MATEMATIKA IV
MODUL 9 Transformasi Laplace
Zuhair Jurusan Teknik Elektro Universitas Mercu Buana Jakarta 2007 年 12 月 16 日(日)
Transformasi Laplace Transformasi
Laplace
adalah
sebuah
metode
yangdigunakan
untuk
menyelesaikan persamaan diferensial yang berkaitan dengan problema nilai awal dan nilai batas. Proses penyelesaiannya terdiri atas 3 langkah utama, yaitu: 1. Problema rumit yang diberikan ditransformasikan ke dalam persamaan sederhana (persamaan tambahan). 2. Persamaan tambahan diselesaikan semata-mata dengan manipulasi aljabar. 3. Penyelesaian persamaan tambahan ditransformasikan kembali untuk memperoleh penyelesaian problema yang diberikan. Dalam situasi ini transformasi Laplace mengubah problema penyelesaian persamaan diferensial ke dalam problema aljabar. Langkah ketiga dibuat lebih mudah dengan tabel yang peranannya serupa dengan tabel integral dalam problema integrasi. Tabel ini juga bermanfaat dalam langkah pertama. Metode transformasi Laplace digunakan luas dalam matematika teknik untuk aplikasi numerik berbagai problema mekanika dan elektrika. Metode ini secara khusus digunakan untuk problema, misalkan gaya gerak mekanika yang mempunyai diskontinuitas yang bekerja pada waktu singkat atau periodik yang bukan semata-mata berbentuk sinus atau kosinus. Keunggulan lain dari metode ini adalah transformasi Laplace dapat menyelesaikan problema secara langsung. Tentu saja problema nilai awal dapat diselesaikan tanpa harus menentukan penyelesaian umumnya terlebih dahulu. Demikian pula, persamaan diferensial tak homogen dapat diselesaikan tanpa harus menyelesaikan persamaan homogennya terlebih dahulu.
Transformasi Laplace Andaikan f(t) adalah fungsi yang diberikan dan didefinisikan untuk semua waktu t lebih besar dari nol (t ≥ 0). Fungsi f(t) dikalikan dengan e-st dan diintegrasikan terhadap t dari nol hingga tak hingga. Lalu jika hasil integralnya ada, dan merupakan fungsi dari s, katakanlah F(s), maka, ∞ F(s) =
∫ e-st f(t) dt 0
created by zuhair
2
disebut transformasi Laplace dari fungsi original f(t) dan akan dinotasikan dengan
£(f).
Jadi,
∞ F(s) = £ (f) = ∫ e-st f(t) dt …………………………………...(1) 0 Operasi yang baru ditunjukkan, yang menghasilkan F(s) dari fungsi f(t) yang diberikan, disebut transformasi Laplace.
Transformasi Invers Selanjutnya fungsi original f(t) dalam persamaan (1) disebut transformasi invers dari F(s) dan akan dinotasikan dengan
£-1(F) sehingga dapat dituliskan,
f(t) = £-1(F) .........................................................(2) Pada
umumnya
fungsi
original
dinyatakan
dengan
huruf
kecil
dan
transformasinya dengan huruf kapital yang sama sehingga F(s) menyatakan transformasi dari f(t) dan Y(s) menyatakan transformasi dari y(t), dan sebagainya. CONTOH 1. Jika f(t) = 1 untuk t ≥ 0, tentukanlah F(s). Penyelesaian: Dengan menggunakan persamaan (1) dapat diperoleh, ∞ F(s) =
1
∞
£ (f) = £ (1) = ∫ e-st×1 dt = – — e-st |
0 s 0 Selang integrasi dalam persamaan (1) adalah tak hingga dan integral semacam ini disebut integral tak wajar. Oleh karena itu menurut defisnisi harus dihitung dengan aturan, ∞
∫
e-st f(t) dt = lim
0
TJ∞
T e-st f(t) dt
∫ 0
Maka penulisan yang tepat adalah, ∞
1
∫ e-st dt = lim 0
TJ∞
created by zuhair
3
T [– — e-st] s
0
1 1 1 [– — e-s×1 + — e0] = — s s s
= lim TJ∞ Jadi,
1
£ (1) = — s CONTOH 2. Jika f(t) = eat untuk t ≥ 0, dimana a adalah konstanta, tentukan F(s). Penyelesaian: Sekali lagi, dengan menggunakan persamaan (1) dapat diperoleh,
£
£
F(s) = (f) = (eat) ∞ = e-st×eat dt
∫
0 1
∞
|
= – —— e-(s-a)t a–s 0 Oleh karena itu, jika s–a > 0, maka 1 F(s) =
£ (eat) = ——
s–a Kita tidak harus mendapatkan transformasi Laplace dengan cara langsung dari definisi dalam persamaan (1) karena transformasi Laplace mempunyai banyak sifat umum yang berguna untuk tujuan di atas.
