Fyzika I - mechanika Frantiˇsek Chmel ık verze

Fyzika I - mechanika Frantiˇsek Chmel´ık verze 20. 3. 2014

Obsah ´ Uvod I. Z´ akladn´ı fyzik´ aln´ı pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II. Pohyb, prostor a ˇcas v klasické mechanice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III. Limity platnosti klasické mechaniky - shrnut´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i i ii iii

1 Mechanika hmotn´ eho bodu 1.1. Kinematika hmotného bodu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Dynamika hmotného bodu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 7

2 Gravitaˇ cn´ı z´ akon 2.1. Newton˚ uv gravitaˇcn´ı zákon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Pohyb v zemském t´ıhovém poli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Pohyb v nehomogenn´ım gravitaˇcn´ım poli - Keplerova u ´loha . . . . . . . . . . . . . . . . .

23 23 24 26

3 Kmity 3.1. Netlumené harmonické kmity . . . . . . . . . 3.2. Energie harmonick´ ych kmit˚ u . . . . . . . . . 3.3. Tlumené harmonické kmity . . . . . . . . . . 3.4. Vynucené harmonické kmity . . . . . . . . . . 3.5. Geometrické zn´ azornˇen´ı harmonick´ ych kmit˚ u, 3.6. Skl´ adán´ı kmit˚ u . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

31 31 32 33 37 39 40

tˇ elesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47 47 48 50

5 Mechanika kontinua 5.1. Z´ akladn´ı pojmy mechaniky kontinua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Deformace pevn´ ych l´ atek a Hooke˚ uv zákon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Mechanika tekutin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69 69 74 80

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . komplexn´ı symbolika . . . . . . . . . . . .

4 Mechanika soustavy hmotn´ ych bod˚ u a tuh´ eho 4.1. Popis soustavy hmotn´ ych bod˚ u a tuhého tˇelesa 4.2. Kinematika tuhého tˇelesa . . . . . . . . . . . . 4.3. Dynamika tuhého tˇelesa . . . . . . . . . . . . .

6 Vlnˇ en´ı 6.1. Z´ akladn´ı pojmy vlnˇen´ı . . . . . . . . . . . . 6.2. Vlnov´ a rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3. V´ ykon pˇrenáˇsen´ y vlnˇen´ım a intenzita vlnˇen´ı 6.4. Interference vln v pˇr´ımé ˇradˇe, stojaté vlnˇen´ı ˇıˇren´ı vln v prostoru . . . . . . . . . . . . . 6.5. S´ 6.6. Doppler˚ uv jev . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

93 . 93 . 97 . 98 . 99 . 103 . 105

7 Z´ aklady speci´ aln´ı teorie relativity 7.1. Postuláty speciáln´ı teorie relativity . . . . . . . 7.2. Lorentzova transformace . . . . . . . . . . . . . 7.3. Z´ akladn´ı pojmy teorie relativity . . . . . . . . . 7.4. Kinematické d˚ usledky Lorentzovy transformace 7.5. Relativistick´ a dynamika . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . . .

109 109 110 111 112 115

´ Uvod I.

Z´ akladn´ı fyzik´ aln´ı pojmy

Fyzika (fysis je ˇrecky pˇr´ıroda) byla p˚ uvodnˇe vˇedou o pˇr´ırodˇe, tedy souhrnem vˇsech pˇr´ırodn´ıch vˇed, které se s postupem dˇejin osamostatnily. Fyzika si vˇsak zachov´ av´ au ´stˇredn´ı postaven´ı mezi vˇsemi pˇr´ırodn´ımi vˇedami, jako základn´ı vˇeda s nejvyˇsˇs´ım stupnˇem pˇresnosti a obecnosti. Ostatn´ı pˇr´ırodn´ı vˇedy jsou fyzikou hluboce ovlivˇ nov´ any a jejich odliˇsen´ı od fyziky neb´ yvá ˇcasto jednoduché. Pˇ redmˇ et fyziky lze vymezit následuj´ıc´ım zp˚ usobem: Fyzika studuje obecn´ e vlastnosti l´ atek a pol´ı, pˇ ritom vych´ az´ı z pozorov´ an´ı a pokus˚ u. Na tomto z´ akladˇ e dosp´ıv´ a k obecn´ ym kvantitativn´ım z´ akon˚ um, kter´ e uv´ ad´ı v logickou soustavu tak, aby z n´ı na z´ akladˇ e dedukce vypl´ yvaly pozorovan´ e jevy. Vymezen´ı fyziky a chemie: Fyzika studuje pˇredevˇs´ım zákony vz´ ajemného p˚ usoben´ı ˇcástic a pol´ı, pˇredmˇetem chemie jsou zákonitosti sluˇcov´ an´ı atom˚ u v molekuly (a rozkladu molekul) a studium vlastnost´ı prvk˚ u a jejich slouˇcenin. Modern´ı chemie je vˇeda, kter´ a aplikuje fyziku atom˚ u a molekul na prvky a slouˇceniny. Rozdˇelen´ı fyziky podle jednotliv´ ych obor˚ u, tj. podle jev˚ u, které zkoumá: • mechanika a akustika (nemˇen´ı se struktura molekul) • termodynamika a statistick´ a fyzika (jevy podm´ınˇené chaotick´ ym pohybem molekul) • fyzika elektronového obalu (elektˇrina a magnetismus, optika, teorie elektromagnetického pole), bere vu ´vahu, ˇze molekuly se skl´ adaj´ı z elektricky nabit´ ych ˇcástic • jaderná fyzika studuje jevy na u ´rovni atomového jádra Fyzika formuluje obecnˇe platné zákony. Mnohé maj´ı u ´lohu základn´ıch postulát˚ u nebo princip˚ u. Základn´ı zásada, j´ıˇz se fyzika ˇr´ıd´ı, ˇr´ıká: Vˇ sechny fyzik´ aln´ı jevy maj´ı p˚ uvod v materi´ aln´ıch objektech. Z této zásady plynou zásadn´ı poˇzadavky na fyzik´ aln´ı teorii, napˇr. • Fyzikáln´ı pojmy jsou definov´ any ve vztahu k materiáln´ım objekt˚ um. • Fyzikáln´ı zákony vyjadˇruj´ı vztahy mezi materiáln´ımi objekty. Pojem fyzik´ aln´ı veliˇ ciny: jednota kvantity a kvality fyzik´ aln´ı vlastnosti, jej´ıˇz je m´ırou. Hodnotu nˇejaké veliˇciny X ve zvolen´ ych jednotk´ ach [X] dostaneme jako souˇcin X “ XrXs

(I)

kde ˇc´ıslo X naz´ yváme velikost´ı veliˇciny X v jednotk´ ach [X]. Kvantita veliˇciny je tedy dána ˇc´ıslem X, zat´ımco kvalita jednotkou [X]. ˇ astice a pole: Nositelem vˇsech fyzik´ C´ aln´ıch jev˚ u je hmota (materie), kterou rozum´ıme objektivn´ı realitu nez´ avislou na naˇsem vˇedom´ı. Materi´ aln´ı objekty dˇel´ıme na dvˇe kategorie: l´ atku a pole. Z hlediska kvantové fyziky vˇsak hovoˇr´ıme o l´ atkov´ ych a poln´ıch ˇcástic´ıch (kvantech). Hmota má tedy dualistickou povahu. Mˇ erov´ e jednotky a jejich soustavy: Fyzikáln´ı veliˇciny lze mˇeˇrit, tj. stanovit jejich velikost v dan´ ych jednotk´ ach, neboli zjiˇst’ovat poˇcet jednotek v nich obsaˇzen´ ych. Jednotky jsou základn´ı a odvozené. Soustava SI (Système International d’Unités): 7 základn´ıch jednotek (samostatné studium ˇci opakov´ an´ı). i

ii

OBSAH

II.

Pohyb, prostor a ˇ cas v klasick´ e mechanice

V pˇr´ırodˇe, která nás obklopuje, pozorujeme neustál´ y pohyb, tj. pˇrem´ıst’ov´ an´ı tˇeles nebo jejich ˇcást´ı. Tento pohyb naz´ yváme pohybem mechanick´ ym, a obor fyziky, kter´ y ho popisuje, pak mechanikou. Pod mechanick´ ym pohybem rozum´ıme pohyb jednoho tˇelesa v˚ uˇci jinému tˇelesu (vztaˇznému tˇelesu). Podle volby vztaˇzného tˇelesa se jev´ı pohyb sledovaného tˇelesa r˚ uznˇe. Pohyb je tedy relativn´ı. Vzhledem k obecnosti fyziky by vˇsak zákony mechaniky mˇely b´ yt formulov´ any tak, aby nezávisely na volbˇe vztaˇzného tˇelesa. Z tohoto hlediska vycház´ı Einsteinova obecná teorie relativity, která vˇsak pro svou obt´ıˇznost nem˚ uˇze b´ yt pouˇzita k ˇreˇsen´ı vˇetˇsiny konkrétn´ıch problém˚ u. Relativistick´ a mechanika pˇredstavuje souˇcasnou etapu v´ yvoje fyzik´ aln´ıho pozn´ an´ı. Je pokraˇcov´ an´ım pˇredchoz´ı etapy, kterou naz´ yváme Newtonovou klasickou mechanikou. V souˇcasné dobˇe se na newtonovskou mechaniku d´ıváme jako na uspokojiv´ y obraz mechanického pohybu tˇeles sloˇzen´ ych z velkého poˇctu atom˚ u, jejichˇz rychlosti jsou malé ve srovnán´ı s rychlost´ı svˇetla. U takov´ ych tˇeles se v´ yraznˇeji neprojev´ı ani kvantov´ a povaha hmoty a nen´ı tedy tˇreba pˇrihl´ıˇzet ani ke kvantové mechanice, která je dalˇs´ı etapou lidského pozn´ an´ı v oblasti mechaniky mikrosvˇeta. Je tˇreba si uvˇedomit, ˇze veˇsker´ y technick´ y a spoleˇcensk´ y pokrok by byl nemysliteln´ y bez klasické mechaniky, a proto klasick´ a mechanika pˇredstavuje i nad´ ale jeden z nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ıch fyzik´ aln´ıch obor˚ u. Pro popis mechanického pohybu zav´ ad´ı klasick´ a mechanika pojem absolutn´ıho prostoru jako kontinua, v nˇemˇz jsou rozm´ıstˇena pohybuj´ıc´ı se tˇelesa. Absolutn´ı prostor nen´ı pˇr´ıtomnost´ı tˇeles ovlivnˇen, vˇsechna jeho m´ısta jsou rovnocenná (homogenita prostoru) a vˇsechny smˇery v nˇem jsou rovnocenné (izotropie prostoru). ˇ se Dalˇs´ım základn´ım pojmem je ˇ cas, kter´ y vyjadˇruje posloupnost pohybov´ ych dˇej˚ u a jejich trván´ı. Cas v klasické mechanice jev´ı jako samostatn´ y, nezávisl´ y na pohybuj´ıc´ıch se tˇelesech a vˇsude stejnˇe plynouc´ı. K ˇc´ıselnému vyj´ adˇren´ı polohy tˇelesa pouˇz´ıváme soustavy souˇradnic spojené se vztaˇzn´ ym tˇelesem. Podle symetrie popisovan´ ych pohyb˚ u lze volit r˚ uzné souˇradné systémy. Nejˇcastˇeji pouˇz´ıváme pravo´ uhl´ y (kart´ ezsk´ y) syst´ em, tvoˇren´ y tˇremi navz´ ajem kolm´ ymi rovinami, které se prot´ınaj´ı v pravo´ uhl´ ych osách x, y, z. Pr˚ useˇc´ık tˇechto os O naz´ yváme poˇcátkem vztaˇzné soustavy souˇradnic. Poloha nˇejakého bodu A v takové soustavˇe souˇradnic je pak urˇcena tˇremi souˇradnicemi x, y, z, které ud´ avaj´ı jeho vzdálenost od tˇechto tˇr´ı rovin, které naz´ yváme rovinami souˇradnic. Souˇradnice m˚ uˇzeme povaˇzovat za pravo´ uhlé parametry polohového vektoru ~r (pr˚ uvodiˇce, r´ adiusvektoru). Je tedy (viz také obr. I) ~r “ px, y, zq

(II)

y A ~rA

y

O x z z x Obr´ azek I: Poloha bodu A v kartézském systému. Existuj´ı dalˇs´ı souˇradné systémy. Kruhovou symetrii v rovinˇe dobˇre vystihuj´ı pol´ arn´ı souˇ radnice

´ MECHANIKY - SHRNUTÍ III.. LIMITY PLATNOSTI KLASICKE

x “ r cos ϕ y “ r sin ϕ

iii

(III)

kde r ě 0 je velikost pr˚ uvodiˇce a ϕ P x0, 2πy je pol´ arn´ı u ´hel. V´ alcovou symetrii odráˇz´ı v´ alcové souˇradnice x “ r cos ϕ y “ r sin ϕ z“z

(IV)

kde r a ϕ maj´ı stejn´ y v´ yznam jako ve (III). Kulovou symetrii vystihuj´ı sférické souˇradnice x “ r cos ϕ sin θ y “ r sin ϕ sin θ z “ r cos θ

(V)

kde r, ϕ maj´ı v´ yznam (III) a θ P x0, πy je u ´hel, kter´ y sv´ırá pr˚ uvodiˇc s osou z.

III.

Limity platnosti klasick´ e mechaniky - shrnut´ı

• pˇr´ıtomnost velk´ ych gravitaˇcn´ıch sil (obecná teorie relativity) • rychlosti tˇeles se bl´ıˇz´ı rychlosti svˇetla (speciáln´ı teorie relativity) • pohybové dˇeje na u ´rovni mikrosvˇeta, kdy se zaˇc´ıná projevovat kvantov´ a povaha hmoty (kvantov´ a mechanika).

Kapitola 1

Mechanika hmotn´ eho bodu 1.1.

Kinematika hmotn´ eho bodu

´ Ukolem kinematiky je popis pohybu, aniˇz by nás zaj´ımaly jeho pˇr´ıˇciny. Pokud se pˇri pohybu neuplatˇ nuj´ı vlastn´ı rozmˇery tˇeles, napˇr. v d˚ usledku sráˇzek, ˇci vlastn´ı rotace tˇelesa, m˚ uˇzeme m´ısto tˇelesa zavést abstraktn´ı u ´tvar, u kterého pˇredpokládáme, ˇze veˇsker´ a hmota tˇelesa je soustˇredˇena do jediného bodu, kter´ y naz´ yváme hmotn´ ym bodem. Hmotn´ y bod je myˇ slen´ y objekt, kter´ y m´ a vlastnosti re´ aln´ eho tˇ elesa, u kter´ eho jsou vˇ sak pominuty vˇ sechny znaky re´ aln´ eho tˇ elesa (d´ elka, tvar atd.), kter´ e se pˇ ri vyˇ setˇ rov´ an´ı mechanick´ eho pohybu neprojevuj´ı. Geometricky je dr´ aha, kterou pohybuj´ıc´ı se hmotn´ y bod v prostoru opisuje, urˇcena polohov´ ymi vektory ´ vˇsech bod˚ u, které hmotn´ y bod pˇri svém pohybu prob´ıh´ a. Upln´ y popis pohybu hmotného bodu z´ısk´ ame, ud´ ame-li ˇcasovou závislost polohového vektoru, tedy vˇsech jeho souˇradnic (obr.I). ~r “ ~rptq

(1.1)

x “ xptq y “ yptq

(1.2)

z “ z ptq K popisu ˇcasového pr˚ ubˇehu pohybu hmotného bodu zav´ ad´ı kinematika veliˇciny rychlost a zrychlen´ı. Doˇslo-li v ˇcasovém intervalu pt1 , t2 q k pˇrem´ıstˇen´ı hmotného bodu z polohy B do polohy C, probˇehl tento bod dr´ ahu ∆s “ s2 ´ s1 za ˇcas ∆t “ t2 ´ t1 . Pod´ıl ∆s s2 ´ s1 “ (1.3) v12 “ t2 ´ t1 ∆t urˇcuje pr˚ umˇ ernou rychlost hmotného bodu mezi polohami B a C. Znázorn´ıme-li okamˇzitou délku dráhy s od m´ısta A (obr. 1a) v závislosti na ˇcase t, dostaneme ˇcasové rozvinut´ı neboli graf pohybu (obr. 2). Pod´ıl ∆s{∆t ud´ av´ a tg α. Budeme-li zmenˇsovat interval ∆t , bude se bod C bl´ıˇzit bodu B a zároveˇ n se u ´hel α bude bl´ıˇzit mezn´ı hodnotˇe α0 , jehoˇz tangenta ud´ av´ a smˇernici teˇcny ke kˇrivce sptq v okamˇziku t1 a má v´ yznam velikosti okamˇzité rychlosti hmotného bodu v ˇcase t1 v “ lim

∆tÑ0

∆s ∆t

(1.4)

Tato limita je prvn´ı derivac´ı dráhy dle ˇcasu, coˇz m˚ uˇzeme vyj´ adˇrit jako v“

d ds “ sptq “ s9 dt dt

(1.5)

Jednotkou rychlosti je m{s. V bˇeˇzné praxi se ˇcasto pouˇz´ıvá rovnˇeˇz km{hod. Body B a C z obr. 1a jsou vzhledem ke zvolené soustavˇe souˇradnic urˇceny také pr˚ uvodiˇci ~rB a ~rC (obr. 1b), pˇriˇcemˇz plat´ı zˇrejmˇe ~rC “ ~rB ` ∆~r 1

(1.6)

´ KAPITOLA 1. MECHANIKA HMOTNEHO BODU

2

y

∆s ∆~r

Bps1 , t1 q A ~rB

Cps2 , t2 q

~rC “ ~rB ` ∆~r ∆~r “ ~rC ´ ~rB

~rC

O x z (a) d~r B ~rB ` d~r ~rB

O

(b)

Obr´ azek 1: Pohyb hmotného bodu. Pˇri neomezeném pˇribliˇzov´ an´ı bodu C k bodu B pˇrejde ∆~r v element´ arn´ı vektor d~r, kter´ y bude m´ıt smˇer teˇcny k dráze v bodˇe B a velikost ds. M˚ uˇzeme pak zapsat, ˇze d~r “ ds ¨ ~τ0

(1.7)

kde ~τ0 je jednotkov´ y vektor ve smˇeru teˇcny k dráze v bodˇe B a ve smˇeru pohybu. N´ asob´ıme-li nyn´ı vztah (1.5) zprava vektorem ~τ0 , dostaneme ds d~r ~τ0 “ “ ~r9 (1.8) dt dt Okamˇ zit´ a rychlost ~v je vektor, kter´ y m´ a smˇ er teˇ cny ke kˇ rivoˇ car´ e dr´ aze v m´ıstˇ e, ve kter´ em okamˇ zitou rychlost urˇ cujeme, a m´ıˇ r´ı ve smˇ eru pohybu. v~τ0 “ ~v “

´ 1.1.. KINEMATIKA HMOTNEHO BODU

3

s

C s2

α0 B

α

s1

t1

t2

t

Obr´ azek 2: Z´ avislost délky dráhy na ˇcase v diagramu. Z ˇcasové závislosti ~r je tedy rychlost plnˇe urˇcena prvn´ı derivac´ı dle ˇcasu. Zavedeme-li jednotkové vektory ve smˇeru souˇradnic ~ı, ~, ~k, lze ps´ at ~r “ x~ı ` y~ ` z~k d~r dx dy dz “ ~ı ` ~ ` ~k dt dt dt dt Velikosti sloˇzek vektoru

d~ r dt

(1.9) (1.10)

znamenaj´ı pr˚ umˇety okamˇzité rychlosti do smˇeru os souˇradnic vx “

dy dz dx , vy “ , vz “ dt dt dt

(1.11)

Je tedy ~v “ vx~ı ` vy~ ` vz~k Z pr˚ umˇet˚ u rychlosti lze zjistit velikost rychlosti dle Pythagorovy vˇety dˆ ˙ ˆ ˙2 ˆ ˙2 2 b dx dy dz 2 2 2 v “ |~v | “ vx ` vy ` vz “ ` ` dt dt dt

(1.12)

(1.13)

a smˇerové kosiny

vy vz vx , cos β “ , cos γ “ (1.14) v v v ˇ ıká, ˇze je moˇzno rozkládat rychlost Pravidlo (1.12) je pravidlem o skl´ ad´ an´ı rychlost´ı a pohybu. R´ bodu na sloˇzky, ale také, ˇze je moˇzno skl´ adat r˚ uzné rychlosti pˇr´ısluˇsné témuˇz hmotnému bodu. Povaˇzujeme jej za axi´ om, tj. nedokazatelné pravidlo, jehoˇz opr´ avnˇenost je dána skuteˇcnost´ı. Pˇri obecném (kˇrivoˇcarém) pohybu se mˇen´ı smˇer rychlosti a obecnˇe také jej´ı velikost. V ˇcasovém intervalu ∆t se zmˇen´ı vektor ~v na ~v ` ∆~v (obr. 3). Dˇel´ıme-li tento pˇr´ır˚ ustek rychlosti ˇcasov´ ym okamˇzikem a limitn´ ım zmenˇ s ov´ a n´ ım ∆t, v nˇemˇz zmˇena nastala, dostaneme pr˚ umˇerné zrychlen´ı ∆v ∆t cos α “

∆~v d~v d2~r “ “ 2 “ ~r: (1.15) ∆tÑ0 ∆t dt dt Zrychlen´ı je vektorem, jehoˇ z smˇ er je totoˇ zn´ y s pˇ r´ır˚ ustkem rychlosti d~v , nikoli se smˇ erem dr´ ahy. Analogicky vektoru rychlosti m˚ uˇzeme ps´ at ~a “ lim


4

~v ` ∆~v ~v

∆~v

~v

~v ` ∆~v

Obr´ azek 3: Zmˇena vektoru rychlosti pˇri kˇrivoˇcarém pohybu.

~a “ ax~ı ` ay~ ` az~k dvy dvz ~ dvx ~ı ` ~ ` k ~a “ dt dt dt

(1.16)

tedy b a “ |~a| “ a2x ` a2y ` a2z “

dˆ

dvx dt

˙2

`

ˆ

dvy dt

˙2

`

ˆ

dvz dt

˙2

(1.17)

ax ay az , cos β “ , cos γ “ (1.18) a a a Jednotkou zrychlen´ı je m{s2 . B´ yvá v´ yhodné rozloˇzit zrychlen´ı ~a do dvou k sobˇe kolm´ ych sloˇzek, z nichˇz jedna má smˇer teˇcny ke kˇrivce jako okamˇzit´ a rychlost a druh´ a má smˇer normály ke kˇrivce (tj. je kolm´ a k teˇcnˇe v daném bodˇe) a m´ıˇr´ı do stˇredu kˇrivosti. cos α “

~v ~at

~a

s

~an

Obr´ azek 4: Teˇcné a normálové zrychlen´ı. Teˇcné zrychlen´ı z´ısk´ ame pr˚ umˇetem vektoru zrychlen´ı ~a do smˇeru rychlosti a vyn´ asoben´ım jednotkov´ ym vektorem ve smˇeru rychlosti ˆ ˙ ~v ~v ~at “ ~a ¨ (1.19) v v Podot´ ykáme, ˇze vektor teˇcného zrychlen´ı m˚ uˇze b´ yt souhlasnˇe orientovan´ y s ~v (pokud velikost rychlosti roste) anebo nesouhlasnˇe orientovan´ y (pokud velikost rychlosti klesá). Velikost teˇcného zrychlen´ı z´ısk´ ame jako derivaci velikosti rychlosti podle ˇcasu. Je totiˇz

´ 1.1.. KINEMATIKA HMOTNEHO BODU

5

z x ` 2vy dty ` 2vz dv 2vx dv db 2 dv ~a ¨ ~v dt b dt “ “ vx ` vy2 ` vz2 “ dt dt v 2 vx2 ` vy2 ` vz2

dv

(1.20)

coˇz je v´ yraz v závorce ve vztahu (1.19). Normálové zrychlen´ı ~an stanov´ıme jednoduˇse jako rozd´ıl ~an “ ~a ´ ~at

(1.21)

Velikost normálového zrychlen´ı souvis´ı se zakˇriven´ım dráhy pohybu a plat´ı v2 (1.22) R kde R je polomˇer kˇrivosti dráhy (oskulaˇcn´ı kruˇznice) a v velikost rychlosti, oboj´ı v m´ıstˇe, kde an urˇcujeme. Normálov´ ym zrychlen´ım se budeme dále zab´ yvat v pojedn´ an´ı o kˇrivoˇcar´ ych pohybech. an “

Klasifikace pohyb˚ u a pˇ r´ıklady Pohyb dˇel´ıme na • pˇr´ımoˇcar´ y, kter´ y se dˇeje v pˇr´ımce • kˇrivoˇcar´ y, coˇz jsou vˇsechny ostatn´ı pˇr´ıpady. Dalˇs´ım kritériem je velikost rychlosti: • pohyb je rovnomˇern´ y pˇri |~v | “ konst. • pohyb je nerovnomˇern´ y pˇri |~v | ‰ konst. K popisu pˇ r´ımoˇ car´ eho pohybu dostaˇcuje jediná rovnice (osu x orientujeme do smˇeru pohybu. x “ xptq

(1.23)

Pˇ r´ımoˇ car´ y rovnomˇ ern´ y pohyb lze obecnˇe zapsat jako x “ k1 t ` k2

(1.24)

kde k1 a k2 jsou konstanty. Pˇr´ımoˇcaré nerovnomˇerné pohyby jsou vˇsechny ostatn´ı pohyby popsané rovnic´ı (1.23). D˚ uleˇzit´ ym pˇr´ıkladem pohybu v této kategorii je pohyb pˇr´ımoˇcar´ y rovnomˇernˇe zrychlen´ y x “ k1 t2 ` k2 t ` k3

(1.25)

kde k1 , k2 a k3 jsou konstanty. Rychlost a zrychlen´ı budou zˇrejmˇe v “ 2k1 t ` k2 a “ 2k1

(1.26)

Konstanty k1 , k2 , k3 znamenaj´ı po ˇradˇe poloviˇcn´ı hodnotu zrychlen´ı, rychlost pohybu v0 v ˇcase t “ 0 a polohu x0 v ˇcase t “ 0. Rovnice (1.25) pak pˇrejde ve zn´ am´ y tvar a 2 t ` v 0 t ` x0 2 Dalˇs´ım d˚ uleˇzit´ ym pˇr´ıpadem je harmonick´ y pohyb v pˇ r´ımce, dan´ y rovnic´ı x“

x “ A sinpωt ` αq ` x0

(1.27)

(1.28)

kde A a ω jsou kladné konstanty, které naz´ yváme amplitudou kmitu a kruhovou frekvenc´ı, α je f´ azov´ e posunut´ı a x0 je rovnov´ aˇ zn´ a poloha bodu. Harmonick´ y pohyb zadan´ y rovnic´ı (1.28) se koná periodicky v u ´seˇcce Á ď x ´ x0 ď A. Rychlost a zrychlen´ı hmotného bodu z´ısk´ ame v“

dx dt

a“

d2 x dt2

“ Aω cospωt ` αq (1.29) “

dv dt

“ Áω 2 sinpωt ` αq “ ´ω 2 px ´ x0 q

Zrychlen´ı harmonick´ eho pohybu je tedy u ´ mˇ ern´ e v´ ychylce a m´ıˇ r´ı proti n´ı. Kˇ rivoˇ car´ e pohyby se dˇej´ı bud’ v rovinˇe a pak staˇc´ı k popisu dvˇe parametrické rovnice v (1.1) nebo v prostoru a pak mus´ıme


6

pouˇz´ıt vˇsechny tˇri rovnice. Z kˇrivoˇcar´ ych rovnomˇern´ ych pohyb˚ u je v´ yznamn´ y rovnomˇern´ y kruhov´ y pohyb, kter´ y je pops´ an rovnicemi x “ R cospωt ` αq ` x0 y “ R sinpωt ` αq ` y0

(1.30)

kde R ą 0, ω, α, x0 , y0 jsou konstanty. Neparametrickou rovnici dráhy pohybu (kruˇznici) lze z´ıskat vylouˇcen´ım parametru t px ´ x0 q2 ` py ´ y0 q2 “ R2

(1.31)

vx “ ´Rω sinpωt ` αq vy “ Rω cospωt ` αq

(1.32)

Rychlost pohybu bude m´ıt sloˇzky

a velikost |~v | “

b

vx2 ` vy2 “

b

R2 ω 2 rsin2 pωt ` αq ` cos2 pωt ` αqs “ ωR “ konst.

Posledn´ı rovnice je zn´ am´ y vztah mezi velikost´ı rychlosti hmotného bodu a jeho u ´hlovou rychlost´ı ω. Mezi u ´hlovou rychlost´ı ω a frekvenc´ı f , kolikr´ at hmotn´ y bod probˇehl kruˇznic´ı za jednotkou ˇcasu plat´ı jednoduch´ y vztah ω “ 2πf

(1.33)

Doba, za kterou hmotn´ y bod obˇehne kruˇznici, se naz´ yvá perioda T a plat´ı T “ 1{f “ 2π{ω

(1.34)

Konstanta α má v´ yznam u ´hlu, kter´ y sv´ırá pr˚ uvodiˇc v nulovém ˇcase s osou x. Zrychlen´ı hmotného bodu bude m´ıt sloˇzky ax “ ´Rω 2 cospωt ` αq ay “ ´Rω 2 sinpωt ` αq

(1.35)

a velikost |~a| “

b

a2x ` a2y “

‘ R2 ω 4 “ Rω 2 “ v 2 {R

Porovnáme-li sloˇzky vektoru zrychlen´ı (1.35) se sloˇzkami polohového vektoru (1.30), zjist´ıme, ˇze plat´ı ~a “ ´ω 2~r0

~r0 “ px ´ x0 , y ´ y0 q

(1.36)

~a tedy m´ıˇr´ı do stˇredu kruhu a proto se naz´ yvá dostˇ rediv´ e zrychlen´ı. Toto zrychlen´ı je totoˇzné s normálov´ ym zrychlen´ım, zaveden´ ym v (1.21) a (1.22). Stejné tvrzen´ı lze vyslovit obecnˇe pro vˇsechny kˇrivoˇcaré rovnomˇerné pohyby, nav´ıc lze zaveden´ım pojmu oskulaˇ cn´ı kruˇ znice zobecnit i platnost vztahu (1.22). Pozn´ amka: Vˇsimnˇeme si rovnˇeˇz porovnán´ım (1.28) a (1.30), ˇze harmonick´ y pohyb vznikne pr˚ umˇetem rovnomˇerného kruhového pohybu na nˇekterou souˇradnou osu. Frekvenci f a periodu T harmonického pohybu pak zav´ ad´ıme zcela analogicky. Rovnomˇern´ y pohyb m˚ uˇze hmotn´ y bod konat po libovolné kˇrivce. Dalˇs´ım typick´ ym pˇr´ıkladem je rovnomˇern´ y pohyb po ˇsroubovici. x “ R cos ωt y “ R sin ωt z “ kt

(1.37)

kde R ą 0 a k jsou konstanty. Kˇ rivoˇ car´ y nerovnomˇ ern´ y pohyb je nejobecnˇejˇs´ı pohyb. Zvláˇstn´ım pˇr´ıpadem je nerovnomˇ ern´ y pohyb po kruˇ znici, dan´ y rovnicemi x “ R cos ϕptq y “ R sin ϕptq

(1.38)

kde R ą 0 je konstanta a u ´hel ϕ, kter´ y pr˚ uvodiˇc ~r sv´ırá v ˇcase t s kladn´ ym smˇerem osy x je libovolná funkce ˇcasu. Naz´ yvá se stˇ redov´ yu ´ hel. ´ uˇze b´ yt nerovnomˇern´ y kruhov´ y pohyb periodick´ y? Pokud ano, naleznˇete pˇr´ıklad. Ukol pro ˇcten´ aˇre: M˚

´ 1.2.. DYNAMIKA HMOTNEHO BODU

7

Lze uk´ azat, ˇze i v pˇr´ıpadˇe nerovnomˇerného kruhového pohybu je velikost dostˇredivého (norm´ alového) zrychlen´ı dána vztahem (1.22) a zaveden´ım pojmu oskulaˇcn´ı kruˇznice lze tento vztah zobecnit na vˇsechny kˇrivoˇcaré pohyby. Vektorové zn´ azornˇen´ı kruhového pohybu: Veliˇciny popisuj´ıc´ı kruhov´ y pohyb lze zn´ azornit téˇz vektorovˇe. Rovina kruhové dráhy mus´ı m´ıt v prostoru stálou orientaci, kterou m˚ uˇzeme charakterizovat vektorem kolm´ ym k této rovinˇe. Pˇriˇrad´ıme tomuto vektoru vhodn´ y v´ yznam i smysl ot´ aˇcen´ı. Za tento vektor m˚ uˇzeme vz´ıt vektor stˇredového u ´hlu ϕ ~ a jeho smysl bude takov´ y, aby m´ıˇril na tu stranu roviny ot´ aˇcen´ı, odkud vid´ıme smysl ot´ aˇcen´ı jako kladn´ y, tedy proti smˇeru hodinov´ ych ruˇciˇcek (obr. 5).

ϕ ~

A ~r

ϕ x

Obr´ azek 5: Vektorové zn´ azornˇen´ı kruhového pohybu. Vektor u ´hlové rychlosti d~ ϕ (1.39) dt bude zˇrejmˇe m´ıt souhlasn´ y smˇer s ϕ ~ . Nen´ı-li kruhov´ y pohyb rovnomˇern´ y, mˇen´ı se velikost u ´hlové ´ rychlosti, nikoli smˇer. Uhlov´ e zrychlen´ı ω ~ “

d~ ω d2 ϕ ~ “ 2 (1.40) dt dt leˇz´ı opˇet ve smˇeru ϕ ~ a je s n´ım souhlasnˇe orientov´ ano v pˇr´ıpadˇe zrychleného pohybu a nesouhlasnˇe v pˇr´ıpadˇe zpomaleného pohybu. Obvodov´ a rychlost ~v leˇz´ı v rovinˇe kruhového pohybu a plat´ı pro ni zˇrejmˇe ~ε “

~v “ ω ~ ˆ ~r 1

|~v | “ ω ¨ r

(1.41)

1

Tento vztah plat´ı i pro vˇsechna ~r , kde je r “ r sin α (obr. 6), tj. neleˇz´ı-li poˇcátek souˇradného systému v rovinˇe pohybu (velikost vektorového souˇcinu je ωr sin α). ˇ Casovou derivac´ı (1.41) obdrˇz´ıme ˆ ˙ ˆ ˙ d~ ω d~r d~v “ ˆ ~r ` ω ~ˆ ~a “ “ p~ε ˆ ~rq ` p~ ω ˆ ~v q “ ~at ` ~an (1.42) dt dt dt nebot’ vektor ~ε ˆ ~r je orientovan´ y stejnˇe jako vektor rychlosti a vektor ω ~ ˆ ~v m´ıˇr´ı do stˇredu kruˇznice.

1.2.

Dynamika hmotn´ eho bodu

Pojem s´ıly Dosud jsme si nekladli ot´ azku, proˇc se hmotn´ y bod pohybuje nebo co je pˇr´ıˇcinou mechanického pohybu. Vzájemné p˚ usoben´ı mezi tˇelesy urˇcuje mechanick´ y pohyb. Tato p˚ usoben´ı maj´ı v tˇelesech sam´ ych


8

z ω ~ ~r1

M

y

~r α

x Obr´ azek 6: K v´ ykladu obvodové rychlosti. nejr˚ uznˇejˇs´ı p˚ uvod, ale jejich spoleˇcn´ yu ´ˇcinek z´ aleˇzej´ıc´ı v mechanickém pohybu, umoˇzn ˇuje zavést pojem s´ıly. Pojem s´ıly je dán osobn´ı zkuˇsenost´ı. S´ıla m˚ uˇze m´ıt bud’ statick´ y (deformaˇcn´ı) nebo dynamick´ y (mˇen´ı pohybov´ y stav tˇeles) u ´ˇcinek. Pojem s´ıly lze charakterizovat na pokusu s pruˇzinou. Zp˚ usob´ı-li dvˇe s´ıly libovolného p˚ uvodu stejné roztaˇzen´ı pruˇziny, lze m´ıt za to, ˇze jsou stejné. Zp˚ usob´ı-li jedna s´ıla roztaˇzen´ı dvou pruˇzin stejné jako v´ yˇse, m˚ uˇzeme ˇr´ıci, ˇze tato s´ıla je dvojn´ asobná atd. Ze zkuˇsenosti rovnˇeˇz v´ıme, ˇze s´ıly jsou vektory, maj´ı tedy své p˚ usobiˇstˇe a smˇer. S´ıla p˚ usob´ıc´ı na hmotn´ y bod je vektorem v´ azan´ ym na bod. Skl´ ad´ an´ı a rozkl´ ad´ an´ı sil a moment s´ıly To, ˇze s´ıly jsou vektory, souvis´ı s experiment´ aln´ı poznanou skuteˇcnost´ı, ˇze s´ıly lze skl´ adat nebo rozkládat dle vˇety o rovnobˇeˇzn´ıku sil, tj. pravidla, které lze aplikovat na jakékoli vektory (obr. 7) Otáˇciv´ yu ´ˇcinek s´ıly F~ vzhledem k libovolnému bodu 0 charakterizuje moment s´ıly M “F ¨ρ

(1.43)

kde ρ je rameno s´ıly (obr.8). V obecném pˇr´ıpadˇe, kdy pr˚ uvodiˇc p˚ usobiˇstˇe sv´ır´ a se s´ılou u ´hel α, plat´ı pro moment s´ıly M “ rF sin α

(1.44)

~ “ ~r ˆ F~ M

(1.45)

coˇz je velikost vektorového souˇcinu

kter´ y je kolm´ y k rovinˇe ~r, F~ , tedy totoˇzn´ y se smˇerem osy rotace. Zvláˇstn´ı postaven´ı mezi silami, ke kter´ ym pˇrihl´ıˇz´ıme pˇri vyˇsetˇrov´ an´ı pohybu tˇeles, maj´ı tˇ rec´ı s´ıly. Spoˇc´ıvá v tom, ˇze tˇrec´ı s´ıly pohyb vˇzdy brzd´ı, zat´ımco jiné s´ıly mohou pohyb podporovat i brzdit. • Odpor vznik´ a pˇri pohybu jednoho tˇelesa po druhém, ke kterému je pˇritlaˇcov´ ano jistou silou, pak hovoˇr´ıme o kinetick´ em tˇ ren´ı. • Odpor vznik´ a i tehdy, kdyˇz jsou obˇe tˇelesa v klidu a vnˇejˇs´ı s´ıly se je snaˇz´ı uvést do pohybu, pak hovoˇr´ıme o statick´ em tˇ ren´ı. Zde se omez´ıme na smykov´ e (vleˇ cn´ e) tˇren´ı, které vznik´ a pˇri posuvném pohybu. Jeho velikost je dle Coulombova z´ akona u ´mˇerná jen velikosti normálové s´ıly Fn , kterou je jedno tˇeleso pˇritlaˇcov´ ano k druhému Ft “ µFn

(1.46)


9

F~2 F~1

F~3 F~1

~ R

F~4 F~2

~ R

~ “ F~1 ` F~2 R (a) silov´ y rovnobˇeˇzn´ık

~ “ F~1 ` F~2 ` F~3 ` F~4 R (b) silov´ y mnoho´ uheln´ık

~ “ 0, ˇr´ıkáme, ˇze s´ıly jsou v rovnov´ Obr´ azek 7: Skl´ adán´ı sil se spoleˇcn´ ym p˚ usobiˇstˇem. Pokud je R aze.

F~ α

~r

O

p˚ usobiˇstˇe s´ıly

ρ Obr´ azek 8: Moment s´ıly.


10

Veliˇcina µ se naz´ yvá koeficient smykového tˇren´ı a závis´ı na druhu materiálu, na jakosti styˇcn´ ych ploch a na rychlosti pohybu. Statick´ y koeficient tˇren´ı je v´ yraznˇe vyˇsˇs´ı neˇz kinetick´ y, napˇr. pro tˇren´ı oceli po oceli je statick´ y koeficient asi 0,15 , zat´ımco kinetick´ y 0,05. Newtonovy z´ akony Klasick´ a (newtonovsk´ a) dynamika je zaloˇzena na tˇrech základn´ıch Newtonov´ ych (pohybov´ ych) zákonech. Jsou v´ ysledkem pozorov´ an´ı svˇeta. 1. Newton˚ uv z´ akon (princip setrvaˇ cnosti) Kaˇ zd´ e tˇ eleso setrv´ av´ a ve stavu klidu nebo rovnomˇ ernˇ e pˇ r´ımoˇ car´ eho pohybu, nen´ı-li vnˇ ejˇ s´ımi silami nuceno tento stav zmˇ enit. Pˇr´ıpad, kdy v naˇsem vesm´ıru nep˚ usob´ı na tˇeleso ˇzádn´ a s´ıla, nelze experiment´ alnˇe realizovat, obsah principu setrvaˇcnosti lze tedy povaˇzovat za duchaplnou extrapolaci naˇsich zkuˇsenost´ı. Podle principu setrvaˇcnosti je s pohybov´ ym stavem tˇeles spojena vlastnost setrvaˇcnosti, kterou se tˇelesa jakoby brán´ı zmˇenˇe svého pohybového stavu. Máme t´ım na mysli skuteˇcnost, ˇze tˇeleso se nedá do pohybu nebo nezmˇen´ı sv˚ uj pohybov´ y stav, dokud na nˇej nezap˚ usob´ı nˇejaká s´ıla. Podle 1. Newtonova zákona bude existovat soustava souˇradná, ve které se bude pohyb sledovaného hmotného bodu jevit jako klid a celá tˇr´ıda soustav, v˚ uˇci kter´ ym se bude pohybovat rovnomˇern´ ym pˇr´ımoˇcar´ ym pohybem. Takové soustavy naz´ yváme inerci´ aln´ımi soustavami souˇ radn´ ymi. Z tohoto hlediska 1. Newton˚ uv zákon vymezuje inerciáln´ı soustavu souˇradnou. V inerciáln´ı soustavˇe souˇradné lze jednoznaˇcnˇe urˇcit zrychlen´ı hmotného bodu, které se vyskytuje v 2. Newtonovˇe zákonˇe. 2. Newton˚ uv z´ akon (z´ akon s´ıly) Existence zrychlen´ı vyˇzaduje dle principu setrvaˇcnosti silové p˚ usoben´ı. Vlastnost tˇeles, ˇze pˇri stejném silovém p˚ usoben´ı nab´ yvaj´ı r˚ uzn´ ych zrychlen´ı, charakterizujeme fyzik´ aln´ı veliˇcinou hmotnost m, coˇz je skal´ arn´ı veliˇcina s jednotkou 1 kg. Vztah mezi silou a jej´ım u ´ˇcinkem - zrychlen´ım lze vyj´ adˇrit v nejjednoduˇsˇs´ı formˇe m~a “ k F~

nebo

~a “ k

F~ m

(1.47)

tj. pˇr´ım´ au ´mˇernost mezi zrychlen´ım a p˚ usob´ıc´ı silou u jednoho tˇelesa nebo nepˇr´ım´ au ´mˇernost mezi zrychlen´ım a hmotnost´ı u r˚ uzn´ ych tˇeles, p˚ usob´ı-li na nˇe stejn´ a s´ıla. Druh´ y pohybov´ y zákon lze formulovat obecnˇeji, uv´ aˇz´ıme-li, ˇze hmotnost tˇelesa nemus´ı obecnˇe b´ yt nezávislá na jeho pohybovém stavu. Charakterizujeme-li okamˇzit´ y pohybov´ y stav tˇelesa hybnost´ı p~ “ m~v

(1.48)

d~ p d “ m~v “ k F~ dt dt

(1.49)

m˚ uˇzeme 2. Newton˚ uv zákon ps´ at obecnˇeji

Tuto formulaci, která bere v u ´vahu napˇr. pohyb tˇelesa s promˇennou hmotou (raketa, relativistické rychlosti) podal jiˇz s´ am Newton a slovnˇe zn´ı ˇ Casov´ a zmˇ ena hybnosti tˇ elesa je u ´ mˇ ern´ a p˚ usob´ıc´ı s´ıle a m´ a s n´ı stejn´ y smˇ er. V klasické mechanice (aˇz na v´ yjimky, napˇr. pohyb rakety) povaˇzujeme hmotnost za konstantn´ı a p´ıˇseme m~a “ F~

(1.50)

Velikost konstanty k jsme vzhledem k dále popsanému zp˚ usobu mˇeˇren´ı hmotnosti zvolili rovnou 1. Z´ıskaj´ı-li dvˇe tˇelesa o hmotnosti m1 a m2 vlivem stejného vnˇejˇs´ıho p˚ usoben´ı r˚ uzná zrychlen´ı a1 a a2 , pak pomˇer jejich hmotnost´ı m1 a m2 vyhovuje u ´mˇeˇre a2 m1 “ m2 a1

(1.51)

Takto urˇcená hmotnost se naz´ yvá setrvaˇ cn´ a. 3. Newton˚ uv z´ akon (princip akce a reakce) S´ıla, která p˚ usob´ı na tˇeleso, m˚ uˇze pocházet jedinˇe od tˇeles, která vyˇsetˇrované tˇeleso obklopuj´ı. Je


11

zkuˇsenost´ı, ˇze p˚ usob´ı-li hmotn´ y bod 1 (obecnˇe tˇeleso 1) na hmotn´ y bod 2 (tˇeleso 2) silou F~12 , p˚ usob´ı ~ hmotn´ y bod 2 na bod 1 silou F21 , která je stejnˇe velk´ a, ale opaˇcnˇe orientovaná. F~12 “ ´F~21

(1.52)

Vz´ ajemn´ e s´ıly mezi dvˇ ema hmotn´ ymi body (tˇ elesy) maj´ı vˇ zdy stejnou velikost, ale opaˇ cn´ y smˇ er. S´ıly pˇ ri r˚ uzn´ ych druz´ıch pohybu (pˇ rehled) • Pˇr´ımoˇcar´ y rovnomˇern´ y pohyb (1.24) F “0

a odtud

a“0

(1.53)

• Pˇr´ımoˇcar´ y rovnomˇern´ y zrychlen´ y pohyb (1.26)

• Harmonick´ y pohyb (1.29)

F “ 2mk1

(1.54)

F “ ´mω 2 px ´ x0 q “ ´k∆x

(1.55)

F “ maptq

(1.56)

• Obecn´ y pˇr´ımoˇcar´ y pohyb S´ıla je zde ˇcasovˇe promˇenná a je v´ yslednic´ı vazbov´ ych a hybn´ ych sil. • Rovnomˇern´ y kruhov´ y pohyb (1.36)

F~ “ ´mω 2~r

(1.57)

F~ “ F~t ` F~n “ m~at ` m~an

(1.58)

• Nerovnomˇern´ y kruhov´ y pohyb (1.42)

~ S´ılu lze rovnˇeˇz rozloˇzit na teˇcnou a normálovou (dostˇredivou) sloˇzkou. D˚ uleˇzitou s´ılou je t´ıha tˇeles G, j´ıˇz tˇelesa podléhaj´ı v t´ıhovém poli, speciálnˇe v t´ıhovém poli Zemˇe. ~ “ m~g G

(1.59)

kde ~g je konstantn´ı vektor m´ıˇr´ıc´ı pˇribliˇznˇe do stˇredu Zemˇe, kter´ y naz´ yváme t´ıhov´ ym zrychlen´ım. Porovnáv´ ame-li pomˇer dvou hmot podle jejich t´ıhy G1 m1 “ m2 G2

(1.60)

hovoˇr´ıme o porovn´ av´ an´ı t´ıhov´ ych hmot hmotn´ ych bod˚ u (srovnej (1.51)). Skuteˇcnost, ˇze porovnán´ı (1.51) a (1.60) vedou ke stejn´ ym závˇer˚ um, b´ yvá formulov´ ana jako rovnost t´ıhové a setrvaˇcné hmoty a je z hlediska Newtonovy fyziky experiment´ aln´ım faktem (E¨ otvösovy pokusy a dalˇs´ı). Hlubˇs´ı smysl tohoto faktu vypl´ yvá aˇz z obecné teorie relativity. Pohybov´ e rovnice hmotn´ eho bodu Zákon s´ıly, vyj´ adˇren´ y rovnic´ı (1.50) rozep´ıˇseme do sloˇzek max “ m

d2 x “ Fx dt2

may “ m

d2 y “ Fy dt2

maz “ m

d2 z “ Fz dt2

(1.61)

Tyto rovnice naz´ yváme pohybov´ e rovnice. Jde o tˇri nezávislé rovnice, z nichˇz lze urˇcit pohyb tˇelesa vzhledem ke zvolené soustavˇe souˇradnic, zn´ ame- li sloˇzky sil v kaˇzdém okamˇziku (ˇci obr´ acenˇe ze zn´ amé dr´ ahy, ˇci zn´ amého pr˚ ubˇehu rychlosti lze urˇcit p˚ usob´ıc´ı vnˇejˇs´ı s´ıly). Pohyb ovˇsem také závis´ı


12

na tzv. poˇ c´ ateˇ cn´ıch podm´ınk´ ach, tj. poloze a rychlosti hmotného bodu v okamˇziku, kdy s´ıla zaˇcala p˚ usobit. Z matematického hlediska je tento fakt odraˇzen t´ım, ˇze obecn´ y integr´ al diferenciáln´ıch rovnic druhého ˇra´du, mezi nˇeˇz pohybové rovnice patˇr´ı, obsahuje dvˇe integraˇcn´ı konstanty, které se právˇe urˇc´ı z poˇcáteˇcn´ıch podm´ınek. P˚ usob´ı-li na hmotn´ y bod v´ıce sil, poˇc´ıt´ ame v pohybov´ ych rovnic´ıch s jejich souˇctem (obr. 7). Pokud se s´ıly navz´ ajem ruˇs´ı, pohybuje se hmotn´ y bod dle 1. Newtonova zákona. Pouˇzit´ı pohybov´ ych rovnic na konkrétn´ı pˇr´ıpady ukáˇzeme v dalˇs´ım v´ ykladu. Silov´ e p˚ usoben´ı pˇ ri relativn´ım pohybu Poloˇzme si nyn´ı ot´ azku, zda z˚ ust´ avaj´ı Newtonovy zákony v platnosti, pokud se soustava, ke které pohyb vztahujeme, sama pohybuje. Pˇredpokládejme dvˇe soustavy souˇradnic Spx, y, zq a S 1 px1 , y 1 , z 1 q, z nichˇz prvn´ı povaˇzujeme za pevnou a druh´ a se v˚ uˇci n´ı pohybuje posuvn´ ym pˇr´ımoˇcar´ ym pohybem (obr. 9)

y1 M

M ~r1 1

O pS q

O1

y

~r1

1

x1

z1

~ R

~r

~r

~ R O

O(S)

x

z Obr´ azek 9: Urˇcen´ı polohy bodu M v soustav´ ach S a S 1 . Mezi polohov´ ymi vektory nˇejakého bodu M v soustav´ ach S a S 1 plat´ı zˇrejmˇe ~ ~r “ ~r1 ` R

(1.62)

Pohybuje-li se hmotn´ y bod, pak jeho rychlost ~v vzhledem ke klidné soustavˇe S (absolutn´ı rychlost) je dána vztahem ~v “

~ d~r d~r1 dR “ ` dt dt dt

(1.63)

~ zde ˇclen dR{dt “ ~u je rychlost, kterou se vˇsechna m´ısta v soustavˇe S 1 pohybuj´ı v˚ uˇci soustavˇe S, ˇ naz´ yváme ji un´ aˇ sivou rychlost´ı. Clen d~r1 {dt “ ~v 1 je pak rychlost´ı, kterou se bod pohybuje vzhledem k soustavˇe S 1 , naz´ yváme ji relativn´ı rychlost´ı. Plat´ı tedy ~v “ ~v 1 ` ~u

(1.64)

coˇz je pravidlo o skl´ ad´ an´ı pohyb˚ u. Vztah (1.64) je vyj´ adˇren´ım zn´ amého pravidla o skl´ adán´ı rychlost´ı, které ovˇsem plat´ı vˇseobecnˇe. Derivac´ı vztahu (1.63) dle ˇcasu dost´ av´ ame ~ d2~r1 d2 R d2~r “ ` dt2 dt2 dt2

~a

“

~a

“ ~a1 ` ~au

(1.65)

coˇz je vztah mezi absolutn´ım zrychlen´ım, relativn´ım zrychlen´ım a un´ aˇ siv´ ym zrychlen´ım.


