Dualita& poptávka Jan Čadil FNH VŠE Footer Text
3/24/2014
1
Podstata problému duality • Předchozí přístup k optimalizaci předpokládal maximalizaci – spotřebitel zná své omezení (rozpočet) a snaží se dosáhnout na kombinaci, se kterou maximalizuje užitek • Duální problém – spotřebitel může znát koš (užitek) kterého chce dosáhnout. Pro optimalizaci potom minimalizuje výdaje na tento koš. • Dualita je v zásadě jen jiný pohled na optimalizaci ale logika je stejná (a tedy i algebra je podobná).
Footer Text
3/24/2014
2
Schéma – duální řešení optima
Footer Text
3/24/2014
3
Nepřímá funkce užitku • Substitucí poptávek do funkce užitku získáme tzv. nepřímou fci užitku jako 𝑈 = 𝑓(𝐼, 𝑝1, 𝑝2) • Tato funkce ukazuje maximální dosažitelný užitek za daného důchodu a cen • Příklad: spočtěte nepřímou fci užitku, pokud znáte 𝑈 = (𝑥1)(𝑥2) •
Řešení: V =
Footer Text
𝐼 2 (𝑝1)(𝑝2)
3/24/2014
4
Odvození kompenzované poptávky • Výsledkem optimalizace při daném užitku a minimalizaci výdajů je Hickovská nebo též kompenzovaná poptávka, kdy 𝑥1𝑐 = 𝑓 𝑈, 𝑝1 , 𝑝2 • Příklad: Odvoďte Hickovskou poptávku za daného užitku 𝑈 = (𝑥1)(𝑥2) • Řešení: 𝑥1𝑐 = 𝑈
Footer Text
(𝑝2) (𝑝1)
3/24/2014
5
Výdajová funkce • Výdajovou funkci potom získáme tak, že substituujeme do rozpočtového omezení • Příklad: získejte výdajovou fci z předchozí kompenzované poptávky
• Řešení: E = 2𝑈 (𝑝1)(𝑝2)
Footer Text
3/24/2014
6
Vztahy v dualitě • Nepřímá fce užitku a výdajová fce jsou inverzní • Sheppardova Lemma – derivací výdajové fce podle ceny se dostaneme zpět k Hickovské poptávce
•
𝛿(𝐸) 𝛿(𝑝1)
= 𝑥1 = 𝑓 𝑈, 𝑝1 , 𝑝2
• Také můžeme říci, že I=E; U=V a (x1)c=(x1)d
Footer Text
3/24/2014
7
Vztahy v dualitě • Royova identita – z nepřímé fce užitku se dostaneme zpět k Marshallovské poptávce • 𝑉 = 𝑓 𝐼, 𝑝1 , 𝑝2
= 𝑓 𝐸 𝑈, 𝑝1 , 𝑝2 , 𝑝1 , 𝑝2
• Diferenciací podle p1 a I, resp. E při dV=0 (tedy užitek je konstantní) dostaneme •
𝛿𝑉 𝛿(𝑝1)
𝛿𝑉 𝛿𝐸 + 𝛿𝐸 𝛿(𝑝1)
= 0 Vzhledem k tomu, že
𝑥1𝑐 = 𝑥1𝑑 musí platit • 𝑥1𝑑 = − Footer Text
𝛿(𝐸) 𝛿(𝑝1)
= 𝑥1𝑐 a
𝛿𝑉 𝛿(𝑝1) 𝛿𝑉 𝛿𝐸 3/24/2014
8
