38
BAB 7 DIFERENSIASI DAN INTEGRASI NUMERIK
A. D I F E R E N S I A S I N U M E R I K Misal diberikan set data Diketahui set data (x0,y0), (x1,y1), (x2,y2), …., (xn,yn) yang memenuhi relasi y = f(x) Akan ditentukan dy/dx dalam interval [ x 0 , x n ]
1. Dari formula selisih muka Newton Ingat rumus interpolasi selisih muka Newton y ( x ) y 0 py 0
+
p(p 1) 2 p(p 1)(p 2) 3 y0 y0 2! 3!
p(p 1)(p 2)...(p n 1) n y 0 ... n!
(1)
dengan x x 0 ph
(2)
dy dy dp 1 dy = dx dp dx h dp
(3)
dy 1 (2 p 1) 2 3p2 6 p 2 3 y 0 y0 y 0 ... dx h 2 6
(4)
d2y 1 2 6p 6 3 12 p 2 36 p 12 4 y y y 0 ... 0 0 2 2 6 24 dx h
(5)
Jika diambil p = 0 sehingga x = x0 (berarti x digunakan sebagai awal dari nilai xn) maka pers. (4) menjadi:
1 1 1 1 dy y 0 2 y 0 3y 0 4 y 0 ... dx 2 3 4 x x 0 h
(6)
d2 y 1 2 1 y 0 3 y 0 4 y 0 ... 2 2 h2 dx x x 0
(7)
dan seterusnya.
Soal : jika diketahui y=3x^3 + 2x^2, maka tentukan y(3). Untuk mengimplementasikan pers. (6) dan (7) dengan berdasarkan selisih muka newton, maka anda harus memulai daftar xn dari x yang ditanyakan. Jadi misalkan dipilih nilai h = 0,5 maka daftar untuk xn = [3, 3.5, 4, 4.5, 5, 5.5] kemudian ditentukan yn nya menurut soalnya. N xn yn d yn d2 yn d3 yn
39
0
3
99
1
3.5
153.125
54.125 16.75 70.875 2
4
2.25
224
19
0
89.875 3
4.5
313.875
4
5
425
5
5.5
559.625
2.25 21.25
0 0
111.125
2.25 23.5
134.625
Dy/dx (x=3) = 93
n
Xn
yn
d yn
0
2
32
1
2.5
59.375
2
3
99
d2 yn
d3 yn
27.375 12.25 39.625
2.25 14.5
54.125 3
3.5
153.125
16.75 70.875
4
4
0 2.25
0 0
2.25
224
19 89.875
5
4.5
313.875
Dy/dx) x=3 = 93
Coba jika anda memulai daftar xn dari 0 sehingga xn = [ 0, 0.5, 1, 1.5, 2 2.5, 3] maka anda harus menentukan nilai p sehingga persamaan yang anda gunakan adalah pers. (4) dan (5). 2. Selisih belakang Newton y ( x ) y n py n
p(p 1) 2 p(p 1)...(p n 1) n yn y n ... (8) 2! n!
dengan x x n ph atau p
x xn (jangan diubah ke bentuk yang h
lain, yaitu x x n ph )
(9)
dy 1 2 p 1 2 3p2 6 p 2 3 yn yn y n ... dx h 2 6
d2y 1 2 yn p 1 3 y n ... dx 2 h 2
1 1 1 dy y n 2 y n 3 y n ... dx 2 3 xxn h
(10)
40
d2 y 1 2 1 11 4 5 y n 3y n y n 5 y n ... 2 2 3 12 6 h dx x x
(11)
n
3. Formula Stirling
y 1 y 0 p2 2 p(p2 1) 2 y 1 2 y 2 y x y0 p y 1 + 2 2 3! 2 p 2 (p2 1) 4 y 2 4!
