Kvantová mechanika I & II

Kvantová mechanika I & II JSF094

Čas a místo

akademický rok 2015-2016

Úterý 13:10-14:40 Středa 10:40-12:10 (cvičení) Čtvrtek 10:40-12:10

posluchárna ÚČJF3/945

Přednášející

prof. Pavel Cejnar ÚČJF místnost: Trója A934 telefon: 95155 2472 email: cejnar @ ipnp.troja.mff.cuni.cz Cvičící dr. Pavel Stránský ÚČJF místnost: Trója A931 telefon: 95155 2470 email: stransky @ ipnp.troja.mff.cuni.cz Konzultace dle individuální domluvy

http://www-ucjf.troja.mff.cuni.cz/cejnar/prednasky/qm.html

Stránka přednášky Podrobný sylabus přednášky

Prezentace

(tato a několik dalších)

http://www-ucjf.troja.mff.cuni.cz/cejnar/prednasky/qm.html

Stránka přednášky

Soupis základních pojmů a formulek (for tough guys only!!!)

Knihy

• P. Cejnar: A Condensed Course of Quantum Mechanics (Karolinum, 2013) ….dedikovaná učebnice k tomuto kursu • J. Formánek: Úvod do kvantové teorie (1983,2004) • J.J. Sakurai: Modern Quantum Mechanics (1985,1994) J.J. Sakurai, J.J.Napolitano: Modern Quantum Mechanics (2011) • G. Auletta, M. Fortunato, G. Parisi: Quantum Mechanics (2009) • L.E. Ballentine: Quantum Mechanics. A Modern Development (1998) • A. Peres, Quantum Theory: Concepts and Methods (1995) • A. Bohm, Quantum Mechanics: Foundations and Applications (1979, 1993) • W. Greiner: Quantum Mechanics: An Introduction (1989), W. Greiner: Quantum Mechanics: Special Chapters (1998) W. Greiner, B. Müller: Quantum Mechanics: Symmetries (1989) • E. Merzbacher: Quantum Mechanics (1961,1998) • S. Flügge: Practical Quantum Mechanics (1971,1999) • J. Pišút, L. Gomolčák, V. Černý: Úvod do kvantovej mechaniky (1983) • J. Pišút, V. Černý, P. Prešnajder: Zbierka úloh z kvantovej mechaniky (1985) • R.P. Feynman: Feynmanovy přednášky 3 (1964,2002/6) ……….…..............

Stručný program pro oba semestry 1. Formalismus kvantové teorie 2. Jednoduché kvantové systémy

provázané kapitoly ≈ 24 přednášek

3. Kvantově-klasická korespondence 4. Moment hybnosti 5. Přibližné metody 6. Srážky částic

≈ 3 přednášky ≈ 4 přednášky ≈ 5 přednášek ≈ 5 přednášek

7. Mnohočásticové systémy ≈ 5 přednášek

Q-svět Fyzika kondenzované fáze, Nanofyzika, biofyzika nové technologie

Atomová, molekulová fyzika, kvantová chemie

Fyzika pevných látek, materiálová fyzika

Kvantová mechanika

Optika, optoelektronika

Kvantová teorie pole

Jaderná a subjaderná fyzika

↓

Astrofyzika, černé díry, neutronové hvězdy

Kosmologie, počátky vesmíru

Pole, částicová fyzika

Struny, sjednocení polí, za standardním modelem

„Kvantová úroveň“ Variační princip klasické mechaniky tf

   S[q (t )] = ∫ dt L[q (t ), q(t ), t]

akce

δS =0

ti

δS =0

trajektorie

„Kvantová úroveň“ Variační princip klasické mechaniky tf

   S[q (t )] = ∫ dt L[q (t ), q(t ), t]

akce

δS =0

ti

Max Planck (1858-1947)

δS =0 −34

 = 1.05 ⋅10 J ⋅ s = 0.66 eV ⋅ fs

Škála Planckovy konstanty

Charakteristická změna akce na škále rozlišitelnosti

∆S

trajektorie Škála rozlišitelnosti trajektorií

Kritérium pro platnost klasické mechaniky:

∆S >> 1 

Kvantová fyzika nastupuje když:

∆S ≤1 

Interference Dvouštěrbinový experiment pro elektrony Pro daný počáteční a koncový bod existují 2 trajektorie splňující δ S = 0 Klasická částice letí buď po I, nebo po II

Co se stane když

A

S I − S II ≈ h

I

II B

???