Slutského rovnice • Vrátíme se zpět k důchodovému a substitučnímu efektu dle Slutského (kapitola Substituční a důchodový efekt) • Obecně sledujeme reakci poptávky na změnu ceny. Platí tyto identity • 𝑥1𝑐 = 𝑓 𝑈, 𝑝1 , 𝑝2 = 𝑥1𝑑 = 𝑓 𝐼, 𝑝1 , 𝑝2 = 𝑓 𝐸 𝑈, 𝑝1 , 𝑝2 , 𝑝1 , 𝑝2 Sheppard = x1
•
𝑑(𝑥1𝑐 ) 𝑑(𝑝1 )
Footer Text
=
𝑑𝑓(𝐸,𝑝1 ,𝑝2 ) 𝑑𝑓(𝐸,𝑝1 ,𝑝2 ) 𝑑𝑓(𝐸,𝑝1 ,𝑝2 ) + 𝑑(𝑝1 ) 𝑑𝐸 𝑑(𝑝1 )
Nekompenzovaná poptávka, reakce na cenu
3/24/2014
9
Slutského rovnice • Tedy celkovou reakci lze vyjádřit takto •
𝑑(𝑥1𝑑 ) 𝑑(𝑝1 )
=
𝑑(𝑥1𝑐 ) 𝑑(𝑝1 )
−
Substituční efekt
𝑑(𝑥1𝑐 ) (𝑥1 ) 𝑑 𝐼
Důchodový efekt
• CD funkce 𝑈 = (𝑥1)(𝑥2) • I=100, p1=10, p2=20. • Spočtěte Slutského substituční a důchodový efekt v případě, že cena p1 klesne na 5. Použijte rozklad výše. Footer Text
3/24/2014
10
Cenová elasticita substituce (substitution price elasticity) • Vychází se Slutského rovnice, resp. Hicksovy kompenzované poptávky, kdy ukazuje pružnost kompenzované poptávky na změnu ceny • 𝑒 𝑆 𝑝𝑑(1) =
Footer Text
𝑑(𝑥1𝑐 ) (𝑝1) 𝑑(𝑝1) (𝑥1𝑐 )
3/24/2014
11
Vztahy mezi elasticitami • Vážený součet důchodových elasticit je roven 1 • 𝐼 = 𝑝1 𝑥1 + 𝑝2 𝑥2 •
•
𝑑𝐼 𝐼
𝑑 𝑥1 𝑑 𝑥2 = 𝑝1 + (𝑝2) 𝐼 𝐼 (𝑝1)(𝑥1) 𝑑(𝑥1) 𝐼 (𝑝2)(𝑥2) 𝑑(𝑥2) 𝐼 → + 𝐼 𝑑𝐼 (𝑥1) 𝐼 𝑑𝐼 (𝑥2)
=1
• → 𝒔 𝟏 𝒆𝒊𝒅(𝟏) + 𝒔 𝟐 𝒆𝒊𝒅(𝟐) = 𝟏
Footer Text
3/24/2014
12
Vztahy mezi elasticitami • Cenová elasticita poptávky může být rozdělena mezi cenovou elasticitu substituce a důchodovou elasticitu – alá Slutský. Ze Slutského rovnice dostaneme
•
𝑑(𝑥1𝑑 ) 𝑑(𝑝1 )
• →
=
𝑑(𝑥1𝑐 ) 𝑑(𝑝1 )
𝑑(𝑥1𝑑 ) (𝑝1 ) 𝑑(𝑝1 ) (𝑥1𝑑 )
=
• Po úpravě: • 𝒆𝒑𝒅(𝟏) = 𝒆𝑺 𝒑𝒅
Footer Text
−
𝟏
𝑑(𝑥1𝑐 ) (𝑥1 ) 𝑑 𝐼
𝑑(𝑥1𝑐 ) (𝑝1 ) 𝑑(𝑝1 ) (𝑥1𝑑 )
−
𝑑(𝑥1𝑐 ) 𝑑 𝐼
𝑝1
− 𝒔 𝟏 𝒆𝒊𝒅(𝟏)
3/24/2014
13
Vztahy mezi elasticitami • Využití Eulerova theorému pro homogenní funkce: • 𝑓 𝑡𝑥1 , … , 𝑡𝑥𝑖 = 𝑡 𝑘 𝑓 𝑥1 , … . , 𝑥𝑖 kde k je stupeň homogenity. Po diferenciaci podle t získáme • 𝑥1
𝛿𝑓(𝑡𝑥1 ,…,𝑡𝑥𝑖 ) 𝑑𝑡 𝛿(𝑡𝑥1 )
+ ⋯ 𝑥𝑖
𝛿𝑓 𝑡𝑥1 ,…,𝑡𝑥𝑖 𝛿(𝑡𝑥𝑖 )
𝑑𝑡 = 𝑘𝑡𝑘−1 𝑓 𝑥1 , . . , 𝑥𝑖 𝑑𝑡
• Položíme t=1 a získáme • 𝑥1 𝑓´ 𝑥1 , … , 𝑥𝑖 + ⋯ . +𝑥𝑛 𝑓´ 𝑥1 , … , 𝑥𝑖 = 𝑘𝑓 𝑥1 , . . , 𝑥𝑖 • Za předpokladu homogenity poptávky stupně 0 potom přes Eulerův theorém: •
