MATEMATIKA IV
MODUL 12 Diferensiasi dan Integrasi Transformasi Laplace
Zuhair Jurusan Teknik Elektro Universitas Mercu Buana Jakarta 2008 年 01 月 13 日(日)
Diferensiasi dan Integrasi Transformasi Laplace Transformasi Laplace memiliki banyak sifat umum yang cukup menakjubkan yang kita dapat gunakan untuk mendapatkan transformasi atau transformasi invers Laplace-nya. Tentu saja, metode-metode untuk mencapai tujuan itu didasarkan pada sifat-sifat itu sendiri seperti integrasi langsung, pemanfaatan linearitas, pergeseran dan diferensiasi atau integrasi dari fungsi original ƒ(t). Dalam modul ini kita mempertimbangkan diferensisasi dan integrasi dari transformasi Laplace F(s) dan mendapatkan operasi yang berkorespondensi untuk fungsi original ƒ(t).
Diferensiasi Transformasi Laplace Dapat diperlihatkan bahwa bila ƒ(t) memenuhi kondisi teorema yang ada dalam modul 9 dan derivatif dari transformasi Laplace yang berkorespondensi, ∞ F(s) =
£(f) = ∫ e-st ƒ(t) dt
0 Berkenaan dengan s dapat diperoleh dengan diferensiasi di bawah tanda integral berkenaan dengan s. Jadi, ∞ F’(s) = –
∫ e-st { t ƒ(t) } dt 0
Konsekuensinya, bila
£(ƒ) = F(s), maka, £{ t ƒ(t) } = – F’(s) ...............................................(1)
Diferensiasi transformasi fungsi yang berkorespondensi dengan multiplikasi fungsi dengan – t. Sifat transformasi Laplace ini memungkinkan kita memperoleh transformasi baru dari yang telah diberikan.
CONTOH 1. t sin ωt Carilah transformasi Laplace dari ƒ(t) = ———— 2ω Penyelesaian: Dari persamaan (1) di atas dan formula 8 dalam Tabel 1,
created by zuhair
2
£ kita peroleh,
£
ω (sin ωt) = ———— s2 + ω2
d ω d (t sin ωt) = – —— { ———— } = – —— {ω (s2 + ω2)-1} = ds s2 + ω2 ds 2ωs ω (s2 + ω2)-2 2s = ————— (s2 + ω2)2
Dengan membagi hasil di atas dengan 2ω, kita dapatkan, t sin ωt
£{————} = 2ω
s ————— (s2 + ω2)2
CONTOH 2. sin ωt – ωt cos ωt Carilah transformasi Laplace dari ƒ(t) = ————————— 2ω3 Penyelesaian: Serupa dengan CONTOH 1, dari persamaan (1) dan formula 7 dalam Tabel 1,
£ kita peroleh,
£
s (cos ωt) = ———— s2 + ω2
d s (t cos ωt) = – —— { ———— } ds s2 + ω2 (s2 + ω2) – 2 s2 = – { ———————— } (s2 + ω2)2 s2 – ω2 = ————— (s2 + ω2)2
sehingga, sin ωt – ωt cos ωt
1
£{—————————} = —— £(sin ωt – ωt cos ωt) = 2ω3
created by zuhair
2ω3
3
1
1
—— { 2ω3 1
ω
ω(s2 – ω2)
£(sin ωt) – ω £(t cos ωt) } = —— { ————— – —————— } = 2ω3 ω(s2 + ω2) – ω(s2 – ω2)
s2 + ω2 1
(s2 + ω2)2
2ω3
1
= —— {———————————— } = —— —————— = —————— 2ω3 (s2 + ω2)2 2ω3 (s2 + ω2)2 (s2 + ω2)2 CONTOH 3. sin ωt + ωt cos ωt Carilah transformasi Laplace dari ƒ(t) = ————————— 2ω Penyelesaian: Transformasi Laplace dari ƒ(t) adalah, sin ωt + ωt cos ωt
1
£{—————————} = —— £(sin ωt + ωt cos ωt) = 2ω
2ω
1
1
—— {
ω(s2 – ω2)
£(sin ωt) + ω £(t cos ωt) } = —— { ————— + —————— } =
2ω 1
ω s2 + ω2
2ω ω(s2 + ω2) + ω(s2 – ω2)
1
(s2 + ω2)2
2 ωs2
s2
= —— {———————————— } = —— —————— = —————— 2ω (s2 + ω2)2 2ω (s2 + ω2)2 (s2 + ω2)2 Tabel 5 memperlihatkan transformasi Laplace yang diperoleh dari CONTOH 1, 2 dan 3.
Tabel 5. Aplikasi diferensiasi transformasi Laplace.
