Optimalizace spotřebitele & poptávka Jan Čadil FNH VŠE Footer Text
3/24/2014
1
Podstata problému • Spotřebitel se snaží maximalizovat užitek a zároveň je omezen rozpočtovým omezením • Optimum nastává tehdy, když s daným omezením dosahujeme na nejvíce preferovaný a zároveň dosažitelný koš • Optimum se může měnit se změnou vnějších podmínek (komparativní statika) • Z optimalizace jsme schopni nejen odvodit optimální kombinace statků, ale také poptávkovou funkci a další implikace
Footer Text
3/24/2014
2
Optimalizace - graficky • Optimum nastává tam, kde je rozpočtové omezení 𝑀𝑈1 𝑝1 tečnou IC, tj. sklony jsou si rovny = 𝑀𝑅𝑆 = 𝑀𝑈2
Footer Text
𝑝2
3/24/2014
3
Optimalizace - algebra • Algebraicky jde v zásadě o optimalizaci s omezením, kdy účelová fce je užitková funkce a omezení je rozpočet. • Substituční metoda nebo Lagrangeův multiplikátor • 𝐿 = 𝑈 𝑥1, 𝑥2 − 𝜆 𝑝1 𝑥1 + 𝑝2 𝑥2 − 𝐼 → 𝑚𝑎𝑥 •
𝛿𝑈 𝛿𝑥1
− 𝜆 𝑝1 = 0 ;
• Tedy :
𝛿𝑈 𝛿𝑥1 𝛿𝑈 𝛿𝑥2
=
𝑝1 𝑝2
𝛿𝑈 𝛿𝑥2
→
− 𝜆 𝑝2 = 0 ; − 𝑝1 𝑥1 + 𝑝2 𝑥2 − 𝐼 = 0
𝑴𝑼𝟏 𝑴𝑼𝟐
= 𝑴𝑹𝑺 =
𝒑𝟏 𝒑𝟐
• Co je λ? Říká jak se změní užitek, pokud se důchod změní o jednotku (stínová cena rozpočtu) Footer Text
3/24/2014
4
Příklad • CD funkce 𝑈 =
(𝑥1)(𝑥2)
• I=100, p1=10, p2=20. • Určete optimální množství statku x1 a x2, které bude spotřebitel za daných podmínek nakupovat
Footer Text
3/24/2014
5
Vnitřní a rohové řešení • Co když bude cena jednoho statku = 0? • Co když půjde o dokonalé substituty? • V tomto případě je optimem tzv. rohové řešení
Footer Text
3/24/2014
6
Odvození poptávky (algebra) • Poptávku lze odvodit z optimalizace • Obecně platí, že fce poptávky je fcí důchodu a cen 𝑥1 = 𝑓 𝐼, 𝑝1 , 𝑝2 …..jde o tzv. Marshallovskou poptávku • Příklad: Odvoďte poptávkovou fci po x1 pokud 𝑈 = (𝑥1)(𝑥2) . • Řešení: 𝑥1 =
𝐼 2(𝑝1)
• Marshallovské poptávky jsou homogenní stupně 0 • Příklad: odvoďte obecnou fci poptávky z CD fce
Footer Text
3/24/2014
7
Poptávka z CD fce • Z CD fce vždy dostaneme poptávku ve tvaru 𝛼𝐼 𝑥1 = , kde 𝛼 je zastoupení daného statku ve (𝛼+𝛽)(𝑝1)
spotřebním koši
Footer Text
3/24/2014
8
Poptávka u dokonalých komplementů (Leontief) • 𝑈 = 𝑚𝑖𝑛 𝑎 𝑥1 , 𝑏(𝑥2) , lze vždy převést na 𝑈 = 𝑚𝑖𝑛 𝑐 𝑥1 , (𝑥2) . • Příklad – k jednomu snowboardu (x1) potřebuji 2 rukavice (x2) tj. x2=2(x1) • Potom (substituce do rozpočtu) 𝑥1 = • Obecně: 𝑥1 =
𝐼 (𝑝1)+𝑐(𝑝2)
; 𝑥2 =
𝐼 (𝑝1)+2(𝑝2)
𝑐𝐼 (𝑝1)+𝑐(𝑝2)
• Jde o největší množství těchto statků, které jsou zároveň dosažitelné – tj. optimum.
