A TESTEK KÖLCSÖNHATÁSA (INTERAKCIÓJA) AZ ERŐ

DINAMIKA Megismertük azokat a mennyiségeket, amelyekkel a testek (anyagi pontok) mechanikai mozgását leírják adott vonatkoztatási rendszerben. Tanulmányoztuk az egyenesvonalú, a körmozgás és a forgómozgás törvényeit. Eközben nem foglalkoztunk olyan kérdésekkel, mint: mikor van a test (anyagi pont) nyugalmi állapotban, miért mozognak egyes testek egyenesvonalú egyenletes mozgással (állandó sebesség), míg mások egyenesvonalú egyenletesen változó (állandó gyorsulás) mozgással, mi okozza a testek kör- és forgómozgását, mikor változik meg a testek alakja és méretei. Az ilyen és ehhez hasonló kérdésekre a mechanika dinamikának nevezett része ad választ. Az alapvető dinamikai mennyiségek 3.1 ábra Két golyó ütközése tömeg, lendület, és erő bevezetésével , majd ezeket a megfelelő kinematikai mennyiségekkel ( út, elmozdulás, sebesség, és gyorsulás ) összekapcsolva, lehetővé válik a testek mechanikai mozgásának a teljesebb (pontosabb ) leírása. Míg a kinematikában a testek mozgásait csak leírják, addig a dinamikában leírják és megmagyarázzák azokat. A dinamika alapja az angol fizikus, Isaac Newton által megállapított három alaptörvény. Ezeket a törvényeket később Newton-törvényeinek, azaz a klasszikus mechanika törvényeinek nevezték el.

A TESTEK KÖLCSÖNHATÁSA (INTERAKCIÓJA) AZ ERŐ A testek kölcsönhatásai nagyon eltérőek lehetnek. Ezek közül a nyolcosztályos iskolában néhányat ( gravitációs, elektromos és mágneses ) már megismertünk. Most ezeket az ismereteket fogjuk kiszélesíteni és teljesebbé tenni. Először azokat a kölcsönhatásokat fogjuk szemlélni, amelyek előidézik és befolyásolják a testek mechanikai mozgásainak jelenségét és változását. A kölcönhatás egyik formája a testek közvetlen érintkezésével jön létre. Ez különféle példákon mutatható be: A vasúti vagonok akkor kezdenek el mozogni, amikor őket a mozdony megindítja. A futball-labda megváltoztatja nyugalmi vagy mozgási állapotát, ha ”találkozik „ a játékossal. Az ilyen közvetlen érintkezést ütközésnek nevezzük. Az ütközés tipikus példája, amikor két golyó egymással ütközik (3.1. ábra). Ütközésükkor mindkét test mozgássebessége megváltozik.

A testek úgy is hathatnak egymásra, ha nincsenek közvetlen érintkezésben. Általánosan ismert, hogy a Föld vonzza azokat a testeket, amelyek felszíne felett vannak (3.2. ábra). Az ábrán látható, hogy a mágnes vonzza a vasgolyót, vagy a vastárgyakat (3.3. ábra). A mágnes hatása megváltoztatja a golyó sebességét ; az a.) esetben a sebesség értéke szüntelenül nő ; míg a b.) esetben változik az értéke , hatásvonala és iránya (3.3. ábra).

Az elektromos testek kölcsönhatása lehet vonzás vagy taszítás. Két pozitív elektromosággal töltött golyócska taszítja egymást, ugyanúgy, mint két negatív töltésű golyócska. Ha az egyik golyócska pozitív töltésű, a másik negatív, akkor ezek vonzzák egymást. Az elektromos töltésű testek kölcsönhatása is kiválthatja a relatív nyugalmi állapotuk vagy mozgásuk megváltozását (3.4. ábra). A testek mozgásállapotának megváltozását más testek hatása idézi elő. Azt a kölcsönhatást, amely a testek mozgásállapot- változásának (sebességük megváltozásának) az okozója, dinamikai kölcsönhatásnak nevezzük. Azt a kölcsönhatást, amely csak a testek deformációját (alakjuk és köbtartalmuk megváltozását) idézi elő, statikus kölcsönhatásnak nevezzük. A 3.5. ábrán a statikus kölcsönhatás jellemző példája látható. Az a.) esetben a terheletlen, súlyok nélküli, nem deformált, rugó.A b.) példákban a rugó súlyokkal terhelt (eggyel és kettővel), ezáltal a súlyok számától függően deformálódik: kinyúlik.

AZ ERŐ A testek kölcsönhatásai különféleképpen jelentkezhetnek.A vas-súlyokkal terhelt fémrugót ezek jobban kinyújtják, mint azt az ugyanakkora köbtartalmú fa-súlyok tennék. Ugyanaz a mágnes másként vonzza a különböző dimenziójú vastárgyakat ugyanolyan távolságból. Két golyó ütközése ” erősebb „ , ha azok ütközés előtt nagyobb sebességekkel mozogtak, stb. A testek kölcsönhatásainak leírására az erőt, mint fizikai mennyiséget használják. Az erő a testek (részecskék) kölcsönhatásának (interakciójának) a mennyiségi mértéke. Kölcsönhatáskor (interakció) a testek deformálódnak. Olykor ezek az alakváltozások nagyon szembetűnőek: a súlyok kinyújtják a rugót, kis nyomás hatására is deformálódnak a léggömbök, nagyon szembetűnő az ugródeszka lehajlása, ha rááll a tornász, stb. Az erő a testek deformációjának az okozója. Azonkívül, hogy az erő deformálja a testeket, az erő megváltoztatja azok sebességét is (ez a változás vonatkozik a hatásvonalukra, irányukra és nagyságukra). (Erről majd részletesebben beszélünk a második Newton-törvény keretében.) Az erő mértékegysége a newton ( N ). Az erő vektormennyiség, értékével, hatásvonalával és irányával van meghatározva. Például a Föld vonzóerejének hatásvonalai a felületére szabadon eső testeknél megegyeznek a Föld sugaraival, amelyek a középpontja felé irányulnak (3.6.ábra). A pozitív és negatív elektromosággal töltött gömböcskék közötti kölcsönhatási erő hatásvonala áthalad a gömböcskék középpontjain és az egyik gömb felől a másik felé irányul. Elvileg az erőhatás bármilyen jelensége (megjelenése) felhasználható az erő mérésére. A gyakorlatban két alapvető módszert használnak az erő mérésére: a statikus és dinamikus módszert. A dinamikus módszernél a test tömegének és gyorsulásának mérésével határozzák meg a ráható erőt. A testek gyorsulásának mérése nem éppen a legmegfelelőbb, így a gyakorlatban általában a statikus erőmérési módszert alkalmazzák (erőmérési dinamométerrel). Az elasztikus rugó hosszváltozásának mérésével határozható meg az erő értéke. A nyolcosztályos iskolában már megismertük a dinamométerrel történő erőmérést.

A TEST TÖMEGE Két ugyanabból az anyagból készült, egyforma 1-es és 2-es kiskocsit figyeljük meg! A kocsik közül az egyikre egy elasztikus fémrugó van ráerősítve. A rugót összenyomott állapotban egy fonál rögzíti. A rugó és a fonál nem befolyásolják a kiskocsik azonosságát (3.7.ábra). Ha a 2-es kiskocsit nekitámasszuk a másik kiskocsira erősített, összenyomott rugóra és elvágjuk a rugót összekötő fonalat, akkor a rugó szétugrása megindítja mindkét kiskocsit (3.7.b.) ábra). Tehát ahhoz, hogy a kocsik mozgásba lendüljenek, szükséges, hogy a kocsik kölcsönhatásban legyenek egymással. Az említett példában ez az összenyomott rugón keresztül valósul meg. Méréssel megállapítható, hogy a két kiskocsiáltal megtett utak megegyeznek, sebességeik azonos időtartam alatt ugyanakkora értékűek, de ellentétes irányúak. A kísérlet folytatásában továbbra is megtartjuk az 1-es kiskocsit, míg a 2-es kiskocsit kétszer nehezebb kiskocskra cseréljük (3.8.ábra). Most azt állapíthatjuk meg, hogy az 1-es kiskocsi sebessége változatlan maradt, míg a másik kiskocsik sebessége felére csökkent (fele akkora utat tesznek meg ugyanazon idő alatt). Ha a másik kiskocsik háromszor nehezebbek lettek volna, akkor sebességük háromszor kisebb lett volna, a megtett út pedig háromszor rövidebb, stb. Hasonló kísérletek végezhetők golyócskákkal is. Először két egyforma golyócska kölcsönhatását figyelik meg, majd két ugyanabból az anyagból készült, de az egyik kétszer, háromszor ... nehezebb golyócskák kölcsönhatását figyelik. Ugyanúgy, mint a kiskocsikkal végzett kísérleteknél is a következőket állapíthatjuk meg : ugyanazon kölcsönhatásoknál a nehezebb testek lassabban mozognak. Az előző kísérletek alapján a következőket állapíthatjuk meg: két test (kiskocsi) kölcsönhatása során (amely a rugó elasztikus erejének közvetítésére történt) fellépő sebességek értékei fordítottan arányosak a tömegeikkkel. v1 m 2  . v 2 m1

Arra a testre, amely a kölcsönhatás során kisebb sebességet kap, azt mondjuk, hogy tehetetlenebb.A test tehetetlensége (inerció-tehetetlenség, a latin inercia jelentése tétlenség, tehetetlenség- a fordító megjegyzése) tehát a testnek a másik testtel történő kölcsönhatása során fellépő sebességhez kötődik. A tehetetlenség tehát a testek azon tulajdonsága, hogy ellenállnak a mozgásállapot-változással szemben. Vagy: Tehetetlenségnek nevezzük a testek ellenállását a relatív nyugalmi állapotuk vagy egyenesvonalú, egyenletes mozgásuk megváltoztatásával szemben. Azt a mennyiséget,amellyel a tehetetlenség mennyiségileg jellemezhető, tömegnek nevezzük. A tömeg a test tehetetlenségének a mértéke, ha az haladó mozgást végez (beleszámítva a viszonylagos nyugalmi állapotot is). Külön ki kell emelni a különbséget a testek (részecskék) tehetetlensége és a tehetetlenség között. A testek tehetetlensége a testek azon tulajdonsága, amely abban nyilvánul meg, hogy a nagyobb tömegű testek lassabban „veszik át ”a mozgásállapotváltozást (sebességváltozás, gyorsulás ), míg a tehetetlenség az a jelenség, amely a relatív nyugalmi állapot, vagy egyenesvonalú, egyenletes mozgás megtartásában mutatkozik meg, azzal a feltétellel, hogy a más testeknek a figyelt testre való hatásaik ki vannak zárva (vagy egymást megsemmisítik, kompenzálják). A test tömege a test tehetetlenségének mértéke. A tömeg skalár- és mindig pozitív mennyiség. A tömeg összegezhető mennyiség. Ez azt jelenti, hogy a testek összeségének a teljes tömege vagy egy összetett test tömege megegyezik az egyes testek ( részek ) tömegeinek az összegével. A tömeg mértékegysége a kilogramm ( kg ).

A TESTEK LENDÜLETE Megállapítottuk, hogy két kölcsönhatásban volt sebességei fordítottan arányosak azok tömegeivel, azaz: v1 m 2  v 2 m1

test ( két kiskocsi a 3.8.ábrán)

m1  v1  m2  v 2 Innen : Az egyik kiskocsi tömegének és sebességértékének szorzata megeyezik a másik kiskocsi tömegének és sebességértékének szorzatával. Azt a fizikai mennyiséget, amely a test tömegének és sebességének szorzatával határozható meg, a test (részecske) lendületének (impulzusának, vagy mozgásmennyiségének – a fordító megjegyzése) nevezzük. A lendület mértékegysége a kilogram-szor-méter-per másodperc.  m Mivel a tömeg skalármennyiség, a sebesség pedig vektor,  kg  , így a szorzatuk s  vektormennyiség. Ez azt jelenti, hogy a test ( részecske ) lendülete vektor-mennyiség. Ha az előző példában szereplő testek ( kiskocsik ) lendületét vektoriális alakban írjuk fel, ez következik :

m1  v1  m2  v2 vagy

m1  v1  m2  v2  0

A kiskocsik kölcsönhatás előtti ( amikor nyugalmi állapotban voltak ) és a kölcsönhatás utáani lendületeik vektoriális összege nulla. A lendületet általában p -vel jelölik. Általános esetben a test ( részecske ) lendületét a következő alakban írjuk :

p  mv A lendület hatásvonala és irányítása megegyezik a test sebességének hatásvonalával és irányításával, értéke pedig a tömeg és a sebesség értékének a szorzata. p  m v A lendület egy olyan mennyiség, amellyel a testek haladó mozgása írható le.

