SZILÁRD TESTEK SZTATIKÁJA

SOPRONI EGYETEM FAIPARI MÉRNÖKI KAR

Dr. Szalai József egyetemi tanár

MŰSZAKI MECHANIKA II. SZILÁRD TESTEK SZTATIKÁJA (Rugalmasság- és szilárdságtan)

Jegyzet faipari-, papíripari-, erdő- és környezetmérnök hallgatók számára 3. javított és átdolgozott kiadás Letölthető az MMTI honlapjáról: http://mechanika.fmk.nyme.hu

Kézirat Sopron, 2006

2

Bírálók:

Dr. Roller Béla a műszaki tudomány doktora egyetemi tanár

Dr. Thamm Frigyes a műszaki tudomány kandidátusa ny. egyetemi adjunktus

Ezúton mondok köszönetet Bátki Károlynak a Műszaki Mechanika Tanszék adjunktusának, aki áldozatos munkával vállalta a jegyzet "utolsó" kinyomtatott változatának tartalmi, stilisztikai, gépelési hibáinak felkutatását és javítását, valamint Busa Donátnak a tanszék demonstrátorának a jegyzet képleteinek újraszerkesztéséért. A jegyzet végső formattálását Karácsonyi Zsolt nappali doktorandusz végezete 2006 nyarán.

3

Tartalomjegyzék SZILÁRD TESTEK SZTATIKÁJA 1.

Rugalmasságtani és szilárdságtani alapfogalmak

8

1.1.

A rugalmasságtan és a szilárdságtan tárgya és feladata

8

1.2.

A feszültség fogalma

9

1.3.

Alakváltozás jellemzők

12

1.4.

A szilárd anyag viselkedése egyszerű igénybevételek és különböző igénybevételi módok hatására

14

1.4.1.

Terhelési módok

14

1.4.2.

A szilárd testek valóságos mechanikai viselkedése

16

1.5.

Idealizált anyagtörvények

29

2.

Rugalmasságtani alapösszefüggések

33

2.1.

A szilárd test alakváltozása

33

2.1.1.

Eltolódás

33

2.1.2.

Deformációs állapot

34

2.1.3.

Fő alakváltozások

38

2.1.4.

A deformációs állapot grafikus ábrázolása

42

2.1.5.

A teljes alakváltozási folyamat felbontása és értelmezése

49

2.1.6.

Geometriai (kinetikai) egyenletek

55

2.1.7.

Összeférhetőségi (kompatibilitási) egyenletek

55

2.2.

Sztatikai összefüggések

57

2.2.1.

Feszültségi állapot

57

2.2.2.

Főfeszültségek

61

2.2.3.

A feszültségi állapot grafikus ábrázolása

62

2.2.4.

Sztatikai egyensúlyi egyenletek

64

2.3.

A munka és a potenciális energia

66

2.3.1.

Az elemi munka

67

2.3.1.1. A külső elemi munka

67

2.3.1.2. A belső elemi munka

68

2.3.2.

A teljes (véges) munka

70

2.3.3.

A kiegészítő (konjugált) munka

70

2.3.4.

Idegen és saját munka

71

2.3.5.

A potenciális (helyzeti) energia

72

2.3.5.1. A külső erők potenciális energiája

74

2.3.5.2. A belső erők potenciális energiája

75

2.3.6.

A kiegészítő (konjugált) potenciális energia

76

4

2.4.

Anyagtörvények

77

2.4.1.

Az anizotrop anyag általános Hooke-törvénye

77

2.4.2.

A faanyag általános Hooke-törvénye

81

2.4.3.

Az izotrop anyag általános Hooke-törvénye

83

2.4.4.

Klimatikus hatások következtében fellépő alakváltozási és feszültségi állapot

85

2.5.

A rugalmasságtani feladatok megoldási módszerei

87

2.5.1.

Alapegyenletek és kerületi feltételek

87

2.5.2.

A Navier-féle egyenletek

89

2.5.3.

A Beltrami-féle egyenletek

91

2.5.4.

Eltolódás- és feszültségfüggvények

91

2.5.5.

Közelítő eljárások, kísérleti módszerek

92

2.5.6.

Síkbeli rugalmasságtani feladatok

92

2.6.

Munka- és energia tételek

95

2.6.1.

A virtuális elmozdulás, virtuális munka, virtuális kiegészítő munka

96

2.6.2.

A virtuális munka elve

97

2.6.2.1. A virtuális elmozdulások tétele

97

2.6.2.2. A virtuális erők tétele

98

2.6.3.

A potenciális energia állandó-értékűségének tétele

2.6.3.1. Az egyensúlyi állapotok osztályozása

98 100

2.6.4.

A kiegészítő potenciális energia minimum tétele

101

2.6.5.

A saját munka tétele

102

2.6.6.

A munkával és energiával kapcsolatos egyéb tételek

102

3.

Tönkremeneteli elméletek

104

3.1.

Az izotrop anyagok tönkremeneteli elméletei

105

3.1.1.

A Coulomb-féle tönkremeneteli elmélet

106

3.1.2.

A Mohr-féle tönkremeneteli elmélet

110

3.1.3.

A belső alaktorzulási energia elmélete

112

3.1.4.

A tönkremeneteli elméletek elemzése

114

3.2.

A természetes faanyag tönkremeneteli kritériuma

115

4.

Erőtani méretezés

117

4.1.

Az erőtani méretezés fejlődése

119

4.1.1.

Egységes (osztatlan) biztonsági tényezős méretezési eljárás

120

4.1.2.

Osztott biztonsági tényezős méretezési eljárás

122

4.1.3.

Valószínűségelméleti alapon történő méretezési eljárás

123

4.2.

A Magyarországon hatályos méretezési eljárások

124

4.2.1.

Megengedett feszültségen alapuló méretezési eljárások

125

4.2.2.

Fél-valószínűségi módszerrel kiegészített határállapot alapján történő méretezési eljárás

127

5

4.2.2.1. Erőtani számítás

127

4.2.2.2. A szerkezet határállapotai

128

4.2.2.3. A határállapot jellemzői

129

4.2.2.4. Terhek és hatások

129

4.2.2.5. Az állapotjellemzők mértékadó értékei

131

5.

Rudak rugalmasság- és szilárdságtana

132

5.1.

A keresztmetszetek jellemzői

133

5.1.1.

Síkidomok másodrendű nyomatéka

134

5.1.2.

A másodrendű nyomatékok tételei

134

5.1.3.

Egyéb keresztmetszeti jellemzők

140

5.2.

Húzó és nyomó igénybevétel

141

5.2.1.

Prizmatikus rúd tiszta húzása és nyomása

141

5.2.2.

Változó keresztmetszetű rudak húzása és nyomása

147

5.2.3.

Nyomott felületek érintkezési feszültségei

148

5.2.4.

Húzott és nyomott rudak önsúlyának figyelembevétele

149

5.2.4.1. Önsúlyával terhelt húzott rúd

150

5.2.4.2. Egyenletes szilárdságú húzott és nyomott rúd

151

5.2.5.

Összetett keresztmetszetű rudak

153

5.2.6.


166

5.2.6.1. Megengedett feszültségen alapuló méretezési módszer

156

5.2.6.2. "Fél" valószínűséggel kiegészített határállapot módszer

157

5.3.

Nyíró igénybevétel

158

5.3.1.

Prizmatikus rúd tiszta nyírása

158

5.3.2.

Közelítőleg tiszta nyírásnak kitett szerkezeti elemek vizsgálata

161

5.3.3.

Összetett keresztmetszet nyírása

164

5.3.4.


166


166


168

5.4.

Hajlító igénybevétel

169

5.4.1.

Prizmatikus rúd tiszta hajlítása

169

5.4.2.

Változó keresztmetszetű rudak tiszta hajlítása

178

5.4.3.

Egyenletes szilárdságú hajlított rudak

178

5.4.4.

Összetett keresztmetsztű rudak hajlítása

180

5.4.4.1. A rétegződés merőleges a hajlítónyomaték vektorára

181

5.4.4.2. A rétegződés párhuzamos a hajlítónyomaték vektorával

182

5.4.4.3. Eltérő húzó- és nyomórugalmassági modulusszal rendelkező anyagú rudak tiszta hajlítása 5.4.5.


185 186

6


186


187

5.5.

Csavaró igénybevétel

187

5.5.1.

Kör (és körgyűrű) keresztmetszetű rudak tiszta csavarása

5.5.2.

Vékony falú, zárt szelvényű prizmatikus rudak tiszta csavarása

192

5.5.3.

Téglalap keresztmetszetű prizmatikus rudak tiszta csavarása

193

5.5.4.

Vékony falú, nyitott szelvényű prizmatikus rudak tiszta csavarása

195

5.5.5.


196

187


196


197

5.6.

Hajlítás és nyírás

5.6.1.

A hajlítónyomaték vektora merőleges a keresztmetszet

198

szimmetriasíkjára 5.6.2. 5.6.3.

198

A hajlító igénybevétel nyomatékának vektora párhuzamos a keresztmetszet szimmetriatengelyével

204

Közönséges hajlításnak kitett prizmatikus rúd alakváltozása

208

5.6.3.1. Egyenes hajlításnak kitett rúd alakváltozása

209

5.6.3.2. Ferde hajlításnak kitett rúd alakváltozása

209

5.6.3.3. A közönséges hajlításnak kitett rúd nyírásból származó alakváltozása

213

5.6.4.

Összetett keresztmetszet közönséges hajlítása

215

5.6.4.1. A rétegek síkja merőleges a hajlítónyomaték vektorára

216

5.6.4.2. A rétegek síkja párhuzamos a hajlítónyomaték vektorával

216

5.6.5.


218

5.6.5.1. Megengedett méretezésen alapuló méretezési módszer

218


219

5.7.

Hajlítás és normál igénybevétel

220

5.7.1.


224


224


225

5.8.

Általános összetett igénybevétel

225

5.8.1.


226


226


226

5.9.

Görbe tengelyű rudak

5.9.1.

Egyszeresen szimmetrikus keresztmetszetű görbe tengelyű rudak

226

külső terhelésből származó feszültségeinek meghatározása

228

5.9.2.

Görbe tengelyű rudak alakváltozásának számítása

235

5.9.3.


236

7

6.

Lemezek rugalmasság- és szilárdságtana

236

6.1.

A külső erők hatásvonala beleesik a középfelület síkjába

237

6.2.

A külső erők hatásvonala merőleges a középfelület síkjára

238

6.2.1.

Hengerpalást felületre deformált, sztatikailag határozott megtámasztású, téglalap alakú lemez

246

6.3.


247

7.

Stabilitási problémák

248

7.1.

Hosszú, nyomott rudak kihajlása

249

7.1.1.

Karcsú, nyomott rudak rugalmas kihajlása

250

7.1.2.

Szerelési és gyártási pontatlanságok következtében fellépő rugalmas kihajlás

253

7.1.3.

Hajlítónyomatékkal is terhelt, karcsú nyomott rudak rugalmas kihajlása

256

7.1.4.

Parabolaív alakú tartók rugalmas kihajlása

258

7.1.5.

Hosszú, nyomott rudak kihajlása az arányossági határt meghaladó feszültségek

7.1.6.

esetén

261


263


263


264

7.2.

Hajlított rudak kifordulása

266

7.2.1.

Nyújtott téglalap keresztmetszetű, egyenes tengelyű, hajlított rudak kifordulása

266

7.2.2.

Nyújtott téglalap keresztmetszetű, körív alakú, hajlított rudak kifordulása 271

7.2.3.


271


272


272

8.

Egyéb szerkezetek és testek rugalmassági és szilárdsági problémái

8.1.

Alakváltozások és feszültségek az alkatrészek érintkezési helyének

272

környezetében

272

8.1.1.

Koncentrált erővel terhelt rugalmas féltér

273

8.1.2.

A rugalmas félsík feszültségi állapotai

279

8.1.3.

Testek érintkezési helyének környezetében fellépő feszültségek

283

8.2.

Sztatikailag határozatlan szerkezetek

285

8.2.1.

Törzstartó kialakításának módszere

286

8.2.1.1. Többtámaszú, egyenes tengelyű, sztatikailag határozatlan tartók 8.2.2.

Castigliano II. és Menabrea tételén alapuló módszer

Felhasznált és ajánlott irodalom

288 291 294

8

SZILÁRD TESTEK SZTATIKÁJA 1. Rugalmasságtani és szilárdságtani alapfogalmak A szilárd testek sztatikájában alkalmazásra kerülő fogalmak, absztrakciók egy részével mint általános mechanikai alapfogalmakkal már korábban megismerkedtünk. Ilyenek voltak pl. a tér, idő, elmozdulás, erő stb. Ezeken túlmenően természetesen a szilárd testek sztatikájának is megvannak a speciális alapfogalmai, amelyekkel az alábbiakban foglalkozunk. 1.1. A rugalmasságtan és szilárdságtan tárgya és feladata A mérnöki gyakorlat szinte minden területén szükség van olyan eljárásokra, amelyek segítségével meghatározhatók az építmények, berendezések, gépek, azok szerkezeti elemeinek igénybevétele, teherbíróképessége és alakváltozása annak érdekében, hogy ezek a műszaki létesítmények kielégítő biztonsággal működhessenek, feleljenek meg céljainknak. Ezeknek az eljárásoknak a kidolgozása, elméleti és kísérleti megalapozása a műszaki mechanika feladata. E feladat jellegéből következik, hogy a sztatikában kiválóan bevált merev test fogalma olyan absztrakció, amely itt nem alkalmazható. Helyette az alakítható test fogalmát kell bevezetnünk. Viselkedésük jellegzetességei szerint az alakítható testeket három nagy csoportba oszthatjuk: - szilárd testek, melyek mind az alak-, mind a térfogatváltoztatással szemben nagy ellenállást tanúsítanak, de sohasem tökéletesen merevek, - folyadékok, amelyek csak a térfogatváltozással szemben ellenállóak, alakjuk kis erőhatásra is könnyen és jelentős mértékben változik, - gázok, amelyek alakjukat és térfogatukat már viszonylag kis erőhatásra is jelentősen megváltoztatják. A faipari-, papíripari-, erdő- és környezetmérnökök számára a szilárd testek viselkedésének ismerete a legfontosabb. A szilárd testek mechanikai viselkedésének pontos leírása is igen nehéz feladat, ezért a valóságos tulajdonságokat az egyszerűbb matematikai kezelhetőség érdekében ideálisakkal közelítjük. A szerkezeti elemként használt anyagot mindenek előtt folytonos tömegeloszlásúnak, azaz kontinuumnak tekintjük. Homogénnek nevezzük az anyagot, ha mechanikai tulajdonságai minden pontjában azonosak, inhomogénnek, ha eltérőek. Izotrop anyagról beszélünk, ha valamely pontban a felvehető összes irányban azonosak a mechanikai jellemzői. Ha a tulajdonságok függenek az iránytól, anizotrop anyagról van szó. Az egyik legfontosabb absztrakció azonban az anyagra ható terhelés és az általa létrehozott alakváltozás, illetve az alakváltozási folyamat idealizálása. A legegyszerűbb, ugyanakkor igen jól használható anyagmodell az ún. rugalmas test, melynek az a jellemzője, hogy a terhelés

9

által létrehozott alakváltozás az erőhatás megszűnésével szintén eltűnik. Ilyen testekből felépített szerkezetekkel és szerkezeti elemekkel foglalkozik a rugalmasságtan. Ha az erőhatás és az alakváltozás között lineáris kapcsolatot tételezünk fel, amint az a műszaki gyakorlatban előforduló feltételek mellett sokszor igen jó közelítéssel teljesül, lineáris rugalmasságtanról beszélünk. Vannak azonban olyan anyagok is, amelyeknek nincs vagy nagyon kicsi a rugalmas alakváltozása, és a terhelés hatására maradandó - röviden - maradó alakváltozást szenvednek. Ezeket képlékeny anyagoknak hívjuk s velük a képlékenységtan foglalkozik. Hangsúlyozzuk, hogy a fenti ideális tulajdonságok a gyakorlatban tisztán szinte sohasem fordulnak elő. A szerkezeti anyagok többsége kis részecskékből, kristályokból, rostokból áll, melyek önmagukban anizotropok. Makroszkopikus méretekben azonban a részecskék tulajdonságainak átlagértéke mutatkozik, s ilyen értelemben - különösen fémeknél és bizonyos műanyagoknál - indokolt a homogén és izotrop feltételezés. A természetben kialakult vagy mesterségesen létrehozott, rostos vagy réteges kialakítású anyagok - mint pl. a faanyag, rétegelt lemezek, bizonyos műanyagok - általában homogén anizotropoknak, esetleg inhomogén anizotro pnak tekinthetők. Az alakváltozás szempontjából a valóságos anyagok egyszerre rugalmasan és képlékenyen is viselkednek, és a két tulajdonság aránya rendkívül változatos lehet. A szerkezeti anyagok nagy többségére azonban a nagy rugalmas és kismértékű képlékeny alakváltozás jellemző, és ez lehetővé teszi az ideálisan rugalmas lineáris modell alkalmazását. A rugalmasságtan és a képlékenységtan képezi az alapját a szilárdságtannak, amelynek segítségével meghatározhatjuk valamely szerkezeti elem teherbíró képességét, vagy adott terhelésnél a tönkremenetellel szembeni biztonságot, illetve a tönkremenetel valószínűségét. 1.2. A feszültség fogalma Vágjunk ketté egy egyensúlyi erőrendszerrel terhelt testet valamely belső P pontján át egy síkkal (1.1./a ábra). A merev testek sztatikájában beláttuk, hogy az így felszabadított sík felületén általában egy megoszló, ún. belső erőrendszernek kell ébrednie a két rész egyensúlyának biztosítására. Ezt a belső erőrendszert a folytonos anyageloszlás feltételezése miatt folytonosnak tekinthetjük és eredőjét - érdekes módon - sztatikai eszközökkel is számíthatjuk, anélkül, hogy ismernénk tényleges felületi megoszlását. A B erő, ami a bal oldali testrészen ható, felületen megoszló belső erőrendszer eredője a jobb oldali testrészen ható külső erők eredőjével egyenlő. A rugalmasságtan egyik feladata éppen az, hogy meghatározzuk ennek a belső erőrendszernek a jellegét, minőségét és tényleges megoszlását. Ez a feladat sztatikailag határozatlan, hiszen végtelen sokféleképpen lehetne olyan erőrendszert felvenni, melynek eredője éppen

B . A valóságnak megfelelő erőmegoszlást, mint minden sztatikailag határozatlan feladatnál, csak az alakváltozás figyelembevételével lehet egyértelműen meghatározni. Jelöljük ki a síkmetszet P pontja körül egy elemi, ∆A nagyságú felületet és tegyük fel, hogy az ezen ható felületi erőrendszer eredője az elemi nagyságú ∆B erő. A P pont körüli felü-

10

∆B is

let nagyságának csökkentésével

változik. Az A felület minden határon túli csökkentésével a ∆B / ∆A hányados egy, a P pontban értelmezett határérték felé tart:

∆B dB = = σn , ∆A→0 ∆A dA lim

1.1

melyet a P pont n jelű síkmetszetéhez tartozó feszültségvektorának nevezünk. A feszültség kötött vektor, támadáspontja a vizsgált P pont. (1.1)-ben az n index a metszősíkra

utal.

legegyszerűbben egységvektorral

E a

(n

egységnyi normál -

sík

állását

rá

merőleges

=1 ),

a

a sík

vektorával adhatjuk

meg.

1.1 ábra A feszültségvektor általában a metszősík minden pontjában más és más lesz. Ha a felület valamely pontjának helyvektora ρ , akkor a hozzátartozó belső erőrendszert a

σ n = σ n (ρ)

1.2.

vektor-vektor függvény határozza meg. Ha egy n normálisú síkon ismerjük (1.2) konkrét alakját, akkor a belső erőrendszernek a keresztmetszet súlypontjára vonakozó dinámját az alábbi kifejezésekkel számíthatjuk:

B = ∫ dB = ∫ σ n ( ρ )dA A

, 1.3/a

A

WS = ∫ ( ρ − ρS ) × dB = ∫ ( ρ − ρS ) × σ n ( ρ ) dA A

1.3/b

A

A σ n feszültségvektor a felület n normálisával tetszőleges szöget zárhat be, s így általában felbontható egy normális irányú és egy arra merőleges (tehát a síkba eső) komponensre (1.1/b. ábra). A normálvektorral párhuzamos

11

σ nn = σ n n

1.4

komponenst normálfeszültségnek, a metszősíkkal párhuzamos

σ nm = σ n m

1.5

komponenst nyíró- vagy csúsztatófeszültségnek nevezzük. Könnyen beláthatjuk, hogy az m irány egységvektorát az

m=

n × (σ n × n )

(σ n × n)

vektorkifejezéssel számíthatjuk. A feszültségvektort tehát mindig megadhatjuk komponenseinek összegeként:

σ n = σ nn n + σ nm m

⋅

1.6

A feszültségösszetevők σ nn és σ nm koordinátáinak, illetve a feszültségvektor abszolút értékének dimenziója az (1.1) definícióinak megfelelően erő/felület, mértékegysége az SI-ben 1 2

N/m = 1 Pa = 1 pascal. Ez az egység a műszaki gyakorlatban nagyon kicsiny mennyiség, cél6

6

6

2

szerű a 10 -szorosát használni: 10 N/m = 10 Pa = 1 MPa = 1 N/mm . Az utolsó azonosság alátámasztja az egyébként nem túlságosan szemléletes MPa használatát, mert mérőszáma azonos a N/mm2 egység mérőszámával, aminek fizikai értelmezése lényegesen szemléletesebb. Itt jegyezzük meg, hogy a σ nn és σ nm mennyiségnek megfelelő két indexes jelölésmódhoz a továbbiakban is konzekvensen ragaszkodunk. Vegyük észre, hogy az első index mindig annak a síknak a normálisára utal, amelyhez a feszültségvektor tartozik, a második pedig arra az irányra, amellyel a feszültségkomponens párhuzamos. Számos szakirodalom σ nn helyett

σ n , σ nm helyett τ nm vagy τ n jelölést használ. A két indexes jelölésmódnak azonban később sok előnye lesz. Egyelőre csak annyit tartsunk szem előtt, hogy ha a két index megegyezik, normálfeszültségről, ha különbözik, nyírófeszültségről van szó. Tétel: Adott pontban az ellentett irányítású síkokhoz tartozó feszültségvektorok egymásnak ellentettjei. Bizonyítás: Az akció-reakció elv értelmében, ha a P pont körül felvett ∆A felülethez tartozó erő a bal oldali testrészen ∆B , akkor ugyanezen felülethez a jobb oldali testrészen, azaz a - n normálisú felületen - ∆B belső erő tartozik. (1.1) felhasználásával:

σ

−n

− ∆B + ∆B = − lim = −σ n ∆A → 0 ∆A ∆A → 0 ∆A

= lim

.

12

1.3. Alakváltozási jellemzők Vegyünk fel a szilárd test va lamely P pontjának szűk környezetében egy tetszőleges helyzetű A pontot, melynek helyét az elemi hosszúságú ∆r helyvektorral adjuk meg. A deformáció után az A pont a P ponthoz képest a ∆r , helyvektorú A' pontba kerül. Ha a ∆r

helyvektor kicsinek

hosszát vesszük

fogalmazhatunk,

elég úgy

hogy

is az

alakváltozás során a ∆r vektor a ∆r , vektorrá transzformá-

lódik (1.2.ábra). A 1.2. ábra

∆ δ = ∆r , − ∆r

1.8

vektor nyilvánvalóan jellemző a P pont környezetének alakváltozására, ezért torzulásvektornak nevezzük. A torzulásvektor és ∆r hányadosának ∆r →0 átmenettel képzett határértéke a deformáció vagy alakváltozási vektor:

lim

∆r → 0

∆δ dδ = = εn ∆r dr

⋅

1.9

Az n index a ∆r vektorral azonos irányítású n egységvektorra utal. A deformációvektor (1.9) szerint a nagyon kicsi, de egységnyi hosszúságú irányvektorhoz tartozó torzulásvektor. Egy adott n irányhoz a szilárd test minden pontjához rendelhető egy deformációvektor, amelyet az

ε n = ε n (ρ) vektor-vektor-függvénnyel adhatunk meg.

1.10

13

Az alakváltozási vektort - hasonlóan a feszültségvektorhoz - felbonthatjuk egy n irányú és egy arra merőleges összetevőre (1.3. ábra):

ε n = ε nn n + ε nm m

1.11

A két alakváltozási komponens fizikai értelmezése céljából vezessük be a fajlagos hosszváltozás fogalmát, amely egy l hosszúságú elem deformáció során

λ

elszenvedett

hosszváltozásának és eredeti hosszának hányadosa. A fajlagos hosszváltozás pozitív, ha az alakváltozás során az elem hosszabb, negatív, ha rövidebb lesz. Az 1.3. ábra alapján határozzuk meg a P pontban felvett

n

egységvektor

fajlagos

hosszváltozását: 1.3. ábra , λ n − n 1 + ε nn − 1 = ≅ = ε nn 1 l n

⋅

1.12

Határozzuk meg az n és az n , vektorok által bezárt szöget is:

ϕ ≅ tgϕ =

ε nm = ε nm 1 + ε nn

.

1.13

A fenti két kifejezésben kihasználtuk azt a megkötést, hogy a szilárd test alakváltozása csak kicsi lehet, olyan kicsi, hogy az n , ≅ 1 + ε nn ; ε nn << 1 és tg ϕ ≅ ϕ összefüggések gyakorlatilag elfogadhatók. (1.12) és (1.13) szerint a deformációvektor n irányú vetülete az adott n irányhoz tartozó fajlagos hosszváltozás, n -re merőleges vetülete pedig az n egységvektor deformáció során szenvedett szögelfordulása. ε nn és ε nm dimenzió nélküli mennyiségek. A szakirodalom sokszor az ε nn = ε n és

ε nm =

1

2

γ nm =

1

2

γn

jelölést alkalmazza.

14

1.4. A szilárd anyag viselkedése egyszerű igénybevételek és különböző igénybevételi módok hatására A szerkezeti anyagok különböző technikai feltételek mellett mutatott mechanikai viselkedésének kísérleti vizsgálata és kutatása a műszaki gyakorlat számára igen nagy jelentőségű, mert ez képezi az alapját a szilárd anyagok elméleti-mechanikai modellezésének és a teherbíróképesség kimutatásának. Az anyag szilárdsági jellemzőin azokat a tulajdonságokat értjük, amelyek az anyagokat a mechanikai igénybevételekkel szemben tanúsított ellenállásuk (alakváltozás, törés, stb.) szempontjából írják le. Ezeket a tulajdonságoknak és jellemzőknek a kutatása és meghatározása az anyagtudomány feladata. 1.4.1. Terhelési módok Az anyagok teherbíróképességét - az anyagminőség mellett - az igénybevételek fajtája és a terhek jellege határozza meg. Az igénybevételek fajtáival, meghatározásukkal a merev testek sztatikájában megismerkedtünk. A terhelés jellege szerint sztatikus és dinamikus terhelésről beszélünk. - Sztatikus terhelés: A külső és belső erők a terhelési folyamat alatt minden pillanatban sztatikai egyensúlyban vannak, az alakváltozás nagyon lassan megy végbe, az alakváltozási sebesség gyakorlatilag nulla. A sztatikus terhelés feltétele az, hogy a teher nagyságának változása lassú, azaz a teherátadási sebesség kicsi legyen. Ide tartoznak azok a terhelések, amelyek a szerkezetre úgy adódnak át, hogy nulláról indulva maximális értéküket lassan és egyenletesen érik el. Ilyen teherátadási módot alkalmaznak pl. az anyagok ún. rövid idejű vagy pillanatnyi sztatikus szilárdságának meghatározásánál. A sztatikus terhek közé soroljuk azokat a terheket is, amelyek helyüket és nagyságukat hosszú időn át sem változtatják meg. Ezeket tartós állandó terheknek nevezzük. Ilyen terhelésnek tekinthető pl. a szerkezetek önsúlyából származó erő. - Dinamikus terhelés: A terhelési folyamat során a külső és belső erők nincsenek sztatikai egyensúlyban, így a szerkezetben, illetve annak bizonyos részeiben váltakozó előjelű gyorsulások, s ezek következtében rezgés jellegű alakváltozások keletkeznek. Dinamikus terhelésnél a teherátadás sebessége nem hanyagolható el, sőt bizonyos esetekben végtelen nagynak veendő. Ide soroljuk azokat a terheléseket, amelyek ütközés- vagy lökésszerűen adódnak át, azaz a teherátadás pillanatszerűen megy végbe, valamint azokat, amelyek hosszú időn át hatnak, de nagyságuk az időben viszonylag gyorsan változik. Ez utóbbiakat tartós változó (váltakozó)

15

terhelésnek nevezzük. A változás lehet véletlenszerű (sztochasztikus), poliharmonikus és tiszta harmonikus (1.4. ábra). A periódikusan változó terheléseknél Fmax és Fmin az igénybevétel felső és alsó értéke. A terhelés amplitúdója:

Fa =

Fmax − Fmin 2

középértéke pedig:

Fm = Fmin + Fa =

Fmax + Fmin 2

1.4. ábra

16

Lüktető terhelésről (igénybevételről) beszélünk, ha

Fmin ≥0 Fmax és lengő terhelésről (igénybevételről), ha

Fmin <0 . Fmax A sztatikus, a lüktető és a lengő terhelés a méretezési előírások I, II. és III. típusú terhelésnek is nevezik. 1.4.2. A szilárd testek valóságos mechanikai viselkedése A szilárd testek mechanikai viselkedése szempontjából az alakváltozással és a tönkremenetellel kapcsolatos jellemzők a legfontosabbak. Az alakváltozás és a tönkremenetel jellege és sajátosságai a különböző terhelési módoknak megfelelően rendkívül sokfélék lehetnek. A szilárd test fizikája keretében megkísérlik az anyag szerkezeti felépítéséből levezetni annak mechanikai viselkedését. Az elmélet sikeresen értelmezi a mechanikai tulajdonságok nagy részét, kvantitatív kiértékelésre azonban - az anyag szerkezeti felépítésében mindig megjelenő rendellenességek, szabálytalanságok, az ún. diszlokációk miatt - nem alkalmas. E miatt a mérnöki tudományokban egyelőre a fenomenológiai szemléletmód az uralkodó. A fenomenológiai módszer alkalmazása során lemondunk a jelenség fizikai magyarázatáról és megelégszünk annak leírásával. A mechanikai viselkedés - azaz a terhelés módja, jellege, valamint az alakváltozás és a tönkremenetel közötti kapcsolat - minél pontosabb leírására gondosan megtervezett és nagyszámú kísérletet kell elvégezni. Ezek kiértékelése után lehet következtetni a különböző anyagok mechanikai tulajdonságainak minőségi és mennyiségi jellemzőire. A különböző igénybevételek esetén az erők jellegének megfelelően a szilárdsági tulajdonságok vizsgálatához rövid idejű - sztatikus tartós rövid idejű - dinamikus tartós kísérleteket alkalmaznak. A következőkben a fenti kísérleti módszerek és lehetőségek közül a legalapvetőbbeket, illetve a legjellemzőbbeket ismertetjük.

17

A/ Sztatikus, rövid idejű vizsgálatok E csoportba tartoznak a tudománytörténetileg elsőként elvégzett legegyszerűbb anyagvizsgálatok. Az anyagok mechanikai tulajdonságait a belőlük készített próbatesteken határozhatjuk meg. A kísérlet folyamán a próbatestet alkalmas erőrendszerrel terheljük és mérjük az általa létrehozott alakváltozást. A vizsgálat eredményeként egy

Y = Y( δ )

1.14

függvényt kapunk, ahol Y - a terhelésnek megfelelő igénybevétel nagysága, δ - a fellépő alakváltozás (hosszváltozás, lehajlás, szögelfordulás, stb.) mértéke. Az Y = Y(δ ) függvényt ábrázoló diagramot a próbatest jelleggörbéjének nevezzük. A próbatest jelleggörbéje általában három részre osztható (1.5. ábra). Az első, 0A szakaszon az igénybevétel nagysága és az általa létrehozott alakváltozás között a kapcsolat jó közelítéssel lineáris. Ha ezen a tartományon visszavesszük a terhelést, akkor a tehermentesítéshez tartozó jelleggörbe egybeesik az 0A egyenessel. A test visszanyeri eredeti alakját és méreteit. Ezt a tulajdonságot rugalmasságnak nevezzük. Nagyon pontos mérésekkel ugyan kimutatható, hogy az alakváltozás sohasem tűnik el teljesen, egy kis alakváltozás mindig - a legkisebb terhelés után is - marad vissza, melyet maradó alakváltozásnak nevezünk. Igy bár tökéletesen rugalmas anyag nincs, a műszaki gyakorlatban a szerkezeti anyagokat annak tekintjük, ha a terhelés nem éri el a rugalmassági határt. A rugalmassági határ az A pontnak megfelelő terhelés, az arányossági határ közelében van, annál azonban kisebb és nagyobb is lehet. A rugalmassági határnál nagyobb igénybevételnél a próbatest képlékeny állapotba kerül. Képlékeny állapotban ugyanakkora tehernövekedéshez lényegesen nagyobb alakváltozás tartozik, mint a rugalmas állapothoz. Bizonyos anyagoknál található olyan tehernagyság, melyet állandó értéken tartva az alakváltozás az időben folyamatosan nő. Ezt a jelenséget folyásnak nevezzük, a hozzá tartozó igénybevételt pedig folyáshatárnak. A folyás során keletkező alakváltozás mindig megmaradó alakváltozás. A rugalmassági határt meghaladó terhelést - pl. a D pontnak megfelelő igénybevételt - visszavéve a tehermentesítés vonala az OA egyenessel párhuzamos lesz. A D ponthoz tartozó teljes alakváltozás δ r rugalmas része eltűnik, csak a folyásból származó marad meg:

δ = δr + δm

.

1.15

A próbatestet újra terhelve, annak jelleggörbéje gyakorlatilag az előző tehermentesítés vonala lesz egészen a D pontig. Egy terhelési ciklus tehát megnöveli az anyag arányossági, illetve fo-

18

lyáshatárát. Ezért a jelleggörbének ezt a második, AB részét felkeményedési szakasznak nevezzük. E szakasz végén, a görbe B pontjában a próbatest terhelhetősége eléri a maximumot. A

1.5. ábra hozzá tartozó igénybevételt törőigénybevételnek nevezzük, jóllehet a próbatest törése nem itt, hanem a C pontban következik be. A harmadik, BC szakaszon indulnak be és teljesednek ki azok a folyamatok (belső repedések, helyi keresztmetszetcsökkenés, stb.), melyek lerontják és végül megszüntetik a külső terheléssel szembeni ellenállást. A próbatestek jelleggörbéjének tényleges alakja nagyon sok befolyásoló tényező függvénye. Ezek közül legfontosabbak: - az anyagminőség, az anyagminőség, - a próbatest geometriai jellemzői, - az igénybevétel fajtája, jellege, - a teherátadás sebessége, - a kísérlet környezeti állapothatározói (hőmérséklet, nedvességtartalom stb.). A próbatestek jelleggörbéiből az anyag mechanikai viselkedésére következtethetünk, ha sikerül a próbatest alakjának hatását kiküszöbölni. Az anyagtulajdonságok legfontosabb jellemzőinek tárgyalására a húzó-, nyomó- és nyíróigénybevétellel történő, sztatikus, rövid idejű vizsgálatokat mutatjuk be. 1. Húzó-vizsgálat A húzókísérlethez a vizsgálandó anyagból egy kör vagy téglalap keresztmetszetű, A0 területű, L hosszúságú egyenes rudat készítenek, melyet anyagvizsgáló gépben egy időben vál-

19

tozó F=F(t) nagyságú koncentrált erővel terhelünk sztatikusan (az F(t) tehát nulláról indul, az idővel lineárisan növekszik, a teherátadás sebessége kicsi, de a tönkremenetelig eltelt idő nem több néhány percnél), úgy, hogy a rúd középső, l0 hosszúságú szakaszának minden keresztmetszete F nagyságú húzóigénybevételnek legyen kitéve. A próbatest jelleggörbéjét a bevezetőben bemutatottaknak megfelelően fel lehet venni. Az anyagtulajdonságok kiértékeléséhez bevezetjük a

σ( t ) =

F( t )

1.16

A0

látszólagos normálfeszültséget és az

ε( t ) =

l( t ) − l 0 l0

=

λ( t ) l0

1.17

fajlagos hosszváltozást (megnyúlást), ahol l(t) - az eredetileg l0 hosszúságú szakasz F(t)-hez tartozó, megnyúlt hossza, λ (t) - az l0 szakasz hosszváltozása.

A terhelési folyamat során minden pillanatban hozzárendelhető a névleges feszültséghez egy fajlagos hosszváltozási érték. Az (1.16) és (1.17) definíciókból következik, hogy a σ = σ(ε ) függvénykapcsolat az (1.14) típusú F = F( λ ) függvénnyel, a próbatest jelleggörbéjé-

vel affin. Ugyanakkor a σ = σ(ε ) nem függ a próbatest geometriai méreteitől, nem szerkezeti, hanem anyagjellemző, ezért az anyag látszólagos jelleggörbéjének, alakváltozási diagramjának

(húzódiagramjának) nevezzük. A próbatest jelleggörbéje és az anyag látszólagos jelleggörbéje közötti affinitás miatt a két diagram jellege hasonló, ugyanazokra a szakaszokra bonthatók (1.6. ábra). Az alakváltozási diagramok jellemző pontjainak meghatározása elvi és gyakorlati szempontból is sok problémát jelenthet, ezért ezeket általában elfogadott, szabványok által rögzített módszerekkel, eljárásokkal állapítják meg. Ezen egyezmények szerint: σ A - az anyag arányossági határa: a 0,0005 mm/mm maradó fajlagos hosszváltozáshoz tartozó névleges feszültség, σ R - az anyag rugalmassági határa: a 0,0002 mm/mm maradó fajlagos hosszváltozáshoz tartozó névleges feszültség, σ F - az anyag folyáshatára: a 0,002 mm/mm maradó fajlagos hosszváltozáshoz tartozó névleges feszültség. Az anyag látszólagos jelleggörbéjének ismeretében a fenti mennyiségeket úgy határozzuk meg, hogy az ε tengelyen felmérjük a keresett határnak megfelelő maradó fajlagos alakváltozás-értéket. Az e pontból kiinduló, a jelleggörbe lineáris szakaszával párhuzamos egyenes

20

és a jelleggörbe metszéspontjához tartozó névleges feszültség adja a keresett jellemzőt (1.6. ábra). A felkeményedési szakaszon a görbe legmagasabb pontjának megfelelő σ B feszültséget az anyag rövid idejű, sztatikus húzószilárdáságnak nevezzük. A húzószilárdság - megállapodás szerint - a legnagyobb húzóigénybevétel és a kezdeti keresztmetszet-terület hányadosa:

σB =

Fmax N max = ⋅ A0 A0

1.18

A húzott próbatest alakváltozása nem egyedül a hosszirányú méretnövekedés, hanem ezzel egyidőben - a hosszirányra merőlegesen - a keresztmetszet síkjában is fellép hosszúságváltozás, amelyet keresztirányú (harántirányú) fajlagos hosszváltozásnak nevezünk:

ε k (t) =

d( t ) − d 0 d0

,

1.19

ahol a d(t) - a próbatest hossztengelyére merőleges síkban felvett, eredetileg d 0 hosszúságú szakasz F(t) erőhöz tartozó, megváltozott hossza. Húzóigénybevételnél a keresztirányú méretek kisebbek lesznek. A keresztirányú fajlagos hosszváltozás az alakváltozási diagram kezdeti, lineáris szakaszán szintén lineáris kapcsolatban van a terhelő erővel, illetve a névleges feszültséggel, így a hosszirányú fajlagos alakváltozással is. A folyási tartományban nagysága a hosszirányú fajlagos hosszváltozásnak a fele lesz. A jelleggörbe B pontjáig a keresztmetszet méretcsökkenése a próbatest teljes hosszában azonos. A jelleggörbe harmadik szakaszán azonban a próbatest egy bizonyos helyen a többi keresztmetszethez képest lényegesen gyorsabban elvékonyodik, behúzódik. Ez a jelenség a kontrakció. A próbatest szakadása a kontrahálódott keresztmetszetben következik be. A kontrakció jellemzésére a

ψ=

A0 − A C A0

1.20

mérőszámot vezetjük be, ahol A C - a kontrahált keresztmetszet szakadás után mérhető területe. Szakadási nyúlásnak nevezzük a fajlagos hosszváltozást a próbatest elszakadásának pillanatában:

εC =

lC − l0 l0

1.21

ahol l C az eredetileg l 0 hosszúságú rúdszakasz megnövekedett hossza, melyet a két szakadt rész összeillesztésével mérhetünk.

21

Különösnek tűnhet, hogy a σ B

1.6. ábra húzószilárdság elérése után a jelleggörbe csökkenő

tendenciát mutat. Ennek az az oka, hogy a függőleges tengelyre a húzóerő és az eredeti A 0 keresztmetszet-terület hányadosaként értelmezett, névleges feszültséget mértük fel. Az anyag valódi jelleggörbéjét úgy kapjuk meg, hogy a fajlagos hosszváltozást a tényleges feszültség függvényében ábrázoljuk. A tényleges feszültség pedig a húzóerő és a csökkenő keresztmetszetterület hányadosa. A kísérletek tanúsága szerint a jelleggörbe lineáris szakaszán a keresztmetszeti méretek csökkenése olyan kicsi, hogy a látszólagos és a valódi jelleggörbe gyakorlatilag egybeesik. Jelentős eltérés a 2. és különösen a 3. szakaszban tapasztalható (1.6. ábra). Különösen bonyolulttá válnak a feszültségi és alakváltozási viszonyok a kontrahálódott keresztmetszetben a szakadás pillanatában. Így a valódi húzószilárdság és a valódi szakadási nyúlás meghatározásához általában csak közelítő számításokat alkalmaznak. 2/ Nyomó-vizsgálat Nyomókísérletnél kör vagy derékszögű négyszög keresztmetszetű, d 0 minimális szélességű, A 0 területű, L hosszúságú próbatesteket készítenek, melynek alsó és felső homloklap-

22

jára F = F(t) nagyságú, sztatikusan működő nyomóerő hat. Általában igen nehéz olyan kísérleti körülményeket kialakítani, hogy a próbatest minden keresztmetszete tiszta nyomásra legyen igénybe véve. Az egyik zavaró hatás abból adódik, hogy a próbatest homlokfelülete és a nyomólapok között jelentős súrlódóerő ébred. A másik zavaró körülmény az, hogy a próbatest hossztengelye bizonyos terhelésnél meghajlik. Ha a próbatest hosszát úgy vesszük fel, hogy az ne legyen nagyobb legkisebb keresztmetszeti méretének 2-3-szorosánál (1,5d 0 ≤ L ≤ 3d 0 ) , akkor a hosszúság középső 2/3-ában az igénybevétel jó közelítéssel tiszta nyomás és a kihajlás veszélye is minimális lesz. A próbatest jelleggörbéjét felvéve, a húzóvizsgálatnál definiált névleges normálfeszültséggel és fajlagos hosszváltozással - a különbség csak annyi, hogy nyomásnál mindkettő negatív - megszerkeszthetjük az anyag jelleggörbéjét (1.7. ábra). A görbe jellegzetes pontjait is ugyanúgy kell megkeresni, mint húzóigénybevételnél. Előfordulhat - bizonyos anyagoknál -, hogy a nyomószilárdságnak megfelelő B pontot nem lehet meghatározni, mert ha a próbatest anyaga nagy értékű alakváltozásra képes, szétlapul a nyomópofák között anélkül, hogy eltörne. Nyomáskor a keresztmetszeti méretek megnövekednek. Mivel a súrlódás gátolja a homlokfelületek harántirányú elmozdulását, a próbatest oldala meggörbül, kidudorodik (a henger alakú próbatest hordóalakot vesz fel).

1.7. ábra Az anyag valódi jelleggörbéjét a tényleges normálfeszültség és a fajlagos hosszváltozás összekapcsolásával nyerjük. A keresztmetszet növekedése miatt a folyáshatárnál nagyobb feszültségeken a valódi jelleggörbe közelebb kerül a koordinátarendszer vízszintes tengelyéhez.

23

3/ Nyíró-vizsgálat A nyíró kísérlet technikai és elméleti szempontból komoly problémát jelent, mert olyan próbatest alakot és terhelési módot kialakítani, melynek hatására a próbatest egy bizonyos része tiszta nyíróigénybevételnek van kitéve és a nyírásból származó nyírófeszültségek eloszlása is egyenletes, igen nehéz, gyakorlatilag lehetetlen. A vizsgálatok többsége így csak a próbatest - és nem az anyag - jelleggörbéjének meghatározására alkalmas. Néhány vizsgálati módszernél (pl. egyenes rúd megcsavarásánál) azonban - bizonyos elvi feltételezések mellett - az anyag jelleggörbéjére is fontos következtetéseket tehetünk. A kísérleti tapasztalatok szerint a nyírófeszültség két szakasz egymással bezárt szögét változtatja meg, azok hosszát nem. Az anyag jelleggörbéjének felvételénél a vízszintes tengelyre a γ szögváltozást, a függőlegesre a nyírófeszültséget mérjük (1.8. ábra). Mivel a szögváltozás a keresztmetszet alakját csak eltorzítja, de területének nagyságát gyakorlatilag nem változtatja meg, az anyag látszólagos és valódi jelleggörbéje jó közelítéssel egybeesik. A megállapodás szerint a τ A arányossági határnak a 0,0002, a τ F folyáshatárnak a 0,003 maradó szögváltozáshoz tartozó nyírófeszültséget tekintjük. A különböző anyagok viselkedésének meghatározásához a sztatikus, rövid idejű vizsgálatokat előírás szerint szobahőmérsékleten (20 oC-on) végzik. Az így kapott jelleggörbék alakjától függően a szerkezeti anyagok két nagy csoportba oszthatók. - szívós anyagok, amelyek a rugalmas szakasz után még nagy képlékeny tartománnyal rendelkeznek, a próbatest törését - ha egyáltalán előidézhető - jelentős alakváltozás előzi meg, a tönkremenetel két legfontosabb jellemzője a folyáshatár és a látszólagos szilárdság. - rideg anyagok, amelyek képlékeny tartománya majdnem vagy teljesen hiányzik, a próbatest alakváltozása a törés pillanatáig viszonylag kicsi és gyakorlatilag rugalmasnak tekinthető. A törés sok anyagnál már 0,002 mm/mm vagy a 0,003 rad alatt bekövetkezik, így a folyáshatár nem határozható meg. A tönkremenetel legfontosabb jellemzője s látszólagos szilárdság. A szívós és rideg anyagok tipikus jellegzetességeinek tanulmányozására vizsgáljuk meg az 1.9. ábrát, melyen egy kis széntartalmú acél és szürke öntött vas látszólagos jelleggörbéit láthatjuk húzásnál és nyomásnál (a nyomó jelleggörbét is a pozitív síknegyedben ábrázoltuk). A kis széntartalmú acél próbatest húzásnál karcsúsodás után szakadt el, nyomásnál olyan nagy mértékű összenyomódást szenvedett, hogy a nyomószilárdságot nem lehetett meghatározni. A folyáshatár mindkét igénybevételnél azonos. A szürke öntött vasból készült próbatest kontrakció nélkül szakadt el húzáskor, nyomásnál csekély összenyomódás után eltörött. A törésig fellépő deformáció olyan kicsi volt, hogy az egyik igénybevételnél sem lehet folyáshatár tmeghatározni. A húzó- és nyomószilárdság között azonban jelentős különbség van. Az 1.10. ábrán lucfenyő anyag látszólagos húzó és nyomó jelleggörbéjét láthatjuk 12 %-os faanyag-nedvességtartalomnál, rostiránnyal párhuzamosan. Ugyanaz az anyag húzásra

24

ridegen,

nyomásra

viselkedett. elég

jelleggörbék

szívósan

töréshez

tartozó

alakváltozás

mindkét

A

keresztmetszeti esetben

inkább

kicsi,

ezért

a

valódi

alig

különböznek

a

látszólagosoktól. A látszólagos húzó és nyomó jelleggörbék különbözőségéből azonban nem kell feltétlenül a tényleges viselkedés eltérő jellegére következtetnünk. Az 1.11. ábrán hőkezeletlen acél húzó és nyomó diagramjai láthatók. A valódi jelleggörbék összehasonlításából kitűnik,

hogy

a

szilárdság

és

az

alakváltozási folyamat jellege a két igénybevételnél majdnem egyforma. Ez a tulajdonság általában a szívós anyagokra jellemző. 1.8 ábra

1.9. ábra

25

1.10. ábra

1.11. ábra

B/ Sztatikus, tartós (hosszú idejű) vizsgálatok A rövid idejű sztatikus anyagvizsgálatok mellett fontos szerepe van azoknak a kutatásoknak, amelyek a feszültségi és az alakváltozási jellemzők időbeli lefolyását vizsgálják. A mechanikának ezt a tudományterületét reológiának nevezik. A reológiai jelenségek, illetve vizsgálatok közül két alapvetőt említünk. Ha a vizsgált anyagban akkora feszültséget hozunk létre, amely rövid idejű sztatikus vizsgálatok alapján még nem okoz tönkremenetelt - sőt, még a rugalmas tartományon belül van - és ezt a feszültséget állandó értéken tartjuk, akkor azt tapasztaljuk, hogy a deformáció az időben folyamatosan növekszik. Az állandó terhelés mellett fellépő alakváltozás-növekedést kúszásnak hívjuk. Az 1.12. ábrán különböző feszültségszintekhez tartozó kúszásgörbéket látunk. Minél nagyobb a feszültség értéke, annál nagyobb a t = 0 pillanathoz tartozó kezdeti deformáció és a kezdeti alakváltozási sebesség. A deformáció sebessége azután az idő múlásával csökkenő tendenciát mutat, majd egy bizonyos idő elteltével - a görbék inflexiós pontjához tartozó

26

időpontban - ismét növekszik. A megnövekedett alakváltozási sebesség ezután már viszonylag rövid idő alatt olyan nagy deformációt hoz létre, hogy a próbatest törik, tönkremegy. Ez az ún. kúszási törés. A kúszás jelensége az anyag belső súrlódásával, viszkózus tulajdonságaival magyarázható. Az egyes feszültségszintekhez tartozó kúszás-görbék inflexiós pontjait összekötve az időtartamszilárdság görbéjét kapjuk. Az időtartamszilárdság az a feszültség, amelyen az anyag egy adott időpontban tönkremegy. Az 1.12. ábra alapján pl. a t 4 időponthoz tartozó időtartamszilárdság σ 4 . A nulla időponthoz tartozó időtartamszilárdság a sztatikus. rövid idejű törőszilárdság. Azt a legkisebb feszültséget, amelynél a kúszásgörbe inflexiós pontja a végtelenbe esik, sztatikus tartós szilárdságnak nevezzük, hiszen nyilvánvaló, hogy ez a feszültség soha nem okoz tünkremenetelt. A sztatikus tartós szilárdság kísérleti meghatározása rendkívül bonyolult és elméletileg sem tökéletesen tisztázott feladat. Egyes szerzők a sztatikus tartós szilárdságnak a sztatikus rövid idejű szilárdság 50-60 %-át javasolják. A reológiai folyamatok másik alapvető jelensége a feszültségrelaxáció vagy -ernyedés. Ez azt jelenti, hogy a deformáció állandó értéken tartásához időben csökkenő feszültségre van szükség. A feszültségcsökkenés sebessége a kezdeti feszültség, illetve az általa létrehozott alakváltozás nagyságától függ és az idő múlásával fokozatosan csökken. Az 1.13. ábrán különböző deformációkhoz tartozó feszültségrelaxációs görbéket láthatunk.

