1
PENDAHULUAN
1.1. Pengertian statistik dan statistika Statistik adalah kumpulan data, bilangan maupun non bilangan yang disusun dalam table dan atau diagram yang melukiskan suatu persoalan Tabel nilai statistika Nilai
Jumlah Mahasiswa
A
5
B
9
C
25
D
3
E
1
Statistika adalah pengetahuan yang berhubungan dengan cara-cara pengumpulan data, pengolahan atau penganalisaannya dan penarikan kesimpulan berdasarkan kumpulan data dan penganalisaan yang dilakukan. Statistika dikelompokkan dalam dua kelompok yaitu statistika deskriptif dan statistika inferensia. Statistika deskriptif adalah metode yang berkaitan dengan pengumpulan dan penyajian suatu gugus data sehingga memberikan informasi yang berguna. Sedangkan pengertian statistika inferensia adalah metode yang berhubungan
dengan analisis sebagian data untuk kemudian sampai pada peramalan atau penarikan kesimpulan tentang seluruh gugus data induknya. 1.2. Data Statistik Data statistik adalah keterangan atau ilustrasi mengenai sesuatu hal yang bisa berbentuk kategori (misalnya rusak, baik, cerah, berhasil) atau bilangan. Selanjutnya data yang berupa kategori disebut sebagai data kualitatif dan data bilangan disebut data kuantitatif. Berdasarkan cara perolehannya data kuantitatif dibedakan menjadi data diskrit dan data kontinu. Data-data yang diperoleh dari hasil menghitung atau membilang termasuk dalam data diskrit, sedangkan data-data yang diperoleh dari hasil mengukur termasuk dalam data kontinu. Menurut sumbernya kita mengenal data intern dan data ekstern. Data intern adalah data yang diperoleh dari perusahaan atau instansi yang bersangkutan. Sedangkan data ekstern diperoleh dari luar instansi atau perusahaan tersebut. Data ekstern dibedakan menjadi data primer dan data sekunder. Data primer adalah data yang dikeluarkan oleh badan sejenis. Sedangkan data lainnya termasuk data sekunder. Semua data-data yang beru dikumpulkan dan belum pernah diolah disebut sebagai data mentah. 1.3. Populasi dan sampel Populasi adalah keseluruhan pengamatan yang menjadi perhatian kita baik yang berhingga maupun tak berhingga jumlahnya. Seringkali tidak praktis mengambil data dari keseluruhan populasi untuk menarik suatu kesimpulan. Untuk itu dilakukan pengambilan sampel yaitu sebagian atau himpinan bagian dari populasi. Sampel yang diambil haris dapat merepresentasikan populasi yang ada. Prosedur pengambialan sampel yang menghasilkan kesimpulan yang konsisten terlalu tinggi atau terlalu rendah mengenai suatu ciri populasi dikatakan berbias. Untuk menghindari kemungkinan bias ini perlu dilakukan pengambian contoh acak atau contoh acak sederhana. Contoh acak sederhana didefinisikan sebagai contoh yang dipilih sedemikian rupa sehingga setiap himpunan bagian yang berukuran n dari populasi mempunyai peluang terpilih yang sama.
1.4. Pembulatan angka Dalam perhitungan dan analisis data statistik seringkali diperlukan pembulatan angka-angka. Berikut ini adalah beberapa aturan tentang pembulatan angka-angka. 1. Jika angka yang harus dihilangkan adalah 4 atau kurang, maka angka terkanan yang mendahuluinya tetap. Contoh: Rp. 59.376,- dibulatkan menjadi Rp. 59 ribu. 2. Jika angka yang haarus dihilangkan adalah lebih dari 5 atau angka 5 diikuti angka bukan nol maka angka yang mendahuluinya ditambah dengan 1. Contoh: 176,51 kg dibulatkan menjadi 177 kg. 3. Jika angka yang harus dihilangkan hanya angka 5 atau angka 5 diikuti nol, maka angka yang mendahuluinya tetap jika genap dan ditambah 1 jika ganjil. Contoh: 8,500 dibulatkan menjadi 8 19,5 dibulatkan menjadi 20 1.5. Penyajian Data Secara garis besar ada dua macam cara penyajian data dalam statistika yaitu: 1. Tabel atau daftar yang dapat berbentuk: a. Daftar baris kolom b. Daftar kontingensi c. Daftar distribusi frekuensi 2. Grafik atau diagram yang terbagi menjadi: a. Diagram batang atau balok b. Diagram garis atau grafik c. Diagram lingkaran d. Diagram lambing e. Diagram peta f. Diagram pencar
1.6. Daftar distribusi frekuensi dan grafiknya Dalam distribusi frekuensi data dikelompokkan dalam beberapa kelas interval misalnya a–b, c-d dan seterusnya. Ada beberapa istilah yang digunakan dalam distribusi frekuensi yaitu: 1.
