MECHANIKA I Jaromír Švígler
OBSAH P edmluva ........................................................................................................................... 3 1. Rozd lení a základní pojmy mechaniky ....................................................................... 4 Statika 2. Základní pojmy a axiomy statiky. Síla. Moment síly k bodu a k ose. Silová dvojice. Základní v ta statiky. Práce a výkon síly a momentu.......................... 5 3. Silové soustavy. Soustavy sil o spole,ném p-sobišti, náhrada, ekvivalence, rovnováha. Aplikace na hmotný bod ..................................................... 18 4. Obecné soustavy sil. Obecná rovinná soustava sil. Aplikace na t leso v rovin ........ 27 5. Obecná prostorová soustava sil. Aplikace na t leso v prostoru. T žišt . Vnit ní statické ú,inky................................................................................................ 35 6. Rovinné soustavy t les. Statické ešení soustav. Soustavy s ozubenými koly ........... 46 Kinematika 7. Kinematika hmotného bodu. P ímo,arý pohyb bodu a k ivo,arý pohyb bodu. ......... 55 8. Kinematika t lesa. Rovinný pohyb t lesa. Posuvný pohyb. Rota,ní pohyb. Obecný pohyb. ........................................................................................................... 64 9. Sou,asné pohyby t lesa .............................................................................................. 72 10. St edy k ivosti trajektorií a obálek.............................................................................. 76 11. Kinematické ešení mechanism-. Soustavy s ozubenými koly .................................. 78 <ešení.......................................................................................................................... 85
LITERATURA [1] [2] [3] [4] [5] [6]
Rosenberg J.: Statika. Skriptum, VŠSE PlzeA 1987 Rosenberg J.: Kinematika. Skriptum VŠSE PlzeA 1981 Brát V., Rosenberg J., Já, V.: Kinematika. SNTL/ALFA Praha 1987 K en J.: <ešené p íklady ze statiky. Skriptum, VŠSE PlzeA 1985 K en J.: <ešené p íklady z kinematiky. Skriptum, VŠSE PlzeA 1986 Juliš K., Brepta R. a kol.: Mechanika I. díl. Statika a kinematika. Technický pr-vodce 65. SNTL Praha 1986
2
P EDMLUVA Tento u,ební text je ur,en student-m v kombinované form studia, studujícím p edm t Mechanika I, který náleží k p edm t-m tvo ícím základ znalostí nutných pro pochopení a zvládnutí modelování technických a p írodních jev- a proces-. P edm t Mechanika I, který je zam en na klasickou mechaniku bod-, soustav bod-, tuhých t les a soustav jimi vytvá ených, je rozd len do dvou ,ástí. V první ,ásti v nované statice jsou uvedeny základní poznatky pot ebné pro silová ešení technických a p írodních jev- a druhá, kinematická, ,ást se zabývá ešením pohybových stav- t chto jev-. Poznatky jsou uvád ny maximáln stru,n , p evážn bez odvozování a d-kaz-, nicmén se snaží zachytit všechny d-ležité a nezbytné znalosti. Látka je rozd lena do kapitol a v každé kapitole jsou k probíranému tématu uvedeny ešené p íklady. Budu velmi vd ,en za jakékoliv p ipomínky k p edkládanému textu, neboI jenom tak lze zlepšit jeho kvalitu. Velké pod kování pat í paní Jan Nocarové za její pe,livost a trp livost p i kreslení obrázk- a grafické úprav . Autor
3
1 ROZD LENÍ A ZÁKLADNÍ POJMY MECHANIKY Mechaniku m-žeme d lit podle r-zných hledisek a z ejm se nám stejn nepoda í provést d lení pln uspokojující. P idržíme se proto d lení pon kud konzervativního, ale nám vyhovujícího rozd lení, které m-žeme schematicky zachytit následovn . Mechanika – klasická v << c , kde c je rychlost sv tla, – relativní v c , – kvantová. Mechanika – tuhých t'les, – poddajných t les, – hydromechanika, – termomechanika, – mechanika kontinua. V našem kurzu se budeme zabývat klasickou mechanikou tuhých t les, kterou ješt dále rozd líme. Klasická mechanika tuhých t'les – statika, – kinematika, – dynamika. <ešení budeme provád t po,etn a graficky. P i po,etním ešení mechanických úloh budeme používat r r – vektorový p ístup ( F , M ) , – analytický p ístup ( E k , E p , W , P ) . r r Vektory, jako sílu F a moment M , budeme zna,it šipkou nad písmenem, skalární veli,iny, jako kinematickou a potenciální energii E k , E p , práci W a výkon P písmeny bez šipky. Budeme-li r hovo it o velikosti vektoru, použijeme samoz ejm písmeno bez šipky, tedy nap . F = F .
Základní pojmy mechaniky tuhých t'les V mechanických úlohách budeme používat n které ustálené pojmy, samoz ejm krom dalších, jako 1. 2. 3. 4.
hmota prostor ,as síla
m R t F
[kg] , [m] , [s] , [N] .
Podle našeho d lení m-žeme íci, že kinematika používá: statika používá: dynamika používá:
1, 2, 3, 1, 2, 4, 1, 2, 3, 4.
4
STATIKA 2 ZÁKLADNÍ POJMY A AXIOMY STATIKY. SÍLA. MOMENT SÍLY K BODU A K OSE. ZÁKLADNÍ POJMY Síly, jimiž r-zná t lesa, ,i r-zné ,ásti téhož t lesa, na sebe navzájem p-sobí, ozna,ujeme jako odpor, tah, tlak, p ípadn jako akce nebo reakce. P ipomeAme, že tíhová síla mg je silou ak,ní! Pro názornost uvedeme p íklady sil. P íklady druh sil T < Nf T te,ná síla Nf t ecí síla
R A reakce kloubu A S = RB = RC
k
N T M
osová síla v podp rném prutu a sou,asn reakce (= reak,ní síla) v kloubech B, C. konstanta pružiny prodloužení pružiny
tah (tlak) smyková síla ohybový moment
vnit ní statické ú,inky
M, N, T … silové ú,inky ekvivalentní p-sobící, ak,ní, síle F Poznámka: Moment je na obrázku symbolicky znázorn n oblou,kem, takže není zakreslen jako vektor a proto nemá šipku! AXIOMY STATIKY Následující axiomy, nazv me je pou,ky, jsou velmi jednoduché a adu z nich již znáte, nicmén jsou a budou základními stavebními prvky vašich znalostí statiky. Proto si je dob e zapamatujte. Šest základních pou7ek pro statiku 1. Ú,inek síly na t leso se nezm ní, když sílu, na její nositelce libovoln posuneme.
5
2. Dv síly skládáme ve výslednici podle zákona rovnob žníka. Poznámka: Grafickou konstrukci m-žeme symbolicky vyjád it vektorovým zápisem r r r V = F1 + F2 3. Dv síly mohou být v rovnováze jen tenkrát, leží-li na témže paprsku, jsou stejn veliké a mají opa,ný smysl. r F+
( F)= 0 r
r
4. T i síly mohou být v rovnováze jen tenkrát, leží-li v téže rovin , prochází jedním bodem a položeny za sebou tvo í uzav ený trojúhleník.
r r r r F1 + F2 + F3 = 0
5. K soustav sil lze p ipojit libovolnou jinou soustavu sil, která je v rovnováze, aniž se zm ní p-sobení prvé soustavy. r r r K síle F v bod A p ipojím F a F v bod . P-sobení p-vodní síly F se nezm ní.
Poznámka: K tomuto obrázku se vrátíme u momentu dvojice sil a všimneme si M. 6. Ú,inek t lesa A na t leso B vyvodí stejný, ale opa,ný ú,inek t lesa B na t leso A. AI jde o sílu, dvojici sil, moment, ,i o celou soustavu sil. N AB = N BA
Odvozené pou7ky 1. T i síly v prostoru skládáme ve výslednici podle zákona rovnob žnost nu.
V = F1 + F2 + F3
6
2. Ekvivalence Dv soustavy sil jsou ekvivalentní, mají-li stejnou výslednici. r r r r r F1 + F2 = S 1 + S 2 = V
3. Rovnováha Dv soustavy sil jsou v rovnováze, když jejich výslednice se ruší. S1 + S2 + F1 + F2 = 0 1 2r3 12 3 r V
4. Rozklad
V
<íkáme, že jsme sílu rozložili ve složky, když výslednicí složek je daná síla. Minimální po,et složek síly v rovin jsou 2 složky, v prostoru 3 složky.
SÍLA F Síla je vektor vázaný ke své nositelce a je po ní libovoln posunutelný. Je to klouzavý vektor. Rozm rovou jednotkou pro sílu je Newton [N].
p-sobišt síly nositelka p
Skládání a rozklad síly Skládání sil bylo zmín no v základních pou,kách pro statiku. Rozkladem síly, který je opa,ným d jem ke skládání sil, získáme složky síly. Pozor musíme dát na odlišení složky síly od pr-m tu síly, tak jak je to patrné pro r-znob žné p ímky p1 , p 2 . Op t platí jednoduché vztahy r r r F = F1 + F2
F = F12 + F22
složka síly ve sm ru p2
2 F1 F2 cos(
)
pr-m t síly do sm ru p2
Ur7ení síly Abychom mohli sílu jednozna,n ur,it, pot ebujeme k tomu jistý minimální po,et prvk-. Rovina
Prostor
Pot ebujeme 3 prvky: x, , F
Pot ebujeme 5 prvk-: x, z , , , F 7
Vztahy mezi úhly u síly Pro úhly které jsou mezi silou F, jejími složkami Fx , Fy , Fz a jejími pr-m ty FI , FII , do první a druhé pr-m tny, m-žeme psát trigonometrické vztahy, které plynou z pravoúhlých trojúhelník-
Fx = F cos
= F cos cos
Fy = F cos
= F sin = F cos sin ,
Fz = F cos = F cos
sin
= F cos cos ,
= F sin
.
Úpravou vztah-, na p íklad d lením druhé rovnice rovnicí první, dostaneme tg cos
= tg
.
Podobn , provedeme-li d lení t etí rovnice rovnicí první, získáme ze t etích a ,tvrtých výraz- další vztah tg tg = . cos Takto m-žeme postupovat dále podle toho, které vztahy jsou pro nás pot ebné. Významnou technickou aplikací rozkládání sil na složky je ešení silových pom r- u ozubených kol, kde provádíme rozklad ve výpo,tovém bod P páru spoluzabírajících kol. Výpo,tový bod umisIujeme do st edu ší ky a délky zubu a záb r zub- idealizujeme do tohoto bodu. Jedinou silou, neuvažujeme pasivní ú,inky, p-sobící mezi boky zub-, je síla normálová, ležící na normále dotykového bodu. Je to vždy síla reak,ní, tedy síla, kterou p-sobí spoluzabírající kolo na kolo, které ešíme. Naším úkolem je ur,it složky normálové síly ve sm ru obvodovém ( FT ), radiálním ( FR ) a axiálním ( FA ) sm ru. P íklad 1 $elní kola s p(ímými zuby Dáno: M K Ur,it: FT , FR
<ez A - A
Poznámka: Z daného kroutícího momentu M K ur,íme nejd íve obvodovou, te,nou, ( FT = FO ) složku ze vztahu FT =
Mk
.
Pak již m-žeme ur,it radiální složku FR = FT tg 8
a p ípadn výslednou normálovou sílu N=
FT cos
.
V p ípad p ímých zub- je FA = 0 . Ur,ování složek N je d-ležité pro navazující ešení, nap íklad pro zjišt ní namáhání h ídele, na kterém je kolo uloženo. P íklad 2 $elní kola se šikmými zuby
Dáno:
Ur,it:
z = 27 , m=4, = 20 o , = 25 o , P = 4000 W , n = 3000 ot / min . FO , FA , FR
Poznámka: Hovo íme o kolech se šikmými zuby, ale ve skute,nosti se jedná o zuby šroubovit zak ivené. Pro lepší p edstavu je pár spoluzabírajících zub- znázorn n odd len .
<EZ A- A
Mezi polom rem rozte,né kružnice r a po,tem zub- z platí vztah r=
zm 2 cos
kde m je modul a
, je úhel sklonu šroubovice na rozte,ném válci. Velikost úhlu záb ru
Z výkonu ur,íme nejd íve moment P=M
M =
P
=
4000 =& 13 Nm . 3000 30
9
je 20°.
Potom m-žeme ur,it obvodovou sílu F0 =
M = r
M zm 2 cos
=
13 110 10 2
= 3
13 = 220 N . 0,059
Dále ješt ur,íme pr-m t síly N do roviny te,né k rozte,nému válci FI =
F0 = 242,7 N cos
a nyní je již možné vyjád it axiální a radiální složku normálové síly N FA = F0 tg
= 102,58 N ,
FR = FI tg
= 88,3 N
a p ípadn i samotnou normálovou sílu N N=
FI cos
=& 258,3 N ,
kterou samoz ejm m-žeme ur,it jako výslednici jejích již ur,ených složek F = FR2 + FA2 + F02 = 258,3 N .
P íklad 3 Kuželová kola s p(ímými zuby Jedná se o další typ ozubených kol, jejichž osy jsou r-znob žné a op t chceme ur,it složky normálové síly N. Dáno: M k , r , Ur,it: FA , FR , F0 <EZ A-A
Z daného momentu ur,íme op t nejd íve obvodovou sílu F0 =
Mk
a pak již je možné vyjád it axiální a radiální složku výsledné normálové síly
FA = F0 tg
sin ,
FR = F0 tg
cos ,
a je-li to pot ebné i samotnou normálovou sílu F N= 0 . cos 10
MOMENT SÍLY M S momentem síly jste se již seznámili d íve a b žn jste ho definovali jako sou,in velikosti síly a její kolmé vzdálenosti od uvažovaného pevného bodu. Ukážeme si nyní obecn jší definici pomocí vektorového po,tu. Budeme rozlišovat dva p ípady. P ipomeAme, že rozm rovou jednotkou pro moment je [Nm] a že sm r vektoru momentu ur,íme podle pravidla pravé ruky tak, jak ho známe z vektorového násobení vektor-. Moment síly k bodu Hovo íme-li o momentu síly k bodu, máme na mysli moment k ose, která daným bodem prochází a je kolmá na rovinu proloženou danou silou a tímto bodem. Moment je ur,en vztahem r i
r r r ML = r × F = x Fx
r j y Fy
r k
r r r z = i ( y Fz z Fy ) j ( x Fz z Fx ) + k (x Fy y Fx ) . 142 4 43 4 142 4 43 4 142 4 43 4 My Mx Mz Fz
Vektor momentu splývá s osou procházející bodem a jeho velikost je M L = M L = M x2 + M y2 + M z2 . Ješt jednou si p ipomeneme, že moment síly k bodu je roven momentu r r síly k ose r , F tak, jak je nazna,eno na obrázku vpravo. Moment síly k ose O momentu síly k ose hovo íme, jestliže osa je vzhledem k síle mimob žná. Postupujeme tak, že ur,íme nejd íve moment M L k libovolnému bodu L osy o a potom tento moment promítneme do osy o. r r r ML = r × F . r Pr-m t vektoru M L do osy o provedeme pomocí skalárního sou,inu
r r r r r r r r M 0 = e [e M L ] = e [e (r × F )] , r kde e = 1 . Velikost momentu v ose o je tedy M 0 = M L cos
.
Uv domme si, že síla nemá k ose o moment
• když osu o protíná, • když je s osou o rovnob žná.
Stru,n si m-žeme pamatovat, že moment síly k ose je roven pr-m tu vektoru momentu této síly k libovolnému bodu osy do této osy. 11
Varignonova v'ta D-ležitá je následující v ta, podle které m-žeme moment výsledné síly ur,it pomocí jejich složek. Platnost v ty plyne ihned z následujícího výpo,tu momentu síly k ose. r F=
r Fi i
r r (" r r r r %r + r M o = e [e M L ] = e #e ) r × Fi & = i $ * '! r r r r r = e [e (r × Fi )] = M io i
i
Lze proto vyslovit následující Varignonovu v tu. Moment výslednice sil k libovolné ose je roven algebraickému sou,tu moment k této ose.
jejích složek
P íklad 4 Chceme ur,it moment síly F k ose o ležící v bokorysn Dáno: F , a, b, , Ur,it: M 0 Výpo,et provedeme jak skalárn , tak i vektorov . Nesmíme zapomenout, že v jednoduchých úlohách je skalární postup mnohdy rychlejší, avšak v úlohách prostorových je tomu naopak. Skalárn3: M o = Fx p
Fx = F cos
Vektorov3: r MA =
r
(rr × F ) ,
Znaménko je (-), neboI r %i r # MA = # 0 # Fx $
cos
r rA = [0, a, o] T
A
r rA orientujeme od síly k bodu A! r r j k" a Fz M Ax a 0 = 0 = 0 , Fy Fz ! + a Fx M Az
r r r r M o = (M A o ) o ,
r o=
cos / 2 sin . cos
r Pro velikost složky momentu M A do osy o platí r r M o = M A o = M Ax cos / 2 + M Az cos
= a F cos a p = c b
p=
M o = F cos
ab , c
cos
sin
=
a p = . c b
ab a2 + b2
. 12
cos
b = F cos c
cos
=
ab a2 + b2
.
