Fizika mérnök informatikusoknak 1. FBNxE-1 Mechanika 2. előadás Dr. Geretovszky Zsolt
2010. szeptember 15.
Klasszikus mechanika A fizika azon ága, melynek feladata az anyagi testek mozgására vonatkozó törvényszerűségek megismerése, az azt leíró törvények felállítása. (Galilei és Newton érdemei)
Galileo GALILEI 1564–1642
Sir Isaac NEWTON 1643–1727
Kinematika
Dinamika
a mozgás leírásával foglalkozik
a mozgás okát keresi
tömegpont, pontrendszer (merev test, deformálható test)
Az anyagi pont kinematikája, alapfogalmak tömegpont: a vizsgált jelenségek szempontjából kiterjedés nélkülinek tekintett/tekinthető test (idealizáció) A kinematika a mozgások leírásával foglalkozik • vonatkoztatási rendszer: a tömegpont helyzetének és mozgásának leírásához használt rögzített viszonyítási pontok • helyvektor: a vonatkoztatási rendszer origójából a tömegponthoz mutató vektor • pálya: a vonatkoztatási rendszer azon pontjai, melyeken az anyagi pont mozgása során áthalad • út: a pálya két pontja közötti ívhossz (skalár) • elmozdulás vektor: a test korábbi helyzetéből egy későbbi helyzetébe mutató irányított szakasz (vektor) a pálya relatív: http://www.schulphysik.de/java/physlet/applets/relativ1.html
Egyenes vonalú egyenletes mozgás Egyenes vonalú pályán állandóan ugyanabban az irányban halad és egyenlő időközönként egyenlő utakat tesz meg.
x0 = x(t = t0 ) x − x0 = v(t − t0 ) ∆x = v∆t a sebesség SI mértékegysége a m/s
a sebesség mérése:
x = x(t )
v=
∆x ∆t
Egyenes Vonalú Egyenletes Mozgás EVEM (Kísérlet: Mikola-cső)
35
25
5
20
4
15
3
a=0
30
15
2
a [m/s ]
20
v [m/s]
s [m]
25
10
2
10
s0 = s(t=0) = 10 m
5 0 0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
5
1
0 0,0
0,2
0,4
t [s]
0,6
0,8
1,0
t [s]
s = s0 + v0t
v = áll.
0 0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
t [s]
a=0
Az út-idő görbe meredeksége a sebesség nagysága. A sebesség-idő görbe alatti terület nagysága a megtett utat adja.
A sebesség tetszés szerinti egyenes vonalú mozgásnál Egydimenziós probléma: Elmozdulás:
x = f (t )
∆x = f (t + ∆t ) − f (t )
Átlagsebesség: a test által megtett ∆s út és a megtételéhez szükséges ∆t idő hányadosa (nem ad felvilágosítást a mozgás részleteiről!)
s ∆s ∆x vx = = = t ∆t ∆t geometriai jelentés: az út-idő grafikon két pontjához tartozó szelő meredeksége
Az anyagi pont t időpillanathoz tartozó sebessége (pillanatnyi sebesség):
∆x dx = ∆t → 0 ∆t dt
v x = lim
geometriai jelentés: az út-idő grafikon t időpontbeli meredeksége (iránytangense)
A sebesség általános definíciója görbevonalú mozgás
pálya
Bontsuk fel a mozgást rövid ∆t időintervallumokra, melyek alatt a sebesség közel állandónak tekinthető.
lim
∆t → 0
r Mivel ∆r → ∆s írhatjuk, hogy
∆s ds = =v ∆t dt
r r ∆r dr r lim = =v ∆t → 0 ∆t dt
A sebességvektor a helyvektor idő szerinti első differenciálhányadosa.
