
r p (r ) = konst.
Pascalův zákon
x
Hydromechanika Hydrostatika: r dF p
tlaková síla působící na elementární plošku v kapalině je: r r r d F p = − p dS = − p n dS
dS
∆V
v tekutině o hustotě ρT je ponořeno pevné těleso hustoty ρP, celkového objemu V a s celkovým povrchem S. Výsledná tlaková síla r Fp = ∫
(
)
r r r − p ⋅ dS = − ∫ grad p dV = − ∫ ρT g dV = − gρT VT
vztlaková síla r Fp
r g
Archimédův zákon
ρP ρT
Hydromechanika Bilance energie při pohybu ideální kapaliny •
ustálené nevírové proudění ideální kapaliny: 2
r r 1 W2 − W1 = A12 = ∫ Fp dr = ∆m(v22 − v12 ) + ∆mg ( y1 − y2 ) 2 1 Fp1 = p1S1 ∆l1
y
r v1
práce tlakových sil Fp 2 = − p 2 S 2
A12 = Fp1∆l1 + Fp 2 ∆l2 = ∆V ( p1 − p2 )
r F p1
∆l 2 S1
r v2
r Fp 2 y1
proudová trubice
y2
1 2 ρv + ρgh + p = konst. 2 Bernoulliho rovnice pro ideální kapalinu
S2
x
Hydromechanika Ustálené nevírové proudění ideální kapaliny: ideální tekutiny jsou nestlačitelné a neexistuje vnitřní tření, tj. η = 0 r r ∂v r r η r 1 1 a= − v × (∇ × v ) = −grad ϕ − grad p − grad (v 2 ) + ∆v ∂t ρ 2 ρ
nevírové proudění
r r r ∂v r a= + (v ⋅ ∇ )v ∂t
r ∇×v = 0
pro ustálené proudění je rovno 0
⎛ p 1 ⎞ grad ⎜⎜ ϕ + + v 2 ⎟⎟ = 0 ρ 2 ⎠ ⎝
Bernoulliho rovnice je bilancí energie
1 2 ρv + ρϕ + p = konst. 2 Bernoulliho rovnice pro ideální kapalinu
Hydromechanika Stabilita plování -výslednice vztlakové síly F a tíhy G tvoří silovou dvojici - pokud se tato dvojice při vychýlení snaží plovoucí těleso navrátit zpět – potom je rovnováha stabilní
Hydraulické stroje r p (r ) = konst.
S1
p=
F1 F2 = S1 S 2
S2
Hydraulický lis
Hydraulické diskové brzdy
Hydromechanika Příklad: (ledovec) Jaká část ledovce je vidět nad hladinou ? Rovnováha sil
Fvz = G
ρl = 917 kg/m3 TITANIC
Vx ρv g = Vρl g ρ ∆V V − Vx = = 1 − l =& 0,11 ⇒ 11 % ρv V V
ρv = 1030 kg/m3
Příklad: (tlak pod mořskou hladinou) Jak hluboko se může ponořit ponorka, jestliže maximální tlaková síla Fmax může být 100 kg na 1 cm2 ? p max
F = max = hmax ρ v g S
hmax =
Fmax =& 970 m ρ v gS
Hydromechanika Příklad: (výtok kapaliny z nádoby malým otvorem ) Bernoulliho rovnice
S1
p1
1 2 1 ρv1 + ρ gh + p1 = ρv 22 + p 2 2 2
v1
h(t )
rovnice kontinuity
ρ
S1v1 = S 2 v 2
S2 v2
výtok
p2
v2 = p1 = p 2
v 2 = 2 gh
S 2 << S1
2ρgh + ( p1 − p 2 ) ⎛ S 22 ⎞ ρ⎜⎜1 − 2 ⎟⎟ ⎝ S1 ⎠
Q = µS 2 v 2 Výtokový součinitel µ<1
Torriceliho vzorec
II′
v2′
dV = − S1dh = µS 2 2 gh dt doba výtoku
t=
− S1 µS 2 2 g
0
∫ h
dh h
=
2 S1 h µS 2 2 g
S2
S 2′
II
Hydromechanika Příklad: (měření průtoku – Venturiho trubice) S1v1 = S 2v2
ρv12 ρv22 + p1 = + p2 2 2
∆h
S1
Tlakový rozdíl
v1
∆p = p1 − p 2 = ρg∆h
Průtoková rychlost
Objemový průtok
v2 =
2 g∆h ⎛ S 22 ⎞ ⎜⎜1 − 2 ⎟⎟ ⎝ S1 ⎠
Q = v2 S 2 = S 2
2 g∆h ⎛ S 22 ⎜⎜1 − 2 ⎝ S1
⎞ ⎟⎟ ⎠
S2 v2
Hydromechanika Příklad: (rozprašovač, vodní vývěva, obtékání těles) vodní vývěva
obtékání křídla
p2 < pa často lze docílit i toho, že tlak v zúženém průřezu je nižší nežli tlak okolní (vytvoří se podtlak) a dochází k nasávání okolního prostředí – princip vodní vývěvy, rozprašovače
rozprašovač
S1v1 = S 2v2
ρv12 ρv22 + p1 = + p2 2 2
