DIFERENSIASI NUMERIK
DIFERENSIASI DAN INTEGRASI NUMERIK Diferensiasi Numerik
(Forward, Central atau Centered, & Backward Difference; Turunan Pertama & Kedua)
Integrasi Numerik
(Trapezoidal Rule & Simpson’s Rule; Lebar Inkremen Tetap & Berubah) by: siti diyar kholisoh dy/analisis_numerik/april2007
diferensiasi dan integrasi numerik
Visualisasi Grafik dy dx
Nilai turunan y = f (x) pada x = xi dapat dievaluasi dengan memanfaatkan nilai-nilai x di sekitar xi Æ dalam hal ini: xi-1 dan xi+1
= ...? xi
y
2
Keterangan:
3 y = f (x)
1 4
2: Backward difference approx.
2h h
1: Forward difference approx.
3: Centered difference approx.
h
4: True derivative
i-1
i
i+1
x
dy Misalnya: y = f(x), dan ingin dicari harga pada x = x0 dx Berdasarkan definisi matematika: dy lim f ( x + Δ x )− f ( x ) = Δ x → 0 dx Δx Pada diferensiasi numerik yang sederhana, harga Δx → 0 didekati dengan sebuah bilangan kecil ε, sehingga akan diperoleh: Cara forward: dy ≈ f ( x + ε ) − f ( x ) dx ε Cara backward: dy ≈ f ( x ) − f ( x − ε ) dx ε Cara central atau centered: dy ≈ f ( x + ε ) − f ( x − ε ) dx 2ε Menurut teori: ♦ pendekatan dengan central merupakan yang terbaik. ♦ makin kecil ε, hasil makin baik
Contoh Ilustratif: Pada gerak lurus suatu benda, posisi (jarak dari titik tertentu) benda tersebut pada berbagai waktu dapat dinyatakan dengan persamaan: 3
x=2t
dengan x dalam meter dan t dalam detik Posisi benda pada berbagai waktu dapat dicari: t (detik) x (m) 0 0 1 2 2 16 3 54 4 128
Kecepatan rata-rata: dari t = 0 hingga t = 1…? dari t = 1 hingga t = 2…? dari t = 0 hingga t = 2…? Kesimpulannya: …………….
1
Untuk kecepatan tetap: v =
jarak waktu
Kecepatan sesaat:
Yang ditunjukkan oleh speedometer: kecepatan sesaat
v=
Misal, ingin dicari kecepatan sesaat pada saat t = 1 Hal ini dapat didekati dengan kecepatan rata-rata antara t = 1 dan t = 1,1: v
1→1,1
Jika Δt yang dipakai lebih kecil: Δt = 0,01: v
1→1,01
=
=
x
t =1,1
−x
t =1
=
1,1 − 1
Δt = 0,001: v 1→1,001 =
t =1,01
−x
t =1
1,01 − 1 x
t =1,001
−x
1,001 − 1
=
t =1
2 ( 1,001 )3 − 2 ( 1 )3 = 6 ,006 0 ,001
PENJABARAN FIRST FORWARD FINITE-DIVIDED DIFFERENCE 2 TITIK DARI DERET TAYLOR Ekspansi deret Taylor di sekitar f (xi) untuk pendekatan forward:
h2 f ( xi +1 ) = f ( xi ) + h f ' ( xi ) + f ' ' ( xi ) + ... 2 h2 f ( xi +1 ) − f ( xi ) = h f ' ( xi ) + f ' ' ( xi ) + ... 2 f ( xi +1 ) − f ( xi ) h f ' ( xi ) = − f ' ' ( xi ) − ... h 2
…(*)
Ο ( h ) ≡ error Abaikan suku-suku yang mengandung turunan lebih tinggi, sehingga: f ' ( xi ) ≅
f ( xi +1 ) − f ( xi ) h
dengan: h ≡ step size
v
3
2 ( 1,01 ) − 2 ( 1 ) = 6 ,06 0 ,01
=
t +Δ t
−x
t
Δt
x = 2 t3
2 ( 1,1 )3 − 2 ( 1 )3 = 6 ,62 0 ,1
3
x
=
dx = x' dt
Bandingkan dengan diferensiasi secara analitik:
Pada t = 1:
x
lim Δt → 0
(formula first forward finite-divided difference 2 titik)
t =1
=
v=
dx = 6 t2 dt
dx = 6 ( 1 )2 = 6 dt t =1
Kesimpulan: Jika menggunakan Δt yang makin kecil, maka nilai kecepatan rata-rata akan mendekati kecepatan sesaat.
