´ nd Tudoma ´ nyegyetem E¨ otv¨ os Lora ´szettudoma ´ nyi Kar Terme
Nagy Don´at Matematika BSc Matematikus szakir´any
´ ris leke ´peze ´sek loka ´ lis testek felett Szemilinea
Szakdolgozat
T´emavezet˝o: Z´abr´adi Gergely egyetemi adjunktus Algebra ´es Sz´amelm´elet Tansz´ek
Budapest, 2014
K¨ osz¨ onetnyilv´ an´ıt´ as Szeretn´em megk¨osz¨onni t´emavezet˝omnek, Z´abr´adi Gergelynek a t´emajavaslatot, a szakirodalom aj´anl´as´at ´es a dolgozat alapos a´tn´ez´es´et.
3
Tartalomjegyz´ ek 1. Bevezet´ es
5
2. Szemiline´ aris lek´ epez´ esek
6
2.1. Szemiline´aris lek´epez´esek alaptulajdons´agai . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.2. Klasszifik´aci´o egy speci´alis esetben . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
3. Diszkr´ et ´ ert´ ekel´ esgy˝ ur˝ uk
11
3.1. Diszkr´et ´ert´ekel´esek tulajdons´agai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.2. Diszkr´et ´ert´ekel´esgy˝ ur˝ uk b˝ov´ıt´esei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 4. Konstrukci´ ok diszkr´ et ´ ert´ ekel´ esgy˝ ur˝ ukre
23
4.1. Witt-vektorok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.2. W (k) egy´ertelm˝ us´ege . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.3. Cohen-r´eszgy˝ ur˝ uk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 5. A Dieudonn´ e–Manin t´ etel
44
5.1. Izokrist´alyok ´es r´acsok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 5.2. A Dieudonn´e–Manin t´etel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Hivatkoz´ asok
58
4
1. Bevezet´ es A szakdolgozatom els˝odleges c´elja a Dieudonn´e–Manin t´etel egy bizony´ıt´as´anak a bemutat´asa. Ez a t´etel az izokrist´alyok (diszkr´et ´ert´ekel´essel ell´atott test feletti v´egesdimenzi´os vektort´er, amit egy bijekt´ıv szemiline´aris lek´epez´es ¨onmag´ara k´epez) szerkezet´et ´ırja le (bizonyos felt´etelek teljes¨ ul´ese eset´en). Ennek megfelel˝oen k´et, alapvet˝oen f¨ uggetlen t´em´aval foglalkozom: a szemiline´aris lek´epez´esekkel illetve a diszkr´et ´ert´ekel´esekkel. A dolgozatom elej´en defini´alom a szemiline´aris lek´epez´eseket ´es bel´atok n´eh´any r´ajuk vonatkoz´o t´etelt ´es lemm´at, majd bevezetem a diszkr´et ´ert´ekel´es fogalm´at ´es a diszkr´et ´ert´ekel´essel ell´atott gy˝ ur˝ ukkel illetve testekkel foglalkozom. Az ezut´ani r´eszben le´ırok n´eh´any konstrukci´ot diszkr´et ´ert´ekel´essel ell´atott gy˝ ur˝ ukre, amelyek ugyan k¨ozvetlen¨ ul nem sz¨ uks´egesek a Dieudonn´e–Manin t´etel bizony´ıt´as´ahoz, de fontos p´eld´ai olyan strukt´ ur´aknak, amire a t´etel alkalmazhat´o. V´eg¨ ul a dolgozatomat a Dieudonn´e–Manin t´etel bizony´ıt´as´aval z´arom. A dolgozatomban a [4] jegyzet fel´ep´ıt´es´et k¨ovetem, az [1] k¨onyvben szerepel egy t¨om¨orebb, m´as formalizmust haszn´al´o bizony´ıt´as; t´etel eredeti bizony´ıt´asa a [3] cikkben tal´alhat´o. Diszkr´et ´ert´ekel´essel ell´atott testre tal´an a legismertebb p´elda a p-adikus sz´amok Qp teste. Sz´amos eredetileg R vagy C felett vizsg´alt t´emak¨ornek van a p-adikus sz´amok feletti anal´ogi´aja, ´es ezek vizsg´alata sor´an gyakran el˝oker¨ ulnek az izokrist´alyok, p´eld´aul (a teljess´eg ig´enyen n´elk¨ ul) haszn´alj´ak ˝oket p-adikus differenci´alegyenletek vizsg´alatakor (az [1] k¨onyveben szerepelnek ilyen alkalmaz´asok), p-adikus kohomol´ogiaelm´eletben (krist´alyos kohomol´ogi´ak) ´es p-adikus Galois-reprezent´aci´ok elm´elet´eben. Term´eszetesen ahol az izokrist´alyok el˝oker¨ ulnek, ott fontos szerepe van az o˝ket klasszifik´al´o Dieudonn´e–Manin t´etelnek is.
5
2. Szemiline´ aris lek´ epez´ esek 2.1. Szemiline´ aris lek´ epez´ esek alaptulajdons´ agai R¨ogz´ıts¨ unk egy K testet ´es egy σ : K → K testhomomorfizmus. Legyen V egy v´egesdimenzi´os K-vektort´er. 2.1.1. Defin´ıci´ o. Egy f : V → V lek´epez´esr˝ol azt mondjuk, hogy szemiline´aris (pontosabban σ-line´aris), ha f (v1 + v2 ) = f (v1 ) + f (v2 ) f (av) = σ(a)f (v)
(∀v1 , v2 ∈ V ) (∀a ∈ K, v ∈ V )
Legyen d := dimK V ´es v1 , v2 , . . . , vd egy r¨ogz´ıtett b´azis V -ben. A line´aris lek´epez´esekhez hasonl´oan egy f szemiline´aris lek´epez´eshez is rendelhet¨ unk egy Af = = (aij ) ∈ Md (K) m´atrixot u ´gy, hogy f (vj ) = a1j v1 + a2j v2 + . . . + adj vd legyen. 2.1.2. Lemma. Az f 7→ Af lek´epez´es bijekci´o a V → V szemiline´aris lek´epez´esek halmaza ´es az Md (K) halmaz k¨oz¨ott. Bizony´ıt´as. Az inverz l´etez´es´ehez az kell, hogy mindend A = (aij ) ∈ Md (K) m´atrixhoz megadjunk egy f : V → V lek´epez´est, amire A = Af lesz. Legyen egy Pd Pd v = c1 v1 + c2 v2 + . . . + cd vd ∈ V vektorra f (v) = j=1 aij σ(cj ) vi . Erre i=1 σ(0) = 0 ´es σ(1) = 1 miatt f (vk ) =
d X
(0 + . . . + 0 + aik σ(1) + 0 + . . . + 0) vi = a1k v1 + a2k v2 + . . . + adk vd
i=1
ami ´eppen azt jelenti, hogy A = Af .
2.1.3. Megjegyz´ esek.
c1 σ(c1 ) i. Ha v koordin´at´ai ... , f (v) koordin´at´ai Af · ... cd
σ(cd )
lesznek. ii. A σ-line´aris lek´epez´esek halmaza K-vektort´er ´es az f 7→ Af lek´epez´es K-vektorterek izomorfizmusa. iii. K´et σ-line´aris lek´epez´es kompoz´ıci´oja σ 2 -line´aris (´altal´aban nem σ-line´aris).
6
iv. Ha σ nem sz¨ urjekt´ıv, akkor egy σ-line´aris lek´epez´es k´epe nem felt´etlen alt´er.
Egy A = (aij ) ∈ Md (K) m´atrixhoz legyen σ(A) = (σ(aij )) ∈ Md (K). Ekkor σ(A + B) = σ(A) + σ(B), σ(AB) = σ(A)σ(B) ´es az egy´esgm´atrixra σ(I) = I. ´Igy a σ : GLd (K) → GLd (K), A 7→ σ(A) megszor´ıt´as injekt´ıv csoporthomomorfizmus (ami bijekt´ıv, ha a σ testhomomorfizmus bijekt´ıv volt). Legyen v10 , . . . , vd0 egy m´asik b´azis V -ben, amire n´ezve az f szemiline´aris lek´epez´es¨ unknek A0f a m´atrixa. A B = (bkl ) a´tt´er´esi m´atrix a´lljon azokb´ol az ´ert´ekekb˝ol, P amikre vl0 = dk=1 bkl vk . N´emi sz´amol´assal bel´athat´o, hogy A0f = B −1 Aσ(B). 2.1.4. Defin´ıci´ o. GLd (K) defini´aljunk egy ekvivalenciarel´aci´ot u ´gy, hogy A ≡ A0 pontosan akkor ´alljon fenn, ha van olyan B ∈ GLd (K), hogy A0 = B −1 Aσ(B). Ekkor A-t ´es A0 -t σ-konjug´altaknak nevezz¨ uk, az ekvivalenciaoszt´alyok a σ-konjug´altoszt´alyok. 2.1.5. Lemma. f injekt´ıv
i. Af invert´alhat´o ⇔ im(f ) gener´alja V -t mint K-vektorteret ⇒
ii. σ bijekt´ıv ⇒ ( Af invert´alhat´o ⇔ f sz¨ urjekt´ıv ⇔ f bijekt´ıv ⇔ f injekt´ıv)
Bizony´ıt´as. i. Af rangja d ⇔ f (v1 ), f (v2 ), . . . , f (vd ) b´azis V -ben ⇔ him(f )i = V miatt az ekvivalencia igaz. Tegy¨ uk fel most, hogy f (v1 ), f (v2 ), . . . , f (vd ) b´azis V -ben. Ekkor ha v = c1 v1 + + . . . + cd vd -re f (v) = 0, akkor σ(c1 )f (v1 ) + . . . + σ(cd )f (vd ) = 0, ´ıgy minden i-re σ(ci ) = 0, ci = 0. Ez azt jelenti, hogy f val´oban injekt´ıv (f (a) = f (b) ⇒ f (a − − b) = 0 ⇒ a − b = 0 a szemilinearit´ast kihaszn´alva). ii. Ha σ bijekt´ıv, im(f ) nyilv´an line´aris alt´er V -ben. Elegend˝o teh´at az el˝oz˝oek mell´e azt bel´atnunk, hogy ha f injekt´ıv, akkor f (v1 ), . . . f (vd ) K-line´arisan f¨ uggetlenek. Tegy¨ uk fel, hogy c1 f (v1 ) + . . . cd f (vd ) = 0! Ekkor tal´alhatunk olyan bi -ket, hogy σ(bi ) = ci ´es ezekre f (b1 v1 + . . . + bd vd ) = c1 f (v1 ) + . . . cd f (vd ) = = 0, b1 v1 + . . . + bd vd = 0, minden bi nulla, ´ıgy minden ci is nulla, teh´at k´eszen vagyunk.
2.1.6. Defin´ıci´ o. Az f : V → V szemiline´aris lek´epez´esre azt mondjuk, hogy ´etale, ha V = him(f )i.
7
2.2. Klasszifik´ aci´ o egy speci´ alis esetben Legyen p > 1 egy r¨ogz´ıtett pr´ım, q > 1 egy r¨ogz´ıtett p-hatv´any ´es K egy p karakterisztik´aj´ u test, ami Fq -t tartalmazza. Ekkor σ:K→K a 7→ aq egy testhomomorfizmus (a Frobenius-lek´epez´es). Ekkor – A K σ=id := {a ∈ K|σ(a) = a} r´esztest (az X q − X polinom gy¨okeinek a halmaza) izomorf Fq -val, a tov´abbiakban azonos´ıtjuk vele – K algebrailag z´art ⇒ σ bijekt´ıv Legyen V egy d < ∞-dimenzi´os K-vektort´er ´es f : V → V egy ´etale szemiline´aris lek´epez´es. Legyen V1 := {v ∈ V |f (v) = v} Ekkor V1 egy Fq (azaz K σ=id ) feletti vektort´er. 2.2.1. T´ etel. Ha K szepar´abilisan z´art (azaz nincsen val´odi szepar´abilis b˝ov´ıt´ese), akkor i. dimFq V1 = dimK V ; ii. A ∼ =
K ⊗ Fq V1 → V a ⊗ v 7→ av K-line´aris lek´epez´es bijekt´ıv. Bizony´ıt´as. Nyilv´an feltehetj¨ uk, hogy V 6= {0}. El˝osz¨or bel´atjuk, hogy V1 6= {0}. Legyen v0 ∈ V1 \ {0} tetsz˝oleges ´es vi := f i (v0 ). Legyen m ≥ 1 minim´alis u ´gy, hogy v0 , v1 , . . . , vm line´arisan ¨osszef¨ ugg˝o K felett. Ekkor skal´arszorz´o erej´eig egy´ertelm˝ uen l´eteznek ai ∈ K elemek u ´gy, hogy a0 v0 + a1 v1 + . . . + am vm = 0 ´es am 6= 0. Vegy¨ uk ´eszre, hogy a0 6= 0, hiszen m minimalit´asa ´es a 2.1.3 i. ´es 2.1.5 i. a´ll´ıt´asok szerint v1 = f (v0 ), v2 = f (v1 ), . . . , vm = f (vm−1 ) line´arisan f¨ uggetlenek. Legyen v := c0 v0 + . . . + cm−1 vm−1 , ahol c0 , . . . , cm−1 ∈ K tetsz˝oleges. Ekkor f (v) = cq0 f (v0 ) + . . . + cqm−1 f (vm−1 ) = cq0 v1 + . . . cqm−1 vm
8
´ıgy v − f (v) =
m X
(ci − cqi−1 )vi , ahol c−1 = cm = 0
i=0
teh´at v = f (v) ≡ ci − cqi−1 = ai y egy y ∈ K-ra. m
m
m−1
m−1
Az aq0 Y q + aq1 Y q + . . . + aqm−1 Y q + am Y polinom deriv´altja am 6= 0, ´ıgy a polinom szepar´abilis. Mivel K szepar´abilisan z´art, ´ıgy ennek a polinomnak van egy y 6= 0 gy¨oke. Legyen c0 := a0 y c1 := cq0 + a1 y = aq0 y q + a1 y .. . m−1
cm−1 := aq0
yq
m−1
+ . . . + am−1 y
ekkor a0 6= 0 miatt c0 6= 0 ´es ´ıgy v 6= 0. A konstrukci´ob´ol leolvashat´o, hogy v ∈ V1 . uk fel indirekt, hogy dimFq V1 > dimK V . Bel´atjuk, hogy dimFq V1 ≤ dimK V . Tegy¨ Legyen r ≥ 2 minim´alis u ´gy, hogy l´eteznek u1 , . . . ur ∈ V vektorok, melyek Fq felett line´arisan f¨ uggetlenek, de K felett line´arisan ¨osszef¨ ugg˝ok. Tegy¨ uk fel, hogy b1 u1 + . . . + br ur = 0 ´es b1 ∈ K × Feltehetj¨ uk, hogy b1 = 1. Ekkor 0 = f (0) = u1 + bq2 u2 + . . . + bqr ur ´ıgy 0 = (b2 − bq2 )u2 + . . . + (br − bqr )ur de ´ıgy r minimalit´asa miatt bi − bqi (2 ≤ i ≤ r), ´ıgy bi ∈ Fq , de ´ıgy ellentmond´ast kaptunk. d = dimK V szerinti indukci´oval bel´atjuk, hogy V1 -nek l´etezik egy v1 , . . . , vd Fq b´azisa, mely egyben K-b´azisa V -nek. A d = 1 esethez m´ar bel´attuk, hogy l´etezik egy v1 ∈ V1 nemnulla elem ´es hogy dimFq V1 ≤ dimK V = d = 1, ´ıgy ebben az esetben igaz az a´ll´ıt´asunk. Tegy¨ uk fel, hogy d > 1 ´es kisebb d ´ert´ekekre m´ar bel´attuk az a´ll´ıt´asunkat. Legyen v1 ∈ V1 egy nemnulla elem. Ekkor f˜ : V /Kv1 → V /Kv1 u + Kv1 7→ f (u) + Kv1
9
egy j´oldefini´alt ´etale szemiline´aris lek´epez´es. Az indukci´os feltev´est (V /Kv1 , f˜)-re alkalmazva kaphatunk v20 , . . . , vd0 ∈ V vektorokat, melyekre – v1 , v20 , . . . vd0 K-b´azisa V -nek – f (vi0 ) = vi0 + ai v1 valamely ai ∈ K-ra, ha 2 ≤ i ≤ d Legyen ci ∈ K gy¨oke az Y q − Y + ai szepar´abilis polinomnak ´es legyen vi := vi0 + + ci v1 , ha 2 ≤ i ≤ d. Ekkor v1 , v2 , . . . , vd K-b´azisa V -nek ´es f (vi ) = f (vi0 ) + cqi v1 = vi0 + ai v1 + cqi v1 = vi + (cqi − ci + ai )v1 = vi azaz vi ∈ V1 . dimFq V1 ≤ dimK V = d miatt az v1 , . . . vd Fq -f¨ uggetlen rendszer nyilv´an Fq -b´azis V1 -ben. Nyilv´anval´o, hogy a K ⊗ Fq V1
∼ =
V f
σ ⊗ idV1
K ⊗ Fq V1
∼ =
V
diagram kommutat´ıv. 2.2.2. K¨ ovetkezm´ eny. Ha K szepar´abilisan z´art ´es f ´etale, akkor van egy olyan K-b´azisa V -nek, melyben f -nek az Af m´atrixa az egys´egm´atrix. (V1 -nek minden Fq -b´azisa ilyen lesz.) 2.2.3. K¨ ovetkezm´ eny. Ha K szepar´abilisan z´art, akkor az eg´esz GLd (K) egyetlen σ-konjug´altoszt´aly.
10
3. Diszkr´ et ´ ert´ ekel´ esgy˝ ur˝ uk 3.1. Diszkr´ et ´ ert´ ekel´ esek tulajdons´ agai 3.1.1. Defin´ıci´ o. Az A f˝oide´algy˝ ur˝ ut diszkr´et ´ert´ekel´esgy˝ ur˝ unek nevezz¨ uk, ha pontosan egy m 6= {0} maxim´alis ide´alja van. Az A/m testet A marad´ektestnek nevezz¨ uk. Legyen A egy diszkr´et ´ert´ekel´esgy˝ ur˝ u. Mivel A alapt´eteles, k¨onnyen l´athat´oan 1. A× = A \ m 2. m = πA egy π ∈ A pr´ımelemre 3. {π n A|n ≥ 0} a nemnulla A-beli ide´alok halmaza 4. minden 0 6= a ∈ A egy´ertelm˝ uen ´ırhat´o a = π v(a) u alakban, ahol v(a) ≥ 0 eg´esz ´es u ∈ A× . Ez megad egy v : A \ 0 → N lek´epez´est. (Megjegyz´es: A szakdolgozatomban N a nemnegat´ıv eg´eszek halmaz´at jel¨oli.) Erre a k¨ovetkez˝ok ´allnak fenn: (I) v sz¨ urjekt´ıv ´es nem f¨ ugg a π pr´ımelem v´alaszt´as´at´ol (II) v(ab) = v(a) + v(b) (III) v(a + b) ≥ min(v(a), v(b)) 3.1.2. Defin´ıci´ o. v-t az A-n l´ev˝o diszkr´et ´ert´ekel´esnek nevezz¨ uk. Legyen K az A gy˝ ur˝ u h´anyadosteste. A v ab := v(a) − v(b) defin´ıci´oval v kiterjeszthet˝o egy K × → Z csoporthomomorfizmuss´a, amire (II) ´es (III) tov´abbra is teljes¨ ul (ez a diszkr´et ´ert´ekel´es K-n). N´eha szerencs´es a v(0) := ∞ jel¨ol´est alkalmazni. Vegy¨ uk ´eszre, hogy A = {x ∈ K|v(x) ≥ 0} ´es m = {x ∈ K|v(x) > 0}. 3.1.3. Lemma. Ha x, y ∈ K, v(x) 6= v(y), akkor v(x + y) = min(v(x), v(y)). Bizony´ıt´as. Tegy¨ uk fel, hogy p´eld´aul v(x) > v(y). Ekkor v(x) > v(y) = v(x + y − x) ≥ min(v(x + y), v(−x)) = min(v(x + y), v(x)) ahonnan v(x) > v(x + y) ad´odik, majd ezt figyelembe v´eve v(y) ≥ v(x + y) is, de ´ıgy v(y) ≥ v(x + y) ≥ min(v(x), v(y)) = v(y) azaz v(y) = v(x + y) val´oban teljes¨ ul.