Limit kelas atau ujung kelas yaitu nilai-nilai terkecil dan terbesar dalam setiap kelas interval. Nilai terbesar disebut sebagai limit atas kelas dan nilai terkecil disebut sebagai limit bawah kelas.
2.
Batas kelas yaitu limit kelas ± setengah nilai skala terkecil. Nilai yang besar disebut batas atas kelas dan nilai yang kecil disebut sebagai batas bawah kelas.
3.
Titik tengah kelas atau tanda kelas yaitu nilai yang terletak pada engah setiap kelas interval. Aturan umum yang digunakan untuk menentukan titik tengah kelas atau tanda kelas adalah: Tanda kelas = ± ½ (limit bawah + limit atas)
Macam-macam distribusi frekuensi 1. Distribusi frekuensi 2. Distribusi frekuensi. Relative (%) 3. Distribusi frekuensi kumulatif kurang dari 4. Distribusi frekuensi kumulatif lebih dari 1.7. CARA MEMBUAT DIST. FREK. 1. Tentukan Rentang R = Nilai terbesar – nilai terkecil. = 99 - 35 = 64 2. Tentukan banyaknya kelas interval. Acuan aturan Starges Banyak kelas
= 1 + (3,3) log n = 1 + (3,3) log 80 = 7,28 ≈ 7 kelas
3. Tentukan panjang kelas interval
P=
Re n tan g 64 = = 9,14 = 10 Banyakkelas 7
4. Tentukan limit kelas 5. Daftar semua limit keats 6. Menentukan frekwensi → bantuan kolom tabulasi Contoh: Nilai Ujian Statistik 80 orang mahasiswa adalah sebagai berikut: 79 49 48 34 81 98 87 80 80 84 90 70 91 93 82 78 70 71 92 38 56 81 74 73 68 72 85 51 65 93 83 86 80 35 83 73 74 43 86 88 92 93 76 71 90 72 67 75 80 91 61 72 97 81 88 81 70 74 98 95 80 59 73 71 83 60 83 82 60 67 89 63 76 63 88 70 66 88 79 75 Dengan menggunakan aturan pembuatan distribusi frekuensi tersebut di atas dapat dibuat sebuah distribusi frekuensi dengan 7 kelas sebagai berikut: Nilai Ujian 31 – 40 41 – 50 51 – 60 61 – 70 71 – 80 81 – 90 91 - 100
Frekuensi (f) 2 3 5 14 24 20 12
1.8. Model Populasi Adalah pendekatan bentuk polygon frekuensi dengan garis lengkung halus yang bentuknya secocok mungkin: a. Model normal b. Model simetrik
c. Model miring (ke kanan/ke kiri).