13

Pohyb v inerci´ aln´ı soustavˇ e V inerciáln´ıch soustav´ ach je ~u “ konst., takˇze soustava S 1 v˚ uˇci soustavˇe S pohybuje rovnomˇernˇe pˇr´ımoˇcaˇre. Polohy hmotného bodu M v obou soustav´ ach souvis´ı vztahem ~r “ ~r1 ` ~ut

(1.66)

pokud poˇcátky obou soustav v ˇcase t “ 0 spl´ yvaj´ı. Pˇrechod od jedné soustavy souˇradnic k jiné naz´ yváme transformac´ı souˇ radnic. Transformace (1.66) se naz´ yvá Galileova transformace. Derivujeme-li (1.66) dvakrát dle ˇcasu a vyn´ asob´ıme-li hmotnost´ı m, dostaneme m~a “ m~a1 “ F~

(1.67)

ˇ ık´ tj. zrychlen´ı hmotného bodu v obou soustav´ ach je stejné. R´ ame, ˇ ze Newtonovy pohybov´ e rovnice jsou invariantn´ı vzhledem ke Galileovˇ e transformaci. Bude-li F~ “ 0, bude v obou soustav´ ach platit princip setrvaˇcnosti. Rovnice (1.67) znamená, ˇze nelze z hlediska ˇzádné z obou soustav rozhodnout, zda je v klidu nebo se pohybuje. Tuto u ´vahu lze rozˇs´ıˇrit na vˇsechny inerciáln´ı soustavy, protoˇze v nich beze zmˇeny plat´ı Newtonovy zákony. Tento závˇer naz´ yváme klasick´ ym principem relativity Newtonovy dynamiky. K inerciáln´ım soustav´ am patˇr´ı s dostateˇcnou pˇresnost´ı i soustava pevnˇe spojená se Zem´ı. Pohyb ve zrychlen´ e soustavˇ e Pˇri nerovnomˇerném pohybu soustavy S 1 vzhledem k soustavˇe S se dle (1.65) liˇs´ı zrychlen´ı ~a1 od zrychlen´ı ~a o hodnotu un´ aˇsivého zrychlen´ı ~au , tedy ~a1 “ ~a ´~au . Vyn´ asob´ıme-li tuto rovnici hmotnost´ı m, dostaneme m~a1 “ m~a ´ m~au “ F~ 1

(1.68)

Tˇeleso se vzhledem ke zrychlené soustavˇe S 1 pohybuje tak, jako kdyˇz na nˇe kromˇe s´ıly F~ p˚ usob´ı jeˇstˇe dalˇs´ı s´ıla F~ ˚ “ ´m~au

(1.69)

která má opaˇcn´ y smˇer neˇz zrychlen´ı ~au soustavy S 1 a jej´ıˇz velikost je rovna souˇcinu hmotnosti hmotného bodu a zrychlen´ı této soustavy souˇradnic. Tuto s´ılu naz´ yváme silou setrvaˇ cnou, zd´ anlivou nebo fiktivn´ı, protoˇze nem´ a p˚ uvod v re´ aln´ ych tˇelesech. V této souvislosti uvád´ıme, ˇze s´ıly, jimiˇz na sebe p˚ usob´ı re´ aln´ a tˇelesa, jsou s´ıly skuteˇ cn´ e. uv zákon neplat´ı v neinerci´ aln´ıch soustav´ ach. Jeho platnosti vˇsak dos´ ahneme, kompenzujemeShrnut´ı: 2. Newton˚ li zrychlen´ı soustavy zaveden´ım odpov´ıdaj´ıc´ı setrvaˇcné s´ıly. Tento závˇer je velmi podstatn´ y pro ˇreˇsen´ı mechanick´ ych u ´loh. Dosavadn´ı v´ yklad nám nab´ız´ı dvˇe moˇznosti: • pracovat d˚ uslednˇe v inerciáln´ım systému • zaveden´ım setrvaˇcn´ ych sil pˇrej´ıt do neinerci´ aln´ıho systému. Oba postupy budeme ilustrovat na následuj´ıc´ım pˇr´ıkladu. Uvaˇzujme voz´ık, k jehoˇz vnitˇrn´ı stˇenˇe je pruˇzinou upevnˇena koule (obr. 1.10a), která se m˚ uˇze pohybovat bez tˇren´ı. Uvedeme-li voz´ık do pohybu se zrychlen´ım ~a, pozorujeme nataˇzen´ı pruˇziny (která zde hraje u ´lohu vazby) a koule se bude pohybovat se stejn´ ym zrychlen´ım jako voz´ık (obr. 1.10b). Popis celého dˇeje z hlediska inerciáln´ıho a neinerci´ aln´ıho systému bude odliˇsn´ y: • Z hlediska inerciáln´ıho systému p˚ usob´ı pruˇzina (vazba) na kouli takovou silou, aby ji udˇelila stejné zrychlen´ı jako má voz´ık. Tato s´ıla je skuteˇcn´ a a je akc´ı. Podle 3. Newtonova zákona p˚ usob´ı koule na pruˇzinu stejnˇe velkou, ale opaˇcnˇe orientovanou silou. Tato s´ıla zp˚ usob´ı nataˇzen´ı pruˇziny, je rovnˇeˇz skuteˇcn´ a a je reakc´ı. • Z hlediska pozorovatele spjatého s voz´ıkem zp˚ usob´ı nataˇzen´ı pruˇziny fiktivn´ı s´ıla, která indikuje, ˇze soustava souˇradná spjatá s voz´ıkem je neinerci´ aln´ı. Tato s´ıla je kompenzov´ ana nataˇzen´ım pruˇziny, tj. skuteˇcnou silou, která p˚ usob´ı rovnˇeˇz na kouli. Nem˚ uˇzeme tedy hovoˇrit o akci a reakci. Z toho plyne d˚ uleˇzit´ y poznatek: 3. Newton˚ uv z´ akon neplat´ı v neinerci´ aln´ım syst´ emu. Pohyb v ot´ aˇ civ´ e soustavˇ e Vyˇsetˇr´ıme dále skuteˇcné a zd´ anlivé s´ıly, které p˚ usob´ı na hmotn´ y bod, vztahujeme-li jeho pohyb k soustavˇe


14

~a

(a)

(b) Obr´ azek 10: Zrychlen´ y pohyb voz´ıku.

S 1 , která se vzhledem k inerciáln´ı soustavˇe S ot´ aˇc´ı u ´hlovou rychlost´ı ω ~ (obr. 11) tak, ˇze maj´ı spoleˇcn´ y poˇcátek a osu z, která je osou ot´ aˇcen´ı. Okamˇzitou polohu M v obou soustav´ ach ud´ av´ a polohov´ y vektor ~r “ ~r1 . Jeho zmˇeny pˇri pohybu hmotného bodu jsou vˇsak v obou soustav´ ach r˚ uzné a r˚ uzné budou i jeho derivace vzhledem k obˇema soustav´ am.

y1

y

x1

~u M

~r “ ~r1 α

O ” O1

x

rk

ω ~ z “ z1 Obr´ azek 11: Pohyb v ot´ aˇcivé soustavˇe . Pro un´ aˇsivou rychlost bodu M plat´ı ~u “ ω ~ ˆ ~r a pravidlo pro skl´ adán´ı rychlost´ı plat´ı ve tvaru

(1.70)


15

~v “ ~v 1 ` ω ~ ˆ ~r 1 d ~r d~r “ `ω ~ ˆ ~r dt dt

(1.71)

kde ˇcárka vyznaˇcuje derivaci vzhledem k soustavˇe S 1 . Mezi pˇr´ır˚ ustkem d~r v soustavˇe S a d1~r v soustavˇe S plat´ı 1

d~r “ d1~r ` p~ ω ˆ ~rqdt

(1.72)

Element´ arn´ı zmˇeny kaˇzdého jiného vektoru v obou soustav´ ach budou podléhat stejnému pravidlu. Pro zmˇenu relativn´ı rychlosti vzhledem k soustavˇe S bude d~v 1 “ d1~v 1 ` p~ ω ˆ ~v 1 qdt d~v 1 d1~v 1 “ ` p~ ω ˆ ~v 1 q dt dt

(1.73) (1.74)

Tento vztah umoˇzn ˇuje zjistit zrychlen´ı ~a1 hmotného bodu vzhledem k pohybuj´ıc´ı se soustavˇe S 1 , tedy ~a1 “

d~v 1 d1~v 1 “ ´ p~ ω ˆ ~v 1 q dt dt

(1.75)

Nyn´ı jeˇstˇe dosad´ıme z (1.71) za ~v 1 v ˇcasové derivaci ~a1 “

d~v d~ ω d~r d p~v ´ ω ~ ˆ ~rq ´ ω ~ ˆ ~v 1 “ ´ ˆ ~r ´ ω ~ˆ ´ω ~ ˆ ~v 1 dt dt dt dt d~v d~v “ ´ ~ε ˆ ~r ´ ω ~ ˆ ~v ´ ω ~ ˆ ~v 1 “ ´ ~ε ˆ ~r ´ ω ~ ˆ p~v 1 ` ω ~ ˆ ~rq ´ ω ~ ˆ ~v 1 dt dt d~v ´ ~ε ˆ ~r ´ ω ~ ˆ p~ ω ˆ ~rq ´ 2~ ω ˆ ~v 1 “ dt

(1.76)

Na hmotn´ y bod v ot´ aˇcivé soustavˇe p˚ usob´ı tedy s´ıla d~v F~ 1 “ m~a1 “ m ´ m~ε ˆ ~r ´ m~ ω ˆ p~ ω ˆ ~rq ´ 2m~ ω ˆ ~v 1 dt v a “ F~ tak pˇristupuj´ı v ot´ aˇcivé soustavˇe S 1 dalˇs´ı tˇri fiktivn´ı s´ıly: Ke skuteˇcné s´ıle m d~ dt “ m~ S´ıla d~ ω ˆ ~r “ ´m~au F~ ˚ “ ´m dt

(1.77)

(1.78)

kde ~au je un´ aˇsivé zrychlen´ı rotuj´ıc´ı soustavy v m´ıstˇe, kde je právˇe hmotn´ y bod, F~ ˚ je setrvaˇcn´ a s´ıla, obdobná s´ıle v rovnici (1.69). Je-li u ´hlov´ a rychlost konstantn´ı, tato s´ıla vymiz´ı. Dalˇs´ı s´ıla F~O “ ´m~ ω ˆ p~ ω ˆ ~rq “ ´m~ ω ˆ ~u (1.79) p˚ usob´ı na hmotn´ y bod pˇri rotaci soustavy, je-li v koneˇcné vzdálenosti od osy rotace. Velikost s´ıly je FO “ mω 2 r sin α “ mω 2 rK “ m

u2 rK

(1.80)

kde rK “ r sin α je vzdálenost bodu od osy rotace. Tuto s´ılu naz´ yváme silou odstˇredivou, protoˇze m´ıˇr´ı od osy rotace. ˇovat se skuteˇcnou odstˇredivou Pozn´ amka: Zdánlivou odstˇredivou s´ılu v rotuj´ıc´ı soustavˇe nesm´ıme zamˇen silou, která vznik´ a jako reakce na dostˇredivou s´ılu a kterou p˚ usob´ı tˇeleso na vazbu, která jej nut´ı ke kˇrivoˇcarému pohybu. Posledn´ı s´ıla F~C “ ´2m~ ω ˆ ~v 1 “ 2m~v 1 ˆ ω

(1.81)

se uplatˇ nuje, pokud hmotn´ y bod má v rotuj´ıc´ı soustavˇe rychlost ~v 1 jiného smˇeru, neˇz je smˇer osy rotace. To znamená, ˇze hmotn´ y bod postupuje m´ısty s r˚ uznou un´ aˇsivou rychlost´ı. Tuto s´ılu naz´ yváme Coriolisovou silou. uv zákon platit v rotuj´ıc´ı soustavˇe, mus´ı m´ıt formu Shrnut´ı: Má-li 2. Newton˚

16


ω ~

~aO

r1 R ψ

~g x

Obr´ azek 12: Zmˇena t´ıhového zrychlen´ı rotac´ı Zemˇe.

m~a1 “ F~ ` F~ ˚ ` F~O ` F~C

(1.82)

Pohyb na zemsk´ em povrchu Souˇradnou soustavu spojenou se Zem´ı povaˇzujeme pˇribliˇznˇe za inerciáln´ı soustavu, protoˇze zrychlené pohyby, které Zemˇe koná, nemaj´ı vliv na vˇetˇsinu v´ ypoˇct˚ u v klasické mechanice. Vˇetˇsinou uvaˇzujeme • obˇeh kolem Slunce po málo v´ ystˇredné elipse stˇredn´ı rychlost´ı 29, 8km s´1 , • rotace kolem vlastn´ı osy se stálou u ´hlovou rychlost´ı (ω “ 7, 292.10´5 s´1 ). Dostˇredivé zrychlen´ı Zemˇe pˇri pohybu kolem Slunce je jen 0, 0058ms2 . Vlastn´ı rotace Zemˇe, jej´ıˇz u ´hlov´ a rychlost je 365 krát vˇetˇs´ı neˇz u ´hlov´ a rychlost pˇri obˇehu kolem Slunce, má v´ yraznˇe vˇetˇs´ı vliv. Velikost odstˇredivého zrychlen´ı má v r˚ uzn´ ych m´ıstech na povrchu Zemˇe velikost aO “ r1 ω 2 “ Rω 2 cos ψ

(1.83)

kde r1 je kolm´ a vzdálenost od osy rotace, R je polomˇer Zemˇe a ψ je zemˇepisná ˇs´ıˇrka (obr. 12). Odstˇredivé zrychlen´ı v Praze ˇcin´ı aO “ 2, 59.10´2 ms´2 “ 0, 0026g a skl´ adá se s gravitaˇcn´ım zrychlen´ım ve v´ ysledné t´ıhové zrychlen´ı, které nem´ıˇr´ı do stˇredu Zemˇe. D´ıky tomuto faktu Zemˇe, kdyˇz byla v plastickém stavu, nabyla tvaru elipsoidu, zploˇstˇelého na pólech, takˇze t´ıhové zrychlen´ı je vˇsude kolmé k povrchu Zemˇe. Jako norm´ aln´ı t´ıhov´ e zrychlen´ı se definuje zrychlen´ı gn “ 9, 80665ms´2 pˇresnˇe, o které je pˇribliˇznˇe rovno zrychlen´ı na 45 severn´ı ˇs´ıˇrky pˇri hladinˇe moˇre. V´ yznam normáln´ıho t´ıhového zrychlen´ı spoˇc´ıvá v tom, ˇze umoˇzn ˇuje jednoznaˇcné zaveden´ı nˇekter´ ych fyzik´ aln´ıch jednotek a ˇze v´ ysledky fyzik´ aln´ıch mˇeˇren´ı prov´ adˇen´ ych pˇri r˚ uzn´ ych hodnotách g lze na tuto hodnotu redukovat. Podot´ ykáme, ˇze pˇri rozboru pohybu na zemském povrchu z hlediska inerciáln´ıho systému (nˇekdy se ˇr´ıká z hlediska soustavy souˇradné spjaté se stálicemi) nelze v´ yˇse uvedenou argumentaci pomoc´ı odstˇredivé s´ıly pouˇz´ıt. T´ıhovou s´ılu zde dostaneme jako vektorov´ y rozd´ıl gravitaˇcn´ı s´ıly a dostˇredivé s´ıly nutné k rotaˇcn´ımu pohybu v daném m´ıstˇe. Nejznámˇejˇs´ı pokus prokazuj´ıc´ı neinerci´ aln´ı charakter soustavy souˇradné spjaté se Zem´ı je pokus s Foucaultov´ ym kyvadlem. Tento pokus provedl poprvé Foucault v roce 1851 s koul´ı hmotnosti 30kg zavˇeˇsenou na drátˇe délky 67m v kopuli paˇr´ıˇzského Pantheonu (uspoˇra´dán´ı m˚ uˇze ovˇsem b´ yti skromnˇejˇs´ı, d˚ uleˇzité je vylouˇcen´ı vnˇejˇs´ıch vliv˚ u na pohyb kyvadla). Pˇri pokusu se ukazuje, ˇze se rovina kyvu vzhledem k podlaze stáˇc´ı ve smyslu hodinov´ ych ruˇciˇcek u ´hlovou


17

rychlost´ı ω 1 “ ω sin ψ (ψ je zemˇepisná ˇs´ıˇrka). Nejrychlejˇs´ı je ot´ aˇcen´ı na pólu, kde ˇcin´ı 360o za 24 hodin, na rovn´ıku naopak se rovina kyvu nemˇen´ı. V naˇsich zemˇepisn´ ych ˇs´ıˇrkách dojde k otoˇcen´ı roviny kyvu o 360o pˇribliˇznˇe za 31 hodin. Z hlediska neinerci´ aln´ıho systému lze pokus s Foucaultov´ ym kyvadlem povaˇzovat za experiment´ aln´ı d˚ ukaz Coriolisovy s´ıly (rozbor v´ yˇse popsané situace z tohoto hlediska pˇrenecháv´ ame posluchaˇci ). Z hlediska inerciáln´ıho systému je v´ ysledkem p˚ usoben´ı t´ıhové s´ıly (skuteˇcné) a rotace Zemˇe. Lze jej snadno demonstrovat pomoc´ı globusu (m´ıˇce) a tuˇzky zn´ azorˇ nuj´ıc´ı dráhu koule pˇri k´ yván´ı. Um´ıst´ıme-li kyvadlo na zemském pólu, z˚ ust´ av´ a rovina kyvu stál´ a vzhledem ke stálic´ım a Zemˇe se pod kyvadlem otoˇc´ı jednou za 24 hodin. Na rovn´ıku naopak je dráha pohybu vˇzdy teˇcnou k zemskému povrchu a rovina kyvu se nemˇen´ı. V ostatn´ıch poloh´ ach na zemském povrchu provedeme rozbor nejlépe, vezmeme-li jako poˇcáteˇcn´ı stav kyv ve smˇeru teˇcny k poledn´ıku v daném m´ıstˇe, tj. od severu k jihu, ˇci naopak. Jediná skuteˇcn´ a s´ıla, která na kyvadlo p˚ usob´ı, je s´ıla t´ıhov´ a a ta tento smˇer nem˚ uˇze zmˇenit. K veˇsker´ ym zmˇen´ am pohybu bude docházet pouze v rovinˇe dané teˇcnou k poledn´ıku v poˇcáteˇcn´ım m´ıstˇe a smˇerem t´ıhové s´ıly. Pˇrejde-li pˇri rotaci kyvadlo do jiného m´ısta, bude dle této argumentace odchylka roviny kyvu dána u ´hlem, kter´ y sv´ıraj´ı teˇcna k poledn´ıku v poˇcáteˇcn´ım m´ıstˇe a teˇcna k poledn´ıku v novém m´ıstˇe. Rychlost pˇr´ır˚ ustku tohoto u ´hlu odpov´ıdá na základˇe jednoduché geometrické u ´vahy (kterou pˇrenecháv´ ame posluchaˇci) v´ yˇse uvedenému vztahu ω 1 “ ω sin ψ (odvozen´ı lze naj´ıt v doporuˇcené uˇcebnici Horáka a Krupky). Existence Coriolisovy s´ıly se na zemském povrchu projevuje jeˇstˇe dalˇs´ımi jevy: • odchylka tˇeles od svislice pˇri volném pádu • stáˇcen´ı pas´ atn´ıch vˇetr˚ u ze severojiˇzn´ıho smˇeru • u ˇrek tekouc´ıch od severu k jihu je prav´ y bˇreh (ve smˇeru toku) podemlet v´ıce neˇz lev´ y (prav´ y bˇreh je strm´ y, lev´ y pozvoln´ y, dobˇre patrné u ukrajinsk´ ych ˇrek) • r˚ uzné opotˇreben´ı ˇzelezniˇcn´ıch kolejnic vedouc´ıch od severu k jihu pˇri trvalém provozu jedn´ım smˇerem Podotknˇeme jeˇstˇe na závˇer, ˇze vlivu odstˇredivé s´ıly pˇri rotaci Zemˇe na smˇer v´ ysledné s´ıly vyuˇzil mad’arsk´ y fyzik E¨ otvös k experiment´ aln´ımu d˚ ukazu rovnosti setrvaˇcné a t´ıhové hmotnosti. Kdyby dvˇe tˇelesa z r˚ uzn´ ych l´ atek se stejnou t´ıhovou hmotnost´ı mˇela rozd´ılnou setrvaˇcnou hmotnost, musely by v´ ysledné t´ıhy m´ıˇrit jin´ ym smˇerem, coˇz se neprokázalo (odstˇrediv´ a s´ıla je totiˇz u ´mˇerná setrvaˇcné hmotnosti). Dalˇ s´ı mechanick´ e veliˇ ciny - pr´ ace, energie, hybnost, impuls, moment hybnosti ´ cinek s´ıly na pohyb tˇelesa lze kvantitativnˇe posuzovat dvoj´ım zp˚ Uˇ usobem: • dle dr´ ahy, na n´ıˇz s´ıla na tˇeleso p˚ usobila • dle doby, po kterou s´ıla p˚ usobila Dr´ ahov´ yu ´ˇcinek s´ıly a mechanick´ a energie 2. Newton˚ uv zákon uprav´ıme tak, aby neobsahoval ˇcas. Vyjdeme z (1.50) a vyn´ asob´ıme rovnici skal´ arnˇe element´ arn´ım pˇr´ır˚ ustkem pr˚ uvodiˇce

m~a “ m m

d~v “ F~ dt

d~r d~v ¨ d~r “ md~v ¨ “ m~v d~v “ F~ ¨ d~r dt dt

(1.84)

Uprav´ıme v´ yraz ~v ¨ d~v pomoc´ı (1.8) ~v ¨ d~v “ v~τ0 ¨ dpv~τ0 q “ v~τ0 ¨ p~τ0 dv ` vd~τ0 q “ vdv~τ0 ¨ ~τ0 ` v 2~τ0 ¨ d~τ0 “ vdv

(1.85)

nebot’ ~τ0 ¨ ~τ0 “ 1 a tedy dp~τ0 ¨ ~τ0 q “ d~τ0 ¨ ~τ0 ` ~τ0 ¨ d~τ0 “ 2~τ0 d~τ0 “ 0 (~τ0 a d~τ0 jsou tedy navzájem kolmé). Máme tedy mvdv “ F~ ¨ d~r

(1.86)

Integrujeme-li tuto rovnici mezi dvˇema polohami hmotného bodu p~r1 , ~v1 q a p~r2 , ~v2 q, dostaneme 1 1 mv22 ´ mv12 “ 2 2

ż ~r2 ~ r1

F~ ¨ d~r

(1.87)


18

kde v2 a v1 jsou velikosti rychlost´ı pˇr´ısluˇsn´ ych polohov´ ym vektor˚ um ~r2 a ~r1 . Libovoln´ e vnˇ ejˇ s´ı silov´ e p˚ usoben´ı na vyˇ setˇ rovan´ e tˇ eleso z hlediska probˇ ehl´ e dr´ ahy urˇ cuje tzv. dr´ ahov´ y integr´ al s´ıly (jde obecnˇ e o kˇ rivkov´ y integr´ al) A12 “

ż ~r2

F~ ¨ d~r

(1.88)

~ r1

kter´ y se naz´ yvá mechanick´ a pr´ ace. Jednotkou mechanické práce je joule pJq rovn´ y práci, kterou vykoná s´ıla 1N na dr´ aze 1m ve smˇeru dráhy. Levá strana rovnice (1.87) vyjadˇruje zmˇenu pohybového stavu tˇelesa v d˚ usledku mechanické práce. Veliˇcinu 1 mv 2 (1.89) 2 naz´ yváme kinetickou energi´ı hmotného bodu nebo tˇelesa. Shrnut´ı: Pˇr´ır˚ ustek kinetické energie hmotného bodu mezi dvˇema m´ısty urˇcen´ ymi polohov´ ymi vektory ~r1 a ~r2 odpov´ıdá vykonané mechanické práci s´ıly mezi tˇemito dvˇema m´ısty. Pˇrijmeme následuj´ıc´ı konvenci: Ek “

• Pokud vnˇejˇs´ı s´ıly pohyb tˇelesa podporuj´ı, povaˇzujeme vykonanou práci za kladnou. Pˇr´ır˚ ustek kinetické energie je kladn´ y. Tedy dEk “ dA. • Pokud vnˇejˇs´ı s´ıly pohyb tˇelesa brzd´ı, povaˇzujeme vykonanou práci za zápornou a záporn´ y je i pˇr´ır˚ ustek kinetické energie. Stejnˇe lze ˇr´ıci, ˇze v tomto pˇr´ıpadˇe pohybuj´ıc´ı se tˇeleso koná práci na okoln´ıch tˇelesech. Kˇrivkov´ y integr´ al, tedy i (1.88) m˚ uˇzeme (analogicky Riemannovu integr´ alu) vypoˇc´ıtat jen, zn´ ame-li pr˚ ubˇeh integrované funkce. Pro element práce plat´ı dA “ F~ ¨ d~r “ F~ ¨ ~τ0 ds “ F ds cos α

(1.90)

α je u ´hel mezi silou a teˇcnou k dráze (obr. 13). F~ a α jsou funkce ˇcasu a polohy.

F~

α

F~ α α F~ Obr´ azek 13: K v´ ykladu práce. Z rovnice (1.88) plyne ihned, ˇze práci koná pouze teˇcn´ a sloˇzka s´ıly. Pˇr´ıklad: Vypoˇc´ıt´ ame pr´ aci s´ıly v t´ıhovém poli. T´ıhov´ a s´ıla p˚ usob´ı ve vˇsech m´ıstech pohybu tˇelesa, a proto ˇr´ıkáme, ˇze v prostoru, kde pohyb tˇeles vyˇsetˇrujeme, je silov´ e pole. Existence jakéhokoli silového pole v prostoru se projevuje tak, ˇze na vloˇzené tˇeleso p˚ usob´ı obecnˇe nˇejakou silou. Silové pole t´ıhy se ~ “ m~g konstantn´ım co do smˇeru i velikosti. Sledovan´ vyznaˇcuje silov´ ym vektorem G y hmotn´ y bod bude pˇrem´ıstˇen z m´ısta 1 rx1 , y1 , z1 s do m´ısta 2 rx2 , y2 , z2 s (obr. 14) bez pˇr´ıtomnosti tˇren´ı Dle (1.90) máme A12 “ ´

ż2 1

Gds cos α “ ´G

ż2

ds cos α “ ´pmgy2 ´ mgy1 q “ mgy1 ´ mgy2

(1.91)

1

Pˇritom konstantn´ı s´ılu G jsme postavili pˇred integr´ al a hodnoty ds cos α pˇredstavuj´ı pr˚ umˇety elementu dráhy do vertikáln´ıho smˇeru. Vykonan´ a práce A12 ą 0, pokud y1 ą y2 . M˚ uˇzeme ji vyj´ adˇrit ve tvaru


19

y 1 ~r1

ds 2

α

ds ¨ cos α

~ G ~r2 x

z Obr´ azek 14: Pr´ ace v t´ıhovém poli

A12 “ Ep1 ´ Ep2

(1.92)

Dle (1.88) a (1.89) je tato práce rovna pˇr´ır˚ ustku kinetické energie hmotného bodu mezi body 1 a 2. A12 “ Ek2 ´ Ek1

(1.93)

Ek1 ` Ep1 “ Ek2 ` Ep2 “ konst

(1.94)

porovn´ an´ım obou rovnic plyne

Veliˇcinu Ep , která je funkc´ı polohy hmotného bodu v silovém poli, naz´ yváme polohovou (potenci´ aln´ı) energi´ı a souˇcet obou energi´ı pokládáme za celkovou mechanickou energii hmotného bodu. Pak plat´ı, ˇze celkov´ a mechanick´ a energie je konstantn´ı veliˇcina. Uveden´ y pˇr´ıklad lze zobecnit. Pˇredstavme si v t´ıhovém silovém poli pohyb hmotného bodu po uzavˇrené dráze z m´ısta 1 do m´ısta 2 a zpˇet (obr. 15).

1 d~r

~r

O ~r

d~r

2 Obr´ azek 15: Pohyb tˇelesa v silovém poli po uzavˇrené dráze. Pro pr´ aci s´ıly po takové dráze plat´ı A “ A12 ` A21 a dle (1.92)

(1.95)


20

A21 “ Ep2 ´ Ep1

A12 “ Ep1 ´ Ep2

a celkov´ a práce s´ıly po uzavˇrené dráze je nulov´ a, coˇz vyjadˇrujeme podm´ınkami ¿ F~ ¨ d~r “ 0 E “ Ek ` Ep “ konst.

(1.96)

(1.97)

kde je symbolicky vyj´ adˇren integr´ al po uzavˇrené dráze. T´ıhové pole je d˚ uleˇzit´ ym pˇr´ıpadem potenci´ alov´ eho neboli konzervativn´ıho pole, pro které plat´ı, ˇze se v nˇem zachov´ av´ a mechanick´ a energie. Vztahy (1.97) plat´ı v jakémkoli konzervativn´ım poli a vyjadˇruj´ı zákon zachov´ an´ı mechanick´ e energie. Pokud proti pohybu tˇelesa p˚ usob´ı nˇejak´ y odpor (tˇren´ı), docház´ı k tomu, ˇze tˇeleso na uzavˇrené dráze ztrat´ı ˇcást své mechanické energie na u ´ˇcet práce, kterou mus´ı vykonat pˇri pˇrekonáv´ an´ı odporu vnˇejˇs´ıch sil. Celkov´ a práce, kterou konaj´ı s´ıly pˇri pohybu po uzavˇrené dráze je záporn´ a. Takov´ a silov´ a pole se pak naz´ yvaj´ı nekonzervativn´ı neboli dissipativn´ı. Zde docház´ı k ˇcásteˇcné pˇremˇenˇe mechanické energie v jiné druhy energie (teplo) dle obecn´ eho principu zachov´ an´ı energie. akon zachov´ an´ı mechanické energie je d˚ usledek Newtonov´ ych zákon˚ u. Je zvl´ aˇstn´ım pˇr´ıpadem Shrnut´ı: Z´ obecného zákona zachov´ an´ı energie. M´ırou rychlosti v´ ykonu pr´ ace nebo zmˇeny energie je veliˇcina v´ ykon, která je definov´ ana jako dA dt

(1.98)

F~ ¨ d~r dA “ “ F~ ¨ ~v dt dt

(1.99)

P “ Plat´ı zˇrejmˇe P “

Jednotkou v´ ykonu je 1W (watt), kter´ y znamená práci 1J (joule) za 1 sekundu. Je-li v´ ykon P stál´ y, plat´ı pro práci zˇrejmˇe A“P ¨t

(1.100)

ˇ Casov´ yu ´ˇ cinek s´ıly, hybnost a impuls Vyjdeme opˇet z rovnice (1.50), kterou násob´ıme elementárn´ı dobou dt md~v “ F~ dt

(1.101)

Sledujeme-li p˚ usoben´ı s´ıly v intervalu pt1 , t2 q, dostaneme integrac´ı m~v2 ´ m~v1 “

ż t2

F~ dt

(1.102)

t1

´ cinek s´ıly z hlediska doby vyjadˇruje tedy ˇcasov´ Uˇ y integr´ al I~ “

ż t2

F~ dt

(1.103)

t1

kter´ y naz´ yváme impulsem s´ıly. Impuls s´ıly vede ke zmˇenˇe hybnosti tˇelesa dle (1.48) a je p~2 ´ p~1 “ I~

(1.104)

Pˇr´ır˚ ustek hybnosti, zp˚ usoben´ y silou v urˇcitém ˇcasovém intervalu, je urˇcen co do smˇeru i velikosti impulsem s´ıly. Impuls s´ıly umoˇzn ˇuje posoudit v´ ysledn´ y ˇcasov´ y efekt p˚ usob´ıc´ıch sil, aniˇz bychom museli detailnˇe zn´ at jejich ˇcasovou závislost. Rovnice (1.102) umoˇzn ˇuje nahradit ˇcasovˇe závisl´ y efekt p˚ usob´ıc´ıch sil efektem pr˚ umˇerné s´ıly I~ “

ż t2

F~ dt “ F~ pt2 ´ t1 q

(1.105)

t1

Vˇsimneme si, ˇze pˇri stejné zmˇenˇe hybnosti je pr˚ umˇerná s´ıla velk´ a, je-li ˇcasov´ y interval mal´ y. Napˇr´ıklad pˇri ˇceln´ıch sráˇzk´ ach, které trvaj´ı krátkou dobu, p˚ usob´ı obrovské s´ıly, vedouc´ı napˇr. k roztˇr´ıˇstˇen´ı aut.


21

Moment s´ıly a moment hybnosti ~ “ V rovnici (1.45) jsme zavedli moment s´ıly k posouzen´ı ot´ aˇcivého u ´ˇcinku s´ıly vzhledem k bodu O pM ~ ~r ˆ F q. Hledejme nyn´ı, jaké veliˇciny budou charakterizovat pohyb v pˇr´ıpadˇe ot´ aˇcen´ı kolem nˇejakého bodu. Dosad´ıme za s´ılu do rovnice pro moment s´ıly ~ “ ~r ˆ F~ “ ~r ˆ m d~v M dt

(1.106)

a vyuˇzijeme identity d d~r d~r d~v p~r ˆ m~v q “ ˆ m ` ~r ˆ m dt dt dt dt kde prvn´ı ˇclen napravo je nulov´ y. Je tedy

(1.107)

~ ~ “ d p~r ˆ m~v q “ db M dt dt

(1.108)

~b “ p~r ˆ m~v q “ ~r ˆ p~

(1.109)

kde v´ yraz

naz´ yváme momentem hybnosti hmotného bodu vzhledem k pevnému bodu O. Rovnice (1.108) je analogi´ı 2. Newtonova zákona pro moment s´ıly a moment hybnosti. Ve v´ ykladu o mechanice tuhého tˇelesa uvid´ıme, ˇze hybnost a moment hybnosti charakterizuj´ı pohybov´ y stav tˇelesa podobnˇe jako mechanick´ a energie.

22


Kapitola 2

Gravitaˇ cn´ı z´ akon 2.1.

Newton˚ uv gravitaˇ cn´ı z´ akon

Dva hmotné body o hmotách m1 a m2 , jejichˇz vzdálenost je r, p˚ usob´ı na sebe silou velikosti m1 m2 (2.1) r2 Konstantu κ zde naz´ yváme gravitaˇcn´ı konstantou. Je urˇcena experiment´ alnˇe jako κ “ p6, 670 ˘ 0, 007q ¨ 10´11 N m2 kg ´2 , nebot’ jednotky pro s´ılu, hmotnost a délku jsou v soustavˇe SI urˇceny nezávisle na gravitaˇcn´ım zákonˇe. S´ıla (2.1) je pˇritaˇzlivá a p˚ usob´ı ve smˇeru spojnice hmotn´ ych bod˚ u (ˇci stˇred˚ u ~ homogenn´ıch koul´ı). Maj´ı-li hmotné body polohové vektory ~r1 , ~r2 , pak pro s´ılu F21 , j´ıˇz p˚ usob´ı prv´ y bod na druh´ y plat´ı vektorovˇe F “κ

m1 m2 p~r2 ´ ~r1 q F~21 “ ´κ |~r2 ´ ~r1 |3

(2.2)

Vˇsimneme si, ˇze pˇritaˇzlivá s´ıla má opaˇcn´ y smˇer neˇz vektor ~r2 ´ ~r1 . S´ıla, kterou p˚ usob´ı druh´ y bod na prv´ y, je dána 3. Newtonov´ ym zákonem a plat´ı F~12 “ ´F~21 . Rovnice (2.1) a (2.2) naz´ yváme Newtonov´ ym gravitaˇ cn´ım z´ akonem. Newton˚ uv gravitaˇcn´ı zákon vyhovuje velmi pˇresnˇe jak pozemsk´ ym pozorov´ an´ım, tak i pˇri v´ ypoˇctu pohyb˚ u kosmick´ ych tˇeles, je-li rychlost mal´ a ve srovnán´ı s rychlost´ı svˇetla. Pˇresto obsahuje v sobˇe ot´ azku, jak´ ym zp˚ usobem se m˚ uˇze na dálku pˇrenáˇset silové p˚ usoben´ı jednoho tˇelesa na druhé, bez ohledu na to, stoj´ı-li mezi nimi dalˇs´ı tˇelesa. Newton s´ am o p˚ uvodu gravitaˇcn´ı s´ıly nespekuloval a sv˚ uj zákon povaˇzoval za pouh´ y popis skuteˇcnosti. Problém spoˇc´ıvá v tom, ˇze v Newtonovˇe dobˇe se nepˇripisoval ˇzádn´ y v´ yznam prostoru, kter´ y obklopuje tˇelesa. Dnes v´ıme, ˇze gravitaˇcn´ı pole, které kolem sebe tˇelesa vytv´ aˇrej´ı, tento prostor ovlivˇ nuje, a povaˇzujeme jej za formu existence hmoty. an´ı je zp˚ usobeno vz´ ajemnou interakc´ı tˇeles a gravitaˇcn´ıch pol´ı. Zobecnˇen´ı Shrnut´ı: Vzájemné pˇritahov´ Newtonova zákona (2.1) a (2.2) podáv´ a obecná teorie relativity. Uvaˇzujme gravitaˇcn´ı silové pole, které vznik´ a v okol´ı hmotného bodu o hmotnosti M a p˚ usob´ı na hmotn´ y bod o hmotnosti m. Poloˇzme poˇcátek soustavy souˇradné do bodu o hmotnosti M . Bude-li m ! M , m˚ uˇzeme tuto soustavu pokládat v dobrém pˇribl´ıˇzen´ı za inerciáln´ı. V takové soustavˇe souˇradné bude platit mM F~ “ ´κ 3 ~r (2.3) r je-li polohov´ y vektor hmotného bodu m ~r. Touto rovnic´ı je zad´ ano gravitaˇcn´ı silové pole bodu M . S´ıla (2.3) je u ´mˇerná hmotnosti m, jej´ı normalizac´ı na jednotkovou hmotnost dostaneme intenzitu gravitaˇ cn´ıho pole F~ I~ “ (2.4) m Pozn´ amka: intenzitu pole lze ovˇsem zavést v jakémkoli silovém poli. Vypoˇcteme nyn´ı pr´ aci A12 vykonanou polem na hmotn´ y bod, pˇrejde-li z m´ısta urˇceného polohov´ ym vektorem ~r1 do m´ısta s polohov´ ym vektorem ~r2 . Bude platit A12 “

ż ~r2 ~ r1

Skal´ arn´ı souˇcin platit

~ r r

F~ ¨ d~r “

ż ~r2 ~ r1

mM ´κ 3 ~r ¨ d~r “ ´κmM r

ż ~r2 ~ r1

1 ~r ¨ ¨ d~r r2 r

(2.5)

¨ d~r je pr˚ umˇetem elementu dráhy d~r do smˇeru ~r a m˚ uˇzeme jej oznaˇcit dr. Bude pak

23

ˇ Í ZAKON ´ KAPITOLA 2. GRAVITACN

24

A12 “ ´κmM

ż ~r2 ~ r1

1 1 1 dr “ κmM p ´ q r2 r2 r1

(2.6)

Pr´ ace A12 je tedy závislá pouze na rozd´ılu vzdálenosti bod˚ u ~r1 a ~r2 od poˇcátku soustavy souˇradné. Gravitaˇcn´ı silové pole je tedy konzervativn´ı. S vyj´ımkou poˇcátku soustavy souˇradné plat´ı pro rozd´ıl potenciáln´ıch energi´ı v m´ıstech ~r1 a ~r2 Ep2 ´ Ep1 “ Á12 . Dosad´ıme-li tento vztah do (2.6), dostaneme Ep2 ´ Ep1 “ Á12 “ κmM p

1 1 ´ q r1 r2

(2.7)

Zvol´ıme nyn´ı nulovou hodnotu potenciáln´ı energie v nekoneˇcnˇe vzdáleném bodˇe rovnu nule. Budeme-li za tento bod povaˇzovat bod 2 v (2.7) (Ep2 “ 0 , r12 Ñ 0) a budeme-li bod ~r1 povaˇzovat za obecn´ y bod ~r, dostaneme κmM (2.8) r potenciáln´ı energii gravitaˇcn´ıho pole bodu o hmotnosti M jako skal´ arn´ı funkci souˇradnic, v tomto pˇr´ıpadˇe vzdálenosti r. Ep 1 “ ´

2.2.