Moment k ose o je dán sou,inem složky Fx a kolmé vzdálenosti. Složky Fy a Fz moment nemají! Pro,? Odpov Z naleznete na konci textu. P íklad 5 Ur,ete moment síly F k ose o ležící v nárysn . Dáno: F , , , x, y, z , Ur,it: M o Jedná se o p íklad podobný p íkladu p edcházejícímu a proto provedeme jenom ešení vektorové.
i r r r M =r×F = x Fx
j y Fy
k z = Fz
r r r = i ( y Fz z Fy ) j ( x Fz z Fx ) + k (x Fy y Fx ) 44 3 1442 1442 44 3 1442 44 3 r r r My
Mx
Mz
Pro jednotlivé složky síly F m-žeme psát Fx = F cos Nyní ur,íme díl,í momenty
M x = F ( y cos
sin
z sin ) ,
M y = F ( z cos
cos
x cos
M z = F ( x sin
cos , Fy = F sin
sin ) = F cos
( z cos
, Fz = F cos
sin .
x sin ) ,
cos ) . r r Moment k ose o získáme jako pr-m t M do této osy s jednotkovým vektorem s , s = 1 . y cos
M o = s (s M ) = s M x cos + s M y cos( / 2
).
Po úprav M o = M x cos + M y sin
.
Moment dvojice sil M
Moment dvojice sil, nebo též jinak dvojicový moment, je momentem dvou rovnob žných, stejn velikých a opa,n orientovaných sil. Nejprve si tedy budeme pamatovat, že dvojice sil jsou dv stejn veliké, ale opa,n orientované síly, které leží na rovnob žných nositelkách. Poprvé jsme se s touto kombinací sil setkali v šesti základních pou,kách pro statiku a nyní ur,íme jejich moment k libovolnému bodu L, pro který platí r r r r M L = r2 × F + r1 ×
r
( F ) = (rr
2
13
r r r r r1 ) × F = r × F .
Vidíme, že výsledný moment závisí pouze na vzájemné vzdálenosti obou sil, takže volba bodu L je zcela libovolná. To je podstatný rozdíl vzhledem k momentu síly, k bodu nebo k ose. M-žeme proto vyslovit následující d-ležitou vlastnost. Moment dvojice sil je volný vektor, není vázán k bodu nebo k ose. Je možno ho rovnob žn p esouvat. Rozm rovou jednotkou momentu dvojice sil je op t [Nm]. Poznámka: Mezi momentem dvojice sil a momentem síly panuje r r r formální shoda, takže z výrazu M L = r × F nepoznáme, zda se jedná o moment síly ,i dvojice sil. To plyne z podstaty ešené úlohy nebo nám to musí být e,eno. Skládání silových dvojic Z možnosti paralelního p esouvání vektoru dvojicového momentu vyplývá následující významná vlastnost silových dvojic. Silové dvojice skládáme tak, že geometricky s6ítáme jejich dvojicové momenty. Moment dvojice sil k ose Zcela stejn jako jsme ur,ovali moment síly k ose, ur,ujeme i moment dvojice sil k ose. Situace je z ejmá z obrázku, podle kterého je složka momentu dvojice sil k ose o dána vztahem
[
]
r r r r Mo = e e M , r kde M je vektor momentu dvojice sil, který je kolmý na rovinu , proloženou ob mi silami.
ZÁKLADNÍ V TA STATIKY Nyní m-žeme vyslovit v tu, jejíž význam pro statiku je mimo ádn d-ležitý a nepostradatelný. P eložíme-li sílu na rovnob2žnou nositelku, musíme k této síle p ipojit dvojicový moment rovný momentu p vodní síly k libovolnému bodu nové nositelky.
Platí i opa6n3 ! Slou6ením dvojicového momentu a síly na n3j kolmé, dostaneme sílu na rovnob3žn3 posunuté nositelce. Posunutí provedeme tak, aby moment posunuté síly k libovolnému bodu p9vodní nositelky byl roven dvojicovému momentu. Poznámka: Podívejte se na pátou základní pou,ku statiky. Na nové nositelce q p ipojíte k p-vodní r r r r síle F novou soustavu sil F a F , která je v rovnováze. Novou sílu F necháte a r r r stará síla F s novou silou F vytvo í dvojicový moment M . Tím vznikne nový r r útvar F , M vyzna,ený na obrázku tmav . 14
PRÁCE, VÝKON, Ú@INNOST Protože se jedná o opakování již známých pojm-, provedeme pouze stru,né shrnutí hlavních poznatk-. P ipomeAme, že rozm rovou jednotkou práce W je [Nm] a výkonu P [Nms 1 ] . Práce Síla Práce, kterou vykoná síla F p i pohybu podél k ivky k mezi polohami I a II je dána vztahem
r2 r r W = - dW = - F d r r1
r r Jedná se o skalární sou,in vektor- F a dr a proto musíme dát pozor na znaménko p i násobení tak, jak je nazna,eno na pravé stran pro r-zné uspo ádání obou vektor-.
Moment Práci momentu ur,íme pomocí výše uvedeného vztahu pro práci síly, když p ír-stek dráhy, jedná se o rota,ní pohyb, vyjád íme vztahem r r r dr = d ×r ,
dosadíme do výrazu pro práci a upravíme 2 r r r r r r r r W = - F d r = - F (d × r ) = - d (1 r2 ×3 F) . r 1
M
Po formálním p epsání dostaneme výraz pro práci vykonanou momentem síly F r r W = -M d . 2
1
Jedná se o rota,ní pohyb a proto fyzikální smysl má jenom složka momentu M do osy o. r r W = -M 12 3e d M0
2
= - M0 d 1
Poznámka: Je užite,né zapamatovat si následující postup p i výpo,tu práce: • • •
zakreslíme obecnou polohu, vyzna,íme dx, d , zakreslíme všechny silové ú,inky a napíšeme vztah pro diferenciál práce dW, z podmínek rovnováhy ur,íme p íslušný silový ú,inek, dosadíme do výrazu pro dW a integrujeme.
15
Výkon P=
Okamžitý výkon je definován vztahem
dW . dt
Síla Dosadíme-li za diferenciál práce vztah z p edcházejícího oddílu, m-žeme výkon síly vyjád it jako
r r P=F v . Moment Podobn je tomu i u momentu r r P=M . Ú7innost Ú,innost mechanické soustavy posuzujeme podle p ivedených a odvedených ú,inkr r F1 , v1
mechanická soustava
r r M1, 1
r r F2 , v2
ideální stav:
=1
M1
1
= M2
2
r r M2, 2
skute,nost:
<1
M1
1
> M2
2
p ivád né ú,inky
odvád né ú,inky
Mezi p ivedeným a odvedeným výkonem tedy platí relace M1
1
= M2
2
=
M2 M1
2 1
= odvedený výkon (výkon) . p ivedený výkon (p íkon)
V praxi se ,asto používá pouze jenom jeden, zát žný nebo hnací, ú,inek. Hnací ú6inek =
M 1id M1
= ideální hnací ú,inek . skute,ný hnací ú,inek
Zát3žný ú6inek =
M2 skute,ný zát žný ú,inek = . M 2 id ideální zát žný ú,inek
P íklad 6 Chceme ur,it práci síly F pot ebnou k p emíst ní t lesa z polohy I do II.
Dáno: m, f , x1 , x 2 , b Ur,it: W Postup: T leso konající posuvný pohyb budeme uvažovat jako hmotný bod a napíšeme podmínky rovnováhy, viz následující kapitolu o soustav sil procházejících jedním bodem, ze kterých ur,íme sílu F, pot ebnou pro p emíst ní t lesa. 16
Pro práci m-žeme psát vztah r2
x2
r1
x1
r r W = - F dr =
- F cos
dx .
Jedná se o soustavu sil procházejících jedním bodem a proto píšeme dv podmínky rovnováhy Fix = 0: F cos
Nf = 0 ,
i
Fiy = 0: N
Q F sin
= 0.
i
Ze druhé rovnice ur,íme N = F sin
+Q
a dosadíme do první rovnice
( F sin + Q ) f = 0 .
F cos
Po úprav dostaneme F=
Qf cos f sin
.
Nyní m-žeme dosadit do výrazu pro práci W=
x1
cos Qf f sin cos x2
= Qf
x1
x1
1 dx = Q f 1 f tg x2
dx = Q f
x
1 x + fb fb fb ( + dx Q f = -x x fb -x )*1 + x fb &' dx = Q 2 2
x1
1
x2
1 f
-
b x
dx =
x % f #( x1 x2 ) + bf ln 1 x2 $
P íklad 7 Chceme ur,it práci síly F , která má stálou velikost a sm r, podél p ímé dráhy s /
Dáno: F = 10 N , x = 0,5 m, y = 0,6 m, z = 0,3 m, Ur,it: W. Odpov Z naleznete na konci textu.
= 60 o ,
fb " . fb !
L.
= 45 o .
Postup: Práci vypo,ítejte jako skalární sou,in dvou vektorr
r r W = - F dr = Fx x + Fy y + Fz z . 0
Výsledek: A) B) C)
17
W = 5,2 Nm W = 6,32 Nm W = 7,84 Nm
P íklad 8 Chceme ur,it velikost a sm r momentu síly F k ose y. Dáno: F = 12 N , = 60 o , = 45 o , x = 0,5 m, z = 1,0 m . Ur,it: M y . Odpov Z naleznete na konci textu. Poznámka: Sm r momentu je kladný, jestliže vektor momentu má souhlasný sm r s jednotkovým vektorem osy, ke které moment hledáme. Výsledek:
A)
M y = 2,485 Nm
B)
M y = 3,512 Nm
C)
M y = 5,5 Nm
3 SILOVÉ SOUSTAVY V p edcházející kapitole jsme se zabývali jednou izolovanou silou. Nyní se budeme v novat soustavám sil a jejich základním vlastnostem. Pro v tší p ehlednost rozd líme soustavy sil na soustavy rovinné a prostorové a každou z nich ješt dále rozd líme na soustavu sil procházejících jedním bodem a na obecnou soustavu sil. Schematicky si toto uspo ádání znázorníme následovn Soustava sil o spole,ném p-sobišti • rovina • prostor Obecná soustava sil
• rovina • prostor
SOUSTAVY SIL O SPOLE@NÉM PCSOBIŠTI V této kapitole jak již samotný název napovídá, uvedeme základní vlastnosti soustavy sil, které procházejí jedním bodem. Všimn te si, že zde, a bude tomu tak i v dalším výkladu, nerozlišujeme síly ak,ní a reak,ní. K tomuto odlišení p istoupíme pozd ji v aplikacích na hmotný bod. Prostorová soustava sil procházejících jedním bodem Pro další výklad zavedeme pojmy, které budeme používat. Jsou to: • náhrada, • ekvivalence, • rovnováha. Náhrada (výslednice) O náhrad silové soustavy hovo íme, když chceme síly nahradit jedinou silou, výslednicí, pro kterou platí
r F=
r Fi , i
18
Je to rovnice vektorová, kterou rozepíšeme do složek
Fx =
Fix , Fy = i
Fiy , Fz = i
Fiz . i
D-ležité je, že každou složkovou podmínku m-žeme nahradit podmínkou momentovou, ale opa,n to nelze! Moment k libovolné ose o ur,íme pomocí v ty Varignonovy a samoz ejm využijeme znalosti získané v kapitole „Moment síly k ose“, takže m-žeme psát
r r r r r M o = e [e (r × F )] =
rr r r e [e (r × Fi )] . i
Ekvivalence O dvou silových soustavách Fi , Pj íkáme, že jsou ekvivalentní, mají-li stejnou náhradu. Matematicky toto tvrzení zapíšeme symbolickým vztahem
r F=
r Pj = j
r Fi . i
Op t se jedná o vektorovou rovnici, která p edstavuje t i rovnice skalární Pjx =
Pjy =
Fix , i
j
j
Pjz =
Fiy , i
j
Fiz . i
D-sledkem uvedených rovností, je následující tvrzení. Dv silové soustavy jsou ekvivalentní, mají-li stejné pr-m ty do t í nekomplanárních sm r-. V našem p ípad jsou sm ry ur,eny r r r jednotkovými vektory i , j , k . Rovnováha Silová soustava je v rovnováze, je-li ekvivalentní s nulovou náhradou, tedy má-li nulovou výslednici. Musí proto platit r r r Fi = F = 0 i
a po rozepsání
Fix = 0 , i
Fiy = 0 , i
Fiz = 0 . i
r Pojem rovnováhy je nejd-ležit jší pro praktickou aplikaci na hmotný bod. Síly Fi ozna,ují ješt stále síly ak,ní i reak,ní, avšak p i psaní konkrétních podmínek rovnováhy již budeme, jak uvidíme, tyto síly od sebe odlišovat.
19
Rovinná soustava sil procházejících jedním bodem Pro soustavu sil které procházejí jedním bodem a navíc leží v jedné rovin , platí stejné úvahy a záv ry jako pro prostorovou soustavu procházející jedním bodem pouze s tím rozdílem, že osa z neexistuje. To znamená, že složkové rovnice ve sm ru osy z se nepíší. P íklad 9 Dáno: F1 , F2 , 2 , 1 , 2 Ur,it: P1 a P2 pro ekvivalenci a rovnováhu
Poznámka: Jedná se o rovinný p ípad a proto píšeme vždy dv rovnice. Sm ry sil P1 , P2 na nositelkách p1 , p 2 zvolíme libovoln . Pokud skute,ná síla bude mít sm r opa,ný, vyjde nám p i ešení znaménko mínus. Ekvivalence Na nositelkách p1 , p 2 chceme ur,it síly P1 , P2 , které vytvo í ekvivalentní soustavu k p-vodní soustav sil F1 , F2 . Podmínky ekvivalence mají tvar F1 + F2 cos F2 sin
2
2
= P1 cos
= P1 sin
1
1
P2 cos
+ P2 sin
2
2
,
.
Z rovnic ur,íme P1 , P2 .
Úlohu m-žeme ešit graficky skládáním sil.
Rovnováha Podmínky rovnováhy mají následující tvar F1 + F2 cos F2 sin
2
2
+ P1 cos
+ P1 sin
1
1
P2 cos
+ P2 sin
2
2
= 0,
= 0.
Op t ur,íme P1 , P2 . P íklad 10 Dáno: F1 , F2 , F3 ,
, 2 Ur,it: Náhradu sil F1 , F2 , F3 1
<ešení provedeme graficky a po,etn . Grafické (ešení
20
Po6etní (ešení Píšeme op t dv podmínky náhrady, kterou m-žeme symbolicky zapsat vektorov
r F=
r Fi . i
Fx = F1 + F2 cos Fy = F2 sin
2
2
F3 cos
+ F3 sin
3
3
,
.
Pro výslednou sílu platí F = Fx2 + Fy2 .
Síly na jedné nositelce Zvláštním p ípadem soustavy sil procházející jedním bodem, aI prostorové nebo rovinné, jsou síly ležící na jedné nositelce. Všechny uvedené pojmy z-stávají v platnosti, pouze vektorové rovnice jsou nahrazeny rovnicemi skalárními. Pro náhradu, ekvivalenci a rovnováhu m-žeme psát následující vztahy náhrada F = Fi i
Fi =
ekvivalence i
Pj , j
Fi = 0 .
rovnováha i
APLIKACE NA HMOTNÝ BOD Až dosud jsme hovo ili o soustav sil procházejících jedním bodem, aniž bychom tomuto bodu p isoudili jakýkoliv fyzikální význam. Uvažujme nyní hmotný bod, na který p-sobí jedna z uvedených silových soustav. Nejv tší fyzikální význam mají úlohy které eší rovnováhu bodu, nebo její podmínky. Ukážeme si nyní p ípady, které se mohou p i ešení rovnováhy hmotného bodu vyskytnout. Znovu si uv domte, že se jedná o aplikaci teorie soustavy sil o spole,ném p-sobišti na hmotný bod. Rovnováha hmotného bodu v rovin' r r r Podmínkou rovnováhy je F = Fi = 0 . Tato podmínka platí pro všechna následující uložení bodu i
v rovin . Síla F je výslednicí ak,ních a reak,ních sil. Zde poprvé za,ínáme rozlišovat síly ak,ní, které na bod p-sobí a síly reak,ní, které vznikají ve vazb , pokud se tato vazba vyskytuje, kterou je bod vázán ke svému okolí. Bod v rovin m-že být podle uložení • volný • vázaný ke k ivce • nehybný (vázaný ke 2 k ivkám)
2° volnosti, 1° volnosti, 0° volnosti.
