Obecný rovinný pohyb
Dynamika I, 7. přednáška
Obsah přednášky :
teorie současných pohybů, Coriolisovo zrychlení dynamika obecného rovinného pohybu,
Doba studia :
asi 1,5 hodiny
Cíl přednášky :
seznámit studenty se základy teorie současných pohybů, s řešením dynamiky obecného rovinného pohybu
Dynamika I, 7. přednáška
Obecný rovinný pohyb – základní rozklad. posuv B v posuv =vA
B
vB
vrotace=vBA rotace
A
A
vA
A – referenční bod superposice posuvného a rotačního pohybu Základní rozklad je rozklad obecného rovinného pohybu na posuv a rotaci.
r r r v B = v B _ posuv + v B _ rotace r r r v B = v A + v BA r r r a B = a A + a BA
Obecný rovinný pohyb – základní rozklad.
Dynamika I, 7. přednáška
volba referenčního bodu Ω
r r r v B = v Ω + v BΩ r r r a B = a Ω + a BΩ
rotace okolo referenčního bodu Ω
posuv ve směru pohybu referenčního bodu Ω
Myšlenka rozkladu obecného rovinného pohybu na dva současné pohyby se ukázala být velmi užitečná. Proto ji teď zobecníme.
Teorie současných pohybů
Dynamika I, 7. přednáška
unášivý prou řeky
relativní kroužení člunu
břeh
Výsledný pohyb = unášivý pohyb + relativní pohyb Unášivý pohyb je pohyb vůči pevnému prostoru. Je to pohyb proudu vody v řece vůči břehům. Je to pohyb válce vůči pevnému držáku. Relativní pohyb je pohyb vůči prostoru, který se sám rovněž pohybuje. Je to pohyb člunu vůči plynoucí vodě. Je to pohyb pístu vůči válci.
Teorie současných pohybů
Dynamika I, 7. přednáška
Výsledný pohyb = unášivý pohyb + relativní pohyb posuv rotace
obecný rovinný pohyb = posuvný pohyb + rotační pohyb
obecný rovinný pohyb = rotační pohyb
+
relativní posuv
posuvný pohyb relativní rotace unášivá rotace
obecný rovinný pohyb = rotační pohyb
+ rotační pohyb
unášivá rotace
posuvný pohyb
= posuvný pohyb
+ posuvný pohyb relativní pohyb - posuvný přímočarý
unášivý pohyb - posuvný kruhový
Dynamika I, 7. přednáška
Teorie současných pohybů Výsledný pohyb = unášivý pohyb r v
+ relativní pohyb r v unáš r v rel
r =
+ ωunáš
r r r v = v unáš + v rel
v unáš = ωunáš ⋅ r
r v unáš
unášivý pohyb vyšetříme tak, že pomyslně zastavíme pohyb relativní
r v
r v rel relativní pohyb vyšetříme tak, že pomyslně zastavíme pohyb unášivý
Dynamika I, 7. přednáška
Teorie současných pohybů Výsledný pohyb = unášivý pohyb r a
+ relativní pohyb r a unáš_t r a unáš_n
r =
r v rel r arel
+ ωunáš ε unáš
r r r v = v unáš + v rel r r r r a = a unáš + a rel + a Cor
2
r a r a rel
r r r r r a = a unáš _ n + a unáš _ t + a rel + a Cor r r r a Cor = 2 ⋅ ωunáš × v rel r a unáš _ t
Coriolisovo zrychlení
v unáš 2 = ωunáš ⋅ r a unáš _ n = r r a Cor a unáš _ t = ε unáš ⋅ r obecný rozklad
r a unáš _ n
Coriolisův rozklad
Dynamika I, 7. přednáška
Coriolisovo zrychlení
dφ ⋅ ds dφ
ds
dφ
dφ ⋅ ds →0 dt dφ ⋅ ds = 12 ⋅ a ⋅ dt 2
dφ ⋅ ds dφ ds = 2⋅ ⋅ a = 2⋅ 2 dt dt dt relativní pohyb ωunáš v rel a Cor = 2 ⋅ ωunáš ⋅ v rel r r r a Cor = 2 ⋅ ωunáš × v rel
unášivý pohyb
a Cor
ωunáš v rel
Résalovo úhlové zrychlení
r ωrel r ωunáš
Dynamika I, 7. přednáška
r r r ωvýsl = ωunáš + ωrel r r r r ε výsl = ε unáš + ε rel + ε Res r r r ε Res = ωunáš × ωrel
Dynamika I, 7. přednáška Pro řešení dynamiky obecného rovinného pohybu použijeme základní rozklad na posuv a rotaci a d’Alembertův princip.
Dynamika obecného rovinného pohybu.
B posuv ε
rotace
Dp T aTt
d’Alembertův princip
A
Dn MD aTn
aA
A – referenční bod
superposice posuvného a rotačního pohybu
D = m⋅a
působí v těžišti, p A proti zrychlení referenčního bodu působí v referenčním bodě, proti směru tečného resp. normálového zrychlení
M D = IA ⋅ ε D t = m ⋅ a Tt = m ⋅ ε ⋅ rT D n = m ⋅ a Tn = m ⋅ ω2 ⋅ rT
Dt od referenčního bodu
A
rT
rT - vzdálenost těžiště
B
Dynamika I, 7. přednáška Pro řešení dynamiky obecného rovinného pohybu použijeme základní rozklad na posuv a rotaci a d’Alembertův princip.