Footer Text
3/24/2014
9
Poptávka (optimum) Leontief
Footer Text
3/24/2014
10
Změna důchodu Engelova křivka • Také „income offer curve“ – křivka, která spojuje body optima při různých hladinách důchodu. • Důchodová elasticita – jak citlivě spotřebitel reaguje na změnu důchodu • 𝑒𝑖(𝑥1) =
𝑑(𝑥1) 𝑥1 𝑑(𝐼) 𝐼
=
𝑑(𝑥1) 𝐼 𝑑(𝐼) (𝑥1)
• 𝑒𝑖(𝑥) > 1 luxusní statky • 𝑒𝑖(𝑥) ∈ 0,1 nezbytné statky • 𝑒𝑖(𝑥) < 0 méněcenné (inferiorní) statky
Footer Text
3/24/2014
11
Engelova křivka – graf odvození • p1 a p2 jsou konst., roste I • U normálních statků s růstem I roste spotřeba statků (u luxusních rychleji než I). • U méněcenných statků bude klesající!
Footer Text
3/24/2014
12
Engelova křivka – výpočet (CD fce) • Známe obecně fci poptávky • 𝑥1 =
𝛼𝐼 (𝛼+𝛽)(𝑝1)
; 𝑥2 =
𝛽𝐼 (𝛼+𝛽)(𝑝2)
• Rovnice Engelovy křivky je pouze modifikací poptávkové fce pro důchod (vyjádříme I): • 𝐼1 =
𝛼+𝛽 𝑝1 𝛼
(x1) ; 𝐼2 =
• A potom : 𝑥2 =
Footer Text
𝛼+𝛽 𝑝2 𝛽
(x2)
𝛽 𝑝1 (𝑥1) 𝛼 𝑝2
3/24/2014
13
Důchodová elasticita – výpočet (CD fce) • Opět z fce poptávky získáme jako • 𝑒𝑖(1) = • • • •
𝑑(𝑥1) 𝐼 𝑑(𝐼) 𝑥1
=
𝛼 𝐼 (𝛼+𝛽)(𝑝1) (𝑥1)
Příklad: Určete důchodovou elasticitu v případě, že CD funkce 𝑈 = (𝑥1)(𝑥2) I=100, p1=10, p2=20. Dokažte, že ei je vždy =1 u CD fce
Footer Text
3/24/2014
14
Engelova křivka – výpočet (Leontief) • Obecně: 𝑥1 =
𝐼 (𝑝1)+𝑐(𝑝2)
; 𝑥2 =
𝑐𝐼 (𝑝1)+𝑐(𝑝2)
• Opět získáme Engelovu rovnici jako • 𝐼 = 𝑥1 𝑝1 + 𝑐 𝑝2 , 𝐼 = 𝑥2 𝑝1 + 𝑐 𝑝2 /𝑐, z toho
• x2=c(x1)….což je logicky bod zlomu (EC prochází body zlomu)
Footer Text
3/24/2014
15
Důchodová elasticita – výpočet (Leontief) • Obecně: 𝑥1 =
𝐼 (𝑝1)+𝑐(𝑝2)
; 𝑥2 =
𝑐𝐼 (𝑝1)+𝑐(𝑝2)
• Opět získáme důchodovou elasticitu jako • 𝑒𝑖(1) =
𝑑(𝑥1) 𝐼 𝑑(𝐼) 𝑥1
=
1 𝐼 (𝑝1)+𝑐(𝑝2) (𝑥1)
• Důchodová elasticita je v případě Leontiefovy fce rovna 1! (dokažte)
Footer Text
3/24/2014
16
Změna ceny • Běžné statky (ordinary goods) se chovají tak, že s růstem jejich ceny klesá jejich poptávané množství tj. křivka poptávky je negativně skloněna • „Price offer curve“ křivka nabídkové ceny – spojuje všechna optima při změně ceny jednoho statku • Cenová elasticita poptávky – jak citlivě reaguje spotřebitel na změnu ceny • 𝑒𝑝(𝑥1) =
𝑑(𝑥1) 𝑥1 𝑑(𝑝1) 𝑝1
=
𝑑(𝑥1) (𝑝1) 𝑑(𝑝1) (𝑥1)
• 𝑒𝑝(𝑥) < −1 cenově elastická poptávka • 𝑒𝑝(𝑥) ∈ 0, −1 neelastická poptávka • 𝑒𝑝(𝑥) > 0 Giffenovy statky Footer Text
3/24/2014
