F1040 Mechanika a molekulová fyzika

F1040

Mechanika a molekulová fyzika F1040 –Přednášky

Petr Šafařík

F1040 – Mechanika a molekulová fyzika Typed by Petr Šafařík

F1040 – Mechanika a molekulová fyzika .................................................................................. 1 Zrychlení: ............................................................................................................................... 3 Pohyb po kružnici............................................................................................................... 4 Pohyb z hlediska různých pozorovatelů..................................................................................... 6 Pohybové rovnice hmotného bodu ............................................................................................. 9 I. Newtonův zákon: ................................................................................................................ 9 II. Newtonův zákon ................................................................................................................ 9 III. Newtonův zákon............................................................................................................. 10 Tření ..................................................................................................................................... 14 Práce a kinetická energie.......................................................................................................... 15 Konzervativní silové pole..................................................................................................... 17 Práce gravitačního pole ........................................................................................................ 18 Potenciální energie ............................................................................................................... 18 Kinetická energie.................................................................................................................. 18 Zákon zachování mechanické energie...................................................................................... 19 ZZE částice v gravitačním poli. ........................................................................................... 19 Potenciální energie částice v gravitačním poli ................................................................. 19 Práce gravitačního pole .................................................................................................... 20 ZZE pružiny ......................................................................................................................... 20 ℵmM   Přechody mezi potenciálními energiemi mgh ↔ ................................................. 20 r   Mechanika soustavy částic ....................................................................................................... 22 První impulsová věta:........................................................................................................... 22 Izolovaná soustava ............................................................................................................... 23 Zákon zachování hybnosti izolované soustavy: ............................................................... 23 Neizolovaná soustava ........................................................................................................... 23

1

F1040

Vstupní Experiment


Axiomy Principy

Fyzikální zákony

Petr Šafařík

Ověřovací experiment

Matematický aparát

Popis pohybu Hmotného body Hmotný bod – model reálného tělesa Těleso

Bod

.

m, rozměry, tvar

Bezrozměrný, beztvarý

Hmotný bod . bezrozměrný, beztvarý, HMOTNÝ -model reálného tělesa, jehož rozměry zanedbáváme Zanedbatelnost: -vůči jiným tělesům -z hlediska experimentu

Popis polohy (pohybu) HB vzhledem k dané vztažné soustavě

Vztažná soustava souřadnic (kartézská) spojená s bodem na vztažném tělese.

Volný Hmotný Bod – je takový HB, že vliv okolních objektů je zanedbatelný (=neměřitelný) Inerciální vztažná soustava je taková soustava, jenž je spjatá s volným hmotným bodem. Je-li ve středu této vztažné soustavy Slunce, poté se taková vztažná soustava nazývá Galileova.

2

F1040


Petr Šafařík

I.Newtonův zákon = vzájemný pohyb volných HB je rovnoměrný přímočarý, nebo klid. Soustava spojená se Sluncem =Galileova = inerciální Soustava spojená se Zemí = Laboratorní... Inerciální je pouze přibližně r r(t ) ... polohový vektor; vektorová funkce času

r ∆r[t ;t +∆t ] ... vektor posunutí v intervalu [t; t + ∆t ]

r ∆r v průrůměr = v = [t ;t + ∆t ] ... průměrná rychlost v intervalu [t ; t + ∆t ] ∆t r r r r (t ; t + ∆t ) − r (t ) lim = lim v (t ;t + ∆t ) = ∆t →0 ∆t →0 ∆t x(t + ∆t ) − x(t ) y (t + ∆t ) − y (t ) z (t + ∆t ) − z (t )   =  lim ; lim ; lim = ∆t → 0 ∆t →0 ∆t ∆t ∆t  ∆t →0   dx dy dz  =  ; ;  = ( x&; y& ; z& ) = r&  dt dt dt  r v (t ) = r& r r r& r d 2r a (t ) = v& (t ) = r& ⇒ a (t ) = 2 dt

Zrychlení:

3

F1040


Petr Šafařík

r

τ ... jednotkový vektor ve směru tečny r τ =1 r n ... jednotkový vektor ve směru normály r n =1 r r v(t ) = v(t )τ t r dτ = τ& dt ∠(τ ;τ& ) = 90°

τ ⋅τ = 1 d (τ ⋅ τ ⋅ cos 0) = 1 dt τ&τ + ττ& = 0 2ττ& = 0 ⇒ τ ⊥ τ&

r r τ& n = r ⇒ vektor dělený jeho velikostí je jednotkový vektor v tom směru. τ& a = v& r r a = v& r d (v(t )τ (t ) ) r r a= = v&(t )τ (t ) + τ&(t )v(t ) = v&(t )τ (t ) + τ& ⋅ n ⋅ v(t ) dt r &v(t )τ (t ) … tečné zrychlení aτ r r r τ& ⋅ n ⋅ v(t ) … normálové zrychlení an