NEWTON ELSŐ TÖRVÉNYE (A TEHETETLENSÉG TÖRVÉNYE ) ISAAC NEWTON volt korának legjelentősebb fizikusa, matematikusa és csillagásza. Három alaptörvényt fogalmazott meg, ezek az ismertté vált Newton-féle klasszikus mechanika törvényei. Newton tudományos munkásságában kiemelkedő helyet foglal el az általános tömegvonzás törvénye. Ennek alapján Newton leírta és megmagyarázta az égitestek, azok bolygóinak és az üstökösök mozgását, s ezzel igazolta Kopernikusz felfogását és a Keplertörvényeket. Így lett Newton az égi-mechanika megalapítója. A fényjelenségek tanulmányozásában is nagy szerepe volt. Newton matematikai munkái különösen jelentősek, mert ezek hozzásegítettek a fizikai problémák megoldásaihoz. (Ő vezette be a diffrenciál- és integrálszámítást, amelyek a felsőbb matematika alapjait képezik.) Newton különös ember volt. Egyedül is boldogult. Hihetetlenül türelmes és kitartó volt. Amikor dolgozott, elfeledkezett az időről és az evésről is, számára természetes volt 20 évet áldozni egy ötletének valóra váltására. Mesélik, hogy Newton csak egyszer volt szerelmes középiskolás korában, és már a házasság küszöbén állt, de ekkor elkerülte a házassági kapcsolatot és egész életére magányossá vált. Mintha azt a tézist követte volna (mint a mi Nikola Teslánk), hogy az ember életében nem lehet több egy szerelemnél. Newton síremlékén a következő felirat van : Az emberek saját maguknak elismeréssel tartoznak, Amiért létezett olyan És akkora dicsőssége az emberi fajnak... ( Szabad fordításban a fordító )

A nagy Newton tiszteletére róla nevezték el az erő mértékegységét (newton ).És ebben van a szimbólizmus. A mindennapi tapasztalat azt mutatja, hogy a testek önmaguktól nem tudnak elindulni nyugalmi állapotukból, ehhez más testek hatására van szükség. Például a sima, vízszintes alapra helyezett golyócska addig marad nyugalmi állapotban, míg meg nem lökik egy kezdősebességgel.Ezután a golyócskaegyenesvonalú egyenletesen lassuló mozgással mozog és meghatározott idő után megáll (3.9.a.) ábra). Hasonlóan történik ez a kiskocsival (3.9.b.) ábra), vasúti vagonnal, stb. Mindegyik példánál lényeges az, hogy minden test megtartja nyugalmi állapotát mindaddig, míg más testek nem hatnak rá, és az, hogy a mozgásba hozott testek tovább mozognak a ráhatás megszünte után is (pl. labdára ható láb, kiskocsi és kéz, a láb és a kerékpár hajtókarja, húzóerő ). A megállás a talajnak a rajta haladó testre gyakorolt hatása (súrlódás), és a levegő ellenállása (közegellenállás )miatt következik be. Feltehető a következő kérdés: mi történne, ha ezeket a hatásokat megszüntetnénk? A következő kísérletben megtalálhatjuk a feleletet. A ferdén elhelyezett vájaton fémgolyót gurítunk le. A lejtés vízszintes, homokkal beszórt alapon folytatódik. Amikor a golyó a vízszintes alapra jut, sebessége hirtelen lecsökken, a golyó a megállásig rövid utat tesz meg (3.10. ábra ). A golyó jóval hosszabb utat tesz meg amikor az alap fából van, mert akkor a golyó és az alap közötti súrlódás kisebb. Ha az alap üvegből van, a súrlódás még kisebb, a golyócska a leghosszabb utat teszi meg. Ebből arra következtetünk, hogy a golyócska végtelen hosszan mozogna, ha teljesen megszünne a levegő ellenállása és a súrlódás a golyócska és az alap között. Az ilyen és ehhez hasonló kísérletek alapján fogalmazta meg Newton a tehetetlenség, azaz a dinamika első törvényét: Minden test egyenesvonalú egyenletes mozgással halad, vagy relatív nyugalmi állapotban van, ha nem hatnak rá más testek ( vagy a többi test hatásai egymást megsemmisítik). Sok példát lehet felhozni arra, hogy a test relatív nyugalmi állapotban van, vagy egyenesvonalú egyenletes mozgással mozog, ha a más testek hatásai egymást megsemmisítik. Például a könyv az asztalon nyugszik (3.11. ábra ), de tudjuk, hogy azt vonzza a Föld. E vonzás, az

asztalnak a könyvre való hatásával van megsemmisítve ( az alap reakcióereje ). Amikor az utazótáskát tartjuk a kezünkben , a kezünk izomereje és a táska súlyereje kölcsönösen megsemmisítik egymást. A tehetetlenség törvényének több fajta jelentősége van a fizikában. Mindenek-előtt felfedezi a testek a testek alapvető tulajdonságát - a tehetetlenséget. Azután megmutatja a nyugalmi állapot és az egyenesvonalú egyenletes mozgás egyenértékűségét, mert mindkét állapot úgy érhető el, ha egy és ugyanaz a feltétel teljesül: más testek hatásai kizártak, vagy pedig egymást megsemmisítik. Végülis ez egy univerzális törvény: minden testre és részecskére alkalmazható, a csillagok és bolygóktól a Földön lévő testekig, atomokra, protonokra, elektronokra.

NEWTON MÁSODIK TÖRVÉNYE Newton második törvénye egyike a mechanika alaptörvényének.Kapcsolatot létesít olyan fontos fizikai mennyiségek között, mint: erő, tömeg és gyorsulás, általánosan fogalmazva az erő és a lendületváltozás sebessége között. A gyorsulás, tömeg és sebesség közötti kapcsolatot a következő módon lehet megállapítani: Könnyű kiskocsit helyeznek a vízszintes, lecsiszolt sínekre (így a súrlódás elhanyagolható). A kiskocsi erőmérőn keresztül elhanyagolható tömegű, megnyújthatatlan fonallal van összekötve, amely egy csigán van átvetve (3.12. ábra). Ha a fonálra súlyt akasztanak, a kiskocsi megindul, az erőmérő pedig mutatja a feszítőerő értékét, amely a kiskocsi mozgását előidézi. A milliméteres beosztású mérőszalag és az idő pontos mérése lehetővé teszi a kiskocsi által megtett utak és a megfelelő időtartamok mérését. Ha az asztal hosszán, időmérővel összekötött fényérzékelők vannak elhelyezve, a mérési adatok jóval pontosabbak lesznek. A kiskocsi gyorsulása az azonos időtartamok alatt megtett távolságok segítségével számítható ki. A kiskocsi és a súlyok tömegét mérleggel mérik meg. A fonálra akasztott súlyok tömegének cseréjével változik a fonalat feszítő erők értéke, s ezzel a kiskocsi gyorsulása is. A mérések azt mutatják, hogy a kiskocsi gyorsulása egyenesen arányos az erő értékével, amit az erőmérő mutat: a~F .

Amikor a kiskocsira súlyokat tesznek, hogy megváltozzon (növekedjen) a kiskocsi tömege, a mérések azt mutatják, hogy a kiskocsi gyorsulása fordítottan arányos a tömeggel : 1 a~ . m Egyesítve az előző kifejezéseket és figyelembe véve , hogy az erő vektoriális mennyiség, kapjuk: F a . m A test gyorsulása arányos a ráható erővel és fordítottan arányos a test tömegével.

ma  F .

Vagy:

A tömeg és a gyorsulás szorzata egyenlő azzal az erővel, amely erre a testre hat. Ez Newton második törvényének egy lehetséges meghatározása. Ha a testre több erő hat, a tömeg és a gyorsulás szorzata akkor az erők eredőjével egyenlő. Az erő mértékegysége a newton ( N ). Egy newton az az erő, amely egy kilogram tömegű testnek egy méter per m másodperc a négyzeten gyorsulást ad ( N  kg ). s2 A kiskocsival végzett kísérleteknél (3.12. ábra) egy mennyiség (erő vagy a tömeg) mindig állandó volt. Közben a test tömege nem kell, hogy mindig állandó legyen. Például a nedves levegőben eső esőcsepp tömege állandóan nő. Változó tömegük van a reaktív rakétáknak is: a rakéta motorja az elégett üzemanyagból keletkezett gázokat eltávolítja. Ezek a gázok reaktív erővel hatnak a rakétára, így az a gázok kiáramlásával ellentétes irányba halad. Ezekben és hasonló esetekben nem alkalmazható Newton második törvényének ez a meghatározása. Ezért szükséges a dinamika alapegyenletének az általánosabb meghatározása. ma  F Az kifejezésből következik : m





v v v mv2  mv1 m 2 1  F t t t

p2  p1 F . t

;

p F. t A test lendületváltozásának és az időtartamnak a hányadosa egyenlő a testre ez idő alatt ható eredő erővel. Ha a t tetszőlegesen nagy időtartam, akkor azt az átlagerőt veszik, amelyik ez időtartam alatt a testre hatott. Ha a t időtartam nagyon kicsiny (időpilllanatnak vehető), akkor pedig azt az erőt vesszük, amely abban a pillanatban hat a testre.

Végül :

A DINAMIKA ALAPEGYENLETE A testre egyidőben több erő is hathat. Ekkor eredő erő egyenlő a testre ható összes erők vektoriális összegével. Ebben az esetben a haladó mozgásra Newton második törvénye a következő alakban írható:

ma  F  F1  F2  F3  ... Fn . Ha a testre egyidejűleg több erő hat, akkor a test gyorsulása megegyezik azzal a gyorsulással, amit a megfelelő eredő erő adna neki. A fenti kifejezés a testek haladó mozgására vonatkozó dinamika alapegyenlete. A dinamika alapfeladata az, hogy meghatározza a test (anyagi pont) mozgástörvényeit, a ráható erők és kezdeti feltételek ismeretében. Kezdeti feltételek alatt értjük a helykoordináták és sebesség, vagy lendület ismeretét, abban a pilllanatban, amikor a test ( részeske) mozgása elkezdődik, azaz a t  0 pillanatban. E feladat általános alakban történő megoldásához szükségszerűen a mechanika alapegyenletéből kell kiindulni. Newton mésodik törvénye alapján meghatározható a test (anyagi pont gyorsulása). Azután az ismert kinematikai képletek segítségével megtalálhatók a megfelelő kifejezések az idő függvényében az anyagi pont sebességére és pályájára. Ha például ismertek a Nap és bolygók között ható kölcsönhatási erők, azok helykoordinátái és sebességei az adott időpillanatban (kezdeti feltételek), akkor ezek mozgás – pályái egyértelműen meghatározhatók. Előreláthatóak olyan jelenségek, mint a Nap – és Holdfogyatkozás, az az idő, amikor a Föld (vagy másik bolygó) legkisebb távolságra lesz a Naptól stb. Ha tudjuk a kozmikus rakéta indulási sebességét és helykoordinátáit adott pillanatban és ismerjük a ráható erőket, akkor meghatározhatjuk ennek helyét bármely későbbi időpillanatban, majd előreláthatjuk a leszállásának helyét és idejét. Ugyanez állapítható meg a testek (részecskék) bármely másfajta mechanikai mozgásaira is.

NEWTON HARMADIK TÖRVÉNYE ( HATÁS ÉS ELLENHATÁS TÖRVÉNYE ) Amikor megpróbálunk egy nehéz asztalt elmozdítani, érezzük, az asztal is hat ránk (3.13. ábra). Ha az asztal eléggé masszív, az alap, amelyen állunk pedig síma, akkor az asztal helyett mi kezdünk hátrafelé csúszni. A mágnes vonzza a vastárgyat, de az is vonzza a mágnest. A mérések azt mutatják, hogy az erők, amelyek a mágnesre és a tárgyra hatnak egyenlő értékűek, hatásvonaluk közös, de ellentétes irányításúak (3.14.ábra). Általában, ha egy test hat egy másik testre, akkor az a másik is hat az elsőre. Az erő, amellyel egyik test hat a másikra, egyenlő nagyságú és hatásvonalú, mint az erő, amellyel a másik test hat az elsőre, de ellentétes irányítású : F1, 2   F2,1 .

Ez a képlet fejezi ki Newton harmadik törvényét (hatás és ellenhatás vagy akció és reakció törvénye - a fordító megjegyzése). Általában az adott test hatását egy másik testre hatóerőnek (röviden hatás – ford. megjegyz.), míg a másik test hatását az elsőre reakcióerőnek (ellenerőnek – ford. megjegyz.) nevezzük (3.15. ábra). Innen az elnevezés, amikor Newton harmadik törvényét akció és reakció ( hatás – ellenhatás ) törvényének nevezik. A hatóerő megegyezik az ellenerő értékével és hatásvonalával, de ellentétes irányítású. Fa  Fr . Newton harmadik törvénye azt mutatja, hogy a testek kölcsönhatásai folytán az erők mindig párban 3.15. ábra Hatóerő és ellenerő jelentkeznek. Ezek egyszerre jelennek meg és tűnnek el és egyforma természetűek. A hatóerő és az ellenerő által keletkezett gyorsulások is ellentétes irányúak. Ki kell hangsúlyozni, hogy azok az erők, amelyekről Newton harmadik törvényében szó van , más – más testeskre hatnak, ezért egymás hatását nem semmisíthetik meg. Egymást csak azok az erők semmisíthetik meg, amelyek egyazon testre hatnak.