17
Křivka nabídkové ceny a poptávka
Footer Text
3/24/2014
18
Cenová elasticita – výpočet (CD) • Opět z fce poptávky získáme jako • 𝑒𝑝(1) =
𝑑(𝑥1) 𝑝1 𝑑(𝑝1) 𝑥1
=
𝛼𝐼 (𝑝1) − (𝛼+𝛽)(𝑝1)2 (𝑥1)
• Příklad: Určete cenovou elasticitu v případě, že
• CD funkce 𝑈 =
(𝑥1)(𝑥2) I=120, p1=15, p2=20.
• Cenová elasticita u CD fce je -1 (dokažte)
Footer Text
3/24/2014
19
Cenová elasticita – výpočet (Leontief) • Obecně: 𝑥1 =
𝐼 (𝑝1)+𝑐(𝑝2)
; 𝑥2 =
𝑐𝐼 (𝑝1)+𝑐(𝑝2)
• Opět získáme cenovou elasticitu jako • 𝑒𝑝(1) =
𝑑(𝑥1) 𝑝1 𝑑(𝑝1) 𝑥1
=
−𝐼 𝑝1 (𝑝1+𝑐 𝑝2 )2 𝑥1
=
−(𝑝1) (𝑝1)+𝑐(𝑝2)
• U Leontiefovy fce je ep vždy větší než -1 (neelastická)
Footer Text
3/24/2014
20
Změna ceny p2 • Vyvolá změnu poptávky po p1 • Směr změny je určen tím, zda se jedná o substituty nebo komplementy • 𝑒𝑐(1) =
𝑑(𝑥1) 𝑝2 𝑑(𝑝2) 𝑥1
• 𝑒𝑐 > 0………..substituty • 𝑒𝑐 < 0………..komplementy • Příklad: jaká je vždy ec u CD fce?
Footer Text
3/24/2014
21
Projevené preference • Pokud je koš x preferován před košem y a y je dostupný, potom je preference x před y přímo projevena. 𝑥𝑑 ≻ 𝑦 • Pokud platí, že 𝑥𝑑 ≻ 𝑦 ∧ 𝑦𝑑 ≻ z, potom 𝑥𝐼 ≻ z tedy preference x před z je projevena nepřímo. • Slabý axiom projevených preferencí (WARP): pokud je preference koše x před y přímo projevena, nemůže nastat situace, že platí opak, tedy y je přímo projeveně preferováno před x. • 𝑥𝑑 ≻ 𝑦 ¬(𝑦𝑑 ≻ 𝑥)
Footer Text
3/24/2014
22
Příklady • Honza má 27 USD a kupuje pouze celé jednotky statku (x1) a (x2). Jaký bude je spotřební koš, pokud cena (x1) je 16 dolarů a cena (x2) je 10 dolarů za jednotku a jeho užitková fce 𝑈 = 5(𝑥1)2 +2(𝑥2)2 ? • A) bude mít v koši stejně (x1) jako (x2) • B) nakoupí jen (x1) • C) nakoupí jen (x2) • D) Nakoupí více (x1) než (x2) • E) Nakoupí 4 (x2) a 2 (x1)
Footer Text
3/24/2014
23
Příklady • Alice má užitkovou fci 𝑈 = 𝑥1 + 63 𝑥2 − 3 𝑥2 2 a důchod I=184. Pokud je cena (p1)=1 a (p2)=33 kolik jednotek statku (x1) bude poptávat? • A) 16 • B)17 • C) 0 • D) 19 • E) 5
Footer Text
3/24/2014
24
Příklady • Jakub konzumuje pouze desítku a ležák. Jeho týdenní rozpočet na nákup těchto dvou statků vypadá jako 300 = 18 𝑥1 + 30(𝑥2), kde (x1) je desítka. Pro Jakuba jsou tři lahve desítky dokonalým substitutem k dvěma lahvím ležáku. Jak bude vypadat Jakubův nákup • A) Jakub nakoupí 16,66 lahví desítky • B) Jakub nakoupí pouze ležák • C) Jakub nakoupí 8 lahví ležáku • D) Jakub nakoupí 5 lahví desítky a 7 lahví ležáku • E) žádná z uvedených možností Footer Text