(12)
1 y 1 y0 1 3y 2 3y 1 1 5 y 3 5 y 1 dy ... (13) dx 2 6 2 30 2 x x 0 h
d2 y 1 2 1 4 1 6 y 1 y 2 y 3 ... 2 2 12 90 h dx x x 0
(14)
B. INTEGRASI NUMERIK Misal diberikan set data Diketahui set data (x0,y0), (x1,y1), (x2,y2), …., (xn,yn) yang memenuhi relasi y = f(x) Akan ditentukan I =
b
a ydx
1. Selisih muka Newton I=
xn
x
ydx =
0
xn
x
y0 py0 0
p(p 1) 2 p(p 1)(p 2) 3 y0 y0 ...dx 2! 3!
(15)
Karena variable integran p sedangkan integrasi dilakukan thd x maka dari x x 0 ph dan dx = h dp dan batas integrasinya dari 0 s/d n maka pers. (15) menjadi: xn p ( p 1) 2 p ( p 1)( p 2) 3 I = h y0 py0 y0 y 0 ... dp x0 2! 3!
n n(2n 3) 2 n ( n 2) 2 3 I nh y 0 y 0 y0 y 0 ... 2 12 24
N=jumlah lubang (celah) antara xi. Soal: tentukan
3
3x 0
3
2 x 2 dx
(16)
41
2. Aturan Trapesoida xn
I= x1
x
x
ydx =
0
x1
x
0
x
x
xn
x1
x2
x n 1
ydx 2 ydx 3 ydx ...
ydx h y 0 1 y 0 = hy 0 21 ( y 1 y 0 ) 2
0
(17)
ydx
h y 0 y1 2
(18)
demikian pula dengan cara yang sama x2
x
ydx
h y1 y 2 2
(19)
ydx
h y 2 y 3 2
(20)
1
x3
x
2
xn
x
ydx
n 1
h y n1 y n 2
(21)
Jika pers. (19) s/d (21) dijumlahkan maka diperoleh:
xn
x
ydx
0
h y 0 2(y1 y 2 y 3 ... y n1 ) y n 2
Kekeliruan : E
(22)
(b a) 2 h y" ( x ) 12
(23)
Soal: Tentukan integral dari : a.
0
sin x dx
b.
10
0
1 1 x4
dx
3. Metode Simpson Dari pers. (16) jika diambil n = 2 maka 1 1 ydx 2hy0 y0 2y0 = 2hy0 (y1 y0 ) (y2 2y1 y0 ) 6 6 0
x2
x
=
h y 0 4 y1 y 2 3
(24)
dengan cara yang sama maka x4
x
ydx
2
xn
x
n2
h y 2 4 y 3 y 4 3
ydx
h y n 2 4 y n1 y n 3
Jika pers. (24) s/d (26) dijumlahkan maka diperoleh:
(25) (26)
42
xn
x0
ydx
h y0 4( y1 y3 y5 ... yn1) 2(y2 y4 y6 ... yn2) yn 3
Kekeliruannya: E
(b a) 4 ( 4) h y (x) 12
(27) (28)
4. Integrasi Romberg
I
b
a ydx
(29)
untuk increment h1 maka integrasinya disebut I1 dan untuk increment h2 maka integrasinya disebut I2. Dari kekeliruan pada metode trapesoida sebagaimana pada pers. (23) jika digunakan increment h = h1 maka diperoleh: E1
(b a) 2 h1 y" ( x ) 12
(30)
Jika digunakan increment h = h2 maka diperoleh: E2
(b a) 2 h2 y" ( x ) 12
(31)
Jika pers. (30) dibagi dengan (31) maka menghasilkan: 2 E1 h1 E 2 h2 2
(32)
demikian pula kesalahan relative E1 terhadap E2: 2 2 E1 E 2 h1 h2 atau E2 h22 karena E 2 E1 I2 I1 , maka
E2
h22 h22 h12
h22 E2 E2 E1 h2 h2 2 1
(33)
(34)
(I2 I1 ) h22
I3 I2 E 2 = I2 (I2 I1 ) h22 h12 I1h22 I2h12 I3 h22 h12
(35)
Misalkan diambil h1 h dan h2 0.5h1 0.5h maka I3 Ih,0.5h 1 4I(0.5h) I(h) 3
(36)
Kaitan pada pers. (36) sangat penting intuk menentukan nilai integrasi berikutnya.
