Egészségügyi mérnökképzés
MECHANIKA I. rész: Szilárd testek mechanikája készítette: Németh Róbert
Igénybevételek térben I. ●
●
Az alapelv ugyanaz, mint síkban: a keresztmetszet egyik oldalán levő szerkezetrészre ható erőket redukáljuk a keresztmetszetbe. Függvényként való ábrázolásuk axonometrikusan, vagy vetülettel oldható meg.
Igénybevételek térben II. ●
●
Az erő felbontása: –
Normálerő: a km. síkjára merőleges
–
Nyíróerő(k): a km. síkjában (két komponens)
A nyomaték felbontása: –
Csavarónyomaték: a tartó tengelyével párhuzamos
–
Hajlítónyomaték(ok): a km. síkjában (két komponens)
Igénybevételek térben III. ●
(Központos) húzás-nyomás
●
(Tiszta) nyírás
●
Csavarás
●
Hajlítás –
Egyenes
–
Ferde
●
Külpontos (hajlítással egyidejű) húzás-nyomás
●
Hajlítással egyidejű nyírás
●
Nyírás és csavarás
Szilárdságtan – bevezetés I. ●
●
Szilárd test: korlátozottan alakváltozásra képes anyag A szilárdságtan tárgya a szilárd test: –
alakváltozások
–
elmozdulások
–
feszültségek
Szilárdságtan – bevezetés II. ●
●
A kapcsolódó fizikai tulajdonságok a szilárdsági tulajdonságok Az anyaggal szemben támasztható szilárdságtani követelmények: –
szilárdsági (teherbírási)
–
merevségi (használhatósági)
–
stabilitási
Szilárdságtan feladatai ●
●
●
Az alakváltozásra képes rúd keresztmetszeti igénybevételeiből a keresztmetszet mentén megoszló erők (feszültségek) Az alakváltozások és az elmozdulások számítása Egyensúlyi helyzet jellemzése
Szilárdságtan – bevezetés III. A vizsgált anyag: –
Folytonos függvényekkel leírható kontinuum, mely a teret gyűrődés- és hézagmentesen tölti ki.
–
Viselkedése, mikroszerkezete szerint lehet: ●
homogén, vagy inhomogén,
●
izotróp, anizotróp vagy ortotróp,
●
időfüggetlen, vagy időfüggő
●
hőmérsékletfüggetlen, vagy hőmérsékletfüggő
●
a terhelési történettől független, vagy függő
●
stb.
Vizsgált változók, egyenletek Külső erők (terhek)
Elmozdulások
Alakváltozások
Egyensúlyi egyenletek
Geometriai egyenletek
●
Anyagegyenletek
Feszültségek (belső erők)
(Mechanikai) Feszültségek I. ●
A test részei egyensúlyban vannak. Az n normálisú elemi felület mentén megoszló erő: Feszültségvektor: Q dQ pn = lim = dA A0 A nagysága és iránya is n irányától függ tenzor A -t az eredeti, vagy a megváltozott helyzetben nézzük? (nemlinearitás)
Feszültségek II. ●
Feszültségvektor felbontása: normál- és nyírófeszültségre pn = n n n∥n , n ⊥ n Komponensek számítása: n = p n⋅n n= n n n = pn − n = nt t nyírófeszültség indexelése: első (egyetlen) index: felület normálisa második index (ha van): irány
Alakváltozások I. ●
Fajlagos nyúlás: x=
●
l0
Fajlagos szögtorzulás: ,
,,
xy = xy xy =
y x lx ly
Anyagegyenletek I. ●
●
Anyag –
homogén
–
izotróp
–
lineárisan rugalmas
–
időfüggetlen anyag
Teher –
statikus, kvázi-statikus
Rúdmodell ●
Tengely, keresztmetszetek ●
z-vel párhuzamos, ill. xy-síkban
●
Anyag
●
Sík keresztmetszetek elve
●
Megmerevítés elve
●
Kis elmozdulások
Rudak keresztmetszeti jellemzői ●
Terület A=∫ dA A
●
Statikai nyomaték S x =∫ y dA , S y =∫ x dA A
●
A
Tehetetlenségi nyomaték I x =∫ y 2 dA , I y =∫ x 2 dA , I 0 =∫ r 2 dA= I x I y A
●
A
A
Centrifugális nyomaték I xy =C xy =∫ xy dA (ha x vagy y szimmetriatengely, akkor 0) A
Súlypont ●
S x =S y =0
' S
∫ x ' dA
x =
A
∫ dA
=
S y' A
=
Sx' A
A
' S
y =
∫ y ' dA A
∫ dA A
Steiner-tétel ●
Koordinátarendszer eltolása S x =S y =0 (súlypont) I x ' = I x A⋅t 2x I y ' = I y A⋅t 2y C x ' y ' =C xy A⋅t x⋅t y
Inerciaszámítás ●
Koordinátarendszer elforgatása I x , I y ,C xy , α adott I , I , C =? I =∫ dA , etc. 2
A
I =
= x cos y sin =−x sin y cos
I x I y I x − I y cos 2 −C xy sin 2 2 2
Főinerciák I. ●
I , I harmonikus függvények szélsőértékek
●
d I =0 ahol C =0 d −2 C xy , tehetetlenségi főirány 0 k⋅90 ° is megoldás I x− I y
●
tan 2 0=
●
I 0 főtehetetlenségi nyomaték , I 1 I 2
●
Megjegyzések:
C 12=0 !
