Návrh optimalizace struktury výroby ve firmě Devos

Mendelova univerzita v Brně Provozně ekonomická fakulta

Návrh optimalizace struktury výroby ve firmě Devos Bakalářská práce

Vedoucí práce: doc. Ing. Josef Holoubek, CSc.

Brno 2014

Lukáš Halouzka

Děkuji vedoucímu práce doc. Ing. Josefu Holoubkovi, CSc., za cenné rady a připomínky, dále děkuji panu Stanislavu Kalovi, majiteli firmy Devos, za ochotu při konzultacích.

Čestné prohlášení Prohlašuji, že jsem tuto práci: Návrh optimalizace struktury výroby ve firmě Devos vypracoval/a samostatně a veškeré použité prameny a informace jsou uvedeny v seznamu použité literatury. Souhlasím, aby moje práce byla zveřejněna v souladu s § 47b zákona č. 111/1998 Sb., o vysokých školách ve znění pozdějších předpisů, a v souladu s platnou Směrnicí o zveřejňování vysokoškolských závěrečných prací. Jsem si vědom/a, že se na moji práci vztahuje zákon č. 121/2000 Sb., autorský zákon, a že Mendelova univerzita v Brně má právo na uzavření licenční smlouvy a užití této práce jako školního díla podle § 60 odst. 1 Autorského zákona. Dále se zavazuji, že před sepsáním licenční smlouvy o využití díla jinou osobou (subjektem) si vyžádám písemné stanovisko univerzity o tom, že předmětná licenční smlouva není v rozporu s oprávněnými zájmy univerzity, a zavazuji se uhradit případný příspěvek na úhradu nákladů spojených se vznikem díla, a to až do jejich skutečné výše. V Brně dne 23. prosince 2013

__________________

Abstract Halouzka, L. Optimalization plan of production mix in Devos. Bachelor thesis. Brno, 2013. This bachelor thesis is focused on finding the optimal structure of production while maximizing profits of the company Devos. To achieve this goal it is necessary to mathematically describe ongoing production processes using linear programming. Created mathematical model was made in the Lindo program. Next step is that the obtained draft of the optimal structure of production is a subject to the analysis of optimal solution sensitivity and results are being commented. Keywords Linear programming, optimalization plan of production mix, sensitivity analysis, Lindo.

Abstrakt Halouzka, L. Návrh optimalizace struktury výroby ve firmě Devos. Bakalářská práce. Brno, 2013. Bakalářská práce se zabývá nalezením optimální struktury výroby při maximalizaci zisku ve firmě Devos. K tomuto vytyčenému cíli je zapotřebí matematicky popsat probíhající výrobní procesy pomocí lineárního programování. Vytvořený matematický model je vyřešen v programu Lindo. Následně je získaný návrh optimální struktury výroby podroben analýze citlivosti optimálního řešení a výsledky jsou komentovány. Klíčová slova Lineární programování, návrh optimalizace struktury výroby, analýza citlivosti, Lindo.

Obsah

6

Obsah 1

Úvod

2

Cíl práce a metodika

3

9 11

2.1

Cíl práce ................................................................................................... 11

2.2

Metodika .................................................................................................. 11

2.2.1 úlohy

Identifikace a definice problému, stanovení cíle, slovní formulace .......................................................................................................... 11

2.2.2

Sběr a zpracování informací ............................................................ 12

2.2.3

Konstrukce matematického modelu ................................................ 12

2.2.4

Řešení a testování modelu ............................................................... 12

2.2.5

Interpretace výsledků ...................................................................... 13

2.2.6

Analýza citlivosti optimálního řešení .............................................. 13

2.2.7

Návrhy na řešení .............................................................................. 13

Literární rešerše

14

3.1

Operační analýza...................................................................................... 14

3.2

Matematické programování .................................................................... 15

3.3

Lineární programování ............................................................................ 15

3.4

Základní pojmy systémových věd ............................................................ 17

3.5

Tvar zápisu modelu lineárního programování ........................................ 17

3.5.1

Účelová funkce .................................................................................18

3.5.2

Vlastní omezující podmínky ............................................................18

3.5.3

Podmínky nezápornosti .................................................................. 20

3.5.4

Vstupy v matematickém modelu .................................................... 20

3.6

Řešení modelu lineárního programování ................................................ 21

3.6.1 3.7

Cíl řešení .......................................................................................... 21

Matematické modelování ....................................................................... 22

3.7.1

Matematický model ........................................................................ 22

3.8

Typy matematických modelů.................................................................. 23

3.9

Postup tvorby matematického modelu LP ............................................. 23

Obsah

7

3.9.1 úlohy

Identifikace a definice problému, vymezení cíle, slovní formulace ......................................................................................................... 24

3.9.2

Sběr a zpracování informací ........................................................... 24

3.9.3

Konstrukce matematického modelu ............................................... 25

3.9.4

Řešení a testování modelu .............................................................. 25

3.9.5

Interpretace výsledků ..................................................................... 26

3.9.6

Analýza citlivosti optimálního řešení ............................................. 27

3.9.7

Návrhy na řešení ............................................................................. 28

3.10 Ekonomické pojmy, postupy a metody .................................................. 28 4

Vlastní práce

31

4.1

Charakteristika zkoumaného podniku .................................................... 31

4.2

Tvorba ekonomicko-matematického modelu ........................................ 33

4.2.1 úlohy

Identifikace a definice problému, vymezení cíle, slovní formulace ......................................................................................................... 33

4.2.2

Sběr a zpracování informací ........................................................... 35

4.2.3

Konstrukce matematického modelu ............................................... 43

4.2.4

Řešení a testování modelu .............................................................. 48

4.2.5

Interpretace výsledků ..................................................................... 48

4.2.6

Analýza citlivosti optimálního řešení ............................................. 49

4.2.7

Návrhy na řešení ............................................................................. 53

5

Závěr

55

6

Použitá literatura

57

Seznam tabulek

8

Seznam tabulek Tab. 1 Přehled celkové nabídky výrobků

32

Tab. 2 Průměrný objem a rozložení týdenní produkce za srpen 2013

34

Tab. 3

37

Celkové nepřímé měsíční náklady

Tab. 4 Údaje o nákladech, tržbách a zisku (EBITDA) pro Devoskyt 1

37


38


38


38


39


39

Tab. 10

Suroviny na výrobu

40

Tab. 11

Spotřeba času jednotlivých výrobků

41

Tab. 12

Množství obalů na skladě

42

Tab. 13 Intervaly přípustnosti změn koeficientů účelové funkce

50

Tab. 14

Změna cen nezákladních proměnných

51

Tab. 15

Intervaly přípustnosti změn vektorů pravých stran

52

Úvod

9

1 Úvod V následujícím textu bakalářské práce se budu zabývat návrhem optimálního rozložení výrobní struktury ve firmě Devos. Hlavním cílem návrhu je maximalizovat zisk. Jedná se o problematiku řešenou v rámci vědecké disciplíny, která se nazývá operační analýzou, a přesněji její propracované části zvané lineární programování. Operační analýza se zrodila ve 30. letech 20. stol. a velký rozvoj nastal již v průběhu druhé světové války a v poválečném průmyslovém rozvoji. Zásadním milníkem ve vývoji oboru bylo představení prvního modelu úlohy lineárního programování v roce 1947 americkým vědcem G. B. Dantzigem a krátce na to zveřejněním algoritmu simplexovy metody, jednoho z dosud nejpoužívanějších postupů řešení úloh lineárního programování. Dnešní vývoj tohoto oboru je především závislý na rychlém rozvoji výpočetní techniky a optimalizačního softwaru a jejich snadné dostupnosti. K tématu lineárního programování jsem se dostal při studiu předmětu ekonomicko–matematické metody, zde mě především zaujala možnost matematicky popsat probíhající výrobní procesy ve firmě. Tyto procesy lze dále analyzovat a optimalizovat. Dané problematice jsem se proto rozhodl věnovat v bakalářské práci a lineární programování podrobněji rozebrat a ověřit si svoje teoretické poznatky na praktickém příkladu. Pro dosažení vytyčeného cíle je třeba vytvořit matematický model pomocí metod a myšlenkových postupů lineárního programování. Model bude sloužit jako zjednodušené zobrazení sledovaného reálného objektu, v tomto případě firmy Devos. Závěrem úvodní části bych jen dodal, že v dnešní době odeznívající globální hospodářské recese, šetření a snižování nákladů, stojí často řídicí pracovníci před rozhodnutími, která by neměli řešit pouze pomocí vlastních zkušeností nebo intuicí. Lineární programování mohou podnikatelské subjekty všech velikostí využít jako jeden z dostupných prostředků pro racionální řešení

Úvod

10

problému a mohou být určitou konkurenční výhodou v náročném tržním prostředí. Získané výsledky nejsou jedinou možností řešení, je to pouze jedna z možných variant řešení.


11

2 Cíl práce a metodika 2.1 Cíl práce Cílem bakalářské práce je návrh optimalizace struktury výroby z hlediska maximalizace zisku. Za objekt, který bude sloužit jako reálná předloha pro tvorbu modelu jsem si zvolil firmu Devos, jež vyrábí omítkové stěrky. Probíhající výrobní procesy popíši pomocí matematických výrazů, ze kterých vytvořím

vhodný

ekonomicko-matematický

model,

který

bude

úlohou

lineárního programování. Optimální řešení matematického modelu získám prostřednictvím vhodného algoritmu počítačového programu Lindo. Získané matematické výsledky interpretuji do ekonomické roviny daného problému a optimální řešení podrobím analýze citlivosti.

2.2 Metodika V praktické části práce budu postupovat dle definicí a myšlenkových postupů získaných a nastudovaných z odborné literatury. Všechny potřebné poznatky a materiály, ze kterých byly získány, jsou uvedeny v kapitole Literární rešerše. Při řešení daného problému budu postupovat následujícími 7 kroky:  identifikace a definice problému, stanovení cíle, slovní formulace úlohy,  sběr a zpracování informací,  konstrukce matematického modelu,  řešení a testování modelu,  interpretace výsledků,  analýza citlivosti optimálního řešení,  návrhy na řešení. 2.2.1

Identifikace a definice problému, stanovení cíle, slovní formulace úlohy

Na začátku práce si nejdříve jasně identifikuji a definuji problém. Po analýze současného stavu firmy Devos zjistím, co problém vyvolává, ovlivňuje nebo omezuje. Vyberu vnější a vnitřní faktory, které budou na vytvářený model


12

působit, zbylé označím za nadbytečné a vyloučím. Dále si jasně stanovím, za jakým účelem chci úlohu řešit. Tedy to, co má být výsledkem práce a na co mám zaměřit tvorbu výsledného ekonomicko-matematického modelu. Nakonec v této části práce zformuluji, pro snadnější tvorbu výsledného modelu, ekonomický (slovní) model úlohy. 2.2.2

Sběr a zpracování informací

V této fázi budu získávat potřebná vstupní data pro naplnění modelu. Z předešlé části práce jsou vybrané podstatné faktory a vlivy působící na zkoumaný objekt a dle toho získám kvalitní a odpovídající informace. Data jsem se rozhodl zpracovat do přehledných tabulek. Připravené tabulky naplním vhodnými vstupními údaji. Potřebné údaje získám z dat, která firma vede a uchovává. Získané a zpracované vstupní údaje následně použiji pro tvorbu konečného ekonomicko-matematického modelu v další etapě práce. 2.2.3