Pohyb v zemsk´ em t´ıhov´ em poli

S t´ıhovou silou jsme se sezn´ amili jiˇz dˇr´ıve. Ukáˇzeme nyn´ı souvislost (1.59) s Newtonov´ ym gravitaˇcn´ım zákonem (2.2). Uveden´ y postup plat´ı samozˇrejmˇe zcela obecnˇe, my vˇsak budeme uvaˇzovat pro názornost pouze speciáln´ı pˇr´ıpad t´ıhového pole Zemˇe. Pˇrijmeme nyn´ı bez d˚ ukazu tvrzen´ı, ˇze gravitaˇcn´ı pole vnˇe Zemˇe lze popsat v´ yrazy (2.1) a (2.2), poloˇz´ıme-li poˇcátek soustavy souˇradné do stˇredu Zemˇe. V bl´ızkosti 2 zemského povrchu lze v´ yraz ´κMZ ~r{r3 pokládat za pˇribliˇznˇe stál´ y a rovn´ y v´ yrazu ´κMZ ~r0 {RZ , kde RZ je polomˇer Zemˇe a ~r0 je jednotkov´ y vektor v radi´ aln´ım smˇeru (tj. svisle vzh˚ uru). Pro gravitaˇcn´ı zrychlen´ı v bl´ızkosti zemského povrchu pak dostaneme mMZ r0 2 ~ RZ MZ ~g “ ´κ 2 ~r0 RZ κMZ g“ 2 RZ

m~g “ ´κ

(2.9)

Zd˚ uraznˇeme jeˇstˇe jednou, ˇze uvedené zaveden´ı gravitaˇcn´ıho zrychlen´ı lze provést jen pro tak velk´ y prostor u povrchu Zemˇe, kde je moˇzno zanedbat zmˇenu gravitaˇcn´ı s´ıly se vzdálenost´ı od stˇredu Zemˇe a také vz´ ajemn´ y u ´hel svislic v jednotliv´ ych m´ıstech uvaˇzovaného prostoru. Poznamenejme rovnˇeˇz, ˇze skuteˇcné zrychlen´ı u zemského povrchu je dáno rozd´ılem gravitaˇcn´ıho zrychlen´ı (2.9) a odstˇredivého zrychlen´ı, o kterém jsme pojednali v minulé kapitole. Toto zrychlen´ı pak naz´ yváme t´ıhov´ ym zrychlen´ım a silové pole dané gravitaˇcn´ım polem a polem odstˇredivé s´ıly (situaci uvaˇzujeme z hlediska neinerci´ aln´ıho systému) naz´ yváme t´ıhov´ ym polem. Obecn´ y pohyb v t´ıhovém poli naz´ yváme vrhem. Pohybuje-li se hmotn´ y bod v t´ıhovém poli, p˚ usob´ı na nˇej ve vertikáln´ım smˇeru t´ıhov´ a s´ıla, a budeme-li uvaˇzovat pohyb ve vzduchoprázdnu, nebudou p˚ usobit tˇrec´ı s´ıly. Bude-li smˇer t´ıhové s´ıly totoˇzn´ y se záporn´ ym smˇerem osy y, pˇrejdou pohybové rovnice (1.61) do tvaru d2 x “0 dt2 d2 y “ ´g dt2 d2 z “0 dt2

(2.10)

které jsme jiˇz krátili nenulovou hmotnost´ı m (tj. pohybové rovnice zˇrejmˇe nezávis´ı na hmotnosti). Integrac´ı uveden´ ych rovnic dostaneme sloˇzky vektoru okamˇzité rychlosti a sloˇzky polohového vektoru hmotného bodu. Integrace znamená naj´ıt takové vektorové funkce ~rptq a ~v ptq, abychom jejich dvojn´ asobn´ ym, resp. jednoduch´ ym derivov´ an´ım obdrˇzeli rovnice (2.10). V souladu s obecn´ ym v´ ykladem

´ TÍHOVEM ´ POLI 2.2.. POHYB V ZEMSKEM

25

o pohybov´ ych rovnic´ıch budou tyto funkce obsahovat integraˇcn´ı konstanty, které se urˇc´ı z poˇcáteˇcn´ıch podm´ınek, (tj. poˇcáteˇcn´ı polohy a poˇcáteˇcn´ı rychlosti), tj. situace v ˇcase t “ 0. Pro sloˇzky vektoru okamˇzité rychlosti. dx “ v x “ v x0 dt dy “ vy “ ´gt ` vy0 dt dz “ v z “ v z0 dt

(2.11)

~v0 “ pvx0 , vy0 , vz0 q je poˇcáteˇcn´ı rychlost. Pro sloˇzky polohového vektoru dostaneme z (2.11) jednoduˇse x “ v x0 t ` x 0 1 y “ ´ gt2 ` vy0 t ` y0 2 z “ v z 0 t ` z0

(2.12)

y vektor hmotného bodu. Rovnice (2.12) lze jednoduˇse kde ~r0 “ pxx0 , yy0 , zz0 q je poˇcáteˇcn´ı polohov´ sepsat do jediné vektorové rovnice 1 (2.13) ~r “ ~r0 ` ~v0 t ` ~g t2 2 Uveden´ y popis lze zjednoduˇsit, zvol´ıme-li soustavu souˇradnou tak, aby ~r0 “ 0. Dále uváˇz´ıme-li, ˇze ve smˇeru osy z nep˚ usob´ı ˇzádn´ a s´ıla, m˚ uˇzeme pohyb pokládat za rovinn´ y v rovinˇe xy. Uváˇz´ıme-li jeˇstˇe, ˇze na poˇcátku sv´ırá vektor ~v0 s osou x u ´hel α (elevaˇcn´ı u ´hel), lze rovnice (2.12) pˇrepsat do jednoduchého tvaru (viz rovnˇeˇz obr. 16)

y

dráha pohybu ~v0 α x Obr´ azek 16: Pohyb v t´ıhovém poli.

x “v0 t cos α 1 y “v0 t sin α ´ gt2 2 z “0

(2.14)

Tvar rovnice dr´ ahy zjist´ıme vylouˇcen´ım parametru t ze vztah˚ u (2.14). t“

x v0 cos α

y “ x tan α ´

1 gx2 “ pkonst.qx ´ pkonst.1 qx2 2 v02 cos2 α

(2.15)


26

coˇz je rovnice paraboly (s vyj´ımkou pˇr´ıpadu α “ 90˝ , kdy bude v´ ysledkem pˇr´ımoˇcar´ y pohyb - vrh svisl´ y). Odvod’me nyn´ı z (2.14) a (2.15) parametry vrhu. Nejvyˇsˇs´ı v´ yˇska a ˇcas jej´ıho dosaˇzen´ı. Nejvyˇsˇs´ı v´ yˇsky hmotn´ y bod dos´ ahne, kdyˇz vy “ 0 (bod obratu). Plat´ı vy “ ´gt ` v0 sin α “ 0

(2.16)

odtud máme t1 “

v0 sin α g

(2.17)

a po dosazen´ı do (2.14) 1 h “ y1 “ v0 t1 sin α ´ gt21 2 v02 sin2 α 1 v02 sin2 α h“ ´ g g 2 g2 2 2 1 v0 sin α h“ 2 g

(2.18)

Nejvˇetˇs´ı v´ yˇsky se dos´ ahne pˇri vrhu svislém vzh˚ uru, kdy je α “ 90˝ a pak h “ v02 {2g • Dostˇrel (dolet), tj. horizont´ aln´ı vzdálenost mezi m´ıstem vypuˇstˇen´ı a m´ıstem doletu. Této vzdálenosti hmotn´ y bod dos´ ahne, bude-li y v (2.14) rovno nule

1 y “ v0 t sin α ´ gt2 “ 0 2 2v0 sin α t2 “ “ 2t1 g

(2.19)

kde ˇreˇsen´ı t “ 0 (ˇcas vypuˇstˇen´ı) neuvaˇzujeme. Dosad´ıme-li do prvn´ı rovnice (2.14), máme

x2 “ v0 t2 cos α “ x2 “

2v02 cos α sin α g

v02 sin 2α g

(2.20)

Nejvˇetˇs´ıho dostˇrelu se dos´ ahne, kdyˇz α “ 45˝ . Pˇri vrhu v atmosféˇre pˇristupuje k t´ıhové s´ıle jeˇstˇe odpor vzduchu. Ten má za následek, ˇze dráha, kterou vrˇzené tˇeleso opisuje, jiˇz nen´ı parabola, ale klesá strmˇeji neˇz stoup´ a. Takové kˇrivky naz´ yváme balistick´ e a nauku, která se jimi zab´ yvá, vnˇejˇs´ı balistikou.

2.3.

Pohyb v nehomogenn´ım gravitaˇ cn´ım poli - Keplerova u ´ loha

Vyˇsetˇr´ıme nyn´ı pohyb volného hmotného bodu o hmotnosti m v gravitaˇcn´ım silovém poli (2.2). Uveden´ y v´ ypoˇcet plat´ı opˇet obecnˇe, my vˇsak budeme pro názornost uvaˇzovat pod hmotn´ ym bodem M Slunce a pod hmotn´ ym bodem m nˇekterou z planet. Hovoˇr´ıme pak o ˇreˇsen´ı Keplerovy u ´lohy. Pole popsané rovnic´ı (2.2) je centr´ aln´ı silov´ e pole. Centráln´ım silov´ ym polem naz´ yváme kaˇzdé pole, kde s´ılu lze ps´ at ve tvaru ~r F~ “ f prq (2.21) r Stˇred centráln´ı s´ıly je v poˇcátku soustavy souˇradné a velikost r polohového vektoru je radi´ aln´ı vzdálenost. f prq je libovoln´ a skal´ arn´ı funkce r. Pˇri pohybu hmotného bodu v poli centráln´ı s´ıly je moment s´ıly v˚ uˇci stˇredu centráln´ı s´ıly nulov´ y, protoˇze ~ “ ~r ˆ F~ “ ~r ˆ f prq ~r “ 0 M r ~ ~ ~ podle (1.108) je pak db{dt “ 0, tedy b “ b0 “ konst. a

(2.22)

ˇ ÍM POLI - KEPLEROVA ULOHA ´ 2.3.. POHYB V NEHOMOGENNÍM GRAVITACN

|~b0 | “ |~r ˆ m~v | “ rmv sin α “ konst.

27

(2.23)

Podle pravidel o vektorovém souˇcinu mus´ı vektory ~r a ~v leˇzet v rovinˇe kolmé ke konstantn´ımu ~b0 , pohyb v centráln´ım poli je tedy rovinn´ y. V´ yraz 12 rv sin α z (2.23) má v diferenciáln´ım pˇribl´ıˇzen´ı v´ yznam plochy opsané pr˚ uvodiˇcem hmotného bodu za jednotku ˇcasu (17) a naz´ yvá se ploˇ snou rychlost´ı. Plat´ı vp “

b0 1 rv sin α “ “ konst. 2 2m

(2.24)

d~r α ~v

~r ~r ` d~r

vp “

dS 1 dr 1 “ r sin α “ rv sin α dt 2 dt 2

M dS “ 12 |~r ˆ d~r| “ 21 rdr sin α Obr´ azek 17: Pohyb v centráln´ım poli. Rovnice (2.24) je obsahem 2. Keplerova zákona: Plochy opsan´ e pr˚ uvodiˇ cem planety za jednotku ˇ casu jsou konstantn´ı. Hledán´ı dr´ ahy hmotného bodu v gravitaˇcn´ım poli si m˚ uˇzeme usnadnit pouˇzit´ım zákona zachov´ an´ı energie, nebot’ gravitaˇcn´ı pole je konzervativn´ı. Celkov´ a mechanická energie EM hmotného bodu bude konstantn´ı, a protoˇze pohyb je rovinn´ y, staˇc´ı nám k jeho popisu pol´ arn´ı souˇradnice r a ϕ (viz. rovnice (III) v u ´vodu skript). (N´ asleduj´ıc´ı odvozen´ı dr´ ahy pohybu nebude vyˇzadov´ ano ke zkouˇsce a v´ yklad I. Keplerova z´ akona bude vyˇzadov´ an pouze v pˇrehledu).

Sloˇzky rychlosti dostaneme derivov´ an´ım ((III)) dle ˇcasu dr dϕ cos ϕ ´ r sin ϕ dt dt dϕ dr sin ϕ ` r cos ϕ vy “ dt dt

vx “

(2.25)

Pro konstantn´ı vektor b0 z (2.23) dále plat´ı (viz obr. 17) b0 “ mrv sin α “ mr2

dϕ dt

(2.26)

Pro celkovou mechanickou energii plat´ı dle (1.97) a (2.8) E M “ E 0 “ Ek ` E p “

1 κmM mv 2 ´ “ konst. 2 r

(2.27)

Dále plat´ı z (2.24) v 2 “ vx2 ` vy2 “

ˆ

dr dt

˙2

` r2

ˆ

dϕ dt

˙2

(2.28)


28 a tedy 1 E0 “ m 2

«ˆ

dr dt

˙2

`r

2

ˆ

dϕ dt

˙2 ff

dr dt

a

Z rovnic (2.25) a (2.28) m˚ uˇzeme nyn´ı urˇcit závislosti

´

dϕ dt .

κmM r

(2.29)

Je

b0 dϕ “ 2 dt mr c dr 2α b2 2E0 “ ` ´ 20 2 dt m mr m r

(2.30) (2.31)

kde jsme zavedli α “ κmM . Pˇri ˇreˇsen´ı Keplerovy u ´lohy nás m´ısto ˇcasov´ ych závislost´ı rptq a ϕptq zaj´ım´ a pouze dráha ϕprq. Vyuˇzijeme vztahu dϕ dt dϕ “ dr dt dr

(2.32)

Dosad´ıme-li sem z (2.30) a (2.31), máme dϕ b0 b “ dr mr2 2E0

`

b0 r

´

1

m

2α mr

b20 m2 r 2

´

(2.33)

a pol´ arn´ı u ´hel ϕ bude dán integr´ alem z pravé strany dle promˇenné r. Jak se lze pˇresvˇedˇcit derivov´ an´ım, je v´ ysledkem integrace funkce

zkrat’me nyn´ı zlomek v´ yrazem

ϕ “ arccos b

αm b0 ,

αm b0

2mE0 `

`k

(2.34)

kde bude

b20

ϕ “ arccos bαmr

´1

2E0 b20 α2 m

Oznaˇcme jeˇstˇe nyn´ı

α2 m 2 b20

p“ ε“

c

`k

(2.35)

`1

b20 αm

2E0 b20 `1 α2 m

(2.36)

(2.35) pak pˇrejde na tvar p r

´1 `k ε p ´1 cospϕ ´ kq “ r ε p r“ 1 ` ε cospϕ ´ kq

ϕ “ arccos

(konec nepovinného odvozen´ı)

(2.37)

ˇ ÍM POLI - KEPLEROVA ULOHA ´ 2.3.. POHYB V NEHOMOGENNÍM GRAVITACN

29

coˇz je pol´ arn´ı rovnice kuˇzeloseˇcky. Zde veliˇcina r ud´ av´ a vzdálenost bodu na kuˇzeloseˇcce od jednoho ohniska a u ´hel pϕ´kq je u ´hlem, kter´ y pr˚ uvodiˇc sv´ırá s osou kuˇzeloseˇcky procházej´ıc´ı ohniskem. Pro urˇcen´ı charakteru kuˇzeloseˇcky je rozhoduj´ıc´ı parametr ε. Plat´ı   . . . elipsa  ă1 ε (2.38) “1 . . . parabola   ą1 . . . hyperbola Podm´ınka (2.38) znamená dle (2.36)

E0

    

ă0 “0 ą0

. . . elipsa . . . parabola . . . hyperbola

(2.39)

Omez´ıme -li se na E0 ă 0, je obsahem rovnice (2.37) 1. Kepler˚ uv zákon: Planety ob´ıhaj´ı kolem Slunce po elips´ ach, v jejichˇ z jednom ohnisku leˇ z´ı Slunce. Je-li E0 ě 0, nen´ı dr´ aha hmotného bodu uzavˇrená a hmotn´ y bod projde silov´ ym polem pouze jednou. Nejmenˇs´ı velikost rychlosti, kterou mus´ı hmotn´ y bod ve vzdálenosti r od centráln´ı hmoty m´ıt, aby mohl pole opustit, z´ısk´ ame z podm´ınky

E0 “

mM 1 mv 2 ´ κ “0 2 r c 2κM v“ r

(2.40)

Dosad´ıme-li sem hmotnost Zemˇe za M a polomˇer Zemˇe RZ za r, dostaneme 2. kosmickou rychlost (rychlost k opuˇstˇen´ı Zemˇe pˇri startu ze zemského povrchu). Jej´ı hodnota je pˇribliˇznˇe 11, 2 km{s. Odvod’me (odvozen´ı opˇet nebude vyˇzadováno ke zkouˇsce) na závˇer jeˇstˇe vztah mezi dobou obˇehu hmotného bodu a velikost´ı velké poloosy a tohoto pohybu. Souˇcin ploˇsné rychlosti a doby obˇehu T mus´ı b´ yt roven obsahu elipsy o poloosách a, b T vp “ πab

(2.41)

Dosad´ıme-li sem z (2.24), máme T b0 “ 2mπab Z teorie kuˇzeloseˇcek vypl´ yvá, ˇze v pˇr´ıpadˇe elipsy je parametr p roven Dosad´ıme-li za p z (2.36), máme b “ b0 Dosad´ıme nyn´ı do (2.42) a rovnici uprav´ıme

´ a ¯ 21 αm

(2.42) 2

b a

.

(2.43)

´ a ¯ 12 αm 1 3 1 T “ 2πm 2 a 2 α´ 2

T b0 “ 2mπab0

4π 2 ma3 α T2 4π 2 “ “ konst. a3 κM T2 “

(2.44)

(konec nepovinného odvozen´ı)

Posledn´ı rovnice vyjadˇruje 3. Kepler˚ uv zákon: Pod´ıl druh´ e mocniny obˇ eˇ zn´ e doby a tˇ ret´ı mocniny velk´ e poloosy je konstanta. Pak pomˇ er druh´ ych mocnin obˇ eˇ zn´ ych dob dvou planet je roven pomˇ eru tˇ ret´ıch mocnin jejich velk´ ych poloos. Ke 3. Keplerovu zákonu lze doj´ıt element´ arnˇe pro kruhové dráhy obˇehu, uvˇedom´ıme-li si, ˇze dostˇredivou s´ılu, nutnou pro vznik rovnomˇerného kruhového pohybu realizuje gravitaˇcn´ı s´ıla (d˚ ukaz pˇ renech´ av´ ame ˇ cten´ aˇ ri jako cviˇ cen´ı).


30

Pˇrep´ıˇseme-li posledn´ı rovnici v (2.44) pro kruhovou dráhu a “ r pomoc´ı zn´ am´ ych vztah˚ u ω “ 2π{T a v “ ωr v2 κM “ 3 (2.45) r2 r Dosad´ıme-li sem za r polomˇer Zemˇe RZ a za M jej´ı hmotnost MZ , dostaneme rychlost, jakou mus´ı m´ıt hmotn´ y bod, aby ob´ıhal kolem Zemˇe v jej´ı bezprostˇredn´ı bl´ızkosti. Dostaneme tzv. I. kosmickou rychlost c κMZ (2.46) vI “ RZ Jej´ı velikost je pˇribliˇznˇe 7, 9 km{s.

Kapitola 3

Kmity Kmitav´ ym pohybem (kmitán´ım, oscilac´ı) naz´ yváme obecnˇe takov´ y pohyb hmotného bodu nebo tˇelesa, pˇri nˇemˇz bod nepˇrekroˇc´ı koneˇcnou vzdálenost od jisté rovnov´ aˇzné polohy. Rovnov´ aˇznou polohu by bod zaujal, kdyby byl v klidu. Je- li ˇcasov´ y pr˚ ubˇeh pravideln´ y, tj. opakuje-li se s periodou T , pak jej naz´ yváme kmitav´ ym periodick´ ym pohybem. Nejjednoduˇsˇs´ım kmitav´ ym pohybem je pohyb po u ´seˇcce. Pohybuj´ıc´ı se hmotn´ y bod pak naz´ yváme line´ arn´ım oscil´ atorem. Je-li pr˚ ubˇeh pohybu pops´ an harmonickou funkc´ı psin, cosq, pak pohyb naz´ yváme line´ arn´ım harmonick´ ym pohybem. Se základn´ımi vlastnostmi tohoto pohybu jsme se sezn´ amili v rovnic´ıch (1.28) a (1.29) a v rovnici (1.55) jsme ukázali, ˇze p˚ usob´ıc´ı s´ıla má smˇer v´ ychylky a m´ıˇr´ı proti n´ı. Je-li kmitav´ y pohyb pops´ an nˇejakou jinou periodickou funkc´ı, m˚ uˇzeme ke kvalitativn´ımu rozboru vyuˇz´ıt Fourierovu anal´ yzu. Fourier ukázal, ˇze kaˇzd´ y periodick´ y pohyb lze zcela formálnˇe rozloˇzit na nekoneˇcnˇe mnoho harmonick´ ych pohyb˚ u, jejichˇz frekvence jsou v pomˇeru pˇrirozen´ ych ˇc´ısel f : f2 : f3 : . . . “ 1 : 2 : 3 : . . .

(3.1)

Zde f se naz´ yvá z´ akladn´ı frekvence a je rovna frekvenci obecného periodického pohybu, frekvence fi naz´ yváme vyˇ sˇ s´ımi harmonick´ ymi frekvencemi. Obr´ acenˇe lze ˇr´ıci, ˇze skl´ adán´ım harmonick´ ych kmit˚ u vznikne obecn´ y periodick´ y pohyb. V této kapitole se budeme zab´ yvat pouze lineárn´ım harmonick´ ym oscilátorem a skl´ adán´ım harmonick´ ych kmit˚ u.

3.1.

Netlumen´ e harmonick´ e kmity

Poloˇzme poˇcátek soustavy souˇradné do rovnov´ aˇzné polohy kmitavého pohybu a uvaˇzujme kmitán´ı ve smˇeru osy x. Pak má s´ıla p˚ usob´ıc´ı na hmotn´ y bod o hmotnosti m konaj´ıc´ı lineárn´ı harmonick´ y pohyb jednoduch´ y tvar F “ ´kx

(3.2)

d2 x “ ´kx dt2 2 d x m 2 ` kx “ 0 dt

(3.3)

a pohybové rovnice (1.61) se zredukuj´ı na

m

(3.3) je homogenn´ı lineárn´ı diferenciáln´ı rovnice s konstantn´ımi koeficienty. Tyto rovnice maj´ı obecné ˇreˇsen´ı ve tvaru x “ Ceλt

(3.4)

Integraˇcn´ı konstanty urˇc´ıme z poˇcáteˇcn´ıch podm´ınek a λ z tzv. charakteristické rovnice, kterou dostaneme dosazen´ım (3.4) do (3.3) 31

32

KAPITOLA 3. KMITY

mCλ2 eλt ` kCeλt “ 0 mλ2 ` k “ 0 k λ2 “ ´ cm k λ1,2 “ ˘i m

(3.5)

Obecné ˇreˇsen´ı (3.4) nabude tvaru lineárn´ı kombinace ‘k ‘k x “ C1 ei m t ` C2 eí m t

(3.6)

Pro názornou interpretaci (3.6) vyuˇzijeme nyn´ı Eulerova vztahu e˘ix “ cos x ˘ i sin x (vyuˇz´ıváme zároveˇ n sudosti funkce cos a lichosti funkce sin).

x “ C1

˜

cos

c

c

k t m

¸

˜

¸ k ` C2 cos t m c c k k t ` i pC1 ´ C2 q sin t “ pC1 ` C2 q cos m m

k t ` i sin m

c

k t ´ i sin m

c

(3.7)

Oznaˇc´ıme nyn´ı C1 ` C2 “ A sin α

(3.8)

i pC1 ´ C2 q “ A cos α dostaneme c

k t ` A cos α sin x “ A sin α cos m Tento vztah pˇrejde s vyuˇzit´ım souˇctového vzorce sinpα ` βq “ sin α cos β ` cos α sin β na rovnici obdobnou (1.28) ˜c ¸ k x “ A sin t`α m

c

k t m

(3.9)

(3.10)

Porovnán´ım (1.28) a (3.10) dost´ av´ ame pro u ´hlovou rychlost harmonického pohybu d˚ uleˇzit´ y vztah (viz téˇz 1.55). c k (3.11) ω“ m Vlastnosti netlumeného lineárn´ıho harmonického pohybu jsme jiˇz probrali v I. kapitole (rovnice (1.28), (1.29), (1.33), (1.34) a (1.55)). Modelem netlumeného lineárn´ıho harmonického oscilátoru je napˇr. pohyb tˇelesa upevnˇeného na pruˇzinˇe po vodorovné rovinˇe bez tˇren´ı, kter´ y vznikne, vych´ yl´ıme-li tˇeleso z rovnov´ aˇzné polohy (relaxovaná pruˇzina) a poté uvoln´ıme. Konstanta k v rovnici (3.11) se pak naz´ yvá tuhost pruˇ ziny.

3.2.

Energie harmonick´ ych kmit˚ u

Vypoˇcteme nyn´ı celkovou mechanickou energii E hmotného bodu, kter´ y koná harmonick´ y kmit podle rovnice (1.28), tj. x “ A sinpωt ` αq ` x0 . Rychlost pohybu byla dána rovnic´ı (1.29) jako dx{dt “ Aω cospωt ` αq. Pak pro kinetickou energii hmotného bodu plat´ı 1 1 mv 2 “ mA2 ω 2 cos2 pωt ` αq (3.12) 2 2 Potenciáln´ı energii hmotného bodu v m´ıstˇe x stanov´ıme z rovnice (1.90) Ep ´ Ep0 “ Á0x a pˇredpisu pro s´ılu (3.2). Nulovou hladinu potenciáln´ı energie poloˇz´ıme pˇritom do rovnov´ aˇzné polohy hmotného bodu x0 , tj. Ep0 “ 0. Bude pak Ek “

´ HARMONICKE ´ KMITY 3.3.. TLUMENE

33

Ep “ Á0x “

żx

kpξ ´ x0 qdξ

(3.13)

x0

kde ξ jsme oznaˇcili integraˇcn´ı promˇennou ξ P px0 , xq k odliˇsen´ı od v´ ychylky x. V´ ypoˇctem dostaneme „

1 2 kξ Ep “ 2

x

1 2 1 2 kx ´ kx0 ´ kx0 x ` kx20 “ 2 2 1 1 kpx2 ´ 2xx0 ` x20 q “ kpx ´ x0 q2 2 2

x

´ rkx0 ξsx0 “

x0

(3.14)

Z´ avislost Ep pxq je parabolick´ a, s vrcholem v bodˇe x “ x0 , kde Ep “ 0. Maxima nab´ yvá Ep v bodech maximáln´ıch v´ ychylek x “ x0 ˘ A. Dosad´ıme nyn´ı za x ´ x0 z (1.28) a (3.11) do (3.14) 1 2 2 1 kA sin pωt ` αq “ mω 2 A2 sin2 pωt ` αq 2 2 Pro celkovou mechanickou energii pak dostaneme Ep “

E “ Ek ` E p “ E“

1 mω 2 A2 2

(3.15)

“ ‰ 1 mω 2 A2 cos2 pωt ` αq ` sin2 pωt ` αq 2

(3.16)

Vˇsimneme si, ˇze rovnice (3.11) a (3.16) urˇcuj´ı netlumen´ y lineárn´ı harmonick´ y pohyb aˇz na fázovou konstantu α, která se v tˇechto rovnic´ıch nevyskytuje. Na obr. (18) je pr˚ ubˇeh potenciáln´ı a celkové mechanické energie hmotného bodu v závislosti na v´ ychylce x. Vid´ıme, ˇze v okamˇziku maximáln´ı v´ ychylky x0 ˘ A je kinetick´ a energie nulov´ a a potenciáln´ı energie maximáln´ı, zat´ımco v rovnov´ aˇzné poloze x0 je tomu naopak. Vˇsimnˇeme si, ˇze jak celkov´ a energie, tak i energie kinetick´ a a potenciáln´ı jsou závislé na druhé mocninˇe amplitudy A.

Ep

E

x0 ´ A

x0

x0 ` A

x

Obr´ azek 18: Energie netlumeného lineárn´ıho harmonického kmitu.

3.3.

Tlumen´ e harmonick´ e kmity

V re´ aln´ ych podm´ınk´ ach se pˇri kmitavém pohybu uplatn´ı u ´ˇcinek brzd´ıc´ıch sil a amplituda i frekvence pohybu budou s ˇcasem klesat. Hmotn´ y bod bude konat tlumen´ y harmonick´ y pohyb. V naˇsem modelu tˇelesa na pruˇzinˇe vznikne tlumen´ y harmonick´ y pohyb zaveden´ım nenulové tˇrec´ı s´ıly mezi tˇeleso a podloˇzku. Re´ alnou tlum´ıc´ı s´ılu m˚ uˇzeme ˇcasto zavést vztahem F~v “ ´kv ~v

(3.17)

34

KAPITOLA 3. KMITY

kter´ y dobˇre vystihuje experiment´ aln´ı poznatek, ˇze s´ıla odporuj´ıc´ı pohybu tˇelesa v kapalinách a plynech je u ´mˇerná rychlosti pohybu tˇelesa a m´ıˇr´ı proti jej´ımu smyslu. Pohybov´ a rovnice pro netlumené kmity (3.3) pˇrejde pro tlumené kmity do sloˇzitˇejˇs´ı podoby d2 x dx “ ´kx ´ kv 2 dt dt d2 x dx m 2 ` kx ` kv “0 dt dt

(3.18)

k m kv 2δ “ m

(3.19)

m

Zavedeme nyn´ı oznaˇcen´ı

ω02 “

zde ω0 zˇrejmˇe odpov´ıdá frekvenci kmit˚ u, kdyby nebyly tlumené, tj. kdyby δ “ 0. S t´ımto oznaˇcen´ım pˇrejde (3.18) do tvaru d2 x dx ` 2δ ` ω02 x “ 0 dt2 dt

(3.20)

Tuto rovnici ˇreˇs´ıme stejnˇe jako rovnici (3.3), tj. poloˇz´ıme x “ Ceλt a dosazen´ım do (3.20) z´ısk´ ame charakteristickou rovnici λ2 ` 2δλ ` ω02 “ 0

(3.21)

jej´ıˇz koˇreny jsou dány pˇredpisem b δ 2 ´ ω02

(3.22)

xptq “ C1 eλ1 t ` C2 eλ2 t

(3.23)

λ1,2 “ ´δ ˘ a obecné ˇreˇsen´ı bude m´ıt tvar

• je-li δ 2 ´ ω 2 ą 0, pak jsou λ1,2 re´ alné a pohyb nebude harmonick´ y. Bude platit s oznaˇcen´ım

D“

b δ 2 ´ ω02

xptq “ C1 ep´δ`Dqt ` C2 ep´δ´Dqt

(3.24) (3.25)

Konkrétn´ı pr˚ ubˇeh funkce (3.25) je ovlivnˇen integraˇcn´ımi konstantami, které je tˇreba urˇcit z poˇcáteˇcn´ıch podm´ınek. Obecn´ ym rysem xptq je, ˇze v koneˇcném ˇcase m˚ uˇze nab´ yt nulové hodnoty nejv´ yˇ se jednou. Anulov´ an´ım v´ yrazu (3.25) dostaneme totiˇz podm´ınku e2Dt “ Ć2 {C1 , kterou lze splnit pˇri t ą 0 jen tehdy, kdyˇz C2 {C1 ă ´1. Se vzr˚ ustaj´ıc´ım ˇcasem konverguje xptq obecnˇe k nule, nebot’ δ i D jsou kladné a zˇrejmˇe δ ą D. Tlumen´ı je tedy tak velké, ˇze oscilátor se po vych´ ylen´ı z rovnov´ aˇzné ˇ ıkáme proto, ˇze oscilátor koná aperiopolohy do n´ı vrac´ı zpˇet, ale v koneˇcném ˇcase j´ı nedosáhne. R´ dick´ y pohyb. Na obr´ azku 19 je uveden pr˚ ubˇeh xptq pro dvoj´ı typickou volbu poˇcáteˇcn´ıch podm´ınek (plná ˇcára)

x “ x0 ,

v “ 0,

pro t “ 0

(3.26a)

x “ 0,

v “ v0 ,

pro t “ 0

(3.26b)

• je-li δ 2 ´ ω02 “ 0, dostaneme pouze jeden koˇren charakteristické rovnice λ “ ´δ. Funkce xptq “ C1 e´δt nen´ı vˇsak u ´pln´ ym ˇreˇsen´ım rovnice (3.20). Bez d˚ ukazu uvedeme, ˇze v tomto pˇr´ıpadˇe má u ´plné ˇreˇsen´ı tvar xptq “ C1 e´δt ` C2 te´δt “ pC1 ` C2 tqe´δt

(3.27)

´ HARMONICKE ´ KMITY 3.3.. TLUMENE

35

jak se lze ostatnˇe pˇresvˇedˇcit zpˇetn´ ym dosazen´ım do (3.20). Pr˚ ubˇeh funkce (3.27) je podobn´ y pr˚ ubˇehu 1 eto rovnici (3.25) s t´ım, ˇze nulové polohy bude dosaˇzeno opˇet nejv´ yˇse jednou a to v ˇcase t “ ´ C C2 . T´ ˇ ıkáme, ˇze hmotn´ lze pro t ą 0 vyhovˇet ponˇekud mˇekˇc´ı podm´ınkou neˇz v´ yˇse, a to C1 {C2 ă 0. R´ y bod koná mezn´ı aperiodick´ y pohyb. Obecnou vlastnost´ı mezn´ıho aperiodického pohybu je, ˇze se vzr˚ ustaj´ıc´ım ˇcasem konverguje funkce xptq k nule rychleji neˇz v pˇr´ıpadˇe aperiodického pohybu. Pr˚ ubˇeh xptq pro poˇcáteˇcn´ı podm´ınky (3.26) je uveden rovnˇeˇz v obr´ azku 19.

V´ ychylka

aperiodick´ y pohyb mezn´ı aperiodick´ y pohyb

(a) Pˇri poˇcáteˇcn´ıch podm´ınkách (3.26a)

ˇ Cas

Obr´ azek 19: Pr˚ ubˇeh xptq pro r˚ uzné u ´rovnˇe tlumen´ı a r˚ uzné poˇcáteˇcn´ı podm´ınky. Vyˇsetˇr´ıme nyn´ı tento pohyb pro typickou volbu poˇcáteˇcn´ıch podm´ınek (3.26a), které odpov´ıdaj´ı tomu, ˇze v nulovém ˇcase udˇel´ıme hmotnému bodu v rovnov´ aˇzné poloze rychlost v0 . Vypoˇcteme nejdˇr´ıve rychlost z (3.27) dx “ r´δpC1 ` C2 tq ` C2 s e´δt dt

(3.28)

a (3.26b) dosad´ıme do (3.25) a (3.28) C1 “ 0 C2 “ v 0

(3.29)

x “ v0 te´δt

(3.30)

tedy pohyb (3.25) je dán rovnic´ı

Odvod´ıme nyn´ı maximáln´ı v´ ychylku pohybu pˇri zadané rychlosti v0 , tj. nalezneme extrém funkce dané pˇredpisem (3.30)

tm

dx “ v “ v0 e´δt p1 ´ δtq “ 0 dt 1 “ (kde t Ñ 8 neuvaˇzujeme) δ

(3.31)

dosad´ıme-li tuto podm´ınku do (3.30), máme v0 1 xm “ v0 e´1 “ δ eδ

(3.32)

V´ yznam této rovnice spoˇc´ıvá v urˇcen´ı v0 z v´ ychylky xm , zn´ ame-li tlum´ıc´ı konstantu δ (napˇr. urˇcenou jin´ ym pokusem). Typickou aplikac´ı je stanoven´ı rychlosti vs stˇrely o hmotnosti ms , let´ıc´ı podél osy

36

KAPITOLA 3. KMITY x. Prodˇelá-li tato stˇrela dokonale nepruˇzn´ y r´ az s tˇelesem m, které m˚ uˇze konat tlumen´ y harmonick´ y pohyb (zde speciálnˇe v mezn´ım aperiodickém stavu), bude dle zákona zachov´ an´ı hybnosti (viz pˇr´ıˇst´ı kapitola) ms vs “ pms ` mqv0 ms v s v0 “ ms ` m

(3.33)

a v´ ychylka bude ms v s pms ` mqeδ

xm “

(3.34)

Uvedené v´ ychylce se ˇr´ıká balistick´ a v´ ychylka a metoda urˇcov´ an´ı rychlost´ı z v´ ychylek dostala podle tohoto pˇr´ıkladu název balistick´ a metoda. • je-li δ 2 ´ ω02 ă 0, budou koˇreny charakteristické rovnice komplexn´ı λ1,2 “ ´δ ˘ i kde jsme zavedli oznaˇcen´ı ω “

a

b

ω02 ´ δ 2 “ ´δ ˘ iω

(3.35)

ω02 ´ δ 2 . Obecné ˇreˇsen´ı rovnice (3.20) bude m´ıt tvar

` ˘ x “ C1 ep´δìωqt ` C2 ep´δíωqt “ e´δt C1 eiωt ` C2 eíωt

(3.36)

Uprav´ıme tento vztah uˇzit´ım Eulerova vztahu

x “ e´δt pC1 cos ωt ` iC1 sin ωt ` C2 cos ωt ´ iC2 sin ωtq “ e´δt rpC1 ` C2 q cos ωt ` ipC1 ´ C2 q sin ωts

(3.37)

Nyn´ı oznaˇc´ıme stejnˇe jako v (3.8) C1 ` C2 “ A sin α a ipC1 ´ C2 q “ A cos α a provedeme u ´pravu analogickou (3.9) x “ e´δt A psin α cos ωt ` cos α sin ωtq x “ Ae´δt sinpωt ` αq

(3.38)

zde A a α jsou konstanty, které urˇc´ıme z poˇcáteˇcn´ıch podm´ınek. Rovnice (3.38) je formálnˇe shodn´ a s (3.10), u ´lohu amplitudy zde vˇsak hraje v´ yraz Ae´δt , jehoˇz velikost se s ˇcasem zmenˇsuje. Proto tento pohyb naz´ yváme tlumen´ ym harmonick´ ym pohybem. Pr˚ ubˇeh funkce xptq pro tlumen´ y harmonick´ y pohyb je zn´ azornˇen na obr. 20. Pomˇer dvou po sobˇe následuj´ıc´ıch v´ ychylek na stejnou stranu bude zaveden´ım periody pohybu T x1m “ A e´δt1 sinpωt1 ` αq x2m “ A e´δpt1 `T q sinrpωt1 ` ωT q ` αs x1m “ eδT x2m

(3.39)

kde jsme vyuˇzili periodicity funkce sin pˇri zv´ yˇsen´ı argumentu o ωT “ 2π. Veliˇcina β “ eδT

(3.40)

se naz´ yvá u ´ tlumem kmit˚ u a jej´ı pˇrirozen´ y logaritmus γ “ ln eδT “ δT se naz´ yvá logaritmick´ y dekrement u ´ tlumu.

(3.41)

´ HARMONICKE ´ KMITY 3.4.. VYNUCENE

37

V´ ychylka

xptq

ˇ Cas

Obr´ azek 20: Pr˚ ubˇeh xptq pro tlumen´ y harmonick´ y kmit.

3.4.

Vynucen´ e harmonick´ e kmity

Vyˇsetˇr´ıme nyn´ı pˇr´ıpad, kdy na hmotn´ y bod kromˇe elastické s´ıly F “ ´kx a odporuj´ıc´ı s´ıly Fv “ ´kv v p˚ usob´ı jeˇstˇe dalˇs´ı s´ıla FH , jej´ıˇz pr˚ ubˇeh je dán harmonickou funkc´ı FH “ F0 sin Ωt

(3.42)

kde F0 je amplituda s´ıly a Ω je kruhov´ a frekvence. Pohybov´ a rovnice bude m´ıt tvar m

d2 x “ F ` Fv ` FH “ ´kx ´ kv v ` F0 sin Ωt dt2

(3.43)

a po zavedené substituci analogicky (3.19), tj. ω02 “ k{m a 2δ “ kv {m pˇrejde do tvaru d2 x dx F0 ` 2δ ` ω02 “ sin Ωt dt2 dt m

(3.44)

Pohybov´ a rovnice (3.44) je nehomogenn´ı diferenciáln´ı rovnice 2. ˇra´du s konstantn´ımi koeficienty, jej´ıˇz obecné ˇreˇsen´ı má tvar xptq “ xh ptq ` xp ptq

(3.45)

kde xh ptq je obecné ˇreˇsen´ı pˇr´ısluˇsné rovnice bez pravé strany (homogenn´ı rovnice) a xp ptq je jedno ˇ sen´ı homogenn´ı rovnice jsme jiˇz vyˇsetˇrovali (3.38), o partikulárn´ım (partikulárn´ı) ˇreˇsen´ı rovnice (3.44). Reˇ ˇreˇsen´ı budeme pˇredpokládat, ˇze obsahuje harmonickou funkci o stejné frekvenci (, jako má s´ıla FH. Obecné ˇreˇsen´ı rovnice (3.44) bude m´ıt tvar xptq “ Ae´δt sinpωt ` αq ` B sinpΩt ` ϕq

(3.46)

Zde prvn´ı ˇclen popisuje pr˚ ubˇeh tlumen´ ych vlastn´ıch kmit˚ u oscilátoru s maximáln´ı v´ ychylkou A a kruhovou frekvenc´ı ω. Amplituda vlastn´ıch kmit˚ u klesá s ˇcasem k nule a tedy po odeznˇen´ı tzv. pˇ rechodov´ e doby bude ˇreˇsen´ı rovnice (3.44) pˇredstavovat pouze druh´ y ˇclen ve (3.46), tj. xptq “ B sinpΩt ` ϕq

(3.47)

Hovoˇr´ıme pak o ust´ alen´ em (stacion´ arn´ım) ˇ reˇ sen´ı pohybové rovnice (3.44) a kmity, které popisuje, naz´ yváme kmity nucen´ ymi (vynucen´ ymi). Zde B je amplituda nucen´ ych kmit˚ u, Ω jejich kruhov´ a frekvence a ϕ je fázov´ a konstanta, ud´ avaj´ıc´ı fázové posunut´ı vynucen´ ych kmit˚ u za periodickou vyvol´ avaj´ıc´ı silou. Dosad´ıme nyn´ı (3.47) do (3.44), abychom urˇcili B a ϕ. Máme postupnˇe

38

KAPITOLA 3. KMITY

dx “ ΩB cospΩt ` ϕq dt d2 x “ ´Ω2 B sinpΩt ` ϕq dt2

(3.48)

´Ω2 B sinpΩt ` ϕq ` 2δΩB cospΩt ` ϕq ` ω02 B sinpΩt ` ϕq “

F0 sin Ωt m

Tuto rovnici uprav´ıme pomoc´ı souˇctov´ ych vzorc˚ u “ ‰ B pω02 ´ Ω2 q cos ϕ ´ 2δΩ sin ϕ sin Ωt`

“ ‰ F0 B pω02 ´ Ω2 q sin ϕ ` 2δΩ cos ϕ cos Ωt “ sin Ωt m

(3.49)

Aby (3.47) bylo ˇreˇsen´ım rovnice (3.44), mus´ı b´ yt rovnice (3.49) splnˇena pro vˇsechna t. Protoˇze funkce sin Ωt a cos Ωt jsou lineárnˇe nez´ avislé, mus´ı se ˇc´ıselné koeficienty stoj´ıc´ı u tˇechto funkc´ı na levé i pravé stranˇe sobˇe rovnat, tedy “ ‰ F0 B pω02 ´ Ω2 q cos ϕ ´ 2δΩ sin ϕ “ m “ ‰ B pω02 ´ Ω2 q sin ϕ ` 2δΩ cos ϕ “ 0

(3.50)

Pˇredpokládáme B ‰ 0, pak z druhé rovnice (3.50) vypoˇc´ıt´ ame fázovou konstantu ϕ. `

˘ ω02 ´ Ω2 tan ϕ ` 2δΩ “ 0 ´2δΩ ´2δΩ tan ϕ “ 2 , ϕ “ arctan 2 ω0 ´ Ω2 ω0 ´ Ω2

(3.51)

Umocn´ıme nyn´ı obˇe rovnice (3.50) na druhou a seˇcteme (1. ˇclen 1. rovnice s 1. ˇclenem 2. rovnice atd.) “ ‰ F2 B 2 pω02 ´ Ω2 q2 cos2 ϕ ´ 4δΩpω02 ´ Ω2 q cos ϕ sin ϕ ` 4δ 2 Ω2 sin2 ϕ “ 02 “ ‰ m B 2 pω02 ´ Ω2 q2 sin2 ϕ ` 4δΩpω02 ´ Ω2 q sin ϕ cos ϕ ` 4δ 2 Ω2 cos2 ϕ “ 0 “ ‰ F2 B 2 pω02 ´ Ω2 q2 ` 4δ 2 Ω2 “ 02 m

Stacionárn´ı ˇreˇsen´ı rovnice (3.44) bude tedy m´ıt tvar xptq “ a

pω02 ´

F0 m Ω2 q2

` 4δ 2 Ω2

B“a

pω02 ´

F0 m Ω2 q2

ˆ sin Ωt ` arctan

(3.52)

` 4δ 2 Ω2

2δΩ Ω2 ´ ω02

˙

(3.53)

Amplituda B ust´ aleného ˇreˇsen´ı (3.53) je pˇr´ımo u ´mˇerná v´ yrazu F0 {m, tj. amplitudˇe nut´ıc´ı s´ıly normované na jednotku hmotnosti. Dále je zˇrejmé, ˇze B podstatnˇe závis´ı na frekvenci Ω. Budou-li ω0 a Ω nab´ yvat bl´ızk´ ych hodnot, a δ bude malé, m˚ uˇze B nab´ yvat znaˇcné velikosti. Jev, kdy mal´ a bud´ıc´ı veliˇcina zp˚ usob´ı velkou odezvu jiné veliˇciny, naz´ yváme rezonanc´ı. Najdeme nyn´ı, pˇri jaké frekvenci Ω nab´ yvá B maximáln´ı hodnoty. Pro takové Ω mus´ı b´ yt splnˇena podm´ınka extrému funkce BpΩq, tj. “ 2 ‰ ´F0 8δ Ω ´ 4pω02 ´ Ω2 qΩ dB m (3.54) “ 3 dΩ 2 rpω 2 ´ Ω2 q2 ` 4δ 2 Ω2 s 2 0

Opomineme-li moˇznosti Ω1 “ 0 a Ω2 “ 8, je námi hledan´ y extrém po u ´pravˇe 4δ 2 ´ 2pω02 ´ Ω2r q “ 0

Ωr “

b

Ω2r “ ω02 ´ 2δ 2 ‘ ω02 ´ 2δ 2 , ω0 ą δ 2

(3.55)

´ ZNAZORN ´ ˇ Í HARMONICKYCH ´ ˚ KOMPLEXNÍ SYMBOLIKA 39 3.5.. GEOMETRICKE EN KMITU,

BpΩq

δ0 δ1 δ2 δ3 δ“0 ˚

ω0

Ω

Obr´ azek 21: Rezonanˇcn´ı kˇrivka amplitudy pro r˚ uzné hodnoty koeficientu u ´tlumu 0 ă δ0 ă δ1 ă δ2 ă δ3 . Symbolem ˚ je oznaˇcena kˇrivka spojuj´ıc´ı maxima rezonanˇcn´ıch kˇrivek pro r˚ uzná δ. kde jsme oznaˇcili Ωr tzv. rezonanˇcn´ı frekvenci. Ωr existuje pouze, pokud je tlumen´ı dostateˇcnˇe malé, aby v´ yraz pod odmocninou nab´ yval re´ alné hodnoty (pˇripsan´ a podm´ınka). Vˇsimneme si, ˇze pˇri nenulovém tlumen´ı je obecnˇe Ωr ă ω0

(3.56)

Z´ avislost BpΩq se naz´ yvá rezonanˇcn´ı kˇrivkou amplitudy. Má tvar zn´ azornˇen´ y na obr. 21 pro r˚ uzné hodnoty koeficientu u ´tlumu δ. Rozborem fázového posunut´ı ϕ (3.51) se podrobnˇeji zab´ yvat nebudeme. Kvalitativnˇe lze ˇr´ıci, ˇze v oblasti rezonance se v´ ychylka zpoˇzd’uje o π{2 za bud´ıc´ı silou. Bud´ıc´ı s´ıla FH je tak pˇribliˇznˇe ve fázi s rychlost´ı a urychluje hmotn´ y bod v nejvhodnˇejˇs´ı fázi jeho pohybu.

3.5.

Geometrick´ e zn´ azornˇ en´ı harmonick´ ych kmit˚ u, komplexn´ı symbolika

Netlumené kmitán´ı lineárn´ıho harmonického oscilátoru ve smˇeru osy x jsme popsali rovnic´ı xptq “ A sinpωt ` αq

(3.57)

kde A je amplituda kmitu, ω kruhov´ a frekvence kmitu a α je poˇcáteˇcn´ı fáze kmitu. Tento harmonick´ y pohyb lze v´ yhodnˇe zn´ azornit v Gaussovˇe rovinˇe komplexn´ıch ˇc´ısel jako rotaci ˇcasového vektoru (fázoru) o velikosti dané amplitudou A u ´hlovou rychlost´ı ω. K pˇrechodu do komplexn´ı symboliky uˇzijeme Euler˚ uv vztah eipωt`αq “ A cospωt ` αq ` iA sinpωt ` αq

(3.58)

Obraz tohoto komplexn´ıho ˇc´ısla lze chápat jako koncov´ y bod vektoru, jehoˇz poˇcátek leˇz´ı v pr˚ useˇc´ıku reálné a imagin´ arn´ı osy Tento vektor oznaˇcujeme jako ˇ casov´ y vektor (f´ azor) p´ısmenem se stˇr´ıˇskou, tedy p “ Aeipωt`αq A

(3.59)

xptq “ ImtAeipωt`αq u

(3.60)

V´ yraz (3.57) m˚ uˇzeme pak chápat jako imagin´ arn´ı ˇcást (3.59), tj.

Pozn´ amka: Netlumené kmitán´ı lze popsat rovnˇeˇz funkc´ı xptq “ A cospωt ` αq. V komplexn´ı symbolice bychom pak zapsali xptq “ RetAeipωt`αq u.

40

KAPITOLA 3. KMITY

Im

p A xptq

ωt ` α

Re Obr´ azek 22: Znázornˇen´ı komplexn´ıho ˇc´ısla v Gaussovˇe rovinˇe.