𝛿 𝑥1 𝛿 𝑝1
(𝑝1) +
𝛿 𝑥1 𝛿 𝑝2
𝑝2 +
𝛿 𝑥1 𝛿 𝐼
𝐼 =0
• Po úpravě: • 𝒆𝒊𝒅(𝟏) + 𝒆𝒑𝒅(𝟏) + 𝒆𝒄𝒅(𝟏) = 𝟎 Footer Text
3/24/2014
14
Inverzní poptávka • Poměrně často nachází využití tzv. inverzní funkce poptávky (zejm. grafy),kdy inverzní funkci poptávky získáme z poptávkové funkce vyjádřením ceny • 𝑝1 = 𝑓(𝑥 1 , 𝐼, 𝑝2 )
Footer Text
3/24/2014
15
Od individuální k tržní poptávce • Tržní poptávka je v zásadě součet individuálních poptávek • Obvykle předpokládáme značná zjednodušení (identičtí spotřebitelé). Potom • 𝑋1𝐷 = 𝑛𝑖=1 𝑓 (𝐼𝑖 , 𝑝1 𝑖 , 𝑝2 𝑖 ) = 𝑛 𝑛𝑖=1 𝑓 (𝐼, 𝑝1 𝑖 , 𝑝2 𝑖 )
Footer Text
3/24/2014
16
Elasticita tržní poptávky • Bylo již částečně vysvětleno v kapitole věnované optimalizaci a v bakalářském kurzu • Vše lze aplikovat i na tržní poptávku (předpoklad identické reakce všech spotřebitelů) • Dokonale elastická a dokonale neelastická tržní poptávka • Vývoj epd podél křivky poptávky (roste směrem dolů) • Vývoj tržeb na základě epd a změny ceny
Footer Text
3/24/2014
17
Příklady • Užitková funkce je dána jako 𝑈 = (𝑥1)0,4 (𝑥2)0,4 . Jaká je nepřímá funkce užitku? • A) V = 2 3
• B) V = • C) V = • D) V = • E) V = Footer Text
𝐼 (𝑝1)(𝑝2)
𝐼 0,4 0,4 [ 𝑝1 𝑝2 ]0,4 𝐼 0,4 0,4 [ 𝑝1 𝑝2 ]0,8 𝐼 0,8 1 2 [ 𝑝1 𝑝2 ]0,4 𝐼 0,4 1 2
[ 𝑝1 𝑝2 ]0,8
3/24/2014
18
Příklady • Je dána funkce užitku jako 𝑈 = 𝑥1 + (𝑥2). Jaká je v tomto případě funkce kompenzované poptávky? • A) 𝑥𝑐 = 2𝑈 − 𝑝1 𝑝2 • B) 𝑥𝑐 = 0,5𝑈 − 2 𝑝1 𝑝2 • C) 𝑥𝑐 = 𝑈 • D)𝑥𝑐 = 𝑈
(𝑝1) − 2(𝑝2)
2(𝑝1) − (𝑝2)
• E) 𝑥𝑐 = 𝑈 −
Footer Text
(𝑝1) (𝑝2)
3/24/2014
19
Příklady • Je dána funkce užitku jako 𝑈 = 𝑥1 + 2 (𝑥2). Určete výdajovou funkci. • A) 𝐸 = 𝑈 2𝑝1 − 𝑝2 • B) 𝐸 = 𝑝 1 𝑈 −
𝑝1 + 𝑝2 𝑝2
• C) 𝐸 = 𝑝 1 2𝑈 − • D) 𝐸 = 𝑝 2 𝑈 −
2 𝑝1 + 𝑝2 𝑝2
• E) 𝐸 = 𝑝 2 0,5𝑈 −
Footer Text
𝑝2 + 𝑝1 𝑝1
𝑝1 + 𝑝2 𝑝2
3/24/2014
20
Příklady • Michal má důchodovou elasticitu poptávky po benzínu 0,4. Jeho cenová elasticita poptávky po benzínu je -0,3. Na benzín vynakládá 10% rozpočtu. Jaká je jeho cenová elasticita substituce benzínu? • A) -0,26 • B) -0,34 • C) 0,20 • D) -0,12 • E) 0,36