Konstrukce matematického modelu

Třetí etapa je částí práce, v níž budu konstruovat vlastní model. Z první fáze práce mám již sestavenou slovní podobu úlohy. Tuto předlohu pro finální model převedu do podoby matematických výrazů (soustavy lineárních rovnic a nerovnic). Matematický model vytvořím z několika částí: definuji hledané proměnné, zapíši účelovou funkci a omezující podmínky. Část modelu omezující podmínky vytvořím z těchto částí: spotřeba surovin, výrobní pracnost, omezení výrobní kapacity firmy Devos a počty obalů na balení výrobků. Třetí etapa bývá často propojena s druhou etapou, protože mohu při tvorbě samotného modelu zjistit, že získané a zpracované informace nebudou stačit, a proto bude třeba vstupní data rozšířit a doplnit o další chybějící a potřebné údaje. 2.2.4

Řešení a testování modelu

Vlastní

řešení

již

zkonstruovaného

ekonomicko-matematického

modelu

provedu v programu Lindo ve verzi 6.1. Do programu vložím sesbírané vstupní údaje a vytvořím z nich model s definovanými proměnnými, účelovou funkcí


13

a vlastními omezujícími podmínkami. Takto připravený model v programu Lindo vypočítám pomocí funkce Solve. 2.2.5

Interpretace výsledků

V páté etapě uvedu vlastní vypočítané řešení, které se bude skládat z optimálního množství výroby jednotlivých výrobků, z vypočítané hodnoty účelové funkce a z hodnot potřebných pro následnou analýzu citlivosti optimálního řešení. 2.2.6

Analýza citlivosti optimálního řešení

Následně získané optimální rozložení výroby podrobím analýze citlivosti, která se bude skládat z analýzy citlivosti cenových koeficientů účelové funkce a analýzy citlivosti pravých stran omezujících podmínek. 2.2.7

Návrhy na řešení

V poslední části bych měl dané výsledky implementovat do reálného objektu, který je předlohou vytvořeného matematického modelu. Svou práci však považuji pouze za teoretický návrh optimalizace struktury výroby ve firmě Devos, a proto v této etapě provedu různé experimenty s vytvořeným modelem, abych ukázal jejich vliv na výsledné řešení.


14

3 Literární rešerše V následující kapitole bakalářské práce jsou uvedeny potřebné pojmy, definice a poznatky nezbytné pro teoretické pochopení řešeného problému pomocí matematického modelování a lineárního programování.

3.1 Operační analýza Za počátek samostatné vědní disciplíny jsou považována 30. léta 20. století. U zrodu a vývoje operační analýzy lze najít jména takových vědců a matematiků, jako jsou G. B. Dantzig, L. V. Kantorovič, John von Neumann nebo Ralph E. Gomory. Velký rozvoj prodělala operační analýza v průběhu druhé světové války, kdy její metody pomáhaly řešit rozsáhlé vojenské operace, především v oblasti logistiky a zásobování. Dále se rychle vyvíjela v době poválečného průmyslového rozvoje 50. let 20. století, kdy vyzkoušené poznatky získané z válečného období byly využity především v ekonomických oblastech potravinářského, ocelářského a ropného průmyslu. Často se v odborné literatuře uvádí jiné názvy operační analýzy, jako jsou operační výzkum, kvantitativní metody nebo ekonomicko-matematické metody. Mezinárodní společnost Society of Operational Research sdružující odborníky z oboru, zformulovala oficiální charakteristiku operační analýzy, která zní: ,,Operační analýza je aplikace vědeckých metod na komplex problémů vznikajících při řízení složitých systémů lidí, strojů, materiálních a finančních prostředků ve výrobě, obchodu a vojenství. Zvláštností přístupu je sestavení vědeckého modelu systému, zahrnujícího měření takových faktorů, jako jsou šance a riziko, pomocí kterého je možno předvídat a srovnávat výsledky alternativního rozhodnutí, strategií nebo řízení. Účelem je pomoci vedoucím pracovníkům určit jejich rozhodnutí vědecky.“1 Operační analýza je soubor samostatných vědních disciplín, který je velmi obsáhlý a má mnoho odvětví. Její rozsah je dán především širokou rozmanitostí 1

GROS, I. Kvantitativní metody v manažerském rozhodování. 1.vyd. Praha: Grada, 2003. s. 12.


15

řešených ekonomických problémů a rozděluje se na tyto vědní disciplíny (údaje v závorkách jsou letopočty vzniku vědních disciplín):  matematické programování (1947),  síťová analýza (1957),  strukturní analýza (1939),  modely řízení zásob (1951),  nelineární programování (1951),  modely hromadné obsluhy (1951),  teorie her (1944). „Cílem je propočítat operace tak, aby bylo v rámci daných omezení dosaženo optimálního nebo alespoň optimu blízkého výsledku.“2 Ve své bakalářské práci se soustředím na část oboru operační analýzy nazvanou lineární programování.

3.2 Matematické programování Matematické programování je nejpropracovanější disciplína v operační analýze. Do

oblasti

matematického

programování

patří

lineární,

nelineární,

vícekriteriální a cílové programování. „Společným charakteristickým znakem všech uvedených oblastí je hledání extrémů funkcí na nekonečné či konečné množině řešení splňující zadané podmínky.“3

3.3 Lineární programování Lineární programování je považováno za základ operační analýzy a vzniklo v roce 1947, kdy Američan G. B. Dantzig uveřejnil první model úlohy lineárního programování. Krátce na to byla zveřejněna i simplexová metoda, která je jednou z nejpoužívanějších metod pro řešení úloh lineárního programování. Je to nejrozsáhlejší skupina matematických modelů pro řešení rozhodovacích situací v ekonomických oblastech života. TYC, O. Operační výzkum. 1.vyd. Brno: MZLU, 2003. s. 4. FÁBRY, J. Matematické modelování. 1. vyd. Praha: VŠE nakladatelství Oeconomica, 2007. s. 15. 2 3


16

„Ve srovnání s modely ostatních disciplín operačního výzkumu patří lineární optimalizační model k těm jednodušším. Uvažujeme v něm existenci pouze lineárních vztahů mezi sledovanými veličinami, neuvažujeme vývoj v závislosti na čase a rovněž neuvažujeme vliv náhodných jevů na sledované veličiny.“4 Typové úlohy s ekonomickým zaměřením, které jsou řešeny v rámci lineárního programování:  výrobního plánování (problém alokace zdrojů),  finančního plánování (optimalizace portfolia),  plánování reklamy,  směšovací úlohy,  nutriční problém (úloha o výživě),  úlohy o dělení materiálu,  distribuční úlohy,  rozvrhování pracovníků. „V úlohách výrobního plánování se jedná o určení struktury výrobního programu při respektování celé řady často velmi rozmanitých podmínek.“5 ,,Danou

úlohu

označíme

za

úlohu

lineárního

programovaní,

jsou-li kriteriální funkce i všechny rovnice a nerovnice podmínek tvořeny lineárními výrazy.“6 To znamená, že všechny proměnné se vyskytují v první mocnině. Pokud se nacházejí proměnné v druhé a vyšší mocnině, jedná se o úlohu nelineárního programování, která má ovšem daleko těžší řešení, proto se úlohy nelineárního programování rozkládají na více jednodušších úloh lineárního programování.

LAGOVÁ, M. Lineární modely v ekonomii. 1. vyd. Ústí nad Labem: Univerzita J. E. Purkyně, 1994. s. 10. 5 JABLONSKÝ, J. Modely operačního výzkumu. 1. vyd. Hradec Králové: GAUDEAMUS, 2002. s. 63. 6 PLEVNÝ, M. – ŽIŽKA, M. Modelování a optimalizace v manažerském rozhodování. 1. vyd. Plzeň: Západočeská univerzita, 2007. s. 14. 4


17

3.4 Základní pojmy systémových věd Následující výrazy jsou zavedené základní pojmy v teorii modelování a v teorii systémů, bez kterých se při studiu problematiky matematického modelování a lineárního programování nelze obejít, a proto je nutné je zde uvést. ,,Objekt můžeme chápat jako skutečné předměty našeho zájmu a cíle našeho snažení. Systémem budeme označovat uspořádaný soubor vzájemně propojených částí – prvků – tvořících celek se společnou funkcí, chováním. Systém je také považován za obraz reálného objektu, který je cíleně zjednodušen. Prvek sytému je základní a relativně samostatná část systému, na dané rozlišovací úrovni nedělitelná. Prvek systému má jisté vlastnosti důležité pro existenci a fungování celého systému. Vazby v systému propojují prvky v systému do jednoho celku a dále spojují s jeho okolím. Struktura systému je tvořena prvky a mezi nimi existujícími vazbami. Okolí systému tvoří všechno, co systém obklopuje a má s ním společné vazby. Okolí systému jednak ovlivňuje systém, ale je také systémem ovlivňováno.“7

3.5 Tvar zápisu modelu lineárního programování V této části práce se zabývám tvaru zápisu úlohy lineárního programování. Nejdříve uvedu jeho obecný zápis. Dále bude následovat detailní popis všech jeho vztahů. „Obecný tvar lineárního matematického modelu (v rozepsané formě) má tuto podobu:

zextr =c 1 x 1 + c 2 x 2 + ... + c n x n

(1)

a11 x 1 + a12 x 2 + ... + a1n x n  b1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2n x n  b2 . . a m1 x 1 + a m2 x 2 + ... + a mn x n  b m x1 ,

x2 ,

...

,x n  0

(2) (3)

 vztah (1) – lineární mnohočlen, zvaný účelová funkce, 7

HOLOUBEK, J. Ekonomicko-matematické metody. 2. vyd. Brno: MZLU, 2007. s. 7–8.


18

 vztah (2) – vlastní omezující podmínky,  vztah (3) – soustava nerovnic tzv. podmínky nezápornosti.“8 Výše rozepsaný matematický model je složen ze 3 hlavních části, které jsou detailně rozebrány níže:  účelová funkce,  vlastní omezující podmínky,  podmínky nezápornosti. 3.5.1

Účelová funkce

Je matematické vyjádření slovně stanoveného cíle řešení daného problému. Jedná se o lineární mnohočlen, který má všechny proměnné v první mocnině. Účelová funkce je kritériem pro zvolení optimálního řešení. Nejčastěji se pro tuto funkci používá označení účelová, užitková nebo kriteriální funkce. V úlohách lineárního programování se hledá extrém této funkce při splnění zadaných omezujících podmínek. Jsou dva typy účelové funkce:  maximalizační,  minimalizační. Jakoukoliv maximalizační úlohu lineárního programování je možné převést na minimalizační změnou znaménka u koeficientů účelové funkce. ,,Označíme-li f (x) účelovou funkci maximalizační a f * ( x) minimalizační úlohy, potom

pro jejich extrémní hodnoty platí f ( x0 )   f * ( x0 ) .“9 Důležité je také uvést správné jednotky výsledku účelové funkce. 3.5.2

Vlastní omezující podmínky

Omezující podmínky jsou matematickým vyjadřením všech omezujících faktorů podstatných pro danou úlohu. Mají podobu soustavy linearních rovnic a/nebo nerovnic. Podle vazeb ke zkoumanému systému se rozdělují na dva typy:  exogenní (vnější) vazby systému, 8

HOLOUBEK, J. Ekonomicko-matematické metody. 2. vyd. Brno: MZLU, 2007. s. 11. B. – VOLEK, J. Lineární programování. 4. vyd. Univerzita Pardubice, 2011. s. 52.