Rovnoměrný pohyb v = konst. ⇒ v& = 0 ⇒ nemění rychlost r r aτ = 0 Přímočarý pohyb r τ& = 0 ⇒ nemění směr r r an = 0

Pohyb po kružnici Rovnoměrný

v2 a= R r r a = an an =

xt = R cos ϕ (t ) x = R cos ωt yt = R sin ϕ (t ) y = R sin ωt

v2 R

4

F1040


Petr Šafařík

Rovnoměrný pohyb znamená: ϕ = ωt … přímá úměra, kde ω je konstanta úměrnosti. x = R cos ωt y = R sin ωt

x& = − Rω sin ωt y& = Rω cos ωt

x&& = − Rω 2 cos ωt y&& = − Rω 2 sin ωt

a = x&& + y&& = R 2ω 4 cos 2 ωt + R 2ω 4 sin 2 ωt = R 2ω 4 cos 2 ωt + sin 2 ωt = Rω 2 cos 2 ωt + sin 2 ωt = 1 v = Rω ⇒ ω =

v v2 ⇒a= R R

ω = ±ϕ& , kde se znaménko určí pravidlem pravé ruky z 0 ... jednotkový vektor Definice: úhlové rychlosti: r ω = ϕ&z 0 r r ε = ω& = ϕ&&z 0 + ϕ&z 0

ϕ&z 0 = 0 v = ωR r ∠(ωR ) = 90° r r ∠(v ; r ) = 90° r r ∠(v ;ω ) = 90°

r r r v =ω ⊗r r r a = v& r r r r r r r a = (w ⊗ r ) = w& ⊗ r + w ⊗ v r r r aτ = ε ⊗ r r r r an = w ⊗ v

r =R

5

F1040


Petr Šafařík

Pohyb z hlediska různých pozorovatelů

každý pohyb se může rozložit na Translační/Rotační R t ...vektor translace S´ vůči S.

R t = ( xt ; yt ; z t )S S... vůči který se pohybuje wt ... úhlová rychlost pohybu S´vůči S. Obecný pohyb: A.) Translační B.) Rotační A.) Translační: r r ω =0

x x´ y y´ z z´

6

F1040


Petr Šafařík

r r r r(t ) = r ´t + R(t ) r r r v(t ) = v´t +V(t ) r r r a(t ) = a´t + A(t ) Pro případ, že pohyb S´vůči S je rovnoměrný přímočarý: r r r R(t ) = Vt + R0 r V(t ) = konst r r A(t ) = 0 Galileova transformace: r r r r r(t ) = r ´+Vt + R0 r r r v(t ) = v´(t ) +V r r a(t ) = a´(t ) Galileův princip relativity: Zákony mechaniky jsou ve všech inerciálních soustavách stejné. Galileova transformace:

xt = x´t yt = y´t +Vt z t = z´t

7

F1040


Petr Šafařík

B.) Rotační v = (0; v;0 )S a = (0;0;0 )S

x´(t ) = vt sin ωt y´(t ) = vt cos ωt z´(t ) = 0 r v´(t ) = (v sin ωt + vω cos ωt ; v cos ωt − vωt cos ωt ;0 )S

8

F1040


Petr Šafařík

Pohybové rovnice hmotného bodu I. Newtonův zákon: 1. Vzájemný pohyb volných hmotných bodů je rovnoměrný, přímočarý. 2. Volný hmotný bod se v inerciální vztažné soustavě pohybuje rovnoměrně přímočaře.

II. Newtonův zákon

r r p = mv ma = Matematicky popsat, jak okolní objekty způsobují, že hmotný bod nebude volný hmotný bod. r r r r r r dp r& d (mv ) = p= = mv& + m& v = m& v + ma dt dt pro m=konst. bude r r r m& = 0 ⇒ p& = ma = F r dp = ???? dt r dp Pokus: měření dt bude se provádět pokus vzájemného působení pouze dvou objektů, aby se omezil vliv dalších složek sil

r r dp r Newton: = F , kde F popisuje vliv okolního objektu(ů) na testovací objekt. dt Silové zákony: 1. Gravitační síla: r r Mm r  Fg = κ 2 (− 1)  r r r r r  kde   je jednotkový vektor ve směru r a r (-1) znamená, že síla působí obráceným směrem, než ukazuje jednotkový vektor