Nehybný bod U p ípadu nehybného bodu si ukážeme r-zné zp-soby vyšet ování rovnováhy 21
P íklad 11 Dáno: Q, l1 , l 2 , 1 , 2 Ur,it: Síly S1 , S 2 v prutech Po6etní (ešení složkovými podmínkami S1 cos S1 sin
1
1
S 2 cos
+ S 2 sin
2
2
= 0, Q=0 .
Po6etní (ešení momentovými podmínkami
M A = 0 : S 2 l1 sin (
1
+
2
) Q l1 cos
1
= 0,
M B = 0 : S1 l2 sin (
1
+
2
) Q l1 cos
1
= 0.
Grafické (ešení Poznámka: U grafického ešení kreslíme síly a jejich nositelky, kdežto u ešení po,etního používáme složky sil. r r r r Q + S1 + S 2 = 0 .
Graficko-po6etní (ešení S1 + sin ) *2
( 2& '
S2 + sin ) *2
( 1& '
=
=
Q sin ( 1 +
2
)
Q sin ( 1 +
2
)
,
.
Bod vázaný ke kDivce Rozlišujeme jednak hladkou a drsnou k ivku a u drsné k ivky ješt dále dva pohybové stavy a to pohyb a klid.
Hladká k(ivka Podmínku rovnováhy sil zapíšeme vektorovou rovnicí r r Fi + N = 0 i
kterou m-žeme rozepsat do dvou složkových skalárních rovnic Fit = 0 , i
Fin
N =0 .
i
Poznámka: U bodu vázaného ke k ivce s výhodou používáme složky ve sm ru normály a te,ny. 22
Drsná k(ivka a) pohyb Stejn jako u p edcházejícího p ípadu vyjád íme rovnováhu sil rovnicí r r r Fi + R = 0 , i
kterou rozepíšeme do složek ve sm ru te,ny a normály Fit
Nf = 0 ,
Fin
N =0 .
i
i
Pro t ecí úhel
platí =
tg
Nf = f . N
b) klid Platí stejné rovnice jako u p edcházejícího p ípadu kdy se bod pohyboval, ale s jedním d-ležitým rozdílem. Složka T výsledné reakce R není t ecí silou, nýbrž te,nou reakcí, pro kterou platí T 0 Nf !
takže i platí 0
.
P íklad 12 Dáno: l , h2 , h3 , Q1 , Q2 , Q, Ur,it: x Máme ur,it polohu, ve které budou síly p-sobící na bod, realizovaný objímkou, v rovnováze. Objímka koná posuvný pohyb po hladké ty,i. Píšeme dv podmínky rovnováhy Q sin
+ Q2 cos
Q2 sin
2
Q3 cos
2
+ Q3 cos
3
Q cos
3
=0 , =0 ,
kde cos
2
=
cos
3
=
x x + h22 l x 2
(l
,
x ) + h32 2
ze kterých ur,íme neznámé veli,iny N, x. 23
P íklad 13 U bodu vázaného k drsné k ivce chceme ur,it sílu F tak, aby pohyb bodu byl rovnom rný Dáno: Q, , , f Ur,it: F , kdy bude F 0 0 Napíšeme dv podmínky rovnováhy F cos
+ Nf
F sin
+N
=0 ,
Q sin
=0 .
Q cos
Pomocí Cramerova pravidla ur,íme neznámé N a F cos Q sin sin Q cos N= cos f sin 1 Q sin Q cos F= cos sin
f 1 f 1
=
=
Q(cos
Q(sin cos
cos cos
sin f sin
f cos f sin
)=Q
sin
sin cos
)=Q
cos ( + ) cos f sin
f cos f sin
,
.
Odpov Z na otázku, kdy bude F 0 0 získáme z výrazu pro F, položíme-li sin
f cos
00 .
Odtud je tg 0 f .
P íklad 14 Uvažujme dv pružiny spojené za sebou, které tvo í silovou soustavu ležící na jedné nositelce. Dáno: l1 , l2 , k1 , k 2 , l Ur,it: x pro rovnováhu, sílu S y v míst y
Rovnovážná poloha pružin nastane v míst x, kde bude platit S1 = S 2 , Po vyjád ení sil ( Si = ki xi ) dostaneme k1 x1 = k 2 x2 . Po dosazení za x1 = x l1 ,
x2 = l l1
l2
x1 = l l 2
x ,
dostaneme rovnost k1 ( x l1 ) = k 2 (l l 2
x) 24
ze které ur,íme x=
k1 l1 + k 2 (l l2 ) . k1 + k 2
Nyní chceme znát, jak velkou sílu S y musíme vynaložit p i posunutí o y pro dosažení rovnováhy. Musí být spln na podmínka rovnováhy S y + S 21
S11 = 0 .
Po dosazení za S11 a S21 dostaneme S y = S11
S 21 = k1 ( x1 + y ) k 2 (x2
y ) = y (k1 + k 2 ) .
Je užite,né si zapamatovat, že výsledná tuhost dvou pružin p i jejich následujícím uspo ádání je dána uvedenými vztahy.
k=
k1 k 2 , k1 + k 2
k = k1 + k 2 .
Rovnováha hmotného bodu v prostoru Pro rovnováhu platí stejná podmínka, tj. F = Fi = 0 a protože se jedná o prostor, rozepisujeme vektorovou rovnici do 3 skalárních rovnic. Bod v prostoru m-že být podle uložení • volný • vázaný k ploše • vázaný ke k ivce • nehybný (vázaný ke 2 k ivkám)
3° volnosti, 2° volnosti, 1° volnosti, 0° volnosti.
Nehybný bod P íklad 15 Dáno: F , a, b, c, , Ur,it: S1 , S 2 , S 3
25
Vektorovou podmínku rovnováhy rozepíšeme do t í složkových rovnic Fix = 0 : F cos cos
S 2 cos
2
S1 cos
= 0,
i
Fiy = 0 : F sin
S3 = 0 ,
Fiz = 0 : S 2 sin
S1 sin
i
+ F cos sin = 0 .
i
Po vyjád ení úhlcos
=
c a +c 2
2
,
cos
=
c b + c2 2
m-žeme z rovnic vypo,ítat hledané síly S1 , S 2 , S3 . Bod vázaný ke kDivce P íklad 16 Dáno: F , a, b, , , l0 , k , Q, f = 0 Ur,it: x pro rovnováhu Podobn jako u rovinné úlohy máme ur,it polohu objímky, ve které budou síly p-sobící na objímku, která realizuje bod, v rovnováze. Vedení objímky je hladké.
Rovnováhu sil vyjád íme t emi složkovými rovnicemi Fix = 0 : F cos cos
S cos
= 0,
Fiy = 0 : F sin + N y
Q + S cos = 0 ,
i
i
Fiz = 0 : F cos
sin + N z + S cos = 0 .
i
26
Vyjád íme úhly cos
=
x x +a +b 2
2
2
,
cos
=
a x +a +b 2
2
2
cos =
,
b x + a 2 + b2 2
a nyní ješt pot ebujeme ur,it prodloužení pružiny , tj. sílu v pružin S = k . Pro tento ú,el si délky pružiny v po,áte,ní a v kone,né poloze znázorníme ve zvláštním obrázku, ze kterého m-žeme ihned psát x x = cos = , 2 l0 + x + a 2 + b2 po úprav l0 +
= x2 + a2 + b2
a kone,n pro prodloužení dostaneme = x2 + a 2 + b2
l0 .
Nyní m-žeme ze složkových rovnic ur,it hledané neznámé N z , N y , x . Poznámka: Pokud bychom uvažovali drsnou k ivku, musíme vzít do úvahy tvar vedení, tak jak je uvedeno na vedlejším obrázku vpravo , neboI t ecí síla by byla pro oba p ípady odlišná.
4 OBECNÉ SOUSTAVY SIL V tomto oddílu budeme hovo it o obecné soustav sil v rovin a v prostoru. Jak samotný název vypovídá, jedná se o soustavu sil, které jsou v rovin nebo v prostoru libovoln uspo ádány. Pojmy náhrada, ekvivalence a rovnováha zavedené již d íve u soustavy sil procházejících jedním bodem, z-stávají v platnosti i zde. Soust edíme se zejména na pojmy náhrada a rovnováha, neboI ekvivalence dvou soustav sil je, jak jsme již d íve uvedli, založena na skute,nosti, že dv ekvivalentní soustavy sil mají stejnou náhradu. OBECNÁ ROVINNÁ SOUSTAVA SIL Uvažujme soustavu sil Fi , i = 1 ÷ n , v rovin . Chceme provést její náhradu a rovnováhu. Náhrada rovinné soustavy sil Náhradu soustavy sil provedeme v po,átku sou adného systému . Zcela stejn ale m-žeme postupovat pro libovoln zvolený bod v rovin . Silou a momentem v bod2 Použitím základní v ty statiky p esuneme síly Fi do bodu psát následující t i skalární rovnice
Fx =
Fi cos
i ,
Fy =
Fi sin
i
M =
(Fi cos
, i
yi
Fi sin
i
xi ) . 27
a p ipojíme momenty. M-žeme tedy
Velikost a sm r síly F vyjád íme takto
Fy . Fx Z uvedených rovnic m-žeme ur,it hledané veli,iny Fx , Fy , M a dostaneme 1. náhradu obecné rovinné soustavy sil. F = Fx2 + Fy2 , tg =
Jedinou silou
r r r M Použijeme základní v tu statiky a slou,íme F a M . Dostaneme F posunutou o míru a = . F To je 2. náhrada obecné rovinné soustavy sil. Nyní je možné vyslovit následující tvrzení.
Obecnou rovinnou soustavu sil m žeme nahradit silou a dvojicovým momentem ve zvoleném bodu, nebo jedinou silou v jisté vzdálenosti od po,átku sou adnicového systému. Grafické ur7ení výslednice obecné rovinné soustavy sil Náhradu obecné soustavy sil jedinou silou m-žeme provést také graficky pomocí pólového obrazce. Uvažujme síly r r r r F1 ÷ F3 a naším cílem je ur,it jejich výslednici V = Fi , i
pro kterou po rozepsání platí
r r r r V = F1 + F2 + F3 . Vektorový zápis geometricky interpretujeme obrazcem r vpravo. Nyní pot ebujeme ur,it polohu výslednice V . To provedeme tak, že k soustav p ipojíme dv r r pomocné, navzájem se rušící síly + S 0 , S 0 , jak je ukázáno ve složkovém obrazci vpravo dole. Tím vytvo íme trojúhelníky sil, které musí podle axionstatiky procházet jedním bodem, viz silový obrázek vlevo dole. Postupným p echodem od prvního ke t etímu trojúhelníku získáme pr-se,ík pólových paprsk- 0, 3, v levém obrazci dole, které jsou tvo eny r r myšlenými silami (S 0 ), (S 3 ), kterým musí procházet r výsledná síla V .
28
Uvedený postup m-žeme stru,n vyjád it následujícím zápisem r r r r r r V = F1 + F2 + F3 (= S0 + S3 )
r r r Z rovnice plyne, že V prochází pr-se,íkem S 0 a S 3 a je rovna sou,tu
r r S0 + S 3 .
Rovnováha rovinné soustavy sil Jak jsme již uvedli p i ur,ování náhrady obecné rovinné soustavy sil, použili jsme k ešení t i rovnice. Dv z rovnic byly složkové a t etí rovnice byla momentová. Tento po,et rovnic i jejich roz,len ní z-stává v platnosti i pro další postupy. Rovnováha obecné rovinné soustavy sil je vyjád ena t mito t emi rovnicemi. Fi cos
i
= 0,
Fi sin
i
= 0,
i
i
( Fi cos
yi
i
Fi sin
zi ) = 0 .
i
i
V tomto p ípad jsou síly Fi silami ak,ními i reak,ními. Rovinná soustava rovnob'žných sil Jedná se o zvláštní p ípad obecné rovinné soustavy sil, kdy všechny síly jsou rovnob žné. Z rovnob žnosti sil vyplývá, že pro ešení náhrady, rovnováhy, p ípadn ekvivalence, nám posta,í dv rovnice. Nap íklad pro náhradu m-žeme psát F=
Fi , i
F p=
Fi cos
i
yi
Fi sin
i
i
xi
i
Z t chto rovnic ur,íme hledané F, p. P íklad 17 Dáno: F1 , F2 , F3 , y1 , x2 , x3 , 3 , x A , y A F Ur,it: Náhradu silové soustavy v bod A Náhrada sil v bod A musí splAovat tyto podmínky Fx = F1
F3 cos
3
,
Fy = F2 + F3 sin
3
,
M A = F1 ( y1
y A ) + F2 ( x2
x A ) + F3 sin
3
(x3
x A ) + F3 cos
3
yA .
Pro velikost výsledné síly platí F=
(F1
F3 cos
3
)2 + (F2 + F3 sin 3 )2 .
Poznámka: Silové ú,inky v bod A nakreslíme zcela libovoln , neboI sm ry vyjdou výpo,tem. 29
P íklad 18 Dáno: F1 , F2 , F3 , y1 , x2 , x3 , 3 F Ur,it: Výslednici silové soustavy, tj F , , x Poznámka: Všimn te si formulace obou úloh. Nyní hledáme výslednici, tj. velikost a p-sobišt výsledné síly. Grafické (ešení Grafické ešení provedeme pomocí pólových r paprsk- tak, že síly F1 ÷ F3 vykreslíme v m ítku do složkového obrazce a pólové paprsky p eneseme do silového obrazce.
Po6etní (ešení P i po,etním ešení zvolíme míru x i úhel , vyzna,íme F a tyto zvolené veli,iny musí vyhovovat vztah-m Fx = F1
F3 cos
Fy = F2
F3 sin
Fy x = F1 y1
,
3
3
F2 x2
, F3 sin
3
x3 .
Velikost síly ur,íme známým zp-sobem
F= a pro úhel
tg =
(F1
F3 cos
3
)2 + (F2
F3 sin
3
)2
m-žeme psát
Fy Fx
=
F2 F3 sin F1 F3 cos
3
.
3
APLIKACE NA T LESO V ROVIN Provedeme nyní podobn jako tomu bylo u soustavy sil procházejících jedním bodem, aplikaci teorie obecné rovinné soustavy sil na t leso. Z praktického hlediska má op t nejv tší význam rovnováha t lesa a tou se budeme zabývat. Stejn jako tomu bylo u aplikace na hmotný bod, budeme nyní odlišovat síly ak,ní od sil reak,ních.
30
Rovnováha t'lesa v rovin' Rovnováhu t lesa m-žeme ešit • bez pasivních odpor-, • s pasivními odpory. Nejd íve si ale ekneme, kolik stupA- volnosti t leso v rovin m-že mít. Stupn2 volnosti t2lesa v rovin2 Po,et stupA- volnosti t lesa, znázorn ného úse,kou AB v rovin , ur,ujeme vazbovou rovnicí i = 3 3 . M-žeme mít tyto možnosti: • volné t leso • vázané t leso
i = 3o ( x A , y A , ) , i=3 3 , 3 je po,et vazeb (=po,et vazbových podmínek).
Uložení t'lesa v rovin' Uložení t lesa v rovin realizujeme kinematickými dvojicemi, které jsou ideální (bez pasivních odpor-), nebo reálné (s pasivními odpory). Ideální kinematické dvojice rota,ní "r"
i = 1o , 3 = 2 (Rx , R y nebo R,
posuvná "p"
i = 1o , 3 = 2 ( N , x nebo N1 , N 2 ) .
valivá "v"
i = 1o . 3 = 2 ( N, T ) . Pro te,nou reakci platí podmínka T 0 Nf .
).
obecná "o" i = 2o , 3 = 1 (N ) .