3.6.

Skl´ ad´ an´ı kmit˚ u

P˚ usob´ı-li na hmotn´ y bod v´ıce sil typu (3.2) najednou, koná bod sloˇzit´ y periodick´ y pohyb odpov´ıdaj´ıc´ı superpozici kmit˚ u vyvolan´ ych jednotliv´ ymi silami. Hovoˇr´ıme o skl´ adán´ı kmit˚ u. Zap´ıˇseme nyn´ı rovnici (3.3) pro dvˇe r˚ uzné vynucuj´ıc´ı s´ıly Fi ptq dx1 d2 x 1 ` kv ` kx1 “ F1 ptq dt2 dt 2 dx2 d x2 m 2 ` kv ` kx2 “ F2 ptq dt dt

m

(3.61)

kde funkce x1 ptq a x2 ptq jsou ˇreˇsen´ımi pro vynucuj´ıc´ı s´ıly F1 ptq a F2 ptq. Seˇcteme-li obˇe rovnice d2 d px1 ` x2 q ` kv px1 ` x2 q ` kpx1 ` x2 q “ F1 ptq ` F2 ptq (3.62) 2 dt dt Vid´ıme, ˇze funkce px1 ` x2 qptq “ xptq ˇreˇs´ı rovnici pro s´ılu F1 ptq ` F2 ptq “ F ptq. T´ım je dok´ azáno u ´vodn´ı tvrzen´ı, které naz´ yváme principem superpozice. Platnost principu superpozice je svázána s linearitou diferenciáln´ıch rovnic (3.61). Budou-li tyto rovnice neline´ arn´ı, napˇr. nahrad´ıme-li ˇclen kx1 ˇclenem kx21 atd., ztrat´ı princip superpozice platnost. Zde se budeme zab´ yvat pouze skl´ adán´ım lineárn´ıch harmonick´ ych kmit˚ u a to následuj´ıc´ıch parametr˚ u: m

• skl´ adán´ı stejnosmˇern´ ych kmit˚ u se stejnou frekvenc´ı • skl´ adán´ı stejnosmˇern´ ych kmit˚ u s r˚ uznou frekvenc´ı • skl´ adán´ı navz´ ajem kolm´ ych kmit˚ u Skl´ adán´ı stejnosmˇern´ ych kmit˚ u se stejnou frekvenc´ı Uvaˇzujme dva kmitavé pohyby x1 ptq “ A1 sinpωt ` α1 q x2 ptq “ A2 sinpωt ` α2 q

(3.63)

zde A1 ‰ A2 a α1 ‰ α2 . Sloˇzen´ı obou pohyb˚ u m˚ uˇzeme jednoduˇse reprezentovat pomoc´ı ˇcasov´ ych p1 a A p2 v Gaussovˇe rovinˇe. V´ vektor˚ uA yslednému kmitu bude dle principu superpozice pˇriˇrazen ˇcasov´ y vektor

´ AN ´ Í KMITU ˚ 3.6.. SKLAD

41

p“A p1 ` A p2 A

(3.64)

Situace v ˇcase t “ 0 je zakreslena na obr. 23

Im p A

p2 A

α2 ´ α1

α2

α

p1 A

α1 Re

Obr´ azek 23: Skl´ adán´ı stejnosmˇern´ ych kmit˚ u stejné frekvence v Gaussovˇe rovinˇe. p odpov´ıdá amplitudˇe v´ Velikost v´ ysledného vektoru A ysledného kmitu a dle obr. 23 se urˇc´ı pomoc´ı kosinové vˇety. A2 “ A21 ` A22 ´ 2A1 A2 cosrπ ´ pα2 ´ α1 qs “ A21 ` A22 ` 2A1 A2 cospα2 ´ α1 q

(3.65)

Jsou-li kmity ve fázi, tj. α2 ´ α1 “ 0, pak je v´ ysledná amplituda rovna souˇctu amplitud A “ A1 ` A2 . Maj´ı-li kmity opaˇcnou fázi, tj. α2 ´ α1 “ π , je v´ ysledná amplituda rovna rozd´ılu amplitud A “ A1 ´ A2 . Pro poˇcáteˇcn´ı fázi α v´ ysledného kmitu plat´ı A1 sin α1 ` A2 sin α2 (3.66) A1 cos α1 ` A2 cos α2 p na osu y a ve jmenovateli pr˚ p na osu x. kde v ˇcitateli stoj´ı pr˚ umˇet v´ ysledného vektoru A umˇet A ych harmonick´ ych kmit˚ u stejné frekvence vznikne harmonick´ y kmit Shrnut´ı: sloˇzen´ım dvou stejnosmˇern´ o stejné frekvenci, kter´ y je pops´ an funkc´ı tan α “

xptq “ A sinpωt ` αq

(3.67)

kde A je dáno rovnic´ı (3.65) a α rovnic´ı (3.66). Skl´ adán´ı stejnosmˇern´ ych kmit˚ u s r˚ uznou frekvenc´ı Pˇredpokládejme dva d´ılˇc´ı kmitavé pohyby o stejné amplitudˇe A, které zaˇcneme vyˇsetˇrovat v ˇcase, kdy maj´ı stejné fázové u ´hly α x1 ptq “ A sinpω1 t ` αq x2 ptq “ A sinpω2 t ` αq

(3.68)

φ´ψ Pouˇzijeme-li vzorec pro souˇcet sin˚ u dvou r˚ uzn´ ych u ´hl˚ u sin φ ` sin ψ “ 2 sin φ`ψ 2 cos 2 , dostaneme dle principu superpozice

x “ x1 ` x2 “ 2A cos

pω1 ` ω2 qt pω1 ´ ω2 qt sinr ` αs 2 2

(3.69)

42

KAPITOLA 3. KMITY

x1 ptq x2 ptq A t

0 Á

x1 ptq ` x2 ptq

2A A

t

0 Á ´2A Obr´ azek 24: Skl´ adán´ı stejnosmˇern´ ych kmit˚ u s r˚ uzn´ ymi frekvencemi.

Liˇs´ı-li se znaˇcnˇe ω1 a ω2 , je v´ yraz (3.69) nepˇrehledn´ y. Lze ukázat, ˇze v´ ysledné kmitán´ı bude periodické jen tehdy, bude-li pomˇer frekvenc´ı obou d´ılˇc´ıch kmit˚ u dán pomˇerem cel´ ych ˇc´ısel nn12 . Pˇri splnˇen´ı této podm´ınky bude v´ ysledné kmitán´ı pops´ ano periodickou a obecnˇe neharmonickou funkc´ı, která se opakuje po uplynut´ı nejkratˇs´ı doby, na kterou pˇripadá n1 kmit˚ u s periodou ω1 a n2 kmit˚ u s periodou ω2 (obr. 24) Jsou-li vˇsak frekvence kmit˚ u ω1 a ω2 bl´ızké, pˇritom budeme pˇredpokládat ω1 ą ω2 , je frekvence pω1 ´ω2 q{2 podstatnˇe niˇzˇs´ı neˇz frekvence pω1 `ω2 q{2. Pak na v´ yraz (3.69) lze pohl´ıˇzet jako na harmonick´ y kmit pω1 ` ω2 qt ` αs 2 kde na m´ıstˇe amplitudy je ˇcasovˇe promˇenná funkce x “ aptq sinr

aptq “ 2A cos

pω1 ´ ω2 qt 2

(3.70)

(3.71)

V´ ysledn´ y pohyb je tedy harmonick´ y pohyb s frekvenc´ı rovnou stˇredn´ı frekvenci kmit˚ u x1 ptq a x2 ptq, tj. pω1 ` ω2 q{2, a ˇcasovˇe promˇennou amplitudou aptq s frekvenc´ı rovnou poloviˇcn´ı hodnotˇe rozd´ılu ω1 a ω2 , tj. pω1 ´ ω2 q{2. Tato situace je zn´ azornˇena na obr. 25. Vˇsimneme si, ˇze obálku kmit˚ u tvoˇr´ı funkce aptq a áptq. Odtud i z obr. 25 je pak zˇrejmé, ˇze frekvence zmˇeny amplitudy kmitu je jen ω1 ´ ω2 (nebot’ bˇehem jedné periody aptq dojde ke dvˇema periodick´ ym ˇ ıkáme, ˇze sloˇzen´ım dvou kmit˚ zmˇen´ am amplitudy sloˇzeného kmitu. R´ u bl´ızké frekvence vznikaj´ı r´ azy o frekvenci dané rovnicemi


43

x1 ptq

t

x2 ptq

t x1 ptq ` x2 ptq aptq

t áptq Obr´ azek 25: Skl´ adán´ı stejnosmˇern´ ych kmit˚ u bl´ızk´ ych frekvenc´ı.

ωR “ ω1 ´ ω2 fR “ f1 ´ f2

(3.72)

ˇ ım bliˇzˇs´ı t´ Vznik r´ az˚ u lze pozorovat napˇr. pˇri souˇcasném znˇen´ı dvou bl´ızk´ ych akustick´ ych t´ on˚ u. C´ ony, t´ım je frekvence r´ az˚ u niˇzˇs´ı. Pˇri rovnosti frekvence obou t´ on˚ u r´ azy vymiz´ı. Tohoto jevu se vyuˇz´ıvá pˇri ladˇen´ı hudebn´ıch nástroj˚ u. Skl´ adán´ı dvou navz´ ajem kolm´ ych kmit˚ u Pˇredpokládejme nyn´ı, ˇze hmotn´ y bod koná harmonické kmity ve dvou navzájem kolm´ ych smˇerech. Tyto kmity pop´ıˇseme funkcemi xptq “ A1 sin ωt

(3.73)

yptq “ A2 sinpωt ` αq

(3.74)

Rovnici dr´ ahy dostaneme, vylouˇc´ıme-li z obou rovnic ˇcas t. Rovnici (3.74) rozep´ıˇseme dle souˇctového vzorce sinpωt ` αq “ sin ωt cos α ` cos ωt sin α a dosad´ıme do n´ı za sin ωt z prvn´ı rovnice xptq sin ωt “ , A1

„

 xptq yptq “ A2 cos α ` cos ωt sin α A1 yptq xptq ´ cos α “ cos ωt sin α A2 A1

(3.75)

44

KAPITOLA 3. KMITY Tuto rovnici umocn´ıme na druhou a dosad´ıme za cos2 ωt “ 1 ´ sin2 ωt ˙ ˆ y 2 ptq yptqxptq x2 ptq x2 ptq 2 sin2 α ´2 cos α ` cos α “ 1 ´ A22 A1 A2 A21 A21

(3.76)

po závˇereˇcné u ´pravˇe dostaneme yptqxptq x2 ptq y 2 ptq ´2 cos α ` “ sin2 α 2 A2 A1 A2 A21

(3.77)

Toto je rovnice elipsy v pravo´ uhl´ ych souˇradnic´ıch, jej´ıˇz natoˇcen´ı je dáno fázov´ ym rozd´ılem α. Uvaˇzujme nyn´ı, ˇze fázov´ y rozd´ıl α “ 0. Pak se rovnice (3.77) zjednoduˇs´ı na y 2 ptq yptqxptq x2 ptq ´2 ` “0 2 A2 A1 A2 A21 ˆ ˙2 yptq xptq ´ “0 A2 A1 A2 x y“ A1

(3.78)

coˇz je rovnice pˇr´ımky. Bude-li jeˇstˇe A1 “ A2 , bude pˇr´ımka p˚ ulit 1. a 3. kvadrant kartézsk´ ych souˇradnic (obr. 26a). Bude-li α “ π a A1 “ A2 , dostaneme obdobnˇe pˇr´ımku na ni kolmou (obr. 26e) y“´ Bude-li fázov´ y rozd´ıl

π 2

A2 x “ ´x A1

(3.79)

a A1 “ A2 “ A, redukuje se (3.77) na rovnici kruˇznice (obr. 26c). y 2 ptq x2 ptq ` “1 A22 A21 2

2

(3.80)

2

y ptq ` x ptq “ A

V´ ysledkem je pravotoˇciv´ y rovnomˇern´ y kruhov´ y pohyb. Pˇreps´ an´ı (3.73) a (3.74) vede v tomto pˇr´ıpadˇe k rovnic´ım pro rovnomˇern´ y pohyb po kruˇznici (1.30) xptq “ A sin ωt π yptq “ A sinpωt ` q “ A cos ωt 2

2A

2A

2A

(3.81)

2A

2A

2A

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

Obr´ azek 26: Skl´ adán´ı dvou navz´ ajem kolm´ ych kmit˚ u stejné amplitudy a) α “ 0 b) 0 ă α ă π2 a 3π 2 ă α ă 2π c) α “ π2 d) π2 ă α ă π a π ă α ă 3π 2 e) α “ π. znici levotoˇciv´ y. Pro A1 “ A2 a fázové rozd´ıly Bude-li fázov´ y rozd´ıl α “ 3π 2 , bude pohyb po kruˇ π 3π 0 ă α ă 2 a 2 ă α ă 2π vznikaj´ı eliptické kmity dle obr. 26b a to pravotoˇcivé pro prvn´ı pˇr´ıpad a


45

ı eliptické kmity dle obr. levotoˇcivé pro druh´ y pˇr´ıpad. Pro A1 “ A2 , π2 ă α ă π a π ă α ă 3π 2 vznikaj´ 26d, které jsou v prvn´ım pˇr´ıpadˇe ... V obecném pˇr´ıpadˇe, kdy frekvence ω1 , ω2 kmit˚ u (3.73) a (3.74) nejsou stejné, vznikne jejich sloˇzen´ım kˇrivka omezená na obdéln´ık, pro kter´ y plat´ı Á1 ď x ď A1

´ A2 ď y ď A2

(3.82)

Budou-li frekvence ω1 , ω2 v pomˇeru cel´ ych ˇc´ısel m a n, vzniknou sloˇzen´ım kmit˚ u kˇrivky charakteristického tvaru, které naz´ yváme Lissajousov´ ymi obrazci. Na obr. 27 jsou tyto obrazce nakresleny pro hodnoty pomˇeru m{n “ 1{2, 2{3 a r˚ uzné hodnoty fázového rozd´ılu α. Vˇsimneme si, ˇze pomˇer poˇctu m´ıst, v kter´ ych se na vz´ ajemnˇe kolm´ ych stranách Lissajous˚ uv obrazec dot´ yká obdéln´ıka (3.82), odpov´ıdá pomˇeru m{n.

2A1 1{2

2A2

2A1 2{3

2A2

Obr´ azek 27: Lissajousovy obrazce.

46

KAPITOLA 3. KMITY

Kapitola 4

Mechanika soustavy hmotn´ ych bod˚ u a tuh´ eho tˇ elesa 4.1.

Popis soustavy hmotn´ ych bod˚ u a tuh´ eho tˇ elesa

Soustavou hmotn´ ych bod˚ u rozum´ıme v´ıce hmotn´ ych bod˚ u, které mohou vz´ ajemnˇe interagovat. Oznaˇc´ıme jejich poˇcet N . Tuto soustavu urˇc´ıme, zad´ ame-li hmotnosti bod˚ u mi a jejich polohy ~r, kde i “ 1, . . . , N . Protoˇze kaˇzd´ y polohov´ y vektor má tˇri souˇradnice, bude poloha soustavy zad´ ana 3N souˇradnicemi. Poˇcet nezávisl´ ych souˇradnic, kter´ ymi urˇc´ıme jednoznaˇcnˇe polohu nˇejakého hmotného objektu, naz´ yváme poˇ ctem stupˇ n˚ u volnosti. Jsou-li polohové vektory ~ri navz´ ajem nezávislé, pak soustavu, která je jimi urˇcena, nazveme volnou soustavou hmotn´ ych bod˚ u. Volná soustava hmotn´ ych bod˚ u má 3N stupˇ n˚ u volnosti. Kromˇe volné soustavy hmotn´ ych bod˚ u zav´ ad´ıme dále tuhou soustavu hmotn´ ych bod˚ u. Ta se vyznaˇcuje nepromˇenn´ ymi vzdálenostmi mezi hmotn´ ymi body. Vyberme v tuhé soustavˇe 3 hmotné body mk , ml , mm které neleˇz´ı v jedné pˇr´ımce a maj´ı polohové vektory ~rk , ~rl , ~rm . Vzd´ alenosti tˇechto bod˚ u jsou pak pevnˇe dány a plat´ı pro nˇe dkl “ |~rk ´ ~rl |,

dkm “ |~rk ´ ~rm |,

dlm “ |~rl ´ ~rm |

(4.1)

tedy a pxk ´ xl q2 ` pyk ´ yl q2 ` pzk ´ zl q2 a “ pxk ´ xm q2 ` pyk ´ ym q2 ` pzk ´ zm q2 a “ pxl ´ xm q2 ` pyl ´ ym q2 ` pzl ´ zm q2

dkl “ dkm dlm

(4.2)

9 souˇradnic 3 bod˚ u o hmotnostech mk , ml , mm , je tedy svázáno 3 rovnicemi, tj. pouze 6 souˇradnic je nezávisl´ ych. Z geometrického názoru je vˇsak zˇrejmé, ˇze 3 hmotné body neleˇz´ıc´ı v jedné pˇr´ımce, ud´ avaj´ı polohu celé tuhé soustavy. Poˇcet stupˇ n˚ u volnosti tuhé soustavy hmotn´ ych bod˚ u je 6. Dosavadn´ı v´ yklad rozˇs´ıˇr´ıme nyn´ı zaveden´ım pojmu tuh´ eho tˇ elesa. Pojem tuhého tˇelesa vznikne abstrakc´ı re´ alného tˇelesa, kdy se zachov´ av´ a tvar a rozloˇzen´ı hmoty re´ alného tˇelesa, a pˇredpokládá se, ˇze vzdálenosti mezi jednotliv´ ymi body tˇelesa se nemˇen´ı pˇri libovoln´ ych sil´ ach na tˇeleso p˚ usob´ıc´ıch. Zaveden´ı tuhého tˇelesa umoˇzn ˇuje zvl´ adnout problémy, pˇri kter´ ych nelze zanedbat nenulové rozmˇery reáln´ ych tˇeles a dále pak problémy spojené s rotac´ı tˇeles. Tuhé tˇeleso je urˇceno zad´ an´ım jeho hustoty jako funkce souˇradnic ρ “ ρp~rq ‰ 0

(4.3)

pˇritom hustota je definov´ ana jako limitn´ı pod´ıl M dM “ (4.4) V dV Postupem analogick´ ym (4.1) a (4.2) lze ukázat, ˇze tuhé tˇeleso má 6 stupˇ n˚ u volnosti, podobnˇe jako tuh´ a soustava hmotn´ ych bod˚ u. Dále definujeme hmotn´ y stˇ red tuhé soustavy hmotn´ ych bod˚ u polohov´ ym vektorem ρ “ lim

V Ñ0

řN

~rs “ ři“1 N

mi~ri

i“1

47

mi

(4.5)

´ ˚ A TUHEHO ´ ˇ KAPITOLA 4. MECHANIKA SOUSTAVY HMOTNYCH BODU TELESA

48

o

ϕ

A

Obr´ azek 28: Stanoven´ı polohy tuhého tˇelesa. Poloha hmotného stˇredu zde nemus´ı spl´ yvat s polohou nˇekterého z hmotn´ ych bod˚ u soustavy. V´ yraz ve jmenovateli odpov´ıdá celkové hmotnosti tuhé soustavy M. Zobecnˇen´ım v´ yrazu (4.5) lze definovat hmotn´ y stˇred i pro tuhé tˇeleso ş ~rρdV (4.6) ~rs “ şV ρdV V

V tuhém tˇelese zpravidla hmotn´ y stˇred spl´ yvá s nˇekter´ ym bodem tˇelesa, typickou v´ yjimkou je dut´ a koule. V´ yraz ve jmenovateli má s pˇrihlédnut´ım ke (4.4) opˇet v´ yznam hmotnosti tuhého tˇelesa M . Vidˇeli jsme nyn´ı, ˇze pˇrechod od diskrétn´ı soustavy hmotn´ ych bod˚ u ke spojitému tuhému tˇelesu ˇcin´ıme nahrazen´ım souˇctu diskrétn´ıch veliˇcin mi a ~ri integr´ alem ze spojitˇe promˇenn´ ych veliˇcin ρp~rq a ~r. Tuto analogii mezi (4.5) a (4.6) lze ˇcasto pouˇz´ıt pˇri odvozen´ı závˇer˚ u pro tuhé tˇeleso. Vˇetˇsinu v´ ypoˇct˚ u lze jednoduˇseji provést pro tuhou soustavu hmotn´ ych bod˚ u. Pomoc´ı této analogie je lze pak zobecnit na tuhé tˇeleso.

4.2.

Kinematika tuh´ eho tˇ elesa

Tuh´ a soustava hmotn´ ych bod˚ u a tuhé tˇeleso maj´ı pouze 6 stupˇ n˚ u volnosti a jejich poloha je tedy stanovena ud´ an´ım 6 souˇradnic. Jednou z moˇznost´ı ud´ an´ı polohy tuhého tˇelesa je pouˇzit´ı relac´ı (4.1) v´ azan´ ych podm´ınkou (4.2), tedy ud´ an´ı polohy tˇr´ı bod˚ u neleˇz´ıc´ıch v jedné pˇr´ımce. Tento postup se vˇsak pro nepˇrehlednost nepouˇz´ıvá. Vhodnˇejˇs´ı postup je ud´ an´ı polohy jednoho bodu, dále osy procházej´ıc´ı t´ımto bodem a natoˇcen´ı tˇelesa kolem této osy. Postup je zn´ azornˇen na obr. 28. Bod je oznaˇcen A, osa o a natoˇcen´ı je ud´ ano u ´hlem ϕ mezi pˇr´ımkou pevnou v tˇelese (plná ˇcára) a pˇr´ımkou pevnou v prostoru (ˇcárkovanˇe). Poloha bodu A je urˇcena 3 u ´daji rxA , yA , zA s a smˇer osy o je urˇcen dvˇema u ´daji, napˇr. sloˇzkami jednotkového vektoru v jej´ım smˇeru ~v “ pv1 , v2 , v3 q, kde sloˇzky jsou yu ´daj reprezentuje u ´hel natoˇcen´ı ϕ. v´ azány podm´ınkou v12 ` v22 ` v32 “ 1. Posledn´ı, ˇsest´ Vyˇsetˇr´ıme nyn´ı pohyb tuhého tˇelesa. Nejprve se budeme zab´ yvat speciáln´ım pˇr´ıpadem, kdy bod A a osa o zachov´ avaj´ı po celou dobu pohybu v tˇelese i prostoru stálou polohu. Jedinou ˇcasovˇe promˇennou veliˇcinou je u ´hel ϕ a ud´ an´ım jeho ˇcasové závislosti je pohyb urˇcen ϕ “ ϕptq

(4.7)

Uveden´ y pohyb se naz´ yvá rotac´ı tuh´ eho tˇ elesa kolem pevn´ e osy. Vˇsechny body tˇelesa maj´ı v kaˇzdém okamˇziku stejnou u ´hlovou rychlost a stejné u ´hlové zrychlen´ı dϕ dt

(4.8)

dω d2 ϕ “ 2 dt dt

(4.9)

ω“ ε“

Pro kaˇzd´ y bod rotuj´ıc´ıho tˇelesa plat´ı vˇse, co bylo uvedeno pro kruhov´ y pohyb hmotného bodu.

´ ˇ 4.2.. KINEMATIKA TUHEHO TELESA

49

Obr´ azek 29: Translace tuhého tˇelesa.

B

~v

~r1

~r ~vT1 ptq

~vT ptq A

A1

~a

Obr´ azek 30: Z´ avislost rychlosti bodu tˇelesa na volbˇe vztaˇzného bodu A. Obecnˇejˇs´ım pohybem tuhého tˇelesa je pohyb, pˇri kterém pouze jeden jeho bod (napˇr. bod A z obr. 28) zachov´ av´ a v tˇelese i prostoru stálou polohu. Tento pohyb naz´ yváme rotac´ı tuh´ eho tˇ elesa kolem pevn´ eho bodu. Lze uk´ azat, ˇze v kaˇzdém okamˇziku lze toto ot´ aˇcen´ı popsat jako rotaci tuhého tˇelesa kolem pevné osy procházej´ıc´ı pevn´ ym bodem. V pr˚ ubˇehu ot´ aˇcen´ı se zde obecnˇe mˇen´ı jak orientace osy ot´ aˇcen´ı, tak i u ´hlov´ a rychlost. Podle Eulerovy vˇ ety je rychlost libovolného bodu ot´ aˇcej´ıc´ıho se tˇelesa dána i v tomto pˇr´ıpadˇe vzorcem ~v “ ω ~ ˆ ~r

(4.10)

Nakonec pohyb, pˇri kterém maj´ı vˇsechny body tuhého tˇelesa stejn´ y vektor rychlosti ~rT ptq, naz´ yvámeposuvn´ ym, postupn´ ym nebo translaˇ cn´ım pohybem (obr. 29) Podle Chaslesovy vˇ ety lze libovoln´ y pohyb tuhého tˇelesa sloˇzit z posuvného pohybu a rotace kolem pevného bodu. Rychlost ~v libovolného bodu tuhého tˇelesa lze urˇcit sloˇzen´ım rychlosti ~vT jednoho libovolného bodu A tˇelesa a rychlosti dané ot´ aˇcen´ım kolem tohoto bodu (4.10). Je tedy ~v ptq “ ~vT ptq ` ω ~ ˆ ~r

(4.11)

kde ~r je vektor veden´ y z bodu A do bodu, jehoˇz rychlost ~v urˇcujeme. Je podstatné zjistit, jak závis´ı vyj´ adˇren´ı rychlosti ~vT ptq na volbˇe bodu A. K tomu zvol´ıme v tˇelese dva body: A s rychlost´ı ~vT ptq a A1 s rychlost´ı ~vT1 ptq a urˇc´ıme rychlost bodu tˇelesa oznaˇceného jako B (obr. 30). Dle (4.11) m˚ uˇzeme ps´ at pro rychlost bodu B pˇri vztaˇzn´ ych bodech A a A1 ~v ptq “ ~vT ptq ` ω ~ ˆ ~r 1 ~v ptq “ ~vT ptq ` ω ~ 1 ˆ ~r1 a dále m˚ uˇzeme vyj´ adˇrit rychlost ~vT1 bodu A1 pˇri vztaˇzném bodu A

(4.12a) (4.12b)


50

~vT1 ptq “ ~vT ptq ` ω ~ ˆ ~a

(4.13)

~r “ ~a ` ~r1

(4.14)

mezi vektory ~r, ~r1 a ~a plat´ı pˇritom

Dosad´ıme-li (4.14) do prvn´ı rovnice (4.12), máme ~v ptq “ ~vT ptq ` ω ~ ˆ ~a ` ω ~ ˆ ~r1

(4.15)

~v ptq “ ~vT1 ptq ` ω ~ ˆ ~r1

(4.16)

a porovnán´ım se (4.13) je dále

Srovnán´ım (4.16) a (4.12b) dost´ av´ ame d˚ uleˇzitou relaci ω “ ω1

(4.17)

´ Shrnut´ı: Rovnice (1.64) je základn´ı rovnic´ı kinematiky tuhého tˇelesa. Uhlov´ a rychlost ot´ aˇcen´ı tˇelesa ω nezávis´ı na volbˇe vztaˇzného bodu, v˚ uˇci kterému ot´ aˇcen´ı uvaˇzujeme. Velikost posuvné rychlosti vˇsak na volbˇe vztaˇzného bodu závis´ı.

4.3.

Dynamika tuh´ eho tˇ elesa

Princip akce a reakce v soustavˇe hmotn´ ych bod˚ u 3. Newton˚ uv zákon umoˇzn ˇuje pˇrechod od dynamiky hmotného bodu k dynamice soustavy hmotn´ ych bod˚ u a tuhého tˇelesa. V mechanice soustavy hmotn´ ych bod˚ u rozliˇsujeme tzv. vnˇ ejˇ s´ı s´ıly, tj. s´ıly, které maj´ı p˚ uvod v bodech (tˇelesech), které k dané soustavˇe nepoˇc´ıt´ ame, od sil vnitˇ rn´ıch, kter´ ymi na sebe p˚ usob´ı jednotlivé body vyˇsetˇrované soustavy. Budeme-li napˇr´ıklad Sluneˇcn´ı soustavu povaˇzovat za soustavu hmotn´ ych bod˚ u, budou gravitaˇcn´ı s´ıly p˚ usob´ıc´ı mezi Sluncem a jednotliv´ ymi planetami typick´ ymi vnitˇrn´ımi silami soustavy. Uvaˇzujme nyn´ı soustavu hmotn´ ych bod˚ u mi . P˚ usob´ı-li hmotn´ y bod m1 na hmotn´ y bod m2 silou F~12 bude hmotn´ y bod m2 na hmotn´ y bod m1 p˚ usobit silou F~21 tak, ˇze plat´ı F~12 “ ´F~21

tedy

F~12 ` F~21 “ 0

(4.18)

Stejná u ´vaha plat´ı pro libovolnou dvojici hmotn´ ych bod˚ u, takˇze máme pF~12 ` F~21 q ` pF~13 ` F~31 q ` pF~14 ` F~41 q ` . . . “ 0 pF~23 ` F~32 q ` pF~24 ` F~42 q ` . . . “ 0 pF~34 ` F~43 q ` . . . “ 0 ... “ 0

(4.19)

takˇze v´ yslednice vˇ sech vnitˇ rn´ıch sil soustavy je rovna nule. S´ıly F~ij a F~ji leˇz´ı nav´ıc vˇzdy v jedné pˇr´ımce, takˇze maj´ı vzhledem k libovolnému bodu stejné rameno a jejich momenty se navzájem ruˇs´ı. Proto i v´ ysledn´ y moment vnitˇ rn´ıch sil soustavy vzhledem k libovoln´ emu bodu prostoru je nulov´ y. Vnitˇrn´ı s´ıly nemohou tedy zp˚ usobit pohyb soustavy jako celku. K tomu je vˇzdy zapotˇreb´ı vnˇejˇs´ıch sil. Vˇety o hybnosti a momentu hybnosti soustavy Podle 2. Newtonova zákona je ˇcasov´ a zmˇena hybnosti i-tého bodu soustavy dána rovnic´ı d~ pi “ F~i dt

(4.20)

kde F~i je v´ yslednice vˇsech vnitˇrn´ıch a vnˇejˇs´ıch sil, které na bod p˚ usob´ı. pIq pEq F~i “ F~i ` F~i

Takové rovnice m˚ uˇzeme postupnˇe napsat pro N bod˚ u soustavy a seˇc´ıst

(4.21)

´ ˇ 4.3.. DYNAMIKA TUHEHO TELESA

51

N N N ÿ ÿ ÿ d~ pi pEq pIq F~i F~i ` “ dt i“1 i“1 i“1

(4.22)

V´ yslednice vˇsech vnitˇrn´ıch sil (1. ˇclen na pravé stranˇe (4.22)) je vˇsak dle (4.19) rovna nule, takˇze plat´ı s uváˇzen´ım p~i “ mi~vi N N ÿ dP~ d ÿ pEq “ mi~vi “ F~i “ F~ pEq dt i“1 dt i“1

(4.23)

řN kde P~ “ i“1 mi~vi je celkov´ a hybnost soustavy a F~ pEq v´ yslednice vnˇejˇs´ıch sil. Docház´ıme k formulaci I. impulsov´ e vˇ ety neboli vˇ ety o hybnosti soustavy: ˇ Casov´ a zmˇ ena celkov´ e hybnosti soustavy hmotn´ ych bod˚ u je rovna v´ ysledn´ e vnˇ ejˇ s´ı s´ıle. Ukáˇzeme nyn´ı, ˇze celou soustavu hmotn´ ych bod˚ u v rovnici (4.23) m˚ uˇzeme nahradit jedin´ ym bodem a to hmotn´ ym stˇredem (4.5) s hmotnost´ı celé soustavy M“

N ÿ

(4.24)

mi

i“1

Vyn´ asob´ıme nyn´ı rovnici (4.5) celkovou hmotnost´ı soustavy a derivujeme dle ˇcasu

M~rS “

N ÿ

mi~ri

i“1

(4.25)

N N N ÿ ÿ ÿ d~rS d~ri M “ “ mi mi~vi “ p~i “ P~ dt dt i“1 i“1 i“1

Dosad´ıme-li nyn´ı ze (4.25) do (4.23) za P~ máme d d~rS d2~rS dP~ “ M “ M 2 “ M~aS (4.26) dt dt dt dt kde jsme oznaˇcili ~aS zrychlen´ı hmotného stˇredu soustavy. Obsah rovnice (4.26) b´ yvá oznaˇcov´ an jako vˇ eta o pohybu hmotn´ eho stˇ redu soustavy. Slovnˇe ji lze formulovat takto: Hmotn´ y stˇ red soustavy se pohybuje jako hmotn´ y bod, kter´ y m´ a celkovou hmotnost M soustavy a na nˇ ejˇ z p˚ usob´ı v´ yslednice vnˇ ejˇ s´ıch sil F~ pEq . Zab´ yvejme se na tomto m´ıstˇe názornou interpretac´ı hmotného stˇredu. Poloha hmotného stˇredu v rovnici (4.5) je jednoznaˇcnˇe urˇcena polohami jednotliv´ ych bod˚ u. Vzorec (4.5) odpov´ıdá obecnému pravidlu pro hled´ an´ı stˇredn´ı hodnoty veliˇcin, jimˇz pˇrisuzujeme r˚ uznou v´ ahu, tj. r˚ uznˇe velk´ y pod´ıl na vyˇsetˇrovaném jevu. Tˇemito veliˇcinami jsou v daném pˇr´ıpadˇe polohové vektory ~ri hmotn´ ych bod˚ u soustavy a v´ ahami jejich hmotnosti mi . Poloha hmotného stˇredu nezávis´ı na volbˇe poˇcátku soustavy souˇradnic (d˚ ukaz pˇrenecháv´ ame posluchaˇci - Horák, Krupka, Fyzika I, str. 136). Zmˇen´ı-li se konfigurace soustavy ˇci tvar tuhého tˇelesa, zmˇen´ı se i poloha hmotného stˇredu. Hmotn´ y stˇred b´ yvá ekvivalentnˇe naz´ yván tˇ eˇ ziˇ stˇ em. Tento název je odvozen z p˚ usoben´ı t´ıhového pole na soustavu. Na hmotné body soustavy p˚ usob´ı soustava rovnobˇeˇzn´ ych sil, které vˇsem bod˚ um soustavy udˇeluj´ı stejné zrychlen´ı. Nahrad´ıme je v´ yslednic´ı, která urˇcuje celkovou t´ıhu soustavy. F~ pEq “

N ÿ

mi~g “ M~g

(4.27)

i“1

V´ ysledn´ y moment vnˇejˇs´ıch sil pak bude ~ pEq “ M

N ÿ

pEq ~ri ˆ F~i “

i“1

Dle definice hmotného stˇredu (4.5) je vˇsak N ÿ

N ÿ

i“1

~ri ˆ mi~g “

N ÿ

mi~ri ˆ ~g

(4.28)

i“1

mi~ri ˆ ~g “ M~rS ˆ ~g “ ~rS ˆ M~g

(4.29)

i“1

V´ ysledn´ y moment t´ıhov´ ych sil p˚ usob´ıc´ıch na soustavu hmotn´ ych bod˚ u (tuhé tˇeleso) je roven momentu t´ıhy soustavy (tˇelesa), pˇredpokládáme-li, ˇze t´ıha se nacház´ı v hmotném stˇredu. Moment t´ıhov´ ych sil v˚ uˇci

52


hmotnému stˇredu je nulov´ y. N´ azev tˇeˇziˇstˇe pro hmotn´ y stˇred pouˇz´ıváme proto, ˇze je p˚ usobiˇstˇem t´ıhov´ ych sil. Pozn´ amka: Pojem tˇeˇziˇstˇe lze zavést pouze v homogenn´ım t´ıhovém poli. Nehomogenn´ı gravitaˇcn´ı pole k pojmu tˇeˇziˇstˇe nevede, v´ yslednice sil bude procházet jin´ ym bodem, neˇz je hmotn´ y stˇred (tˇeˇziˇstˇe). Vyˇsetˇr´ıme nyn´ı, jak´ y vliv na pohyb soustavy maj´ı momenty sil p˚ usob´ıc´ı na jednotlivé body. Zap´ıˇseme rovnici (1.108) pro kaˇzd´ y hmotn´ y bod d~bi ~i “M dt

(4.30)

~ i je moment v´ kde ~bi je moment hybnosti vzhledem k libovolnému pevnému bodu a M yslednice vˇsech sil na bod p˚ usob´ıc´ıch k témuˇz bodu. Do tohoto bodu poloˇz´ıme rovnˇeˇz poˇcátek souˇradného systému. Pak ~ i “ ~ri ˆ F~i a s pomoc´ı (4.21) máme dále M d~bi pIq pEq pIq pEq ~ pIq ` M ~ pEq “ ~ri ˆ F~i “ ~ri ˆ pF~i ` F~i q “ ~ri ˆ F~i ` ~ri ˆ F~i “ M (4.31) i i dt Seˇcteme-li tyto rovnice pro vˇsechny body soustavy (pˇri zachov´ an´ı pevného vztaˇzného bodu, dostaneme N N N ÿ ÿ ÿ d~bi ~ pIq ` ~ pEq “ M M i i dt i“1 i“1 i“1

(4.32)

Jak jsme vˇsak uk´ azali dˇr´ıve - (4.18), (4.19) a text - prvn´ı ˇclen na pravé stranˇe (4.32) je nulov´ y. řN ~ pEq řN ~ dostaneme koneˇcnˇe ze (4.32) “ M Oznaˇc´ıme-li i“1 ~bi “ ~b a i“1 M i

d~b ~ “M (4.33) dt coˇz je II. impulsov´ a vˇ eta neboli vˇ eta o momentu hybnosti soustavy: ˇ Casov´ a zmˇ ena momentu hybnosti soustavy hmotn´ ych bod˚ u vzhledem k libovoln´ emu pevn´ emu bodu je rovna v´ ysledn´ emu momentu vnˇ ejˇ s´ıch sil vzhledem k t´ emuˇ z bodu. II. impulsov´ a vˇeta je splnˇena také tehdy, zvol´ıme-li za vztaˇzn´ y bod hmotn´ y stˇred soustavy, kter´ y obecnˇe nen´ı pevn´ y. S´ıly, které zp˚ usobuj´ı zrychlen´ı hmotného stˇredu, vˇsak v nˇem maj´ı své p˚ usobiˇstˇe a jejich moment v˚ uˇci nˇemu je nulov´ y. Zrychlen´ı hmotného stˇredu do rovnice pro p˚ usoben´ı celkového vnˇejˇs´ıho momentu nevstoup´ı. Vlastn´ı pohyb hmotného stˇredu nem´ a vliv na ot´ aˇcen´ı jednotliv´ ych hmotn´ ych bod˚ u kolem osy, která j´ım procház´ı. V´ yznam hmotného stˇredu tak spoˇc´ıvá v tom, ˇze ˇcin´ı z obou impulsov´ ych vˇet obecn´ y zákon pro pohyb soustavy bod˚ u ˇci tuhého tˇelesa. Shrnut´ı: Hmotn´ y stˇred (tˇeˇziˇstˇe) soustavy se pohybuje jako hmotn´ y bod, na kter´ y p˚ usob´ı v´ yslednice ˇ vˇsech vnˇejˇs´ıch sil a jehoˇz hmotnost je rovna celkové hmotnosti soustavy. Casov´ a zmˇena momentu hybnosti soustavy vzhledem ke hmotnému stˇredu (tˇeˇziˇsti) nebo vzhledem k libovolnému pevnému bodu je rovna v´ yslednému vnˇejˇs´ımu momentu vzhledem k témuˇz bodu. Ukázali jsme, ˇze tuh´ a soustava bod˚ u ˇci tuhé tˇeleso maj´ı 6 stupˇ n˚ u volnosti. Dvˇe vektorové rovnice (4.23) a (4.33) pˇredstavuj´ı 6 skal´ arn´ıch rovnic pro urˇcen´ı 6 funkc´ı popisuj´ıc´ıch plnˇe pohybov´ y stav tˇelesa. Jsou obsaˇzeny ve dvou vektorov´ ych funkc´ıch ~vT ptq a ω ~ ptq. Bod A na obr. (28), kter´ y se pohybuje rychlost´ı ~vT ptq a v˚ uˇci kterému jsme uvaˇzovali rotaci, jsme dosud volili libovolnˇe. Vybereme-li za nˇej hmotn´ y stˇred, bude rovnice (4.26) jednou z jeho pohybov´ ych rovnic. Pohybovou rovnici pro stanoven´ı druhé funkce ω ~ ptq odvod´ıme v dalˇs´ım v´ ykladu. Ve zvl´ aˇstn´ım pˇr´ıpadˇe, kdy na soustavu nep˚ usob´ı vnˇejˇs´ı s´ıly nebo kdy v´ yslednice vnˇejˇs´ıch sil je nulov´ a, ~ pEq “ 0 Takovou soustavu naz´ je F~ pEq “ 0 a M yváme dynamicky izolovanou ˇ cili osamocenou (uzavˇ renou) a plat´ı pro ni z´ akony zachov´ an´ı hybnosti a momentu hybnosti. Celkov´ a hybnost izolovan´ e soustavy je rovn´ a vektorov´ emu souˇ ctu okamˇ zit´ ych hybnost´ı jednotliv´ ych hmotn´ ych bod˚ u soustavy a z˚ ust´ av´ a st´ al´ a co do smˇ eru i velikosti. Neboli tˇ eˇ ziˇ stˇ e izolovan´ e soustavy se pohybuje podle 1. Newtonova z´ akona. Moment hybnosti osamocen´ e soustavy je roven vektorov´ emu souˇ ctu moment˚ u hybnosti jednotliv´ ych hmotn´ ych bod˚ u vzhledem ke hmotn´ emu stˇ redu ˇ ci k libovoln´ emu pevn´ emu bodu a je st´ al´ y co do smˇ eru i velikosti. V kapitole o gravitaˇcn´ım poli jsme ukázali, ˇze moment hybnosti hmotného bodu pohybuj´ıc´ıho se v centráln´ım poli (2.23) je stál´ y. Z tohoto hlediska je II. impulsov´ a vˇeta zobecnˇen´ım II. Keplerova zákona a centráln´ı s´ıly, tedy napˇr. gravitaˇcn´ı s´ıly mezi kosmick´ ymi objekty lze povaˇzovat za vnitˇrn´ı s´ıly, povaˇzujemeli dotyˇcné objekty za izolovanou soustavu.


53

Energie soustavy hmotn´ ych bod˚ u a tuhého tˇelesa Pojmy kinetické a potenciáln´ı energie hmotného bodu a práce vykonané na hmotn´ y bod lze snadno rozˇs´ıˇrit na soustavu hmotn´ ych bod˚ u a tuhé tˇeleso. Kinetickou energii soustavy hmotn´ ych bod˚ u nazveme v´ yraz Ek “

N ÿ 1 mi vi2 2 i“1

(4.34)

tedy souˇcet kinetick´ ych energi´ı vˇsech hmotn´ ych bod˚ u soustavy. Podobnˇe m˚ uˇzeme ps´ at pro práci, kterou vykonaj´ı s´ıly F~ pˇrejdou-li body soustavy z polohy 1 do polohy 2. A“

N ż2 ÿ

F~i d~ri

(4.35)

i“1 1

kde integr´ al v sumˇe znaˇc´ı práci vykonanou na i-t´ y hmotn´ y bod. Analogicky jako pro hmotn´ y bod plat´ı pak A “ Ek 2 ´ E k 1

(4.36)

Zmˇeny kinetické energie ovlivˇ nuj´ı jak vnˇejˇs´ı, tak i vnitˇrn´ı s´ıly. Vnitˇrn´ı s´ıly mohou vˇsak tak uˇcinit pouze u volné soustavy hmotn´ ych bod˚ u. V tuhé soustavˇe hmotn´ ych bod˚ u a v tuhém tˇelese vnitˇrn´ı s´ıly vzhledem k nepromˇenn´ ym vzdálenostem mezi body práci nekonaj´ı. Jsou-li vnˇejˇs´ı i vnitˇrn´ı s´ıly p˚ usob´ıc´ı na soustavu konzervativn´ı, je práci A vykonanou na systém moˇzno vyj´ adˇrit jako u ´bytek potenciáln´ı energie mezi m´ısty 1 a 2 Ep 1 ´ Ep 2 “ A

(4.37)

Ep 1 ` E k 1 “ Ep 2 ` E k 2

(4.38)

Porovn´ an´ım (4.36) a (4.37) máme

coˇz je zákon zachov´ an´ı mechanické energie soustavy bod˚ u ˇci tuhého tˇelesa. M˚ uˇzeme jej slovnˇe formulovat takto: Jsou-li vnˇ ejˇ s´ı s´ıly p˚ usob´ıc´ı na tˇ eleso konzervativn´ı, je souˇ cet potenci´ aln´ı a kinetick´ e energie soustavy bod˚ uˇ ci tuh´ eho tˇ elesa konstantn´ı. onigovy vˇety lze kinetickou energii soustavy hmotn´ ych bod˚ u rozloˇzit na dva ˇcleny Pozn´ amka: Podle K¨ Ek “

N 1 1ÿ 2 M vS2 ` mi viS 2 2 i“1

(4.39)

kde prvn´ı ˇclen pˇredstavuje kinetickou energii hmotného bodu o hmotnosti celé soustavy M a rychlosti hmotného stˇredu ~vS a druh´ y ˇclen kinetickou energii pohybu hmotn´ ych bod˚ u soustavy v˚ uˇci jej´ımu hmotnému stˇredu. Tento ˇclen b´ yvá naz´ yván vnitˇrn´ı kinetickou energi´ı soustavy. Rozebereme nyn´ı ponˇekud d˚ ukladnˇeji v´ yraz (4.34) pro kinetickou energii. • Soustava (tˇeleso) koná pouze posuvn´ y pohyb. V tomto pˇr´ıpadˇe je rychlost vˇsech bod˚ u a tedy i tˇeˇziˇstˇe stejn´ a a rovn´ a vS . Dosad´ıme-li za vi “ vS do (4.34), bude Ek “

N ÿ 1 1 mi vS2 “ M vS2 2 2 i“1

(4.40)

Kinetick´ a energie tuhého tˇelesa je rovna kinetické energii tˇeˇziˇstˇe s hmotnost´ı rovnou celkové hmotnosti tˇelesa. • Soustava (tˇeleso) se ot´ aˇc´ı kolem pevné osy. Otáˇc´ı-li se tˇeleso kolem pevné osy okamˇzitou u ´hlovou rychlost´ı ω maj´ı hmotné body vzdálené ri od osy rotace ~vi “ ω ~ ˆ ~ri , jej´ıˇz velikost je vi “ ri ω. Dosad´ıme-li do (4.34), dostaneme Ek “

N N N ÿ ÿ 1 1 ÿ 1 mi vi2 “ mi ri2 ω 2 “ ω 2 mi ri2 2 2 2 i“1 i“1 i“1

protoˇze ω je pro vˇsechny body tˇelesa stejné. Souˇcet

(4.41)

54


N ÿ

mi ri2 “ J

(4.42)

i“1

naz´ yváme moment setrvaˇ cnosti. Máme tedy Ek “

1 2 Jω 2

(4.43)

Kinetick´ a energie tˇelesa rotuj´ıc´ıho kolem pevné osy je rovna poloviˇcn´ımu souˇcinu jeho momentu setrvaˇcnosti vzhledem k této ose a ˇctverce u ´hlové rychlosti. • Soustava (tˇeleso) koná obecn´ y pohyb. Podle (4.10) a (4.11) lze obecn´ y pohyb tˇelesa v kaˇzdém okamˇziku nahradit posuvn´ ym pohybem rychlost´ı vT a rotac´ı u ´hlovou rychlost´ı ω kolem osy procházej´ıc´ı tˇeˇziˇstˇem Ek “

1 1 M vT2 ` J0 ω 2 2 2

(4.44)

kde M je hmotnost tˇelesa a J0 je moment setrvaˇcnosti vzhledem k okamˇzité ose rotace jdouc´ı tˇeˇziˇstˇem. Moment setrvaˇcnosti Pˇrejdeme-li od tuhé soustavy hmotn´ ych bod˚ u k tuhému tˇelesu, ˇcili spojitému rozloˇzen´ı hmoty, pˇrejde definice momentu setrvaˇcnosti (4.43) do integr´ aln´ıho tvaru ż J“ r2 dm (4.45) m

kde r je vzdálenost elementu hmoty dm od osy rotace. Zaveden´ım hustoty tˇelesa ρ lze v´ yraz(4.45) pˇrepsat do tvaru ¡ J“ r2 ρdV (4.46) V

Je-li tˇeleso homogenn´ı, lze hustotu ρ jakoˇzto konstantn´ı veliˇcinu postavit pˇred integr´ al ¡ J “ρ r2 dV

(4.47)

V

a yraz (4.47) bude m´ıt tvar Vol´ıme-li za osu rotace osu z, budou vzdálenosti r “ x2 ` y 2 a v´ ¡ J “ρ px2 ` y 2 qdV

(4.48)

V

Moment setrvaˇcnosti lze také vyj´ adˇrit jako souˇcin hmotnosti tˇelesa a ˇctverce jisté stˇredn´ı vzdálenosti R, v n´ıˇz by musela b´ yt soustˇredˇena hmotnost tˇelesa, aby moment setrvaˇcnosti byl roven momentu setrvaˇcnosti tˇelesa c J 2 (4.49) J “ MR , R“ M Vzd´ alenost R se naz´ yvá polomˇ er setrvaˇ cnosti (gyraˇ cn´ı polomˇ er) tˇelesa pro danou osu. Moment setrvaˇcnosti závis´ı na poloze rotaˇcn´ı osy vzhledem k tˇelesu a na rozloˇzen´ı hmotnosti v tˇelese. Pro vˇsechny rovnobˇeˇzné osy je nejmenˇs´ı moment setrvaˇcnosti vzhledem k ose, které procház´ı tˇeˇziˇstˇem tˇelesa. Moment setrvaˇcnosti vzhledem k ose jdouc´ı bodem A rovnobˇeˇznˇe s tˇeˇziˇstn´ı osou T ” Z (na obr. 31 jsou obˇe osy kolmé k nákresnˇe) bude ż ż ż 12 2 2 J “ r dm “ rpa ` xq ` y sdm “ pa2 ` 2ax ` r2 qdm (4.50) Zde dle (4.6) ż

2axdm “ 2a

ż

xdm “ 0

(4.51)


55

y dm r1 A

r x

T

a

y x

Obr´ azek 31: K odvozen´ı Steinerovy vˇety.

o

r R v dr Obr´ azek 32: V´ ypoˇcet momentu setrvaˇcnosti v´ alce vzhledem k ose symetrie. protoˇze jsme poˇcátek soustavy souˇradné zvolili v tˇeˇziˇsti a tedy ż ż J “ a2 dm ` r2 dm “ M a2 ` J0

(4.52)

Obsahem vztahu (4.52) je Steinerova vˇeta, která ˇr´ıká: Moment setrvaˇ cnosti J tˇ elesa k libovoln´ e ose je roven momentu setrvaˇ cnosti J0 tˇ elesa vzhledem k ose proch´ azej´ıc´ı tˇ eˇ ziˇ stˇ em (hmotn´ ym stˇ redem), zvˇ etˇ sen´ emu o souˇ cin hmotnosti tˇ elesa M se ˇ ctvercem vzd´ alenosti a obou os. D˚ usledkem Steinerovy vˇety je v´ yˇse uvedené tvrzen´ı J ą J0 . ypoˇcet momentu setrvaˇcnosti homogenn´ıho v´ alce o hmotnosti M , v´ yˇsce v a polomˇeru Pˇr´ıklad: V´ podstavy R a rozbor valen´ı tohoto v´ alce po naklonˇené rovinˇe. V´ alec rozdˇel´ıme na v´ alcové plochy element´ arn´ı tlouˇst’ky dr (obr. 32), které maj´ı hmotnost dm “ ρdV “ ρ2πrdrv

(4.53)

kde hustotu vypoˇc´ıt´ ame dle vztahu ρ“ Dosad´ıme-li ze (4.54) do (4.53), máme

M M “ V πR2 v

(4.54)

56


S

~aS

h

s S α Obr´ azek 33: Valen´ı v´ alce po naklonˇené rovinˇe.