£ (ƒ)
ƒ(t) 1
2
3
created by zuhair
1 —— (sin ωt – ωt cos ωt) 2ω3 t —— sin ωt 2ω 1 —— (sin ωt + ωt cos ωt) 2ω
4
1 —————— (s2 + ω2)2 s —————— (s2 + ω2)2 s2 —————— (s2 + ω2)2
Integrasi Transformasi Laplace Dengan cara serupa, jika f(t) memenuhi kondisi yang ada dalam teorema di ƒ(t) modul 9 dan limit —— dimana t mendekati 0 dan limit tersebut eksis, maka, t ƒ(t) ∞
£{——} = ∫ F(š) dš …………..................................……..(2) t
s
dalam model ini, integrasi transformasi fungsi ƒ(t) berkorespondensi dengan pembagian ƒ(t) dan t. Dari definisi transformasi Laplace, persamaan (2) dapat ditulis ke dalam bentuk,
∞
∞ ∞
∫ F(š) dš = ∫ { ∫ e-št ƒ(t) dt } dš s s 0 dan dapat diperlihatkan bahwa integrasi persamaan di atas dapat ditukar, yaitu, ∞
∞ ∞
∞ ∞ -št F(š) dš = { e ƒ(t) dš } dt = ƒ(t) { e-št dš } dt = s 0 s 0 s
∫
∫ ∫
∫
∫
Integral terhadap š dapat dihitung sebagai berikut, ∞
1
∞
1
1
∫ e-št dš = – — e-št | = – — (e-∞ – e-st) = — e-st s
t
s
t
t
sehingga, ∞
∞
ƒ(t)
ƒ(t)
∫ F(š) dš = ∫ e-st {——} dt = £{——} s
0
t
t
dan transformasi invers Laplacenya adalah, ∞
ƒ(t)
£-1 { ∫ F(š) dš } = —— s
t
CONTOH 4. ω2 Carilah transformasi invers Laplace dari fungsi ℓn (1 + ——) s2 Penyelesaian: Kita tuliskan,
created by zuhair
5
ω2
∞
∫ F(š) dš = ℓn (1 + ——) s2
s Dengan diferensiasi, d
∞
ω2
d
∫
– —— { F(š) dš } = – —— { ℓn (1 + ——) } ds s ds s2 s2 + ω2
d
F(s) = – —— { ℓn (————) } ds s2 d = – —— { ℓn (s2 + ω2) – ℓn (s2) } ds 2 2s = —— – ———— s s2 + ω2 dimana ekualitas terakhir dapat diverifikasi secara mudah dengan perhitungan langsung. Dari Tabel 1, kita peroleh, 2 ƒ(t) =
2s
£-1{ F(s) } = £-1{ —— – ———— } = 2 – 2 cos ωt s
s2 + ω2
Fungsi ini memenuhi kondisi yang ditampilkan dalam persamaan (2), ∞
ƒ(t)
£{——} = ∫ F(š) dš t
s
Karena itu, ω2
∞
f(t)
£-1{ℓn (1 + ——)} = £-1 { ∫ F(š) dš } = —— s2
s
Hasil kita adalah, ω2
£
2 -1{ℓn (1 + ——)} = —— (1 – cos ωt) s2
t
CONTOH 5. Carilah transformasi invers Laplace dari fungsi F(s) = arc cot (s / ω)
created by zuhair
6
t
Penyelesaian: Dengan cara serupa kita tuliskan, ∞
s
∫ F(š) dš = arc cot — s
ω
Dengan diferensiasi, d
∞
d
s
∫
– —— { F(š) dš } = – —— {arc cot — } ds s ds ω Misalkan,
Θ = arc cot (s / ω) cot Θ = s / ω, sin Θ = ω / √ (s2 + ω2), cos Θ = s / √ (s2 + ω2)
Diferensiasi ekspresi ini menghasilkan, d(cot Θ) = d(s / ω) – cosec2 Θ dΘ = ds / ω dΘ / ds = –1 / (ω cosec2 Θ) = – sin2 Θ / ω = – sin2 Θ / ω = – ω / (s2 + ω2), sehingga, d
∞
d
s
∫
– —— { F(š) dš } = – —— {arc cot — } ds s ds ω F(s) = – dΘ / ds = ω / (s2 + ω2) Dari Tabel 1, kita peroleh, ƒ(t) =
£-1{ F(s) } = £-1{ ω / (s2 + ω2) } = sin t
Fungsi ini memenuhi kondisi yang ditampilkan dalam persamaan (2), ƒ(t)
∞
£{——} = ∫ F(š) dš t
s
Karena itu, ∞
ƒ(t)
£-1{arc cot (s / ω)} = £-1 { ∫ F(š) dš } = —— s Hasil kita adalah,
created by zuhair
7
t
£
s sin t -1{arc cot —} = ——— ω
t
CONTOH 6. s Carilah transformasi invers Laplace dari fungsi F(s) = ℓn [————] s2 + 1 Penyelesaian: Dengan cara serupa kita tuliskan, ∞
s
∫ F(š) dš = ℓn [————] s2 + 1
s Ekspresi ini didiferensialkan, d ∞ – —— { ds
d
∫ F(š) dš } =
s
– —— { ℓn [————] } ds s2 + 1
s
d F(s) = – —— { ℓn s – ℓn (s2 + 1) ds
}
2s 1 = ——— – —— s2 + 1 s Dengan memanfaatklan Tabel 1, diperoleh, ƒ(t) =
£-1{ F(s) } = £-1{ 2s / (s2 + 1) – 1 } = 2 cos t – 1
Fungsi ini memenuhi kondisi yang ditampilkan dalam persamaan (2), ƒ(t)
∞
£{——} = ∫ F(š) dš t
s
Karena itu, s
∞
ƒ(t)
£-1{ℓn [————]} = £-1 { ∫ F(š) dš } = —— s2 + 1
s
s
2 cos t – 1
Hasil kita akhirnya adalah,
£-1{ℓn [————]} = ————— s2 + 1
created by zuhair
8
t
t
SOAL-SOAL Tentukanlah transformasi Laplace dari fungsi ƒ(t) berikut, 1. t cos 2t 2. t e2t 3. t cosh t 4. t2 et 5. t sinh 2t 6. t2 sinh 2t 7. t2 cos ωt 8. t e-2t sin ωt Tentukanlah ƒ(t) bila
£(ƒ) didefinisikan sebagai berikut,
1 9. ———— (s + 1)2 2 10. ———— (s – a)3 2s 11. ————— (s2 – 4)2 s+a 12. ℓn ——— s+b s 13. ℓn ——— s–1 s2 + 1 14. ℓn ———— (s – 1)2 15. arc cot (s + 1)
created by zuhair
9
