23 jún. 2013 19:47:49 - V-Merev testek.sm
Mechanika III. V, Merev testek kinematikája V/1 Tárcsa mozgásának reakcióerői Az ábrán látható "v" vastagságú,"γ" sűrűségű anyagból készült tárcsa B jelű támasza funkcióját veszti, a tárcsa mozgásnak indul. Mekkora reakcióerők ébrednek az A jelű támaszban? Kiindulási adatok: b
1,2 m
c
3,6 m
v
12 cm
γ
2,5
t 3 m m 9,81 2 s
g
Megoldás menete: A test tömege: m
m 1,296 t
c b v γ
A test súlya: G
G 12,7138 kN
m g
Tehetetlenségi nyomaték a súlyponton átmenő tengelyre: I
2 2 m c b 12
s
I
s
1555,2 kg m
2
Tehetetlenségi nyomaték az 'A' ponton átmenő tengelyre: 2 2 2 c b I 6220,8 kg m I I m a a s 2 2 Perdülettétel az "A" pontra: G
κ
c 2
I
a c G 2 I a
κ
κ 3,6788
1 / 11
1 2 s
23 jún. 2013 19:47:49 - V-Merev testek.sm
Gyorsulás komponensek: (a szögsebesség ebben a pillanatban 0m/s) a
a
x
z
κ
b 2
a
κ
c 2
a
x
z
2,2072
m 2 s
6,6218
m 2 s
Súlypont tétel a vetületekre: G A
A
A
m a
z
G m a
z A
z
x
m a
z
4,132 kN
x
m a
x
A
z
A
x
x
2,8606 kN
V/2 A perdület változásának tétele merev test síkmozgása esetén Az ábrán látható "G" súlyú, "r" sugarú henger "ω" szögsebességgel forog. A henger és a fékpofa közötti súrlódási tényező "f". A forgást a rúd végére kifejett "F" erővel fékezzük. Határozzuk meg a fékezéshet szükséges időt és a keletkező reakcióerőket! Kiindulsi anyagok: a
2m
b
5m
F
80 N
f
0,45
r
1,35 m
G
450 N
Megoldás menete: Fékezőerő meghatározása: (nyomatéki egyenlet az "A" pontra) F a b a
N
N 280 N
Súrlódási erő: F
s
N f
F
s
126 N
Reakcióerők: A A
x y
F
A
N F
A
2 / 11
x y
80 N 200 N
g
9,81
ω
95
m 2 s
rad s
23 jún. 2013 19:47:49 - V-Merev testek.sm
B B
x y
F
B
N G
B
x y
80 N 730 N
Perdülettétel A súlypontra számított nyomatékösszeg: M m
s
F
s
r
M
G g
s
170,1 N m
m 45,8716 kg
Súlypontra vonatkozó tehetetlenségi nyomaték: 2 m r I s 2
I
s
41,8005 N m s
2
Megegyezés: A merev test mozgásmennyisége egyenlő a test tömegének és a súlypont sebességének a szorzata:
Szöggyorsulás: M s κ I s Mivel a κ állandó: t
κ 4,0693
ω κ
1 2 s
t 23,3453 s
A feladatot megoldhatjuk a perdületváltozás tétel segítségével is: t M dt I ω ω s s 2 1 0s
Megegyezés: A kapott kifejezések a perdület változásának tételét mutatják a merevtest síkmozgásának esetére, mely szerint a merevtest síkmozgásakor a síkra merőleges mozdulatlan tengelyre, illetve a test súlypontján átmenő tengelyre számított perdület adott időtartam alatti megváltozása egyenlő a testre ható külső erőknek az illető tengelyre vonatkozó nyomatékösszege adott időtartamra vonatkozó határozott integráljával.