PENJABARAN FIRST BACKWARD FINITE-DIVIDED DIFFERENCE 2 TITIK DARI DERET TAYLOR Ekspansi deret Taylor di sekitar f (xi) untuk pendekatan backward:
h2 f ' ' ( xi ) − ... 2 h2 f ( xi ) − f ( xi −1 ) = h f ' ( xi ) − f ' ' ( xi ) + ... 2 f ( xi ) − f ( xi −1 ) h f ' ( xi ) = + f ' ' ( xi ) − ... h 2 f ( xi −1 ) = f ( xi ) − h f ' ( xi ) +
…(**)
Ο ( h ) ≡ error Abaikan suku-suku yang mengandung turunan lebih tinggi, sehingga: f ' ( xi ) ≅
f ( xi ) − f ( xi −1 ) h
(formula first backward finite-divided difference 2 titik)
2
PENJABARAN FIRST CENTERED FINITE-DIVIDED DIFFERENCE 2 TITIK DARI DERET TAYLOR Pendekatan centered menggabungkan kedua pendekatan sebelumnya: 2
3
h h f ( xi +1 ) = f ( xi ) + h f ' ( xi ) + f ' ' ( xi ) + f ' ' ' ( xi ) + ... 2 6 h2 h3 f ( xi −1 ) = f ( xi ) − h f ' ( xi ) + f ' ' ( xi ) − f ' ' ' ( xi ) + ... 2 6
Kurangkan (**) dari (*), maka:
f ( xi +1 ) − f ( xi −1 ) = 2h f ' ( xi ) + f ' ( xi ) =
(*) (**)
h3 f ' ' ' ( xi ) + ... 3
f ( xi +1 ) − f ( xi −1 ) h 2 − f ' ' ' ( xi ) − ... 6 2h
Ο ( h 2 ) ≡ error
sehingga:
f ( xi +1 ) − f ( xi −1 ) f ' ( xi ) ≅ 2h
(formula first centered finitedivided difference 2 titik)
PENJABARAN SECOND FORWARD FINITE-DIVIDED DIFFERENCE 3 TITIK DARI DERET TAYLOR Ekspansi deret Taylor di sekitar f (xi) untuk pendekatan forward: h2 h3 (*) f ( xi +1 ) = f ( xi ) + h f ' ( xi ) + f ' ' ( xi ) + f ' ' ' ( xi ) + ... 2 6 f ( xi + 2 ) = f ( xi ) + 2 h f ' ( xi ) +
( 2 h )2 ( 2 h )3 f ' ' ( xi ) + f ' ' ' ( xi ) + ... (***) 2 6
Kalikan (*) dengan 2, selanjutnya kurangkan dari (***), sehingga: f ( xi + 2 ) − 2 f ( xi +1 ) + f ( xi ) = h 2 f ' ' ( xi ) + h3 f ' ' ' ( xi ) + ...
f ' ' ( xi ) =
sehingga:
f ' ' ( xi ) ≅
f ( xi + 2 ) − 2 f ( xi +1 ) + f ( xi ) h2
− h f ' ' ' ( xi ) − ...