9LINDA,


19

 endogenní (vnitřní) vazby systému. „Omezující podmínky v modelech LP můžeme rozdělit do čtyř skupin:  Kapacitní – omezení typu  , spotřeba nesmí přesáhnout kapacitu,  Garanční (požadovaná) – omezení typu  , produkce musí být alespoň tak velká jako spotřeba,  Bilanční podmínka – omezení typu , ,  , spotřeba musí být větší, stejná nebo menší než zdroj,  Omezení ve formě rovnice – produkce je rovna požadavku, spotřeba využije celý zdroj.“10 Obsah omezujících podmínek je dán podle typu úlohy lineárního programování. Omezení se nejčastěji týkají:  Spotřeby materiálových a energetických vstupů. Omezení vyjadřuje jednotlivé spotřeby surovin, materiálů a energií potřebných pro výrobu daných výrobků. Pravé strany těchto lineárních výrazů vyjadřují množství surovin, energií a jiných vstupů, které jsou k dispozici pro dané účely.  Pracnost znázorňuje čas potřebný pro výrobu. Pravá strana vyjadřuje disponibilní časový pracovní fond, který je k dispozici.  Výrobní kapacity podniku. „Výrobní kapacita podniku je maximální objem produkce, který lze vyrobit při dané technologické a organizační úrovni výroby za dané období.“11 Podle publikace Plevného a Žižky (2007) se omezující podmínky definují takto: ,,Omezující podmínky vyjadřují omezení a závazky, které jsme nuceni při řešení splnit. Je to obvykle soustava rovnic či nerovnic, z nichž každá vyjadřuje jedno konkrétní omezení.“ 12

10ZÍSKAL,

J. – HAVLÍČEK, J. Ekonomicko-matematické metody I. Studijní texty pro distanční studium. 2. vyd. Česká zemědělská univerzita v Praze, 2001. s. 110. 11 LUŇÁČEK, J. – HERALECKÝ, T. Optimalizace podnikových aktivit. 1. vyd. Ostrava: KEY Publishing, 2009. s. 75. 12 PLEVNÝ, M. – ŽIŽKA, M. Modelování a optimalizace v manažerském rozhodování. 1. vyd. Plzeň: Západočeská univerzita, 2007. s. 18.


20

Většinou vyjadřují např.: spotřebu surovin, kapacitní omezení skladů, kapacitní omezení výrobních kapacit, časovou náročnost výroby, atd. V omezujících podmínkách jsou dva typy parametrů. ,,Jsou to jednak strukturní koeficienty, které popisují vztah mezi činiteli a procesy, a jednak pravé strany, které definují absolutní úroveň činitelů.“13 Důležité je vždy uvádět u všech rovnic či nerovnic, v jakých jednotkách jsou zapsány. 3.5.3

Podmínky nezápornosti

Součástí omezujících podmínek jsou i podmínky nezápornosti. Jsou nazývány jako obligátní podmínky a zaručují to, že proměnné obsažené v modelu nemohou nabývat záporných hodnot. „Jde o podmínky, které vymezují definiční obor jednotlivých proměnných.“14 3.5.4

Vstupy v matematickém modelu

Vstupy v modelu se rozdělují na:  řiditelné vstupy (rozhodovací proměnné),  neřiditelné vstupy (faktory prostředí). Řiditelné vstupy jsou takové proměnné, jejichž číselné hodnoty se vypočítávají. Pomocí těchto proměnných se optimalizují probíhající procesy a pro každý ze sledovaných procesů se přiřadí jedna proměnná. V úlohách výrobního plánování

lineárního

programování

se

především

jedná

o procesy,

které vyjadřují počet vyráběných výrobků. Například ve firmě, kde se vyrábí 3 druhy výrobků, se označí jednotlivé výrobní procesy jako x1 , x2 , x3 . ,,Správné určení rozhodovacích proměnných matematického modelu je výrazným krokem k úspěchu při jeho konstrukci. Jednotlivé rozhodovací

JABLONSKÝ, J. Operační výzkum – kvantitativní metody pro ekonomické rozhodování. 3. vyd. Praha: Professional publishing, 2007. s. 22. 14 PLEVNÝ, M. – ŽIŽKA, M. Modelování a optimalizace v manažerském rozhodování. 1. vyd. Plzeň: Západočeská univerzita, 2007. s. 18. 13


21

proměnné popisují číselnou hodnotou procesy, které v systému probíhají a které mají vliv na definovaný cíl prováděné analýzy.“15 Neřiditelné vstupy se nacházejí v modelu jako konstanty, a proto je nelze jakkoliv ovlivňovat (nejsou to proměnné). Vystupují zde jako kapacitní omezení výroby, spotřeba surovin pro výrobu, ceny nákupu surovin, spotřeba strojového času a další omezení. Tyto vstupy v modelu tvoří vlastní omezující podmínky.

3.6 Řešení modelu lineárního programování Úlohy lineárního programovaní jsou nejčastěji řešeny pomocí simplexové metody a jejího primárního algoritmu. Tento algoritmus byl vytvořen americkým vědcem a matematikem G. B. Dantzigem v roce 1947. 3.6.1

Cíl řešení

Cílem řešení úloh lineárního programování je nalezení optimálního řešení. „Optimální řešení je přípustné řešení s nejlepší hodnotou účelové funkce (s nejvyšší hodnotou v případě maximalizace a s nejnižší hodnotou v případě minimalizace účelové funkce).“16 Při předpokladu, že řešená úloha má optimální řešení, mohou nastat dvě rozdílné situace:  úloha má 1 optimální řešení,  úloha má více optimálních řešení. Úloha, která má více optimálních řešení se pozná podle výstupních dat v analýze citlivosti, kde hodnoty změn cen (koeficientů účelové funkce) nezákladních proměnných (tj. proměnné nezařazené do optimálního řešení) jsou rovny nule.

PLEVNÝ, M. – ŽIŽKA, M. Modelování a optimalizace v manažerském rozhodování. 1. vyd. Plzeň: Západočeská univerzita, 2007. s. 32. 16 JABLONSKÝ, J. Operační výzkum – kvantitativní metody pro ekonomické rozhodování. 3. vyd. Praha: Professional publishing, 2007. s. 41. 15


22

3.7 Matematické modelování Při dnešním rychlém rozvoji výpočetní techniky je tento obor velmi rozsáhlý a zahrnuje mnoho disciplín jako např.: modelování fyzikálních či chemických jevů, klimatických nebo biologických procesů. Ve své práci se soustředím na modelování, které souvisí s ekonomickým chováním a rozhodováním. „Modelováním rozumíme postup od objektivní reality k modelu.“17 Snahou matematického modelování je zjednodušeně popsat reálný objekt, který je předmětem našeho zájmu. Častým důvodem pro vytváření modelu je vznik důležité rozhodovací situace. Většinou jde o situace, kterými se zabývá vyšší management firmy či podniku. Jedním z podpůrných prostředků pro racionální rozhodování vedoucích pracovníků v často životně důležitých situacích podniku je použití matematického modelu. 3.7.1

Matematický model

Cílem matematického modelování je vytvořit vhodný matematický model. S myšlenkou, že lze matematicky popsat probíhající výrobní procesy, přišel jako první sovětský matematik L. V. Kantorovič18 ve své studii s názvem Matematické metody organizace a plánování výroby. „Matematické a technických

modely

se

používají

zejména

disciplínách (např.: fyzika, biologie

v přírodních

vědách

a elektrotechnika),

ale i ve společenských vědách (např.: ekonomie, sociologie a politologie).“19 Můj matematický model znázorňuje používané průmyslové procesy ve firmě Devos. „Průmyslové procesy jsou takové procesy, jejichž vstupem jsou hmotné věci, tj. suroviny a materiál. Výstupem z průmyslových procesů může být surovina nebo polotovar pro další průmyslový proces, a zejména výsledný produkt.“20 RAIS, K. Základy optimalizace a rozhodování. 10. vyd. Brno: MSD, 2005. s. 19. Zakladatel lineárního programování, laureát Nobelovy ceny za ekonomii (1975). 19 Science Daily [online]. c2013, poslední revize 2013 [cit.2013-18-11]. Dostupné z: . 20 BASL, J. a spol. Modelování a optimalizace podnikových procesů. 1. vyd. Plzeň: Západočeská univerzita, 2002. s. 32. 17

18


23

Dle Plevného a Žižky (2007) lze model definovat takto: ,,Ekonomickomatematický model je zjednodušené zobrazení, resp. matematický popis reálného systému, který obsahuje pouze prvky a vazby mezi těmito prvky podstatné pro zkoumaný ekonomický problém.“21 Z výše uvedené definice vyplývá důležitost použití právě těch prvků a vazeb reálného systému, které bezprostředně souvisejí s daným problémem. V praxi je velmi důležité tuto zásadu dodržovat. V opačném případě, kdy se do modelu zahrnou i nepodstatné prvky sledovaného objektu, bude model velmi složitý a obsáhlý. Může se také stát, že takový model bude až zcela neřešitelný dostupnými prostředky nebo jeho výsledky nebudou požadovaným řešením problému. Naopak při nezahrnutí podstatného prvku do modelu bude výsledný model dávat nepřesné a špatné výsledky. „Proto je nutné při vytváření modelů najít určitý kompromis mezi věrnou kopií skutečnosti a snadnou řešitelností úlohy vyjádřené daným modelem.“22

3.8 Typy matematických modelů V operační analýze je mnoho typů matematických modelů a dle Dudorkina (1997) je lze rozdělovat na: „Modely stochastické (obsahují náhodné veličiny) a deterministické (neobsahují náhodné veličiny), dynamické (zobrazují časové změny)

a

statické

(nezobrazují

časové

změny),

rozhodovací

(mají

tzv. kriteriální funkci, jejíž extrém se hledá) a technologické (bez kriteriální funkce).“23 Tvar a typ modelu je dán cílem jeho vytváření.

3.9 Postup tvorby matematického modelu LP V odborné literatuře popisují různí autoři etapy, myšlenkové postupy a zásady při tvorbě modelu často odlišným způsobem. Někteří uvádějí např.: nejdříve

PLEVNÝ, M. – ŽIŽKA, M. Modelování a optimalizace v manažerském rozhodování. 1. vyd. Plzeň: Západočeská univerzita, 2007. s. 14. 22 FÁBRY, J. Matematické modelování. 1. vyd. Praha: VŠE nakladatelství Oeconomica, 2007. s. 7. 23 DUDORKIN, J. Operační výzkum. 3. vyd. Praha: Vydavatelství ČVUT, 1997. s. 6. 21


24

matematický model vytvoří a až poté shromáždí potřebné vstupní údaje, naopak jiní nejdříve shromáždí vstupní údaje a až následně poté vytvářejí vlastní model. Tyto odlišné myšlenkové postupy jsou dány širokou rozmanitostí typů řešených úloh a často se přistupuje k řešení každé úlohy rozdílným způsobem. Je na tvůrci matematického modelu jaký postup tvorby vybere, ale vždy by ho měl dovést ke stejnému závěru. Tedy k úspěšnému vytvoření a vyřešení modelu. Při tvorbě mého modelu jsem se rozhodl rozdělit práci na 7 etap (viz. str. 11). Jednotlivé etapy nejsou uzavřené, ba naopak jsou vzájemně propojené, doplňují se a ovlivňují mezi sebou.