M 2M rdr 2πrdrv “ πR2 v R2 Element hmotnosti dm má moment setrvaˇcnosti dJ, pro kter´ y plat´ı dle (4.45) dm “

2M r3 dr R2 Uváˇz´ıme-li, ˇze promˇenná r zde nab´ yvá hodnot v intervalu x0, Rq, dostaneme J integrac´ı dJ “ r2 dm “

„ R żR żR żR 2M 3 1 2M R4 2M r4 2M r3 dr 2 “ “ M R2 “ 2 r dr “ J “ r dm “ 2 2 2 R R R 4 0 R 4 2 0

(4.55)

(4.56)

(4.57)

0

0

K v´ ypoˇctu rozboru valen´ı po naklonˇené rovinˇe vyuˇzijeme zákon zachov´ an´ı mechanické energie. S´ıly valivého tˇren´ı totiˇz na rozd´ıl od sil vleˇcného tˇren´ı nekonaj´ı práci (nedissipuj´ı energii), protoˇze v´ alec v m´ıstˇe dotyku neklouˇze. Urˇceme nyn´ı zrychlen´ı hmotného stˇredu, prob´ıhá-li valen´ı po naklonˇené rovinˇe, které s horizont´ aln´ı rovinou sv´ırá u ´hel α (obr. 33) Na obr. 33. jsme vyznaˇcili dvˇe polohy v´ alce pˇri valen´ı, prvn´ı ve v´ yˇsce h a druhou v nulové v´ yˇsce. Zrychlen´ı hmotného stˇredu v´ alce bude konstantn´ı, protoˇze na nˇej p˚ usob´ı konstantn´ı urychluj´ıc´ı s´ıla. Zaˇcne-li valen´ı ve v´ yˇsce h, bude tam v´ alec m´ıt potenciáln´ı energii Ep “ M gh

(4.58)

V nulové hladinˇe se tato potenciáln´ı energie zmˇen´ı na kinetickou energii, která bude dle (4.44) 1 M vS2 ptq ` 2 kde vS ptq je rychlost hmotného stˇredu a ωptq u ´hlov´ a pro kterou plat´ı Ek “

sin α “

h , s

1 2 (4.59) Jω ptq 2 rychlost rotace. V´ alec pˇritom probˇehl dráhu s,

s“

h sin α

(4.60)

t“

c

(4.61)

a to za ˇcas, pro kter´ y plat´ı 1 s “ a S t2 , 2

2s aS

a zároveˇ n dle (4.61) m˚ uˇzeme ps´ at pro vS ptq vS ptq , t“ aS

‘ vS ptq “ taS “ 2saS “

c

2h aS sin α

(4.62)

Porovnáme nyn´ı (4.58) a (4.59) a dosad´ıme za vS ptq za (4.62)

M gh “

1 1 v2 M vS2 ptq ` J S2 2 2 R

1 2h 1 2h 1 M gh “ M aS ` J aS 2 sin α 2 sin α R2 Po krácen´ı a u ´pravˇe, kdy zat´ım nedosazujeme za J, máme pro aS

(4.63)


57

Mg “

ˆ

M J ` sin α R2 sin α aS “

M sin α

˙

aS (4.64)

Mg ` R2 Jsin α

Vid´ıme, ˇze zrychlen´ı hmotného stˇredu klesá s momentem setrvaˇcnosti J. Dosad´ıme-li nyn´ı za moment setrvaˇcnosti ze (4.57), máme koneˇcnˇe aS “

Mg M sin α

`

1 2 2 MR R2 sin α

“

g 1` 21 sin α

“

g 3 2 sin α

“

2 g sin α 3

(4.65)

Vid´ıme, ˇze zrychlen´ı hmotného stˇredu je menˇs´ı neˇz pˇri klouzavém pohybu bez tˇren´ı, kdy by dos´ ahlo zn´ amé hodnoty g sin α. ˇ sen´ı izolované soustavy 2 hmotn´ Reˇ ych bod˚ u - problém 2 tˇeles Ukáˇzeme nyn´ı, ˇze pohyb izolované soustavy 2 hmotn´ ych bod˚ u m1 a m2 lze pˇrevést na ˇreˇsen´ı pohybu jednoho bodu v centráln´ım silovém poli. Poˇcátek soustavy souˇradné poloˇz´ıme do hmotného stˇredu soustavy (obr. 34)

m2 ~r2 ~r ~r1

S

m1 Obr´ azek 34: Izolovaná soustava 2 hmotn´ ych bod˚ u. Podle definice hmotného stˇredu plat´ı m1~r1 ` m2~r2 “ 0

(4.66)

~r “ ~r1 ´ ~r2

(4.67)

a dále zavedeme vektor ~r

kter´ y je s ~r1 a ~r2 rovnobˇeˇzn´ y (obr. 34) a m˚ uˇzeme ps´ at (postupnˇe s vyuˇzit´ım ~r1 “ ~r ´ ~r2 a ~r2 “ ~r1 ´ ~r) ~r1 “

m2 ~r, m1 ` m2

~r2 “

´m1 ~r m1 ` m2

(4.68)

~v2 “

´m1 ~v m1 ` m2

(4.69)

Pro rychlosti hmotn´ ych bod˚ u plyne z (4.68) ~v1 “

m2 ~v , m1 ` m2

kde ~v “ ~v1 ´ ~v2 . Pˇredpokládáme-li nyn´ı, ˇze mezi body soustavy budou p˚ usobit pouze konzervativn´ı s´ıly, m˚ uˇzeme zapsat zákon zachov´ an´ı mechanické energie ve tvaru Ek1 ` Ek2 ` Ep “ E0 “ konst. 1 1 m1 v12 ` m2 v22 ` Ep “ E0 2 2 a po dosazen´ı ze (4.68) za v12 a v22 bude

(4.70)

58


m2 ~r2

S ~r1

m1

Obr´ azek 35: K ˇreˇsen´ı problému dvou tˇeles se vz´ ajemn´ ym gravitaˇcn´ım p˚ usoben´ım (Keplerovy u ´lohy).

m22 1 m21 1 m1 v 2 ` m2 v 2 ` E p “ E0 2 2 pm1 ` m2 q 2 pm1 ` m2 q2 1 m1 m2 pm1 ` m2 q 2 v ` E p “ E0 2 pm1 ` m2 q2 1 m1 m2 2 v ` E p “ E0 2 m1 ` m 2

(4.71)

Zákon zachov´ an´ı momentu hybnosti v naˇs´ı soustavˇe m˚ uˇzeme zapsat ve tvaru ~0 p~r1 ˆ m1~v1 q ` p~r2 ˆ m2~v2 q “ B

(4.72)

Dosad´ıme-li sem z (4.68) a (4.69), máme ~0 “ B

ˆ

˙ ˆ ˙ m2 m1 m2 ´m1 m2 ´m1 ~r ˆ ~v ` ~r ˆ ~v “ m1 ` m 2 m1 ` m2 m1 ` m2 m1 ` m2 m21 m2 m1 m22 p~ r ˆ ~ v q ` p~r ˆ ~v q “ “ pm1 ` m2 q2 pm1 ` m2 q2 m1 m2 m 1 m2 “ p~r ˆ ~v q “ ~r ˆ ~v m1 ` m2 m1 ` m 2

(4.73)

Z rovnic (4.71) a (4.73) je zˇrejmé, ˇze zákony zachov´ an´ı pro izolovanou soustavu dvou hmotn´ ych bod˚ u lze pˇrepsat tak, ˇze p˚ uvodn´ı dva hmotné body nahrad´ıme jedn´ım o tzv. redukovan´ e hmotˇ e mr “

m 1 m2 m1 ` m 2

(4.74)

Rovnice (4.71) a (4.73) lze pro centráln´ı silov´ a pole ˇreˇsit stejnˇe jako jsme uˇcinili pˇri rozboru Keplerovy u ´lohy (ˇcl. 2.3). V´ ysledkem je nalezen´ı závislosti rpϕq pro bod s redukovanou hmotou a z této závislosti dostaneme dle rovnic (4.68) závislosti r1 pϕq a r2 pϕq. Je-li závislost rpϕq rovnic´ı kuˇzeloseˇcky, jsou zˇrejmˇe r1 pϕq a r2 pϕq také rovnicemi kuˇzeloseˇcek. Z rovnice (4.66) dále plyne, ˇze rozmˇery kuˇzeloseˇcek, po kter´ ych se pohybuj´ı hmotné body m1 , m2 jsou v pomˇeru r1 {r2 “ m2 {m1 . Dvˇe takové eliptické dráhy uvád´ıme na obr. 35. y postup lze provést i pro jin´ a centráln´ı pole (elektrostatické pole, elastick´ a vazba Pozn´ amka: Obdobn´ apod.). Pˇ rehled u ´ loh o r´ azu tˇ eles Pohybov´ y stav tˇeles a hmotn´ ych bod˚ u se spojitˇe mˇen´ı s ˇcasem, takˇze souˇradnice jednotliv´ ych element˚ u tˇelesa (ˇci hmotn´ ych bod˚ u soustavy) jsou spojité a koneˇcné funkce ˇcasu. Dojde-li vˇsak bˇehem pohybu ke koliz´ım tˇeles ˇci hmotn´ ych bod˚ u, pozorujeme náhlé zmˇeny co do smˇeru i velikosti. V mnoha pˇr´ıpadech plat´ı, ˇze vzájemné s´ıly mezi tˇelesy nab´ yvaj´ı bˇehem kolize znaˇcn´ ych hodnot a p˚ usob´ı po krátk´ y ˇcasov´ y interval ∆t. Tyto s´ıly jsou silami vnitˇrn´ımi a jejich impulsy vedou ke zmˇenˇe hybnosti koliduj´ıc´ıch tˇeles. Vnˇejˇs´ı s´ıly, které mohou po interval ∆t na koliduj´ıc´ı tˇelesa p˚ usobit, jsou ˇcasto zanedbatelné, takˇze soustavu m˚ uˇzeme pokládat za dynamicky izolovanou. V takové soustavˇe plat´ı zákon zachov´ an´ı hybnosti a zákon zachov´ an´ı momentu hybnosti.


59

m1 ` m2

m2

m1

~vB

~v2

~v1

Obr´ azek 36: Dokonale nepruˇzn´ y r´ az. Rázy klasifikujeme na základˇe srovnán´ı hodnoty kinetické energie systém˚ u pˇred koliz´ı EKA a kinetické energie systému po kolizi EKB . Jestliˇze se kinetick´ a energie nemˇen´ı EKA “ EKB

(4.75)

hovoˇr´ıme o dokonale pruˇ zn´ em r´ azu. Naopak, jestliˇze je po r´ azu kinetick´ a energie menˇs´ı (dojde k jej´ı dissipaci), tedy EKA ă EKB

(4.76)

jde o nepruˇ zn´ y r´ az. Dokonale nepruˇ zn´ y r´ az je takov´ y, po nˇemˇz koliduj´ıc´ı tˇelesa jsou spojená (jedno uv´ızne v druhém). V pˇr´ıpadˇe dokonale nepruˇzného r´ azu je dissipace kinetické energie maximáln´ı. V naˇsem v´ ykladu se budeme zab´ yvat nejjednoduˇsˇs´ımi typy r´ az˚ u. U jednobodov´ ych stˇredov´ ych r´ az˚ u budou tˇeˇziˇstˇe obou tˇeles leˇzet na spojnici procházej´ıc´ı bodem dotyku. Takové r´ azy lze popsat jako jednorozmˇerné. Dokonale nepruˇzn´ y jednorozmˇern´ y r´ az Tˇeleso hmotnosti m1 se pohybuje rychlost´ı ~v1A a má hybnost p~1A , tˇeleso hmotnosti m2 se pohybuje rychlost´ı ~v2A a má hybnost p~2A . Po dokonale nepruˇzném r´ azu se obˇe spojená tˇelesa m1 ` m2 pohybuj´ı s rychlost´ı ~vB . Necht’ se pohyb dˇeje pouze podél osy x, pak budou nenulové pouze x-ové sloˇzky vektor˚ u rychlosti a hybnosti a bude platit (obr. 36). pA “ p1A ` p2A “ m1 v1A ` m2 v2A (4.77) pB “ pm1 ` m2 qvB Podle zákona zachov´ an´ı hybnosti mus´ı b´ yt pA “ pB , tedy vB “

m1 v1A ` m2 v2A m1 ` m 2

(4.78)

Pˇr´ıklad: Balistické kyvadlo (obr. 37). Rozbor pokusu na zjiˇstˇen´ı rychlosti stˇrely. Mˇeˇr´ıme nejvˇetˇs´ı u ´hlovou v´ ychylku ϕ, které kyvadlo dos´ ahne po zásahu stˇrelou o hmotnosti m let´ıc´ı rychlost´ı vs . Rychlost soustavy stˇrela - kvádr po r´ azu bude dle (4.78) vK “

ms v s ms ` M

(4.79)

kde M je hmotnost bloku kyvadla. Pˇri dosaˇzen´ı maximáln´ı v´ ychylky se kinetick´ a energie dan´ a (4.79) zmˇen´ı na potenciáln´ı energii m2s vs2 1 “ pms ` M qgh pms ` M q 2 pms ` M q2 1 m2s vs2 “ gh 2 pms ` M q2

(4.80)

h vyj´ adˇr´ıme podle obr. 37 jako h “ L ´ L cos ϕ “ Lp1 ´ cos ϕq kde L je délka závˇesu, dosad´ıme do (4.80) a vypoˇc´ıt´ ame vs

(4.81)


60

ϕ

L

L

h

~vs

ms

M

Obr´ azek 37: Pohyb balistického kyvadla po dokonale nepruˇzném r´ azu se stˇrelou.

m2

m1

~v1A ~v2A (a) situace pˇred rázem

m1

m2

~v1B ~v2B (b) situace po rázu

Obr´ azek 38: Pruˇzn´ y jednorozmˇern´ y r´ az.

pms ` M q2 2gLp1 ´ cos ϕq m2s ms ` M a 2gLp1 ´ cos ϕq vs “ ms

vs2 “

(4.82)

Pruˇzn´ y jednorozmˇern´ y r´ az Chov´ an´ı tˇeles pˇred r´ azem a po r´ azu je zakresleno na obr. 38. Obdobnˇe jako v pˇredchoz´ım pˇr´ıpadˇe plat´ı zákon zachov´ an´ı hybnosti, tˇelesa se vˇsak pˇri r´ azu nespoj´ı. M˚ uˇzeme ps´ at m1 v1A ` m2 v2A “ m1 v1B ` m2 v2B

(4.83)

V rovnici (4.83) vystupuje 6 neznám´ ych. Mus´ıme zn´ at 5 veliˇcin k urˇcen´ı ˇsesté. Dokonale pruˇzn´ y jednorozmˇern´ y r´ az Situace se zjednoduˇs´ı v pˇr´ıpadˇe dokonale pruˇzného r´ azu, pˇri kterém nedocház´ı k dissipaci energie a plat´ı tedy zákon zachov´ an´ı mechanické energie. Pak máme 2 v´ ychoz´ı rovnice, které dále upravujeme (uvaˇzujeme pouze x-ové sloˇzky rychlosti) m1 v1A ` m2 v2A “ m1 v1B ` m2 v2B 1 1 1 1 2 2 2 2 m1 v1A ` m2 v2A “ m1 v1B ` m2 v2B 2 2 2 2 m1 pv1A ´ v1B q “ m2 pv2B ´ v2A q

(4.84)

2 2 2 2 m1 pv1A ´ v1B q “ m2 pv2B ´ v2A q

Podˇel´ıme-li druhou rovnici prvn´ı, dostaneme v1A ` v1B “ v2A ` v2B v1A ´ v2A “ ´pv1B ´ v2B q

(4.85)


61

Vid´ıme, ˇze relativn´ı rychlosti obou tˇeles se zachov´ avaj´ı, pˇri r´ azu vˇsak mˇen´ı znaménko. Uvaˇzujme nyn´ı, ˇze jedno z tˇeles bylo pˇred sráˇzkou v klidu, napˇr. v2A “ 0. Pak z podm´ınek (4.84) a (4.85) dostaneme m1 v1A “ m1 v1B ` m2 v2B v1A ` v1B “ v2B

(4.86)

Dosad´ıme-li za v2B do prvn´ıho vztahu, máme m1 v1A “ m1 v1B ` m2 v1A ` m2 v1B

(4.87)

m1 ´ m2 m1 ` m2

(4.88)

˙ 2m1 m1 ´ m2 ` 1 “ v1A m1 ` m2 m1 ` m2

(4.89)

v1B “ v1A

v2B “ v1A

ˆ

Uvaˇzme nyn´ı nˇekolik speciáln´ıch pˇr´ıpad˚ u relativn´ıch hmotnost´ı koliduj´ıc´ıch tˇeles: a) m1 “ m2 , pak z (4.88) v1B “ 0 a z (4.89) v2B “ v1A . Tˇeleso, které bylo p˚ uvodnˇe v klidu, se po r´ azu pohybuje rychlost´ı rovnou rychlosti druhého tˇelesa pˇred r´ azem, zat´ımco druhé tˇeleso se zastav´ı. Tento v´ ysledek znal jiˇz Jan Marek z Marku v 17. stolet´ı. b) m1 " m2 , pak z (4.88) v1B « v1A a z (4.89) v2B « 2v1A . Vˇetˇs´ı tˇeleso pokraˇcuje dále a u ´bytek jeho rychlosti je mal´ y. Menˇs´ı tˇeleso odskoˇc´ı s témˇeˇr dvojn´ asobnou rychlost´ı oproti p˚ uvodn´ı rychlosti vˇetˇs´ıho tˇelesa. c) m1 ! m2 , pak z (4.88) v1B « ´v1A a z (4.89) v2B « 0. Lehˇc´ı tˇeleso se odraz´ı pˇribliˇznˇe s toutéˇz rychlost´ı, jako byla jeho rychlost pˇred r´ azem, zat´ımco tˇeˇzˇs´ı tˇeleso z˚ ust´ av´ a pˇribliˇznˇe v klidu. Pozn´ amka k ˇsikm´ ym (dvourozmˇern´ ym r´ az˚ um) V pˇr´ıpadˇe, kdy rychlosti koliduj´ıc´ıch tˇeles sv´ıraj´ı nˇejak´ y obecn´ y u ´hel, mus´ıme r´ azy uvaˇzovat jako v´ıcerozmˇerné. Pokud i zde zanedb´ ame vlastn´ı rotaˇcn´ı pohyb, m˚ uˇzeme aplikovat zákon zachov´ an´ı hybnosti, ale ve vektorové podobˇe p~1A ` p~2A “ p~1B ` p~2B

(4.90)

odkud plyne, ˇze se hybnost zachov´ av´ a ve sloˇzk´ ach px , py , pz . Pˇri pruˇzném r´ azu tˇelesa na pevnou stˇenu se tak u ´hel dopadu mus´ı rovnat u ´hlu odrazu. Statika tuh´ eho tˇ elesa Zjednoduˇsen´ı prostorové soustavy sil P˚ usob´ı-li na tˇeleso v témˇze bodˇe dvˇe stejnˇe velké protismˇerné s´ıly F~ a ´F~ (obr. 4.39a, ruˇs´ı se navzájem, jejich v´ yslednice je nulov´ a a na pohyb tˇelesa nemaj´ı vliv. Stejnˇe je tomu, p˚ usob´ı-li s´ıly nikoli v jednom bodˇe, ale v jedné pˇr´ımce (tˇeleso je dokonale tuhé), jak je zn´ azornˇeno na obr. 4.39b. S´ıla je tedy v tuhém tˇelese vektor v´ azan´ y na pˇr´ımku (paprsek s´ıly) a m˚ uˇzeme j´ı ve smˇeru této pˇr´ımky ~ ~ libovolnˇe posouvat. Takto m˚ uˇzeme sloˇzit dvˇe r˚ uznobˇeˇzné s´ıly F1 a F2 , maj´ıc´ı r˚ uzná p˚ usobiˇstˇe v tuhém tˇelese (obr. 40). Dále, p˚ usob´ı-li s´ıla F~ v bodˇe o polohovém vektoru ~r tuhého tˇelesa (obr. 41), m˚ uˇzeme j´ı rovnobˇeˇznˇe posunout do libovolného bodu O tak, ˇze v tomto bodˇe pˇripoj´ıme dvˇe stejnˇe velké protismˇerné s´ıly F~ 1 a ´F~ 1 pF~ “ F~ 1 q, které jsou v rovnov´ aze. Vedle pˇrenesené s´ıly F~ 1 pak zb´ yvaj´ı dvˇe opaˇcnˇe orientované s´ıly ´F~ 1 a F~ , které se neruˇs´ı, ale tvoˇr´ı dynamick´ y prvek, kter´ y naz´ yváme dvojic´ı sil. Vypoˇcteme moment této dvojice vzhledem k libovolnému bodu O1 ~ “ p~r1 ˆ F~ q ` p~r2 ˆ ´F~ q “ p~r1 ´ ~r2 q ˆ F~ “ ~r ˆ F~ M

(4.91)

Vid´ıme, ˇze moment dvojice sil nezávis´ı na volbˇe vztaˇzného bodu, ale pouze na vzdálenosti p˚ usobiˇst’ jednotliv´ ych sil. Je to tedy voln´ y vektor, kter´ y m˚ uˇzeme pˇrenést do libovolného m´ısta v tuhém tˇelese, zachov´ ame-li jeho velikost a orientaci v prostoru. Smˇer momentu dvojice sil urˇc´ıme jako obvykle dle pravidla pravotoˇcivého ˇsroubu. Silov´ a dvojice vznikaj´ıc´ı rovnobˇ eˇ zn´ ym posunut´ım s´ıly v tuh´ em tˇ elese se jmenuje doplˇ nkov´ a dvojice sil. V dokonale tuh´ em tˇ elese m˚ uˇ zeme kaˇ zdou s´ılu posunout do libovoln´ eho bodu O,

62


F~ F~ ´F~

´F~ ´F~ (a) p˚ usoben´ı stejnˇe velk´ ych protismˇern´ ych sil v jednom bodˇe

(b) pˇrenesen´ı s´ıly v jej´ım paprsku

Obr´ azek 39: P˚ usoben´ı sil na dokonale tuhé tˇeleso

F~1

F~1

F~2

F~ F~2

Obr´ azek 40: Skl´ adán´ı r˚ uznobˇeˇzn´ ych sil p˚ usob´ıc´ıch na tuhé tˇeleso.


63

O1 ~r1

F~ 1 F~

~r2 ~r

O ´F~ 1

Obr´ azek 41: Posunut´ı s´ıly F~ do bodu mimo jej´ı paprsek. pˇ ripoj´ıme-li doplˇ nkovou dvojici sil, jej´ıˇ z moment je co do smˇ eru i velikosti roven momentu p˚ uvodn´ı s´ıly vzhledem k nov´ emu p˚ usobiˇ sti O. P˚ usob´ı-li na tˇeleso soustava sil F~1 , . . . , F~N v r˚ uzn´ ych p˚ usobiˇst´ıch, jejichˇz poloha je vzhledem k libovolnému bodu O dána pr˚ uvodiˇci ~r1 , . . . , ~rN , m˚ uˇzeme tuto soustavu nahradit jedinou silou ~ “ R

N ÿ

F~i

(4.92)

i“1

p˚ usob´ıc´ı v bodˇe O a doplˇ nkovou dvojic´ı sil, pro jej´ıˇz moment plat´ı ~ “ M

N ÿ

~i “ M

i“1

N ÿ

~ri ˆ F~i

(4.93)

i“1

Rovnov´ aha tuhého tˇelesa ˇ ıkáme, ˇze tuhé tˇeleso je v rovnov´ R´ aze, jestliˇze v´ yslednice vnˇejˇs´ıch sil p˚ usob´ıc´ıch na tˇeleso je rovna nule, tj. F~ pEq “ 0

(4.94)

a v´ ysledn´ y moment vnˇejˇs´ıch sil p˚ usob´ıc´ıch na tˇeleso je roven nule, t.j. ~ pEq “ 0 M

(4.95)

pEq V pˇredchoz´ım v´ ykladu jsme vidˇeli, ˇze p˚ usoben´ı vnˇejˇs´ıch sil F~i v r˚ uzn´ ych bodech tˇelesa lze nahradit v´ yslednic´ı tˇechto sil p˚ usob´ıc´ıch v nˇejakém bodˇe O a doplˇ nkovou dvojic´ı sil. Pokud bude tato v´ yslednice nulov´ a, bude nulov´ y také jej´ı moment v˚ uˇci libovolnému vztaˇznému bodu O1 . Moment vnˇejˇs´ıch sil bude v tomto pˇr´ıpadˇe roven momentu doplˇ nkové dvojice sil, která vznikne pˇrenesen´ım vˇsech sil do bodu O. Tento moment vˇsak podle (4.91) nezávis´ı na volbˇe vztaˇzného bodu.

T

T

T

(a) stálá (stabiln´ı)

(b) vratká (labiln´ı)

(c) volná (indiferentn´ı)

Obr´ azek 42: Rovnov´ aˇzn´ a poloha tuhého tˇelesa.

64


Podm´ınky rovnov´ ahy tuhého tˇelesa lze pak zformulovat do jediné vˇety. Tˇ eleso je v rovnov´ aze, kdyˇ z v´ yslednice vnˇ ejˇ s´ıch sil F~ pEq p˚ usob´ıc´ıch na tˇ eleso a moment ~ M v´ ysledn´ e dvojice sil jsou rovny nule. Rozebereme nyn´ı struˇcnˇe na konkrétn´ım pˇr´ıkladu koule a misky ˇci vodorovné podloˇzky moˇzné rovnov´ aˇzné polohy tˇelesa (obr. 42) a) vych´ ylen´ı vede ke vzr˚ ustu potenciáln´ı energie a následnému samovolnému návratu do v´ ychoz´ı polohy b) vych´ ylen´ı vede k poklesu potenciáln´ı energie a samovolnému vzdalov´ an´ı od v´ ychoz´ı polohy c) vych´ ylen´ı nem´ a vliv na potenciáln´ı energii. Pohybov´ a rovnice pro ot´ aˇ cen´ı tˇ elesa kolem pevn´ e osy ~ ~ , kde ~b je moment hybnosti tˇelesa vzhledem k libovolnému Vyjdeme z druhé impulsové vˇety ddtb “ M ~ pevnému bodu a M je v´ ysledn´ y moment vnˇejˇs´ıch sil p˚ usob´ıc´ıch na tˇeleso vzhledem k témuˇz bodu. Necht’ je t´ımto bodem bod A na ose rotace (obr. 43) Moment hybnosti nˇekterého bodu tˇelesa, napˇr. B, je dán vektorov´ ym souˇcinem

~bi “ ~ri ˆ mi~vi

(4.96)

kde ~ri je pr˚ uvodiˇc veden´ y z bodu A do bodu B. Moment hybnosti je kolm´ y na rovinu tvoˇ renou vektory ~ri a ~vi a nen´ı rovnobˇ eˇ zn´ y s osou rotace. Rozloˇz´ıme jej proto na sloˇzky ~biK a ~biR , z nichˇz prvn´ı je kolm´ a k ose rotace a druh´ a je s osou rotace rovnobˇeˇzn´ a. Stejnˇe rozloˇz´ıme i moment vnˇejˇs´ıch sil. Druhou impulsovou vˇetu pak lze pˇrepsat N N N d ÿ~ d ÿ~ d ÿ~ d~b ~ “M ~K `M ~R “ bi “ biK ` biR “ M dt dt i“1 dt i“1 dt i“1

(4.97)

Tˇeleso ot´ aˇcej´ıc´ı se kolem pevné osy má 1 stupeˇ n volnosti a zmˇena jeho pohybového stavu závis´ı pouze v pˇr´ır˚ ustku d~ ωu ´hlové rychlosti ω ~ (zrychlen´ı nebo zpomalen´ı ot´ aˇcen´ı). Zmˇenu d~ ω m˚ uˇze zp˚ usobit jen sloˇzka ~ momentu MR , která má t´ yˇz smˇer jako d~ ω . Z druhé impulsové vˇety se uplatn´ı pouze ˇcást N d ÿ~ ~R biR “ M dt i“1

(4.98)

o ω ~ ~ri1 ~bi

α ~biK

B ~biR α

~ri

A

Obr´ azek 43: Rotace tˇelesa kolem pevné osy.

~vi


65

Tuto rovnici lze upravit dle obr. 43 |~biR | “ |~bi | sin α “ |~ri ˆ mi~vi | sin α “ pri vi mi q sin α “ ri2 sin2 pαqmi ω “ mi ri12 ω

(4.99)

kde zˇrejmˇe plat´ı vi “ ωri sin α. Protoˇze ~biR a ω ~ jsou rovnobˇeˇzné, plat´ı také ~biR “ mi r12 ω i ~

(4.100)

Dosad´ıme nyn´ı ze (4.99) do (4.98) N N d d ÿ d ÿ~ mi ri12 ω ~ “ biR “ dt i“1 dt i“1 dt

«˜

N ÿ

mi ri12

i“1

¸ ff

~R ω ~ “M

(4.101)

V´ yraz v kulaté závorce pˇredstavuje moment setrvaˇcnosti tˇelesa vzhledem k ose rotace. Oznaˇc´ıme-li ~R “ M ~ , máme koneˇcnˇe jeˇstˇe M d d~ ω ~ pJ~ ωq “ J “ J~ε “ M dt dt kde ~ε je u ´hlové zrychlen´ı. Protoˇze osa rotace má stálou orientaci, lze ps´ at skal´ arnˇe

(4.102)

dω d2 ϕ “J 2 “M (4.103) dt dt Ze srovn´ an´ı (4.102) s druhou impulsovou vˇetou (4.98) plyne, ˇze sloˇzka momentu hybnosti do smˇeru osy rotace je dána Jε “ J

~bR “ J~ ω

(4.104)

Rovnice (4.102) a (4.103) jsou pohybov´ ymi rovnicemi tˇelesa pro ot´ aˇcen´ı kolem pevné osy. Pokud docház´ı bˇehem ot´ aˇcen´ı ke zmˇen´ am konfigurace soustavy hmotn´ ych bod˚ u ˇci ke zmˇen´ am tvaru tuhého tˇeles, plat´ı ve tvaru d ~ pJ~ ωq “ M dt

(4.105)

~ “ 0 a zákon zachov´ Pokud je takov´ a soustava izolovaná, je M an´ı momentu hybnosti má tvar J~ ω “ konst.,

Jω “ konst.

(4.106)

tedy v r˚ uzn´ ych okamˇzic´ıch J 1 ω1 “ J 2 ω2

(4.107)

Pokles momentu setrvaˇcnosti vzhledem k pevné ose rotace vede k r˚ ustu u ´hlové rychlosti, ˇcehoˇz vyuˇz´ıvaj´ı napˇr. krasobruslaˇri pˇri piruetách. alce o polomˇeru podstavy R a hmotnosti M Pˇr´ıklad: Vrat’me se jeˇstˇe jednou k valen´ı homogenn´ıho v´ po naklonˇené rovinˇe, sv´ıraj´ıc´ı s horizont´ aln´ı rovinou u ´hel α (obr. 44) a nalezneme hmotné zrychlen´ı aS hmotného stˇredu pomoc´ı obou impulsov´ ych vˇet. Dle vˇety o pohybu hmotného stˇredu plat´ı M~aS “ F~ ´ F~t

(4.108)

kde F~ “ M g sin α je urychluj´ıc´ı sloˇzka t´ıhy a F~t je s´ıla vyvolan´ a valiv´ ym tˇren´ım. Protoˇze vˇsechny vektory leˇz´ı ve stejném smˇeru, lze vztah (4.108) zapsat i skal´ arnˇe M aS “ M g sin α ´ Ft

(4.109)

Nenulov´ y moment v˚ uˇci hmotnému stˇredu má pouze s´ıla valivého tˇren´ı F~t , druh´ a impulsov´ a vˇeta bude m´ıt tvar (skal´ arnˇe) Jε “ J

aS “ Ft R R

(4.110)

ˇ sen´ım soustavy rovnic (4.109) a (4.110) z´ısk´ Reˇ ame opˇet v´ ysledek (4.65) aS “ 23 g sin α (pˇrenecháv´ ame posluchaˇci). Fyzické a matematické kyvadlo


66

~aS

F~ S R F~t ~ G

α Obr´ azek 44: Silové p˚ usoben´ı pˇri valen´ı po naklonˇené rovinˇe.

O

O

α

a

l

α T x

m~g (b) matematické

(a) fyzické Obr´ azek 45: Kyvadlo

Fyzick´ e kyvadlo je kaˇzdé tˇeleso otoˇcné bez tˇren´ı kolem vodorovné osy neprocházej´ıc´ı tˇeˇziˇstˇem. Jeli ϕ okamˇzit´ a v´ ychylka tˇeˇziˇstˇe z rovnov´ aˇzné polohy, mg t´ıha kyvadla, kterou si mysl´ıme soustˇredˇenou v tˇeˇziˇsti, a a je vzdálenost tˇeˇziˇstˇe od osy rotace, p˚ usob´ı na kyvadlo dle obr. 45a moment M “ ´mga sin ϕ

(4.111)

Moment zde p˚ usob´ı proti v´ ychylce, proto jej oznaˇcujeme záporn´ ym znaménkem. Dle (4.103) bude Jε “ J ˇcili

d2 ϕ “ ´mga sin ϕ dt2

d2 ϕ mga ` sin ϕ “ 0 dt2 J

Pro malé v´ ychylky lze poloˇzit sin ϕ „ ϕ a oznaˇc´ıme-li dále

(4.112)

(4.113) mga J

“ ω 2 “ konst., dostaneme rovnici

d2 ϕ ` ω2 ϕ “ 0 (4.114) dt2 která je shodn´ a s diferenciáln´ı rovnic´ı netlumeného harmonického pohybu. Perioda kmitavého pohybu kyvadla je pak


67

2π “ 2π T “ ω

d

J mga

(4.115)

a p˚ ulperioda (doba kyvu) ˇcin´ı polovinu této hodnoty. Vˇsimneme si, ˇze perioda nezávis´ı na maximáln´ı v´ ychylce z rovnov´ aˇzné polohy. Chyba vzniklá nahrazen´ım skuteˇcného pohybu kyvadla harmonick´ ym pohybem ˇcin´ı pˇri maximáln´ı v´ ychylce 1˝ asi 0, 002%, pˇri v´ ychylce 5˝ asi 0, 05%. Matematick´ ym kyvadlem naz´ yváme hmotn´ y bod o hmotnosti m zavˇeˇsen´ y na tuhém vláknu délky l, jehoˇz hmotnost je zanedbateln´ a (obr. 45b). Moment setrvaˇcnosti matematického kyvadla je J “ ml2 a perioda bude dle (4.115) s dosazen´ım a “ l d d ml2 l T “ 2π “ 2π (4.116) mgl g Délka lr závˇesu matematického kyvadla, které k´ yvá stejnˇe jako fyzické kyvadlo, se naz´ yvá redukovan´ a d´ elka fyzick´ eho kyvadla. Lze ukázat, ˇze opatˇr´ıme-li fyzické kyvadlo druh´ ym bˇritem ve vzdálenosti lr od prvn´ıho, takˇze obˇe osy kyvu jsou poloˇzeny asymetricky vzhledem k tˇeˇziˇsti ˇci symetricky se vzdálenosti rovnou polomˇeru setrvaˇcnosti R, bude kyvadlo k´ yvat kolem obou os se stejnou periodou. Takové kyvadlo se naz´ yvá reverzn´ı a pouˇz´ıvá se k pˇresnému mˇeˇren´ı t´ıhového zrychlen´ı na základˇe mˇeˇren´ı periody. Pozn´ amky k rotaci pevného bodu, hlavn´ı osy setrvaˇcnosti (nebude vyˇzadováno ke zkouˇsce) Podle Chaslesovy vˇety je moˇzno obecn´ y pohyb rozloˇzit na translaˇcn´ı pohyb bodu pevného v tˇelese a rotaci tˇelesa kolem tohoto bodu. Pˇri okamˇzité u ´hlové rychlosti tˇelesa ω ~ je okamˇzit´ a rychlost ~ui nˇekterého bodu tˇelesa, pˇr´ısluˇsej´ıc´ı jeho rotaˇcn´ımu pohybu ~ui “ ω ~ ˆ~ri , kde ~ri je pr˚ uvodiˇc bodu vzhledem k pevnému bodu v tˇelese. Moment hybnosti tohoto bodu bude ~bi “ ~ri ˆ mi ~ui “ mi~ri ˆ p~ ω ˆ ~ri q

(4.117)

a moment hybnosti celého tˇelesa ~b “

N ÿ

mi~ri ˆ p~ ω ˆ ~ri q

(4.118)

i“1

vyuˇzit´ım vzorce pro sloˇzen´ y vektorov´ y souˇcin ~a ˆ p~b ˆ ~cq “ p~a ¨ ~cq~b ´ p~a ¨ ~bq~c dostaneme ~b “

N ÿ

mi rri2 ω ~ ´ p~ ω ¨ ~ri q~ri s

(4.119)

i“1

Vid´ıme, ˇze pouze prvn´ı ze sˇc´ıtanc˚ u na pravé stranˇe má smˇer rovnobˇeˇzn´ y s ~b, takˇze celkov´ y moment hybnosti nen´ı obecnˇe rovnobˇeˇzn´ y s vektorem u ´hlové rychlosti. Toto je pˇr´ıˇcina sloˇzitého chov´ an´ı tuh´ ych tˇeles pˇri rotaci kolem pevného bodu. Nav´ıc jsou vˇsechny tˇri veliˇciny ~b, ~ri a ω ~ ve (4.119) ˇcasovˇe závislé. Rovnici (4.119 lze zjednoduˇsit, vybereme-li k popisu rotace nam´ısto laboratorn´ı soustavy soustavu spojenou s rotuj´ıc´ım tˇelesem, takˇze jejich poˇcátky spl´ yvaj´ı (jsou um´ıstˇeny v bodˇe, v˚ uˇci nˇemuˇz rotaci uvaˇzujeme). Pak budou polohové vektory ~ri ˇcasovˇe nepromˇenné a vektorovou rovnici (4.119) bude moˇzno formálnˇe zapsat jako ~b “ J ω ~ kde J má charakter matice (z matematického hlediska ¨ Jxx Jxy J “ ˝Jyx Jyy Jzx Jzy

(4.120) jde o veliˇcinu tenzorové povahy) ˛ Jxz Jyz ‚ Jzz

(4.121)

V´ yznam sloˇzek matice je následuj´ıc´ı: diagonáln´ı ˇcleny ud´ avaj´ı moment setrvaˇcnosti vzhledem k pˇr´ısluˇsné ˇ souˇradné ose soustavy ot´ aˇcej´ıc´ı se s tˇelesem. Cleny se sm´ıˇsen´ ymi indexy, pro které plat´ı Jxy “ Jyx atd. se naz´ yvaj´ı deviaˇcn´ımi momenty a souvis´ı s momenty odstˇrediv´ ych sil, které p˚ usob´ı na okamˇzitou osu rotace tˇelesa. Souˇradnou soustavu spjatou s tˇelesem lze zvolit tak, aby deviaˇcn´ı momenty byly rovny nule. Souˇradné osy takové soustavy splynou pak s v´ yznaˇcn´ ymi osami symetrie zkoumaného tˇelesa a budeme je naz´ yvat hlavn´ımi osami setrvaˇ cnosti. Známe-li momenty setrvaˇcnosti vzhledem k hlavn´ım osám setrvaˇcnosti, m˚ uˇzeme snadno vypoˇc´ıtat moment setrvaˇcnosti v˚ uˇci libovolné ose procházej´ıc´ı poˇcátkem soustavy souˇradné.

68


z

y ~ν x

c u b a Obr´ azek 46: K v´ ypoˇctu momentu setrvaˇcnosti. Bude platit J “ νx2 Jxx ` νy2 Jyy ` νz2 Jzz

(4.122)

kde νi jsou sloˇzky jednotkového vektoru ve smˇeru osy. Pˇr´ıklad: Máme urˇcit moment setrvaˇcnosti vzhledem k tˇelesové u ´hlopˇr´ıˇcce homogenn´ıho kvádru, zn´ ame-li hlavn´ı momenty setrvaˇcnosti Jxx , Jyy , Jzz (obr. 46) Souˇradnice jednotkového vektoru ve smˇeru tˇelesové u ´hlopˇr´ıˇcky jsou zˇrejmˇe a νx “ ‘ a 2 ` b2 ` c 2 b νy “ ‘ 2 a ` b2 ` c 2

(4.123)

c νz “ ‘ a 2 ` b2 ` c 2

V´ yraz (4.122) pak dáv´ a pro v´ ysledn´ y moment setrvaˇcnosti J“

aJxx ` bJyy ` cJzz ‘ a 2 ` b2 ` c 2

(4.124)

Kapitola 5

Mechanika kontinua 5.1.

