PEMILIHAN KOEFISIEN TERBAIK KUADRATUR KUADRAT TERKECIL DUA TITIK DAN TIGA TITIK Nurul Ain Farhana1∗ , Imran M.2 1∗
Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Bina Widya, Pekanbaru 28293 ∗
[email protected]
ABSTRACT This article presents new formulae of weighted quadrature rules whose coefficients are obtained using the least square method. The new formulae are different from the known quadrature rules. Some numerical examples are given to show the approach of the new quadrature formulae. Keywords: Weighted quadrature rule, system of linear equation, least-square method ABSTRAK Artikel ini mendiskusikan tentang formula kuadratur berbobot yang koefisiennya ditentukan menggunakan metode kuadrat terkecil. Formula kuadratur yang diperoleh berbeda dengan metode kuadratur yang sudah dikenal. Beberapa contoh numerik juga diberikan untuk memperjelas pendekatan dari formula kuadratur baru. Kata kunci: Formula kuadratur berbobot, sistem persamaan linear, metode kuadrat terkecil 1. PENDAHULUAN Matematika adalah cabang ilmu terpenting di dunia dan banyak diterapkan untuk menyelesaikan masalah diberbagai disiplin ilmu lainnya. ∫Salah satu masalah yang b sering ditemui adalah persoalan integral yang berbentuk a f (x)dx. Teknik numerik yang digunakan untuk menyelesaikan masalah integral tersebut dinamakan integrasi numerik atau kuadratur. Salah satu metode yang digunakan untuk menghampiri nilai integral adalah kuadratur Gauss. Di dalam Burden dan Faires [3, h. 229] dijelaskan bahwa kuadratur Gauss memilih nodes untuk menghitung integral secara optimal dari pada menggunakan nodes yang berjarak sama. Kuadratur nodes x1 , x2 , . . . , xn pada interval [a, b]
1
dan bobot w1 , w2 , . . . , wn dipilih untuk meminimalkan error yang diharapkan dalam pendekatan yang berbentuk ∫
b
w(x)f (x)dx ≈ a
N ∑
wj f (xj ),
(1)
j=1
sehingga persamaan (1) eksak untuk polinomial berderajat setinggi mungkin. Perhitungan metode kuadratur Gauss hanya memberikan nilai perkiraan yang mendekati nilai eksak dan menghasilkan nilai error yang tidak sama dengan nol. Hal yang selalu diharapkan dalam perhitungan adalah menghasilkan error yang minimum, sehingga diperlukan untuk mencari koefisien wj yang tepat pada persamaan (1). Salah satu teknik matematika yang digunakan adalah metode kuadrat terkecil [8, h. 274]. Pada artikel ini ditinjau sebagian tulisan dari artikel Hashemiparast et al. [5]. Di bagian dua dibahas metode kuadrat terkecil yang diperlukan untuk menentukan koefisien terbaik formula kuadratur kuadrat terkecil. Di bagian tiga disajikan formula kuadratur kuadrat terkecil dua titik dengan fungsi bobot w(x) = 1 pada interval [0, 1]. Kemudian di bagian empat disajikan formula kuadratur kuadrat terkecil tiga titik dengan fungsi bobot w(x) = (1 − x2 ) pada interval [−1, 1]. Di bagian terakhir dilakukan komputasi numerik terhadap tiga contoh fungsi yang berbeda untuk formula kuadratur kuadrat terkecil dua titik dan formula kuadratur kuadrat terkecil tiga titik. 2. METODE KUADRAT TERKECIL Misalkan {ϕi (x)} menjadi sebuah basis untuk polinomial berderajat paling banyak n yang berbentuk [7, h. 128] v(x) =
n ∑
ci ϕi (x),
(2)
i=0
dengan ci adalah nilai-nilai yang belum diketahui. Jika xi adalah nodes yang berbeda sedemikian sehingga ai,j = ϕj (xi ), dengan i = 0, 1, ..., m dan j = 0, 1, ..., n, maka diperoleh yi = v(xi ) =
n ∑
cj ai,j .
j=0
Masalah yang muncul sekarang adalah bagaimana menentukan koefisien cj yang tidak diketahui besarnya sedemikian sehingga )2 ( m n ∑ ∑ (3) E2 = yi − cj ai,j , i=0
j=0
2
adalah minimum dengan yi = v(xi ) dapat bernilai sebarang. Untuk meminimumkan persamaan (3) diturunkan secara parsial terhadap ck kemudian disamakan dengan nol. Jadi untuk setiap k = 0, 1, . . . , n diperoleh ( ) m n ∑ ∑ ∂ 2 E =2 yi − cj ai,j (−ai,k ) = 0. (4) ∂ck i=0 j=0 Dengan menyusun ulang pada persamaan (4) diperoleh sistem persamaan linear berukuran n × n dengan koefisien cj yang tidak diketahui. Jadi diperoleh ( n ) m m ∑ ∑ ∑ ai,k ai,j cj = ai,k yi . (5) i=0
j=0
i=0
Persamaan (5) dapat ditulis dalam bentuk matriks, yaitu AT AC = AT Y,
(6)
dengan A=
··· ··· .. .
a0,n a1,n .. .
am,0 am,1 · · ·
am,n
a0,0 a1,0 .. .
a0,1 a1,1 .. .