2. Elektrická síla:

r r Mm r  ( ) Fg = κ 2 − 1   r r r r Qq  r  Fe = κ 2   r r Elektrická síla je ale mnohonásobně větší, než síla gravitační, proto se gravitační může zanedbat

9

F1040


Petr Šafařík

Fe fff Fg

3. Síla působící na nabité těleso pohybující se v elektrickém poli indukčnosti B

r r r FL = qv × B Lawrencova síla

4. Síla pružiny

r r Fp = − kx ⋅ x 0

5. Třecí síla

r r v  T = − Nf   v r v    jednotkový vektor ve směru v. v 6. Tíhová síla

r r G = mg

r dp r = Fvýsledná dt r r r r FV = F1 + F2 + ... + Fn r r r F1; F2 ;...; Fn jednotlivé síly… silový zákon… princip superpozice

III. Newtonův zákon Vzájemné působení objektů

10

F1040


Petr Šafařík

r r FBA = − FAB

Příklad:

r r r r MA = G + N + T r r r r MA = Mg + N + T 1 2 At 2 2l t= A Rozklad do složek: x : MAx = T l=

y : MAy = N − Mg  … důsledek vazební podmínky, nikoli akce a reakce  Vazební podmínka  N = Mg  Ay = 0  x = MAx = T Pro závaží platí: r r r ma = mg + T ´

x : ma x = 0 y : ma y = T ´− mg Vazební podmínka: r r A = ( A;0 ) ∧ a = (0; a y ) = (0;− a ) ⇒ A = a

11

F1040


Petr Šafařík

MA = T

 MA = T   m(− a ) = − mg + T ´ T = T ´ − mA = − mg + T ´  A=a  Máme-li nehmotnou kladku, poté T=T´ MA = T − mA = − mg + T (M + m)A = mg mg A= M +m Příklad: Na klín položíme těleso, přičemž mezi klínem a tělesem je nulové tření, stejně jako mezi klínem a podložkou. Co se stane s klínem a tělesem?

Silový rozbor: Červené jsou síly působící na těleso m Zelené jsou síly působící na klín M Modré jsou jednotlivé složky zrychlení a tělesa m.

12

F1040


Petr Šafařík

r r dp = ma ... výslednice všech sil, jimiž okolní objekty působí na těleso m. dtr r dP = mA ... výslednice všech sil, jimiž okolní objekty působí na těleso M. dt r r r ma = mg + N r r r r MA = Mg + P + (− N )

ma x = 0 − N sin α

MAx = 0 + 0 + N sin α

ma y = − mg + N cos α

MAy = − Mg + P − N cos a

4 rovnice pro 6 neznámých: a x ; a y ; Ax ; Ay ; P; N vazební podmínka: vertikální zrychlní klínu je nulové: Ay = 0 ⇒ A = Ax Dodáme podmínku: a-relativní ( a rel ) je rovnoběžné se skosenou hranou klínu.

a rel ... zrychlení m vůči M. r r r arel = a − A a y − Ay = tgα ... z obrázku a x − Ax 13

F1040


Petr Šafařík

 ma x = − N sin α    N = ma y cos α + mg cos α − ma x sin α  ma y = − mg + N cos α    MA = N sin α  N = mg cos α − mA sin α   a y = (a x − A) tan α ⇒ a x sin α − A sin α    

0 = − Mg + P − N cos α MA N= sin α N=N MA = − mA sin α + mg cos α sin α mg cos α sin α A= M + m sin 2 α Nmg cos α N= M + m sin α M   N = (mg sin α )  2  M + m sin α  Pokud se klín nehýbe Přidá se, jakmile klín uvolníme

Tření Pokud se těleso pohybuje platí: Td = Nf Pokud se těleso nepohybuje: Ts = Nf 0 ... pouze maximální statická třecí síla. [0; t 0 ]...a0 ma = F − Ts Ts(t ) = F(t ) t (0 ) : Ts (t 0 ) = Nf 0 ⇒ mgf 0 = Kf 0 ⇒ t 0 =

mgf 0 K mgf 0 − mgf t f t 0 : ma = F − Fd = Kt 0 − Nf ⇒ a = = g( f0 − f ) m

14

F1040


Petr Šafařík

Práce a kinetická energie Pokud F... konst a F je rovnoběžná s r pak práce A je rovno: A12 = Fs

Pokud F... konst a F není rovnoběžná s r pak práce A je rovno: r r A12 = Fs cos α = F∆r

Pokud F není konst a F není rovnoběžná s r α ... není konst.