3.9.1

Identifikace a definice problému, vymezení cíle, slovní formulace úlohy

Obsah první etapy řešení daného problému je rozdělen na čtyři základní kroky, kterými jsou identifikace a definice problému, definování cíle a následné vytvoření slovní formulace úlohy. Slovní model slouží jako zjednodušená předloha pro tvorbu finálního matematického modelu. Splněním uvedených čtyř kroků se předejde jedné z nejčastějších chyb. Tato chyba je určení neúplné množiny prvků a faktorů, které vytvářený model ovlivňují, nebo naopak zahrnutí i nepodstatných faktorů do výsledného modelu, což může způsobit přílišnou rozsáhlost úlohy. ,,Tato část vyúsťuje v definici problému a stanovení alternativ jeho řešení. Na základě výsledků této analýzy se též stanoví přesná kritéria pro hodnocení alternativ. Již ve fázi formulace úlohy se předběžně určuje rozměr úlohy, popř.: její rozklad na úlohy jednoduší, uvažují se možné přístupy k jejímu řešení a stanoví se doba předpokládané životnosti modelu.“24 3.9.2


Druhá etapa je velmi časově náročná. Jedná se o sběr a zpracování potřebných vstupních údajů pro matematický model. V první řadě je nejdůležitější dbát 24

DUDORKIN, J. Operační výzkum. 3. vyd. Praha: Vydavatelství ČVUT, 1997. s. 8.


na věrohodnost

25

a

správnost

vstupních

dat.

Toto

pravidlo

je

nutné

bezpodmínečně dodržovat, protože správný model se špatnými daty dává nesprávný nebo neúplný výsledek. „Vytvořená

informační

základna

je

základem

ke

konstrukci

matematického modelu zkoumané operace. K upřesnění informačních potřeb dochází po sestavení matematického modelu, v němž mohou být respektovány vlivy, pro jejichž kvantifikaci je třeba získat další údaje.“25 3.9.3


Vlastní konstrukce matematického modelu se vytváří na základě ekonomického (slovního) tvaru úlohy z předchozí části. Pro model se použijí již nalezené a určené vstupy (viz. str. 20). Pomocí lineárního mnohočlenu se zapisuje účelová funkce, která matematicky vyjadřuje slovně definovaný cíl. Následně se soustavou lineárních rovnic a nerovnic vyjádří všechny faktory, které v modelu vystupují

jako

omezující

podmínky.

Nakonec

se

zapisují

podmínky

nezápornosti. Důležité je u všech uvedených výrazů vyjasnit použité měrné jednotky. Tvorbu matematického modelu lze popsat takto: „Definujeme proměnné (prvky systému), jejichž žádoucí velikost hledáme, matematickými prostředky popisujeme vztahy mezi proměnnými (struktura systému a vztahy k okolí) a požadovaná či existenční omezení, matematicky vyjádříme i cíl chování systému jako funkci proměnných. Jde o to, aby model zůstal co možná nejjednodušší, ale aby zároveň co nejvěrněji popisoval realitu – mezi těmito protichůdnými požadavky hledá kompromis.“26 3.9.4


V dnešní době je na trhu široké spektrum nabízeného optimalizačního softwaru pro řešení úloh matematického programování. Na výběr je od jednodušších programů jako jsou STORM, Lingo, What’sBest!, Lindo až po profesionální

25 26

DUDORKIN, J. Operační výzkum. 3. vyd. Praha: Vydavatelství ČVUT, 1997. s. 9. HOLOUBEK, J. Ekonomicko-matematické metody. 2. vyd. Brno: MZLU, 2007. s. 9.


26

systémy (XA, OSL, XPRESS). Pro začínající a mírně pokročilé tvůrce matematických modelů je nejlepší zvolit program méně náročný na ovládání např.: STORM, What’sBest!, Lindo, který lze většinou stáhnout a používat v omezené verzi zdarma. Vhodný program se vybere dle požadovaných vlastností jako je rychlost řešení, ovládání, podporované funkce programu a v neposlední řadě hraje důležitou roli cena. V mojí práci používám program Lindo ve verzi 6.1, jenž vytváří firma Lindo system inc.27 a je primárně určen pro řešení úloh lineárního programování. Modely vytvořené v této verzi programu mohou obsahovat až 300 proměnných a až 150 vlastních omezujících podmínek. „Optimalizační systém Lindo je jedním z nejpoužívanějších a výpočetně nejspolehlivějších komerčně šířených optimalizačních systémů. Dodává se od studentských verzí vhodných pro řešení úloh relativně malých rozměrů až po profesionální verze schopné řešit úlohy o několika desítkách tisíc proměnných a omezení.“28 3.9.5


V páté etapě práce se získané matematické výsledky převádějí do ekonomické roviny. Zde se analyzují výsledky, které nesou informace o optimálním rozložení výroby jednotlivých typů výrobků, velikosti hodnoty účelové funkce a hodnotách výstupních dat potřebných pro analýzu citlivosti v následující části práce. „Interpretace výsledků je překlad výsledků řešení matematického modelu ze světa symbolického do světa reálných pojmů, vysvětlení paradoxních výsledků, provedení postoptimalizačních rozborů apod. V této fázi tvůrčím způsobem analyzujeme a hodnotíme konkrétní smysl řešení, srovnáváme řešení s našimi dosavadními zkušenostmi, konfrontujeme jej se zavedenými hypotézami o předmětu modelování.“29

Firma se zabývá např.: tvorbou a prodejem softwaru pro optimalizační výpočty pro úlohy lineárního programování, nelineárního programování a stochastického programování, atd. 28 LAUBER, J. – JABLONSKÝ, J. Programy pro matematické modelování I. 1. vyd. Praha: VŠE, 1997. s. 149. 29 DUDORKIN, J. Operační výzkum. 3. vyd. Praha: Vydavatelství ČVUT, 1997. s. 11. 27


3.9.6

27


Po získání optimálního řešení matematického modelu následuje analýza citlivosti. Tato část přináší odpovědi na otázky: „jak stabilní je dané optimální řešení, za jakých podmínek ještě platí a kdy již dochází ke změně řešení, v jakém smyslu se mění výsledky optimálního řešení, při jakých změnách výchozích dat, jak široké jsou tyto přípustné intervaly, na která data je model citlivý a na která naopak bere jen nepatrný zřetel i při jejich dosti rozsáhlých změnách apod.“30 Analýza citlivosti cenových koeficientů účelové funkce je složená ze dvou částí:  „Změna cen nezákladních proměnných se neprojeví v hodnotě účelové funkce, zjišťujeme, jak velká změna ceny zvolené nezákladní proměnné musí být, aby se stala základní proměnnou.  Změna cen základních proměnných ovlivní hodnotu účelové funkce, změna cen musí být v určitém intervalu , aby nenastala změna báze.“31 V analýze citlivosti pravých stran omezujících podmínek se vypočítávají intervaly, ve kterých se hodnoty pravých stran mohou pohybovat. Změní-li se hodnota pravé strany bm , tak získané základní proměnné zůstanou stejné a změní se pouze hodnoty, kterých nabývají. Hodnota účelové funkce je změněna také. Úpravy v hodnotách pravých stran je možné provádět pouze za předpokladu, že

se

mění

pouze

jen

v jedné

omezující

podmínce.

Je-li změněno více hodnot pravých stran zároveň, tak jsou následně získány zcela nové proměnné zařazené do optimálního řešení.

KRACÍK, J. Aplikace metod postoptimalizační analýzy ve strukturních modelech. Praha: VÚSTE, 1970. s. 10. 31 FRIEBELOVÁ, J. Lineární programování [online]. Poslední revize 2006 [cit 2013-11-1]. s.16. Dostupné z: . 30


28

„Such analysis can often be more important in practice than finding the optimal solution. It is a very important part of solving linear programs in practice.“32 3.9.7


Poslední etapu mé práce jsem nazval návrhy na řešení, ale obvykle bývá nazývána jako implementace. Tento název volím z toho důvodu, že v mé práci se pohybuji jen v rovině teoretické práce s modelem, a proto moje výsledky nebudou pravděpodobně v reálném systému uplatněny. Návrhy na řešení vyplývají ze srovnání získaného optimálního rozložení výroby a stávající podoby struktury výroby. Ve vytvořeném matematickém modelu lze provádět experimenty se změnou vstupních

údajů.

Výhodou

těchto

experimentů

je,

že je lze

provádět

s minimálními náklady a jsou méně časově náročné oproti zavedení těchto změn přímo v reálném systému. ,,Tyto změny mohou být způsobeny technickým rozvojem, novou organizací, změnou dodavatelsko-odběratelských vztahů, úpravou ukazatelů plánu, cenovými úpravami plánu apod. V modelu se to projeví změnou některých parametrů nebo změnou rozměrů modelů.“33

3.10 Ekonomické pojmy, postupy a metody Při řešení hospodářských problémů pomocí lineárního programovaní se vždy používají poznatky a metody získané v ekonomických předmětech. Především znalosti z podnikové ekonomiky jsou nezbytné k získání kvalitních vstupních dat pro model a také při následné interpretaci získaných výsledků. Jedná se zejména o zjištění a vypočítání cenových koeficientů účelové funkce, které v modelu vystupují jako zisk. V ekonomickém prostředí je mnoho druhů zisku, a proto se jasně formuluje co představuje. Pro potřeby modelu DANTZIG, G. – THAPA, M. Linear Programming 1: Introduction. 3. vyd. New York: Springer, 1997. s. 171. 33 BECK, J. a kolektiv. Lineární modely v ekonomii. 1.vyd. Praha: SNTL, 1982. s. 116. 32


29

jsem zvolil ukazatele zisku před započtením úroků, daní a odpisu (EBITDA). Samozřejmě při tvorbě matematických modelů lze použít i jiné typy zisku, ale musí být přesně vymezeny. Zkratka EBITDA pochází z anglického názvu Earnings before Interest, Taxes, Depreciation and Amortization. Ukazatel EBITDA vypočítám jako rozdíl tržeb z prodeje jednotlivých výrobků a úplných vlastních nákladů. EBITDA = Tržby – Úplné vlastní náklady Úplné vlastní náklady se rozpočítávají na kalkulační jednici. Kalkulační jednice je dělení nákladů na určitý výkon např.: výrobek či polotovar a je vymezena jednotkou, např.: délka (m), čas (h), hmotnost (kg, tuna). Pro model jsem zvolil určení úplných vlastních nákladů na 1 tunu jednotlivých výrobků. Úplné vlastní náklady lze rozdělit dle možného kalkulačního vzorce na 2 skupiny: přímé náklady a nepřímé náklady. „Přímé náklady je možné jednotlivým výkonům (kalkulačním jednicím) přiřadit přímo při jejich vzniku.“34 Do skupiny přímých nákladů se zařazují následující položky: přímý materiál, přímé mzdy a ostatní přímé náklady. Je potřebné dodržet, aby se co nejvíce nákladů stanovovalo přímo. „Nepřímé

náklady

jsou

náklady

společně

vynakládané

na

celé

kalkulované množství, více druhů výrobků nebo zajištění chodu celého podniku, které není možné stanovit na kalkulační jednici přímo, nebo jejichž přímé určování by bylo nehospodárné.“35 Do této skupiny nákladů patří následující položky: výrobní (provozní) režie, správní režie, odbytová režie.