,C =
c0 c1 .. .
,Y =
cn
y0 y1 .. .
.
ym
Persamaan (6) dinamakan sistem persamaan normal. Selanjutnya bila masalah integrasi ditaksir dengan formula aturan Gauss diperoleh ∫ b n ∑ j wi xi = xk w(x)dx, (7) a
i=1
dengan {xj |j = 0, 1, . . . , 2n − 1} dan k = 0, 1, 2, . . . , n. Misalkan ∫
b
xk w(x)dx,
µk =
(8)
a
persamaan (7) ditulis untuk setiap j diperoleh w1 + w2 + · · · + wn = µ 0 w1 x1 + w2 x2 + · · · + wn xn = µ1 .. . . = .. = µ2n−1 + w2 x22n−1 + · · · + wn x2n−1 w1 x2n−1 1 n
.
(9)
Sistem persamaan linear (9) tidak dapat diselesaikan dengan menggunakan invers matriks walaupun nilai-nilai xi diketahui. Hal ini disebabkan koefisien matriks pada sistem persamaan (9) berkondisi buruk [6, h. 42]. Untuk menyelesaikan ini 3
digunakan metode kuadrat terkecil. Untuk itu, misalkan terdapat solusi aproksimasi dari persamaan (7) sedemikian hingga error yang bersesuaian dengan solusi tersebut pada setiap baris adalah n ∑ j ej = µj − wi xi , j = 0, 1, . . . , 2n − 1. (10) i=1
Selanjutnya untuk menentukan koefisien wi , kedua ruas dari persamaan (10) dikuadratkan sehingga diperoleh e2j
( )2 n ∑ j = µj − wi xi .
(11)
i=1
Bila persamaan (11) dijumlahkan untuk j = 0, 1, . . . , 2n − 1 diperoleh 2n−1 ∑
e2j =
j=0
Misalkan
∑2n−1 j=0
(
2n−1 ∑
µj −
n ∑
j=0
)2 wi xji
.
(12)
i=1
b 2 , persamaan (12) dapat ditulis menjadi e2j = E b2 = E
2n−1 ∑ j=0
( µj −
n ∑
)2 wi xji
.
(13)
i=1
Persamaan (13) memiliki bentuk sama dengan persamaan (3), oleh karena itu untuk meminimumkan persamaan (13) diikuti pembahasan pada persamaan (3)–(4) diperoleh ( n ) 2n−1 2n−1 ∑ j ∑ ∑ xjk xji wi = xk µj . (14) j=0
i=1
j=0
Untuk sederhananya, misalkan vnm = [1, xm , x2m , . . . , x2n−1 ] merupakan sebuah m vektor sehingga persamaan (14) dapat dibentuk menjadi matriks yaitu MW = N,
(15)
dengan M=
vn1 · vn1 vn1 · vn2 · · · vn1 · vnn vn2 · vn1 vn2 · vn2 · · · vn2 · vnn .. .. .. ... . . . n n n n n vn · v1 vn · v2 · · · vn · vnn
,W =
n×n
w1 w2 .. . wn
,
n×1
4
N=
µ0 + x1 µ1 + · · · + x2n−1 µ2n−1 1 2n−1 µ0 + x2 µ1 + · · · + x2 µ2n−1 .. .
µ0 + xn µ1 + · · · + x2n−1 µ2n−1 n
.
(16)
n×1
Matriks M adalah sebuah matriks simetris yang memenuhi hasil kali dalam [1, h. 175] vni . vnj = vnj . vni = 1 + xi xj + x2i x2j + · · · + x2n−1 x2n−1 . (17) i j Dengan menggunakan penjabaran deret geometri bentuk persamaan (17) menjadi vni . vnj =
1 − (xi xj )2n , 1 − xi xj
(18)
dengan xi xj ̸= 1. Jadi, matriks M dapat ditulis menjadi 2n 1−(x21 )2n 1−(x1 x2 )2n 1 xn ) · · · 1−(x 2 1−x x 1−x x 1−x n 1 2 1 1 2n 1−(x22 )2n 1−(x2 x1 )2n 2 xn ) · · · 1−(x 1−x2 x1 1−x2 xn 1−x22 M= .. .. .. .. . . . . 1−(xn x1 )2n 1−(xn x2 )2n 1−(x2n )2n ··· 1−xn x1 1−xn x1 1−x2 n
.
