Řešení testu 2b Fyzika I (Mechanika a molekulová fyzika) NOFY021 14. ledna 2016
Příklad 1 Zadání: Po kouli o poloměru R se bez pokluzovaní valí malá koule o poloměru r. Jaká bude úhlová rychlost otáčení malé koule v okamžiku kdy se odtrhne od velké koule? V jaké hloubce (měřeno od polohy vyznačené přerušovanou čarou) to nastane? Moment setrvačnosti homogenní koule o hmotnosti m a poloměru r je 25 mr2 .
h
r r an
y α
R
α
at
g
Řešení: Vyjděme ze zákona zachování energie: 1 2 1 2 E = mv + Iω + mgy = mg(R + r) 2 2 10 v2 = g(R + r − y), 7 kde jsme využili znalosti momentu setrvačnosti homogenní koule a vztahu mezi velikostí rychlosti v hmotného středu a úhlové rychlosti ω při čistém valení (v = ωr). Normálové zrychlení hmotného středu je rovno normálové složce tíhového zrychlení: y . an = g cos α = g R+r K odtržení malé koule od velké dojde když se normálvé zrchlení an bude rovnat dostředivému zrychlení odpovídajícímu pohybu po kružnici o poloměru R + r v2 an = . R+r 1
Když spojíme obě rovnice pro an dostaneme, že k odtržení malé koule dojde pro y=
v2 . g
Nyní dosadíme vyjádření rychlosti v 2 y=
10 g(R 7
+ r − y) g
a z této rovnice vypočítáme y y=
10 (R + r). 17
Výška, v které se malá koule odtrhne, je h=R−y =
7 (R + r). 17
Dosadíme zpět do vyjádření rychlosti a pro úhlovou rychlost v momentě odtržení dostaneme: 10 v 2 = r2 ω 2 = gh 7 r 10(R + r)g . ω = 17r2
Příklad 2 Zadání: Vypočítejte polohu hmotného středu homogenního rotačního kužele o poloměru podstavy R a výšce h.
(a) z
(b) R
R R h
h
z y
r
x Řešení: Pro souřadnice hmotného středu tělesa platí vztah: Z 1 xT,i = % xi dV M V Z 1 xT,i = 1 2 % xi dV, πR h V 3 2
h
z r
kde hustotu % jsme vyjádřili jako podíl hmotnosti kuželu a jeho objemu. Z rotační symetrie kuželu plyne, že hmotný střed musí ležet na jeho ose, neboli: xT = 0 yT = 0, zbývá tedy vypočítat z-ovou souřadnici hmotného středu zT . Zaveďme si souřadnicové osy podle obrázku (počátek ve vrcholu kužele) a pro další výpočet použijme válcových souřadnic r, φ, z. Element objemu dV ve válcových souřadnicích má následující tvar: dV = dxdydz = rdrdφdz. Nyní je ještě potřeba určit meze integrování. Upozorněme, že jednoduchá volba mezí r ∈ (0, R), z ∈ (0, h) a φ ∈ (0, 2π) by nevedla k integraci přes objem kuželu, nýbrž přes objem válce! Platí totiž, že horní mez integrování pro r závisí na souřadnici z a naopak dolní mez pro z závisí na souřadnici r, jak je ostatně naznačeno na obrázku jako varianty (a) a (b). Meze pro r a z jsou svázány vztahem: R r = . z h Pro souřadnici φ nadále platí φ ∈ (0, 2π). Ve variantě (a) integrujeme nejprve přes souřadnici r a poté přes souřadnici z (vodorovné řezy). Tedy r ∈ (0, Rh z) a z ∈ (0, h). Z 2π Z R z Z h h 1 zT = 1 2 zrdzdrdφ πR h 0 0 0 3 Z h 2 Rh z 1 r zT = 1 2 2π zdz 2 πR h 0 0 3 Z h 3 z 3 dz zT = 3 h 0 3 zT = h 4 Ve variantě (b) integrujeme nejprve přes souřadnici z a poté přes souřadnici r (svislé řezy). Tedy z ∈ ( Rh r, h) a r ∈ (0, R). Z 2π Z h Z R 1 zrdrdzdφ zT = 1 2 h πR h r 0 0 3 R Z R 2 h 1 z zT = 1 2 2π rdr 2 hr πR h 0 3 R Z 3h R r3 zT = r − 2 dr R2 0 R 3 zT = h 4 Výsledná poloha hmotného středu zT je rovna jeho vzdálenosti od vrcholu kuželu. Z-ová souřadnice hmotného středu z¯T vyjádřená v souladu se zadáním jako jeho vzdálenost od podstavy kuželu je: 1 z¯T = h − zT = h. 4 3
Příklad 3 Zadání: Kvádr o původních rozměrech a0 , b0 , c0 deformujeme jednoosým tahovým napětím σ podle obrázku. Jaká musí být hodnota Poissonovy konstanty aby změna hustoty kvádru byla nulová?