11
3.1.4. Lemma. Legyen L egy test ´es v : L× → Z egy sz¨ urjekt´ıv f¨ uggv´eny, amire (II) ´es (III) teljes¨ ul. Ekkor B := {x ∈ L|v(x) ≥ 0} egy diszkr´et ´ert´ekel´esgy˝ ur˝ u, aminek L a h´anyadosteste. Bizony´ıt´as. B nyilv´anval´oan egy gy˝ ur˝ u ´es B × = {x ∈ L|v(x) ≥ 0}. R¨ogz´ıts¨ unk egy π ∈ B elemet, amire v(π) = 1. Ekkor minden x ∈ B egy´ertelm˝ uen el˝o´all x = π v(x) u alakban, ahol u ∈ B × . Innen l´athat´o, hogy a B nemnulla ide´aljai ´eppen a π n B halmazok, ahol n nemnegat´ıv eg´esz. 3.1.5. P´ elda. Ha p egy r¨ogz´ıtett pr´ımsz´am. Q-n a k¨ovetkez˝o p-adikus ´ert´ekel´es egy diszkr´et ´ert´ekel´es lesz: vp : Q× → Z a x 7→ n, ha x = pn · , ahol p - ab b Az ehhez tartoz´o diszkr´et ´ert´ekel´esgy˝ ur˝ u Z(p) = ab |a, b ∈ Z, p - b , a marad´ektest pedig Fp . Legyen a tov´abbiakban A egy diszkr´et ´ert´ekel´esgy˝ ur˝ u, K a h´anyadosteste ´es v a diszkr´et ´ert´ekel´es. x ∈ K-ra legyen
|x| :=
( e−v(x) 0
, ha x 6= 0 , ha x = 0
Ekkor a k¨ovetkez˝ok teljes¨ ulnek: (IV) |x| ≥ 0 (V) |x| = 0 ⇔ x = 0 (VI) |xy| = |x| · |y| (VII) |x + y| ≤ max(|x|, |y|) (ultrametrikus egyenl˝otlens´eg) Ez azt jelenti, hogy |.| egy abszol´ ut´ert´ek (amire a h´aromsz¨ogegyenl˝otlens´egnek a (VII)-ben szerepl˝o er˝osebb alakja is teljes¨ ul). A d(x, y) = |x − y| t´avols´agf¨ uggv´eny metrikus t´err´e teszi K-t, ´ıgy a tov´abbiakban besz´elhet¨ unk K-ban halad´o Cauchy´es konvergens sorozatokr´ol illetve a konvergens sorozatok hat´ar´ert´ek´er˝ol. Ezeket a fogalmakat a diszkr´et ´ert´ekel´essel is jellemezni tudjuk: • Az (xn ) sorozat pontosan akkor konverg´al x ∈ K-hoz, ha minden C > 0-hoz van N ∈ N, hogy v(xn − x) > C minden n > N -re.
12
• Az (xn ) sorozat pontosan akkor Cauchy-sorozat, ha minden C > 0-hoz van N ∈ N, hogy v(xn − xm ) > C minden n, m > N -re. Figyelembe v´eve a diszkr´et ´ert´ekel´es (III) tulajdons´ag´at, az ut´obbi a k¨ovetkez˝o alakban is fel´ırhat´o : • Az (xn ) sorozat pontosan akkor Cauchy-sorozat, ha minden C > 0-hoz van N ∈ N, hogy v(xn − xn+1 ) > C minden n > N -re. 3.1.6. Defin´ıci´ o. Azt mondjuk, hogy a diszkr´et ´ert´ekel´essel ell´atott K test teljes, ha minden benne fut´o Cauchy-sorozat konvergens. 3.1.7. Lemma. Legyen π ∈ A pr´ımelem, a ∈ K ´es n ∈ Z. Ekkor az a + π n A halmaz ny´ıltz´art K-ban. Bizony´ıt´as. Vegy¨ uk ´eszre, hogy a + π n A = {x ∈ K|v(a − x) ≥ n} = {x ∈ K|d(a, x) ≤ e−n } teh´at a-nak az e−n sugr´ u k¨ornyezete benne van a + π n A-ban. Legyen b ∈ a + π n A tetsz˝oleges ´es n0 = min(n, v(a − b)), ekkor 0
b + π n A ⊆ b + π v(a−b) A + π n A ⊆ b + (a − b) + π n A = a + π n A ´es ´ıgy b benne van a + π n A belsej´eben, a + π n A ny´ılt. Legyen b ∈ / a + π n A, ekkor v(b − a) ≤ n − 1, hiszen k¨ ul¨onben b − a = π n u lenne egy u ∈ A-ra, ami ellentmond´as. Ekkor (b + π n A) ∩ (a + π n A) = ∅, hiszen ha c a metszet¨ ukben lenne, akkor v(c − a) ≥ n ´es v(b − c) ≥ n miatt v(b − c) ≥ min(v(c − − a), v(b − c)) ≥ n lenne, ami ellentmond´as. Ezzel bel´attuk, hogy b egy k¨ornyezete is a + π n A-n k´ıv¨ ulre esik, teh´at a + π n A z´art is. 3.1.8. T´ etel. T´avols´agtart´o izomorfizmus erej´eig egy´ertelm˝ uen l´etezik egy olyan telˆ jes (K, vˆ) diszkr´et ´ert´ekel´essel ell´atott test, aminek K s˝ ur˝ u r´eszteste ´es vˆ|K × = v. ˆ 1 , vˆ1 ) ´es (K ˆ 2 , vˆ2 ) k´et ilyen Bizony´ıt´as. El˝osz¨or az egy´ertelm˝ us´eget igazoljuk. Ha (K ˆ1 → K ˆ 2 t´avols´agtart´o izomorfizmust. Legyen x ∈ K ˆ1 test, megadunk egy ϕ : K ˆ 1 s˝ tetsz˝oleges; mivel K ⊆ K ur˝ u, l´etezik (xn )n∈N K-ban halad´o sorozat, aminek a hat´ar´ert´eke (ˆ v1 szerint) x. Ez a sorozat vˆ1 szerint Cauchy-sorozat, de ´ıgy v szerint, ˆ 2 , vˆ2 ) teljes, ´ıgy l´etezik pontosan egy ϕ(x) ∈ K ˆ 2 , amihez s˝ot vˆ2 szerint is az. Mivel (K az (xn ) sorozat vˆ2 szerint konverg´al. Ez a hozz´arendel´es nem f¨ ugg az (xn ) sorozat v´alaszt´as´at´ol (ha k´et sorozat m´as ϕ(x)-et adna, az ¨osszef´es¨ ultj¨ uket tekintve ellentˆ 2 -h¨oz mond´ast kapn´ank). K¨onnyen ´atgondolhat´o, hogy ϕ bijekci´o (hiszen egy y ∈ K ˆ 1 -beli p´art). Az, hogy ϕ tartja a t´avols´agot, az ¨osszead´ast ´es a szoris kereshet¨ unk K z´ast, k¨ovetkezik onnan, hogy azok k¨onnyen ´atgondolhat´oan folytonos f¨ uggv´enyek.
13
A l´etez´es igazol´as´ahoz legyen C a K-beli Cauchy-sorozatok halmaza, ez a pontonk´enti ¨osszead´assal ´es szorz´assal egys´egelemes gy˝ ur˝ u. K elemeit azonos´ıthatjuk a C-beli konstans sorozatokkal. Legyen N a C-beli z´erussorozatok halmaza, ez k¨onnyen ˆ := C/N ´es vˆ((xn )n + N) := a´tgondolhat´oan egy maxim´alis ide´al lesz. Legyen K = limn→∞ v(xn ). ˆ × → Z f¨ ´ ıt´ 3.1.9. All´ as. Ez a vˆ val´oban j´oldefini´alt K uggv´eny lesz. Bizony´ıt´as. Ha (xn )n ∈ C \ N, akkor mivel nem nullsorozat, ´ıgy ∃C > 0 : ∀N : : ∃ν(N ) > N : v(xν(N ) − 0) ≤ C ´es ehhez a C-hez van N 0 , hogy ∀m, n > N 0 : : v(xm − xn ) < C, speci´alisan minden n > N 0 -re v(xν(N 0 ) − xn ) < C, ´ıgy C ≥ ≥ v(xν(N 0 ) ) ≥ min(v(xν(N 0 ) − xm ), v(xm )) miatt el´eg nagy n-re v(xn ) < C, teh´at v(xn ) korl´atos. Mivel v(xn − xn+1 ) v´egtelenhez tart (hiszen xn Cauchy-sorozat), ´ıgy 3.1.3 szerint el´eg nagy n-ekre v(xn ) = min(v(xn − xn+1 ), v(xn+1 )) = v(xn+1 ), teh´at v(xn ) egy id˝o ul¨onbs´eg¨ uk ut´an konstans, azaz a hat´ar´ert´eke l´etezik. Ha (xn )n , (x0n )n ∈ C \ N ´es a k¨ 0 0 N-beli, v(xn ) ´es v(xn ) korl´atosak, m´ıg v(xn − xn ) v´egtelenbe tart, ´ıgy el´eg nagy n-ekre v(xn ) = min(v(xn − x0n ), v(x0n )) = v(x0n ) lesz, teh´at a defin´ıci´onk jobb oldala nem f¨ ugg a reprezent´ans v´alaszt´as´at´ol. A t¨obbi sz¨ uks´eges tulajdons´agot k¨onny˝ u ellen˝orizni: vˆ nyilv´an v kiterjeszt´ese ˆ × , akkor l´etezik lesz, tov´abb´a (II) ´es (III) igaz marad, hiszen ha x = (xn )n + N ∈ K ˆ ˆ N , amelyre vˆ(x) = v(xn ) minden n > N eg´eszre. K nyilv´an s˝ ur˝ u lesz K-ban, K teljess´ege pedig anal´ızisb˝ol ismert gondolatmenettel k¨onnyen ellen˝orizhet˝o. ˆ (illetve Aˆ = {x ∈ K|ˆ ˆ v (x) ≥ 0}-t) K (illetve A) tel´ıtettj´enek 3.1.10. Defin´ıci´ o. K-t nevezz¨ uk. 3.1.11. Lemma.
ˆ 1. Minden π ∈ A pr´ımelem A-ban is pr´ımelem.
2. A ´es Aˆ marad´ekteste megegyezik. Bizony´ıt´as. Az els˝o a´ll´ıt´as k¨ovetkezik abb´ol, hogy a pr´ımelemek ´eppen az 1 ´ert´ekel´es˝ u ˆ elemek. A m´asodik a´ll´ıt´ashoz vegy¨ uk ´eszre, hogy az A ⊆ A be´agyaz´as induk´al egy ˆ ˆ ˆ A/πA ⊆ A/π A be´agyaz´ast. Legyen a ˆ ∈ Aˆ tetsz˝oleges. Mivel A s˝ ur˝ u A-ban ´es 3.1.7 ˆ ˆ ˆ miatt a ˆ + πA a ˆ egy ny´ılt k¨ornyezete A, ´ıgy a ˆ + π A-ban tal´alhat´o egy a ∈ A elem, de ez igazolja, hogy a be´agyaz´asunk sz¨ urjekt´ıv volt.
3.2. Diszkr´ et ´ ert´ ekel´ esgy˝ ur˝ uk b˝ ov´ıt´ esei Ebben a r´eszben legyen A egy diszkr´et ´ert´ekel´esgy˝ ur˝ u K h´anyadostesttel, ´es tegy¨ uk fel, hogy K teljes. Legyen v a diszkr´et ´ert´ekel´es, m ⊆ A a maxim´alis ide´al, π egy r¨ogz´ıtett pr´ımelem ´es k = A/m marad´ektest.
14
3.2.1. T´ etel. (Hensel-lemma) Legyen f ∈ A[T ] egy polinom ´es tegy¨ uk fel, hogy vannak olyan g0 , h0 ∈ k[T ] polinomok, hogy g0 norm´alt, g0 ´es h0 relat´ıv pr´ımek ´es f ≡ g0 h0 mod m. Ekkor l´eteznek g, h ∈ A[T ] polinomok, hogy g norm´alt, g ≡ g0 mod m, h ≡ h0 mod m ´es f = gh.
Bizony´ıt´as. n ∈ N szerinti teljes indukci´oval bel´atjuk, hogy l´eteznek olyan gn , hn ∈ ∈ A[T ] polinomok, hogy 1n ) f ≡ gn hn mod mn+1 2n ) gn norm´alt 3n ) deg(hn ) ≤ deg(f ) − deg(g0 ) 4n ) gn ≡ g0 mod m, hn ≡ h0 mod m Az n = 0 eset k¨ovetkezik a t´etel felt´eteleib˝ol (a t´etelben adott g0 , h0 ∈ k[T ] A[T ]beli reprezent´ansait v´eve). Tegy¨ uk fel, hogy a g0 , g1 , . . . , gn ´es h0 , h1 , . . . , hn polinomokat m´ar megkonstru´altuk! gn+1 -et illetve hn+1 -et gn+1 = gn + un π n+1 illetve hn+1 = hn + vn π n+1 alakban keress¨ uk, ahol un , vn ∈ A[T ] polinomok. Ekkor 4n+1 ) automatikusan teljes¨ ulni fog. Mivel g0 ´es h0 relat´ıv pr´ımek k[T ]-ben, ´ıgy k[T ] = hg0 , h0 i, 4n )-et figyelembe v´eve ´ıgy k[T ] = hgn mod m, hn mod mi. 1n ) szerint π −(n+1) (f − gn hn ) ∈ A[T ], ´ıgy tal´alhatunk un , vn ∈ A[T ]-t hogy f − gn hn ≡ gn vn + hn un π n+1
mod m
(1)
Ekkor
f − gn+1 hn+1 ≡ 0 mod m π n+1 teh´at 1n+1 ) is teljes¨ ulni fog. Vegy¨ uk ´eszre, hogy ha ϕ ∈ A[T ] ´es (un , vn )-t lecser´elj¨ uk (un + ϕg0 , vn − ϕh0 )-ra, akkor (1) tov´abbra is teljes¨ ulni fog. Keress¨ unk olyan ϕt marad´ekos oszt´assal (g0 norm´alt!), amelyre un = (−ϕ)g0 + r0 , ahol deg(r0 ) < < deg(g0 ). Ezzel a ϕ v´alaszt´assal el´erj¨ uk, hogy deg(un ) < deg(g0 ) legyen. Ekkor 2n+1 ) 2n )-b˝ol trivi´alisan k¨ovetkezik. 3n )-b˝ol k¨ovetkezik, hogy deg(hn un ) = deg(hn ) + deg(un ) ≤ (deg(f ) − deg(g0 )) + deg(g0 ) = deg(f )
15
(2)
vn m-beli egy¨ utthat´oit cser´elj¨ uk le null´akra, k¨onnyen a´tgondolhat´oan az eddigi ugg´eseink igazak maradnak. Mivel gn norm´alt, ´ıgy ¨osszef¨ 4n )
deg(g0 ) + deg(vn ) = deg(gn ) + deg(vn ) = deg(gn vn ) = deg(gn vn mod m) (1) f − gn hn ≤ max deg mod m , deg(hn un mod m) π n+1 ≤ max(deg(f − gn hn ), deg(hn un )) (2)
≤ max(deg(f − gn hn ), deg(f )) 3n )
= deg(f )
Kihaszn´alva azt is, hogy 3n )-b˝ol deg(hn ) ≤ deg(f )−deg(g0 ), kapjuk, hogy deg(hn+1 ) = = deg(hn + π n+1 vn ) ≤ max(deg(hn ), deg(vn )) ≤ deg(f ) − deg(g0 ), teh´at 3n+1 ) is teljes¨ ul. Ezzel az indukci´os l´ep´es igazol´as´at befejezt¨ uk. Legyen g := lim gn = g0 + n→∞
X
un π n+1 ,
h := lim hn = h0 + n→∞
n≥0
X
vn π n+1
n≥0
Itt a gn -ek foksz´ama korl´atos (pontosabban mindnek deg(g0 ) a foka, 2n ) ´es 4n ) szerint). K¨onnyen l´athat´o, hogy ha j r¨ogz´ıtett, az a sorozat, aminek az n-edik eleme T j egy¨ utthat´oja gn -ben Cauchy-sorozat. De ekkor ez az egy¨ utthat´osorozat konvergens (K teljes), s˝ot a hat´ar´ert´eke A-ban van (A z´art 3.1.7 szerint). ´Igy a limesz val´oban ´ertelmes ´es g egy A[T ]-beli polinom, amire k¨onnyen ´atgondolhat´oan g ≡ g0 mod m. Hasonl´oan h is egy A[T ]-beli polinom lesz (ott 3n ) miatt korl´atos a foksz´amok sorozata) ´es h ≡ h0 mod m. Mivel deg(un ) < deg(g0 ), ´ıgy nyilv´an g norm´alt lesz. 1n )-b˝ol f − gh ≡ f − gn hn ≡ 0 mod mn+1 T n de ez azt jelenti, hogy f − gh egy¨ utthat´oi ∞ ıgy f = n=1 m = {0}-ban vannak, de ´ = gh. 3.2.2. K¨ ovetkezm´ eny. Legyen f ∈ K[T ] norm´alt irreducibilis polinom, ekkor f (0) ∈ A ⇔ f ∈ A[T ]. Bizony´ıt´as. Nyilv´an csak a ”⇒” ir´annyal kell foglalkoznunk. Legyen m minim´alis, hogy π m f ∈ A[T ]. Ha m ≤ 0, akkor az a´ll´ıt´as igaz, teh´at feltehetj¨ uk, hogy m ≥ 1. Mivel m minim´alis, ´ıgy π m f 6≡ 0 mod m, viszont mivel m ≥ 1 ´es f norm´alt, deg(π m f mod m) < deg(f ). Ha f (0) ∈ A lenne, akkor π m f (0) ∈ m, ´ıgy π m f ≡ T r h0 mod m lenne egy olyan h0 ∈ k[T ]-re, amire h0 (0) m´ar nem 0 ´es egy 1 ≤ r < deg(f )-re. A Hensel-lemm´at
16
