Oddˇelen´ı fyzik´aln´ıch praktik pˇri Kabinetu v´yuky obecn´e fyziky MFF UK
PRAKTIKUM I – Mechanika a molekulov´ a fyzika ´ Uloha ˇc. p p p p pXXI pppppppppp N´ azev: p p p p p p pMˇ p p ep pˇrpen´ p p p ıp pt´p ıhov´ p p p p p pep ho p p p p zrychlen´ p p p p p p p p p p p pı p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p Pracoval: p p p p pJiˇ p pr´pıp pVack´ p p p p p p ap pˇrp p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p stud. skup. p p p p p11 p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p dne p p p p p10. p p p p p3. p p p 2008 pppppppppppppppppppppppp Odevzdal dne: p p p p p 17. p p p p p p3. p p p 2008 pppppppppppppppppppppppp
Hodnocen´ı: p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p Pˇripom´ınky:
Kapitola refer´ atu
Moˇzn´y poˇcet bod˚ u
Teoretick´ a ˇc´ ast
0–3
V´ysledky mˇeˇren´ı
0–9
Diskuse v´ysledk˚ u
0–5
Z´ avˇer
0–2
Seznam pouˇzit´e literatury
0–1
Celkem
max. 20
Posuzoval: p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p dne p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p
Udˇelen´y poˇcet bod˚ u
1
Pracovn´ı u ´ koly 1. Zmˇeˇrte m´ıstn´ı t´ıhov´e zrychlen´ı g metodou reverzn´ıho kyvadla. 2. Zmˇeˇrte m´ıstn´ı t´ıhov´e zrychlen´ı g metodou matematick´eho kyvadla. 3. Vypoˇc´ıtejte chybu, kter´e se dopouˇst´ıte idealizac´ı re´aln´eho kyvadla v r´amci modelu kyvadla matematick´eho.
2
Teoretick´ aˇ c´ ast
2.1
Mˇ eˇ ren´ı t´ıhov´ eho zrychlen´ı z doby kmitu kyvadla
Tuh´e tˇeleso otoˇcnˇe upevnˇen´e k ose, kter´ a neproch´az´ı jeho tˇeˇziˇstˇem, naz´ yv´ame fyzick´e kyvadlo. Oznaˇc´ıme-li m hmotnost tˇelesa, d vzd´ alenost jeho tˇeˇziˇstˇe od osy, α maxim´aln´ı v´ ychylku tˇeˇziˇstˇe z rovnov´aˇzn´e polohy, g m´ıstn´ı t´ıhov´e zrychlen´ı a I moment setrvaˇcnosti kyvadla vzhledem k ose ot´aˇcen´ı, m˚ uˇzeme podle [1] dobu kmitu T vyj´ adˇrit s dostateˇcnou pˇresnost´ı jako s I 1 α T = 2π (1 + sin2 ) (1) mgd 4 2
2.2
Reversn´ı kyvadlo
Fyzick´e kyvadlo se k´ yv´ a se stejnou periodou podle dvou r˚ uzn´ ych rovnobˇeˇzn´ ych os, pokud tyto osy leˇz´ı symetricky vzhledem k tˇeˇziˇsti nebo jsou-li tyto osy vzd´ aleny o redukovanou d´elku fyzick´eho kyvadla. Pro experiment´aln´ı pouˇzit´ı je d˚ uleˇzit´ y druh´ y pˇr´ıpad. Zn´ ame-li dvˇe osy, okolo kter´ ych se kyvadlo k´ yv´a se stejnou periodou, je jejich vzd´ alenost redukovanou d´elkou kyvadla lr a pro dobu kmitu plat´ı s lr (2) T = 2π g K experimentu m´ ame k dispozici homogenn´ı tyˇc se dvˇema pevn´ ymi rovnobˇeˇzn´ ymi bˇrity ve vzd´alenostiD, kter´e slouˇz´ı jako osy ot´ aˇcen´ı. Na jenom konci tyˇce je posuvnˇe upevnˇen´a tˇeˇzk´a kovov´a ˇcoˇcka, jej´ımˇz posouv´an´ım se mˇen´ı poloha