1.12. ábra

27

1.13. ábra C/ Dinamikus, rövid idejű vizsgálatok A rövid idejű dinamikus igénybevételekhez tartozó anyagjellemzőket ún. ütőkísérletekkel vizsgálják, ahol ismert tömeg meghatározott sebességgel ütközik a próbatestnek. Az anyagvizsgáló berendezés és a próbatest alakjának kialakításától függően tetszőleges ütő-igénybevétel valósítható meg. A vizsgálat során a töréshez felhasznált munkát kell mérni, amelyből úgy kapunk anyagjellemzőt, hogy értékét elosztjuk a törési keresztmetszet területével. A hányadost fajlagos ütőmunkának nevezzük:

a=

Wtörõ A0

,

1.22

mértékegysége: Nm/m2 = Nm-1. A fajlagos ütőmunka az anyag szívósságát, illetve ridegségét jellemzi. Nagy fajlagos ütőmunkánál nem kell azzal számolni, hogy az anyag hajlamos a nagyon veszélyes rideg törésre. Az ütőkísérleteket elsősorban az anyagok öregedésének vizsgálatára használják. Öregedésen az anyagok hosszú időn át való tárolása (esetleg használata) alatt bekövetkező szilárdsági tulajdonság-változásokat értünk. Az öregedés egyik legfontosabb következménye éppen az anyagok ridegebbé válása, ami a fajlagos ütőmunka csökkenésében jelentkezik. D/ Dinamikus, hosszú idejű vizsgálatok Tartós változó (váltakozó) terhelés esetén az anyag szintén bizonyos öregedési, kifáradási tulajdonságokat mutat. Ezeknek az ún. fárasztó vizsgálatoknak az a célja, hogy megállapít-

28

sák az anyag kifáradási határát, vagy más néven dinamikus tartós szilárdságát. A próbatest és az ismétlődő terhelés jellegétől függően a vizsgált keresztmetszetben különböző váltakozó igénybevételek ébredhetnek. Az alkalmazott igénybevétel felső és alsó értékeinek megfelelő feszültségeket ismétlődő felső és alsó feszültségnek nevezzük és σ if -fel és σ ai -val jelöljük. A két szélső érték számtani közepe a középfeszültség:

σ ik =

σ if + σ ai ⋅ 2

1.23

A középfeszültségtől való eltérés a feszültségamplitúdó:

σ if − σ ai σ =σ −σ =σ −σ = ⋅ 2 i e

i f

i k

i k

i a

1.24

Az anyag kifáradási határán azt a σ if felső feszültséget értjük, amelynek tartozó

egy

hozzá σ alsó i a

feszültséggel végtelen

való sok

is-

métlődése még éppen nem okoz tönkremenetelt. A fárasztóvizsgálatnál tehát egy adott alsó feszültségszinthez azt a 1.14. ábra felső feszültséget kell meghatározni, amelyet a próbatest végtelen sok ismétlődés után is elbír. Ha a terhelés n ismétlési számának függvényében ábrázoljuk azokat a σ if feszültséggörbéket, aminél az egyes próbatestek eltörnek, az ún. Wöhler-görbéket kapjuk (1.14. ábra). A görbe aszimptotikusan közelít egy értékhez, amely éppen a σ iB kifáradási határ. Mivel minden σ ai hoz más görbe és határérték tartozik, minden anyagnak végtelen sok Wöhler-görbéje van, ami gyakorlati szempontból igen kényelmetlen. Ha lemondunk a korlátozott ismétlődési számhoz tartozó kifáradási határ ábrázolásáról és a kifáradási szilárdságokat az ismétlődő középfeszültség, illetve a feszültségamplitúdó függvényében ábrázoljuk, a Smith-féle diagramot kapjuk. Ebben a diagramban a vízszintes tengelyre a középfeszültséget mérjük, a 45o-os dőlésű egyenesre pedig függőleges irányban felfelé és lefelé azokat a feszültségamplitúdókat, amelyeknél a

29

8

próbatest végtelen ( gyakorlatilag 10 ) számú ismétlődés után sem megy tönkre (1.15. ábra). A kifáradási határgörbe megrajzolása még így is nehéz, mert sok különböző jellegű (lüktető, lengő) terheléssel hosszú ideig tartó vizsgálatokat kell végezni. Emiatt sokszor megelégednek a Smith-féle diagram közelítő megszerkesztésével (szaggatott vonal).

1.15. ábra Az ábra alapján könnyen beláthatjuk, hogy ehhez az anyag folyáshatárán kívül csak egy lengő és egy lüktető igénybevételhez tartozó kifáradási határt kell meghatározni. A pontos vagy a közelítő Smith-diagram ismeretében könnyen eldönthetjük, hogy a váltakozó tartós igénybevétel okoz-e tönkremenetelt vagy sem. Ha a változó terhelést jellemző σ ik középfeszültségnek és a σ ie feszültségamplitúdónak megfelelő pont a határgörbe által körbezárt területre esik, az anyag tönkremenetele elméletileg csak végtelen idő múlva következik be. 1.5. Idealizált anyagtörvények A rugalmasság- és szilárdságtani számításokhoz - mint később látni fogjuk - szükség van a feszültségeket és az alakváltozásokat összekapcsoló ún. anyagi összefüggésekre. Ezeket az összefüggéseket a kísérletekkel meghatározott alakváltozási diagramok alapján kell felállítani. Láttuk azonban, hogy az anyagok tényleges viselkedését leíró jelleggörbék nagyon összetet-

30

tek, a teljes alakváltozási görbe, azaz az anyagtörvény csak igen bonyolult függvénnyel, illetve függvényekkel adható meg. Ilyen összetett függvények azonban az egyébként sem túlságosan egyszerű szilárdsági számításokat rendkívül megnehezítik, esetleg lehetetlenné teszik. Ezért van szükség olyan idealizált anyagtörvények megalkotására, amelyek matematikailag egyszerűen leírhatók, ugyanakkor bizonyos alakváltozási és feszültségi tartományban a valóságos viselkedést jól visszaadják. Az anyagok valóságos viselkedésének tanulmányozásánál láttuk, hogy a két alapvető tulajdonság a rugalmasság és a képlékenység (idegen szóval plasztikusság), ezek különböző arányban ugyan, de minden szerkezeti anyagban megtalálhatók. Az idealizálás egyik része abból áll, hogy a két tulajdonságot szétválasztjuk, függetlenné tesszük egymástól. Ideálisan rugalmas az anyag, ha a test a tehermentesítés után teljes mértékben visszanyeri eredeti alakját. További, de igen fontos egyszerűsítési lehetőség, ha a rugalmas tartományban a feszültség és az alakváltozás közötti kapcsolatot lineárisnak tekintjük. Ideálisan képlékeny az anyag, ha a test csak maradó alakváltozást szenved. Ennek legegyszerűbb formájánál az alakváltozási sebesség arányosan nő a ható feszültséggel. Ideálisan képlékeny anyagnál a folyás csak egy meghatározott feszültségszinten, a valóságos anyag folyáshatárának megfelelő értéken lép fel. A felkeményedési szakasz jellemzésére olyan képlékeny anyagmodellt kell választani, amelyben az alakváltozási sebesség nem lineáris, hanem annál bonyolultabb függvénykapcsolatban van a feszültséggel. Az idealizálás következő lépésében ezeket az egyszerű alapmodelleket valamilyen módon összekapcsoljuk. Az 1.16. ábrán az alapmodelleket, azok legegyszerűbb kombinációit, illetve a nekik mgfelelő jelleggörbéket láthatjuk: - lineárisan rugalmas (a. ábrarész), - lineárisan képlékeny (b. ábrarész), - lineárisan rugalmas-képlékeny (c. ábrarész), - ideálisan rugalmas-képlékeny-felkeményedő (d. ábrarész). A valóságos anyagok jelleggörbéivel összehasonlítva, megállapíthatjuk, hogy az a. ábrának megfelelő anyagmodell a rideg anyagok, a d. ábrának megfelelő pedig a szívós anyagok leírására látszik alkalmasnak. A műszaki gyakorlatban - akár építészeti, akár gépészeti feladatokról van szó - az alakváltozás általában csak kicsi lehet, mert a nagy deformáció már jóval a törés előtt lehetetlenné tenné a szerkezet használatát. A megengedett alakváltozás kis mértéke miatt a műszaki szerkezetek elemeiben a feszültség szinte sohasem haladja meg a rugalmassági, illetve az arányossági határt. Ez a tény lehetőséget ad arra, hogy a legegyszerűbb, a lineárisan rugalmas anyagtörvényt alkalmazzuk a műszaki szerkezetek rugalmasságtani és szilárdsági számításaiban. A lineáris alakváltozási törvényt, mely szerint az alakváltozás arányos a ható erővel, Hooke fogalmazta meg először, aki acéldrót húzásnál fellépő alakváltozását vizsgálta. A lineáris anyagtörvény a normálfeszültséggel és a fajlagos hosszváltozással kifejezve:

31

σ = Eε

1.25

ahol

σ - a vizsgált elem keresztmetszetének pontjaiban ható húzó- vagy nyomófeszültség, ε - a fajlagos hosszváltozás a normálfeszültség hatásvonalával párhuzamosan, E - a rugalmassági vagy Young-féle modulusz.

1.16. ábra A nyomófeszültséget és a neki megfelelő fajlagos hosszúságcsökkenést negatív előjellel látjuk el. Az anyagjelleggörbék, illetve a lineárisan rugalmas ideális anyagmodell jelleggörbéje alapján könnyen beláthatjuk, hogy az E rugalmassági modulusz a lineáris szakasz iránytangense:

E = tgα =

σ ⋅ ε

.

1.26

Az összefüggésből következik, hogy E feszültségdimenziójú mennyiség. Szerkezeti 3

9

anyagok esetén praktikus mértékegysége: Mpa vagy GPa = 10 MPa = 10 Pa.

32

A húzó- és nyomóvizsgálatnál láttuk, hogy nemcsak a feszültséggel párhuzamosan, hanem arra merőlegesen is fellép hosszváltozás. Ez a keresztirányú fajlagos hosszváltozás a rugalmassági, illetve az arányossági határ alatt arányos a hosszirányú fajlagos hosszváltozással:

ε k = − νε

1.27

ahol

εk

- a normálfeszültség hatásvonalára merőleges irányban a fajlagos hosszváltozás,

ν

- a harántnyúlási vagy Poisson-tényező, amely dimenzió nélküli szám. A negatív előjel

arra utal, hogy hosszirányú megnyúláshoz (+ ε ) keresztmetszeti méretcsökkenés, hosszirányú rövidüléshez (- ε ) keresztmetszeti méretnövekedés tartozik. A nyíróvizsgálatok jelleggörbéi alapján bizonyos feszültségszintig a nyírófeszültség és az általa létrehozott szögváltozás között is alkalmazható a lineáris rugalmasság törvénye:

τ = Gγ

1.28

ahol

τ γ

- a vizsgált keresztmetszet adott pontjában ható nyírófeszültség, - a szögváltozás

G

- a nyíró-rugalmassági modulusz, ami most is a nyíró alakváltozási jelleggörbe lineáris

szakaszának iránytangenseként értelmezhető, feszültség dimenziójú mennyiség, célszerű mértékegysége: MPa vagy GPa. Az (1.25), (1.27) és (1.28) összefüggéseket egyszerű Hook-törvényeknek is szokták nevezni. A tökéletesen képlékeny, illetve a szívós anyagok mechanikai viselkedését a képlékenységtan tárgyalja. Teherviselő szerkezetek bizonyos elemeinél előfordulhat, hogy a keresztmetszet egyes részei képlékeny állapotba kerülnek, ami az egész szerkezet használhatóságára még nincs káros hatással. Különböző gyártási technológiák során is fontos szerepe lehet a képlékenységtannak, amennyiben éppen a maradó alakváltozás létrehozása a cél (pl. mélyhúzásnál).

33

2. Rugalmasságtani alapösszefüggések 2.1. A szilárd test alakváltozása 2.1.1. Eltolódás Vegyünk fel a 2.1. ábrán látható K helyzetnek megfelelő, terhelés előtti állapotban a testben tetszőlegesen egy P és egy A pontot. Tegyük fel, hogy a test a terhelés befejeztével a K'-vel jelölt helyzetbe kerül. A terhelés előtt a PA pontokat összekötő egyenes pontjai a terhelés után valamilyen görbe vonalon helyezkednek el. Azt mondjuk, a test alakváltozást szenvedett, deformálódott. Az alakváltozás során a test tetszőleges A pontja az A'-be kerül. A két pontot összekötő vektort eltolódásvektor-

2.1. ábra

nak nevezzük.

Az ábra alapján:

u = ρ, − ρ ⋅

2.1

Az eltolódásvektor általában a test minden pontján más, azaz a hely függvénye:

u = u( ρ ) ⋅

2.2

Ezt a vektor-vektorfüggvényt, amelyben a ρ független változó értelmezési tartománya a test összes lehetséges pontja, eltolódás-mezőnek nevezzük. A (2.2) függvény a test deformáció során megváltozott alakját, illetve helyzetét egyértelműen megadja. A rugalmasságtani feladatok megfogalmazása során felállítható összefüggések - amenynyiben minden körülményt pontosan kivánunk figyelembe venni - általában nem lineárisak és megoldásuk még egészen egyszerű feladatoknál is áthidalhatatlan nehézségekbe ütközik. A gyakorlati esetek többségében azonban olyan egyszerűsítő feltételezésekkel élhetünk, amelyek az alapegyenletek lényeges egyszerűsödéséhez vezetnek. Az egyszerűsítő feltevések éppen az eltolódásvektorra vonatkozó korlátként fogalmazhatók meg: a) Csak olyan kis eltolódásokat engedhetünk meg, amelyek nagysága a test geometriai méreteihez képest kicsinyek. b) Az eltolódáskomponensek hely szerinti differenciálhányadosai (a ∂u x ∂x , ∂u x ∂y stb), amelyek tulajdonképpen a hosszegységre eső eltolódások) az egységnél lényegesen - leg-

34

alább két nagyságrenddel - kisebbek és ezek egymással való szorzatai és egynél magasabb rendű hatványai is elhanyagolhatók. A műszaki gyakorlatban felhasznált szilárd testek alakváltozásai általában kielégítik a fenti megszorításokat. Az első feltétel megengedi, hogy a sztatikai egyensúlyi egyenleteket a test alakváltozás előtti helyzetében írjuk fel, azaz mind a terhelő erőket, mind a feszültségeket, illetve ezek támadáspontjait a deformálatlan testben felvett koordinátarendszerben adjuk meg. Ezt az eljárást a megmerevítés elvének nevezzük. A második feltétel lehetővé teszi, hogy az eltolódás-függvények hatványsorba fejtésénél a másod- és az annál magasabb fokú tagok elhanyagolhatók - az egyenletek tehát lineárisak lesznek - és a deformált testhez kötött koordinátarendszerbeli differenciálást a deformálatlan testhez kötött koordinátarendszerbelivel helyettesítsük. A fenti megszorításokat kielégítő elméletet lineáris (vagy klasszikus) rugalmasságtannak nevezzük. 2.1.2. Deformációs állapot Az 1.3. pontban definiáltuk a test egy P pontjában az n egységvektorral megadott irányhoz tartozó ε n alakváltozási vektort. A kiválasztott pontban azonban az irányvektor végtelen sokféleképpen vehető fel, s mindegyikhez tartozik egy alakváltozási vektor. Egy adott pontban tehát az irány függvénye:

ε n = ε n (n)

⋅

2.3 Valamely pontban a deformációvektorok összességét a pont alakváltozási (deformációs)

állapotának nevezzük. E végtelen sok deformációvektor megadására természetesen nincs lehetőség, a (2.3) függvény konkrét alakjának ismeretében azonban tetszőleges irányhoz meghatározhatjuk a deformációvektort. Tétel: Egy pont deformációs állapotát a ponton át felvett, egymásra merőleges három irányhoz tartozó alakváltozási vektor egyértelműen meghatározza. Bizonyítás: Vegyünk fel egy testben egy elemi nagyságú derékszögű hasábot (2.2. ábra), melynek alapélei a P pontból kiinduló koordinátarendszer tengelyeivel párhuzamos ∆x = ∆xe x , ∆ y = ∆ye y , ∆z = ∆ze z vektorok. A hasáb testátlójához rendelt ∆r vektor iránya és állása az élhosszak alkalmas megválasztásával tetszőlegesen változtatható:

∆r = ∆xe x + ∆ye y + ∆ze z⋅ ⋅

Amennyiben ∆r = ∆r elég kicsi, azaz a hasáb A csúcspontját a P pont infinitezimális környezetében vettük fel, a deformáció során - az eltolódás nagyságára vonatkozó korlátozásokat felhasználva - a hasáb élei és a hasábátló jó közelítéssel egyenesek, a szemközti síkok pedig párhuzamosok maradnak. Az eredetileg derékszögű elemi hasáb tehát általános esetben elemi

35

parallelepipedonná deformálódik. Legyen a ∆x , ∆y , ∆z és ∆r vektorok torzulásvektora

∆δ x , ∆δ y , ∆δ z és ∆δ r . A 2.2. ábra alapján az A' pont helyvektorát kétféleképpen is felírhatjuk:

∆r ′ = ∆r + ∆δ r = ∆x + ∆δ x + ∆y + ∆δ y + ∆z + ∆δ z . Rendezés és ∆r -rel történő osztás után:

∆δ r ∆δ x ∆δ y ∆δ z = + + ⋅ ∆r ∆r ∆r ∆r Képezzük a fenti kifejezés határértékét, ha

∆r → 0 és vegyük figyelembe az (1.9) definíciót:

εn = εx ⋅

∆y ∆x ∆z + εy + εz ⋅ ∆r ∆r ∆r

A 2.2. ábráról megállapítható, hogy 2.2. ábra

∆x ∆y ∆z = cos α x = n x , = cos α y = n y , = cos α z = n z , 2.4 ∆r ∆r ∆r ahol n x , n y , n z - az r vektor irányába eső n egységvektor iránycosinuszai. Ezekkel a jelölésekkel:

εn = εxn x + εyn y + εzn z ,

2.5/a

amelyben ε x , ε y , ε z - a P pontbeli koordinátairányokhoz (az e x , e y , e z bázisvektorokhoz) tartozó deformációvektorok. E három deformációvektor ismeretében (2.5/a) összefüggéssel tetszőleges irányhoz tartozó alakváltozásvektort meghatározhatunk a tétel állításának megfelelően. A (2.5/a) összefüggés a (2.3) függvény konkrét alakja. A P pontban tetszőlegesen felvett koordinátarendszer tengelyeinek irányaihoz tartozó deformációvektorokat általános térbeli esetben 3-3 komponenssel adhatjuk meg:

ε x = ε xx e x + ε xy e y + ε xz e z , ε y = ε yx e x + ε yy e y + ε yz e z , ε z = ε zx e x + ε zy e y + ε zz e z

2.5/b .

Az ε ij (i,j = x, y, z) deformációkomponensek indexes jelölésmódját a továbbiakban is következetesen alkalmazzuk. Könnyű belátni, hogy az első index mindig arra az irányra utal, amelyhez

36

a deformációvektor tartozik, a második index pedig arra a tengelyre, amellyel a deformációkomponens párhuzamos. Az ε ij jelölés térben 9 komponenst szimbolizál. Helyettesítsük be (2.5/b)-t (2.5/a)-ba:

( (

)

(

)

ε n = ε nx e x + ε ny e y + ε nz e z = ε xx e x + ε xy e y + ε xy e z n x + ε yx e x + ε yy e y + ε yz e z n y + + ε zx e x + ε zy e y + ε zz e z n z = ε xx n x + ε yx n y + ε zx n z e x + ε xy n x + ε yy n y + ε zy n z e y + + ε xz n x + ε yz n y + ε zz n z ez , 2.5/c amely ε n komponenseire három skaláregyenletet jelent, amit az indexes jelölésmóddal röviden

( (

)

)

)

(

)

megadhatunk: ⋅

ε nj = ∑ ε ij n i

,

i,j = x, y, z.

i

⋅

2.5/d

A (2.5) kifejezések szerint a deformációvektor komponensei az egységnyi irányvektor komponenseinek homogén lineáris függvényei. Az ilyen homogén lineáris vektorvektorfüggvény együtthatói tenzormennyiséget alkotnak. A (2.5/d) egyenletrendszer ε ij együtthatóit a tenzor komponenseinek nevezzük. A matematika a tenzorok és a rajtuk értelmezhető műveletek sok fontos tulajdonságát derítette fel. Ezek ismerete és az ún. tenzorális jelölésmód alkalmazása lényegesen megkönnyíti a mechanika és különösen a rugalmasságtan tárgyalását. Mivel a tenzorelmélet szabatos matematikai ismertetésére e tárgy keretein belül nincs lehetőség, a szakirodalomra utalva csupán a legszükségesebb tudnivalókat mutatjuk be a felmerülő igényeknek megfelelően. A tenzort az előbbi homogén lineáris

függvénykapcsolaton

túlmenően úgy is definiálhatjuk, hogy

egy

lasztott

tetszőlegesen

vá-

koordinátarendszerbeli

komponensei a koordinátarendszer elforgatásakor meghatározott módon változnak. Vegyünk egy

r dimenziós (r-ed rendű)

tenzort. Ez azt jelenti, hogy a tenzorális (indexes) jelölésnél r darab futó indexet használunk, pl. a

i j k l ..... m n 1234.... ..r

,

2.6

2.3. ábra ahol a három dimenziós térben minden futó index három értéket vehet fel, pl. az x, y, z vagy az 1, 2, 3 jelet. (2.6) a tenzor szimbolikus jelölése, a futó indexeknek konkrét jelet adva, a tenzor egyik elemét, komponensét kapjuk. Ha a tér egy pontjára értelmezünk egy tenzort, akkor annak komponenseit egy tetszőlegesen választott koordinátarendszerben adhatjuk meg. Jelöljük ezeket

37

a komponenseket (2.6)-tal. A 2.3. ábrának megfelelően vegyünk fel egy újabb koordinátarendszert, amely az előzőhöz képest elforgatott helyzetű. Ebben az új (vesszős) koordinátarendszerben a kezdőpontban értelmezett tenzor komponensei a következő kifejezésnek megfelelően változnak:

a i ' j' k 'l '...m ' n ' = ahol β

i 'i

∑a

ijkl ...mn i , j,k , l ...m , n

β i 'i β j' jβ k ' k β l 'l ... β m ' m β n ' n

,

2.7

= cos α i 'i - az új koordinátarendszer i' tengelyének a régi koordinátarendszer i-edik

tengelyével bezárt szögének cosinusza. Az iránycosinuszok rendszerét a szemléletesség kedvéért táblázatba foglaltuk: x

y

z

x'

β x'x = cos α x'x

β x'y = cos α x'y

β x'z = cos α x'z

y'

β y'x = cos α y'x

β y'y = cos α y'y

β y'z = cos α y'z

z'

β z'x = cos α z'x

β z'y = cos α z'y

β z'z = cos α z'z 2.8

Mint látjuk, a β i'i iránycosinuszok egy 3x3-as mátrixba foglalhatók. Ezek a komponensek azonban nem alkotnak tenzormennyiséget, mert rájuk a (2.7) műveleti szabály értelmét veszti. A tenzort tehát a következőképpen definiálhatjuk: ha egy számhalmaz elemei a koordinátarendszer elforgatásakor a (2.7) szabály szerint transzformálódnak, akkor az elemek tenzormennyiséget alkotnak. Könnyen beláthatjuk, hogy egy r dimenziós tenzornak a három dimenziós térben 3r, a két dimenziós térben 2r komponense van. Az is egyszerűen ellenőrizhető, hogy egy vektor három komponense is éppen a (2.7) szerint transzformálódik, tehát a vektorok egy dimenziós tenzorok. A skalár, amelynek értékét a koordinátarendszerforgatás sem változtatja meg, a fentiek értelmében nulla dimenziós tenzornak tekinthető. A két dimenziós tenzorok elemeit igen szemléletesen egy 3x3-as mátrixba szokták rendezni és a tenzor mátrixreprezentációjáról beszélnek. A tenzorok azonban nemcsak matematikai operátorként, hanem fizikai mennyiségként is kezelhetők. Ha a tér egy pontjában valamilyen fizikai mennyiséget értelmezünk, akkor azt tenzor-mennyiségként adjuk meg. Az alkalmazott tenzor dimenziója az értelmezendő mennyiség fizikai jellegétől függ. Nulla dimenziós tenzort használunk azoknak a mennyiségeknek a megadásához, amelyek egyetlen skalárral jellemezhetők (pl. hőmérséklet, nyomás, nedvességtartalom, stb.). Egy dimenziós tenzorra, azaz vektorra van szükség az iránnyal, nagysággal és értelemmel rendelkező mennyiségekhez (sebesség, gyorsulás, erő, stb.). Vannak azonban olyan összetett jellegű mennyiségek, amelyek kettő vagy magasabb dimenziószámú tenzorokkal jellemezhetők. Két dimenziós tenzor pl. az alakváltozási, a feszültségi állapot tenzora vagy a merev test tehetetlenségi tenzora, négy dimenziós tenzor a szilárd testeket leíró rugalmas állandók

38

és a szilárdsági jellemzők tenzora. A tenzor fizikai mennyiségként való értelmezése rávilágít a következő problémára is. A tenzorral jellemzett fizikai mennyiség a koordinátarendszertől függetlenül létezik. Egy tenzor komponenseit azonban mindig valamilyen koordinátarendszerben kell megadni, reprezentációja mindig valamilyen, általunk többé-kevésbé önkényesen felvett koordinátarendszerhez kötődik. Ugyanannak a tenzornak a komponensei tehát a különböző koordinátarendszerekben különbözők. De akármilyen koordinátarendszert is használunk, mindig ugyanarról a fizikai mennyiségről van szó, tehát a különböző koordinátarendszerekben megadott tenzorkomponensek között meghatározott kapcsolatnak kell lennie. Ezt a kapcsolatot adja meg a (2.7) transzformációs szabály. A fenti kitérő után foglalkozzunk ismét az alakváltozásokkal. A (2.5/d) összefüggés

ε ij tenzorát - mivel a komponensek alakváltozási jellemzők - alakváltozási (deformációs) tenzornak nevezzük. A két dimenziós tenzor mátrixreprezentációja:

[ T ] ≡ [ε ] ε

ij

ε xx ε yz ε zx    ≡ ε xy ε yy ε zy  ε ε ε   xz yz zz 

2.9

A komponensek mártixbeli elhelyezkedésének rendszerét könnyen megjegyezhetjük, ha észrevesszük, hogy az oszlopokban az x, y, z irányokhoz tartozó alakváltozási vektorok komponensei találhatók. Amennyiben a deformáció- és az irányvektort sor- illetve oszlopmátrixnak tekintjük, a (2.5/c) összefüggést mátrix alakban is felírhatjuk:

[ε

nx

ε ny ε nz

]

ε xx ε yx ε zx   n x     ≡ ε xy ε yy ε zy   n y  ε ε ε   n   xz yz zz   z 

2.5/e

vagy szimbolikus jelöléssel:

ε n = Tε n .

2.5/f

Később bizonyítani fogjuk, hogy az alakváltozási tenzor szimmetrikus, azaz ε ij = ε ji, mátrixreprezentációban a főátlóra szimmetrikus elemek páronként megegyeznek. Az alakváltozási tenzor tehát 6 független adattal jellemezhető. Tétel: A test egy pontjának alakváltozási állapotát az alakváltozási tenzor, illetve annak komponensei egyértelműen meghatározzák. Bizonyítás: A (2.5) jelű összefüggések valamelyikével az alakváltozási állapot bármely irányhoz tartozó deformációvektora meghatározható. A (2.5) kifejezések együtthatói pedig éppen a deformációs tenzor komponenseivel egyeznek meg. 2.1.3. Fő alakváltozások

ε n deformációvektor általában egy n irány ε nn és egy erre merőleges m irányú ε nm komponensre bontható. Ha n és m egységvektorok, Az (1.11) összefüggés értelmében az

39

akkor

( ) = ε m = ( T n ) m.

ε nn = ε n n = Tε n n , ε nm

2.10/a,b

ε

n

Tétel: Adott pont bármely alakváltozási állapota esetén mindig található három, egymásra merőleges irány, amelyekre az a jellemző, hogy a hozzájuk tartozó deformációvektoroknak csak normális irányú összetevője van. Bizonyítás: A fenti tétel fizikai szempontból azt jelenti, hogy vannak olyan irányok, amelyeknél a deformáció során csak hosszváltozás lép fel, szögváltozás pedig nem. A kérdéses irányban felvett n i egységvektornak csak a hossza változik meg, az állása nem, a deformációvektor n i irányú:

ε n i = ε i n i = Tε n i

,

ahol ε i - az n i rányba eső fajlagos hosszváltozás, melyet az alakváltozási állapot főalakváltozásának nevezünk, az n i irány pedig az alakváltozási állapot fő alakváltozási tengelye vagy más néven alakváltozási főiránya. A fenti egyenlet kanonikus alakja

(T

ε

)

− ε i E n i = 0,

2.11

ahol E - az egységtenzor, melynek mátrixában a főátló elemei eggyel, a többi elem nullával egyenlő. Az egységtenzort az indexes jelölésmódban a δ ij - Kronecker-delta szimbólummal adjuk meg ( δ ij = 1 , ha i = j és δ ij = 0 , ha i ≠ j ). (2.11)-nek csak akkor van a triviálistól különböző megoldása, ha együtthatómátrixa szinguláris, azaz az együtthatómátrix determinánsa nulla:

Tε − ε i E = 0 ,

2.12/a

részletesen kiírva:

ε xx − ε i

ε yx

ε zx

ε xy

ε yy − ε i

ε zy

ε xz

ε yz

= 0.

2.12/b

ε zz − ε i

A determinánst kifejtve, ε i -re egy harmadfokú egyenletet kapunk, melyet az alakváltozási tenzor karakterisztikus egyenletének nevezünk:

ε 3i − D 1 ε i2 + D 2 ε i − D 3 = 0,

2.13

ahol

D 1 = ε xx + ε yy + ε zz = ∑ ε ii , i

D 2 = ε xx ε yy − ε xy ε yx + ε xx ε zz − ε xz ε zx + ε yy ε zz − ε yz ε zy =

2.14/a

40

=

ε xx ε yx ε xy ε yy

+

ε xx ε zx ε yy ε zy + ε xz ε zz ε yz ε zz

2.14/b

D 3 = ε xx ε yy ε zz + ε yx ε zy ε xz + ε zx ε xy ε yz − ε xx ε yx ε zx

2.14/c

− ε xx ε zy ε yz − ε yx ε xy ε zz − ε zx ε yy ε xz = ε xy ε yy ε zy ε xz ε yz ε zz

(2.13)-nak három gyöke van és az alakváltozási tenzor szimmetriája alapján igazolhatóan mindhárom valós. E gyököket előjelhelyes nagyságuk sorrendjében szoktuk elnevezni:

ε1 ≥ ε 2 ≥ ε 3

2.15

(2.14) szerint a D 1 , D 2 , D 3 együtthatók az alakváltozási tenzorkomponensek függvénye. Mivel az ε i főalakváltozások a tenzornak, mint fizikai mennyiségnek a jellemzői, értékük nem függhet attól, hogy a tenzorkomponensek megadására milyen koordinátarendszert használunk. A (2.13) karakterisztikus egyenlet együtthatóira a koordinátarendszertől függetlenül mindig ugyanazokat az értékeket kell kapnunk. Ezért ezeket az együtthatókat az alakváltozási tenzor invariánsainak nevezzük. Az alakváltozási főirányok egységvektorait úgy kapjuk meg, hogy valamelyik, már kiszámított ε i -t visszahelyettesítjük (2.11)-be, ahonnan az

n 2ix + n iy2 + n 2iz = 1

2.16 összefüggés figyelembevételével az n i iránycosinuszai kifejezhetők. Azt, hogy a három főirány egymásra páronként merőleges, a következőképpen bizonyíthatjuk. Legyen n j és n k valamelyik két főirány. Ekkor:

ε j = ε j n j = Tε n j é s ε k = ε k n k = Tε n k . Szorozzuk meg az első egyenlőséget n k -val a másodikat n j -vel skalárisan, majd vonjuk ki egymásból a két egyenletet:

(

)

( )

n j n k ε j − ε k = Tε n k n j .

( )

(

)

Az alakváltozási tenzor szimmetriája miatt Tε n j n$ k = Tε n k n j , így az előbbi kifejezés bal oldala nullával egyenlő:

(

)

n j n k ε j − ε k = 0, ami ε j ≠ ε k esetén csak akkor állhat fenn, ha n j ⊥n k . Ha ε j = ε k , akkor a j,k síkban minden irány főiránynak tekinthető. Az alakváltozási főirányok által alkotott három, egymásra merőleges síkot alakváltozási fősíkoknak nevezzük. A főirányok rendszerét célszerűen koordinátarendszerként is használhatjuk. Ebben a rendszerben az alakváltozási állapot tenzorkomponensei közül csak az azonos indexűek különböznek nullától. Mátrixreprezentációban:

41

0 ε 1  Tε =  0 ε 2  0 0

0 0 ε 3 

[ ]

2.17

Ilyenkor a tenzornak csupán három független komponense van. A főirányok rendszerében (2.4. ábra) azonban nem elegendő a három főalakváltozási komponens ismerete, azt is tudni kell, hogy egy önkényesen

felvett,

x,

y,

z

koordinátarendszerhez képest az 1,2,3 jelű főtengelyrendszer hogyan helyezkedik el. A három főirány megadásához szintén három adatra van

szükség.

Az

alakváltozási

állapot jellemzése 2.4. ábra

tehát minden esetben 6 adattal történik.

A főirányok rendszerében az alakváltozással kapcsolatos számítások általában egyszerűsödnek. A (2.5/b) összefüggés alakja pl.:

ε n = ε n1 e1 + ε n 2 e 2 + ε n 3 e 3 = ε 1 n 1 e1 + ε 2 n 2 e 2 + ε 3 n 3 e 3

2.18

E fenti összefüggés használatakor nem szabad megfeledkeznünk arról, hogy az n irányvektor komponenseit is a főtengelyrendszerben kell megadnunk (2.5. ábra). Az alakváltozási tenzor invariáns együtthatóit is egyszerűbben számíthatjuk:

D1 = ε 1 + ε 2 + ε 3 ,

D2 = ε 1ε 2 + ε 1ε 3 + ε 2 ε 3 ,

D3 = ε 1ε 2 ε 3 .

2.14/d

Az alakváltozási állapotokat a főalakváltozások segítségével osztályoz-hatjuk. Térbelinek nevezzük az alakvál-tozási állapotot, ha mindhárom főalak-változás különbözik nullától,

síkbelinek,

főalakváltozási lineárisnak

ha

csak

komponens

egy

nulla

és

ha

két

(egytengelyűnek),

főalakváltozási komponens nulla. Tétel: Síkbeli alakváltozási állapotban tetszőleges

irányhoz

tartozó

deformációvektor benne van az alakváltozási fősíkban. Bizonyítás: Legyen ε 3 = 0 , tehát az alak2.5. ábra

42

változási fősík az 1,2 sík (2.6. ábra). A (2.18) összefüggés szerint:

ε n = T ε n = ε 1 n 1 e1 + ε 2 n 2 e 2 Az ε 3 = 0 miatt a deformációvektor e 3 irányú összetevője nulla, bárhogyan is választjuk meg az irányvektort. Tétel: Lineáris alakváltozási állapotban tetszőleges irányvektorhoz tartozó deformáció-vektor az alakváltozási főtengelybe esik. Bizonyítás: Legyen

ε 2 = ε 3 = 0 , így az alakváltozási főtengely az 1-es irány (2.7. ábra).

(2.18) szerint:

2.6. ábra

2.7. ábra

ε n = T ε n = ε 1 n 1 e1 . A deformációvektor e 2 é s e 3 irányú összetevője nulla. Azt is könnyen megállapíthatjuk, hogy az α 1 félszögű kúppaláston található irányokhoz ugyanaz a deformációvektor tartozik. 2.1.4. A deformációs állapot grafikus ábrázolása A (2.5) összefüggéseket grafikus módszerek alkalmazásával igen szemléletessé tehetjük és arra is lehetőség nyílik, hogy a számító eljárást szerkesztéssel helyettesítsük. Tétel: A test egy pontjának kis környezetében felvett egység sugarú gömb a deformáció során ellipszoidba megy át. Bizonyítás: Tegyük fel, hogy a szilárd test valamely pontjában ismerjük az alakváltozási állapotot a főirányok rendszerében. A deformáció előtt felvett n = n 1 e1 + n 2 e 2 + n 3 e 3 egységnyi hosszúságú irányvektor deformáció után n , -be megy át. Mivel ε n az n vektor torzulásvektora (2.5/e) felhasználásával:

(

)

n , = n + ε n = n + Tε n = E + Tε n vagy skaláregyenlet formájában:

n ′ 1 = (1 + ε 1 )n 1 , n ′ 2 = (1 + ε 2 )n 2 , n ′ 3 = (1 + ε 3 )n 3 .

43

Fejezzük ezekből az iránycosinuszokat, majd négyzetre emelés után adjuk össze őket:

n ′ 12

(1 + ε 1 )

2

+

n ′ 22

(1 + ε 2 )

2

+

n ′ 32

(1 + ε 3 )

2

= n 12 + n 22 + n 32 = 1,

2.19

A vizsgált pontban felvehető összes egységnyi irányvektor végpontjai egység sugarú gömbön helyezkednek el. (2.19) szerint pedig a deformálódott egységvektorok, az n′ végpontjai egy olyan ellipszoidon helyezkednek el, melynek középpontja a vizsgált pont, főtengelyei az alakváltozási főtengelyekkel egybeesnek, féltengelyeinek hossza 1 + ε 1 , 1 + ε 2 , 1 + ε 3 . Ezt az ellipszoidot alakváltozási ellipszoidnak nevezzük 2.8. ábra). Ha két főalakváltozás megegyezik, forgási ellipszoidot, ε 1 = ε 2 = ε 3 esetén gömböt kapunk. Síkbeli alakváltozási állapotban az ellipszoid ellipszissé, lineáris alakváltozási állapotban egyenessé fajul. Bár az alakváltozási ellipszoid jól szemlélteti az alakváltozási folyamatot ε n vagy n′ szerkesztéssel való meghatározására elég kényelmetlen, ezért a (2.5) összefüggések grafikus megoldására más módszert alkalmazunk. Ezt a kényelmesen használható szerkesztő eljárást O. Mohr fejlesztette ki. Tétel: Síkbeli alakváltozási állapot esetén az alakváltozási fősíkban elhelyezkedő tetszőleges irányvektorhoz tartozó deformációvektor végpontja egy ε nn , ε nm derékszögű koordinátarendszerben köríven található. Bizonyítás: Legyen az irányvektor: n = n 1 e1 + n 2 e 2 = cos α 1 e 2 . A (2.18) összefüggés szerint:

ε n = ε 1 n 1 e1 + ε 2 n 2 e 2 ε n két komponense tehát:

2.20

2.8. ábra

44

ε n1 = ε 1 cos α 1 , ε n 2 = ε 2 sin α 1 . A 2.9. ábra alapján egyszerűen

beláthatjuk,

hogy ε n végpontja a C pont. Az

elemi

geometriából

ismeretes, hogy az ε1 és ε2 sugarú

körökből

dőlésszögű

α

az

egyenes

által

kimetszett A és B pontokból a

koordinátatengelyekkel

párhuzamosan

húzott

egyenesek metszéspontja (a C-vel jelölt pont) egy ε 1 és

ε 2 féltengelyű ellipszisen 2.9. ábra

található.

A fentiek alapján tehát az alakváltozási fősíkban elhelyezkedő irányvektorokhoz tartozó deformációvektorok végpontjai ellipszist alkotnak (ez tulajdonképpen az előző tétel bizonyítása síkbeli alakváltozási állapot esetén). Az A és B pontokból húzott, a C pontban metsződő egyenesek merőlegesek egymásra. A C pont tehát az AB átmérőjű, O 12 középpontú Thales-körön helyezkedik el. Rajzoljuk ki külön a 2.9. ábrának ezt a részét (2.10. ábra), úgy, hogy az irányvektor vízszintes helyzetbe kerüljön. Ezen az ábrán már szemléletesebben látszik, hogy az ε n vektor n irányú vetületét,

ε nn -t úgy kapjuk, hogy a C pontot rávetítjük egyenesre.

az

OB Az

ε nm komponens pedig a C-ből az OB egyenesre

vetített

merőleges

hossza.

Az eljárás 2.10. ábra helyességét geometriailag is könnyen beláthatjuk. Az is megállapítható, hogy míg az α 1 szög nulla és 360o között változik, a C pont egy O 12 középpontú 1 2 (ε 1 − ε 2 ) sugarú kört fut be (szimmetriaokokból a teljes körnek csak a felét ábrázoltuk). A középpont helye:

45

OO 12 =

1

2

(ε 1 + ε 2 ). Ezt a kört Mohr-féle főkörnek hívjuk. Mivel síkbeli alakváltozási állapot

esetén az alakváltozási állapot síkja fősík, a 2.10. ábrán látható kört az 1,2 fősíkhoz tartozó főkörnek nevezzük. Tétel: Térbeli alakváltozási állapot esetén az alakváltozási fősíkokba eső irányvektorokhoz tartozó deformációvektorok végpontja a megfelelő fősíkok Mohr-féle főkörén helyezkedik el. Bizonyítás: Tegyük fel, hogy az irányvektor az 1,2 fősíkban van, azaz n = n 1 e1 + n 2 e 2 + 0e 3 . Ehhez az irányhoz térbeli alakváltozási állapotban az

ε n = ε 1 n 1 e1 + ε 2 n 2 e 2 deformációvektor tartozik, ami pontosan megegyezik a (2.20) kifejezéssel, ami azzal jár, hogy az előző tétel levezetésénél alkalmazott gondolatmenet és annak megállapítása most is érvényes. Ebből pedig az következik, hogy mindhárom fősíkhoz tartozik egy Mohr-féle alakváltozási főkör. A főkörök középpontja (2.11. ábra) O 12 , O 13 , O 23 . A középpontok távolsága az origótól:

OO ij =

1

2

(ε

i

)

+ ε j , i, j = 1,2 vagy 1,3 vagy 2,3 .

2.21

A főkörök sugara:

R ij =

1

2

(ε

i

)

− ε j , i, j = 1,2 vagy 1,3 vagy 2,3 .

2.22

Tétel: Valamelyik alakváltozási főiránnyal azonos szöget bezáró irányokhoz tartozó deformációvektorok végpontjai az ε nn , ε nm koordinátarendszerben olyan köríven helyezkednek el, melynek középpontja megegyezik a másik két főirány által alkotott sík alakváltozási főkörének középpontjával.

46

Bizonyítás: Vizsgáljuk meg azokat az irányvektorokat, amelyek a 3. főiránnyal állandó α 3 szöget zárnak be (2.12. ábra):

2.11. ábra

n = n 1 e1 + n 2 e 2 + n 3 e 3 = cos α 1 e1 + cos α 2 e 2 + cos α 3 e 3 , ahol n 3 = cos α 3 = áll. (2.18) szerint ε n = ε 1 n 1 e1 + ε 2 n 2 e 2 + ε 3 n 3 e 3 .

2.23

A 2.12. ábrán látható módon mérjük fel az O pontból kiinduló n irányú, egyenesre az ε i fő alakváltozásokat, és vetítsük le ezt az egyenest a rajta lévő pontokkal az 1,2 fősíkra. Könynyen beláthatjuk, hogy ε n végpontjának rajta kell lennie a B' ponton át felvett, a 2,3 fősíkkal párhuzamos sík és az A' ponton át felvett, az 1,3 fősíkkal párhuzamos sík metszésvonalán. Ezek a síkok ugyanis a koordinátatengelyeket az ε 1 n 1 és ε 2 n 2 távolságokon metszik, ami (2.23) első és második komponense. Az ε n vektor C végpontjának helyét úgy kapjuk meg, hogy a metszésvonalra az 1,2 fősíktól felmérjük az ε 3 n 3 távolságot. Jelöljük az AB szakasz felezőpontját O 12 -vel és határozzuk meg a CO12 távolságot. Az ábráról leolvashatjuk, hogy

(

2 2 2 CO 12 = CD 2 + DO 12 = C′ O ′ 12 + O 12 O ′ 12 − DO ′ 12

DO ′ 12 = CC′ = ε 3 cos α 3 . Az OO 12 O′ 12 háromszögben: O 12 O ′ 12 = OO 12 cos α 3 =

1

2

)

2

és

(ε 1 + ε 2 ) cos α 3 ,

Az A'B'C' háromszögben:

C′ O′ 12 =

1

2

A′ B′ =

1

2

(ε 1 − ε 2 ) sin α 3 .

Jelöljük a CO 12 távolságot r12 -vel, ekkor az előző összefüggések felhasználásával:

47

r122 =

[ (ε 1

2

1

− ε 2 ) sin α 3

] + [( ( ε 2

1

2

1

− ε 2 ) − ε 3 ) cos α 3

]

2

2.24 Az összefüggések szerint α 3 = áll. esetén r12 szintén állandó érték, azaz a O 12 pontból ε n vektor C végpontjához húzható szakasz hossza független attól, hogy az α 3 félszögű kúp melyik alkotójának megfelelő irányvektorhoz tartozik. r12 = áll. miatt a C pontnak egy O 12 középpontú

köríven

kell

elhelyezkednie. Szemléletesebb képet kapunk, ha az OBC háromszöget a papír síkjában is lerajzoljuk (2.13. ábra) és azt kiegészítjük a főkörökkel is.