alkalmazva innen kapn´ank a π m f polinom egy nemtrivi´alis szorzatel˝oa´ll´ıt´as´at, ami ellentmondana f irreducibilit´as´anak. R¨ogz´ıts¨ unk a tov´abbiakban egy L/K v´eges testb˝ov´ıt´est. 3.2.3. T´ etel. Egy´ertelm˝ uen l´etezik egy e(L/K) pozit´ıv eg´esz ´es L-en egy vL diszkr´et ´ert´ekel´es, amire vL |K × = e(L/K) · v. ami oszt´oja [L : K]-nak. Ez az e(L/K) oszt´oja [L : K]-nak; az L test teljes a vL diszkr´et ´ert´ekel´essel ell´atva. Bizony´ıt´as. Legyen d := [L : K] ´es N : L× → K × a normaf¨ uggv´eny. Legyen v˜L := v ◦ N : L× → Z Ekkor a (II) tulajdons´ag nyilv´anval´oan teljes¨ ul v˜L -re. A (III) tulajdons´ag ellen˝orz´es´ehez el˝osz¨or bel´atjuk, hogy ha x ∈ L-re v˜L (x) ≥ 0, akkor v˜L (1 + x) ≥ 0: Legyen p(T ) x minim´alpolinomja K felett. Ekkor p(0)[L:K(x)] = = (−1)d N (x). Mivel v˜L (x) ≥ 0, ´ıgy 0 ≤ v(N (x)) = [L : K(x)]v(p(0)), teh´at p(0) ∈ ∈ A. ´Igy 3.2.2 miatt p ∈ A[T ], ´ıgy p(−1) ∈ A, v(p(−1)) ≥ 0. Azonban p(T − 1) ´eppen x + 1 minim´alpolinomja, ´ıgy p(0 − 1)[L:K(x)] = (−1)d N (x + 1), de innen v˜L (x + + 1) = v(N (x + 1)) = [L : K(x)] · v(p(−1)) ≥ 0. Legyen x, y ∈ L, bel´atjuk hogy (III) teljes¨ ul r´ajuk. Tegy¨ uk fel hogy x ´es y egyik sem 0 (az az eset trivi´alis) ´es hogy v˜L (y) ≥ v˜L (x) (feltehet˝o mert (III) szimmetrikus). Ekkor v˜L xy ≥ 0 ´es ´ıgy y v˜L (x + y) = v˜L (x) + v˜L 1 + ≥ v˜L (x) = min(˜ vL (x), v˜L (y)) x ´ıgy a (III) tulajdons´agot ellen˝orizt¨ uk. Mivel v˜L |K × = d · v, ´ıgy d · Z ⊆ im(˜ vL ) ⊆ Z, de ´ıgy egy´ertelm˝ uen l´etezik c|d, hogy im(˜ vL ) = c · Z. Ekkor vL := 1c v˜L : L× → Z sz¨ urjekt´ıv ´es ´ıgy 3.1.4 szerint egy diszkr´et ´ert´ekel´es. d d vL |K × = c · v, ´ıgy e(L/K) := c -t v´alasztunk. (L, vL ) teljess´eg´enek bel´at´as´ahoz tekintj¨ uk az |.| abszol´ ut´ert´eket K-n ´es L-en (mint K-vektort´eren) defini´aljuk az |x|L := e−vL (x)/e(L/K) K-vektort´ernorm´at (|0|L := 0). (Megjegyz´es: Ha F egy test ell´atva egy |.| : F → R≥0 abszol´ ut´ert´ekkel, akkor egy V F -vektort´eren megadott F -vektort´ernorma egy k.k : V → R≥0 lek´epez´es, amelyre i. a ∈ V -re kak ≥ 0 ´es egyen˝os´eg pontosan a = 0 eset´en a´ll fenn
17
ii. α ∈ F -re ´es a ∈ V -re kαV k = |α| · kak iii. a, b ∈ V -re ka + bk ≤ kak + kbk teljes¨ ul.) Ha L-ben (mint K-vektort´erben) fix´alunk egy e1 , e2 , . . . , ed b´azist, akkor 0 d X ai ei := max(|a1 |, |a2 |, . . . , |ad |) i=1
L
egy m´asik K-vektort´ernorma L-en. K teljess´eg´enek a trivi´alis k¨ovetkezm´enye, hogy a |.|0L a´ltal megadott topol´ogi´aval K teljes. Haszn´aljuk fel a k¨ovetkez˝o ´all´ıt´ast (az [5] jegyzetben ez a 4.4.6 a´ll´ıt´as, ott megtal´alhat´o a bizony´ıt´asa): ´ ıt´ 3.2.4. All´ as. Egy (F, |.|) abszol´ ut´ert´ekkel ell´atott test feletti v´eges dimenzi´os V vektort´eren b´armely k´et norma ugyanazt a topol´ogi´at gener´alja. Innen kapjuk, hogy a |.|L a´ltal gener´alt topol´ogia teljes, de a´tgondolhat´oan vL is ezt a topol´ogi´at gener´alja, ´ıgy (L, vL ) teljes. M´ar csak e(L/K) ´es vL egy´ertelm˝ us´eg´et kell bizony´ıtanunk. Legyen wL egy m´asik diszkr´et ´ert´ekel´es L-en, amihez van olyan b ∈ N, hogy wL |K × = b · v. Ekkor legyen kxkL := e−wL (x)/b , ez egyr´eszt egy abszol´ ut´ert´ekf¨ uggv´eny L-en (mint testen), m´asr´eszt egy (K, |.|)-vektort´ernorma L-en (mint K-vektort´eren). 3.2.4 szerint az k.kL norma azaz ugyanazt a topol´ogi´at gener´alja L-en, mint |.|L . A k¨ovetkez˝o ´all´ıt´ast is felhaszn´aljuk ( [5] 4.1.5): ´ ıt´ 3.2.5. All´ as. Ha egy testen adott k´et abszol´ ut´ert´ek, k.k ´es k.k0 , amik ugyanazt a topol´ogi´at gener´alj´ak, akkor l´etezik σ > 0 val´os, amelyre k.k0 = k.kσ . Emiatt l´etezik σ > 0 val´os, amelyre k.kL = |.|σL , ´es mivel |.|L ´es k.kL is |.| kiterjeszt´ese, ´ıgy σ = 1. ´Igy bvL = e(L/K)wL . Mivel a wL a´ltal kijel¨olt diszkr´et ´ert´ekel´esgy˝ ur˝ uben van pr´ımelem (aminek 1 az ´ert´ekel´ese), ´ıgy b|e(L/K), ugyanezt a m´asik ir´anyban is kihaszn´alva e(L/K)|b, b = e(L/K) ´es ´ıgy vL = wL . Ezzel bel´attuk az egy´ertelm˝ us´eget is. Megjegyezz¨ uk, hogy vL (π) = e(L/K). 3.2.6. Defin´ıci´ o. e(L/K) az L/K b˝ov´ıt´es el´agaz´asi indexe. Legyen AL ⊆ L a vL a´ltal kijel¨olt ´ert´ekel´esgy˝ ur˝ u, πL ∈ AL egy r¨ogz´ıtett pr´ımelem e(L/K) ´es kL = AL /πL AL a marad´ektest. Mivel πAL = πL AL , m = πA ⊆ πL AL . Az A ⊆ AL be´agyaz´as ´ıgy induk´al egy k ⊆ kL be´agyaz´ast a marad´ektestek k¨oz¨ott.
18
3.2.7. Lemma. [kL : k] < ∞ Bizony´ıt´as. Legyen y¯1 , y¯2 , . . . , y¯n ∈ kL line´arisan f¨ uggtelen rendszer k felett ´es yi ∈ ∈ AL olyan, hogy y¯i = yi + πL AL (1 ≤ i ≤ n). Elegend˝o bel´atni, hogy az yi -k K felett line´arisan f¨ uggetlenek, hiszen L v´egesdimenzi´os K felett. Tegy¨ uk fel indirekt, hogy a1 y1 + a2 y2 + . . . + an yn = 0, ahol ai ∈ K (1 ≤ i ≤ n) ´es nem minden ai nulla. Legyen k = min(v(a1 ), v(a2 ), . . . v(an )), ekkor a0i = π −k ai ∈ A ⊆ AL (v(a0i ) = −k + + v(ai ) ≥ 0), de valamely i-re v(a0i ) = (−k) + v(ai ) = 0, teh´at nem minden a0i van benne πL AL -ben. ´Igy a a01 y1 +a02 y2 +. . .+a0n yn = 0 ¨osszef¨ ugg´est mod πL AL tekintve kapjuk, hogy y¯1 , y¯2 , . . . , y¯n m´egsem line´arisan f¨ uggetlen, ami ellentmond´as. 3.2.8. Defin´ıci´ o. f (L/K) := [kL : k] az L/K b˝ov´ıt´es inerciafoka. 3.2.9. Lemma. Egy M/L/K v´eges b˝ov´ıt´esl´ancra e(M/K) = e(M/L)e(L/K) ´es f (M/K) = f (M/L)f (L/K) Bizony´ıt´as. Ha X ∈ {K, L, M }, akkor jel¨olje vX az X-en l´ev˝o diszkr´et ´ert´ekel´est, πX egy pr´ımelemet az X-beli diszkr´et ´ert´ekel´esgy˝ ur˝ uben, kX az AX -beli marad´ektestet. A m´asodik ´all´ıt´as azt mondja ki, hogy a kM /kL /kK b˝ov´ıt´esl´ancra [kM : kK ] = = [kM : kL ] · [kL : kK ] ´es ez a foksz´amt´etel testb˝ov´ıt´esekre. Az els˝o ´all´ıt´as azt mondja ki, hogy vM (πK ) = e(M/L) · vL (πK ), de tudjuk, hogy vM |L× = e(M/L)vL , ´ıgy ez is teljes¨ ulni fog. 3.2.10. Defin´ıci´ o. Azt mondjuk, hogy az L/K b˝ov´ıt´es – el´agaz´asmentes ha e(L/K) = 1 ´es kL /k szepar´abilis, – teljesen el´agaz´o, ha e(L/K) = [L : K]. Egy el´agaz´asmentes L/K b˝ov´ıt´esre K minden pr´ımeleme L-ben is pr´ımelem. 3.2.11. Lemma. Legyen R ⊆ A egy reprezent´ansrendszere A/m-nek, ami a null´ at tartalmazza, tov´abb´a minden m ∈ Z-hez r¨ogz´ıts¨ unk egy πm ∈ K-t, amelyre v(πm ) = = m. Ekkor a k¨ovetkez˝ok igazak: P i. Ha am ∈ R, az x := m≥m0 am πm ¨osszeg konvergens K-ban ´es v(x) = min{m|am 6= 0}. ii. Minden x ∈ K egy´ertelm˝ uen ´ırhat´o x = Bizony´ıt´as.
19
P
m≥m0
am πm alakban.
i. A konvergencia trivi´alisan k¨ovetkezik az egyszer˝ us´ıtett Cauchy-krit´eriumb´ol ´es abb´ol, hogy v(am πm ) ≥ m. Vegy¨ uk ´eszre, hogy R ¨osszes nemnulla eleme egys´eg A-ban, ´ıgy0 ´ert´ekel´essel rendelkezik, ´ıgy ha i = min{m|am 6= 0}, akkor minden Pj alva a 3.1.3 ¨osszef¨ ugg´est), ´ıgy v(x) = i j ≥ i-re v m=m0 am πm = i (kihaszn´ lesz. ii. x = 0-hoz am = 0 minden m-re j´o v´alaszt´as, ´es megford´ıtva, ha x = 0, azaz v(x) = min{m|am 6= 0} = ∞, akkor minden am -nek null´anak kell lennie. Tegy¨ uk × fel, hogy x ∈ K ´es legyen m0 = v(x). A l´etez´eshez rekurz´ıvan konstru´alunk egy (am )m≥m0 R-ben halad´o sorozatot, amire minden m ≥ m0 eset´en X v(x − sm ) ≥ m, ahol sm := aµ π µ m0 ≤µ<m
(Ez m = m0 -ra teljes¨ ulni fog: v(x − 0) ≥ m0 .) Tegy¨ uk fel, hogy m ≥ m0 ´es −1 minden m0 ≤ µ < m-re m´ar megadtuk aµ -t! Ekkor v((x − sm ) · πm ) ≥ 0, ´ıgy −1 van olyan am ∈ R, amelyre v((x−sm )·πm −am ) ≥ 1. Ez j´o v´alaszt´as lesz, hiszen −1 − am ) ≥ m + 1. ekkor v(x − sm+1 ) = v(x − sm − am πm ) = v(πm ) + v((x − sm ) · πm Ezzel a l´etez´est igazoltuk. P P Az egy´ertelm˝ us´eg igazol´as´ahoz tegy¨ uk fel, hogy x = m≥m0 am πm = n≥n0 bn πn , ahol am , bn ∈ R ´es am0 6= 0 6= bn0 . Ekkor v(x) = m0 = n0 . Tegy¨ uk fel, hogy am0 6= bm0 (k¨ ul¨onben az els˝o n´eh´any ¨osszeadand´ot elhagyhatjuk). Ekkor X (am0 − bm0 )πm0 = (am − bm )πm m>m0
´ıgy v(am0 − bm0 πm0 ) > m0 , v(am0 − bm0 ) > 0 ´es ez elletmond annak, hogy am0 , bm0 ∈ R k¨ ul¨onb¨oz˝o elemek.
3.2.12. P´ elda. Ezt K = Qp -re, πm = pm -re ´es R = {0,1,2, . . . , p − 1}-re alkalmazva kapjuk, hogy minden x ∈ Qp egy´ertelm˝ uen el˝o´all a k¨ovetekz˝o alakban: x=
X
am pm , ahol 0 ≤ am < p
m≥m0
3.2.13. T´ etel.
i. [L : K] = e(L/K)f (L/K)
ii. AL egy [L : K] rang´ u szabad A-modulus Bizony´ıt´as. Legyen e := e(L/K) ´es f := f (L/K). Legyen πm := π n πLi , ha m = ne + i, ahol 0 ≤ i < e
20
´es R egy null´at tartalmaz´o reprezent´ansrendszere A/m-nek. Jel¨olj¨ unk ki y1 , y2 , . . . , yf elemeket AL -ben, u ´gy, hogy a marad´ekoszt´alyaik egy k-b´azis´at alkoss´ak kL -nek. 3.2.11 szerint minden x ∈ L egy´ertelm˝ uen ´ırhat´o a k¨ovetkez˝o alakban (´es minden ilyen alak´ u ¨osszeg konvergens) X (m) (m) (m) (m) x= am πm , ahol am = r1 y1 + r2 y2 + . . . + rf yf ´es rj ∈ R m≥m0
Behelyettes´ıtve ´es a´trendezve ezt az egy´ertelm˝ u az o¨sszegalakot ! ! f e−1 e−1 X X (ne+i) X X X rj π n yj πLi x= ane+i π n πLi = i=0
n
i=0 j=1
n
P ( A ci,j := n rj ne + i)π n egy¨ utthat´ok K-ban vannak ´es minden K-beli elem egy´ertelm˝ uen a´ll el˝o ilyen alakban (3.2.11 miatt). Tov´abb´a k¨onnyen meggondolhat´oan pontosan akkor van minden ci,j A-ban, ha x AL -ben van. Ez azt jelenti, hogy az ef elem˝ u {yj πLi |0 ≤ i ≤ e − 1, 1 ≤ j ≤ f } rendszer egy K-b´azisa L-nek ´es egy A-b´azisa AL -nek. Speci´alisan kaptuk, hogy L/K pontosan akkor el´agaz´asmentes, ha kL /k szepar´abilis ´es [kL : k] = [L : K]. 3.2.14. Megjegyz´ es. Legyen p(T ) az x ∈ L elem minim´alpolinomja K felett. Ekkor x ∈ AL ⇔ p ∈ A[T ]. Bizony´ıt´as. vL -r˝ol 3.2.3 bizony´ıt´as´aban bel´atjuk, hogy vL (x) = hpozit´ıv ´ert´eki·v(p(0)) (pontosabban ezt v˜L -r˝ol l´atjuk be, ami pozit´ıv konstansszorosa vL -nek), ´ıgy x ∈ ∈ AL ⇔ p(0) ∈ A. Innen 3.2.2 alkalmaz´as´aval ad´odik a megjegyz´es¨ unk. 3.2.15. T´ etel. Legyen K ≤ L1 , L2 ≤ L k´et testb˝ov´ıt´esl´anc; ekkor ha L1 /K ´es L2 /K is el´agaz´asmentes, akkor L1 L2 /K is el´agaz´asmentes. Bizony´ıt´as. Mivel a testb˝ov´ıt´esek foka multiplikat´ıv ´es a szeparabilit´as tranzit´ıv, ´ıgy el´eg bel´atni, hogy L1 L2 /L2 el´agaz´asmentes. Mivel minden szepar´abilis b˝ov´ıt´es egyszer˝ u, l´etezik egy olyan α ¯ ∈ kL1 , hogy kL1 = k(¯ α). R¨ogz´ıts¨ unk α ∈ AL1 -et, amelyre α ¯ = α + πL1 AL1 ´es legyen p(T ) α-nak a K feletti minim´alpolinomja! Az el˝oz˝o megjegyz´es szerint p ∈ A[T ]. Ekkor [kL1 : k] ≤ deg(p
mod m) ≤ deg(p) = [K(α) : K] ≤ [L1 : K] = [kL1 : k]
´ıgy L1 = K(α) ´es p mod m az α ¯ k feletti minim´alpolinomja. L1 = K(α)-b´ol L1 L2 = = L2 (α). α-nak az L2 feletti q(T ) minim´alpolinomja a Gauss-lemma miatt p-nek egy
21
AL2 [T ]-beli oszt´oja. ´Igy q mod πL2 AL2 oszt´oja p mod m-nek, teh´at szepar´abilis ´es ´ıgy a Hensel-lemma miatt irreducibilis is (k¨ ul¨onben q is reducibilis lenne). ´Igy kaptuk, hogy [kL1 L2 : kl2 ] ≤ [L1 L2 : L2 ] = = deg(q) = deg(q
mod πL2 AL2 ) = [kL2 (¯ α) : kL2 ] ≤ [kL1 L2 : kl2 ]
´es innen k¨ovetkezik kL1 L2 = kL2 (¯ α) szeparabilit´asa kL2 felett ´es [kL1 L2 : kl2 ] = [L1 L2 : : L2 ] is. 3.2.16. Defin´ıci´ o. A legynagyobb K felett el´agaz´asmentes r´eszb˝ov´ıt´ese L/K-nak L/K inerciateste.
22
4. Konstrukci´ ok diszkr´ et ´ ert´ ekel´ esgy˝ ur˝ ukre A k¨ovetekz˝o fejezetekben megkonstru´aljuk a Witt-vektorok W (B) gy˝ ur˝ uj´et egy B kommutat´ıv egys´egelemes gy˝ ur˝ uh¨oz (amir˝ol legt¨obb t´etelben tov´abbi tulajdons´agokat is fel kell tenni, p´eld´aul azt, hogy test illetve azt, hogy p karakterisztik´aj´ u egy p > 0 pr´ımre). Amennyiben B perfekt p > 0 karakterisztik´aj´ u test, akkor W (B) egy teljes diszkr´et ´ert´ekel´esgy˝ ur˝ u lesz (4.1.23 t´etel). Ha B nem perfekt, akkor ugyan W (B) maga nem diszkr´et ´ert´ekel´esgy˝ ur˝ u, de bizonyos r´eszgy˝ ur˝ ui, a Cohenr´eszgy˝ ur˝ uk m´ar azok lesznek. (Ez a fejezet nem r´esze a Dieudonn´e–Manin t´etel bizony´ıt´as´anak.)