F je jedna ze sil působících na částici oblouk MN aproximujeme úsečkou r ∆F bude na MN minimální a můžeme ji zanetbat A12 ... součet elementárních prací r F(rr ,vr ,t ) r r r ∑ F(rr ,vr ,t )∆r → ∫ F(rr ,vr,t )dr C

r C : r(t ) = (x(t ) ; y(t ) ; z (t ) ) r dr = (dx, dy, dz )

15

F1040


Petr Šafařík

r r r dr r = v (t ) ⇒ dr = v (t ) dt dt r r r r r Fdr = F (r(t ) ; v (t ) ; t ) ⋅ v (t ) dt

[

]

r r r F (r(t ) ; v (t ) ; t ) ⋅ v (t ) = f ( x )

( )

(

)

r r t2 t2 rr t2 r r A12 = ∫ Fdr = ∫ f (t ) dt = ∫ Fv dt = ∫ F(r(t ) ;v( t ) ;t ) ⋅ v (t ) dt t1

t1

t1

C

Př: z=konst.=0... pohyb v rovině

(

) (

)

r r r F(rr ) = Fx ( x ; y ) ; Fy ( x ; y ) = ax 2 y; b( y − x )

[ ] b = 1[Nm ] a = 1 Nm

−3

−1

r r ´= (0,2;0,5) r F = (0,02 N ,0,3 N )

x = χ1t y = χ 2t 2 x=t y = t2

[

...χ1, 2 = 1 ms −1

]

x& = 1 y& = 2t

Fx = x 2 y = t 2t 2 = t 4 Fy = y − x = t 2 − t

(

)

rr Fv = Fx x& + Fy y& = t 4 + t 2 − t 2t

(

)

r r 1 4 1 3 2 = F ∫C dr = ∫0 t + 2t − 2t dt = 30 [J ]

16

F1040

C2 :


Petr Šafařík

x = t x& = 1 y = t y& = 1

( )

r F = t 2 ;0 rr Fv = t 3 + 0 = t 3 1

A∫ t 3 dt = 0

1 [J ] 4

Konzervativní silové pole Pole, které splňuje následující podmínky, se nazývá konzervativní silové pole. Jaké jsou podmínky na silové pole, aby práce A12 po křivce C nezávisela na tvaru C, ale pouze na počátečním a koncovém bodě A,B.

Tvrzení: Centrální pole je konzervativní. Důkaz:

r r  r   F(rr )  r r FCentra ln i = F  ±  =  ±  r  r 

 F(rr )   ±  = θ r  r 

r A = ∫ FC dr C

r r r FC dr = θ (r ) r dr = r r ...r r r r ⋅r = r2 = r ⋅r r r dr r r dr dr dr r +r = r+r dt dt dt dt r dr r dr r =r dt dt r r r dr = rdr = θ (r ) dr B

A = ∫ θ (r )rdr A

... ve výsledku nefiguruje r, ale pouze r, takže není závislý na tvaru trajektorie.

17

F1040


Petr Šafařík

Práce gravitačního pole r ℵMm  rr  Fg = −  r2  r  r r ℵMm r r ℵMm ℵMm Fg dr = − 3 r dr = − 3 rdr = − 2 dr r r r A=∫

r2

r1

r 2 dr ℵMm − ℵMm − 2 dr = −ℵMm ∫ 2 = r 1 r r r r1

r2

1 1 AAB = −ℵMm −   r2 r1 

Potenciální energie Pro: r1 → r r2 → ∞ Platí: ℵMm A=− = u (r ) ... potenciální energie částice v gravitačním poli v bodě r. r

Kinetická energie Na částici působí více různých sil, které vykonávají různé práce: r F1−12 = ∫ F1dr C

r F2−12 = ∫ F2 dr C

r A12 = ∑ A j −12 = ∑ ∫ F j dr = ∫ r FV = ma

C

(∑ Fr drr ) = ∫ Fr drr j

C

v

C

r ...fyzikální vyjádření dr = madr r r r dv r madr = m (v dt ) = mv dr = mvdv dt r r v2 1 2 2 ∫ Fv dr = ∫v1 mvdv = 2 m v2 − v1 1 Kinetická energie Ek = mv 2 2 Celková práce všech sil které na částici působí určuje změnu kinetické energie částice.