2.12. ábra Az r12 sugár nagyságát könnyen meg is szerkeszthetjük. Húzzuk meg az ε 3 pontban felállított függőleges egyenessel α 3 szöget bezáró egyenest, melynek az 1,3 főkörrel vett metszéspontját jelöljük E-vel. Az E pontot az ε 1 -gyel összekötő egyenesnek a vízszintessel bezárt szöge - a Thales-kör és a merőleges szögszárak miatt - szintén α 3 . Az ábráról leolvashatjuk, hogy 2 2 2 r122 = CO 12 = EO 12 = FO 12 + EF 2 =

[ (ε 1

2

1

− ε 2 ) sin α 3

] + [( (ε 2

1

2

1

]

+ ε 2 ) − ε 3 ) cos α 3 , 2

ami éppen (2.24). Ezzel nemcsak a tételt bizonyítottuk, hanem az r12 sugár meghatározásának szerkesztő módszerét is megismertük.

48

2.13. ábra Tétel: Tetszőleges n irányhoz tartozó deformációvektor végpontja az ε nn , ε nm koordinátarendszerben az alakváltozási főkörök által közrezárt területre - határesetben a főkörökre - esik. Bizonyítás: Az előző tételben bizonyítottuk, hogy az n 3 = cos α 3 = áll. komponensű irányvektorokhoz tartozó deformációvektorok végpontja az O 12 középpontú, r12 sugarú köríven helyezkedik el. A tételt azonban úgy is bizonyíthattuk volna, hogy α 1 -et, illetve α 2 -t tekintjük állandónak, végeredményként azt kapva, hogy a deformációvektorok végpontja az O 23 középpontú, r23 sugarú, illetve az O 13 középpontú, r13 sugarú köríven található. r23 é s 13 r nagyságát az előzőekhez analóg módon szerkesztetjük meg. Adott α 1 é s α 2 szög esetén a deformációvektor C végpontja nyilvánvalóan csak az

r23 és r13 sugarú körívek metszéspontjában lehet. Mivel két iránycosinusz a harmadikat - a (2.16) alapján - meghatározza, az α 3 -nak megfelelő r12 sugarú körívnek is át kell mennie az előző két kör metszéspontján. Az rij sugarak szerkesztési menetéből következik, hogy a körívek metszéspontja csak a főkörök által határolt terület belsejébe eshet, kivéve azt az esetet, amikor α i közül valamelyik éppen 90o, az irányvektor tehát valamelyik alakváltozási fősíkban van. Ebben az esetben - mint korábban bizonyítottuk - a deformációvektor végpontja a fősíknak megfelelő főkörre esik. Most már semmi akadálya annak, hogy a (2.5) összefüggéseknek megfelelő szerkesztési eljárást receptszerűen összefoglaljuk és alkalmazzuk (2.14. ábra). - Alkalmas léptéket választva felvesszük az ε nn , ε nm koordinátarendszert. - Az ε nn tengelyen felmérjük az ε i főalakváltozásokat, meghatározzuk azok felezőpontjait és meghúzzuk a főköröket. - Az ε 1 pontban állított függőlegeshez felmérjük az α 1 dőlésű egyenest és megkeressük az ε 1 ponton átmenő főkörökkel vett metszéspontját. - Az O 23 pontból a fenti metszéspontokon átmenő körívet húzunk.

49

- Megismételjük az utóbbi két lépést az α2 vagy az α3 szögekkel.

2.14. ábra - A két körív metszéspontja (C pont) az α 1 , α 2 , α 3 szögekkel jellemzett irányhoz tartozó deformációvektor végpontja (a vektor kezdőpontja az origó). - ε n -nek a koordinátatengelyekkel párhuzamos összetevői ε nn és ε nm . Már korábban utaltunk rá, hogy a Mohr-féle főkörök - nevüknek megfelelően - teljes körök. A teljes körökre akkor lenne szükség, ha az irányvektor főtengelyekkel bezárt szögeinek legalább egyike nagyobb 90o-nál. Szimmetria okokból és azért, mert az ε szögváltozás előnm

jele általában szemlélettel is egyszerűen meghatározható, megelégszünk a Mohr-körök felső felének ábrázolásával. 2.1.5. A teljes alakváltozási folyamat felbontása és értelmezése Tétel: Szilárd test elegendően kicsiny térfogatelemének általános alakváltozása egy merev testre jellemző elmozdulásból (transzlációból és rotációból) és egy szorosabb értelemben vett tiszta deformációból tehető össze. Bizonyítás: Vegyünk fel a szilárd test egy tetszőleges P pontjának szűk környezetében egy elemi, derékszögű hasábot (2.15. ábra), melynek PA testátlója legyen az r vektor. r -t most is kicsinek képzeljük, de a korábban alkalmazot ∆ jelet az egyszerűség kedvéért elhagyjuk. A terhelés következtében a test megváltoztatja helyzetét és alakját. Most nem elégszünk meg az elemi hasáb A pontjának P-hez viszonyított elmozdulásának vizsgálatával, hanem az A pont abszolút eltolódá-

50

sát (elmozdulását) kívánjuk meghatározni. A deformáció befejeztével a P pont P'-be, az A pedig A'-be kerül. Korábbi feltételezésünknek megfelelően az A' pont P'-hez viszonyított elmozdulása most az elemi parallelepipedon átlójaként szemléltethető. Az AA′ szakasz lesz az A pont eltolódásvektora, amely a P pont környezetében felvett A pont helyének, azaz az r vektornak a függvénye:

2.15. ábra

u = u( r )

2.25

Mivel a testet folytonos anyageloszlásúnak - kontinuumnak - tekintjük, a (2.25) függvényről feltehetjük, hogy a P pont környezetében folytonos és legalább egyszer differenciálható. Fejtsük (2.25)-öt MacLaurin-sorba a P pont ( r = 0 ) környezetében:

u( r ) = u p +

∂u r +...., ∂r

2.26

ahol u P - a P pont eltolódásvektora,

∂u ∂r

- pedig a P pontban számított ún. deriváltvektor.

A sorbafejtésnél a szilárd testek alakváltozására vonatkozó feltételezések miatt a magasabb rendű tagok elhanyagolhatók. A deriválttenzor egy két dimenziós tenzor, melynek elemei az eltolódáskomponenseknek a helyvektorkomponensek szerinti parciális differenciálhányadosai. Mátrixreprezentációban:

 ∂u x   ∂rx  ∂u   ∂u i   ∂u y  ∂r  =  ∂r  =  ∂r  j   x   ∂u z  ∂rx

∂u x ∂ry ∂u y ∂ry ∂u z ∂ry

∂u x   ∂rz  ∂u y   = Tij = T ∂rz   ∂u z  ∂rz 

[ ]

[]

51

Ezt a tenzort - mint minden tenzort a Tij = ź(Tij + Tij) + ź(Tij - Tij) összefüggésnek megfelelően - egy szimmetrikus és egy antiszimmetrikus tenzor összegére bonthatjuk. Az rx - x, ry - y, rz - z jelölés bevezetésével a szimmetrikus rész:

[T ] = [ε ] ε

ij

 ∂u x  ∂x    ∂u ∂u  y =  12  + x ∂y    ∂x   1  ∂u z ∂u x   2  ∂x + ∂z  

1

 ∂u x ∂u y  +   ∂x   ∂y

 ∂u x ∂u z   +    ∂z ∂x   ∂u y  ∂u y ∂u z   1 +  2 ∂y ∂y    ∂z  ∂u y   ∂ u ∂ u  z z 1 +  2  ∂z  ∂z  ∂y 

2

1

2

2.28

az antiszimmetrikus rész:

[T ] ϕ

 0     ∂u ∂u  y = [ϕij] =  1 2  − x ∂y    ∂x   1  ∂u z ∂u y   2  ∂x − ∂z  

1

2

 ∂u x ∂u y  −   ∂x   ∂y

 ∂u x ∂u z   −    ∂z ∂x   - ϕz 0 ∂u y ∂u z     1 0 −  = ϕz 2 ∂y     ∂z  − ϕ y ϕ x  0  

1

0 1

2

 ∂u z ∂u y  −   ∂z   ∂y

2

2.29 A tenzorelmélet alapján azonban egy antiszimmetrikus tenzor és egy vektor szorzata két vektor vektorális szorzataként is értelmezhető a következő azonosság szerint:

T ϕ r = ϕ x r,

2.30

ahol

ϕ = ϕ x ex + ϕ y ey + ϕ z ez

2.31

és

ϕx =

1

2

 ∂u z ∂u y  −  , ϕy = ∂z   ∂y

1

2

 ∂u x ∂u z  −  ,  ∂z ∂x 

ϕz =

1

2

 ∂u y ∂u x  −   ∂y   ∂x

A fenti összefüggések felhasználásával (2.27) három összetevőre bontható:

(

)

u ( r) = u p + T ε + T ϕ r = u p + T ϕ r + T ε r = u p + ϕ x r + T ε r = u p + u ϕ + u ε .

2.32

Az első összetevő független r -től, tehát a P pont környezetében felvett bármely pontra ugyanakkora, ami azt jelenti, hogy a tetszőleges alakú térfogatelem önmagával párhuzamosan tolódik el, - a merev testre jellemző - transzlációs mozgást végez. A második tag szintén a merev testre jellemző elemi mozgás, a rotáció következménye. A forgás tengelye a P' ponton átmenő, ϕ -vel

ϕy   - ϕx  0 

52

jelölt elemi nagyságú rotáció vektor hatásvonala, az elfordulás szöge pedig ϕ . A térfogatelem a transzláció és a rotáció során úgy változtatja meg helyét és helyzetét, hogy alakja változatlan marad, merevtestszerű mozgást végez. Nyilvánvaló, hogy a szűkebb értelemben vett tiszta deformációt (2.32) harmadik tagja képviseli. Az eltolt és elforgatott térfogatelemhez kötött koordinátarendszerben (2.32)-ből a merevtestszerű eltolódásösszetevők kiesnek, és a parallelepipedon testátlóját az

r′ = r + u ε

2.33

vektorösszeg adja. Az (1.18) definíció értelmében azonban:

r ′− r = u ε = ∆δ r , u ε tehát a P pontban felvett r irányvektor torzulásvektora. Az (1.9) definíció szerint az r irányába eső n egységnyi irányvektor deformációvektora:

ε n = lim r→ 0

u Tr ∆δ r r = lim ε = lim ε = lim Tε = Tε n. r→ 0 r r r r

Ez az összefüggés megegyezik (2.5/e)-vel, ami azt jelenti, hogy az alakváltozási állapot tenzorának komponensei megegyeznek a (2.28)-ban megadott tenzor komponenseivel. A (2.32) összefüggés harmadik tagja tehát valóban a szorosabb értelemben vett alakváltozással függ öszsze, amely a korábbiak szerint a deformációs állapottal áll kapcsolatban. Tétel: Az alakváltozási állapot tenzora szimmetrikus. Bizonyítás: Az alakváltozási állapot komponenseit (2.28) szerint az eltolódáskomponensek hely szerinti parciális differenciálhányadosaiként, illetve ezek valamilyen kombinációjaként kapjuk. (2.28) szerint a mátrix főátlóján kívüli elemek páronként csak a tagok sorrendjében különböznek, így egyenlők, tehát ε ij = ε ji . Ezek után határozzuk meg az alakváltozási tenzor komponenseinek fizikai jelentését. Vegyük fel a P pontban egy

r1 = xe x ,

r2 = ye y

r3 = ze z

oldalélű elemi hasábot. A hasábélek a deformáció befejeztével - a (2.33)-nak megfelelően - az alábbi vektorokba transzformálódnak:

(

)

[

]

r ′ 1 = r1 + u ε = r1 + T ε r1 = E + T ε r1 = x (1 + ε xx ) e x + ε yx e y + ε zx e z ,

[

(

)

]

r ′ 2 = y ε xy e x + 1 + ε yy e y + ε zy e z ,

[

]

r ′ 3 = z ε xz e x + ε yz e y + (1 + ε zz ) e z . Határozzuk meg az r1 vektorú él deformáció során elszenvedett fajlagos hosszváltozását. A definíció szerint:

53

r ′ 1 − r1 r1

x (1 + ε xx ) + ε 2 yx + ε 2 zx − 2

=

x

≅ 1 + 2ε xx − 1 ≅ 1 + ε xx − 1 = ε xx .

Hasonlóan kapjuk ε yy és ε zz jelentését is. Az alakváltozási tenzor ε ii , azonos indexű elemei tehát a koordinátarendszer i irányába eső fajlagos hosszváltozásokat képviselik. Az eredetileg egymásra merőleges r1 és r2 vektorok által bezárt szög a deformáció során általában megváltozik, jelöljük a szögváltozást

(

r′ 1 r′ 2 = r′ 1 r′ 2

)

γ xy ≅ sin γ xy = cos π 2 − γ xy =

[

(

) ] + (1 + ε ) + ε

xy (1 + ε xx )ε xy + ε yx 1 + ε yy + ε zx ε zy

= xy

≅

γ xy -nal:

[(1 + ε

xx

)

2

+ε

ε xy + ε yx

(1 + ε xx )(1 + ε yy )

2 yx

+ε

2 zx

][ε

2 xy

2

yy

2 zy

]

≅

≅ ε xy + ε xy = 2ε xy = 2ε yx .

Hasonlóan kapjuk ε xz = ε zx és ε yz = ε zy jelentését. Az alakváltozási tenzor ε ij , különböző indexű elemei a koordinátarendszer i,j irányai közötti szögváltozás felével egyenlők:

ε ij = ε ji =

1

2

γ ij , i, j = x, y vagy x, z vagy y, z.

Az i,j irányok között fellépő teljes szögváltozást (ami a fenti levezetés alapján akkor pozitív, ha a két irány által bezárt szög kisebb lesz, mint 90o) megfelezzük és az egyiket az i, a másikat a j irányhoz rendeljük. Ezt az önkényesnek látszó eljárást azért tehetjük meg, mert korábban bevezettük a térfogatelem rotációját. A fenti eljárást úgy is fogalmazhatnánk, hogy a teljes alakváltozás befejeztével a P' pontban az eredeti x,y,z koordinátarendszert addig forgatjuk, míg az ε ij szögváltozásokra nem áll fenn a szimmetria. Az elforgatás szögét (2.31) adja. Mivel a test valamely pontjának szűk környezete a transzláció és a rotáció során merev testként viselkedik, a szűkebb értelemben vett tiszta deformáció jellemzésére az eredeti x,y,z koordinátarendszerhez képest ϕ -vel elforgatott x´, y´, z´ kordinátarendszert használunk. Ebben a rendszerben az alakváltozási állapot tenzora szimmetrikus, aminek - mint már részben láttuk - sok fontos következménye és előnye van. Vizsgáljuk meg azt is, hogyan változik meg az elemi hasáb térfogata a deformáció során. A fajlagos térfogatváltozás:

εV = ≅

V′− V ( r ′ 1 × r ′ 2 ) r ′ 3 −( r1 × r2 ) r3 = ≅ V ( r1 × r2 ) r3

(

)

xyz 1 + ε xx + ε yy + ε zz − xyz xyz

= ε xx + ε yy + ε zz = D 1

2.34

54

Ezek szerint a fajlagos térfogatváltozás az alakváltozási tenzor mátrixának főátlójában található elemeinek összege, az első alakváltozási invariáns. Egy pontban a deformációs állapotot mindig felbonthatjuk két deformációs állapot öszszegére:

ε xx ε yx ε zx    T ε = ε xy ε yy ε zy  = ε   xz ε yz ε zz  ε xx 0 0  0    = 0 ε yy 0  + ε xy  0 0 ε zz  ε xz 

[ ]

ε yx 0 ε yz

ε zx  1 2  ε zy  =  T ε  +  T ε  .     0 

2.35

1

Könnyen beláthatjuk, hogy a két alakváltozási állapot közül T ε csak térfogatváltozást, 2

T ε pedig térfogatváltozás nélküli szögváltozást okoz. Ily módon a teljes alakváltozási folyamat négy szemléletes részre bontható fel (2.16. ábra): - transzláció (elemi haladó mozgás), - rotáció (elemi forgó mozgás), - hosszúságváltozás (térfogatváltozással), - szögváltozás (térfogatváltozás nélkül). A valóságban természetesen a teljes alakváltozási folyamat nem elkülönülten egymás után, hanem egyidőben, egymással párhuzamosan történik. A felbontás csupán az analítikus számolást könnyíti meg és igen szemléletes. A rugalmasságtanban szükség szokott lenni az alakváltozási állapot egy másfajta felbontására is. Vezessük be ehhez a következő mennyiséget:

2.16.ábra

55

εM =

(

)

1 1 1 ε xx + ε yy + ε zz = D 1 = ε V , 3 3 3

2.36

melyet közepes hosszváltozásnak nevezünk. Ennek felhasználásával az alakváltozási tenzort a

(

)

o

~

Tε = ε M E + Tε − ε M E = Tε + Tε

összefüggésnek megfelelően egy ún. gömb- és egy deviátor tenzorra bonthatjuk. A két tenzor mátrixreprezentációja:

ε M T  = 0  ε    0 o

0 εM 0

ε xx − ε M 0  ~  0  ,  T ε  =  ε xy    ε M   ε xz

ε yx ε yy − ε M ε yz

ε zx

  ε zy  2.37/a,b ε zz − ε M 

Ha csak a gömbtenzornak megfelelő alakváltozási állapot érvényesül, akkor szögváltozás nem lép fel és minden irányban azonos a hosszváltozás. A fajlagos térfogatváltozás:

ε oV = 3ε M = ε V , ami megegyezik az eredeti alakváltozási állapotéval. A gömbtenzornak megfelelő deformációt dilatációnak nevezzük. A deviátorral megadott alakváltozási állapotban

ε ~V = ε xx − ε M + ε yy − ε M + ε zz − ε M = 0. Az élhosszak ugyan megváltoznak, de oly módon, hogy térfogatváltozás nem lép fel. A deviátor leglényegesebb hatása a szögváltozás. A deviátornak megfelelő alakváltozást torzulásnak vagy torzításnak nevezzük. 2.1.6. Geometriai (kinematikai) egyenletek Az eddigiekben egyetlen egy pont alakváltozási állapotának vizsgálatával foglalkoztunk. Általános esetben a szilárd test pontjainak alakváltozási állapota különbözik egymástól, az alakváltozási állapot a hely függvénye:

Tε = T ε (ρ) = T ε ( x, y, z) = ε ij ( ρ ) = ε ij ( x, y, z) . A fenti összefüggésnek megfelelő tenzor-vektorfüggvényt alakváltozási tenzormezőnek nevezzük. Mivel a tenzort hat skaláradattal jellemezhetjük, az alakváltozási tenzormező megadásához hat független skalár-mező (skalárfüggvény) ismeretére van szükség. Az előző fejezetben a deformációs állapot tenzorának komponenseit az eltolódásmezőből vezettük le, ahol feltételeztük, hogy a deformáció során a test a teret folyamatosan tölti ki, tehát szakadásmentes marad. Ez maga után vonja azt a követelményt, hogy az eltolódáskomponensek és az alakváltozási állapot komponensei nem lehetnek egymástól

56

függetlenek. A közöttük fennálló kapcsolat a (2.9) és (2.28) tenzorok egyenlősége alapján írható

ε xx = fel: ε yy =

ε zz =

∂u x ∂x ∂u y ∂y ∂u z ∂z

,

ε xy = ε yx =

1  ∂u x ∂u y  +   2  ∂y ∂x 

,

,

ε yz = ε zx =

1  ∂u z ∂u y  +   2  ∂y ∂z 

,

,

ε xz = ε zx =

1  ∂u z ∂u x  +   2  ∂x ∂z 

.

2.38/a

E kilenc összefüggést az indexes jelölésmóddal egyetlen egy egyenletbe foglalhatjuk:

ε il =

1  ∂u i ∂u j    , + ∂ri  2  ∂rj

i,j = x,y,z

.

2.38/b

A (2.38) jelű kifejezéseket geometriai (kinematikai) egyenleteknek nevezzük. 2.1.7. Összeférhetőségi (kompatibilitási) feltételek Azt, hogy a testben a deformáció során nem keletkeznek folytonossági hiányok, szakadások, más formában is megfogalmazhatjuk. Differenciálhatjuk (2.38/a) második összefüggését parciálisan x, majd y szerint:

∂ 2 ε xy ∂ x∂ y

=

1

 ∂3u x ∂3u x  + = 2  ∂x∂y 2 ∂x 2 ∂y 

1

 ∂ 2 ∂u x ∂ 2 ∂u y  +  . 2  ∂y 2 ∂x ∂x 2 ∂y 

A geometriai egyenletek figyelembevételével:

∂ 2 ε xy

 ∂ 2 ε xx ∂ 2 ε yy   . = 2  + 2 ∂ x∂ y ∂x 2   ∂y 1

Hasonló módon még két kifejezést nyerhetünk:

∂ 2 ε yz

 ∂ 2 ε yy ∂ 2 ε zz   , = 2  + 2 ∂y∂z ∂y 2   ∂z 1

∂ 2 ε zx = ∂z∂x

1

2

 ∂ 2 ε zz ∂ 2 ε xx  +   . ∂z 2   ∂x 2

2.39/a

A geometriai egyenletekből tehát az eltolódáskomponensek kiküszöbölhetők, pontosabban az alakváltozási komponensek nem függetlenek egymástól, ami magától értetődő, ha meggondoljuk, hogy a hat alakváltozási komponens három eltolódás-komponens függvénye. Az alakváltozási komponensek közötti kapcsolat szükségességét jól szemléltethetjük, ha a testet a

57

deformáció előtt gondolatban elemi kockákra osztjuk, melyek az alakváltozás után ismételten összeilleszthetők a deformálódott testté. Ha az egyes elemi kockák deformációit teljesen szabadon választanánk meg, akkor a testet általában nem tudnánk hézagmentes kontinuummá összeállítani. A (2.39/a) kifdejezések formája indexes jelölésmódban:

∂ 2 ε ij ∂ri ∂rj

=

1

 ∂ 2 ε ii ∂ 2 ε jj  2  ∂r 2 + ∂r 2  , i, j = x, y, z.  j i 

2.39/a

(2.38/a) előzőtől különböző átrendezésével az alakváltozási komponensek között más kapcsolatot is meghatározhatunk. Indexes jelölésmódban:

∂ 2 ε ii ∂ = ∂rj ∂rk ∂ri

 ∂ε ij ∂ε ik ∂ε jk    , i, j = x, y, z. + − ∂r j ∂ri   ∂rk

2.40

A (2.29) és (2.40) kifejezéseket összeférhetőségi (kompatibilitási) feltételeknek nevezzük. E hatból azonban csak három független (ha nem így lenne, akkor belőlük a hat deformációkomponens meghatározható lenne), amiről újabb kétszeri differenciálással meg is győződhetünk. 2.2. Sztatikai összefüggések 2.2.1. Feszültségi állapot A test valamely pontjában az n normálisú felülethez tartozó σ n feszültségvektort az (1.1) összefüggéssel definiáltunk. A definícióból azonban az is következik, hogy ugyanabban a pontban egy másik normálisú felülethez általában egy másik feszültségvektor tartozik. A feszültségvektor tehát nemcsak a helynek, hanem az adott pontban felvett sík állásának is függvénye:

σ n = σ n (n) .

2.41

Mivel egy pontban végtelen sokféleképpen vehetünk fel egy síkot, a ponthoz végtelen sok feszültségvektort rendelhetünk. Ezek összességét a pont feszültségi állapotának nevezzük. A feszültségi állapot tehát a test egy pontjához kapcsolódó fogalom, a feszültségvektort pedig a pont valamilyen síkjához (annak normálvektorához) rendeljük hozzá. A feszültségi állapotot akkor tekintjük ismertnek - hiszen végtelen sok vektor megadására nyilvánvalóan nincs mód - ha tetszőleges síkhoz meg tudjuk határozni a feszültségvektort, azaz ismerjük a (2.41) függvény konkrét alakját. Tétel: Egy pont feszültségi állapotát meghatározza az adott ponton át felvett, három, egymásra merőleges síkhoz tartozó feszültségvektor.

58

Bizonyítás: Vegyünk fel a test vizsgált pontjában egy elemi tetraédert úgy, hogy három éle essen egybe - az egyébként tetszőlegesen felvett - koordináta-rendszer tengelyeivel (2.17. ábra). A tetraéder oldallapjainak külső normálisai:

− e x ,− e y ,− e z é s n = n x e x + n y e y + n z e z = cos α x e x + cos α y e y + cos α z e z . Ha az n normálisú oldal területe ∆A n , akkor a tetraéder koordinátasíkokkal egybe-eső oldalainak területe:

∆A x = ∆A n cos α x = ∆A n n x , ∆A y = ∆A n cos α y = ∆A n n y , ∆A z = ∆A n cos α z = ∆A n n z . 2.42 Mivel

a

test

külső

erők

terhelése alatt áll, a kivágott tetraéder oldallapjain belső erők ébrednek. Az oldallapokon ható belső erők eredőjét úgy számíthatjuk, hogy a P pontban oldallapnak megfelelő síkhoz tartozó feszültségvektort

megszorozzuk

az

oldallap területével. Az így kapott 2.17. ábra

belső erővektor támadáspontja az ol-

dallap geometriai középpontjában lesz. Az elemi tetraéderre ható erők tehát az oldallapokon ható belső erők és a térfogati erő, melynek vektora

1

3

f∆A n h (ahol f - az egységnyi térfogatra jutó erő, h - a tetraéder magassá-

ga), támadáspontja a tetraéder geometriai középpontja. Ha a vizsgált testre ható külső erőrendszer egyensúlyi, akkor a tetraéderre ható erőknek is egyensúlyi erőrendszert kell alkotniuk:

1 0 = ∑ Fi = f∆A n h + σ n ∆A n + σ − x ∆A x + σ − y ∆A y + σ − z ∆A z . 3 i (2.42) és az ellentétes irányítású síkokhoz tartozó feszültségvektorok közötti kapcsolat tételének felhasználásával, valamint a h → 0 határátmenet képzésével a fenti egyensúlyi egyenletet a következő alakzatra hozhatjuk:

σn = σxn x + σyn y + σzn z ,

2.43/a

amivel a tételt be is bizonyítottuk. (2.43/a) a (2.41) függvénykapcsolat konkrét alakja. A koordinátasíkokhoz tartozó feszültségvektorokat komponenseikkel is felírhatjuk:

σ x = σ xx e x + σ xy e y + σ xz e z , σ y = σ yx e x + σ yy e y + σ yz e z , σ z = σ zx e x + σ zy e y + σ zz e z .

59

E három összefüggést helyettesítsük be (2.43/a)-ba:

( ) e + (σ

) )e

σ n = σ nx e x + σ ny e y + σ nz e z = σ xx n x + σ yx n y + σ zx n z e x +

(

+ σ xy n x + σ yy n y + σ zy n z

y

xz n x + σ yz n y + σ zz n z

z

2.43/b

,

ami σ n komponenseire három skaláregyenletet jelent. Indexes jelölésmódban:

σ nj = ∑ σ ij n i ,

i, j = x, y, z .

i

A fenti összefüggések alapján megállapíthatjuk, hogy a σ n feszültségvektor az n normálvektor komponenseinek homogén, lineáris függvénye. Az alakváltozások tanulmányozása során azonban már megtanultuk, hogy ilyen esetben a σ ij komponensek tenzormennyiséget alkotnak. E tenzort feszültségi tenzornak nevezzük. A feszültségi tenzor mátrixreprezentációja:

[T ] σ

σ xx  = σ ij σ xy σ  xz

σ yx

[ ]

σ yy σ yz

σ zx   σ zy  σ zz 

2.44

A feszültség- és a normálvektort sor- illetve oszlopmátrixnak tekintve a (2.43/c):

[σ

nx

, σ ny , σ nz

]

σ xx  = σ xy σ  xz

σ yx σ yy σ yz

σ zx   σ zy  σ zz 

n x    n y  n   z

2.43/d

vagy szimbolikus jelöléssel:

σ n = Tσ n .

2.43/e

A feszültségi tenzor két indexes jelölésmódjának illetve a kétindexes jelölés értelmezésének megfelelően a (2.44) mátrix főátlójában a normálfeszültségek találhatók, az átlón kívüli elemek pedig nyírófeszültségek. Tétel: A feszültségi állapot tenzora szimmetrikus. Bizonyítás: A 2.17. ábrán felvett elemi tetraéderre ható erők egyensúlyának felírására még nem használtuk fel a nyomatéki egyenletet. A tétel bizonyítása azonban könnyebb, ha nem a tetraéder, hanem a 2.18. ábrán látható elemi hasáb egyensúlyát vizsgáljuk a nyomatékok szemszempontjából. Az elemi hasábra most a geometriai középpontban ható térfogati erőn kívül mind a hat oldallapjának középpontjában belső erők működnek. Ezek vektora a P pontban az oldallapokkal párhuzamos síkokhoz tartozó

feszültségvektor

és

az

oldallap

60

területének szorzata. A hasáb kicsi geometriai mérete miatt feltehetjük, hogy a párhuzamos oldalakon ébredő belső erők csak előjelben különböznek egymástól. Irjuk fel a nyomatéki egyensúlyi egyenletet a hasáb geometriai középpontján átmenő, a z-vel párhuzamos tengelyre. A tengelyre vonatkozó nyomaték definíciója alapján a hasábra ható erők közül csak a z' tengellyel párhuzamos síkokon ható erők z' tengelyre merőleges és kitérő komponenseinek lesz nyomatéka:

0 = ∑Mz , = σxy ∆y ∆z ∆x - σyx ∆x ∆z ∆y ahonnan:

σ xy = σ yx . 2.18. ábra Hasonló eljárással még két egyenlőséget nyerünk:

σ x2 = σ 2x , σ y2 = σ 2y .

A három egyenlőség indexes jelölésmódban:

σ ij = σ ji , i,j = x,y,z

2.45

A szimmetria legfontosabb következménye, hogy egy pontban a feszültségi állapot tenzora hat független adattal jellemezhető. Az adott n normálvektorú síkhoz tartozó feszültségvektor normális és arra merőleges irányú komponensét (2.43/e), valamint (1.4) és (1.5) felhasználásával kapjuk:

( )

σ nn = σ n n = T σ n n , 2.46/a,b

( )

σ nm = σ n m = T σ n m . Tétel: Egy pontban az n normálvektorú síkhoz tartozó feszültség k irányra vett vetülete egyenlő a k normálvektorú síkhoz tartozó feszültségvektor n irányú vetületével (reciprocitási tétel). Bizonyítás:

Jelöljük

σ nk -val

σ n k irányú vetületét:

( )

σ nk = σ n k = T σ n k =,

( )

= T σ k n = σ k n = σ kn ,

2.47

61

2.19. ábra ahol

σ kn - a korábbi jelölésmódnak megfelelően a σ k feszültségvektor n irányú vetülete

(2.19. ábra). A fenti összefüggésben a normálvektorokkal való szorzás sorrendjét azért cserélhettük fel, mert T σ szimmetrikus. A tétel azt mondja ki, hogy egy pontban a különböző síkokhoz

tartozó

feszültségvektorok

függetlenek egymástól. A

nem

σ k vektor

végpontja - a 2.19 ábrának megfelelően - az

n − re emelt,

σ nk távolságú egyenesen

van. Tétel: Egy pontban az egymásra merőleges síkokhoz tartozó feszültségvektorok nyíróösszetevőjének a két sík metszésvonalára merőleges

komponense

egyenlő

(a

nyírófeszültségek dualitás tétele). Bizonyítás: Alkalmazzuk a reciprocitási tételt, ha

n⊥k. A 2.20. ábra alapján

azonban megállapíthatjuk, hogy σ nk a σ n feszültségvektor

nyírókomponense,

σ kn

pedig σ k feszültségvektor nyírókomponenSe. Sokszor előfordul, hogy a nyírófeszült2.20. ábra

séget az n -re merőleges síkban – mint azt

a 2.18. ábrán meg is tettük - nem egy, hanem két komponensre bontjuk. A dualitás tétel csupán a metsződő élre merőleges nyírófeszültség-komponensek egyenlőséget mondja ki. Az alakváltozási és feszültségi állapot vizsgálatánál levezetett összefüggések alapján megállapíthatjuk, hogy a két fizikai állapot között teljes a matematikai analógia. Ez a hasonlóság messzemenően kihasználható,ami nemcsak az elméletek megértését, hanem az összefüggések megjegyzését is jelentősen megkönnyíti. Természetesen sohasem szabad megfeledkezni arról, hogy a megegyező matematikai és geometriai műveletek mögött alapvetően más fizikai tartalom húzódik és az automatikusan kapott eredményeket minden esetben a fizikai valóságnak megfelelően kell értelmezni. Végül megemlítjük, hogy vannak olyan megállapítások, tételek, amelyek az analógia miatt mind az alakváltozási, mind a feszültségelméletben érvényesek, mégis csupán az egyik elméletnél tárgyaljuk őket, mert csak ott van gyakorlati jelentőségük (ilyen pl. a reciprocitási, a dualitás tétel). 2.2.2. Főfeszültségek

62

Ugyanúgy, mint az alakváltozási állapotnál, a feszültségi állapot vizsgálata során is megkérdezhetjük, létezik-e olyan sík, amelyhez olyan feszültségvektor tartozik, melynek csak normális irányú komponense van. Matematikai megfogalmazásban:

σ ni = σ i n i = T σ n i ,

σ i -t a feszültségi állapot főfeszültségeinek, n i -t pedig a feszültségi állapot főirányainak

ahol

illetve főfeszültségi irányoknak nevezzük. A feladat megoldása matematikailag teljesen analóg az alakváltozási állapotnál megismerttel, ezért - különösebb magyarázat nélkül - csak a legfontosabb összefüggéseket írjuk fel. A karakterisztikus egyenlet:

σ 3i − S1 σ 2i + S 2 σ i − S 3 = 0 ,

2.48

melynek megoldásai (most is mindhárom valós) adják a főfeszültségek nagyságát, elnevezésük itt is nagyság szerint történik:

σ1 ≥ σ 2 ≥ σ 3 . A feszültségi invariánsok számítása:

S1 = σ xx + σ yy + σ zz = σ 1 + σ 2 + σ 3 ,

S2 =

σ xx σ yx σ xy σ yy σ xx

σ xx σ zx σ yy σ zy + = σ 1σ 2 + σ 1σ 3 + σ 3 σ 2 , σ xz σ zz σ yz σ zz

2.49/b

σ yx σ zx

S 3 = σ xy σ yy σ xz

+

2.49/a

σ yz

σ zy = σ 1σ 2 σ 3 .

2.49/c

σ zz

Itt is bizonyítható, hogy a feszültségi főirányok egymásra páronként merőlegesek. A főfeszültség ismeretében a feszültségi állapotok osztályozhatók. Térbeli a feszültségi állapot, ha egyik főfeszültség sem nulla. Síkbeli, illetve lineáris feszültségi állapotban egy, ill. két főfeszültség nulla. A (2.37/a,b) analógiájára a feszültségi állapotot is felbonthatjuk egy gömb- és egy deviátortenzor összegére, ha bevezetjük

σM =

(

σ M T  = 0  σ    0 0

)

1 σ xx + σ yy + σ zz mennyiséget: 3 0 σM 0

σ xx − σ M 0   0  , T σ~ = σ xy σ σ M   xz

[ ]

σ yx

σ yz

σ yy − σ M

σ zy

σ yz

σ zz - σ M

    

2.50/a,b

63

A gömbtenzornak megfelelő feszültségállapotot hidrosztatikai feszültségállapotnak nevezzük. Ennek jellemzője, hogy minden síkjához ugyanakkora normálfeszültség tartozik és nyírófeszültségek semmilyen síkon nem hatnak. Ilyen feszültségállapot uralkodik pl. a folyadékok belsejében. 2.2.3. A feszültségi állapot grafikus ábrázolása Tétel: A σ n = T σ n transzformáció az n egységvektorok által leírt gömböt ellipszoidba viszi át. Bizonyítás: Válasszuk koordinátarendszerként a feszültségi főirányokat. E rendszerben az

n = n 1 e1 + n 2 e 2 + n 3 e 3 normálisú síkhoz tartozó feszültségvektor: σ n = σ n1 e1 + σ n 2 e 2 + σ n 3 e 3

.

A feszültségvektor koordinátairányokra eső vetületei:

σ n1 = σ 1 n 1 ,

σ n2 = σ 2n 2 ,

σ n3 = σ 3n 3 .

Fejezzük ki ezekből az iránycosinuszokat, emeljük négyzetre az egyenlőségeket és adjuk össze őket:

n 12 + n 22 + n 32 = 1 =

σ 2n1 σ 2n 2 σ 2n 3 + + 2 σ12 σ 22 σ3

Ez valóban egy olyan ellipszoid egyenlete, melynek főtengelyei egybeesnek a koordinátatengelyekkel (főirányokkal), a féltengelyek nagysága pedig

σ 1 , σ 2 , σ 3 . Ez az ellipszoid a

feszültségi ellipszoid. Ne tévesszük szem elől, hogy az analógia ellenére az alakváltozási és feszültségi ellipszoidot különbözőképpen értelmeztük, ott a transzformáció tenzora T ε + E , itt pedig T

σ

. A feszültségi ellipszoid síkbeli feszültségi állapotban ellipszissé, lineáris fe-

szültségi állapotban egyenessé fajul. Lehetőség nyílik természetesen a feszültségi állapot Mohr-féle ábrázolására is. A 2.21. ábrán megrajzoltuk a Mohr-féle feszültségi főköröket és egy adott α 1 , α

3

szögű normálvek-

torhoz megszerkesztettük a feszültségvektort, illetve annak normális- és nyíróirányú komponenseit. Az alakváltozási állapotnál megismert, a Mohr-körökkel kapcsolatos minden tétel értelemszerűen itt is érvényes. A feszültségi állapot Mohr-körökkel történő ábrázolása lehetőséget ad arra, hogy a nyírófeszültségi komponensek közül kiválasszuk a legnagyobbakat. A legnagyobb nyírófeszültségeknek - a normálfeszültségek szélső értékeihez hasonlóan - a szilárdsági számításoknál van fontos szerepe. Az egyes feszültségi fősíkokban ébredő legnagyobb nyírófeszültségi komponen-

64

seket fő nyírófeszültségeknek nevezzük. Az ábráról leolvashatjuk, hogy ezek éppen a főkörök sugaraival egyenlők:

τ1 =

1 ( σ 1 − σ 2 ), 2

τ2 =

1 ( σ 2 − σ 3 ), 2

τ3 =

1 ( σ 1 − σ 3 ). 2

2.51

A fő nyírófeszültségek közül az O13 középpontú főkörhöz, azaz az 1,3 fősíkhoz tartozó

2.21. ábra A legnagyobb. A 2.19. ábra alapján azt is megállapíthatjuk, hogy a főnyírófeszültségek azokon a síkokon ébrednek, amelyek normálisai a főfeszültségi síkokba esnek és a főirányokkal 45o-os szöget zárnak be. 2.2.4. Sztatikai egyensúlyi egyenletek Általános esetben a feszültségi állapot illetve az azt kifejező feszültségi tenzor a testben felvett pont helyének függvénye:

T σ = T σ ( ρ ) = T σ ( x , y , z ) = σ ij ( ρ ) = σ ij ( x , y , z ). A

fenti

tenzor-vektor-függvényt

feszültségi tenzormezőnek nevezzük, melyet hat

független

skalármezővel,

skalárfüggvénnyel adunk meg. Sokszor

igen

értékes

információt

nyújt, ha ismerjük a test pontjaiban a főfeszültségek irányát, mert - mint a Mohr-féle feszültségi főkörök mutatják - ezekben az irányokban lépnek fel a normálfeszültségek szélső értékei, a legnagyobb húzó- és nyomó-

65

feszültségek. A főfeszültségek irányát jól szemléltethetjük az ún. feszültségi trajektóriákkal, amelyek olyan görbeseregek, melyek valamely pontjukhoz húzott érintője valamelyik főfeszültségi iránnyal esik egybe. A feszültségi trajektóriáknak elsősorban síkbeli feszültségi állapot esetén van gyakorlati jelentősége. Ilyenkor két főirány beleesik a feszültségi fősíkba, tehát a trajektóriavonalak is síkgörbék lesznek. A főirányok merőlegességi tételéből következik, hogy a két főiránynak megfelelő trajektóriasereg vonalai minden pontban merőlegesek egymásra, röviden ortogonálisak. A 2.22. ábrán egy négyzet alakú síklap feszültségi trajektóriáit ábrázoltuk a két szemközti csúcsot összekötő koncentrált nyomóerőknek megfelelő külső terhelés esetén. Már a merev testre ható külső és belső erők kapcsolatának vizsgálatánál láttuk, hogy a különböző keresztmetszetek belső erői (igénybevételei) nem függetlenek egymástól, tehát a belső erők, illetve belőlük származó feszültségek a helykoordináták függvényében nem változhatnak tetszőlegesen. Tétel: A feszültségi tenzormező komponenseinek hely szerinti változása és a térfogati erők között a

∑ ij

∂σ

∂ ri

ij

+ f

j

= 0 , i,j=x,y,z

2.52

összefüggés áll fenn. Bizonyítás: Vágjunk ki az egyensúlyi 2.22. ábra

erőrendszerrel terhelt testből egy ∆ x, ∆ y,

∆ z élhosszúságú, elemi, derékszögű hasábot (2.23. ábra) és vegyük száma a rá ható erőket. Az egyetlen külső erő a térfogati (vagy tömegerő), melynek eredője a hasáb geometriai középpontjában hat, vektora f ∆ x ∆ y ∆ z = f ∆ V , ahol f - a fajlagos (térfogategységre jutó) térfogati erő. A hasáb oldallapjain belső erők hatnak, amiket a testből való kivágással szabadítottunk fel, tettünk külsővé. A belső erőket - a korábbiakhoz hasonlóan - úgy számítottuk, hogy az oldallapokon ható feszültségvektorokat megszoroztuk az oldal területével. Az így nyert erővektor támadáspontja az oldallap geometriai középpontja lesz. A hasáb kis méretei miatt feltehetjük, hogy − e x , − e y , − e z normálisú lapjain a P(x,y,z) ponthoz tartozó

feszültségi állapot σ -x , σ -y , σ -z feszültségvektorai működnek. Az e x normálisú oldalon a P1(x + ∆ x,y,z) ponthoz tartozó feszültségi állapot megfelelő feszültségvektora, az e y normálisú

oldalon a P2(x,y+ ∆ y,z) ponthoz, az e z normálisú oldalon a P3(x,y,z+ ∆ z) ponthoz tartozó feszültségi állapot megfelelő feszültségvektorai hatnak. Az elemi hasábra ható, általános térbeli

66

2.23. ábra

2.24. ábra

erőrendszernek egyensúlyi erőrendszert kell alkotnia. Ennek feltétele, hogy az erőrendszer dinámja eltűnjön: R = 0, M S = 0 . Az első feltétel:

0=R =

∑ F∆ V + σ

−x

( x , y, z ) ∆ y ∆ z + σ − y ( x , y, z ) ∆ x ∆ z + σ − z ( x , y, z ) ∆ x ∆ y +

i

+ σ x ( x + ∆ x , y , z ) ∆ y ∆ z + σ y ( x , y + ∆ y , z ) ∆ x ∆ z + σ z ( x , y , z + ∆ z ) ∆ x ∆ y. Ha feltesszük, hogy a feszültségvektorok a hely folytonos és legalább egyszer differenciálható függvényei, akkor e vektorok növekvényei:

∂ σ x (x , y, z ) ∆x, ∂x ∂ σ y (x , y, z ) σ y (x , y + ∆ y, z ) = σ y (x , y, z ) + ∆ y, ∂y σ x (x + ∆ x , y, z ) = σ x (x , y, z ) +

σ z (x , y, z + ∆ z ) = σ z (x , y, z ) +

∂ σ z (x , y, z ) ∆ z. ∂z

Helyettesítsük be ezeket az előző kifejezésbe és vegyük figyelembe az ellentett irányítású síkokhoz tartozó feszültségvektorok tételét ( σ n = − σ − n ):

f ∆V +

∂σ x ( x , y, z ) ∂σ y ( x, y, z ) ∂σ z ( x , y, z ) ∆x∆y∆z + ∆x∆y∆z + ∆x∆y∆z = 0 ∂x ∂y ∂z

∆ V = ∆ x ∆ y ∆ z -vel való osztás után: ∂σ x ( x, y, z ) ∂σy( x, y, z ) ∂σ z ( x, y, z ) + + +f=0 ∂x ∂y ∂z A vektorösszefüggésnek megfelelő három skaláregyenlet:

2.52/b

67

∂ σ xy ∂ σ xy ∂ σ xx + + + fx = 0 , ∂y ∂z ∂x ∂ σ xy ∂ σ yy ∂ σ yz + + + fy = 0 , ∂x ∂y ∂z ∂ σ yz ∂ σ xz ∂ σ zz + + + fz = 0 , ∂x ∂y ∂z

2.52/c

amelyek éppen a (2.52/a) indexjelölésű egyenletbe foglalhatók össze. A (2.52) jelű egyenleteket, melyek parciális differenciálegyenletek, sztatikai egyensúlyi (Cauchy-féle) egyenleteknek nevezzük. Az egyensúlyi feltétel nyomatéki egyenlete a - már korábban bizonyított nyírófeszültségkomponensek páronkénti egyenlőségéhez vezet. Megemlítjük még, hogyha a test nincs nyugalomban, hanem a ráható erőrendszer hatására gyorsuló mozgást végez, akkor a fenti egyenletek jobb oldalán nem nulla, hanem az egységnyi térfogatra jutó tehetetlenségi erő szerepel. Ilyenkor a kontinuum mozgásegyenleteiről beszélünk:

∑ i

∂σ ij ∂ ri

+ fj = ρ

d 2u j dt 2

,

i,j = x,y,z

2.53

ahol - a test sűrűsége, d2uj /dt2 - az eltolódásvektor j irányú komponensének második idő szerinti deriváltja, azaz a j irányú gyorsuláskomponens. 2.3. A munka és a potenciális energia A munka, a potenciális energia és néhány, ezekkel kapcsolatos fogalom bevezetése lehetővé teszi, hogy a testek valóságos viselkedésének figyelembevételével fontos elméleti megállapításokhoz jussunk. A munkával és energiával kapcsolatos tételek felhasználásával sok rugalmasságtani feladat viszonylag egyszerűen, a mechanikai jelenségek mélyebb szintű megértése mellett oldható meg. 2.3.1. Az elemi munka Ha a test valamely pontja a deformáció vagy bármilyen egyéb hatás következtében du elemi elmozdulást szenved és ebben a pontban F erő hat, akkor az erő elemi munkája alatt a két vektor skalárszorzatát értjük (2.24. ábra):

dW = F( r2 − r1 ) = Fdr = Fdu

2.54

Az elemi munka dimenziója: erő x távolság, SI-beli egysége: 1 Nm = 1 J = 1 joule. A skalárszorzat értelmezése következtében: dW = Fducosα = Fudu = FduF ,

2.54/b

68

ahol Fu - az erővektor du irányú összetevője, duF - pedig az elemi elmozdulásvektor F irányú összetevője. A (2.54) összefüggést szimbolikusan is értelmezhetjük, mert elemi munkáról beszélünk akkor is, ha az F koncentrált erő és a du elemi eltolódás helyett az ún. általánosított erőt és általánosított elemi elmozdulást használunk, amelyek egymáson munkavégzésre képesek, s szorzatuk dimenziója munkajellegű mennyiség. Általánosított erő a koncentrált erő, a koncentrált nyomaték, a térfogati és felületi erők, az igénybevételek, a feszültségkomponensek, stb, általánosított elemi elmozdulás az elemi eltolódás, az elemi elfordulás, az alakváltozási tenzorkomponensek, stb. Az általánosított erők lehetnek külső és belső erők, ennek megfelelően beszélhetünk külső és belső munkáról. 2.3.1.1. A külső elemi munka Hasson a testre külső erőként koncentrált jellegű, térfogati és felületi terhelés (2.25. ábra). Az összes külső elemi munka alatt az egyes külső erők elemi munkájának összegét értjük: n

dWk = ∑ F i du i + ∫ qdudA + ∫ fdudV i =1

A

2.55

V

ahol Fi - a test felületének Pi pontjában ható koncentrált jellegű általánosított külső erő,

du i - a Pi pontáltalánosított elemi elmozdulása, n - a külső általánosított erők száma,

q = q ( ρ ) - a felületen ható általánosított megoszló erő intenzitása,

f = f ( ρ ) - az általánosított térfogati erő fajlagos értéke,

du = du( ρ ) - a test (felületi és belső) pontjainak általánosított elemi elmozdulása, A - a test felülete, V - a test térfogata. 2.3.1.2. A belső elemi munka A külső terhelés hatására a testen belül is erők lépnek fel. A test valamely valóságos vagy képzelt keresztmetszetén kelet-kező megoszló erőrendszer eredőjének össztevői az igénybe-vételek. A síkmetszetre ható erőrendszert a síkmetszet pontjai-ban ható feszültségvektorokkal jellemezhetjük. A belső erők elemi munkájának számításánál tehát e-legendő a feszültségeknek, mint általánosított erőknek az elemi munkáját meghatározni.