4.1. Witt-vektorok A tov´abbiakban legyen p egy r¨ogz´ıtett pr´ımsz´am. Minden n ≥ 0-ra legyen Φn (X0 , . . . , Xn ) :=
n X
n−i
pi Xip
n
n−1
= X0p + pX1p
+ . . . + pn Xn
i=0
az n-edik Wittpolinom. Ekkor Φ0 (X0 ) = X0 ´es n+1
Φn+1 (X0 , . . . , Xn+1 ) = Φn (X0p , . . . , Xnp ) + pn+1 Xn+1 = X0p
+ pΦn (X1 , . . . , Xn+1 ) (3)
Legyen A egy tetsz˝oleges kommutat´ıv egys´egelemes gy˝ ur˝ u. Azt mondjuk, hogy p1A nem nulloszt´o, ha a p-vel val´o szorz´as A → A injekt´ıv lek´epez´es. (Ha p1A ∈ A× , akkor a p-vel val´o szorz´as term´eszetesen bijekt´ıv.) 4.1.1. Lemma. Ha m, n ≥ 1 ´es a, b ∈ A, akkor n
a ≡ b mod pm A ⇒ ap ≡ bp
n
mod pm+n A
Bizony´ıt´as. Az n = 1 esetb˝ol a t¨obbi k¨ovetkezik indukci´oval, el´eg azt igazolni. ap − − bp = (a − b)(ap−1 + ap−2 b + . . . + abp−2 + bp−1 ). A m´asodik t´enyez˝oben minden tag ≡ ap−1 mod pA (m ≥ 1) ´es p tag van, teh´at a m´asodik t´enyez˝o pA-ban van, a − b pedig pm A-ban, ´ıgy val´oban kapjuk a k´ıv´ant kongruenci´at. 4.1.2. Lemma. Ha m ≥ 1, n ≥ 0 ´es a0 , . . . , an , b0 , . . . , bn ∈ A, akkor i. ai ≡ bi mod pm A minden 0 ≤ i ≤ n-re ⇒ Φi (a0 , . . . , ai ) ≡ Φi (b0 , . . . , bi ) mod pm+i A minden 0 ≤ i ≤ n-re. ii. Ha p1A nem nulloszt´o, ennek a megford´ıt´asa is teljes¨ ul.
23
Bizony´ıt´as. Mindk´et r´eszt indukci´oval l´atjuk be, n = 0 mindk´et r´eszn´el trivi´alis. Tegy¨ uk fel, hogy n ≥ 1. i. api ≡ bpi mod pm+1 A az el˝oz˝o lemma ´es a feltev´eseink miatt. Az indukci´os feltev´est alkalmazva az api -ekre ´es m+1-re, majd a (3) rekurzi´os formul´at alkalmazva Φn (a0 , . . . , an ) − pn an ≡ Φn (b0 , . . . , bn ) − pn bn
mod pm+n A
´es an ≡ bn mod pm A, pn an ≡ pn bn mod pm+n A miatt ´ıgy k´eszen vagyunk. ii. Az indukci´os feltev´esb˝ol ai ≡ bi mod pm A minden 0 ≤ i < n-re. Ezekb˝ol a felt´etelekb˝ol ism´et levezethetj¨ uk az Φn (a0 , . . . , an ) − pn an ≡ Φn (b0 , . . . , bn ) − pn bn
mod pm+n A
ugg´est, de most azt tudjuk, hogy a k´et Φn (. . .) ´ert´ek lesz kongruens, ´ıgy ¨osszef¨ azt kapjuk, hogy pn (an − bn ) ∈ pm+n A, ahonnan a p-vel szorz´as injekt´ıv volta miatt k´eszen vagyunk.
Legyen AN = {(a0 , a1 , a2 , . . .)|ai ∈ A} az A gy˝ ur˝ u megsz´aml´alhat´oan v´egtelen sok p´eld´any´anak a direkt szorzata (az ¨osszead´ast ´es szorz´ast komponensenk´ent ´ertelmezz¨ uk). Defini´aljuk a k¨ovetkez˝o lek´epez´eseket: fA
:
AN → AN
(a0 , a1 , a2 , . . .) 7→ (a1 , a2 , . . .) (ez egy gy˝ ur˝ uhomomorfizmus), vA
:
AN → AN
(a0 , a1 , . . .) 7→ (0, pa1 , pa2 , . . .) (ez addit´ıv, de a szorz´ast ´es az egys´egelemet nem tartja), Φn
:
AN → A
(a0 , a1 , . . .) 7→ Φn (a0 , a1 , . . . , an ) ´es ΦA
:
AN → AN a 7→ (Φ0 (a), Φ1 (a), . . .)
4.1.3. Lemma.
i. Ha p1A nem nulloszt´o A-ban, akkor ΦA injekt´ıv.
24
ii. Ha p1A ∈ A× , akkor ΦA bijekt´ıv. Bizony´ıt´as. Legyenek a = (a0 , a1 , . . .) ´es u = (u0 , u1 , . . .) AN -beli elemek! A (3) rekurzi´os formula szerint ΦA (a) = u ekvivalens a k¨ovetekz˝ovel: u 0 = a0 un = Φn−1 (ap0 , ap1 , . . . apn−1 ) + pn an ha n ≥ 1
(4)
A bizony´ıtand´o a´ll´ıt´as innen k¨onnyen leolvashat´o : ha a p-vel szorz´as, ´ıgy a pn -nel szorz´as is injekt´ıv, akkor adott un -ekhez egyetlen (an ) sorozat tartozhat, m´ıg ha ez a szorz´as bijekt´ıv, akkor tetsz˝oleges un -ekhez tal´alhatunk a-t. A (4) rendszerb˝ol leolvashat´o k¨ovetkez˝o : 4.1.4. K¨ ovetkezm´ eny. Legyen a = (an )n , u = (un )n ∈ AN olyanok, hogy ΦA (a) = = u. Legyen B ≤ A olyan egys´egelemes r´eszgy˝ ur˝ u, hogy a p-vel val´o szorz´as, mint az A/B Abel-csoportot ¨onmag´ara k´epz˝o homomorfizmus injekt´ıv. Ekkor minden m ≥ ≥ 0-ra u0 , . . . , um ∈ B ⇔ a0 , . . . , am ∈ B 4.1.5. T´ etel. Tegy¨ uk fel, hogy A-n adott egy σ endomorfizmus, amire σ(x) ≡ xp mod pA minden x ∈ A-ra. Adott n ≥ 1-hez ´es a0 , a1 , . . . , an−1 -hez legyen minden 0 ≤ i ≤ n − 1-re ui = Φi (a0 , . . . , ai ); ekkor egy u ∈ A-ra (∃an : un = Φn (a0 , . . . , an )) ⇔ σ(un−1 ) ≡ un
mod pn A
Bizony´ıt´as. A 4.1.2 lemma els˝o r´esz´et haszn´alva m = 1-gyel σ(un−1 ) = Φn−1 (σ(a0 ), . . . , σ(an−1 ) ≡ Φn−1 (ap0 , . . . , apn−1 )
mod pn A
Egy olyan an , amelyre un = Φn (a0 , . . . , an ) = Φn−1 (ap0 , . . . , apn−1 ) + pn an , pontosan akkor l´etezik, ha un − Φn−1 (ap0 , . . . , apn−1 ) ∈ pn A, de σ(un−1 ) ≡ Φn−1 (ap0 , . . . , apn−1 ) mod pn A miatt ez ekvivalens un ≡ σ(un−1 ) mod pn A-val. A t´etel ´all´ıt´asa alapj´an jellemezhetj¨ uk im(ΦA )-t: 4.1.6. K¨ ovetkezm´ eny. A0 := im(ΦA ) egy r´eszgy˝ ur˝ u AN -ben, amire A0 = {(un )n ∈ AN |σ(un ) ≡ un+1
mod pn+1 A minden n ≥ 0-ra}
´es vA (A0 ) ⊆ A0 , fA (A0 ) ⊆ A0 . Ezeket az eredm´enyeinket a (k´etszer) megsz´aml´alhat´oan v´egtelen v´altoz´os A := Z[X0 , X1 , . . . , Y0 , Y1 , . . .]
25
polinomgy˝ ur˝ ure alkalmazzuk, amin p1A nyilv´an nem nulloszt´o. Defini´ajuk a θ : A → A gy˝ ur˝ uendomorfizmust u ´gy, hogy θ|Z := idZ , θ(Xi ) := Xip ´es θ(Yi ) := Yip . 4.1.7. Lemma. θ(x) ≡ xp mod pA minden x ∈ A-ra. Bizony´ıt´as. Az {x ∈ A|θ(x) ≡ xp mod pA} halmaz k¨onnyen a´tgondolhat´oan r´eszgy˝ ur˝ u A-ban, ami a kis Fermat-t´etel szerint tartalmazza Z-t ´es θ defin´ıci´oj´ab´ol leolvashat´oan tartalmazza az Xi -ket ´es Yi -ket, ´ıgy ez a r´eszgy˝ ur˝ u maga A lesz. Legyen X := (Xn )n ´es Y = (Yn )n AN -ben. 4.1.6 illetve 4.1.3 szerint l´eteznek illetve egy´ertelm˝ uek olyan S = (Sn )n , P = (Pn )n , I = (In )n ´es F = (Fn )n elemek N A -ben, hogy ΦA (S) = ΦA (X) + ΦA (Y) ΦA (P) = ΦA (X) · ΦA (Y) ΦA (I) = −ΦA (X) ΦA (F) = fA (ΦA (X)) azaz Φn (S0 , . . . , Sn ) = Φn (X0 , . . . , Xn ) + Φn (Y0 , . . . , Yn ) Φn (P0 , . . . , Pn ) = Φn (X0 , . . . , Xn ) · Φn (Y0 , . . . , Yn ) Φn (I0 , . . . , In ) = −Φn (X0 , . . . , Xn )
(5)
Φn (F0 , . . . , Fn ) = Φn+1 (X0 , . . . , Xn+1 ) 4.1.4 szerint Sn , Pn ∈ Z[X0 , . . . , Xn , Y0 , . . . , Yn ] In ∈ Z[X0 , . . . , Xn ] Fn ∈ Z[X0 , . . . , Xn+1 ] Ezek az Sn , Pn , In , Fn polinomok a (4) rekurzi´os k´epletek seg´ıts´eg´evel kifejezhet˝oek: S0 = X0 + Y0 ,
p−1 X 1 p S1 = X1 + Y1 + X0i Y0p−i p i i=1
P1 = pX1 Y1 + X0p Y1 + X1 Y0p p−1 X p p−i−1 pi p−i p F0 = X0 + pX1 , F1 = X1 + pX2 − p X0 X1 i i=0 P0 = X 0 Y 0 ,
Ha p 6= 2, In = −Xn trivi´alisan ellen˝orizhet˝o minden n > 0-ra. 4.1.8. Lemma. Sn − Xn − Yn ∈ Z[X0 , . . . , Xn−1 , Y0 , . . . , Yn−1 ]
26
Bizony´ıt´as. Az a´ll´ıt´as bel´at´as´ahoz a Φn (S0 , . . . , Sn ) = Φn (X0 , . . . , Xn ) + Φn (Y0 , . . . , Yn ) k´epletb˝ol indulunk ki. Ide a (3) rekurzi´os formul´at be´ırva p p p ) = pn ·(Sn −Xn −Yn ) )−Φn−1 (Y0p , . . . , Yn−1 )−Φn−1 (X0p , . . . , Xn−1 Φn−1 (S0p , . . . , Sn−1
´es itt a bal oldalon Z[X0 , . . . , Xn−1 , Y0 , . . . , Yn−1 ]-beli kifejez´es a´ll, ´ıgy k´eszen vagyunk. Legyen B egy tetsz˝oleges kommutat´ıv egys´egelemes gy˝ ur˝ u. Erre kor´abban m´ar N defini´altuk a (B , +, ·) gy˝ ur˝ ut. Minden ρ : B1 → B2 (egys´egelemet is tart´o) gy˝ ur˝ uN N N homomorfizmusra a ρ : B1 → B2 , (bn )n 7→ (ρ(bn ))n lek´epez´es egy gy˝ ur˝ uhomomorfizmus. Defini´alunk egy m´asik gy˝ ur˝ ustrukt´ ur´at is a W (B) := B N halmazon: legyen (an )n ⊕ (bn )n := (Sn (a0 , . . . , an , b0 , . . . , bn ))n (an )n (bn )n := (Pn (a0 , . . . , an , b0 , . . . , bn ))n ´es 0 := (0, 0, . . .),
1 := (1, 0, 0, . . .)
P ´es S defin´ıci´oj´ab´ol a ΦB : W (B) → B N lek´epez´esre ΦB (a ⊕ b) = ΦB (a) + ΦB (b) ΦB (a b) = ΦB (a) · ΦB (b)
(6)
´es k¨onnyen l´athat´oan ΦB (0) = 0 ´es ΦB (1) = 1 .
(7)
Minden ρ : B1 → B2 gy˝ ur˝ uhomomorfizmusra a W (ρ) := ρN : W (B1 ) → W (B2 ) f¨ uggv´eny nyilv´anval´oan megtartja a ⊕ ´es m˝ uveleteket, kiel´eg´ıti az W (ρ)(1) = 1 ugg´est ´es a ¨osszef¨ ΦB1
W (B1 ) W (ρ)
W (B2 )
B1N ρN
ΦB2
(8)
B2N
diagram kommutat´ıv lesz. 4.1.9. T´ etel. i. (W (B), ⊕, ) egy kommutat´ıv gy˝ ur˝ u 1 egys´egelemmel ´es 0 nullelemmel, amiben (bn )n addit´ıv inverze (In (b0 , . . . , bn ))n .
27
ii. ΦB : W (B) → B N gy˝ ur˝ uhomomorfizmus, azaz minden m ∈ N-re Φm : W (B) → B, (bn )n 7→ Φm (b0 , . . . , bm ) gy˝ ur˝ uhomomorfizmus. iii. Minden ρ : B1 → B2 gy˝ ur˝ uhomomorfizmusra W (ρ) : W (B1 ) → W (B2 ) gy˝ ur˝ uhomomorfizmus. Bizony´ıt´as. A t´etel el˝otti megjegyz´eseink miatt el´eg az els˝o ´all´ıt´ast bizony´ıtanunk. Tekints¨ uk a B1 := Z[{Xb |b ∈ B}] polinomgy˝ ur˝ ut ´es rajta a ρ : B1 → B, Xb 7→ b sz¨ urjekt´ıv homomorfizmust. A B1 gy˝ ur˝ un σ(Xb ) := Xbp egy endomorfizmust defini´al, amire σ(b) ≡ bp mod pB1 minden b ∈ B1 -re. Nyilv´an p1B1 nem nulloszt´o B1 -ben. Ekkor 4.1.3 i. ´es 4.1.4 miatt ∼ =
ΦB1 : W (B1 ) → B10 egy B10 ≤ B1N r´eszgy˝ ur˝ ure k´epz˝o bijekci´o. (6) ´es (7) miatt ´ıgy a B1N -beli asszociativit´as, disztriutivit´as stb. a´tvihet˝o W (B1 )-re is, ´ıgy (W (B1 ), ⊕, ) kommutat´ıv gy˝ ur˝ u 1 egys´egelemmel. Az addit´ıv inverzere vonatkoz´o k´eplet trivi´alis az In -re vonatkoz´o ugg´eseinkb˝ol. Ezut´an haszn´aljuk fel, hogy a W (ρ) : W (B1 ) → W (B) sz¨ urjekt´ıv ¨osszef¨ lek´epez´es tartja a ⊕ ´es m˝ uveleteket, valamint az egys´egelemet, ´ıgy vele W (B)-re is a´tvihet˝oek ugyanezek. 4.1.10. Defin´ıci´ o. (W (B), ⊕, ) a B-beli egy¨ utthat´os Witt-vektorok gy˝ ur˝ uje. A Φn (b0 , . . . , bn ) elemeket a (bn )n ∈ W (B) Witt-vektor fantomkomponenseinek nevezz¨ uk. Ezen fel¨ ul W (B)-n defini´alhatjuk a k¨ovetkez˝o lek´epez´eseket: F : W (B) → W (B), (bn )n 7→ (Fn (b0 , . . . , bn ))n V : W (B) → W (B), (bn )n 7→ (0, b0 , b1 , . . .) Az (5) ´es (4) ¨osszef¨ ugg´esekb˝ol ad´odik, hogy a W (B)
ΦB
fB
F
W (B)
ΦB
W (B)
BN ´es
BN vB
V
W (B)
BN
ΦB
ΦB
BN
diagramok kommutat´ıvak. 4.1.11. T´ etel.
i. F gy˝ ur˝ uendomorfizmus W (B)-n.
ii. V Abel-csoport endomorfizmus W (B) addit´ıv csoportj´an. iii. F (V (b)) = pb minden b ∈ W (B)-re.
28
(9)
iv. V (a F (b)) = V (a) b minden a, b ∈ W (B)-re. v. F (b) ≡ bp mod pW (B) minden b ∈ B-re (A t´etelben pb ´es bp term´eszetesen a W (B)-n megadott u ´j (W (B), ⊕, ) gy˝ ur˝ ustrukt´ ura szerint ´ertend˝o.) Bizony´ıt´as. Ezeknek az a´ll´ıt´asoknak a bizony´ıt´as´ahoz ugyanazt a gondolatmenetet alkalmazhatjuk, mint a 4.1.9 t´etel bizony´ıt´as´aban: Ism´et a´tt´er¨ unk a B1 := Z[{Xb |b ∈ B}] gy˝ ur˝ ure, ahol tudni fogjuk, hogy ∼ =
ΦB1 : W (B1 ) → B10 egy B10 ≤ B1N r´eszgy˝ ur˝ ure k´epz˝o bijekci´o. A t´etel ´all´ıt´asainak trivi´alisan teljes¨ ulnek N N a B1 feletti megfelel˝oi (ahol W (B), F , V , ⊕ ´es helyett rendre B1 , fB1 , vB1 , + + ´es · szerepel). Ekkor speci´alisan B10 felett is teljes¨ ulnek ezek, azonban mivel a ΦB1 izomorfizmus (9) szerint F -et ´es V -t fB1 -nek ´es vB1 -nek felteti meg, ´ıgy kapjuk, hogy W (B1 ) felett igazak a t´etel ´all´ıt´asai. Ezut´an ugyan´ ugy fejezhetj¨ uk be a bizony´ıt´ast, mint a 4.1.9 t´eteln´el: az ottani W (ρ) : W (B1 ) → W (B) sz¨ urjekt´ıv lek´epez´es a gy˝ ur˝ um˝ uveletek tart´as´an k´ıv¨ ul k¨onnyen ´atgondolhat´oan kommut´al az F ´es V lek´epez´esekkel is. 4.1.12. Defin´ıci´ o. F -et ill V -t a W (B)-n l´ev˝o Frobeniusnak illetve Verschiebungnak (”eltol´as”) nevezz¨ uk. Minden m ≥ 0-ra legyen Vm (B) := im(V m ) = {(bn )n ∈ W (B)|b0 = . . . = bm−1 = 0} Ekkor W (B) = V0 (B) ⊃ V1 (B) . . .