f ( xi + 2 ) − 2 f ( xi +1 ) + f ( xi )
Ο ( h ) ≡ error
h2
(formula second forward finite-divided difference 3 titik)
PENJABARAN FIRST FORWARD FINITE-DIVIDED DIFFERENCE 3 TITIK DARI DERET TAYLOR Ekspansi deret Taylor di sekitar f (xi) untuk pendekatan forward:
f ( xi +1 ) = f ( xi ) + h f ' ( xi ) + f ( xi + 2 ) = f ( xi ) + 2 h f ' ( xi ) +
h2 h3 f ' ' ( xi ) + f ' ' ' ( xi ) + ... 2 6
(*)
( 2 h )2 ( 2 h )3 f ' ' ( xi ) + f ' ' ' ( xi ) + ... (***) 2 6
Kalikan (*) dengan 4, selanjutnya kurangkan ke (***), maka: 2h3 − f ( xi + 2 ) + 4 f ( xi +1 ) − 3 f ( xi ) = 2 h f ' ( xi ) − f ' ' ' ( xi ) − ... 3 − f ( xi + 2 ) + 4 f ( xi +1 ) − 3 f ( xi ) h 2 f ' ( xi ) = + f ' ' ' ( xi ) + ... 2h 3 sehingga: Ο ( h 2 ) ≡ error
f ' ( xi ) ≅
− f ( xi + 2 ) + 4 f ( xi +1 ) − 3 f ( xi ) 2h
(formula first forward finite-divided difference 3 titik)
SECARA UMUM Secara umum, proses penjabaran diferensiasi numerik untuk kasus: Turunan yang melibatkan jumlah titik data lebih banyak, atau Turunan yang lebih tinggi dapat dilakukan dengan mengekspansi deret Taylor di sekitar f (xi) dan mengikuti langkah-langkah manipulasi aljabar yang sama atau analog dengan beberapa penjabaran di atas. Secara umum, berlaku: 1. Hasil pendekatan turunan akan semakin baik jika: • h (step size) semakin kecil, atau • menggunakan jumlah titik data semakin banyak 2. Pendekatan centered difference memberikan hasil yang lebih baik dibandingkan dengan forward dan backward difference.
3
Forward finite-divided-difference: UNTUK TURUNAN PERTAMA DAN KEDUA
Backward finite-divided-difference: UNTUK TURUNAN PERTAMA DAN KEDUA
Turunan pertama:
Error
f ( xi +1 ) − f ( xi ) h
Ο(h)
(2 titik)
Ο(h2)
(3 titik)
(2 titik)
f ' ( xi ) =
(3 titik)
f ' ( xi ) =
− f ( xi + 2 ) + 4 f ( xi +1 ) − 3 f ( xi ) 2h
Turunan kedua: (3 titik)
f ' ' ( xi ) =
(4 titik)
f ' ' ( xi ) =
f ( xi + 2 ) − 2 f ( xi +1 ) + f ( xi ) h
2
− f ( xi +3 ) + 4 f ( xi + 2 ) − 5 f ( xi +1 ) + 2 f ( xi ) h2
Turunan pertama:
Error
f ' ( xi ) =
f ( xi ) − f ( xi −1 ) h
Ο(h)
f ' ( xi ) =
3 f ( xi ) − 4 f ( xi −1 ) + f ( xi −2 ) 2h
Ο(h2)
Turunan kedua:
Error
Ο(h)
(3 titik)
f ' ' ( xi ) =
Ο(h2)
(4 titik)
f ' ' ( xi ) =
Error
f ( xi ) − 2 f ( xi −1 ) + f ( xi −2 )
Ο(h)
h2
2 f ( xi ) − 5 f ( xi −1 ) + 4 f ( xi − 2 ) − f ( xi −3 ) h2
Ο(h2)
Centered finite-divided-difference: UNTUK TURUNAN PERTAMA DAN KEDUA Turunan pertama: (2 titik)
f ( xi +1 ) − f ( xi −1 ) f ' ( xi ) = 2h
(4 titik)
f ' ( xi ) =
− f ( xi + 2 ) + 8 f ( xi +1 ) − 8 f ( xi −1 ) + f ( xi −2 ) 12 h
Turunan kedua: (3 titik) f ' ' ( xi ) = (5 titik)
f ' ' ( xi ) =
f ( xi +1 ) − 2 f ( xi ) + f ( xi −1 ) h2
− f ( xi + 2 ) + 16 f ( xi +1 ) − 30 f ( xi ) + 16 f ( xi −1 ) − f ( xi −2 ) 12 h 2
Error
CONTOH SOAL:
Ο(h2)
Gunakan finite divided difference approximation (forward, backward, dan centered) untuk menentukan nilai turunan pertama dari fungsi:
Ο(h4)
f ( x ) = −0 ,1 x 4 − 0 ,15 x 3 − 0 ,5 x 2 − 0 ,25 x + 1,2
Error
Ο(h2)
pada x = 0,5, menggunakan step size h = 0,5. Ulangi perhitungan dengan menggunakan h = 0,25 dan h = 0,1. Bandingkan hasil-hasilnya…!