Footer Text
3/24/2014
21
Příklady • Barbora spotřebovává pouze žvýkačky a bonbóny. Důchodová elasticita žvýkaček je 0,4 a tvoří polovinu jejích výdajů. Jaká je důchodová elasticita bonbónů? • A) 10 • B) 0,5 • C) 12 • D) 1,2 • E) 1,6
Footer Text
3/24/2014
22
Příklady • Poptávková funkce má předpis 𝑥1 = 190 − 0,2 𝑝1 . Inverzní poptávková funkce má potom předpis • A) 𝑝 1 = 190 − 2(𝑥1) • B) 𝑝 1 = 950 − 5 𝑥1 • C) 𝑝 1 = 190 − 5 𝑥1 • D) 𝑝 1 =
1 190−5 𝑥1
• E) 𝑝 1 = 190 − 0,2(𝑥1)
Footer Text
3/24/2014
23
Příklady • Pokud je tržní poptávka po statku y definována jako 𝑦 = 0,5𝐼 − 3𝑝 kde p je cena statku y a I=1000, p=100, co z hlediska prodejce vyvolá snížení ceny? • A) tržby poklesnou • B) tržby vzrostou • C) tržby se nezmění • D) je třeba znát funkci nabídky pro rozhodnutí • E) žádná z možností
Footer Text
3/24/2014
24
Příklady • Lenka má následující poptávkovou funkci 𝑥1 = 20 − 2 𝑝1 . Jaká je její cenová elasticita poptávky, pokud p(1)=3? • A) -6/14 • B) -2/20 • C) -2 • D) -14/6 • E) -6/20
Footer Text
3/24/2014
25
Příklady • Honza, Ondra a Tomáš nakupují karibský rum. Honzova poptávka je dána jako 𝑥 ℎ = 520 − 13𝑝, Ondrova jako 𝑥 𝑜 = 40 − 𝑝 a Tomášova jako 𝑥 𝑡 = 200 − 5𝑝. Dohromady představují celkovou poptávku po karibském rumu v regionu. Jaká by musela být cena rumu, aby byla cenová elasticita tržní poptávky =-1? • A) 19 • B) 20 • C) 25 • D) 15 • E) 35 Footer Text
3/24/2014
26
Příklady • Tržní poptávka po telefonické asistenční službě je popsána jako 𝑞 = 1000 − 150𝑝 + 35𝐼 kde q je počet poptávaných jednotek služby, p je cena služby =40 a I je průměrný důchod spotřebitele = 700. Důchodová elasticita poptávky potom je rovna • A) 3,5 • B) 4 • C) 1 • D) 2,8 • E) 1,26
Footer Text
3/24/2014
27
Příklady • Cenová elasticita poptávky po cigaretách byla odhadnuta na -0,5. O kolik by se musela zvýšit cena cigaret, pokud bychom chtěli snížit kouření o 50%? Předpokládejme průměrnou cenu balíčku 70 Kč. • A) o 140 Kč • B) o 35 Kč • C) o 105 Kč • D) o 70 Kč • E) nelze rozhodnout
Footer Text
3/24/2014
28