´es
\
Vm (B) = {0}
m
4.1.11 ii. ´es iv. r´esze szerint Vm (B) / W (B) ide´al. 4.1.13. Defin´ıci´ o. Wm (B) := W (B)/Vm (B) az m hossz´ u B-beli egy¨ utthat´os Wittvektorok gy˝ ur˝ uje. 4.1.14. Lemma.
i. Minden m ≥ 1-re ´es (bn )n ∈ W (B)-re
(bn )n = (b0 , b1 , . . . , bm−1 , 0, 0, . . .) ⊕ (0, 0, . . . , 0, bm , bm+1 , . . .) | {z } m darab
29
ii. A B m → Wm (B) (b0 , . . . , bm−1 ) 7→ (b0 , . . . , bm−1 , 0,0, . . .) ⊕ Vm (B) f¨ uggv´eny minden m ≥ 1-re bijekt´ıv. Bizony´ıt´as. i. Ism´et a 4.1.9 bizony´ıt´as´aban felhaszn´alt technik´at fogjuk alkalmazni. Elegend˝o bel´atnunk, hogy
Φk ((bn )n ) = Φk (b0 , b1 , . . . , bm−1 , 0, 0, . . .) + Φk (0, 0, . . . , 0, bm , bm+1 , . . .) | {z }
(10)
m darab
minden k ≥ 0, ezt B helyett a B1 polinomgy˝ ur˝ ure alkalmazva, kihaszn´alva, N hogy W (B1 ) izomorf B1 egy r´eszgy˝ ur˝ uj´evel, majd a W (ρ) : W (B1 ) → W (B) sz¨ urjekt´ıv lek´epez´essel visszat´erve W (B)-re kapjuk a bizony´ıtand´o a´ll´ıt´ast. (10) az´ert teljes¨ ul, mert ( Φk (b0 , . . . , bk ) , ha 0 ≤ k < m Φk (b0 , b1 , . . . , bm−1 , 0, 0, . . .) = Pm−1 pk−i i , ha m ≤ k i=0 p bi ´es
( 0 Φk (0, 0, . . . , 0, bm , bm+1 , . . .) = Pk | {z }
k−i i p i=m p bi
m darab
, ha 0 ≤ k < m , ha m ≤ k
ii. A f¨ uggv´eny¨ unk i. miatt sz¨ urjekt´ıv. Az injektivit´ashoz tegy¨ uk fel, hogy (c0 , . . . , cm−1 ,0, . . .) ⊕ Vm (B) = (b0 , . . . , bm−1 ,0, . . .) ⊕ Vm (B) Ekkor van egy olyan b0 = (0, 0, . . . , 0, bm , bm+1 , . . .) ∈ Vm (B) elem, hogy | {z } m darab
(c0 , . . . , cm−1 ,0, . . .) = (b0 , . . . , bm−1 ,0, . . .) ⊕ b0 de ´ıgy i. szerint (c0 , . . . , cm−1 ,0,0, . . .) = (b0 , . . . , bm−1 , bm , bm+1 , . . .) azaz ci = bi 0 ≤ i < m eset´en, azaz a f¨ uggv´eny¨ unk val´oban injekt´ıv.
30
4.1.15. Megjegyz´ es. Az ii. r´eszben szerepl˝o bijekci´o az m = 1 esetben k¨onnyen l´athat´oan gy˝ ur˝ uizomorfizmus, a Φ0 : W1 (B) → B lek´epez´es inverze; az ´altal´anos esetben viszont nem tartja a gy˝ ur˝ um˝ uveleteket. 4.1.16. Lemma. ∼ =
W (B) → lim Wm (B) ←− m
b 7→ (b ⊕ Vm (B))m egy gy˝ ur˝ uizomorfizmus. T Bizony´ıt´as. Mivel m Vm (B) = {0}, a lek´epez´es¨ unk injekt´ıv. Az ¨osszead´as, szorz´as ´es egys´egelem tart´asa is trivi´alisan teljes¨ ulni fog, mert a b 7→ b ⊕ Vm (B) ∈ Wm (b) ˆ = (b ˆ m )m ∈ lim Wm (B) lek´epez´esere teljes¨ ul. A sz¨ urjektivit´as bel´at´as´ahoz legyen b ←−m ˆ m ∈ Wm (B) ´es 0 ≤ k ≤ m eset´en b ˆ m ⊕ Vk (B) = b ˆ k ). Az el˝oz˝o lemma ii. r´esze (azaz b (m) (m) miatt minden m-re van olyan b0 , . . . , bm−1 , hogy ˆ m = (b(m) , . . . , b(m) , 0, 0, . . .) ⊕ Vm (B) b 0 m−1 ˆ m ⊕ Vk (B) = b ˆk, Mivel 0 ≤ k ≤ m eset´en b (k)
(k)
(m)
(m)
(b0 , . . . , bk−1 , 0, 0, . . .) ∈ (b0 , . . . , bm−1 , 0, 0, . . .) ⊕ Vk (B) ´es itt (m)
(m)
(m)
(m)
(m)
(m)
(b0 , . . . , bm−1 , 0, 0, . . .) = (b0 , . . . , bk−1 , 0, 0, . . .)⊕(0, 0, . . . , 0, bk , . . . , bm−1 , 0, 0, . . .) | {z } k darab
´ıgy (k)
(k)
(m)
(m)
(b0 , . . . , bk−1 , 0, 0, . . .) ∈ (b0 , . . . , bk−1 , 0, 0, . . .) ⊕ Vk (B) (k)
(n+1)
(m)
azaz minden 0 ≤ i < k ≤ m eset´en bi = bi . Ez viszont azt jelenti, hogy (bn ˆ lesz. ∈ W (B) k´epe a lek´epez´esn´el ´eppen b 4.1.17. Lemma. A τ : B → W (B) b 7→ (b, 0, 0, . . .) f¨ uggv´eny multiplikat´ıv. Bizony´ıt´as. Legyen P˜n = Pn (X0 , 0, . . . , 0 , Y0 , 0, . . . , 0 ) | {z } | {z } n−1 darab
31
n−1 darab
)n ∈
Tudjuk, hogy P˜0 = P0 (X0 , Y0 ) = X0 Y0 , azt kell m´eg bel´atnunk, hogy P˜n = 0 minden n ≥ 1-re. Az (5) egyenletb˝ol pn
(X0 Y0 )
+
n X
pi P˜ip
n−i
n n = Φn (P˜0 , . . . P˜n ) = Φn (X0 , 0, . . .)Φn (Y0 , 0, . . .) = X0p Y0p
i=1
´es innen indukci´oval ad´odik, hogy P˜n = 0 minden n ≥ 1-re. 4.1.18. Defin´ıci´ o. τ (b) ∈ W (B) a b ∈ B elem Teichm¨ uller-reprezent´ansa. 4.1.19. Lemma. Minden k ≥ 1-re V1 (B)k = pk−1 V1 (B). Bizony´ıt´as. A 4.1.11 t´etel rendre iv., iii. ´es ii. r´esz´et haszn´alva V (a) V (b) = V (a F (V (b))) = V (a pb) = pV (a b) ´es ´ıgy V1 (B)2 = pV1 (B), ´es ebb˝ol indukci´oval k¨ovetkezik a lemma ´all´ıt´asa. Azt mondjuk, hogy a B gy˝ ur˝ u p karakterisztik´aj´ u, ha p1B = 0. Ebben az esetben p a B → B, b 7→ b Frobenius-lek´epez´es egy gy˝ ur˝ uendomorfizmus. Ha ez az endomorfizmus bijekt´ıv, azt mondjuk, hogy B perfekt. 4.1.20. T´ etel. Amennyiben B p karakterisztik´aj´ u i. b = (bn )n ∈ B-re F (b) = (bpn )n
´es pb = V F (b) = F V (b) = (0, bp0 , bp1 , . . .)
ii. Vm (B) Vn (B) ⊆ Vm+n (B) minden m, n ≥ 0-ra. iii. pk W (B) ⊆ V1 (B)k ⊆ pk−1 W (B) minden k ≥ 1-re. iv. A ∼ =
W (B) → lim(W (B)/pk W (B)) ←− k
b 7→ (b ⊕ pk W (B))k gy˝ ur˝ uhomomorfizmus bijekt´ıv. Bizony´ıt´as. b˝ol.
i. Ez az a´ll´ıt´as k¨ovetkezik a 4.1.7 lemm´ab´ol ´es a 4.1.11 t´etel iii. r´esz´e-
32
ii. A 4.1.11 t´etel iv. r´esz´eb˝ol indukci´oval ad´odik, hogy V m (a F m (b)) = V m (a) b. Innen kaphatjuk, hogy V m (a) V n (b) = V m (a F m (V n (b))) ´es V n (F m (b)) a = V n (F m (b) F n (a)) Azonban most i. miatt V n ◦ F m = F m ◦ V n , ´ıgy V m (a) V n (b) = V m+n (F m (b) F n (a)) minden a, b ∈ W (B)-re i.-b˝ol pW (B) = V (F (W (B))) ⊆ V1 (B), ´ıgy a 4.1.19 lemma miatt val´oban teljes¨ ul az ´all´ıt´as. i. szerint k
pk W (B) = {(0, . . . , 0, bk , bk+1 , . . .) ∈ W (B)|bn ∈ B p minden n ≥ k-ra} | {z } k darab
Innen leolvashat´o, hogy volt´at.
T
k≥1
pk W (B) = {0}, ami igazolja a lek´epez´es¨ unk injekt´ıv
Legyen (b(k) ⊕pk W (B))k ∈ lim W (B)/pk W (B). i. ´es iii. szerint pk W (B) ⊆ Vk (B), ←− ´es ´ıgy (b(k) ⊕ Vk (B))k ∈ lim W (B)/Vk (B). A 4.1.16 lemma szerint van olyan b ∈ ←− ∈ W (B), hogy b ⊕ Vk (B) = b(k) ⊕ Vk (B) minden k-ra. Ekkor minden j ≥ k-ra b ⊕ Vj (B) ⊕ pk W (B) = b(j) ⊕ Vj (B) ⊕ pk W (B) = b(k) ⊕ Vj (B) ⊕ pk W (B) ´es ´ıgy minden k-ra \ \ b⊕ Vj (B) ⊕ pk W (B) = b(k) ⊕ Vj (B) ⊕ pk W (B) j≥k
Bel´atjuk, hogy
j≥k
T
j≥k
Vj (B) ⊕ pk W (B) = pk W (B).
Legyen c = (0, . . . , 0, ck , ck+1 , . . .) a metszet egy tetsz˝oleges eleme. Ekkor vannak | {z } k darab
k
olyan aj,n ∈ B p elemek (j ∈ N, n ≥ k), hogy c ∈ (0, . . . , 0, aj,k , aj,k+1 , . . .) ⊕ Vj (B) | {z } k darab
k
A 4.1.14 lemma szerint innen ci = aj,k ∈ B p , ha k ≥ i < j. Teh´at j-t elegend˝oen
33
k
nagynak v´alasztva kapjuk, hogy minden i ≥ k-ra ci ∈ B p , azaz c ∈ pk W (B). Ez azt jelenti, hogy b ⊕ pk W (B) = b(k) ⊕ pk W (B) minden k ≥ 1-re, ´ıgy a lek´epez´es¨ unk val´oban sz¨ urjekt´ıv. 4.1.21. T´ etel. Ha a B gy˝ ur˝ u p karakterisztik´aj´ u ´es perfekt, akkor a k¨ovetkez˝ok igazak : i. Minden b = (bn )n ∈ W (B)-re ´es m ≥ 1-re −1
−(m−1)
b ⊕ Vm (B) = τ (b0 ) ⊕ pτ (b1p ) ⊕ . . . ⊕ pm−1 τ (bpm−1
) ⊕ Vm (B)
ii. Vm (B) = pm W (B) = V1 (B)m minden m ≥ 0-ra. Bizony´ıt´as.
i. A 4.1.20 t´etel i. r´esze szerint −1
−(m−1)
τ (b0 )⊕pτ (bp1 )⊕. . .⊕pm−1 τ (bpm−1
)⊕Vm (B) = (b0 , b1 , . . . , bm−1 , 0, 0, . . .)⊕Vm (B)
´ıgy a 4.1.14 lemma szerint k´eszen vagyunk. ii. A perfekts´eg ´es 4.1.20 i. szerint F a W (B) gy˝ ur˝ u automorfizmusa. ´Igy pm W (B) = V m (F m (W (B))) = V m (W (B)) = Vm (B) ´es ´ıgy V1 (B)m = (pW (B))m = pm W (B)
4.1.22. Lemma. Legyen C egy gy˝ ur˝ u, aminek pontosan egy m maxim´alis ide´alja T i ul (teh´at speci´alisan f˝oide´al). Ekkor van, amire i≥1 m = {0} ´es m = πC teljes¨ k minden nem {0} ide´al C-ben π C alak´ u, ahol k ∈ N. Bizony´ıt´as. Egy gy˝ ur˝ u nem egys´eg elemei ´eppen azok, amik benne vannak valamely T maxim´alis ide´alban, a mi eset¨ unkben ´ıgy C × = C \ m. Mivel i≥1 mi = {0}, minden c ∈ C \ {0}-hez egy´ertelm˝ uen l´etezik olyan v(c) ∈ N, hogy c ∈ mv(c) \ mv(c)+1 . Ekkor c = π v(c) u egy u ∈ C-re. Ekkor u ∈ / πC = m, ´ıgy u ∈ C × egys´eg. Legyen J 6= {0} egy ide´al C-ben. Legyen c J egy olyan eleme, amelyre k := v(c) minim´alis. Ekkor J ⊆ π k C ´es m´asr´eszt π k C = cC ⊆ J. 4.1.23. T´ etel. Legyen B egy p karakterisztik´aj´ u test, ekkor i. W (B) egy integrit´astartom´any, amelynek az egyetlen maxim´alis ide´alja V1 (B) ´es W (B)/W1 (B) ∼ = B.
34
ii. A ∼ =
W (B) → lim W (B)/V1 (B)k ←− k
b 7→ (b ⊕ V1 (B)k )k gy˝ ur˝ uhomomorfizmus bijekt´ıv. iii. Amennyiben B perfekt is, akkor W (B) egy teljes diszkr´et ´ert´ekel´esgy˝ ur˝ u, aminek a maxim´alis ide´alja pW (B) ´es marad´ekteste B, tov´abb´a minden b = (bn )n ∈ ∈ W (B)-re ∞ X −n b= pn τ (bpn ) n=0
Bizony´ıt´as. iii. A 4.1.20 ii. ´es iv. r´esze szerint a lim W (B)/pk W (B) ←− ∼ =
?
lim W (B)/V1 (B)k ←−
W (B) ∼ =
∼ =
?
lim W (B)/pk−1 W (B) ←− diagram kommutat´ıv, a megjel¨olt lek´epez´esek bijekci´ok, tov´abb´a a k´et csillaggal megjel¨olt lek´epez´es injekci´o. Ebb˝ol azonban k¨ovetkezik, hogy a diagramban minden lek´epez´es bijekci´o. ii. A 4.1.15 megjegyz´es szerint W (B)/V1 (B) ∼ = B. Innen ad´odik, hogy V1 (B) maxim´alis ide´al. Legyen b ∈ / V1 (B). Ekkor tudunk tal´alni a ∈ W (B)-t, amelyre a b = 1 + c egy c ∈ V1 (B)-re. A ii. r´esz szerint az −1
(1 ⊕ c)
=
∞ X
(−1)i ci
i=0
¨osszeg l´etezik, ´ıgy b egys´eg W (B)-ben. Ez azt jelenti, hogy V1 (B) az egyetlen maxim´alis ide´al W (B)-ben. defin´ıci´oj´ab´ol k¨onnyen a´tgondolhat´o, hogy ha a b = 0, akkor a vagy b is nulla volt, ´ıgy W (B) integrit´astartom´any. iv. A 4.1.21 t´etel ii. r´esze miatt V1 (B) = W (B). i., 4.1.20 iv. ´es 4.1.21 i. szerint elegend˝o azt bel´atni, hogy p1 6= 0 ´es hogy W (B)-ben minden ide´al f˝oide´al. 4.1.20 i. szerint p1 = (0, 1, 0, 0, . . .) 6= 0
35
Tov´abb´a 4.1.20 iv. szerint k´eszen vagyunk.
T
k ≥ 1pk W (B) = {0}, ´ıgy a 4.1.22 lemma szerint
4.1.24. Megjegyz´ es. Ha B egy p karakterisztik´aj´ u test, akkor W (B) h´anyadosteste 0 karakterisztik´aj´ u. Bizony´ıt´as. Tegy¨ uk fel, hogy a q pr´ımsz´amra qW (B) = {0}. Mivel B = W (B)/V1 (B), innen qB = {0}, azaz q = p. Viszont p1 = (0, 1, 0, 0, . . .) 6= 0. A tov´abbiakban a W (B)-n l´ev˝o ¨osszead´ast ´es szorz´ast ⊕ ´es helyett a szok´asos + ´es · jel¨oli.
4.2. W (k) egy´ ertelm˝ us´ ege Sz¨ uks´eg¨ unk lesz k´et kor´abbi lemm´anak a kicsit ´altal´anosabb alakj´ara: 4.2.1. Lemma. Legyen B tetsz˝oleges gy˝ ur˝ u ´es a/B egy tetsz˝oleges p1B -t tartalmaz´o ide´al, ekkor i. Minden m, n ≥ 1 ´es a, b ∈ B-re n
a ≡ b mod am ⇒ ap ≡ ap
m
mod am+n
ii. Ha m ≥ 1, n ≥ 0 ´es a0 , . . . , an , b0 , . . . , bn ∈ B, akkor (∀0 ≤ i ≤ n : ai ≡ bi
mod am ) ⇒ Φn (a0 , . . . , an ) ≡ Φn (b0 , . . . , bn )
mod am+n
Bizony´ıt´as. Mivel p1B ∈ a, ezen lemm´ak a 4.1.1 ´es 4.1.2 lemm´akhoz teljesen hasonl´oan l´athat´oak be. Legyen k egy perfekt test p > 0 karakterisztik´aval, A egy teljes diszkr´et ´ert´ekel´esgy˝ ur˝ u ´es α : A → k egy sz¨ urjekt´ıv gy˝ ur˝ uhomomorfizmus. Legyen m / A a f˝oide´al, ekkor α induk´al egy α ¯ : A/m → k izomorfizmust. 4.2.2. T´ etel. L´etezik pontosan egy s : k → A multiplikat´ıv lek´epez´es amelyre α ◦ ◦ s = idk , erre s(0) = 0 ´es s(1) = 1 Bizony´ıt´as. Az egy´ertelm˝ us´eg onnan k¨ovetkezik, hogy ha s˜ egy m´asik j´o lek´epez´es p−i p−i lenne, akkor x ∈ k-ra ´es i ∈ N-re s(x ) ≡ s˜(x ) mod m lenne, deT´ıgy 4.2.1 i. −i i −i i szerint s(x) = s (xp )p ≡ s (xp )p = s˜(x) mod mi+1 , ´es innen i mi = {0} miatt k¨ovetkezik az egy´ertelm˝ us´eg.