Szabadesés – a gyorsulás fogalma MIT_free_fall:
http://www.youtube.com/watch?v=4ovhEkSIqV0&NR=1
A kísérletek (pl. ejtőzsinór, Galilei lejtő) azt mutatják, hogy a megtett út időfüggése:
s = k ⋅t2
s ∝ t2 Ez esetben az átlagsebesség:
∆s k (t + ∆t ) 2 − kt 2 = = 2kt + k∆t ∆t ∆t
míg a (pillanatnyi) sebesség:
v = 2kt
A sebesség időbeli változását jellemezhetjük a ∆t idő alatt bekövetkező ∆v sebességváltozás segítségével: gyorsulás
a=
∆v 2k (t + ∆t ) − 2kt = 2k = ∆t ∆t
Szabadon eső test gyorsulása állandó, mégpedig a nehézségi gyorsulás.
a = g = 9.81
m = áll. s2
v = g ⋅t
s=
1 g ⋅ t2 2
A gyorsulás általános definíciója A tömegpont sebessége mind irány, mind nagyság szerint változik időben. Ilyenkor a változást a sebességvektor idő szerinti változásával jellemezzük:
r r r r ∆v dv d 2 r a = lim = = ∆t → 0 ∆t dt dt 2
A gyorsulásvektor a sebességvektor idő szerinti első, vagy a helyvektor idő szerinti második differenciálhányadosa.
Az egyenes vonalú egyenletes mozgás kivételével minden mozgás gyorsuló mozgás!
Egyenes Vonalú Egyenletesen Változó Mozgás, EVEV
5⋅n
(Kísérletek: 1) Galilei lejtő 2) ejtőzsinór 3) marok-ejtőgép) 3⋅n
600
60
120
400
80
40
300
60
30
200
40
20
100
20
10
0 4
6
8
10
0 0
2
4
t [s]
a s = s0 + v0t + t 2 2
100
2
4
6
t [s]
-200 -300
8
0
2
4
30 0
2
4
6
t [s]
-50
10
8
a<0
10
20 10 0
-75
0
v0 = v(t=0) = 5 m/s -100
8
a = áll.
0 -25
6
t [s]
25
s0 = s(t=0) = 50 m -400
10
40
10
v [m/s]
0
8
v = v0 + at
0 -100
6
t [s]
2
2
a [m/s ]
0
a>0
2
a [m/s ]
50
0
s [m]
1⋅n
v0 = v(t=0) = 5 m/s 100
v [m/s]
s [m]
s0 = s(t=0) = 50 m 500
-10
2
4
6
t [s]
8
10
Körmozgások (Film: MIT_circular.flv, circular_motion_acceleration.flv Kísérlet: egyenletes körmozgás légpárnás asztalon)
• mindíg GYORSULÓ mozgások • egyenletes körmozgás (kerületi sebesség, szögsebesség, periódusidő, centripetális gyorsulás)
v ≡ vkerületi
r dϕ 2π v v2 = v = áll., ω = = áll., ω = = , acp = = rω 2 dt T r r
Körmozgások, folyt. (Film: angular_velocity.flv)
• egyenletesen változó körmozgás (szöggyorsulás, β)
dω d 2ϕ 2 β= = 2 = áll., ω = ω0 ± βt , aérintő = rβ , a = aérintő + acp2 dt dt
vektoriális szögsebesség
r r r v y = xω , vx = − yω , v = ω × r
Harmonikus rezgőmozgás pl. rugóra akasztott test x (t ) = A sin (ωt + ϕ 0 )
(Film: simple_harmonic_motion_animation.flv)
kezdőfázis
körfrekvencia
xmax = A
amplitúdó kitérés sebesség gyorsulás
dx(t ) = Aω cos(ωt + ϕ 0 ) v (t ) = dt vmax = Aω a (t ) =
dv (t ) = − Aω 2 sin (ωt + ϕ 0 ) dt
A=3cm, ω=2s-1, φ0=0 rad
amax = − Aω 2 az egyenletes körmozgás vetülete is harmonikus rezgőmozgás
(Film: harm-rezg-c.avi)
Az elmozdulások függetlenségének elve 1) Az elmozdulások vektoriális összegzéssel összetehetőek egyetlen (eredő) elmozdulássá, mely független a részelmozdulások sorrendjétől.
2) Egyetlen elmozdulás, a vektori összegzés szabályainak betartása mellett, felbontható tetszőleges számú elemi elmozdulássá.
Hajítások • Függőleges hajítás • Vízszintes hajítás
(Film: vízszintes hajítás komponensei, 2:25-) vízszintesen EVEM
x = v0t y=
g 2 t 2
y=
g 2 x 2 2v0 függőlegesen EVEV
• Ferde hajítás
EM EV
EVEV