3/24/2014
25
Příklady • Jiří má funkci užitku definovanou jako 𝑈 = 𝑚𝑖𝑛 𝑥1 , 5 𝑥2 + 2(𝑥3) , kdy cena (p1)=1, (p2)=15 a (p3)=7. Kolik jednotek statku (x1) bude nakupovat pokud I=44. • A) 8,5 • B) 11 • C) 5 • D) 3 • E) 0
Footer Text
3/24/2014
26
Příklady • Jiří má funkci užitku definovanou jako 𝑈 = 𝑚𝑖𝑛 𝑥1 , 4 𝑥2 + 5(𝑥3) , kdy cena (p1)=1, (p2)=4 a (p3)=7. Kolik jednotek statku (x1) bude nakupovat, pokud I=8. • A) 3,33 • B) 4 • C) 5 • D) 7 • E) 0
Footer Text
3/24/2014
27
Příklady • Jana spotřebovává statky (x1) a (x2). Její užitková funkce je dána jako 𝑈 = 𝑚𝑖𝑛 𝑥1 + 2(𝑥2), 𝑥2 + 2(𝑥1) . Rozhodla se spotřebovávat 10 jednotek (x1) a 20 jednotek (x2), kdy (p1)=1. Které tvrzení je pravdivé? • A) Jana má I=40 • B) Jana má I=60 • C) Jana má I=35 • D) Jana má I=20 • E) nemáme dostatek informací abychom zjistili Janin důchod, neboť není dána cena p2 Footer Text
3/24/2014
28
Příklady • Jakub má užitkovou funkci danou jako 𝑈 = 𝑥1 + 2 𝑥2 + 3 . Pokud jsou ceny obou statků rovny 1, platí • A) Jiří spotřebovává stejně (x1) a (x2) • B) Jiří spotřebovává o jednu jednotku (x1) více než x(2) • C) Jiří spotřebovává o jednu jednotku více (x2) než (x1) • D) Jiří spotřebovává o dvě jednotky více (x1) než (x2) • Jiří spotřebovává pouze (x2)
Footer Text
3/24/2014
29
Příklady • Jana spotřebovává mrkev a pomeranče. Cena pomerančů je 5Kč za jednotku, cena mrkve 3 Kč za jednotku. Janin mezní užitek z pomerančů je v současné situaci 10 a mezní užitek mrkve je 2. Pokud Jana nezmění celkové výdaje za tyto statky, pak • A) zvýší svůj užitek pokud zvýší spotřebu pomerančů a sníží spotřebu mrkve • B) zvýší svůj užitek pokud sníží spotřebu pomerančů a sníží spotřebu mrkve • C) zvýší svůj užitek pokud zvýší spotřebu pomerančů a zvýší spotřebu mrkve • D) zvýší svůj užitek pokud sníží spotřebu pomerančů a zvýší spotřebu mrkve • E) žádná z možností
Footer Text
3/24/2014
30
Příklady • Marta má užitkovou funkci definovanou jako U=(x1)(x2). Důchod =100, (p1)=10 pro prvních 8 jednotek a poté klesá na 5, (p2)=10. Jaká je Martina optimální kombinace statků • A) (5,5) • B) (8,4) • C) (6,8) • D) (3,14) • E) (4,12)
Footer Text
3/24/2014
31