69

2.25. ábra

2.26. ábra

Tétel: A merevtest-szerű elmozdulás során a belső erők összes elemi munkája nulla. Bizonyítás: A P pont környezetében kivágott elemi hasáb − e x és e x normálisú oldallapjain ható belső erők eredője - 2.2.4. fejezettel összhangban -

σ − x ( x , y, z )∆ y ∆ z

és

σ x ( x , y , z ) ∆ y ∆ z , támadáspontjuk az S, illetve S' geometriai középpontok. E pontok helyvektora között a kapcsolat (2.26. ábra):

rS' = rS + ∆xe x (2.32) segítségével meghatározhatjuk e két pont elemi eltolódásvektorát:

d u s = du p + d ϕ x r S , d u S ' = d u p + d ϕ x r S ' = d u p + d ϕ x ( r S + ∆ xe x ) = d u p + d ϕ x r S + ∆ xd ϕ x e x = = d u p + dϕ x rS = d u s.

A

z utolsó egyenlőségben a ∆xdϕ másodrendűen kicsi mennyiséget elhanyagoltuk. A merevtestszerű elmozdulás során tehát az S és az S' pont elemi eltolódása megegyezik. Ha figyelembe vesszük azt is, hogy ∆ x kis értéke miatt

σ x (x + ∆ x , y , z) ≅ σ x (x , y , z) , a két oldallapon működő erő elemi munkája:

σ -x (x, y, z) ∆ y ∆ zd u S

+

σ x (x + ∆ x, y, z) ∆ y ∆ zd u S ' = − σ x (x, y, z) ∆ y ∆ zd u S +

+ σ x (x, y, z) ∆ y ∆ zd u S = 0. Hasonló eredményre jutunk a másik két szemben lévő oldallapon is.

70

Az elemi hasábra ható belső erők elemi munkája merevtest-szerű elmozdulásnál páronként nulla, s ennek következtében az egész testen belül összegzett elemi munka is nullával egyenlő. A szűkebb értelemben vett tiszta deformáció során a belső erők elemi munkáját a következőképpen számíthatjuk. Maradjunk a - e x és e x normálisú felületnél. Az S és S' pontok elemi eltolódását a tiszta deformáció során a (2.5) összefüggéssel számíthatjuk:

d u S = d ( T ε r S ),

[

]

d u S ' = d ( T ε r S ' ) = d T ε ( r S + ∆ x e x ) = d ( T ε r S ) + ∆ xd ( T ε e x ) = d u S + ∆ xd ε x . A két belső erő elemi munkája a fenti összefüggések figyelembevételével:

[

]

dW b = − σ -x (x, y, z) ∆ y ∆ zd u S + σ x (x, y, z) ∆ y ∆ zd u S' =

[

]

= − − σ x (x, y, z)∆ y ∆ zd u S + σ -x (x, y, z) ∆ y ∆ z(d u S + ∆ xd ε x ) = − σ x (x, y, z) ∆ x ∆ yd ε x = = − σ x d ε x ∆V. Ez az elemi munka azért negatív, mert a belső erő az alakváltozást gátolni igyekszik, tehát a relatív elmozdulással ellentétes értelmű. Az elemi hasáb többi oldalán fellépő belső erők elemi munkáját hasonlóan számítjuk, így a ∆V nagyságú térfogatelemre ható belső erők elemi munkája: dWb = − ( σ x d ε x + σ y d ε y + σ z d ε z ) ∆ V . A belső erők térfogategységre jutó elemi munkáját fajlagos belső elemi munkának vagy belső elemi munkasűrűségnek nevezzük:

dw b =

dW b = − (σ x d ε x + σ y d ε y + σ z d ε z ) = − ∑ σ i d ε i , ∆V i

i=x,y,z

2.56/a

,

2.56/b

kifejtve:

dw b = − (σ xx d ε xx + σ xy d ε xy + σ xz d ε xz + σ yx d ε yx + σ yy d ε yy + + σ yz d ε yz + σ zx d ε zx + σ zy d ε zy + σ zz d ε zz indexes írásmódban: dwb = −

∑

σ ij d ε ij ,

i,j = x,y,z

2.56/c

ij

Ha a fajlagos belső elemi munkát az egész test térfogatára összegezzük, megkapjuk az összes belső elemi munkát:

71

∫∑

dWb = −

σ ij d ε i j d V

i,j = x,y,z .

2.57

i, j

V

2.3.2. A teljes (véges) munka A teljes alakváltozási folyamat során végzett munka a teljes vagy véges munka, amely az elemi elmozdulások során végzett elemi munkák összege, határátmenetben az általánosított erőknek az általánosított elmozdulások szerinti határozott integrálja. Egy koncentrált erő esetén (2.24. ábra):

W =

∫ dW

rB

SB

rA

SA

∫ Fd r = ∫ F

=

u

du =

SB

∫ Fd u

F

.

2.58

SA

A testre ható külső erők teljes munkája: n

∫∑

Wk =

u

F id u i +

i =1

i

∫ ∫ q d udA

+

A u

∫ ∫ fd udV

.

2.59

V u

A testben ébredő belső erők teljes munkája:

WB = − ∫

∫∑σ

ij

d ε ij dV ,

i,j = x,y,z

2.60

V ε ij i , j

2.3.3. A kiegészítő (konjugált) munka Az elemi kiegészítő (konjugált) munka az eltolódásvektornak és az elemi nagyságú erővektornak a skalárszorzata:

~ dW = udF ,

2.61

a teljes kiegészítő (konjugált) munka az elemi kiegészítő munkák összege, határátmenetben az általánosított elmozdulásnak az általánosított erők szerinti határozott integrálja:

~ ~ W = dW =

FB

∫ ud F

.

2.62

FA

Az előző két fejezetben tárgyaltakhoz hasonlóan felírhatjuk a testre ható külső és belső erők elemi és teljes kiegészítő munkáját. A külső erők elemi kiegészítő munkája:

~ dW k =

n

∑u i =1

i

df i +

∫ ud qdA + ∫ ud f dV , A

V

2.63

72

a belső erők elemi kiegészítő munkája:

~ dW B = − ∫ ∑ ε ij d σ ij dV , V

i,j = x,y,z .

2.64

ij

A külső erők teljes kiegészítő munkája:

~ Wk =

n

∫∑

u idF i +

F i=1

∫ ∫ ud qdA + ∫ ∫ ud f dV A q

,

2.65

i,j = x,y,z .

2.66

V f

a belső erők teljes kiegészítő munkája:

~ W

B

= −∫

∫∑

V ε ij

ε ij d σ i j d V ,

ij

A kiegészítő munkának nincsen fizikai tartalma, csupán matematikai szempontból definiálható. Dimenzió szempontjából természetesen munka jellegű mennyiség. A munkatételek levezetésénél a kiegészítő munkáknak alapvető jelentősége van. 2.3.4. Idegen és saját munka Ha a munka és kiegészítő munka kifejezéseiben szereplő általánosított erők és elmozdulások egymásnak függvényei, akkor összetartozóknak nevezzük őket, különben nem összetartozók. Nem összetartozó általánosított erők és elmozdulások esetén a munkavégzést úgy képzelhetjük el, hogy az általánosított erők az elmozdulások kezdetekor már teljes, végleges nagyságukkal hatnak és az elmozdulás időtartama alatt nem változnak. Az elmozdulás nem a vizsgált erőrendszer hatására, hanem valamilyen más ok következtében lép fel. A kiegészítő munkánál is hasonlóan gondolkodhatunk, csak ott az általánosított elmozdulást tekintjük a terhelési folyamat alatt változatlannak. Az ilyen módon keletkező munkát idegen munkának nevezzük. Az erők jellegétől függően beszélhetünk külső és belső idegen munkáról is. Az összetartozó általánosított erők és elmozdulások között ok-okozati kapcsolat van. A kapcsolat minőségét az anyagtörvény írja le. A terhelési folyamatot úgy képzelhetjük, hogy az általánosított erők nulla értékről indulva folyamatosan - és mindegyik ugyanabban az időpillanatban - veszik fel végső értéküket. Ezek az erők a saját maguk által okozott alakváltozáson végeznek munkát. A kiegészítő munka számításánál ugyanezt a terhelési folyamatot tételezhetjük fel, csak ilyenkor az elmozdulást tekintjük oknak és az erőhatást okozatnak. Az így végzett munkát saját munkának nevezzük. Ezek után számítsuk ki - az egyszerűség kedvéért - egyetlen erő és a hatásvonalába eső eltolódás esetén a teljes munkát és a teljes kiegészítő munkát. Az előző definíciók szerint a

73

munka számértéke az erő-eltolódás-függvény és az eltolódástengely közötti terület, a kiegészítő munka számértéke pedig az erő-eltolódás-függvény és az erő-tengelyt közötti terület (2.27. ábra). Nem összetartozó erő és elmozdulás esetén (2.27/a ábra), a munka idegen:

W =

u2

∫

F1 d u = F1

u1

~ W =

F2

∫

u2

∫ du

= F1 ( u 2 − u 1 ) ,

u1 F2

u 1 d F = u 1 ∫ d F = u 1 ( F 2 − F1 ) .

F1

F1

Összetartozó erő és elmozdulás, a kettő egymásnak tetszőleges függvénye (2.27/b ábra), saját munka: u

W ~ W

= =

∫

2

F (u )d u ,

u

1

F

2

∫

u (F )d F.

F1 u2

u2

F

F

u

2 1 1 c 2 W = ∫ F( u )du = ∫ cudu =  u  = ( u 22 − u 12 ) = ( cu 2 u 2 − cu 1 u 1 ) = ( F2 u 2 − F1 u 1 ), 2 2  2  u1 u1 u1

F

2 2 F F 1 1 1 F ~ 2 1  W = ∫ u ( F)dF = ∫ dF =  F 2  = ( F22 − F12 ) = ( F2 2 − F1 1 ) = ( F2 u 2 − F1 u 1 ). 2 2 2 c c  2c  F1 2c F1 F1

A két utolsó összefüggés alapján általánosan is megfogalmazhatjuk a következő tételt: Tétel: Összetartozó általánosított erők és elmozdulások esetén a teljes munka és a teljes kiegészítő munka akkor egyenlő, ha az anyagtörvény lineáris és a tehermentes állapothoz nem tartozik kezdeti alakváltozás (elmozdulás). 2.3.5. A potenciális (helyzeti) energia A testek munkavégző képességét energiának nevezzük. Az energia nagyságát pedig munkaösszeggel jellemezzük.

74

2.27. ábra Összetartozó erő és elmozdulás esetén a függvénykapcsolat lineáris: F = cu, ahol c = áll. (2.27/c ábra), saját munka: A testek teljes mechanikai energiája kinetikai (mozgási) és potenciális (helyzeti) energiából áll. A szilárdságtanban a testek elemi részecskéinek sebessége - a rezgési folyamatok kivételével - olyan kicsi, hogy a sebesség négyzetével arányos kinetikai energia általában elhanyagolható és csak a potenciális energiának van gyakorlati jelentősége. Ha az anyagi pontra ható erő csak az anyagi pont helyének függvénye és egy U(r) skalárfüggvénynek a negatív gradienseként állítható elő, azaz

75

F = F (r) = −

dU( r ) = − gradU( r ), dr

2.67

akkor az erővektorok mezejét (az erőteret) konzervatívnak, az U( u ) skalárfüggvényt pedig potenciálnak vagy potenciális energiának nevezzük (potenciálról általában akkor beszélünk, ha az anyagi pont tömege egységnyi, illetve az erőt egységnyi tömegre vonatkoztatjuk). Ilyen tulajdonsággal rendelkező erőtérben az anyagi pontra ható erő egy r A kezdeti és egy rB végső helyzetbeli teljes munkája: rB

rB

u

B du( r ) W = ∫ Fd r = − ∫ d r = − ∫ dU = − (U B − U A ). d( F ) uA rA rA

2.68

Konzervatív erőtérben tehát az erő teljes munkája csak a kezdő- és végpontok potenciális energiájától függ és azok különbségével egyenlő. Ha az U( r ) függvény kielégíti a potenciális energia kritériumát, akkor (2.67) értelmében az U( r ) + áll. is potenciális energiafüggvényt ad. Ennek a határozatlanságnak a kiküszöbölésére a potenciális energiát mindig energiakülönbségként adják meg, mégpedig az önkényesen választott, nulla potenciális energiájú helyhez viszonyítva. A szilárdságtanban a kiinduló koordinátarendszert a deformálatlan testhez kötjük és ezt a deformálatlan állapotot tekintjük a nulla értékű potenciális energiaszintnek. A deformáció befejeztével a test pontjainak helyvektorait a kiinduló koordinátarendszerben éppen az u( ρ ) eltolódásvektorok adják meg. Jóllehet, csak az anyagi test lehet energiahordozó, mégis - az "erő nem más, mint a testek egymásra hatása" absztrakcióhoz hasonlóan - erők, pontosabban általánosított erők potenciális energiájáról beszélünk. Ennek megfelelően különbséget teszünk a külső és belső erők potenciális energiája között. A külső és belső potenciális energia összegét teljes potenciális energiának nevezzük: U = Uk + Ub .

2.69

2.3.5.1. A külső erők potenciális energiája A külső erők potenciális energiáján azoknak a testeknek a potenciális energiáját értjük, amelyek a külső erőket létrehozzák. Fontos feltétel, hogy a testek konzervatív erőtérben helyezkedjenek el. Mivel a külső erők a vizsgált test alakváltozásától függetlenül léteznek és már az alakváltozási folyamat kezdetén végső értékükkel hatnak, a külső általánosított erők és elmozdulások nem összetartozók. A külső potenciális energia olyan munkaösszeg, amelynél a munkát idegen munkaként kell számítani. A külső erők mindig olyan alakváltozást hoznak létre, melynek során munkájuk pozitív, ezért potenciális energiájuk csökkenni fog. A (2.68) kifejezés általánosításaként - a kezdeti potenciális energiát nullának tekintve - a külső erők potenciális energiája a külső erők munkájának -1-szerese:

76

u u ui n  U k = − W k = −  ∫ ∑ F i d u i + ∫ ∫ q d u dV + ∫ ∫ f d u dV  . A 0 V 0  0 i =1 

Mivel Fi, q, f nem függvénye u-nak, az általánosított erők kiemelhetők és az integrálás elvégezhető:

U k = −Wk

 n = −∑ Fiu +  i =1

∫

q u dV +

A

 f u dV  ∫  V

2.70

2.3.5.2. A belső erők potenciális energiája Belső potenciális energián a vizsgált testben a belső erőknek az alakváltozás során végzett munkájának következtében felhalmozódó energiát értjük. Ebben az esetben a belső erők és az alakváltozás összefüggőek, tehát a belső erők saját munkáját kell számítani. (2.68) általánosításaként a belső erők potenciális energiája a belső erők saját munkájának -1-szerese:

U b = −Wb

1 = 2

ε ij

∫ ∫ ∑ dε

ij

σ ij d V , i,j=x,y,z

2.71/a

ij

V 0

A belső erők munkája negatív, így a belső potenciális energia - a tehermentes állapotot nulla energiaszintűnek tekintve - pozitív mennyiség. A belső potenciális energia meghatározásához ismerni kell az anyagtörvényt. Ha feltesszük, hogy az anyag követi a Hooke-törvényt, akkor az általánosított erők és elmozdulások között lineáris kapcsolat van, és a belső potenciális energiát (2.71/a) felhasználásával a 2.27. ábra utolsó esetének analógiájára számíthatjuk:

U b = −Wb =

1 2

∫∑ε

ij

σ ij d V .

2.71/b

ij

V

Ez az energiamennyiség ideálisan rugalmas anyag esetén a testben felhalmozódik és a deformáció megszüntetésével visszanyerhető. Az ideálisan rugalmas anyagot ezzel a feltétellel is szokták definiálni. Sokszor szükség van az egységnyi térfogatra (tömegre) vonatkozó belső potenciális energiára:

ub =

dU b 1 = dV 2

∑ε

ij

σ ij .

2.72

ij

amit rugalmas potenciálnak nevezünk. Tétel: A rugalmas potenciál εij deformáció-komponensek szerinti parciális differenciálhányadosai a σ ij feszültségkomponensek. Bizonyítás: A definíció szerint az elemi rugalmas potenciál:

du

b

=

∑ ij

d ε ij σ

ij

,

i,j = ,y,z

.

77

Ideálisan rugalmas test esetén a rugalmas potenciált az anyagtörvény felhasználásával (2.72) szerint az εij deformációkomponensek egyértelműen meghatározzák, ami azt jelenti, hogy a dub teljes differenciál:

du b =

∑ ij

∂u b d ε ij , ∂ ε ij

i,j = x,y,z

A két utolsó összefüggés összehasonlításából adódik, hogy

∂u b = σ ij ∂ ε ij

i,j = x,y,z.

2.73

2.3.6. A kiegészítő (konjugált) potenciális energia A kiegészítő potenciális energiát hasonló módon definiáljuk, mint a kiegészítő munkát. A kiegészítő potenciális energia számértéke a kiegészítő munka ellentettje. Közvetlen fizikai tartalma nincsen. A teljes kiegészítő potenciális energia a külső és a belső kiegészítő potenciális energia összege: U = Uk + Ub.

2.74

A külső erők kiegészítő potenciális energiáját idegen munkaként számítjuk: q f  Fi n  ~ ~ U k = − Wk = −  ∫ ∑ u i d Fi + ∫ ∫ ud q dA + ∫ ∫ u d f dV  =  0 i =1  A 0 V 0  n  = −  ∑ u i Fi + ∫ u q dA + ∫ u fdV  = U k A V  i =1 

2.75

A belső erők kiegészítő potenciális energiáját saját munkaként számítjuk. Lineárisan rugalmas testet feltételezve:

~ ~ U b = −Wb =

ε ij

∫ ∫∑ε

ij

d σ ij dV =

ij

V 0

1 ∑ ε ij σ ij dV = U b 2 V∫ ij

2.76

Az egységnyi térfogatra eső belső kiegészítő potenciális energia kiegészítő rugalmas potenciál:

~ dU b 1 ~ ub = = dV 2

∑ε

ij

σ ij

i,j = x,y,z

2.77

ij

Tétel: A kiegészítő rugalmas potenciál σij feszültségkomponensek szerinti parciális differenciálhányadosai az εij alakváltozáskomponensek. Bizonyítás: Az elemi kiegészítő rugalmas potenciál:

d~ ub =

∑

ε ij d σ

ij

i,j= x,y,z

ij

Ideálisan rugalmas anyagnál a σij feszültségkomponensek a kiegészítő rugalmas potenciált egyértelműen meghatározzák, dub tehát teljes differenciál:

78

d~ ub =

∂~ ub d σ ij ∂ σ ij

∑ ij

i,j = x,y,z

A két kifejezést összehasonlítva:

∂~ ub = ε ij ∂ σ ij

i,j = x,y,z

2.78

2.3. Anyagtörvények 2.3.1. Az anizotróp anyag általános Hooke-törvénye Az ideálisan rugalmas anyag feltételezés azt jelenti, hogy a test valamely pontjában keletkező feszültségállapot komponensei az időtől függetlenül kizárólag a pillanatnyi és helyi deformációtól függenek és fordítva. E szerint a feszültségkomponenseket a

σ

ij

= σ

ij

(ε

kl

) ,

i,j,k,l = x,y,z

2.79

függvénykapcsolat egyértelműen meghatározza. A függvénykapcsolat konkrét alakját a kísérleti tapasztalatok alapján lehet kiválasztani. Linearitást is feltételezve (2.79)-ból a függvénykapcsolat konkrét formája úgy alapozható meg, hogy σ ij -t az ε kl =0 hely környezetében Taylor-sorba fejtjük és - kis alakváltozások feltételezése miatt - a lineáris tagoknál magasabb rendűeket elhanyagoljuk:

σ ij = σ ij ( ε ij ) = σ ij ( 0 ) +

 ∂ σ ij   ε k l + ... kl  0

∑  ∂ ε kl

i,j,k,l = x,y,z .

2.80/a

Ha azt feltételezzük, hogy az alakváltozásmentes állapothoz nem tartozik feszültségállapot, akkor σij(0)=0 és (2.80/a) részletesebben kiírt alakja:

 ∂σ ij   ∂σ ij   ∂σ ij   ∂σ ij   ∂σ ij   ε xy +   ε yx +   ε yy + σ ij =   ε xx +   ε xz +   ∂ε xx  0  ∂ε xz  0  ∂ε xy  0  ∂ε yx  0  ∂ε yy  0  ∂σ ij   ∂σ ij   ∂σ ij   ∂σ ij   ε yz +   ε zy +  +  ε zx +   ε zz ,  ∂ε zx  0  ∂ε zz  0  ∂ε yz  0  ∂ε zy  0

2.80/b

i, j = x, y, z

Jelöljük a parciális deriváltak nulla helyen vett értékét cijkl-lel, akkor

 ∂ σ ij ( ε k l )     ∂ ε kl 

= c ijk l

i,j,k,l = x,y,z ,

0

s így a (2.79) konkrét alakja indexes jelölésmódban:

σ

ij

=

∑

c ijk l ε

kl

,

i,j,k,l = ,y,z

2.81/a

kl

Ha a feszültségi és az alakváltozási tenzor komponenseit egy sor- illetve oszlopmátrixba rendezzük, akkor a fenti kifejezés mátrixalakja:

79

σ xx  σ   xy   σ xz    σ yx  σ yy  =    σ yz  σ   zx   σ zy  σ   zz 

 c xxxx c  xyxx  c xzxx   c yxxx  c yyxx   c yzxx c  zxxx  c zyxx c  zzxx

c xxxy c xyxy

c xxxz c xyxz

c xxyx c xyyx

c xxyy c xyyy

c xxyz c xyyz

c xxzx c xyzx

c xxzy c xyzy

c xzxy

c xzxz

c xzyx

c xzyy

c xzyz

c xzzx

c xzzy

c yxxy

c yxxz

c yxyx

c yxyy

c yxyz

c yxzx

c yxzy

c yyxy

c yyxz

c yyyx

c yyyy

c yyyz

c yyzx

c yyzy

c yzxy

c yzxz

c yzyx

c yzyy

c yzyz

c yzzx

c yzzy

c zxxy

c zxxz

c zxyx

c zxyy

c zxyz

c zxzx

c zxzy

c zyxy c zzxy

c zyxz c zzxz

c zyyx c zzyx

c zyyx c zzyy

c zyyz c zzyz

c zyzx c zzzx

c zyzy c zzzy

c xxzz  ε xx  c xyzz  ε xy    c xzzz   ε xz    c yxzz  ε yx  c yyzz  ε yy    c yzzz   ε yz  c zxzz   ε zx    c zyzz   ε zy  c zzzz   ε zz 

2.81/b

(2.81) kilenc skaláregyenletet jelent, amelyben összesen 81 együttható található. A (2.81) összefüggést az anizotróp anyagok általános Hooke-törvényének nevezzük. A törvény szerint a feszültségkomponensek a deformációkomponensek homogén lineáris függvényei. Így a cijkl együtthatók egy négydimenziós tenzort alkotnak, melyet merevségi tenzornak nevezünk. A tenzor mátrixreprezentációja (2.81/b) 9x9-es mátrixa. A merevségi tenzor komponenseinek száma 34 = 81. Ezeket a tenzorkomponenseket, amelyeket bizonyos körülmények fennállása esetén anyagállandóknak tekinthetünk, minden anyagra kísérletekkel kell meghatározni. A független tenzorkomponensek száma azonban mindig kevesebb, mint 81. A feszültségi tenzor szimmetriája, azaz σ ij = σ ji miatt cijkl = cjikl, az alakváltozási tenzor szimmetriája, azaz ε kl = ε lk miatt cijkl = cijlk. Összességében cijkl = cjikl = cijlk = cjilk, ami azt jelenti, hogy az i,j és k,l indexpárok önmaguk között felcserélhetők, tehát csak az 1,1; 1,2; 1,3; 2,2; 2,3; 3,3 indexpárok kettősei jelentenek különböző komponenseket. A független komponensek száma így 62 = 36. Még ez a szám is csökken, ha az anyag rendelkezik rugalmas potenciállal, ami lineárisan rugalmas anyagnál mindig fennáll. Differenciáljuk (2.73)-at ε kl szerint és használjuk fel (2.81/a)-t:

∂ σ ij ∂ 2u b = = ∂ ε ij ∂ ε k l ∂ ε kl írjuk át (2.81/a)-t a σ

∂ ∑ c ijk l ε k l kl

∂ ε kl kl

=

∑

= c ijk l ,

c ijk l ε ij

formába, majd differenciáljuk (2.73)-at fordított

ij

sorrendben:

∂2u b ∂ σ kl = = ∂ ε k l ∂ ε ij ∂ ε ij

∂ ∑ c k lij ε ij ij

∂ ε ij

= c k lij ,

Mivel a differenciálás sorrendje közömbös:

cijkl = cklij

,

ami azt jelenti, hogy az indexpárok egymással is felcserélhetők. Az eddigi 36 komponensből hatnál (az ijij indexűeknél) nincs jelentősége a cserének, a fennmaradó 30 pedig páronként

80

egyenlő. Az egymástól független komponensek száma ezek szerint a legáltalánosabb anizotrópia esetén 6 + 15 = 21. Az (2.81) anyagtörvény felhasználásával a (2.72) rugalmas potenciál:

ub =

1 2

∑c

ijk l

ε ij ε kl ,

i,j,k,l = x,y,z,

2.82

ijkl

ami szerint a rugalmas potenciál a deformációkomponensek homogén négyzetes függvénye. A (2.81/b) mátrixegyenletnek megfelelő 9 skaláregyenletből kifejezhetjük a deformációkomponenseket a feszültségkomponensek függvényeiként. Az eredményt a következő indexjelölésű kifejezésbe foglalhatjuk:

ε ij =

∑s

ijkl

σ kl ,

i,j,k,l = x,y,z ,

2.83

kl

ami (2.81)-hez hasonlóan 9 skaláregyenletet jelent 81 együtthatóval. Az sijkl komponensek tenzormennyiséget alkotnak, melyet alakíthatósági tenzornak nevezünk. A (2.83) összefüggés meghatározásából következik, hogy a merevségi és az alakíthatósági tenzorok egymásnak inverzei. Ebből is következik, de a merevségi tenzorkomponenseknél alkalmazott eljáráshoz hasonlóan bizonyítható, hogy sijkl független komponenseinek száma 21. (2.83) felhasználásával a kiegészítő rugalmas potenciál az

~ ub

1 = 2

∑s

ijk l

σ ij σ k l ,

i,j,k,l = x,y,z,

2.84

ijk l

alakba írható, tehát a kiegészítő rugalmas potenciál a feszültségkomponensek homogén négyzetes függvénye. Az anizotróp anyagok általános Hooke-törvényét sokszor kényelmesebb mátrix alakban felírni és használni. Ehhez vezessük be be a következők jelöléseket:

σ 1 = σ xx , σ 2 = σ yy , σ 3 = σ zz , σ 4 = σ yz = σ zy , σ 5 = σ zx = σ xz , σ 6 = σ xy = σ yx . ε 1 = ε xx , ε 2 = ε yy , ε 3 = ε zz , ε 4 = ε zy + ε yz , ε 5 = ε zx + ε xz , ε 6 = ε xy + ε yx .

2.85

Ezekkel a jelölésekkel a (2.81 ) kifejezést a

σ

i

=

∑

c ij ε

j

,

i,j = 1,2,...,6.

2.86/a

j

alakba írhatjuk, amelyben cij-t merevségi mátrixnak nevezzük. A fenti kifejezés mátrix formája:

81

σ1   c 11 c σ   2  21 σ 3   c 31   =   c 41 σ 4  σ 5   c 51    σ 6   c 61

c 12 c 22 c 32 c 42 c 52 c 62

c 13 c 23 c 33 c 43 c 53 c 63

c 14 c 24 c 34 c 44 c 54 c 64

c 16   ε 1  c 26   ε 2    c 36   ε 3    c 46   ε 4  c 56   ε 5    c 66   ε 6 

c 15 c 25 c 35 c 45 c 55 c 65

2.86/b

A merevségi tenzor cijkl komponensei és a merevségi mátrix cmn elemei között a kapcsolatot (2.81/b) alapján (2.85) és (2.86/b) felhasználásával könnyen megállapíthatjuk:

   c 41 = c xxyz ,     c 52 = c yyzx ,   c 63 = c zzxy ,   c 65 = c zxxy . 

c 11 = c xxxx , c 22 = c yyyy , c 33 = c zzzz , c 44 = c yzyz , c 55 = c zxzx , c 66 = c xyxy , c 12 = c 21 = c xxyy , c 13 = c 31 = c xxzz , c 14 = c 15 = c 51 = c xxxz , c 16 = c 61 = c xxxy , c 23 = c 32 = c yyzz , c 24 = c 42 = c yyyz , c 25 = c 26 = c 62 = c yyxy , c 34 = c 43 = c zzyz , c 35 = c 53 = c zzzx , c 36 = c 45 = c 54 = c yzzx , c 46 = c 64 = c yzxy , c 56 =

2.87

Hasonlóan jutunk el a Hooke-törvény másik alakjához:

εi =

∑s

ij

σ j,

i,j=1,2,...,6 .

2.88/a

j

ahol sij az alakíthatósági mátrix. Mátrix formában:

 ε 1   s 11 ε  s  2   21  ε 3   s 31   =   ε 4   s 41  ε 5   s 51     ε 6   s 61

s 12 s 22 s 32 s 42 s 52 s 62

s 13 s 23 s 33 s 43 s 53 s 63

s 14 s 24 s 34 s 44 s 54 s 64

s 15 s 25 s 35 s 45 s 55 s 65

s 16   σ 1  s 26   σ 2    s 36   σ 3    s 46   σ 4  s 56   σ 5    s 66   σ 6 

2.88/b

Az alakíthatósági tenzor sijkl komponensei és az alakíthatósági mátrix smn elemei között a kapcsolat:

82

  4s zxzx , s 66 = 4s xyxy ,  s 21 = s xxyy , s 13 = s 31 = s xxzz , s 14 = s 41 = 2s xxyz ,   s 51 = 2s xxzx , s 16 = s 61 = 2s xxxy ,   s 32 = s yyzz , s 24 = s 42 = 2s yyyz , s 25 = s 52 = 2s yyzx ,   s 62 = 2s yyxy ,  s 43 = 2s zzyz , s 35 = s 53 = 2s zzzx , s 36 = s 63 = 2s zzxy ,   s 54 = 4s yzzx , s 46 = s 64 = 4s yzxy , s 56 = s 65 = 4s zxxy .

s 11 = s xxxx , s 22 = s yyyy , s 33 = s zzzz , s 44 = 4s yzyz , s 55 = s 12 = s 15 = s 23 = s 26 = s 34 = s 45 =

2.89

A (2.87) és a (2.89) összefüggések szerint a merevségi és az alakíthatósági mátrixok a főátlóra szimmetrikusak, a független rugalmas állandók száma 21-21. A két mátrix egymásnak inverze. Még egyszer hangsúlyozzuk, hogy a cij és sij elemek nem alkotnak tenzormennyiséget. Ezért az eredetihez képest egy elforgatott koordinátarendszerben kívánjuk megadni a rugalmas állandókat, akkor vissza kell térnünk a cijkl , sijkl tenzorokhoz, ezeket a komponenseket kell a (2.7) szabálynak megfelelően transzformálni és a transzformált komponensekkel kell a (2.87) és (2.89) kifejezések felhasználásával az elforgatott koordinátarendszernek megfelelő mátrixelemeket meghatározni. Ha az anyag egy pontján át felvett különböző irányokhoz tartozó rugalmas tulajdonságok között valamilyen kapcsolat van, a független tenzorkomponensek száma kisebb lesz 21-nél. Az anyagok többsége a mechanikai tulajdonságok szempontjából szimmetriát mutat, ami azt jelenti, hogy a mechanikai jellemzők bizonyos síkokra vagy tengelyekre szimmetrikus irányokban megegyeznek. A szimmetria síkok és tengelyek számától és helyzetétől függően az anyagtulajdonságokat leíró tenzorok komponensei közül némelyik nullával lesz egyenlő, néhány pedig a többi függvényeként fejezhető ki. A szimmetria mértékétől függően a tenzorkomponensek száma lényegesen csökkenhet. Határesetben, izotrop anyagot feltételezve - ahol egy pontban végtelen sok szimmetriasík vehető fel - a független rugalmas állandók száma 2. 2.4.2. A faanyag általános Hooke-törvénye A természetes faanyag sajátságos biológiai felépítése következtében anizotróp és inhomogén. Első közelítésben az inhomogenitást elhanyagolhatjuk és csak az anizotrópia hatásával foglalkozunk. A biológiai szerkezetben három irányt különböztetünk meg, amit a testből kivágott elemi hasábon jól szemléltethetünk (2.28. ábra). A rostok hossztengelyével párhuzamos irányt rostiránynak (longitudinális, jele L), a bélsugarakkal párhuzamos irányt sugáriránynak (radiális, jele R), az évgyűrűk érintőjébe eső, az előző két irányra merőleges irányt érintőiránynak (tangenciális, jele T) nevezzük. Ezeket az irányokat

83

anatómiai főirányoknak is hívjuk. Az anatómiai főirányokat, mivel azok merőlegesek

egymásra,

célszerűen

kiinduló

koordinátarendszerként

használjuk. Az anatómiai főirányok által alkotott síkoknak is van nevük: L,R-sík - sugármetszet, L,T-sík húrmetszet, R,T-sík - bütümetszet. Könnyen

beláthatjuk,

hogy

ezek az anatómiai síkok a rugalmas tulajdonságok

szempontjából

szimmetriasíkok. Ez a három sík me2.28. ábra

rőleges egymásra, ezért a faanyagot

ortogonálisan anizotropnak, röviden ortotropnak nevezzük. Minden ortotrop anyagnak, így a faanyagnak is a merevségi vagy az alakíthatósági tenzora - az anatómiai főirányok rendszerében - kilenc független komponenst tartalmaz. A merevségi és az alakíthatósági mátrix:

[c ]

 c 11 c  21  c 31 =  0  0   0

c 12 c 22 c 32 0 0 0

c 13 c 23 c 33 0 0 0

0 0 0 c 44 0 0

0 0 0 0 c 55 0

0  0   0   0  0   c 66 

2.90/a

[s ]

 s 11 s  21  s 31 =   0  0   0

s 12 s 22 s 32 0 0 0

s 13 s 23 s 33 0 0 0

0 0 0

0 0 0 0

        s 66 

2.90/b

ij

ij

s 44 0 0

s 55 0

0 0 0 0 0

A rugalmas állandók kísérleti meghatározásánál általában az egyszerű Hooketörvénynél megismert E, G és jellegű mennyiségeket mérik, melyeket technikai rugalmas állandóknak nevezünk. Ezekkel a rugalmas tulajdonságok mátrixa: Merevségi mátrix:

84

 1 − ν RT ν TR  EL ν  ν + ν RT ν LT RL E L  ν c ij = E ν TL + ν TR ν RL  L ν  0   0  0 

[ ]

ER

ν LR + ν LT ν TR

ν LT + ν LR ν RT ν ν RT + ν RL ν LT ET ν 1 − ν LR ν RL ET ν 0 0 0

ET

ν 1 − ν LT ν TL ER ν ν TR + ν TL ν LR ER ν 0 0 0

0

0

0

0

0

0

G RT 0 0 G TL 0 0

 0   0    0  2.91/a 0   0   G LR 

ahol : ν = 1 - 2 ν RT ν TL ν LR − ν RT ν TR − ν LT ν TL − ν RL ν LR Az alakíthatósági mátrix:

[s ] ij

 1  E  L  − ν Lr  EL  ν  − LT EL =   0   0    0 

ν RL ER 1 ER ν − RT ER

−

ν TL ET ν TR − ET 1 ET −

0

0

0

0

0

0

0

0

1 G RT

0

0

0

1 G TL

0

0

0

0

0

 0   0    0    0   0   1   G LR 

2.91/b

ahol Ei - az i-edik anatómiai főiránnyal párhuzamos normálfeszültséghez tartozó húzó vagy nyomó rugalmassági modulusz, Gij - az i-edik anatómiai főiránnyal megegyező normálisú felületen ható, j irányú nyírófeszültséghez tartozó nyíró-rugalmassági modulusz,

ν ij - az i-edik anatómiai főiránnyal párhuzamos normálfeszültség következtében a j-edik irányban fellépő harántirányú fajlagos hosszváltozás Poisson-tényezője. 2.4.3. Az izotrop anyag általános Hooke-törvénye Az izotrop anyag anyagtörvényét levezethetjük az ortotróp anyag merevségi és alakíthatósági mátrixainak technikai rugalmas állandókkal kifejezett alakjából. Mivel izotróp anyagnál minden irányban ugyanazok a rugalmas tulajdonságok érvényesek, a (2.91/a) és (2.91/b) mátrixokban a nem nulla elemeknél az EL = ER= ET= E, GRT= GTL = GLR= G és

85

ν RT = ν TR = ν TL = ν LT = ν LR = ν RL = ν helyettesítést kell elvégezni. Az izotrop anyagok általános Hooke-törvényét azonban az indexes jelöléssel egyszerűbb

formában

is

megadhatjuk.

Térjünk

vissza

az

alakváltozási

és

feszültségi

tenzorkomponensek két indexes jelölésmódjához és írjuk fel az alakváltozásokat a feszültségek függvényében, (2.91/b) és a fenti helyettesítés felhasználásával:

1 ν ν σ xx − σ yy − σ zz , E E E ν 1 ν = σ xx − σ yy − σ zz , E E E ν ν 1 = σ xx − σ yy − σ zz , E E E

1 σ yz , 2G 1 = σ zx , 2G 1 σ xy , = 2G

ε xx =

ε yz =

ε yy

ε zx

ε zz

ε xy

2.92/a

ami végeredményben az izotrop anyag általános Hooke-törvénye hat skaláregyenlet formájában. Alakítsuk át az első egyenletet a következőképpen:

ε xx =

1 ν ν ν ν ν ν 1 σ xx + σ xx + σ yy + σ zz − σ xx − σ yy − σ zz = [(1 + ν)σ xx − νS1 ] , E E E E E E E E

ahol S1 - az első feszültségi invariáns. Ennek az összefüggésnek az általánosításával (2.92/a) két indexjelölésű egyenletbe foglalható:

ε ii =

1 1 σ ij , (1 + ν )σ ii − ν S 1 ], ε ij = [ E 2G

i,j = x,y,z

2.92/b

Az eddigiek alapján úgy tűnik, hogy az izotróp anyagot három technikai állandó - E, G és ν - jellemzi. Könnyen bizonyíthatjuk azonban, hogy a háromból csak kettő független, azaz a három mennyiség között valamilyen függvénykapcsolatnak kell lennie. Ennek meghatározásához

vizsgáljunk

egy

olyan

elemi

hasábot,

amelyen

csak

σ xy = σ yx = τ

nyírófeszültségkomponensek hatnak (2.29. ábra). Ábrázoljuk a Mohr-féle körök segítségével a feszültségi és az alakváltozási állapotot. (2.92/a) első egyenlete és a feszültségi diagram alapján:

ε1 =

1 1 1+ ν τ, (1 + ν )σ 1 − ν( σ 1 + σ 2 + σ 3 )] = [(1 + ν )τ − ν( τ − τ )] = [ E E E

(2.92/a) második egyenlete és az alakváltozási diagram alapján:

ε1 = ε

xy

=

1 σ 2G

xy

=

1 τ . 2G

A két kifejezés egyenlőségéből:

2G =

E . 1− ν

2.93

86

2.29. ábra Ez a kapcsolat és a Kronecker-delta lehetővé teszi, hogy (2.92/b) két összefüggését is egybefoglaljuk:

ε ij =

1 2G

νS1   σ ij  ,  σ ij −   1+ ν

i,j = x,y,z .

2.92/c

Az általános Hooke-törvény másik alakjának megadásához meg kell határozni (2.92/c) inverz függvényét. Ehhez adjuk össze (2.92/c) i=j feltételnek eleget tevő egyenleteit:

∑ε

ii

= D1 =

i

3ν S 1  S 1  1  3ν  S 1 1 − 2 ν , 1 − =  ∑ σ ii − = 2G  i 1 + ν  2G  1 + ν  2G 1 + ν

ahonnan

S1 =

2 G (1 + ν ) D1 , 1 − 2ν

2.94

amit (2.92/c)-be helyettesítve kifejezhetjük σ ij -t:

νD 1 2GνD 1   σ ij = 2G ε ij + δ ij  = 2Gε ij + δ ij = 2µε ij + λD 1δ ij  1 − 2ν  1 − 2ν

i,j=x,y,z

2.95

ahol a technikai rugalmas állandókkal kifejezett µ és λ mennyiségeket Lamé-féle rugalmas állandóknak nevezzük:

µ = G,

λ=

2G ν νE . = 1 − 2 ν (1 − ν )(1 − 2 ν )

2.96

2.4.4. Klimatikus hatások következtében fellépő alakváltozási és feszültségi állapot A testek kölcsönhatásban állnak környezetük fizikai állapotjellemzőivel. Mechanikai szempontból a legfontosabb állapotjellemző a környezet (általában a testet körülvevő levegő) hőmérséklete és páratartalma. A környezet e klímatikus jellemzőinek megváltozása következtében a test hőmérséklete és - az ún. higroszkópikus anyagoknál - nedvességtartalma

87

megváltozik, ami a testben tetszőlegesen felvett elemi hasábok térfogatváltozásával, illetve tetszőleges irányítású elemi szakasz hosszváltozásával jár. A fajlagos hosszváltozás egy adott irányban, ha a hőmérséklet egy To kezdeti értékről T-re emelkedik, illetve egy wo kezdeti nedvességtartalomről w-re nő: T

εT =

w

∫ α dT,

εw =

T0

ahol

∫ βdw

.

2.97/a

w0

α = α ( T ) az anyag hőtágulási együtthatója, β = β( w ) pedig nedvességtágulási

együtthatója. α mértékegysége 1/C°, β -é 1/ %, α illetve

β a hőmérsékletnek, illetve a

nedvességtartalomnak a függvénye, de ha nem túl nagy a relatív változás, jó közelítéssel állandónak tekinthetők, így a fajlagos hosszváltozás:

ε T = α ( T − T0 ),

ε w (w − w 0 )

2.97/b

Ha a klímaváltozásnak kitett test anyaga - homogén, - a hőmérséklet és nedvességtartalom változása minden pontjába ugyanakkora, tehát a hőmérséklet-változásmező és a nedvességtartalom-változásmező homogén, - és a külső kényszerek az elmozdulásokat nem gátolják, a test feszültségmentes marad. Ha a három feltétel közül valamelyik nem teljesül, akkor klímaváltozás következtében fellépő alakváltozási tenzormező nem lesz kompatibilis. A test folytonossága csak úgy maradhat meg, ha a belső erők olyan kiegészítő alakváltozási állapotot hoznak létre, amely a klímaváltozásból származó alakváltozási állapothoz hozzáadódva kompatibilis alakváltozásmezőt eredményez. Ha nincsen külső, mechanikai terhelés, a kiegészítő alakváltozási állapot létrehozásához szükséges feszültségi állapot komponenseit saját feszültségeknek nevezzük. Külső terhelésnek és klímaváltozásnak is kitett test anyagtörvénye az anizotrópia legáltalánosabb esetében, mikor minden irányhoz más-más α és β tartozik:

ε ij =

∑s

ijkl

σ kl + α ij ( T − T0 ) + β ij ( w − w 0 ), ,

2.98

kl

ahol αij- a hőtágulási együtthatótenzor, βij - a nedvességtágulási együtthatótenzor. Mindkettő két dimenziós. Ha nincsen külső mechanikai terhelés, (2.98)-ban a σ kl feszültségkomponensek éppen a sajátfeszültségeket adják. Egyébként σ kl a külső terhelésből származó feszültségeknek és a sajátfeszültségeknek az összege. Izotróp anyagnál (2.98) az alábbi alakra hozható:

88

νS 1 1   δ ij  + [α ( T − T0 ) + β ( w − w 0 )]δ ij ,  σ ij − 2G  1+ ν 

ε ij =

2.99/a

mert izotróp anyagnál a hőtágulási és a nedvességtágulási együttható minden irányban ugyanaz, így α ij = αδ ij és β ij = βδ ij . Az előző összefüggésekből kifejezhetjük a feszültségeket is:

νD 1   σ ij = 2G ε ij + δ ij − α ( T − T0 )δ ij − β( w − w 0 )δ ij  . 1 + 2ν   Nem higroszkópos anyagoknál

2.99/b

β ij= 0 helyettesítéssel megkapjuk a csak

hőmérsékletváltozás figyelembevételére alkalmas anyagtörvényt. 2.5. A rugalmasságtani feladatok megoldási módszerei A rugalmasságtan tárgya és fő feladata a rugalmas anyagú testekben keletkező feszültségek és alakváltozások, pontosabban a T σ (ρ) feszültségi és T ε (ρ) alakváltozási tenzormezők és az u(ρ) eltolódási vektormező meghatározására.

2.5.1. Alapegyenletek és kerületi feltételek A feszültségi tenzormező, az alakváltozási tenzormező 6-6 komponensének és az eltolódási vektormező 3 komponensének skalár függvényeit - összesen 15 ismeretlen függvény a rugalmasságtan alapegyenleteinek segítségével határozhatjuk meg. Ezeket az egyenleteket az előző fejezetekben levezettük, itt csak felsoroljuk őket: Sztatikai egyensúlyi egyenletek:

∑

∂σ

i

ij

α ri

+ f

j

= 0 ,

i,j=x,y,z .

2.52

i,j=x,y,z .

2.38/b

Geometriai egyenletek:

ε ij =

1 2

 ∂u i ∂u j    , + ∂ r i   ∂rj

Anyagegyenletek (homogén, izotróp, lineárisan rugalmas anyagot feltételezve):

ε ij = vagy

νS1  1  σ ij   σ ij − 2G  1+ ν 

i,j = x,y,z

2.92/c

89

νD 1   σ ij == 2 G  ε ij + δ ij  ,  1 − 2ν 

i,j=x,y,z

2.95

Az egyenletek száma 3 + 6 + 6 = 15. A feladat egyrészt sztatikailag háromszorosan határozatlan, mert a három sztatikai egyensúlyi egyenletben - adott terhek esetén - hat ismeretlen feszültségkomponens van, másrészt kinetikailag háromszorosan túlhatározott, mert a hat geometriai egyenletben - adott alakváltozások esetén

- csak három eltolódáskomponens található. Az anyagegyenletek

megadják a feszültségek és az alakváltozások kapcsolatát, ezért lehet a geometriai egyenletekben az alakváltozásokat - elvileg - ismertnek tekinteni. A rugalmasságtan alapfeladata tehát

sztatikailag

annyiszor

határozatlan,

ahányszor

kinetikailag

túlhatározott,

így

végeredményben elvileg megoldható. Az általános megoldás alakváltozási tenzormezőjének természetesen ki kell elégítenie a (2.39) összeférhetőségi egyenleteket. Az alapegyenletek parciális differenciálegyenletek, így matematikailag végtelen sok megoldásuk létezik. Ezek közül a lehetséges megoldások közül ki kell választani azt, amelyik igazodik a konkrét feladathoz, azaz kielégíti a test kerületi feltételeit is. A kerületi feltételek három csoportba sorolhatók: a) Geometriai kerületi feltételek, melyek abból adódnak, hogy a test határolófelületének egy részén az alkalmazott kényszerek hatására az eltolódáskomponensek csak meghatározott *

értékűek lehetnek. Így, ha a test felületének bizonyos részein az u0 (ρ ) eltolódásnak kell *

teljesülnie, akkor a test u(ρ) eltolódásmezejének a ρ tartományon ki kell elégítenie az *

*

u (ρ ) = u 0 (ρ ) feltételt. b) Sztatikai kerületi feltételek, melyek azt fejezik ki, hogy a test felületén az elemi felületre ható feszültségek eredője egyenlő a felületelemre ható külső teherrel. A test felületi *

*

*

pontjaiban a feszültségi állapot csak olyan lehet, amely kielégíti a T σ ( ρ ) n ( ρ ) = q ( ρ ) *

*

egyenlőséget, ahol n(ρ ) - a felületi pont érintősíkjának normálvektora, q(ρ ) - a külső *

terhelés egységnyi felületre eső erővektora. Tehermentes felületen q(ρ ) = 0. c) Vegyes kerületi feltételekről akkor beszélünk, ha a test felületének egy részén az eltolódások, másik részén a külső teher van előírva. A gyakorlati esetek többségénél ez a kerületi feltételfajta fordul elő. Az alapegyenletek linearitása lehetőséget ad a szuperpozíció elvének alkalmazására, ami azt jelenti, hogy az egyes részterheléseknek megfelelő megoldások összege megadja a részterhelések eredőjéhez - azaz az összterheléshez - tartozó megoldást. Az, hogy mindig létezik az alapegyenleteknek a kerületi feltételeket is kiegyenlítő megoldása, a probléma fizikai természetéből adódik. Az is bizonyítható, hogy a megoldás egyértelmű, azaz az - akármilyen módon - megtalált megoldáson kívül más, a feltételeknek szintén eleget tévő megoldás nincsen.