TEHETETLENSÉGI VONATKOZTATÁSI RENDSZER Két vonatkoztatási rendszert figyelünk meg: az egyik az állomáson nyugalomban lévő vonathoz kötött (3.16. ábra), a másik pedig az állomásról gyorsulva kiinduló vonathoz kötött (3.17. ábra). Utasok ülnek mindkét vonatban. Az első vonatban levő utas nyugalmi helyzetben van az állomáshoz , azaz a Földhöz képest. A ráható erők egymást megsemmisítik (melyek ezek az erők ?). A másik vonatban levő, azaz a gyorsuló vonathoz kötött vonatkoztatási rendszerből, az utas számára az első vonatban lévő utas nincs nyugalmi állapotban, hanem a vonattal együtt, egyenletesen gyorsulva mozog, az állomást elhagyó vonathoz viszonyítva ellentétes irányban. Voltunk már ilyen helyzetben, hogy erről meggyőződhettünk. Ez azt jelenti, hogy az

állomásról gyorsulva kiinduló másik vonathoz kötött vonatkoztatási rendszerben levő megfigyelő számára nem érvényes a tehetetlenség törvénye, mert az első vonatban levő utas mozog, szintén gyorsulva (a gyorsulás értéke ugyanaz), de ellenkező irányba. A tehetetlenség törvényének, azaz Newton a mechanikára vonatkozó első törvényének lényege abban rejlik, hogy az rámutat a vonatkoztatási rendszerek lényeges tulajdonságára, amellyel azok egymástól különböznek. Ez a törvény kétfajta vonatkoztatási rendszert határoz meg : a tehetetlenségi - (inercia) és a nem tehetetlenségi (nem inerciális) rendszert . Az olyan vonatkoztatási rendszereket, amelyekben érvényes a tehetetlenség törvénye, tehetetlenségi rendszereknek, vagy inerciarendszereknek (a ford. megjegyz.) nevezzük, vagy: Azokat a vonatkoztatási rendszereket, amelyekben a testek nyugalomban vannak, vagy egyenesvonalú egyenletes mozgással mozognak, amikor rájuk más testek nem hatnak, vagy azok hatásai kölcsönösen megsemmisítik (kompenzálják) egymást, tehetetlenségi, vagy inerciarendszereknek nevezzük. Azok a vonatkoztatási rendszerek, amelyek egyenesvonalú egyenletes mozgásal mozognak az adott tehetetlenségi rendszerhez viszonyítva, szintén inerciarendszerek. Ezek szerint nagyon sok inerciarendszer létezik. Például, ha a Földet tehetetlenségi rendszernek vehetjük, akkor az lesz a vonat is amely egyenletesen mozog egyenes síneken, a hajó, amely egyenletesen halad egyenes útvonalon, a repülő és a rakéta, amelyek állandó sebességgel szállnak egyenes vonalon a Földhöz viszonyítva .

A MOZGÁS GALILEI – FÉLE RELATIVITÁSI ELVE Galileo Galilei az ismert olasz fizikus és csillagász a pisai ferdetoronyból tanulmányozta a testek szabadesését. Meghatározta a szabadesés törvényét és a mozgások összegezésének törvényét. Két alapvető mechanikai elvet állapított meg, amelyeknek jelentős szerepük volt a fizika fejlődésében : a mechanikai mozgások relativitásának elve és a Föld – gyorsulás (nehézségi gyorsulás – ford. megjegyz.) állandóságának elve (vákuumban minden test egyenlő gyorsulással rendelkezik). Bevezette a tehetetlenségi rendszer fogalmát. Galilei kopernikuszi tanokat, azaz a Nap – középpontú rendszert képviselte és sokban hozzájárult ahhoz, hogy Nikola Kopernikusz felfogása kiszorítsa

azokat a téves elgondolásokat, hogy a Föld a mi világunk középpontja. Ezért Rómában az inkvizíció bírósága elé hurcolták, és börtönbüntetésre ítélték, ahol néhány évet el is töltött. Galilei szerepe a fizika történetében nagyon nagy. Newtonnal együtt megalapította a klasszikus mechanikát. A kísérletek bevezetésével és azok eredményeinek elméleti feldolgozásával Galilei elsőként igazolta, hogy a fizika kísérleti – elméleti tudomány. Meg lehet – e különböztetni egymás között a tehetetlenségi rendszereket? Van – e a legjobb, vagy valami más tehetetlenségi rendszer, amelynek akármilyen előnyei vannak a többiekkel szemben? A mechanikai mozgás relativitásának elve ad erre választ, amelyet még Galilei – féle relativitási elvnek is hívnak. Amikor az egyenesvonalú egyenletes mozgással haladó vonat vagonjában vagyunk, az ablakon át látjuk, hogy hogyan haladnak el előtte a telefonoszlopok. Azonban, amit látunk, az többféleképpen megmagyarázható. Állíthatjuk azt is, hogy az oszlopok a vonat irányával ellentétes irányba mozognak, a vonat pedig álló helyzetben van. Valójában csak az oszlopok és a vonat relatív mozgásáról beszélhetünk. Még nehezebb megállapítani a mozgásállapotunkat, amikor repülőben vagyunk és az nagy magasságban egyenesvonalú egyenletes mozgással halad. Gondoljuk el, hogy egyenesvonalú egyenletes mozgással haladó repülőben vagyunk. Az utasoknak nincs szükségük semmilyen külön megerőltetésre, hogy álló helyzetben megtartsák egyensúlyukat, úgy, mint amikor a repülő nyugalmi állapotban van. Milyennek látszik az utas által elejtett tárgy mozgása a repülőben, ha az egyenesvonalú egyenletes mozgással halad? A tárgy szabadon esik, ugyanúgy, mint amikor a repülő nyugalmi állapotban van. Ugyanazon magasságról leejtett test, mindkét esetben , függőleges vonalon esve, ugyanannyi idő alatt ér le a padlóra . Ha az utas a nyugalomban levő repülőben 2m messzire ugrik , akkor ugyanekkorát tud ugrani abban a repülőben is, amely egyenesvonalú egyenletes mozgással halad. Az ugrás távolsága semmivel sem lesz hosszabb , ha az ugrás a repülő haladási irányában történt, sem pedig rövidebb, ha az ugrás ellenkező irányú. A billiárd golyó, vagy ping – pong labda mozgása játék közben, az állandó, pl. 800 km/h sebeséggel egyenes vonalon mozgó sugárhajtású repülőgépben ugyanaz, mint abban az esetben, amikor a repülő a kifutópályán áll. A matematikai inga mindkét esetben ugyanúgy leng . A repülő helyett a kísérletek elvégezhetők vonaton, hajón vagy bármely más szállítóeszközön. Galilei hasonló kísérleteket végzett a nyugvó hajón és amikor az egyenesvonalú egyenletes (állandó sebességű) mozgással mozgott. Mindezek és ezekhez hasonló kísérletek azt mutatják, hogy nem létezik egyetlen mechanikai jelenség sem, amely a megfigyelő számára lehetővé tenné, hogy az megállapítsa, vajon ő és a saját vonatkoztatási rendszere egyenesvonalú egyenes mozgással halad-e, vagy pedig nyugalmi állapotban vannak. A mechanikai jelenségek megfigyelése alapján tehát nem lehet különbséget tenni az egyenesvonalú egyenletes mozgásállapot és a testek nyugalmi állapota között. Ezeken a tényeken alapul a természet egyik alaptörvénye – a mozgás relativitásának elve. Minden tehetetlenségi vonatkoztatási rendszerben a mechanikai jelenségek azonos módon történnek . Mivel a mechanikai mozgásokat (jelenségeket) a mechanika törvényei (Newton törvények) alapján írják le, így a mozgások relativitásának elve a következő módon is meghatározható: A mechanika törvényei az összes tehetetlenségi vonatkoztatási rendszerben ugyanolyan matematikai alakban adhatóak meg .

A klasszikus mechanika törvényei függetlenek a tehetetlenségi vonatkoztatási rendszertől. Ez azt jelenti, hogy az összes tehetetlenségi vonatkoztatási rendszer egyformán „jó”, „ egyenértékű ”, „egyforma ” és hogy nem létezik egyetlen kiemelt tehetetlenségi vonatkoztatási rendszer sem. A relativitás – elv kifejezi a természet egyik legalapvetőbb tulajdonságát: a klasszikus mechanika törvényeinek (Newton törvényeinek) függetlenségét a tehetetlenségi vonatkoztatási rendszerektől. A mechanika törvényei függetlenek a tehetetlenségi rendszerektől. A klasszikus mechanika kísérletei a különböző tehetetlenségi rendszerekben azonos körülmények között ugyanazokat az eredményeket adják. A testek (részecskék) abszolút nyugalmi állapotának és az abszolút egyenesvonalú egyenletes mozgásainak fogalmai meg lettek fosztva fizikai értelmezéseiktől . A mozgások relativitás – elvének következményei a következők: A testek tömege, köbtartalma és dimenziói bármely tehetetlenségi rendszerben változatlan marad. Nem változnak az adott jelenségek lejátszódására szolgáló idők (időtartamok ) sem. Az erő, gyorsulás és helyzeti energia ugyancsak állandó marad. Azonban ugyanazon mozgás többi jellemzője különböző tehetetlenségi rendszerekből szemlélve nem lesz egyforma. Helyzet, pálya, megtett út, sebesség, lendület és mozgási energia nem azonosak. Például az egyenesvonalú egyenletes mozgással haladó repülőből kiejtett testnek, a Földön levő megfigyelő számára, görbevonalú pályája van, míg a repülőben levő utas számára a test függőlegesen (a pálya egyenes vonal) esik, amint azt a 3.18. ábra mutatja.

A NEM–INERCIÁLIS VONATKOZTATÁSI RENDSZEREK INERCIÁLIS ERŐK Az erőről és a Newton dinamika törvényeiről szerzett tudásunk akkor lesz teljes, ha a nem–inerciális vonatkoztatási rendszereket is áttanulmányozzuk . A testek (anyagi pontok) mozgása mindig megfigyelhető egy tehetetlenségi vonatkoztatási rendszerhez viszonyítva. Azonban sok feladat egyszerűbben megoldható, ha a mozgást nem-inerciális rendszerből figyelik meg. Az olyan vonatkoztatási rendszert, amely valamely tehetetelenségi rendszerhez viszonyítva gyorsuló mozgást végez, nem-inerciális vonatkoztatási rendszernek nevezzük.

A nem–inerciális rendszereket olyan testekhez kötik , amelyek változó sebességgel, vagy görbevonalú pályán mozognak. Az autó, a vonat, repülő és rakéta, amikor mozogni kezdenek, vagy megállnak, amikor növelik, vagy csökkentik a sebességüket, valamint görbevonalú pályán mozognak, mindezek a nem – inerciális vonatkoztatási rendszerekre jellemző példák. A tehetetlenségi és nem– inerciális rendszerek között lényeges különbségségek vannak. Azok a testek, amelyek a tehetetlenségi rendszerekhez képest állandó sebességgel mozognak, a nem–inerciális rendszerekhez képest változó sebességgel haladnak. Ha ugyanazon test mozgását megfigyeljük az egyik és másik vonatkoztatási rendszerben is, még jelentősebb különbségeket állapíthatunk meg. Legyen a nem–inerciális rendszer egy nagyon hosszú, motoros járműhöz kötve, amely vassíneken, egyenesvonalúan mozog, állandó a gyorsulással az állomáshoz, vagy a sínek melletti helyhez kötött tehetetlenségi rendszerhez viszonyítva. A szerelvény padozatán , amely eléggé le van csiszolva ahhoz, hogy a súrlódás elhanyagolható legyen, két m és M tömegű test van. Az m tömegű test (D) erőmérőn keresztül a jármű kabinjához van erősítve, míg a M tömegű test szabad. A sínpár mellett levő megfigyelő (tehetelenségi vonatkoztatási rendszer) azt látja, hogy az m tömegű test a járművel együtt a gyorsulással mozog, míg a M tömeg a sínekhez viszonyítva nyugalomban van (3.19. a.) ábra). A járművön levő megfigyelő (nem–inerciális rendszer) egészen mást lát: az m tömegű test nyugalomban van (nem mozdul el a járműhöz viszonyítva), míg a M tömegű test a jármű hátulja felé mozog a M   a gyorsulással a járműhöz viszonyítva (3.19. b. ) ábra ). Mindkét megfigyelő azt látja, hogy az erőmérő F nagyságú erőt mutat. A tehetetlenségi rendszerben (állomás , sínek melletti hely ) levő megfigyelő észrevételei a Newton–féle dinamika törvényeivel összhangban vannak. Az m tömegű test a gyorsulással halad, mert hat rá az erőmérő rugójának megnyúlásából eredő F elasztikus erő, így az F  ma megegyezik Newton második törvényével. A M tömegű test nyugalomban van, mivel erre semilyen erő nem hat (a test és az

alap között nincs súrlódás), így ez is megegyezik Newton első törvényével (tehetetlenség törvénye). A nem–inerciális rendszerben lévő megfigyelő számára a M tömegű test gyorsuló mozgást végez, habár nem hat rá semilyen erő, ez ellentmond a tehetetlenség törvényének. Az m tömegú testre hat az erőmérő megnyúló rugójának F elasztikus ereje, mégis a megfigyelő számára az nyugalomban van, ami ellentmond a dinamika, azaz Newton második törvényének. Ugyanilyen megállapításra jutunk, ha a forgásban levő, vagy görbevonalú pályán mozgó testek mozgását figyeljük meg, ezekhez a testekhez rögzített vonatkoztatási rendszerekből. A nem–inerciális vonatkoztatási rendszerekben nem érvényesek a Newton–féle mechanika törvényei. A nem-inerciális rendszerekben levő megfigyelők számára a testek sebessége akkor is megváltozhat, ha nincs kölcsönhatás és fordítva: A kölcsönhatás nem kell, hogy a testek sebesség- vagy alakváltozását (rugó) okozza.