Z´ akladn´ı pojmy mechaniky kontinua

Pro vyˇsetˇrov´ an´ı pohybu plyn˚ u, kapalin a pro vyˇsetˇrov´ an´ı mechanick´ ych dˇej˚ u, pˇri nichˇz se mˇen´ı vzájemná vzdálenost jednotliv´ ych bod˚ u pevné l´ atky zav´ ad´ıme pˇredstavu spojitého prostˇred´ı - kontinua. Struktura pevn´ ych l´ atek neodpov´ıdá pˇredstavˇe spojitého prostˇred´ı, pˇresto lze makroskopick´ y popis pohybu kapalin a plyn˚ u, stejnˇe jako deformaˇcn´ı chov´ an´ı pevn´ ych l´ atek na základˇe této pˇredstavy dobˇre provést. V mechanice kontinua pˇripisujeme charakteristické veliˇciny prostˇred´ı k jednotliv´ ym geometrick´ ym bod˚ um. To je matematick´ a abstrakce, která umoˇzn´ı vyuˇz´ıt rozpracovanou teorii funkc´ı v´ıce promˇenn´ ych. Z fyzik´ aln´ıho hlediska chápeme veliˇciny jako pr˚ umˇerné hodnoty z tak velkého okol´ı bodu, aby se v tomto okol´ı jiˇz neprojevovala nespojit´ a struktura l´ atky. S´ıly v kontinuu, napˇ et´ı a deformace S´ıly v kontinuu lze podle jejich p˚ usoben´ı rozdˇelit na objemov´ e a ploˇ sn´ e. Objemové s´ıly p˚ usob´ı souˇcasnˇe na vˇsechny ˇcástice (elementy) kontinua. Typickou objemovou silou je s´ıla t´ıhov´ a. Ploˇsné s´ıly p˚ usob´ı na povrch vyˇsetˇrované ˇcásti kontinua a maj´ı za následek obecnˇe deformaci kontinua. Pˇri deformaci kontinua dojde tedy ke zmˇenˇe rovnov´ aˇzné polohy ˇcástic, coˇz má za následek vznik sil mezi ˇcásticemi, které se snaˇz´ı kontinuum vrátit do p˚ uvodn´ıho stavu. Deformace kontinua dos´ ahne koneˇcného stavu, kdyˇz s´ıly mezi ˇcásticemi jsou schopny odol´ avat vnˇejˇs´ımu p˚ usoben´ı. Deformované kontinuum se dost´ av´ a do stavu napjatosti. Charakterizujeme jej veliˇcinou, která se naz´ yvá napˇ et´ı. Pojem napˇet´ı lze pochopit na základˇe myˇsleného pokusu: vydˇel´ıme v dokonale pruˇzném kontinuu malou oblast ohraniˇcenou kulovou plochou. Budeme-li nyn´ı kontinuum nap´ınat tahovou silou (p˚ usob´ıc´ı v jednom smˇeru), pˇretvoˇr´ı se koule obecnˇe v trojos´ y elipsoid. Kdybychom tento elipsoid vyˇ nali z kontinua, nabyl by p˚ uvodn´ıho tvaru. Tvar elipsoidu bychom zachovali, pokud bychom na nˇej p˚ usobili stejn´ ymi silami, jako na nˇej p˚ usobilo jeho okol´ı, kdyˇz byl v kontinuu. Lze tak nahradit vnitˇrn´ı p˚ usoben´ı okol´ı na vyˇsetˇrovanou ˇcást kontinua p˚ usoben´ım vnˇejˇs´ım, které je moˇzno kvantitativnˇe vyj´ adˇrit. S´ıly jsou rozdˇeleny po ploˇse vyˇsetˇrované ˇcásti kontinua a pod´ılem dF~ (5.1) dS kter´ y má koneˇcnou hodnotu, je vyj´ adˇreno napˇet´ı v pˇr´ısluˇsném m´ıstˇe myˇslené plochy, která oddˇeluje navz´ ajem r˚ uzné ˇcásti kontinua v napjatém stavu. Z principu akce a reakce je zˇrejmé, ˇze s´ıla, kterou p˚ usob´ı jedna ˇcást kontinua na druhou, je stejnˇe velk´ a, ale opaˇcnˇe orientovaná neˇz s´ıla, kterou p˚ usob´ı druh´ a ˇcást na prvn´ı. Obecnˇe p˚ usob´ı element´ arn´ı s´ıla dF~ v libovolném smˇeru vzhledem k normále ~n pˇr´ısluˇsného elementu plochy dS. Lze ji pak prom´ıtnout do normály k elementu plochy dS a do teˇcné roviny k elementu plochy dS. Z´ısk´ ame tak normálovou s´ılu dF~n a teˇcnou s´ılu dF~t a pod´ıly ~σ “

~σn “

dF~n dS

(5.2)

~τ “

dF~t dS

(5.3)

urˇcuj´ı norm´ alov´ e napˇ et´ı ~σn a teˇ cn´ e napˇ et´ı ~τ . Normálové napˇet´ı má charakter tahu nebo tlaku na ploˇsce dS dvou ˇcást´ı kontinua, které z obou stran k ploˇsce pˇriléhaj´ı, zat´ımco teˇcné napˇet´ı zp˚ usobuje zmˇenu tvaru jednotliv´ ych element˚ u namáhaného kontinua. Vrat’me se nyn´ı k myˇslenému pokusu s kulovou oblast´ı v kontinuu. Kdyby velikost normálového napˇet´ı byla na kulové ploˇse vˇsude stejn´ a, zmˇenil by se pouze polomˇer kulové plochy, nikoli vˇsak tvar. K pˇrechodu v elipsoid je tˇreba, aby normálové napˇet´ı v jednotliv´ ych m´ıstech plochy byla r˚ uznˇe veliká a s t´ım pˇr´ımo souvis´ı pˇr´ıtomnost teˇcn´ ych napˇet´ı. 69

70

KAPITOLA 5. MECHANIKA KONTINUA

y

y

y

τyx

τyz τyy

τxx τzx z

τxz

τxy

x

τzy

x

z

τzz

x

z

Obr´ azek 47: Sloˇzky tenzoru napˇet´ı. ˇ ıselnˇe ud´ Jednotkou napˇet´ı je pascal (Pa), tedy N m´2 . C´ av´ a napˇet´ı s´ılu p˚ usob´ıc´ı na ploˇse jednotkového ploˇsného obsahu. Kolem kaˇzdého bodu kontinua si m˚ uˇzeme pˇredstavit malou oblast omezenou kulovou plochou, která se pˇremˇen´ı v elipsoid, je-li tˇeleso v napjatém stavu. 3 osy elipsoidu maj´ı tu vlastnost, ˇze v jejich smˇeru jsou s´ıly, kter´ ymi okol´ı na elipsoid p˚ usob´ı, kolmé k jeho povrchu. V tˇechto smˇerech existuj´ı pouze normálov´ a napˇet´ı, zat´ımco v ostatn´ıch smˇerech budou existovat napˇet´ı normálov´ a i teˇcn´ a. Tato tˇri normálov´ a napˇet´ı se naz´ yvaj´ı hlavn´ımi napˇet´ımi (je zde analogie s hlavn´ımi momenty setrvaˇcnosti). Jedno z nich má maximáln´ı velikost a jedno minimáln´ı velikost. Hodnoty ostatn´ıch normálov´ ych napˇet´ı leˇz´ı mezi nimi. Vytknˇeme nyn´ı v napjatém tˇelese malou ploˇsku, pak element´ arn´ı ploˇsn´ a s´ıla dF~ i pˇr´ısluˇsné napˇet´ı dF~ {dS budou obecnˇe m´ıt jinou orientaci, neˇz je normála ~n k této ploˇsce. Pˇredstavme si, ˇze tato ploˇska leˇz´ı postupnˇe v rovin´ ach souˇradné soustavy xyz a proved’me rozklad vektoru napˇet´ı na d´ılˇc´ı napˇet´ı ve smˇeru os souˇradnic. Vˇsechna napˇet´ı oznaˇc´ıme znakem τ se dvˇema indexy, z nichˇz prvn´ı ud´ av´ a smˇer osy souˇradnic, v nˇemˇz napˇet´ı p˚ usob´ı a druh´ y smˇer, k nˇemuˇz je rovina, v n´ıˇz napˇet´ı p˚ usob´ı kolm´ a (smˇer normály ~n k této rovinˇe). Situace je zn´ azornˇena na obr. 47. Tato napˇet´ı lze pˇrehlednˇe uspoˇra´dat v matici ˛ ¨ τxx τxy τxz (5.4) τ “ ˝τyx τyy τyz ‚ τzx τzy τzz ˇ sme nyn´ı ot´ Reˇ azku, zda lze pomoc´ı tˇechto u ´daj˚ u urˇcit vektor napˇet´ı náleˇzej´ıc´ı libovolnˇe orientované ploˇsce procházej´ıc´ı bodem P , v˚ uˇci kterému jsme napˇet´ı τij pi, j “ x, y, zq urˇcili (bod P je poˇcátkem soustavy souˇradné v obr. 47). Necht’ je touto ploˇskou stˇena malého ˇctyˇrstˇenu (obr. 48), jehoˇz dalˇs´ı tˇri stˇeny leˇz´ı v rovin´ ach souˇradnic. Na ˇctyˇrstˇen p˚ usob´ı jednak ploˇsné s´ıly od okol´ı a jednak objemové s´ıly u ´mˇerné jeho hmotnosti. Objemové s´ıly jsou u ´mˇerné souˇcinu ∆x∆y∆z, zat´ımco ploˇsné s´ıly souˇcin˚ um ∆x∆y, ∆x∆z, ∆y∆z. Budeme-li ˇctyˇrstˇen zmenˇsovat, lze objemové s´ıly jakoˇzto veliˇcinu tˇret´ıho ˇra´du zanedbat oproti ploˇsn´ ym. P˚ usob´ı-li nyn´ı napjaté kontinum v ploˇse ∆S na ˇctyˇrstˇen silou ∆F~n , budou v rovnov´ aˇzném stavu jej´ı sloˇzky ve smˇeru os souˇradnic stejnˇe velké jako souˇcet opaˇcnˇe orientovan´ ych sil, jimiˇz v pˇr´ısluˇsném smˇeru p˚ usob´ı obklopuj´ıc´ı kontinuum, na ˇctyˇrstˇen v ostatn´ıch ploˇskách ∆Sx , ∆Sy , ∆Sz . Máme tedy ∆Fxn “ τxx ∆Sx ` τxy ∆Sy ` τxz ∆Sz ∆Fyn “ τyx ∆Sx ` τyy ∆Sy ` τyz ∆Sz

(5.5)

∆Fzn “ τzx ∆Sx ` τzy ∆Sy ` τzz ∆Sz Ploˇsky ∆Sx , ∆Sy , ∆Sz m˚ uˇzeme vyj´ adˇrit pomoc´ı ploˇsky ∆S a vektoru normály k n´ı ∆Sx “ ∆Snx , ∆Sy “ ∆Sny , ∆Sz “ ∆Snz

(5.6)

Dosad´ıme (5.6) do (5.5) a podˇelen´ım ∆S dostaneme v´ yrazy pro napˇet´ı (vˇsimneme si opˇet analogie se zápisem momentu setrvaˇcnosti pˇri rotaci kolem pevného bodu σxn “ τxx nx ` τxy ny ` τxz nz σyn “ τyx nx ` τyy ny ` τyz nz σzn “ τzx nx ` τzy ny ` τzz nz

(5.7)

´ Í POJMY MECHANIKY KONTINUA 5.1.. ZAKLADN

71

y ∆F~n

∆S

~n ∆y ∆Sx

∆Sz

P O

∆x x

∆z ∆Sy z ˇ rstˇen k urˇcen´ı rovnov´ Obr´ azek 48: Ctyˇ ahy vnitˇrn´ıch sil.

Stav napjatosti kontinua je tak jednoznaˇcnˇe pops´ an. Rovnici (5.7) lze s vyuˇzit´ım pravidla o násoben´ı vektor˚ u matic´ı zapsat jednoduˇse ~σn “ τ ~n

(5.8)

Matici τ danou pˇredpisem (5.8) naz´ yváme tenzorem napˇ et´ı. Z podm´ınek rovnov´ ahy nˇejaké ˇcásti napjatého kontinua lze uk´ azat, ˇze tento tenzor je symetrick´ y, tj. ˇze τxy “ τyx , τxz “ τzx , τyz “ τzy Pˇrejdˇeme nyn´ı k vyj´ adˇren´ı deformace pˇri obecné napjatosti, která je v kaˇzdém bodˇe kontinua urˇcena vektorem posunut´ı ~u. Je ~u “ ~r1 ´ ~r

(5.9) 1

kde ~r je pr˚ uvodiˇc oznaˇcuj´ıc´ı polohu vybraného m´ısta v nenapjatém kontinuu a ~r pr˚ uvodiˇc téhoˇz m´ısta v kontinuu napjatém. Toto posunut´ı je závislé na souˇradnic´ıch, m˚ uˇze se od m´ısta k m´ıstu mˇenit (jinak jde o pohyb celého kontinua). Postoup´ıme-li podél osy x o element dx, zmˇen´ı se posunut´ı o dux . Takovou deformaci ve smˇeru osy x oznaˇc´ıme εxx a p´ıˇseme pro ni εxx “

Bux Bx

(5.10)

Analogicky z´ısk´ ame v´ yrazy pro deformace ve smˇeru os y a z.

εyy “ εzz

Buy By

(5.10)

Buz “ Bz

Zb´ yvá urˇcit deformace zp˚ usobené smykov´ ymi napˇet´ımi, napˇr εxy (obr. 49). Obr. 49a ukazuje posunut´ı hranolu v d˚ usledku teˇcné s´ıly. Plat´ı pro nˇej γxy “ ux {y “ tan α, kde index x vyznaˇcuje, ˇze jde o posunut´ı ve smˇeru osy x a index y vyznaˇcuje, ˇze normála k ploˇsce, kde

72


y

y

y

ux

α

α

α

(a)

x

y

x

x úy

α (c)

(b) y

y

α

α α (d)

x

x

(e)

α (f)

x

Obr´ azek 49: Deformace hranolu pˇri prostém smyku. posunut´ı uvaˇzujeme má smˇer osy y. Deformace ˇctverce v t´ yˇz kosoˇctverec lze dos´ ahnout také posuvem rovnobˇeˇzn´ ym s osou y (obr. 49b), pro kter´ y plat´ı γyx “ uy {x “ tan α. Sloˇzen´ım obou deformac´ı dojde vˇsak pouze k pootoˇcen´ı hranolu jako celku o u ´hel α. Bude-li tedy γyx “ ´γxy

(5.11)

deformace nevznikne. K deformaci dojde, sloˇz´ıme-li vˇsak dva jednoduché smykové posuvy γxy a γyx (obr. 49d, e, f). Pˇritom nedojde k rotaci hranolu jako celku (´ uhlopˇr´ıˇcky ˇctverce nezmˇen´ı svou orientaci v prostoru). Tuto deformaci naz´ yváme prost´ ym smykem. Jedna z u ´hlopˇr´ıˇcek se zkrát´ı a druh´ a prodlouˇz´ı. Zmˇena pravého u ´hlu pˇri deformaci je pops´ ana u ´hlem α. Pˇri mal´ ych deformac´ıch je tan α « α, tedy αxy “ γxy “ γyx a 2αxy “ γxy ` γyx

(5.12)

Pomˇerná posunut´ı pˇr´ısluˇsn´ a smykov´ ym posuv˚ um v kolm´ ych smˇerech lze ps´ at γxy “ γyx

Bux By

(5.13)

Buy “ Bx

M´ıstn´ı zmˇena pravého u ´hlu pˇri deformaci v rovinˇe xy je pak vyj´ adˇrena v´ yrazem ˆ ˙ Buy 1 Bux ` αxy “ 2 By Bx

(5.14)

αxy naz´ yváme u ´ hlem smyku a pouˇzijeme pro nˇej oznaˇcen´ı αxy ” εxy (5.10) a (5.14) lze napsat soubornˇe ve formˇe ˆ ˙ Buj 1 Bui ` εij “ 2 Bj Bi

(5.15)

i, j “ x, y, z

(5.16)

´ Í POJMY MECHANIKY KONTINUA 5.1.. ZAKLADN

73

Poloˇzme poˇcátek soustavy souˇradné do bodu P , kter´ y se pˇri deformaci posune o ~u. Deformaci naz´ yváme homogenn´ı, jestliˇze sloˇzky vektoru ~u jsou pˇr´ımo u ´mˇerné souˇradnic´ım, napˇr. uy “ εyy ˇci uy “ αyx x “ εyx x. V pˇr´ıpadˇe homogenn´ı deformace máme pro sloˇzky vektoru posunut´ı dohromady ux “ εxx x ` εxy y ` εxz z uy “ εyx x ` εyy y ` εyz z

(5.17)

uz “ εzx x ` εzy y ` εzz z Souˇcinitele lze opˇet sepsat pˇrehlednˇe do matice ¨ εxx ε “ ˝εyx εzx

εxy εyy εzy

a 5.17 zapsat jako

˛ εxz εyz ‚ εzz

~u “ ε~r

(5.18)

(5.19)

tedy vztah mezi vektorem posunut´ı ~u a polohov´ ym vektorem ~r. Matice (5.19) je vyj´ adˇren´ım tenzoru mal´ ych deformac´ı a podle (5.14) je symetrick´ a, stejnˇe jako matice tenzoru napˇet´ı. Zd˚ uraznˇeme jeˇstˇe jednou, ˇze celá u ´vaha byla provedena pouze pro malé deformace. Ty jsou tedy pops´ any v kaˇzdém bodˇe 6 nezávisl´ ymi ˇc´ıseln´ ymi u ´daji. Z´ avislost deformace na ˇcase z´ısk´ ame derivac´ı tenzoru mal´ ych deformaci (5.16) dle ˇcasu Bεij Bt

ˆ ˙ ˆ ˙ 1 B Bui Buj B 2 uj 1 B 2 ui ` ` “ 2 Bt Bj Bi 2 BtBj BtBi ˆ 2 ˙ ˆ ˙ 2 1 Bvi B uj Bvj 1 B ui “ ` ` 2 BjBt BiBt 2 Bj Bi

“ “

(5.20)

kde jsme zamˇenili poˇrad´ı derivov´ an´ı a ˇcasové derivace vektoru posunut´ı nahradili sloˇzkami rychlosti. V´ yraz ˆ ˙ Bvj 1 Bvi ` Dij “ (5.21) 2 Bj Bi je rovnˇeˇz tenzorové povahy a naz´ yváme jej tenzorem rychlosti deformace. Rovnice rovnov´ ahy a pohybov´ a rovnice kontinua Na základˇe pˇredchoz´ıho v´ ykladu lze zformulovat následuj´ıc´ı závˇery: Rovnov´ aha kontinua nastane, bude-li v´ yslednice vˇsech vnˇejˇs´ıch sil (objemov´ ych i ploˇsn´ ych) p˚ usob´ıc´ıch na dané kontinuum nulov´ a, tedy F~v ` F~s “ 0

(5.22)

Je-li v´ yslednice tˇechto sil nenulov´ a, bude m´ıt element kontinua zrychlen´ı ~a a je moˇzno ps´ at F~v ` F~s “ m~a

(5.23)

Pˇredstav´ıme-li si nyn´ı oblast v kontinuu, které bude m´ıt objem V , bude uzavˇrená plochou S a hustota kontinua bude ρ, m˚ uˇzeme rovnici (5.23) vyj´ adˇrit v integr´ aln´ım tvaru ¡ £ ¡ 2 d ~u (5.24) ρI~V dV ` ~σ ds “ ρ 2 dV dt V

S

V

kde prvn´ı ˇclen na levé stranˇe pˇredstavuje celkovou objemovou s´ılu (I~V je intenzita, tj. objemov´ a s´ıla na jednotku hmotnosti), druh´ y ˇclen na levé stranˇe je celkov´ a ploˇsn´ a s´ıla (je vyznaˇcena integrace pˇres uzavˇrenou plochu) a ˇclen na pravé stranˇe ud´ av´ a integr´ aln´ı souˇcet souˇcin˚ u hmotnosti a zrychlen´ı vˇsech element˚ u oblasti V . Rovnice (5.24) je pohybovou rovnic´ı kontinua v integr´ aln´ım tvaru. Vyuˇz´ıvá se v mechanice tekutin. V dalˇs´ım v´ ykladu pojedn´ ame oddˇelenˇe o mechanice pevného kontinua (pevn´ ych l´ atek) a tekutého kontinua (plyn˚ u a kapalin).

74


ℓ ℓ1

∆ℓ Obr´ azek 50: Tyˇc ˇctvercového pr˚ uˇrezu namáhan´ a tahovou silou F .

5.2.

Deformace pevn´ ych l´ atek a Hooke˚ uv z´ akon

´ Ukolem nauky o deformaci pevn´ ych l´ atek (speciálnˇe pruˇznosti-elasticitˇe pevn´ ych l´ atek) je zjistit kvantitativn´ı vztah mezi deformacemi a napˇet´ımi, které v tˇelesech bud´ı vnˇejˇs´ı s´ıly. Tah a tlak Nejjednoduˇsˇs´ı je tzv. pˇr´ımkov´ a napjatost, pˇri které je tyˇc délky ℓ zat´ıˇzena silou F a prodlouˇz´ı se o ∆ℓ “ ℓ1 ´ ℓ (obr. 50) S´ıla F je kompenzov´ ana pˇr´ıtomnost´ı tuhého závˇesu a deformovaná tyˇc je proto v klidu. Vˇsechny ˇcásti tyˇce jsou namáhány stejnou silou a pˇredpokládáme-li, ˇze je tyˇc z homogenn´ıho materiálu, bude prodlouˇzen´ı ∆ℓ rovnomˇernˇe rozdˇeleno a mezi prodlouˇzen´ım a celkovou délkou tyˇce bude pˇri konstantn´ı s´ıle platit zˇrejm´ au ´mˇernost ∆ℓ „ ℓ

(5.25)

Bude-li m´ıt tyˇc vˇsude stejn´ y pr˚ uˇrez, bude vˇsude stejné i normálové napˇet´ı a vztah (5.2) bude moˇzno vyj´ adˇrit v integr´ aln´ı formˇe F (5.26) S Souvislost mezi deformac´ı a napˇet´ım v tˇelese popsal poprvé Hooke, kter´ y formuloval v´ ysledek svého pozorov´ an´ı vˇetou: Deformace je u ´ mˇ ern´ a napˇ et´ı materi´ alu. Tato vˇeta je zn´ am´ y Hooke˚ uv z´ akon, kter´ y plat´ı ovˇsem pro malé elastické deformace a malé napˇet´ı v tˇelese. Poznamenejme zde, ˇze elastick´ a (pruˇzn´ a) deformace je takov´ a, kdy po skonˇcen´ı p˚ usoben´ı vnˇejˇs´ı s´ıly tˇeleso se vrát´ı do p˚ uvodn´ıho stavu. Naproti tomu plastick´ a deformace vede k trval´ ym tvarov´ ym zmˇen´ am. V pˇr´ıpadˇe tyˇce namáhané tahem lze ps´ at s pˇrihlédnut´ım k (5.25) σn “

dℓ “ kℓdσn

(5.27)

kde k je l´ atkov´ a konstanta charakterizuj´ıc´ı deformovatelnost tˇelesa. Integrac´ı (5.27) z´ısk´ ame żℓ ℓ

1

dℓ “k ℓ

σ żn

dσn1

0

(5.28)

1

ℓ “ kσn ñ ℓ1 “ ℓekσn ℓ Vid´ıme, ˇze pˇri obecné deformaci nen´ı deformace u ´mˇerná napˇet´ı, ale roste dle exponenciáln´ıho zákona. U celé ˇrady l´ atek (kovy, keramiky) je vˇsak konstanta k velmi mal´ a, napˇr. pro ocel je 5.10´12 m2 N ´1 . Ocel 8 pˇritom odoláv´ a trvalé deformaci do napˇet´ı asi 200 MPa (2.10 N m´2 ). Exponent v (5.28) je pak menˇs´ı ´3 neˇz 10 a exponencielu lze nahradit prvn´ımi dvˇema ˇcleny Maclaurinova rozvoje ln

ekσn “ 1 ` kσn `

pkσn q2 ` . . . « 1 ` kσn 2

(5.29)

´ ´ ˚ ZAKON ´ 5.2.. DEFORMACE PEVNYCH LATEK A HOOKEUV

75

c b a Obr´ azek 51: Hranol podroben´ y vˇsestrannému kolmému tlaku. a máme tedy ℓ1 ´ ℓ “ ∆ℓ “ kℓσn

(5.30)

tedy lineárn´ı u ´mˇernost mezi prodlouˇzen´ım tyˇce a normálov´ ym napˇet´ım. Pomˇer ε“

ℓ1 ´ ℓ ∆ℓ “ ℓ ℓ

(5.31)

ud´ av´ a ˇc´ıselné prodlouˇzen´ı tyˇce jednotkové délky a naz´ yvá se pomˇ ern´ e prodlouˇ zen´ı. (5.30) pak pˇrejde do tvaru ε “ kσn

(5.32)

Konstanta k se naz´ yvá poddajnost a ud´ av´ a ˇc´ıselnˇe, o kolik se prodlouˇz´ı délkov´ a jednotka pˇri jednotkovém napˇet´ı. Protoˇze je k u vˇetˇsiny materiál˚ u splˇ nuj´ıc´ıch Hooke˚ uv zákon velmi mal´ a, uˇz´ıvá se ˇcastˇeji jej´ı pˇrevrácené hodnoty 1{k “ E, kterou naz´ yváme Young˚ uv modul neboli modul pruˇ znosti v tahu. Dalˇs´ım experiment´ aln´ım poznatkem je, ˇze pˇri podélném namáhán´ı tyˇce se pr˚ uˇrez zmenˇsuje se zat´ıˇzen´ım rovnˇeˇz dle Hookeova zákona. Prodlouˇzen´ı tyˇce o ∆ℓ “ ℓ1 ´ ℓ vede ke zkr´ acen´ı strany pˇr´ıˇcného ˇrezu o ∆a “ a ´ a1 a zav´ ad´ıme analogicky (5.30) pomˇerné pˇr´ıˇcné zkr´ acen´ı η“

a ´ a1 ∆a “ a a

(5.33)

η “ kl σ n

(5.34)

a plat´ı (analogicky (5.32)) kde kl je pˇr´ıˇcn´ a poddajnost. Dosazen´ım za σn z (5.32) máme r˚ uzná vyj´ adˇren´ı η “ kl

1 1 ε “ kl Eε “ υε “ ε “ σn k m mE

(5.35)

1 m se naz´ yvá Poissonova konstanta a υ “ m Poissonovo ˇ c´ıslo. Poissonova konstanta ud´ av´ a, kolikr´ at je pomˇerné prodlouˇzen´ı vˇetˇs´ı neˇz pomˇerné pˇr´ıˇcné zkr´ acen´ı. Tento pomˇer je pro r˚ uzné materiály r˚ uzn´ y a je tˇreba jej stanovit experiment´ alnˇe. Teoreticky lze stanovit pouze meze, v nichˇz Poissonova konstanta mus´ı leˇzet. S vyuˇzit´ım (5.31) a (5.33) lze nakonec pro rozmˇery ℓ1 a a1 deformované tyˇce ps´ at ´ σn ¯ ℓ1 “ ℓp1 ` εq “ ℓ 1 ` E ´ (5.36) σn ¯ 1 a “ ap1 ´ ηq “ a 1 ´ mE

Vˇsechny dosud uvedené vztahy plat´ı i pro namáhán´ı tlakem, zde je vˇsak ℓ1 ă ℓ a a1 ą a, tj. tyˇc se pod tlakem zkracuje a jej´ı pˇr´ıˇcn´ y pr˚ uˇrez se zvˇetˇsuje. Aby veliˇciny ε, η, σn podrˇzely kladné hodnoty i pro pˇr´ıpad tlaku, redefinujeme (5.31) a (5.33) ε “ pℓ ´ ℓ1 q{ℓ,

η “ pa1 ´ aq{a

Vyˇsetˇr´ıme jeˇstˇe deformaci tˇelesa, které je vystaveno vˇsestrannému kolmému tlaku (obr. 51).

(5.37)

76


Kdyby tlak p˚ usobil jen v jednom smˇeru, napˇr. hrany c, hranol by se v tomto smˇeru zkr´ atil a v ostatn´ıch prodlouˇzil. Protoˇze vˇsak tlak p˚ usob´ı i ve smˇerech a, b, mus´ıme stejnou u ´vahu udˇelat i pro tyto smˇery. Dle (5.36) máme c : a1 “ap1 ` ηq b1 “bp1 ` ηq c1 “cp1 ´ εq

b : a1 “ap1 ` ηq b1 “bp1 ´ εq c1 “cp1 ` ηq

a : a1 “ap1 ´ εq b1 “bp1 ` ηq c1 “cp1 ` ηq

(5.38)

Délka hran po deformaci bude a1 “ ap1 ´ ε ` 2ηq b1 “ bp1 ´ ε ` 2ηq c1 “ cp1 ´ ε ` 2ηq

(5.39)

V 1 “ a1 b1 c1 “ abcp1 ´ ε ` 2ηq3 « V r1 ´ 3pε ´ 2ηqs

(5.40)

a objem po deformaci bude

kde jsme zanedbali ˇcleny druhého a vyˇsˇs´ıho ˇra´du, protoˇze ε a η jsou mal´ a ˇc´ısla. Pro relativn´ı zmˇenu objemu vycház´ı ˙ ˆ V1´V 3pm ´ 2q ∆V 2 1 σn “ ´ “ “ ´3pε ´ 2ηq “ ´3 ´ σn (5.41) V V E mE mE Vid´ıme, ˇze ve shodˇe s Hookeov´ ym zákonem, je objemov´ a deformace (pomˇerná zmˇena objemu) u ´mˇerná napˇet´ı σn . V´ yraz γ“´

∆V 1 V σn

(5.42)

je definov´ an pod´ılem relativn´ıho u ´bytku objemu a tlaku, kter´ y tento u ´bytek zp˚ usobuje, a naz´ yvá se objemov´ a stlaˇ citelnost. Jej´ı pˇrevrácen´ a hodnota je pak nov´ y modul pruˇznosti (analogicky zaveden´ı E z rovnice (5.41), kter´ y se naz´ yvá objemov´ y modul pruˇ znosti K. Z (5.41) plat´ı K“

1 mE E “ “ γ 3pm ´ 2q 3p1 ´ 2υq

(5.43)

yt vˇzdy kladn´ y (jinak by se objem kde jsme poloˇzili m “ υ1 . Modul objemové pruˇznosti mus´ı b´ stlaˇcov´ an´ım zvˇetˇsoval), a proto ze (5.43) vypl´ yvá, ˇze Poissonovo ˇc´ıslo mus´ı leˇzet v intervalu 0ăυă

1 2

(5.44)

Krajn´ı hodnota υ “ 21 dáv´ a γ “ 0, tj. ∆V “ 0, tedy tˇeleso se chov´ a jako nestlaˇcitelné. Pˇredpoklad nestlaˇcitelnosti se ˇcasto uˇz´ıvá v mechanice kapalin, aˇckoli kapaliny jsou v´ıce stlaˇcitelné neˇz pevné l´ atky. Pruˇznost ve smyku Deformace prost´ ym smykem byla jiˇz pops´ ana (obr. 49a a text). Zde pˇrekresl´ıme situaci pro hranol o rozmˇerech a, b, c a zopakujeme základn´ı vztahy. Teˇcn´ a s´ıla p˚ usob´ı v rovinˇe horn´ı stˇeny hranolu a zp˚ usob´ı posunut´ı horn´ı stˇeny o u (obr. 52) Pr˚ umˇerné posunut´ı bude γ“

u b

(5.45)

yvá a má v´ yznam u ´hlu γ v obloukové m´ıˇre, nebot’ tan γ « γ “ ub pro malé deformace. γ se také naz´ u ´ hel smyku nebo téˇz smykov´ a deformace. Teˇcné napˇet´ı p˚ usob´ı v ploˇse velikosti S “ ac a plat´ı pro nˇej τ“

Ft Ft “ S ac

(5.46)

Pˇri smykové deformaci plat´ı opˇet Hooke˚ uv zákon, tedy rovnice (5.45) a (5.46) jsou svázány v´ yrazem γ “ kτ

nebo

τ “ Gγ

(5.47)


77

u γ b

c a Obr´ azek 52: Deformace hranolu prost´ ym smykem

Materiál ErN m´2 s υ γrm2 N ´1 s GrN m´2 s (Young) (Poisson) (stlaˇcitelnost) (smyk) Hlin´ık

7, 2.1010

0,34

1, 3.10´11

2, 7.1010

Mˇed’ ˇ Zelezo

1, 2.1011

0,35

7, 1.10´12

4, 6.1010

2, 1.1011

0,28

6, 3.10´12

7, 8.1010

Tabulka 5.1

Konstanta k se naz´ yvá souˇ cinitel posunut´ı, ˇcastˇeji se uˇz´ıvá jej´ı pˇrevrácen´ a hodnota G “ 1{k, která se jmenuje modul pruˇ znosti ve smyku. yvá modul torze, protoˇze prost´ y smyk se vyskytuje Pozn´ amka: Modul pruˇznosti ve smyku se také naz´ pˇri zkrucov´ an´ı tyˇce kruhového pr˚ uˇrezu silovou dvojic´ı. Mezi u ´hlem zkroucen´ı ϕ a kroutic´ım momentem Mk , délkou tyˇce l a polomˇerem tyˇce r plat´ı u ´mˇera Mk l (5.48) r4 Odtud plyne, ˇze tenká dlouh´ a vlákna se i malou silou znaˇcnˇe zkrout´ı. Toho se vyuˇz´ıvá k mˇeˇren´ı mal´ ych silov´ ych moment˚ u (torzn´ı v´ ahy). ϕ«

ym Pozn´ amka: Lze odvodit následuj´ıc´ı vztah mezi moduly G, E, Poissonovou konstantou m a Poissonov´ ˇc´ıslem υ G“

E mE “ 2pm ` 1q 2p1 ` υq

(5.49)

Z nerovnosti (5.44) pak pro G plyne E E ăGă 3 2 Na závˇer uv´ ad´ıme v tabulce 5.1 elastické konstanty nˇekter´ ych kovov´ ych materiál˚ u

(5.50)

Zobecnˇen´ı Hookeova zákona (nebude poˇzadováno ke zkouˇsce) Ukázali jsme, ˇze pˇri obecné napjatosti jsou napˇet´ı ˇci deformace v kaˇzdém bodˇe kontinua pops´ ana tenzory napˇet´ı a deformace. Line´ arn´ı teorie pruˇznosti vycházej´ıc´ı z Hookeova zákona pˇredpokládá, ˇze kaˇzd´ a sloˇzka tenzoru napˇet´ı je lineárn´ı funkc´ı vˇsech sloˇzek tenzoru deformace, tedy napˇr. τxx “ Cxxxx εxx ` Cxxyy εyy ` Cxxzz εzz ` Cxxxy εxy ` Cxxyz εyz ` Cxxzx εzx

(5.51)

78

KAPITOLA 5. MECHANIKA KONTINUA Dostaneme tak 6 rovnic, které lze zapsat ÿ τij “ Cijkl εkl ,

i, j, k, l “ x, y, z

(5.52)

k,l

Koeficienty Cijkl se naz´ yvaj´ı elastick´ e koeficienty a jsou sloˇzkami tzv. tenzoru elastick´ ych koeficient˚ u, kter´ y je ˇctvrtého ˇra´du. Tenzor napˇet´ı a tenzor deformace jsou symetrické, tedy i tenzor elastick´ ych koeficient˚ u je symetrick´ ya to v indexech i a j, k a l. Obecnˇe je tedy 36 nezávisl´ ych elastick´ ych koeficient˚ u. Pokud je tˇeleso homogenn´ı, tj. jeho elastické vlastnosti jsou vˇsude stejné, pˇr´ısluˇs´ı vˇsem bod˚ um tˇelesa stejné elastické koeficienty, jinak jsou funkc´ı souˇradnic. Rovnice (5.52) je zobecnˇ en´ y Hooke˚ uv z´ akon, a plat´ı i pro anizotropn´ı krystalické l´ atky, které na stejnˇe velk´ a napˇet´ı r˚ uzného smˇeru reaguj´ı r˚ uznˇe. Stupeˇ n anizotropie závis´ı na krystalografické soustavˇe (kubick´ a soustava má niˇzˇs´ı poˇcet nezávisl´ ych elastick´ ych koeficient˚ u neˇz trojklonn´ a). Nejjednoduˇsˇs´ı je (5.52) pro homogenn´ı izotropn´ı tˇeleso, kde vystaˇc´ıme pouze se 2 nezávisl´ ymi elastick´ ymi koeficienty, kter´ ymi lze volit napˇr. Cxxyy “ λ, Cxyxy “ 2µ,

zároveˇ n

Cxxxx “ Cxxyy ` Cxyxy “ λ ` 2µ

(5.53)

Tyto koeficienty se naz´ yvaj´ı Lam´ eho konstanty. Zaved’me nyn´ı tzv. invariant tenzoru deformace vztahem ϑ “ εxx ` εyy ` εzz (5.54) a dále tzv. Kronecker˚ uv symbol δij , kde δij “ 1, kdyˇz i “ j, a δij “ 0, kdyˇz i ‰ j. Zobecnˇen´ y Hooke˚ uv zákon pro izotropn´ı l´ atky pˇrejde pak do tvaru τij “ λϑδij ` 2µεij

i, j “ x, y, z

τxx “ λpεxx ` εyy ` εzz q ` 2µεxx τxy “ 2µεxy

(5.55)

atd. Zavedeme-li jeˇstˇe tzv. invariant tenzoru napˇet´ı vztahem θ “ τxx ` τyy ` τzz

(5.56)

θ “ p3λ ` 2µqϑ

(5.57)

m˚ uˇzeme z (5.55) vyj´ adˇrit

Sloˇzky εii tenzoru deformace jsou pomˇerná prodlouˇzen´ı délkov´ ych element˚ u, které pˇred deformac´ı mˇely smˇer os souˇradnic. Objem hranolku ∆x, ∆y, ∆z se tedy pˇri malé deformaci zmˇen´ı ∆V 1 “ ∆xp1 ` εxx q∆yp1 ` εyy q∆zp1 ` εzz q ∆V 1 – ∆x∆y∆z p1 ` εxx ` εyy ` εzz q

(5.58)

∆V 1 – ∆V ` ∆V ϑ ϑ má tedy v´ yznam pomˇerné zmˇeny objemu pˇri malé deformaci ϑ“

∆V 1 ´ ∆V ∆V

(5.59)

a naz´ yvá se objemov´ a dilatace. P˚ usob´ı-li na tˇeleso vˇsestrann´ y kolm´ y tlak, jsou napˇet´ı τii “ ´p tlaky p˚ usob´ıc´ı na tˇeleso. Invariant tenzoru napˇet´ı je tedy roven θ “ ´3p (5.60) a nezávislost ϑ a θ na volbˇe souˇradného systému. Proto se Pozn´ amka: Z rovnic (5.59) a (5.60) je zˇrejm´ naz´ yvaj´ı invarianty. Objemovou stlaˇcitelnost zavedenou vztahem (5.42) zde dostaneme ˙ ˆ 3ϑ 3 ∆V 1 ´ ∆V 1 “ “ p´ϑq ´ (5.61) γ“ ∆V p θ θ a modul objemové pruˇznosti


79

2 θ “λ` µ (5.62) 3ϑ 3 Vztah mezi Youngov´ ym modulem E a Lamého konstantami dostaneme rozepsán´ım vztahu (5.55) pro prost´ y tah, napˇr. K“´

τxx “ λpεxx ` εyy ` εzz q ` 2µεyy

(5.63)

pˇritom pˇr´ıˇcné zkr´ acen´ı je η “ ´εxx “ ´εzz . Pro pˇr´ıˇcné zkr´ acen´ı plat´ı dle (5.35) η “ ϑεyy , takˇze je τyy “ λpεyy ´ 2ϑεyy q ` 2µεyy “ εyy

(5.64)

ϑ vyj´ adˇr´ıme ze vztahu (5.43) E 3K

(5.65)

E 3λ ` 2µ

(5.66)

2ϑ “ 1 ´ a za K dosad´ıme z (5.62) 2ϑ “ 1 ´ V (5.64) máme pak τyy

ˆ

E “ λεyy ´ 1 ´ 3λ ` 2µ

˙

εyy ` 2µεyy “ Eεyy

(5.67)

odkud máme u ´pravou E “λ´1`

E ` 2µ 3λ ` 2µ (5.68)

µp3λ ` 2µq E“ λ`µ Vztah mezi modulem pruˇznosti ve smyku a Lamého koeficienty dostaneme, rozep´ıˇseme-li vyj´ adˇren´ı tenzoru mal´ ych deformac´ı pro namáhán´ı hranolu prost´ ym smykem dle obr. 49a. Pak bude Bux {Bx “ 0 a tedy ˆ ˙ 1 Bux Buy 1 Bux “ ` (5.69) εxy “ 2 By Bx 2 By Tento diferenciáln´ı pod´ıl odpov´ıdá pod´ılu u{b v (5.45), pro kter´ y plat´ı u τxy “ b G Kombinac´ı (5.70) a (5.69) a (5.55) dostaneme τxy “ 2Gεxy “ 2µεxy

(5.70)

(5.71)

tedy G“µ Nakonec kombinac´ı (5.66) a (5.68) vypoˇc´ıt´ ame υ“

λ 2pλ ` µq

(5.72)

adˇrit pomoc´ı dvou Lamého konstant λ a µ, které Shrnut´ı: Moduly E, G, K a Poissonovo ˇc´ıslo υ lze vyj´ postaˇcuj´ı k urˇcen´ı elastick´ ych vlastnost´ı homogenn´ıho izotropn´ıho tˇelesa. (konec nepovinné ˇca´sti) Plastick´ a deformace Budeme-li materiál, napˇr. tyˇc na obr. 50 zatˇeˇzovat st´ ale vˇetˇs´ı silou a zjiˇst’ovat závislost prodlouˇzen´ı na napˇet´ı, uk´ aˇze se, ˇze lineárn´ı závislost σpεq dan´ a Hookeov´ ym zákonem plat´ı jen pro malé deformace. V celém rozsahu deformac´ı aˇz do pˇretrˇzen´ı tyˇce zjist´ıme pro typick´ y kovov´ y materiál závislost σpεq dle obr. 53. Napˇet´ı σu je mezn´ı napˇet´ı, které jeˇstˇe splˇ nuje Hooke˚ uv zákon a naz´ yvá se mez´ı u ´ mˇ ernosti. Pˇri dalˇs´ım zatˇeˇzov´ an´ı do meze pruˇznosti σE z˚ ust´ av´ a tyˇc jeˇstˇe pruˇzn´ a, závislost σpεq vˇsak jiˇz nesplˇ nuje Hooke˚ uv zákon. Pˇri zatˇeˇzov´ an´ı nad σE zjist´ıme po odt´ıˇzen´ı trvalou plastickou deformaci. σE je tedy

80


σ

2 σm σ02 σE σu

1

ε “ 0, 002

εf

ε

Obr´ azek 53: Z´ avislost napˇet´ı na pomˇerném prodlouˇzen´ı pro kovové materiály. 1- smluvn´ı napˇet´ı vztaˇzené na p˚ uvodn´ı pr˚ uˇrez, 2- skuteˇcné napˇet´ı bere v potaz zmˇeny pr˚ uˇrezu v pr˚ ubˇehu deformace.

mezn´ı napˇet´ı, které jeˇstˇe nevyvol´ a trvalou plastickou deformaci. Naz´ yváme ho mez pruˇ znosti (v technické praxi se naz´ yvá mez kluzu). Mez pruˇznosti se velmi ˇspatnˇe mˇeˇr´ı. Zav´ ad´ı se proto m´ısto n´ı tzv. smluvn´ı mez kluzu σ02 , (oznaˇcuje se téˇz Rp 0, 2) coˇz je napˇet´ı, které zp˚ usob´ı trvalou plastickou deformaci ε “ 0, 002 “ 0, 2%. Dalˇs´ı zatˇeˇzov´ an´ı vyvol´ a jiˇz plastickou deformaci a v´ yznamné mikrostrukturn´ı zmˇeny v materiálu (vznik a pohyb strukturn´ıch defekt˚ u). Mikrostrukturn´ı zmˇeny maj´ı za následek zpevnˇen´ı materiálu, a proto napˇet´ı nutné k deformaci stále stoup´ a. Z´ aroveˇ n klesá pr˚ uˇrez tyˇce, coˇz má za následek, ˇze skuteˇ cn´ e napˇet´ı, vztaˇzené k aktu´ aln´ımu pr˚ uˇrezu je vyˇsˇs´ı neˇz smluvn´ı napˇ et´ı, vztaˇzené k poˇcáteˇcn´ımu pr˚ uˇrezu. Maxim´ aln´ı smluvn´ı napˇet´ı, kterého v pr˚ ubˇehu deformace dos´ ahneme, se naz´ yvá mez pevnosti σm (oznaˇcuje se téˇz Rm a ˇcasto se naz´ yvá pevnost v tahu). Pˇri tomto napˇet´ı se tyˇc v nˇekterém m´ıstˇe zaˇskrt´ı a posléze pˇretrhne. Proto smluvn´ı napˇet´ı pˇred lomem opˇet kles´ a. Trval´ a deformace tyˇce po lomu se naz´ yvá taˇznost εf (oznaˇcuje se téˇz A). Podobnˇe se kovové materiály chovaj´ı i pˇri deformaci tlakem, samozˇrejmˇe, pokud nedojde k ohybu. Mez pruˇznosti v tlaku je obvykle velmi bl´ızk´ a mezi pruˇznosti v tahu. Meze pevnosti v tahu a tlaku se vˇsak mohou v´ yznamnˇe liˇsit.

5.3.

Mechanika tekutin

Kapaliny a plyny, soubornˇe naz´ yvané tekutiny se liˇs´ı od pevn´ ych l´ atek t´ım, ˇze jejich ˇcástice nejsou v´ azány k urˇcité rovnov´ aˇzné poloze, ale mohou mˇenit svou vz´ ajemnou polohu. Tekutiny snadno mˇen´ı sv˚ uj tvar, popˇr´ıpadˇe i objem. Nem˚ uˇze se v nich tedy trvale udrˇzet teˇcné napˇet´ı, protoˇze to uvád´ı ˇcástice tekutin do vzájemného pohybu. Rovnov´ aˇzn´ y stav tekutiny se tedy vyznaˇcuje absenc´ı teˇcn´ ych napˇet´ı. Tekutiny nemaj´ı ani charakteristick´ y tvar, ale pˇrizp˚ usobuj´ı se tvaru nádoby. Kapaliny pˇritom vytv´ aˇrej´ı volnou hladinu, která je kolm´ a k v´ yslednici p˚ usob´ıc´ıch sil. Pˇri proudˇen´ı re´ aln´ ych kapalin se uplatˇ nuj´ı s´ıly vnitˇrn´ıho tˇren´ı mezi jednotliv´ ymi vrstvami proud´ıc´ı kapaliny (souvis´ı s teˇcn´ ymi napˇet´ımi), které zp˚ usobuj´ı dissipaci mechanické energie. V ˇradˇe pˇr´ıpad˚ u vystaˇc´ıme vˇsak se zjednoduˇsenou pˇredstavou ide´ aln´ı tekutiny, která se pohybuje bez vnitˇrn´ıho tˇren´ı. Rozd´ıl mezi kapalinami a plyny se projevuje v reakci na vnˇejˇs´ı tlak. Kapaliny jsou velmi málo stlaˇcitelné, i kdyˇz zpravidla o nˇeco v´ıce neˇz pevné l´ atky. Nejsou-li tlaky pˇr´ıliˇs velké, lze kapaliny povaˇzovat za nestlaˇcitelné (tento pˇredpoklad zahrnujeme do pojmu ideáln´ı kapaliny. Jakmile vnˇejˇs´ı tlak na kapalinu povol´ı, nabude kapalina sv˚ uj p˚ uvodn´ı objem, kapaliny jsou tedy dokonale pruˇzné. Naproti tomu plyny jsou snadno stlaˇcitelné, ˇcili jsou to l´ atky, u nichˇz lze snadno zmˇenit tvar i objem.