Ο(h4)
4
DERIVATIVES OF UNEQUALLY SPACED DATA
CONTOH APLIKASI: Berikut ini adalah data kinetika sebuah reaksi homogen-searah dalam reaktor sistem batch isotermal (t [=] menit, C [=] mol.m-3): t
C
t
C
t
C
t
C
t
C
0
25,0000 25 7,1626 50 2,0521 75 0,5879 100 0,1684
5
19,4700 30 5,5783 55 1,5982 80 0,4579 105 0,1312
10 15,1633 35 4,3443 60 1,2447 85 0,3566 110 0,1022 15 11,8092 40 3,3834 65 0,9694 90 0,2777 115 0,0796 20
9,1970
45 2,6350 70 0,7549 95 0,2163 120 0,0620
dC dt pada setiap titik data, dgn menggunakan finite-divided difference cara: (a) forward, (b) backward, dan (c) centered atau central. Bandingkan ketiganya dan bandingkan juga dengan penurunan secara analitik (yakni dengan melalui proses curve-fitting)
Tentukan nilai-nilai kecepatan reaksi: r = −
Melalui penurunan secara analitik, diperoleh: 2 x − xi − xi +1 f ' ( x ) = f ( xi −1 ) ( xi −1 − xi )( xi −1 − xi +1 ) 2 x − xi −1 − xi +1 + f ( xi ) ( xi − xi −1 )( xi − xi +1 ) + f ( xi +1 )
2 x − xi −1 − xi ( xi +1 − xi −1 )( xi +1 − xi )
(x merupakan nilai yang ingin dievaluasi turunannya)
Persoalan integrasi numerik:
Reaksi isomerisasi searah fase cair: A Æ B berlangsung dalam sebuah reaktor batch, dan menghasilkan data konsentrasi A tersisa (CA) vs waktu (t) sbb.: t (menit) 0 5 8 10 12 15 17,5 CA (mol/L) 4,0 2,25 1,45 1,0 0,65 0,25 0,06 Jika persamaan laju reaksi dinyatakan dalam bentuk:
d CA = k C An dt
maka besarnya orde reaksi (n) dan laju reaksi spesifik (k) dapat ditentukan.
Gunakan diferensiasi numerik untuk menentukan:
Dengan menggunakan 3 titik data yang berdekatan: (xi-1, f (xi-1)), (xi, f (xi)), dan (xi+1, f (xi+1))
INTEGRASI NUMERIK
CONTOH APLIKASI:
− rA = −
Untuk sekumpulan data-data yang melibatkan interval x yang tidak sama (misal: data yang diperoleh dari eksperimen), nilai turunannya dapat diperkirakan melalui pendekatan interpolasi polinomial Lagrange orde dua.
d CA dt
1. Fungsi (persamaan) tunggal dengan variabel tunggal (Trapezoidal rule; Simpson’s Rule) b Misal: Penyelesaian integral berbentuk: ∫ f ( x ) dx a
yang akan dipelajari pada bagian ini 2. Bentuk persamaan diferensial (PD), baik tunggal maupun simultan (Metode: Euler, Heun, Modified Euler; Runge-Kutta) Misal: Penyelesaian PD berbentuk: dy dy = f ( x, y,z ) + P( x ) . y = Q( x ) dx dx dz (tunggal) = f ( x, y,z )
dx
(simultan)
5
FORMULA NEWTON-COTES Formula integrasi Newton-Cotes merupakan basis penyelesaian integrasi numerik untuk kasus persamaan dengan variabel tunggal. Ide dasar: Menggantikan bentuk fungsi atau persamaan yang kompleks dengan data-data dalam bentuk tabel. Selanjutnya, dilakukan proses curve-fitting terhadap data-data tersebut, sehingga diperoleh fungsi atau persamaan yang mudah diintegralkan. Integral fungsi f (x) dari x = a hingga x = b dapat dituliskan sbb.:
b
dengan: f (x) ≡ fungsi polinomial berorder m
f ( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + am−1 x m−1 + am x m Ingat kembali bahwa: Untuk membentuk polinomial berorder m, maka dibutuhkan sekurang-kurangnya (m+1) titik data.
b⎛ ⎞ f (b)− f (a ) ( x − a ) ⎟⎟ dx I = ∫ ⎜⎜ f ( a ) + b a − a⎝ ⎠ f (b )− f (a ) 1 I = f ( a ).( b − a ) + ( b − a )2 b−a 2
I = ( b − a ).