Interference Dvouštěrbinový experiment pro elektrony Dvouštěrbinový experiment je srdcem kvantové mechaniky. Obsahuje tu jedinou skutečnou záhadu. Této záhady se nelze zbavit nějakým „vysvětlením“ jejího fungování. My prostě jen popíšeme, jak ta záhada funguje. A tím vám zároveň sdělíme základní zvláštnost celé kvantové mechaniky... Co se stane když

Richard P. Feynman (1918 -1988)

A

S I − S II ≈ h

I

II B

???

Interference Dvouštěrbinový experiment pro elektrony Fig. 1

Fig. 2

A

elektrony

B

Fig. 4

Fig. 3 A

A

B

B

Interference Dvouštěrbinový experiment pro elektrony

 / 2π λ= p elektronový mikroskop

elektrony 50 keV

… vlnová délka pro částici s hybností p

10

Pro elektron o kinetické energii 50 keV λ ≈ 0.0055 nm d ~ μm, l ~ m 2l ⇒ perioda obrazce ∆x = λ ~ μm d

100

3000

dvouštěrbina

d l

20000 obrazovka

interferenční obrazec

Akira Tonamura (1942-2012)

A. Tonomura et al., Am. J. Phys. 57 (1989) 117

70000

Interference Dvouštěrbinový experiment pro elektrony „Každý elektron je v přístroji sám, tedy musí interferovat sám se sebou…“

10

100

3000

20000 © Charles Addams, the New Yorker 1940 A. Tonomura et al., Am. J. Phys. 57 (1989) 117

70000

Interference Dvouštěrbinový experiment pro elektrony Fig. 1

Fig. 2

Vylepšení: 1) Experiment se zpožděnou volbou

A

(delayed-choice)

o umístění/neumístění polarizátorů rozhodnuto až když je elektron v přístroji

2) Kvantový vymazávač

elektrony

(quantum eraser)

průchod polarizačním filtrem → vymaže informaci o dráze a obnoví interferenci

Principiální rozlišitelnost drah skrze štěrbiny A či B (např. v důsledku měření, nebo polarizací či interakcí s prostředím) => zmizení interferenčního obrazce B „which-path“ setup

interferenční setup Fig. 4

Fig. 3 A

B

↑ ↓

A

B

↑ ↓

→

Interference Dvouštěrbinový experiment pro elektrony Tyto výsledky se zdají odporovat pravidlům klasické logiky – při vhodné definici logických proměnných je narušen distributivní axiom:

X A

B

( A ∩ X ) ∪ ( B ∩ X ) ≠ ( A ∪ B) ∩ X „which-path“ setup

A

B

↑ ↓

interferenční setup

X

A

B

X

Interference Dvouštěrbinový experiment pro elektrony Dvouštěrbinový experiment je srdcem kvantové mechaniky. Obsahuje tu jedinou skutečnou záhadu. Této záhady se nelze zbavit nějakým „vysvětlením“ jejího fungování. My prostě jen popíšeme, jak ta záhada funguje. A tím vám zároveň sdělíme základní zvláštnost celé kvantové mechaniky...

Richard P. Feynman (1918 -1988)

A

I

II

Kvantové mechanice nerozumí nikdo.