σxx z
σxx c0
b0 a0 y
x
Řešení: Hookův zákon pro izotropní materiály má tvar: εij =
1 [(1 + ν)σij − ν(σ11+σ22 +σ33 )δij ] , E
kde symbol δij se nazývá Kroneckerovo delta a reprezentuje prvky jednotkové matice. Jedinou nenulovou složku tenzoru napětí σ11 označme jako σ. Tenzor deformace má 3 nenulové složky ε11 , ε22 a ε33 : σ E νσ = −νε11 = − E νσ = − = −νε11 . E
ε11 = ε22 ε33
Diagonální složky tenzoru deformace vyjadřují relativní prodloužení v x-ovém resp. y-ovém resp. z-ovém směru: a − a0 a0 b − b0 = b0 c − c0 = , c0
ε11 = ε22 ε33
kde a0 , b0 , c0 jsou původní rozměry kvádru, zatímco a, b c jsou rozměry kvádru po deformaci. Spojením rovnic výše dostáváme pro nové rozměry kvádru: a = (1 + ε11 )a0 b = (1 − νε11 )b0 c = (1 − νε11 )c0 . Změnu objemu kvádru ∆V vyjádříme jako rozdíl nového objemu V = abc a objemu původního
4
V0 = a0 b0 c0 . Pro nulovou změnu objemu dostáváme podmínku: ∆V = V − V0 = abc − a0 b0 c0 a0 b0 c0 (1 + ε11 )(1 − νε11 )2 − 1 ε11 (1 − 2ν) + ε211 (ν 2 − 2ν) + ν 2 ε311 ≈ ε11 (1 − 2ν) 1 − 2ν 1 . ν = 2 0 0 0 0
= = = =
Ve třetím kroku jsme využili znalosti, že Hookův zákon platí pouze pro malé deformace. Proto platí ε11 << 1 a kvadratické a vyšší členy v proměnné ε11 můžeme tedy zanedbat.
Příklad 4 Zadání: Tlak nasycených vodních par při pokojové teplotě je 4.2 kPa. Jaká musí být rychlost proudění vody v1 v potrubí aby se v zúženém místě A voda vařila? Poloměr potrubí v zúženém místě je r2 = r1 /2 a na obou okrajích je atmosférický tlak 101.3 kPa.
pa
pa p2
r1 v1
r2
v2
Řešení: Proudění ideální tekutiny je popsáno rovnicí kontinuity a Bernoulliho rovnicí: S1 v1 = S2 v2 1 2 1 2 %v1 + pa = %v + p2 , 2 2 2 kde pa je atmosférický tlak. Z první rovnice si vyjádříme rychlost v2 pomocí rychlosti v1 : v2 = v1
r2 S1 = v1 12 S2 r2
a dosadíme do Bernoulliho rovnice: 1 2 r14 %v −1 = pa − p2 2 1 r24 s 2(pa − p2 ) r14 v1 = −1 . % r24 Voda se začne vařit když tlak p2 v zúženém místě poklesne na hodnotu tlaku nasycených par, tj. p2 = 4.2 kPa. Po dosazení dostáváme, že rychlost v1 musí být rovna 3.6 m s−1 . 5