A TEHETETLENSÉGI ERŐ (INERCIÁLIS ERŐK) Át lehet-e a Newton-féle dinamika törvényeit úgy alakítani, hogy azok a neminerciális rendszerekben is alkalmazhatóak legyenek ? Kiderült , hogy ez lehetséges , ha az erő fogalmát kibővítik, azaz ha erő, mint a testek kölcsönhatásának mértéke, megfogalmazás mellett bevezetik az ún. inerciális erők (vagy tehetetlenségi erő) fogalmát. A nem-inerciális vonatkoztatási rendszerekben a reális erőkön kívül létezik tehetetlenségi erő is, amely nem a testek kölcsönhatásából ered, hanem a vonatkoztatási rendszer gyorsuló (lassuló) mozgásának következménye. A tehetetlenségi erő meghatározása levezethető a nem-inerciális rendszer az a gyorsulással, gyorsuló mozgást végző motoros jármű, előző példája alapján. Habár a M testre nem hatnak más testek (pontosabban azok hatásai egymást kölcsönönösen megsemmisítik), az mégis abban a vonatkoztatási rendszerben  a gyorsulással mozog. Erre a mozgásra Newton második törvénye csak úgy lesz érvényes, ha a testre F i   M a erő hat. Ez az M tömegű testre ható inerciális erő. A járműhöz képest a m tömegű test nyugalomban van, így erre a „reális ” elasztikus F erő mellett kell hogy hasson az F i  ma inerciális erő, a tehetetlenség törvényével (Newton első törvénye) összhangban. Ekkor azonban a m testre ható eredő erő nullával egyenlő, azaz F  F i  0 . Ez azt jelenti , hogy a m tömegű testre ható inerciális erő F i  ma . A tehetetlenségi erő a test tömegétől és annak a nem-inerciális vonatkoztatási rendszernek a gyorsulásától függ, amelyhez képest a megfigyelést végzik. Bármely tehetetlenségi rendszerhez viszonyítva e gyorsulás értéke mindig ugyanaz. Ezek szerint a nem-inerciális vonatkoztatási rendszerben az „ igazi ” reális, az „ igazi ” arra érthető, hogy az erő a testek kölcsönhatásának mértéke, erők mellett még a ” fiktív „ ( fiktív : feltételezett – ford megjegyz.) tehetetlenségi erő (inerciális erő) is hat. Az inerciális erő a vonatkoztatási rendszer gyorsuló mozgásából ered és csak a neminerciális rendszerben hat a testekre. Az inerciális erő számértéke a test tömegének és a rendszer gyorsulásának szorzatával egyenlő, hatásvonala ugyanaz, mint a rendszer gyorsulásának a hatásvonala, iránya pedig ellentétes : F i  ma .

Az inerciális erő egyenlő a test tömegének és annak a vonatkoztatási rendszer gyorsulásának a szorzatával, amelyhez viszonyítva a mozgást leírják. Ahhoz, hogy Newton első és második törvénye alkalmazható legyen a nem-inerciális rendszerekben is, figyelembe kell venni az inerciális erőket, amelyek csak a nem-inerciális rendszerekben léteznek. Ha m a megfigyelt test tömege; a i pedig annak a nem-inerciális vonatkoztatási rendszerhez viszonyított gyorsulása, F pedig a testre ható összes reális erők erdője, akkor a Newton dinamikára vonatkozó második törvénye ebben a vonatkoztatási rendszerben: F  F i  mai , ahol F i az az inerciális erő, amely abban a vonatkoztatási rendszerben hat a megfigyelt testre. Említettük már, hogy F i  ma , ahol a az a gyorsulás, amellyel a nem-inerciális rendszer mozog. Ezért a nem-inerciális rendszerekre vonatkozó Newton második törvénye, így is felírható: F  ma  ma i . A nem-inerciális vonatkoztatási rendszerben kivétel nélkül minden test ki van téve az inerciális erők hatásának . Láttuk, hogy az inerciális erő a vonatkoztatási rendszer gyorsuló mozgásának a következménye, azaz nem a testek kölcsönhatásából ered. Ezért az inerciális erőre nem alkalmazhatók Newton mechanikai törvényei. A nem-inerciális rendszerben levő megfigyelő megállapíthatja saját rendszerének gyorsuló mozgását az inerciális erők mérése alapján. A nem-inerciális rendszerek gyorsulása meghatározható az inerciális erők mérésével a reális erők ismeretében. Adott nem-inerciális vonatkoztatási rendszerben az inerciális erők hatására minden testnek, tömegüktől függetlenül, azonos gyorsulása van. E gyorsulás értéke megegyezik a vonatkoztatási rendszer gyorsulásával, de ezzel ellentétes irányú. Az inerciális erővel naponta találkozunk: vonat, autóbusz, autó hirtelen megindulásakor vagy fékezésekor az utasok hátra vagy előre lendülnek . Ezt minden nap átéljük, de különösen akkor, ha a városi közlekedés autóbuszain vagy villamosain utazunk. Az utasok részéről (nem inerciális rendszerben lévő megfigyelők) a hátra, vagy előre „lökődés” az inerciális erők hatásának következményei. A sinek vagy az út mellett álló megfigyelő (a tehetetlenségi rendszerben lévő megfigyelő) számára a „lökődések” az utasok tehetetlenségének a következménye. Az inerciális erő, nem reális (fiktív, feltételezett) erő abban az értelemben, hogy nem a más testek hatására jött létre, de a tehetetlenségi erőnek reális effektusai (következményei) vannak. Ennek hatása valóban létezik (jól érzik ezt az utasok) az autóbusz (vonat) indulásakor, hirtelen fékezéskor minden útkanyarban. Mivel a tehetetlenségi erő nem a testek kölcsönhatásával jön létre, így a nem-inerciális rendszerben nem érvényes Newton harmadik törvénye sem: a „hatóerőnek” vett tehetetlenségi erőnek nincs „ ellenereje”.

A KÖRMOZGÁS DINAMIKÁJA A CENTRIPETÁLIS ERŐ Egyenletes körmozgásnál a test (anyagi pont) sebességének értéke állandó. A sebesség hatásvonala viszont szüntelenül változik és ez idézi elő, hogy az ilyen mozgás változó (gyorsuló) legyen. A körpálya középpontja felé irányuló gyorsulás ( centripetális gyorsulás) értéke: v2 ac  , r ahol: v a test sebességének az értéke, r pedig a körpálya sugara. Az ac gyorsulással mozgó testere Newton második törvénye szerint Fc erő hat (3.20.ábra), így : Fc  mac ,

ahol: m- a test tömege. Az Fc erő ugyanolyan hátásvonalú és irányú, mint az ac gyorsulás, tehát mindig a körpálya középpontja felé irányul: Ezért hívják centripetális erőnek. Az értéke Fc a következő: mv 2 Fc  ma c  . r

A centripetális erő arányos a test tömegének és a sebesség- négyzetének a szorzatával, de fordítottan arányos a körpálya sugarával, és a kör középpontja felé irányított. Centripetális gyorsulást eredményezhet a testre erősített megnyújtott rugó elasztikus ereje (3.21.ábra). A Föld Nap körüli keringése, a Hold és a műholdak Föld körüli keringését a Nap és a Föld gravitációs erői teszik lehetővé (3.22.ábra). Minden erő, eltekintve annak természetétől (elasztikus, mágnese, gravitációs, surlódási erő), lehet centripetális erő, ha annak hatása mindig egy pontba irányul. A centripetális elnevezés nem az erő

természetére vonatkozik, hanem arra, hogy ennek az erőnek a hatása a test egész pályája mentén ugyanazon pontba irányul.

CENTRIFUGÁLIS ERŐ A nem inerciális rendszer vizsgálatánál megállapítást nyert, hogy minden tehetetlenségi rendszerben viszonyított, gyorsuló mozgással haladó vonatkoztatási rendszerben hat az inerciális erő. Az egyenletes körmozgást végző testhez kötött vonatkoztatási rendszernek van merőleges (centripetális) gyorsulása. Ez azt jelenti, hogy ebben a rendszerben inerciális erő hat. Azt az inerciális erőt, amely a körmozgást végző vonatkoztatási rendszerben hat, centrifugális erőnek hívjuk. A centrifugális erő hatásvonala megegyezik a körpálya sugarával, iránya pedig a középpontból kifelé, ellentétes a merőleges (centripetális) gyorsulás irányával (3.23.ábra). A következő képlet (úgy mint a centripetális erőnél is) meghatározza a centrifufális erő értékét: mv 2 Fcf   mr  2 , r ahol: m- a test tömege, r- a körpálya sugara,  - a vonatkoztatási rendszer forgásának szögsebessége. A centripetális és a centrifugális erők más-más eredetűek. A centripetális erő reális erő (a testek kölcsönhatásaként jön létre), míg a centrifugális erő, mint minden más inerciális erő nem reális (fiktív) abban az értelemben, hogy nem a más testek hatásaként jön létre, de effektusai (hatásai) reálisak (kézzel foghatóak). Ezt igazolja a centrifugális erő hatásait alkalmazó sokszámú példa. A centrifugális szeparátorokat a különböző tömegű részecskék szétválasztására használják (elválasszák az iszapot a víztől, kiválasszák a sókat a vízből, a zsírokat a tejből, a vér összetevőit,stb.). A mosógép működése is a centrifugális erő alkalmazásának elvén alapul. Ki kell hangsúlyozni, hogy a centripetális és a centrifugális erők lényegesen különböző vonatkoztatási rendszerekben hatnak. A tehetetlenségi (laboratóriumi) rendszerben csak a centripetális erő létezik, míg a neminerciális rendszerben, csak a centrifugális erő. Nem történhet meg az, hogy egy rendszerben mindkét erő létezik. Ezért a centripetális és a centrifugális erők nem semmisíthetik meg egymást.

AVEKTOROK SKALÁRIS ÉS VEKTORIÁLIS SZORZATA A VEKTOROK SKALÁRIS SZORZATA

Az összetettebb fizikai mennyiségek meghatározásához szükség van a vektorok skaláris szorzására. Legyenek a b és c szabad vektorok közös támadáspontúak. A skaláris szorzatot szimbólikusan a szorzandó vektorok közé tett ponttal jelölik. Két vektor skaláris szorzata skalár (skaláris mennyiség). Két vektor b és c skaláris szorzataként skaláris mennyiséget ( a ) kapunk. a = bc Két vektor skaláris szorzata egyenlő az egyik vektor számértékének és a másik vektornak az első vektorra vett vetületének a szorzatával, azaz: a  b  cb ,

ahol cb a c  nak a b -re vett vetülete. Ha a b és c vektorok hegyes szöget zárnak be, skaláris szorzatuk pozitív, tompa szögek esetében a skaláris szorzat negatív (3.25.ábra), azaz: a  b  cb . Ha a vektorok egymásra merőlegesek, akkor cb = 0, ezzel együtt a = 0. A skaláris szorzat értéke a b és c vektorok értékétől és azok egymáshoz viszonyított elhelyezkedésétől függ. A skaláris szorzat egyik tulajdonsága a felcserélhetőség (kommutatív tulajdonság), azaz: a  b  c  c  b. Ez valójában azt jelenti, hogy: a  b  cb  bc  c,

ahol bc a b vektornak a c vektor irányára húzott vetületét jelenti (3.26.ábra). A vektor önmagával való skaláris szorzata egyenlő a vektor nagyságának négyzetével, azaz: b  b  b2 Két vektormennyiség jellegzetes skaláris szorzataként

definiált fizikai mennyiség a munka ( A  F  r ), ahol F a munkát végző erő, a r pedig a test elmozdulása (a munka skaláris mennyiség).

KÉT VEKTOR VEKTORIÁLIS SZORZATA Az a és b vektorok vektoriális szorzata c vektorral egyenlő, amit szimbolikusan így írnak le: a x b = c.

A c vektor nagysága számbelileg megegyezik az a és b vektorokra szerkesztett paralelogramma területével (azaz, hogy az a és b vektorokat közös támadáspontba

kell hozni). A c vektor hatásvonala merőleges az a és b vektorok által meghatározott síkra. A c vektor irányítása a jobbsodrású csavar-szabállyal van meghatározva: a c vektor irányítása megegyezik azzal az iránnyal, amerre a jobbsodrású csavar haladna, amikor az a vektort a legrövidebb úton a b vektor felé forgatjuk (3.27.ábra). Két kollineáris vektor vektoriális szorzatának értéke nulla. Ekkor az a és b vektorok fedik egymást (egy egyenesen vannak) így a rájuk szerkeszthető paralelogramma területe nulla. A vektoriális szorzat definíciójából következik, hogy ez a szorzat nem kommutatív tulajdonságú, azaz: b x c = - cx b . Példaként két vektor vektoriális szorzarása, álljon itt a szögsebesség és a kerületi sebesség viszonya. A 3.28.ábrán fel vannak tüntetve azok a vektorok, amelyek kielégítik a következő feltételt:

v   x r.

Ezek szerint v    r (ha az r rádiusz-vektor és az  szögsebesség vektora közötti szög 900 ). Tehát a szögsebesség vektorának hatásvonala merőleges a kör síkjára, irányítása pedig a jobbsodrású csavar-szabállyal van meghatározva.