90

Az

alapfeladat

megoldásának

nehézségét

általában

az

jelenti,

hogy

az

alapegyenleteknek általános megoldását a kerületi feltétekhez kell igazítani. Ezért bonyolult alakú testeknél vagy összetett terhelésnél a megoldást matematikailag zárt formában az esetek többségében nem lehet megadni. Bonyolult sztatikai kerületi feltételek esetén, pl. a St. Venantféle elv ad lehetőséget az egyszerűsítésre. Az elv azt mondja ki, hogy a támadási felülettől elegendő távolságra az erőrendszer hatása független eloszlásának jellegétől, csak eredő dinámjától függ. Másképpen fogalmazva, a sztatikailag egyenértékű erőrendszerek hatása a támadási felülettől elegendő távolságra azonos. A pontosabb vizsgálatok és kísérletek azt mutatták, hogy az eltérés olyan területre (vagy térfogatra) korlátozódik, amelynek méretei megegyeznek azzal a távolsággal (vagy területtel), amelyen a teherátadás történik. Az alapegyenletek megoldásánál a legkézenfekvőbb eljárás az egyenletek számának csökkentése, az ismeretlenek egy részének kiejtésével. Az egyenletek linearitása miatt ez nem túl nehéz feladat. 2.5.2. A Navier-féle egyenletek Az alakváltozási jellemzők és a feszültségkomponensek kiejtésével olyan egyenleteket nyerünk, amelyek csak az eltolódáskomponenseket tartalmazzák ismeretlenként. A levezetés során a térfogati erőket az általánosság korlátozása nélkül elhanyagolhatjuk. Mindig található ugyanis a térfogati erőkhöz olyan partikuláris megoldás, amely a homogén lineáris differenciálegyenletek megoldásához szuperponálható. Helyettesítsük be az anyagegyenletek (2.95)-ös alakját a (2.52) egyensúlyi egyenletekbe és vegyük figyelembe, hogy σ ij = σ ji , valamint fj = 0:

∂ε ij

2G ∑

∂r j

j

+ λ∑ j

∂D 1 = 0, ∂r j

majd használjuk fel a (2.38/b) geometriai egyenleteket, figyelembe véve, hogy

D 1 = ε xx + ε yy + ε zz = 2G ∑

∂u x ∂u y ∂u z + + = ∂ ry ∂ rz ∂ rx

1 ∂2u i 1 ∂ uj + 2G ∑ + λ∑ 2 2 ∂rj j 2 ∂ r j ∂ ri j 2

∑ k

k

∂u k , ∂ rk

∂2u k δ ij = 0 , ∂ r j ∂ rk

G∑

∂ uj ∂2u i ∂2u k + G + λ ∑j ∂ r ∂ r ∑k ∂ r ∂ r = 0, ∂ r j2 i j i k

G∑

∂2u i ∂ +G 2 ∂ ri ∂rj

G∑

∑

2

∑ j

∂u j

∂ +λ ∂ ri ∂ ri

∑ k

∂u k = 0, ∂ rk

∂ ui ∂D 1 + (λ + G ) = 0, 2 ∂ ri ∂rj 2

Laplace-féle differenciáloperátor bevezetésével:

i,j,k = x,y,z

2.100/a

91

∆=

∂2 ∂2 ∂2 + + = ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2

∑ j

∂2 2 ∂rj

A (2.100) jelű egyenleteket, amelyek tulajdonképpen az eltolódáskomponensek függvényében felírt egyensúlyi egyenletek, Navier-féle egyenletekenek nevezzük. Ezekből az elmozdulásokra vonatkozó kerületi feltételek ismeretében az u eltolódásvektor komponensfüggvényei elvileg meghatározhatók. A kompatibilitási feltételek automatikusan teljesülnek. A rugalmasságtani feladatoknak azt a megoldási módszerét, melynél az elmozdulások szerepelnek ismeretlenként, elmozdulás-módszernek nevezzük. Differenciáljuk (2.100/b)-t ri, azaz a helykoordináták szerint és adjuk össze őket:

∑ i

∂u i ∂2D1 G∆ + ∑ (λ + G ) = 0, ∂ ri ∂ ri2 i

∂u i ∂2D1 G∑ ∆ + ( λ + G )∑ = 0, ∂ ri ∂ ri2 i i G ∆ D 1 + ( λ + G )∆ D 1 = 0,

2.101

( λ + 2 G )∆ D 1 = 0, ∆ D 1 = ∆ ( ε x x + ε y y + ε zz ) = 0 , ami a Laplace-féle potenciálegyenlet. A potenciálegyenleteket kielégítő függvényeket potenciálfüggvényeknek vagy harmonikus függvényeknek nevezzük. D1 helyébe (2.94)-et helyettesítve kapjuk:

∆ S1 = ∆ ( σ xx + σ yy + σ zz ) = 0 ,

2.102

A két utolsó összefüggés szerint a fajlagos hosszváltozások összege (a fajlagos térfogatváltozás) és a normálfeszültségek összege harmonikus függvény. Alkalmazzuk (2.100/b)-re a Laplace-féle operátort:

 ∂D 1  ∆ ( G ∆ u i ) + ∆  (λ + G )  = 0, ∂ ri   ∂∆ D 1 G ∆ ∆ u i + (λ + G ) = 0, ∂ ri (2.101) figyelembevételével:

∆ ∆ ui = 0 ,

i = x,y,z ,

tehát az eltolódáskomponensek kielégítik az ún. bipotenciálegyenletet és ezért bipotenciál- vagy más néven biharmonikus függvények.

92

2.5.3. A Beltrami-féle egyenletek Azokat

az

egyenleteket,

amelyekben

a

feszültségkomponensek

szerepelnek

ismeretlenként, úgy kapjuk meg, hogy az összeférhetőségi egyenletekben az alakváltozási komponenseket kifejezzük az anyagtörvény felhasználásával a feszültségekkel és alkalmazzuk az egyensúlyi feltételt. Az így nyerhető hat differenciálegyenletet Beltrami-féle egyenleteknek nevezzük. Ezekből a sztatikai kerületi feltételek felhasználásával a feszültségfüggvények elvileg meghatározhatók.

A

Beltrami-féle

egyenleteket

azonban

a

Navier-egyenletekből

is

levezethetjük. Differenciáljuk (2.100/b)-t rj szerint:

∂u i ∂2D1 G∆ + (λ + G ) =0 . ∂ rj ∂ ri ∂ r j

Cseréljük fel ebben az i,j indexeket és az új összefüggést adjuk össze az előzővel:

 ∂u i ∂u j  ∂2D1 G∆  + = 0 .  + 2(λ + G ) ∂ ri  ∂ ri ∂ r j  ∂ r j (2.38/b) és (2.94) figyelembevételével:

λ + G 1 − 2 ν ∂ 2S1 2 G ∆ε ij + =0 . G 1 + ν ∂ ri ∂ r j (2.92/c)-vel és (2.102)-vel:

∆ σ ij

1 ∂ 2S1 + =0 . 1 + ν ∂ ri ∂ r j

i,j = x,y,z

2.103/a

i,j = x,y,z

2.103/b

vagy

(1 + ν ) ∆ σ

ij

+

∂ 2S 1 = 0 , ∂ ri ∂ r j

Az alapegyenletek megoldásának azt a módját, mivel az ismeretlenek feszültség, azaz erő jellegű mennyiségek, erő-módszernek nevezzük. (2.103)-ra még egyszer alkalmazva a Laplace-operátort, azt kapjuk hogy

(1 + ν ) ∆ ∆ σ ij +

∆∂ 2S1 = 0 , ∂ ri ∂ r j

ahonnan (2.102) felhasználásával: ∆∆σ ij =0 , i,j = x,y,z . Tehát a feszültségkomponensek is biharmonikus függvények. 2.5.4. Eltolódás- és feszültségfüggvények A Navier- és a Bertrami-féle egyenleteknek nincsen általános megoldása. A legtöbbször célravezető eljárás olyan segédfüggvényeknek a bevezetése, amelyek az eltolódásokkal vagy a feszültségekkel valamilyen függvénykapcsolatban vannak. Ezekkel a függvényekkel az

93

eltolódás- vagy a feszültségmezőre olyan feltételeket fogalmaznak meg - látszólag önkényesen , amelyekkel bizonyos típusú feladatoknál gyorsan és viszonylag egyszerűen eredményt lehet elérni. A Navier-egyenletek megoldásánál az eltolódásokra harmonikus és biharmonikus függvényeket alkalmaznak. A legfőbb nehézséget a rendelkezésre álló függvények alkalmas kiválasztása, illetve a megoldásnak a kerületi feltételekhez való igazítása okozza. Sokszor megkönnyíti, illetve egyáltalán lehetővé teszi a megoldást a feladat jellegéhez igazodó, görbevonalú koordinátarendszer felvétele. A

Beltrami-egyenletek

alkalmazásánál

olyan,

a

feszültségekkel

kapcsolatos

függvényeket lehet bevezetni, amelyek az egyensúlyi egyenleteket eleve kielégítik Először Airy javasolt a síkbeli rugalmasságtani feladatokhoz két dimenziós biharmonikus függvényeket. Három dimenziós esetben Finzi vezetett be olyan feszültségfüggvényrendszert, amelynek Fij( σ ) (i,j = x,y,z) függvényei az ún. feszültségfüggvény-tenzor komponenseit alkotják. 2.5.5. Közelítő eljárások, kísérleti módszerek Az előző módszerek alkalmazásánál számtalan gyakorlati esetben nem lehet a feladat megoldását zárt formában meghatározni. Ezért sokszor kénytelenek vagyunk közelítő megoldásokkal megelégedni. Ilyen közelítő módszert dolgozott ki - igen általános érvényű szempontok alapján - W. Ritz, melyet B.G. Galjorkin pontosság tekintetében lényegesen megjavított. A rugalmasságtani feladatok elméleti megoldásának nehézségei, valamint a műszaki gyakorlat igényei szükségessé teszik a kísérleti módszerek alkalmazását. A fejlett kísérleti méréstechnika minden olyan területen hasznosan és eredményesen használható, ahol elméleti számítással - a sok egyszerűsítő feltevés miatt - csak igen pontatlan megállapításokat lehet tenni. Sokszor előfordul, hogy az elmélet és a kísérlet hibrid alkalmazása vezet a leggyorsabban a gyakorlat igényeit is kielégítő pontosságú eredményhez. 2.5.6. Síkbeli rugalmasságtani feladatok A rugalmasságtani feladatok mindig három dimenziósak, mert térbeli kiterjedésű testre vonatkoznak. Ennek ellenére beszélünk nemcsak három, de két, sőt egy dimenziós feladatokról is attól függően, hogy a feladat matematikai megfogalmazása, azaz az alapegyenletek, illetve a bennük szereplő függvények három, kettő vagy egy helykoordinátától függenek-e. A három dimenziós feladat alacsonyabb dimenziójúvá alakítása akkor lehetséges, ha - a test alakja, a ható erőrendszer és a kerületi feltételek olyanok, hogy az eltolódási, az alakváltozási és a feszültségi vektor- és tenzormezők csak két, illetve egy helykoordinátától függenek,

94

- olyan változókat vezetünk be (általában az alkalmasan megválasztott koordinátarendszer segítségével), amelyek lehetővé teszik az alapegyenletek és -függvények két- vagy egyváltozós felírását. Nagyon sok, a műszaki gyakorlatban felmerülő probléma síkban modellezhető. A két dimenziós feladat alapegyenleteit a három dimenziós egyenletekből vezethetjük le úgy, hogy bennük csak a síkbeli állapotnak megfelelő komponenseket tartjuk meg. A két dimenziós feladat két alapesetre bontható, a síkbeli alakváltozási állapotra és a síkbeli feszültségi állapotra. a) Síkbeli alakváltozási állapot Jellemzője, hogy a test minden pontjában

ε zz = 0, ε zy = ε yz = ε zx = ε xz = 0. Az anyagtörvény:

1+ ν (1 − ν )σ xx − νσ yy , E 1+ ν = (1 − ν )σ yy − νσ xx , E 1 = σ xy , 2G = ν σ xx + σ yy = 0 ,

ε xx =

[

]

ε yy

[

]

ε xy ε zz

(

)

2.104/a vagy megfordítva:

[

]

[

]

σ xx =

E (1 − ν )ε xx + νε yy , (1 + ν )(1 − 2 ν )

σ yy =

E (1 − ν )ε yy + νε xx , (1 + ν )(1 − 2 ν )

2.104/b

σ xy = 2 G ε xy , σ xx =

νE ε + ε yy , (1 + ν )(1 − 2 ν ) xx

(

)

Síkbeli alakváltozási állapot olyan (elvileg) végtelen hosszú, állandó keresztmetszetű rúdban keletkezik, melynek végeit mereven befogjuk

és rá a hossztengelyre merőleges

hatásvonalú, állandó teherintenzitású megoszló terhelés hat teljes hossza mentén. b) Síkbeli feszültségi állapot Jellemzője, hogy a test minden pontjában:

95

σ zz = 0, σ zy = σ yz = σ zx = σ xz = 0. Az anyagtörvény:

ε xx =

(

)

ε yy

(

)

ε xy ε zz

1 σ xx − ν σ yy , E 1 = σ yy − ν σ zz , E 1 = σ xy , 2G ν = − σ xx + σ yy , E

(

2.105/a

)

vagy megfordítva:

σ xx =

(

)

σ yy

(

)

σ xy

E ε xx + νε yy , 1− ν2 E ε yy + νε xx , = 1− ν2 = 2 G ε xy ,

σ zz = −

2.105/b

ν ε yy + ε xx , 1− ν

(

)

Közelítőleg síkbeli feszültségi állapot jön létre vékony síklemezekben a lemez síkjába eső hatásvonalú terhelés hatására. Síkbeli feszültségi állapot a gyakorlatban lényegesen sűrűbben fordul elő, mint síkbeli alakváltozási állapot. Az utolsó négy összefüggéscsoport alapján megállapíthatjuk, hogy síkbeli alakváltozási állapothoz térbeli feszültségi állapot, síkbeli feszültségi állapothoz pedig térbeli alakváltozási állapot tartozik, ami a harántnyúlási jelenség következménye. Síkbeli feszültségi állapotban vezessük be az ún. Airy-féle feszültségfüggvényt, melyet F(x,y)-nal jelöltünk. Ennek az alábbi parciális deriváltjai a síkbeli feszültségi állapot feszültségkomponenseit adják:

σ xx =

∂2F ∂2F ∂2F , σ = , σ = . yy xy ∂y 2 ∂x 2 ∂x∂y

2.106

Az így definiált feszültségkomponensek az egyensúlyi egyenleteket eleve kielégítik, amiről a (2.52)-be való behelyettesítéssel könnyen meggyőződhetünk. Alkalmazzuk ezekre a feszültségkomponensekre a (2.102) kifejezést:

∂2F ∂2F ∆S 1 = ∆ σ xx + σ yy = ∆  2 + 2  = ∂x   ∂y ∂4F ∂4F ∂4F ∂4F ∂4F ∂4F ∂4F = 2 2 + 4 + 4 + 2 2 = 4 + 2 2 2 + 4 = 0, ∂x ∂y ∂x ∂y ∂y ∂x ∂x ∂x ∂y ∂y

(

)

2.107/a

96

röviden:

∆∆ F(x,y) = 0. Ennek a biharmonikus differenciálegyenletnek a megoldása adja azt a függvényt, amellyel a síkbeli feszültségi állapot komponenseit meghatározhatjuk. Ezek ismeretében az alakváltozási tenzormező és az eltolódási vektormező az anyagtörvény és a geometriai egyenletek felhasználásával számítható. A síkbeli feladat tehát egyetlen egy függyvény, az Airy-féle feszültségfüggvény meghatározására redukálódik. A feszültségfüggvénynek (2.107/b) szerint biharmonikus függvényt kell választani. Ilyenek pl. F(x) = xn , cos(cx), ch(cx),... n = 1,2,... c = áll. F(y) = yn , cos(cx), ch(cy),... n = 1,2,... c = áll. F(x,y) = xy , x2y , xy2 , x3y , xy3 ,... és ezek lineáris kombinációi. A feszültségfüggvény kiválasztásának egyik alapvető szempontja, hogy a vele számítható megoldásnak ki kell elégítenie a kerületi feltételeket. 2.6. Munka- és energiatételek A szilárd testek sztatikájának tárgyalását két különböző módon lehet felépíteni. Az egyik módszernél a sztatikai és geometriai tételekből kiindulva az anyagegyenletek felhasználásával vezethetjük le a szilárdságtani alapösszefüggéseket, így a munka- és energiatételeket is. A másik esetben a munka- és energiatételeket axiómaként fogadhatjuk el és az anyagegyenletek felhasználásával vezetjük le a szilárdságtani alapösszefüggéseket, köztük az egyensúlyi és a geometriai feltételeket. A munka- energiatételeknek a mechanikában igen fontos szerepük van. Segítségükkel sok feladat gyorsan és egyszerűen oldható meg. A közelítő megoldások elméleti alapjainak levezetésénél ezek a fő tételek. A tételek tárgyalása során szükség lesz két definícióra. Geometriailag lehetséges eltolódás-alakváltozás-rendszernek (röviden alakváltozás-rendszernek) nevezzük az u(ρ) eltolódási vektormezők és a T ε (ρ) alakváltozási tenzormezők minden olyan együttesét, amely kielégíti a geometriai egyenleteket és a geometriai kerületi feltételeket. Sztatikailag lehetséges erőfeszültségrendszernek (röviden erő-rendszernek) nevezzük a q(ρ) felületi erők, az f (ρ) térfogati erők és a T σ (ρ) feszültségi tenzormezők minden olyan együttesét, amely kielégíti a sztatikai egyensúlyi egyenleteket és a sztatikai kerületi feltételeket. 2.6.1. Virtuális elmozdulás, virtuális munka, virtuális kiegészítő munka

97

Hasson a szilárd testre egy egyensúlyi erőrendszer, melyek hatására az megváltoztatja helyzetét és alakját. Ezután adjunk a testnek egy δ u(ρ) -val jelzett elmozdulási vektormezőt, melyre kössük ki a következő feltételeket: 1) geometriailag lehetséges, 2) elemien (differenciálisan) kicsi, 3) végtelen kicsi idő alatt megy végbe, s ennek következtében az elmozdulás alatt a külső és belső erőket állandónak tekintjük. A fenti feltételeknek eleget tévő elmozdulást virtuálisnak nevezzük. A δ jel a matematikában a variációnak nevezett művelet jele és azt fejezi ki, hogy egy függvényt (jelen esetben az eltolódásfüggvényt) úgy változtatjuk meg, hogy hozzáadunk egy differenciálisan kicsi függvényt (virtuális elmozdulást). A virtuális elmozdulás vektormezője (röviden a virtuális elmozdulásrendszer) a ható erőktől teljesen független, a két rendszer nem összetartozó, ugyanakkor a virtuális elmozdulásrendszer definíciójának a tényleges elmozdulásrendszer is eleget tesz, ha elég kicsi. A virtuális munka az erőknek a virtuális elmozdulás során végzett munkája. Az összes külső erő virtuális munkáját és a belső erők virtuális munkáját a (2.55) és a (2.57) üsszefüggések adják annyi változtatással, hogy bennük a d jel helyébe δ -t kell írni. Ez a jelölésbeli különbség nagyon fontos tartalmi változtatást von maga után, mert ott a d jel az elmozdulásfüggvénynek, mint független változónak a növekményét (differenciálját) jelenti, a δ jel alatt pedig az elmozdulásfüggvény variációja, egy hozzáadott elmozdulásfüggvény szerepel. Képzeljük el újra az egyensúlyi erőrendszerrel terhelt szilárd testet, amelyen a külső és belső erőrendszer - értelemszerűen - sztatikailag lehetséges. Változtassuk most meg ezt az állapotot úgy, hogy nem az elmozdulásokat, hanem az erőket variáljuk, ügyelve arra, hogy a variált erőrendszer is sztatikailag lehetséges legyen. A virtuális kiegészítő munkán virtuális erőrendszernek a tényleges elmozdulás során végzett munkáját értjük. A külső és belső erők virtuális kiegészítő munkáját a (2.63) és (2.64) összefüggésekkel számíthatjuk a d → δ

helyettesítés

után. A két kifejezés között a különbség az, hogy ott a ténylegesen ható erőknek, mint független változóknak a növekménye (differenciálja), itt pedig az erőrendszer variációja, azaz egy hozzáadott erőrendszer szerepel.

2.6.2. A virtuális munka elve A virtuális munka elve a mechanika alapvető fontosságú axiómája, amely eddig minden esetben igaznak bizonyult és belőle a mechanika minden fontos tétele levezethető.

98

Az elv azonban nemcsak a mechanikai tételek levezetésére használható, hanem rugalmas anyagú szerkezetek, különösen sztatikailag határozatlan szerkezetek alakváltozása közvetlen meghatározására is. Ezen túlmenően a virtuális munka elve variációs elvként való megfogalmazásban a rugalmasságtan közelítő módszereinek alapjául szolgál. 2.6.2.1. A virtuális elmozdulások tétele Tétel: A szilárd testre ható, sztatikailag lehetséges erőrendszernek bármely virtuális elmozdulásrendszeren végzett virtuális munkája nulla:

δW k + δW b = 0 ,

2.108/a

részletesen kiírva:

∑ F δu + ∫ qδudA + ∫ f δudV − ∫ ∑ σ δε dV = 0 i

i

i

ij

A

V

ij

2.108/b

V ij

A tételt axiómaként fogadjuk el. Mivel a sztatikailag lehetséges erő-rendszer kielégíti az egyensúlyi egyenleteket és a sztatikai kerületi feltételeket, a virtuális elmozdulások tétele az egyensúly feltételét fejezi ki. A virtuális elmozdulás-rendszer és a ható erő-rendszer - a definíció értelmében - nem összefüggő, anyagtörvény nem kapcsolja össze őket, ezért a virtuális elmozdulások tétele az anyag szilárdsági tulajdonságaitól függetlenül, minden nyugalomban lévő testre érvényes. Ezen túlmenően nagy alakváltozások esetén is alkalmazható. Merev testre alkalmazva az elv speciális formája a sztatikában már megismert δ Wk = 0, hiszen a belső erők munkát nem végeznek. A virtuális elmozdulások tételéből levezethetők az egyensúlyi egyenletek. A tétel annyi független egyenlet felírását teszi lehetővé, amennyi egymástól független virtuális elmozdulásrendszer képzelhető el, azaz amennyi a test szabadságfoka. Merev test esetében ez hat egyenletet jelent (az F = 0 és az M = 0 összefüggéseknek megfelelő hat skaláregyenletet), szilárd test esetében az egész test egyensúlyát - az elemi részek végtelen nagy száma miatt - algebrai egyenlet helyett differenciálegyenletek (a (2.52) összefüggések) fejezik ki.

2.6.2.2. A virtuális erők tétele Tétel: Szilárd test geometriailag lehetséges alakváltozás rendszerén bármely virtuális erőrendszer virtuális kiegészítő munkája nulla:

99

δ Wk + δ Wb = 0 ,

2.109/a

vagy részletesen kiírva:

r

∑ u δ F + ∫ u δ q dA + ∫ u δ f dV − ∫ ∑ ε i

i

i

A

V

V

ij

δσ ij dV = 0 .

2.109/b

ij

Bizonyítás: A bizonyításhoz a virtuális elmozdulások tételét használjuk fel úgy, hogy abban a virtuális elmozdulásrendszer helyébe a tényleges alakváltozás-rendszert, a tényleges erőrendszer helyébe pedig a virtuális erő-rendszert helyettesítjük be. Ezt azért tehetjük meg, mert a virtuális erőrendszer - definíciószerűleg - sztatikailag lehetséges és a kicsi tényleges elmozdulásrendszer is kielégíti a virtuális elmozdulás-rendszer kritériumait. A tétel szerint a tetszőleges virtuális erőrendszer virtuális kiegészítő munkája csak akkor nulla, ha az alakváltozás-rendszer geometriailag lehetséges, azaz ha kielégíti a geometriai egyenleteket és a geometriai kerületi feltételeket. A tétel tehát a kompatibilitás feltételének új megfogalmazása. A tétel az anyag szilárdsági tulajdonságaitól függetlenül minden kis elmozdulást végző testre igaz. A tételből levezethetők a geometriai egyenletek. Merev test esetén hat független virtuális erőrendszer képzelhető el (a térbeli erőrendszer ugyanis dinámjával, vagyis három erő- és három nyomatékösszetevővel jellemezhető). Így három transzlációs és három rotációs összefüggést kapunk. Szilárd testnél a geometriai egyenletek (a (2.38/b) jelű) differenciálegyenletek lesznek. 2.6.3. A potenciális energia állandó-értékűségének tétele Tétel: Lineárisan rugalmas anyagú testek esetén az összes geometriailag lehetséges alakváltozás-rendszer közül az a ténylegesen megvalósuló, azaz a rendszer egyensúlyi helyzetének megfelelő, amelynél a (geometriailag lehetséges alakváltozás-rendszer függvényében felírt) teljes potenciális energia stacionárius. Bizonyítás: A virtuális elmozdulások tételében δ u , δ ε ij virtuális elmozdulások helyett alkalmazzuk egy tényleges alakváltozás geometriailag lehetséges d u , d ε ij alakváltozásnövekményeit:

∑ F du i

i

i

+ ∫ q d u dA + ∫ f d u dV − ∫ ∑ σ ij d ε ij dV = 0. A

V

V

2.110

ij

majd határozzuk meg a teljes munkát, tehát integráljuk az egyenlet bal oldalát 0-tól a tényleges alakváltozás-rendszer u , ε ij végértékéig:

100

ε ij u U ui  −  ∫ ∑ F i d u i + ∫ ∫ q d u dA + ∫ ∫ f d u dV  + ∫ ∫ ∑ σ ij d ε ij dV = 0 A 0 v 0  0 i  V 0 ij

2.111

Mivel Fi, q és f a külső erőket jelentik, amelyek nem függenek az alakváltozás-rendszertől, illetve az elemi elmozdulások mindegyikében végső értékükkel hatnak, (2.111) első három tagja a külső erők (2.70)-nek megfelelő potenciális energiája. A negyedik tag pedig - lineárisan rugalmas anyagot feltételezve - a (2.71/b)-ben megadott belső potenciális energia. (2.111) tehát az U = Uk + Ub teljes potenciális energiát jelenti. (2.110) bal oldalán ezek szerint az U-nak a növekménye (differenciálja) áll. Így dU = 0 ,

2.112/a

ami csak akkor állhat fenn, ha U = Uk + Ub = áll.

2.112/b

A tétel a következőt jelenti. A lineárisan rugalmas anyagú test teljes potenciális energiája különböző, geometriailag lehetséges alakváltozás rendszereknél eltérő értékeket vesz fel. A valóságban kialakuló alakváltozás-rendszernél, tehát annál, amelyhez a sztatikailag lehetséges erő-rendszer tartozik, azonban a teljes potenciális energia stacionárius. A tétel tehát lehetőséget ad arra, hogy a végtelen sok geometriailag lehetséges alakváltozás-rendszer közül kiválasszuk a ténylegesen megvalósulót. A tétel csak akkor alkalmazható, ha a külső és belső erőrendszer konzervatív, az alakváltozásokra viszont semmilyen korlátot nem kell bevezetnünk. Tétel: Lineárisan rugalmas testek esetén a belső potenciális (rugalmas) energiának egy elmozduláskomponens szerinti deriváltja egyenlő az elmozdulás helyén ható külső dinám elmozdulás irányú vetületével. Bizonyítás: Hasson a test Pi pontjában Fi koncentrált erő (i = 1,2,...,n) és tegyük fel, hogy a rendszer teljes potenciális energiája a Pi pontok ui elmozdulásainak függvényben kifejezhető. Az egyensúlyban lévő testre alkalmazva a potenciális energia állandóságának tételét, írhatjuk:

∂U = 0, ∂u i

i=1,2,...,n

2.113

ahol ui = u i . A külső erők potenciálja: n

U k = −( F1 u 1 + F2 u 2 +...+ Fn u n ) = − ∑ Fi u i , i =1

ahol Fi - az Fi erővektornak az u i vektor irányába eső vetülete. Deriváljuk az előző összefüggést az ui elmozdulás szerint:

∂U k = − Fi . ∂u i

Bontsuk fel (2.113)-at a külső és belső potenciális energiák összegére és helyettesítsük be az utolsó egyenletet:

∂U b ∂U ∂U k ∂U b = + = − Fi + = 0, ∂u i ∂u i ∂u i ∂u i

101

ahonnan ∂U b = Fi , ∂u i

2.114

ami éppen a tétel állítása. Felhívjuk a figyelmet arra, hogy ui nemcsak eltolódás lehet, hanem szögelfordulás is. Ez esetben a derivált Pi pontban ható nyomatékvektornak a szögelfordulás tengelyére vett vetületét adja. A (2.114)-gyel megfogalmazott tételt - első megfogalmazójáról - Castigliano I. tételének nevezzük. 2.6.3.1. Az egyensúlyi állapotok osztályozása Egy függvény azokon a helyeken stacionárius, ahol érintőjének iránytangen-se nulla, azaz a helyi szélső értékeknél és ott, ahol nulla iránytangensű inflexiós pontja van (2.30. ábra). Ennek alapján a teljes potenciálnak háromféle stacionárius értéke lehet és ezektől függően háromféle egyensúlyi állapotot különböztetünk meg: a) Stabilis (biztos) egyensúlyi állapotot:

2.30. ábra

∂U ∂2U = 0, > 0, ∂u ∂u 2 a potenciális energiának minimuma van. b) Indifferens (közömbös) egyensúlyi állapot:

∂U = 0, ∂u

∂ 2U = 0, ∂u 2

a potenciális energiának nulla iránytangensű inflexiós pontja van. c) Labilis (bizonytalan) egyensúlyi állapot:

∂ U ∂U = 0, 2 2 < 0, ∂u ∂u a potenciális energiának maximuma van. Olyan testek, illetve szerkezetek esetén, amelynek tagjai jó közelítéssel merevnek tekinthetők, a belső potenciális energia hiánya miatt U = Uk. Szerkezetek, különösen mechanizmusok egyensúlyi helyzetének meghatározásánál ez a feltevés gyakorlatilag elfogadható.

2.6.4. A kiegészítő potenciális energia minimum tétele

102

Tétel: Lineárisan rugalmas anyagú, kis alakváltozásokat szenvedő testnél az összes sztatikailag lehetséges erő-rendszer közül az lesz a tényleges, amelynél a (sztatikailag lehetséges erőrendszer függvényében felírt) teljes kiegészítő potenciális energia minimális. Bizonyítás: A virtuális elmozdulások tételében most az erő-rendszer helyébe írjunk egy virtuális erő-rendszert, a virtuális alakváltozási-rendszer helyébe pedig egy tényleges, de kicsi alakváltozás-rendszert:

∑ u dF + ∫ u d q dA + ∫ u d f dV − ∫ ∑ ε i

i

i

A

V

V

ij

d σ ij dV = 0 .

2.116

ij

Integráljuk az egyenlet bal oldalát az általánosított erők szerint, azok 0 és végső értéke között, vagyis határozzuk meg a kiegészítő munkát. Az első három tag esetében az elmozdulás- és erőrendszer nem összefüggő, ezért azok a (2.75)-tel megadott külső kiegészítő potenciális energiát jelentik. A negyedik tag pedig - lineárisan rugalmas anyagot feltételezve - a (2.76)-nak megfelelő belső kiegészítő potenciális energia. E szerint (2.116) bal oldalán a teljes kiegészítő potenciál növekménye szerepel:

~ ~ ~ dU = dU k + dU b = 0 ,

2.117/a

ami csak úgy állhat fenn, ha

~ ~ ~ U = U k + U b = áll. = minimum

2.117/b

A tételt a következőképpen értelmezhetjük. A lineárisan rugalmas test kiegészítő potenciális energiája különböző, sztatikailag lehetséges erő-rendszerek mellett eltérő értékeket vesz fel. A valóságban kialakuló, a geometriailag lehetséges alakváltozás-rendszerhez tartozó erőrendszer esetén azonban a teljes kiegészítő potenciális energia stacionárius. A probléma fizikai természetéből adódik, hogy ez a helyi szélső érték csak minimum lehet. A tétel tehát lehetőséget ad arra, hogy a számtalan sztatikailag lehetséges erő-rendszer közül meghatározzuk a ténylegesen létrejöttet. A tétel csak akkor alkalmazható, ha a külső és belső erők konzervatívak és az alakváltozások kicsinyek. Tétel: Lineárisan rugalmas anyag esetén a belső kiegészítő potenciális energiának egy külső dinám szerinti deriváltja egyenlő a dinám támadáspontjában fellépő elmozdulás erő- vagy nyomatékvektor irányába eső vetületével. Bizonyítás: Ha a kiegészítő potenciális energiát a testre ható Fi erők függvényében írjuk fel, akkor az előző tétel értelmében:

~ ∂U = 0, ∂Fi

i=1,2,...,n ,

2.118

ahol Fi = F i A külső erők kiegészítő potenciális energiája: n ~ U k = − ( F1 u 1 + F2 u 2 + ...+ Fn u n ) = − ∑ Fi u i , i =1

103

ahol ui az u i elmozdulásnak az Fi irányába eső vetülete. Az utóbbi összefüggések felhasználásával:

~ ~ ~ ~ ∂U b ∂U b ∂U ∂U k = + = −u i + = 0, ∂ Fi ∂ Fi ∂ Fi ∂ Fi

ahonnan

~ ∂U b = u ∂ Fi

2.119

i

A tétel értelemszerűen az M i koncentrált nyomaték és a ϕ i szögelfordulás nyomatékvektor irányú összetevőjére is igaz. A tételt Castigliano II. tételének is nevezik. A tételből azonnal következik az először Menabrea által alkalmazott tétel. Ha a belső kiegyenlítő potenciális energia számításánál olyan erők is szerepelnek, amelyek helyén nem keletkezik elmozdulás, akkor ui = 0 miatt:

~ ∂U b = 0. ∂Fi

Menabrea tétele elsősorban a sztatikailag határozatlan szerkezetek ismeretlen kapcsolati erőinek meghatározására használható, hiszen annyi (2.120) típusú egyenlet írható fel, amennyi az ismeretlen Fi erők száma.

~

Lineárisan rugalmas anyagnál U b = Ub , így formailag elegendő a belső alakváltozási energia számítása. Lényeges különbség azonban, hogy a belső potenciális energiát Castigliano I. tételének alkalmazásánál az adott, illetve ismeretlen elmozdulások függvényében, Castigliano II. tételének és Menabrea tételének felhasználásával az adott, illetve ismeretlen erők függvényében kell felírni. 2.6.5. A saját munkák tétele Tegyük fel, hogy a testet a külső erők sztatikusan terhelik, azaz az erők végső értéküket nulláról indulva az időben egyenletesen érik el és a teherátadás sebessége olyan kicsi, hogy a gyorsulások következtében fellépő tehetetlenségi erők a külső terhek mellett elhanyagolhatók. A terhelési folyamat alatt a test alakváltozást szenved. Sztatikus tehát - a fenti gondolatmenet szerint - az erő- és alakváltozásrendszer összefüggő, a munkát saját munkaként számítjuk. Lineárisan rugalmas anyagot feltételezve a terhelő erő-rendszer és az alakváltozásrendszer között lineáris a kapcsolat. A külső erők saját munkája:

1 1 1 2.121 F i u i + ∫ q u dA + ∫ f u dV . ∑ 2 i 2A 2V A terhelési folyamat alatt a testben belső erők ébrednek, ezek az alakváltozásrendszerrel szintén összefüggők, munkájuk sajátmunka: 1 2.122 W bS = − ∫ ∑ σ ij ε ij dV = − U b , 2 V ij W kS =

104

ahol az utolsó egyenlőség (2.71/b)-ből következik. Tétel: Kis alakváltozást végző, lineárisan rugalmas anyagú test sztatikus terhelési folyamata során a külső saját munka egyenlő a belső potenciális energiával, vagyis a rugalmas alakváltozási energiával. Bizonyítás: Mivel a sztatikus terhelés során a test elemeinek sebessége - s ezzel a mozgási energiája - elhanyagolhatóan kicsi, a mechanikai energia megmaradásának tételéből következik, hogy a külső erők saját munkája teljes egészében rugalmas energiává alakul: S

W k = Ub . 2.123 A tétel nemcsak lineárisan rugalmas testekre igaz. Bármilyen szilárd testre alkalmazható, ha ismerjük anyagtörvényét. A tétel segítségével meghatározhatjuk a test teljes potenciális energiáját. (2.70) alapján ,

U k = −2WkS , így a teljes potenciál: U = Uk + Ub = − 2WkS + WkS = − WkS = − U b A teljes potenciál tehát mindig negatív érték. 2.6.6. A munkával és energiával kapcsolatos egyéb tételek Tétel: Lineárisan rugalmas testre ható egyensúlyi erőrendszer idegen munkája egy másik egyensúlyi erőrendszer által okozott alakváltozáson egyenlő a második erőrendszer első által okozott alakváltozásához tartozó idegen munkájával. Bizonyítás: Terheljük sztatikusan a testet 1 jelű erőrendszerrel, majd ennek végső értékét állandó szinten tartva tegyük fel sztatikusan a 2 jelű erőrendszert is. Az egész terhelési folyamat külső munkája két saját munkából és egy idegen munkából, az 1-es erőrendszernek a 2-es által okozott alakváltozáson végzett munkájából tevődik össze:

Wk1, 2 = WkS1 + WkS 2 + Wk12 . Cseréljük fel a terhelés sorrendjét. Ebben az esetben a teljes külső munka:

Wk2,1 = WkS 2 + WkS1 + Wk21 A terhelés sorrendjétől függetlenül, mindkét esetben ugyanakkora rugalmas alakváltozási energia halmozódik fel a testben, tehát Ub = Wk1, 2 = Wk2,1 . Behelyettesítve ide az előző két összefüggést, azonnal adódik:

W 12 = W 21

,

2.124/a

ami a kölcsönös idegen munkák azonosságát mondja ki. A tételt Betti-tételnek nevezzük. A koncentrált erőkön kívül térfogati és felületi erőket is figyelembe véve, a tétel alakja (2.59) felhasználásával:

W 12 =

∑F u 1

2

∫q

+

i

=

∑F u + 2

i

1

1

u 2 dA +

A

∫f

1

u 2 dV = W 21 =

V

∫ q u dA +

∫ f u dV.

A

V

2

1

2

1

2.124/b

105

Tétel: Lineárisan rugalmas test valamely P1 pontjában jelöljük u12-vel a P2 pontban ható F2 erő hatására fellépő, F1 irányú elmozduláskomponenst, u21-gyel pedig a P2 pont F1 erő hatására keletkező, F2 irányú elmozduláskomponensét (2.31. ábra). Ha F1 = F2 , akkor

u 12 = u 21 . Bizonyítás: Terheljük a test P1 és P2 pontját egymás után az F1 és F2 erőkkel, majd fordított sorrendben, és alkalmazzuk a Betti-tételt:

W 12 = F1 u 12 = W 21 = F2 u 21 . Ha F1 = F2 , akkor u 12 = u 21 .

2.125/a A tételt Maxwell-féle felcserélhető-ségi tételnek nevezik és értelmezhető tetszőleges számú erőre, illetve nyomaték-ra. Ha az erők még egységnyiek is, az elmozdulás-komponenseket α ij vel szok-ták jelölni és hatástényezőknek nevezni. A hatástényezőkre a Maxwell-féle felcse-rélhetőségi tétel:

α ij = α

ji

2.125/b

2.31. ábra A szilárdságtanban a szerkezeti elemek és a belőlük felépített összetett szerkezetek merevségét ezekkel a hatástényezőkkel szokták jellemezni. A (2.125/b) reciprocitási tétel az oka annak, hogy a merevséget, illetve az alakíthatóságot jellemző mátrixok mindig szimmetrikusak.

3. Tönkremeneteli elméletek Az I. fejezetben megismert anyagvizsgálatoknál olyan külső terhelést, illetve igénybevételeket alkalmaztak, amelyek hatására a test egyes pontjai egyszerű - húzásnál, nyomásnál lineáris, tiszta nyírásnál síkbeli - feszültségi állapotba kerültek. Láttuk, hogy a teher értéke nem lehet tetszőlegesen nagy, mert előbb-utóbb elérhetünk egy olyan határértéket, melynél nagyobbat a vizsgált próbatest nem tud felvenni. Ennél a külső terhelésnek megfelelő határértéknél a testet tönkrementnek tekintjük. Általánosságban a tönkremenetel azt jelenti, hogy megszűnik a szerkezeti elem, s ezzel az egész szerkezet külső terheléssel szembeni mechanikai ellenállása. A tönkremenetel jellege sokféle lehet. A legalapvetőbb tönkremeneteli forma a rideg anyagoknál törés, szívós anyagoknál pedig - a folyáshatár elérésével - olyan nagymértékű alakváltozás, amely alkalmatlanná teszi a szerkezetet eredeti feladatának ellátására. E két tönkremeneteli

106

forma között számtalan átmenet lehetséges, sőt ugyanazon anyag tönkremenetelének jellege a külső körülményektől függően is jelentősen változhat. Az előbb említett anyagvizsgálatoknál mindig olyan igénybevételeket alkalmaztak, melyeknél a tönkremenetelhez tartozó feszültségállapotot egyetlen adattal lehet jellemezni (pl. az f + ≡ σ +B húzószilárdsággal, az f − ≡ σ −B nyomószilárdsággal vagy a t ≡ τ B nyírószilárdsággal). A valóságos szerkezetekben azonban az igénybevételek általában olyan jellegűek, hogy hatásukat a test pontjaiban összetett (síkbeli és térbeli) feszültségi állapot ébred. A kísérleti tapasztalatok pedig azt mutatják, hogy az anyag összetett feszültségi állapotban már akkor is tönkremehet, ha egyetlen feszültségkomponense sem éri el az egyszerű feszültségi állapotoknak megfelelő szilárdságot. Akármilyen feszültségi állapotot is választunk, azok komponenseit lineárisan növelve, elérünk egy olyan határállapotot, melynél az anyag tönkrementnek tekinthető. Azt a feszültségi állapotot, amelynél az anyag éppen tönkremegy, illetve a tönkremenetel határára kerül, tönkremeneteli határállapotnak nevezzük. Nyilvánvaló, hogy végtelen sok feszültségi állapot létezik, amelynél az anyag tönkremeneteli határállapotba kerül. A műszaki gyakorlat számára nagyon fontos ezeknek a tönkremeneteli határállapotoknak az ismerete. Természetesen minden anyagra - de még egyre is - lehetetlen e végtelen sok határállapotnak a kísérleti meghatározása. Arra van tehát szükség, hogy egyrészt bizonyos kísérleti eredmények figyelembevételével, másrészt elméleti megfontolások alapján olyan módszereket dolgozzanak ki, melyekkel eldönthető, hogy egy adott feszültségi állapot a vizsgált anyag szempontjából tönkremenetelinek tekinthető-e vagy sem. Ezeket az elméleteket tönkremeneteli elméletnek nevezzük. Az egyes elméleteket tönkremeneteli (szilárdsági) kritérium formájában fogalmazzák meg azt a feltételt, amelynek teljesülése esetén az anyag tönkremegy, illetve épen marad. A tönkremeneteli elméletek általában azt a módszert alkalmazzák, hogy a feszültségi állapotok összehasonlításához egy tipikus, egy kísérlettel viszonylag egyszerűen és pontosan meghatározható feszültségi állapotot választanak alapul és valamilyen elfogadott kritériumot felhasználva, a tényleges feszültségi állapotokat ehhez viszonyítják. Az összehasonlíthatósághoz be kell vezetni az egyenértékű feszültségi állapot fogalmát. Egyenértékűek azok a feszültségi állapotok, amelyeknél a tönkremeneteli határállapot fellépésének a valószínűsége azonos, röviden, amelyeknél a tönkremenetel azonos veszélyességű. E definíció matematikai, a gyakorlat igényeit kielégítő megfogalmazása nem is olyan egyszerű és az egyes tönkremeneteli elméletek alapjában véve abban különböznek egymástól, hogy hogyan fogalmazzuk meg az egyenértékű feszültségi állapot kritériumát. Összehasonlító feszültségi állapotként az egytengelyű húzásnak megfelelő lineáris feszültségi állapotot választják, amely viszonylag könnyen és pontosan kivitelezhető és a tönkremeneteli határállapot feszültségi állapota egy adattal, az f húzószilárdsággal jellemezhető. A tényleges, összetett feszültségi állapot komponensei alap-

107

ján a lineáris feszültségi állapotnak megfelelő egyenértékű feszültségi állapotot számítanak. E fiktív lineáris feszültségi állapotnak egyetlen nem nulla normálfeszültségkomponensét egyenértékű feszültségnek nevezzük. Lineáris feszültségi állapotban az anyag akkor megy tönkre, ha a húzófeszültség eléri az f + húzószilárdságot, így a tényleges feszültségi állapot akkor nem okoz tönkremenetelt, ha az egyenértékű feszültségi kisebb, mint a húzószilárdság, illetve határesetben azzal egyenlő. Tönkremenetel tehát nem lép fel, ha f + ≥ σ egy .

3.1

A σ egy ≥ σ egy (σ ij ) egyenértékű feszültség konkrét függvényalakját az alkalmazott tönkremeneteli elmélet szabja meg. A műszaki mechanika történeti fejlődése folyamán több tönkremeneteli elméletet dolgoztak ki. Ezek egy része már elavultnak tekinthető (pl. a legnagyobb normálfeszültség (Galilei) elmélete, a legnagyobb nyúlás (Mariotte, Saint Venant) elmélete, a legnagyobb nyírófeszültség (Guest) elmélete, a teljes alakváltozási energia (Beltrami elmélete, stb.), de a műszaki anyagok bővülése és a gyakorlat egyre növekvő igénye ma is új elméletek kidolgozására készteti a kutatókat. 3.1. Az izotrop anyagok tönkremeneteli elméletei E fejezetben bemutatjuk azt a három elméletet, amelyet napjainkban az izotróp, vagy gyakorlatilag izotropnak tekinthető anyagok esetén alkalmaznak. Izotrop anyagnál nincs jelentősége annak, hogy a feszültségi főirányok milyen állásúak. Elegendő a tényleges feszültségi állapot ismerete, amit legegyszerűbben a főfeszültségi rendszerben a három főfeszültséggel adunk meg. 3.1.1. A Coulomb-féle tönkremeneteli elmélet Az elmélet - melyet Coulomb, majd Duquet dolgozott ki - alapgondolata az, hogy egy pont környezetében az anyag tönkremenetele akkor következik be, ha a ponton átmenő valamelyik síkon a ténylegesen ható nyírófeszültség legyőzi a kohézió és a belső súrlódás ellenállását. Tönkremenetel nem lép fel, ha σ nm ≤ c − µσ nn ,

3.2

ahol c - az ún. kohézió, ami abban nyilvánul meg, hogy az anyag vizsgált pontjában felvett valamilyen felülettel párhuzamosan az anyagrészecskék elcsúsztatásához

108

σ nn = 0 esetén is bizonyos, éppen c nagyságú nyírófeszültségre van szükség. c tehát

feszültség dimenziójú mennyiség, egysége: Pa, µ - a belső súrlódás tényező, dimenzió nélküli szám, a Coulomb-féle száraz súrlódás analógiájára itt is bevezethetjük a belső súrlódási kúp félszögét, ρ -t, ahol, tg ρ = µ , σ nn , σ nm - az n normálisú felülethez tartozó feszültségvektor normális- és nyíróirányú komponense. A feszültségi állapot Mohr-féle ábrázolását jól felhasználhatjuk (3.2) szemléltetésére is (3.1. ábra). A tönkremeneteli határállapotban (3.2)-ben az egyenlőség jel az érvényes és az összefüggés két egyenest reprezentál. Mindkét egyenes az A0 pontból indul ki, iránytangensük ± µ , a vízszintessel bezárt szögük pedig ± ρ . A feszültségi állapot Mohr-féle ábrázolásának ismeretében azonnal beláthatjuk, hogy azoknál a feszültségi állapotoknál kerül az anyag a tönkremeneteli határállapotba, amelyek 1,3 főköre érinti a két egyenest. Törés illetve megcsúszás akkor nem lép fel, ha a főkörök a két egyenes által körbezárt terület belsejébe esnek. Tönkremenetel pedig akkor következik be, ha a legnagyobb főkör metszi az egyeneseket vagy az A0 ponttól jobbra esik. Az ábráról azt is megállapíthatjuk, hogy melyik annak a felületnek a normálisa, amelyen a nyírófeszültség elérte a határértéket. A normálisnak az 1-es főiránnyal bezárt

szöge az 3.1. ábra A0013A1 derékszögű háromszög alapján.