B

Stav kvantového systému

© Renčín

Stav fyzikálního systému: zobrazení reality (jejího sledovaného výseku) v jednom konkrétním okamžiku do prostoru vhodně zvolených matematických entit. Požadavek, aby „stav“ v čase t umožňoval odvodit „stavy“ (ne nutně výsledky pozorování) v lib.časech (t + Δt ).

z

4

7

42 D

Klasická mechanika

Stavovým prostorem pro N částic je 6N-rozměrný fázový prostor všech souřadnic a hybností. Při zachování energie je pohyb omezen na (6N–1)-rozměrnou varietu ve fázovém prostoru.

6

5

1

3 2

y

x Polohy (x, y, z) a hybnosti (px ,py ,pz ) pro N = 7 částic

Stav kvantového systému

© Renčín

Kvantové systémy se vyznačují neurčitostí: ani dokonalá znalost stavu systému neumožňuje deterministické předpovědi výsledků měření. Entity odpovídající různým stavům od sebe nejsou dokonale odděleny – překrývají se!

PΨ (a )

Ψ

Ψ′

měření veličiny A

měření veličiny A

a PΨ′ (a )

???

výsledek

a

a

Stav kvantového systému Kvantové systémy se vyznačují neurčitostí: ani dokonalá znalost stavu systému neumožňuje deterministické předpovědi výsledků měření. Entity odpovídající různým stavům od sebe nejsou dokonale odděleny – překrývají se! To jsou vlastnosti vektorů:

H

Ψ

1) vektory

v komplexním vektorovém prostoru

Ψ ∞D

Ψ′

Stav kvantového systému Kvantové systémy se vyznačují neurčitostí: ani dokonalá znalost stavu systému neumožňuje deterministické předpovědi výsledků měření. Entity odpovídající různým stavům od sebe nejsou dokonale odděleny – překrývají se! To jsou vlastnosti vektorů:

H

Ψ

1) vektory

v komplexním vektorovém prostoru

Ψ ∞D

Ψ Ψ = Ψ′ Ψ′ = 1 ⇒ Ψ′ Ψ ≤ 1

normalizace Schwarzova nerovnost

Ψ′ součin Ψ ′ Ψ ∈ C 2)abyskalární bylo možné počítat pravděpodobnosti Pravděpodobnost „záměny“ stavových vektorů:

P(Ψ′ | Ψ ) = Ψ′ Ψ

2

∈ [0,1]

Stav kvantového systému Kvantové systémy se vyznačují neurčitostí: ani dokonalá znalost stavu systému neumožňuje deterministické předpovědi výsledků měření. Entity odpovídající různým stavům od sebe nejsou dokonale odděleny – překrývají se! To jsou vlastnosti vektorů:

Ψ

H

1) vektory

David Hilbert

v komplexním vektorovém prostoru

Ψ

Ψ Ψ = Ψ′ Ψ′ = 1 ⇒ Ψ′ Ψ ≤ 1

(1862-1943)

normalizace Schwarzova nerovnost

3) úplnost

Ψ′

∞D

každá konvergující posloupnost má limitu uvnitř prostoru (bezpečnostní opatření)

součin Ψ ′ Ψ ∈ C 2)abyskalární bylo možné počítat pravděpodobnosti Prostorem kvantových stavů je Hilbertův prostor Pravděpodobnost „záměny“ stavových vektorů: John von Neumann (1903-1957)

P(Ψ′ | Ψ ) = Ψ′ Ψ

2

∈ [0,1]

Hilbertovy prostory a operátory Prostor kvadraticky integrovatelných funkcí L2(R) +∞

Funkce splňující podmínku Skalární součin

+∞

∫ dx f (x) < ∞ 2

−∞

g f ≡ ∫ dx g *( x) f ( x) −∞

Každá lineární kombinace vektorů leží v H

Prostor nekonečných sekvencí l2 Posloupnosti komplexních čísel ∞ 2 Splňující podmínku a <∞

∑ i =1

John von Neumann (1903-1957)

i

David Hilbert (1862-1943)

α Ψ ′ + β Ψ ′′ +  = Ψ  ∈H

 ∈H

⇒

Skalární součin b a ≡  b1* 

 ∈H

 a1    b*2  a2    

Hilbertovy prostory a operátory Prostor kvadraticky integrovatelných funkcí L2(R) +∞