S 2 < S1 ⇒ v2 > v1 ⇒
p2 < p1
při náhlém zúžení průřezu dochází ke zvýšení rychlosti a ke snížení tlaku
Hydromechanika Video – Bernoulliho rovnice
Video – vodní sloupec
Povrchové napětí Povrchová fáze v povrchové vrstvě na styku dvou odlišných látek dochází existují nevykompenzované interakční síly (v tloušťce ∼ 10-7 cm) vlastnosti povrchové fáze látky (např.hustota) se mohou významně lišit od obecných objemových vlastností takové látky vytvářejí se kapky kulovitého tvaru
povrch kapaliny se chová jako pružná blána snaží se smrštit na plochu s nejmenším obsahem
vodoměrka
Povrchové napětí na každou molekulu, jejíž vzdálenost je menší nežli poloměr sféry molekulového působení, působí výsledná tlaková síla směřující dovnitř kapaliny povrchová vrstva tedy působí na kapalinu tlakovou silou, která vyvolává tzv.kohézní tlak (řádově v GPa, souvisí se stlačitelností kapalin)
Povrchové napětí Povrchové napětí v povrchové vrstvě vlivem molekulových (kohézních) sil vzniká stav napjatosti, kterou charakterizujeme pomocí povrchových sil, jež působí kolmo k řezu povrchem kapaliny a leží v rovině povrchu v povrchové vrstvě je nahromaděna tzv.povrchová energie W (rozdíl vnitřní potenciální energie molekul na povrchu a uvnitř kapaliny) – práce, kterou je nutno vykonat na zvětšení volného povrchu kapaliny povrchové napětí σ definujeme jako povrchovou sílu σ = dF = dW dl dS působící na jednotkovou délku řezu povrchem kapaliny
[ N/m]
přírůstek povrchové energie blány je roven vykonané práci dW = dA = Fdx = 2σldx = σdS povrchové napětí představuje plošnou hustotu povrchové energie (tj.energie na jednotku plochy povrchové blány)
dl
mýdlová blána
Povrchové napětí Jevy na rozhraní tří prostředí povrchové napětí silně závisí na teplotě (s rostoucí teplotou klesá) a na prostředí, s nímž je kapalina ve styku r r r r F12 + F23 + F13 = 0 rovnováha sil
σ12 cos ϑ12 + σ 23 cos ϑ23 + σ13 = 0 σ12 sin ϑ12 = σ 23 sin ϑ23 σ13 < σ12 + σ 23 kapka se udrží pohromadě – např.parafinový olej na vodní hladině σ23 = 40 N/m σ13 = 74 N/m σ12 = 38 N/m
σ13 > σ12 + σ 23 kapka se roztáhne po povrchu kapaliny – např.olivový olej na vodní hladině σ23 = 33 N/m σ13 = 74 N/m σ12 = 12 N/m
kapka oleje na vodní hladině
Povrchové napětí povrchové síly jsou v rovnováze s reakcí stěny nádoby (podložky), která je kolmá ke stěně vzhledem k neexistenci tečných napětí r r r r F12 + F23 + F13 = 0 σ13 − σ12 cos ϑ = σ13 = σ12 + σ 23 cos ϑ σ 23 Krajní (stykový) úhel - závisí jen na prostředí (rozhraní), která se stýkají sklo-voda-vzduch … ϑ = 8° sklo-rtuť-vzduch … ϑ = 128° dokonale smáčivá kapalina
σ 23 − σ13 ≥ σ12
⇒ ϑ = 0o
dokonale nesmáčivá kapalina
σ13 − σ 23 ≥ σ12
⇒ ϑ = 180 o
Kapka na podložce
σ13 > σ12 ∧ σ 23 > σ13 − σ12
⇒ ϑ< π/2
σ13 < σ12 ∧ σ 23 > σ12 − σ13
⇒ ϑ > π/2
Povrch kapaliny v nádobě
Povrchové napětí Tlak pod zakřiveným povrchem kapaliny při rovinném povrchu vzniká vlivem kohezních (soudržných) sil tzv.kohézní tlak Kapilární tlak: přídavný tlak, který vzniká zakřivením povrchu kapaliny výslednice povrchových sil:
dF = σdl1dα =