A FORGÓMOZGÁS DINAMIKÁJA A FORGATÓNYOMATÉK Amikor az erő, vagy több erő hatására történő mozgásokkal foglalkoztunk, akkor a testeket általában anyagi pontoknak tekintettük. Nem vezettünk számot a testek kiterjedéséről, alakjáról és szerkezetéről. Megállapítottuk, hogy a testet anyagi pontnak vehetjük, ha annak kiterjedése elhanyagolható a megtett úthoz képest. A test anyagi ponttal (részecskével) azonosítható akkor is, ha annak minden része (pontja): egyenlő idő alatt egyenlő utat

tesz meg, ugyanaz a sebessége és a gyorsulása. Ebben az esetben a test bármely anyagi pontja (részecskéje) képviselheti az egész test mozgását. A test, csak akkor azonosítható anyagi ponttal, amikor az haladó mozgást végez. A forgómozgás esetében ezt nem lehet megtenni ( fizikai értelmét veszti). A 3.29.a.) ábrán látható testre az A pontban a tengelye irányában F erő hat. Ebben az esetben a test haladó mozgást fog végezni. ha ugyanez az erő az A pontban a tengelyre merőlegesen hat, a test nem fog haladó mozgást végezni. Csak egyetlen irányban lehet a testre az A pontban hatni, hogy az haladó mozgást végezzen. Ez vonatkozik a test összes pontjaira (részecskéire). A 3.29. b.) ábrán lévő testre okyan erők hatnak, amelyek hatásvonala áthalad a T (a test súlypontja) ponton, így ezek a test haladó mozgását idézhetik elő. Azoknak az erőknek a hatása, amelyek hatásvonala nem halad át a T (súlypont) ponton, a test forgatásában nyilvánul meg. Azt a pontot, amelyben a test haladó mozgását előidéző erők hatásvonalai metszik egymást a test súlypontjának nevezzük. Minden meghatározott nagyságú erő, amelynek hatásvonala nem halad át a test súlypontján (pl.a súrlódási erő hatásvonala) felboríthatja, vagy pedig a test forgását idézheti elő. Amikor a test mozgását az anyagi pont mozgásával azonosítottuk, akkor feltételeztük, hogy az erő (vagy több erő eredőjének) hatásvonala áthalad a test súlypontján. Ebben az esetben a test súlypontja a reális test „szerepét” veszi át. A testek forgását már az elemi iskolában egyszerű példákon (billenőhinta, egyszerű emelő, mérlegek, római mérleg) keresztül megfigyeltük. A testek forgásainak leírására akkor bevezettük a forgatónyomaték fogalmát mint az erő értékének és az erőkarnak a szorzatát. Az erőkar, a forgástengelytől az erő hatásvonaláig mért legrövidebb (merőleges) távolság. Megismertük az emelő egyensúlyi feltételeit is. Megismertük a testek forgómozgását jellemző (leíró) alapvető kinematikai mennyiségeket: szögelfordulás, szögsebesség, szöggyorsulás. Most áttekintjük a merev test forgómozgását (rotáció)leíró alapvető dinamikai törvényeket. Merev test alatt értjük azt a testet, amelynél a testet alkotó részecskék egymás közötti távolsága, nem változik (állandó marad) az erő, vagy erőhatások alatt. Ez a meghatározás alkalmazható a gyakorlatban és a technikában is, amikor a reális testek alakváltozásai elhanyagolhatóan kicsik. A haladó mozgásnál a test az erő hatásvonalának irányában gyorsulásra tesz szert. Az erő (vagy az erők eredőjének) hatásvonala, s ezzel együtt a haladó mozgásnál a test mozgásának iránya sem korlátozott (tetszőlegesek lehetnek). Ahhoz, hogy az a test, amely csak egy álló tengely körül foroghat, gyorsuló forgást végezzen a rá ható erőnek meghatározott irányúnak kell lennie, nem lehet tetszőleges irányú.

Figyeljük meg azt a különleges esetet, amikor a test forgása olyan tengely körül történik, amelynek helyzete a térben rögzített (mozdulatlan tengely). Az F erő, a homogén összetételű kerék külső peremén hat, merőlegesen az r sugárra (3.30.ábra). Azt a mennyiséget, amely a kerék forgását jellemzi forgatónyomatéknak hívjuk. Általában M a jele. A forgatónyomaték értéke ebben az egyedi esetben: M = rF. A forgatónyomaték értéke, az erő nagyságának és a forgástengelytől az erő támadáspontjáig mért legrövidebb távolság szorzatával egyenlő. Általában az erő nem merőleges az r sugárra, de felbontható két összetevőre: az egyik az r sugárral párhuzamos (annak meghosszabbítása) Fp , a másik pedig erre merőleges Fn (3.31.ábra). Az erő párhuzamos összetevője csak haladó mozgással mozdíthatja el a tengelyt, vagy azt deformálhatja, de nincs hatással a test forgására. Ennek az összetevőnek a nyomatéka nulla, így az F erő forgatónyomatéka csak a merőleges Fn összetevő forgatónyomatékával egyenlő: M = r∙Fn A két vektor vektoriális szorzatának meghatározása alapján belátható, hogy a

forgatónyomaték az r vektor és a F vektor vektoriális szorzatának az eredménye M rx F. A 3.31.ábrán a forgatónyomaték, mint vektorszorzat van geometriailag bemutatva. A forgatónyomaték nagysága a következő kifejezéssel van meghatározva:

M = r Ft , ahol r az erő támadáspontjához húzott rádiusz-vektor értéke, az Ft pedig az erő tangenciális összetevőjének az értéke; az M forgatónyomaték hatásvonala az r és F vektorok által meghatározott síkra merőleges, irányítása pedig a jobbsodrású csavar-szabállyal határozható meg. Tekintsük meg a 3.33.ábrán látható példát. Az ajtó a sarokvasakkal van felerősítve és ezeken halad át a forgástengely. A tengely függőleges. Az ajtó élére F erő hat úgy, hogy az erő hatásvonala merőleges, 900-os szöget zár be a r sugárral. A mozdulatlan tengely az ajtón lévő sarokvasakon halad át. Az az erő, amely a forgástengellyel párhuzamosan hat az ajtóra, nem gyorsíthatja az ajtó tengelykörüli mozgását, de az az erő sem, amely oldalról hat az ajtóra, merőlegesen a forgástengelyre nézve. Egyedül az az F erő (vagy egy másik erő összetevője),

amelynek hatásvonala merőleges az ajtó síkjára és egy bizonyos (r) távolságra van a forgástengelytől, tudja megváltoztatni az ajtó forgásának szögsebességét, azaz gyorsítani az ajtó forgását. A forgástengelytől különböző r távolságokban ható F erő, az ajtó különböző szöggyorsulásait hozza létre. Ezért a forgómozgás leírásához nem elég csak azt az erőt ismerni, amely a forgást létrehozza, hanem elengedhetetlenül szükséges a forgatónyomaték ( M ) ismerete. Tudjuk, hogy a forgatónyomaték függ az erő nagyságától és az erőkar hosszától. Ugyanaz a forgatóhatás-forgatónyomaték érhető el kisebb erővel, de hosszabb erőkarral, mint nagyobb erővel és rövidebb erőkarral. A képen látható fiú kisebb izomerővel, de a forgástengelytől mérve nagyobb távolságban hat az ajtóra. A forgatónyomaték mértékegysége a newton-szor-méter (Nm).

A TEHETETLENSÉGI NYOMATÉK A haladó mozgásnál a tömeg a test tehetetlenségének a mértéke. Ehhez hasonlóan, a forgómozgásnál a tehetetlenségi nyomaték a tehetetlenség mértéke. Mit lehet a rögzített forgástengely körül forgó testek (vagy amelyeket forgásba kell hozni, esetleg leállítani) tehetetlenségéről mondani? A kérdésre a feleletet egy olyan kísérlet alapján keressük meg, mint amilyen kísérlet alapján a haladó mozgás tanulmányozásánál a tömeg meghatározását sikerült megállapítani. Két azonos sugarú, egyik alumíniumból, a másik vasból készült korongot figyelünk meg (3.33.ábra). Ahhoz, hogy a korongok egyenlő szögsebességgel forogjonak, mindkettő peremére erővel kell hatni. Nem nehéz megállapítani, hogy az alumínium korong forgatásához kisebb értékű erőre van szükség. Ez azt jelenti, hogy a vaskorong tehetetlenebb (nehézkes), azaz nagyobb a tömege. Ha a korongok azonos tömegűek, akkor a kisebb vaskorongot könnyebb megforatni. Most ez a korong kevésbé nehézkes, kevésbé tehetetlen, az alumíniumból készült korong tehetetlenebb. Hasonló kísérletet lehet elvégezni egy koronggal és egy körgyűrűvel. Amikor az egyenlő tömegű és sugarú korongra és körgyűrűre ugyanakkora érintőirányú erővel hatnak, akkor a körgyűrű lassabban forog, az azt jelenti, hogy tehetetlenebb mint a korong. Az előző és hasonló kísérletek alapján megállapítható, hogy a testek tehetetlensége nem csak a tömegüktől függ, hanem annak a forgástengely körüli eloszlásától is. Ezért a forgómozgást végző testek tehetetlenségének a leírására új mennyiséget (a tömegnek megfelelő) vezetnek be. Ez a mennyiség a tehetetlenségi nyomaték. A tehetetlenségi nyomaték a forgómozgást végző test tehetetlenségének a mértéke. A tehetetlenségi nyomatékot a homogén összetételű kerék, szimmetria-tengelye körüli forgásának példáján keresztül vizsgáljuk (3.34.ábra). Felbontjuk a vizsgált kereket

m1,m2,m3,...mn tömegű részekre. Mindegyik részre (anyagi pontra) a megfelelő forgatónyomatékok hatnak, ezek hozzák létre a kerék mozgását (rotáció). Az m1 tömegű részecskére ható forgatónyomaték értéke: M1 = F1∙r = m1∙a∙r, ahol a a részecske tangenciális gyorsulásának értéke, amely a szöggyorsulás értékével a következő összefüggés szerint kapcsolódik. a  r Behelyettesítés után: M1 = m1∙r2 A m1∙r2 kifejezés az anyagi pont (részecske) tehetetlenségi nyomatéka a forgástengelyre vonatkoztatva, amelyet I1-gyel (I1= m1r2) fogunk jelölni. Általánosan: az anyagi pont tehetetlenségi nyomatéka, valamely forgástengelyre vonatkoztatva (3.35.ábra): I= m∙r2. Az anyagi pont valamely tengelyre vonatkoztatott tehetetlenségi nyomatéka egyenlő a tömegének és a tengelytől mért távolság négyzetének a szorzatával. A test (részecske) teljes tehetetlenségi nyomatékát egy kiválasztott tengelyre vonatkoztatva úgy kapjuk meg, hogy a testet alkotó részecskék tehetetlenségi nyomatékait összeadjuk. I= m1r2+ m2r2 +...+ mnr2= (m1+ m2 +...+ mn )∙r2, azaz. n

I= mr2, ahol m=  mi . i 1

A szimmetria-tengelye körül forgó homogén kerék (gyűrű) tehetetlenségi nyomatéka egyenlő a tömegének és a sugara négyzetének a szorzatával. A tehetetlenségi nyomaték jellemzi a forgó test (kerék) tehetetlenségét. A tehetetlenségi nyomaték mértékegysége a kilogram-szor-méter a négyzeten (kgm2). Általános esetben a tehetetlenségi nyomaték meghatározása nem egyszerű feladat. A geometriailag szabálytalan alakú, inhomogén összetételű testek tehetetlenségi nyomatékának a kiszámítása összetett matematikai feladat. Ezért sűrűn a tehetetlenségi nyomatékot csak kísérletekkel határozzák meg. A szabályos geometriai alakú és homogén testeknél is a tehetetlenségi nyomaték értéke különböző tengelyekre vonatkoztatva nem ugyanaz. A homogén és szabályos geometriai alakú testeknél a legegyszerűbb a tehetetlenségi nyomatékot a test súlypontján áthaladó tengelyre kiszámítani. A táblázatban néhány test tehetetlenségi nyomatékának képletei vannak feltüntetve. 3.TÁBLÁZAT TEST

FORGÁSMÓD

TEHETETLENSÉGI NYOMATÉK

Könnyű rúddal összekötött két egyforma golyócska

I  2mR2

Abroncs vagy vékony gyűrű

I  mR2

Korong

I

1 mR 2 2

Gömb

I

2 mR 2 5

Vékony rúd

1 I  mL2 3

Vékony rúd

I

1 mL2 12

A TESTEK PERDÜLETE Az egyenesvonalú (haladó) mozgást végző testekre a dinamika általános törvénye a következő (skaláris) alakban írható fel: p p  p1 F , azaz F  2 ...(1) t t Megfelelő összefüggést kell találni a rögzített tengely körül forgó testek dinamikájában is. Legegyszerűbb kiindulni a forgatónyomaték értékét meghatározható képletből, amelyben a tehetetlenségi nyomaték is szerepel: M = I ahol:   2  1   . t t Behelyettesítve az előző képletbe, ezt kapjuk: I  2  1  I 2  I1 M   ...(2). t t Az (1) és (2) képletekben szereplő erő és nyomaték analóg (hasonló) mennyiségek, így következik, hogy a haladó mozgás lendületének analóg (hasonló) mennyisége az I perdület (impulzus nyomaték).Ezt a mennyiséget általában L-lel jelölik. Ennek alapján a (2) képletet a következő alakban írhatjuk fel: L  L L M  2 1 . t t A rögzített tengely körül forgó testek perdülete egyenlő a tehetetlenségi nyomatékuk és szögsebességük szorzatával: L  I .

m2 ). s Látható, hogy a lendület és a perdület analóg mennyiségek nem csak az (1) és (2) képletekben betöltött „szerepüknél” fogva, hanem a meghatározásaik alapján is:

A perdület mértékegysége: kilogram-szor-méter a négyzeten-per-másodperc (kg

a lendület a test tömegének és sebességének a szorzata ( p  mv ),míg a perdület a tehetetlenségi nyomaték és a szögsebesség szorzata ( L  I  ).

AZ ANYAGI PONT PERDÜLETE Az r sugarú körpályán mozgó m tömegű anyagi pont perdületének értéke: L  I  mr 2 . Mivel r  v a következőt kapjuk: L = mvr, azaz L = pr. A körpályán mozgó anyagi pont perdületének értéke megegyezik a lendület értékének és a pálya sugarának szorzatával. A perdület vektormennyiség, melynek hatásvonala és irányítása megegyezik a szögsebesség irányával és irányításával (3.36.ábra): L  I .