109

2α1 =

π − ρ , illetve 2

2α1' = 2π − 2α1 =

3π +ρ. 2

3.3

A két normális a 2-es főirányra merőleges. Ezzel a két sík, melyet csúszólapnak nevezünk, állása ismert (3.2. ábra). Az

elmélet

szerint

a

tönkremenetelt úgy képzelhetjük el, hogy a test P pontjának közelében

két

térfogatelem

egymáson

megcsúszik.

(3.3)

szerint a csúszólapok állása csak a

belső

súrlódás

nagyságától

függ. A megcsúszás tehát a feszültségi

állapot

jellegétől

függetlenül mindig ugyanolyan dőlésszögű

sík

mentén

következik be. 3.2. ábra Az n 1 = cosα1 e1 + sinα1 e 3 normálisú síkokhoz tartozó feszültségkomponenseket adott σ 1 , σ 2 , σ 3 , esetén a (2.43/e) és (1.11) összefüggésekkel számíthatjuk: σ nm = σ 1cos 2 α1 + σ 3sin 2 α 1 =

σ1 + σ 3 σ1 − σ 3 − cos2α1 , 2 2

σ1 − σ 3 sin2α 1 . 2 Ezeket (3.2)-be helyettesítve, rendezés és (3.3) felhasználása után megkapjuk a tönkreσ nm = −σ1sinα 1cosα + σ 3sinα1cosα 1 = −

meneteli kritérium egy másik alakját. Ha a

µ (σ 1 + σ 3 ) + 1 + µ 2 (σ1 − σ 3 ) ≤ 2c

3.4

reláció teljesül, tönkremenetel nem lép fel. Az elmélet szerint az anyagnak két szilárdsági jellemzőjét, c-t és µ -t kell ismerni, illetve ezeket kell kísérlettel meghatározni. Előfordulhat, hogy ismerjük az anyag húzó- és nyomószilárdságát. Ebben az esetben µ és c értékét a két szilárdsággal is kifejezhetjük. Az elmélet értelmében ugyanis e két szilárdságnak megfelelő feszültségi állapot Mohr-köreinek érintenie kell a ferde helyzetű egyeneseket. A 3.3. ábra 01M02 derékszögű háromszögében:

110

µ = tgρ =

f− f+ − 2 2 −

f +f   2

+

2

−

 f −f  −    2

+

  

2

=

f− −f+ 2 f −f +

.

3.5/a

Az 010A és az 002A háromszögek hasonlósága alapján:

c=

1 − + f f 2

3.5/b

A fenti összefüggéseket (3.4)-be helyettesítve a

(σ1 + σ 3 )(f − + f + ) + (σ1 − σ 3 )(f − + f + ) ≤ 2f − f + relációt kapjuk. Osszuk ezt el f--szal és vezessük be a Ψ=

f+ f−

3.6

jelölést. Ezzel az előző reláció új formája:

f + ≥ σ1 − Ψσ 3 ,

3.7

ami egyben megadja az egyenértékű feszültség összefüggését is

σ egy = σ1 − Ψσ 3 .

3.8

Az elmélet elsősorban a szemcsés anyagok vizsgálatánál kerül alkalmazásra, így, ma is nagy jelentőségű a talajmechanikában és a szemcsés anyagok (gabona, fűrészpor, for-

3.3. ábra gács) tárolásánál fellépő mechanikai jelenségek vizsgálatánál. Az elmélet abban a két speciális esetben is alkalmazható, ha c vagy Š nulla. Homoknál és kavicsnál a kohézió gyakorlatilag nulla, csak a belső súrlódással kell számolni, s a két határegyenes a 3.4.

111

ábrának megfelelően alakul. A másik határesetben csak a kohézió hatását kell figyelembe venni (ilyen pl. a puha anyag). Ebben az esetben az elmélet a maximális nyírófeszültségek elméletébe megy át (3.4/b. ábra).

3.4. ábra 3.1.2. A Mohr-féle tönkremeneteli elmélet Hozzunk létre a test valamelyik pontjában egy tetszőleges feszültségi állapotot, majd növeljük arányosan a feszültségi komponenseket a tönkremenetelig. Rajzoljuk meg a tönkremenetelhez tartozó feszültségi állapot Mohr-köreit. A vizsgálatot és a szerkesztést más jellegű feszültségi állapotok esetén is megismételve O. Mohr arra a következtetésre jutott, hogy minden anyagnál található egy olyan burkoló görbe, amely a tönkremeneteli határállapot legnagyobb főköreit kívülről érinti, s amely épp olyan anyagjellemző, mint bármely más fizikai-mechanikai tulajdonság. Kísérlettel tehát meghatározható egy

σ nm = σ nm (σ nm )

3.9

függvény, melyet tönkremeneteli (Mohr-féle) határgörbének nevezünk. E görbe ismeretében könnyen eldönthető a tönkremenetel kérdése. Az anyag mindaddig megőrzi teherbíróképességét, míg a terhelésnek megfelelő feszültségi állapot legnagyobb főköre a tönkremeneteli határgörbe belsejébe esik (3.5. ábra). A tönkremenetel határállapotában itt is értelmezhetők a csúszólapok, ezek helyzetet a feszültségi állapotnak, pontosabban a σ1 és σ 3 főfeszültségnek a függvénye. Sajnos, a Mohr-féle határgörbe kísérleti meghatározása igen körülményes és költséges - napjainkban egyetlen anyag határgörbéjét sem ismerjük kielégítő pontossággal - ezért megelégszünk a görbe bizonyos szakaszának egyenessel való megközelítésével. Ezt az egyenest már könnyű meghatározni, mert nem más, mint az egytengelyű húzó- és nyomószilárdság főköreinek érintője (3.6. ábra).

112

3.5. ábra

3.6. ábra Az ábra alapján azonnal megállapíthatjuk, hogy amennyiben a tényleges feszültségi állapot főköre a közelítő egyenest az A1A2 szakaszon kívül érinti, akkor a közelítés a biztonság rovására történik és a közelítő (egyszerűsített) Mohr-elmélet nem alkalmazható. Szerencsére a gyakorlati esetek többségében a szélső főfeszültségek aránya r=

σ3 ≤0, σ1

3.10

ami éppen annak a feltétele, hogy a főkör az A1A2 szakaszon érintse az egyenest. A közelítő Mohr-elmélet egyenértékű feszültségét az A1M1A2 és az AMA2 háromszögek hasonlóságának felhasználásával vezethetjük le: f− f+ f − σ1 − σ 3 − − 2 2 = 2 2 , f− f+ f − σ1 + σ 3 + + 2 2 2 2 ahonnan

f − f + = σ1f − − σ 3 f + . (3.6) felhasználásával: f + = σ1 − Ψσ 3 , Az egyenlőség éppen a tönkremeneteli határállapot elérését jelenti, tönkremenetel tehát mindaddig nem lép fel, míg 3.11 f + ≥ σ1 − Ψσ 3 . s így az egyenértékű feszültség: σ egy = σ1 − Ψσ 3 . 3.12

113

Ne csodálkozzunk azon, hogy a közelítő Mohr-elmélet és a Coulomb-féle elmélet egyenértékű feszültségét ugyanaz az összefüggés adja, hiszen a két elmélet egyenesét azonos módon definiáltuk. Nem szabad azonban megfeledkeznünk arról, hogy a közelítő Mohr-elmélet csak (3.10) fennállása esetén alkalmazható. A pontos és - korlátai között - a közelítő Mohr-elmélet egyetlen feltevése, hogy minden anyagnak van határgörbéje. Kísérleti igazolásra nem szorul, hiszen a határgörbét csak kísérlettel lehet meghatározni, így az ismert határgörbe az elmélet használhatóságának bizonyítéka. 3.1.3. A belső alaktorzulási energia elmélete Az elméletet M.T. Huber, R.E. von Mises és H. Hencky egymástól függetlenül dolgozta ki (e hármas néven is szokták az elméletet emlegetni) elsősorban olyan szívós anyagokra, amelyek jól jellemezhető folyáshatárral rendelkeznek. Az elmélet tulajdonképpen a képlékeny alakváltozás megindulásának feltételét határozza meg. Alapja az a feltevés, hogy az anyag tönkremenetele akkor következik be, ha a belső erők fajlagos torzítási energiája elér egy bizonyos, az anyagra jellemző értéket. Tönkremenetel nem lép fel, ha

3.13 u ~b (tönkremeneteli) ≥ u ~b (tényleges) . Az alakváltozások és a feszültségek tárgyalása során megmutattuk, hogy mindkét állapot tenzora felbontható egy gömb- és egy deviátortenzorra és megállapítottuk, hogy az alakváltozás deviátortenzora a térfogatváltozás nélküli alakváltozást jellemzi. Magától értetődő az az elképzelés, hogy ehhez az alaktorzuláshoz a feszültségi deviátortenzor által képviselt belső erők tartoznak. A fajlagos belső torzítási energiát (2.72) analógiájára számíthatjuk:

u ~b =

1 σ ij~ ε ij~ , ∑ 2 ij

i, j = x, y, z

ahol σ ij~ és ε ij~ a feszültségi és alakváltozási deviátortenzor. Ezek komponenseit (2.37/b) és (2.50/b) felhasználásával, de a főtengelyek rendszerében a következő mátrixok adják:

[T ] = [σ ] ~ σ

ahol

~ ij

σ 1 − σ M =  0  0

0 σ2 − σM 0

 0  , σ 3 − σ M 

0

114

σM =

1 (σ1 + σ 2 + σ 3 ) 3

és

[T ] = [ε ] ~ ε

~ ij

ε 1 − ε M =  0  0

 0  ε 3 − ε M 

0

0

ε2 − εM 0

ahol

εM =

1 (ε1 + ε 2 + ε 3 ) 3 Az alakváltozási deviátortenzor komponenseit kifejezhetjük a feszültségi

deviátortenzor komponenseivel a (2.92/c) anyagtörvénnyel: ε ii~ =

1  ~ ν S1~  σ ii~  σ ii − = , 2G  1 + ν  2G

mert S1~ = 0 .

A fenti mennyiségekkel a fajlagos torzítási energia: u ~b =

( )

~ 1 1 1 ~ ~ ~ σi = σ = σ ε σ i~ ∑ ∑ ∑ i i i 2 i 2 i 2G 4G i

[

2

=

]

1 (σ i − σ M )2 = ∑ 4G i

1 (σ1 − σ M )2 + (σ 2 − σ M )2 + (σ 3 − σ M )2 = 4G 1 2 1 (σ1 − σ 2 )2 + (σ 2 − σ 3 )2 + (σ 3 − σ1 )2 = σ 1 + σ 22 + σ 32 − 3σ 2M = 4G 12G =

(

[

)

.

3.14

]

Az anyagra jellemző belső fajlagos torzítási energiát az egyenértékű feszültségi állapot felhasználásával az egyenes húzásnak megfelelő σ 1 = f + és σ 2 = σ 3 = 0 szültség-komponensekkel (3.14)-ből számíthatjuk:

u ~b (tönkremeneteli ) =

[(

1 f+ 12G

1 ) + (f ) ] = 6G (f ) 2

+ 2

+ 2

ezek után (3.13)-at a feszültségekkel is kifejezhetjük: 1 + 2 1 (σ1 − σ 2 )2 + (σ 2 − σ 3 )2 + (σ 3 − σ1 )2 f ≥ 6G 12G

[

( )

]

Innen f+ ≥

[

1 (σ1 − σ 2 )2 + (σ 2 − σ 3 )2 + (σ 3 − σ1 )2 2

]

s ennek megfelelően az egyenértékű feszültség:

,

3.15

fe-

115

σ egy =

[

]

1 (σ1 − σ 2 )2 + (σ 2 − σ 3 )2 + (σ 3 − σ1 )2 . 2

3.16

A kritérium azonos feltételt szab a folyás megindulására húzás és nyomás esetén, így csak olyan anyagokra használható, melyek folyáshatára húzásnál és nyomásnál megegyezik. 3.1.4. A tönkremeneteli elméletek elemzése A tönkremeneteli elméletek, illetve a nekik megfelelő kritériumok alkalmazhatóságának legfőbb bizonyítékát a kísérleti eredményekkel való egyezés adja. Ez a bizonyítási eljárás azonban nem könnyű feladat, mert olyan összetett feszültségi állapot létrehozása, amely a tervezettet jól követi és a feszültségkomponensek nagysága egészen a tönkremenetelig pontosan mérhető, rendkívül bonyolult technikát követel, sőt, bizonyos fajta feszültségi állapotok (pl. a hidrosztatikus húzás állapota) mérési adatot szolgáltató megvalósítása gyakorlatilag lehetetlen. Olyan elmélet tehát, amelyet minden feszültségi állapot tartományban ellenőriztek, még nincs. Egyértelműen igazolni vagy elvetni egyetlen tönkremeneteli elméletet sem lehet. Ez az oka annak, hogy egyszerre több elmélet is felhasználásra kerül. Adott anyag esetén mindig azt az elméletet tartják meg, amely az elvégzett kísérleti eredményekkel a leginkább összhangban A legáltalánosabb van. tönkremeneteli elméletnek a Mohr-elmélet tekinthető, mert mint már említettük - a kritériumot a kísérletek alapján meghatározott határgörbének megfelelően kell megfogalmazni. E tulajdonság egyben az elmélet hátránya is, hiszen a teljes határgörbe meghatározása igen nehéz és költséges. Ennek ellenére a közelítő Mohr-elmélet igen széleskörű felhasználásra kerül a kísérletekkel is jól ellenőrzött, a (3.10) relációnak megfelelő értelmezési tartományban. A Coulomb-elmélet a Mohr-elmélet azon speciális esetének tekinthető, mikor a határgörbe két, ferde helyzetű egyenes. A közelítő Mohr-elmélet helyett akkor alkalmazzák a Coulomb-elméletet, ha olyan anyag tönkremeneteli vizsgálatáról van szó, amely húzószilárdságát kísérletileg igen nehéz meghatározni (pl. a szemcsés anyagoknál). Az ilyen anyagoknál a kohézió és a belső súrlódási tényező kísérletek alapján történő számítása sokkal egyszerűbb és pontosabb. Mindkét elméletnél kifogásolható, hogy a σ 2 főfeszültségnek a tönkremenetel szempontjából semmilyen szerepe nincs, ami némiképp ellentmond a gyakorlati ered-

ményeknek. Bizonyos vizsgálatok szerint a σ 2 főfeszültség változása (σ 1 ≥ σ 2 ≥ σ 3 ) a szilárdsági értéket 10-12 %-kal módosítja. Ez a kifogás a fajlagos alaktorzítási energia elméletével szemben már nem merülhet fel. Ott a három főfeszültség azonos súllyal szerepel. A kritérium levezetésénél

116

elfogadtuk a lineáris anyagtörvényt, amiből az következik, hogy az egyenértékűség képlete elvileg csak az egyenesarányossági határig, illetve közelítőleg a folyáshatárig alkalmazható. Az elmélet tehát a folyás megindulásával kapcsolatos tönkremeneteli feltételt fogalmazza meg. Az elmélet hátrányai közé sorolható, hogy csak nyomásra és húzásra azonos folyáshatárú anyagokra alkalmazható. Természetesen napjainkban is dolgoznak ki újabb tönkremeneteli elméleteket (Balangyin-, Miroljubov-elmélete, stb), amelyek igyekeznek kiküszöbölni a korábbi elméletek hiányosságait. Ezek alapos kísérleti igazolása azonban még nem történt meg. 3.2. A természetes faanyag tönkremeneteli kritériuma Anizotróp anyagok tönkremenetele szempontjából nemcsak a feszültségi állapot komponenseinek nagysága döntő, hanem az is, hogy a feszültségi főtengelyek milyen helyzetben vannak az anyag szerkezeti szimmetriatengelyeihez képest. Gondoljunk csak arra például, hogy természetes faanyag esetén a rostokkal párhuzamos irányban ható, a húzószilárdságnál csak egy kicsit kisebb normálfeszültség még nem okoz tönkremenetelt, ugyanez a feszültség azonban a rostokra merőleges irányban már biztos szakadást jelent. A szilárdsági jellemzőket a szimmetriatengelyek (fánál az anatómiai főirányok) rendszerében a legegyszerűbb megadni, ezért célszerűen a feszültségi állapotot is erre a rendszerre kell átszámítani. Természetesen anizotrop anyagokra is többféle tönkremeneteli elméletet dolgoztak ki. Ezek közül a természetes faanyagra az E.K. Askenazi által megfogalmazottat támasztják alá leginkább a kísérletek. Askenazi bevezetett - az alakíthatósági tenzor analógiájára - egy tönkremeneteli (szilárdsági) tenzort, melynek komponenseivel definiált

a

feszültségkomponensek

hat

dimenziós

terében

egy

tönkremeneteli

(hiper)felületet. Ennek egyenlete: 2

  2  ∑ a ijkl σ ij σ kl  − S 11 − S 2 = 0 ,  ijkl 3.17 

(

)

i,j,k,l = 1,2,3, ill. faanyagnál L, R, T ,

ahol aijkl - a szilárdsági tenzor komponensei, a tenzor négy dimenziós és ugyanolyan szimmetriát mutat, mint az sijkl alakíthatósági tenzor. Faanyagnál és bármely más ortotrop anyag esetén az anatómiai vagy szerkezeti főirányok rendszerében a tenzor független komponenseinek száma 9,

σ ij - a ténylegesen ható feszültségi állapot komponensei az anatómiai főirányok rendszerében, S1, S2 – az első és második feszültségi invariáns.

117

Ha a feszültségi állapot komponensei kielégítik a (3.17) egyenletet, az anyag a vizsgált pontban éppen a tönkremenetel határán van. Egyszerű átalakítással az épen maradás feltételének kritériuma: + L

f ≥ σ egy =

1

∑a

a LLLL

ijkl

σ ij σ kl

S12 − S 2

,

3.18

ahol f L+ - a faanyag rostirányú húzószilárdsága. A szilárdsági tenzor komponenseit a kísérleti vizsgálatok során meghatározható ún. technikai szilárdságokkal lehet számítani. A tenzorkomponenesek és a technikai szilárdságok kapcsolata a következő:

1 1 vagy = − , i = L, R, T , + fi fi

a iiii =

(a

ijij

+ a ijji + a jiij + a jiji ) =

(a

iijj

+ a jjii ) =

(a

iijj

1 1 vagy − , + t ij t ij

1 1 1  + + − (45 ha σ ii > 0 és σ jj < 0 + + fi fj t ij )   1 1 1 + a jjii ) = − + − − (45) ha σ ii < 0 és σ jj > 0   fi fj t ij− 

vagy (a iijj + a jjii ) = vagy (a iijj + a jjii ) =

+ (45)

f ij

4 f ij−

(45)

1 1 1  − + − +  + fi f j t ij   1 1 1  − − − − − −. fi f j t ij  

3

+ ij

−

3.19/b

3.19/c

−

 , r   3 1 1  + a jjii ) = − − − − − ,  rij fi fj 

vagy (a iijj + a jjii ) = vagy (a iijj

4

3.19/a

1 1 − + + fi fj

3.19/d

3.19/e

az utolsó kifejezésben i,j = L, R, T, valamint f i+ , f i− - az anatómiai főirányokra eső húzó- és nyomószilárdság, f ij+ + ij

(45)

, f ij−

(45)

- az anatómiai fősíkok átlójának irányába eső húzó- és nyomószilárdság,

− ij

t , t - az i normálisú síkon ható, j-vel párhuzamos hatásvonalú nyírófeszültség tartozó szilárdság (a + és - jel a nyírófeszültség értelmét jelenti),

118

t ij+

(45)

, t ij−

(45)

- az i,j irányok szögfelezőjével megegyező normálisú síkon ható, az i,j sík-

kal párhuzamos hatásvonalú nyírófeszültséghez tartozó szilárdság, rij+ , rij− - az i és j anatómiai főirányokba eső, két azonos nagyságú húzó- vagy nyomófeszültséghez tartozó szilárdság. Faanyagnál, ahol t ij+ = t ij− , a fentiek alapján 27 különböző technikai szilárdságot kell kísérlettel meghatározni a szilárdsági tenzor komponenseinek megadásához. A (3.19)-ben fel nem sorolt komponensek nullával egyenlők. A (3.19)-es képletek közül a tenzor-komponens számítására mindig azt kell alkalmazni, amelyben a technikai szilárdságokat olyan előjelű feszültségkomponensek határozták meg, mind a ténylegesen ható feszültségkomponensek előjele. Ez az egyik biztosítéka annak, hogy az elméleti kritérium jól igazodik a kísérleti eredményekhez.

4. Az erőtani méretezés alapelvei Erőtani méretezéssel (számítással) ellenőrzik, hogy a teherhordó szerkezet a tervezett élettartam alatt a felvett geometriai méretekkel kellő biztonsággal megfelel-e az erőtani követelményeknek. Az erőtani követelmények a létesítmény céljából, feladatából és használatának körülményeiből következnek. A teherhordó szerkezetnek egyrészt képesnek kell lennie a terhekkel és egyéb fizikai hatásokkal szembeni ellenállásra, másrészt a szerkezet viselkedésének (azaz az előbbi hatásokra való reagálásának) összhangban kell lennie az építmény használhatóságának feltételeivel. A kellő biztonság fogalma arra utal, hogy bizonyos kockázatot mindig kell vállalni, tökéletesen biztos szerkezet nem létezik. A létesítendő szerkezet geometriai felépítése, anyagának tulajdonságai, viselkedése, terhei kisebb-nagyobb mértékben - kedvező vagy kedvezőtlen irányban - mindig eltérnek attól, mint amit a tervezés során feltételeznek. A kockázat elfogadható mértékét különböző megoldásokkal, napjainkban általában gazdasági számításokkal kell megalapozni. Mivel a teherhordó szerkezetekkel szemben támasztott követelményeket az emberélet és más jelentős értékek megóvására állították fel, az igazolás módját - minden országban - kötelező hatósági előírások határozzák meg. Általános törekvés, hogy ezek az előrások, szabványok ne csak egy országon belül, hanem több országra vagy földrészre, esetleg az egész világra szólóan egységesek legyenek. Ezek az egységesítési törekvések azonban az egyes országok eltérő műszaki fejlettsége, különböző külső adottságaik és saját hagyományaikhoz való ragaszkodásuk következtében csak nehezen valósulnak meg. Az erőtani méretezés két fontos alapfogalmat definiál.

119

A teherviselő szerkezet a külső hatásokra reagálva valamilyen állapotba kerül. Ezt az állapotot a külső hatások jellegének megfelelő jellemzővel adjuk meg, és állapotjellemzőnek nevezzük. Az S állapotjellemző lehet skalár-, vektor- vagy tenzormennyiség. A teherviselő szerkezetek legfontosabb állapotjellemzői a terhelés, az igénybevétel, a feszültség, elmozdulás, alakváltozás, stb. Ugyanakkor minden állapotjellemzőhöz tartozik egy olyan határérték, amelynél nagyobbat a szerkezet az erőtani követelmények megsértése nélkül nem tud felvenni. Ezt az R-rel jelölt mennyiséget az adott állapotjellemző korlátjának nevezzük. A szerkezet valamelyik állapotjellemzőjének korlátja hasonló szerkezeteken végzett kísérleti vizsgálattal vagy geometriai alakjából, méreteiből, anyagának tulajdonságaiból, rugalmasságtani vagy egyéb mechanikai módszerekkel elméletileg is meghatározható. Az erőtani méretezés alapelve első megközelítésben nyilvánvalóan az lehet, hogy a szerkezet akkor felel meg az erőtani követelményeknek, ha a tervezett élettartam alatt a vizsgált állapotjellemző kisebb, mint a neki megfelelő korlát, illetve határesetben éppen egyenlőek: S ≤ R .

4.1

Az erőtani méretezés folyamata három részre bontható: 1) A terhelő erők és hatások felvétele, meghatározása. 2) A szerkezet sztatikai illetve számító modelljének felvétele és megoldása. 3) Az első két pont alapján számított állapotjellemzők és megfelelő korlátok összehasonlítása. E három ponthoz kapcsolódó feladatok, illetve ezek megoldási módszereinek, pontosabban a műszaki mechanika, a valószínűségszámítás, a matematikai statisztika, az anyagvizsgálati módszerek és a terhekkel kapcsolatos megfigyelések fejlődése következtében a (4.1) reláció két mennyiségének meghatározása újabb és egyre pontosabb eljárásokat dolgoztak ki. Az erőtani méretezést a megoldandó feladat jellegétől függően tervezésnek vagy ellenőrzésnek szokták nevezni. A tervezés az a méretezési feladat, mikor a szerkezetre ható terhek és az előre megválasztott anyagminőség ismeretében meg kell határozni a (4.1) reláció egyenlőségi feltételének felhasználásával a szerkezet elemeinek geometriai - általában keresztmetszeti - méreteit. Ellenőrzéskor már minden erőtani mennyiség adott (vagy azért, mert már megépített szerkezetről van szó, vagy mert a keresett mennyiséget korábbi gyakorlati tapasztalatok alapján vették fel) és csupán a (4.1) reláció fennállását kell kimutatni. A tervezés és az ellenőrzés erőtani méretezésnek csupán formai és nem elvi különbségét jelentik. Matematikai szempontból pusztán arról van szó, hogy az alaprelációt milyen formában használjuk. Számítástechnikailag különösen összetett keresztmetszetű elemeknél, pl. vasbetonnál, réteges felépítésű szerkezeteknél - az ellenőrzés általában könnyebben elvégezhető. 4.1. Az erőtani méretezés fejlődése

120

Az ember építőtevékenysége több ezer éves múltra tekint vissza, ugyanakkor erőtani méretezésről egészen a XVIII. sz. végéig beszélni nem lehet. E hosszú történelmi szakaszban a már meglévő és épen maradó építmények geometriai méreteinek utánzásával, esetleg kismértékű változtatásával építkeztek. Természetesen a legtöbb probléma akkor merült fel, mikor a korábbiakhoz képest új, addig nem alkalmazott szerkezettel próbálkoztak. Ebben az időszakban az épület tervezője és kivitelezője ugyanaz a személy volt, aki az építkezés minden szakaszában napról-napra folyamatosan figyelte a teherviselő szerkezet viselkedését, s ha kellett, módosította, korrigálta annak erőjátékát. A tudatos méretezés, tehát az a folyamat, mikor a szerkezet geometriai méreteit előzetes elméleti megfontolások alapján választották meg, akkor indult el, mikor kialakultak az első anyagvizsgálatok (Hooke) és kidolgozták a legegyszerűbb teherhordó szerkezeteket, a rudak mechanikai, szilárdsági viselkedésének alapjait (Navier). A műszaki mechanika ezt követő gyors fejlődése, eredményeinek kísérleti igazolása, az anyagvizsgálatok elterjedése, a különböző anyagfajták mechanikai jellemzőinek széles körű kutatása megteremtette az alapját és lehetőségét az elméleti és matematikai szempontból helyes méretezési alapelvek kidolgozásának. A méretezés egyik alapvető problémáját az jelenti, hogy a (4.1) relációban szereplő mennyiségek nem határozhatók meg egyértelműen. A tervezés során a szerkezet még nem létezik, így terhei, gyártásának és szerelésének körülményei, geometriai felépítése, anyagának tulajdonságai, viselkedése tökéletes pontossággal nem ismertek. Mind az állapotjellemző, mind korlátja csak hasonló, korábbi szerkezetekkel és anyagokkal kapcsolatban végzett mérések és megfigyelések segítségével becsülhető meg. Ez azt jelenti, hogy S és R valószínűségi változó, melyet statisztikai jellemzőkkel adhatunk meg. E változók sűrűségfüggvényének ismeretében meghatározható a mennyiségek várható értéke, szórása és egyéb statisztikai jellemzői, illetve, hogy mekkora valószínűséggel várhatók a középértéktől eltérő tulajdonságok. A problémát az is nehezíti, hogy S és R mint valószínűségi változók az időnek is függvényei. A 4.1. ábrán bemutatjuk az állapotváltozó és korlátjainak (fiktív, de lehetséges) időbeli változását a tervezett T élettartam alatt.

121

4.1. ábra Ha S és R időbeli változását pontosan ismernénk, akkor az erőtani méretezés igen egyszerű lenne. A szerkezet akkor nem felel meg az erőtani követelményeknek, ha a két függvény metszi egymást. A 4.2. ábrán felvázoltuk az állapotjellemző és korlátjainak sűrűségfüggvényét a tetszőleges t pillanatban. Könnyen beláthatjuk, hogy bár az S(t) é s R(t)

várható értékekre

a (4.1) reláció teljesül, de a sűrűségfüggvények egymásba érnek, akkor bizonyos valószínűséggel várható, hogy egyedi esetekben az erőtani követelmény nem lesz kielégítve. Az időben változó sűrűségfüggvények meghatározásához igen nagyszámú kísérleti adatra van szükség. Az ezzel kapcsolatos problémák az összehasonlítás formáit és lehetőségeit eleve megszabják. 4.1.1. Egységes (osztatlan) biztonsági tényezős méretezési eljárás Az erőtani tervezés hatósági szabályozásának kezdeti szakaszán vezették be az ún. egységes (osztatlan) biztonsági tényezős eljárást. A számítás során azt kell kimutatni, hogy az állapotjellemzőnek az építmény teljes élettartama alatt fellépő maximumának várható (közép-) értéke nem haladja meg a megfelelő korlát minősítési (normatív) értékének γ e biztonsági tényezővel osztott értékét:

S≤

Rn = Re γe

4.2

ahol

S - az állapotjellemzőnek az élettartam során fellépő legkedvezőtlenebb értéke, Rn - az állapotjellemzőnek megfelelő korlát ún. minősítési (normatív) értéke, általában az 5 %os kedvezőtlen oldali valószínűzégi szinthez tartozó küszöbérték, ami azt jelenti, hogy Rn-nél kisebb érték előfordulásának valószínűsége 5 %, γ e - biztonsági tényező, 1-nél mindig nagyobb,

122

Re - a korlát ún. megengedett értéke, az állapotjellemző jellegétől függően megengedett teher, megengedett igénybevétel, megengedett feszültség, megengedett alakváltozás, stb. (ezért az eljárást megengedett feszültségen alapuló méretezésnek is nevezik).

4.2. ábra A biztonsági tényező értékét elvileg valószínűségelméleti alapon lehet meghatározni. A módszer bevezetésekor - a kísérleti adatok hiányában - becsült, illetve tapasztalati úton származ-

123

tatott tényezőket használtak. A műszaki mechanika fejlődése és az anyagvizsgálatok elterjedése a biztonsági tényező csökkenését vonja maga után. Az ezzel a módszerrel meghatározott méretek biztonságosak voltak, de nem lehetett megmondani, hogy egyben gazdaságosak-e. Ez a mértezési módszer volt használatos 1950-ig minden országban, sőt sok helyen ma is ezt alkalmazzák. Az egyes országok előírásai csak a terhelő erők és hatások, valamint a biztonság mértékében különböztek és különböznek. A módszerrel szemben felmerült legfontosabb kifogás az, hogy a biztonsági tényezőt egyetlen helyen - az Re számításánál - alkalmazza, ami azt jelenti, hogy mindenféle teherhez és hatáshoz ugyanakkora biztonságot rendel. Az állapotjellemzők számításához szükséges hatások azonban különböző pontossággal határozhatók meg. Nyilvánvalóan gazdaságtalan ugyanakkora biztonsági tényezőt alkalmazni egy olyan hatáshoz, amelyet viszonylag pontosan (kis tévedési valószínűséggel) lehet számításba venni (ilyen pl. az önsúly), mint egy olyanhoz, amely csak nagy tévedési lehetőséggel kezelhető (pl. a szélteher, hóteher, stb). E kifogás ellenére az egységes biztonsági tényezős méretezési eljárás hazánkban is érvényben van. Elsősorban a gépipari szerkezetek méretezésénél alkalmazzák, ahol a terheket és hatásokat viszonylag nagy pontossággal meg lehet határozni. 4.1.2. Osztott biztonsági tényezős méretezési eljárás A méretezés elmélet fejlődésének második állomása az osztott biztonsági tényezős eljárás. Abból indul ki, hogy amennyiben a szerkezetet több, eltérő jellegű és szórású hatás éri, akkor az állapotjellemző meghatározásánál mindegyikhez különböző, bizonytalanságának megfelelő nagyságú biztonsági tényezőt lehet alkalmazni. Természetesen a korlátoknak is külön biztonsági tényezője van. A méretezés alaprelációja:

∑γ i

i

Si ≤

Rn = RH, γn

4.3

ahol

S i - az építmény várható élettartama alatt fellépő i-edik hatás maximumának várható értéke, γ i - az i-edik hatás biztonsági tényezője,

γ n - a korlát minősítési értékének biztonsági tényezője, RH - a korlát határértéke, az állapotjellemző jellegétől függően, határigénybevétel, határfeszültség, határalakváltozás, stb. (ezért az eljárást határállapotra való méretezésnek is nevezik). A módszer az összes kedvezőtlen körülményt a saját helyén vesz figyelembe. A biztonsági tényezők értékét részben tapasztalati úton, részben - megfelelő kísérleti adatok birtokában statisztikai módszerekkel határozzák meg. Itt már alkalmaznak bizonyos valószínűségelméleti

124

megfontolásokat is, különösen az anyagokat jellemző határfeszültségek értékeinek megállapításánál. Hazánkban 1950 után Korányi Imre és Menyhárd István javaslatára vezeték be - a világon elsőként - ezt a módszert, határállapot alapján történő méretezés néven. Ilyen módon kellett méretezni az építőipari szerkezetek többségét. 4.1.3. Valószínűségelméleti alapon történő méretezési eljárás Az erőtani méretezés legmodernebb megfogalmazása valószínűségelméleti alapon történik. Tegyük fel, hogy ismerjük az S(t) állapotjellemző és R(t) korlátjának f[S(t)] és f[R(t)] sűrűségfüggvényét a létesítmény teljes élettartama alatt (4.2/a,b ábra). Akkor adott időpillanatban a teherbírási tartalék Y(t) = R(t) - S(t), melynek sűrűségfüggvénye f[Y(t)]. E sűrűségfüggvénynek (4.2/c ábra) a negatív abszcisszatengelyhez tartozó görbe alatti területe (az ábrán sraffozott terület) annak valószínűsége, hogy a vizsgált időpillanatban S(t) > R(t). A terület tehát az erőtani követelmény megszűnésének valószínűségét adja, másként fogalmazva, a tönkremenetel kockázatát, melyet 1/K-val jelölünk. A valószínűségelméleten alapuló erőtani méretezés azt mondja ki, hogy a kellő biztonságot a leggazdaságosabban úgy lehet elérni, ha a tönkremenetel kockázata egy (hatóságilag) előírt kockázatnál nem nagyobb, illetve határesetben azzal egyenlő: 4.4 melynek Kelőírt értékét gazdasági számításokkal kell indokolni. Vizsgálni kell a határállapot elérésével keletke-ző kárt, a helyreállítás költsége-it, az elmaradt hasznot és egyéb tényezőket. A 4.3. ábrának megfelelően a meghibásodás valószínűségének (a kockázat) növekedésével csökken a létesítési költség, a szerkezet meghibásodásából, tönkremenete4.3. ábra léből keletkező költség viszont nő. Ez, legalábbis elméletileg, lehetővé teszi a komplex költségek és az ehhez tartozó Kelőírt meghatározását.

Kazinczy G. már 1942-ben ismertetett egy

125

valószínűségelméleten alalpuló, általános méretezéselméleti elképzelést, mely szerint a törés valószínűségét normális eloszlás feltételezésével lehet számítani és a szerkezetet úgy kell méretezni, hogy a létesítmény hozama - a karbantartást és felújítást is beleszámítva - optimális legyen. (4.4) számításra alkalmas formájára Mistéth E. az alábbi relációt javasolta*: P[(R(t) - S(t)) ≤ 0 ] ≤

1 , K

0≤t≤T ,

4.5

szavakkal kifejezve, a szerkezet kielégíti az erőtani követelményeket, ha a tervezett élettartam alatt a teherbírási tartalék kimerülésének valószínűsége egy előre megadott 1/K kockázatnál nem nagyobb. (4.5)-ből következik, hogy a méretezésnél a létesítmény élettartamát mindig figyelembe kell venni, valamint azt is, hogy tökéletes biztonsággal megépített szerkezet nincsen, mindig kell valamekkora kockázatot vállalni. A kockázat nagysága a 4.3. ábrának megfelelő módon számítható vagy hatóságilag előírható. A létesítmény fontosságától és a méretezés céljától függően 1/K értéke 2.10-2 és 10-5 között változhat. Ennek a méretezési alapelvnek a gyakorlati alkalmazását a statisztikai adatok hiánya jelenleg még nem teszi lehetővé. Egyedül Mistéth dolgozott ki olyan eljárást, amelyben (4.4) reláció igazolásához nincs szükség a sűrűségfüggvényekre, elegendő a valószínűségi változók várható értékének, szórásának, ferdeségének és csúcsosságának ismerete. A valószínűségelméleten alapuló méretezés szellemét azonban jól tükrözi a hazánkban jelenleg érvényes magasépítészeti méretezési előírás, az ún. fél-valószínűségi módszerrel kiegészített határállapot alapján történő méretezés. Ez abból a feltételezésből indul ki, hogy a tönkremenetel kockázata az S(t) és R(t) mennyiségek sűrűségfüggvényeinek ismerete nélkül is megállapítható, ha azok várható értéke helyett, az Sn-nel és Rn-nel jelölt minősítési (normatív) értéket vesznek alapul, amelyek az állapotjellemzők és korlátjainak kedvezőtlen oldali 5 %-os túllépési valószínűséghez tartozó küszöbértékei. 4.2. A Magyarországon hatályos méretezési eljárások Hazánkban jelenleg az egységes biztonsági tényezős, az ún. megengedett feszültségen alapuló méretezési eljárást, valamint az osztott biztonsági tényezős és a valószínűségelméleten alapuló módszer kombinációjaként kialakított - nem túl szerencsés nevű - fél-valószínűségi módszerrel kiegészített határállapot alapján történő méretezési eljárást (a "fél" szócska nyilvánvalóan arra utal, hogy az erőtani számítás bizonyos elemeit már valószínűségelméleti alapon kell számítani) engedélyezik, illetve teszik kötelezővé a hatósági előírások. * Meg kell említenünk, hogy a méretezési alapelvek és eljárások kidolgozásában a magyar kutatók és tudósok mindig kezdeményező és vezető szerepet játszottak. Legfontosabb képviselőik: Korányi I., Menyhárd I., Kazinczy G., Kármán T., Mistéth E. és mások.

126

4.2.1. Megengedett feszültségen alapuló méretezési eljárás A méretezés során azt kell kimutatni, hogy a szerkezet tervezett élettartama alatt a külső erők legkedvezőtlenebb fellépésének várható értéke alapján számított állapotjellemző egyetlen pontban sem éri el a megfelelő korlát megengedett értékét (4.2 reláció) A megengedett érték a minősítési érték γ e biztonsági tényezővel való osztása útján nyerhető, illetve az előírások szabják meg. Természetesen nem kell a szerkezeti elemek összes pontjában elvégezni az összehasonlítást, szemlélet és egy kis gyakorlat alapján kiválaszthatók azok az ún. veszélyes vagy kritikus pontok, amelyek az erőtani követelmények kielégítése szempontjából a legveszélyesebbek. Ezzel az eljárással a leggyakrabban vizsgált állapotjellemző a feszültségi állapot. Meghatározzuk a szerkezet kritikus pontjában a tényleges feszültségi állapot komponenseiből valamilyen - a vizsgált anyagra alkalmazható - a tönkremeneteli elmélettel az egyenértékű feszültséget és összehasonlítjuk az anyag megengedett feszültségével. A pont a szilárdsági követelmények szempontjából megfelel, ha

σ e g y , m a x ≤ σ (Mh ú z á )s .

4.6/a

Lineáris feszültségi állapotban (húzásnál vagy nyomásnál) és a tiszta nyírás feszültségi állapotában nem szoktak egyenértékű feszültséget számítani, hanem a feszültségi állapot egyetlen jellemző feszültségének maximumát hasonlítják össze az igénybevételnek megfelelő feszültség megengedett értékével. A

σ (mh aúzxá s ) ≤ σ (mh úz á s ) ,

4.6/b

nyomá s) s) σ (max ≤ σ (nyomá , m

4.6/c

τ m ax ≤ τ mm ,

4.6/d

relációk teljesülése a szilárdsági követelmény kielégítését jelenti. Sztatikus (I. típusú) terhelésnél, rideg anyagok esetén a megengedett feszültségeket a törőszilárdság minősítési értékéből számítjuk:

σ

( húzá s ) m

σ (Bhhúzá s) = , γe

σ

(nyomá s) m

s) σ (nyomá Bh = , γe

τm =

τ Bh , γe

4.7

szívós anyagoknál a folyáshatár minősítési értékét alkalmazzuk:

σ

( húzá s) m

s) σ (Fhhúzá s) σ (nyomá (nyomá s) Fh = , σm = , γe γe

τm =

τ Fh . γe

4.8

127

Lüktető (II. típusú) terhelésnél az igénybevétel jellegének megfelelő kifáradási határ minősítési értékéből számítjuk a megengedett feszültségeket:

σ

( lüktet ő ) m

ő) σ (lüktet Th = , γe

τm

ő) τ (lüktet Th = γe

.

4.9

Lengő (III. típusú) terhelésnél szintén az igénybevétel jellegének megfelelő kifáradási határ minősítési értékéből számítjuk a megengedett feszültségeket:

σ (mleng ő ) =

ő) σ (leng Th , γe

τm =

τ (Thlengő) γe

.

4.10

Végezhetünk számításokat természetesen más állapotjellemzőkre is, pl. alakváltozásra, rezgésekre, stb. Az alaprelációk formailag megegyeznek a (4.6) kifejezésekkel. A tervező számára a legtöbb gondot a biztonsági tényező meghatározása okozza. Ha kicsi, akkor szélsőséges körülmények között a szerkezet tönkremehet, túl nagynak választva pedig a szerkezet túlméretezetté válik, aminek kellemetlen gazdasági következményei lehetnek. A biztonsági tényezőben igyekeznek mindazon hatásokat figyelembe venni, amelyekre nincs megbízható adat vagy számítási módszer. A gyakorlati tapasztalatok alapján a legtöbb szerkezettípusra, anyag- és teherfajtára kialakult a biztonsági tényező, vagy ezen keresztül a megengedett állapotjellemző, amiket általában hatóságilag írnak elő. Ennek hiányában azt a módszert szokták alkalmazni, hogy az egyes bizonytalanságokat résztényezőkkel becsülik meg és a végleges biztonsági tényező ezen résztényezők szorzata:

γ e = γ 1 γ 2 γ 3 γ 4 ... ,

4.11

ahol pl. γ 1 - a szerkezet méretszóródásából adódó résztényező (1,04 - 1,1),

γ 2 - a szerkezeti anyagok szilárdsági tulajdonságainak szóródásából adódó résztényező (1,05) γ 3 - az igénybevétel nagyságának bizonytalanságából származó résztényező (1,2 - 2,0), γ 4 - az alkalmazott számítóeljárás pontatlanságából származó résztényező, hiszen már korábban utaltunk arra, hogy viszonylag egyszerű alakú és terhelésű testek rugalmassági problémáit sem tudjuk teljes pontossággal megoldani, a biztonsági tényező nagyságát a számítás közelítő jellegének mértékében kell felvenni. További tényezőket jelenthetnek a szerkezet vagy valamelyik elemének rendeltetése, fontossága, a gyártási, szerelési technológia megbízhatósága, stb. A fenti módszert azonban nagy körültekintéssel kell alkalmazni, mert γ e -re túl nagy érték adódhat. Valószínűségi alapon ugyanis belátható, hogy a felsorolt tényezők kedvezőtlen hatásának egyidejű fellépése meglehetősen ritka. A magyar szabványok a legtöbb szerkezet esetén előírják a biztonsági tényező értékét, sőt legtöbbször a megengedett állapotjellemzők nagyságát is.

128

Érdekes módon hazánkban nemcsak a gépekben előforduló szerkezeti elemek, hanem a közúti és vasúti hidak erőtani méretezését is ezzel a módszerrel kell elvégezni. 4.2.2. Fél-valószínűségi módszerrel kiegészített határállapot alapján történő méretezési eljárás Ezzel a módszerrel kell méretezni a magas- és mélyépítészeti szerkezeteket 1986. június 1-je, a szabványsorozat hatálybalépése óta. "Az építmények teherhordó szerkezetei erőtani tervezésének általános előírásai" c. szabvány azonosító jele MSZ 15020-86. A figyelembe veendő terhekkel és hatásokkal az MSZ 15021/1,2-86, a különböző típusú szerkezetekkel a növekvő sorszámú szabványok foglalkoznak. A faszerkezetekre vonatkozó előírásokat az MSZ 15025-86 tartalmazza. 4.2.2.1. Erőtani számítás Erőtani számítással kell igazolni, hogy a tervezett teherhordó szerkezet egésze és annak minden lényeges eleme mind az építés, a kivitelezés, mind pedig a rendeltetésszerű használat során a tervezett élettartam alatt megfelel az erőtani követelményeknek, és nem teszi lehetetlenné a kapcsolódó szerkezetekre érvényes erőtani követelmények kielégítését sem. Az erőtani követelményeket két alapvető szempont szerint kell megfogalmazni. Egyrészt meg kell tiltani azoknak a mechanikai, fizikai jelenségeknek, szerkezeti elváltozásoknak, meghibásodásoknak a fellépését, amelyek a szerkezet használatát, terv szerinti működését akadályozzák vagy lehetetlenné teszik. Másrészt mérlegelve a meghibásodás elkerüléséhez fűződő érdekeket, az esetleges kárt, a felhasználandó erőforrások nagyságát, meg kell állapítani a megbízhatósági szintet, amelyen a létesítmény gazdaságosan tervezhető és kivitelezhető. Az első szempont az erőtani követelmények fizikai, mechanikai, a második pedig a valószínűségelméleti oldala. A valószínűségelméleti megfontolások alkalmazása, különösen annak tudomásul vétele, illetve elismerése, hogy bármely kis valószínűséggel is, de előfordulhatnak a tönkremeneteli követelményeket nem kielégítő szerkezetek, főleg olyan esetekben, mikor a meghibásodás nem valamilyen elháríthatatlan természeti katasztrófa, hanem emberi tevékenység, mulasztás idézi elő, sok ember számára elfogadhatatlan. Ez a tervezési szemléletmód azonban nem engedi meg, csak objektív realitásként figyelembe veszi a szerkezetgyártás, a kivitelezés és az építmény használata során elkövetett, de nem megengedett és büntetendő emberi hibák és fegyelmezetlenség előfordulási gyakoriságára vonatkozó tapasztalatokat. Az elviselhető költségek erejéig a teherhordó szerkezetbe beépíti, betervezi a védekezés tartalékait, tehát azt a lehetőséget és képességet, hogy a szerkezet kisebb mértékű, de egyébként meg nem engedett mulasztások még ne hozzák használhatatlan vagy nehezen használható állapotba.