3 / 11
23 jún. 2013 19:47:49 - V-Merev testek.sm
V/3 A perdületváltozás tétele merev test síkmozgása esetén Az ábrán látható "G" súlyú, "r" sugarú henger "ω" szögsebességgel forog. A henger és a fékpofa közötti súrlódási tényező "f". A forgást a rúd végére kifejett "F" erővel fékezzük. Mekkora legyen ez az erő, ha a hengert "t" idő alatt meg kell állítani! Kiindulási adatok: a
1m
G
600 N
b
5m
ω
120
f
0,22
t
15 s
r
1,2 m
g
9,81
Megoldás menete: Perdülettétel ω t G g
κ m I M
s s
1 2 s m 61,1621 kg κ 8
m r 2 I
s
2 I
κ
M
s s
44,0367 N m s 352,2936 N m
M F
s
s r
F
Nyomóerő: F s N f
s
293,578 N
N 1334,4454 N
Fékezőerő meghatározása: (nyomatéki egyenlet az "A" pontra) N a a b
F
F 222,4076 N
Reakcióerők: A A B B
x y x y
F
A
s
N F
A
F
B
s
N G
B
4 / 11
x y x y
293,578 N 1112,0378 N 293,578 N 1934,4454 N
2
rad s
m 2 s
23 jún. 2013 19:47:49 - V-Merev testek.sm
V/4 Csúszásisúrlódás számításának különböző esetei Egy "α" szögű lejtőre "m" tömegű, "r" sugarú hengert helyezünk. A gördülési ellenállás elhanyagolása mellett határozzuk meg a "t" idő alatt megtett utat "f" súrlódási tényező esetén! Kiindulási adatok: α
32 deg
g
9,81
m
8 kg
f
0
r
0,45 m
t
7s
m 2 s
Megoldás menete: a, Csúszósúrlódás nélküli eset:
Megjegyzés: Ha megfigyeljük a testre ható erőket azt látjuk, hogy a test súlypontjára számított nyomaték zérus. A test tehát a nyugalmi helyzetből való elindulás után forgó mozgást nem fog végezni. A test súlypontja a lejtővel párhuzamos egyenes pályán mozog.
G sin α
m a G 78,48 N
G
m g
a
g sin α
s
a t 2
a 5,1985
2
m 2 s
s 127,3634 m
b, Minimális csúszósúrlódás számítása:
f
0,1
Megjegyzés: Súrlódás nélkül a hengernek a lejtővel érintő pontja a lejtő irányába lefelé mozdul el, ennek megfelelően súrlódás esetén a súrlódási erő a mozgással szemben, felfelé mutat. A súrlódási erőnek a test súlyontjára van nyomatéka, a test tehát a nyugalmi helyzetből való elindulás után forgó mozgást is fog végezni. Perdülettétel a pillanatnyi forgásközéppontra: r G sin α I κ
0
I
0
κ
2 3 m r 2 r G sin α I 0
I
0
2,43 kg m
κ 7,7015
5 / 11
1 2 s
2
23 jún. 2013 19:47:49 - V-Merev testek.sm
a
r κ
a 3,4657
Súlypont tétel: G sin α f
h
f G cos α
m 2 s
m a
G sin α m a G cos α
f
h
0,2083
Az adott f értéknél kúszó mozgás alakul ki. Súlypont tétel G sin α G sin α
a
a t 2
s
f G cos α
m a
f G cos α m
a 4,3666
m 2 s
2 s 106,981 m
Perdülettétel a súlypontra: r f G cos α
I
s
κ
I
s
κ
2 1 m r 2 r f G cos α I s
I
s
0,81 kg m
κ 3,6975
c, nagyobb csúszási súrlódással számolva:
f
2
1 2 s
0,5
Az adott f értéknél tiszta gördülő mozgás alakul ki. Perdülettétel a pillanatnyi forgásközépontra: r G sin α I κ a
s
0
I
0
κ
2 3 m r 2 r G sin α I 0 r κ a t 2
I
0
2,43 kg m
1 2 s m a 3,4657 2 s κ 7,7015
2
s 84,909 m
6 / 11
2
23 jún. 2013 19:47:49 - V-Merev testek.sm
V/5-1 Lejtőn mozgó forgó mozgás Egy "r" sugarú, "m" tömegű, "ω" szögsebességgel forgó hengert ráengedünk az "α" szögű lejtőre. A súrlódási tényező értéke "f". A gördülési ellenállás elhanyagolható. Mennyi időnek kell eltelnie, hogy a tiszta gördülés kialakuljon? Mekkoa lesz ebben az időpontban a henger sebessége és szögsebessége? Kiindulás adatok: r