36
A l´etez´eshez legyen x ∈ k tetsz˝oleges. k perfekts´ege szerint tal´alhatunk olyan a1 , a2 , . . . , ai , . . . ∈ A sorozatot, amelyre α(a1 )p = x ´es α(ai+1 )p = α(ai ) minden i ≥ 1-re. Ekkor minden i ≥ 1-re api+1 ≡ ai
i+1
4.2.1
api+1 ≡ api
⇒
mod m
i
mod mi+1
i
Ez azt jelenti, hogy api egy Cauchy-sorozat, ´ıgy konverg´al egy s(x) ∈ A-hoz. Mivel i α(api ) = x, ´ıgy α(s(x)) = x. Az, hogy s(x) nem f¨ ugg az ai sorozat v´alaszt´as´at´ol, i onnan k¨ovetkezik, hogy ha (˜ ai )i egy m´asik ilyen sorozat lenne, akkor α(ai )p = x = i i i = α(˜ ai )p , ´ıgy α(ai ) = α(a˜i ), ai ≡ a ˜i mod m, 4.2.1 i. miatt api ≡ a ˜pi mod mi+1 , i i ´es ez azt jelenti, hogy a k´et sorozat (api ´es a ˜pi ) hat´ar´ert´eke megegyezik. Az, hogy s multiplikat´ıv, s(0) = 0 ´es s(1) = 1, k¨onnyen l´athat´o alkalmas ai -k v´alaszt´asa mellett. 4.2.3. Megjegyz´ es. Ha A = W (k) ´es α = Φ0 , akkor s = τ . 4.2.4. T´ etel. Egy´ertelm˝ uen l´etezik egy γ : W (k) → A gy˝ ur˝ uhomomorfizmus, amire α ◦ γ = Φ0 . Ez folytonos ´es minden (xn )n ∈ W (k)-ra γ((xn )n ) =
∞ X
−n
pn s(xpn )
(11)
n=0
Ha p1A 6= 0, akkor γ injekt´ıv. Bizony´ıt´as. El˝osz¨or γ l´etez´es´et l´atjuk be. A W (α) : W (k) → W (A) gy˝ ur˝ uhomomorfizmus sz¨ urjekt´ıv. Legyen (bn )n ∈ ker W (α), ekkor bn ∈ m minden n ≥ 0-ra. ´Igy m
m−1
Φm (b0 , . . . , bm ) = bp0 + pbp1 m
∈ mp + p · mp
+ . . . + p m bm
m−1
+ . . . + pm m
⊆ mm+1 + pmm + . . . + pm m ⊆ mm+1 minden m ≥ 0-ra. ´Igy l´etezik egy j´oldefini´alt γm : W (k) → A/mm+1 gy˝ ur˝ uhomomorfizmus, amelyre a W (A)
Φm
pr
W (α)
W (k)
A
γm
A/mm+1
diagram kommutat´ıv. (9) szerint Φm ◦F = Φm+1 ´es γm ◦F ◦W (α) = γm ◦W (α)◦F = = γm+1 ◦ F mod mm+1 ´es ´ıgy W (α) sz¨ urjektivit´as´asb´ol γm ◦ F ≡ γm+1 mod mm+1 .
37
A 4.1.20 t´etel i.r´esze szerint a W (k) feletti F lek´epez´es bijet´ıv. Ebb˝ol ´es az el˝oz˝o kongruenci´ab´ol k¨ovetkezik, hogy a A/mm+2 γm+1 ◦ F −(m+1)
W (k)
pr
γm ◦ F −m
A/mm+1 diagram kommutat´ıv. Ez azt jelenti, hogy projekt´ıv limeszt v´eve kaphatunk egy γ := lim(γm ◦ F −m ) : W (k) → lim(A/mm+1 ) = A ←− ←− gy˝ ur˝ uhomomorfizmust. Ekkor α ◦ γ ◦ W (α) = α ¯ ◦ γ0 ◦ W (α) = α ◦ Φ0 = Φ0 ◦ W (α) ´es ´ıgy α ◦ γ = Φ0 . Az egy´ertem˝ us´eg ´es a t¨obbi tulajdons´ag bel´at´as´ahoz legyen γ˜ : W (k) → A tetsz˝oleges gy˝ ur˝ uhomomorfizmus, amire α ◦ γ˜ = Φ0 . Ebb˝ol az o¨sszef¨ ugg´esb˝ol k¨ovetkezik, i i hogy γ˜ (pW (k)) ⊆ m ´es ´ıgy γ˜ (p W (k)) ⊆ m minden i ≥ 1-re. ´Igy γ˜ folytonos. A 4.1.21 t´etel iii. r´esze szerint γ˜ ((xn )n ) =
∞ X
−n
pn γ˜ (τ (xnp ))
n=0
4.2.2 egy´ertelm˝ us´egi r´esze szerint γ˜ ◦ τ = s. De ez azt jelenti, hogy γ˜ = γ ´es minden (xn )n ∈ W (k)-ra ∞ X −n γ((xn )n ) = pn s(xnp ) n=0
Tegy¨ uk fel, hogy p1A 6= 0. γ((xn )n ) = 0-b´ol 3.2.11 szerint k¨ovetkezik, hogy = 0 ´es ´ıgy xn = 0 minden n ≥ 0-ra. ´Igy p1A 6= 0 eset´en γ val´oban injekt´ıv.
−n s(xpn )
4.2.5. K¨ ovetkezm´ eny. Ha pA a maxim´alis ide´al A-ban, akkor l´etezik pontosan egy ∼ = γ : W (k) → A gy˝ ur˝ uizomorfizmus, amire α ◦ γ = Φ0 . Bizony´ıt´as. Az el˝oz˝o t´etel a´ltal biztos´ıtott γ injekt´ıv. Mivel m = pA, ´ıgy az (11) egyenletben szerepl˝o hatv´anysoralak ´eppen olyan, amilyet a 3.2.11 lemma minden A-beli elemnek garant´al, de ez azt jelenti, hogy γ sz¨ urjekt´ıv is.
38
4.2.6. Megjegyz´ es. W (Fp ) ∼ = Zp .
4.3. Cohen-r´ eszgy˝ ur˝ uk n
n
Legyen k egy tetsz˝oleges p > 0 karakterisztik´aj´ u test. Ekkor k p = {xp |x ∈ k} egy r´eszteste k-nak minden n ∈ N-re. Azt mondjuk, hogy k elemeinek egy (xi )i∈I rendszere k egy p-b´azis´at alkotja, ha a k p [{Xi |i ∈ I}]/hXip − xpi |i ∈ Ii → k Xi 7→ xi gy˝ ur˝ uhomomorfizmus bijekt´ıv. Bizony´ıt´as n´elk¨ ul megjegyezz¨ uk, hogy k-nak l´etezik p-b´azisa. 4.3.1. Lemma. k-nak minden (xi )i∈I p-b´azis´ara ´es minden n ≥ 1-re n
i. k = k p ({xi |i ∈ I}) n
ii. k-nak mint k p feletti vektort´ernek b´azis´at alkotj´ak a 0 ≤ µi < pn ´es v´eges sok i kiv´etel´evel µi = 0.
Q
i∈I
xµi i alak´ u elemek, ahol
Bizony´ıt´as. ii.-b˝ol i. trivi´alisan k¨ovetkezik, el´eg ii.-t bizony´ıtani. n szerinti teljes indukci´ot alkalmazunk. Az n = 1 esethez vegy¨ uk ´eszre k p [{Xi |i ∈ I}]/hXip − xpi |i ∈ Ii (mint k p feletti Q vektort´er) egy b´azis´at alkotj´ak a i∈I Xiµi alak´ u elemek, ahol 0 ≤ µi < p ´es v´eges Q p sok i kiv´etel´evel µi = 0, hiszen k [{Xi |i ∈ I}]-nek b´azis´at alkotj´ak a i∈I Xiµi alak´ u szorzatok, ahol µi ∈ N ´es v´eges sok kiv´etel´evel minden µi = 0. A p-b´azisok defin´ıci´oj´aban szerepl˝o lek´epez´es egy k p -vektorterek k¨oz¨otti izomorfizmus, ami ezt a b´azist ´eppen az ii. a´ll´ıt´asban szerepl˝o rendszerbe viszi, de ´ıgy n = 1-re ii. teljes¨ ul. Tegy¨ uk fel, hogy n ≥ 1-re igazoltuk az ´all´ıt´asunkat. (xpi )i∈I p-b´azisa a k p testnek, hiszen x 7→ xp bijekci´o k ´es k p k¨oz¨ott. ´Igy az indukci´os feltev´est k p -re alkalmazva Q n i k p -nek mint k p feletti vektort´ernek b´azis´at alkotj´ak a i∈I xpµ elemek, ahol 0 ≤ i n−1 ≤ µi < p ´es v´eges sok i kiv´etel´evel µi = 0. k-nak az elemeit az n = 1 eset a´ltal p biztos´ıtott k feletti b´azis eleminek line´aris kombin´aci´oik´ent fel´ırva innen k¨onnyen l´athat´oan ´eppen az ad´odik, hogy ii. igaz n + 1-re is. 4.3.2. Defin´ıci´ o. Egy C < W (k) r´eszgy˝ ur˝ u Cohen-r´eszgy˝ ur˝ u, ha C teljes diszkr´et ´ert´ekel´esgy˝ ur˝ u pC maxim´alis ide´allal ´es W (k) = V1 (k) + C. Mivel C/V1 (k) ∩ C ∼ = W (k)/V1 (k) ∼ = k, ´ıgy V1 (k) ∩ C = pC ´es C marad´ekteste is k.
39
4.3.3. T´ etel. Legyen (ai )i∈I W (k)-beli elemek rendszere, amire az xi := Φ0 (ai ) elemek k p-b´azis´at alkotj´ak, ekkor egy´ertelm˝ uen l´etezik egy C < W (k) Cohen-r´eszgy˝ ur˝ u, ami minden ai -t tartalmaz.
Bizony´ıt´as. Az a´ttekinthet˝os´eg ´erdek´eben legyen A := W (k), m := V1 (k) ´es pr := = Φ(0) : A → k. Legyen tov´abb´a S := {ai |i ∈ I} ⊆ A. R¨ogz´ıts¨ unk egy m ≥ 1-et. Minden n ≥ m − 1-re legyen Cn,m := hS ∪ Φn (W (A)) ∪ mm i < A 1. l´ep´es : Cn,m a legsz˝ ukebb olyan S ∪ mm -et tartalmaz´o r´eszgy˝ ur˝ uje A-nak, amire Cn,m + m = A. n
n−1
Mivel Φn (W (A)) = {ap0 + pap1 . . . + pn an |a0 , . . . , an ∈ A}, ´ıgy pA ⊆ m-et n n figyelembe v´eve pr(Φn (W (A))) = k p ´es pr(Cn,m ) = k p (pr(S)). A 4.3.1 lemm´ab´ol k¨ovetkezik, hogy pr(Cn,m ) = k ´es ´ıgy Cn,m +m = A teljes¨ ulni fog. Legyen A0 < A egy r´eszgy˝ ur˝ u, amire A0 + m = A ´es S ∪ m ⊆ A0 . Elegend˝o bel´atnunk, hogy Φn (W (A)) ⊆ ⊆ A0 . Legyenek a0 , . . . , an ∈ A tetsz˝oleges elemek. A0 + m = A miatt l´eteznek olyan a00 , . . . , a0n ∈ A0 elemek, hogy ai ≡ a0i mod m minden 0 ≤ i ≤ n-re. Mivel n ≥ ≥ m − 1, ´ıgy a 4.2.1 lemma szerint Φn (a0 , . . . , an ) = Φn (a00 , . . . , a0n ) mod mm . Mivel Φn (a00 , . . . , a0n ) ´es mm is A0 -ben van, ´ıgy ezek szerint Φn (a0 , . . . , an ) is A0 -ben van. Ezzel az 1. l´ep´es bizony´ıt´as´at befejezt¨ uk; vegy¨ uk ´eszre, hogy innen k¨ovetkezik, hogy Cm := Cn,m nem f¨ ugg n v´alaszt´as´at´ol. 2. l´ep´es : Cm ∩ m = pCm + mm . pA ⊆ m miatt Cm ∩ m ⊇ pCm + mm . A m´asik ir´any´ u tartalmaz´as bel´at´as´ahoz legyen Λ(m) az ¨osszes olyan (µi )i∈I rendszer halmaza, ahol 0 ≤ µi < pm ´es v´eges sok i kiv´etel´evel µi = 0. µ ∈ Λ(m)-re legyen Y µ Zµ = ai i i∈I
m
Mivel S p = {Φm (ai , 0, 0, . . .)|i ∈ I} ⊆ Φm (W (A)), ´ıgy Cm = Cm,m -et mint a Φm (W (A)) + mm < Cm r´eszgy˝ ur˝ u feletti modulust a Zµ -k gener´alj´ak. Mivel m pm Φm (a0 , . . . , am ) = a0 + pΦm−1 (a1 , . . . , am ), ´ıgy Φm (W (A)) ⊆ Ap + pCm−1,m = m = Ap + pCm . Ezek miatt minden c ∈ Cm ´ırhat´o olyan alakban, hogy X m c= cpµ Zµ + pc0 + c00 , ahol cµ ∈ A, c0 ∈ Cm ´es c00 ∈ mm µ∈Λ(m)
40
Ez´ert ha c ∈ Cm ∩ m, akkor X
0 = pr(c) =
m
pr(cµ )p pr(Zµ )
µ∈Λ(m) m
A 4.3.1 lemma szerint a pr(Zµ )-k b´azis´at alkotj´ak k-nak k p felett, ´ıgy minden m at c ∈ pCm + mm . Ezzel a pr(cµ )-nek null´anak kell lennie, ´ıgy cµ ∈ m, cm µ ∈ m . Teh´ 2. l´ep´es bizony´ıt´as´at is befejezt¨ uk. Cm minimalit´as´ab´ol k¨ovetkezik, hogy minden m ≥ 1-re Cm = Cm+1 + mm
(12)
Legyen C :=
\
Cm
m≥1
Nyilv´an ez a C tartalmazza S elemeit. Az (A/mm )m projekt´ıv rendszert alkot´o gy˝ um r˝ uknek r´eszgy˝ ur˝ ui a (Cm /m )m projekt´ıv rendszer megfelel˝o tagjai. A 4.1.23 t´etel ii. r´esze szerint a ∼ = A lim A/mm ←− ⊆
C
⊆ ∼ =
lim Cm /mm ←−
kommutat´ıv diagramban a v´ızszintes nyilak izomorfizmusok. (12) szerint a Cm+1 /mm+1 → Cm /mm be´agyaz´asok ´es ´ıgy a C → Cm /mm projekci´ok is sz¨ urjekt´ıvek. Emiatt l´etezik ∼ =
∼ =
C/C ∩ m → C1 /m = A/m → k izomorfizmus, ´ıgy C ∩ m maxim´alis ide´al C-ben. A 4.1.23 i. r´esz bizony´ıt´as´ahoz teljesen hasonl´oan (m´ertani sor konvergenci´aj´at felhaszn´alva) bel´athatjuk, hogy C \ \ C ∩ m minden eleme egys´eg C-ben, ´ıgy C ∩ m az egyetlen maxim´alis ide´al C-ben. A m´asodik l´ep´es szerint \ \ \ \ C ∩m= Cm ∩ m = (pCm + mm ) = pCm + mj m≥1
\ j≥m
m≥1
m≥1 j≥m
\ pCm + mj ⊆ (pW (k) + Vj (k)) = pW (k) j≥m
hiszen ezt az egyenl˝os´eget m´ar bel´attuk a 4.1.20 t´etel bizony´ıt´asa k¨ozben. ´Igy legyen T pc ∈ j≥m (pCm + mj ) tetsz˝oleges elem, ekkor c ∈ pc(j) + mj valamely c(j) ∈ Cre. 4.1.20 iii. szerint p(c − c(m+2) ) ∈ mm+2 ⊆ pm+1 W (k). W (k) 4.1.23 i. szerint integrit´astartom´any, ´ıgy c − c(m+2) ∈ pm W (k) ⊆ mm . ´Igy c ∈ Cm + mm = Cm . Ez
41
azt jelenti, hogy \
pCm + mj = pCm
j≥m
´es
! C ∩m=
\
\
pCm = p
m≥1
Cm
= pC
m≥1
(itt a k¨oz´eps˝o egyenl˝os´eg az´ert igaz, mert A integrit´astartom´any). Term´eszetesen C T T is integrit´astartom´any lesz ´es p1C = p1 6= 0. Tov´abb´a m≥1 pm C ⊆ m≥1 mm = = {0} a 4.1.23 t´etel ii. r´esze szerint. ´Igy a 4.1.22 lemma szerint C egy diszkr´et ´ert´ekel´esgy˝ ur˝ u (pC maxim´alis ide´allal ´es k marad´ektesttel). Tudjuk, hogy C∼ C/C ∩ mm ∼ C /mm = lim = lim ←− ←− m Mivel minden nem {0} ide´al C-ben pj C alak´ u, ´ıgy minden m ≥ 1-hez l´etezik j(m) ≥ T m j(m) m ≥ 1, hogy C ∩ m = p C. m≥1 C ∩ m = {0} miatt limm→∞ j(m) = ∞. Emiatt C∼ C/pj(m) C ∼ C/pj C = lim = lim ←− ←− m
j
´es ´ıgy C teljes. Az egy´ertelm˝ us´eg bel´at´as´ahoz legyen C 0 egy m´asik Cohen-r´eszgy˝ ur˝ u, 0 0 0 0 0 amire S ⊆ C . Mivel C + m = A, ´ıgy C ∩ m = pC a maxim´alis id´al C -ben. ´Igy minden m ≥ 1-re l´etezik j(m) ≥ m, hogy C 0 ∩ mm = pj(m) C 0 . M´asfel˝ol az bizony´ıt´asunk 1. l´ep´ese szerint C 0 + mm ⊇ Cm minden m ≥ 1-re. A C0
∼ =
=
lim C 0 /pj(m) C 0 ←−
lim C 0 /C 0 ∩ mm ←− ∼ =
lim C 0 + mm /mm ←−
⊆
⊆ ∼ =
C
lim Cm /mm ←−
kommutat´ıv diagramr´ol leolvashat´o, hogy C ⊆ C 0 . Azonban p1 C 0 -ben ´es C-ben is pr´ımelem. A C 0 /pC 0 ∼ =
A/m
⊆ ∼ =
C/pC
42
diagram kommutat´ıv, ahol a f¨ ugg˝oleges ny´ıl a C ⊆ C 0 be´agyaz´as a´ltal induk´alt C/pC ⊆ C 0 /pC 0 injekci´o. Mivel a m´asik k´et lek´epez´es izomorfizmus, ´ıgy ez az injekt´ıv lek´epez´es is bijekt´ıv lesz. Ekkor azonban a 3.2.11 lemma szerint kapjuk, hogy C = = C 0.
