Mechanika – Kinematika A mechanika a fizika része mely a testek mozgásával és egyensúlyával foglalkozik. A klasszikus mechanika, mely a fénysebességnél sokkal kisebb sebességű testekre vonatkozik, feloszlik: -
Kinematikára: a testek mozgását tanulmányozza anélkül, hogy figyelembe venné a kiváltó okokat; Dinamikára: a testek mozgását tanulmányozza, figyelembe véve a kiváltó okokat; Sztatika: a testek mechanikai egyensúlyának feltételeit tanulmányozza;
1. Mozgás és nyugalom Bevezető fogalmak: Mikor mozog egy test? A kérdésre csak akkor tudunk pontos választ adni, ha van egy vonatkoztatási rendszerünk (a vonatkoztatási vagy viszonyítási test az, melyhez képest megadjuk a tanulmányozott test helyzetét). Szükséges eszközök: méteres és időmérő. Együtt vonatkoztatási rendszert alkotnak. Ha a test helyzete a vonatkoztatási rendszerhez képest időben változik, akkor azt mondjuk, hogy hozzá képest mozgásban van. Grafikusan egy test mozgását gyakran Descartes féle derékszögű koordináta-rendszerben adjuk meg. A helyzetvektor olyan vektor melynek kezdőpontja a koordináta-rendszer origója, csúcsa (végpontja) pedig az anyagi ponton van (lásd ábra). (anyagi pont: a testek mozgása során, gyakran elhanyagolhatóak a test méreteit, a testet pontnak tekintjük melyek tömege a test tömegével egyenlő). A helyzetvektornak a három tengely szerint három vetülete van. A vetületek kifejezhetőek a koordináták egységvektorai és a vetületek nagyságainak segítségével: , vagy az egységvektorokat felhasználva: (egységvektor = nagysága 1 egység, iránya, irányítása megegyezik az egyik koordináta irányával illetve irányításával.) Mozgáskor a test által érintett pontok összességét a mozgás pályájának nevezzük. Egy test mozgását egy vonatkoztatási rendszerhez képest (ezután Mechanika – Kinematika
1
VR) leírhatjuk a megtett úttal (a pályán mért távolság, s) vagy az elmozdulásvektorral (elmozdulásvektor = a test két helyzetének megfelelő helyzetvektor különbsége: ). A megtett út (s) és az elmozdulásvektor ( ) nem egyenértékűek! A megtett út skaláris mennyiség az elmozdulásvektor vektoriális. Nagyságuk is általában különbözik (lásd ábra). A mozgástörvény meghatározza a test helyzetét az idő függvényében. Általános alakja:
Az első vektoriális a második skaláris alak. 2. A sebesség A testek mozgásának jellemzésére használt alapvető fizikai mennyiség. A középsebesség az egységnyi idő alatt megtett utat jelenti.
Mértékegysége SI-ben (SI – System International = Nemzetközi Mértékrendszer) m/s. A középsebesség nem tartalmaz csak a sebesség nagyságára vonatkozó információt, hiányzik az irány és irányítás. Ezért bevezetjük a középsebesség-vektort, mely az elmozdulásvektor és időtartam hányadosa.
Az ábrán is látható, hogy a középsebesség-vektor iránya és irányítása megegyezik az elmozdulásvektor irányával és irányításával. A pillanatnyi sebességvektort akkor kapjuk, ha az időintervallumot zéró felé közelítjük ( ). A pillanatnyi sebesség a test sebességét jelenti egy adott pillanatban, iránya érintőleges a pályához. 3. A gyorsulás A sebesség időbeli változását a gyorsulás jellemzi. Jele: a. Képlete:
mértékegysége a m/s2.
