Kinematika: A mechanikának az a része, amely a testek mozgását vizsgálja a kiváltó okok (erők) tanulmányozása nélkül

2012.03.16.

DINAMIKA

I. ELŐADÁS

ANYAGI PONT KINEMATIKÁJA RADNAY László Tanársegéd Debreceni Egyetem Műszaki Kar Építőmérnöki Tanszék E-mail: [email protected] Mobil: +36 20 416 59 14

DEBRECENI EGYETEM MŰSZAKI KAR ÉPÍTŐMÉRNÖKI TANSZÉK

DINAMIKA

Radnay László Minden jog fenntartva!!

I. ELŐADÁS

ANYAGI PONT KINEMATIKÁJA Definíciók: Kinematika: A mechanikának az a része, amely a testek mozgását vizsgálja a kiváltó okok (erők) tanulmányozása nélkül. Mechanikai mozgás: megváltozása

Két test egymáshoz viszonyított térbeli helyzetének időbeni

Anyagi pont: A vizsgált testek idealizált alakja. Tömege és más testekkel való kölcsönhatási képessége az eredeti testével megegyezik. Az eredeti test geometriai méreteit elhanyagoljuk az adott vizsgálatnál.



1

2012.03.16.

DINAMIKA

I. ELŐADÁS

ANYAGI PONT KINEMATIKÁJA Anyagi pont helyzetének megadása derékszögű koordináta-rendszerben:



DINAMIKA

I. ELŐADÁS

ANYAGI PONT KINEMATIKÁJA Anyagi pont helyzetének megadása derékszögű koordináta-rendszerben: Koordináták segítségével:

r  x i  y  j  z  k Origótól való távolság segítségével:

r  r  er ahol:

r er 

x2  y 2  z 2 r x y z  i   j   k r r r r

Az i, j, k vektorok kivételével minden függ az időtől!!! DEBRECENI EGYETEM MŰSZAKI KAR ÉPÍTŐMÉRNÖKI TANSZÉK


2

2012.03.16.

DINAMIKA

I. ELŐADÁS

ANYAGI PONT KINEMATIKÁJA Definíciók: Pálya: A pont helyzetvektorának végpontjai által leírt görbe. Mozgástörvény: A pont helyzetét az idő függvényében megadó összefüggés



DINAMIKA

I. ELŐADÁS

ANYAGI PONT KINEMATIKÁJA Anyagi pont sebessége: Ismert a tömegpont két, egymáshoz közeli időponthoz tartozó helyzetvektora.

Meghatározható a tömegpont helyzetének változása.



3

2012.03.16.

DINAMIKA

I. ELŐADÁS

ANYAGI PONT KINEMATIKÁJA Anyagi pont sebessége: Az átlagos sebesség:

v átl 

r t

A pillanatnyi sebesség:

v


lim  r d r   r t  0 t dt


DINAMIKA

I. ELŐADÁS

ANYAGI PONT KINEMATIKÁJA Anyagi pont sebessége: v

lim  r d r   r t  0 t dt

Az anyagi pont helyzete az idő függvényében:

r (t )  x (t )  i  y (t )  j  z (t )  k Deriválás idő szerint

v (t )  x (t )  i  y (t )  j  z (t )  k x(t) vx(t) y (t )  v y (t )

stb. alkalmazása

v (t )  v x (t )  i  v y (t )  j  v z (t )  k DEBRECENI EGYETEM MŰSZAKI KAR ÉPÍTŐMÉRNÖKI TANSZÉK


4

2012.03.16.

DINAMIKA

I. ELŐADÁS

ANYAGI PONT KINEMATIKÁJA Anyagi pont sebessége: A sebesség nagysága:

v  v  v x2  v 2y  v z2

A sebesség mértékegysége: [m/s] A sebesség iránya: A határátmenettel a sebességnek a pálya húrjának irányába eső vektora a pont pályájának t időpontnak megfelelő érintőjébe megy át. Az érintőirányú egységvektor és a sebesség nagyságának ismeretében felírhatjuk a sebességvektort:

v  v  e DEBRECENI EGYETEM MŰSZAKI KAR ÉPÍTŐMÉRNÖKI TANSZÉK


DINAMIKA

I. ELŐADÁS

ANYAGI PONT KINEMATIKÁJA Anyagi pont gyorsulása: Ismert a tömegpont két, egymáshoz közeli időponthoz tartozó sebességvektora.

Meghatározható a tömegpont sebességének változása.



5

2012.03.16.