0,65 m
ω
m
36 kg
g
α
12 deg
f
0,3
1
rad s m 9,81 2 s 85
Megoldás menete: Súrlódási erő nagysága: F
F 103,6328 N
f m g cos α
Megjegyzés: Tiszta gördülés kezdetén a sebesség:
v
r ω
2
t
2
2
Mozgásmennyiség változásának tétele:
F m g sin α d t m v 0s F m g sin α
t
2
F m g sin α v
t
2
m v t
2
2
m
2
Perdületváltozás tétele:
F r dt I
ω
s
2
ω
1
0s
F r t
m r 2 2
m r F r t 2 2
2 ω 2
2
ω
1
v
2 ω 1 r F m g sin α
m r F r t 2 2
2
7 / 11
m r
t
2 ω
1
2
0
m s
23 jún. 2013 19:47:49 - V-Merev testek.sm
F m g sin α m r F r t 2 2
F r t
2
t
2
2
2
2
t
m r 2
r F m g sin α 2 2
F r t
1
r F m g sin α 2
F m g sin α v
ω
2
m r
r F m g sin α 2
m r
t
t
v
m
m r 2 2
m r 2 2
F r
2
t
2
2
2 r
2
ω
2
ω
1
2 ω
1
2 ω
1
5,1753 s
25,4538
m s
39,1596
1 s
v ω
2
V/5-2 Lejtőn mozgó forgó mozgás Egy "r" sugarú, "m" tömegű, "ω" szögsebességgel forgó hengert ráengedünk az "α" szögű lejtőre. A súrlódási tényező értéke "f". A gördülési ellenállás elhanyagolható. Mennyi időnek kell eltelnie, hogy a tiszta gördülés kialakuljon? Mekkoa lesz ebben az időpontban a henger sebessége és szögsebessége? Kiindulás adatok: r
0,6 m
ω
m
45 kg
g
α
0 deg
f
0,3
1
rad s m 9,81 2 s 120
Megoldás menete: Súrlódási erő nagysága: F
F 132,435 N
f m g cos α
Megjegyzés Tiszta gördülés kezdetén a sebesség:
v
8 / 11
2
r ω
2
23 jún. 2013 19:47:49 - V-Merev testek.sm
t
2
Mozgásmennyiség változásának tétele:
F m g sin α d t m v
2
0
0s F m g sin α
t
m v
2
F m g sin α v t
2
t
2
2
m
2
Perdületváltozás tétele:
F r dt I
ω
s
2
ω
1
0s
F r t
m r 2 2
F r t
m r 2 2
2 ω 2
2
ω
1
v
2 ω 1 r F m g sin α
m r F r t 2 2
2
m r F r t 2 2 F r t
ω
m r
t
2
2
2
F r t
t
F r
m r 2 t
m r 2 2
m r 2 2
t
2
v
m
2
2
2
ω
2 ω
24
m s
2 r
ω
9 / 11
2
40
1 s
2
2
1
8,1549 s
v ω
1
2
ω
1 r 2 F m g sin α 2 F m g sin α
v
t
m r
r F m g sin α 2 2
r F m g sin α 2
2
m r F m g sin α
2
t
1
ω
1
m s
23 jún. 2013 19:47:49 - V-Merev testek.sm
V/6 Rugósmozgás Az ábrán látható "G" súlyú gerenda az o pontban csuklósan van rögzítve. A rugó adatai: rugómerevség "k" , teljes hossza "L", beépített állapotban hossza a teljes hossz "öny" %-a. A rugó tehát feszített állapotban van. A gerenda elengedése után az o pont körül elfordul. Mekkora lesz a szögsebessége "α" elfordulás esetén? Kiindulási adatok: x x
1 2
2m
öny
0,75 m
α
60 deg
g
9,81
G
560 N
k
16
L
20 cm
65 %
MN m
m 2 s
Megoldás menete: A potenciális energia a kiindulási időpontban (a gerenda helyzeti energiáját ekkor tekintve zérusnak):
U
100 öny 1 k L 2 100
1
2 U
1
39200 N m
A potenciális energia a végső állapotban: x U
G x
2
x
1
1
2
2
U
sin α
2
303,1089 N m
A mozgási energia a kiindulási időpontban zérus, a végsőállapotban pedig, minta fix pont körül elfordulótest mozgási energiája számítható:
Megjegyzés: T
1
0N m
T
2 1 I ω 2 2 0
I
m l s 12
2
x I U
0 1
I T
s 1
x U
1
2
x
1 2
T
2 2
m
2
10 / 11
23 jún. 2013 19:47:49 - V-Merev testek.sm
A mechanikai energia megmaradásának törvénye alapján: U ω 1 2
G x x 1 2 g 12
1
U
2
2
ω 36,5372 x
x
1
x
1 2
2 2
G g
11 / 11
1 s