Poznámka: 3 je po,et vazbových podmínek a v závorce jsou uvedeny odpovídající vazbové síly. 31
Reálné kinematické dvojice rota,ní "r" Moment ,epového t ení je dán vztahem M 6 = R f 6 r6 , kde f 6 je sou,initel ,epového t ení a r6 je polom r ,epu posuvná "p"
valivá "v" e je rameno valivého odporu a pro te,nou reakci op t platí T 0 Nf .
obecná "o" Rameno valivého zanedbáváme.
odporu
Poznámka: Po,et stupA- volnosti je stejný jako u ideálních kinematických dvojic. Kinematické dvojice ješt doplníme Eulerovým vztahem pro t ení vláken
S2 = S1 e f ešení rovnováhy t'lesa v rovin' Rovnováhu t lesa m-žeme ešit • analyticky - kreslíme složky reakcí, • graficky - kreslíme nositelky výsledných reakcí.
32
e
,asto
Zejména pro grafické ešení si zapamatujte následující t i p ípady uvedení ak,ních sil p-sobících na t leso do rovnováhy: a) silou na dané p ímce a silou procházející daným bodem. b) t emi silami na t ech daných nositelkách (metoda ,ty sil, nebo také metoda ,áste,né výslednice). c) silou na dané p ímce a silou rovnob žnou s daným sm rem. ad a)
ad b)
r r r r F + RA + RB = 0
ad c)
r r r r r F + S1 + S2 + S3 = 0
r r r r F + RA + N = 0
Poznámka: Všechny uvedené p ípady m-žeme ešit po,etn tak, že vektorové podmínky rovnováhy rozepíšeme do dvou složkových a jedné momentové rovnice. P íklad 19 U nakresleného nosníku, zatíženého silou F, chceme ur,it reakce v uložení
Dáno: F , , a, l Ur,it: RA , N B
Z podmínek rovnováhy R Ax R Ay NB l
F cos = 0 , F sin + N B = 0 , F sin
= 0,
ur,íme hledané neznámé RAx , RAy , N B . <ešíme rovnováhu t lesa se t ením. P íklad 20 Dáno: Q, G, f 6 , r6 , r
Z podmínek rovnováhy F R Ax = 0 , G + Q R Ay = 0 ,
Ur,it: Reakce a sílu F Poznámka: Pasivním ú,inkem je moment ,epového t ení.
Fr Q r
2 2 f 6 r6 RAx + RAy =0,
ur,íme hledané neznámé F , RAx , RAy .
33
P íklad 21 Dáno: Q, e, f, Ur,it: F Použitím Eulerova vztahu m-žeme psát S1 = Q e
f
2
,
F = S1 e f .
P íklad 22 Dáno: Q, q [Nm 1 ] Ur,it: Graficky reakce
Postup:
• ur,íme výslednici V spojitého zatížení q, • ur,íme výslednici V a Q pomocí pólových paprsk- 0,1,2, • metodou ,áste,né výslednice ur,íme síly v prutech S 2 , S3 , S 4 .
P íklad 23 Dáno: G, , r1 , f1 , f 2 , f 3 , r3 Ur,it: Q tak, aby b emeno klesalo rovnom rn Použijeme Euler-v vztah Q = S e f3 ,
=
+ 2 a napíšeme podmínky rovnováhy
S sin + N 2 f 2 G + N1 = 0 , S cos N 2 + N1 f1 = 0 , S r2 N 2 f 2 r1 N1 f1 r1 = 0 , odkud ur,íme neznámé Q, S , N1 , N 2 . 34
P íklad 24 Dáno: Q, m, f 6 , r6 , r , Ur,it: F pot ebnou k vytažení b emene Z podmínek rovnováhy F cos + Rx = 0 , R y + mg + Q = 0 ,
F sin
Fr Qr
M6 = 0 ,
kde M 6 = Rx2 + R y2 f 6 r6 , ur,íme F , Rx , Ry . Situaci p i ešení nám komplikuje výraz pro moment ,epového t ení, který do ešení vnáší nelinearitu. <ešení nelineárního problému provedeme buZ p ibližn linearizací, nebo fyzikální iterací. Cešení nelineárního problému 1) Linearizací použitím Ponceletova vztahu
Rx2 + Ry2 = 0,96 Ry + 0,4 Rx ( pro Ry > Rx ) . 2) Fyzikální iterací tak, že nelineární ,leny p evedeme do vektoru pravé strany cos
1
0
F
sin r
0 0
1 0
. Rx = mg Q 2 2 Ry Q r + f 6 r6 R x + R y
0
<ešení provádíme v postupných krocích 1. krok pro f 6 = 0
F (1) , Rx(1) , R y(1) = ?
2. krok pro f 6 4 0
F ( 2 ) , Rx( 2 ) , R y( 2 ) = ?
3. krok pro f 6 4 0
………….
5 OBECNÁ PROSTOROVÁ SOUSTAVA SIL Prostorovou soustavu sil Fi , i = 1 ÷ n , nelze nahradit jedinou silou, neboI nelze složit dv mimob žné síly bez p ipojení momentu. Budeme se op t zabývat náhradou a rovnováhou obecné prostorové soustavy sil.
35
Náhrada prostorové soustavy sil Postupujeme zcela stejn jako u obecné rovinné soustavy sil, tj. pro náhradu v po,átku , nebo v libovoln zvoleném bodu, p esouváme paraleln jednotlivé síly a p ipojujeme dvojicové momenty. Dostaneme následující soustavu t í složkových a t í momentových rovnic Fx =
Fix = i
Fi cos
Fx , F F cos = y , F F cos = z . F
,
i
i
Fy =
Fiy =
Fi cos
i
i
,
i
Fz =
Fiz = i
Fi cos
i
=
cos
,
i
Velikost výsledné síly získáme jako absolutní hodnotu vektoru F = Fx2 + Fy2 + Fz2 .
Mx =
M ix = i
My =
Fiy zi ) ,
(Fix zi
Fiy xi ) ,
Mx , M M cos µ = y , M M cos7 = z . M cos 5 =
i
M iy = i
Mz =
(Fiz yi i
(
M iz = i
Fix yi + Fiy xi ) ,
i
Pro velikost momentu m-žeme op t psát M = M x2 + M y2 + M z2 . M-žeme proto vyslovit následující tvrzení. r r Obecnou prostorovou soustavu sil lze nahradit výslednou silou F a dvojicovým momentem M . r r Pro libovolnou polohu po,átku dostaneme stejnou výslednici F , ale r-zný moment M . r Protože výsledná síla je vždy stejná, íkáme, že F je první vektorový invariant obecné prostorové soustavy r sil. Promítnutím vektoru momentu M do sm ru síly r r r F , dostaneme moment M 0 . P eložíme nyní sílu F a r r moment M z bodu do bodu A . Dvojicový moment r M m-žeme p esunout bez problému, avšak p i r posunutí síly F je nutné podle základní v ty statiky r r p ipojit moment rA × F , takže v bod A budeme mít moment (znaménko (-) je dáno orientací polohového r vektoru rA )
r r MA = M
r r rA × F / F
r Po skalárním vynásobení vektorem F dostaneme r r r M A F = (M
r r r r rA × F ) F = M F
M0
8 r r 6474 (rA × F ) F = F M cos = M 0 F .
Z porovnání obou skalárních výraz- plyne 36
M 0 = M cos = M A cos
= konst.
A
r M-žeme proto íci, že M 0 je druhý vektorový invariant obecné prostorové soustavy sil. Rovnováha prostorové soustavy sil r r r r Aby byla silová soustava v rovnováze, musí být F = 0, M = 0 , tedy musí být spln ny rovnice Fix = 0,
M ix = 0,
i
i
Fiy = 0,
M iy = 0,
i
i
Fiz = 0,
M iz = 0,
i
i
které tvo í 6 skalárních podmínek rovnováhy. Složkové podmínky lze nahradit momentovými podmínkami. P ipomeneme si, že zde op t Fi a M i p edstavují ú,inky ak,ní i reak,ní. ROVNOB ŽNÉ SÍLY V PROSTORU Jedná se o zvláštní p ípad obecné prostorové soustavy sil, kdy všechny síly, podobn jako tomu bylo v rovin , jsou rovnob žné s jedním sm rem. V technické praxi má tento p ípad velký význam, jak uvidíme v následující kapitole v nované ur,ování t žišt . Budeme se zabývat náhradou a rovnováhou. Náhrada Náhradu rovnob žných sil v libovolném bod A m-žeme vyjád it vektorovými rovnicemi r r r r F = Fi , M = M i , i = 1 ÷ n , které po rozepsání budou p edstavovat t i skalární rovnice i
i
F=
Fi , M x = i
M ix , i
My =
M iy . i
Jak vidíme z obrázku, provedli jsme rovnob žné posunutí jednotlivých sil do zvoleného bodu a p ipojili dvojicové momenty. Pro náhradu píšeme tedy t i podmínky, z toho je jedna složková a dv jsou momentové k osám které r r jsou kolmé na sm r sil. Protože je M F , m-žeme op tovným použitím základní v ty statiky soustavu rovnob žných sil v prostoru nahradit jedinou výslednou silou tak, jak uvidíme dále. Rovnováha r r r r Aby bylo dosaženo rovnováhy, musí být op t spln no, že F = 0, M = 0 , tedy musí platit Fi = 0 , i
M ix = 0 , i
M iz = 0 . i
M-žeme proto íci, že pro rovnováhu píšeme op t t i podmínky a to jednu složkovou a dv momentové. 37
StDedisko soustavy rovnob'žných sil v prostoru St edisko soustavy S je bod, kterým prochází výslednice rovnob žných sil v prostoru. Uvažujme, že jsme soustavu rovnob žných sil nahradili jedinou výslednou silou r F=
r Fi . i
Vektory m-žeme vyjád it jako sou,in jednotkového vektoru a hodnoty vektoru, tedy
r r r rr Fi = e Fi , F = e F . r r Aby síla F byla jedinou výslednou silou, musí platit rs × F =
r r ri × Fi . i
Po dosazení za vektory sil z p edcházejícího vztahu dostaneme r r r r r rs F × e = ri Fi × e . i r Protože e se vyskytuje na obou stranách rovnice, musí platit rs F = ri Fi , i
odkud získáme polohový vektor st ediska soustavy r ri Fi r rs = i . Fi APLIKACE NA T LESO V PROSTORU
Podobn jako u obecné rovinné soustavy sil budeme získané teoretické poznatky aplikovat na t leso a to na jeho rovnováhu, která má dominantní technický význam. Nejd íve se ale musíme zmínit o po,tu stupA- volnosti t lesa v prostoru a o zp-sobech jeho uložení. Po,et stupA- volnosti t lesa v prostoru je dán vazbovou rovnicí i = 6 3 , kde 3 je po,et vazeb, respektive po,et stupAvolnosti odebíraných vazbami. M-žeme mít tyto možnosti
volné t leso, vázané t leso ,
i = 6o , o i = (6 3 ) .
Uložení t'lesa v prostoru Možností uložení t lesa v prostoru je celá ada a nelze je tak jednoduše uspo ádat jako jsme to ud lali pro rovinný p ípad. Uvedeme základní vazby t lesa k rámu a jejich kombinace a variace nyní ponecháme stranou.
38
Vazba bodu t2lesa k rámu
Vazba plochy t2lesa k (ploše) rámu nekongruentní plochy (nesplývající): dotyk v bod nebo v k ivce
i = 3o , 3 = 3
i = 3o , 3 = 3 tvo í vyšší kinematickou dvojici (ozubená kola).
Vazba k ivky t2lesa k rámu radiální ložisko i = 2o , 3 = 4 kongruentní plochy (splývající): dotyk ve všech bodech
radiaxiální ložisko
posuvné uložení
i = 1o , 3 = 5
i = 1o , 3 = 5
P íklad 25 Dáno: F1 , F2 , a, b, c, d Ur,it: Reakce v úložných místech
Pro rovnováhu píšeme šest podmínek rovnováhy RAX = 0 , RAy + RB y + RC y RAz + RB z
F1 = 0 ,
F2 = 0 ,
RC y b F1 b = 0 , RB z d
F2 a = 0 ,
RB y d
F1 a = 0 ,
ze kterých ur,íme šest reakcí RAx , RAy , RAz , RB y , RB z , RC y . Poznámka: Celkem jsme stanovili šest reakcí. To znamená, že t leso je uloženo nehybn . 39
P íklad 26 Dáno: F , M , , , 5 , µ , , , l , a, b, c Ur,it: Reakce Nejd íve vyzna,íme reak,ní síly ve vazbách. Jsou to Rx , R y , Rz , N x , N y , S . Napíšeme šest podmínek rovnováhy Fix = 0 :
F cos + Rx + N x + S cos = 0 ,
Fiy = 0 :
F cos
Fiz = 0 :
F cos + Rz + S cos 8 = 0 ,
i
+ Ry + N y + S cos = 0 ,
i
i
Mx = 0:
M cos 5
Ny l
S cos b S cos 8 c = 0 ,
My = 0:
M cos µ
N x l + S cos b + S cos 8 a = 0 ,
Mz = 0:
M cos7
S cos c + S cos a = 0 ,
i
i
i
ze kterých ur,íme hledané reak,ní síly Rx , R y , Rz , N x , N y , S . P íklad 27 Dáno: Q, rozm ry Ur,it: Síly v záv sných lanech a rozhodnout, který z výsledk- A, B, C je správný.
Postup: K ešení použijeme momentové podmínky rovnováhy k vyzna,eným osám o1 , o2 .
Odpov3di: a b , S3 = Q . s2 s3 a b B) S1 = S 2 + S3 Q , S 2 = ( S 2 + S3 ) , S3 = Q . s2 s3 b a C ) S1 = Q ( S 2 + S3 ) , S 2 = Q , S3 = Q . s2 s2 A) S1 = Q ( S 2 + S3 ) , S 2 = Q
T ŽIŠT
Vrátíme se nyní k soustav rovnob žných sil v prostoru a zejména k ur,ování jeho st ediska. V b žném život ,asto slýcháme, nebo i sami používáme pojem t žišt . T žišt je st edisko rovnob žných elementárních tíhových gravita,ních sil. Cílem této kapitoly je ukázat ur,ování t žišI r-zných geometrických objekt-. Naše úvahy rozd líme na t žišt rovinných a prostorových útvar-. 40
T'žišt' rovinných útvarM Podle tvaru rovinného útvaru m-žeme ešení provád t • graficky, • po,etn z ekvivalence statických moment-, p ípadn použitím Pappových v t, nebo též jinak nazýváno Guldinova pravidla. Graficky Chceme ur,it t žišt desky daného tvaru. Postup: Útvar se skládá z jednoduchých díl,ích obrazc-, jejichž t žišt známe a umístíme do nich síly úm rné jejich plochám, tedy
F1 = a b , F2 =
r2 .
Protože kruh chybí, sílu F2 ode,teme. Pomocí pólového obrazce nalezneme výslednici a její polohu. Síly oto,íme o
a postup zopakujeme. V pr-se,íku svislé a vodorovné síly F je t žišt .
2
Pappovy v2ty Pappovy v ty, nebo též pod jiným názvem Guldinovo pravidlo jsou dv . Pro plochu a pro objem
1. Plocha rota6ního t3lesa je rovna sou6inu délky rovinné k(ivky a délky kružnice opsané t3žišt3m této k(ivky. 2. Objem rota6ního t3lesa je roven sou6inu plochy rovinného obrazce a délky kružnice opsané t3žišt3m tohoto obrazce. Podle první Pappovy v ty ur,íme t žišt p-lkružnice, neboI m-žeme psát 4 r2 = r 2
yT ,
odkud je yT =
2r
.