Příklady • Klára má funkci užitku definovanou takto 𝑈 = (𝑥1 + 2)(𝑥2 + 1). Pokud je její MRSc=-4 a spotřebovává 14 jednotek x1, kolik jednotek x2 spotřebuje? • A) 30 • B) 68 • C) 18 • D) 63 • E) 8
Footer Text
3/24/2014
32
Příklady • Janova užitková funkce má podobu 𝑈 = 𝑚𝑖𝑛 𝑥1, 𝑥22 . Jaký bude jeho důchod, pokud spotřebovává 7 jednotek x2 a (p1)=25, p(2)=15? • A) 2 660 • B) 280 • C) 1 430 • D) 1 330 • E) 800
Footer Text
3/24/2014
33
Příklady • Ondřejova užitková funkce má podobu 𝑈 = 4 (𝑥1) + (𝑥2). P1=1, p2= 6, I=264. Kolik jednotek statku 1 optimálně nakoupí? • A) 20 • B) 144 • C) 288 • D) 147 • E) 75
Footer Text
3/24/2014
34
Příklady • Michal spotřebovává statky x1 a x2. Jeho užitková funkce je následující 𝑈 = 𝑚𝑖𝑛 𝑥1 + 2 𝑥2 , 𝑥2 + 2(𝑥1) . Nakupuje 8 jednotek x1 a 16 jednotek x2. Cena statku x2 (p2)=0,5. Jaký je jeho důchod? • A) 32 • B) 40 • C) 24 • D) 16 • E) nelze rozhodnout
Footer Text
3/24/2014
35
Příklady • Karlova užitková funkce má podobu 𝑈 = (𝑥1)2 (𝑥2)8 , kde x1 jsou banány a x2 hrušky. Kolik banánů bude Karel optimálně nakupovat, pokud je jeho příjem alokovaný na tyto statky = 105 a cena banánů p1=2. • A) 10,5 • B) 8 • C) 63 • D) 21 • E) 12
Footer Text
3/24/2014
36
Příklady • Poptávková funkce je dána takto 𝑥1 = 𝐼 4 𝑝2
• • • • •
𝐼 , 𝑥2 2(𝑝1)
=
. Kdy (p1) = 1 a (p2)=2. Jaký tvar má Engelova
křivka? A) EC je horizontální přímka B) EC je vertikální přímka C) EC je přímka se sklonem -1/2 D) EC je přímka se sklonem ½ E) EC je přímka se sklonem ¼
Footer Text
3/24/2014
37
Příklady • Poptávková funkce je dána jako 𝑥1 = 𝑥2 =
• • • • •
𝑝1 . 𝑝2
𝐼 𝑝2
−1a
P1=1, p2=2 a I>2. Jaký je tvar Engelovy
křivky A) je to vertikální přímka B) je to horizontální přímka C) je to přímka se sklonem = 2 D) je to přímka se sklonem 1/2 E) je to přímka se sklonem -1/2
Footer Text
3/24/2014
38
Příklady • Karlova užitková funkce má tvar 𝑈 = (𝑥1)4 (𝑥2) . Jakou podobu má jeho poptávková funkce po statku (x1)?. 𝐼 2 𝑝1 4𝐼 B) 𝑝1 4𝐼 C) 5 𝑝1 4𝐼 D) 𝑝2 5𝐼 E) 4 𝑝1
• A)
• •
• •
Footer Text
3/24/2014
39
Příklady • Lída konzumuje ořechy (x1) a minerálku (x2). Ke každým dvěma jednotkám ořechů si dá vždy jednu jednotku minerální vody. Pokud je cena jednotky ořechů 3 a cena jednotky minerální vody 6, bude mít Lídina poptávka po minerální vodě následující • •
• •
𝐼 A) 3 𝐼 B) 12 𝐼 C) 18 3𝐼 D) 3 𝑥2
• E) 6𝐼/2 Footer Text
3/24/2014
40
