Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK
Praktikum I – Mechanika a molekulová fyzika Úloha č. II Název:
Studium harmonických kmitů mechanického oscilátoru
Pracoval:
Matyáš Řehák
stud.sk.:
16
dne: 10.4.2008
Odevzdal dne: ..............................
Hodnocení: Připomínky:
kapitola referátu
možný počet bodů
udělený počet bodů
Teoretická část
0-3
3
Výsledky měření
0-9
9
Diskuse výsledků
0-5
4
Závěr
0-2
1
Seznam použité literatury
0-1
1
Celkem
max. 20
18
Posuzoval:..................................
dne: ...........................
Pracovní úkol 1) Změřte tuhost k pěti pružin metodou statickou. 2) Sestrojte graf závislosti prodloužení pružiny na působící síle y = y(F) 3) Změřte tuhost k pěti pružin metodou dynamickou. 4) Z doby kmitu tělesa známé hmotnosti a výchylky pružiny po zavěšení tohoto tělesa určete místní tíhové zrychlení g. 5) Sestrojte grafy závislostí:
ω= f
( k) 1
ω = f m 6) Při zpracování použijte lineární regresi.
Teorie Harmonický kmit Harmonický kmit je způsoben silou, která je úměrná okamžité výchylce y a má opačný směr.
F = − ky,
(1)
kde k je konstanta úměrnosti, nazvaná tuhost pružiny, k > 0. Okamžitá výchylka z rovnovážné polohy v čase t je:
y = y m sin(ωt + ϕ ),
(2)
kde ym je amplituda výchylky, φ počáteční fáze a ω úhlová frekvence, která souvisí
s dobou kmitu T vztahem:
ω=
2π . T
(3)
Tuhost pružiny Síla potřebná k deformaci pružiny FD je úměrná výchylce:
FD = ky. Zavěsíme-li na pružinu závaží, pružina se prodlužuje, dokud síly pružnosti nevyrovnají gravitační síly působící na závaží:
(4)
ky 0 = mg ,
(5)
kde y0 je výchylka od rovnovážné polohy a m hmotnost závaží. Vychýlíme li-těleso zavěšené na pružině, bude konat harmonické kmity s frekvencí:
ω=
k . m
(6)
Statická metoda měření tuhosti pružiny [2] Tato metoda využívá vztah (5). Je třeba změřit hmotnost závaží a prodloužení pružiny. Dynamická metoda měření tuhosti pružiny [2] Využívá vztahy (3) a (6), tedy
2π kD = m. T 2
(7)
Tíhové zrychlení Pokud známe rovnovážnou polohu y0 a úhlovou frekvenci ω, je možné spočítat místní tíhové zrychlení g.
2π g = y0 . T 2
Pomůcky 5 různých pružin, laboratorní závaží, katetometr.
Výsledky měření
Laboratorní podmínky Teplota: 23,8°C Tlak: 97,1 kPa Vlhkost: 41% Měření Tíhové zrchlení [1]: 9,81 m.s-2 Chyba měření času: 0,2 s (tedy 0,01 pro 1 kmit z 20 měřených) Chyba měření protažení pružiny: 1 mm Chyba hmotnosti závaží zanedbatelná
(8)
Tab. 1: Naměřené hodnoty pro 1. pružinu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m [g] 10 15 20 30 35 40 50 55 60 70
yK [mm] 544,9 532,8 520,7 497,7 486,5 473,2 450,9 438,9 426,6 403,6
y0 [mm] 24,4 36,5 48,6 71,6 82,8 96,1 118,4 130,4 142,7 165,7
T20 [s] 5,88 7,44 8,99 10,83 11,60 12,42 13,69 14,51 14,95 16,18
T [s] 0,29 0,37 0,45 0,54 0,58 0,62 0,68 0,73 0,75 0,81