PÉLDA Határozzuk meg a Föld Napkörüli forgásának perdületét, ha a Föld tömege m  5,98  10 24 kg, pályasugara 1,5  10 11 m. 2r 2mr 2  , ahol T=1 év. T T A számértékek behelyettesítése után: m2 L  2,7  10 40 kg . s L  mvr  mr

A FORGÓMOZGÁS DINAMIKÁJÁNAK ALAPTÖRVÉNYE Korábban már megállapítottuk, hogy a haladó mozgás dinamikájának alaptörvénye (Newton második törvénye): p F. t A forgómozgás dinamikájának az alaptörvénye:

L M. t A testre ható forgatónyomaték egyenlő a perdületváltozás és erre a változásra szolgáló időtartam hányadosával (a perdületváltozás sebessége). A rögzített tengely körüli forgásnál a forgatónyomaték és a perdület hatásvonalai megegyeznek a forgástengellyel. Ennek alapján a forgómozgás dinamikájának törvénye skaláris alakban is felírható: L M. t

HASONLÓSÁG A HALADÓ ÉS FORGÓMOZGÁS MENNYISÉGEI KÖZÖTT Az anyagi pont (vagy testek haladó mozgása) mozgására jellemző mennyiségek és összefüggések, és a meghatározott tengely körüli forgómozgást leíró megfelelő mennyiségek és összefüggések összehasonlításakor, észrevehető a közöttük fennálló hasonlóság. A testek tengely körüli forgómozgásának vizsgálata során többször is észrevehető volt ez a hasonlóság. Az összehasonlítandó mennyiségek és összefüggések a haladó és a forgómozgásnál a következő táblázatban vannak felsorolva. 4.TÁBLÁZAT HALADÓ MOZGÁS

FORGÓMOZGÁS (ROTÁCIÓ)

MENNYISÉG

MENNYISÉG

JELÖLÉS (KÉPLET)

JELÖLÉS (KÉPLET)

út

s

szögelmozdulás



sebesség

 v  a

szögsebesség

   

gyorsulás tömeg

m

erő lendület a dinamika alapegyenlete

  F  ma   p  mv  p F t

szöggyorsulás tehetetlenségi nyomaték forgatónyomaték perdület a dinamika alapegyenlete

I   M  I   L  I   L M  t

ÖSSZEFOGLALÁS A kinematikában, a testek mechanikai mozgásainak tanulmányozásánál nem vezettünk számot azokról az okokról, amelyek a mozgást előidézik.  Milyen feltételek mellett lehet a test nyugalmi állapotban?Mi okozza a testek mozgását, a mozgás során fellépő sebességváltozást, a gyorsulás jelenségét? Ez csak néhány kérdés, amelyeket a mechanika külön területe a dinamika tárgyal. A dinamika alapmennyiségei: tömeg, lendület és erő. Ezek kapcsolata a kinematikai (út, sebesség és gyorsulás) mennyiségekkel lehetővé teszi a testek (anyagi pontok) mechanikai mozgásainak a teljesebb leírását. A kinematikában a testek mozgását csak leírják, míg a dinamikában leírják és megmagyarázzák. A dinamika három alaptörvényen alapul, amelyeket az angol fizikus, Isaac Newton állított fel. Ezek az ismert Newton-féle dinamika törvényei, vagy általánosabban a klasszikus mechanika törvényei. Tömegnek hívjuk azt a mennyiséget, amely a haladó mozgásnál a testek tehetetlenségét jellemzi. A tömeg a testek tehetetlenségének a mértéke.

A kísérletek és megfigyelések azt mutatják, hogy a testek mozgásállapotának vagy sebességének a megváltozását, a gyorsulás jelenségét, más testek hatásai okozzák. Ilyen hatások nélkül nem változhat meg a testek mozgása, azaz nem jöhet létre a testek gyorsulása. Azt a mennyiséget, amely jellemzi az egyik test hatását a másikra, erőnek nevezzük. A mozgás az anyag természetes állapota, tulajdonsága, az erő pedig a testek (anyagi pontok) mozgásállapot-változásának az okozója. Az erő fogalmát kétféle módon lehet bevezetni: statikus és dinamikus módszerrel. Az erő fogalmának statikus bevezetését a rugalmas fémrugóra ható más testek (súlyok) által létrehozott alakváltozás mérésével végzik. A rugó hosszának megváltozása meghatározza a rugalmas erő (F = kx), ahol k a rugóállandó, x pedig a rugó hosszának változása. Az erő fogalmának dinamikus bevezetése a testek kölcsönhatása által okozott sebesség időbeli változásánal (gyorsulásnak) a mérésén alapul. A kísérleti eredmények alapján a dinamika törvényéhez jutunk: p . t Az erő a lendületváltozás és az eltelt idő hányadosával egyenlő. A fenti képlet Newton második törvényét fejezi ki. Az erő vektoriális természete a F 

lendületen ( p  mv ) keresztül jut kifejezésre. Mindkét eljárást általánosítva következik: Az erő a testek kölcsönhatásainak a mennyiségi mértéke, amelyek a mozgásállapot megváltozását (gyorsulás jelensége), vagy pedig a testek alakváltozását (fémrugó) idézi elő. A klasszikus mechanikában a kölcsönhatásokat az egyik testnek a másikra gyakorolt hatásával azonosítják. Például a testre, amely szabadon esik hat a Föld vonzása (Föld), de a szabadon eső test is hat a Földre (mindkét hatás egyenértékű, nagyságra és irányra nézve, de ellentétes irányításúak). Miközben a test hatása a Földre annyira kicsit mutatkozik meg, hogy azt a Föld nem is „érzi”, így ez az adott esetben gyakorlatilag elhanyagolható. Itt tehát, igazolt azt mondani, hogy a testre hat a Föld vonzóereje. Ebben az esetben az erőre, sűrűn a következő kifejezést használják: F  ma .

Az erő a test (anyagi pont) tömegének és gyorsulásának a szorzatával egyenlő. Itt a tömeg, az erő és a gyorsulás közötti arányossági tényezőként jelentkezik. A fenti képlet Newton második törvényének a kézzelfoghatóbb (egyszerűbb) alakja.  A mechanika Newton törvényei lehetővé teszik bármilyen mechanikai feladat megoldását. Ha ismert a testre ható erő (erők) és a test tömege, akkor meg lehet határozni F ). Ha ismert a m gyorsulás, akkor kiszámítható a sebesség és az út, amit a test meghatározott idő alatt megtesz. Mindehhez szükséges még a kezdeti feltételek ismerete: a helykoordináták és a kezdősebesség. A mechanika alapfeladata a test (anyagi pont) helyzetének meghatározása minden időpillanatban. A mozgástörvényeket használják még más mennyiségek kiszámítására is, mint pl. a test sebessége, gyorsulása, a rá ható erők és mások. Érthető, hogy amechanika Newton törvényei alkalmasak az ilyen problémák megoldására is.  Newton első törvénye (a tehetetlenség törvénye) így szól: A test egy tehetetlenségi vonatkoztatási rendszerben megtartja nyugalmi állapotát, vagy

annak gyorsulását pályájának minden pontjában, bármely időpontban ( a 

egyenesvonalú egyenletes mozgását, ha nem hatnak rá más testek, vagy a ráható más testek hatásai egymást megsemmisítik (kompenzálják). Newton első törvényének matematikai megfogalmazása a következő: v  0 vagy v  const. ha

in

F i 1

i

 0.

 Newton harmadik törvénye: az erő, amellyel egyik test hat a másik testre, egyenlő nagyságú és azonos hatásvonalú azzal az erővel, amellyel a másik test hat az elsőre, de ellentétes irányítású.

F12   F21 . Vagy: a hatóerő egyenlő az ellenerővel, nagyságuk és hatásvonaluk szerint, de ellentétes irányításúak. A mechanika Newton törvényei minden tehetetlenségi (inercia rendszer) rendszerben érvényesek és matematikai alakjuk változatlan.

KÉRDÉSEK ÉS FELADATOK 1. Mi a dinamika alapfeladata? 2. Melyek a dinamika alapmennyiségei? 3. Hogyan határozzuk (definiáljuk) meg a test lendületét (impulzus)? Vajon a lendület skaláris vagy vektoriális mennyiség? 4. Hogyan szól Newton első törvénye (a tehetetlenség törvénye)? 5. Miért nem lehet a testeket egy pillanat alatt megindítani vagy megállítani, hanem ezekre bizonyos idő szükséges? 6. Miért veszélyes a mozgó vonatból kiugrani? 7. Hogyan szól Newton második törvénye, és ez hogyan fejezhető ki mennyiségileg? 8. Le lehet-e vezetni Newton első törvényét Newton második törvényéből? 9. Mik az alapvető tulajdonságai a tehetetlenségi vonatkoztatási rendszernek? 10. Soroljatok fel példákat Newton harmadik törvényének (hatás-ellenhatás) igazolására! 11. Hogyan lehet megállapítani azt, hogy egy rendszer tehetetlenségi rendszer-e (inerciális rendszer)? 12. Hatnak-e a tehetetlenségi erők az egyenesvonalú egyenletes mozgással haladó vonatban, a kifutópályára leszálló repülőben, a Föld körül állandó sebességgel keringő műholdon? 13. Mi a különbség a tehetetlenség és a testek tehetetlensége között? 14. Ki lehet-e egyenlíteni a testek tömegét a szubsztancia mennyiségével? 15. Milyen mozgást végez a test, ha rá állandó erő hat? 16. Hogyan fog mozogni az a test, amelyre olyan erő hat, melynek értéke időben egyenletesen csökken? 17. Az erők mely megnyilvánulásait lehet elvben azok mérésére használni? 17. Az állandó sebességgel süllyedő liftben az ember leejt egy tárgyat. Vajon gyorsabban esik-e le a tárgy a mozgó lift padlójára, mintha a lift nyugalmi állapotban lenne? 19. Milyen feltételeket kell kielégíteni ahhoz, hogy a test körpályán egyenletesen mozogjon? 20*. Ablak nélküli vonatban vagyunk.Minek alapján tudjuk megállapítani, hogy a vonat mozog-e, kanyarban van-e, és hogy megáll az állomáson?

21. Soroljatok fel példákat a centripetális erőre! Mely képlet alapján lehet kiszámítani ennek értékét az egyenletes körmozgásnál? 22*. A körmozgásnál a centripetális erő mindig a kör középpontja felé irányul? 23*. A test rögzített tengely körül forog. Vajon ekkor megegyeznek-e a következő mennyiségek hatásvonalai és irányításai: a.) forgatómyomaték és szögsebesség; b.) forgatónyomaték és szöggyorsulás; c.) perdület (impulzusnyomaték) és szögsebesség és d.) perdület és a szöggyorsulás? 24. Megegyezik-e mindig a test mozgásának iránya a rá ható erő hatásvonalával és irányításával? Mutassátok be ezt példán keresztül! 25. Hogyan határozzák meg az anyagi pont (részecske) tehetetlenségi nyomatékát? 26. Ugyanakkora értékű-e a teste tehetetlenségi nyomatéka, különböző forgástengelyhez viszonyítva? 27. Egyenlők-e a tehetetelenségi nyomatékaik az ugyanolyan tömegű vasgolyónak és vasrúdnak? 28. Mitől függ a forgatónyomaték és hogyan határozzák meg ezt a mennyiséget? 29. Hogyan szól a forgómozgás dinamikájának a szilárd test forgására vonatkozó törvénye? 30. Mely mennyiségek és összefüggések hasonlóak a haladó és a forgómozgás dinamikájában? PÉLDA A test 2N erő hatására 10s alatt 40m utat tesz meg. A test kezdősebessége nulla. Mekkora a test tömege? at 2 a MEGOLDÁS. Az útképletből s  kapjuk 2 gyorsulást: m kapjuk: a  0,8 2 . Behelyettesítve az F = ma képletbe, s m= 2,5 kg. PÉLDA A 6 kg tömegű test v0  45

m sebességgel halad. Mekkora erővel kell hatni, hogy azt s=15ms

es úton megállítsuk? MEGOLDÁS. Annak az erőnek a nagysága amellyel a testre hatni kell, hogy az az adott körülmények között megálljon: F = ma. Az egyenletesen lassuló mozgás útja és sebessége, a megtett út végén, a következő összefüggéssel kapcsolhatók össze: v 2  v02  2as . mivel a test megállt azút végén, v = 0 , így: v2 a 0 . 2s Behelyettesítve az erő képletébe:

2

 m 6kg 45  2 mv  s  , vagyis : F  ma  0  2s 2  15m F = 405 N.