(

)

18

F1040


Petr Šafařík

Zákon zachování mechanické energie

r Pohyb v silovém poli F(rr ) r F(rr ) … jediná síla působící na m. r (∆Ek )1→2 = ∫ F(rr )drr C

r r 1 2 1 2 mv2 − mv1 = ∫ F(rr )dr 2 2 C

ZZE částice v gravitačním poli. r r ℵ mM r   F(rr ) = − 2   r r r ℵmM r r F(rr ) = − 3 r dr r r2 r r 2 ℵmM 1 r ∫ F(r )dr = ∫1 − r 2 dr = ℵmM r r1 C r2

1 2 1 2 1 mv2 − mv1 = ℵmM 2 2 r r1

1 2 1 2 1 1 mv2 − mv1 = ℵmM − ℵmM 2 2 r2 r1

 1 2  1 1 1 mv1 +  − ℵmM  = mv12 +  − ℵmM  …tento součet se zachovává pro libovolný bod. 2 r1  2 r2     1 1 Neboli: mv12 +  − ℵmM  = konst. = E0 … celková mechanická energie 2 r1  

Potenciální energie částice v gravitačním poli U (r ) = −

ℵmM … potenciální energie částice m v gravitačním poli částice M. r

19

F1040


Petr Šafařík

Práce gravitačního pole ℵmM ℵmM  W1→2 =  −  … práce, kterou gravitační síla vykoná na posunut. r1  r1 = r  r2 r2 =∞

ZZE pružiny

r F = (− kx;0;0 ) r r Fdr = Fx dx + Fy dy + Fz + dz Fy dy + Fz + dz = 0

(

)

r rr2 1 1 1 Fdr ∫ − kxdx = − k x22 − x12 = mv22 − mv12 2 2 2 ŕ1 1 2 1 2 mv + kx = konst. = E0 … celková mechanická energie 2 2 ℵmM  Přechody mezi potenciálními energiemi mgh ↔  

r



r = R+h ℵmM R+h ℵmM 1 ⋅ U =− R  h 1 +   R U =−

1 (1 − x ) 1 − x ⋅ = = 1− x 1 + x (1 − x ) 1 − x 2 U =−

ℵmM R

1 h 1+ R

=& −

ℵmM R

zanedbatelné ℵmM  h  ℵM + m 2 1 −  = − R  R  R

 h 

ℵM =g R2 E k + U = E0 ℵmM 1 2 ℵmM mv − + mgh = − = konst = E0 2 R R 1 2 mv + mgh = konst 2

20

F1040


Petr Šafařík

Příklad: Střela o hmotnosti m a počáteční rychlosti v0 narazí do kyvadla a vychýlí ho o úhel ϕ 0 .

v... společná rychlost soustavy bezprostředně po srážce Jaká byla rychlost v0 ?

Před srážkou: Celková hybnost soustavy střela + kyvadlo: r r PC = mv0 + MV0 r r V0 = 0 Po srážce: P0 = (m + M )v r r r r P0 = PC ⇒ mv0 = (m + M )v r r v , v0 ... stejný směr r m+M r v0 = v m m+M v0 = v m Mechanická energie 1 Stav 1.: Ek 1 + U 1 = (m + M )v 2 + 0 2 Stav 2.: Ek 2 + U 2 = 0 + (m + M )gh...h = l − l cos ϕ 0 1 (m + M )v 2 = (m + M )gl (1 − cos ϕ 0 ) 2 v = 2 gl (1 − cos ϕ 0 ) v0 =

m+M m

2 gl (1 − cos 0 )

21

F1040


Petr Šafařík

Mechanika soustavy částic

Okolní objekty i-té částice A) m1 ;...; mi −1 ; mi +1 ;...; m N B) M α Síla, kterou působí j-tá částice na i-tou r F jiint r r F ji = − Fijext r Fiα r Fiα ...nepatří do soustavy, proto nás nyní nezajímá. r N r K r dpi = ∑ Fijext + ∑ Fiαext dt j =1 α =1 j ≠i r r dodefinujeme : Fii = 0

První impulsová věta: Celková hybnost=součet všech hybností r M r P = ∑ pi i =1

r N  r N r int K r ext  N N r int N K r ext r int r ext dp i dP d r  = ∑ pi = ∑ = ∑ ∑ Fij + ∑ Fiα = ∑∑ Fij + ∑∑ Fiα = FV + FV =   i =1 i =1 dt dt dt i =1 i =1 α =1 i =1 α =1 j ≠i  j ≠i  r r FVint = 0 ...akce a reakce r dP r ext = FV dt

...1.Impulsová věta (důsledek II. a III. Newtonova zákona)

22

F1040


Petr Šafařík

Izolovaná soustava Zákon zachování hybnosti izolované soustavy: r r r r FVext = 0 resp. Fiαext = 0 r r dP r = 0 ⇒ P = konst dt

Neizolovaná soustava r r pro kterou platí, že FVext = 0 r r dP r = 0 ⇒ P = konst dt

23

F1040 Mechanika a molekulová fyzika

Recommend Documents