1. fejezet
A klasszikus mechanika elvei Virtuális munka elve, D'Alembert-elv, Hamilton-elv. Legkisebb hatás elve. Lagrangeféle els®fajú és másodfajú mozgásegyenletek. Hamilton függvény, kanonikus egyenletek. Kanonikus transzformációk. Szimmetriák és megmaradási tételek.
1.1.
A mechanika elvei
A klasszikus mechanika alapvet® törvényeinek megfogalmazását Newton megtette. Azonban ugyanezek az elvek megfogalmazhatóak számos, a Newton-i axiómákkal ekvivalens, azonban matematikailag más alakban, ami sokszor szemléletesebb, illetve egyszer¶bb tud lenni. Ezek a mechanika elvei, amelyek nem bizonyítható axiómák, ezek helyességét a tapasztalatok adják. 1.1.1.
A virtuális munka elve
Vegyünk egy N anyagi pontból álló mechanikai rendszert, amelynek koordinátái xi , yi , zi , a ható er®t pedig Fi jelöli. Legyen δri az i-edik anyagi pontnak a kényszerek által megengedett in nitezimális és virtuális elmozdulása. Itt a virtuális alatt azt értjük, hogy nem tartozik ezen elmozulásokhoz id®tartam. A tárgyalt rendszer akkor lesz egyensúlyban, ha a ható er®k virtuális munkája zérus: ∑
Fi δri = 0
(1.1)
i
Szabad mozgás esetén minden δri tetsz®leges, tehát az er®vektoroknak kell zérusnak lenniük. Ha van N pontunk, akkor azokhoz 3N darab koordináta tartozik, és ennél kevesebb kényszerfeltétel lehet adott, különben nincs mozgás. Itt most feltesszük, hogy a kényszereink egy felületre korlátozzák a rendszert, és ezért alakjuk így írható: ϕ (r1 , r2 ...rN ) = 0 (1.2) A kényszerfeltételek a virtuális elmozdulások alatt is kell, hogy teljesüljenek, ebb®l valamint egy in nitezimális elmozduláshoz tartozó Taylor-sorfejtésb®l belátható, hogy a kényszerfeltételek a következ® általános alakba írhatóak: ∑ ∇i ϕk δri = 0 k = 1, 2, ..., s < 3N (1.3) i
Ezeket a Lagrange-multiplikátorok módszerével vehetjük gyelembe: egy ismeretlen λk szorzóval hozzáadjuk ®ket a virtuális munka egyenlethez: ∑ i
(
Fi +
∑
)
λk ∇i ϕk δri = 0
(1.4)
k
Most a szabad esettel szemben csak (3N-s) darab együttható lesz zérus, de a többinél a Lagrangemultiplikátorokat választjuk úgy, hogy a maradék együtthatók is elt¶njenek. Ekkor úgy tekinthetjük,
2
1.1. A mechanika elvei
mintha a virtuális elmozdulások függetlenek lennének, ezért az egyenl®ség teljesüléséhez az er®k összegének kell zérusnak lennie, ezért: Fi +
∑
(1.5)
λk ∇i ϕk = 0
k
A második tagot elnevezhetjük kényszerer®knek, és ekkor a az egyensúly feltétele, hogy a szabad és kényszerer®k összege zérus legyen. A λk ∇i ϕk -s de nícióból az is látható, hogy felületen mozgásnál a kényszerer® mer®leges a felületre (mivel ∇i ϕk a felületi normális irányába mutat). 1.1.2.
d'Alembert elv és a Lagrange-féle els®fa jú egyenletek
d'Alembert a virtuális munka elvéhez hasonló kifejezést vezetett be, de az nem csak az egyensúlyt írja le, hanem egyben mozgástörvény is: ∑
(1.6)
(Fi − p˙i ) δri = 0
i
A mechanikai rendszer az elv értelmében úgy mozog, hogy a fenti kifejezés minden id®pillanatban teljesül. Szabad rendszerre ez a Newton mozgásegyenletet adja, hiszen tetsz®leges δri -re el kell t¶nnie a zárójelnek, azaz Fi = p˙i . Ha kényszerek is jelen vannak, akkor ismét a Lagrange-multiplikátoros átalakítást végezzük el: ) ( ∑
Fi +
∑
i
λk ∇i ϕk − pi δri = 0
(1.7)
k
A virtuális munka elvéhez hasonlóan itt is formálisan függetlenként kezelhet®k a megváltozások, így ∑
p˙i = Fi +
(1.8)
λk ∇i ϕk
k
Ha feltesszük hogy a tömeg állandó, azaz: p˙i = mi
d2 r dt2 i
(1.9)
Akkor megkaphatjuk a Lagrange-féle els®fajú egyenletek. mi
∑ d2 r = Fi + λk ∇i ϕk 2 dt i k
(1.10)
Mivel ezek vektor egyenletek, így tulajdonképpen 3N darab egyenletünk van, és ezenkívül az s darab kényszeregyenlet. 1.1.3.