Jika suatu frekwensi tidak simetrik maka nilai mean (rata-rata) dan median tidak sama. Koefisien ke menjuluran pearson (sk)
sk =
3(µ -µ σ
µ = median
µ = mean (rata-rata) σ = simpangan baku. TUGAS I : Berikut ini adalah data daya tahan alat terhadap suatu insektisida dalam satuan menit. 2.4
0.7
3.9
2.8
1.3
1.6
2.9
2.6
3.7
2.1
3.2
3.5
1.8
3.1
0.3
4.6
0.9
3.4
2.3
2.5
0.4
2.1
2.5
1.5
4.3
1.8
2.4
1.3
2.6
1.8
2.7
0.4
2.8
3.5
1.4
1.7
3.9
1.1
5.9
2.0
5.3
6.3
0.2
2.0
1.9
1.2
2.5
1.2
1.2
1.7
Dengan menggunakan 8 kelas interval dan nilai terendah 0,1 a. Buat distribusi frekuensi, distribusi frekuensi relatif (%) dan distribusi frekuensi kumulatif b. Dengan menggunakan Microsoft Exel buatlah 1. Diagram balok, histogram, polygon frekuensi, Ogif dan diagram lingkaran. 2. Tentukan rata-rata (mean), modus, median, kuartil dan desil. 1.9. UKURAN PEMUSATAN Ukuran pemusatan dibagi dalam dua kelompok 1. Ukuran gejala pusat, meliputi •
Rata-rata hitung (mean)
•
Rata-rata ukur
•
Rata-rata harmonic
•
Rata-rata gabungan
•
Modus
2. Ukuran letak, meliputi •
Median
•
Kuartil
•
Desil
•
Persentil
Ukuran-ukuran tersebut di atas dapat dihitung dari kumpulan data populasi atau sampel. Jika ukuran-ukuran yang diambil dihitung dari data populasi disebut
parameter ,
sedangkan jika dihitung dari data sampel disebut statistic. 1.9.1. Rata-rata Hitung (Mean) Diperoleh dengan membagi jumlah seluruh data dengan banyak data x=
∑x
i
n
Jika masing-masing mempunyai frekuensi maka rata-ratanya disebut sebagai rata-rata terboboti. x=
∑f x ∑f i
i
i
contoh; Disimpan (fi)
Barang
% Rusak (xi)
fi xi
A
100
96
96
B
200
46
92
C
160
50
80
D
80
75
60
Berapa persen rata-rata barang yang rusak x=
∑f x ∑f i
i
i
=
328 x 100 % = 60,07 % 540
Bukan seperti ini x=
(96% + 46% + 50% + 75%) = 66,75 % 4
1.9.2. Rata-rata Gabungan Jika kita mempunyai data n1, n2, n3, … dengan nilai rata-rata masing-masing x 1 , x 2 , x 3 , ... maka rata-rata gabungan data di atas dinyatakan dengan x gab =
∑n x ∑n i
i
i
Untuk data-data yangv tersusun dalam distribusi frekuensi rata-ratanya dihitung dengan x=
∑f x ∑f k
k
k
dengan xk : nilai tengah kelas fk : frekuensi kelas atau dengan cara singkat/sandi (khusus untuk lebar kelas yang sama) yakni sebagai berikut ∑ fi ci x = xo + p ∑f i
dengan xo : tengah kelas acuan
fi : frekuensi ke-i ci : harga sandi
p : lebar kelas 1.9.3 Rata-rata Ukur (geometrik)
Digunakan jika perbandingan dua data berturutan tetap atau hampir tetap. U = n x 1 . x 2 . x 3 ... x n Untuk bilangan-bulangan yang besar digunakan log U =
∑ log x
i
n
Untuk fenomena yang bersifat tumbuh seperti pertumbuhan penduduk, bakteri dan lainlain digunakan
x Pt = Po 1 + 100
t
Untuk data-data yang telah disusun dalam daftar distribusi frekuensi rata-rata ukurnya dinyatakan log U =
∑ (f log x ) ∑f i
i
i
1.9.4. Rata-rata Harmonik Rata-rata harmonik biasanya digunakan untuk merata-ratakan kecepatan beberapa jarak tempuh atau mencari harga rata-rata suatu komoditi tertentu. H=
n 1 ∑ x i
Untuk data-data yang disusun dalam distribusi frekuensi H=
∑f
i
fi i
∑ x
Secara umum hubungan rata-rata hitung (x ) , rata-rata ukur (U) dan rata-rata harmonic (H) dinyatakan H≤U≤x
1.9.5. MODUS Modus adalah nilai atau fenomena yang paling sering muncul jika datanya telah disusun dalam distribusi frekuensi . b1 M o = b + p b1 + b 2
dengan b : batas bawah kelas modal (kelas dengan frekuensi tertinggi) p : panjang/lebar kelas modal b1: frekuensi kelas modal dikurangi frekuensi kelas sebelumnya b2: frekuensi kelas modal dikurangi frekuensi kelas sebelumnya
1.9.6. KUARTIL Jika sekumpulan data dibagi menjadi empat bagian yang sama setelah di urutkan maka nilai yang membaginya disebut kuartil. Letak k i = data ke
i (n + 1) ; i = 1, 2, 3 4
Untuk data yang disusun dalam distribusi frekuensi in −F ; i = 1, 2, 3 K i = b + p 10 f dengan b : batas bawah kelas Di p : panjang kelas Di F : jumlah seluruh frekuensi sebelum kelas Di f : frekuensi kelas Di 1.9.7. PRESENTIL Jika sekumpulan data dibagi 100 sama besar akan menghasilkan persentil ke 1,2,3,…,99. Letak Pi = data ke
i (n + 1) 100
Untuk data dalam distribusi frekuensi in − F 100 Pi = b + p f dengan b : batas bawah kelas Pi p : panjang kelas Pi F : jumlah seluruh frekuensi sebelum kelas Pis f : frekuensi kelas Pi QUIZ I 1. Apa yang dimaksud data diskrit dan data kontinu. Berikan masing-masing dua contoh! 2. Jelaskan perbedaan diagram batang dan histogram. Gambarkan sketsanya!