43
5. A Dieudonn´ e–Manin t´ etel 5.1. Izokrist´ alyok ´ es r´ acsok Legyen A egy diszkr´et ´ert´ekel´esgy˝ ur˝ u m = πA maxim´alis ide´allal ´es K h´anyadostesttel. R¨ogz´ıtj¨ uk A-nak egy σ gy˝ ur˝ uautomorfizmus´at. σ-nak a K-ra val´o multiplikat´ıv kiterjeszt´ese testautomorfizmus lesz, ezt szint´en σ-val jel¨olj¨ uk. P´elda: A := W (k) egy k perfekt p > 0 karakterisztik´aj´ u testre ´es σ := F (ez 4.1.21 i. szerint automorfizmus). 5.1.1. Defin´ıci´ o. Legyen a ∈ Z. Egy σ a -izokrist´aly egy (V, f ) p´ar, ahol V 6= {0} egy v´eges dimenzi´os K-vektort´er ´es f : V → V egy bijekt´ıv σ a -line´aris lek´epez´es. A h(V, f ) := dimK V sz´amot (V, f ) magass´ag´anak nevezz¨ uk. Az a = 1 esetben egyszer˝ uen izokrist´alyr´ol besz´el¨ unk. Legyen (V, f ) egy izokrist´aly. 5.1.2. Defin´ıci´ o. Egy M < V A-r´eszmodulus V -ben egy r´acs, ha l´etezik V -nek egy v1 , v2 , . . . , vh K-b´azisa, amelyre M = Av1 + . . . + Avh . Ekkor M egy h rang´ u szabad A-modulus. 5.1.3. Lemma. Ha M, M 0 r´acsok V -ben i. Minden v ∈ V -hez l´etezik n ≥ 0 eg´esz, hogy π n v ∈ M . ii. L´etezik n ≥ 0, hogy π n M ⊆ M 0 . iii. M ∩ M 0 egy r´acs V -ben. iv. f (M ) egy r´acs V -ben. Bizony´ıt´as.
i. Ez trivi´alisan teljes¨ ul.
ii. M -hez van a r´acs defin´ıci´oj´aban szerepl˝o tulajdons´ag´ u v1 , v2 , . . . , vh , i. szerint ni 0 l´eteznek olyan ni -k, hogy π vi ∈ M . Ekkor n := max1≤i≤h ni k¨onnyen l´athat´oan megfelel˝o lesz. iii. Mivel v´egesen gener´alt szabad modulus minden r´eszmodulusa is szabad, ´ıgy M ∩ M 0 -t szabadon gener´alja egy u1 , u2 , . . . , ur ∈ V rendszer valamely 0 ≤ ≤ r-re. r ≤ h, hiszen k¨ ul¨onben az ui -knek egy nemtrivi´alis K-beli egy¨ utthat´os line´aris kombin´aci´oja 0 lenne, de az egy¨ utthat´okat π egy hatv´any´aval felszorozva
44
kapn´ank egy 0 ´ert´ek˝ u nemtrivi´alis A-beli egy¨ utthat´os line´aris kombin´aci´ot, ami ellentmond annak, hogy az ui -k szabad gener´atprrendszert alkotnak. Ha v ∈ V tetsz˝oleges, akkor i. szerint van olyan n, n0 ≥ 0, hogy π n v ∈ M , 0 0 0 π n v ∈ M 0 , ekkor π max(n,n ) v ∈ M ∩ M 0 , de ´ıgy π max(n,n ) v ´es ´ıgy v is benne van az u1 , . . . , ur a´ltal gener´alt K-vektort´erben. ´Igy u1 , u2 , . . . , ur V -nek egy gener´atorrendszere, speci´alisan r = h, ´es ez ´eppen azt jelenti, hogy M ∩ M 0 r´acs. iv. Legyen M = Av1 + . . . + Avh . Ekkor f (M ) = σ a (A)f (v1 ) + . . . + σ a (A)f (vh ) = = Af (v1 ) + . . . + Af (vh ). Az, hogy f (v1 ), . . . , f (vh ) K-b´azisa V -nek k¨ovetkezik a 2.1.5 lemm´ab´ol.
Mivel πA az egyetlen maxim´alis ide´al A-ban, ´ıgy A/πA izomorfizmus erej´eig az egyetlen egyszer˝ u A-modulus. Nyilv´an minden n ≥ 1-re az A/π n A A-modulus hossza Lh n n. Minden M r´acsra V -ben M/π n M = u A-modulus. i=1 A/π A egy hn hossz´ 0 0 Az 5.1.3 szerint ´ıgy ha M, M r´acsok V -ben, M/M ∩M egy v´eges hossz´ u A-modulus lesz. Legyen [M : M 0 ] := lengthA M/M ∩ M 0 − lengthA M 0 /M ∩ M 0 (itt lengthA egy A-modulushoz a hossz´at rendeli). 5.1.4. Lemma. Ha M, M 0 ´es M 00 r´acsok V -ben, akkor [M : M 00 ] = [M : M 0 ] + [M 0 : M 00 ] Bizony´ıt´as. Tudjuk hogy X ≤ Y ≤ Z A-modulusokra lengthA Z/X = lengthA Z/Y + + lengthA Y /X (´es ha az egyik oldalon szerepel ∞, akkor mindk´et oldalon szerepel; ez a modulusokra vonatkoz´o Jordan-H¨older t´etel speci´alis esete). Ezt alkalmazva az ¨osszes olyan b˝ov´ıt´esl´ancra, ahol Z M, M 0 ´es M 00 egyike, Y Z-nek a metszete M, M 0 ´es M 00 k¨oz¨ ul a m´asik kett˝o valamelyik´evel ´es X = M ∩ M 0 ∩ M 00 , a kapott ugg´esekb˝ol k¨onnyen l´athat´oan k¨ovetkezik a bizony´ıtand´o. ¨osszef¨ 5.1.5. Lemma. Az [M : f (M )] nem f¨ ugg az M r´acs v´alaszt´as´at´ol. Bizony´ıt´as. Legyen M 0 egy m´asik r´acs V -ben. Ekkor [M 0 : f (M 0 )] = [M 0 : M ] + [M : f (M )] + [f (M ) : f (M 0 )] de itt [f (M ) : f (M 0 )] = [M : M 0 ] = −[M 0 : M ]. 5.1.6. Defin´ıci´ o. A d(V, f ) := [M : f (M )] sz´amot (ahol M tetsz˝oleges r´acs V -ben) a (V, f ) izokrist´aly dimenzi´oj´anak nevezz¨ uk.
45
A tov´abbiakban legyen a r¨ovids´eg kedv´e´ert h := h(V, f ) ´es d := d(V, f ). Egy V -beli M r´acsra legyen ordM f = max{n ∈ Z : f (M ) ⊆ π n M } (ez 5.1.3 miatt v´eges). 5.1.7. Lemma. Legyen M egy tetsz˝oleges r´acs V -ben, ekkor i. Minden m pozit´ıv eg´eszre ordM f ≤
1 m
ordM f m ≤ hd .
ii. Ha van olyan m pozit´ıv eg´esz, hogy ordM f 6= ≤ h1 ordM f h
1 m
ordM f m , akkor ordM f +
1 h
≤
Bizony´ıt´as. f (M ) ⊆ π n M -b˝ol f m (M ) ⊆ f m−1 (π n · M ) = f m−1 ((σ −(m−1) (π))n · M ) = = π n f m−1 (M ) ´es ´ıgy indukci´oval k¨ovetkezik, hogy f m (M ) ⊆ π mn M . Innen m · ordM (f ) ≤ ordM (f m ). Tegy¨ uk fel, hogy f m (M ) ⊆ π n M . Ekkor md = m[M : f (M )] = [M : f m (M )] = [M : π n M ] + [π n M : f m (M )] ≥ [M : π n M ] = nh ´es ´ıgy ordM f m ≤ m · hd . Legyen n = ordM f ´es tegy¨ uk fel, hogy f m (M ) ⊆ π mn+1 M egy m pozit´ıv eg´eszre. Minden i ≥ 0-ra legyen Mi := {v ∈ M |f i (v) ∈ π in+1 M }. f (M ) ⊆ π n M -b˝ol k¨ovetkezik, hogy πM = M0 ≤ M1 ≤ . . . ≤ Mm = M 5.1.3 iii. r´esz´ehez hasonl´oan bel´athat´o, hogy minden Mi r´acs V -ben. Mivel h = [M : : πM ] = [M1 : M0 ] + [M2 : M1 ] + . . . + [Mm : Mm−1 ], ´ıgy ezen r´acssorozatban legfeljebb h hely kiv´etel´evel minden¨ utt egyenl˝os´egek a´llnak fenn. Bel´atjuk, hogy Mi = Mi+1 -b˝ol k¨ovetkezik Mi = Mj minden j ≥ i-re. Legyen v ∈ Mj , ekkor v ∈ M ´es f j (v) ∈ π jn+1 M . Ekkor f j−(i+1) (v) = π (j−(i+1))n v 0 egy v 0 ∈ M -re. Teh´at π (j−(i+1))n f i+1 (v 0 ) ∈ A× · f j v ⊆ π jn+1 M ´es ´ıgy f i+1 (v 0 ) ∈ ∈ π (i+1)n+1 M , v 0 ∈ Mi+1 . Mi = Mi+1 -b˝ol k¨ovetkezik, hogy f i (v 0 ) ∈ π in+1 M . ´es ´ıgy f j−1 (v) = f i (f j−(i+1) (v)) = σ −(j−(i+1)n) (π) · f i (v 0 ) ∈ π (j−1)n+1 , v ∈ Mj−1 ´es innen indukci´oval haladva lefel´e Mj = Mi . Ebb˝ol k¨ovetkezik, hogy Mh = M , ´ıgy f h (M ) ⊆ π hn+1 M , azaz ordm f h ≥ ≥ h · ordM f + 1. 5.1.8. Defin´ıci´ o. A (V, f ) izokrist´aly els˝o meredeks´ege 1 m Newton(V, f ) := sup ordM f |m pozit´ıv eg´esz, M r´acs V -ben m 5.1.7 i. szerint Newton(V, f ) ≤ hd .
46
5.1.9. Lemma. Tetsz˝oleges V -beli M r´acsra 1 ordM (f m ) m→∞ m
Newton(V, f ) = lim
Bizony´ıt´as. Legyen M 0 egy tetsz˝oleges m´asik r´acs V -ben. Ekkor az 5.1.3 lemma ii. 0 r´esze szerint l´etezik n, n0 > 0, hogy π n M ⊆ M 0 ´es π n M 0 ⊆ M . Ekkor 0
f (M ) ⊆ π −n f (M 0 ) ⊆ π ordM 0 f −n M 0 ⊆ π ordM 0 f −n−n M ´ ´ıgy ordM f ≥ ordM 0 f − n − n0 . Minden i ≥ 1-re Es
sup m
1 1 ordM f m ≥ sup ordM f ij m j ij 1 ≥ sup (ordM 0 f ij − n − n0 ) j ij n + n0 1 i ordM 0 f − ≥ sup i ij j 1 = ordM 0 f i i
az utols´o el˝otti l´ep´esben 5.1.7 i.-t haszn´alva. Ezzel bel´attuk, hogy λ := supm = Newton(V, f ).
1 m
ordM f m =
Legyen ε > 0. R¨ogz´ıts¨ unk egy olyan m0 pozit´ıv eg´eszt, amire ε ordM f m0 ≥ m0 λ − 2 Minden r ≥ 1 ´es 0 ≤ s < m0 eg´eszre ε ordM f m0 r+s ≥ m0 r λ − + s · ordM f 2 V´alasszunk egy olyan r0 pozit´ıv eg´eszt, hogy ε ε ordM f − λ − > − (r0 + 1) 2 2 innen minden r ≥ r0 ´es 0 ≤ s < m0 -ra s ordM f − λ − m0 r + s
ε 2
≥−
ε 2
Minden m ≥ m0 r0 ´ırhat´o m = m0 r + s alakban, ahol r ≥ r0 ´es 0 ≤ s < m0 . ´Igy
47
m ≥ m0 r0 -ra λ≥
1 m0 r ε s ordM f m > λ− + ordM f m m0 r + s 2 m0 r + s m0 r ε s ε ε > λ− + λ− − m0 r + s 2 m0 r + s 2 2 ε ε − =λ−ε = λ− 2 2
Innen k¨ovetkezik, hogy λ = limm→∞
1 m
ordM f m .
5.1.10. Lemma. Minden s eg´eszre ´es r pozit´ıv eg´eszre Newton(V, π s f r ) = r Newton(V, f ) + s Bizony´ıt´as. Trivi´alis, hogy Newton(V, π s f ) = Newton(V, f ) + s A m´asik r´esz az´ert teljes¨ ul, mert Newton(V, f r ) = lim
m→∞
r 1 ordM f rm = lim ordM f m = r Newton(V, f ) m→∞ m m
5.1.11. Lemma. Ha l´etezik egy M r´acs, amire f h+1 (M ) ⊆ π −1 M , akkor l´etezik olyan M 00 r´acs is, amire f (M 00 ) ⊆ M 00 . Bizony´ıt´as. A f˝oide´algy˝ ur˝ u (A) feletti v´egesen gener´alt modulusok alapt´etele ( [2] 0 7.4.1 t´etel) szerint M := M + f (M ) + . . . + f h (M ) egy szabad A-modulus lesz. A szabad gener´atorrendszere nem lehet h-n´al t¨obb elem˝ u, mivel akkor K-line´arisan ugg˝o lenne ´es abb´ol k¨ovetkezik π egy hatv´any´aval felszorozva az A-line´aris ¨osszef¨ ugg˝os´eg; de h-n´al kevesebb elem˝ u sem lehet, hiszen M ⊆ M 0 , ´ıgy a szabad ¨osszef¨ gener´atorrendszer K felett gener´atorrendszere eg´esz V -nek. Ez azt jelenti, hogy M 0 egy r´acs. Ekkor h+1 X j=0
j
0
f (M ) =
2h+1 X
j
h X
0
f (M ) = M +
j=0
f j (f h+1 (M )) ⊆ π −1 M 0
j=0
Tekints¨ uk a k¨ovetkez˝o, r´acsokb´ol ´all´o l´ancot: M 0 ⊆ M 0 + f (M 0 ) ⊆ . . . ⊆
h+1 X j=0
48
f j (M 0 ) ⊆ π −1 M 0
Mivel dimA/πA π −1 M 0 /M 0 = h, ´ıgy ebben nem a´llhat fenn minden¨ utt szigor´ u tartalmaz´as, ´ıgy l´etezik egy 0 ≤ i ≤ h, amelyre 00
M :=
i X
j
0
f (M ) =
j=0
i+1 X
f j (M 0 )
j=0
Ekkor f (M 00 ) ⊆ M 00 . 5.1.12. T´ etel. L´etezik olyan M r´acs V -ben ´es olyan 1 ≤ r ≤ h ´es s ≤ d eg´eszek, hogy s ordM f r = s ´es Newton(V, f ) = r
Bizony´ıt´as. Legyen λ := Newton(V, f ). El˝osz¨or bel´atjuk, hogy l´eteznek olyan 1 ≤ r ≤ h ´es s eg´eszek, hogy λ −
1 s ≤ r r(h + 1)
Minden r ∈ Z-hez megkeress¨ uk azt a tr ´ert´eket, amelyre sr := rλ − tr ∈ Z ´es
−
1 1 ≤ tr < 1 − h+1 h+1
1 Ha egy 1 ≤ r ≤ h-ra tr ≤ h+1 , akkor k´eszen vagyunk azzal az r-rel ´es s := sr -rel. 1 Egy´ebk´ent van olyan 1 ≤ r1 < r2 ≤ h, hogy |tr1 − tr2 | ≤ h+1 . Ekkor r := r2 − r1 ´es s := sr2 − sr1 k¨onnyen l´athat´oan megfelel˝o lesz.
Bel´atjuk, hogy l´etezik egy M r´acs V -ben, amelyre f r (M ) ⊆ π s M . Legyen f 0 := π −s f r
´es f 00 := π 1+(h+1) f 0
(h+1)2
Az 5.1.10 lemma szerint λ0 := Newton(V, f 0 ) ≥ −| Newton(V, f 0 )| = −|rλ − s| ≥ −
1 h+1
´es Newton(V, f 00 ) ≥ (h + 1)2 λ0 + 1 + (h + 1) ≥ 1 ´Igy tal´alhatunk egy M1 r´acsot V -ben ´es egy m pozit´ıv eg´eszt, melyre f 00m (M1 ) ⊆ M1 . M2 := M1 + f 00 (M1 ) + . . . + f 00m−1 (M1 )-re f 00 (M2 ) ⊆ M2 , azaz (πf 0h+1 )h+1 (M2 ) ⊆ ⊆ π −1 M2 . K´etszer alkalmazva az 5.1.11 lemm´at, kapunk olyan M 0 r´acsot, amelyre πf 0h+1 (M 0 ) ⊆ M 0 , azaz f 0h+1 (M 0 ) ⊆ π −1 M 0 ´es olyan M r´acsot, melyre f 0 (M ) ⊆ M , azaz f r (M ) ⊆ π s M .
49
λ0 ≤
1 h+1
miatt ordM f 0 ≥ 0 > λ0 −
1 1 1 ≤ ordM f 0h − h h h
Az 5.1.7 lemma ii. r´esze miatt ordM f 0 = m1 ordM f 0m minden m ≥ 1-re. ´Igy λ0 = = ordM f 0 ∈ Z, teh´at λ0 = 0, λ = rs ´es ordM f r = s + ordM f 0 = s. rs = λ ≤ hd k¨ovetkezik onnan, hogy s ≤ dr ≤ d. h A m´asodik r´eszn´el haszn´alt tr¨ ukk seg´ıts´eg´evel bizony´ıthat´o a k¨ovetkez˝o lemma is: 5.1.13. Lemma. Legyen r pozit´ıv eg´esz ´es s eg´esz u ´gy, hogy Newton(V, f ) ≥ rs , ekkor l´etezik egy M r´acs V -ben, amelyre f r (M ) ⊆ π s M . Bizony´ıt´as. Legyen f 0 := π 1−s(h+1) f r(h+1) . Az 5.1.10 lemma szerint Newton(V, f 0 ) = r(h + 1) Newton(V, f ) + 1 − s(h + 1) ≥ 1 ´Igy l´etezik egy M1 r´acs V -ben ´es egy m pozit´ıv eg´esz, melyekre f 0m (M1 ) ⊆ M1 . M2 : := M1 + f 0 (M1 ) + . . . + f 0m−1 (M1 )-re f 0 (M2 ) ⊆ M2 , azaz (π −s f r )h+1 (M2 ) ⊆ π −1 M2 . Az 5.1.11 lemma szerint ´ıgy l´etezik egy olyan M r´acs V -ben, melyre π −s f r (M ) ⊆ M , azaz f r (M ) ⊆ π s M . 5.1.14. Defin´ıci´ o. A (V, f ) izokrist´alyt izoklinnek nevezz¨ uk, ha Newton(V, f ) =
d(V, f ) h(V, f )
5.1.15. Lemma. A k¨ovetkez˝o ´all´ıt´asok ekvivalensek: i. (V, f ) izoklin. ii. L´etezik egy M r´acs V -ben, melyre f h (M ) = π d M . iii. L´etezik egy M r´acs V -ben, r pozit´ıv eg´esz ´es s eg´esz u ´gy, hogy f r (M ) = π s M . Tov´abb´a minden a iii. ´all´ıt´as felt´etel´et kiel´eg´ıt˝o (r, s) p´arra Newton(V, f ) = rs . Bizony´ıt´as. i. ⇒ ii. Az 5.1.13 lemma szerint vegy¨ unk egy M r´acsot V -ben, melyre h d f (M ) ⊆ π M . Ekkor [π d M : f h (M )] = [M : f h (M )] − [M : π d M ] = h[M : f (M )] − dh = 0 ´ıgy f h (M ) = π d M .
50
ii. ⇒ iii. Ez a k¨ovetkeztet´es trivi´alisan teljes¨ ul. iii. ⇒ i. Mivel 0 = [π s M : f r (M )] = [M : f r (M )] − [M : π s M ] = r[M : f (M )] − hs = rd − hs ´ıgy s 1 d d = = ordM f r ≤ Newton(V, f ) ≤ h r r h ´es ´ıgy Newton(V, f ) =
d h
= rs .