MARTINOVIČOVÁ, D. Základy ekonomiky podniku. 1. vyd. Praha: Alfa Publishing, 2006. s. 67. 35 MARTINOVIČOVÁ, D. Základy ekonomiky podniku. 1. vyd. Praha: Alfa Publishing, 2006. s. 67. 34


30

„K rozvrhování nepřímých nákladů na kalkulační jednici se velmi často používá tzv. rozvrhová sazba.“36 Rozvrhová sazbu má následující podobu: rozvrhová sazba= =nepřímé náklady za období/rozvrhová základna za dané období Pro rozpočítání nepřímých nákladů jsem jako rozvrhovou základnu zvolil počet vyrobených jednotek v tunách.

MARTINOVIČOVÁ, D. Základy ekonomiky podniku. 1. vyd. Praha: Alfa Publishing, 2006. s. 69. 36

Vlastní práce

31

4 Vlastní práce V úvodu této kapitoly bude stručně představena firma Devos. Dále zde uvedu oblast výrobní činnosti firmy a detailní popis nabízených výrobků včetně používaných postupů a surovin potřebných k výrobě. Následovat bude část formulace a řešení úlohy zjištěného problému v rámci lineárního programování.

4.1 Charakteristika zkoumaného podniku Název: Stanislav Kala Sídlo: Táborské návrší 563, Bílovice nad Svitavou 664 01 IČO: 14666341 Den zápisu: 14. 12. 1992 Právní forma: fyzická osoba – OSVČ Za objekt zkoumání jsem v bakalářské práci zvolil firmu Devos. Jelikož se jedná o fyzickou osobu, tak používaný název Devos je obchodní označení pro podnikatelské aktivity pana Kaly. Firma Devos byla založena v roce 1992 a působí na trhu jako výrobce omítkových směsí pro interiéry. Hlavním impulsem pro založení firmy byl velmi rychlý rozvoj na poli soukromého podnikání v České republice a také raketový růst v oborech stavebnictví a průmyslové výroby. Na samém počátku výroby se firma nacházela v provizorních prostorách staré stodoly. Odtud se po roce přestěhovala do menšího areálu v Brně. Nová poloha firmy měla řadu výhod. Především lepší výrobní a nevýrobní prostory a nacházela se také na lepším místě z pohledu logistiky. Na začátcích své existence vyráběla pouze jeden typ výrobku. Neměla žádného stálého zaměstnance a všechno dělal sám zakladatel a majitel firmy pan Stanislav Kala. Výrobní kapacita se pohybovala na hranici 2 a půl tuny výrobku za den a firma hospodařila na ploše 150 m2.

Vlastní práce

32

V roce 2005 se firma přestěhovala do nových prostorů v Brně, kde se nachází veškeré výrobní prostory a kapacity. Tyto prostory mají celkovou rozlohu 450 m2. Firma také investovala do svého rozvoje a nakoupila nová moderní výrobní zařízení. Nyní zde pracují 3 stálí zaměstnanci a výrobní kapacity vzrostly na produkci 10 tun výrobků za den. Ve výjimečných případech až na maximálně možných 12 tun. Výrobní postupy byly více automatizovány a sortiment výrobků se rozšířil na 6 stálých typů výrobků. Názvy těchto výrobků jsou následující: Devoskyt 1, Devoskyt 2, Devoskyt 3, Devoskyt 6, Devoskyt 7 a Devoskyt 9. Výrobky jsou baleny do různých obalů podle váhy dle objednávky odběratele. Tab. 1

Přehled celkové nabídky výrobků

Výrobky Devoskyt 1 Devoskyt 2 Devoskyt 3 Devoskyt 6 Devoskyt 7 Devoskyt 9

25 kg      

18 kg      

Druh balení 9 kg 5 kg            

1,8 kg      

Zdroj: Devos

V tabulce č. 1 jsou vypsány všechny omítkové směsi, které firma Devos vyrábí. Hlavními rozdíly mezi jednotlivými druhy výrobků jsou jejich vlastnosti, jimiž jsou hustota a hrubost. Tyto vlastnosti jsou získány použitím různých druhů vápence, který je hlavní složkou všech výrobků. Použití jiného druhu vápence znamená rozdílnou hustotu a jemnost výsledných výrobků. Některé výrobky se tedy používají na finální úpravy stěn a jiné jako základní podklad pro další úpravy. Ve výrobním procesů se používají suroviny: dva druhy vápence, dále jsou

použita různá technická vlákna, záhustky, lepidla,

protiplísňová složka a voda. Mezi stále odběratele firmy patří velkoobchody s barvami a nátěrovými hmotami Triga color, a. s., Panter, a. s., AAA barvy. Firma nemá vlastní obchody. Podstatná skupina odběratelů je tvořena pouze velkoobchody,

Vlastní práce

33

které výrobky dále prodávají. Objednávky tedy firma Devos dostává a vyřizuje v tunách, ale výrobky dodává v dohodnutých baleních. V roce 2012 činila celková produkce firmy Devos 1190 tun.

4.2 Tvorba ekonomicko-matematického modelu V této části mé práce řeším pomocí nástrojů operačního výzkumu zjištěný rozhodovací problém ve firmě Devos. Pro návrh optimalizace struktury výroby vytvářím lineární ekonomicko-matematický model, který je deterministický a statický. Konstruovaný model má za cíl zobrazit optimální rozložení výroby na týden. Týdenní produkci volím záměrně z důvodu výše disponibilních zásob surovin, které stačí pokrýt týdenní spotřebu surovin při maximálním vytížení výroby. Tvorba modelu postupuje dle následujících sedmi etap (viz. str. 11). 4.2.1

Identifikace a definice problému, vymezení cíle, slovní formulace úlohy

Pro identifikaci a definici problému ve firmě jsem vytvořil analýzu současného stavu firmy. Analýza byla zaměřena na tyto sledované prvky a procesy probíhající ve firmě Devos:  zjištění kompletního sortimentu firmy,  skladovací kapacity surovin,  výrobní kapacity,  spotřeba surovin potřebných pro výrobu,  tvorba a výše zisku u jednotlivých výrobků,  zjištění úzkých míst ve výrobě. Z výsledné analýzy stavu firmy v následujícím textu definuji problém, stanovuji cíl práce, určuji faktory ovlivňující zkoumané procesy a nakonec vytvářím ekonomický (slovní) model úlohy.

Definice problémů Firma vyrábí v současnosti 6 výrobků v 5 různých baleních (viz. tabulka č. 1. na str. 32). Při analýze současného stavu firmy jsem zjistil, že mezi baleními stejného typu výrobku, ale rozdílné hmotnosti jsou velké rozdíly v zisku

Vlastní práce

34

při prodeji, a také velké rozdíly v čase potřebného k výrobě. Jako problém tedy definuji zjištění a určení návrhu optimálního rozložení výroby pro všechny výrobky firmy Devos. V tabulce č. 2. jsou uvedeny údaje (v tunách) průměrné týdenní produkce, jenž slouží k porovnání s vytvářeným návrhem optimální struktury výroby. Zisk (EBITDA) má hodnotu 87 820 Kč. Tab. 2

Průměrný objem a rozložení týdenní produkce za srpen 2013

Výrobky Devoskyt 1 Devoskyt 2 Devoskyt 3 Devoskyt 6 Devoskyt 7 Devoskyt 9

25 kg 5 3,7 3,4 2,1

18 kg 2,3 4 0,8 3 -

Druh balení 9 kg 5 kg 1,5 -

2 -

1,8 kg 1,2 2 2,75 -

Zdroj: Devos

Cíl Maximalizovat zisk a zjistit, při jaké optimální týdenní struktuře produkce jednotlivých výrobků nastane. Tento cíl vyjádřím matematicky jako funkci z = f (x). K dosažení vytyčeného cíle je zapotřebí matematicky popsat probíhající procesy při výrobě. Díky vytvořenému modelu se také snažím o formalizaci probíhajících výrobních procesů. Tedy o přenesení firemního know-how z hlavy řídicího pracovníka do matematické podoby.

Faktory Faktory, které mají vliv na zkoumané procesy a jsou zahrnuty do matematického modelu:  omezení plynoucí ze spotřeby surovin potřebných při výrobě a z omezeného množství výrobních surovin na skladě,  časová náročnost pro vlastní výrobní proces jednotlivých výrobků a omezení časového fondu,

Vlastní práce

35

 omezení maximální výrobní kapacity firmy,  disponibilní množství obalů na skladě. Poslední část etapy 1 představuje slovní model úlohy, který je předlohou pro jednodušší vytváření matematického modelu v dalších fázích práce.

Slovní model úlohy: Firma Devos vyrábí omítkové stěrky. Její nabídka produktů je složena ze 6 vyráběných typů výrobků, které jsou však baleny do 5 různých balení podle hmotnosti. Kompletní sortiment firmy je uveden na str. 32 v tabulce číslo 1. Současně v této tabulce je i obchodní označení výrobků, pod kterými jsou prodávány. K procesu výroby je používáno 11 rozdílných surovin, které označím S1 , S2 , S3 , S4 , S5 , S6 , S7 , S8 , S9 , S10 , S11 .Tabulka č. 10 na str. 40 vyjadřuje spotřebu

surovin potřebných na výrobu 1 tuny jednotlivých výrobků, v posledním sloupci je množství surovin, které lze uskladnit. Časová náročnost výroby 1 tuny jednotlivých výrobků je značně rozdílná a všechny potřebné hodnoty jsou uvedeny v tabulce číslo 11 na str. 41 - 42. Časový fond pracovní doby zaměstnanců je 8 hodin denně. Při tomto časovém fondu je maximální výrobní kapacita stanovena na 10 tun výrobků denně. Produkce je ještě omezena množstvím obalů, které jsou k dispozici. Počty obalů na skladě pro jednotlivé výrobky jsou v tabulce číslo 12 na str. 42. 4.2.2


V této části vytváření ekonomicko-matematického modelu jsou uvedeny všechny zjištěné a potřebné vstupní údaje. V případě řešení problému firmy Devos byl sběr informací značně obtížný. Jelikož se jedná o malou firmu se třemi zaměstnanci, tak většina probíhajících procesů výroby není nijak zanesena na papír či zpracovávána pomocí výpočetní techniky. Z pohledu mé potřeby dat pro řešení daného problému vede firma pouze informace o výrobních sestavách výrobků, spotřebě materiálu a tržbách z prodeje výrobků. Zbylé údaje, jako je časová náročnost výroby jednotlivých

Vlastní práce

36

výrobku, jsem musel změřit při samotných výrobních procesech. Veškeré údaje byly získány díky ochotné spolupráci zaměstnanců a majitele firmy Devos. Údaje jsou pro přehlednost zapsány v níže uvedených tabulkách č. 3 - 12, které obsahují údaje o:  nepřímých nákladech,  celkových nákladech, tržbách a zisku,  surovinách pro výrobu,  pracnosti,  obalech. Z těchto zjištěných a zpracovaných informací jsem získal potřebná vstupní data, kterými naplním vytvářený matematický model.