Gauss-féle legkisebb kényszer elve
Bevezette a kényszer mértékét: Z :=
3N ∑ 1 i=1
mi
(
d 2 xi mi 2 − X i dt
)2
(1.11)
ahol Xi a szabad er® (a záró jelben az i-dik pont tömegpontnak a szabad mozgástól való eltérése szerepel). Gauss elve a következ®t mondja: a kényszerek által megengedett gyorsulásváltozások közül a legkisebb valósul meg. A gyorsulást variálva, a következ® alakra hozható: 2
3N ∑ i=1
(
) (
d 2 xi mi 2 − X i δ dt
d2 xi dt2
)
=0
(1.12)
fejezet 1.
3
A klasszikus mechanika elvei
Ehhez hozzáadva a szokásos módon Lagrange multiplikátorral a kényszereket: 3N ∑ i=1
(
) (
∑ d2 xi mi 2 − X i − λk ∇i ϕk δ dt k
mi
d2 xi dt2
)
∑ d 2 xi = X + λk ∇i ϕk i dt2 k
= 0
(1.13)
Ezek a már korábban megismert Lagrange-féle els®fajú egyenletek. Ezzel tulajdonképpen megmutattuk, hogy a Gauss-féle legkisebb kényszer elve a helyes mozgásegyenletekre vezet, tehát egyenérték¶ a Newton-féle megfogalmazással, vagy a D'Alambert-elvvel. 1.1.4.
Általános koordináták
Az eddigi tárgyalásokban a kényszerek, mint független egyenletek voltak gyelembe véve. Ha azonban olyan koordinátákra térünk át, amelyek illeszkednek a kényszerekhez, akkor ezekben ezek a feltételek elt¶nnek, így egyszer¶bb alakot kapunk a mozgásegyenletekre. Az állítás az, hogy ilyen transzformációk léteznek, az ilyen áttéréssel kapott új koordinátákat általános koordinátáknak nevezzük, és qk -val jelöljük, az általános sebességeket pedig q˙k -val. Itt kell megjegyezni, hogy ezek nem feltétlen hosszúság illetve sebesség dimenziójú változók. Lagrange-féle másodfa jú mozgástörvény
Határozzuk meg a mozgásegyenleteket az általánosított koordináták mellett, ehhez induljunk ki a D'Alembert elvb®l: ) ( ∑
mi
i
d2 xi − Xi δxi = 0 dt2
(1.14)
Térjünk át általános koordinátákra: x˙ i = δxi =
∑ ∂xi k
∂qk
k
∂qk
∑ ∂xi
q˙k +
∂xi ∂t
(1.15) (1.16)
δqk
A (1.16) kifejezés nem tartalmazza a δt variációt, mivel a virtuális elmozdulás csak qk koordinátától függ. Így az általános koordinátákkal a következ® alakra hozható a D'Alembert elvet leíró összefüggés: ∑ ( d ∂K k
∑
)
∂K − − Qk δqk = 0 dt ∂ q˙k ∂qk
(1.17)
∑
∂xi ahol K = 12 i mi x˙ 2i kinetikus energia és Q∑ k = i Xi ∂qk az úgynevezett általánosított er® komponens (általában nem er® dimenziójú, de a W = k Qk δqk mindenképp munka dimenziójú). Ha a ható er®k konzervatívak, tehát: Xi = −∇i V (1.18)
Akkor a (1.17) egyenlet a következ® alakra hozható: d ∂K ∂K ∂V − − dt ∂ q˙k ∂qk ∂qk d ∂K ∂ (K − V ) − dt ∂ q˙k ∂qk d ∂ (K − V ) ∂ (K − V ) − dt ∂ q˙k ∂qk
= 0 = 0 = 0
(1.19)
4
1.1. A mechanika elvei
Az utolsó lépés azért megtehet®, mert V csak a helykoordinátáktól függ, és független a q˙k általános sebesség komponenst®l. A rendszer mozgási energiájának és a potenciálisnak a különbségét Lagrange függvénynek nevezzük így: d ∂L ∂L − =0 (1.20) dt ∂ q˙k
∂qk
A (1.20) egyenletet nevezzük Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenleteknek. Hamilton-féle variációs elv és az Euler-Lagrange egyenletek