Podle druhé Pappovy v ty ur,íme t žišt p-lkruhu. Pro tento p ípad platí 4 3 r2 r = 2 3 2
yT
yT =
4r . 3
Ekvivalence statických moment Nejprve si musíme zapamatovat, že statickým momentem rozumíme sou,in váhy, hmoty, obsahu plochy nebo délky k ivky a vzdálenosti. Formáln se podobá momentu síly, avšak fyzikáln má zcela jiný význam. Pro nakreslený obrazec platí, že statický moment obsahu plochy je roven sou,tu ploch elementárních obdélník-, což m-žeme zapsat výrazem 41
b
F xT = - dF x . a
Stru,n m-žeme tedy vyslovit následující tvrzení. Statický moment celkové plochy je roven algebraickému sou6tu statických moment9 elementárních ploch. Potom pro sou adnici t žišt plochy je možné psát b
xT =
- f ( x ) xdx a b
- f ( x ) dx
b
, kde F = - dF = - f ( x ) dx . a
a
Platí následující v ta: T žišt T 1 plochy F 1 , která je pr-m tem plochy F, je v pr-m tu t žišt T plochy F. P íklad 28 Dáno: a, b Ur,it: T žišt plochy ohrani,ené pravoúhlým trojúhelníkem P i ur,ování sou adnice xT použijeme podmínku ekvivalence statických momenta
1 ab xT = - y dx x . 2 0 Protože platí
y b = , m-žeme výraz na pravé stran p epsat a dostaneme x a a
b b a3 1 ab xT = - x 2 dx = , a 2 a 3 0 2 a . 3 Pro ur,ení sou adnice yT m-žeme použít druhou Pappovu v tu když si uv domíme, že rotací kolem x vznikne kužel. Platí proto
odkud již vyjád íme sou adnici t žišt ve sm ru osy x, která je xT =
1 1 ab 2 = ab 2 3 2
yT
yT =
b . 3
Poznámka: Sou adnici xT m-žeme samoz ejm také ur,it pomocí Pappovy v ty, neboI platí ab 1 2 a b= 2 xT1 3 2
xT1 =
a . 3
42
P íklad 29 Dáno: a, b Ur,it: T žišt plochy ohrani,ené ,tvrtelipsou Protože rotací plochy ,tvrtelipsy vzniknou objemy polovin elipsoid-, uvedeme si nejd íve tyto objemy pro nazna,ené sm ry rotací Podle druhé Pappovy v ty m-žeme pro ur,ení sou adnice xT psát V F 2 xT = 1 , 2 kde ab 4 2 F= , V1 = a b . 4 3
V1 =
4 a2 b 3
V2 =
4 ab 2 3
Po dosazení a úprav dostaneme pro xT 4 a2 b 4a 3 2 = . xT = 2 ab 3 4 Podobn pro sou adnici yT dostaneme F2
yT =
V2 , 2
+F = ) *
ab 4 a b 2 (& , V1 = 4 3 '
yT =
4b . 3
T'žišt' prostorových útvarM P i ur,ování t žišI prostorových útvar- vycházíme vždy z ekvivalence statických moment-. Nejlépe bude, když postup budeme demonstrovat na konkrétním p ípadu ur,ení t žišt komolého kužele. Podle podmínky ekvivalence statických moment- m-žeme psát V yT = - dV y .
Pro komolý kužel m-žeme napsat úm ru
Fy y2
=
F h22
Fy = F
y2 , h22
kde Fy a F jsou obsahy ploch ve vzdálenosti y a h2 od vrcholu. Objem komolého kužele m-žeme vyjád it jako sou,et objem- elementárních válc-
V = - Fy dy =
F h23 h23 . h22 3
Po dosazení do první rovnice m-žeme vyjád it sou adnici t žišt
yT
dV =V
y
h24 =
h23
h14 4
3 h24 = h13 4 h23
h14 . h13
3 43
P íklad 30 Dáno: a, b Ur,it: T žišt poloviny elipsoidu
Jedná se o ur,ení t žišt prostorového útvaru a proto vyjdeme z podmínky ekvivalence statických momenta
V xT = - dV x . 0
Celkový objem ur,íme jako sou,et elementárních objema
V = - dV = = - y 2 dx . 0
Z rovnice elipsy v osovém ezu vyjád íme závislost y = y ( x ) + x2 ( y 2 = )1 2 & b 2 . * a '
x2 y2 + =1 a 2 b2
Po dosazení do první rovnice dostaneme a
a
a
+ 2 b2 2 ( b2 a2 dV x y dx x b x x dx ) & - * a2 ' 2 xT = 0 a = 0a = 0a = a 2 + 2 b 2( 2 2 -0 dV -0 y dx -0 )* b a 2 x &' dx b a 2
b2 a 4 b2 a2 2 2 a 2 4 = 4 = 3b a = 3 a . 2 2 b 2 a3 8b 2 a 8 b a 3 a2 3
VNIT NÍ STATICKÉ Ú@INKY Na konec využijeme získaných znalostí o prostorové soustav sil k ur,ení vnit ních statických ú,ink- t lesa, které se používají v p edm tu pružnost a pevnost. Vnit ními statickými ú,inky r nazýváme silové ú,inky, kterými je namáhán zvolený ez t lesa. T mito ú,inky jsou síla F 1 a r moment M 1 . Musíme si zapamatovat následující v tu: Vnit(ní statické ú6inky ur6ujeme jako náhradu všech silových ú6ink9 p9sobících po jedné stran3 (ezu provedenou v jednom bod3 roviny (ezu. P i ur,ování vnit ních statických ú,ink- postupujeme tak, že nejd íve provedeme rovnováhu celého t lesa a z rovnovážných podmínek ur,íme reak,ní ú,inky. Uvažujme, že na t leso p-sobí síly Fi a Q j , které p edstavují síly ak,ní i reak,ní. Pro rovnováhu musí proto platit 44
r r Qj = 0 ,
r Fi + i
i
j
r M Fi +
r r MQj = 0 .
j
Nyní na vybraném míst t lesa provedeme myšlený ez a jednu z ,ástí, t eba pravou, odejmeme. Odstran nou ,ást nahradíme silou F 1 a dvojicovým momentem M 1 a provedeme rovnováhu zbylé ,ásti s p idanými silovými ú,inky F 1, M 1 . Nezáleží na tom, kterou ,ást pro rovnováhu vybereme. Rozdíl bude jenom ve znaménkách silových ú,ink-. Pro rovnováhu zbylé, levé, ,ásti platí vztahy r r Fi = 0 ,
r F1 +
r M1+
i
i
r r M Fi = 0
odkud ur,íme hledané silové ú,inky. r F1 =
r r Fi , M = i
i
r M Fj .
Složky t chto ú,ink- ozna,ujeme N Ty , Tz
normálná síla, smykové, posouvající síly,
MK M 0y , M 0z
kroutící moment, ohybové momenty.
P íklad 31 Dáno: F Ur,it: Vnit ní statické ú,inky v míst x.
Z rovnovážných podmínek R Ax
RAy + N B NB l
= 0,
F cos
F sin
F sin
=0,
a =0,
ur,íme reakce RAx , RAy , N B . Nyní provedeme rovnováhu pravé ,ásti, je to výhodn jší, a dostaneme vnit ní statické ú,inky v míst x N = 0, T = N B , M 0 = N B (l x ) .
45
6 ROVINNÉ SOUSTAVY T LES SLOŽENÍ A VYTVÁ ENÍ ROVINNÝCH SOUSTAV Soustavou t les nazýváme seskupení alespoA t í t les. Soustavy d líme na • nepohyblivé • pohyblivé
0° volnosti 1° volnosti 2° volnosti
mechanismy, diferenciály.
Jednotlivá t lesa tvo ící soustavu jsou navzájem spojena kinematickými dvojicemi. Ukážeme si nyní základní mechanismy a nehybné skupiny, jejichž skládáním m-žeme vytvá et mechanismy a nehybné soustavy s komplikovan jší strukturou. D íve než si základní soustavy ukážeme, nau,íme se ur,ovat stupeA volnosti rovinných soustav. Stupe? volnosti rovinné soustavy Po,et stupA- volnosti rovinné soustavy ur,ujeme rovnicí vazbové závislosti i = 3(n – 1) –2(r+p+v) – 0 , kde „r“, „p“, „v“ jsou již d íve uvedené kinematické dvojice, které soustav odnímají každá 2° volnosti. Obecná dvojice „o“ odnímá 1º volnosti. Ukážeme si použití na jednoduchých p ípadech i = 3 2 2 (2 ) = 6 4 = 2o
i = 6 2 (3) = 0 … Jedná se o trojkloubový nosník, který je nejjednodušší nepohyblivou soustavou ve statice. Také jí nazýváme binární skupinou. Poznámka: Všimn te si r-zného zakreslení uložení ,len- na základním rámu, který vždy ozna,ujeme ,íslem 1, u obou p ípad-. Jedná se o formální úpravu, která nem ní nic na skute,nosti, že se vždy jedná o rota,ní kinematickou dvojici. i = 9 2 (5) = 1 … Znaménko (-) znamená, že se jedná o soustavu staticky neur,itou prvního stupn . Binární skupinu (5 + 6) lze p ipojit k libovolné soustav , aniž se tím zm ní stupeA pohyblivosti této soustavy a naopak, odejmeme-li základní skupinu, stupeA pohyblivosti se op t nezm ní. P ipojením binárního 6lenu (prut 5) se stupeA pohyblivosti soustavy zmenší o 1 a obrácen .
46
Základní mechanismy Rozd líme je podle po,tu ,len- na mechanismy ,ty ,lenné a troj,lené. @ty ,lenné mechanismy Klikový
Whitworth-v
Pravoúhlá kulisa
bty kloubový
Troj,lenné mechanismy Tyto mechanismy vždy obsahují obecnou dvojici Va,kový mechanismus
zaoblený zvedák
Mechanismus ozubených kol
plochý zvedák
Základní nehybné skupiny Binární skupina
Ternární skupina
Dvouternární skupina
47
STATICKÉ EŠENÍ SOUSTAV P i ešení budeme rozlišovat soustavy bez pasivních odpor- a soustavy s pasivními odpory a dále ešení rozd líme na po,etní a grafické. EŠENÍ SOUSTAV BEZ PASIVNÍCH ODPORC P ed vlastním ešením si zapamatujeme, že nezatížený binární ,len m-že mezi dv ma t lesy A, B p enášet následující silové ú,inky.
Poznámka: Nezatíženým binárním ,lenem rozumíme, že na tento ,len nep-sobí žádná vn jší síla. Po7etní Dešení soustav <ešení je stejné pro pohyblivé i nepohyblivé soustavy a provádíme ho uvolOováním jednotlivých ,len- soustavy. P i ešení ur,ujeme silové ú,inky ve vazbách, tedy reakce mezi t lesy a v p ípad pohyblivých soustav ješt silový ú,inek pot ebný pro dosažení rovnováhy. Kolik stupA- volnosti má vyšet ovaná soustava, tolik silových ú,ink- musíme p ipojit pro rovnováhu (každý na r-zný ,len!). Ukážeme si postup na konkrétních p ípadech. P íklad 32 Dáno: G, F , Q, a, b, c, l Ur,it: Reakce Jedná se o nepohyblivou soustavu a proto ur,ujeme jenom síly ve vazbách. Uvolníme ,leny 2 a 3 a pro každý z nich napíšeme t i podmínky rovnováhy. 6len 2
6len 3 Pro ,len 2 dostaneme Ax Bx = 0 . Ay + B y F = 0 . Fa
By b = 0
48
a pro ,len 3 Bx + Q C x = 0 , By C y + G = 0 , Bx l
By b + Q c = 0 .
Z rovnic ur,íme hledané Ax , Ay , Bx , B y , C x , C y . Poznámka: • Sílu G p-sobící ve sty,níku B m-žeme zahrnout p i uvolAování buZ ke ,lenu 2, nebo 3. • Všimn te si, že vylou,ením Bx , By dostaneme rovnováhu mezi vn jšími silami a vn jšími reakcemi! P íklad 33 Dáno: F, Q, rozm ry Ur6it: Reakce a M pro rovnováhu. Jedná se o pohyblivou soustavu a proto musíme p ipojit pro rovnováhu vn jší ú,inek, kterým je moment M. 6len 2 Bx By
Ax = 0 , Ay = 0 ,
Bx a + B y b + M = 0 .
6len 3
6len 4
Bx C x = 0 , By + C y Q = 0 ,
Cx + F = 0 , Cy N = 0 ,
B y e + Bx b Q c = 0 .
N x F (d + g ) = 0 .
Ze získaných devíti rovnic ur,íme hledané reakce a moment Ax , Ay , Bx , B y , C x , C y , N , x, M . Grafické Dešení soustav Pro grafické ešení je velmi užite,ná znalost následujících v t.
1. Vn jší síly a vn jší reakce jsou v rovnováze. 2. Je-li soustava zatížena n kolika silami platí, že výsledné reakce v každém jednotlivém kloubu se rovnají geometrickému sou,tu díl,ích reakcí nalezených pro p ípad, že každá ze sil by p-sobila sama (princip superpozice). Platí pro soustavy bez pasivních odpor-. 49
3. Jestliže složka n jaké síly p-sobí do kloubu na základním rámu, pak se tímto kloubem p ímo zachytí a nevyvodí žádné jiné reakce Poznámka: Pro vlastní postup ešení je d-ležité v d t že: • u grafického ešení kreslíme nositelky reakcí, nikoliv reakce samotné, nebo jejich složky! • p i ešení vycházíme od nezatížených ,len-, kde známe nositelky reakcí, neprovádíme uvolAování! • p i grafickém ešení vždy musíme mít k dispozici výkres v m ítku.
Nepohyblivé soustavy P9sobí jedna síla Dáno: F Ur,it: Reakce
P9sobí více sil <ešení provedeme superpozi,ní metodou. Dáno: F1 , F2 Ur,it: Reakce
<ešení provedeme pro každou sílu zvlášI a v jednotlivých sty,nících provedeme geometrický sou,et díl,ích reakcí. P9sobí F1:
P9sobí F2:
Pohyblivé soustavy <ešení pohyblivých soustav je shodné s ešením soustav nepohyblivých s tím, že navíc hledáme silový ú,inek pro dosažení rovnováhy. Op t pro každý ,len soustavy kreslíme trojúhelník sil, u metody ,áste,né výslednice ,ty úhelník sil. Situace je z ejmá z ešení následujících mechanism-, kde F je p-sobící silou. 50
bty kloubový mechanismus
r r r r RA + F + S3 = 0 , r r r r S3 + S + RD = 0 .
r r r r RA + F + RB = 0 , r r r r RB + S + S 4 = 0 .
Whitworth-v mechanismus r r r r r F + R1 + R2 + N1 = 0 , r r r r RA + N 2 + S = 0 , r r r r N1 + N 2 + N 3 = 0 .
Poznámka: Rovnováhu rovnob žných sil N1 , N 2 , N 3 p-sobících na ,len 4 ešíme pomocí pólového obrazce.
Složený mechanismus r r r r F + N + RD = 0 , r r r r N + RC + RB = 0 , r r r r RB + S + R A = 0 .
ešení soustav s pasivními odpory <ešení m-žeme op t provád t po,etn nebo graficky. P i po,etním ešení používáme metodu uvolAování a uvažujeme reálné kinematické dvojice stejn jako u ešení grafického, kde ale nesmíme použít metodu superpozice. P i grafickém ešení provedeme nejd íve ešení bez pasivních ú,ink- a pak následn , kdy již známe sm ry reak,ních sil, provedeme ešení s pasivními ú,inky. My se budeme v novat jenom ešení po,etnímu a situaci budeme demonstrovat na p íkladu. P íklad 34
Dáno: m2 , m3 , m4 , r2 , r3 , f 6 , r6 1 , r6 2 Ur,it: M H , reakce Provedeme uvoln ní jednotlivých ,len-
6len 2
51
6len 3 ,len 2:
RAx = 0 , R Ay m2 g S1 = 0 , MH
M 61 = 0 ,
kde M 61 = RAy f 6 r6 1 . ,len 3: 6len 4
S1 + S 2 m3 g R = 0 , S1 r3 S 2 r3 M 6 2 = 0 , kde
,len 4:
M 6 2 = RB f 6 r6 2 .
RB m4 g = 0 , M 6 2 m4 g x = 0 .
Ze získaných rovnic ur,íme hledané neznámé M , RAx , RAy , S1 , S 2 , RB , x .
SOUSTAVY S OZUBENÝMI KOLY Soustavy s ozubenými koly m-žeme rozd lit podle r-zných hledisek. Použijeme-li hledisko uspo ádání a po,tu stupA- volnosti, m-žeme schematicky použít následující ,len ní: soustavy: rovinné sférické prostorové
p edlohové 1°, planetové 1°, diferenciální 2°.
Ukážeme si typické uspo ádání p edlohové a planetové soustavy. P(edlohová soustava Osa každého ozubeného kola je pevná
Planetová soustava
2 3 4 5
centrální kolo, satelit, unaše,, korunové kolo.
ešení soustav s ozubenými koly <ešení p edlohových soustav provádíme stejn jako u jiných soustav, není zde žádná zvláštnost. Ukážeme si proto po,etní ešení u páru ozubených kol a u planetového soukolí s dvojitým satelitem. basto píšeme jenom momentové podmínky rovnováhy, když nepot ebujeme reakce v uložení. 52
Dáno: M 2 , r2 , r3 , m2 , m3 , Ur,it: Reakce, M 3
Mezi složkami síly N platí vztah R = T tg
.
Kolo 3: Bx R = 0 , B y T m3 g = 0 ,
Kolo 2: Ax R = 0 , Ay + T m2 g = 0 ,
M 2 Tr2 = 0 .