Zisk Údaje o výši zisku z prodeje jednotlivých výrobků tvoří jednu z nejdůležitějších částí matematického modelu, protože zde určují koeficienty účelové funkce, a proto výpočet jejich hodnot musí být co nejpřesnější. V mém modelu vystupují údaje o zisku v podobě zisku před zdaněním, úroky a odpisy (EBITDA) a je vypočítán jako rozdíl tržeb z prodeje vlastních výrobků a úplných vlastních nákladů. EBITDA = Tržby z prodeje výrobků – Úplné vlastní náklady Pro rozpočítání nepřímých nákladů na kalkulační jednici (1 tuna) je za rozvrhovou základnu dosazený průměrný měsíční objem výroby v roce 2012 a výsledný vzorec má následující podobu: Nepřímé náklady na 1 tunu = = Celkové měsíční nepřímé náklady/Průměrný měsíční objem výroby v roce 2012 Určení celkových nepřímých nákladu je v tabulce č. 3 a má následující formu:

Vlastní práce Tab. 3

37

Celkové nepřímé měsíční náklady

Položka Výrobní režie voda elektřina plat řídícího pracovníka Správní režie poplatky tel + internet nájemné Odbytová režie doprava CELKEM NEPŘÍMÉ NÁKLADY

Částka (v Kč) 4 000 7 500 31 000 4500 45 000 34 000 126 000

Zdroj:Devos

Po dosazení do vzorce má rozvrhová základna následující tvar: Nepřímé náklady =126 000/100,9 =1248,76 Kč/tuna Nepřímé náklady rozpočítané na kalkulační jednici mají hodnotu 1248,76 Kč, kterou zaokrouhlím na 1250 Kč/tuna. Údaje

v

následujících tabulkách

č.

4

-

9

jsou

uvedeny

v jednotkách ( Kč * tuna 1 ) . Tab. 4

Údaje o nákladech, tržbách a zisku (EBITDA) pro Devoskyt 1

Položka Přímý materiál Přímé mzdy Nepřímé náklady Celkové náklady Tržby z prodeje Zisk (EBITDA)

25 kg

18 kg

Devoskyt 1 9 kg

6245

6624

7179

7845

9401

123

131

179

245

333

1250

1250

1250

1250

1250

7618

8005

8608

9340

10984

10000

10500

11500

12500

13500

2382

2495

2892

3160

2516

5 kg

1,8 kg



Položka Přímý materiál Přímé mzdy Nepřímé náklady Celkové náklady Tržby z prodeje Zisk (EBITDA) Tab. 6

25 kg

18 kg

Devoskyt 2 9 kg

5 kg

1,8 kg

6805

7184

7739

8406

9961

123

131

179

245

333

1250

1250

1250

1250

1250

8178

8565

9168

9901

11544

10200

10700

11700

12700

13700

2022

2135

2532

2799

2156



38

25 kg

18 kg

Devoskyt 3 9 kg

5121

5499

6054

6721

8277

118

127

175

236

328

1250

1250

1250

1250

1250

6489

6876

7479

8207

9855

9800

10300

11300

12300

13300

3311

3424

3821

4093

3445

5 kg

1,8 kg


Položka Přímý materiál Přímé mzdy Nepřímé náklady Celkové náklady

25 kg

18 kg

Devoskyt 6 9 kg

8042

8419

8975

9642

11197

118

127

175

236

328

1250

1250

1250

1250

1250

9410

9796

10400

11128

12775

5 kg

1,8 kg

Vlastní práce

Tržby z prodeje Zisk (EBITDA) Tab. 8

11400

11900

12900

13900

14900

1990

2104

2500

2772

2125



39

25 kg

18 kg

Devoskyt 7 9 kg

6695

7073

7629

8295

9850

123

131

179

245

333

1250

1250

1250

1250

1250

8068

8454

9058

9790

11433

10600

11100

12100

13100

14100

2532

2646

3042

3310

2667

5 kg

1,8 kg


Položka Přímý materiál Přímé mzdy Nepřímé náklady Celkové náklady Tržby z prodeje Zisk (EBITDA)

25 kg

18 kg

Devoskyt 9 9 kg

5 kg

1,8 kg

5719

6096

6652

7318

8874

131

140

188

254

341

1250

1250

1250

1250

1250

7100

7486

8090

8822

10465

10400

10900

11900

12900

13900

3300

3414

3810

4078

3435

V následujících tabulkách č. 10 - 12 jsou uvedeny vstupní údaje pro tvorbu omezujících podmínek modelu.

Vlastní práce

40

Suroviny potřebné pro výrobu V tabulce č. 10. je uvedena spotřeba surovin S1  S11 v kg na výrobu 1 tuny produkovaných výrobků. Ve sloupci kapacitní omezení jsou uvedena maximální množství surovin S1  S11 v tunách, které mohou být uloženy ve skladech. V modelu spotřeba surovin tvoří strukturní (technicko-ekonomické) koeficienty. Pravé strany jednotlivých lineárních výrazu jsou kapacitní omezení surovin. Hlavní suroviny pro výrobu jsou voda, vápenec různé hrubosti, lepidla, proti plísňové složky a technická vlákna. Tab. 10

Suroviny na výrobu

Kapacitní omezení Surovina (v Devoskyt 1 Devoskyt 2 Devoskyt 3 Devoskyt 6 Devoskyt 7 Devoskyt 9 tunách) S1 247 123 279 252 235 148 14 S2 5 6 4 5 4 4 0,4 S3 700 820 700 400 15 Výrobek (v kg)

S4 S5

22

25

700 -

-

700 -

-

15 2

S6

1

1

1

-

1

1

1

S7

18

18

13

13

15

15

3,2

S8

1

1

1

2

1

1

0,9

S9

6

6

2

2

34

4

1

S10

-

-

-

26

10

5

3,2

S11

-

-

-

-

-

422

6

Zdroj: Devos

Spotřeba času pro výrobu Další vlastní omezující podmínka je tvořena spotřebou času potřebného pro výrobu. V pracnosti, která je vyjádřená v minutách na 1 tunu výrobku, jsou zařazeny veškeré výrobní činnosti, které jsou rozděleny na tyto úkony:  vlastní příprava surovin (tj. doprava suchých surovin ze skladu na místo výrobního procesu a jejich vážení, napouštění tekutých surovin),

Vlastní práce

41

 míchaní,  vypouštění s vážením a balením konečných výrobků. Maximální možná hodnota časového fondu pro výrobu je ve firmě Devos stanovena na 8 hodin denně a zahrnuje výrobní i nevýrobní činnosti. Z toho je 5 hodin přiděleno na vlastní výrobu a 2,5 hodiny jsou na přípravu pracoviště, údržbu výrobních zařízení, nakládaní a vyřizování objednávek, naskladňování zásob surovin. Zbylých 30 minut je využito jako zákonem nařízená pracovní přestávka na odpočinek. Pro výsledný matematický model tedy beru 5 hodin denně. Týdenní výrobní struktura je omezena celkem 25 hodinami, které jsou pro potřeby modelu převedené na minuty (celkem 1500 minut) a tvoří pravou stranu této omezující podmínky. Tab. 11

Spotřeba času jednotlivých výrobků

Výrobky

Devoskyt 1

Devoskyt 2

Devoskyt 3

Druh balení 25 kg 18 kg 9 kg 5 kg 1,8 kg 25 kg 18 kg 9 kg 5 kg 1,8 kg 25 kg 18 kg 9 kg 5 kg 1,8 kg

Příprava surovin (min) 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 8 8 8 8 8

Výrobní činnosti Vypouštění, Potřebný čas celkem Míchaní balení, (min) (min) vážení (min) 8 11 28 8 13 30 8 24 41 8 39 56 8 59 76 8 11 28 8 13 30 8 24 41 8 39 56 8 59 76 8 11 27 8 13 29 8 24 40 8 38 54 8 59 75

Vlastní práce

Výrobky

Devoskyt 6

Devoskyt 7

Devoskyt 9

42

Druh balení 25 kg 18 kg 9 kg 5 kg 1,8 kg 25 kg 18 kg 9 kg 5 kg 1,8 kg 25 kg 18 kg 9 kg 5 kg 1,8 kg

Příprava surovin (min) 8 8 8 8 8 9 9 9 9 9 10 10 10 10 10

Výrobní činnosti Vypouštění, Potřebný čas celkem Míchaní balení, (min) (min) vážení (min) 8 11 27 8 13 29 8 24 40 8 38 54 8 59 75 8 11 28 8 13 30 8 24 41 8 39 56 8 59 76 8 12 30 8 14 32 8 25 43 8 40 58 8 60 78

Časy jednotlivých výrobních činností jsou uvedeny v minutách a vztahují se k výrobě 1 tuny výrobků. Údaje ve sloupci potřebný čas celkem v tabulce č. 11 na str. 41 – 42 jsou uvedeny v (min* tuna1 ) . Tato data v modelu tvoří strukturní (technicko-ekonomické) koeficienty.

Množství obalů na skladě V tabulce č. 12 jsou uvedena maximální množství jednotlivých druhů obalů, která mohou být ve skladě. Obal výrobku se skládá z těchto částí: kbelík, víko a etiketa. Tab. 12

Počet ks

Množství obalů na skladě

25 kg 1200

18 kg 1000

Druh obalu 9 kg 1200

5 kg 1000

1,8 kg 2200

Vlastní práce

43

Tímto jsou zkompletovány všechny vstupní údaje potřebné pro konstrukci vlastního matematického modelu. 4.2.3


V této části práce budu konstruovat vlastní podobu matematického modelu. Tvorba bude probíhat následovně:  definice proměnných,  tvar účelové funkce,  podoba vlastních omezujících podmínek.

Definice proměnných Řiditelné (rozhodovací) proměnné Ke každému z procesů výroby jednotlivých výrobků přiřadím jednu proměnnou. Definuji tedy 6 výrobních procesů s 30 proměnnými, které označím: xij  kde i  1  6 druh výrobku i  1 výrobek Devoskyt 1 i  2 výrobek Devoskyt 2 i  3 výrobek Devoskyt 3 i  4 výrobek Devoskyt 6 i5

výrobek Devoskyt 7

i 6

výrobek Devoskyt 9

j  1  5 balení výrobku j  1 balení 25 kg j  2 balení 18 kg j  3 balení 9 kg j  4 balení 5 kg j  5 balení 1,8 kg

Neřiditelné vstupy (faktory prostředí) Faktory, které budou vyjádřeny soustavou vlastních omezujících podmínek, jsou: surovinová potřeba pro výrobu, časová pracnost, omezení výrobní kapacity a omezení počtu kusů skladovaných obalů.

Vlastní práce

44

Tvar účelové funkce Lineární funkce v tomto tvaru vyjadřuje celkový zisk (EBITDA) v Kč při výrobě určitého

množství

a

typu

výrobku.

Jedná

se

o

účelovou

funkci,

která je maximalizační.

zmax  2382 x11  2495 x12  2892 x13  3160 x14  2516 x15   2022 x21  2135 x22  2532 x23  2799 x24  2156 x25   3311x31  3424 x32  3821x33  4093x34  3445 x35   1990 x41  2104 x42  2500 x43  2772 x44  2125 x45   2532 x51  2646 x52  3042 x53  3310 x54  2667 x55   3300 x61  3414 x62  3810 x63  4078 x64  3435 x65 [ Kč zisku ] Výše jednotlivých zisků tvoří koeficienty účelové funkce. Vypočítávané velikosti objemu výroby výrobků ( xij - kde i  1  6; j  1  5) jsou v modelu řiditelné (strukturní) proměnné.