Funkce splňující podmínku Skalární součin

+∞

∫ dx f (x) < ∞ 2

−∞

g f ≡ ∫ dx g *( x) f ( x)

David Hilbert (1862-1943)

−∞

Každá lineární kombinace vektorů leží v H

α Ψ ′ + β Ψ ′′ +  = Ψ

Prostor nekonečných sekvencí l2 Posloupnosti komplexních čísel ∞ 2 Splňující podmínku a <∞

∑ i =1

 ∈H

i

podmínka linearity

(příp. jen husté podmnožiny H)

Diferenciální operátory v L2(R) Matice v l2

∈H

⇒

Skalární součin b a ≡  b1* 

Lineární operátory v Hilbertových prostorech Zobrazení H na sebe:



 ∈H

 a1    b*2  a2    

Oˆ : H → H

Oˆ Ψ = α Oˆ Ψ ′ + β Oˆ Ψ ′′ + 

d2 ≡ const ⋅ 2 dx

Interference Dvouštěrbinový experiment pro elektrony ψ A ( x ) = ρ A ( x ) e iφ ( x ) A

ψ= α ψ B  ψA + β  φα

ψ B ( x ) = ρ B ( x ) e iφ ( x ) B

|α |e i

| β |e

iφβ

Pψ ( x) = |α |2 ρA ( x) + | β |2 ρ B ( x) + 2 | α || β | ρA ( x) ρ B ( x) cos (φ A ( x) +φα− φ B ( x) − φ β )   Pψ ( x ) A

Pψ ( x ) B

| x ψ | = ∫ dx´δ ( x´− x)ψ ( x´) 2

2

A

=| ψ ( x) |2 = ψ ( x) *ψ ( x) B

Interference Dvouštěrbinový experiment pro elektrony A ( x)  ψ   iφA( x ) ΨA ( x) = ρA ( x) e ↑

α ψ A    β Ψ= α + Ψ = A B  Ψ      β ψ φ B  iφ |α |e i α ψ ↑ | β |e β ψ B ↓ A

ΨB ( x) = ρ B ( x) e iφ B ( x ) ↓    ψB ( x )

PΨ ( x) = |α |2 ρA ( x) + | β |2 ρ B ( x) + 2 | α || β | ρA ( x) ρ B ( x) cos (φ A ( x) +φα− φ B ( x) − φ β ) | ↑ ↓ |    Pψ ( x ) A

A

B

↑ ↓

Pψ ( x )

0

B

Ψ ( x)+ Ψ ( x) =

(α ψ *

* A

↑ ↑ =1= ↓ ↓

( x) ↑ + β *ψ B* ( x) ↓

)(αψ

A

( x) ↑ + βψ B ( x) ↓

 α ψ A ( x)    β ψ B ( x) 

= ( α *ψA( x) *, β *ψ B( x) * ) 

)

Jsme jen bídní …naše představivost a intuice se makroskopičtí utvářely jen v interakci s klasickým tvorové… makroskopickým světem. Ve světě

atomů a kvantových částic, kde platí radikálně jiné zákony, tápeme. Přesto i zde pro nás existuje spolehlivé vodítko – abstraktní matematika. „Nejnepochopitelnější věcí na světě je, že svět je pochopitelný“* A. Einstein

* zatím

Četba: E. Wigner: „The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences“, Commun. in Pure and Applied Mathematics, vol. 13, No. I (Feb. 1960)

Solvayská konference 1927

„otcové zakladatelé“: 1900 Max Planck, 1905 Albert Einstein „stará kvantová teorie“: 1913 Niels Bohr vlnová hypotéza: 1924 Louis de Broglie maticová mechanika: 1925 Werner Heisenberg Sjednocení: 1927 John von Neumann vlnová mechanika: 1926 Erwin Schrödinger Paul Dirac pravděpodobnostní interpretace: 1926 Max Born

}