A Hamilton által kimondott variációs elv, az eddigieken azért mutat túl, mert nem csupán a mechanikai problémák általános megfogalmazásában használható, hanem az optika és a kvantummechanika törvényeit is egyszer¶en meg lehet általa fogalmazni. Konzervatív rendszerre az állítás a következ®: ∫ t2 S= Ldt = ext. (1.21) t1
A variációszámításból adódnak a mozgásegyenletek: ∂L d ∂L − =0 dt ∂ q˙k ∂qk
(1.22)
Ezek az Euler-Lagrange egyenletek (Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenletek). Legyen két tömegpontunk ami egy-egy rugóval a falhoz van rögzítve és egy rugóval pedig a két test van össze kötve. Legyen minden rugó egyforma (Di = D). Ekkor a Lagrange függvény: ) 1 ) 1 1 ( 1 ( L = K − V = m x˙ 21 + x˙ 22 − Dx21 − D x2 − x21 + Dx22 (1.23) Példa: Rugók mozgása.
2
2
2
2
amib®l a mozgás egyenletek: d2 x1 dt2 d2 x2 m 2 dt
m
= Dx2 − 2Dx1
(1.24)
= Dx1
(1.25)
Ha a megoldás xi = ai eiωt alakba keressük, akkor egy sajátérték problémára vezet az egész feladat. Kanonikus egyenletek, Hamilton-függvény
Az eddig használt Lagrange leírásban másodrend¶ dierenciálegyenletet kaptunk. Az úgynevezett kanonikus egyenletek azzel szemben els®rend¶ dierenciálegyenleteket szolgáltatnak, amelyek a másodrend¶ekkel egyenérték¶ek, azonban kétszer annyi van bel®lük. Bevezetjük a kanonikusan konjugált impulzust és a Hamilton-függvényt: pk =
∂L ∂ q˙k
H=
∑
pk q˙k − L
(1.26)
k
Az Euler-Lagrange egyenletek gyelembevételével, és a Hamilton-függvény teljes dierenciájának felhasználásával dH(p, q, t) =
∂H ∂H ∂H dq + dp + dt ∂q ∂p ∂t
= d
( ∑ k
)
pk q˙k − L
= pdq˙ + qdp ˙ −
(1.27) ∂L ∂L ∂L dq − dq˙ − dt ∂q ∂ q˙ ∂t
(1.28)
fejezet 1.
5
A klasszikus mechanika elvei
= pdq˙ + qdp ˙ − pdq ˙ − pdq˙ − = qdp ˙ − pdq ˙ −
∂L dt ∂t
∂L dt ∂t
(1.29) (1.30) (1.31)
Tehát ebb®l leolvashatjuk a kanonikus egyenleteket: ∂H ∂pk ∂H = − ∂qk ∂L = − ∂t
q˙k =
(1.32)
p˙k
(1.33)
∂H ∂t
(1.34)
Ha a rendszer konzervatív, és az általánosított koordinátákra való áttérés id® független, akkor a Hamilton-függvény a mechanikai energiát adja. Ennek a formalizmusnak kiemelked® szerepe van a kvantummechanika és a kvantumtéreleméletek tárgyalásánál. Ciklikus koordináták, kanonikus transzformáció
Ha a Hamilton-függvény nem függ valamely koordinátától, akkor az ahhoz a koordinátához tartozó konjugált impulzus állandó a kanonikus egyenletek miatt, és azonnal megoldást szolgáltat a mozgásegyenletre ∂H t+c (1.35) qk = q˙k t + c = ∂pk
Az ilyen tulajdonságú koordinátát ciklikus koordinátának nevezzük. Értelemszer¶en minél több ciklikus koordináták van, annál egyszer¶bb megoldani az adott problémát. Ezért érdemes foglalkozni azokkal a transzformációkkal, amelyek változatlanul hagyják a kanonikus egyenleteket, de ciklikus koordinátákra térhetünk át segítségükkel. Ezek a transzformációk tehát olyan koordináták között visznek át, amelyek teljesítik a kanonikus egyenleteket továbbá a variációs elvnek is eleget tesznek (a kanonikus egyenletek is abból származtathatóak). Ezek