Linearitas Transformasi Laplace Salah satu sifat yang sangat penting dari transformasi Laplace adalah sifat linearitas seperti yang dimiliki diferensiasi dan integrasi. Transformasi Laplace adalah operasi linear untuk sebarang fungsi f(t) dan g(t) yang transformasi Laplacenya ada dan sebarang konstanta a dan b,
£{a f(t) + b g(t)} = a £{f(t)} + b £{g(t)} .............................….…….(3)
created by zuhair
4
CONTOH 3. Jika f(t) = cosh at = ½(eat + e-at), tentukanlah F(s). Penyelesaian: Dari sifat linearitas dan CONTOH 2, diperoleh, F(s) = =½
£{f(t)} = £ (cosh at)
£ (eat) + ½ £ (e-at)
= ½ [1/(s–a) + 1/(s+a)] yaitu jika s > a (a ≥ 0). Jadi, s F(s) =
£ (cosh at) = ——— s2 – a2
CONTOH 4. Tentukanlah transformasi Laplace dari fungsi berikut:
Dengan menggunakan persamaan (1), didapatkan transformasi Laplace, ∞ F(s) =
∫ e-st f(t) dt 0 c
∞
∫
∫
= k e-st dt + 0 × e-st f(t) dt 0 c k c = – — e-st | s 0 = – k [e-cs – e0] /s = k [1 – e-cs] / s created by zuhair
5
CONTOH 5. Jika f(t) = cosh at = ½(eat + e-at), tentukanlah F(s). Penyelesaian: Dari sifat linearitas dan CONTOH 2, diperoleh, F(s) = =½
£{f(t)} = £ (cosh at)
£ (eat) + ½ £ (e-at)
= ½ [1/(s–a) + 1/(s+a)] yaitu jika s > a (a ≥ 0). Jadi, s F(s) =
£ (cosh at) = ——— s2 – a2
CONTOH 6. 3s – 7 Tentukanlah transformasi invers Laplace dari fungsi F(s) = ————— s2 – 5s + 6 Penyelesaian: Penyebut fungsi F(s), dapat difaktorkan menjadi (s – 3)(s – 2) dan fungsi F(s) dapat diubah ke dalam bentuk, 3s – 7 3s – 7 F(s) = ————— = —————— s2 – 5s + 6 (s – 3)(s – 2) Fungsi F(s) harus dipisahkan menjadi, 3s – 7 A B F(s) = —————— = ——— + ——— (s – 3)(s – 2) s–3 s–2 dengan A dan B adalah konstanta, sehingga, 3s – 7 A (s – 2) B(s – 3) —————— = —————— + —————— (s – 3)(s – 2) (s – 3)(s – 2) (s – 3)(s – 2) 3s – 7 (A + B)s – (2A + 3B) —————— = ————————— (s – 3)(s – 2) (s – 3)(s – 2) Konstanta A dan B dapat ditentukan dengan mempertimbangkan kesamaan, 3s – 7 = (A + B)s – (2A + 3B)
created by zuhair
6
maka, A+B=3 2A + 3B = 7, dan didapatkan A = 2 dan B = 1. Dari CONTOH 1 akhirnya kita peroleh transformasi invers Laplace, 3s – 7 f(t) =
2
1
£-1{ F(s) } = £-1{—————} = £-1{ ——— + ——— } = s2 – 5s + 6
£
2 -1{ ——— } +
£
s–3
s–3
s–2
1 -1{ ——— } = 2 e3t + e2t s–2
Beberapa fungsi elementer f(t) dan transformasi Laplacenya disajikan dalam Tabel 1. Formula 1, 2 dan 3 dalam Tabel merupakan kasus khusus. Formula 4 mengikuti formula 5 dan Г(n+1) = n! dimana n adalah bilangan bulat tak negatif. Formula 5 dapat dibuktikan dengan mengerjakannya dari definisi. Formula 6 dibuktikan dengan CONTOH 2. Formula 7 dan 8 dibuktikan dengan memasukkan a = iω ke dalam formula 6. Formula 9 dibuktikan dalam CONTOH 3 dan formula 10 dapat dibuktikan dengan cara serupa. Tabel 1. Beberapa fungsi elementer f(t) dan transformasi Laplace f(t)
1
1
2
t
3
t2
4
tn (n=1,2,...)
5
ta (a positif)
£ (f)
f(t)
1 —— s 1 —— s2 2! —— s3 n! ——— sn+1 Г(a+1) ———— sa+1
created by zuhair
7
6
eat
7
cos ωt
8
sin ωt
9
cosh at
10
sinh at
£{f(t)}. £ (f) 1 ——— s–a s ——— s2 + ω2 ω ———— s2 + ω2 s ———— s2 – a2 a ———— s2 - a2
SOAL-SOAL Tentukanlah transformasi Laplace dari fungsi berikut (a, b, T, ω dan Θ adalah konstanta). 1. 3t + 4 2. at + b 3. t2 + at + b 4. (a + bt)2 5. sin (2nπt/T) 6. sin (ωt + Θ) 7. cos (ωt + Θ) 8. sin2 t 9. cos2 t 10. cosh2 3t 11. eat+b 12. sinh2 2t
created by zuhair
8
Tentukanlah f(t) bila F(s) =
£(f) diketahui sebagai berikut:
5 16. ——— s+3 2π 17. ——— s+π 1 18. ———— s2 + 25 s–4 19. ——— s2 – 4 1 20. —— s4 s+1 21. ———— s2 + 1 4 22. —————— (s+ 1)(s + 2) p q r 23. — + —— + —— s s2 s3 2 24. ———— s2 + 16 9 25. ———— s2 + 3s
created by zuhair
9