tˇeˇziˇstˇe v˚ uˇci bˇrit˚ um. Zmˇeˇr´ıme-li dobu kmitu podle obou os (z´avaˇz´ı nejprve nad tˇeˇziˇstˇem, pak pod) pro dvˇe krajn´ı polohy z´ avaˇz´ı a vyneseme tyto hodnoty do grafu, m˚ uˇzeme grafickou interpolac´ı naj´ıt polohu z´avaˇz´ı, pˇri n´ıˇz bude kyvadlo k´ yvat podle obou os se stejnou periodou. D´elka D je pak redukovanou d´elkou kyvadla lR a pro t´ıhov´e zrychlen´ı g vypl´ yv´ a z vzorce 2 vztah g=
2.3
4π 2 lr T2
(3)
Matematick´ e kyvadlo
Matematick´e kyvadlo je teoretick´ y model hmotn´eho bodu o hmotnosti m zavˇeˇsen´eho na nehmotn´em z´avˇesu konstantn´ı d´elky l. Moment setrvaˇcnosti v˚ uˇci ose na opaˇcn´em konci z´avˇesu je IM = ml2
(4)
Z vzorc˚ u 1 a 4 plyne s T = 2π
l 1 α (a + sin2 ) g 4 2
(5)
pro mal´e v´ ychylky m˚ uˇzeme zjednoduˇsit na s T = 2π
2
l g
(6)
2.4
Pˇ ribl´ıˇ zen´ı se matematick´ emu kyvadlu
V experimentu jsem pouˇzil tˇeˇzkou mosaznou kouli s h´aˇckem zavˇeˇsenou na niti. Pokud tuto soustavu aproximujeme matematick´ ym kyvadlem a omez´ıme se na mal´e v´ ychylky, urˇc´ıme gravitaˇcn´ı zrychlen´ı jako 4π 2 l (7) T2 Abychom urˇcili chybu mˇeˇren´ı zp˚ usobenou touto aproximac´ı, vyj´adˇr´ıme si moment setrvaˇcnosti t´eto soustavy. Spoˇcteme objem koule a objem h´ aˇcku, z pod´ılu hmotnosti a souˇctu tˇechto objem˚ u urˇc´ıme hustotu slitiny (hustota mosazi z´ avis´ı na mnoˇzstv´ı jednotliv´ ych sloˇzek, proto tabulky ud´avaj´ı pomˇernˇe velk´ y rozsah hodnot). Moment setrvaˇcnosti h´ aˇcku vyj´ adˇr´ıme jako moment setrvaˇcnosti v´alce stejn´e hmotnosti a v´ yˇsky, moment setrvaˇcnosti nitˇe jako moment tenk´e dlouh´e tyˇce. Potˇrebn´e momenty setrvaˇcnosti jsou dle [2] pro homogenn´ı kouli vzhledem k ose proch´azej´ıc´ı stˇredem g=
Ikoule =
2mr2 5
pro homogenn´ı v´ alec vzhledem k ose proch´ azej´ıc´ı tˇeˇziˇstˇem kolm´e na osu rotaˇcn´ı soumˇernosti Ivalec =
1 m(3r2 + v 2 ) 12
pro tenkou tyˇc vzhledem k ose proch´ azej´ıc´ı jej´ım koncem Ityc =
ml2 3
Podle Steinerovy vˇety urˇc´ıme moment setrvaˇcnosti vzhledem k ose ot´aˇcen´ı soustavy, kter´a je od tˇeˇziˇstˇe tˇelesa hmotnosti m ve vzd´ alenosti a. I = I0 + ma2 Nyn´ı spoˇc´ıt´ ame hodnoty jednotliv´ ych ˇclen˚ u rovnice 1 a jejich odchylky oproti hodnot´am pouˇzit´ ym v rovnici matematick´eho kyvadla. Tˇeˇziˇstˇe soustavy urˇc´ıme jako v´ aˇzen´ y pr˚ umˇer vzd´alenost´ı tˇeˇziˇst’ jej´ıch ˇc´ast´ı. Oznaˇcme vzd´alenost tˇeˇziˇst’ nitˇe, h´ aˇcku a koule poˇradˇe anit , ahacek , akoule . d=
anit mnit + ahacek mhacek + akoule mkoule mnit + mhacek + mkoule
(8)
Moment setrvaˇcnosti soustavy je souˇctem moment˚ u tˇeles, ze kter´ ych se skl´ad´a. Ic =
mnit l2 1 2mr2 + mhacek (3r2 + v 2 ) + mhacek a2hacek + + mkoule a2koule 3 12 5