5.1.16. Defin´ıci´ o. Ha r pozit´ıv eg´esz ´es s eg´esz, akkor legyen a hozz´ajuk tartoz´ o r standard izokrist´aly Vs,r = (K , fs,r ), ahol fs,r (ei ) :=
( ei+1 s
π e1
, ha 1 ≤ i < r , ha i = r
(itt (ei ) a K r vektort´er standard b´azisa). P P Az Ar = ri=1 Aei r´acsra fs,r (Ar ) = Aπ s e1 + ri=2 Aei , ´ıgy h(Vs,r ) = r, d(Vs,r ) = r = s ´es fs,r (Ar ) = π s Ar . ´Igy Vs,r izoklin ´es Newton(Vs,r ) = rs . Egy α : (V, f ) → (V 0 , f 0 ) σ a -izokrist´alyok k¨oz¨otti homomorfizmus alatt egy olyan α : V → V 0 K-line´aris lek´epez´est ´ert¨ unk, amelyre f 0 ◦ α = α ◦ f . α
β
5.1.17. Lemma. i. Legyen 0 → (V1 , f1 ) → (V, f ) → (V2 , f2 ) → 0 egy izokrist´ alyokb´ol ´all´o r¨ovid egzakt sorozat, ekkor Newton(V, f ) ≤ min(Newton(V1 , f1 ), Newton(V2 , f2 )) ´es ha (V, f ) izoklin, akkor (V1 , f1 ) ´es (V2 , f2 ) is az ´es Newton(V1 , f1 ) = Newton(V, f ) = Newton(V2 , f2 ) ii. Legyen (V, f ) izoklin ´es legyen (V 0 , f 0 ) egy m´asik izokrist´aly ´es tegy¨ uk fel, hogy 0 0 0 0 Newton(V, f ) < Newton(V , f ). Ekkor (V, f ) ´es (V , f ) k¨oz¨ott egyik ir´anyban sincsen nemnulla homomorfizmus. Bizony´ıt´as. i. Az 5.1.12 t´etel szerint l´etezik egy M r´acs V -ben ´es r, s ∈ Z, r > 0, melyekre f r (M ) ⊆ π s M ´es Newton(V, f ) = rs . Bel´atjuk, hogy M1 := α−1 (M ) ´es M2 := β(M ) r´acsok V1 -ben illetve V2 -ben. Ism´et a f˝oide´algy˝ ur˝ u feletti v´egesen gener´alt modulusok alapt´etel´ere hivatkozva ezek szabad A-modulusok lesznek. Ha h.iK jel¨oli a gener´alt K-vektorteret, akkor hM iK = V ,
51
hiszen M r´acs ´es innen hM2 iK = im(β) = V2 , teh´at M2 szabad gener´atorrendszere legal´abb dimK V2 elem˝ u (´es ann´al t¨obb elem˝ u nyilv´an nem lehet). M´asfel˝ol hM ∩ ∩ im(α)iK = im(α), hiszen minden v ∈ im(α)-hoz van olyan n, hogy π n v ∈ M ´es mivel α : V1 → im(α) K-line´aris bijekci´o, ´ıgy hM1 iK = V1 , teh´at M1 szabad gener´atorrendszere legal´abb dimK V1 elem˝ u (´es ann´al t¨obb elem˝ u nyilv´an nem lehet). Ezzel bel´attuk, hogy M1 ´es M2 r´acsok a megfelel˝o vektorterekben. i ∈ {1,2} eset´en fir (Mi ) ⊆ π s Mi nyilv´an fenn´all, ´ıgy Newton(V, f ) = rs ≤ 1r ordMi fir ≤ ≤ Newton(Vi , fi ). Ha (V, f ) izoklin, akkor az 5.1.15 lemma szerint az is feltehet˝o, hogy f r (M ) = = π s M ´es ´ıgy fir (M ) = π s Mi . Ekkor ism´et az 5.1.15 lemm´at haszn´alva (Vi , fi ) izoklin ´es Newton(Vi , fi ) = rs = Newton(V, f ) ii. Tegy¨ uk fel indirekt el˝osz¨or azt, hogy α 6= 0 egy (V, f ) → (V 0 , f 0 ) homomorfizmus. Tekints¨ uk a (V1 := im(α), f1 := f 0 |V1 ) izokrist´alyt. Az i. a´ll´ıt´ast alkalmazzuk a id α 0 → (ker(α), f |ker(α) ) → (V, f ) → (V1 , f1 ) → 0 ´es a pr
id
0 → (V1 , f1 ) → (V 0 , f 0 ) → (V 0 /V1 , g1 ) → 0 r¨ovid egzakt sorozatokra (az ut´obbiban pr : V 0 → V 0 /V1 a projekci´o, g1 (u + V1 ) : := f 0 (u) + V1 ; k¨onnyen a´tgondolhat´o, hogy ezek val´oban izokrist´alyokb´ol a´ll´o r¨ovid egzakt sorozatok). Az els˝ob˝ol, mivel (V, f ) izoklin, ´ıgy ((V1 , f1 ) is izoklin ´es) Newton(V, f ) = Newton(V1 , f1 ), a m´asodikb´ol Newton(V1 , f1 ) ≥ N (V 0 , f 0 ), ezek egy¨ utt ellentmond´ast adnak, az indirekt feltev´es t´eves volt. Tegy¨ uk fel most, hogy β 6= 0 egy (V 0 , f 0 ) → (V, f ) homomorfizmus. Tekints¨ uk a (V2 := im(β), f2 := f |V2 ) izokrist´alyt. Most a β
id
0 → (ker(β), f 0 |ker(β) ) → (V 0 , f 0 ) → (V2 , f2 ) → 0 ´es a pr
id
0 → (V2 , f2 ) → (V, f ) → (V /V2 , g2 ) → 0 r¨ovid egzakt sorozatokra fogjuk alkalmazni az i. a´ll´ıt´ast (ahol pr : V → V /V2 projekci´o, g2 (u + V2 ) := f (u) + V2 ). Az els˝ob˝ol Newton(V 0 , f 0 ) ≤ Newton(V2 , f2 ), a m´asodikb´ol (V, f ) izoklin volta miatt Newton(V2 , f2 ) = Newton(V, f ), ´ıgy ism´et ellentmond´ast kapunk. 5.1.18. Lemma. Ha r, s ∈ Z, r > 0 ´es r ´es s relat´ıv pr´ımek (azaz s = 0 eset´en r = 1), akkor a Vs,r standard izokrist´alynak nincs val´odi r´eszizokrist´alya. Bizony´ıt´as. Legyen (V, f ) egy r´eszizokrist´alya Vs,r -nek, aminek a magass´aga 1 ≤
52
≤ h ≤ r ´es a dimenzi´oja f . Ekkor 5.1.17 i. szerint (V, f ) izoklin ´es d s = Newton(V, f ) = Newton(Vs,r ) = h r Mivel r ´es s relat´ıv pr´ımek, r|h, ´ıgy r = h, ´ıgy V = Vs,r . A tov´abbiakban feltessz¨ uk, hogy A teljes. Ekkor minden V -beli M r´acsra az n M → limn M/π M term´eszetes lek´epez´es izomorfizmus. ←− 5.1.19. T´ etel. Legyen A teljes, ekkor egy´ertelm˝ uen l´eteznek (V1 , f1 ), . . . , (Vt , ft ) ≤ ≤ (V, f ) izoklin r´eszizokrist´alyok, amelyekre V =
t M
Vi ,
f=
i=1
t M
fi
i=1
´es Newton(V, f ) = Newton(V1 , f1 ) < Newton(V2 , f2 ) < . . . < Newton(Vt , ft ) Bizony´ıt´as. Elegend˝o azt bel´atni, hogy V el˝oa´ll V = V1 ⊕ V10 direkt ¨osszegk´ent, ahol V1 , V2 f -invari´ans alterek, (V1 , f |V1 ) izoklin ´es Newton(V, f ) = Newton(V1 , f |V1 ) < Newton(V10 , fV10 ) L´etez´es: Legyen Newton(V, f ) = rs , ahol s, r ∈ Z, r > 0 ´es legyen M egy r´acs V -ben, melyre f r (M ) ⊆ π s M (5.1.12 miatt van ilyen). A g := π −s f r lek´epez´esre g(M ) ⊆ M ´es ´ıgy minden k pozit´ıv eg´eszre induk´al egy gk : M/π k M → M/π k M lek´epez´est. R¨ogz´ıts¨ unk egy k-t. Mivel M/π k M v´eges hossz´ u, ´ıgy a im(gk ) ⊇ im(gk2 ) ⊇ . . . ⊇ im(gki ) ⊇ . . . ´es ker(gk ) ⊆ ker(gk2 ) ⊆ . . . ⊆ ker(gki ) ⊆ . . . A-r´eszmodulusl´ancok M/π k M -ben egy id˝o ut´an stabiliz´al´odnak. ´Igy l´etezik egy j = = j(k) ≥ 1, amelyre 0 Mk,1 := im(gkj ) = im(gki ) ´es Mk,1 := ker(gkj ) = ker(gki )
minden i ≥ j-re. Ekkor a k¨ovetkez˝ok nyilv´anval´oan teljes¨ ulnek: (a) gk (Mk,1 ) = gk (im(gkj )) = im(gkj+1 ) = Mk,1
53
0 ) = gkj (ker(gkj )) = {0} (b) gkj (Mk,1 0 0 (c) gk (Mk,1 ) = gk (ker(gkj+1 )) ⊆ ker(gkj ) = Mk,1 ∼ =
Mivel Mk,1 v´eges hossz´ u, ´ıgy (a)-b´ol gk : Mk,1 → Mk,1 bijekci´o. (b) szerint ´ıgy 0 Mk,1 ∩ Mk,1 = {0}. v ) = gk2j (v¯) egy v¯ ∈ M/π k M Legyen v¯ ∈ M/π k M tetsz˝oleges elem. Ekkor gkj (¯ elemre, ´ıgy 0 v − gkj (v¯)) ∈ Mk,1 + Mk,1 v = gkj (v¯) + (¯ 0 Ez azt jelenti, hogy M/π k M = Mk,1 ⊕ Mk,1 . Ahogy k-t v´altoztatjuk, k¨onnyen a´tgondolhat´o, hogy ez a felbont´as kompatibilis a M/π k+1 M → M/π k M projekci´okkal. ´Igy legyen 0 M1 := lim Mk,1 ´es M10 := lim Mk,1 ←− ←− k
k
´ıgy kapunk egy M = M1 ⊕ M10 felbont´ast f -invari´ans A-r´eszmodulusok direkt ¨osszeg´ere. K¨onnyen l´athat´oan (d) g(M1 ) = M1 (e) g j(1) (M10 ) ⊆ πM10 Legyen V1 := KM1 ´es V10 := KM10 , ekkor V = V1 ⊕ V10 V felbont´asa g-invari´ans alterek direkt ¨osszeg´ere. Nyilv´anval´oan M1 illetve M10 r´acs u, (e) V1 -ben illetve V10 -ben. (d) ´es 5.1.15 szerint (V1 , g|V1 ) izoklin ´es 0 meredeks´eg˝ szerint 1 Newton(V10 , g|V10 ) ≥ > 0 = Newton(V1 , g|V1 ) j(1) Vegy¨ uk ´eszre, hogy V = f (V1 ) ⊕ f (V10 ) egy m´asik g-invari´ans alterekre val´o felbont´as, ahol (f (V1 ), g|f (V1 ) ) is izoklin ´es Newton(f (V10 ), g|f (V10 ) ) > 0 = Newton(f (V1 ), g|f (V1 ) ) Az 5.1.17 lemma ii. r´esze szerint a ⊆
pr
⊆
pr
(V1 , g|V1 ) → (V, g) → (f (V10 ), g|f (V10 ) ) illetve (V10 , g|V10 ) → (V, g) → (f (V1 ), g|f (V1 ) )
54
lek´epez´esp´arok kompoz´ıci´oja azonosan nulla. Ebb˝ol k¨ovetkezik, hogy V1 illetve V10 f -invari´ansak. (d) ´es (e) szerint f r (M1 ) = π s M1 ´es f rj(1) (M10 ) ⊆ π sj(1)+1 M1 teh´at az 5.1.15 lemma szerint Newton(V, f ) =
sj(1) + 1 s = Newton(V1 , f |V1 ) < ≤ Newton(V10 , f |V10 ) r rj(1)
Egy´ertelm˝ us´eg: Az egy´ertelm˝ us´eg az 5.1.17 lemma seg´ıts´eg´evel ugyan´ ugy l´athat´o 0 be, mint V1 ´es V1 f -invarianci´aja. 5.1.20. Defin´ıci´ o. Az 5.1.19 t´etel szerint l´etez˝o Newton(V1 , f1 ), . . . , Newton(Vt , ft ) sz´amokat a (V, f ) izokrist´aly meredeks´egeinek nevezz¨ uk.
5.2. A Dieudonn´ e–Manin t´ etel Az izoklin izokrist´alyok szerkezet´enek a meg´ert´es´ehez sz¨ uks´eg¨ unk lesz n´eh´any tov´abbi feltev´esre, ezekre egy¨ utt (DM)-k´ent hivatkozunk: – A teljes ´es az A/m marad´ekteste algebrailag z´art ´es p > 0 karakterisztik´aj´ u; – σ a ≡ aq mod m minden a ∈ A-ra, ahol q > 1 egy r¨ogz´ıtett p-hatv´any; – l´etezik egy π ∈ A pr´ımelem, melyre σ(π) = π. 5.2.1. T´ etel. Tegy¨ uk fel, hogy (DM) teljes¨ ul ´es (V, f ) egy izoklin σ-izokrist´aly 0 meredeks´eggel, ekkor l´etezik egy v1 , . . . , vh K-b´azis V -ben, amelyre f (vj ) = vj minden 1 ≤ j ≤ h-ra. Bizony´ıt´as. Legyen M egy r´acs V -ben, melyre f (M ) = M . A k´ıv´ant (vi )i b´azist M A-b´azisak´ent konstru´aljuk meg. Mivel M ∼ M/π k M , ´ıgy limk M/π k M elemei= lim ←−k ←− (k) (k) ´ k´ent kereshetj¨ uk a b´azisvektorokat. Igy konstru´alunk rekurz´ıvan egy (v1 , . . . , v ) h
h
M -ban halad´o sorozatot, amelyre a k¨ovetkez˝ok teljes¨ ulnek: (a)
n o (k) (k) v1 mod πM, . . . , vh mod πM egy A/m-b´azis M/πM -ben;
(k) (k) (b) f vj ≡ vj mod π k M minden 1 ≤ j ≤ h-ra; (k+1)
(c) vj
(k)
≡ vj
mod π k M minden 1 ≤ j ≤ h-ra.
55
k
(1)
(1)
A kezd˝ol´ep´es, azaz v1 , . . . , vk l´etez´ese azonnal k¨ovetkezik a 2.2.1 t´etelb˝ol. (k)
(k)
Tegy¨ uk fel, hogy m´ar konstru´altuk (a)-(c)-t kiel´eg´ıt˝o v1 , . . . , vh elemeket. (k)
(k)
(a)-b´ol k¨onnyen l´athat´oan k¨ovetkezik, hogy v1 , . . . , vh egy A-b´azisa M -nek. Ezek szerint h X (k) (k) (k) k f vj − vj = π aij vi ahol aij ∈ A i=1
Mivel a marad´ektest algebrailag z´art, tal´alhatunk bij ∈ A elemeket, melyekre aij + σ(bij ) − bij ≡ aij + bqij − bij ≡ 0
mod m
Legyen (k+1)
vj
(k)
:= vj + π k
h X
(k)
bij vi
i=1
Ekkor a konstrukci´o l´athat´oan biztos´ıtja (a) ´es (c) teljes¨ ul´es´et, (b) az´ert teljes¨ ul, mert h h X X (k) (k) (k) (k) (k+1) (k+1) − πk − vj + σ(π)k σ(bij )f vi bij vi = f vj − vj f vj i=1
= πk
h X
(k)
(aij + σ(bij ) − bij )vi + π 2k
i=1
≡0
mod π
i=1 h X X
(k)
` = 1h σ(bij )a`i v`
i=1 (k+1)
M
M/π k M -ben j´oldefini´altak, elemek M ∼ = lim ←−k ezek (a) szerint A-b´azist alkotnak M -ben ´es ´ıgy K-b´azist V -ben, v´eg¨ ul (b) szerint f (vj ) = vj is teljes¨ ul r´ajuk. (c) szerint a vj :=
(k)
vj + π k M
k
5.2.2. T´ etel. (Dieudonn´e–Manin) Tegy¨ uk fel, hogy (DM) teljes¨ ul ´es (V, f ) egy izoks lin σ-izokrist´aly ´es Newton(V, f ) = r , ahol r, s ∈ Z relat´ıv pr´ımek, r > 0. Ekkor (V, f ) izomorf Vs,r standard izokrist´alyok (v´eges) direkt ¨osszeg´evel.
Bizony´ıt´as. Az 5.1.13 lemma szerint tal´alhatunk olyan V -beli M r´acsot, melyre f r (M ) ⊆ π s M . Mivel rs = hd , ´ıgy [π s M : f r (M )] = [M : f r (M )] − [M : π s M ] = rd − sh = 0 ´es ´ıgy f r (M ) = π s M . Az 5.2.1 t´etelt alkalmazhatjuk a (V, π −s f r ) izokrist´alyra, ami az 5.1.15 ´es 5.1.10 lemm´ak szerint izoklin 0 meredeks´eggel, ´ıgy kaphatunk v1 , . . . , vh
56
b´azist V -ben, melyre f r (vj ) = π s vj . Legyen Vj :=
Pr−1 i=0
Kf i (vj ). Ekkor
Vs,r → (Vj , f |Vj ) ei 7→ f i−1 (vj ) egy sz¨ urjekt´ıv izokrist´aly-homomorfizmus, ami az 5.1.18 lemma szerint izomorfizmus kell, hogy legyen. ´Igy kaptunk egy V =
h X
Vj
ahol (Vj , f |Vj ) ∼ = Vs,r
j=1
¨osszeg-el˝o´all´ıt´ast. Az 5.1.18 lemma szerint a Vj -knek nincsen nemtrivi´alis r´eszizokrist´alya, ´ıgy ebb˝ol az ¨osszegb˝ol egy egyszer˝ u elj´ar´as szerint kijel¨olhet¨ unk n´eh´any tagot, amelyeknek m´ar direkt ¨osszege lesz V : haladjunk v´egig az egyes Vj -ken valamilyen sorrendben, amikor tekint¨ unk egy Vj -t, n´ezz¨ uk meg, hogy annak mi a metszete az eddig kiv´alasztott tagok ¨osszeg´evel. Ez a metszet csak {0} vagy Vj lehet, az el˝obbi esetben v´alasszuk ki Vj -t, az ut´obbi esetben pedig ne v´alasszuk ki. K¨onnyen a´tgondolhat´o, hogy a kiv´alasztott tagok ¨osszege mindig direkt ¨osszeg ´es hogy az elj´ar´as sor´an mindig V a m´ar kiv´alasztott ´es a m´eg nem vizsg´alt tagok ¨osszege.
57
Hivatkoz´ asok [1] Kedlaya, Kiran S., p-adic Differential Equations, Cambridge University Press, New York, 2010. El´erhet˝o a http://kskedlaya.org/papers/p−adic_differential_equations.pdf c´ımen. [2] Kiss Emil, Bevezet´es az algebr´aba, Typotex, Budapest, 2007. [3] Manin, Jurij I., Kommutat´ıv form´alis csoportok elm´elete v´eges karakterisztik´aj´ u testek felett (oroszul), Uszpehi Matematicseszki Nauk., 18 (6), 1963. [4] Schneider, Peter Die Theorie des Anstieges el˝oad´asjegyzet, el´erhet˝o a http://wwwmath.uni−muenster.de/u/pschnei/publ/lectnotes/Theorie− −des−Anstiegs.pdf c´ımen, 2006/07. [5] Z´abr´adi Gergely, Algebrai sz´amelm´elet jegyzet, el´erhet˝o a http://www.cs.elte. hu/~zger/Jegyzetek/algszamjegyzet.pdf c´ımen, 2014.
58