(19)
n×n
3. FORMULA KUADRATUR KUADRAT TERKECIL DUA TITIK DENGAN FUNGSI BOBOT w(x) = 1 PADA INTERVAL [0, 1] √
√
Misalkan x1 = 22 , x2 = 23 adalah sebarang titik pada interval [0, 1]. Untuk menentukan koefisien terbaik w1 , w2 pada rumus pendekatan (√ ) (√ ) ∫ 1 2 3 f (x)dx ∼ + w2 f , (20) = w1 f 2 2 0 digunakan metode kuadrat terkecil. diperoleh M=
Dengan memperhatikan sistem linear (19)
120 64√ 22(4+ 6) 64
√ 22(4+ 6) 64 175 64
,
dengan menggunakan persamaan (8) diperoleh 1 1 1 µ0 = 1, µ1 = , µ2 = , µ3 = . 2 3 4 Selanjutnya dari persamaan (16) diperoleh N=
√
1+ 1+
2 2 √ 3 2
( √ )3 ( ) [ 1 + 2 + 22 2 3 4 = ( ) ( ) √ √ 2( ) 3( ) (1) 3 3 1 1 + 2 + 2 2 3 4 (1)
( √ )2 ( ) 2 1
√ 56+15 2 48 √ 40+11 3 32
] .
5
Oleh karena itu, dari persamaan (15) diperoleh ][ [ √ ] [ 22(4+ 6) 120 w1 64√ 64 = 22(4+ 6) 175 w2 64
64
√ 56+15 2 48 √ 40+11 3 32
] ,
(21)
Penyelesaian dari persamaan (21) adalah w1 = 1.4507364700 w2 = −0.5013605822
} .
(22)
Jadi, dengan mensubstitusikan nilai-nilai (22) pada persamaan (20) diperoleh (√ ) (√ ) ∫ 1 2 3 f (x)dx ∼ − (0.5013605822) f , (23) = (1.4507364700) f 2 2 0 yang merupakan formula kuadratur kuadrat terkecil dua titik. Apabila mengacu pada (10), dengan menyelesaikan sistem linear (9) untuk x1 dan x2 diperoleh error -nya sebagai berikut: e0 = |w1 + w2 − µ0 | = 0.05062411205, e1 = |w1 x1 + w2 x2 − µ1 | = 0.0916345952, e2 = w1 x21 + w2 x22 − µ2 = 0.01601446515, e3 = w1 x31 + w2 x32 − µ3 = 0.0627304528. 4. FORMULA KUADRATUR KUADRAT TERKECIL TIGA TITIK DENGAN FUNGSI BOBOT w(x) = (1 − x2 ) PADA INTERVAL [−1, 1] Misalkan x1 = − 12 , x2 = 0, dan x3 = 21 tiga titik yang diketahui pada interval [−1, 1]. Untuk menentukan koefisien terbaik w1 , w2 , dan w3 dalam pendekatan ( ) ( ) ∫ 1 −1 1 2 (1 − x )f (x)dx ∼ + w2 f (0) + w3 f , (24) = w1 f 2 2 −1 digunakan metode kuadrat terkecil. Dengan memperhatikan sistem linear yang bersesuaian dengan persamaan (19) diperoleh 1365 819 1 1024 1024 M = 1 1 1 . 819 1 1365 1024 1024 Kemudian dengan menggunakan persamaan (8) diperoleh 4 4 4 µ0 = , µ1 = µ3 = µ5 = 0, µ2 = , µ4 = . 3 15 35
6
Selanjutnya dari persamaan (16) diperoleh µ0 + x1 µ1 + x21 µ2 + x31 µ3 + x41 µ4 + x51 µ5 N = µ0 + x2 µ1 + x22 µ2 + x32 µ3 + x42 µ4 + x52 µ5 = µ0 + x3 µ1 + x23 µ2 + x33 µ3 + x43 µ4 + x53 µ5 Oleh karena itu, dari persamaan (15) diperoleh 1365 819 1 1024 w1 1024 1 1 1 w2 = 819 1 1365 w3 1024 1024
591 420 4 3 591 420
591 420 4 3 591 420
.
.
(25)
Solusi dari persamaan (25) adalah w1 = w2 = w3 =
992 1785 132 595 992 1785
.