F [mN] 98 147 196 294 343 392 490 539 588 686
ω [rad.s-1] 21,37 16,89 13,98 11,60 10,83 10,12 9,18 8,66 8,41 7,77
Tab. 2: Naměřené hodnoty pro 2. pružinu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m [g] 10 15 20 30 40 45 50 60 70 80
yK [mm] 526,9 518,9 510,9 495,5 479,6 471,9 463,5 448,5 432,1 417,6
y0 [mm] 15,8 23,8 31,8 47,2 63,1 70,8 79,2 94,2 110,6 125,1
T20 [s] 4,99 5,93 7,17 8,96 10,21 10,84 11,31 12,83 13,42 14,35
T [s] 0,25 0,30 0,36 0,45 0,51 0,54 0,57 0,64 0,67 0,72
F [mN] 98 147 196 294 392 441 490 588 686 784
ω [rad.s-1] 25,18 21,19 17,53 14,02 12,31 11,59 11,11 9,79 9,36 8,76
Tab. 3: Naměřené hodnoty pro 3. pružinu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m [g] 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
yK [mm] 493,3 478,8 465,0 451,0 437,2 422,0 410,3 397,3 382,6 368,8
y0 [mm] 12,7 27,2 41,0 55,0 68,8 84,0 95,7 108,7 123,4 137,2
T20 [s] 4,56 6,45 7,98 10,02 10,28 11,52 12,35 13,36 14,41 14,93
T [s] 0,23 0,32 0,40 0,50 0,51 0,58 0,62 0,67 0,72 0,75
F [mN] 98 196 294 392 490 588 686 784 883 981
ω [rad.s-1] 27,56 19,48 15,75 12,54 12,22 10,91 10,18 9,41 8,72 8,42
Tab. 4: Naměřené hodnoty pro 4. pružinu m [g] 20 30 40 50 60 70 80 90 100 120
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
yK [mm] 479,5 474,1 469,3 463,5 458,4 453,8 449,0 443,9 438,2 427,6
y0 [mm] 9,7 15,1 19,9 25,7 30,8 35,4 40,2 45,3 51,0 61,6
T20 [s] 3,87 4,83 5,39 5,84 7,06 7,88 8,20 8,75 9,39 10,18
T [s] 0,19 0,24 0,27 0,29 0,35 0,39 0,41 0,44 0,47 0,51
F [mN] 196 294 392 490 588 686 784 883 981 1177
ω [rad.s-1] 32,47 26,02 23,31 21,52 17,80 15,95 15,32 14,36 13,38 12,34
Tab. 5: Naměřené hodnoty pro 5. pružinu m [g] 30 50 70 100 120 150 180 200 220 250
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
yK [mm] 536,9 533,0 529,2 522,2 517,1 511,2 504,6 500,0 496,4 489,3
y0 [mm] 7,2 11,1 14,9 21,9 27,0 32,9 39,5 44,1 47,7 54,8
T20 [s] 3,32 3,92 4,81 5,48 6,26 7,00 7,63 8,46 8,92 9,42
T [s] 0,17 0,20 0,24 0,27 0,31 0,35 0,38 0,42 0,45 0,47
F [mN] 294 490 686 981 1177 1471 1765 1961 2157 2452
ω [rad.s-1] 37,85 32,06 26,13 22,93 20,07 17,95 16,47 14,85 14,09 13,34
m – hmotnost závaží yK – konec pružiny na stupnici katetometru y0 – protažení pružiny T20 – doba 20 kmitů T – perioda kmitů F – tíhová síla působící na pružinu ω – úhlová frekvence kmitů
Vztah (4) je použit k lineární regresi pro výpočet tuhosti statickou metodou. Rovnice regresních přímek jsou: FD1 = 4,13y, FD2 = 6,26y, FD3 = 7,15y, FD4 = 19,29y, FD5 = 44,7y. Vztah (7) je použit k lineární regresi pro výpočet tuhost dynamickou metodou ve tvaru:
1 2π = k. m T 2
(9)
2π Rovnice regresních přímek jsou: T1 2π T3
2
1 = 7,34 m3
2π , T4
2
1 = 4,24 m1
2
1 = 20,3 m4
2π , T5
2π , T2
2
1 = 6,25 , m2
2
1 = 47,0 . m 5
Vztah (8) je k lineární regresi pro výpočet tíhového zrychlení použit ve tvaru obdobném s (9)