STATIKA Áttanulmányoztuk a testek kölcsönhatásait amelyek azok mozgásállapotának a megváltozásához vezetnek. Ezt valójában azokra az esetekre vezettük le amikor az erők (erő) hatásai sebesség-változást (gyorsulást) okoznak. Megismertük a mozgások törvényeit (a haladó és forgómozgások dinamikájának Newton törvényei). Azonban, sok esetben nagyon fontos ismerni azokat a feltételeket, amelyek mellett a testek, habár azokra erők hatnak, nem tesznek szert gyorsulásra. Az ilyen esetekre mondják azt, hogy egyensúlyi helyzetben vannak. Létezik dinamikus és statikus egyensúly is. A test, amely egyenesvonalú egyenletes mozgással (állandó sebesség, a gyorsulás nulla) halad, az dinamikus egyensúlyban van. Ha egy test, amelyre erők hatnak, mégis nyugalmi állapotban marad a tehetetlenségi vonatkoztatási rendszerhez viszonyítva, akkor ez a test statikus egyensúlyi állapotban van. A statikus egyensúlyra példa a nyugalmi állapotban lévő test (4.1.ábra. a.). A test egyensúlyi állapotban van akkor is, ha egyenesvonalú egyenletes mozgással mozog vízszintes úton, amikor a súrlódási erő a motor húzóerejével egyenlő-dinamikus egyensúly (4.1.ábra. b.). A klasszikus mechanika azon területeét, amelyben a testek (anyagi pontok) egyensúly helyzeteinek feltételeit és fajtáit tanulmányozzák, statikának hívják. A statika a dinamika sajátos estét képviseli. A mikor a testek (anyagi pontok) relatív nyugalmi állapotban vannak, vagy egyenesvonalú egyenletes mozgással mozognak, akkor a rájuk vonatkozó dinamika törvényei a statika törvényeire vezethetők vissza. Sokféle gyakorlati probléma megoldásához nagyon fontos a testek, vagy rendszerek, egyensúlyi feltételeinek az ismerete, pl. az építészetben a különféle objektumok (épületek,

hidak), televíziós tornyok, gépek, szerkezetek megtervezésénél stb. (A továbbiakban a statikus egyensúly helyett csak egyensúlyt mondunk.) A mechanikában, de különösen a statikában, általában véve nem vezetnek számot a szilárd testek szerkezetéről és fizikai tulajdonságairól, amennyiben ez nem kimondott követelmény. Ezzel igazolható az anyagi pont kifejezés használata. E fogalom mellett a statikában (az egyszerűség kedvéért) létezik az ideális merev test fogalma; röviden- merev test , néha csak test. Merev testnek tekintjük azt a testet, amelynek külső erők hatására nem változik sem az alakja, sem a térfogata. Merev testek statikája sokkal egyszerűbb mint a reális testeké, amelyek külső erők hatására deformálódnak. Habár tökéletesen merev test valójában nem létezik, mégis a merev testek statikája alkalmazható a reális testekre is, azzal a feltétellel, hogy a külső erők által okozott deformációk ezeken a testeken gyakorlatilag elhanyagolhatóak. Reális merev testek például: a vastestek, tégla, fából készült testek, stb. A statikát feloszthatjuk síkbeli és térbeli statikára. A síkbeli statika az anyagi pontok és testek egyensúlyi feltételeit tanulmányozza, ha az ezekre ható külső erők hatásvonalai egy síkban vannak. Ezzel szemben a térbeli statikában a külső erők hatásvonalai különböző síkokban vannak. Először az anyagi pont egyensúlyi feltételeit ismerjük meg, majd a merev testek egyensúlyi feltételei következnek.

EGYENSÚLY AZ ANYAGI PONT EGYENSÚLYA A legegyszerűbb esetben , amikor az anyagi pontra csak két erő hat, egyensúly egyedül úgy lehetséges, ha az erők értékei megegyeznek, hatásvonalaik ugyanazok (kollineáris erők), de irányításuk ellenkező , ahogy az a 4.2. ábrán látható. Ha az anyagi pontra három vagy több erő hat , akoor az egyensúlyban lesz , ha két erő eredőjének nagysága és hatásvonala megegyezik a harmadik erő hatásvonalával és nagyságával, de ezzel ellentétes irányítású. A 4.3. ábrán látható az anyagi pont egyensúlya, amelyre három erő hat . Az A pontra három (megnyújthatatlan, elhanyagolható súlyú) fonálon át három erő hat . Az erők értékei a fonalak másik végére akasztott súlysorozatok súlyai határozzák meg (az egyes súlyok értékei azonosak). Az A pont egyensúlyban lesz, ha: F1  F 2  F 3  0 . Ez az egyensúly, ahogy az a 4.3. ábrán fel van tüntetve, az erőháromszöggel igazolható. Ekkor bármelyik két erő eredőjének értéke megegyezik a harmadik erő értékével, hatásvonala ugyanaz, de ellentétes irányítású. Az erők összegezésének szabálya szerint ebben az esetben a három erő háromszöget alkot. Az A pont külső hatásra kimozdítható ebből a helyzetből, az egyensúly megbomlik,

de a külső hatás megszünte után a pont visszatér eredeti egyensúlyi helyzetébe. Ha azonban az erők értékei megváltoznak, akkor újabb egyensúlyi helyzet áll be az erők másmilyen elrendezése mellett (4.3.a.) ábra) A 4.3.b.) ábra szemlélteti az A pontnak azt az egyensúlyi helyzetét, amikor F3  0 (a középső fonál a súlyokkal együtt el lett távolítva). Ebben az esetben az egyensúly megegyezik azzal az esettel, amikor az (A) pontra két erő hat. Az anyagi pont egyensúly-feltételei bemutathatók a síkbeli derékszögű koordinátarendszerben is. Az anyagi pontra ható erőket a koordináta tengelyek irányába eső összetevőkre bontjuk. Ha a testre ható összes erő eredője nulla, akkor a koordinátatengelyek irányában levő összetevők összege is nulla lesz.

Á ltalános esetben, az anyagi pont egyensúlyának feltétele, ha arra több erő hat, amelyeknek hatásvonalai egy síkban helyezkednek el, a következő alakban írható: F 1  F 2  F 3  ...  F n  0 . Az anyagi pont egyensúlyi helyzetben van akkor, ha a ráható összes erők, melyek hatásvonalai egysíkúak, összege nulla, azaz ha az erők által szerkesztetett sokszög zárt. Megvizsgáltuk az anyagi pont egyensúlyát, azzal a feltételezéssel, hogy a ráható erőknek közös támadáspontjuk van (amely azonos az anyagi ponttal). Általában a merev testre ható erők támadáspontjai különbözőek. Ezek összegezése (eredőjük meghatározása) sűrűn összetettebb módszereket igényel. Néhány jellegzetes esetet vizsgálunk meg a különböző támadáspontú erők összegezésére, ami a merev testek egyensúlyi helyzetének a meghatározásához szükséges.

KÉT PÁRHUZAMOS AZONOS IRÁNYÍTÁSÚ ERŐ ÖSSZEGEZÉSE A két párhuzamos hatásvonalú , a testre A és B pontban ható F 1 és F 2 erők eredőjének meghatározására nem tudjuk közvetlen alkalmazni a paralelogrammszabályt, mert az erőknek nincs közös támadáspontjuk (mivel a F 1 és F 2 erők hatásvonalai nem metszik egymást). Ezért az A és B pontokban AB irányában bevezetünk két F 1 és F 2 póterőt („ segéderő ”), amelyek ugyanakkor a értékűek, hatásvonaluk megegyezik, de

ellentétes irányításúak (4.4. ábra). Ezek eredője nulla. A póterők passzív erők, nem változtatják meg a test állapotát meghatározó tényezőket. Az F 1 és F 1 és az F 2 és F 2 erők összegezésével kapjuk az R1 és R 2 erőket, amelyeket hatásvonalaik mentén eltolva, közös támadáspontba, 0 hozhatunk. Az R1 és R 2 erők felbontásával az 0 pontban két kollineáris F 1 és F 2 összetevőket kapunk. Az utóbbiakat megszüntetve a test állapota nem változik. Így a két párhuzamos erő eredőjének meghatározását a két kollineáris erő eredőjének a meghatározására vezettük vissza. Az adott erők eredőjét úgy határozzuk meg, hogy a 0 pontba helyezett F 1 erő végpontjába visszük az F 2 erőt, így megkapjuk az eredő R értékét, hatásvonalát és irányítását. Felhasználva a kollineáris erők tulajdonságát, kapjuk: R = F1+ F 2 . Két különböző támadáspontban ható párhuzamos, azonos irányítású erők eredője egyenlő az adott erők összegével. Az R eredő hatásvonala párhuzamos az F 1 és F 2 összetevők hatásvonalával és ugyanolyan irányítású, mint az összetevők. Az eredő támadáspontja az adott párhuzamos erők támadáspontjai között van, közelebb a nagyobb erő támadáspontjához. Az eredő támadáspontját 0 a háromszögek hasonlóságából határozzuk meg: AOO ~ ENO és BOO ~ MDO . A háromszögek hasonlóságából következik : OB DM AO EN   ; OO NO OO DO Felhasználva az EN  DM , F1  F2 ; ON  F1 és OD  F2 (magától értetődik, hogy az erők nagyságairól van szó) és elosztva az első arányosságot a másodikkal kapjuk, hogy: AO F2  . BO F 1 Az arányosság tulajdonságait felhasználva , felírhatjuk: AO BO AO  BO AB    . F2 F1 F1  F2 R Ez utóbbi összefüggésből következik : ABF2 ABF1 AO  ; BO  . R R És végül:

F1 BO  . F2 AO

Az eredő támadáspontja az adott erőkkel fordított arányban osztja az összeadandó erők támadáspontjai közötti távolságot.

ELLENTÉTES IRÁNYÍTÁSÚ PÁRHUZAMOS ERŐK ÖSSZEGEZÉSE

Tegyük fel, hogy a merev test A és B pontjaiban két párhuzamos, ellentétes irányítású erő F 1 > F 2 erő hat (4.5. ábra). Ebben az esetben is az adott erők összegezésének eljárása elvben ugyanaz, mint a párhuzamos azonos irányítású erőké. Az A és B pontokban ugyancsak hozzáadunk egy pár kiegyensúlyozott F 1 és F 2 erőt. A megfelelő erők összegezése után arra az eredményre jutunk, hogy az 0 pontban két kollineáris, ellentétes irányítású erő hat, így az eredő egyenlő az összetevők különbségével, azaz az adott erők különbsége

R  F1  F2 . Az eredő R támadáspontját O a háromszögek AOO és ODE  ; BOO és OHM  hasonlóságából határozzuk meg: AO BO BO  AO AB    . F2 F1 F1  F2 R Két párhuzamos, ellentétes irányítású erő eredője az összetevők különbségével, azaz az adott erők különbségével egyenlő. Az eredő hatásvonala párhuzamos az adott erők (komponensek, összetevők) hatásvonalaival, irányítása pedig megegyezik a nagyobb erő irányításával. Az eredő támadáspontja az AB szakasz (az erők támadáspontjait összekötő távolság) meghosszabbításán van, a nagyobb értékű erő külső oldalán. Az eredő támadáspontjától az F 1 és F2 erők támadáspontjáig mért távolságok fordítottan arányosak az adott ellenpárhuzamos erők értékeivel, és a következő képlet szerint lehet őket meghatározni: F1 BO  . F2 AO

ERŐPÁR. AZ ERŐPÁR FORGATÓNYOMATÉKA A következőkben tanulmányozni fogjuk két párhuzamos, egyenlő nagyságú, de ellentétes irányítású F 1 és F 2 erők hatását egy testre (4.6. ábra). Eredőjük értéke : R  F1  F2  0 , mert az adott erők értékei egyenlőek. Ebben az esetben az eredő támadáspontja 0 a végtelenben van. A párhuzamos ellentétes irányítású erők összegezésénél levezetett képlet alapján : AO BO AB   , F2 F1 R

a következő megállapításra jutunk :

AB  F2   . R Habár ezeknek az erőknek az eredője nulla a test mégsincs egyensúlyban. A merev test két egyenlő nagyságú párhuzamos hatásvonalú, ellentétes irányítású erő hatására forgómozgást végez. E forgómozgás statikai leírására új fogalmat vezettek be: az erőpár fogalmát . Két azonos nagyságú, párhuzamos hatásvonalú, ellentétes irányítású erő, ha azok merev testre hatnak, erőpárt alkotnak . Az erőpár forgató hatásának a teljesebb bemutatására az erőpár forgatónyomatékát vezetjük be. Az erőpár forgatónyomatékát írott nagy M-mel jelöljük, hogy a jelölését (szimbólumát) meg tudjuk különböztetni az erő forgatónyomatékától, amelyet nyomtatott nagy M betűvel jelölünk. Az erőpár forgatónyomatékát, mindkét erő forgatónyomatékának az összege határozza meg, mert ezek a testek ugyanabba az irányba forgatják (4.6. ábra). Ha az erők forgatónyomatékainak értékeit az ábra síkjára merőleges tengelyre vonatkoztatjuk, akkor ezt kapjuk: M  M1  M 2  Fd . Az erőpár forgatónyomatékának nagysága egyenlő az erőpárt alkotó egyik erő nagyságával, és az erők hatásvonalai közötti merőleges távolság (az erőpár karja) szorzatával. Az erőpár hatására jellemző példa az autó kormánykerekének az erőpár hatására történő elforgatása. Az erőpár forgatónyomatékának SI mértékrendszerbeli mértékegysége a Nm (newton méter), ugyanaz, mint a munka (energia) mértékegysége, de az erőpár forgatónyomatékát meg kell különböztetni a munkától. AO 

MEREV TEST EGYENSÚLYA A merev test egyensúlyban van akkor, amikor nyugalmi állapotban van, vagy egyenedvonalú egyenletes mozgással mozog egy tehetetlenségi rendszerhez képest, azaz akkor, ha a gyorsulása és szöggyorsulása nullával egyenlőek. Ezek szerint két feltétel adódik az egyensúlyra. 1. A testre ható összes erő összege nulla:

F 1  F 2  F 3  ...  F n  0

n

vagy

F  0 , i 1

i

ahol az n egész szám . 2. A testre ható összes forgatónyomatékok összege nulla:

M 1  M 2  M 3  ...  M m  0

m

vagy

M i 1

ahol m egész szám, de m  n .

i

0 ,

Egy síkban levő erők esetében, határozza meg ezt a síkot a koordináta-rendszer x és y tengelye. Ekkor minden erőt felcserélhetünk az x és y tengelyekre vett összetevőkre. Így az egyensúlyi feltételek három skaláris egyenletre vezethetők vissza: F 1x  F 2 x  F 3 x  ...  F nx  0 F 1 y  F 2 y  F 3 y  ...  F ny  0 ; M 1  M 2  M 3  ...  M m  0 . A merev test egyensúlyban van, ha az erők minden x és y irányú összetevőinek és az összes forgatónyomatékainak összege nulla. Az erő előjele pozitív ( + ), ha irányítása megegyezik az xtengely irányával, ha pedig ellentétes irányítású, akkor negatív ( - ). A forgatónyomaték előjele pozitív ( + ), ha az az óramutató járásával ellentétes irányú forgatást idéz elő, azaz amikor a ztengely irányában van, ha pedig az óramutató járásával megegyező irányú forgatást hoz létre, a nyomatékot negatív ( - ) előjellel veszik. Ha minden erő egy síkban hat és közös támadáspontjukvan, akkor az erőknek erre a pontra vett forgatónyomatékai mind nullával egyenlőek. Ekkor az egyensúly elégséges feltétele az, hogy a testre ható erők összege nulla legyen, azaz az erők koordináta.tengelyekre vett vetületeinek összege nulla legyen (4.8. ábra). F 1x  F 2 x  F 3 x  ...  F nx  0 F 1 y  F 2 y  F 3 y  ...  F ny  0 ; és Ez a feltétel érvényes arra az esetre is, amikor az erőknek nincs közös támadás pontjuk, de hatásvonalaik egy pontban metszik egymást. Erre a metszéspontra vonatkoztatott forgatónyomatékok értéke nulla, és ha az erők összege is nulla, akkor bármely pontra vonatkoztatott eredő forgatónyomaték értéke ugyancsak nulla, így a test egyensúlyban van.