M 3 Tr3 = 0 .
Z uvedených rovnic m-žeme ur,it Ax , Ay , B x , B y , M 3 , T . Dáno: M 2 , n2 , z 2 , z 3 , z 31 , z 4 Ur,it: M 4 , n4 Jedná se o planetové soukolí s dvojitým satelitem a ešení op t provedeme uvoln ním jednotlivých ,len-. Protože nehledáme reakce, budeme pro uvoln né ,leny psát jenom momentové podmínky rovnováhy.
53
Pro jednotlivé ,leny m-žeme psát následující momentové podmínky rovnováhy
M2
F2 r2 = 0 , F3 r31 = 0 ,
F2 r3 M5
Poznámka: Rovnováhu ,lenu 3 provedeme tak, že síly F3 , F2 p eložíme do osy satelitu a p ipojíme dvojicové momenty.
( F2 + F3 ) (r2 + r3 ) = 0 .
Ze druhé rovnice získáme F3 = F2
r3 r = M2 3 . r31 r2 r31
Ze t etí rovnice ur,íme hledaný moment na unaše,i M5 = M2
(r2 + r3 ) (r3 + r31 ) r2 r31
.
54
KINEMATIKA 7 KINEMATIKA HMOTNÉHO BODU Pohyb bodu m-žeme popsat vztahy
r r r r r = r (t ) , r = r ( s ) , s = s (t ) , r kde r ( s ) , s (t ) jsou spojité a diferencovatelné funkce a délka oblouku s je p irozený parametr. Rychlost a zrychlení jsou definovány vztahy r dr [ms v= dt
1
],
r d 2 r dv [ms a= 2 = dt dt
2
Podle trajektorie d líme pohyb na • p ímo,arý, • k ivo,arý – rovinný, – prostorový. r P ímo,arý pohyb po p ímce p se sm rovým vektorem p m-žeme popsat vektorovým vztahem r r r r p × [r (t ) r (t 0 )] = 0 . r Rovinný pohyb v rovin , která má normálu n , je ur,en výrazem
r r r r n × [r (t ) r (t0 )] = 0 . P ÍMO@ARÝ POHYB BODU
Ztotožníme-li p ímku p se sou adnicovou osou r r x, bude platit p = x , p = i a pohyb m-žeme popsat skalárními rovnicemi. Pro rychlost a zrychlení platí následující vztahy dx v= , dt
dv d 2 x d (v 2 ) = = a= dt dt 2 2dx
+ ( ) dv dx v dv d (v 2 ) & = = )a = & , 2dx & dx { dt dx ) * ' v
kde zejména poslední výraz pro zrychlení je velmi užite,ný. P ímo,arý pohyb bodu d líme podle zrychlení na a) a = 0 b) a = konst c) a 4 konst
rovnom rný, rovnom rn zrychlený, zpožd ný, nerovnom rný. 55
].
P i ešení prvních dvou p ípad- m-žeme pro vyjád ení rychlosti a dráhy použít výrazy ur,ené z defini,ních vztah-. P i ešení t etího p ípadu vycházíme z defini,ních vztah-. ad a)
a = 0 , v = konst , x = x0 + v t ,
ad b)
a = konst , v = v0 ± at , v = v02 ± 2ax ,
x = x0 + v0 t ±
1 2 at pro a <> 0 . 2
Pr-b h zrychlení rychlosti a dráhy m-žeme graficky znázornit následovn
ad c)
a 4 konst ., p i ešení se musí použít defini,ní vztahy tak, jak si ukážeme na následujících p íkladech.
P íklad 35 Dáno: a = k 2 x Ur,it x = x (t ) Protože je dáno a = a( x ) a chceme ur,it x = x(t ) , použijeme k ešení defini,ní vztah, který obsahuje všechny t i veli,iny (a, x, t), tj.
a=
d2 x = k2 x . dt 2
Po p epsání dostaneme
d2 x + k2 x = 0 . 2 dt Jedná se o diferenciální rovnici druhého ádu s konstantními koeficienty, k jejíž ešení použijeme metodu charakteristické rovnice, u které p edpokládáme ešení ve tvaru 5t
5t
x = e , x& = 5 e 5 t , &x& = 52 e . Potom platí x = C1 e51 t + C2 e52 t pro 51 4 52 , x = C1 e 5 t + t C2 e 5 t pro 51 = 52 = 5 . Po dosazení do p-vodní rovnice a vyd lení e5 t dostaneme charakteristickou rovnici 56
52 + k 2 = 0
51, 2 = ± i k .
Po dosazení do výrazu pro x dostaneme x = C1 ei k t + C2 e
ikt
.
Použijeme goniometrický tvar pro komplexní ,íslo a dostaneme
x = C1 (cos k t + i sin k t ) + C2 (cos k t i sin k t ) . ¨Slou,íme reálné a imaginární ,ásti a p ezna,íme konstanty x = (C1 + C2 ) cos k t + (C1 C2 ) i sin k t = A cos k t + B sin k t . Pro ur,ení A, B pot ebujeme ješt jednu rovnici, kterou získáme derivací rovnice pro x. v = x& = A k sin k t + B k cos k t .
Pro po,áte,ní podmínky t = 0 , v = v0 , x = x0 . Ur,íme konstanty A, B, A = x0 , B =
v0 , k
které dosadíme do výchozí rovnice a získáme hledaný vztah x = x (t ) x = x0 cos k t +
v0 sin k t . k
Poznámka: <ešený p íklad má velkou d-ležitost v dynamice, kde p edstavuje matematický model kmitavého pohybu. P íklad 36 V jaké vzdálenosti x musí motocykl odbo,it z p ímého sm ru, aby ,as, který pot ebuje k cest z A do B, byl minimální, když rychlost po odbo,ení bude polovi,ní? Dáno: v1 = 36 kmh 1 , l = 15km, h = 5 km Ur,it: x
Jedná se o pohyb rovnom rný. Vyjád íme celkový ,as pot ebný k p ekonání obou ,ástí dráhy a ur,íme jeho minimum x t= + v1
(l
x) + h 2 , v2 2
57
[
1 (l dt 1 =0= + 2 dx v1
x) + h 2
2
]
1 2
2 (l
x )( 1)
v2
=
(l v2
(l
x) x) + h 2
2
+
1 . v1
Vyjád íme x a dosadíme ,íselné hodnoty x=l
v2 h 2 1
2 2
v
v
h = 12,11 km . 3
=l
P íklad 37 Do studny pustíme kámen. Jeho dopad uslyšíme za ,as t od okamžiku vypušt ní kamene. Ur,ete hloubku studny h. Dáno: t = 6 s, c = 330 ms 1 (rychlost zvuku) Ur,it: h Kámen se pohybuje rovnom rn zrychleným pohybem a dráhu h urazí za ,as t1 . Zvuk dopadu se ší í rovnom rným pohybem a stejnou dráhu urazí za ,as t 2 . Pro oba pohyby platí
h=
1 2 g t1 2
t1 =
h = c t2
t2 =
2h , g
h . c
Celkový ,as od vypušt ní kamene do uslyšení dopadu je t = t1 + t 2 =
2h h + . g c
Odstraníme odmocninu, upravíme t
h = c
2h g
2
+ c2 ( h 2 2h ) + c t & + c 2 t 2 = 0 , *g '
vyjád íme h a dosadíme
+ c2 ( + c2 ( h1, 2 = ) + c t & ± ) + c t & *g ' *g '
2
c 2 t 2 =& 151 m .
P íklad 38 Pro dané zrychlení bodu ur,ete jeho dráhu a rychlost. Dáno: a = a 0 kv Ur,it: x = x(t ), v = v(t ) 58
Jedná se o pohyb nerovnom rný a proto pro ešení použijeme defini,ní vztahy pro rychlost a zrychlení. Z defini,ního vztahu pro rychlost m-žeme psát a = a0
kv =
dv . dt
Provedeme separaci prom nných a nazna,enou integraci t
- dt = 0
v
dv 1 = lg (a0 + kv ) k 0 + kv
-a
v0
v v0
.
Upravíme a vyjád íme rychlost
a 0 + kv =e a 0 + kv0
v=
kt
1 + a0 + kv0 ) k * e kt
a0 (& ……. v = v(t ) '
Pomocí defini,ního vztahu pro dráhu m-žeme napsat
dx 1 + a 0 + kv0 = ) dt k * e kt
( a0 & . '
Provedeme separaci prom nných x
a + kv -0 dx = 0 k 0
t
-e
kt
a0 k
dt
0
t
- dt 0
a po integraci dostaneme
x=
a0 + kv0 e kt k k
a0 t k
t 0
=
a0 + kv0 (e k2
kt
1)
a0 t . k
K IVO@ARÝ POHYB BODU Defini,ní vztahy pro rychlost a zrychlení uvedené v úvodní ,ásti z-stávají pln v platnosti a my je nyní blíže vyjád íme pro p ípad k ivo,arého pohybu, který rozd líme na pohyb v rovin a v prostoru. Rovinný pohyb Pro ešení rovinného pohybu m-žeme použít jednak kartézské sou(adnice a jednak polární sou(adnice. V našem výkladu budeme používat kartézské sou adnice.
r Poznámka: U r (t ) znamená t ,as, v obrázku znamená te,nu t s jednotkovým vektorem t .
59
Použitím defini,ních vztah- m-žeme psát
Podle definice derivace m-žeme psát r r dr :r r = lim = t , kde t je jednotkový ds :s 0 :s
r r r dr dr ds r = = tv , v= dt ds dt
r r r dv r dv dt ds , a= v+t = dt ds { dt dt
vektor te,ny. Z podobnosti trojúhelník- platí
v
r :s , r = t R takže m-žeme psát
:t
2
rv r r r = n + t at = an + at , R kde a n je normálová, dost edivá, složka zrychlení, at je te,ná složka zrychlení. P i tomto odvození jsme použili výrazy r dr r dt 1 =t, = , které jsou odvozeny vpravo ds ds R pomocí p ekresleného obrázku.
r t =1 ,
:t dt 1 = = . 0 :s ds R
lim
:s
Tím jsme odvodili oba použité vztahy.
r r r r dt . Protože je t = 1 , m-žeme psát, že t t = t 2 = 1 . ds r r dt r = 0 , který vyjad uje, že vektor t je kolmý na Derivací tohoto vztahu dostaneme výraz 2t ds r dt a proto m-žeme psát vektor ds Nyní ješt pot ebujeme ur,it sm r vektoru
r dt r 1 =n ds R
r dt r =nK , ds
kde R je polom r k ivosti a K je flexní k ivost. Tomuto výrazu íkáme první Frenet v vzorec. P íklad 39 Dáno: , r Ur,it: Rychlost, zrychlení a polom r k ivosti dráhy bodu L v jeho poloze L0
Bod L, který je bodem kružnice k opisuje p i valení k po p ímce cykloidu. Rovnice dráhy bodu L je dána vztahem r r r = i (r
r sin
)+
r j r (1 cos
).
Derivací získáme rychlost a zrychlení v obecném bod L 60
r r r v = r& = i (r r cos
a=v =i r
2
)
sin + j r
Bod L zaujme polohu L0 pro r r v = i 2r r Protože je a
an =
2r
=
r + j r sin
0
,
2
cos
=
, .
a pro rychlosti a zrychlení v tomto bod platí
r r a = j( r
2
)=
0 r
2
.
r v , platí že a = a n a m-žeme proto psát
v2
,=
,
v 2 4r 2 = an r
2 2
= 4r .
P íklad 40 V bod A0 se nachází hmotný bod. Pod jakým úhlem musíme z po,átku vypustit st elu s po,áte,ní rychlostí v s , abychom zasáhli padající bod, jestliže bod za,ne padat sou,asn s výst elem? Odpor vzduchu neuvažujeme. Dáno: x0 = 400 m , y 0 = 700 m , v s = 100 ms Ur,it:
1
Poznámka: Bod A se pohybuje rovnom rn zrychleným p ímo,arým pohybem, st ela S se pohybuje po k ivce. V obecném ,ase t sou adnice bodu a st ely m-žeme vyjád it následujícími vztahy bod:
x A = x0 , y A = y0
st ela: xs = vs cos ys = vs sin
1 2 gt , 2
t, t
1 2 gt . 2
V bod zásahu mají hmotný bod i st ela stejné sou adnice, takže platí xs = x A ,
ys = y A .
Po dosazení dostaneme 61
v s cos
t = x0 ,
v s sin
t
1 2 g t = y0 2
1 2 gt . 2
Po úprav máme
tg =
y0 = 1,75 x0
= 60,25o .
Prostorový pohyb Platí stejné defini,ní vztahy a z nich plynoucí vzorce jako pro rovinný pohyb, navíc p istupuje torzní k ivost.
S normálou a te,nou v obecném bod L prostorové k ivky jsme se již seznámili p i rovinném pohybu. K t mto p ímkám nyní p istupuje p ímka další, kolmá na ob p edcházející, kterou nazýváme binormálou. Tyto t i p ímky, respektive jejich jednotkové vektory r r r t , n , b tvo í pr-vodní trojhran k ivky, který také jinak nazýváme Frenet v trojhran. Dvojice p ímek vyzna,ují v bod L následující roviny
r r t, n r r n, b r r t, b
oskula,ní rovina, normálová rovina, rektifika,ní rovina.
Jednotkový vektor binormály m-žeme vyjád it pomocí vektorového sou,inu r r r b = t ×n . Derivací podle parametru s dostaneme r r r db d t r r dn = ×n +t × . ds ds ds
Když si uv domíme že platí r dt r =nK ds
r r r r a protože je dále n = 1 , tj. n n = n 2 = 1 , je podobn jako tomu bylo u te,ny r r dn 2n =0 ds
r dn ds
r n .
r dn leží v rektifika,ní rovin a m-žeme ho vyjád it jako sou,et jistých To ale znamená, že vektor ds vektor- ležících v této rovin , tj. m-žeme psát
62
r dn = ds
r t +
r b ,
jsou jisté, zatím neznámé koeficienty. Po dosazení do vztahu vyjad ujícího derivaci kde , binormály podle parametru s, dostaneme r r r dn r = nK ×n +t 3 ds 12 0
(
r t +
)
r r r b =t × b 12r3 n
= G , získáme druhý Frenet v vzorec
a po p epsání, s tím, že r r db = Gn , ds
kde G je torzní k ivost P íklad 41 Ur,ete rychlost a zrychlení bodu pohybujícího se po šroubovici a flexní a torzní k ivost jeho dráhy. Dáno: , r0 , Ur,it: v, a, K , G Polohový vektor bodu L šroubovice je r r = r0
cos t t tg sin t
.
Podle defini,ních vztah- platí pro vektory rychlosti a zrychlení sin t tg , cos t
r r dr v= = r0 dt
r r dv a= = r0 dt
cos t 0 . sin t
2
Hodnoty rychlostí a zrychlení získáme jako absolutní hodnoty vektorr v = v = r0
1 + tg 2
=
r r0 , a = a = r0 cos
2
.
Ze vztahu v = vt m-žeme ur,it jednotkový vektor normály r r v t = = cos = v
sin t tg . cos t 63
r dt r Flexní k ivost m-žeme ur,it z prvního Frenetova vzorce =nK . ds Derivaci na levé stran m-žeme ur,it následovn jako derivaci složené funkce
r r r 1 dt dt dt dt 1 cos = = = r0 ds dt ds dt ds dt cos {
cos t 0
.
sin t
v
Po jednoduché úprav dostaneme cos t r 0 =n K. sin t
r dt cos 2 = ds r0
Porovnáním prost edního výrazu s výrazem na pravé stran získáme flexní k ivost K=
cos 2 r0
.
r r r P i výpo,tu torzní k ivosti vyjdeme ze vztahu b = t × u a provedeme derivaci podle ds stejn jako u flexní k ivosti. Zkuste výpo,et a rozhodn te, který z výsledk- je správný. A) B) C)
sin 2 G= r0 tg G= r0 sin cos G= r0
8 KINEMATIKA T LESA ROVINNÝ POHYB T LESA Trajektorie všech bod- t lesa jsou rovinné k ivky. Pro polohu bodu L platí
r r r rL (t ) = rA (t ) + rAL (t ) , r kde A je referen,ní bod a rAL = konst.
64
POSUVNÝ POHYB
r r Pro posuvný pohyb platí rAL = konst. , tj. rAL nem ní velikost ani sm r. Potom je r r r r r r r vL = r&L = r&A + r&AL = r&A + 0 = v A , r r r aL = v& A = a A .