pk =
d l 2 = R dα
σdl1dl2 σdS = R R
dF σ = dS R
⎛1 1 ⎞ pk = pk1 + pk 2 = σ⎜⎜ + ⎟⎟ ⎝ R1 R2 ⎠
u obecně zakřiveného povrchu - 2 hlavní normálové řezy A1B1, A2B2
Laplaceův vztah
válcový povrch
Povrchové napětí Tlak se při přechodu z okolí do kapaliny změní o kohézní tlak a přídavný kapilární tlak, způsobený zakřivením povrchu
⎛1 1 ⎞ p = pkoh ± pk = pkoh ± σ⎜⎜ + ⎟⎟ ⎝ R1 R2 ⎠
kapka 2σ pk = r
bublina
p1
p1 < p2
p2
pk =
4σ r
musíme počítat s tím, že bublina má 2 povrchy – vnější a vnitřní v bublině je tedy přetlak
Povrchové napětí Kapilární elevace a deprese
r F13
vzlínání resp. pokles vody v kapilárách
r F12 r F23
F = F13 − F12 = 2πr (σ13 − σ12 ) = 2πrσ 23 cos ϑ G = ρghS = πr ρgh 2
F =G
h=
pa + pkoh = pa + pkoh + pk − hρg
2σ 23 cos ϑ rρg
cos ϑ > 0 ⇒ h > 0
kapilární elevace
cos ϑ < 0 ⇒ h < 0
kapilární deprese
Vlastnosti kapalin Charakteristiky kapalných látek: σ [kgm-1s-1]
ρ [kg/m3]
η •103 [kgs-2]
73
998
1,00
glycerin
62,5
1260
1480
ricinový olej
36,4
960
987
terpentýnový olej
27
855
1,49
rtuť
498
13550
1,55
etanol
22
789
1,2
Kapalina voda
Hybnost kapaliny Hybnost kapaliny - stacionární proudění Qm = konst.
r r r p1 = ∆m ⋅ v1 = Qm ∆t ⋅ v1
hybnosti tekutiny ve dvou průřezech
r r r p2 = ∆m ⋅ v2 = Qm ∆t ⋅ v2
na tekutinu při změně hybnosti působí síla
r ∆pr pr 2 − pr1 r r = = Qm ⋅ (v2 − v1 ) F= ∆t ∆t
síla působící na potrubí:
r r r r F ′ = − F = Qm ⋅ (v1 − v2 )
tlaková síla působící na koleno potrubí:
r r r F ′′ = F1 + F2
celková síla působící na koleno potrubí:
R = F ′ + F ′′ = 2 S (ρv 2 + p ) sin α
Hybnost kapaliny vodní turbíny tlaková síla působí na lopatky turbíny r r r Qm = Sρv F = Qm ⋅ (vrel − c )
r r r vrel = v − u F = Qm ⋅ u (v − u )(1 − cos ε) r c r u
r v
ε r c Výkon síly:
P → max . ⇒
P = Fu dP = 0 ⇒ v = 2u dt
Viskozita kapalin Newtonovská kapalina
Vnitřní tření - viskozita kapalin tečné napětí mezi vrstvami proudící kapaliny je úměrné rychlostnímu gradientu
τ=η
dv dy
y + dy y
τ
v + dv v
vnitřní tření způsobuje ztrátu mechanické (tlakové) energie proudící kapaliny tlakové ztráty závisí na viskozitě, rychlosti a typu proudění, průřezu potrubí Bernoulliho rovnice pro reálnou kapalinu
1 p + ρv 2 + ρgh + p z = konst. 2 ztráta energie ∆W:
∆W = ρg (h − h′) = ρghz V
h
hz h′
Viskozita kapalin Průtok kapaliny potrubím
Fp
laminární proudění Newtonovské viskózní kapaliny potrubím tlaková síla:
Fp = πy 2 ∆p
třecí síla:
Ft = τ ⋅ 2πy∆l = 2πηy
Ft Ft = Fp
dv ∆l dy
okrajová podmínka y=r ⇒ v=0
dv = −
objemový průtok:
π ∆p 2 dQV = 2πydy ⋅ v = (r − y 2 ) ydy 2 η ∆l πr 4 ∆p QV = 8η ∆l
Hagen-Poiseuilleův vztah
v=
1 ∆p y dy 2η ∆l
1 ∆p 2 (r − y 2 ) 4 η ∆l
Viskozita kapalin Obtékání koule kapalinou při laminárním proudění kolem tělesa kulovitého tvaru resp. při jeho pohybu malou rychlostí v kapalině platí pro odporovou sílu:
Stokesův vztah
Fo = 6πηrv
Příklad: (pohyb kuličky ve viskózní kapalině) tíhová síla: 4 G = mg = πr 3ρ k g 3 vztlaková síla: 4 Fvz = Vρt g = πr 3ρt g 3
Fvz
Fo
m
dv = G − Fo − Fvz dt
ρk ρt
G
v=
(
A 1 − e − Bt B
A = g (1 − ρt / ρ k )
) B = Fo / mg =
9 ηv 2 ρk r 2