2π Rovnice regresních přímek jsou: T1 2π T3
2
2
1 = 10,23 y01
2π , T2
2
1 = 9,88 , y0 2
2
2
1 2π 1 2π 1 = 9,79 = 10,59 = 10,14 , , . y 0 3 T4 y 0 4 T5 y0 5 Tab. 6: Spočtené tuhosti pružin a tíhové zrychlení Pružina 1 Pružina 2 Pružina 3 Pružina 4 Pružina 5 Průměr
kS [N.m-1] 4,13 6,23 7,15 19,29 44,7
σks [N.m-1] 0,06 0,14 0,16 0,79 2,2
kD [N.m-1] σkD [N.m-1] g [m.s-2] σg [m.s-2] 4,24 0,32 10,23 0,10 6,25 0,56 9,88 0,10 7,34 0,63 9,79 0,15 20,3 2,5 10,14 0,56 47,0 5,5 10,59 0,49 10,13 0,56 …nějaká nečitelná připomínka…
kS – tuhost spočtená statickou metodou kD – Tuhost spočtená dynamickou metodou¨ g –tíhové zrychlení spočtené pro každou pružinu σ – chyba Graf 1: Závislost prodloužení na působící síle 180 Pružina 1 Pružina 2
150
Pružina 3 Pružina 4
y [mm]
120
Pružina 5 Proložení přímkou
90 60 30 0 0
500
1000
F [mN]
1500
2000
2500
Graf 2: Závislost úhlové frekvence na tuhosti pružiny 50 30 g 40
50 g
30
-1
ω [rad.s ]
70 g
20
10
0 2
3
4
5
k [ N .m −1 ]
6
7
Graf 3: Závislost úhlové frekvence na hmotnosti 50 Pružina 1 Pružina 2 Pružina 3
40
Pružina 4
30
-1
ω [rad.s ]
Pružina 5
20
10
0 3
4
5
1 m
[ kg ] −1
6
7
8
Diskuse Z výsledných chyb tuhosti vyplývá, že statická metoda je výrazně přesnější než dynamická, neboť při měření statickou metodou je zdrojem chyb poměrně přesné měření délky katetometrem, avšak u dynamické metody je nutno měřit krátké časové úseky, což je u ručního měření zatíženo velkou chybou. Navíc je pro člověka takřka nemožné počítat jednotlivé kmity při frekvenci až 10 Hz. Následkem tohoto je i vypočtené tíhové zrychlení zatíženo velkou chybou. Ovšem hodnoty tuhostí pružin jsou při obou metodách v rámci chyby shodné, což poukazuje na správnost výsledků. Chyby hmotnosti u kalibrovaných závažích jsou zanedbatelné, vzhledem k tomu, že zanedbáváme i hmotnost pružiny a nitě. Také jsou možné jiné vlivy, například různé chování stejné pružiny (tyto byly poměrně poničené). Tíhové zrychlení jsem určil jako (10,13 ± 0,56) m.s-2, přičemž tabulková hodnota pro Prahu je 9,810769 m.s-2[1], tedy v rozsahu chyby. - není diskutován tvar naměřených závislostí - podstatná chyba je, že závaží většinou nekmitají pouze svisle…
Závěr Změřil jsem tuhosti zadaných pružin metodou statickou a dynamickou. Jejich hodnoty jsou statickou metodou: (4,13 ± 0,06) N.m-1, (6,23 ± 0,14) N.m-1, (7,15 ± 0,16) N.m-1, (19,29 ± 0,79) N.m-1 a (44,7 ± 2,2) N.m-1 a dynamickou metodou: (4,24 ± 0,32) N.m-1 , (6,25 ± 0,56) N.m-1 , (7,34 ± 0,63) N.m-1 , (20,3 ± 2,5) N.m-1 a (47,0 ± 5,5) N.m-1 . Výsledné tíhové zrychlení g = (10,13 ± 0,56) m.s-2. výsledky uvést přehledným způsobem
Literatura [1] J. Brož, V. Roskovec, M. Valouch: Fyzikální a matematické tabulky, SNTL, Praha 1980 [2] D. Slavínská, I. Stulíková, P. Ostrý: Fyzikální praktikum I., SPN, Praha 1989