(9)
´ Uhel α urˇc´ıme z horizont´ aln´ı v´ ychylky p koule z rovnov´aˇzn´e polohy. Pˇri dan´ ych v´ ychylk´ach lze s dostateˇcnou pˇresnost´ı aproximovat kyv pohybem po odvˇesnˇe pravo´ uhl´eho troj´ uheln´ıka a pouˇz´ıt funkci arcsin. Korekce zohledˇ nuj´ıc´ı z´ avislost doby kyvu na v´ ychylce kyvadla 1 p ζ = (1 + ( )2 )2 4 d
(10)
S dostateˇcnou pˇresnost´ı m˚ uˇzeme z´ıskat relativn´ı odchylku mˇeˇren´ı jako souˇcet relativn´ıch odchylek jednotliv´ ych ˇclen˚ u Ic − Im d−l ζ −1 δU = | |+| |+| | (11) Im l 1
3 3.1
V´ ysledky mˇ eˇ ren´ı Reverzn´ı kyvadlo
Nejdˇr´ıve jsem namˇeˇril ˇcas deseti kmit˚ u v obou krajn´ıch poloh´ach ˇcoˇcky. vzd´ alenost ˇcoˇcky 0 ± 0.01mm poloha z´ avaˇz´ı nahoˇre dole doba kmit˚ u 20,5093 s 20,5076 s 20,1056 s 20,1118 s odhadnut´ a v´ ychylka 1 cm 1 cm 1,5 cm 1 cm
3
20,1152 s 1,2 cm
vzd´ alenost ˇcoˇcky 50.76 ± 0.01mm poloha z´ avaˇz´ı nahoˇre dole doba kmit˚ u 18,3563 s 18,3635 19,7340 19,7281 odhadnut´ a v´ ychylka 1,2 cm 1,2 cm 2 cm 2 cm Grafickou interpolac´ı (viz pˇr´ıloha) byla odhadnuta poloha, ve kter´e by se kyvadlo mˇelo k´ yvat podle obou os se stejnou periodou, na 10,7 mm. Kv˚ uli nepˇresnostem byla nutn´a dalˇs´ı korekce – pˇri prvn´ım nastaven´ı byly namˇeˇreny delˇs´ı ˇcasy pˇri poloze ˇcoˇcky dole a bylo tedy nutn´e ˇcoˇcku posunout bl´ıˇz ke konci tyˇce. Pˇri vzd´alenosti ˇcoˇcky 10,0 mm se ˇcasy t´emˇeˇr vyrovnaly, jak je zˇrejm´e z n´ asleduj´ıc´ı tabulky. vzd´ alenost ˇcoˇcky 10 ± 0.01mm poloha z´ avaˇz´ı nahoˇre dole doba kmit˚ u 20,0396 s 20,0390 20,0445 20,0437 odhadnut´ a v´ ychylka 2,2 cm 2,2 cm 2,5 cm 2,5 cm Vzd´ alenost bˇrit˚ u reversn´ıho kyvadla byla zmˇeˇrena 995 ± 0.5 mm. Gravitaˇcn´ı zrychlen´ı vypoˇc´ıtan´e podle vzorce 3 gR = (9, 78 ± 0, 01) ms−2 Do nejistoty mˇeˇren´ı se prom´ıt´ a nejv´ıce nejistota mˇeˇren´ı vzd´alenosti hrot˚ u (0,05%), ostatn´ı veliˇciny byly zmˇeˇreny ˇra´dovˇe pˇresnˇeji.
3.2
Matematick´ e kyvadlo
Bˇehom experimentu jsem namˇeˇril tyto hodnoty Hmotnost koule 278, 7 ± 0, 05 g Zmˇeˇren´e hodnoty pr˚ umˇeru koule 2r [mm] 39,80 39,90 39,90 39,96 40,28 39,91 r = 19, 98 ± 0, 04 mm Parametry h´ aˇcku ˇs´ıˇrka [mm] 5 ± 0, 2 v´ yˇska [mm] 2, 7 ± 0, 2 d´elka [mm] 13 ± 0, 1 rozvinut´ a d´elka [mm] 24 ± 4 materi´ al mosaz (8300–8600 kg/m3 [3]) objem [mm3 ] 324 ± 24 Parametry z´ avˇesu d´elka k h´ aˇcku [mm] 982 ± 2 hmotnost nitˇe [g] 0, 101 ± 0, 0005 K´ yv´ an´ı v´ ychylka [mm] 30 ± 5 period 10 ˇcas [s] 20, 1982 ± 0, 002 Gravitaˇcn´ı zrychlen´ı podle vzorce 7 gM = (9, 82 ± 0, 02) ms−2
3.3
Chyba zp˚ usoben´ a idealizac´ı matematick´ ym kyvadlem