f ( a )+ f (b ) 2
x
a b Integral f (x) antara x = a dan x = b: b
I = ∫ f ( x ) dx a
orde satu
dengan:
f ( x )= f (a )+
f ( b )− f ( a ) (x−a) b−a
MULTIPLE-APPLICATION TRAPEZOIDAL RULE
TRAPEZOIDAL RULE
I = ( b − a ). f ( a ) + ( b − a )
Merupakan bentuk integrasi Newton-Cotes yang paling sederhana Æ menggunakan pendekatan polinomial orde satu (linier) y y = f (x) f (b) f (a) Integral (I)
I = ∫ f ( x ) dx a
Maka:
TRAPEZOIDAL RULE
f (b )− f (a ) 2 (formula trapezoidal rule)
Secara geometri: I bermakna luas daerah di bawah kurva y = f (x) Luas trapesium = lebar x rerata panjang sisi sejajar Luas daerah yang diarsir: I = ( b − a ).
f ( a )+ f (b ) 2
= Composite Trapezoidal Rule Interval dari x = x0 = a dan x = xn = b dibagi menjadi bagian-bagian kecil (inkremen atau segmen) yang masing-masing selebar h, berjumlah n buah.
h=
b − a xn − x0 = n n
y = f (x) f (b) f (a)
I
…
a = x0
b = xn
x
Batas-batas interval diberi indeks 0, 1, 2, …, n shg: xi = x0 + i . h Masing-masing bagian dianggap berbentuk trapesium. Harga integral yang merupakan luas di bawah kurva y = f (x) dari x0 s.d xn didekati dengan penjumlahan dari luas trapesium-trapesium tsb.
6
Dengan demikian, jika tersedia data-data berikut: x y atau f (x) maka:
x0 y0 atau f (x0)
x1 y1 atau f (x1)
x2 y2 atau f (x2)
…
xn-1 yn-1 atau f (xn-1)
…
b
x
a x
x x
x
x
x
x
xn yn atau f (xn)
0
n
2
I = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx + ... + ∫ f ( x ) dx 0
n−1
1
f ( x0 ) + f ( x1 ) f ( x1 ) + f ( x2 ) f ( xn −1 ) + f ( xn ) I =h +h +"+ h 2 2 2
I=
Perkirakan integral:
f ( x ) = 0 ,2 + 25 x − 200 x 2 + 675 x 3 − 900 x 4 + 400 x 5
n
I = ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx 1
CONTOH SOAL:
n −1 ⎤ h⎡ ⎢ f ( x0 ) + 2 ∑ f ( xi ) + f ( xn )⎥ 2 ⎣⎢ i =1 ⎦⎥
(formula composite trapezoidal rule)
Jika jumlah n semakin besar, maka hasil integrasi akan semakin baik.
dari a = 0 hingga b = 0,8 dengan menggunakan metode trapezoidal: (a) 1 segmen, (b) 2 segmen, Bandingkan hasil-hasilnya…! (c) 4 segmen, dan (d) 20 segmen (Sebagai perbandingan, penyelesaian secara analitik untuk integral ini adalah 1,640533)
Dengan demikian:
SIMPSON’S RULE
x x ⎡ ( x − x )( x − x ) 1 2 I = ∫ f ( x ) dx = ∫ ⎢ f ( x0 ) x x ⎣⎢( x0 − x1 ) ( x0 − x2 ) ( x − x0 ) ( x − x2 ) + f ( x1 ) ( x1 − x0 ) ( x1 − x2 )
Æ menggunakan pendekatan polinomial orde dua (kuadrat) Jika tersedia 3 titik data:
x y atau f (x)
x0 y0 atau f (x0)
x1 y1 atau f (x1)
x2 y2 atau f (x2)
Integral f (x) antara x = x0 dan x = x2: x ( x − x1 ) ( x − x2 ) I = ∫ f ( x ) dx dengan: f ( x ) = ( x0 − x1 ) ( x0 − x2 ) f ( x0 ) x ( x − x0 ) ( x − x2 ) + f ( x1 ) ( x1 − x0 ) ( x1 − x2 ) orde dua ( x − x0 ) ( x − x1 ) + f ( x2 ) ( x2 − x0 ) ( x2 − x1 ) 2
2
0
0
+
⎤ ( x − x0 ) ( x − x1 ) f ( x2 )⎥ dx ( x2 − x0 ) ( x2 − x1 ) ⎦⎥
Setelah melalui proses integrasi dan manipulasi aljabar, diperoleh:
0
(Persamaan f (x) yang melalui ketiga titik data tsb. di atas dapat didekati dengan interpolasi polinomial Lagrange orde dua)
2
I≅
[
]
h f ( x0 ) + 4 f ( x1 ) + f ( x2 ) 3
(formula Simpson’s 1/3 rule)
dengan:
h=
h