P i posuvném pohybu t lesa se všechny body t lesa pohybují po stejných trajektoriích a mají stejné rychlosti a stejná zrychlení. Poznámka: Kinematika posuvného pohybu t lesa je shodná s kinematikou bodu. P íklad 42 Dáno: 2 = konst., r = AO2 = BO4 Ur,it: vL , aL
Poznámka: Protože AO2 = BO4 a sou,asn posuvný pohyb.
vL = v A = r
2
aL = a A = r
2 2
AO2 // BO4 , jedná se o paralelogram. T leso 3 koná
P íklad 43 Ur,ete brzdnou dráhu x auta jedoucího rychlostí v0 = 60 kmh 1 , je-li zpožd ní a = 6,3 ms reak,ní doba idi,e je 1,3 s. Dáno: a = 6,3 ms 2 , t = 1,3 s Ur,it: x
2
a
Postup: Celkovou brzdnou dráhu rozd líme na úsek x1 a x2 . V úseku x1 , který odpovídá reakci idi,e, se auto pohybuje rovnom rn (a = 0) a v úseku x2 rovnom rn zpožd n . Pro
tento úsek je velmi vhodné použít k ešení vztah a = ur,it x2 . Odpov3J:
A) x = 56,2 m B) x = 43,7 m C) x = 31,5 m
65
( )
d v2 , ze kterého p ímo m-žeme 2dx
ROTA@NÍ POHYB
r r Pro rota,ní pohyb platí rA = konst. , tj. rA nem ní velikost ani sm r, potom je r r r r r r r vL = r&L = r&A + r&AL = 0 + r&AL = × rAL ,
aL =
× ( × rAL ) =
× rAL +
× rAL +
({ rAL rAL
2
)=
0
=
r r × rAL
r r r r rAL 2 = at + an
V2ta o zorných úhlech Rychlosti (zrychlení) p(i rota6ním pohybu jsou ze st(edu otá6ení vid3t pod stejným zorným úhlem. P íklad 44 Setrva,ník se rozb hne za 3 sec na 1500 ot min-1 rovnom rn zrychleným pohybem. Ur,ete jakým zrychlením se rozbíhá a kolik otá,ek vykoná za dobu rozbíhání. Dáno: n = 1500 ot/min -1 , t = 3 sec Ur,it: a, d (po,et otá,ek) =
Protože úhlové zrychlení je konstantní, platí zrychlení: =
{0 =0
+ t
0
+ t,
=
0
t+
1 2 t . 2
po,et otá,ek: =
t
2 d=
,
=
n 3,14 1500 = = 50 30 30
=
50 = 52,4 rad sec 2 . 3
=& 157 rad sec
1
=
,
d=
0
d=
t+
2
,
1 2 1 2 1 50 t = t = 2 2 2 3
9 = 75 ,
75 = 37,5 ot . 2
P íklad 45 Rotor otá,ející se otá,kami n1 se urychlí za ,as t R na otá,ky n2 . Urychlování rotoru se d je konstantním úhlovým zrychlením R . Vypo,t te úhlové zrychlení R rotoru a po,et otá,ek nR , které rotor v pr-b hu urychlování z otá,ek n1 na otá,ky n2 ud lá.
Dáno: n1 = 500 ot/min n2 = 8000 ot/min t R = 5s
66
Vypo,teme úhlové rychlosti
1
=
a
1
2
n1 = 52,36 rad s 1 , 30
p íslušející otá,kám n1 a n2 , tedy
2
=
n2 = 837,76 rad s 30
1
.
Pro úhlové zrychlení platí
R
=
d dt
2
-d = 1
tR
-
dt
R
2
1
=
R
tR
1
) tR
R
=
2
0
1
tR
= 157,1 rad s
1
.
Mezi po,tem otá,ek a úhlem oto,ení rotoru platí vztah R
= 2 nR
nR =
.
R
2
Pro úhlové zrychlení platí
R
=
d( 2d
2 2
- d(
), R
2
2 1
nR =
2
)= 2 R -d
2 2
2 1
=2
R
R
,
0
2 2
2
2 1 R
2
=
(
2
1
)(
4 (
2
2
+ 1
)
1
)tR
=
(
2
+ 4
= 354,12 ot .
OBECNÝ ROVINNÝ POHYB Základní rozklad pohybu Obecný rovinný pohyb m-žeme rozložit na unášivý pohyb posuvný, ur,ený pohybem referen,ního bodu a na druhotný (relativní), rota,ní pohyb kolem tohoto bodu. r r Pro obecný rovinný pohyb platí rA 4 konst., rAL 4 konst. , potom je r r r r r r r vL = r&L = r&A + r&AL = v A + × rAL ,
aL = a A +
× rAL +
× × rAL = a A +
× rAL
2
rAL .
Pamatujte si: Základní rozklad pohybu je charakterizován tím, že unášivý pohyb je posuvný! P íklad 46 Dáno: Ur,it: v L , a L
,lenu 2. Použitím základního rozkladu pohybu chceme Je dána konstantní úhlová rychlost vyjád it rychlost a zrychlení bodu L t lesa 3, které koná obecný rovinný pohyb. 67
Poznámka: Bod A je spole,ným bodem t les 2 a 3 a proto i jeho kinematické veli,iny jsou spole,né ob ma t les-m.
Protože známe kinematické veli,iny v bod A, zvolíme ho za referen,ní bod do kterého myšlen umístíme prostor 5, který koná posuvný pohyb po kružnici a pro bod L t lesa 3 m-žeme psát vL 31 = vL 35 + vL 51 . Po vyjád ení jednotlivých veli,in, v A = r , a A = anA = r vL = v A +
2
, dostaneme
× AL ,
35
Podobn pro zrychlení (není na obrázku zakresleno) a L 31 = a A +
35
× AL +
35
× vL .
Pól rovinného pohybu t'lesa Pokládáme otázku, zda, podobn jako u rota,ního pohybu, existuje bod, ,i množina bod-, který má p i obecném rovinném pohybu v daném okamžiku nulovou rychlost, tj. zda pro L / P platí r r r r r r r vP / vL = v A + × rAP = 0 / × , r r r r r r × vA + × × rAP = 0 , 142r43 r r r r r ( rAP ) rAP ( 1424 3
)
=0
takže dostaneme r
r × vA
2
r r rAP = 0 ,
odkud m-žeme ur,it polohový vektor bodu P vzhledem k referen,nímu bodu A r rAP =
r r × vA 2
,
a tím m-žeme ur,it polohu bodu P
r r r rP = rA + rAP . U rovinného pohybu t3lesa existuje, pro nazýváme pólem pohybu.
4 0 , bod t3lesa P, jehož rychlost je nulová. Tento bod
68
Použijeme-li pól za referen,ní bod, dostaneme pro rychlosti a zrychlení bodu L vztahy r r r vL = × rPL , 2 aL = aP + × rPL rPL , kde a P je zrychlení bodu t lesa v pólu. Pole rychlostí Rychlostní pole bod9 t3lesa konajícího obecný rovinný pohyb je v daném okamžiku takové, jako kdyby t3leso konalo rota6ní pohyb kolem pólu. V2ta o zorných úhlech Rychlosti všech bod9 t3lesa jsou vid3t z pólu pod stejným úhlem
Zapamatujte si, že normály trajektorií všech bod- t lesa prochází pólem. P íklad 47 Dáno: r, v, l Ur,it: vL , aL
Máme ur,it rychlost a zrychlení bodu L pevn spojeného s kružnicí, která se valí po p ímce. Poznámka: Valivý pohyb je zvláštním p ípadem obecného rovinného pohybu. r rAL = AL , AL = l ;
r rPL = PL
Použijeme základní rozklad pohybu. Referen6ní bod A: vL = v A +
× rAL ,
v AL = l ,
vA = v ,
2
vl vl vL = v 2 + +) (& + 2v cos r *r'
aL = a A + aL = an =
× rAL
v2 l 2
2
,
rAL , protože a A = 0 ,
.
69
= 0,
2
AL =
v2 2
l , dostaneme
Referen6ní bod P:
r r r r vL = vP + × rPL , protože vP = 0 ,
PL =
v
r 2 + l 2 + 2rl cos ,
dostaneme vL =
v
r 2 + l 2 + 2rl cos
aL = aP +
× rPL
2
,
rPL .
Protože platí r r r aP = v ×
a te,né zrychlení
aP = v
v
2
,
PL =
v2 2
r 2 + l 2 + 2rl cos
PL = 0 , dostaneme 2
+ v2 ( aL = ) & + ( * r '
2
PL )
2
2
v2 r
2
PL cos
,
kde tg
=
l sin r + l cos
.
Polodie
Hybná polodie je množina bod- t lesa, které se v pr-b hu pohybu stanou póly. Nehybná polodie je množina bod- základního nehybného prostoru, které se v pr-b hu pohybu stanou póly. Vytvá ení nehybné a hybné polodie si ukážeme u ojnice klikového mechanismu, která koná obecný rovinný pohyb. P esunutím : A1B 1P 1 na p-vodní polohu t lesa 3, tj. proti sm ru pohybu, získáme bod P 11 , který je bodem hybné polodie a p i op tovném dop edném pohybu se v míst P 1 stane pólem. Pamatujte si proto, že každý obecný rovinný pohyb lze nahradit valením dvou polodií !
: A1B 1P 1 ~ = : ABP 11 . Podíváme-li se jak jsme ur,ovali pól pohybu t lesa, m-žeme ihned psát následující vztahy. 70
r r r r × vA . rP = rA + 2 r r r × vA . rAP = 2
Nehybná polodie k N : Hybná polodie k H : P íklad 48 Dáno: v A , h Ur,it rovnici k N , k H t lesa 3
Prostor R1 / x1 , y1 , z1 je nehybný, prostor R2 / x2 , y2 , z2 se natá,í s t lesem 3. Polodie ur,íme tak, že vyjád íme polohu pólu P v p íslušném prostoru. Vyjád íme nejd íve funkce úhlu . tg =
vA t , cos = h
h h 2 + (v At )
2
.
Rovnice nehybné polodie je dána vztahem r r r rN = i1 ( v A t tg ) + j1 (v A t ) . Rovnice hybné polodie je dána vztahem r + v t ( r v h 2 + v A2 t 2 r r rH = i2 (0 ) + j2 ) A & = j2 A t . h * cos '
Poznámka: V p ípad , že m-žeme pól ur,it jako pr-se,ík normál, postupujeme tak, jak je zde uvedeno. Jestliže polohu pólu neznáme, musíme použít výše uvedené kinematické vztahy pro nehybnou a hybnou polodii. P íklad 49 Dáno: r, l Ur,it rovnici k N , k H t lesa 3
Prostor Rx / x, y, z je nehybný, prostor R / , , 8 je spojen s t lesem 3. Nehybná polodie k N : r r =
Rx P
r cos 2 + l cos (r cos 2 + l cos ) tg
, platí
r sin
2
= l sin
sin
=?
2
Hybná polodie k H :
R
+ x ) r cos rP = * + x ) * cos
2
2
( r & cos ( ' ( r & sin ( '
+ )r + l + ) 2 ) cos = * + ) )r + l 2 + ) cos *
2
r2 sin 2 2 l
2
r2 1 2 sin 2 l
1
71
2
2
( r && (cos 2 cos ' ( r && (sin 2 cos '
sin
2
sin ) .
cos
2
sin )
9 SOU@ASNÉ POHYBY T LESA Pro další výklad se musíme seznámit s derivací v prostoru, který se otá,í, neboI až dosud jsme provád li derivace pouze v nehybném prostoru Derivace vektoru v pohybujícím se prostoru r a pot ebujeme ur,it jeho ,asovou derivaci V prostoru R2 / i2 , j 2 je dán polohový vektor v prostoru R1 / i1 , j1 .
r r r r = i2 rx + j2 ry , r r r r dr r& = i2 rx + i2 r&x + &j2 ry + j2 r&y . dt
Pro derivaci jednotkových vektor- m-žeme psát
r r r i&2 = × i2 ,
r& r r j2 = × j2 ,
r neboI pro infinitesimální pooto,ení na p íklad i2 , viz obrázek, platí r
r
r
r i2 = 1 ,
:i2 = i2 d j2 , r r r r i2 = i2 + i2 d j2 ,
r r r& di2 d r dj2 i2 = = j2 + d = dt { dt dt {
r j2 ,
0
takže je r i&2 =
r r r j2 = × i2 ,
Potom ,asovou derivaci
r
m-žeme vyjád it takto
% dr " = ir r& + rj r& + r × ir r + r × rj r = [rr& ] + r × rr , 2 y 2 x 2 y 2 #$ dt !1 2 x
a po p epsání
[rr& ] = [rr& ] + r × rr . 1
2
Kinematické závislosti pDi sou7asných pohybech
Pro t leso 3, pohybující se v prostoru R2 , který se pohybuje v prostoru R1 , m-žeme napsat rozklad pohybu 31 = 32 + 21, kde pohyb 21 je pohybem unášivým a pohyb 32 je pohybem druhotným, relativním. 72
Pro polohový vektor bodu L m-žeme psát
r r r rL = rA + r2 . Derivováním dostaneme
[r&L ] 1= [r&A ]1+ [r&2 ] 2 + r
r
r
21
r r r r r r r × r2 = v A + vL 32 + 21 × r2 = vL 32 + vL 21 ,
r r r r kde vL 21 = v A + 21 × r2 .
Takže pro rychlosti platí
vL 31 = vL 32 + vL 21 . Další derivací dostaneme zrychlení
[vr& ] = ar L 1
r r r r r r r r + aL 32 + 21 × vL 32 + 21 × r2 + 21 × ([r&2 ] 2 + 21 × r2 ) = r r r r r r r r = a A + aL 32 + 2 21 × vL 32 + 21 × r2 + 21 × ( 21 × r2 ). A
Po úprav m-žeme psát r r r r r a L 31 = a L 32 + a L 21 + 2 21 × v L 32 , r r r ve smyslu kde aC = 2 21 × v L 32 je Coriolisovo zrychlení, jehož sm r získáme oto,ením v L 32 o 2 r r 21 . Jestliže je unášivý pohyb posuvný, 21 = 0 , potom a c = 0 a platí ( a L 21 = a A viz posuvný pohyb t lesa!) r r r r r aL 31 = aL 32 + aL 21 = a A + aL 32 .
To je základní rozklad pohybu t lesa tak, jak jsme ho uvedli v kapitole pojednávající o obecném rovinném pohybu t lesa. Souhrnn m-žeme vyslovit pro kinematické veli,iny bodu t lesa, které vykonává sou,asné pohyby, následující tvrzení: r r r Pro rychlosti platí zákon rovnob3žníka ( v = vrel + vu ). r r r Pro zrychlení, když unášivý pohyb je posuvný, platí zákon rovnob3žníka ( a = arel + au ) a když unášivý pohyb není posuvný, zákon rovnob3žníka neplatí, zrychlení je dáno geometrickým sou6tem r r r r jednotlivých složek ( a = arel + au + ac ). Poznámka: Rozklad pohybu t lesa platí nejenom pro rychlosti a zrychlení bodu ale také pro úhlové rychlosti a úhlová zrychlení t lesa!
P íklady rozklad- pohybu t lesa 3.
Základní rozklad 31 = 34 + 41 r r r L: v31 = v34 + v 41 r r r a31 = a34 + a 41
Obecný rozklad 31 = 34 + 41 r r r L: v31 = v34 + v 41 r r r r a31 = a34 + a41 + ac 73
Pólová v'ta Pól absolutního pohybu (31) leží na spojnici relativního (32) a unášivého (21) pohybu.
P31 = P32 + P21
Použití pólové v ty m-žeme ukázat na p ípadu spojení dvou t les, kde P31 = P32 + P21 .
P íklad 50 Dáno: Výkres v m ítku Ur,it: Pól P31 Použitím pólové v ty m-žeme psát P31 = P32 + P21 , P31 = P34 + P41 . Pól P31 leží v pr-se,íku obou spojnic.