129

Az erőtani követelményeket az eltérő biztonsági igények alapján két nagy csoportba sorolják: a) A teherbírással kapcsolatos követelmények: Az építmény teherhordó szerkezetének tönkremenetelét okozó károsodás nélkül kell hordania a reá ható terheket és el kell viselnie a külső hatásokat. b) A használhatósággal kapcsolatos követelmények: Ne forduljanak elő az építmény rendeltetésszerű használatát nehezítő vagy korlátozó, fenntartását zavaró és tartósságát, tervezett élettartamát csökkentő jelenségek. E követelmények kielégítését a tervezés során csak az előírt biztonsággal kell igazolni, ugyanakkor az elkészült szerkezettől korlátozások, engedélyek nélkül el lehet, el kell várni. Valamely erőtani követelmény kielégítése igazoltnak tekinthető, ha a vizsgált állapot mértékadó jellemzője (igénybevétele, feszültsége, elmozdulása, stb.), amelyet a határállapot bekövetkezését elősegítő terhek és hatások előírt kedvezőtlen értékeiből kell számítani, nem nagyobb, mint a határállapot megfelelő jellemzője (határigénybevétele, határfeszültsége, határelmozdulása stb.), amelyet az ellenállóképességet növelő szerkezeti paraméterek ugyancsak előírt kedvezőtlen értékei alapján kell meghatározni. Képletben: SM ≤ RH .

4.12

4.2.2.2. A szerkezet határállapotai A határállapotok azok az állapotok, amelyek túllépésekor a teherhordó szerkezet már nem elégíti ki az erőtani követelményeket. Az erőtani követelményeknek megfelelően ezek is két csoportok alkotnak: a) Teherbírási határállapotok: Azok a határállapotok, amelyek túllépése a szerkezet teherbírásának megszűnéséhez és/vagy tönkremeneteléhez vezetnek: - a helyzeti állékonyság megszűnése, - bármilyen jellegű törés, - a képlékeny alakváltozás megindulása, - az alaki állékonyság (stabilitás) megszűnése, mindazon állapotok, amelyeknél az első repedés megjelenése, az anyag folyása, a kapcsolatokban kialakuló elmozdulások vagy maródó alakváltozások halmozódása miatt a szerkezet rendeltetésszerűen tovább már nem használható. b) Használati határállapotok: Azok a határállapotok, amelyek túllépése megnehezíti a szerkezet rendeltetésszerű használatát, vagy a tervezetthez képest lerövidíti az élettartamot: - a rendeltetésszerű használatot korlátozó vagy kellemetlen élettani hatást okozó alakváltozások, elmozdulások, lengések, rezgések, stb. keletkezése, figyelembe véve az pontokat is,

esztétikai szem-

130

- a repedések megengedettnél nagyobb mértékű megnyílása, - az alaki állékonyság helyi elvesztése, ha az nem vezet a szerkezet teherbírásának kimerüléséhez. A határállapot bekövetkezése vagy túllépése rendszerint véletlen jelenség, amelynek előfordulását egyfelől a véletlen módon kialakuló és ingadozó terhek és hatások, másfelől a véletlen módon létrejövő és esetleg változó szerkezeti ellenállóképesség befolyásolja. 4.2.2.3. A határállapotok jellemzői A határállapot megítélése szempontjából a szerkezet - anyagainak mechanikai, fizikai tulajdonságai és - geometriai méreteit kell ismerni és úgy kell megválasztani a szerkezet sztatikai vázát, illetve a számítási modellt, hogy azok jól tükrözzék az építmény várható viselkedését és tényleges vagy valószínű erőjátékát. A szerkezet geometriai jellemzőit a terv szerinti, becsült várható értékkel kell figyelembe venni. Az anyagjellemzőket, mint véletlen változókat az erőtani vizsgálatokban előforduló valószínűségük adott szintjéhez rendelhető értékkel kell alkalmazni. Ezek: - a minősítési (normatív) érték, az az érték, amelynél kedvezőtlenebb tényleges előfordulását az anyagonként változó előírások szabályozzák. E minősítési értéket általában az 5 %-os kedvezőtlen oldali túllépési szinthez szokták rendelni. - határérték, amely az anyagjellemzőnek a minősítési értéktől való kedvezőtlen eltérését is figyelembe veszi egy bizonyos - ésszerű - határig. A határértéket a minősítési értékből egy előírt biztonsági tényezővel való osztással kapjuk. Erről a határértékről feltételezik, hogy kedvezőtlen irányú túllépése csak 1 o/oo-es eséllyel fordulhat elő. Ha ismert a jellemző sűrűségfüggvénye, akkor - a biztonsági tényező használata helyett - eleve az 1 o/oo-es kedvezőtlen oldali valószínűségi szinthez tartozó küszöbértéket tekintjük határértéknek. A teherbírási követelmények kielégítésének ellenőrzésekor mindig az anyagok szilárdsági jellemzőinek határértékét, a határfeszültséget kell számításba venni. Ezek nagyságát a vonatkozó szabványok tartalmazzák. 4.2.2.4. Terhek és hatások Az építmények teherhordó szerkezeteinek erőtani számítása során a következő terheket kell figyelembe venni: 1) Állandó terhek, melyek a szerkezet saját súlyából és a szerkezeten véglegesen és állandóan működő egyéb terhekből és hatásokból adódnak.

131

2) Esetleges terhek, melyek nevüknek megfelelően nem mindig hatnak. Ezeket is több csoportba soroljuk: a) Hasznos terhek, melyek közös jellemzője, hogy az építmény rendeltetésszerű használatának következtében lépnek fel, a szerkezet létesítésének célja éppen ezeknek a terheknek a hordása: - födémek, lépcsők, járdák hasznos terhei, - tárolók hasznos terhei, - darupályák hasznos terhei, - egyéb hasznos terhek. b) Meteorológiai terhek, melyek az építmények rendeltetésétől függetlenül légköri, illetve a közvetlen környezet hatása következtében szükségszerűen hatnak a szerkezetre: - hóteher, - szélteher, - a hőmérsékletváltozás hatása. c) Rendkívüli terhek, melyeket a rendeltetésszerű használat során bekövetkezett súlyos üzemzavar vagy katasztrófális következményű természeti események idéznek elő: - robbanás hatása, - vezetékszakadás hatása, - járművek ütközésének hatása, - földrengés hatása, - földcsuszamlás, lavina hatása, - egyéb rendkívüli terhek. d) Egyéb esetleges terhek, melyek csoportjába az előzőekben nem érintett, sajátos körülményekből adódó terhek sorolhatók: - porteher, - jégteher. A számítások során az egyes terhek az előfordulási valószínűségek meghatározott szintjéhez rendelt kétféle nagyság valamelyikével fordulnak elő: - alapérték, amely a szerkezet élettartama alatt bekövetkező maximális teher várható értéke, - szélső érték, amely az alapértéktől való kedvezőtlen eltérés bizonyos korlátozott lehetőségét is figyelembe veszi. Megbízható statisztikai adatok hiányában elfogadható, hogy az alapérték - állandó terhek esetén a terv szerinti méretekkel és az átlagos térfogatsúly- vagy súlyadatokkal számítható teherérték, - technológiai feltételekkel vagy előírásokkal korlátozott esetleges terhek esetén a rendeltetésszerűen lehetséges vagy megengedett teherérték. A szélső értéket általában az alapérték és a teherhez rendelt biztonsági tényező szorzata adja. A szélső értékről feltételezzük, hogy megegyezik a kedvezőtlen oldali 5 %-os túllépési

132

valószínűséghez tartozó értékkel. Ismert sűrűségfüggvényű teher esetén is ez utóbbi módon definiáljuk. Az egyes szerkezetek tervezésére vonatkozó, szabványokba foglalt, a teher alap- és szélső értékével, illetve a biztonsági tényezővel kapcsolatos előírások a gondosan tervezett, szokványos módon gyártott és kivitelezett, átlagos jelentőségű, normális körülmények között üzemelő és végleges jellegű építményekre vonatkozó követelményeknek felelnek meg. Ezektől eltérő feltételek számításbavétele a következő módosítási tényezők szolgálnak: - dinamikus tényező, mellyel az esetleges terhek alap- és szélső értékét kell módosítani, ha a teher dinamikus hatását nem veszik pontosabb számítással figyelembe, - egyidejűségi tényező, amellyel az esetleges terhek alap- és szélső értékeit kell módosítani akkor, ha a szerkezet fennállási ideje alatt valamely teherfajta egyidejű fellépése a szerkezet több helyén (nagyobb szakaszán vagy felületén), vagy több teherfajta egyidejű hatása valamely szerkezeti elemen kevéssé valószínű, - rendeltetési tényező, mellyel az egész építmény átlagostól eltérő jelentősége, illetve élettartama vehető figyelembe. 4.2.2.5. Az állapotjellemzők mértékadó értékei A szerkezet vizsgált állapotának mértékadó jellemzőit (mértékadó teher, mértékadó igénybevétel, mértékadó feszültség, mértékadó alakváltozás, stb.) az SM = G + F1 +

∑α F i

i

4.13

i

általános összefüggésnek megfelelő csoportosítással kell meghatározni. A mértékadó teher - és ebből számítható az összes többi állapotjellemző mértékadó értéke - elvileg mindazon terhek összege, amelyek együttes előfordulásának valószínűsége kb. 1 %. Statisztikai adatok hiányában a G állandó teherhez hozzá kell adni a legnagyobb hatást okozó esetleges terhet, az F1-gyel jelölt ún. kiemelt esetleges terhet, a többi esetleges tehernek már csak az egyidejűleg várható értékét szabad hozzáadni. Ha a mértékadó tehercsoportosításban több esetleges teher is van, akkor a mértékadó terhelés szempontjából legkedvezőtlenebb terhet kell kiemelni és teljes értékkel számításba venni, a többi esetleges terhet pedig az egyidejűségi tényezővel kell szorozni. Az egyidejűségi tényező értéke:

α = 0,8 - tárolt anyagok súlyából származó esetleges terheknél, - darupályák hasznos terheinél,

133

- minden hasznos tehernél akkor, ha annak az előírás szerint meghatározható tartósan ható része eléri

alapértékének legalább 50 %-át;

α= 0 - a rendkívüli terhek esetén, kivéve, ha kiemelt teherként szerepel;

α = 0,6 - minden egyéb esetben. Általában nincs szükség arra, hogy (4.13) használatakor az összes lehetséges tehercsoportosítást megvizsgáljuk (bár gépesített számításnál ezt teszik), többnyire szemlélet alapján eldönthető, hogy melyik terhet kell kiemeltként kezelni. Bonyolult terhelési esetekben is legfeljebb csak néhány lehetőséget kell kipróbálni ahhoz, hogy a legnagyobb igénybevételt eredményező csoportosítást megtaláljuk. A teherbírási határállapotok vizsgálatakor - kivéve a fáradási határállapotot -, valamint a vonatkozó szabványok esetenként előírt egyéb vizsgálatokban a terheket szélső értékükkel kell figyelembe venni. A használati határállapotok és a vonatkozó szabványokban előírt egyéb vizsgálatok során a terheket alapértékükkel kell számításba venni. Az állandó és esetleges terhek alapértékeit és biztonsági tényezőit a szabvány előírásai szerint kell felvenni. A mély- és magasépítészeti szerkezetekkel foglalkozó szabványsorozatnak csak az általános, a szemléletet bemutató ismérveivel foglalkoztunk. Valamely szerkezet erőtani méretezéséhez a vonatkozó szabvány konkrét előírásait, adatait kell figyelembe venni.

5. Rudak rugalmasság- és szilárdságtana Rúdnak akkor nevezzük a térbeli kiterjedésű testet, ha két geometriai mérete a harmadikhoz képest lényegesen (legalább egy nagyságrenddel) kisebb. A hosszabb mérettel párhuzamos irányra merőleges síkmetszet a rúd keresztmetszete. A keresztmetszetek geometriai középpontjai (súlypontjai) alkotják a rúd középvonalát (tengelyét). A középvonal alakja szerint beszélhetünk egyenes és íves (görbe) tengelyű rudakról. Keresztmetszetük alapján megkülönböztetünk állandó és változó keresztmetszetű rudakat. Prizmatikus rúdnak (gerendának) nevezzük azt az egyenes tengelyű rudat, melynek keresztmetszete állandó. Az egyenes tengelyű rudak voltak az első testek, melyeket rugalmasságtani és szilárdságtani szempontból tudományos alapossággal vizsgáltak. Ezeknek a viszonylag egyszerű alakú testeknek a kísérleti és elméleti vizsgálata - melyet elemi rugalmasság- és szilárdságtannak nevezünk teremtette meg az alapját a 2. fejezetben tárgyalt rugalmasságtannak. Az elemi rugalmasság- és szilárdságtan eredményei - annak ellenére, hogy sok közelítő feltevést alkalmaznak - a műszaki

134

gyakorlatban ma is alkalmazhatók. A rugalmasságtan alapegyenleteinek felhasználásával nyert megoldások legfeljebb csak pontosították, de nem vonták kétségbe a prizmatikus rudak egyszerűbb, de a gyakorlat számára nagyon fontos terhelési esetekben az elemi szilárdságtan sokszor egészen egyszerű szemléleten alapuló eredményeit. Sztatikai tanulmányainkban megismertük a tetszőleges térbeli külső erőrendszerrel terhelt rúd keresztmetszeteiben fellépő igénybevételeket. A legáltalánosabb esetben ezek a húzás, nyomás, a nyírás, a hajlító- és a csavarónyomaték. Ha az igénybevételek közül csak egy nem nulla, akkor tiszta, egyébként összetett igénybevételről beszélünk. 5.1. A keresztmetszetek jellemzői A rugalmasságtani számítások során szükség van a keresztmetszetek különböző jellemzőire. A legfontosabb jellemzők érdekes módon egyetlen általános képletbe foglalhatók: An =

∫x

n

dA , n = 0,1,2,...

5.1

A

ahol dA - a keresztmetszet síkjából kiválasztott, elemi nagyságú terület (5.1. ábra), x - a területelem y tengelytől mért távolsága. Az (5.1) definíció a következőt jelenti: A síkidomot felosztjuk tetszőleges alakú, de nagyon kicsi területelemekre, az egyes területelemek nagyságát megszorozzuk a vonatkoztatási tengelytől mért távolságnak egy tetszőleges számú (de az egész síkidomra ugyanakkora) hatványával és az összes lehetséges szorzatot összegezzük. Az (5.1) kifejezésnek az n = 0,1,2 esetben van nagy gyakorlati jelentősége: n=0

∫x

0

dA = ∫ dA = A

A

A

a síkidom területét kapjuk. n = 1:

∫x A

1

dA =

∫ xdA

= Sy ,

A

ami a sztatikában már megismert elsőrendű vagy sztatikai nyomaték. n = 2:

∫

x 2 dA = I y y

,

A

melyet a síkidom y tengelyre vonatkozó másodrendű 5.1. ábra.

nyomatékának nevezünk.

135

5.1.1. Síkidomok másodrendű nyomatéka Az 5.1. ábra jelöléseivel többfajta másodrendű nyomatékot is definiálhatunk: - tengelyre vonatkozó másodrendű nyomaték:

I yy =

∫

y 2dA

,

I xx = ∫ x 2 dA ,

A

5.2/a

A

- két, egymásra merőleges tengelyre vonatkozó, ún. deviációs vagy centrifugális másodrendű nyomaték:

I y x = ∫ yxdA = ∫ xydA = I xy A

5.2/b

A

- pontra vonatkozó vagy poláris másodrendű nyomaték:

I0 =

∫r

2

dA .

5.2/c

A

A definíciók alapján beláthatjuk, hogy a tengelyre és a pontra vett másodrendű nyomaték csak pozitív mennyiség lehet. A deviációs nyomaték értékére ilyen megkötés nincs. Síkidomok másodrendű nyomatékának dimenziója távolság a negyedik hatványon, egy4

sége: m . A másodrendű nyomatékot - a sztatikai nyomatékhoz hasonlóan - a definíció megfelelő képleteinek alkalmazásával lehet számítani olyan matematikai átalakítások bevezetésével, amelyek lehetővé teszik az integrálás konkrét kivitelezését. Néhány alapvető síkidom (téglalap, háromszög, kör, stb.) másodrendű nyomatékának ismeretében, valamint a másodrendű nyomatékokra vonatkozó tételek felhasználásával viszonylag egyszerűen - az alapdefiníció felhasználása nélkül - számíthatjuk bonyolult, összetett síkidomok másodrendű nyomatékait. 5.1.2. A másodrendű nyomaték tételei Tétel: Egy síkidom valamely tengelyre, pontra vagy tengelyekre vonatkozó másodrendű nyomatéka egyenlő részeinek ugyanazon tengelyre, pontra vagy tengelyekre vonatkozó másodrendű nyomatékainak összegével (összegzési tétel). 5.2. ábra Bizonyítás: A másodrendű nyomaték definíciója lehetővé teszi a következő műveletsort (5.2. ábra):

136

n

k

I xx = ∫ y 2 dA = ∑ y 2 dA i = ∑ y 2 dA i + i =1

A

i =1

l

n

i = k +1

i= m

∑ y 2 dA i +...+ ∑ y 2 dA i =

p

5.3

= I xx1 + I xx 2 + ...+ I xxp = ∑ I xxi . i =1

A tétel helyességét hasonlóan bizonyíthatjuk a másik két fajta másodrendű nyomatékra is. A síkidomot természetesen tetszőleges alakú részidomokra bonthatjuk. A felbontás célja azonban éppen az, hogy a részidomok másodrendű nyomatékait könnyen meghatározhassuk. Tétel: Egy síkidom tengelyre, pontra vagy tengelyekre vonatkozó másodrendű nyomatéka egyenlő egy alkalmasan kiegészített síkidom és a kiegészítés ugyanazon tengelyre, pontra vagy tengelyekre vett másodrendű nyomatékainak különbségével (kiegészítési tétel). Bizonyítás: Az összegzési tétel matematikai kifejezésének átrendezésével éppen a tétel állítását igazolhatjuk: Ixx(eredeti) = Ixx(kiegészített) - Ixx(kiegészítés) .

5.4

Tétel: Ha a síkidom egyes részeit a vonatkoztatási tengellyel párhuzamo-san eltoljuk, a tengelyre vett másod-rendű nyomaték változatlan marad. 5.3. ábra Bizonyítás: A tengellyel való párhuzamos eltolás sem a részsíkidom területét, sem annak tengelytől mért távolságát nem változtatja meg. Így az összegzési tétel szerint az egész síkidom tengelyre vonatkozó másodrendű nyomatéka az eltolás következtében nem változik. Az 5.4. ábrán látható különböző alakú, de mindig aszéles5.4. ábra

ségű síkidomok x tengelyre vonatkozó másodrendű nyomatékai megegyeznek.

Tétel: Egy síkidom pontra vonatkozó másodrendű nyomatéka egyenlő a ponton átmenő két, egymásra merőleges tengelyre vett másodrendű nyomaték összegével. Bizonyítás: Az 5.1. ábra szerint r2 = x2 + y2, így

I0 =

∫ r dA 2

A

=

∫ (x A

2

+ y2 )dA =

∫ x dA + ∫ y dA 2

A

2

A

= I xx + I yy .

5.5

137

Tétel: Egy síkidom valamely tengelyre vonatkozó másodrendű nyomatékát megkapjuk, ha a síkidom súlypontján átmenő, az adott tengellyel párhuzamos tengelyre vonatkozó másodrendű nyomatékához hozzáadjuk a síkidom területének és a két tengely közti távolság négyzetének szorzatát (Steiner-tétel). 5.5. ábra Bizonyítás: Az 5.5. ábra jelöléseivel:

I xx =

∫y

2

dA =

A

∫(η

+ t y ) 2 dA =

A

= ∫ η dA + 2 t y ∫ ηdA + t 2

A

A

∫(η

2

+ 2 η t y + t 2 )dA =

A 2 y

,

2 ∫ dA = I ξξ + At y

5.5/a

A

hiszen az utolsó előtti egyenlőség második tagjának integrálkifejezése nulla, mert az a síkidom súlyponton átmenő tengelyre vonatkozó elsőrendű nyomatéka. A tételt Steiner-tételnek nevezik, jóllehet, több, mint száz évvel korábban Huygens vezette le először. Hasonlóan bizonyíthatjuk a deviációs és a pontra vonatkozó másodrendű nyomatékok analóg tételeit. A deviációs nyomatékokra:

I xy = I ξη

+ At x t y ,

5.5/b

a poláris nyomatékokra:

I 0 = I S + At r2 = I S + A(t 2x + t 2y ) , 5.5/c ahol IS - a súlypontra számított poláris másodrendű nyomaték, I ξη - pedig a súlyponti tengelyekre vonatkozó deviációs nyomaték, tx, ty - a súlyponti tengelyek és a velük párhuzamos tengelyek közötti előjelhelyes távolság, tr - a súlypont és a vonatkoztatási pont távolsága. A tétel jelentősége abban áll, hogy elegendő ismerni a síkidomok másodrendű nyomatékát a saját súlypontjukon átmenő tengelyre vagy tengelyekre, minden más tengelyre a 5.6. ábra

másodrendű nyomaték a tétel alkalmazásával

138

számítható. Az (5.5/a,c) összefüggések alapján megállapíthatjuk, hogy a tengelyre vagy a pontra vonatkozó másodrendű nyomatékok közül a súlyponton átmenő tengelyekre, illetve a súlypontra vonatkozók a lehető legkisebbek. Még egyszer hangsúlyozzuk, hogy a Steiner-tétel csak akkor alkalmazható, ha a két párhuzamos tengelyrendszer közül az egyik súlyponti. Egy nem súlyponti tengelyrendszerről egy másik nem súlypontira csak közvetve, a súlypontin keresztül lehet eljutni. Tétel: Egy síkidom deviációs nyomatéka nulla, ha a két vonatkoztatási tengely közül legalább az egyik szimmetriatengely. Bizonyítás: Az 5.6. ábrának megfelelően az egymáshoz képest szimmetrikus elhelyezkedésű területelemek elemi deviációs nyomatéka az egyik koordinátapár ellentétes előjele miatt egymásnak ellentettjei: xydA + (-x)ydA = 0 . A teljes szimmetria miatt minden területelemnek megtalálható a párja, így az egész síkidom deviációs nyomatéka is nulla. Tétel: Egy síkidom x,y tengelyrendszerre vonatkozó I xx , I yy és I xy = I yx másodrendű nyomatékai egy két dimenziós, szimmetrikus tenzort alkotnak, melynek mátrixreprezentációja:

 I xx T I =  − I xy  0

[ ]

− I yx I yy 0

0 0 . 0

5.6

Bizonyítás: Tudjuk, hogy a tenzormennyiségnek az a kritériuma, hogy a koordinátarendszer forgatásakor meghatározott módon, a (2.7) összefüggésnek megfelelően transzformálódik. Vegyünk fel egy x',y' jelű koordinátarendszert, amely az eredeti x,y-hoz képest α szöggel van elforgatva. A β i , i iránycosinuszok (2.8)-nak megfelelő mátrixa:

 cos α sin α 0 β i, i = − sin α cos α 0 .    0 0 1 Ez alapján, de az 5.7. ábra felhasználásával is meghatározhatjuk a dA felületelem vesszős koordinátarendszerbeli koordinátáit: x' = xcos α + ysin α , y' = -xsin α + ycos α . 5.7. ábra Az x' tengelyre vonatkozó másodrendű nyomaték definíciója értelmében:

139

I x'x' =

∫y

'2

∫ (-xsinα

dA =

A

= sin α 2

+ ycosα ) 2 dA =

A

∫x

2

dA - 2sin α cosα

A

∫ xydA

+ cos 2 α

A

∫y

2

dA =

5.7/a

A

= I xx cos 2 α + I yy sin 2 α - I xy sin 2 α vagy a kétszeres szögek felhasználásával:

I xx I I I cos 2 α + xx cos 2 α + xx sin 2 α - xx sin 2 α + 2 2 2 2 I yy I yy I yy 2 I yy + sin 2 α + sin 2 α + os α cos 2 α - I xy sin 2 α = 2 2 2 2 I xx + I yy I xx - I yy = + cos 2 α - I xy sin2α 2 2

I x'x' =

5.7/b

Hasonló módon vezethetjük le az y' tengelyre vonatkozó és a deviációs másodrendű nyomatékot:

∫ x'

I y'y' =

2

dA =

A

∫ (xcos α + ysin α )

2

dA =

A

= I xx sin 2 α + I yy cos 2 α + I xy sin 2 α = I xx + I yy

=

-

I xx - I yy

2 = ∫ x' y' dA =

I x'y' =

2

cos2 α + I xy sin2 α 2 ∫ (xcosα + ysinα )(-xsinα + ycosα )dA = A

A

I xx - I yy

5.8

5.9

sin2α + I xy cos2α

Egyszerűen ellenőrizhetjük, hogy a (2.7) általános transzformációs összefüggést a fenti speciális koordináta-transzformációra alkalmazva, éppen az (5.7), (5.8) és (5.9) kifejezéseket kapjuk. A másodrendű nyomatékok tehát valóban (5.6)-nak megfelelő tenzormennyiséget alkotnak. A tenzormennyiségekre vonatkozó általános ismereteinket a másodrendű nyomatékok tenzorára is alkalmazhatjuk. Ha bevezetjük az x' és y' irányok e x' és e y' egységvektorait, akkor az előbbi, meglehetősen bonyolult skalárösszefüggéseket lényegesebben egyszerűbben felírhatjuk a (2.10) összefüggések analógiájára:

I x'x' = (T I e x' )e x' I y'y' = (T I e y' )e y' I x'y' = ( TI e x' )e y' = ( TI e y' )e x' = I y'x' .

5.10

140

A másodrendű nyomatékok tenzora síkbeli, így a síkbeli alakváltozási és feszültségi tenzorokkal kapcsolatban tett megállapítások és összefüggések alkalmazhatók értelemszerűen. A különböző tenzorok mátrixát összehasonlítva azonnal látjuk, hogy a tengelyre vett másodrendű nyomatékoknak a fajlagos hosszváltozások, illetve a normálfeszültségek, a deviációs nyomatékok mínusz egyszeresének pedig a szögváltozások illetve a nyírófeszültségek felelnek meg. Az analógiából az is következik, hogy a koordinátarendszer forgatása során lesz egy olyan α szög, amelyhez tartozó irányokban a deviációs nyomatékok értéke nulla. Ezeket a tengelyeket másodrendű nyomatékok főirányainak nevezzük, a hozzájuk tartozó, tengelyekre vett nyomatékokat pedig fő másodrendű nyomatékoknak. Ezek értékét a karakterisztikus egyenletből számíthatjuk, melynek invariáns együtthatói:

T1 = I xx + I yy = I 0

 I xx T2 =   -I xy T3 = 0 .

- I yx  = I xx I yy - I 2xy , I yy 

Az alakváltozási állapot vizsgálatánál bemutatott módszer helyett a másodrendű főirányokat és a hozzájuk tartozó fő nyomatékokat skalárisan megszorozhatjuk az (5.7)-(5.9) összefüggés felhasználásával. A főirány helyzetét megadó α szöget (5.9)-ből számíthatjuk, ha azt egyenlővé tesszük nullával:

tg2 α =

2I xy I xx - I yy

.

5.11

E szöget visszahelyettesítve az (5.8), (5.9) kifejezésekbe megkapjuk a fő másodrendű nyomatékokat:

I1,2 =

[

]

1 (I xx + I yy ) ± (I xx - I yy ) 2 + 4I 2xy . 2

5.12

A fő másodrendű nyomatékok elnevezésénél az

I1 ≥ I 2 relációt kell figyelembe venni. A deviációs nyomatékokra vonatkozó tétel értelmében a szimmetrikus síkidomok egyik főtengelye a szimmetriatengely. A másik főirány erre merőleges, akkor is, ha ez a merőleges irány nem szimmetriatengely. I1 és I2 ismeretében megrajzolhatjuk a Mohr-féle főköröket is. Gyakorlati jelentősége

csak az 012 középpontú főkörnek van. A főkör felhasználásával tetszőleges α szöggel jellemzett irányhoz megszerkeszthetjük a tengelyre vonatkozó és a deviációs nyomatékokat (5.8. ábra). A szerkesztő eljárás arra is alkalmas, hogy az x,y rendszerben ismert másodrendű nyomatékok ismeretében meghatározzuk a főirányok helyzetét és a fő másodrendű nyomatékokat. Az analógiából és a szerkesztésből is következik, hogy valamely síkidom adott ponton átmenő

141

összes lehetséges tengelye közül az 1-es főtengelyre a legnagyobb, a 2-esre pedig a legkisebb a másodrendű nyomaték.

5.8. ábra 5.1.3. Egyéb keresztmetszeti jellemzők Egy A területű síkidom valamely y tengelyre vonatkozó Ixx másodrendű nyomatékának ismeretében a következő hosszúság jellegű mennyiséget definiálhatjuk:

ix =

I xx A

5.13

amit a síkidom x tengelyre vonatkozó inerciasugarának nevezünk. Ez hosszúság dimenziójú mennyiség, egysége: m. Az inerciasugár egy olyan képzeletbeli, végtelen hosszú és elemi szélességű téglalap hossztengelyének az x vonatkoztatási tengelytől mért távolsága, melynek területe éppen az eredeti síkidom területe. E képzeletbeli síkidom másodrendű nyomatéka az y tengelyre a definíció értelmében Ixx = Ai2x, ebből éppen (5.13)-at kapunk (5.9. ábra).

5.9. ábra A fő másodrendű nyomatékok felhasználásával (5.13)-ból a fő inerciasugarakat kapjuk. A korábbiaknak megfelelően

142

i max = i 1 =

I1 A

, i min = i 2 =

I2 A

.

5.14

A másodrendű nyomatékokkal kapcsolatos jellemző az ún. keresztmetszeti tényező is. Ez nem más, mint a síkidom súlypontján átmenő fő tengelyekre vonatkozó nyomatékoknak és a síkidom ezen tengelyektől mért legszélső távolságának, a szélső száltávolságnak a hányadosa. Minden síkidomnak négy keresztmetszeti tényezője van. Általános esetben mind a négy különböző (5.10. ábra), egyszeresen szimmetrikus idomnál kettő, kétszeresen szimmetrikus idomnál négy azonos (a szélső száltávolságot mindig pozitív mennyiségként értelmezzük):

K1 =

I1 , e1

K '1 =

I1 , e '1

K2 =

I2 , e2

K '2 =

I2 e'2

5.14

Hasonló módon értelmezzük a poláris keresztmetszeti tényezőt, amely a síkidom súlypontjára számított poláris másodrendű nyomaték és síkidom súlypontból mért legszélső szálának hányadosa:

KS =

IS e max

.

5.10. ábra 5.2. Húzó és nyomó igénybevétel 5.2.1. Prizmatikus rúd tiszta húzása vagy nyomása Terheljünk egy L hosszúságú, A keresztmetszet-területű prizmatikus rudat véglapjain hossztengelyével párhuzamos (z irány) hatásvonalú, q intenzitású, egyenletesen megoszló erőrendszerrel (5.11. ábra). A tetszőlegesen felvett K keresztmetszetben ébredő igénybevételek:

N K = N(z) = N = ∫ qdA = q ∫ dA = qA = á ll. A

A

TK = T(z) = 0 , MK = M(z) = 0 . Az igénybevétel tehát a rúd minden keresztmetszetében N nagyságú tiszta húzás.

143

Az elemi rugalmasságtan az alakváltozási és feszültségi állapotmező meghatározását a rúd alakváltozásának elemzésével kezdi. Ha a terheletlen rúd felületén az 5.11/a,b. ábrának megfelelően bejelöljük a derékszögű hálózatot, azt tapasztaljuk, pontosabban az alakváltozás mérésére alkalmas műszerekkel megállapíthatjuk, hogy a terhelés hatására az elemi téglalapoknak csupán az élhosszai változnak meg, az élszögek azonban továbbra is derékszögek maradnak. A z tengellyel párhuzamos élek megnyúlnak, a z-re merőlegesek pedig megrövidülnek. Az is megállapítható, hogy a hosszváltozások nagysága az elemi téglalap helyétől függetlenül mindig ugyanakkora és a K keresztmetszet az alakváltozás során önmagával párhuzamosan tolódik el.

5.11. ábra A fenti alakváltozási tulajdonságok alapján a rúdban felvett, tetszőleges x,y,z koordinátájú elemi hasáb alakváltozási állapota az

ε xx ≠ 0 , ε yy ≠ 0 , ε zz ≠ 0 ε xy = ε yx = ε

xz

és

= ε zx = ε yz = ε zy = 0

alakváltozási komponensek jellemzők. Az általános Hooke-törvényből következik, hogy a feszültségi állapot nyírókomponensei nullával egyenlők, a fajlagos hosszváltozásokat pedig normálfeszültségek okozzák. A z irányú normálfeszültséget az 5.11/c. ábrán látható ∆z hosszúságú

144

rúdelem egyensúlyi feltétele alapján meghatározhatjuk. Mivel εzz a keresztmetszet minden pontjában ugyanekkora, a σzz normálfeszültség eloszlását is egyenletesnek vehetjük. A z irányú egyensúlyi vetületi egyenlet:

∑F

z

= 0 = N-

∫σ

zz

dA ,

A

mivel

σ zz nem függ a területelem helyétől, kiemelhető az integráljel elé:

N = σ zz

∫ dA

= σ zz A ,

A

ahonnan:

σ zz =

N A

.

A σ zz feszültségkomponensből származó belső erő a terhelésből származó igénybevétellel egyensúlyi erőrendszert alkot, nincs szükség a másik két normálfeszültségre:

σ xx = σ yy = 0 . Tiszta húzáskor az egyetlen feszültségkomponens tehát a húzóerővel (rúdtengellyel) párhuzamos normálfeszültség, melynek eloszlása a keresztmetszeten egyenletes és nagysága a húzóigénybevétel és a keresztmetszet területének hányadosa. A feszültségi állapot mátrixa:

0 0 0   0  . Tσ = 0 0  N 0 0 σ zz = A 

[ ]

Homogén, izotróp anyagú rúdnál a feszültségi állapot alapján az általános Hooketörvénnyel megkapjuk az alakváltozási állapot tenzorának mátrixát:

ν  ε xx = − E σ zz  Tε =  0   0 

[ ]

0

ε yy = − 0

   0   1 = σ zz   E 0

ν σ zz E ε zz

,

ahol E és ν - az anyag rugalmassági modulusza és Poisson-tényezője. Mivel minden pontban ugyanazok az állapotok uralkodnak, homogén alakváltozási és feszültségi állapotmezőről beszélünk. Az 5.12. ábrán a két állapotot elemi hasábon is ábrázoltuk. Ezek 5.12. ábra

alapján vagy a tenzorok mátrixa alap-

145

ján megállapít-hatjuk, hogy a feszültségi állapot lineáris az alakváltozási állapot pedig térbeli. A nyíró-feszültségek és a szögváltozások hiánya egyben azt jelenti, hogy a főirányok egybeesnek a koordinátarendszer tengelyeivel. Ha a külső terhelés értelmét megfordítjuk (és a rúd nem túl hosszú), akkor a rúd igénybevétele tiszta nyomás. A fentiekben leírtakhoz képest különbség csak N előjelében lesz, ami maga után vonja az összes alakváltozási és feszültségi komponens előjelének megváltozását. Jól szemléltetik a húzás és nyomás közti különbséget az 5.13. ábrán látható feszültségi és alakváltozási Mohr-körök.

5.13. ábra Nyomó igénybevételnél azért kell korlátozni a rúd hosszát, mert L >> vmin esetén, az ún. karcsú rudaknál a növekvő terhelésnél stabilitási problémák lépnek fel. A karcsú rudak a teljes tönkremenetel (törés) előtt jelentősen megváltoztatják alakjukat, kihajlanak, s ilyenkor a keresztmetszetek már összetett igénybevételnek vannak kitéve. A karcsú rudak vizsgálatával később foglalkozunk. Tiszta nyomást tételezhetünk fel egészen a tönkremenetelig, ha a rúd hossza nem nagyobb a legkisebb keresztmetszeti méret kb. 5-szörösénél. A Mohr-féle feszültségi főkörök alapján könnyen megállapíthatjuk, hogy a rúd hossztengelyével α szöget bezáró normálisú síkon a normálfeszültség mellett nyírófeszültség is fellép (5.14. ábra). Ezek nagysága az 5.13. ábra feszültségi főkörének felhasználásával:

σnn = σ1cos2α ,

σnm = σ1sinαcosα.

A ferde metszeteken a normálfeszültség mindig kisebb, mint a merőleges metszeteken. Ezt a tulajdonságot használjuk ki húzott szerkezeti elemek hossztoldásánál, ha a kapcsolóanyag (a hegesztési varrat vagy a ragasztóanyag) húzószilárdsága kisebb, mint az összekapcsolandó ele-

146

meké, ugyanakkor megfelelő nagyságú nyírószilárdsággal rendelkezik. Ezt az elvet tükrözik a ferde átlapolású (5.15/a. ábra) és az ún. bigézett (fűrészfogas) kötésű (5.15/b. ábra) csomóponti kialakítások.

5.14. ábra

5.15. ábra Az L hosszúságú rúd teljes hosszváltozását a fajlagos hosszváltozás teljes rúdhosszra való összegzésével nyerjük: L

L

u z = λ = ∫ ε zz dz = 0

∫ 0

σ zz dz = E

L

∫ 0

L

N N NL . dz = dz = ∫ EA EA 0 EA

5.17

előjele N előjelétől függ. A fenti kifejezés nevezőjében található EA szorzatot a rúd húzó- (nyomó-) merevségének nevezzük. A keresztmetszet síkjában egy tetszőleges irányban az eredeti v méret megváltozása (5.16. ábra):

5.16. ábra

147

V

λk =

V

∫ ε k dξ = ε k ∫ dξ = ε k v = − 0

0

ν Nv σ zz v = − ν E EA

5.18

Húzásnál csökken, nyomásnál növekszik a keresztmetszeti metszet. Lineárisan rugalmas testet feltételezve a belső erők potenciális energiája és a kiegészítő potenciális energia megegyezik. A ∆ z hosszúságú rúdelemben felhalmozott energiát a (2.76)-os öszszefüggésből a dV = Adz helyettesítéssel nyerjük:

dU b = d U b =

1 1 1 1A 2 2 σ ij ε ij Adz = σ zz ε zz Adz = AE ε zz dz = σ zz dz ∑ 2 ij 2 2 2 E

5.19

Az L hosszúságú rúdban felhalmozott potenciális energia : L

1 A 2 1 AL 2 1V 2 1 N 2L . U b = U b = ∫ d U = ∫ σ zz dz = σ zz dz = σ zz = b 20 E 2 E 2 E 2 EA

5.20

A saját munkák tétele szerint ennek meg kell egyeznie a külső erők saját munkájával. Az (2.121) összefüggés alapján:

U b = W kS =

1 1 NL 1 N 2 L qA λ = N = 2 2 EA 2 EA

Ha N-t a jobb oldali rúdvégen ható külső erők eredőjeként értelmezzük, akkor Castigliano II. tételének alkalmazásával meghatározhatjuk az N hatásvonalával párhuzamos elmozdulást ( (2.119)-es kifejezés):

uN = uz

1 N 2L ∂ ~  2 EA  ∂U b ∂U b  = NL , = = =  ∂N ∂N ∂N EA

ami természetesen megegyezik (5.17)-tel. Ha a rúdvégeken ható külső erő tetszőleges megoszlású, de sztatikailag egyenértékű a vizsgált, egyenletesen megoszló erőrendszerrel, akkor a St. Venant-elv értelmében csak a rúdvégek közelében - a keresztmetszeti mérettel kb. azonos távolságon - lesz az alakváltozási és feszültségi állapot a tárgyalthoz képest eltérő. Tetszőleges terhelés esetén a rúdvégek közelében kialakuló állapotmező meghatározása elemi eszközökkel már nem lehetséges, sőt a rugalmasságtan alapegyenleteinek alkalmazásával is meglehetősen bonyolult feladat, amely a speciális terhelési e-setekben csak közelítéssel oldható meg.

148

Az 5.17. ábrán a koncentrált erővel húzott rúd feszülségeloszlását láthatjuk a rúdvégtől különböző távolságban felvett keresztmetszetekben.

5.17. ábra 5.2.2. Változó keresztmetszetű rudak húzása és nyomása Ha a rúd keresztmetszete változik - de a keresztmetszetek súlypontjai továbbra is egyenest alkotnak -, az előző fejezetben megismert feszültségi állapot bonyolultabbá válik és az elemi rugalmasságtan eszközeivel már nem tárgyalható. A változó keresztmetszetű szakasz pontjaiban a húzó vagy nyomó igénybevétel hatására térbeli feszültségi állapot keletkezik. A hossztengelyre merőleges metszeteken a σ zz normálfeszültség mellett σ zy és σ zx nyírófeszültségek is ébrednek, sőt a rúdtengellyel párhuzamos metszeteken is fellépnek - a nyírófeszültség-komponensek mellett - normálfeszültségek. Ha a keresztmetszet változása kismértékű és folytonos (nem ugrásszerű), akkor a gyakorlat számára kielégítő pontosságú, ha a feszültségi állapot

σ zz

feszültségkomponensét a tiszta húzásnak vagy

nyomásnak

megfelelő

ösz-

szefüggéssel számítjuk: 5.18. ábra

σ zz (z) =

N A(z)

5.21

és a többi feszültségkomponenst elhanyagoljuk. Az enyhén változó keresztmetszetű rúd hosszának megváltozását a ∆z hosszúságú elemi szakaszok hosszváltozásának összegzésével kapjuk: L

λ =

N

∫ E A (z) dz

5.22

0

amelyben elvileg az N igénybevétel is változhat a hossztengely mentén, azaz N = N(z). A felhalmozott rugalmas energia a külső erők saját munkájával kifejezve ((5.19) felhasználásával):

149

L

L

1 A(z) 1 N 2 (z) ~ U b = U b = W kS = ∫ σ zz ( z ) dz = ∫ dz 20 E 2 0 EA(z)

.

5.23

Ha a keresztmetszet lényegesen és ugrásszerűen változik, akkor a keresztmetszet bizonyos részein a normál-feszültségkomponens igen nagy értéket vehet fel. E feszültségcsúcsok majdnem mindig az alkatrész felületén, illetve ennek közelében ébrednek, és nagyságuk a felület görbültségétől, a lekerekítési sugártól függ. A feszültséggyűjtő helyek legnagyobb feszültsége csak hosszadalmas rugalmasságtani számítással vagy kísérlettel határozható meg. Már számos ilyen vizsgálatot végeztek és ezek eredményeit a műszaki gyakorlat számára egyszerű formában igyekeztek általánosítani. A különböző keresztmetszet-gyengítési esetekben fellépő feszültség maximumát az ún. alaktényezővel számíthatjuk:

σ zz,max = ασ

5.24/a

zz,né vleges

ahol a névleges normálfeszültséget a normáligénybevétel

és

keresztmetszetterület

a

tényleges

hányadosaként

számítjuk (mintha tiszta húzás vagy nyomás lenne). Hasonló elven kapjuk az y irányú normálfeszültség maximumát:

σ yy,max =

βσ zz,né vleges

5.24/b

α és β a gyengítés jellegétől, illetve annak

geometriai

Értéküket diagramok

műszaki

méreteitől

függ.

táblázatok

vagy

tartalmazzák.

Általános

alapelvként csak annyit jegyezzünk meg, 5.19. ábra hogy minél kisebb a lekerekítési sugár, annál nagyobbak a feszültségcsúcsok, ezért az alkatrészek tervezésénél mindig kerülni kell az éles bevágásokat, sarkokat. Az 5.19. ábrán bemutatjuk a σ zz és σ yy normálfeszültségek eloszlásának jellegét két különböző gyengítési esetben. 5.2.3. Nyomott felületek érintkezési feszültségei Ha két test érintkezési felülete síknak tekinthető és ezen a felületen a tiszta nyomásnak megfelelő körülmények uralkodnak (ilyenek általában a különböző gép- és épületalapozások), akkor az érintkezés keresztmetszetében, az alaptest és a támasztófelület felszínén ébredő nor-

150

málfeszültségeket a központosan ható nyomóigénybevétel és a nyomott felület hányadosaként számítjuk (5.20. ábra). Ha a két test érintkezése nem sík felület mentén, hanem különböző sugárral jellemezhető görbült felületi

pont(ok)ban

történik,

akkor

az

ún.

érintkezési feszültségek eloszlása már nem lesz egyenletes

és

mind

az

eloszlás,

mind

a

normálfeszültségek nagysága a görbületi sugaraktól függ

(5.21.

ábra).

E

problémakör

elméleti

vizsgálatával H. Hertz fog-lalkozott. Csuklós, csavarozott, szegecselt, szegezett kapcsolatok, kötések elemeiben az érintkezési felületeken 5.20. ábra

- ami mindig egy fél hengerpalást – nyomófeszültségek lépnek fel. A fenti kapcsolatok mechanikai szempontból az 5.22. ábrán látható módon

általánosíthatók.

A

fél

hengerpaláston ébredő normálfeszültségek megoszlása

meglehetősen

bonyolult,

számításuk körülményes, ezért a műszaki gyakorlatban egy fiktív, ún. palástnyomó feszültséget számítanak. Ennek nagyságát a kapcsolatra ható normálerőnek és egy fiktív felületnek,

a

tényleges

érintkezési

pa-

lástfelületnek a normálerő hatásvonalára me5.21. ábra

rőleges síkra vett vetületének hányadosaként határozzuk meg:

σ p,max =

N A vetület

=

N dv

,

5.25

ahol d - a csap, szegecs, stb. átmérője, v - a palástfelület magassága. 5.2.4. Húzott és nyomott rudak önsúlyának figyelembevétele Függőleges helyzetű, egyenes tengelyű rudakban az önsúly húzásra vagy nyomásra veszi igénybe az egyes keresztmetszeteket. Az önsúly a rúd hossza mentén megoszló terhelésként vehető figyelembe.

151

5.2.4.1. Önsúlyával terhelt húzott rúd Vizsgáljunk egy L hosszúságú, A keresztmetszet-területű,

ρ sűrűségű prizmatikus

rudat az 5.23. ábrának megfelelő, felfüggesztett helyzetben, és határozzuk meg a saját súlya hatására keletkező normálfeszültségek maximumát és teljes megnyúlását. Tetszőleges keresztmetszet igénybevétele a keresztmetszet alatti rúdrész súlyával egyenlő: N(z) = A(L-z)ρg ,

5.22. ábra ahol g - a nehézségi gyorsulás. A z koordinátájú keresztmetszet valamelyik pontjában a normálfeszültség:

σ zz (z) =

N(z) = (L - z) g A

.

Azonnal látszik, hogy a legnagyobb normáligénybevétel s így a legnagyobb normálfeszültség a felfüggesztési pontban keletkezik, a z = 0 helyen:

N max = ALρ g ,

σ zz,max = Lρ g .

Ha a rúd anyagának húzószilárdsága f+ =

σ +B , akkor az a hosszúság, amelynél a saját súlya alatt elszakad:

L max = 5.23. ábra

σB ρg

,

152

ez az ún. szakadási hossz, ami az anyag minőségére jellemző mennyiség, hiszen nem függ a rúd keresztmetszeti méreteitől. A rúd teljes megnyúlását, a z elemi hosszúságú szakaszok megnyúlásának összegzésével kapjuk: L

λ=

∫ 0

N(z) dz = EA

L

∫ 0

( L − z )ρ g ρg ρ gL2 ρ gL2 A 1 GL . dz = ( L − z ) dz = = = E E ∫0 2E 2 EA 2 EA L

A rúd tehát saját súlya hatására akkora megnyúlást szenved, mintha a rúdvégeken koncentrált erőként saját súlyának fele hatna. 5.2.4.2. Egyenletes szilárdságú húzott és nyomott rúd Egyenletes szilárdságúnak nevezzük a húzott vagy nyomott rudat, ha a (nem ugrásszerűen) változó N = N(z) normáligénybevétel mellett keresztmetszetének geometriai méretei (területe) úgy módosulnak, hogy minden pontjában ugyanolyan feszültségi állapot, illetve z irányú normálfeszültség ébred. Az 5.2.1. pontban tárgyalt prizmatikus rúd egyenletes szilárdságú, ez az eset azonban speciális, mert a normáligénybevétel s ennek megfelelően a keresztmetszet-terület is állandó. Vizsgáljunk egy nyomott rudat (oszlopot), melynek felső, szabad, A0 keresztmetszetterületű végén q intenzitású, egyenletesen megoszló teher hat. A rúd anyagának ρ sűrűségét is figyelembe véve határozzuk meg, hogyan változzon keresztmetszetének területe, hogy egyenletes szilárdságú legyen. Válasszunk ki az 5.24. ábrán vázolt oszlopból a z koordinátájú helyen egy ∆z hosszúságú elemet. Ha kikötjük, hogy a keresztmetszet csak kis mértékben változik, akkor az elemi tartódarab keresztmetszetein ható normálfeszültséget a tiszta nyomás feltételezésével számíthatjuk.