DINAMIKA

I. ELŐADÁS

ANYAGI PONT KINEMATIKÁJA Anyagi pont gyorsulása: Az átlagos gyorsulás:

a átl 

v t

A pillanatnyi gyorsulás:

a

lim v d v   v  r t  0 t dt



DINAMIKA

I. ELŐADÁS

ANYAGI PONT KINEMATIKÁJA Anyagi pont gyorsulása: Az átlagos gyorsulás:

a átl 

v t

A pillanatnyi gyorsulás:

a


lim v d v   v  r t  0 t dt


6

2012.03.16.

DINAMIKA

I. ELŐADÁS

ANYAGI PONT KINEMATIKÁJA Anyagi pont gyorsulása: a

lim v d v   v  r t  0 t dt

Az anyagi pont helyzete az idő függvényében:

r (t )  x (t )  i  y (t )  j  z (t )  k Deriválás idő szerint kétszer

a(t )  x(t )  i  y(t )  j  z(t )  k x(t )  a x (t ) y(t )  a y (t )

stb. alkalmazása

a (t )  a x (t )  i  a y (t )  j  a z (t )  k DEBRECENI EGYETEM MŰSZAKI KAR ÉPÍTŐMÉRNÖKI TANSZÉK


DINAMIKA

I. ELŐADÁS

ANYAGI PONT KINEMATIKÁJA Anyagi pont gyorsulása: A gyorsulás nagysága:

a  a  a x2  a 2y  a z2

Mértékegysége: [m/s2] A gyorsulás iránya: A gyorsulásvektor a pálya M pontbeli érintősíkjában kerül és a pálya homorú oldala felé mutat.



7

2012.03.16.

DINAMIKA

I. ELŐADÁS

ANYAGI PONT KINEMATIKÁJA Egyenes vonalú mozgás

A pont helyzetét megadó függvény

x(t)

A pont sebességét megadó függvény

v(t)

A pont gyorsulását megadó függvény

a(t)


INTEGRÁLÁS

DERIVÁLÁS

Speciális, gyakorlati szempontból jelentős eset. Az eddig vizsgáltakhoz képest egyszerűsítést jelent, hogy a mozgás egy kiválasztott „x” tengely mentén történik.


DINAMIKA

I. ELŐADÁS

ANYAGI PONT KINEMATIKÁJA Egyenes vonalú mozgás Számítás az x(t) függvény ismeretében A pillanatnyi sebesség:

v(t )  x (t ) A pillanatnyi gyorsulás:

a(t )  v(t )  x(t )



8

2012.03.16.

DINAMIKA

I. ELŐADÁS

ANYAGI PONT KINEMATIKÁJA Egyenes vonalú mozgás Számítás az a(t) függvény ismeretében A pillanatnyi sebesség:

t

v(t )  v0   a(t ) dt t0

A pillanatnyi helyzet:

t

x(t )  x0   v(t )dt t0

A pillanatnyi sebesség a gyorsulásfüggvény egyszeres, a pillanatnyi helyzet a gyorsulásfüggvény kétszeres integrálásával kapható. A számításhoz szükséges a kezdeti helyzet és sebesség ismerete. DEBRECENI EGYETEM MŰSZAKI KAR ÉPÍTŐMÉRNÖKI TANSZÉK


DINAMIKA

I. ELŐADÁS

ANYAGI PONT KINEMATIKÁJA Egyenes vonalú mozgás Számítás az a(t) függvény ismeretében, ha a(t)=konstans A pillanatnyi sebesség:

t

v(t )  v0   a(t ) dt

v(t )  v0  a  t

t0

A pillanatnyi helyzet: t

x(t )  x0   v(t )dt t0

x(t )  x0  v0  t 

a  t2 2

Az egyszerűsített képleteket a határozott integrál meghatározásával kaptuk.



9

2012.03.16.

DINAMIKA

I. ELŐADÁS

ANYAGI PONT KINEMATIKÁJA Ismert pályán való mozgás Bevezetett jelölések: S

A kezdőponttól a vizsgált pontig megtett út.

e en

A pálya vizsgált pontjának érintőjével párhuzamos, a haladási irányba mutató egységvektor. Az előzőre merőleges, a pillanatnyi középpontba mutató egységvektor.



DINAMIKA

I. ELŐADÁS

ANYAGI PONT KINEMATIKÁJA Ismert pályán való mozgás - Sebesség

v

lim  r t  0 t Szorzás

lim v  s  0 t  0


s  1 -gyel s

 r s d r ds    s t ds dt


10

2012.03.16.