81

5.3.. MECHANIKA TEKUTIN

111 000 000 111 000 111 000 111 A

1111 0000 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 B

(b) Proudnice proud´ıc´ı kapaliny

(a) Pole vektoru rychlosti

Obr´ azek 54

Kinematika tekutin

N´ asleduj´ıc´ı u ´vahy provedeme pro ideáln´ı tekutiny, v´ ysledek pak lze zobecnit i na pohyby skuteˇcn´ ych tekutin. Pohyb tekutiny vyˇsetˇrujeme vzhledem k soustavˇe souˇradnic, která je napˇr. pevnˇe spojená s potrub´ım. Vzhledem k této soustavˇe má kaˇzd´ a ˇcástice tekutiny rychlost ~v . Vektor rychlosti lze v nˇekterém okamˇziku v kaˇzdém m´ıstˇe zn´ azornit (obr. 54a), dostaneme tak pole vektoru rychlosti tekutiny. Takto zn´ azornˇené vektory jsou teˇcnami ke kˇrivk´ am, které naz´ yváme proudnice, nebo proudov´ e ˇ c´ ary (obr. 5.54b). Nen´ı-li proudˇen´ı ust´ alené (stacionárn´ı), mˇen´ı se obraz proudnic v kaˇzdém okamˇziku. Aby obraz proudnic pˇredstavoval dráhy, po nichˇz se ˇcástice tekutiny pohybuj´ı, mus´ı b´ yt proudˇen´ı stacionárn´ı (proudnice se pak s ˇcasem nemˇen´ı). Proudnicemi zn´ azorˇ nujeme rovnˇeˇz velikost rychlosti v r˚ uzn´ ych m´ıstech. Pouˇz´ıváme pˇritom hustotu proudnic, tj. poˇcet proudnic procházej´ıc´ıch jednotkovou plochou kolmou ke smˇeru proudˇen´ı. Na obr. 5.54b procházej´ı ploˇskou A 2 proudnice a ploˇskou B 1 proudnice. Rychlost tekutiny v m´ıstˇe A bude dvojn´ asobná oproti rychlosti v m´ıstˇe B. Trubicov´ y u ´tvar, jehoˇz pláˇst’ je tvoˇren proudnicemi se naz´ yvá proudov´ a trubice, a vnitˇrek element´ arn´ı proudové trubice proudov´ e vl´ akno. Oznaˇc´ıme-li S nˇekter´ y pˇr´ıˇcn´ y pr˚ uˇrez proudové trubice a maj´ı-li ˇcástice tekutiny vˇsude v m´ıstˇe pr˚ uˇrezu S stejnou rychlost v, proteˇce za element ˇcasu dt tekutina, jej´ıˇz hmotnost je dána vztahem dm “ ρSvdt (5.73) Pod´ıl dm “ Qm “ ρSv dt

(5.74)

definuje hmotnostn´ı (pr˚ u)tok, s jednotkou kgs´1 . Podˇel´ıme-li Qm hustotou tekutiny ρ, dostaneme objemov´ y (pr˚ u)tok Qm “ Sv (5.75) QV “ ρ Nen´ı-li v kaˇzdém bodˇe zvoleného pr˚ uˇrezu rychlost ~v ˇcástic stejn´ a, zavedeme element´ arn´ı toky dQm a ~ Element´ ~ znaˇc´ıme jako vektor, protoˇze m˚ dQV element´ arn´ımi pr˚ uˇrezy dS. arn´ı pr˚ uˇrez dS uˇze m´ıt vzhledem ~ rozum´ıme pˇredpis k vektoru ~v obecnˇe libovolnou orientaci (obr. 55). Vektorem dS ~ “ ~ν dS dS

(5.76)

kde ~ν je jednotkov´ y vektor normály k ploˇse obsahu dS. Pro element hmotnostn´ıho toku dostaneme pak ~ “ ρvdS cos α dQm “ ρ~v dS

(5.77)

~ Celkov´ kde α je u ´hel mezi ~v a dS. y hmotnostn´ı tok libovolnou plochou dostaneme pak integrac´ı ĳ ĳ ~ Qm “ dQm “ ρ~v ¨ dS (5.78) S

S

82


~v α ~ dS

~ Obr´ azek 55: Tok tekutiny element´ arn´ı plochou dS. Zab´ yvejme se nyn´ı hmotnostn´ım tokem uzavˇrenou plochou S, která omezuje objem tekutiny V o hmotnosti ¡ m“

(5.79)

ρdV

V

~ smˇerem kolmo ven. U uzavˇrené plochy orientujeme vektory normál pˇr´ısluˇsné element˚ um plochy dS Hmotnostn´ı tok uzavˇrenou plochou smˇerem ven se pak mus´ı rovnat u ´bytku tekutiny v objemu V za . M´ a me pak jednotku ˇcasu, tedy ´ dm dt £ £ ¡ Bρ ~ “ ´ dm “ ´ dQm “ dV (5.80) ρ~v ¨ dS dt Bt SpV q

V

SpV q

kde jsme vyuˇzili zamˇenitelnost integrace dle prostorov´ ych souˇradnic a ˇcasové derivace. Vztah (5.80) se naz´ yvá rovnice kontinuity, pro koneˇcnou ˇcást prostoru V omezenou plochou S. (5.80) lze upravit pomoc´ı Gaussovy vˇety vektorové anal´ yzy. £ ¡ ~“ ρ~v ¨ dS divpρ~v qdV (5.81) V

SpV q

x kde divρ~v “ Bρv Bx ` a máme koneˇcnˇe

Bρvy By

`

Bρvz Bz .

Rovnaj´ı-li se integr´ aly v (5.81) a (5.80), mus´ı se rovnat i integrandy

Bρ (5.82) Bt To je rovnice kontinuity vyj´ adˇrená diferenciálnˇe pro jednotlivá m´ısta vyplnˇen´ a proud´ıc´ı tekutinou. Je-li proudˇen´ı ust´ alené (tj. ρ ‰ ρptq) a kapalina nestlaˇcitelná, (tj. ρ “ konst., ρ ‰ ρpx, y, zq), zjednoduˇs´ı se rovnice kontinuity na divρ~v “ ´

ρ div~v “ 0 ñ div~v “ 0

(5.83)

Vyˇcleˇ nme nyn´ı z proud´ıc´ı tekutiny proudovou trubici a protnˇeme ji uzavˇrenou plochou S (obr. 56). Pak do prostoru ohraniˇceného S vstupuj´ı ˇcástice tekutiny plochou S1 a vystupuj´ı plochou S2 . Bude tedy ĳ ĳ ĳ £ ĳ ~ ~1 ` ~ “ ´ ρ~v ¨ dS ~` ~“ ρ~v ¨ dS ρ~v ¨ dS ρ~v ¨ dS ρ~v ¨ dS SpV q

S2

S1

S1

S2

“ ´Qm1 ` Qm2 “ 0 ñ Qm1 “ Qm2 “ konst.

(5.84)

~ 1 je opaˇcnˇe orientov´ ~ kde vektor dS an neˇz vektor dS. Za ust´ aleného proudˇen´ı je hmotnostn´ı tok tekutiny libovoln´ ym pr˚ uˇrezem proudové trubice konstantn´ı. Jsou-li rychlost ~v a hustota ρ v celém pr˚ uˇrezu konstantn´ı, lze rovnici kontinuity psát v jednoduchém tvaru Qm “ ρSv “ konst.

(5.85)

Qv “ Sv “ konst.

(5.86)

a u nestlaˇcitelné kapaliny je nav´ıc

Hydrostatika a aerostatika

83


SpV q ~ dS ~1 dS ~ dS

~v

~v

S2 S1 Obr´ azek 56: K rovnici kontinuity.

F~

h

h

S Obr´ azek 57: Tlak v kapalinˇe zp˚ usoben´ y vlastn´ı t´ıhou. Budeme nejdˇr´ıve studovat chov´ an´ı tekutiny, které je v relativn´ım klidu, napˇr. v˚ uˇci nádobˇe. Silové p˚ usoben´ı v tekutinˇe lze pak charakterizovat tlakem. Tlak, kter´ ym na sebe dvˇe ˇcásti kapaliny p˚ usob´ı na ploˇse styku tˇechto dvou ˇcást´ı se naz´ yvá hydrostatick´ y, resp. u plyn˚ u aerostatick´ y. Jeho zdrojem m˚ uˇze b´ yt t´ıˇze, setrvaˇcné s´ıly ˇci vnˇejˇs´ı s´ıly p˚ usob´ıc´ı na kapalinu napˇr. prostˇrednictv´ım p´ıstu. Tento tlak podléh´ a Pascalovu z´ akonu: P˚ usob´ı-li na tekutinu vnˇ ejˇ s´ı tlak pouze v jednom smˇ eru, pak uvnitˇ r tekutiny p˚ usob´ı v kaˇ zd´ em m´ıstˇ e stejnˇ e velk´ y tlak a to ve vˇ sech smˇ erech. Tento zákon souvis´ı s nepˇr´ıtomnost´ı teˇcn´ ych napˇet´ı v tekutinˇe za stavu rovnov´ ahy. Znamená to, ˇze pokud vydˇel´ıme v tekutinˇe kulovou plochu a poté vystav´ıme tekutinu silovému p˚ usoben´ı, nevznikne z kulové plochy elipsoid bud’ v˚ ubec anebo se rychle vrát´ı do p˚ uvodn´ıho tvaru (se zmˇenˇen´ ym polomˇerem v pˇr´ıpadˇe stlaˇcitelnosti). To ale znamená pˇr´ıtomnost normálov´ ych napˇet´ı, které maj´ı vˇsude stejnou velikost. Uvaˇzujme nyn´ı homogenn´ı kapalinu v nádobˇe, kde hladina dosahuje v´ yˇse h a vypoˇc´ıtejme tlak, kter´ ym kapalina p˚ usob´ı na dno nádoby v d˚ usledku své t´ıˇze (obr. 57). Vydˇelme v kapalinˇe hranol o v´ yˇsce h a podstavˇe S. Na dno nádoby p˚ usob´ı tlakov´ a s´ıla rovná t´ıze kapaliny hranolu. Tato s´ıla je F “ ρghS (5.87) a tlak bude tedy F “ ρgh (5.88) S Hydrostatick´ y tlak je tedy u ´mˇern´ y hustotˇe kapaliny a roste lineárnˇe s hloubkou pod povrchem kapaliny. Nezávis´ı na pr˚ uˇrezu svislého sloupce kapaliny ani na pr˚ uˇrezu nádoby ˇci mnoˇzstv´ı kapaliny v nádobˇe. V kaˇzdé nádobˇe libovolného tvaru lze vytknout svisl´ y sloupec kapaliny alespoˇ n element´ arn´ıho pr˚ uˇrezu. P “

84


p

y

y ` ∆y ∆y

y

∆z ∆x p ` ∆p

x z

Obr´ azek 58: K objasnˇen´ı Archimédova zákona. Kapalina obklopuj´ıc´ı tento sloupec by mohla jeho t´ıhu ovlivnit jen teˇcn´ ymi napˇet´ımi, která tam vˇsak za podm´ınek rovnov´ ahy nemohou existovat. Proto je tlak ve vˇsech bodech kapaliny v téˇze vodorovné rovinˇe stejn´ y. Tento v´ ysledek se naz´ yvá hydrostatick´ e paradoxon. Vyuˇz´ıvá se v celé ˇradˇe technick´ ych aplikac´ı, napˇr. u hydraulick´ ych lis˚ u (pˇrenecháv´ ame posluchaˇci k rozmyˇslen´ı). V´ ysledky (5.87) a (5.88) se zˇrejmˇe nezmˇen´ı, pokud v obr. (57) nahrad´ıme dno nádoby dalˇs´ı vrstvou kapaliny. Stejnˇe tak, uv´ aˇz´ıme-li, ˇze nádoba s kapalinou je vystavena p˚ usoben´ı atmosférického tlaku s hodnotou pA u hladiny, bude v´ ysledn´ y tlak na dno nádoby dán souˇctem atmosférického a hydrostatického tlaku P “ pA ` ρgh (5.89) Pozn´ amka: V plynech vznik´ a rovnˇeˇz aerostatick´ y tlak, kter´ y je vˇsak pˇri bˇeˇzn´ ych rozmˇerech nádob zanedbateln´ y proti vlastn´ımu tlaku plynu. Projev´ı se znatelnˇe jen v ovzduˇs´ı, které obklopuje Zemi, ˇci jin´ a kosmick´ a tˇelesa do znaˇcné v´ yˇsky. D˚ uleˇzit´ ym d˚ usledkem hydrostatického tlaku zp˚ usobeného vlastn´ı t´ıhou kapaliny je Archimed˚ uv z´ akon. Tˇ eleso je v tekutinˇ e nadlehˇ cov´ ano silou, kter´ a se rovn´ a t´ıze tekutiny t´ ehoˇ z objemu, jako je objem tˇ elesa (resp. jeho d´ılu) obklopen´ eho tekutinou. Uvaˇzujeme hranol ponoˇren´ y do tekutiny dle obr. 58. Vodorovné sloˇzky hydrostatick´ ych tlak˚ u se navzájem vyrovn´ avaj´ı. Na horn´ı podstavec hranolu p˚ usob´ı naznaˇcen´ ym smˇerem s´ıla dan´ a F1 “ p∆x∆z

(5.90)

Na spodn´ı podstavu p˚ usob´ı s´ıla opaˇcného smˇeru dan´ a F2 “ pp ` ∆pq∆x∆z “ p∆x∆z ` ρg∆y∆x∆z “ F1 ` ρgV

(5.91)

V´ yslednice obou sil m´ıˇr´ı vzh˚ uru (nadlehˇcuje tˇeleso) a je rovna vztlakové s´ıle Fvz “ F2 ´ F1 “ ρgV

(5.92)

coˇz je t´ıha kapaliny zauj´ımaj´ıc´ı objem hranolu. Zopakujme jeˇstˇe, ˇze jednotkou tlaku je 1 pascal (Pa) . rozmˇeru Nm´2 . Lze se setkat s dalˇs´ımi (nepovolen´ ymi) jednotkami: 1 bar “ 105 Pa, 1 technick´ a atmosféra “

85


Hg h p

p

Obr´ azek 59: Torricelliho pokus se rtut´ı. 0, 9807.105 Pa “ 1 kilopond pkpqcm

´2

. , 1 torr “ 133, 3 Pa.

Atmosférick´ y tlak T´ıhou ovzduˇs´ı vznik´ a u povrchu Zemˇe (ˇci jiného kosmického tˇelesa) aerostatick´ y tlak, kter´ y naz´ yváme atmosférick´ ym nebo barometrick´ ym tlakem. Lze jej demonstrovat zn´ am´ ym Torricelliho pokusem (obr. 59) Atmosférick´ y tlak se ponˇekud mˇen´ı se stavem ovzduˇs´ı a s nadmoˇrskou v´ yˇskou. Jako normáln´ı atmosférick´ y tlak definujeme pn “ 1, 01325.105 Pa “ 1013, 25 hPa (hektopascal) “ 760 torr “ 1, 01325 bar “ 1, 0332 kpcm´2 . Pˇri mal´ ych v´ yˇskov´ ych rozd´ılech lze pokles atmosférického tlaku vypoˇc´ıtat podobnˇe jako u kapalin za pˇredpokladu konstantn´ı hustoty. Pˇri vyˇsˇs´ıch v´ yˇskov´ ych rozd´ılech je tˇreba jiˇz vz´ıt v potaz pokles hustoty vzduchu s v´ yˇskou, kter´ y lze pˇribliˇznˇe (za pˇredpokladu stálé teploty) vyj´ adˇrit dle Boyle Mariotteova zákona pro izotermick´ y dˇej ρ “ pρ0 {p0 qp, kde ρ0 a p0 jsou hustota a tlak vzduchu u zemského ´ povrchu. Ubytek tlaku dp s pˇr´ır˚ ustkem v´ yˇsky dy je tedy

dp “ ´ρgdy “ ´

ˆ

ρ0 p0

˙

pgdy (5.93)

dp ρ0 “ ´ gdy p p0

Integrujeme-li v mez´ıch p0 a p pro tlak a y0 a y pro v´ yˇsku od zemského povrchu, żp

d˜ p ρ0 “´ g p˜ p0

p0

ży

d˜ y

y0

(5.94)

ρ0 ρ0 p “ gpy ´ y0 q “ ´ g∆h ln p0 p0 p0 a tedy p “ p0 e

ρ0 g∆h p0

(5.95)

Tlak tedy klesá s v´ yˇskou dle exponenciáln´ıho zákona. Vztah (5.95) se naz´ yvá barometrick´ a rovnice. yˇsky docház´ı vˇetˇsinou i k v´ yrazn´ ym zmˇen´ am teploty. Do barometrické rovnice je Pozn´ amka: Pˇri zmˇenˇe v´ pak tˇreba jeˇstˇe zapoˇc´ıtat teplotn´ı roztaˇznost plyn˚ u. Hydrodynamika (aerodynamika) ideáln´ı tekutiny ´ Ukolem hydrodynamiky (resp. aerodynamiky) je nalézt vztahy mezi veliˇcinami, které zp˚ usobuj´ı zmˇeny pohybového stavu tekutiny a veliˇcinami popisuj´ıc´ımi pohyb tekutiny. Tento vztah ud´ av´ a pohybov´ a rovnice tekutiny, kterou jsme pro obecné kontinuum uvedli v (5.24) v integr´ aln´ım tvaru. Tuto rovnici lze pˇrepsat i do diferenciáln´ıho tvaru, kter´ y se naz´ yvá Eulerova hydrodynamick´ a rovnice. Pˇri ˇreˇsen´ı praktick´ ych u ´loh vˇsak vycház´ıme ˇcastˇeji z energetické bilance proud´ıc´ı tekutiny. Zmˇena kinetické energie

86


p11

II I

S1 S11 ~v1 ~v2 h1

S2 S 1 2 p12

ds1 h2

ds2

Obr´ azek 60: Proudˇen´ı kapaliny trubic´ı sledovaného mnoˇzstv´ı tekutiny je rovna práci sil, které tuto zmˇenu vyvolaly. Tento závˇer vyuˇzijeme nyn´ı pro sestaven´ı základn´ı rovnice proudˇen´ı ideáln´ı kapaliny. Na závˇer se zm´ın´ıme o zobecnˇen´ı tohoto postupu na proudˇen´ı ideáln´ıho plynu. Bernoulliho rovnice Mˇejme trubici, která se svaˇzuje a zuˇzuje ve smˇeru toku (obr. 60) a uvaˇzujme ˇcást kapaliny mezi pr˚ uˇrezy S1 a S2 . Podle rovnice kontinuity teˇce kapalina v uˇzˇs´ı ˇcásti trubice rychleji neˇz v ˇsirˇs´ı. Mezi pr˚ uˇrezy S1 a S2 p˚ usob´ı tedy na kapalinu nˇejaká s´ıla, která m˚ uˇze vzniknout t´ım, ˇze v m´ıstech S1 a S2 jsou r˚ uzné tlaky. Zrychluj´ıc´ı s´ıla bude m´ıt smˇer toku, pokud v m´ıstˇe, kde je pr˚ uˇrez ˇsirˇs´ı a kapalina teˇce pomaleji, bude vyˇsˇs´ı tlak neˇz v uˇzˇs´ım m´ıstˇe. K vnˇejˇs´ım sil´ am, které p˚ usob´ı na ˇcást kapaliny mezi pr˚ uˇrezy S1 a S2 , patˇr´ı jednak t´ıha, jednak tlakové s´ıly p11 S1 a p12 S2 (ˇcárkou vyznaˇcujeme skuteˇcnost, ˇze se jedn´ a o tlak v proud´ıc´ı kapalinˇe). Tlaky kolmé k pláˇsti trubice se navz´ ajem ruˇs´ı. V dobˇe dt se zvolená ˇcást kapaliny (oblast I) posune nahoˇre o ds1 a dole o ds2 , takˇze bude mezi pr˚ uˇrezy S11 a S21 (oblast II). Proudˇen´ı povaˇzujeme za ust´ alené. Pr´ ace vykonan´ a t´ıhovou silou bude takov´ a, jako kdyby kapalina pˇreˇsla z prostoru mezi S1 a S11 do prostoru mezi S2 a S21 . Tato práce bude rovna u ´bytku potenciáln´ı energie mezi obˇema m´ısty a pro zvolenou hmotnost kapaliny dm rovna dmgph1 ´ h2 q. Pr´ ace vykonan´ a tlakov´ ymi silami bude dle obr. 60 p11 S1 ds1 ´ p12 S2 ds2 . Celkov´ a práce vnˇejˇs´ıch sil bude rovna pˇr´ır˚ ustku kinetické energie kapaliny v prostorech mezi pr˚ uˇrezy S1 , S11 a S2 , S21 , kde kapalina má rychlosti v1 a v2 1 1 dmv22 ´ dmv12 “ dmgph1 ´ h2 q ` p11 S1 ds1 ´ p12 S2 ds2 2 2

(5.96)

Pro nestlaˇcitelnou kapalinu je objem elementu dm stál´ y a roven S1 ds1 “ S2 ds2 . Dˇel´ıme-li (5.96) t´ımto objemem, dostaneme 1 2 1 ρv ` ρgh2 ` p12 “ ρv12 ` ρgh1 ` p11 “ konst. (5.97) 2 2 2 kde jsme na kaˇzdou stranu pˇrevedli ˇcleny odpov´ıdaj´ıc´ı jednomu pr˚ uˇrezu. Rovnice (5.97) vyjadˇruje zákon zachov´ an´ı mechanické energie pro ideáln´ı kapaliny a naz´ yvá se Bernoulliho rovnic´ı. Je vztaˇzena k jednotkovému objemu kapaliny. Vyˇsetˇrme nyn´ı proudˇen´ı ideáln´ı kapaliny vodorovnou trubic´ı promˇenného pr˚ uˇrezu, která se ve smˇeru toku zuˇzuje (obr. 61). Podle rovnice kontinuity je v2 ą v1 a dle (5.97) plyne pro rozd´ıl tlak˚ u p11 ´ p12 “

1 2 1 2 ρv ´ ρv 2 2 2 1

(5.98)

87


S1

S2 ~v1 h1 “ h2

~v2 p12

p11

Obr´ azek 61: Tok kapaliny vodorovnou trubic´ı, která se zuˇzuje. Vid´ıme, ˇze u ´bytek tlaku v proud´ıc´ı kapalinˇe je roven pˇr´ır˚ ustku pohybové energie kapaliny jednotkového objemu. Pokles tlaku pˇri zv´ yˇsen´ı rychlosti kapaliny b´ yvá nˇekdy oznaˇcov´ an jako hydrodynamick´ e paradoxon. Bernoulliho rovnici lze pouˇz´ıt i na jeden a t´ yˇz pr˚ uˇrez. Je-li kapalina v klidu, má ve zvoleném y. Dá-li se do pohybu rychlost´ı v, bude dle (5.97) platit pr˚ uˇrezu tlak p a ˇclen 12 ρv 2 je nulov´ 1 p1 “ p ´ ρv22 “ p ´ p2 2

(5.99)

Tlak v kapalinˇe klesne o hotnotu p2 , kterou naz´ yváme hydrodynamick´ y tlak. Pozn´ amka: u ideáln´ıho plynu se odvozen´ı Bernoulliho rovnice komplikuje faktem, ˇze ˇcást práce vnˇejˇs´ıch sil se spotˇrebuje na stlaˇcen´ı plynu. Pˇr´ır˚ ustek kinetické energie je pak niˇzˇs´ı neˇz u kapalin. Bernoulliho rovnice nacház´ı mnoˇzstv´ı aplikac´ı v technice (napˇr. vodomˇery, vodn´ı v´ yvˇevy, ˇci konstrukce kˇr´ıdel letadel). Viz obr. 62, 63 a 64.

h1 ´ h2

Obr´ azek 62: Venturi˚ uv vodomˇer. Pr˚ utok kapaliny se urˇc´ı z rozd´ılu h1 ´ h2 . Proudˇen´ı re´ alné kapaliny Proudˇen´ı ideáln´ı kapaliny potrub´ım je charakterizov´ ano stejnou rychlost´ı proudˇen´ı ve vˇsech m´ıstech pr˚ uˇrezu (obr. 5.65a). Naproti tomu se vrstvy re´ alné kapaliny pohybuj´ı promˇennou rychlost´ı, která je nejvyˇsˇs´ı uprostˇred trubky a smˇerem ke stˇenˇe klesá aˇz k nule (obr. 5.65b). Zmˇena rychlosti ve smˇeru kolmém na smˇer rychlosti zp˚ usobuje niˇzˇs´ı tˇren´ı, které jsme u ideáln´ıch kapalin neuvaˇzovali. Vnitˇrn´ı tˇren´ı má za následek vznik teˇcn´ ych napˇet´ı. Vztah mezi teˇcn´ ym napˇet´ım τ a zmˇenou rychlosti proudˇen´ı ve smˇeru kolmém ke smˇeru proudˇen´ı y popsal Newton rovnici τ “η

dv dy

(5.100)

kde konstanta u ´mˇernosti se naz´ yvá dynamick´ a viskozita. Kapaliny splˇ nuj´ıc´ı vztah (5.100) naz´ yváme newtonovsk´ ymi.

88


ˇcerpac´ı prostor

~v2

~v1

S2

S1

Obr´ azek 63: Princip vodn´ı v´ yvˇevy.

F~

F~1

F~2

Obr´ azek 64: Obték´ an´ı kˇr´ıdla vzduchem pˇri letu letadla. Podél horn´ı strany kˇr´ıdla je rychlost proudˇen´ı v´ yraznˇe vyˇsˇs´ı neˇz podél spodn´ı strany. Vznik´ a tam proto dle Bernoulliho rovnice podtlak. V´ ysledná s´ıla F~ p˚ usob´ıc´ı na kˇr´ıdla je dána vektorov´ ym souˇctem dynamické vztlakové s´ıly F~1 a odporové s´ıly F~2 . Jednotkou dynamické viskozity je Pa.s. η závis´ı velmi v´ yraznˇe na teplotˇe dle empirického vztahu B

η “ Ae T

(5.101)

kde A, B jsou konstanty. M´ısto dynamické viskozity se nˇekdy uˇz´ıvá i tzv. kinematick´ a viskozita, která je definov´ ana jako η υ“ (5.102) ρ Jej´ı jednotkou je m2 s´1 . uv vztah plat´ı pro vˇetˇsinu kapalin. Nesplˇ nuj´ı jej kapaliny, které obsahuj´ı vˇetˇs´ı shluky Pozn´ amka: Newton˚ molekul (koloidn´ı vztahy, emulze, suspenze apod.). Takové kapaliny naz´ yváme nenewtonovské. Typick´ ym pˇr´ıkladem je ˇskrobov´ y maz.

D

C

D

C

A

B

A

B

(a) ideáln´ı kapalina

(b) reálná kapalina

Obr´ azek 65: Rychlostn´ı profil proudˇen´ı kapaliny potrub´ım.

89


1111 0000 0000 1111 0000 1111 0000 1111 Obr´ azek 66: Vznik v´ır˚ u v proud´ıc´ı re´ alné kapalinˇe. Spodn´ı ˇcást elementu se pohybuje rychleji neˇz horn´ı a má proto snahu ot´ aˇcet se kolem osy kolmé k nákresnˇe, jak naznaˇceno. Zmˇenu rychlosti proudˇen´ı v newtonovské kapalinˇe lze matematicky charakterizovat pomoc´ı cirkulace vektoru rychlosti. Vloˇz´ıme do proud´ıc´ı kapaliny uzavˇrenou kˇrivku ABCD, jak je zn´ azornˇeno na obr. 65 a) i b). Cirkulac´ı vektoru rychlosti ~v rozum´ıme kˇrivkov´ y integr´ al po uzavˇrené kˇrivce ABCD ¿

~v ¨ d~r “

żB A

~v ¨ d~r `

żC B

~v ¨ d~r `

żD C

~v ¨ d~r `

żA

~v ¨ d~r

(5.103)

D

kde d~r je element posunut´ı. Pro u ´seky BC a DA jsou vektory ~v a d~r navzájem kolmé, tedy pˇr´ısluˇsné integr´ aly jsou nulové. Pro ideáln´ı kapalinu je nulov´ y i souˇcet zbyl´ ych dvou integr´ al˚ u, protoˇze rychlost proudˇen´ı je vˇsude stejn´ a. Tedy pro ideáln´ı kapalinu plat´ı ¿ ~v ¨ d~r “ 0 (5.104) Pro re´ alnou kapalinu je souˇcet zbyl´ ych dvou integr´ al˚ u v (5.103) nenulov´ y a plat´ı tedy ¿ ~v ¨ d~r ‰ 0

(5.105)

Je-li cirkulace vektoru rychlosti nenulov´ a, vytv´ aˇrej´ı se v proud´ıc´ı kapalinˇe v´ıry. Vznik v´ır˚ u je d˚ usledkem pˇr´ıtomnosti silov´ ych dvojic v proud´ıc´ı re´ alné kapalinˇe (obr. 66). Podle intenzity vytv´ aˇren´ı v´ır˚ u lze proudˇen´ı rozdˇelit na lamin´ arn´ı, pˇ rechodov´ e a turbulentn´ı. Pˇri lamin´ arn´ım proudˇen´ı se d´ıky malé rychlosti a pˇr´ıtomnosti vnitˇrn´ıho tˇren´ı v´ıry znatelnˇe nerozvinou a kapalina se neprom´ıcháv´ a. Profil proudˇen´ı je parabolick´ y, jak naznaˇceno na obr. 66. Laminárn´ı proudˇen´ı se m˚ uˇze udrˇzet pouze do jisté stˇredn´ı rychlosti proudˇen´ı. Pˇri zv´ yˇsen´ı rychlosti proudˇen´ı nad tuto mez docház´ı ke vzniku pˇrechodového a posléze turbulentn´ıho proudˇen´ı. Turbulentn´ı proudˇen´ı se vyznaˇcuje znateln´ ymi v´ıry a docház´ı k prom´ıcháv´ an´ı kapaliny. Rychlost ˇcástic kapaliny se nepravidelnˇe mˇen´ı a rychlostn´ı profil nen´ı parabolick´ y (obr. 67)

Obr´ azek 67: Rychlostn´ı profil pro turbulentn´ı proudˇen´ı. Zmˇeny rychlosti podél pˇr´ıˇcného ˇrezu potrub´ım nejsou tak v´ yrazné, jako pro lamin´ arn´ı proudˇen´ı.

90


Laminárn´ı proudˇen´ı potrub´ım Rozebereme proudˇen´ı kapaliny potrub´ım o polomˇeru r a délce ∆l (obr. 68)

x

y p12

r p11

∆l

Obr´ azek 68: K rozboru lamin´ arn´ıho proudˇen´ı potrub´ım. Proudˇen´ı uvaˇzujeme ve smˇeru osy x a jeho rychlost se mˇen´ı v pˇr´ıˇcném pr˚ uˇrezu od nuly pˇri stˇenˇe potrub´ı do maximáln´ı hodnoty uprostˇred. Na kapalinu p˚ usob´ı tlakové s´ıly a s´ıly vnitˇrn´ıho tˇren´ı. Uvaˇzujme element kapaliny ve tvaru v´ alce o polomˇeru y a délce ∆l. V´ ysledná tlakov´ a s´ıla na tento v´ alec p˚ usob´ı ve smˇeru proudˇen´ı a je rovna (po délce potrub´ı docház´ı k poklesu tlaku v d˚ usledku vnitˇrn´ıho tˇren´ı) Fp “ πy 2 pp11 ´ p12 q “ πy 2 ∆p1

(5.106)

Proti tlakové s´ıle p˚ usob´ı s´ıla vnitˇrn´ıho tˇren´ı, jej´ıˇz velikost je dána souˇcinem teˇcného napˇet´ı a povrchu stˇeny v´ alcového elementu Ft “ 2πy∆lτ

(5.107)

Pˇri ust´ aleném lamin´ arn´ım proudˇen´ı se obˇe s´ıly vyrovnaj´ı πy 2 ∆p1 “ Ft “ 2πy∆lτ

(5.108)

Za τ dosad´ıme z Newtonova zákona (5.100) s uváˇzen´ım faktu, ˇze v naˇsem pˇr´ıpadˇe rychlost v s rostouc´ı dv hodnotou y klesá, tedy τ “ ´η dy . Dostaneme postupnˇe πy 2 ∆p1 “ ´2πy∆lη

dv dy

∆p1 ydy 2∆lη ∆p1 2 y `C v “´ 4∆lη dv “ ´

(5.109)

Velikost integraˇcn´ı konstanty urˇc´ıme z podm´ınky, ˇze rychlost je nulov´ a u stˇeny potrub´ı py “ rq C“

∆p1 2 r 4∆lη

(5.110)

Dostáv´ ame pak kvadratickou závislost rychlosti na y - souˇradnici v“

˘ ∆p1 ` 2 r ´ y2 4∆lη

(5.111)

tedy rychlostn´ı profil je parabolick´ y. Objemov´ y pr˚ utok Q potrub´ım vypoˇc´ıt´ ame integrac´ı pr˚ utoku element´ arn´ımi plochami dS ve tvaru mezikruˇz´ı o polomˇeru y a tlouˇst’ce dy, kolm´ ych na smˇer proudˇen´ı. Plat´ı

91


˘ ∆p1 ` 2 r ´ y 2 2πydy 4∆lη V´ ysledn´ y objemov´ y pr˚ utok z´ısk´ ame integrac´ı dQ “ vdS “

Q“

żr 0

˘ ∆p1 ` 2 2π∆p1 r ´ y 2 2πydy “ 4∆lη 4∆lη

„

r2 y 2 y4 ´ 2 4

(5.112)

r

0

“

π∆p1 4 r 8∆lη

(5.113)

Vztah (5.113) je naz´ yván Hagen-Poiseuillov´ ym z´ akonem a plat´ı pouze pro lamin´ arn´ı proudˇen´ı kapaliny. Pomoc´ı objemového pr˚ utoku se zav´ ad´ı tzv. stˇredn´ı rychlost proudˇen´ı, coˇz je rychlost, jakou by musela kapalina proudit v celém potrub´ı pr˚ umˇeru d, aby se dos´ ahlo stejného pr˚ utoku jako v (5.113) ~v “

4Q πd2

(5.114)

Bezrozmˇerná kritéria toku K popisu turbulentn´ıho proudˇen´ı je tˇreba uˇz´ıt empirické vztahy, které byly z´ısk´ any zobecnˇen´ım velkého poˇctu mˇeˇren´ı. Hydromechanické dˇeje se ˇcasto studuj´ı na zmenˇsen´ ych modelech reáln´ ych zaˇr´ızen´ı. Aby bylo moˇzno takto z´ıskané v´ ysledky pˇrenést na origin´ al, mus´ı model a originál splˇ novat kritéria geometrické a hydromechanické podrobnosti. K dosaˇzen´ı hydromechanické podobnosti navrhl Reynolds kritérium charakterizované bezrozmˇern´ ym parametrem - tzv. Reynoldsov´ ym ˇc´ıslem. Dalˇs´ım d˚ uleˇzit´ ym bezrozmˇern´ ym parametrem je souˇcinitel vnitˇrn´ıho tˇren´ı. Oba parametry obsahuj´ı snadno mˇeˇritelné veliˇciny charakterizuj´ıc´ı proudˇen´ı: stˇredn´ı rychlost ~v (5.114), dynamick´ a viskozita η a pokles tlaku zp˚ usoben´ y vnitˇrn´ım tˇren´ım vztaˇzen´ y na jednotku délky potrub´ı ∆p1 {∆l. Reynoldsovo ˇc´ıslo je definov´ ano jako veliˇcina u ´mˇern´ a pomˇeru stˇredn´ı hodnoty kinetické energie objemové jednotky kapaliny a práce potˇrebné na pˇremáhán´ı vnitˇrn´ıho tˇren´ı ve stejném objemu, které je rovno pˇr´ımo teˇcnému napˇet´ı. Dosad´ıme-li za dv umˇernou hodnotu zmˇeny rychlosti od stˇeny potrub´ı ke dr pr˚ v cn´ y pomˇer stˇredu v¯{r “ 2¯ d , bude dotyˇ 1 v2 2 ρ¯ v η 2¯ d

“

1 ρ¯ vd 4 η

(5.115)

Reynoldsovo ˇc´ıslo se pak definuje bez ˇc´ıselného souˇcinitele jako Re “

ρ¯ vd η

(5.116)

Je zˇrejmé, ˇze se vzr˚ ustaj´ıc´ı stˇredn´ı rychlost´ı proudˇen´ı hodnota Reynoldsova ˇc´ısla stoupá. Je-li tedy rychlost proudˇen´ı mal´ a, pˇrevládne vliv vnitˇrn´ıho tˇren´ı, v´ıry se podstatnˇe nerozvinou. Hodnota Re bude mal´ a. Se vzr˚ ustaj´ıc´ı rychlost´ı poroste intenzita tvorby v´ır˚ u a lamin´ arn´ı proudˇen´ı se zmˇen´ı v turbulentn´ı. Dojde k tomu pˇri urˇcité kritické hodnotˇe Rekr , která se pro dan´ y systém urˇcuje experiment´ alnˇe (typick´ a hodnota Rekr « 1000). Re ą Rekr indikuje turbulentn´ı proudˇen´ı. Nakonec hodnoty Re Ñ 8 indikuj´ı potenciálové (nev´ırové) proudˇen´ı kapaliny bez vnitˇrn´ıho tˇren´ı. Souˇ cinitel vnitˇ rn´ıho tˇ ren´ı λ se pouˇz´ıvá k vyj´ adˇren´ı ztr´ aty mechanické energie pˇri proudˇen´ı kapaliny pˇr´ım´ ym potrub´ım a je definov´ an vztahem λ“

∆p1 ℓ d

¯k E

1

2 ∆p ℓ d “ ρ¯ v2

(5.117)

2 ¯k “ 1 ρ¯ redn´ı kinetick´ a energie objemové jednotky kapaliny. Pouˇzit´ım Hagen-Poiseuillova kde E 2 v je stˇ zákona lze naj´ıt následuj´ıc´ı vztah mezi λ a Re (odvozen´ı pˇrenecháv´ ame posluchaˇci)

λ“

64 Re

(5.118)

ych typ˚ u proudˇen´ı bezrozmˇern´ ymi parametry Shrnut´ı: Charakterizace jednotliv´

Proudˇen´ı ideáln´ı kapaliny λ “ 0

Re Ñ 8

Turbulentn´ı proudˇen´ı

λ malé Re ą Rekr

Laminárn´ı proudˇen´ı

λ velké Re ă Rekr

92


Stokes˚ uv zákon Pohybuje-li se tˇeleso v tekutinˇe, klade tekutina jeho pohybu odpor, kter´ y je pˇri pomalé rychlosti u ´mˇern´ y jej´ı velikosti. Pro kouli polomˇeru r pohybuj´ıc´ı se pomalu rychlost´ı v v neohraniˇceném prostˇred´ı tekutiny, která kouli laminárnˇe obtéká, odvodil Stokes odporovou s´ılu F “ 6πηrv

(5.119)

Pˇri volném pádu koule ve viskozn´ı kapalinˇe bude jej´ı rychlost vzr˚ ustat aˇz do chv´ıle, neˇz odporová s´ıla (5.119) vyrovná s´ılu t´ıhovou. Koule dosáhne mezn´ı rychlosti vm , pro kterou bude zˇrejmˇe platit V ps ´ ρqg “ 6πηrvm

(5.120)

kde V je objem koule, s jej´ı hustota a ρ hustota kapaliny. Dosazen´ım za objem koule dostaneme 2 gr2 ps ´ ρq vm “ (5.121) 9 η Mezn´ı rychlost klesá s druhou mocninou polomˇeru koule. Pˇr´ıkladem je velmi malá rychlost sedimentace drobn´ ych ˇcásteˇcek v suspenz´ıch. Volného pádu kuliˇcek známého polomˇeru a hustoty lze rovnˇeˇz vyuˇz´ıt k mˇeˇren´ı dynamické viskozity. ych sil p˚ usob´ıc´ıch na tˇeleso libovolného Poznámka: Vyˇsetˇrit velikost odporov´ tvaru pˇri r˚ uzn´ ych rychlostech pohybu v˚ uˇci tekutému prostˇred´ı je ovˇsem velmi sloˇzit´ yu ´kol, kter´ y je tˇreba ˇcasto ˇreˇsit experimentálnˇe.

Kapitola 6

Vlnˇ en´ı Pojem vlnˇen´ı je kaˇzdému dobˇre znám z bˇeˇzného ˇzivota. Jde o ˇs´ıˇren´ı rozruchu, kter´ y vznikne, uvedeme-li napˇr. element kontinua do kmitavého pohybu. Prostˇrednictv´ım elastick´ ych vazeb mezi elementy kontinua se pak kmitav´ y pohyb a jeho energie ˇs´ıˇr´ı prostorem (pohyb elementu kontinua vˇsak z˚ ustává omezen na pohyb kolem rovnováˇzné polohy). Vytváˇr´ı se tak postupné vlnˇen´ı. Vlnˇen´ı m˚ uˇzeme rozdˇelit na mechanick´ e, jehoˇz typick´ ym pˇr´ıkladem je zvuk, a elektromagnetick´ e, které vzniká pˇri zrychleném pohybu nabit´ ych ˇcástic nebo pˇri zmˇenách elektronové struktury látek. Rozd´ıl mezi obˇema druhy vlnˇen´ı spoˇc´ıvá v tom, ˇze ˇs´ıˇren´ı mechanického vlnˇen´ı je vázáno na hmotné prostˇred´ı, zat´ımco elektromagnetické vlnˇen´ı se m˚ uˇze ˇs´ıˇrit hmotn´ ym prostˇred´ım i vakuem. V tomto v´ ykladu se budeme zab´ yvat pouze mechanick´ ym vlnˇen´ım, i kdyˇz matematick´ y popis je obdobn´ y i pro elektromagnetické vlnˇen´ı, jeˇz bude pˇredmˇetem elektˇriny, magnetismu a optiky. 6.1.

Z´ akladn´ı pojmy vlnˇ en´ı

Mechanické vlnˇen´ı ˇs´ıˇr´ıc´ı se trojrozmˇern´ ym kontinuem m˚ uˇzeme rozdˇelit podle vztahu smˇeru, ve kterém kmitaj´ı ˇcástice kontinua, a smˇeru, ve kterém se rozruch ˇs´ıˇr´ı, na pˇ r´ıˇ cn´ e (transverzáln´ı) a pod´ eln´ e (longitudináln´ı). Vznik pˇr´ıˇcného vlnˇen´ı lze demonstrovat na pokusu s lanem (obr. 69 a), kde je nositelem pˇrenosu elastická deformace lana. Element lana P koná pohyb ve smˇeru kolmém na ˇs´ıˇren´ı vlny, ale ve smˇeru totoˇzném se ˇs´ıˇren´ım vlny se nepˇrem´ıst’uje. U podélného vlnˇen´ı konaj´ı ˇcástice kontinua kmitav´ y ˇıˇren´ı podélného pohyb ve smˇeru ˇs´ıˇren´ı, aniˇz by se pˇritom pˇrem´ıst’ovaly. S´ vlnˇen´ı lze demonstrovat na pokusu s pruˇzinou, kde se ˇs´ıˇr´ı oblast lokáln´ıho stlaˇcen´ı a prodlouˇzen´ı (obr. 69 b). ˇıˇren´ı pˇr´ıˇcného vlnˇen´ı je omezeno na pevné látky, protoˇze vyˇzaduje Poznámka: S´ pˇr´ıtomnost teˇcn´ ych napˇet´ı. Ta se v kapalinách a plynech nemohou trvale udrˇzet, proto se v nich pˇr´ıˇcné vlnˇen´ı rychle utlum´ı. Podélné vlnˇen´ı je podm´ınˇeno pˇr´ıtomnost´ı normálov´ ych napˇet´ı a m˚ uˇze se ˇs´ıˇrit vˇsemi druhy 93

ˇ Í KAPITOLA 6. VLNEN

94

P

K

P

R

K

P P

R

R

K

R

podélné (a) pˇr´ıˇcné vlnˇen´ı ˇs´ıˇr´ıc´ı se la- (b) v pruˇzinˇe nem

K vlnˇen´ı

Obr´ azek 69: K oznaˇcuje kompresn´ı oblast, R relaxaˇcn´ı oblast.

prostˇred´ı. Pokud zdroj vlnˇen´ı (kmitaj´ıc´ı ˇcástice kontinua) koná harmonick´ y pohyb, oznaˇc´ıme vzniklé vlnˇen´ı jako harmonick´ e vlnˇ en´ı. Frekvence harmonického kmitu bude i frekvenc´ı harmonického vlnˇen´ı. V dalˇs´ım v´ ykladu se budeme zab´ yvat pouze harmonick´ ym vlnˇen´ım. Rychlost, s jakou se rozruch ˇs´ıˇr´ı prostˇred´ım, oznaˇcujeme jako rychlost ˇs´ıˇren´ı vlnˇen´ı neboli f´ azovou rychlost. Závis´ı na druhu prostˇred´ı. Minimáln´ı vzdálenost mezi dvˇema body, které pˇri ˇs´ıˇren´ı vlnˇen´ı kmitaj´ı ve stejné fázi oznaˇcujeme jako vlnovou délku λ. Závis´ı rovnˇeˇz na druhu prostˇred´ı. Poloˇzme nyn´ı poˇcátek souˇradného systému do zdroje pˇr´ıˇcného harmonického vlnˇen´ı a uvaˇzujme jednorozmˇerné vlnˇen´ı, ˇs´ıˇr´ıc´ı se ve smˇeru osy x. V´ ychylky ˇcástic budou ve smˇeru kolmém na smˇer osy x a oznaˇc´ıme je u. Zdroj v poˇcátku bude konat harmonick´ y pohyb, pro jehoˇz v´ ychylku plat´ı u0 ptq “ A sin ωt

(6.1)

Rozruch se bude ˇs´ıˇrit podél osy x fázovou rychlost´ı v, takˇze do nˇejakého bodu P o souˇradnici x doraz´ı za ˇcas τ “ x{v. Znamená to, ˇze v´ ychylka upx, tq v bodˇe P bude stejná jako v´ ychylka zdroje v ˇcase t ´ τ “ t ´ x{v. Bude tedy platit ´ ´ x¯ x¯ upx, tq “ u0 t ´ “ A sin ω t ´ (6.2) v v Harmonické vlnˇen´ı je tedy popsáno harmonickou funkc´ı souˇradnic a ˇcasu. Naz´ yváme ji vlnovou funkc´ı. V´ yznam veliˇcin vystupuj´ıc´ıch ve vlnové funkci je zˇrejm´ y z obr. 70, kter´ y zachycuje harmonické vlnˇen´ı ve dvou 1 r˚ uzn´ ych ˇcasech t a t a ˇcasov´ y pr˚ ubˇeh v´ ychylky bodu x “ λ. Vlnová funkce (6.2) popisuje postupné harmonické vlnˇen´ı ˇs´ıˇr´ıc´ı se v kladném smˇeru osy x. Vlnˇen´ı ˇs´ıˇr´ıc´ı se v záporném smˇeru osy x bude popsáno vlnovou

´ Í POJMY VLNEN ˇ Í 6.1.. ZAKLADN

u

95

λ

A

x Á

t

1

vpt ´ tq

t1

(a) upx “ λq A

t1

t Á T (b) Obr´ azek 70: Harmonické vlnˇen´ı ve dvou r˚ uzn´ ych ˇcasech t1 ą t a ˇcasov´ y pr˚ ubˇeh v´ ychylky bodu o souˇradnici x “ λ.


96

funkc´ı

x¯ (6.3) upx, tq “ A sin ω t ` v Vlnovou funkci lze rovnˇeˇz vyjádˇrit pomoc´ı vlnové délky λ. Podle definice vlnové délky je v m´ıstech x a x ´ λ stejná v´ ychylka ´

upx ´ λ, tq “ upx, tq ˙ ˆ ´ x¯ x´λ “ A sin ω t ´ A sin ω t ´ v v

a stejná rychlost pohybu ˇcástic ˇ Bu ˇˇ Bu “ Bt ˇ Bt ˆ x´λ ˙ ´ x´λ x¯ Aω cos ω t ´ “ Aω cos ω t ´ v v

(6.4)

(6.5)

Aby obˇe podm´ınky byly splnˇeny, mus´ı se argumenty goniometrick´ ych funkc´ı liˇsit o 2π, tedy ˙ ˆ ´ x¯ x´λ “ω t´ ` 2π (6.6) ω t´ v v odkud dostaneme následuj´ıc´ı vztahy mezi vlnovou délkou, fázovou rychlost´ı, periodou a frekvenc´ı λ “ T, λ “ vT, v “ λf v Vlnovou funkci lze pak zapsat ve tvaru ˙ ˆ x t ´ upx, tq “ A sin 2π T λ Koneˇcnˇe zavád´ıme tzv. vlnové ˇc´ıslo k vztahem 2π λ S n´ım pˇrejde vlnová funkce do tvaru k“

upx, tq “ A sinpωt ´ kxq

(6.7)

(6.8)

(6.9)

(6.10)

Poznámka: Jestliˇze u pˇr´ıˇcného vlnˇen´ı leˇz´ı v´ ychylky vˇsech ˇcástic ve stejné rovinˇe, hovoˇr´ıme o lineárn´ı nebo rovinné polarizaci. Pokud jednotlivé ˇcástice kmitaj´ı v r˚ uzn´ ych smˇerech (mohou opisovat napˇr. Lissajousovy obrazce s urˇcit´ ym fázov´ ym zpoˇzdˇen´ım), hovoˇr´ıme o nepolarizovaném vlnˇen´ı. Speciáln´ım pˇr´ıpadem je, kdyˇz v´ ychylky u se ve vˇsech rovinách rovnomˇernˇe otáˇcej´ı a ˇcástice pˇritom opisuj´ı kruˇznici nebo elipsu, hovoˇr´ıme o kruhovˇe nebo elipticky polarizovaném vlnˇen´ı.