P íklad 51 Dáno: r (t ), 21 , 21 Ur,it: v31 , a31 Pro t leso 3 m-žeme psát rozklad pohybu 31 = 32 + 21, takže pro rychlosti a zrychlení, rozm ry t lesa zanedbáváme, platí
v31 = v32 + v21 , a31 = a32 + a21 + ac . 74
Pomocí znalosti kinematických veli,in r r r v21 = 21 × r , an 21 =
21
× v21 ,
at 21 =
21
×r ,
ac = 2
21
× v32 ,
je možné kreslit, obrazce rychlostí a zrychlení (na obrázku jsou kresleny odd len ). P íklad 52 Dáno: 21 , 32 , r2 , r3 Ur,it: vL , aL
Bod L je bodem t lesa 3 a proto provedeme rozklad pohybu t lesa 3 a sou,asn si ukážeme ešení základním rozkladem pohybu. Cešení rozkladem pohybu L : v31 = v32 + v21 , v21 = LO2
21
,
LO2 = r22 + r32
v32 = r3
32
(
=
,
2r2 r3 cos
3
2
),
,
2 2 v31 = v 21 + v32
2v 21 v32 cos
,
=
5,
r sin 5 = 2 . sin LO2
L: a31 = a32 + a21 + ac , LO2 , at 21 = 0 ,
an 21 =
2 21
an 32 =
2 32
r3 ,
ac = 2
21
v32 ,
at 32 = 0 ,
a31 = ( a n 32 + a c ) + a n221 2
2a n 21 (a n32 + ac ) cos (
75
5) .
Cešení základním rozkladem Provedeme základní rozklad pohybu t lesa 3 s referen,ním bodem A, kam umístíme myšlený prostor 4, který koná posuvný pohyb po kružnici. L: v31 = v34 + v41
v41 = v A = r2 v34 =
34
Pro úhlové rychlosti platí
21
r3 2v34 v41 cos [
2 2 v31 = v41 + v34
(
3
2
31
=
34
+
41
31
=
32
+
21
31
=
34
!
)] ,
L : a31 = a34 + a41 , a41 = a A = r2 a34 = r3
2 34
2 21
= r3 (
2 2 a31 = a41 + a34
, 32
+
21
)2 ,
2a41 a34 cos [
(
3
2
)] .
10 ST EDY K IVOSTI TRAJEKTORIÍ A OBÁLEK Ur,ování st ed- k ivosti trajektorií bod- a obálek je v inženýrské praxi d-ležité jak z hlediska oskulace k ivek, tak i z hlediska ur,ování normálových složek zrychlení. V'ta Euler – Savaryho T leso konající obecný rovinný pohyb, jak již víme, m-žeme nahradit valením hybné polodie k H po polodii nehybné k N . V ta Euler – Savaryho je dána následujícím vztahem + 1 + 1 ( sin ; = 1 + 1 & ) r1 r2 *r s'
kde r je vzdálenost bodu L od pólu P, s je vzdálenost st edu k ivkosti bodu L od pólu, ; je úhel který svírá normála bodu L s te,nou k polodiím, r1 a r2 jsou polom ry nehybné a hybné polodie.
76
LP = r PS L = s
Rychlostní konstrukce Základem rychlostní konstrukce, kterou ur,ujeme st edy k ivosti graficky, je Hartmanova v2ta. Koncový bod vektoru rychlosti libovolného bodu t3lesa L, jeho st(ed k(ivosti S L a koncový bod pravoúhlého pr9m3tu pólové rychlosti v do sm3ru kolmého na normálu bodu L, leží na jedné p(ímce. Bobillierova konstrukce Bobillierova grafická konstrukce je založena na následující v t .
Pro libovolné dv3 normály existuje osa kolineace, pro jejíž body platí, že se v nich protínají spojnice bod9 ležících na obou normálách a spojnice jejich st(ed9 k(ivosti. Osa kolineace svírá s normálou jednoho bodu stejný ale opa6n3 orientovaný úhel jako svírá te6na k polodiím s normálou druhého bodu. Obálková v'ta Ur,ování st ed- k ivosti obálek je založeno na obálkové v t .
St(ed k(ivosti So obálky o k(ivky k je totožný se st(edem k(ivosti S M trajektorie bodu M, který je st(edem k(ivosti výtvarné k(ivky k. P íklad 53 Dáno: r1 , r2 , m Ur,it: S L
Po6etn3 pomocí v3ty Euler – Savaryho 1 2r2
m
+
1 1 1 = + , s r1 r2
s =?.
Graficky rychlostní konstrukcí • zvolíme rychlost bodu O2 , neboI jeho st ed k ivosti známe, • ur,íme v , v L , • Pr-se,nice spojnice koncových bod- rychlostí v L a v s normálou n L je hledaný st ed k ivosti. 77
P íklad 54 Dáno: r1 , Ur,it: St ed k ivosti obálky vytvá ené p ímkou p
Po6etn3 v3tou Euler – Savaryho + 1 + 1 ( sin + & ) ) *< s' * 2
(= 1 + 1 , & ' r1 <
odkud je s = r1 cos . Graficky Bobillierovou konstrukcí • p ímka q má st ed k ivosti v nekone,nu, bod Q< který s tímto st edem splývá, má st ed k ivosti v bod O1 , • st ed k ivosti výtvarné p ímky p je v nekone,nu a splývá s bodem U < , • te,na k polodiím splývá s valivou p ímkou q a s hybnou polodií k H a je kolmá na normálu bodu Q< , • podle Bobillierovy v ty musí být proto osa kolineace bod- Q< U < kolmá na normálu bodu U < , • pr-se,ík spojnice bod- U < Q< protne osu kolineace v jejím úb žném bodu K < , • spojnice úb žného bodu K < a bodu S Q< s normálou bodu U < je hledaný st ed k ivosti obálky o.
11 KINEMATICKÉ EŠENÍ MECHANISMC Jak bylo již e,eno p i klasifikaci rovinných soustav t les v oddílu STATIKA, mechanismus je soustava t les s 1 stupn m volnosti. V této kapitole se budeme zabývat zjišIováním kinematického stavu mechanismu, tj. budeme hledat rychlosti a zrychlení jeho ,len-, nebo bod-, které na jeho ,lenech leží. Kinematické vyšet ování mechanism- budeme provád t • analyticky, • graficky (rychlosti). U grafického vyšet ování budeme ur,ovat jenom rychlostní stav mechanismu, i když vyšet ování zrychlení je také možné a pro p edstavu o kinematickém stavu mechanismu velmi užite,né. ANALYTICKÉ VYŠET OVÁNÍ MECHANISMC
Cílem po,etního ešení je hledání závislosti polohy, rychlosti a zrychlení, resp. úhlové polohy, úhlové rychlosti a úhlového zrychlení bod-, resp. t les na poloze hnacích ,len-, nebo na ,ase. P i ešení budeme používat 78
•
metodu trigonometrickou: mechanismus rozd líme na vhodné trojúhelníky, trigonometricky ešíme,
•
metodu vektorovou:
které
mechanismu nebo jeho ,lenu ,i bodu p i azujeme vektorový mnohoúhelník nebo polohový vektor, který rozepisujeme do sm r- sou adnicových os
Postupy p i obou metodách budou patrné z ešení následujících p ípad-. Trigonometrická metoda Chceme ur,it rychlost a zrychlení b itu nástroje na smykadle 6 a úhlovou rychlost a úhlové rychlení ,lenu 4 pomocí trigonometrické metody. Dáno: 2 , r , l , h Ur,it: v61 , a61 , 41 ,
41
Kinematické pom ry na noži jsou stejné s pom ry v bodu A, neboI smykadlo koná posuvný pohyb. Polohu ,lenu 6 ur,uje míra x x = h tg , tg
x=h
r sin 2 l + r cos
=
r sin 2 l + r cos
,
=
2
2
, 2
t .
2
Derivací dostaneme rychlost a zrychlení v61 / v A =
dx hr = dt
2
cos
2
(l + r cos 2 ) + h r 2 sin 2 (l + r cos 2 )
a61 = a A = v& A = K Polohu ,lenu 4 ur,uje úhel = arctg
r sin 2 l + r cos
. 2
Derivací získáme úhlovou rychlost a úhlové zrychlení
41
= &=
2
r ( r + l cos 2 ) (l + r cos 2 )2 + r sin 2 ( 1+ ) & * l + r cos 2 '
2
,
41
= & 41 = K
79
2
2
=
2
h r (r + l cos 2 ) , (l + r cos 2 )2
Taylorova (ada P i po,etním ešení bývá velmi užite,né nahradit nelineární ,len, který se v rovnicích objeví, prvníma dv ma ,leny Taylorovy ady, kterou znáte z matematiky a kterou si zde stru,n bez dalšího výkladu p ipomeneme. Taylor-v rozvoj má tvar f ( x ) = f (a ) +
f 1( a ) f 11(a ) f n (a ) (x a) + ( x a )2 + K ( x a )n . 1 2! n!
Uvažujme, že máme funkci
f ( x ) = 1 (1 54 sin + ) = 1 x , pro 243 x
a=0
je
1 f 1( x ) = (1 x ) 2
f 1(a ) =
1 , 2
2
f 11( x ) =
12
1 1 , 2 1 x
( 1) =
1+ 1( ) &(1 x ) 2* 2'
32
( 1) =
1 1 , 4 (1 x )3
f (a ) = 1 ,
f 11( a ) =
1 . 4
Po dosazení do Taylorovy ady dostaneme f ( x) = 1
1 (5 sin + k )2 2
1 (5 sin + k )4 + K 8
Vektorová metoda U nakresleného excentrického klikového mechanismu chceme ur,it rychlost, zrychlení a zdvih ,lenu 4 a rychlost a zrychlení bodu L ojnice, použitím vektorové metody.
Dáno: 2 , r , l , m, h, e Ur,it: v 41 , a 41 , v L , a L Protože ,len 4 koná posuvný pohyb, sta,í ur,it rychlost a zrychlení jednoho jeho bodu. $len 4: Polohový vektor bodu B ,lenu 4 je r rB = OM + MB = OA + AB .
Po rozepsání do sm r- x a y dostaneme x = r cos + l cos e = r sin
l sin
, .
Vyjád íme úhel
80
r sin + e = 5 sin + k , l
sin
=
cos
= 1 (5 sin + k ) , 2
r l
5= ,
e . l
k=
Použitím Taylorovy ady (omezíme se na první dva ,leny) nahradíme odmocninu 1 (5 sin + k ) = 1 2
1 (5 sin + k )2 , 2
takže dostaneme 1 (5 sin + k ) = 1 2
1 2 2 5 sin 2
1 2 k . 2
5k sin
Z druhé rovnice od shora dostaneme polohu ,lenu 4 l % 2 x = r cos + l 1 (5 sin + k ) = r #cos + r $ %1 = r# $5
1 52l 2 sin 2 r
k2 + cos 25
5kl r
sin
1 5 sin 2 2
k sin
Derivací získáme rychlost ,lenu 4 v41 = x& = r
21
%sin + 1 5 sin 2 + k cos " #$ 2 !
a dalším derivováním dostaneme zrychlení ,lenu 4
a41 = &x& = r
21
[cos + 5 cos 2
k sin ] .
Bod L: Ur,íme polohový vektor bodu L, vyjád íme jeho složky a provedeme derivace r r r r r rL / OL = OA + AC + CL ,
xL = r cos + m cos
+ h sin
,
y L = r sin
+ h cos
,
m sin
1 2 2 xL = r cos + m+)1 5 sin * 2
y L = r sin
5k sin
1 2( k & + h(5 sin + k ) , 2 '
1 2 2 m(5 sin + k ) + h+)1 5 sin * 2
81
5k sin
1 2( k & . 2 '
1 k 2l " = 2 r ! " !
.
Vlastní výpo,et derivací pro úsporu místa provád t nebudeme vLx = x& L = …… ,
vLy = y& L = ……,
2 2 vL = vLx + vLy ,
aLx = &x&L = v&Lx = …..,
a Ly = &y&L = v&Ly = …..,
2 2 aL = aLx + aLy .
SOUSTAVY S OZUBENÝMI KOLY <ešením p edlohových soustav, které je dáno pom rem po,tu zub- nebo polom r- valivých kružnic se nebudeme zabývat a pozornost soust edíme na planetová soukolí a diferenciály Diferenciály a planetové soukolí <ešení provádíme metodou zám ny mechanismu nebo také jinak Willisovou metodou, která spo,ívá na myšlence, že rámem u,iníme unaše,. Postavíme-li se myšlen na unaše,, máme jeho úhlovou rychlostí 5 a všechny další úhlové rychlosti vidíme jako rozdíl jejich p-vodních rychlostí a rychlosti unáše,e. Znaménko (-) je tam, kde skute,ný sm r rychlostí má opa,ný sm r, než jsme mu pro ešení p edb žn p isoudili.
Jednoduchý satelit 2
5
4
5
35 2
=
z3 z 4 = z 2 z3
=
z2 . z3
5
z4 , z2
Dvojitý satelit <ešení je stejné jako u satelitu jednoduchého 2
5
4
5
35 2
5
=
z3 z 4 , z2 z31
=
z2 . z3
GRAFICKÉ VYŠET OVÁNÍ MECHANISMC Cílem grafického vyšet ování mechanism- je, stejn jako u ešení analytického, ur,ení rychlostního a akcelera,ního stavu mechanismu. V tomto kurzu se ale, jak jsme již ekli v úvodu, grafickým vyšet ováním zrychlení zabývat nebudeme. Pro grafické ešení rychlostí používáme dv metody:
82
• •
podmínku tuhosti úse,ky, rozklad na sou,asné pohyby.
Podmínka tuhosti úse7ky Rychlostní stav t lesa, jak již víme, m-žeme v daném okamžiku nahradit rotací kolem pólu P. Aby nedošlo k p erušení spojnice AB dvou bod- t lesa, musí být pr-m ty rychlostí v A , v B do jejího
sm ru stejné, tj. AA1 = BB 1 = p . Pooto,ením vyšrafovaných trojúhelník- o 90º do vyte,kovaných poloh, dostaneme AA11 = BB 11 = p . Spojnice A11B 11 je nejenom rovnob žná s úse,kou AB , ale leží na ní i koncové body H, K poto,ených rychlostí. M-žeme tedy vyslovit podmínku tuhosti úse,ky. Spojnice koncových bod9 vektor9 pooto6ených rychlostí dvou bod9 téhož t3lesa je rovnob3žná se spojnicí t3chto bod9.
P íklad 55 Dáno: 2 , nákres v m ítku Ur,it: 4
Postup: • ur,íme v A = • oto,ením v A o
2
AO 2 ,
r dostaneme v A1 ,
2 r • použijeme podmínku tuhosti úse,ky a ur,íme v B1 , r • zp tným oto,ením o ur,íme v B , 2 v • vypo,teme 4 = B . BO4
83
P íklad 56 Dáno: 2 , nákres v m ítku Ur,it: 6
vA = 6
=
2
AO 2 ,
vD . DO6
Poznámka: Podmínku tuhosti úse,ky m-žeme použít tam, kde jednotlivé ,leny mechanismu jsou spojeny rota,ními dvojicemi!
Rozklad na sou7asné pohyby Metodu rozkladu použijeme u mechanism-, které, krom rota,ních dvojic, obsahují posuvné, nebo obecné kinematické dvojice. P íklad 57 Dáno: 2 , nákres v m ítku Ur,it: v A bleny 2 a 3 jsou vázány posuvnou vazbou a proto provedeme rozklad pohybu ,lenu 3 31 = 32 + 21 ,
nebo také m-žeme psát 31 = 34 + 41 .
Protože ale druhý rozklad neobsahuje ,len 2 a my známe 2 , použijeme k ešení první rozklad a pro bod A m-žeme psát:
A : v31 = v32 + v21 Známe v 21 = v32 a v31 .
2
.
AO2 a doplníme trojúhelník rychlostí sm ry rychlostí (v našem p ípad oto,ených)
Poznámka: • P i použití metody rozkladu pohybu m-žeme k ešení použít rychlosti normální, nebo oto,ené. • Všimn te si uspo ádání šipek u rychlostí. Rychlost v31 je výsledná! • Protože bod A je bodem ,lenu 3 i 4, platí v31 / v 41 . 84
V dalším p íkladu si ukážeme aplikaci obou metod p i ešení klikového mechanismu. Všimn te si r-zných variací p i použití metody rozkladu pohybu. P íklad 58 Dáno: 2 , nákres v m ítku Ur,it: v 41 První t i ešení jsou provedena metodou rozkladu a ,tvrté ešení podmínkou tuhosti úse,ky. K ešení jsou použity pooto,ené rychlosti, abychom mohli ob metody porovnat. 31 = 32 + 21 1 = v32 1 + v 211 , B : v31
v 21 =
2
BO2 .
31 = 35 + 51 1 = v351 + v51 1, B : v31
v51 = v A =
2
AO2 .
31 = 34 + 41 1 = v34 1 + v41 1 , A : v31
v31 = v A =
vA =
EŠENÍ P P P P P P
íklad 4: íklad 7: íklad 8: íklad 27: íklad 41: íklad 43:
Protínají osu o C A A C B 85
2
2
AO 2
AO2 .