DINAMIKA

I. ELŐADÁS

ANYAGI PONT KINEMATIKÁJA Ismert pályán való mozgás - Sebesség

v

lim  r t  0 t Szorzás

lim v  s  0 t  0

s  1 -gyel s

 r s d r ds    s t ds dt

dr  e behelyettesítése ds A sebességvektor érintő irányú!

v

ds  e  v  e dt



DINAMIKA

I. ELŐADÁS

ANYAGI PONT KINEMATIKÁJA Ismert pályán való mozgás - Gyorsulás

a

dv  v  e  v  e dt e 

a  a  e 

v  e n alkalmazásával 

v2  e n  a  a n 

Ahol:

a  a  e

an 

v2  en 

A gyorsulásvektor az érintőirányú és a normálirányú komponens vektoriális összegzésével kapható. A gyorsulásvektor minden esetben a pálya homorú oldala felé mutat. DEBRECENI EGYETEM MŰSZAKI KAR ÉPÍTŐMÉRNÖKI TANSZÉK


11

2012.03.16.

DINAMIKA

I. ELŐADÁS

ANYAGI PONT KINEMATIKÁJA Körpályán való mozgás -A pályát a középpontja és a sugár egyértelműen megadja. -Egy kezdőpontot kijelölve idő függvényében megadható az elfordulás szöge. -A megtett út az elfordulási szöggel megadható

s(t )  r   (t )



DINAMIKA

I. ELŐADÁS

ANYAGI PONT KINEMATIKÁJA Körpályán való mozgás - Sebesség

v(t ) 

v(t ) 

ds dt s(t )  r   (t )

alkalmazásával

d (r   (t )) dt „r” kiemelhető

v(t )  r 

d (t ) dt

 (t ) 

d (t ) dt

szögsebesség [rad/s]

v(t )  r   (t ) DEBRECENI EGYETEM MŰSZAKI KAR ÉPÍTŐMÉRNÖKI TANSZÉK


12

2012.03.16.

DINAMIKA

I. ELŐADÁS

ANYAGI PONT KINEMATIKÁJA Körpályán való mozgás

a 

- Érintő irányú gyorsulás

dv dt v(t )  r   (t )

a 

alkalmazásával

d (r   (t )) dt „r” kiemelhető

a  r 

d (t ) dt  (t ) 

d (t ) dt

szöggyorsulás [rad/s2]

a  r   (t )

a  r   (t )  e DEBRECENI EGYETEM MŰSZAKI KAR ÉPÍTŐMÉRNÖKI TANSZÉK


DINAMIKA

I. ELŐADÁS

ANYAGI PONT KINEMATIKÁJA Körpályán való mozgás an 

- Normál irányú gyorsulás

an 

v 2 (t ) r v(t )  r   (t )

alkalmazásával

(r   (t )) 2 r egyszerűsítve

an  r   2 (t ) a n  r   2 (t )  e n

vagy


an 

v 2 (t )  en r Radnay László Minden jog fenntartva!!

13

2012.03.16.

DINAMIKA

I. ELŐADÁS

ANYAGI PONT KINEMATIKÁJA Körpályán való mozgás - A gyorsulás nagysága

a(t )  a2  an2

a  r   (t )

an  r   2 (t )

alkalmazásával

a(t )  (r   (t )) 2  (r   2 (t ))2 egyszerűsítve

a(t )  r   2 (t )   4 (t )



DINAMIKA

I. ELŐADÁS

ANYAGI PONT KINEMATIKÁJA Körpályán való mozgás – Egyenletes körmozgás -A sebesség és a szögsebesség állandó

v ( t )  v  const

 ( t )    const -A szöggyorsulás zérus

 (t )  0 -A gyorsulás megegyezik a normálirányú gyorsulással, értéke állandó

a (t )  a n 

v2  const r



14

2012.03.16.

DINAMIKA

I. ELŐADÁS

ANYAGI PONT KINEMATIKÁJA Körpályán való mozgás – Egyenletes körmozgás Keringési idő: Az az idő, amely alatt a pont egy teljes kört ír le. [s]

 T  2  T 

2  

Fordulatszám: Egységnyi idő alatt megtett fordulatok száma.

n 

1   T 2 

N 

30   

[1/s]

[1/min]



DINAMIKA

I. ELŐADÁS

ANYAGI PONT KINEMATIKÁJA RADNAY László

Köszönöm a megtisztelő figyelmet!

Tanársegéd Debreceni Egyetem Műszaki Kar Építőmérnöki Tanszék E-mail: [email protected]

Az előadás

Dr. GYÖRGYI József DINAMIKA

Mobil: +36 20 416 59 14

c. könyvének felhasználásával készült. A témakörhöz elméleti összefoglaló és mintafeladatok a tankönyv 9-26. oldalán találhatóak.



15

Kinematika: A mechanikának az a része, amely a testek mozgását vizsgálja a kiváltó okok (erők) tanulmányozása nélkül

Recommend Documents