alapján belátható, hogy a variált funkcionálban van egy szabadságunk egy tetsz®leges függvény id® szerinti deriváltjának erejéig. Ezt a függvény nevezzük alkotó függvénynek, mert segítségével kifejezhet®ek a transzformációs szabályok. Az alapján, hogy az alkotó függvényt melyik két változóval fejezzük ki a négy (régi és új koordináta, régi és új impulzus) közül, különböz® összefüggéseket kapunk a koordináták és az alkotó függvény között, valamint megkapjuk a Hamiltonfüggvény transzformációját is. Maupertuis-elv
A Maupertuis-elv energiamegmaradó rendszerekre vonatkozik, vagyis a Lagrange-függvény nem függ explicite az id®t®l. Az elv kimondja, hogy a rendszer által megtett út olyan, hogy a rövidített hatás ∫ S = dq = min. (1.36) p
ahol az integrált a pályára vett vonalintegrálként kell érteni. Liouville-tétel
A Hamilton-i mechanikai rendszerekre kimondható a Liouville-tétel, ami azt fogalmazza meg, hogy nem-disszipatív rendszerre a fázistérfogat állandó marad. Ha ϱ a fázistérbeli eloszlás függvény, és a rendszer d dimenziós: ( ) d dϱ ∂ϱ ∂ϱ ∑ ∂ϱ = + q˙i + p˙i dt ∂t i=1 ∂qi ∂pi
(1.37)
6
1.2. Szimmetriák és megmaradási tételek
mivel a fázistérben a pontok sebessége: (
∑ ∂H dR ∑ ∂H v= = (q˙i + p˙i ) = − dt ∂pi ∂pi i
a sebesség divergenciája: ∇⃗v =
∑
(
i
∂H ∂2H − ∂pi ∂qi ∂qi ∂pi
)
(1.38)
)
(1.39)
=0
Ez azért fontos egyenlet, mert nem csak egyensúlyi szituációkban használható, hanem sokrészecskés bonyolult dinamikai problémákra is, ezért alapvet® fontosságú a statisztikus jelenségek tárgyalásában. 1.2. 1.2.1.
Szimmetriák és megmaradási tételek Noether-tétel
Azt mondja ki, hogy minden folytonos szimmetriához tartozik egy megmaradó mennyiség. Tehát ha a rendszer Lagrange függvényének a szimmetriája: qi : qi′ = qi + εfi (q, q) ˙ ′ q˙i : q˙ = q˙i + εf˙i (q, q) ˙
(1.40) (1.41)
i
akkor a következ® mennyiség megmaradó: ∑ ∂L
∂ q˙i
i
mivel (
)
L qi + εfi , q˙i + εf˙i − L (qi , q˙i ) (= 0) =
fi = áll.
(1.42) )
∑ ( ∂L
d ∂L ˙ εfi + εfi = ε ∂qi ∂ q˙i dt
i
(
∂L εfi ∂ q˙i
)
(1.43)
A tér homogenitása és az impulzus megmaradás
Ha a rendszer eltolás szimmetrikus akkor egy tetsz®leges irányba δr-rel való eltolásra L változatlan, és eltolás során a következ®képpen transzformálódnak a vektorok: ri′ = ri + δr
(1.44)
Így a Noether-tétel (1.42) alapján: ∑ ∂L i
∂ q˙i
=
∑
pi = p = áll.
(1.45)
i
A tér izotrópiá ja és az impulzusmomentum megmaradás
A szimmetria transzformáció eredménye a vektorokra: ri′ = ri + δri
δri = δφ⃗e × ⃗r
p′i = pi + δpi
δpi = δφ⃗e × p⃗
(1.46) (1.47)
A Noether-tétel (1.42) alapján: ∑ ∂L i
∂ q˙i
× ⃗r =
∑ i
pi × ⃗r =
∑ i
Ni = N = áll.
(1.48)
fejezet 1.
7
A klasszikus mechanika elvei
Az id® homogenitása és az energia megmaradás
Ha a szimmetria m¶veletünk az id®beli eltolás, azaz
akkor Noether-tétel (1.42) alapján:
t′ = t + t0
(1.49)
∂L = áll. ∂t
(1.50)
A Lagrange függvény általában nem függ explicite az id®t®l, így ez az állandó a nulla, így láthatjuk, hogy a rendszer energiája megmarad.