5.24. ábra

5.25. ábra

153

A legfelső keresztmetszetben ébredő normálfeszültség:

σ zz = σ 0 =

qA 0 N = = q , A0 A0

az egyenletes szilárdság követelménye miatt, minden keresztmetszetben 0-val kell egyenlőnek lennie a normálfeszültségnek. A z irányú vetületi egyensúlyi egyenlet az alábbi alakot ölti:

∑F

iz

= 0 = σ 0 A(z) - σ 0 A(z + ∆z) + ρgA(z) ∆z .

Innen:

A(z + ∆z) - A(z) = ρgA(z) . ∆z

σ0

Mindkét oldalra alkalmazva a ∆z → 0 határátmenetet a

σ

0

d A (z ) = ρ g A (z ) dz

differenciálegyenletet kapjuk. Megoldása:

∫

d A (z ) = A (z )

ρg

∫σ

d z,

0

ln A (z ) =

ρg z+ A∗ σ0

Az A* integrálási állandót a z = 0, A = A0 kerületi feltételből határozhatjuk meg: A* = lnA0 . Ennek belyettesítésével megkapjuk a keresztmetszet-terület z tengely menti változását:

 ρg  A(z) = A 0 exp  z . σ0  A keresztmetszet-terület tehát exponenciálisan növekszik. Ha a keresztmetszet kör, akkor az előző összefüggés felhasználásával a sugár változását egyszerűen meghatározhatjuk (5.25/a. ábra):

 ρg  r( z ) = r0 exp z .  2σ 0  Az "egyenletes szilárdságú oszlop" elvét a természet is ismeri. A növények függőleges szárai, főleg a zárt állományban növő, hajlításnak kevésbé kitett fatörzsek közelítőleg ilyen alakot vesznek fel. Ez a sudarlósságnak nevezett törzsalak annál inkább szembetűnő, minél nagyobb a fa anyagának sűrűsége. Mesterségesen kialakított oszlopoknál az exponenciális összefüggést követő rúdalak készítése túlságosan költséges lenne, ezért inkább azt a megoldást választják, hogy az 5.25/b. ábrának megfelelően a nyomott oszlopot állandó keresztmetszetű, véges prizmatikus rudakból rakják össze, úgy, hogy azok kívülről érintsék az elméleti tartóalakot.

154

5.2.5. Összetett keresztmetszetű rudak A műszaki gyakorlat egyre növekvő igényei és a technikai lehetőségek számos új, speciális szerkezeti anyagot hoztak létre. Ezek általában inhomogén felépítésűek, eleve kettő, vagy több, műszaki tulajdonságú anyagrészből, rétegekből állnak. Köztük a legismertebbek a vasbeton, a különböző szálerősítésű műanyagok, a rétegelt ragasztott faelemek, sőt, ilyen anyagnak tekinthető a korai és késői pászták rétegződésével felépülő természetes faanyag is. Rugalmasságtani szempontból most is a normáligénybevétel hatására keletkező feszültségeloszlást és alakváltozást kell meghatároznunk. Az alakváltozás jellemzésére általában olyan mennyiségeket szoktak bevezetni, amelyek az inhomogén szerkezeti elem tulajdonságait egységes felépítésű, homogénnek tekintett formában írják le. Az összetett szerkezeti felépítésű testek ilyen rugalmas jellemzőit eredő (vagy effektív) rugalmas állandóknak nevezzük. A faipari mérnöki gyakorlatban a réteges szerkezetű, összetett keresztmetszetek fordulnak

elő

legsűrűbben

(furnérlapok,

bútorlapok,

rétegelt

ragasztott

rudak,

stb.).

Normáligénybevételnél az eredő rugalmassági modulusz és az eredő Poisson-tényező jellemzi az alakváltozást. Gyakorlati szempontból két fontos esetet célszerű figyelembe venni. a) A rétegződés a normáligénybevétel hatásvonalával párhuzamos Vegyünk egy, az 5.26. ábrán látható módon, rétegekből összeállított prizmatikus rudat, amelyben az egyes rétegek egymáshoz képest nem tudnak elmozdulni (pl. össze vannak ragasztva). A rétegek száma n, az egyes rétegek keresztmetszetének alakja tetszőleges lehet, a faipari gyakorlatban azonban általában a téglalap keresztmetszet fordul elő. Az i-edik, homogénnek feltételezett réteg geometriai méretei az ábrának megfelelően: vi, s, h, rugalmas állandói: Ei, νi . Hasson a rúd vs területű véglapjain q intenzitású, egyenletesen megoszló húzó (vagy nyomó) erő. Határozzuk meg a rúd eredő rugalmas állandóit és a normálfeszültségek keresztmetszeten belüli megoszlását. A szerkezeti kialakításból és a terhelés jellegéből következik, hogy az egyes rétegekben ébredő normáligénybevételek összege egyenlő a teljes keresztmetszet eredő igénybevételével: n

N = qvs =

∑

n

Ni ,

i =1

ahol v =

∑v

i

5.26

i =1

valamint, az egyes rétegek hosszváltozása megegyezik és egyenlő az egységes egésznek tekintett rúd hosszváltozásával:

λ eredõ = λ i

.

A homogénnek tekintett rúd hosszváltozása:

λ eredõ =

Nh E eredõ A

5.27

155

ezzel egyezik meg az egyes rétegek hosszváltozása:

N ih = λ eredõ . E iA i

λi =

Kifejezve innen Ni-t és (5.26)-ba helyettesítve: n

N = ∑ Ni =

λ

n

∑

i=1

EiA i λ = eredõ h h

eredõ

i =1

n

∑E A i

i

.

i=1

Ha ezt (5.27)-be helyettesítjük, onnan kifejezhetjük az eredő rugalmassági moduluszt:

1 A

E eredõ =

n

∑E

i

Ai

,

5.28/a

i =1

ha a rétegek szélessége azonos:

1 v

E eredõ =

n

∑E

i

vi

.

5.28/b

i =1

Az eredő Poisson-tényezőt abból a feltételből határozhatjuk meg, hogy a teljes harántirányú hosszváltozás az egyes rétegek harántirányú hosszváltozásainak összege:

λk =

n

∑λ

.

ki

5.29

i=1

A homogénnek tekintett rúd keresztirányú hosszváltozása:

N

λ k = v ε k = - ν ered ő v ε zz = - ν ered ő v

,

E eredő A

5.30

míg az i-ediké:

λ ki = v i ε ki = -ν i v i ε zz = - ν i v i

N

.

E eredő A

Ezt (5.29)-be helyettesítve:

λk =

n

∑ -ν v i

i =1

N i

E eredõ A

=-

N E eredõ A

n

∑ν v i

i

,

i =1

majd (5.30)-cal egyenlővé téve kapjuk:

ν eredõ =

1 v

n

∑

νiv i

i =1

Az alakváltozási tenzormező homogén a réteges felépítés ellenére. A feszültségi tenzormező viszont csak egy rétegen belül homogén. A feszültségi állapot lineáris, az i-edik réteg tetszőleges pontjában a feszültségi állapot egyetlen normálfeszültség-komponense:

σ zzi =

Ni EiAi N Ei = λ eredõ = Ai A ih A E eredõ

.

5.32

A maximális feszültség tehát abban a rétegben ébred, amelyiknek a legnagyobb a rugalmassági modulusza. Egy fiktív feszültségeloszlást láthatunk az 5.26/b. ábrán.

156

5.26. ábra b) A rétegződés merőleges a normáligénybevétel hatásvonalára A szerkezeti kialakítás és a terhelés jellegének következtében (5.27. ábra) most minden rétegben azonos nagyságú az igénybevétel: N = Ni=qvs , a teljes hosszváltozás pedig az egyes rétegek hosszváltozásának összege:

λ eredõ =

n

∑λ

i

.

5.33

i =1

A homogénnek tekintett rúd hosszváltozása:

λ eredõ =

Nh E eredõ A

,

5.34

az i-edik rétegé pedig:

λ

i

=

N ih i Nh i = EiA i EiA

.

Ezt (5.33)-ba helyettesítve:

5.27. ábra

157

λ eredõ =

n

∑ i=1

nNh i N = EiA A

n

hi

∑E i=1

,

i

majd (5.34)-gyel egyenlővé téve kapjuk:

1 E eredõ

1 = h

n

hi

∑E i=1

.

5.35

i

Most az eredő Poisson-tényezőt az előzőhöz hasonló módon nem tudjuk értelmezni. Könnyen beláthatjuk, hogy amennyiben az egyes rétegek az x,y síkkal párhuzamosan egymáshoz képest elmozdulhatnának, akkor mindegyik réteg keresztirányú hosszváltozása más lenne. A ragasztás azonban a kapcsolódó felületek elmozdulását megakadályozza, ezért ez az x,y síkkal párhuzamos elmozdulás részben gátolt. A harántirányú elmozdulás nem lesz egyenletes és az eredetileg sík oldalfelületek meggörbülnek, miközben az egyes rétegekben különböző feszültségkomponensek ébrednek. Ennek a mechanikai folyamatnak a leírása már csak a rugalmasságtan alapegyenleteinek alkalmazásával lehetséges. Ha eltekintünk a keresztirányú alakváltozások következményeitől és a gátolt alakváltozás miatt fellépő sajátfeszültségeket elhanyagoljuk, a rúd feszültségi állapotmezejét homogénnak tekinthetjük. A feszültségállapot lineáris, a normálfeszültség nagysága:

Ni N = =q . A i vs

σ zz =

5.36

Az alakváltozási állapotmező csak egy rétegen belül homogén. A z irányú fajlagos hosszváltozás az i-edik rétegben:

ε zzi =

λi Nh i = hi E i Ah i

=

N q = EiA Ei

.

5.37

5.2.6. Erőtani méretezés 5.2.6.1. Megengedett feszültségeken alapuló méretezési módszer Tiszta húzásra vagy nyomásra igénybevett rúd méretezésénél azt kell kimutatni, hogy

σ max ≤ σ m ,

5.37

ahol σmax-ot (5.16)-tal számítjuk. Enyhén változó keresztmetszetű és a hossztengely mentén változó nagyságú normáligénybevételnek kitett rúd esetén a kritikus pontban kell számítani a maximális normálfeszültséget. A kritikus pont abban a keresztmetszetben van, amelyben a

158

normáligénybevételnek és a tényleges, ún. hasznos keresztmetszet-területnek a hányadosa az összes lehetséges közül a legnagyobb. E keresztmetszet pontjaiban

σ max

=

N Ah A kritikus pont helyét sokszor csak próbálgatással lehet meghatározni. Ha a rúd ke-

resztmetszete hirtelen és jelentősen változik, tehát feszültségcsúcsok és összetett feszültségi állapot kialakulásával kell számolnunk, a rúd anyagi minőségének megfelelő feszültségelmélettel egyenértékű feszültséget kell meghatározni. Az összes lehetséges egyenértékű feszültség maximumát - σ egy,max -ot - kell (5.37) bal oldalára helyettesíteni. (5.37) jobb oldalán, a húzásra vagy nyomásra megengedett feszültséget az anyagminőség függvényében táblázatokból választjuk ki. Ha a szerkezeti elem alakváltozásának is korlátai vannak, akkor a

λ té n y le g e s ≤ λ m

5.38

relációnak kell teljesülnie. λ té nyleges -t (5.17)-tel vagy (5.22)-vel számítjuk a keresztmetszet és a normáligénybevétel jellegétől függően. λm nagyságát a szerkezeti elem rendeltetésétől függően szabványos előírások tartalmazzák. Tervezéskor, a leggazdaságosabb megoldást feltételezve, az (5.37) és (5.38) relációk egyenlőségéből indulunk ki, amelyből már a keresztmetszet szükséges területe számítható. A keresztmetszet választott alakja és szükséges területének ismeretében geometriai méretei meghatározhatók. 5.2.6.2. "Fél" valószínűséggel kiegészített határállapot módszer E módszerrel általában azt szoktuk kimutatni, hogy

NM ≤ NH ,

5.39

tehát, hogy a mértékadó normáligénybevétel kisebb, mint a rúd határ húzó- vagy nyomóereje. A mértékadó igénybevételt a mértékadó teher alapján számítjuk. Prizmatikus rúd és enyhén változó keresztmetszetű rúd esetén a határerő:

N H = A hσ H .

σ H - az anyag határfeszültsége húzásnál és nyomásnál, értékét az anyagminőség függvényében táblázatokból választhatjuk meg.

159

Az alakváltozás akkor megfelelő, ha

λM ≤ λH .

5.40

λ M -et a mértékadó normáligénybevétellel (5.17)-tel vagy (5.22)-vel számítjuk, λ

H

pedig

előírt érték. Összetett feszültségi állapotban (5.39) nem használható. Ilyenkor a mértékadó normáligénybevétel alapján meghatározzuk a feszültségi állapot komponenseit, ezekből az egyenértékű feszültséget és ezt hasonlítjuk össze a határfeszültséggel:

σ egy,max ≤ σ H

5.41

Tervezéskor most is az (5.39)-(5.41) összefüggések egyenlőségéből indulunk ki. 5.3. Nyíró igénybevétel 5.3.1. Prizmatikus rúd tiszta nyírása Terheljünk egy A = sh területű, téglalap keresztmetszetű, L hosszúságú rudat az 5.28. ábrán látható módon két véglapján, valamint alsó és felső határolósíkján a felületekkel párhuzamos hatásvonalú és az ellentétes lapokon ellentétes értelmű, q intenzitású, egyenletesen megoszló erőrendszerrel. A tetszőlegesen felvett keresztmetszet igénybevételei:

N K = N(z) = qsz - qsz = 0 , TK = T(z) = T = qsh = qA = á ll. , M K = M(z) = qshz - qsz

h h - qsz = 0 . 2 2

A rúd igénybevétele tehát tiszta nyírás. A rúd felületére rajzolt derékszögű hálózat téglalapjai olyan parallelogrammává deformálódnak a terhelés hatására, melynek élhosszai megegyeznek az eredeti téglalapok oldalainak hosszával. Maga az egész rúd is hossz- és térfogatváltozás nélkül paralellepipedonná deformálódik. Akárhol is választjuk ki a rúdból a térfogatelemet, mindig ugyanazt az alakváltozást kapjuk, így az alakváltozási és a feszültségi tenzor-mező homogén. Az alakváltozás jellegéből következik, hogy a tetszőlegesen felvett anyagi pont alakváltozási állapotának tenzorkomponensei közül csak a ε zy = ε yz nem nulla. Ez - az általános Hooke-törvény ismeretében - azt jelenti,

hogy a feszültségi állapotnak csak a σ zy = σ yz nyírókomponense tér el a nullától:

σ zy = σ yz = 2G ε zy = 2G ε yz ,

160

ahol G - a nyíró-rugalmassági modulusz. A nyírófeszültség értékét az 5.28/c. ábrán látható elemi hosszúságú rúddarabra ható erők egyensúlyából fejezhetjük ki. Az y irányú vetületi egyensúlyi egyenlet:

∑F

y

= 0 = T − ∫ σ zy dA = T − σ zy ∫ dA = T − Aσ zy A

,

A

ahonnan

σ zy = σ yz =

T A

.

5.42

5.28. ábra

161

Tiszta nyíráskor tehát csak nyírófeszültség ébred, melynek eloszlása a keresztmetszetben egyenletes, nagysága pedig a nyíróigénybevétel és a nyírt keresztmetszet-terület hányadosa. A feszültségi és az alakváltozási tenzorok mátrixa:

 0 0  Tσ =  0 0  0 σ = T zy  A

[ ]

 0  T σ zy =  A 0  

 0 0  , Tε =  0 0  σ zy  = 0 ε yz  2G

[ ]

ε zy

  0 σ zy   . = 2G   0 

A feszültségkomponenseket és az elemi hasáb alakváltozását az 5.29. ábrán láthatjuk. Mindkét állapot síkbeli, Mohr-féle főköreiket az 5.30. ábrán mutatjuk be. Számítás nélkül is beláthatjuk, hogy az x irány azonos a 2-es főiránnyal, az 1-es és a 3-as főirányt pedig az y,z tengelyek x tengely körüli 45°-os elforgatásával

nyerjük.

A

főirányok

rendszerében a főfeszültségek és főalakváltozások értékét az 5.30. ábráról

is

könnyen

megál-

lapíthatjuk: 5.29. ábra

σ 1 = - σ 3 = σ zy ,

ε 1 = - ε 3 = ε zy .

A rúd teljes alakváltozását jellemezhetjük az

ε yz = ε zy =

σ zy 2G

=

T 2GA

5.43/a

Deformáció-komponenssel. Az eredetileg derékszögű hasáb y,z síkban lévő élszögének

5.30. ábra

162

megváltozása:

γ zy = ε zy + ε

yz

= 2 ε zy =

T GA

,

5.43/b

a GA szorzat a rúd nyírómerevsége. Az elemi rúdban felhalmozott rugalmas energia (2.76) felhasználásával:

1 1 A 2 ( σ zy ε zy + σ yz ε yz )Adz = 2σ zy ε zy Adz = σ yz dz = 2 2 2G 1 T2 = 2GAε 2yz dz = . 2 GA

dU b =

5.44/a

Az L hosszúságú rúd rugalmas energiája:

1 T2 1 T 2L ~ U b = U b = ∫ dU b = ∫ dz = = WkS 2 GA 2 GA

,

5.44/b

ami természetesen megegyezik a külső erők saját munkájával. 5.3.2. A közelítőleg tiszta nyírásnak kitett szerkezeti elemek vizsgálata Az előző fejezetben tárgyalt, homogén tenzormezőt létrehozó, tiszta nyírásnak nevezett terhelési eset a gyakorlatban igen ritkán fordul elő. Egy-egy keresztmetszetben ugyan megvalósítható tiszta nyíróigénybevétel, mint pl. az 5.31. ábrán látható terhelési esetben a k = F/M helyen csak F nagyságú nyíróigénybevétel működik, a rúd feszültség- és alakváltozásmezeje azonban nem homogén - mint majd később részletesen is megindokoljuk - a nyírófeszültség keresztmetszeten belüli egyenletes megoszlásának a feltételezése elvileg is kifogásolható. A tiszta nyírás olyan állapot, amely a gyakorlatban

sohasem

valósítható

(vagy valósul) meg tökéletesen. Ennek ellenére számtalan olyan gyakorlati feladat fordul elő, amelyet közelítőleg a tiszta nyírás feltételezésének az alapulvételével oldunk meg. A tiszta nyírás elméletével számítjuk az összes olyan keresztmetszet feszültségeloszlását és alakváltozási jellemzőit, ahol a 5.31. ábra

nyíróigénybevétel mellett a többi

igénybevétel elhanyagolhatóan kicsi. Nyíróigénybevétel a legjelentősebb igénybevétel a különböző anyagú testek bizonyos fajta átalakításánál, megmunkálásánál. Az olló, a lemezolló és az egyéb vágószerszámok az anyagnak azt a tulajdonságát használják ki, hogy nyírószilárdsága véges. Az 5.32/a,b. ábrán látható darabolásnál és kivágásnál a tönkremenetel során majd elváló keresztmetszetekben (az

163

ábrán cikk-cakk vonallal jelölve) a nyíróigénybevétel mellett hajlítás és nyomás is fellép, a tönkremenetel jellege mégis azt bizonyítja, hogy a nyírás a legveszélyesebb igénybevétel. Az átvágáshoz szükséges erőt a tiszta nyírás feltételezésével számítjuk, azaz a nyírt keresztmetszet területét szorozzuk az anyag nyírószilárdságával.

5.32. ábra Ez a megmunkálási technológia a szívós anyagoknál

alkalmazható,

amelyeknél

a

nyírószilárdság az anyag nyírási folyáshatára. A nyíróigénybevétel a legfontosabb igénybevétel bizonyos szerkezeti kapcsolatokban is. Ilyen elmozduló kapcsolatok a különböző csuklók, csapok (5.33/a. ábra) és a többé-kevésbé

hajlítómerevnek

tekinthető

szegecselt (5.33/b. ábra), csavarozott (5.33/b. ábra), szegezett kötések és a hegesztett vagy ragasztott átlapolások (5.34. ábra). Az utóbbi két ábrán látható szerkezeti kapcsolatok rúdjaira (lemezeire) ható erőket (húzó- és nyomóerő vagy csavaró-nyomaték) az elemek érintkezési felületein, a kötőelemben ébredő nyírófeszültségek viszik át. Az ábrák alapján megállapíthatjuk, hogy a csapok, szege-csek, csavarok, szegek igénybevétele a nyírás mellett hajlítónyomaték és a kötő-elemek felületén palástnyomás is fellép. Az erőtani 5.33. ábra

méretezés során általában csak a nyíró- és

164

palást nyomó igénybevételt szokták figyelembe venni.

τ á tl. =

F vs

τ á tl. =

F 2vs

τ á tl. =

F dπs

τ á tl. =

2M d 2 πs

τ á tl. =

F A hegesztett

5.34. ábra Mind a szegecselt, csavarozott, szegezett, mind a ragasztott kapcsolatok lehetnek többszörösen átlapoltak. Ilyenkor több párhuzamos ragasztási réteg létezik, a szegecsek, csavarok, szegek több keresztmetszetben is elnyíródhatnak. Ha n+1 elem kapcsolódik, akkor n-szeres átlapolásról és n-szer nyírt szegecsről, csavarról, szegről beszélünk.

165

A gyakorlatban a szegecselt, csavarozott, szegezett kötésekben mindig több, szabályosan elrendezett, azonos átmérőjű kötőelemet alkalmaznak. Az egyes kötőelemekre ható erők meghatározásánál azzal az egyszerűsítő feltevéssel szoktak élni, hogy a teljes átadandó erő az egyes elemeken egyenlően oszlik meg. Hasonló egyszerűsítéssel élnek a ragasztott, szegecselt, átlapolt kötéseknél, mert az esetek többségében feltételezik, hogy a nyírófeszültségek eloszlása egyenletes. Ennek megfelelően az összefüggések (5.34. ábra) egy átlagos nyírófeszültséget adnak meg. Többszörösen átlapolt és többszörösen nyírt kötéseknél úgy járunk el a legegyszerűbben, hogy megkeressük a kötőelemnek azt a keresztmetszetét, illetve azt a ragasztási réteget, amelyre a legnagyobb nyíróigénybevétel esik. Ezt a legnagyobb igénybe-vételt osztva a kötőelem, illetve az átlapolás keresztmetszet-területével, megkapjuk az átlagos nyírófeszültséget, amely a többi nyírt felülethez tartozónál nagyobb. A palástnyomó-feszültség maximu-mának meghatározásánál is hasonlóan járhatunk el. Hegesztett kötéseknél a hegesztési varrat számításba vehető területét előírások szabályozzák. Kényesebb szerkezeteknél természetesen alkalmazhatjuk azokat a pontosabb elméleteket, amelyek figyelembe veszik, hogy a kötőelemekre jutó nyíró- és palástnyomó-erő, illetve az átlapolás hossztengelye mentén a nyírófeszültségek megoszlása nem egyenletes. 5.3.3. Összetett keresztmetszet nyírása A feladat ugyanaz, mint az öszszetett keresztmetszetű rudak húzásánál. Meg kell határozni a keresztmetszetben a feszültségeloszlást, a rúd alakváltozását és az eredő nyíró-rugalmassági moduluszt. A gyakorlatban

többféle

rétegződési

és

terhelési eset fordul elő. a) A nyírási sík és a nyíróerő merőlegesek a rétegekre 5.35. ábra Az 5.35. ábrán látható esetben az x,y síkkal párhuzamos keresztmetszetekben a teljes nyíróerő az egyes rétegekben ébredő nyíróigénybevételek összege lesz: n

T = qvs = ∑ Ti i=1

ugyanakkor mindegyik réteg ugyanazt az alakváltozást szenvedi:

5.45

166

γ

= γ

y z, ered õ

.

y zi

A homogénnek tekintett rúd szögváltozása:

γ

=

yz, eredõ

T

,

G eredõ A

amellyel megegyezik az egyes rétegek szögváltozása:

γ yzi =

Ti G iA i

,

ahol Gi - az i-edik réteg nyíró-rugalmassági modulusza, Ai - az i-edik réteg keresztmetszetterülete, n

A =

∑A

i

- a rúd teljes keresztmetszet-területe.

i=1

Fejezzük ki a két utóbbi kifejezésből a nyíróerőket és helyettesítsük be őket (5.45)-be. Az így kapott egyenlőségből az eredő nyíró-rugalmassági modulusz meghatározható:

G eredõ =

1 A

n

∑G

i

Ai

,

5.46/a

i =1

vagy állandó szélességű rétegek esetén:

G eredõ =

1 v

n

∑G

i

vi

.

5.46/b

i =1

Az egész rúd alakváltozási állapotmezeje homogén, az eltérő rugalmas tulajdonságok miatt azonban az egyes rétegekben különböző nagyságú nyírófeszültség ébred.

σ yzi =

Ti Ai

=

1 T Gi γ yzi G i A i = γ yz,eredõ Gi = . Ai A G eredõ

5.47

A legnagyobb nyírófeszültség tehát abban a rétegben ébred, amelynek legnagyobb a nyírórugalmassági modulusza. b) A nyírási sík merőleges a rétegekre, de a nyíróerő a rétegekkel párhuzamos Az 5.36. ábra alapján megállapíthatjuk, hogy a teljes nyíróerő az egyes rétegek nyíróigénybevételének öszszegével egyenlő, az egyes rétegek alakváltozásai pedig megegyeznek. Formailag tehát az a) esettel van dolgunk.

Az

eredő

nyíró-rugal-

massági moduluszt és a rétegekben 5.36. ábra

ébredő nyírófeszültséget az (5.46) és (5.47) összefüggések adják.

167

c) A nyírási sík párhuzamos a rétegekkel Az x,y síkkal párhuzamos keresztmetszetek igénybevétele megegyezik és egyenlő a teljes nyíró-igénybevétellel (5.37. ábra):

T = Ti = qvs

.

5.48

A rúd felső sarkainak elmozdulása pedig az egyes rétegek felső sarkainak elmozdulásösszegével egyenlő: n

λ eredõ = ∑ λ i

5.49

i=1

A homogénnek tekintett rúd eredő elmozdulása:

λ eredõ = v γ yz,eredõ = v

T G eredõ A

,

az i-edik réteg relatív elmozdulása:

λ i = v iγ

y zi

= vi

Ti G iA

.

Ez utóbbi két összefüggést (5.49)-be helyettesítve, (5.48)-at felhasználva, megkapjuk az eredő technikai állandót: 5.37. ábra

1

=

G ered›

1 v

n

∑ i =1

1 vi Gi

.

5.50

A rúd feszültségi állapotmezeje homogén, az egyes rétegek γ yzi szögváltozása azonban más és más:

γ

yzi

=

σ yzi Gi

=

Ti 1 T 1 = Ai Gi A Gi

5.51

Annak a rétegnek a legnagyobb a szögváltozása, amelyiknek a legkisebb a nyíró-rugalmassági modulusza. 5.3.4. Erőtani méretezés 5.3.4.1. Megengedett feszültségen alapuló méretezési módszer

168

Tiszta nyírás vagy a tiszta nyíráshoz közel álló igénybevétel esetén azt kell kimutatni, hogy

τ max ≤ τ m 5.52 ahol τ max - a kritikus keresztmetszet nyírófeszültsége. A kritikus keresztmetszet az a keresztmetszet, amelyben a nyíróigénybevétel és a keresztmetszet-terület hányadosa az összes lehetséges közül a legnagyobb:

τ max =

Tmax Ah

.

A megengedett nyírófeszültséget az anyagminőség függvényében szabványos előírások tartalmazzák. Az Ah keresztmetszetet nem mindig egyszerű meghatározni. Célszerű elképzelni, hogyan nyíródik el a szerkezet a tönkremenetl pillanatában és az egymáson elcsúszó felületek adják a nyírt keresztmetszetet, melynek területe már könnyen számítható a geometriai adatok alapján. Tervezéskor az (5.52) összefüggés egyenlőségéből indulunk ki. Csavarozott, szegecselt, szegezett, átlapolt kötéseknél a szerkezeti szempontok az átlapolt lemezek számát, vastagságát, az alkalmazandó kötőelemek átmérőjét előre megszabják, ezért a számítandó vagy ellenőrizendő ismeretlen a kötőelemek száma. Ezt úgy kapjuk meg, hogy meghatározzuk egyetlen egy, egyszer nyírt kötőelem megengedett nyíróigénybevételét:

Tm = τ m

d 2π 4

,

ahol d - a kötőelem átmérője. Ezután megkeressük azt az átlapolási síkot, amelyre a legnagyobb nyíróerő jut, ezt Tmax- szal jelölve, a nyírás szempontjából szükséges kötőelemszám:

kτ ≥

Tm ax . Tm

A kötőelemek azonban nemcsak nyírásra, hanem - mint már korábban említettük - palástnyomásra is igénybe vannak véve. Mivel a kötőelemek nyírása és palástnyomása nem ugyanazon a helyen, nem ugyanabban a keresztmetszetben történik, a két igénybevételt egymástól elkülönítve, függetlenül vizsgálhatjuk. A méretezés alapelve ugyanaz, mint nyírásnál. Az egy kötőelem által felvehető megengedett palástnyomóerő:

N m = σ pm dv , ahol d - a kötőelem átmérője, v - a lemez vastagsága. Nm kritikus értékét úgy kapjuk meg, ha a legvékonyabb, de a legnagyobb normálerőnek kitett lemezt választjuk. Előfordulhat, hogy csak próbálgatással lehet meghatározni Nm legkisebb értékét. A palástnyomás szempontjából szükséges kötőelemszám:

169

N max Nm

kσ ≥

,

ahol Nmax - a kiválasztott v vastagságú lemezre eső normálerő. Természetesen nemcsak a kötőelemeket, hanem a lemezeket is ellenőrizni kell palástnyomásra. Ezt ugyanúgy végezzük, mint a kötőelemnél, csupán σpm helyébe a lemez megengedett palástnyomó feszültségét helyettesítjük be.

k τ és k σ közül a nagyobbat kell választani a kapcsolat kialakításához. 5.3.4.2. "Fél" valószínűséggel kiegészített határállapot módszer A méretek megfelelőek, ha

TM ≤ TH ,

5.53

ahol TM - a mértékadó nyíróerő, melyet a mértékadó terhelésből számítunk, TH - a rúd határnyíróigénybevétele. Tiszta nyíráskor vagy az azt megközelítő esetekben:

TH = τ H A h , ahol τ H - a határnyírófeszültség, melyet az anyagminőség függvényében táblázatokból kell kiválasztani. Szegecselt, csavarozott, szegezett kapcsolatok méretezésének alapelve ugyanaz, mint megengedett feszültségre való méretezésnél, annyi különbséggel, hogy a τ m , σ pm megengedett feszültségek helyett a τ H , σ pH határnyírófeszültséget és határ palástnyomófeszültséget használunk. Nyírásra egy kötőelem határereje:

TH = τ H

d 2π 4

a szükséges kötőelemszám:

kτ =

TM TH

,

ahol TM - a kötőelem veszélyes keresztmetszetének mértékadó nyíróereje: Palástnyomásra egy kötőelem határereje:

N H = σ pH dv , a szükséges kötőelemszám:

kσ =

NM NH

,

NM - a kiválasztott, v vastagságú elemre ható mértékadó nyomóerő. Palástnyomásra a lemezt is ellenőrizni kell.

170

5.4. Hajlító igénybevétel 5.4.1. Prizmatikus rúd tiszta hajlítása Terheljünk az 5.38. ábrán látható, tetszőleges keresztmetszetű, prizmatikus rudat véglapjain olyan - egyelőre nem részletezett - megoszló erőrendszerrel, amely hatására tetszőleges K keresztmetszet igénybevétele:

N K = N(z) = 0 , TK = T(z) = 0 , M K = M(z) = M x = á ll. Tetszőleges keresztmetszet igénybevétele tehát tiszta hajlítás. A hajlítónyomaték vektora M = M x e x , a hajlítás síkja az y,z sík. A hajlítónyomaték hatására az eredetileg egyenes rúd meggörbül. Az alakváltozással kapcsolatos megfigyelések és mérések alapján a következőket állapíthatjuk meg: - A rúd z tengellyel párhuzamos szálai az alakváltozás során síkgörbe alakot vesznek fel, a görbék síkja párhuzamos egy y', z' -y', z' síkkal, melynek y' tengelye α szöget zár be a kiinduló koordinátatengely y tengelyével. - A rúd eredetileg sík keresztmetszetei az alakváltozás után is síkok és önmagukkal egybevágóak maradnak. - Az alakváltozás során a keresztmetszetek elfordulnak, de a keresztmetszetre eredetileg merőleges (z tengellyel párhuzamos) szálak az alakváltozás után is merőlegesek maradnak az elfordult keresztmetszet síkjára. Ezeket az alakváltozási jellemzőket először Bernoulli és Navier figyelte meg, illetve alkalmazta a hajlításból származó feszültségek meghatározásánál. Természetesen további alakváltozási jellemzőket is ki lehet mutatni - pl. hogy egyes, z iránnyal párhuzamos szálak megnyúlnak, mások megrövidülnek, sőt, vannak olyanok is, melyek hossza nem változik -, de a felsorolt, Bernoulli-Navier-féle megfigyelések, illetve feltételek elegendőek a rúd feszültségi és alakváltozási állapotának meghatározásához. Tegyük fel, hogy ismerjük a vesszős koordinátarendszer helyzetét. Ebben az y', z' síkban (a z' tengely azonos a z tengellyel) ábrázoltuk a rudat az 5.38/b,c,d. ábrarészeken az alakváltozás előtti és utáni állapotban. A c. és d. ábrarészeken kiemeltük a rúd egy ∆z hosszúságú darabját, s ennek alakváltozását úgy ábrázoltuk, hogy feltételeztük, éppen az x'z' síkban lévő elemi szálak nem változtatják meg hosszukat. A Bernoulli-Navier-féle feltételeket matematikailag a következőképpen fogalmazhatjuk meg.

171

5.38. ábra A ∆z hosszúságú rúdelem bal- és jobboldali keresztmetszetének síkja az alakváltozás után ∆ϕ szöget zár be egymással. Mivel a z tengellyel párhuzamos szálak mindkét keresztmetszetre merőlegesek maradnak, meg kell görbülniük. Legyen ρ a görbületi sugara azoknak a szálaknak, melyeknek hossza nem változik meg. Egy y' koordinátájú szál fajlagos hosszváltozását a geometriai viszonyok alapján kifejezhetjük:

ε z'z' = ε

zz

=

( ρ + y' )∆ϕ - ρ∆ϕ ∆ z' - ∆ z y' = = ∆z ρ∆ϕ ρ

5.54

mint látjuk, a fajlagos hosszváltozás az x' koordinátától független. Az elemben tetszőlegesen kiválasztott hasáb élszögei sem változnak meg, így

ε z'y' = ε y'z' = ε x'z' = ε z'x' = ε x'y' = ε y'x' = 0 .

A Poisson-hatás miatt azonban x' és y' irányú hosszváltozással számolnunk kell. Az általános Hooke-törvény felhasználásával megkapjuk a feszültségkomponenseket. Szögváltozások hiányában a nyírófeszültség-komponensek mind nullák:

σ z'y' = σ y'z' = σ x'z' = σ z'x' = σ x'y' = σ y'x' = 0

A z' normálisú felülethez tartozó normálfeszültség (2.95) alapján:

172

σ z'z' = σ

zz

E y' ρ

= E ε z'z' =

5.55

A normálfeszültség tehát egy adott keresztmetszetben az y' koordinátával lineárisan változik. Mivel a rúdelemre a z tengelyre merőleges hatásvonalú terhelés nem hat, joggal tehetjük fel, hogy

σ x'x' = σ

= 0.

y'y'

a σ z'z' normálfeszültség kapcsola-

A külső terhelés, pontosabban az igénybevétel és

tának meghatározásához használjuk fel a rúdelemre írható egyensúlyi egyenleteket:

∑F

= 0 = ∫ σ z'z' dA =

iz'

A

∑M

=0=

iy

∫xσ

E

E

∫ ρ y' dA = ρ ∫ y' dA A

z'z'

,

A

dA =

A

∫x A

E E y' dA = ρ ρ

∫ xy' dA

,

A

E

∑M

= 0 = M x cos α - ∫ y' σ z'z' dA = M x'

ix'

A

-

E ρ

∫ y'

2

dA

.

A

A Az első egyenletből - mivel E és ρ nem lehet nulla - az következik, hogy

∫ y' dA

= S x' = 0 .

A

Az x' tengelyt tehát úgy kell felvenni, hogy a keresztmetszet sztatikai nyomatéka rá nulla legyen. Ez akkor következik be, ha x' a súlyponton megy át (így vettük fel eleve az x' tengelyt az 5.38/b. ábrán). Ezek szerint az x'y'z' koordinátarendszer az eredetihez képest csak az x tengely körüli elforgatásban különbözik. A második egyenletbe helyettesítsük be a már ismert

y' =

-

xsin α + ycos α összefüggést:

0 =

∫

x(-xsinα + ycosα )dA = -sinα

A

∫ A

x 2 dA + cosα

∫ xydA

== -I yy sinα + I xy cosα.

A

ahonnan:

tg α =

I xy I yy

.

A második egyenlet tehát megadja az x' tengely helyzetét. Ennek x tengellyel bezárt szöge a keresztmetszet másodrendű nyomatékaitól függ. A harmadik egyenlet jobb oldalának második tagja a keresztmetszet x' tengelyre vonatkozó másodrendű nyomatéka. Az egyenlőségből az ismeretlen görbületi sugár kifejezhető:

173

M x' 1 = ρ E I x 'x '

5.57

Prizmatikus rúd tiszta hajlításkor az összefüggés jobb oldalán álló mennyiségek állandók, a súlyponton átmenő sík elemi szálainak görbületi sugara a rúd hossztengelye mentén állandó, a rúd tehát körívvé deformálódik, a körívek az y'z' síkkal párhuzamosak. Az EIx'x' szorzatot a rúd hajlítómerevségének nevezzük. A görbületi sugárra kapott kifejezést helyettesítsük be (5.55)-be:

σ z'z' = σ zz =

M x' y' , I x'x'

5.58

Ezzel a keresett függvénykapcsolatot megkaptuk. Az x' tengelyt a hajlítás tengelyének nevezzük. E tengelyen y' = 0, tehát a hajlítás tengelyének pontjaiban normálfeszültség nem ébred. Normálfeszültség hiányában természetesen az x' tengelyt metsző szálak nem szenvednek hosszváltozást. A fentiek miatt az x'z' síkot semleges síknak, a súlyponton átmenő z = z' tengelyt semleges tengelynek nevezzük. (5.58) alapján a tiszta hajlítás során fellépő normálfeszültség egyenesen arányos a hajlítónyomaték x' tengelyre eső vetületével, fordítottan arányos a keresztmetszet x' tengelyre vonatkozó másodrendű nyomatékával és az y' tengely mentén lineárisan változik. A semleges sík egyik oldalán húzó-, a másik oldalán nyomófeszültségek ébrednek. Az y' koordináta előjele a normálfeszültségek előjelét is meghatározza. Mivel az x' koordinátától nem függenek a normálfeszültségek, a keresztmetszet síkjára merőlegesen felhordott normálfeszültségek végpontjai egy ferde síkon helyezkednek el. E feszültségeloszlást az x' tengely irányából nézve, az 5.38/e. ábrán látható ferde helyzetű egyenest kapjuk. Minden, az y' tengellyel párhuzamos egyenes mentén ugyanilyen a feszültségeloszlás annyi különbséggel, hogy feszültség csak az egyenesnek a keresztmetszet kontúrja által közrezárt szakaszán ébredhet. A normálfeszültséget kifejezhetjük az eredeti koordinátarendszerben is. Helyettesítsük be (5.58)-ba az Mx' = Mxcos α , az (5.7/a) és az y' = -xsin α + ycos α kifejezéseket:

σ zz = σ

z'z'

=

M x cos α (-xsin α + ycos α ) , I xx cos 2 α + I yy sin 2 α - I xy sin 2 α

használjuk fel (5.56)-ot is, rendezés után:

σ zz = σ

z'z'

= Mx

I yy y - I xy x 2 I xx I yy - I xy

.

5.59

A fentiekben tárgyalt, általánosnak mondható esetet, tehát amikor a hajlítás tengelye (az x' tengely) és a hajlítónyomaték vektora (az x tengely) nem esik egy egyenesbe, ferde hajlításnak nevezzük. A műszaki gyakorlatban azonban a legtöbbször úgy tervezik meg a keresztmetszet alakját, hogy a hajlítónyomaték síkja (az y,z sík) átmegy a keresztmetszet valamelyik súlyponti másodrendű főtengelyén. Ilyenkor Ixy = 0, ezért - az (5.56) összefüggés szerint - α = 0, azaz az

174

x és x' tengelyek egybeesnek, másképpen kifejezve, a hajlítás tengelye és a hajlítónyomaték vektora egy egyenesbe esik. Ezt a speciális esetet egyenes hajlításnak nevezzük. Egyenes hajlításnál a normálfeszültséget a

σ zz =

Mx y I xx

5.60

összefüggéssel számítjuk, melyet akár (5.58)-ból, akár (5.59)-ből egyszerűen levezethetünk. A feszültségeloszlást hasonlóan értelmezzük, mint az általános esetben (5.39. ábra). A normálfeszültségek szélső értékei a keresztmetszetben x tengelytől legnagyobb távolságra lévő pontjaiban ébrednek. Az ezeken a pontokon átmenő, a rúd hossztengelyével párhuzamos szálakat szélső szálaknak nevezzük. Ha ezek távolsága az x tengelytől ex és e'x , a feszültségek szélső értéke:

σ

max

= σ + max =

σ min = σ − max =

Mx Mx Mx ex = = , I xx I xx Kx ex

Mx M M e' x = x = x I xx I xx K' x e' x

5.61/a

, 5.61/b

ahol Kx és K'x - a hajlítás tengelyére vonatkozó, (5.14)-gyel definiált, keresztmetszeti tényezők. Ha a keresztmetszetnek van szimmetriatengelye és a hajlítónyomaték vektora erre merőleges, akkor a fentiek értelmében mindig egyenes hajlításról van szó. Ha a hajlítás tengelye is szimmetriatengely, akkor a normálfeszültségek szélső értéke abszolút értékre megegyezik. Ferde hajlításnál a normálfeszültségek maximumát (5.58)-cal számíthatjuk, ha y' helyébe az x' tengelyhez tartozó szélső száltávolságot helyettesítjük be. Ha szemlélettel is megállapíthatók a keresztmetszetnek azok a pontjai, amelyekben a legnagyobb feszültségek ébrednek (ezek a pontok mindig a kerületen helyezkednek el), akkor a feszültségek szélső értékeinek meghatározásához (5.59)-et is használhatjuk a pont x és y koordinátájának behelyettesítésével. A ferde hajlítást azonban visszavezethetjük két egyenes hajlítás szuperpozíciójára is (5.40. ábra). Meghatározzuk a keresztmetszet másodrendű főtengelyeit és a hajlítónyomaték vektorának e két iránnyal párhuzamos összetevőjét, M1-et és M2-t, s ezeket külön-külön egyenes hajlításként kezeljük. Tetszőleges P pontban, melynek koordinátái ξ és η , a normálfeszültség eredőjét algebrai összegzéssel nyerjük:

σ zz = σ1 zz + σ 2 zz =

M1 M ξ- 2 η . I1 I2

5.62

E gondolatmenet lehetőséget ad arra is, hogy meghatározzuk a hajlítás tengelyének

175

5.39. ábra helyzetét. A hajlítás tengelyén feszültség nem ébred, így (5.62)-őt nullával egyenlővé téve, megkapjuk a tengely egyenletét a főtengelyek koordinátarendszerében:

η=

M 2 I1 ξ , M1 I2

a tengely iránytangense, azaz az 1-es főiránnyal bezárt szögének tangense:

tg ϕ =

M 2 I1 I M x sin β I = 1 = 1 tg β M1 I2 I 2 M x cos β I2

,

ahol β - a nyomatékvektor 1-es főtengellyel bezárt szöge. Mivel a definíció értelmében I1/I2 ≥ 1 , az előző összefüggésből következik, hogy ϕ ≥ β, ami azt jelenti, hogy a hajlítás tengelye mindig az eredő nyomatékvektor és a 2-es főtengely közé esik. A keresztmetszet egy tetszőleges pontjának feszültségi állapotát a

 0 0 0  Tσ = 0 0 0  0 0 σ zz = σ z'z' == 

[ ]

alakváltozási állapotát a

   , Mx'  y' I x'x' 

176

5.40. ábra

ν   σ 0 0  zz  E   ν 0  . Tε =  0 -σ zz E   σ zz   0 0  E 

[ ]

tenzorok mátrixa reprezentálja. A feszültségi állapot lineáris, az alakváltozás térbeli. A nyírófeszültségek és a szögváltozások hiánya következtében az x', y', z' koordinátarendszer egyben a főirányok rendszere is, sőt, a harántirányú hosszváltozások egyenlősége miatt az x, y, z irányok is főrendszert alkotnak. Jóllehet a rúd keresztmetszeteinek feszültségeloszlása ugyanaz, a rúd feszültségi és alakváltozási állapotmezeje nem homogén, hiszen egy keresztmetszeten belül a normálfeszültség nagysága, s ezzel az összes többi jellemző az y' koordináta függvényében változik. A feszültségi és az alakváltozási állapotok Mohr-köreinek átmérője az y' távolsággal arányosan nő (5.41. ábra). A semleges sík pontjaiban a feszültségi és alakváltozási tenzorok minden komponense nulla. A semleges sík a rudat két részre osztja, a húzott és nyomott övre. Egyenes hajlításnál,

177

pozitív hajlítónyomaték esetén az alsó öv a húzott, a felső pedig a nyomott. A Poisson-hatás következtében a keresztmetszeti méretek is megváltoznak. Mivel a z irányú normálfeszültségek lineárisan változnak, a keresztirányú méretváltozás is lineárisan változik y'-tel. A húzott övben a keresztmetszeti méretek csökkennek, a nyomottban növekednek. A keresztmetszet alakja pl. téglalap esetén az 5.42. ábrán látható módon torzul. Térjünk még vissza a rúd véglapjainak külső terhelésére. Természetesen az összes keresztmetszet feszültségeloszlása akkor egyezik meg, ha a rúd véglapjait ugyanolyan jellegű megoszló erőrendszer terheli, mint amilyen a tiszta hajlítás során fellépő feszültségeloszlás. Ha a véglapokon ható erőrendszer más jellegű, de az előbbivel sztatikailag egyenértékű, akkor - a Saint Venant-elvnek megfelelően - a véglapok közelének kivételével az egyes keresztmetszetek feszültségeloszlása a fent leírtakkal egyezik meg. Az L hosszúságú rúd semleges síkja, illetve semleges tengelye az (5.57)-el számítható sugarú körívvé deformálódik. Akkor is ideális körívet tételezünk fel, ha a végkeresztmetszetek terhelése nem a tiszta hajlításnál megállapítottnak felel meg, a rúdvégek közelében kialakuló feszültségtorzulásnak ugyanis az alakváltozásra gyakorolt hatása nem jelentős. A rúd alakválto-

5.41. ábra zás után felvett alakja, illetve helyzete a megfogás körülményeitől függ. Az 5.43. ábrán az egyik végén befogott, az 5.44. ábrán a két végén alátámasztott tart (rúd) alakváltozását mutatjuk be. (5.57) ismeretében tetszőleges z koordinátájú keresztmetszet szögelfordulása és súlyponteltolódása geometriai meggondolások alapján számítható. A dz hosszúságú rúdelemben felhalmozott rugalmas energiát most is (2.71/b) alapján számíthatjuk: 5.42. ábra

178

1 1 1 ~ dU b = dU b = σ zz ε zz dV = ∫ σ zz ε zz dV = 2 2A 2 =

1 E ( 2 ρ2

2

∫ y' dA)dz = A

E

∫ (ρ A

y'

y' dA)dz = ρ

5.63

1 EI x ' x ' 1 M x2 ' dz dz. = 2 ρ2 2 EI x ' x '

Az L hosszúságú rúdban felhalmozott rugalmas energia az előző kifejezés z szerinti integrálásával adódik: L 1 M 2x' 1 M 2x' L ~ U b = U b = ∫ dU b = ∫ dz = = W kS 2 0 EI x'x' 2 EI x'x'

5.44. ábra

.

5.64

SZILÁRD TESTEK SZTATIKÁJA

Recommend Documents