Dynamika obecného rovinného pohybu.
x
y
rotace
Dp T
=0
π
Dn MD
A
rovnice rovnováhy d’Alembertův princip
A – referenční bod
superposice posuvného a rotačního pohybu
Dp = m ⋅ a A M D = IA ⋅ ε ∑ Mπ = 0 D t = m ⋅ a Tt = m ⋅ ε ⋅ rT 2 D = m ⋅ a = m ⋅ ω ⋅ rT vlastní pohybová rovnice n Tn Součet momentů k bodu π neobsahuje reakce - jde o tzv. vlastní pohybovou rovnici.
Dt od referenčního bodu
∑F = 0 ∑F ∑M = 0
B posuv
rT - vzdálenost těžiště
doplňkové účinky akční síly (např. tíhová) reakce
Dynamika obecného rovinného pohybu.
kinetická energie
E k = E k _ posuv + E k _ rotace
Dynamika I, 7. přednáška
B
T
vT
referenční bod - těžiště !
E k = ⋅ m ⋅ v T + 12 ⋅ I T ⋅ ω2 1 2
2
ω
A
Kinetickou energii obecného rovinného pohybu určíme jako prostý součet kinetické energie posuvu veškeré hmoty, soustředěné do těžiště, a kinetické energie rotace tělesa okolo těžiště. Tento způsob výpočtu kinetické energie bývá nazýván Königova věta. Poznámka : Rozklad pohybu musí být správně proveden vůči středu hmotnosti, nikoliv vůči těžišti. Při rozměrech tělesa velmi malých ve srovnání s rozměry Země, kdy gravitační zrychlení g je ve všech bodech stejné, střed hmotnosti splývá s těžištěm.
Dynamika obecného rovinného pohybu.
Dynamika I, 7. přednáška
Valení bez prokluzu – obecný rovinný pohyb s 1 stupněm volnosti. φ, ω, ε
Dp
Těžiště je totožné se středem – referenčním bodem.
x, v, a S≡T
r
π P
MD
G
x = φ⋅r
Dp = m ⋅ a
v = ω⋅ r
M D = IS ⋅ ε
a = ε⋅r
D n = m ⋅ ω2 ⋅ rT = 0 α
N řešení reakcí
∑F ∑F
y_i
x _i
=0
N = G ⋅ cos α
P = G ⋅ sin α − D p IS P = G ⋅ sin α ⋅ IS + m ⋅ r 2
=0
podmínka neproklouznutí
P ≤ N⋅f
D t = m ⋅ ε ⋅ rT = 0
IS tan α ⋅ ≤f 2 IS + m ⋅ r
∑M
π_i
=0
∑F ∑F ∑M
x _i
=0
y_i
=0
i
=0
pohybová rovnice
M D + D p ⋅ r − G ⋅ r ⋅ sin α = 0 IS ⋅ ε + m ⋅ a ⋅ r = G ⋅ r ⋅ sin α a IS ⋅ + m ⋅ a ⋅ r = G ⋅ r ⋅ sin α r IS + m 2 ⋅ a = G ⋅ sin α r např. koule
IS = 52 ⋅ m ⋅ r 2
1,4 ⋅ m ⋅ a = G ⋅ sin α
Dynamika I, 7. přednáška
Dynamika obecného rovinného pohybu.
Valení bez prokluzu – obecný rovinný pohyb s 1 stupněm volnosti. φ, ω, ε
Dp
P
x, v, a
Dt S
rT
π G
Těžiště není totožné se středem – referenčním bodem.
T
MD
x = φ⋅r v = ω⋅ r a = ε⋅r
Dn N
α
Dp = m ⋅ a
∑F ∑F ∑M
M D = IS ⋅ ε D t = m ⋅ ε ⋅ rT ≠ 0 D n = m ⋅ ω2 ⋅ rT ≠ 0
x _i
=0
y_i
=0
i
=0
pohybová rovnice
(
a = f φ , ω2
)
rT rT IS ( ) + 1 + 2 ⋅ ⋅ cos φ ⋅ ε − ⋅ sin φ ⋅ ω2 = m ⋅ r2 r r g r = ⋅ sin α + T ⋅ sin(α + φ) r r
diferenciální rovnice II. řádu, nelineární
rT IS && rT &2 = ( ) + 1 + 2 ⋅ ⋅ cos φ ⋅ φ − ⋅ sin φ ⋅ φ m ⋅ r2 r r g r = ⋅ sin α + T ⋅ sin(α + φ) r r
nerovnoměrný pohyb ! („trhaný“)
Dynamika obecného rovinného pohybu.
Dynamika I, 7. přednáška
Pohyb s prokluzem – obecný rovinný pohyb se 2 stupni volnosti. φ, ω, ε
Dp
Těžiště je totožné se středem – referenčním bodem.
x, v, a S≡T
r
MD
G
T = N·f
x = φ⋅r v = ω⋅ r
Dp = m ⋅ a
a = ε⋅r
D t = m ⋅ ε ⋅ rT = 0 D n = m ⋅ ω2 ⋅ rT = 0
α
N řešení reakcí
∑F
y_i
=0
M D = IS ⋅ ε
N = G ⋅ cos α
dva stupně volnosti - nezávislý posuv a nezávislá rotace - dvě nezávislé pohybové rovnice
∑M
S_i
=0
∑F ∑F ∑M
x _i
=0
y_i
=0
i
=0
pohybové rovnice
MD − T ⋅ r = 0 IS ⋅ ε = G ⋅ cos α ⋅ f ⋅ r
∑F
x _i
=0
D p + T − G ⋅ sin α = 0
m ⋅ a = G ⋅ (sin α − f ⋅ cos α )
Dynamika I, 7. přednáška Obsah přednášky :
teorie současných pohybů, Coriolisovo zrychlení dynamika obecného rovinného pohybu,