x2 − x0 2
atau, secara grafik:
x0
h x1
x2
7
MULTIPLE-APPLICATION SIMPSON’S 1/3 RULE = Composite Simpson’s 1/3 Rule Identik dengan penurunan formula composite trapezoidal rule, metode ini dapat dijabarkan sbb.: x
x
x
x
x
x
n
x
4
2
0
x
n −2
2
h h I = ( f ( x0 ) + 4 f ( x1 ) + f ( x2 )) + ( f ( x2 ) + 4 f ( x3 ) + f ( x4 )) 3 3
h + ... + ( f ( xn−2 ) + 4 f ( xn−1 ) + f ( xn )) 3
atau:
I=
n −1 h⎡ ⎢ f ( x0 ) + 4 ∑ f ( xi ) + 2 3⎢ i =1,3 ,5 ⎣
n−2
∑
j = 2 ,4 ,6
⎤ f ( x j ) + f ( xn )⎥ ⎥⎦
(formula composite Simpson’s 1/3 rule) dengan: h =
xn − x0 n
Perkirakan integral:
f ( x ) = 0 ,2 + 25 x − 200 x 2 + 675 x 3 − 900 x 4 + 400 x 5
n
I = ∫ f ( x ) = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx + ... + ∫ f ( x ) dx 0
CONTOH SOAL:
dan n berupa bilangan genap
INTEGRASI DGN LEBAR SEGMEN TAK SAMA
dari a = 0 hingga b = 0,8 dengan menggunakan metode Simpson 1/3: (a) 2 segmen, (b) 4 segmen, dan Bandingkan hasil-hasilnya…! (c) 20 segmen Bandingkan juga dengan hasil yang diperoleh dengan metode trapezoidal…! (Penyelesaian secara analitik untuk integral ini: 1,640533)
CONTOH APLIKASI:
Pada kebanyakan situasi, kasus integrasi dengan lebar segmen (atau inkremen) sama seringkali justru tidak banyak dijumpai. Misalnya, data-data yang diperoleh melalui eksperimen di laboratorium.
Sebuah reaksi homogen fase gas: A Æ 3 R mempunyai laju reaksi pada 215oC sebesar:
Untuk kasus seperti ini, metode composite trapezoidal rule dapat diterapkan, dengan cara yang sangat identik dengan kasus lebar segmen yang sama.
Campuran reaksi yang berupa 50%-mol A dan 50%-mol inert diumpankan ke dalam sebuah reaktor alir pipa yang beroperasi pada 215oC dan 5 atm. CA0 = 0,0625 mol/liter. Tentukan space-time yang dibutuhkan agar tercapai konversi A 80%.
x
b
n
I = ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx x
a
1
x
2
x
0
x
n
I = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx + ... + ∫ f ( x ) dx x
0
I = h1
x
1
x
n−1
f ( x0 ) + f ( x1 ) f ( x1 ) + f ( x2 ) f ( xn−1 ) + f ( xn ) + h2 + " + hn 2 2 2
dengan: hi ≡ lebar segmen ke − i (i = 1, 2, …, n)
− rA = 10 −2 C A1 / 2 ( mol / liter .det ik )
Keterangan: Persamaan kinerja reaktor alir pipa: X Af
τ = C A0 ∫
0
X
Af d XA = C A0 ∫ − rA 0
d XA k C A0
Pada kasus ini: εA = 1
1/ 2
1/ 2
⎛ 1− X ⎞ A ⎟ ⎜ ⎜ 1+ ε AX A ⎟ ⎠ ⎝
=
C A01 / 2 0 ,8 ⎛⎜ 1 + ε A X A ⎞⎟ ∫ ⎜ ⎟ k 0 ⎝ 1− X A ⎠
1/ 2
d XA
8
Integral ≈ luas daerah di bawah kurva
Penyelesaian:
KANDUNGAN AIR dalam PADATAN BASAH
Metode yang bisa ditempuh:
Misal suatu padatan bentuk bola berjari-jari R, mengandung air dengan kadar tidak seragam: 2
1. Integrasi secara grafik 2. Integrasi secara analitik 3. Integrasi numerik
⎛ g H O⎞ ⎛ ⎞ 2 ⎟ = C 1− ⎜ r ⎟ C⎜ o ⎜R⎟ ⎜ cm3 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Penyelesaian secara analitik: 0 ,8 ⎛ 1 +
1/ 2
X A ⎞⎟ ∫ ⎜⎜ ⎟ 0 ⎝1− X A ⎠
0 ,8
d XA = ∫
1+ X A 1 − X A2
0
d X A = arc sin X A − 1 − X A2
0 ,8
= 1,328 0
Coba Anda ulangi kembali melalui penyelesaian secara numerik! (Silakan pilih sendiri metode yang akan Anda gunakan…)
Dengan integrasi diperoleh:
∫ dm
m =0
r =R
= 4 .π .