AZ EGYENSÚLY FAJTÁI Megállapítottuk a merev test általános egyensúlyi feltételeit. Mindezek mellett a gyakorlati problémák megoldásánál nagyon lényeges a szóban forgó test egyensúlyi stabilitásának a fokát megállapítani. Ebben az értelemben a test egyensúlyának három helyzete különböztethető meg: a stabil, labilis (bizonytalan) és az

indifferens (közömbös).

Ha a testet kimozdítva egyensúlyi állapotából magára hagyjuk, majd az visszatér eredeti állapotába, akkor a test egyensúlyi helyzete stabil (4.9. ábra).

A test bizonytalan (labilis) egyensúlyi helyzetben van, akkor, ha az kimozdítva egyensúlyi helyzetéből, magára hagyva, mindinkább eltávolodik elsődleges helyzetétől . Ebben az esetben a test (golyócska) kis kimozdítása egyensúlyi helyzetéből oda vezet, hogy az lecsúszik a domború felületről, mert a test súlyerejének, és az alátámasztási felületnek a reakció erejének az eredője erre kényszeríti (4.10.ábra). Ha a testet kimozdítjuk közömbös egyensúlyi helyzetéből és az másik helyzetbe kerül, magára hagyva, továbbra is ebben az új helyzetben marad. Ebben az esetben a súlyerő és az alátámasztási felület reakció erejének az eredője mindig nulla (4.11. ábra). Az egyensúlyi helyzetek olyan testek példáin keresztül is bemutathatók, amelyeknél rögzített forgástengelyek vannak. Vegyük például az egyszerű vonalzó eseteit, amely függőleges síkban foroghat az egyik végén áthaladó tengely vagy súlypontján áthaladó tengely körül (4.12. ábra). A 4.12.ábrán bemutatott esetekben az egyensúlyi helyzetek szemmel láthatóan: a.) stabil , b.) bizonytalan és c.) közömbös.

A TESTEK EGYENSÚLYA A LEJTŐN A vízszintes síkhoz képest bármilyen más ferdén álló síkot lejtőnek nevezzük. Itt a síkot az alátámasztási felülettel azonosítjuk. Valódi lejtőt képeznek például a falhoz támasztott deszka, a hegyvidék útvonalai, lépcsők, stb. Rajzban a lejtőt derékszögű háromszöggel szemléltetjük. A háromszög AB alapja – a lejtő alapja, BC oldala a lejtő magassága, míg átfogója a lejtő hossza. A lejtő hosszának általában l a jele, a magassága h és a az alapja (4.13. ábra).

Vizsgáljuk meg a vízszinteshez α szöggel hajló lejtőre helyezett henger vagy golyó egyensúlyi feltételét. Ha elengedjük, magára hagyjuk a testet, az legurul a lejtőn. Erőmérővel (dinamométerrel) megmérhető annak az erőnek az értéke, amely párhuzamosan hat a lejtő hosszával és amelynek hatására a test mozog. A lejtő hatásszögének növelésével nő az aktív erő értéke is, ami az erőmérővel igazolható és fordítva. Állandó hajlásszög esetén ennek az erőnek az értéke nem változik, állandó marad. A test a lejtőn lefelé iányuló mozgását okozó erőt grafikusan úgy határozzuk meg, a lejtőre helyezett test súlyát, Q , két összetevőre bontjuk. Az összetevők közül a P összetevő párhuzamos a lejtő hosszával, míg a másik N merőleges erre. Az N merőleges összetevőt (amely csak a testnek a lejtőre gyakorolt nyomását befolyásolja) a lejtő ellenállási ereje (reakció-erő) egyenlíti ki (kompenzálja). A párhuzamos P összetevő aktív erő, ennek hatására mozog a test lefelé a lejtőn (4.13. ábra). Ahhoz, hogy a test a lejtőn nyugalmi állapotban legyen, a testre egy ugyanolyan hatásvonalú, ugyanakkor a, de ellentétes irányú F erővel kell hatni, mint a P erő. Az erők értékei megegyeznek ( P=F ). Az ábrán látható, hogy QTP ~ ABC  . Ennek alapján: F:Q=h:l. Ez a lejtőre helyezett test egyensúlyának matematikai feltétele, amikor az egyensúlyt fenntartó erő a lejtő hosszával párhuzamosan hat. A lejtőre helyezett test egyensúlyát fenntartó erő és a test súlyának értékei úgy aránylanak egymáshoz, mint a lejtő magassága a hosszához. Vagy: a lejtőre helyezett test akkor van egyensúlyban, ha az egyensúlyt fenntartó erő annyiszor kisebb a test súlyánál, mint ahányszor a lejtő magassága kisebb a hosszánál, azaz h F Q . l A lejtő magasságának és hosszának a hányadosát emelkedésnek hívják és rendszerint százalékokban fejezik ki: h u   100% . l

AZ EMELŐ A műszaki gyakorlatban és a mindennapi életben is gyakran használnak különféle gépeket, amelyek gyakran nagyon összetettek. Azonban az összetettek mellett vannak nagyon egyszerűek is, az ún. egyszerű gépek: emelő, csiga, kerék, lejtő, ék, csavar, stb.

Ezek felhasználásával készülnek az összetettebb mechanikai gépek, de használhatóak önálló elemekként is. A mechanikai gépezetek alapelemei legtöbbször az emelő és a lejtő. A csiga és a kerék az emelő valamilyen módósításai, míg az ék és csavar a lejtő egyedi esetei. Ezért szorítkozunk a továbbiakban erre a kétfajta egyszerű gép, az emelő és a lejtő tárgyalására. A lejtőre helyezett testek egyensúlyáról már beszéltünk. A lejtőről, mint egyszerű gépről csak a munka fogalmának megismerése után tárgyalhatunk . Elvileg bármely merev test, amely egy alátámasztási pont, vagy forgástengely körül foroghat, emelőnek tekinthető. Szigorúbb értelemben véve, az emelő alatt egy szilárd anyagból készült rúd érthető, amelynek keresztmetszete elhanyagolható hosszához képest (4.14. ábra) . Vizsgáljuk meg egy olyan test egyensúlyi feltételét, amely egy rögzített tengely körül foroghat, legyen ez az O ponton áthaladó tengely körül forgatható homogén rúd példája (4.15.ábra)

Az emelő (a vízszintes síkban) egyensúlyban lesz, ha az ember súlyának forgatónyomatéka egyenlő a gyerek súlyának forgatónyomatékával. E két súly forgatónyomatékai az emelő forgástengelye irányában hatnak, azonos nagyságúak, de ellentétes irányításúak, így az összegük nulla (4.15.ábra). Az emelő egyensúlyban lehet nem csak akkor, ha annak végein két , az emelő hosszára merőleges erő hat, hanem akkor is, ha rá három (vagy több erő) hat, a forgástengelytől mérve különböző távolságokban, mint ahogy azt a 4.16. ábra szemlélteti. Ehhez elégséges feltétel az, hogy a ráható erők forgatónyomatékainak algebrai (előjellel vett – a ford. megj.) összege nulla legyen.

ÖSSZEFOGLALÁS Statikának nevezzük a klasszikus mechanika azon területét, amelyben a testekre ható erők hatására létrejóvő egyensúly feltételeit és fajtáit tanulmányozzák.

A testek vagy rendszerek statikai egyensúly-feltételeinek az ismerete nagyon fontos sok gyakorlati feladat, probléma megoldásánál, például az építészeti tornyok tervezésénél és kivitelezésénél, különféle gépeknél, szerkezeteknél stb. A dinamika egyensúly-feltételei is fontosak, mert ezek határozzák meg a sebesség állandóságát, például a szállító objektumoknál. Például, ha az autó sebességmérője állandó sebességet mutat, akkor ez azt jelenti, hogy az autó motorjának a húzóereje ki van egyenlítve nagyságra és hatásvonalra nézve is, az autóra ható ellenállási erővel, de azzal ellentétes irányítású. Ekkor fellép az ún. dinamikai egyensúly. Hasonló a helyzet más szállítóeszközöknél is. Általános esetben, ha az anyagi pontra több erő hat, melyek hatásvonalai egy síkban vannak, az egyensúly feltétele a következő alakban írható fel:

F 1  F 2  F 3  ...  F n  0 . Ha az anyagi pontra ható erők hatásvonalai egy síkban vannak és azok egy pontban metszik egymást, akkor az anyagi pont egyensúlyban lesz azzal a föltétellel, hogy az adott erők összege nulla. Általános esetben, hogy a test egyensúlyi helyzetben legyen, egyidejűleg két feltételnek is teljesülnie kell, amit a következő alakban adnak meg:

F 1  F 2  F 3  ...  F n  0 ; M 1  M 2  M 3  ...  M m  0 , ahol n ≠ m . Ha a merev testre több erő hat, az egyensúlyban lesz akkor, ha az erők vektoriális összege nulla és a forgatónyomatékok vektoriális összege is, az erők hatásvonalai által meghatározott sík bármely pontjára vonatkoztatva, egyenlő nullával. Ez a két feltétel csak a stabil és közömbös egyensúlyi helyzetekre vonatkozik, ezeknek a gyakorlatban különleges jelentőségük van .

KÉRDÉSEK ÉS FELADATOK 1. Mikor lép fel a testek statikus , mikor a dinamikus egyensúlyi állapota? 2. Mitől függ két erő eredőjének értéke , ha azok nagyságai nem változnak ? 3. Hogyan található meg, két külonböző támadáspontban, adott szöggel hajló hatásvonalú erők eredője és annak támadáspontja? 4. Mikor van statikus vagy dinamikus egyensúlyi helyzetben az a test, amely csak haladó mozgást tud végezni? 5. Hogyan lehet grafikusan megkapni a két (azonos irányítású) párhuzamos hatásvonalú erő eredőjét? Hogyan határozható meg az eredő értéke, hatásvonala és irányítása ? 6. Mi az erőkar és mi a forgatónyomaték? 7. Miért könnyebb elforgatni a csavart, ha hosszabb nyelű kulcsot használnak? 8. Hogyan keletkezik az erőpár? Mi az erőpár forgatónyomatéka? 9. Melyik két feltételnek kell egyidejűleg teljesülnie ahhoz, hogy a merev test (amely haladó és forgómozgást végezhet) egyensúlyban legyen? 10. Egyensúlyi helyzetben van-e a test, ha a ráható erők eredője nulla? 11. *Mi az egyensúly feltétele azon a lejtőn, amelyen a testre ható erő bizonyos szöget zár be a lejtő hosszával? 12. Soroljatok fel néhány példát a testek egyensúly-fajtáira! 13. Mikor van egyensúlyban az az emelő, amelyre két erő hat?

14. Miért hatunk az emelő hosszabb karján az erővel, amikor azzal terhet emelünk fel? 15. Sorolj fel példákat a különféle emelőkre! 16. *A test egyensúlyi feltétele, hogy a testre ható erők forgatónyomatékainak eredője nulla legyen. Melyik pontra kell vonatkoztatni a forgatónyomatékokat? Melyik pontra vonatkoztatva érhető el az, hogy az erők forgatónyomatékainak az eredője nulla legyen és így a test egyensúlyba kerüljön?

PÉLDA Az m = 1 kg tömegű testre két F1  6 N és F2  8N értékű, egymásra merőleges erő hat. Mekkora az eredő erő és test gyorsulása? MEGOLDÁS Az erdő R értéke, a két F1 és F2 erőre szerkesztett paralelogramm átlója. Az eredő értéke:

R  F1  F2  10 N , míg a keresett gyorsulás : R m a   10 . m s2 2

2

PÉLDA A rajzon két F1  20 N és F2  40 N ellenpárhuzamos erő van feltüntetve. Támadáspontjaik közötti merőleges távolság d = 1m. Határozzuk meg az eredő helyzetét (támadáspontját) és annak értékét! MEGOLDÁS A két párhuzamos ellentétes irányítású erők eredője párhuzamos az adott erőkkel, irányítása megegyezik a nagyobb erő irányításával és a nagyobb erő külső oldalán helyezkedik el. Az eredő értéke: R  F2  F1  40 N  20 N  20 N . Az eredő hatásvonalának az adott erők hatásvonalaitól mért merőleges távolságai fordítottan arányosak az erők értékeivel, azaz: d1 F2  . d 2 F1 Mivel d  d1  d 2 , következik dF2 d1   2m , d 2  1m F2  F1