Objem koule vych´ az´ı 33410 mm3 , objem h´ aˇcku 324 mm3 . Hustota mosazi tedy vych´az´ı 8261 kg/m3 . Zpˇetnˇe dopoˇc´ıt´ ame hmotnost kuliˇcky na 276 g a h´ aˇcku 2,68 g. Dopoˇcteme vzd´ alenosti tˇeˇziˇstˇe nitˇe, h´ aˇcku a koule od osy ot´aˇcen´ı: anit = 491 mm, ahacek = 995 mm a akoule = 1015 mm. Po dosazen´ı hodnot do vzorc˚ u 9, 8 a 10 dopoˇcteme odchylku podle rovnice 11 a dostaneme δU = 0, 001 = 0, 1%
4
Diskuse v´ ysledk˚ u
Hodnota m´ıstn´ıho t´ıhov´eho zrychlen´ı urˇcen´ a metodou reverzn´ıho kyvadla je vzhledem ke sv´e pˇrestnosti znaˇcnˇe vych´ ylena od tabulkov´e hodnoty pro Prahu g = 9,810ms− 2[3]. Systematick´a chyba je urˇcitˇe zp˚ usobena vlivem dispersn´ıch sil – tˇren´ı o vzduch a v z´ avˇesu zpomaluje k´ yv´an´ı a tud´ıˇz vych´az´ı menˇs´ı t´ıhov´e zrychlen´ı. D´ale homogenn´ı tyˇc s tˇeˇzk´ ym z´ avaˇz´ım na jednom konci m´ a v˚ uˇci zvolen´ ym dvˇema os´am v´ yraznˇe odliˇsn´e momenty setrvaˇcnosti. Domn´ıv´ am se, ˇze uˇzit´ı obdobn´eho korekˇcn´ıho vztahu jako u modelu matematick´eho kyvadla by mˇeˇren´ı zpˇresnilo.
4
Metoda grafick´e interpolace poskytuje pˇrekvapivˇe pˇresn´e urˇcen´ı hledan´eho pr˚ useˇc´ıku, je-li provedena dostateˇcnˇe peˇclivˇe. Model matematick´eho kyvadla umoˇznil namˇeˇrit m´ıstn´ı t´ıhov´e zrychlen´ı, kter´e se v r´amci chyby dobˇre shoduje s obecnˇe uˇz´ıvanou hodnotou na tˇri platn´e cifry. Vypoˇc´ıtan´ a systematick´ a chyba, kterou se dopouˇst´ıme idealizac´ı re´aln´eho kyvadla je v˚ uˇci statictick´e chybˇe urˇcen´ı t´ıhov´eho zrychlen´ı touto metodou zanedbateln´a. Pˇresnost ˇc´ıtaˇce umoˇzn ˇuje spolu se zvˇetˇsn´ ym poˇctem mˇeˇren´ ych period velice efektivnˇe minimalizovat chybu mˇeˇren´ı ˇcasu, kter´ a je u reverzn´ıho kyvadla zp˚ usobena t´ım, ˇze u ´hel v´ ykyvu se po kaˇzd´em otoˇcen´ı kyvadla m´ırnˇe liˇs´ı - bylo by dobr´e stojan kyvadla doplnit v rovinˇe optick´e br´any ˇc´ıtaˇce horizont´aln´ım mˇeˇr´ıtkem nebo zar´ aˇzkou. Chyby ostatn´ıch veliˇcin jsou uspokojiv´e (ani celkov´a relativn´ı chyba vypoˇc´ıtan´ ych zrychlen´ı nedosahuje zdaleka jedno procento).
5
Z´ avˇ er
Metodou reversn´ıho kyvadla bylo zmˇeˇreno m´ıstn´ı t´ıhov´e zrychlen´ı gR = (9, 78 ± 0, 01) ms−2 Metodou matematick´eho kyvadla bylo zmˇeˇreno m´ıstn´ı t´ıhov´e zrychlen´ı gM = (9, 82 ± 0, 02) ms−2 Relativn´ı chyba urˇcen´ı t´ıhov´eho zrychlen´ı vznikl´a idealizac´ı skuteˇcn´eho kyvadla matematick´ ym byla vypoˇc´ıt´ ana 0,1 %
Reference [1] Studijn´ı text fyzik´ aln´ıho praktika http://physics.mff.cuni.cz/vyuka/zfp/txt 121.pdf [2] Wikipedia – List of moments of inertia http://en.wikipedia.org/wiki/List of moments of inertia [3] J. Broˇz, V. Roskovec, M. Valouch: Fyzik´ aln´ı a matematick´e tabulky, SNTL, Praha 1980
5