3. Bagaimana rumus aturan untuk menentukan banyak kelas interval. Beri keterangan symbol-simbolnya. 4. Berikut adalah data umur 100 karyawan pabrik 44 35 41 31 49 34 37 63
51 33 37 33 41 38 52 31
40 36 42 28 40 40 35 32
45 39 40 48 61 61 44 58
53 47 30 64 31 35 65 43
67 53 42 43 52 68 64 46
50 45 59 56 59 47 43 37
52 40 27 44 41 33 29 24
47 26 45 41 55 34 51 58
34 26 25 44 57 67 59 62
28 44 31 29 53 41 52 36 51 40 40 31 52 56 58 58 52 23 35 52 a. Buat daftar distribusi frekuensi dengan 5 kelas. b. Gambarkan polygon frekuensinya. c. Tentukan mean, modus, median Kuartil 1 dan desil 7 berdasarkan distribusi fekuensi yang telah dibuat.
1.10. UKURAN SIMPANGAN Ukuran simpangan digunakan sebagai gambaran bagaimana berpencarnya suatu data kuantitatif. Ukuran-ukuran tersebut yaitu: a. Rentang = data terbesar – data terkecil b.Rentang Antar Kuartil (RAK) RAK = K3 – K1 c. Simpangan Kuartil (SK) = 1/2 RAK = 1/2 (K3 – K1)
SK
d. Rata-rata Simpangan (RS) RS
=
∑
χi − χ n
Selalu positif
e. Simpangan baku/ deviasi standart •
Simpangan baku untuk sampel disimbolkan S
•
Simpangan baku untuk populasi disimbolkan σ
Kuadrat simpangan baku disebut Varians Varians sampel dihitung dengan : 2
S
=
∑ (χ
− χ)
=
n ∑ χ i − (∑ χ i )
2
i
n −1
atau 2
2
2
S
Ini lebih dianjurkan karena kesalahannya -
n (n − 1 )
Lebih kecil Jika datanya dalam distribusi frekuensi : 2
S
=
∑ f (χ
=
n ∑ f i χ i − (∑ f i χ i )
i
− χ)
2
i
n −1
Atau 2
2
2
S
n (n − 1 )
Cara Sandi xi dapat diganti ci Simpangn baku gabungan S2
=
∑ (n − 1)S ∑n−K i
2 i
ni = jumlah data sampel ke i Si = Simpangan baku sample ke i K = jumlah / banyaknya sampel . Bilangan baku/ Nilai Z Bilangan baku/nilai z didefinisikan sebagai : Zi
=
∑χ
i
−χ
s
; i = 1,2,3,…. N
Atau lengkapnya Zi
χi − χ s
= χo + s o
xo = rata-rata bilangan baku
so = Simpangan baku Ukuran-ukuran
simpangan diatas merupakan ukuran absolut. Jika dari simpangan
absolut diambil simpangan bakunya, maka kita dapat koefisien Variasi KV
=
Simpangan baku x100% rata - rata
Selain ukuran simpangan/ disperse absolut, dikenal pula dispersi relatif yang dinyatakan : Dispersi relative
=
Simpangan baku rata - rata