´ ROVNICE 6.2.. VLNOVA

97

u x λ{2 λ

v

u Obr´ azek 71: Podélné harmonické vlnˇen´ı.

U podélného harmonického vlnˇen´ı se harmonická v´ ychylka uskuteˇcn ˇuje ve smˇeru ˇs´ıˇren´ı. Obraz podélného vlnˇen´ı lze z´ıskat, sklop´ıme-li pˇr´ıˇcnˇe kmitaj´ıc´ı body do smˇeru ˇs´ıˇren´ı (obr. 71). Jednotlivé body lineárn´ı ˇrady se pak stˇr´ıdavˇe zhuˇst’uj´ı a zˇred’uj´ı.

6.2.

Vlnov´ a rovnice

Vlnová funkce (6.8) je ˇreˇsen´ım tzv. vlnové rovnice, kterou nyn´ı nalezneme. Zderivujeme vlnovou funkci dvakrát dle souˇradnice a dvakrát dle ˇcasu. Bude ˆ ˙ B2u t 4π 2 x “ Á 2 sin 2π ´ Bx2 λ T λ ˆ ˙ (6.11) t B2u 4π 2 x “ Á 2 sin 2π ´ Bt2 T T λ Porovnán´ım tˇechto vztah˚ u z´ıskáme tzv. vlnovou rovnici pro vlnˇen´ı ˇs´ıˇr´ıc´ı se ve smˇeru osy x B2u T 2 B2u 1 B2u “ 2 2 “ 2 2 Bx2 λ Bt v Bt

(6.12)

Tento postup lze zobecnit na vlnovou funkci popisuj´ıc´ı ˇs´ıˇren´ı v prostoru a dostaneme obecnou vlnovou rovnici 1 B2u B2u B2u B2u ` ` “ 2 2 Bx2 By 2 Bz 2 v Bt

(6.13)

Lze ukázat, ˇze vlnovou rovnici splˇ nuj´ e funkce typu ˘ `harmonick´ ˘ ` ı nejen x x (6.2), ale libovolné funkce argument˚ u t ´ v a t ` v . Plat´ı pˇritom, ˇze kaˇzdá funkce splˇ nuj´ıc´ı vlnovou rovnici popisuje vlnˇen´ı.


98

dm

Obr´ azek 72: V´ ykon pˇrenáˇsen´ y harmonick´ ym vlnˇen´ım v napnuté strunˇe.

6.3.

V´ ykon pˇ ren´ aˇ sen´ y vlnˇ en´ım a intenzita vlnˇ en´ı

Odvozen´ı v´ ykonu pˇrenáˇseného vlnˇen´ı v lineárn´ı ˇradˇe provedeme na pˇr´ıkladu vlny procházej´ıc´ı napnutou strunou (obr. 72) Element dm vln´ıc´ı se struny koná lineárn´ı harmonické kmity s energi´ı 1 1 (6.14) dE “ dmω 2 A2 “ ρl dxω 2 A2 2 2 kde ρl je lineárn´ı hustota struny a dx jej´ı délkov´ y element. V´ ykon z´ıskáme jako energii pˇrenesenou za jednotku ˇcasu elementem struny dE 1 dx 1 “ ρl ω 2 A2 “ ρl vω 2 A2 (6.15) dt 2 dt 2 Lze ukázat, ˇze v´ ykon kaˇzdého harmonického vlnˇen´ı závis´ı na veliˇcinách v, ω a A stejnˇe jako v (6.15). Intenzitou vlnˇ en´ı rozum´ıme v´ ykon vlnˇen´ı pˇrenesen´ y jednotkovou plochou kolmou ke smˇeru ˇs´ıˇren´ı. Odvod´ıme ji na pˇr´ıkladu podélného harmonického vlnˇen´ı ˇs´ıˇr´ıc´ıho se vzduchov´ ym sloupcem pr˚ uˇrezu S. V´ ychylka objemového elementu ve smˇeru ˇs´ıˇren´ı je ˆ ˙ t x upx, tq “ A sin 2π ´ (6.16) T λ P “

Energii elementu plynu, kter´ y koná harmonick´ y pohyb vyjádˇr´ıme obdobnˇe jako v (6.14) 1 1 dE “ dmω 2 A2 “ ρSdxω 2 A2 2 2

(6.17)

a intenzita bude I“

1 dx 1 1 dE “ ρω 2 A2 “ ρvω 2 A2 S dt 2 dt 2

(6.18)

ˇ ÍME ´ RAD ˇ ˇ STOJATE ´ VLNEN ˇ Í 6.4.. INTERFERENCE VLN V PR E,

99

Vid´ıme, ˇze intenzita je závislá na v, ω a A stejn´ ym zp˚ usobem jako v (6.15), pouze lineárn´ı hustota je zde nahrazena objemovou hustotou. Jednotkou intenzity vlnˇen´ı je Wm´2 . Intenzita vlnˇen´ı se nˇekdy udává jako hladina intenzity B vztaˇzená k referenˇcn´ı Intenzitˇe I0 B “ log

I I0

(6.19)

Protoˇze log II00 “ log 1 “ 0, je hladina vztaˇzné intenzity rovna 0. Hladina intenzity zvuku B se udává v decibelech (dB) a plat´ı β “ 10 log

I I0

(6.20)

kde se za referenˇcn´ı intenzitu povaˇzuje konvenˇcn´ı prahová hodnota slyˇsitelnosti daná hodnotou I0 “ 10´12 Wm´2 pˇri frekvenci 1 kHz. 6.4.

Interference vln v pˇ r´ım´ eˇ radˇ e, stojat´ e vlnˇ en´ı

Pˇri zm´ınce o kruhovˇe nebo elipticky polarizovaném vlnˇen´ı jsme popsali vlny, které vznikaj´ı, pokud element kontinua koná sloˇzené harmonické kmity. Napˇr. pˇri kruhové polarizaci koná element dva nezávislé, navzájem kolmé harmonické kmity, jejichˇz sloˇzen´ım (superpozic´ı) vznikaj´ı kmity kruhové. Lze to chápat tak, ˇze se v bodové ˇradˇe ˇs´ıˇr´ı dvˇe nezávislé vlny popsané v´ ychylkami u1 px, tq a u2 px, tq, jejichˇz sloˇzen´ım dle principu superpozice vznikne v´ ysledná vlna upx, tq “ u1 px, tq ` u2 px, tq

(6.21)

Skládán´ı vln, jeˇz se souˇcasnˇe ˇs´ıˇr´ı ve stejné ˇradˇe, naz´ yváme interferenc´ı. Budeme se nadále zab´ yvat interferenc´ı vln stejné vlnové délky a tedy i stejné periody, pˇritom p˚ ujde vˇzdy o dvˇe vlny pˇr´ıˇcné nebo dvˇe vlny podélné. V´ ychylky v´ ysledné vlny dostaneme algebrick´ ym souˇctem obou d´ılˇc´ıch v´ ychylek. Protoˇze sloˇzen´ım dvou harmonick´ ych kmit˚ u vznikne harmonick´ y kmit, vznikne i sloˇzen´ım dvou harmonick´ ych vln harmonická vlna. Pro charakter v´ ysledné vlny bude rozhoduj´ıc´ı fázové posunut´ı, stejnˇe jako tomu bylo u sloˇzen´ ych kmit˚ u. Uvaˇzujme dvˇe interferuj´ıc´ı vlny ” ´ u1 px, tq “ A1 sin ω t ´ ” ´ u2 px, tq “ A2 sin ω t ´

ı x¯ ` ϕ1 v¯ ı x ` ϕ2 v

(6.22)


100

u ~v

u1 px, tq

x x1 x2

d

u2 px, tq

Obr´ azek 73: Interference vln stejné vlnové délky.

Fázov´ ymi posunut´ımi ϕ1 ‰ ϕ2 vznikne mezi obˇema vlnami dráhov´ y rozd´ıl d “ x2 ´ x1 znázornˇen´ y na obr. 73. Dráhov´ ym rozd´ılem rozum´ıme pˇritom vzdálenost dvou bod˚ u, jejichˇz kmity prob´ıhaj´ı se stejnou fáz´ı. Pˇri postupu obou vln se body x1 a x2 pohybuj´ı smˇerem nahoru. Jejich fáze je tedy rovna 0, 2π, 4π, . . . a plat´ı x1 ¯ ` ϕ1 “ 0, 2π, . . . ω t´ v¯ ´ x2 ` ϕ2 “ 0, 2π, . . . ω t´ v Odeˇcteme-li obˇe rovnice, dostaneme ´

(6.23)

ω 2π 2π px2 ´ x1 q “ d“ d (6.24) v vT λ pˇritom m˚ uˇzeme k v´ yrazu na pravé stranˇe pˇripoˇc´ıtat libovoln´ y násobek 2π. Podle pravidel o skládán´ı kmit˚ u se kmity bod˚ u x1 a x2 nejv´ıce zes´ıl´ı, budou- li kmitat ve fázi, tj. ϕ2 ´ ϕ1 “ 0, 2π, 4π, . . . Tomu pˇr´ısluˇs´ı dráhov´ y rozd´ıl 2π λ d “ 0, 2π, . . . ñ d “ . . . , ´λ, 0, λ, 2λ, . . . “ ˘2k (6.25) λ 2 kde k je celé ˇc´ıslo. Amplituda vlnˇen´ı bude v tomto pˇr´ıpadˇe dána souˇctem A1 ` A2 . Kmity bod˚ u x1 a x2 se maximálnˇe zeslab´ı, pokud bude fázové posunut´ı ϕ2 ´ ϕ1 “ π, 3π, 5π . . . tedy dráhov´ y rozd´ıl bude λ 1 1 3 5 (6.26) d “ x2 ´ x1 “ . . . ´ λ, λ, λ, λ, . . . “ ˘p2k ´ 1q 2 2 2 2 2 Zde se v´ ysledná amplituda rovná rozd´ılu obou amplitud A “ A1 ´ A2 . Jsou-li A1 a A2 stejné, vlnˇen´ı se interferenc´ı zcela zruˇs´ı. ϕ2 ´ ϕ1 “

ˇ ÍME ´ RAD ˇ ˇ STOJATE ´ VLNEN ˇ Í 6.4.. INTERFERENCE VLN V PR E,

101

Dalˇs´ı d˚ uleˇzit´ y pˇr´ıpad interference nastane, ˇs´ıˇr´ı-li se obˇe vlny bodovou ˇradou v navzájem opaˇcn´ ych smˇerech. Poloˇzme poˇcátek souˇradnice x do m´ısta, kde se v ˇcase t “ 0 proti sobˇe postupuj´ıc´ı vlny se stejnou amplitudou A setkaj´ı tak, ˇze mezi kmity bod˚ u x nebude ˇzádn´ y fázov´ y posun. Pak budou jednotlivé vlny popsány rovnicemi ˙ x t ´ u1 “ A sin 2π T λ ˆ ˙ t x u2 “ A sin 2π ` T λ ˆ

(6.27)

kde prvn´ı vlna postupuje napravo a druhá nalevo. V´ ysledná vlna bude urˇcena souˇctem obou v´ ychylek. S pouˇzit´ım souˇctov´ ych vzorc˚ u bude platit x t x t cos 2π ´ A cos 2π sin 2π ` T λ T λ x t x t À sin 2π cos 2π ` A cos 2π sin 2π T λ T λ

u “ u1 ` u2 “ A sin 2π

(6.28)

x t u “ 2A cos 2π sin 2π λ T Ve vˇsech m´ıstech bodové ˇrady vzniknou harmonické kmity se stejnou fáz´ı, ale promˇennou amplitudou, které závis´ı na souˇradnici x podle vztahu x (6.29) λ Amplituda bude nejvˇetˇs´ı v m´ıstech, pro které plat´ı cos 2π λx “ ˘1, tedy Av “ 2A cos 2π

λ 2λ 3λ x “ 0, ˘ , ˘ , ˘ , . . . (6.30) 2 2 2 Tato m´ısta naz´ yváme kmitnami k. Mezi nimi leˇz´ı m´ısta, tzv.uzly u, kde jsou body trvale v klidu. Plat´ı pro nˇe cos 2π λx “ 0, tedy λ 3λ 5λ (6.31) x “ ˘ ,˘ ,˘ ,... 4 4 4 Takto vzniklé vlnˇen´ı naz´ yváme stojat´ ym pˇ r´ıˇ cn´ ym vlnˇ en´ım. Jeho ˇcasov´ y pr˚ ubˇeh je vyobrazen na obr. 74. Podobnˇe jako u pˇr´ıˇcného vlnˇen´ı vznikne stojaté vlnˇen´ı i u vlnˇen´ı podélného. Poznámka: Stojaté vlnˇen´ı nepˇrenáˇs´ı ˇzádnou energii, protoˇze obˇe vlny, které ho vytváˇrej´ı, pˇrenáˇsej´ı stejnou energii, ale kaˇzdá opaˇcn´ ym smˇerem. D˚ uleˇzitost stojatého vlnˇen´ı spoˇc´ıvá ve skuteˇcnosti, ˇze toto vlnˇen´ı vzniká v lineárn´ıch u ´tvarech odrazem postupn´ ych vln na konci u ´tvaru. Na pevném konci se vlna odráˇz´ı s obrácenou fáz´ı, nebot’ konec nem˚ uˇze kmitat a jeho reakc´ı vznikne s´ıla, která zmˇen´ı v´ ychylku posledn´ıho bodu v opaˇcnou a vlna


102

t“0

t “ T {4 u

u x

t “ T {2

u x

t “ 3T {4 x

u x

(a) vlnˇen´ı postupuj´ıc´ı v záporném smˇeru osy x u

u

u

u

x x

x

x

(b) vlnˇen´ı postupuj´ıc´ı v kladném smˇeru osy x u

k

u

u

k

λ{2

u

u

u

x

u

x u

x

k

(c) stojaté vlnˇen´ı vzniklé superpozic´ı a) a b) ˇ Obr´ azek 74: Casov´ y pr˚ ubˇeh stojatého vlnˇen´ı

se ˇs´ıˇr´ı zpˇet. Postupuj´ıc´ı a odraˇzené vlnˇen´ı vytváˇr´ı stojaté vlnˇen´ı, které má na pevném konci uzel. Na volném konci bodové ˇrady se posledn´ı bod vych´ yl´ı a zpˇetn´ ym p˚ usoben´ım na pˇredchoz´ı bod jej vych´ yl´ı ve stejném smyslu. Vlna se odráˇz´ı se stejnou fáz´ı a vytvoˇr´ı s postupuj´ıc´ı vlnou stojaté vlnˇen´ı, které má na konci kmitnu. Má- li bodová ˇrada oba konce pevné, mohou na n´ı vzniknout jen takové stojaté vlny, které maj´ı na obou konc´ıch uzly. Na délce l bodové ˇrady mus´ı b´ yt celistv´ y poˇcet p˚ ulvln, tedy λn n “ l, n “ 1, 2, 3, . . . (6.32) 2 Bodová ˇrada tedy m˚ uˇze chvˇet s frekvencemi n v “ v (6.33) νn “ λn 2l Tyto frekvence naz´ yváme vlastn´ımi frekvencemi. Základn´ı frekvence v v ulvlna. Frekvence bude ν1 “ λ1 “ 2l a pˇri n´ı se na ˇradˇe vytvoˇr´ı jediná p˚ νn vyˇsˇs´ıch harmonick´ ych jsou celistv´ ym násobkem základn´ı frekvence, tedy νn “ nν1 . Stejn´ y v´ ysledek dostaneme u bodové ˇrady s obˇema konci voln´ ymi. Na obou konc´ıch budou kmitny a uprostˇred uzel. Bude-li jeden konec ˇrady pevn´ y a druh´ y voln´ y, bude na jednom konci uzel a na druhém kmitna. Na bodovou ˇradu se rozloˇz´ı lich´ y poˇcet ˇctvrtvln. Pˇri základn´ı frekvenci pˇripadne na délku l jedna ˇctvrtvlna, takˇze vlnová délka λ1 “ 4l a ν1 “ 4lv . Pro vyˇsˇs´ı harmonické plat´ı p2n ´ 1q λ4n “ l a νn “ λvn “ p2n ´ 1q 4lv “ p2n ´ 1qν1 .

x

ˇ Í VLN V PROSTORU 6.5.. SˇÍREN

103

(a) oba konce pevné

(b) oba konce volné

(c) jeden konec pevn´ y a jeden voln´ y Obr´ azek 75: Chvˇen´ı bodové ˇrady pˇri základn´ı frekvenci

Srovnán´ım vˇsech tˇr´ı pˇr´ıpad˚ u uvád´ıme v obr. 75. Popsan´ ym zp˚ usobem mohou pˇr´ıˇcnˇe chvˇet struny a podélnˇe tenké tyˇce a vzduchové sloupce. Kromˇe základn´ıho chvˇen´ı vznikaj´ı vˇzdy i vyˇsˇs´ı harmonické, o jejichˇz poˇctu a amplitudˇe rozhoduje zp˚ usob rozechvˇen´ı. Toho se vyuˇz´ıvá u hudebn´ıch nástroj˚ u. 6.5.

ˇ ıˇ S´ ren´ı vln v prostoru

Podstatu vlnˇen´ı jsme vyloˇzili na modelu bodové ˇrady. Smˇer bodové ˇrady byl i smˇerem ˇs´ıˇren´ı vlnˇen´ı. Obecnˇe se smˇer ˇs´ıˇren´ı vln charakterizuje tzv. paprskem. Bodová ˇrada pˇredstavuje jedin´ y paprsek. V trojrozmˇerném prostoru je vlnˇen´ı charakterizováno vˇzdy svazkem paprsk˚ u. V prostoru, j´ımˇz se vlnˇen´ı ˇs´ıˇr´ı, lze vést tzv. vlnoplochy, v jejichˇz bodech maj´ı kmity vlnˇen´ı vˇzdy stejnou fázi. Ve svazku rovnobˇeˇzn´ ych paprsk˚ u jsou vlnoplochy roviny kolmé ke smˇeru ˇs´ıˇren´ı vlny, hovoˇr´ıme pak o rovinn´ e vlnˇ e. Obecnˇe mohou m´ıt vlnoplochy i jin´ y tvar, elementárn´ı ˇcást vlnoplochy lze vˇsak vˇzdy povaˇzovat za rovinnou a kolmou k paprsku, kter´ y j´ı procház´ı. Vlnoplocha je obecnˇ e v kaˇ zd´ em bodˇ e kolm´ a k paprsku, kter´ y j´ım proch´ az´ı. Prostorové vlnˇen´ı si také m˚ uˇzeme pˇredstavit jako postup jednotliv´ ych vlnoploch fázovou rychlost´ı v. Rovinná vlna se m˚ uˇze ˇs´ıˇrit v obecném smˇeru, kter´ y je charakterizován jednotkov´ ym vektorem ~n kolm´ ym k vlnoplochám. Poloha jednotliv´ ych bod˚ u na zvoleném paprsku je ~r. Skalárn´ı souˇcin ~r ¨ ~n “ s pˇredstavuje pr˚ umˇet pr˚ uvodiˇce do smˇeru paprsku, tedy vzdálenost


104

vlnoplochy od vlnoplochy procházej´ıc´ı právˇe poˇcátkem soustavy souˇradné. Harmonickou rovinnou vlnu lze popsat pomoc´ı vzdálenosti s ¯ ´ ´ ω s¯ (6.34) “ A sin ωt ´ ~n ¨ ~r ups, tq “ A sin ω t ´ v v Pod´ıl ωv je vlnové ˇc´ıslo a vektor ~k “ ω ~n (6.35) v bude charakterizovat rovnˇeˇz smˇer ˇs´ıˇren´ı vlnˇen´ı prostorem. Naz´ yváme jej vlnov´ ym vektorem. Harmonická rovinná vlna pak bude popsána vztahem up~r, tq “ A sinpωt ´ ~k ¨ ~rq (6.36) Uvaˇzujme nyn´ı zdroj vlnˇen´ı jako malou pulsuj´ıc´ı kouli (ˇci bodov´ y zdroj vlnˇen´ı) v izotropn´ım prostˇred´ı nepohlcuj´ıc´ım energii. Vlnˇen´ı se bude ˇs´ıˇrit do vˇsech smˇer˚ u fázovou rychlost´ı v a za ˇcas t dospˇeje do vzdálenosti r “ vt, tedy na povrch koule o polomˇeru r Vzniká kulov´ a vlna. Energie pˇrenáˇsená vlnˇen´ım se v tomto pˇr´ıpadˇe rozdˇeluje na stále vˇetˇs´ı plochy 4πr2 . Na ploˇsnou jednotku kulové plochy pˇripadá dle (6.14) energie u ´mˇerná E„

A2 A2 „ 2 S r

(6.37)

tedy amplituda kmit˚ u na vlnoplochách klesá jako Ar se vzdálenost´ı od zdroje. Pro pulsuj´ıc´ı kouli o polomˇeru r0 a pro harmonické kmity jej´ıch bod˚ u na povrchu ve smˇeru pr˚ uvodiˇce a s amplitudou A bude kulová vlna popsána rovnic´ı ˙ ˆ r ´ r0 r0 A (6.38) sin ω t ´ upr, tq “ r v u bodového zdroje v m´ıstˇe r “ 0 to bude 1 ´ r¯ upr, tq “ f t ´ (6.39) r v Kolem bodového zdroje si lze pˇredstavit libovolnˇe malé vlnoplochy, které v limitn´ım pˇr´ıpadˇe nazveme element´ arn´ımi vlnoplochami. Na myˇslence elementárn´ıch vlnoploch zaloˇzil Huygens sv˚ uj slavn´ y princip mechanismu ˇs´ıˇren´ı vlnˇen´ı prostorem: Vlnˇ en´ı se ˇ s´ıˇ r´ı prostorem tak, ˇ ze vˇ sechny body, do nichˇ z vlnˇ en´ı dospˇ eje, se st´ avaj´ı bodov´ ymi zdroji element´ arn´ıho vlnˇ en´ı, kter´ e se kolem kaˇ zd´ eho bodu rozˇ s´ıˇ r´ı na element´ arn´ı vlnoplochy. Nov´ a v´ ysledn´ a vlnoplocha je ob´ alkou vˇ sech element´ arn´ıch vlnoploch ve smˇ eru, v nˇ emˇ z se vlnˇ en´ı ˇ s´ıˇ r´ı. Huygens˚ uv princip podrobnˇe rozvedl Fresnel, kter´ y ukázal, ˇze elementárn´ı vlnˇen´ı od jednotliv´ ych bod˚ u se navzájem interferenc´ı zesiluj´ı pouze na

˚ JEV 6.6.. DOPPLERUV

105

vnˇejˇs´ı obálce pˇr´ısluˇsn´ ych elementárn´ıch vlnoploch, zat´ımco vˇsude jinde se interferenc´ı ruˇs´ı. Rychlost elastick´ ych vln v látkách Urˇcen´ı rychlosti vln v r˚ uzn´ ych látkách je obecnˇe dosti sloˇzitá u ´loha. Zde uvedeme pouze nˇekolik v´ ysledk˚ u. Rozkmitáme-li napjatou strunu v nˇekterém m´ıstˇe, ˇs´ıˇr´ı se strunou pˇr´ıˇcné vlny fázovou rychlost´ı c σ vst “ (6.40) ρ kde σ je tahové napˇet´ı struny a ρ jej´ı hustota. Rychlost ˇs´ıˇren´ı podéln´ ych vln v tyˇci je dána vzorcem d E (6.41) vtyˇc “ ρ kde E je Young˚ uv modul a ρ hustota tyˇce. Rychlost ˇs´ıˇren´ı podéln´ ych vln v kapalinách a plynech d K vkap “ ρ

(6.42)

kde K je modul objemové pruˇznosti a ρ je hustota kapaliny ˇci plynu. Rychlost pˇr´ıˇcn´ ych a podéln´ ych vln v pevn´ ych látkách d G vpˇr “ (6.43) ρ c 3m´1 K (6.44) vpod “ ρm ` 1 kde G je modul pruˇznosti ve smyku, K modul objemové pruˇznosti a m Poissonova konstanta. Rychlost podéln´ ych vln je asi dvakrát vˇetˇs´ı neˇz rychlost vln pˇr´ıˇcn´ ych. 6.6.

Doppler˚ uv jev

Doppler˚ uv jev (Doppler˚ uv princip) se t´ yká závislosti frekvence vlnˇen´ı na vzájemné rychlosti zdroje a pˇrij´ımaˇce vlnˇen´ı. Obecnˇe jej lze charakterizovat takto: Jestliˇ ze se zdroj vlnˇ en´ı a pozorovatel pohybuj´ı, pak pˇ ri vz´ ajemn´ em pˇ ribliˇ zov´ an´ı je frekvence pˇ rij´ıman´ eho vlnˇ en´ı vyˇ sˇ s´ı a pˇ ri vzdalov´ an´ı naopak niˇ zˇ s´ı. Rozebereme dva v´ yznaˇ cn´ e pˇ r´ıpady:


106 replacemen

1

Z2 Z1

1

w ~

2 3

2

4

4

Z3 Z4

3

P

Z

P ~u

(a) z pohybuj´ıc´ıho se zdroje

(b) z klidného zdroje

ˇıˇren´ı vln Obr´ azek 76: S´

1. Zdroj se pohybuje vzhledem ke klidnému pozorovateli v klidném prostˇred´ı (obr. 6.76a) Je-li rychlost zdroje w “ konst., pak se vlnoplochy smˇerem k pozorovateli zhuˇst’uj´ı. Vlnoplocha 1 byla vyslána z m´ısta Z1 , vlnoplocha 2 po periodˇe T z m´ısta Z2 vzdáleného o wT , vlnoplocha 3 po dalˇs´ı periodˇe T z m´ısta Z3 , jehoˇz vzdálenost od Z2 je wT atd. Vlnová délka je tak smˇerem k pozorovateli o ∆λ “ wT kratˇs´ı. Protoˇze fázová rychlost vlnˇen´ı se nemˇen´ı, pˇrij´ımá pozorovatel vlnˇen´ı s frekvenc´ı v v v v νz “ “ “ v w “ ν (6.45) ´ λ ´ ∆λ λ ´ wT v ´ w ν ν která je vyˇsˇs´ı neˇz frekvence ν, kterou by pozorovatel pˇrij´ımal z klidného zdroje. Pokud se bude zdroj od pozorovatele vzdalovat (nahrad´ıme w Ñ ´w), dostaneme z (6.45) v νz “ ν (6.46) v`w kde νz ă ν. 2. Pozorovatel se pohybuje ve smˇeru ˇs´ıˇren´ı vln od zdroje rychlost´ı u (obr. 6.76b). Zdroj i prostˇred´ı jsou v klidu, ˇcili v pevném bodˇe je frekvence ν “ λv , nicménˇe v˚ uˇci pozorovateli má vlnˇen´ı rychlost v ´ u, takˇze registruje jen vú vú “ ν (6.47) νp “ λ v vln za sekundu. νp je tedy menˇs´ı neˇz ν. Pokud se zdroj a pozorovatel vzdaluj´ı, bude νp zˇrejmˇe vˇetˇs´ı neˇz ν. Pohybuj´ı-li se zdroj i pozorovatel, dostaneme kombinac´ı (6.46) a (6.47) vú vú vú νzp “ “ “ ν (6.48) λ ´ ∆λ λ ´ wT v´w

˚ JEV 6.6.. DOPPLERUV

107

Kdyby se stejn´ ym smˇerem pohybovalo i prostˇred´ı, kter´ ym se vlnˇen´ı ˇs´ıˇr´ı, napˇr. rychlost´ı v˜, museli bychom za rychlost v dosadit rychlost v ` v˜. Z rovnic (6.45) a (6.46) je zˇrejmé, ˇze zmˇena frekvence nen´ı stejná, pohybuje-li se v klidném prostˇred´ı stejnˇe rychle zdroj k pozorovateli nebo obrácenˇe pozorovatel ke zdroji. Ke zmˇenˇe frekvence zˇrejmˇe nedocház´ı, pokud se pozorovatel i zdroj pohybuj´ı stejn´ ym smˇerem stejnou rychlost´ı u “ w, takˇze se jejich vzájemná vzdálenost nemˇen´ı. Pak se pohybuj´ı oba stejnˇe i vzhledem k prostˇred´ı a naopak, pokud se prostˇred´ı bude pohybovat stejnˇe rychle vzhledem k pozorovateli i zdroji, nebude se mˇenit frekvence pˇrij´ımaného vlnˇen´ı. Proto napˇr. v´ıtr nemˇen´ı frekvenci hudebn´ıch tón˚ u z nepohybuj´ıc´ıch se hudebn´ıch nástroj˚ u.

108


Kapitola 7

Z´ aklady speci´ aln´ı teorie relativity ´ Jak jsme uvedli jiˇz v Uvodu k této pˇrednáˇsce, klasickou mechaniku nelze pouˇz´ıt pˇri popisu dˇej˚ u, které prob´ıhaj´ı pˇri rychlostech bl´ızk´ ych rychlosti . 8 ´1 elektromagnetického vlnˇen´ı, speciálnˇe svˇetla (c “ 3.10 ms ). V této kapitole podáme základy Einsteinovy speciáln´ı teorie relativity, která umoˇzn ˇuje obecnˇejˇs´ı popis pohybu v inerciáln´ıch soustavách bez ohledu na velikost rychlosti. 7.1.

Postul´ aty speci´ aln´ı teorie relativity

Speciáln´ı teorie relativity je zaloˇzena na dvou postulátech: 1. postul´ at: Fyzikáln´ı zákony plat´ı ve vˇsech inerciáln´ıch systémech a vˇsechny inerciáln´ı systémy jsou rovnocenné. Jde o zobecnˇen´ı Galileova principu relativity na vˇsechny fyzikáln´ı zákony. Tento postulát hovoˇr´ı pouze o zachován´ı fyzikáln´ıch zákon˚ u, nikoli o zachován´ı hodnot veliˇcin v jednotliv´ ych inerciáln´ıch systémech. Napˇr. pˇri pruˇzné sráˇzce z˚ ustává zachována celková hybnost, ale hodnota hybnosti je v r˚ uzn´ ych systémech r˚ uzná. Podobn´ y závˇer plat´ı i pro prostorové souˇradnice a ˇcas. 2. postul´ at: Rychlost elektromagnetického vlnˇen´ı ve vakuu c je ve vˇsech smˇerech a ve vˇsech inerciáln´ıch systémech stejná (invariantn´ı). Nˇekdy se dodává, ˇze nezávis´ı na vzájemné rychlosti zdroje a pozorovatele. Tento postulát vycház´ı ze zobecnˇen´ı v´ ysledk˚ u nˇekter´ ych experiment˚ u provádˇen´ ych na konci minulého stolet´ı, poté, co se ukázala neudrˇzitelnost pˇredstavy tzv. éteru, jako prostˇred´ı pro ˇs´ıˇren´ı elektromagnetického vlnˇen´ı. Pozdˇeji byl prokázán jeˇstˇe dalˇs´ımi experimenty. Siln´ ym argumentem pro tento postulát je rovnˇeˇz Maxwellova teorie elektromagnetismu, z n´ıˇz lze obdrˇzet vlnovou rovnici pro ˇs´ıˇren´ı elektromagnetick´ ych vln. Z této rovnice vycház´ı pro rych‘ lost ˇs´ıˇren´ı vztah c “ 1{ ε0 µ0 , kde ε0 a µ0 jsou permitivita a permeabilita vakua, tedy veliˇciny nezávislé na volbˇe souˇradného systému. Vˇsimnˇeme si, ˇze z hlediska tohoto postulátu neplat´ı klasické pravidlo o skládán´ı rych109

´ ´ Í TEORIE RELATIVITY KAPITOLA 7. ZAKLADY SPECIALN

110

lost´ı, které tak z˚ ustává omezeno na rychlosti podstatnˇe niˇzˇs´ı neˇz je rychlost elektromagnetického vlnˇen´ı. 7.2.

Lorentzova transformace

Uvaˇzujme dva inerciáln´ı systémy S a S 1 , které spl´ yvaly v ˇcase t “ 0 a které se v˚ uˇci sobˇe pohybuj´ı rychlost´ı v ve smˇeru osy x “ x1 . Necht’ je v ˇcase t “ 0 vyslán ze spoleˇcného poˇcátku elektromagnetick´ y puls. V obou systémech se zaˇcne ˇs´ıˇrit kulová vlna a body, kam vlna doraz´ı v soustavˇe S a v n´ı plynouc´ım ˇcase t vytvoˇr´ı kulovou plochu o polomˇeru ct. V soustavˇe S 1 se podobnˇe za ˇcas t1 vytvoˇr´ı kulová vlnoplocha o polomˇeru ct1 . Pro obˇe bude platit: Soustava S : x2 ` y 2 ` z 2 “ c2 t2 Soustava S 1 : x12 ` y 12 ` z 12 “ c2 t12

(7.1)

Pro tyto podm´ınky lze nalézt lineárn´ı transformaci zachovávaj´ıc´ı invariantnost Maxwellov´ ych rovnic elektromagnetického pole. Protoˇze tuto transformaci poprvé odvodil Lorentz, naz´ yvá se Lorentzovou transformac´ı. Jej´ı fyzikáln´ı zd˚ uvodnˇen´ı vˇsak podal teprve Einstein. x1 ` vt1 x“b 2 1 ´ vc2

nebo zpˇetnˇe

y “ y1 z “ z1 t1 ` cv2 x1 t“b 2 1 ´ vc2

x ´ vt1 x “b 2 1 ´ vc2

(7.2)

1

y1 “ y z1 “ z t ´ cv2 x1 1 t “b 2 1 ´ vc2

(7.3)

Z Lorentzovy transformace plyne, ˇze ˇcas t v soustavˇe S plyne odliˇsnˇe neˇz ˇcas t1 v soustavˇe S 1 . Nav´ıc jej nelze oddˇelit od souˇradnic (napˇr. t1

´ Í POJMY TEORIE RELATIVITY 7.3.. ZAKLADN

111

závis´ı nejen na t, ale také na souˇradnici x), jako tomu bylo v Newtonovˇe absolutn´ım prostoru. O ˇcasu a prostorov´ ych souˇradnic´ıch budeme nadále hovoˇrit jako o ˇctyˇrrozmˇerném ˇcasoprostoru. Dále je zˇrejmé, ˇze bude-li rychlost pohybu soustav v b malá ve srovnán´ı s rychlost´ı elektromagnetického 2

vlnˇen´ı, pˇrejdou v´ yrazy 1 ´ vc2 pˇribliˇznˇe v 1 a formace pˇrejde v transformaci Galileovu.

7.3.

v2 c2

v 0, a Lorentzova trans-

Z´ akladn´ı pojmy teorie relativity

V tomto odstavci zavedeme nˇekolik pojm˚ u d˚ uleˇzit´ ych pro dalˇs´ı v´ yklad. Kaˇzdému bodu prostoru pˇrip´ıˇseme v inerciáln´ım systému tˇri prostorové souˇradnice (polohov´ y vektor). Kaˇzdému bodu prostoru je zapotˇreb´ı rovnˇeˇz pˇripsat ˇcas. To lze s ohledem na Lorentzovu transformaci uˇcinit následuj´ıc´ıc´ım myˇslenkov´ ym pokusem: um´ıst´ıme do kaˇzdého bodu systému pozorovatele s hodinami a v ˇcase t “ 0 vyˇsleme elektromagnetick´ y puls. Pozorovatelé v bodech o vzdálenosti r od poˇcátku souˇradného systému detekuj´ı pˇr´ıchod elektromagnetické vlny v ˇcase t “ rc a na tuto hodnotu naˇr´ıd´ı své hodiny. Ud´ alost´ı v teorii relativity rozum´ıme dˇej, kterému lze pˇripsat tˇri prostorové souˇradnice a ˇcas na lokáln´ıch hodinách, tedy ˇctyˇri souˇradnice px, y, z, tq v ˇcasoprostoru. Tyto souˇradnice závis´ı na soustavˇe, v n´ıˇz je událost popsána. Necht’ jsou ve v´ yˇse zaveden´ ych souˇradn´ ych systémech S a S 1 dvˇe události popsány souˇradnicemi px1 , y1 , z1 , t1 q a px2 , y2 , z2 , t2 q, resp. px11 , y11 , z11 , t11 q a px12 , y21 , z21 , t12 q. Vyjádˇr´ıme-li vztahy mezi neˇcárkovan´ ymi a ˇcárkovan´ ymi souˇradnicemi pomoc´ı Lorentzovy transformace (7.2) resp. (7.3), dostaneme pro rozd´ıly x2 ´ x1 , resp. x12 ´ x11 atd. ∆x1 ` v∆t1 x2 ´ x1 “ ∆x “ b 2 1 ´ vc2

y2 ´ y1 “ ∆y “ ∆y 1 z2 ´ z1 “ ∆z “ ∆z 1 ∆t1 ` cv2 ∆x1 t2 ´ t1 “ ∆t “ b 2 1 ´ vc2

resp.

(7.4)


112

∆x ´ v∆t ∆x1 “ b 2 1 ´ vc2

∆y 1 “ ∆y ∆z 1 “ ∆z ∆t ´ cv2 ∆x 1 ∆t “ b 2 1 ´ vc2

(7.5)

Dvˇe události definujeme jako souˇcasné, jestliˇze je rozd´ıl jejich ˇcasov´ ych souˇradnic nulov´ y (a pˇritom se liˇs´ı v prostorov´ ych souˇradnic´ıch). Necht’ jsou dvˇe události souˇcasné v systému S, pak plat´ı ∆t “ 0

(7.6)

ale v systému S 1 plat´ı ´ cv2 ∆x ∆t “ b 2 1 ´ vc2 1

a události nejsou souˇcasné. 7.4.

(7.7)

Kinematick´ e d˚ usledky Lorentzovy transformace

Dilatace ˇcasu Ukazuje se, ˇze délka ˇcasového intervalu mezi dvˇema událostmi závis´ı v relativistické mechanice na souˇradném systému, ve kterém ji mˇeˇr´ıme. Uvaˇzme tedy opˇet dva souˇradné systémy S a S 1 a proved’me následuj´ıc´ı myˇslenkov´ y pokus. Se soustavou S 1 je pevnˇe spojen zdroj svˇetla a zrcadlo (obr. 77a). V soustavˇe S oznaˇc´ıme jako událost 1 vyslán´ı svˇetelného pulsu smˇerem k zrcadlu a jako událost 2 pˇr´ıjem odraˇzeného pulsu. ˇ obou událost´ı mˇeˇr´ıme stejn´ Cas ymi hodinami a mezi obˇema událostmi 1 ubˇehne v soustavˇe S tzv. vlastn´ı ˇcasov´ y interval 2D (7.8) c V systému S mˇeˇr´ıme ˇcas události 1 a 2 r˚ uzn´ ymi hodinami, protoˇze k nim docház´ı v r˚ uzn´ ych m´ıstech prostoru (obr. 77b). Dostaneme pˇritom ∆t0 “ ∆t1 “

∆t “

2L c

1 L2 “ p v∆tq2 ` D2 2

(7.9) (7.10)

´ DUSLEDKY ˚ 7.4.. KINEMATICKE LORENTZOVY TRANSFORMACE

Zrcadlo

S1

113

Zrcadlo

S

L

L D

D 1

11 , 21

2 v∆t

Zdroj

(a) pozorován´ı v soustavˇe S1

Zdroj

Zdroj

(b) pozorován´ı v soustavˇe S

Obr´ azek 77: Dilatace ˇcasu

Dosad´ıme-li ze (7.8) a (7.9) za D a L do (7.10), dostaneme 1 2 2 1 2 2 1 2 2 c ∆t “ v ∆t ` c ∆t 4 4 4 1 ∆t ∆t “ b “ γ∆t0 v2 1 ´ c2

(7.11)

b 2 uv faktor. Protoˇze γ ą 1, je zˇrejmˇe kde γ “ 1{ 1 ´ vc2 je tzv. Lorentz˚ ∆t ą ∆t0 . Vlastn´ı ˇcasov´ y interval je tak kratˇs´ı, neˇz ˇcasov´ y interval mˇeˇren´ y r˚ uzn´ ymi hodinami v jiném inerciáln´ım systému. Tento jev oznaˇcujeme jako dilataci ˇ casu. Vztah (7.11) plyne pˇr´ımo ze vztahu (7.6) uváˇz´ıme-li, ˇze 1 ∆x “ 0. Kontrakce délek Uvaˇzujme opˇet dva souˇradné systémy S a S 1 . Se souˇradn´ ym systémem S 1 necht’ je pevnˇe spojena tyˇc leˇz´ıc´ı ve smˇeru osy x (obr. 78). V systému S 1 je tyˇc v klidu a jej´ı délka bude ∆x1 “ x12 ´ x11 “ L0

(7.12)

coˇz je tzv. vlastn´ı délka. Vzhledem k systému S se tyˇc pohybuje a jej´ı délku je tˇreba stanovit jako rozd´ıl prostorov´ ych souˇradnic koncov´ ych bod˚ u tyˇce v tomtéˇz okamˇziku. Ze vztahu (7.7) dostaneme s uváˇzen´ım ∆t “ 0 ∆x ∆x1 “ b 1´

Oznaˇc´ıme-li ∆x “ L, bude

v2 c2

“ L0

(7.13)


114

y1

y t11 ‰ t12

t1 “ t2

1

1

x11

x12

t1 t2 111111111111111111 000000000000000000 000000000000000000 111111111111111111

t1 t2 11111111111111 00000000000000 00000000000000 11111111111111 x1

x1

z1

x2

z

x (b)

(a)

Obr´ azek 78: Kontrakce délek. a) mˇeˇren´ı délky v soustavˇe S 1 , b) mˇeˇren´ı délky v soustavˇe S, v˚ uˇci které se tyˇc pohybuje.

c

L0 v2 L “ L0 1 ´ 2 “ (7.14) c γ Délka pohybuj´ıc´ı se tyˇce je tak menˇs´ı, neˇz vlastn´ı délka tyˇce L0 . Tento jev naz´ yváme kontrakc´ı d´ elky. Transformace rychlosti (skládán´ı rychlosti) Uvaˇzujme opˇet souˇradné systémy S a S 1 a tˇeleso, které se pohybuje rychlost´ı ~u v˚ uˇci soustavˇe S a rychlosti u~1 v˚ uˇci soustavˇe S 1 . Plat´ı dx dt dy uy “ dt dz uz “ dt

ux “

(7.15)

resp. dx1 “ dt dy 1 1 (7.16) uy “ dt dz 1 1 uz “ dt Dosad´ıme sem z transformaˇcn´ıch vztah˚ u, které plat´ı i pro elementy dx, dy, atd. a máme u1x

ux “

1 1 dx b `vdt 2 1´ vc2

dt1 ` cv2 dx1 b 2 1´ vc2

1

dx dx1 ` vdt1 dt1 1 u1 ` v 1 ` v “ 1 v 1 . 1 “ dt v dx1 “ x vu1 dt ` c2 dx dt1 1 ` c2 dt1 1 ` c2x

(7.17)

´ DYNAMIKA 7.5.. RELATIVISTICKA

115

obdobnˇe dostaneme ux ´ v u1x “ x 1 ´ vu 2 c b 2 uy1 . 1 ´ vc2 uy “ 1 x 1 ` vu 2 c b 2 uy . 1 ´ vc2 u1y “ x 1 ´ vu c2 a vztahy pro uz a u1z jsou obdobné jako pro uy a u1y . Poznámka: pro malé rychlosti lze ˇcleny vux vu1x v2 , a rejdou v klasickou trans2 2 c c c2 zanedbat proti 1 a vztahy (7.17) pˇ formaci rychlosti. 7.5.

Relativistick´ a dynamika

Zákon zachován´ı hybnosti a energie v izolovan´ ych systémech pˇri popisu v libovolné inerciáln´ı soustavˇe souˇradné (I. postulát) vede k relativistické modifikaci tˇechto veliˇcin. Uvaˇzujme opˇet souˇradné soustavy S a S 1 . Se soustavou S 1 je spjato tˇeleso, které má hmotnost m0 , tzv. klidovou hmotnost. Bez d˚ ukazu uvedeme, ˇze hmotnost tohoto tˇelesa mˇeˇrená v soustavˇe S bude m0 m“b 1´

v2 c2

“ γm0 ą m0

(7.18)

kde m je tzv. relativistická hmotnost vˇetˇs´ı neˇz hmotnost klidová. Relativistická hybnost tˇelesa (vzhledem k soustavˇe S) je pak definována vztahem m0 p~ “ b 1´

v2 c2

~v

(7.19)

Ze vztahu 7.19 m˚ uˇzeme ˇcasovou derivac´ı vypoˇc´ıtat s´ılu d~p d m0~v F~ “ “ b dt dt 1 ´ v2 c2

(7.20)

Ze vztah˚ u (7.18) a (7.19) je zˇrejmé, ˇze m a p by dosáhly nekoneˇcnˇe velk´ ych hodnot v pˇr´ıpadˇe v “ c. Nekoneˇcnˇe velká hodnota hybnosti nem˚ uˇze vˇsak b´ yt d˚ usledkem p˚ usoben´ı koneˇcné s´ıly v koneˇcném ˇcase. Odtud plyne, ˇze tˇelesa s nenulovou klidovou hmotnost´ı nemohou dosáhnout rychlosti svˇetla.


116

Relativistickou kinetickou energii z´ıskáme jako dráhov´ y integrál s´ıly Ek “

żv

v“0

F~ ¨ d~r “

żv

dp dx “ dt

żv

v dp dr dx “ dr v dt

0

v“0

v“0

żv

dp vrdr v dr v

(7.21)

kde jsme pro jednoduchost ztotoˇznili smˇer rychlosti ~v s osou x a integraˇcn´ı promˇennou oznaˇcili v˜. Ze vztahu (7.19) plyne d m dp b 0 “ dv dv 1 ´ v2

1 c2

a po dosazen´ı do (7.21) máme Ek “

żv 0

“ v3

b

m0 1 v2

´

1 c2

3

m0 “b 3 v2 1 ´ c2

„ v m0 c 2 m0 v˜d˜ v m0 c 2 b b “ ´ m0 c 2 “ b 3 2 2 2 1 ´ v˜c2 0 1 ´ vc2 1 ´ v˜c2

(7.22)

(7.23)

Druh´ y ˇclen v (7.23) pˇredstavuje rychlostnˇe nezávislou konstantu, kterou naz´ yváme klidovou energi´ı. Souˇcet klidové a kinetické energie má v´ yznam celkové relativistické energie m0 E “ E k ` m0 c 2 “ b 1´

v2 c2

c2 “ mc2

(7.24)

coˇz je vˇseobecnˇe znám´ y princip ekvivalence hmoty a energie. uv princip probran´ y v pˇredchoz´ı kapitole plat´ı i pro Poznámka: Doppler˚ svˇetlo ˇci elektromagnetické vlnˇen´ı obecnˇe, je vˇsak tˇreba uváˇzit 2. postulát, tedy ˇze se ˇs´ıˇr´ı ve vˇsech inerciáln´ıch systémech ve vakuu stejnou rychlost´ı c a nepotˇrebuje ke svému ˇs´ıˇren´ı hmotné prostˇred´ı. I nejvˇetˇs´ı známé rychlosti nebesk´ ych tˇeles jsou vˇsak malé ve srovnán´ı s rychlost´ı svˇetla, tedy wc nebo u emu v´ ysledku. Je totiˇz c ! 1 a pak vzorce (6.45) a (6.46) vedou ke stejn´ z (6.45) c cpc ` wq cpc ` wq c ` w vz “ “ 2 – “ (7.25) z c´w c ´ w2 c2 c coˇz odpov´ıdá vztahu (6.47) modifikovanému pro pˇribliˇzován´ı pozorovatele ke klidnému zdroji. Prakticky lze tedy zjiˇst’ovat jen relativn´ı pohyby nebesk´ ych tˇeles vzhledem k Zemi.

Fyzika I - mechanika Frantiˇsek Chmel ık verze

Recommend Documents