(26)
Jadi, dengan mensubstitusikan nilai-nilai (26) pada persamaan (24) diperoleh ( ) ( ) ∫ 1 992 −1 1 132 992 2 ∼ (1 − x )f (x)dx = f + f (0) + f , (27) 1785 2 595 1785 2 −1 yang merupakan formula kuadratur kuadrat terkecil tiga titik. Apabila mengacu pada (10), dengan menyelesaikan sistem linear (9) untuk x1 , x2 , dan x3 diperoleh error -nya sebagai berikut: e0 = |w1 + w2 + w3 − µ0 | = 0, e1 = |w1 x1 + w2 x2 + w3 x3 − µ1 | = 0, 4 e2 = |w1 x21 + w2 x22 + w3 x23 − µ2 | = , 357 e3 = |w1 x31 + w2 x32 + w3 x33 − µ3 | = 0, 16 , e4 = |w1 x41 + w2 x42 + w3 x43 − µ4 | = 357 e5 = |w1 x51 + w2 x52 + w3 x53 − µ5 | = 0. 5. KOMPUTASI NUMERIK Pada bagian ini diberikan enam contoh fungsi beserta solusi eksak yang digunakan untuk melakukan uji komputasi numerik terhadap formula yang dikemukakan, yaitu ∫1 1. f1 = 0 x2 ex dx = 0.7182818285. ∫1 2. f2 = 0 cos2 (x)( π2 x)dx = 0.5000000000. ∫1√ 3. f3 = 0 x (1 − x)dx = 0.3926990818. 7
4. f4 = 5. f5 = 6. f6 =
∫1 −1
(1 − x2 )cos(πx)dx = 0.4052847346.
−1
(1 − x2 )e−x dx = 1.471517765.
∫1 ∫1
−1
√ (1 − x2 ) 1 + xdx = 1.292995257.
Formula kuadratur kuadrat terkecil dua titik dengan fungsi bobot w(x) = 1 digunakan untuk menghitung integral f1 , f2 , dan f3 dan formula kuadratur kuadrat terkecil tiga titik dengan fungsi bobot w(x) = (1 − x2 ) digunakan untuk menghitung integral f4 , f5 , dan f6 . Hasil penerapan metode ini disajikan pada Tabel 1. Adapun notasi-notasi yang digunakan pada Tabel 1 yaitu LS1 menyatakan formula kuadratur kuadrat terkecil dua titik, ELS1 menyatakan error dari formula kuadratur kuadrat terkecil dua titik, LS2 menyatakan formula kuadratur kuadrat terkecil tiga titik, dan ELS2 menyatakan error formula kuadratur kuadrat terkecil tiga titik. Tabel 1: Hasil Komputasi Formula Kuadratur Kuadrat Terkecil Dua Titik dan Formula Kuadratur Kuadrat Terkecil Tiga Titik fi f1 f2 f3 f4 f5 f6
Formula LS1 ELS1 LS1 ELS1 LS1 ELS1 LS2 ELS2 LS2 ELS2 LS2 ELS2
Nilai 0.5771631524 0.1411186761 0.2641344688 0.2358655312 0.7533505031 0.3606514213 0.2218487395 0.1834359951 1.4751876280 0.0036698630 1.2954604140 0.0024651570
Berdasarkan Tabel 1, LS1 berhasil menemukan nilai taksiran yang diharapkan untuk f1 , f2 , dan f3 dan LS2 juga berhasil menemukan nilai taksiran yang diharapkan untuk f4 , f5 , dan f6 . Kemudian dapat dilihat setiap formula terdapat nilai error -nya. Sehingga penggunaan formula kuadratur baru dapat dijadikan alternatif lain untuk memperoleh nilai taksiran suatu integral. Ucapan terima kasih Penulis mengucapkan terima kasih kepada Dr. Imran M., M.Sc. yang telah memberikan arahan dan bimbingan dalam penulisan artikel ini.
8
DAFTAR PUSTAKA [1] H. Anton, Aljabar Linear Elementer, Edisi Kelima, Terj. dari Elementary Linear Algebra, Fifth Edition, oleh P. Silaban dan I. N. Susila, Penerbit Erlangga, Jakarta, 1987. [2] H. Anton, dan C. Rorres, Aljabar Linear Elementer, Edisi Kedelapan, Terj. dari Elementary Linear Algebra, Eighth Edition, oleh R. Indriasari dan I. Harmein, Penerbit Erlangga, Jakarta, 2008. [3] R. L. Burden, dan J. D. Faires, Brools/Cole, Boston, 2011.
Numerical Analysis,
Ninth Ed,
[4] P. J. Davis dan P. Rabinowitz, Methods of Numerical Integration, Second Edition., Academic Press, New York, 1984. [5] S. M. Hashemiparast, M. Masjed-Jamei, dan M. Dehghan, On selection of the best coefficients in interpolatory quadrature rules, Journal of Applied Mathematics and Computation, 182 (2006), 1240–1246. [6] V. I. Krylov, Approximate Calculation of Integrals, Macmillan, New York, 1962. [7] S. J. Leon, Linear Algebra and Applications, Ninth Edition., Pearson Education, Boston, 2015. [8] J. H. Mathews, Numerical Methods for Mathematics, Sciences, and Engineering, Prentice-Hall International, New York, 1987.
9