Mechanika – Kinematika
2
Az ábrán látható, hogy a középgyorsulás vektor egyenlő a sebességváltozás-vektor és időtartam hányadosával, iránya és irányítása a sebességváltozás-vektor irányával és irányításával megegyező. Pillanatnyi gyorsulásról beszélünk, ha az időintervallumot zéró felé szűkítjük. A gyorsulást fel szokás bontani két egymásra merőleges összetevőre: a tangenciális vagy (pályához-) érintőleges gyorsulásra és normális vagy centripetális gyorsulásra (az érintő irányára merőleges). A tangenciális gyorsulás a sebesség nagyságának változását jellemzi, a normális gyorsulás pedig a sebesség irányának változását. A mozgásokat gyakran a gyorsulás összetevői szerint osztályozzuk. Az alábbi táblázat ezt a felosztási módot tükrözi: A MOZGÁSOK OSZTÁLYOZÁSA a gyorsulás összetevőinek függvényében Egyenes vonalú mozgás egyenletes an=0 at=0 egyenletesen változó a>0 gyorsuló at=állandó a<0 lassuló változó a≠állandó Görbe vonalú mozgás R=állandó egyenletes körmozgás an≠0 körmozgás an=állandó, at =0 egyenletesen változó körmozgás an=állandó, at - állandó változó körmozgás an=állandó, at - változó R=változó görbe vonalú mozgás
4. Egyenes vonalú egyenletes mozgás Ebben az esetben nincs gyorsulás, tehát a sebességvektor állandó. Ebből következik, hogy a pálya egyenes, a sebesség iránya megegyezik a pálya irányával. A mozgás leírásához elégséges egyetlen koordinátát használni, legyen ez az Ox tengely. A mellékelt ábrán O – az origó, vagy a VR kezdőpontja, t0 a kezdeti időpont, x0 a test kezdeti távolsága a kezdőponthoz Mechanika – Kinematika
3
képest, t a végső időpont melynek megfelel az x végső távolság. A sebesség kifejezése a fenti jelöléseket használva:
Mivel a sebesség nem változik, ezért a középsebesség egyenlő a pillanatnyi sebességgel. A (8)-as egyenletből kifejezve az x végső helyzetnek megfelelő távolságot:
összefüggést kapjuk, mely az egyenes vonalú egyenletes mozgást végző test mozgástörvénye. Ha az időt akkor kezdjük mérni, amikor a test az x0 pontban van, akkor t0=0 és ha a VR kezdőpontját pont az x0 pontban választjuk, akkor x0=0 és a (9)-es összefüggés leegyszerűsödik:
A mozgás grafikus ábrázolását az alábbi v=v(t) és x=x(t) grafikon szemlélteti:
A sebesség grafikon alatti terület nagysága egyenlő a megtett úttal (téglalap melynek oldalai v és t-t0). Az út-idő grafikon iránytényezője tanα, pont a sebességgel egyenlő:
5. Egyenes vonalú egyenletesen változó mozgás Ebben az esetben a normális gyorsulás zéró, tehát egyenes vonalú mozgásról van szó, viszont a tangenciális gyorsulás zérótól különböző és állandó. Tehát a mozgás pályája egyenes, a sebesség nagysága pedig egyenlő időközökben egyenlő értékkel változik. Az egyenes vonalú egyenletes mozgás törvényei: Mechanika – Kinematika
4
a) Sebességtörvény A középgyorsulás (7)-es kifejezéséből kapjuk:
A (12)-es kifejezésből a végső sebességet kifejezve, kapjuk:
A (13)-as kifejezést sebességtörvénynek nevezzük. Ha a kezdeti időpillanat zéró, akkor:
b) Mozgástörvény (úttörvény) A középsebesség (5)-ös kifejezéséből:
ahonnan, kifejezve x-et:
Mivel a sebességváltozás egyenletes, a középsebesség kiszámítható, mint a kezdősebesség és végsősebesség számtani középarányosa:
Behelyettesítve a 17-es kifejezést a 16-os egyenletbe és rendezve azt, megkapjuk a mozgástörvényt:
Ha a kezdeti időpillanatot zérónak tekintjük, a 18-as egyenlet egyszerűbb alakját kapjuk:
Ha a test kezdeti helyzete egybeesik az origóval (x0=0):
c) Galilei képlete A 14-es egyenletből az időt kifejezve és a 20-as egyenletbe helyettesítve kapjuk: Mechanika – Kinematika
5
A műveleteket elvégezve és rendezve kapjuk:
A 21-es egyenlőséget Galilei képletének nevezzük. Az egyenes vonalú egyenletes mozgás esetén az a=a(t), v=v(t) és x=x(t) függvények ábrái a következők:
Megjegyzések: a gyorsulás grafikonból kiolvasható, hogy a gyorsulás állandó és a grafikon alatti terület egyenlő a t-t0 időintervallumban bekövetkezett sebességváltozással. A sebesség grafikon egy egyenes, ami azt jelenti, hogy a sebesség változása egyenesen arányos az idővel (egyenletesen változik). A grafikon és vízszintes közötti szög tangense pedig egyenlő a gyorsulás mértékével. Az út grafikonja egy parabola, mivel az út az idő másodfokú függvénye. 6. Szabadesés, függőleges hajítás Szabadeséskor és függőleges hajításkor a testre egyetlen erő hat, a gravitációs vonzóerő a Föld részéről, a súrlódási erőt elhanyagoljuk és a gravitációs erőt állandónak tekintjük. Ezen feltételek teljesülésekor a test mozgása egyenes vonalú és egyenletesen változó lesz. A gyorsulás egyenlő a gravitációs gyorsulással, a megtett utat gyakran magasságként említjük (jele: h). Ha a testet szabadon elengedjük (v0=0) és az origót pont a mozgás kezdőpontjában veszszük fel, akkor a mozgástörvény:
a test pillanatnyi sebességét pedig a: Mechanika – Kinematika
6
összefüggés adja meg. Függőleges hajítás esetén figyelembe kell venni, hogy a test felfele mozog, gyorsulása pedig ellentétes, ezért a mozgástörvény:
A sebesség változását adó sebességtörvény a következő:
A test lassuló mozgást végez, sebessége csökken, míg eléri pályájának maximális értékét, majd szabadeséssel visszaesik. A fenti összefüggéseket alkalmazva, az esés ideje szabadeséskor:
A legnagyobb magasság v0 kezdősebességű függőleges hajításkor:
Bizonyítható, hogy az emelkedés és esés ideje egyenlő. 7. Mozgás függőleges síkban, gravitációs térben (ferde hajítás) A hajítás ebben az esetben a vízszintessel 900-tól eltérő szögben történik. A súrlódást ezentúl is elhanyagoljuk, és feltételezzük, hogy a testre csak a gravitációs erő hat. A mozgás leírásához két koordináta szükséges (a mozgás síkban történik), legyen ez az Ox és Oy tengely. A mozgás egy görbe vonalú pályán történik, melynek megszerkesztjük a vetületét az Ox és Oy tengelyre.
Mechanika – Kinematika
7
Az Ox tengely (vízszintes) irányában nem hat erő, tehát egyenes vonalú egyenletes a mozgás állandó vx0 sebességgel. Az Oy tengely irányában a súlyerő hat. A mozgás hasonló egy függőleges hajításhoz, ahol a kezdősebesség vy0. A test által elért legnagyobb magasságot az Oy tengely menti mozgásból számítjuk ki feltételezve, hogy a vy sebességkomponens a legnagyobb magasságon zéró:
Az emelkedési idő a 25-ös egyenletből:
A teljes hajítás ideje pont kétszer akkora, mint az emelkedési idő. Időközben az Ox tengely mentén megtett út:
8. Egyenletes körmozgás Ebben az esetben a test mozgásának pályája egy kör, sebességének nagysága pedig állandó. Ebből következik, hogy normális gyorsulása állandó, tangenciális gyorsulása pedig zéró. A mellékelt ábrán az egyenletes körmozgást végző test az A pontból a B pontba kerül. A sebességvektorok a két pontban merőlegesek a sugárra (érintők a körhöz). Azért, hogy megkapjuk a sebesség változását az A pontból párhuzamosan eltoljuk a sebességvektort a B pontba. Figyelembe véve, hogy az OAB és BCD háromszögek hasonlóak, írhatjuk:
A 31-esben s a megtett út, R a körmozgás sugara. Figyelembe véve, hogy a megtett út , a 31es egyenletből kiszámítható a gyorsulás nagysága:
A körmozgást jellemző egyéb fizikai mennyiségek: a) Periódus Mechanika – Kinematika
8
Az idő, amely alatt a test egy teljes kört ír le. Jele: T, mértékegysége: s (szekundum). b) Frekvencia Az időegység alatt leírt körök számával egyenlő. Jele: ν, mértékegysége: Hz(hertz). Ha az időegységet osztjuk a frekvenciával (a leírt körök számával) megkapjuk az egy kör leírásához szükséges időt, vagyis a periódust:
c) Szögsebesség A sugár által, egységnyi idő alatt leírt középponti szög. Jele: ω, mértékegysége: rad/s (radián/szekundum). A radián szögmérték, egy teljes körnek (3600) megfelel 2π radián. Mivel egy teljes kört (2π radián) pont egy periódus alatt tesz meg, ezért a szögsebesség:
Az egyenes vonalú egyenletes mozgásnál tanult 9-es mozgástörvény megfelelője körmozgás esetén a megtett szög kifejezése az idő függvényében. A szögsebesség meghatározásából vagy a 34-es egyenletből következik:
Egyéb összefüggések:
Mechanika – Kinematika
9