Tvar omezujících podmínek Omezující podmínky v modelu představují:  spotřebu surovin,  pracnost,  výrobní kapacitu,  obaly,  podmínky nezápornosti. Matematický tvar omezujících podmínek V následující části jsou omezující podmínky vyjádřeny v podobě matematických výrazů.

Vlastní práce

1) 247 x11  247 x12  247 x13  247 x14  247 x15   123 x21  123 x22  123 x23  123 x24  123 x25   279 x31  279 x32  279 x33  279 x34  279 x35   252 x41  252 x42  252 x43  252 x44  252 x45   235 x51  235 x52  235 x53  253 x54  253 x55   148 x61  148 x62  148 x63  148 x64  148 x65  14000 [kg S1 ] 2) 5 x11  5 x12  5 x13  5 x14  5 x15   6 x21  6 x22  6 x23  6 x24  6 x25   4 x31  4 x32  4 x33  4 x34  4 x35   5 x41  5 x42  5 x43  5 x44  5 x45   4 x51  4 x52  4 x53  4 x54  4 x55   4 x61  4 x62  4 x63  4 x64  4 x65  400 [kg S2 ] 3) 700 x11  700 x12  700 x13  700 x14  700 x15   820 x21  820 x22  820 x23  820 x24  820 x25   700 x41  700 x42  700 x43  700 x44  700 x45   400 x61  400 x62  400 x63  400 x64  400 x65  15000 [kg S3 ] 4) 700 x31  700 x32  700 x33  700 x34  700 x35   700 x51  700 x52  700 x53  700 x54  700 x55  15000 [kg S4 ] 5) 22 x11  22 x12  22 x13  22 x14  22 x15   25 x21  25 x22  25 x23  25 x24  25 x25  2000 [kg S5 ] 6) x11  x12  x13  x14  x15  x21  x22  x23  x24  x25   x31  x32  x33  x34  x35  x51  x52  x53  x54  x55   x61  x62  x63  x64  x65  1000 [kg S6 ]

45

Vlastní práce

46

7) 18 x11  18 x12  18 x13  18 x14  18 x15   18 x21  18 x22  18 x23  18 x24  18 x25   13 x31  13x32  13x33  13x34  13x35   13 x41  13x42  13x43  13x44  13x45   15 x51  15 x52  15 x53  15 x54  15 x55   15 x61  15 x62  15 x63  15 x64  15 x65  3200 [kg S7 ] 8) x11  x12  x13  x14  x15  +x21  x22  x23  x24  x25   x31  x32  x33  x34  x35  +2 x41  2 x42  2 x43  2 x44  2 x45   x51  x52  x53  x54  x55   x61 + x62  x63  x64  x65  900 [kg S8 ] 9) 6 x11  6 x12  6 x13  6 x14  6 x15   6 x21  6 x22  6 x23  6 x24  6 x25   2 x31  2 x32  2 x33  2 x34  2 x35   2 x41  2 x42  2 x43  2 x44  2 x45   34 x51  34 x52  34 x53  34 x54  34 x55   4 x61  4 x62  4 x63  4 x64  4 x65  1000 [ kg S9 ] 10) 26 x41  26 x42  26 x43  26 x44  26 x45   10 x51  10 x52  10 x53  10 x54  10 x55   5 x61  5 x62  5 x63  5 x64  5 x65  3200 [kg S10 ] 11) 422 x61  422 x62  422 x63  422 x64  422 x65  6000 [kg S11 ]

Vlastní práce

47

12) 28 x11  30 x12  41x13  56 x14  76 x15   28 x21  30 x22  41x23  56 x24  76 x25   27 x31  29 x32  40 x33  54 x34  75 x35   27 x41  29 x42  40 x43  54 x44  75 x45   28 x51  30 x52  41x53  56 x54  76 x55   30 x61  32 x62  43 x63  58 x64  78 x65  1500 [v min] 13) x11  x12  x13  x14  x15   x21  x22  x23  x24  x25   x31  x32  x33  x34  x35  +x41  x42  x43  x44  x45   x51  x52  x53  x54  x55   x61  x62  x63  x64  x65  50 [v tunách] 14) 40 x11  40 x21  40 x31  40 x41  40 x51  40 x61  1200 [ počet ks obalů pro výrobky 25 kg ] 15) 55, 6 x12  55, 6 x22  55, 6 x32  55, 6 x42  55, 6 x52   55, 6 x62  1000 [ počet ks obalů pro výrobky 18 kg ] 16) 111,1x13  111,1x23  111,1x33  111,1x43  111,1x53   111,1x63  1200 [ počet ks obalů pro výrobky 9 kg ] 17) 200 x14  200 x24  200 x34  200 x44  200 x54  200 x64  1000 [ počet ks obalů pro výrobky 5 kg ] 18) 555, 6 x15  555, 6 x25  555, 6 x35  555, 6 x45  555, 6 x55   555, 6 x65  2200 [ počet ks obalů pro výrobky 1,8 kg ] Podmínky nezápornosti:

x1 , x2 ,

x30  0

Vlastní práce

4.2.4

48


Vytvořený ekonomicko-matematický model probíhajících výrobních procesů ve firmě Devos je řešen pomocí programu Lindo ve verzi 6.1. Při testování modelu jsem musel řešit jeden zásadní a častý problém tykající se špatně zmenšeného modelu (poorly scaled model). Hlavní chyba spočívá v tom, že hodnoty cenových koeficientů matematicky vyjadřující cíl (účelová funkce) jsou o řády rozdílné oproti hodnotám neřiditelných vstupů v omezujících podmínkách, kdy při ponechání chyby nemusí program vypočítat nejlepší řešení. Tuto chybu jsem vyřešil převedením nerovnic vyjadřujících suroviny pro výrobu z tun na kilogramy. 4.2.5


Při zkoumání řešení úlohy a při pohledu do tabulky č. 14 na str. 51 je patrné, že úloha má více optimálních řešení (viz str. 21). Vypočítané optimální rozložení výroby má následující strukturu: Varianta č. 1:

x11  9,54; x12  3,77; x31  14,78; x33  6,65; x62  14,22 Varianta č. 2:

x11  6;66 x13  6,65; x31  17,66; x32  3,77; x62  14,22 Varianta č. 3:

x11  13,3; x31  11; x32  3,77; x33  6,65; x62  14,22 Vypsaný počet řešení není konečný a jsou zde uvedeny jen některé z možných variant optimálního rozložení výroby. Všechny varianty mají stejnou hodnotu účelové funkce, která má hodnotu 154 996 Kč (před zaokrouhlením výsledků). Pro následující interpretaci výsledků a analýzu citlivosti používám variantu č. 1. Navrhovaná optimální struktura týdenní výroby firmy Devos je produkce 9,54 tun výrobku Devoskyt 1 v balení po 25 kg, 3,77 tun výrobku Devoskyt 1 v balení po 18 kg, 14,78 tun výrobku Devoskyt 3 v balení po 25 kg, 6,65 tun výrobku Devoskyt 3 v balení po 9 kg, 14,22 tun výrobku Devoskyt 9 v balení po 18 kg.

Vlastní práce

49

Při pohledu na optimální strukturu výroby lze zjistit, že výrobky v balení po 25 kg a 18 kg tvoří 86,4 % z celkové navrhované týdenní produkce. V reálné výrobě (viz. tabulka č. 2 na str. 34) tvoří balení 25 kg a 18 kg 72 % z celkové produkce firmy. Porovnám-li vypočítané výsledky získané z matematického modelu a z reálné výroby, tak je zřejmé, že moje výsledky se velmi přibližují reálné situaci ve firmě. Z disponibilního stavu zásob surovin na skladě jsou spotřebovány všechny hlavní suroviny používané k výrobě ( S3 , S4 , S11 ) . Výrobní kapacita firmy je využita z 98 % a je vyrobeno 49 tun finálních výrobků. Plné využití výrobní kapacity není dosaženo z důvodu spotřebování veškerých zásob hlavních surovin pro výrobu. Hodnota účelové funkce při maximalizaci zisku (EBITDA) a daném rozložení struktury výroby je 155 000 Kč (po zaokrouhlení). Veškerý disponibilní čas věnovaný výrobě je využit. Spotřebovány jsou také všechny obaly pro 18 kg balení výrobků. 4.2.6


Intervaly přípustnosti změn koeficientů účelové funkce V tabulce č. 13 na str. 50 jsou vypočítány všechny intervaly přípustnosti změn koeficientů účelové funkce. Pokud se hodnoty koeficientů účelové funkce cij

cij  kde i  1  6 druh výrobku j  1  5 balení výrobku změní v rámci těchto intervalů, zůstává optimální řešení stejné. Nejcitlivější na změnu

cenových

koeficientů

jsou

hodnoty

základních

proměnných

( x11 , x12 , x 31 ) zařazených do optimálního řešení. Zbylé základní proměnné ( x33 , x 62 )

jsou značně omezený rozsahem přípustných intervalů změn

koeficientů účelové funkce.


50

Intervaly přípustnosti změn koeficientů účelové funkce

Vektor c účelové funkce c11

Koeficient účelové funkce 2382

Interval přípustné změny {2382}

c12

2495

{2495}

c13

2892

<0; 2892>

c14

3160

<0; 3480>

c15

2516

<0; 4265>

c21

2022

<0; 2602>

c22

2135

<0; 2715>

c23

2532

<0; 3112>

c24

2799

<0; 3700>

c25

2156

<0;4485>

c31

3311

{3311}

c32

3424

<0; 3424>

c33

3821

<3821; 4045>

c34

4093

<0;4370>

c35

3445

<0; 5194>

c41

1990

<0; 2342>

c42

2104

<0; 2455>

c43

2500

<0; 2852>

c44

2772

<0; 3402)

c45

2125

<0; 4225>

c51

2532

<0; 3350>

c52

2646

<0; 3463>

c53

3042

<0; 3860>

c54

3310

<0; 4448>

c55

2667

<0; 5233>

c61

3300

<0; 3301>

c62

3414

<3414;  )

c63

3810

<0; 3811>

c64

4078

<0; 4399>

c65

3435

<0; 5184>

Vlastní práce

51

Změna cen nezákladních proměnných Tab. 14

Změna cen nezákladních proměnných

Proměnná x11

Hodnota

Hodnota

0

Proměnná x41

x12

0

x42

352

x13

0

x43

353

x14

321

x44

630

x15

1750

x45

2101

x21

581

x 51

819

x22

581

x52

818

x23

581

x53

819

x24

902

x54

1139

x25

2330

x55

2567

x 31

0

x61

1

x32

0

x62

0

x33

0

x63

1

x34

278

x64

322

x35

1750

x65

1750

353

V tabulce č. 14 jsou hodnoty změn cen (koeficientů účelové funkce) nezákladních proměnných, které ukazují o kolik je potřeba zvýšit koeficienty v účelové funkci, aby daná proměnná byla zařazena do optimálního řešení. Vezmu-li např.: x21 a zvýším dosavadní hodnotu zisku o 581 Kč, pak bude v novém řešení zařazena do optimálního řešení. Při pohledu do tabulky je také vidět, které z proměnných jsou nejblíže nebo naopak nejdále pro zařazení do optimálního řešení. Nejblíže jsou proměnné x61 a x63 , kterým stačí zvýšit hodnota v koeficientu účelové funkce pouze o 1 Kč. Nejdále k zařazení má proměnná x55 , kde by se musela hodnota zvýšit o celých 2567 Kč. Nezákladní proměnné ( x13 , x 32 ) s hodnotou změny koeficientu účelové funkce rovnou nule odkazují na více optimálních řešení úlohy (viz. str. 21). Pro úplnost jen dodám,