A szimmetriatengely főirány
Főinerciák II. ●
●
I 1,2 =
I x+ I y ± 2
√(
2
I x− I y + C 2xy 2
)
Tehetetlenségi Mohr-kör
Normálfeszültségek igénybevételek Sík km.: ε z =α x+ β y+ γ → σ z = E ε z =a x+ b y + c N =∫ σ z dA A
M x =∫ σ z y dA A
M y =−∫ σ z xdA A
c A= N a C xy + b I x =M x a I y + b C xy =−M y
[
C xy I x I y C xy
−1
]
=
[
C xy −I x 1 2 C xy − I x I y −I y C xy
]
Normálfeszültségek c=
N A
a=
σz=
●
M x C xy + M y I x 2 xy
C −I x I y
b=
−M x I y −M y C xy 2
C xy − I x I y
−M x I y −M y C xy N M x C xy + M y I x + x+ y A C 2xy − I x I y C 2xy − I x I y
Speciális eset: x és y főirány (Cxy=0) σz=
−M x My N My N Mx + x+ y= + y− x A −I y −I x A Ix Iy
Semleges tengely ●
Def.: ahol a normálfeszültség nulla: 0= –
●
My N Mx + y− x A Ix Iy
egy egyenes egyenlete
Speciális eset: normálerő zérus 0=
Mx M M I y− y x → y= y x x Ix Iy MxIy
–
Nem párhuzamos a nyomatékvektorral → ferde hajlítás
–
N csak eltolja ezt az egyenest
Hajlítás és húzás-nyomás ●
Legyen Cxy=0 és My=0: σz=
●
N Mx + y A Ix
–
A semleges tengely Mx-szel párhuzamos → egyenes hajlítás
–
N és Mx eredője egy nem a súlypontban ható erő → külpontos húzás-nyomás
Speciális eset: Mx=My=0: –
Központos húzás-nyomás
σ z=
N A
Alakváltozások ●
Hooke-tv. alapján: εz = –
σz M x C xy + M y I x −M x I y −M y C xy N = + x+ y E E A E (C 2xy − I x I y ) E (C 2xy − I x I y )
x és y együtthatói: κ y=
M x C xy + M y I x 2
E (C xy − I x I y )
κ x=
−M x I y −M y C xy 2
E (C xy − I x I y )
görbületek (y-, x-tengelyre) → a keresztmetszet alakváltozása –
Egyenes hajlítás esetén:
κ x=
Mx E Ix
Mintapélda
Nyírófeszültségek, igénybevételek ●
●
Nyíróerőből: –
Tiszta nyírás esetén
–
Hajlítással egyidejű nyírás esetén
Csavarónyomatékból (csavarásból) –
Kör(gyűrű) keresztmetszetben ●
–
Középponttól távolodva lineárisan növekvő
Egyéb keresztmetszetben: ●
Gátolatlan csavarás → öblösödés
●
Gátolt csavarás → normálfeszültség
Tiszta nyírás ●
Feszültség: τ=
●
T A
Alakváltozás: T γ= τ = G GA
Hajlítással egyidejű nyírás ●
●
Nyíróerő → változó hajlítónyomaték → változó normálfeszültség Metszet egyensúlya:
∑ F iz : → τ yz ●
Reciprocitás: τ zy =τ yz =
S xT y b Ix
Zsuravszkij-képlet
Kör(gyűrű) csavarása ●
Feszültség: τ z=
●
Szögtorzulás: γz=
●
M cs r , ahol I 0 a poláris inercia I0 τ z M cs = r G G I0
A keresztmetszet alakváltozása: κ z=
M cs G I0
fajlagos elcsavarodottság