∫r
2
.C .dr
r =0
r =R
2
⎛r ⎞ r 2 . 1 − ⎜ ⎟ .dr ⎝R ⎠ r =0
m = 4.π .Co .
∫
Jika diambil: C0 = 0,3 g/cm3; R = 5 cm Dengan integrasi numerik, diperoleh: m = …….. g Kadar air rata-rata: Cav =
massa m g = = ....... volume 4 π R 3 cm3 3
dengan r = jarak ke pusat bola. Ingin dicari jumlah air yang ada dalam padatan (m) dan kadar air rata-ratanya (Cav) Analisis: Misal: Ditinjau elemen volume dengan tebal dr (≈ 0) R Jumlah air pada elemen volume = dm r dr Karena dr sangat kecil, maka kadar air pada bagian tersebut praktis dapat dianggap seragam, sehingga:
Latihan Soal #:
dm = 4.π.r2.dr.C (massa H2O = volume x kadar) m =m
CONTOH APLIKASI
Tentukan nilai turunan pertama fungsi-fungsi berikut dengan pendekatan forward difference (2 titik (Ο(h)) dan 3 titik (Ο(h2))), backward difference (2 titik (Ο(h)) dan 3 titik (Ο(h2))), serta central/centered difference (2 titik (Ο(h2)) dan 4 titik (Ο(h4))): (a) y = x 3 + 4 x − 15 pada x = 0, dengan lebar langkah h = 0,5, h = 0,2, dan h = 0,1 (b) y = e x + x pada x = 1, dengan lebar langkah h = 0,25, h = 0,1, dan h = 0,05 Bandingkan dan berikan analisis terhadap hasil perhitungan yang Anda peroleh! Bandingkan juga dengan hasil yang diperoleh melalui perhitungan secara analitik!
9
Latihan Soal #:
Latihan Soal #3: Pada suhu tetap, sebuah proses termodinamika mengukur perubahan tekanan terhadap perubahan volume sistem, dan diperoleh data berikut:
Data berikut ini dikumpulkan pada saat pengisian tangki bahan bakar minyak: t, menit
0
15
30
45
60
90
120
V, 106 barrel 0,5 0,65 0,73 0,88 1,03 1,14 1,30 Hitunglah laju alir minyak yang terkumpul pada setiap waktu pengamatan (Q = dV/dt).
Tekanan, P (kPa) Volume, V
(m3)
420
368
333
326
316
312
242
207
0,5
2
3
4
6
8
10
11
Hitunglah kerja (W) yang terlibat selama proses tersebut, dengan integrasi secara numerik. Diketahui: W = ∫ P dV
Latihan Soal #4: Kapasitas panas air (H2O(l)) sebagai fungsi suhu dapat dinyatakan dalam persamaan: Cp = 8 ,712 + 1,25.10 − 3 T − 0 ,18.10 −6 T 2 R (T dalam Kelvin) R = tetapan gas universal. Hitunglah besarnya panas sensibel (Q) yang dibutuhkan untuk memanaskan 1 mol air dari T = 25oC hingga T = 85oC. Gunakan integrasi secara numerik dengan metode (a) trapezoidal, dan (b) Simpson 1/3. Gunakan interval T sebesar 5oC. Panas sensibel per mol: Q = ∫ Cp dT
10