Vlastní práce

52

že hodnoty základních proměnných ( x11 , x12 , x 31 , x 33 , x 62 ) již zařazených do stávajícího optimálního řešení, mají v tabulce hodnoty změn koeficientů účelové funkce rovny nule. Intervaly přípustnosti změn vektorů pravých stran V této části analýzy citlivosti zkoumám údaje pravých stran omezujících podmínek označených v obecném tvaru zápisu úlohy jako bm (kde m  1,2 18) . Tab. 15

Intervaly přípustnosti změn vektorů pravých stran

Vektor b pravé strany b1

Hodnota pravé strany 14000

Interval přípustné změny <11396;  )

b2

400

<210;  )

b3

15000

<13650; 15734>

b4

15000

<13600; 15734>

b5

2000

<293;  )

b6

1000

<49;  )

b7

3200

<732;  )

b8

900

<49;  )

b9

1000

<180;  )

b10

3200

<72;  )

b11

6000

<4373; 7033>

b12

1500

<1427; 1554>

b13

50

<49;  )

b14

1200

<973;  )

b15

1000

<791; 1530>

b16

1200

<739;  )

b17

1000

<0;  )

b18

2200

<0;  )

Vezmu-li např.: pravou stranu (b3 ) omezující podmínky č. 3, která vyjadřuje disponibilní množství suroviny S 3 a změním její hodnotu v daném rozsahu intervalu, tak získané základní proměnné se nezmění. Změní se však hodnoty proměnných a také hodnota účelové funkce.

Vlastní práce

4.2.7

53


Srovnám-li získané optimální rozložení struktury výroby a stávající podobu výroby, tak bych firmě Devos doporučil, aby se zaměřila spíše na výrobu velkých balení výrobků (25 kg a 18 kg). Toto doporučení vyplývá z lepšího využití výrobních kapacit pro dosažení maximalizace zisku. Ve vytvořeném matematickém modelu lze provádět řadu různých experimentů, které se týkají změn vstupních parametrů modelu. Výhodou provádění těchto experimentů jsou minimální vynaložené náklady a kratší časový horizont potřebný na zavádění změn přímo v reálném systému. První možnou změnou je úprava cenového plánu, která bývá v praxi velmi častá a je výsledkem změn v dodavatelsko-odběratelských vztazích. Tato změna má za následek získání nových hodnot koeficientů účelové funkce, jenž ve výsledku změní celkovou hodnotu účelové funkce. Získáno je také nové optimální rozložení výrobní struktury. Jako podklad je užitečné využít získaných výsledků z provedené analýzy citlivosti (viz. str. 49 - 52). Další často používaná úprava v matematickém modelování je zařazení nového výrobku do stávajícího sortimentu firmy, která zvětší rozměr modelu (přidání proměnné). Při rozhodnutí o vyřazení některého z výrobku z nabídky se rozměr modelu naopak zmenší (odstranění proměnné). Dále lze model využít při zavedení změn do technologických postupů výroby, které jsou výsledkem vývoje surovinového složení výrobků. Tyto změny se v modelu projeví změnou technicko-ekonomických koeficientů. V již vytvořeném matematickém modelu je dobré se v experimentech zaměřit na práci s pravými stranami omezujících podmínek. Především těch, které jsou v získaném optimálním řešení celé vyčerpané. Např.: podmínka č. 12, jenž vyjadřuje disponibilní časový fond. Z již získaného řešení je vidět, že celý čas je využit, a proto zkusím navýšit časový fond o přesčasové hodiny. Přidám-li každý den 30 minut, tak se pravá strana zvýší na 1650 minut věnovaných na výrobní činnosti. Tato změna má za následek zvýšení hodnoty účelové funkce na 159 895 Kč. Tedy zvýšení hodnoty času o 2,5 hodiny za týden znamená přírůstek zisku o 4895 Kč.

Vlastní práce

54

Výčet předložených úprav matematického modelu není konečný a lze se zabývat jednotlivými vstupy jednotlivě. Je možné např.: vyzkoušet jaký vliv by mělo zvýšení výrobní kapacity nebo zvětšení stavu disponibilního množství surovin ve skladu.

Závěr

55

5 Závěr V předložené bakalářské práci jsem vytvářel návrh optimální struktury výroby ve firmě Devos, kde hlavním kritériem bylo maximalizovat zisk. K vytvoření konečného návrhu bylo zapotřebí splnit řadu dílčích cílů. Potřebné

znalosti,

postupy

a

metody

lineárního

programování

a matematického modelování jsou uvedeny v kapitole 3, ve které se zabývám stručnou historií operační analýzy, typy úloh lineárního programování, matematickým modelováním a modelem, obecným tvarem úlohy lineárního programování, vstupy modelu, softwarovým řešením a analýzou citlivosti optimálního řešení. Kapitola 4 je praktickou částí práce a začíná charakteristikou zkoumané firmy Devos, která je reálnou předlohou pro vytvářený matematický model. Obzvlášť náročná část mě čekala hned v úvodu tvorby vhodného matematického modelu, kdy bylo zapotřebí provést analýzu nákladů a vypočítat vstupní údaje pro cenové koeficienty účelové funkce. Získat a zpracovat ostatní vstupní data bylo již snazší. Při práci se vstupními informacemi jsem došel k závěru, že je nezbytné jim věnovat velkou pozornost, kontrolovat je a ověřovat jejich správnost, protože se mně mnohokrát stálo, že již vytvořený model, jsem musel kvůli nesprávným údajům upravit. Pro zápis a výpočet úloh lineárního programování je na výběr z mnoha druhů optimalizačního softwaru. Program Lindo ve verzi 6.1 jsem zvolil především proto, že má poměrně snadné uživatelské rozhraní, nabízí širokou škálu funkcí, poskytuje dostatek výstupních informací pro analýzu citlivosti a je dostupný v bezplatné verzi. Vyřešením matematického modelu jsem získal více optimálních řešení rozložení výroby, ze kterých jsem jednu variantu vybral a podrobil ji analýze citlivosti. Překvapilo mě, že poměrně málo rozsáhlý model, má na výstupu tak obsáhlý objem informací. Myslím si, že získaná optimální struktura výroby není pro firmu Devos až tak přínosná. Hlavní přínos práce vidím spíše v analýze

Závěr

56

citlivosti optimálního řešení a v provedených experimentech v matematickém modelu. Záměrem mé bakalářské práce bylo vytvořit ucelený teoretický základ pro tvorbu matematických modelů v lineárním programování a získané poznatky aplikovat v praxi na reálném podnikatelském subjektu. Při tvorbě bakalářské práce jsem čerpal z odborných publikací o operační analýze a lineárním programování. Do práce jsem se snažil zavést nejnovější poznatky o dané problematice. Tématikou operační analýzy a lineárního programování se zabývá celá řada českých autorů odborných publikací, které jsou hojně dostupné pro veřejnost v knihovnách, což se o zahraniční literatuře říci nedá. Cizojazyčných knih je bezpochyby na toto téma mnoho, ale naše knihovny nedisponují jejich velkým počtem. Zpracování práce mně přineslo především schopnost matematicky popsat probíhající výrobní procesy, používání a ovládání optimalizačního programu Lindo, způsobilost získané výsledky interpretovat do ekonomické roviny, pracovat s vytvořeným matematickým modelem a provádět v něm experimenty pomocí změny vstupních údajů.


57

6 Použitá literatura BASL, J. a spol. Modelování a optimalizace podnikových procesů. 1. vyd. Plzeň: Západočeská univerzita, 2002. 140 s. ISBN 80-7082-936-2. BECK, J. – LAGOVÁ, M. – ZELINKA, J. Lineární modely v ekonomii. 1. vyd. Praha: SNTL, 1982. 264 s. DANTZIG, G. – THAPA, M. Linear Programming 1: Introduction. 3. vyd. New York: Springer, 1997. 435 s. ISBN 0-387-94833-3. DUDORKIN, J. Operační výzkum. 3. vyd. Praha: Vydavatelství ČVUT, 1997. 296 s. ISBN 80-01-01571-8. FÁBRY, J. Matematické modelování. 1. vyd. Praha:VŠE nakladatelství Oeconomica, 2007. 146 s. ISBN 978-80-245-1266-2. FRIEBELOVÁ, J. Lineární programování [online]. Poslední revize 2006 [cit 2013-11-1]. Dostupné z: . GROS, I. Kvantitativní metody v manažerském rozhodování. 1. vyd. Praha: Grada, 2003. 432 s. Expert. ISBN 80-247-0421-8 HOLOUBEK, J. Ekonomicko-matematické metody. 2. vyd. Brno: MZLU, 2007. 153 s. ISBN 80-7157-970-X. JABLONSKÝ, J. Modely operačního výzkumu. 1. vyd. Hradec Králové: GAUDEAMUS, 2002. 235 s. ISBN 80-7041-029-9. JABLONSKÝ, J. Operační výzkum - kvantitativní modely pro ekonomické rozhodování. 3. vyd. Praha: Professional publishing, 2007. 322 s. ISBN 978-80-86946-44-3. KRACÍK, J. a kol. Aplikace metod postoptimalizační analýzy ve strukturních modelech. Praha: Výzkumný ústav strojírenské technologie a ekonomiky. 1970. 108 s. LAGOVÁ, M. Lineární modely v ekonomii. 1. vyd. Ústí nad Labem: Univerzita J. E. Purkyně. 1994. 103 s. ISBN 80-7044-092-9. LAUBER, J. – JABLONSKÝ, J. Programy pro matematické modelování I. 1. vyd. Praha: VŠE, 1997. 233 s. ISBN 80-7079-296-5. LINDA, B. – VOLEK, J. Lineární programování. 4. vyd. Univerzita Pardubice, 2011. 140 s. ISBN 978-80-7395-426-0. LUŇÁČEK, J. – HERALECKÝ, T. Optimalizace podnikových aktivit. 1. vyd. Ostrava: KEY Publishing, 2009. 118 s. ISBN 978-80-7418-043-9. MARTINOVIČOVÁ, D. Základy ekonomiky podniku. 1. vyd. Praha: Alfa Publishing. 2006. 184 s. ISBN 80-86851-50-8.


58

PLEVNÝ, M. – ŽIŽKA, M. Modelování a optimalizace v manažerském rozhodování. 1. vyd. Plzeň: Západočeská univerzita, 2007. 296 s. ISBN 98780-7043-435-2. RAIS, K. Základy optimalizace a rozhodování. 10. vyd. Brno: MSD, 2005. 134 s. ISBN 80-7355-051-2. Science Daily [online]. c2013, poslední revize 2013 [cit.2013-18-11]. Dostupné z: < http://www.sciencedaily.com/articles/m/mathematical_model.htm>. TYC, O. Operační výzkum. 1. vyd. Brno: MZLU, 2003. 124 s. ISBN 80-7157-726X. ZÍSKAL, J. – HAVLÍČEK, J. Ekonomicko matematické metody I studijní texty pro distanční studium. 2. vyd. Česká zemědělská univerzita v Praze, 2001. 262 s. ISBN 80-213-0761-7.

Návrh optimalizace struktury výroby ve firmě Devos

Recommend Documents