43
Jika dibuat table menjadi:
I1=I(h) I(h ; 0.5h) =1/3(4I2-I1) I(h ; 0.5h ; 0.25h)
I2=I(0.5h)
I(h ; 0.5h ; 0.25h
I(0.5h ; 0.25h)
; 0.125h) I(0.5h ; 0.25h ;
I3=I(0.25h)
0.125h) I(0.25h ; 0.125h)
I4=I(0.125h)
Jadi ada dua cara untuk memperoleh I yang sebenarnya yaitu dengan 1. Is = I+E 2. Is = 1/3(4I2 – I1) >> cukup menggunakan 2 data I dengan h yang berbeda dimana h2 = ½ h1. nilai h dipilih bebas dan dijamin hasilny akan sama saja. Ex.: Gunakan metode Romberg untuk menghitung I
1
1
0 1 x
sampai 3 tempat decimal. Ambil h = 0.5, 0.25 dan 0.125.
teliti
44
BAB 8 SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA Bentuk Pers. Diferensial: dy f ( x , y) dx
(1)
1. Penyelesaian dengan deret Taylor Misal y’ = f(x,y) dengan y(0) = y0. Jika y(x) merupakan penyel. Eksak dari (1) maka deret Taylornya di sekitar x = x0 adalah : y ( x ) y 0 ( x x 0 ) y 0,
(x x 0 )2 ,, (x x 0 )3 ,,, y0 y 0 ... 2! 3!
(2)
Jika nilai-nilai dari y 0, , y 0,, ,... diketahui maka y diketahui.
Ex: Tentukan y(0,1) jika diketahui y’ = x- y2 dan y(0) = 1 dengan mengunakan deret Taylor.
Jawab: Karena y(0) = 1 maka x0 = 0 sehingga pers. (2) menjadi:
y ( x ) y 0 xy ,0
x 2 ,, x 3 , , , x 4 (4) x 5 (5) y y y y ... 2! 0 3! 0 4! 0 5! 0
y 0, 1; y 0,, 3; y ,0,, 8; y (04) 34; y (05) 186 maka y ( x ) 1 x (1)
1x
x2 x3 x4 x5 (3) ( 8) (34) ( 186) ... 2! 3! 4! 5!
3x 2 4 x 3 17 x 4 31x 5 ... 2 3 12 20
dengan ensubstitusi x = 0,1 pada pers. Di atas maka y(0,1) = 0,9138. Dengan perhitungan sampai suku ke 5 maka apakah sudah sesuai dengan ketelitian yang diminta?
31x5 1 .10 4 20 2
x 0.126
jadi untuk x = 0,1 telah memenuhi karena lebih kecil dari 0,126.
45
2. Metode Picard Misal y’ = f(x,y) dengan y(0) = y0. Dari integrasi pers. (1) diperoleh: x
(3)
y y 0 f ( x , y )dx x0
dalam bentuk iterasi dapat ditulis: x
y (1) y 0 f ( x , y 0 )dx
(4)
x0 x
y (2) y 0 f ( x , y (1) )dx x0
(5)
x
y (3) y 0 f ( x , y (2) )dx dan seterusnya x0 x
y (n) y 0 f ( x , y (n1) )dx x0
(6) (7)
Semakin besar n semakin teliti hasilnya.
Ex: selesaikan y ' x y 2 dengan y(0) = 1. tentukan y(0,1). x x 2 1 y (1) 1 ( x y ( 0) )dx 1 ( x 12 )dx 1 x 2 x 0 0 2
y
( 2)
x
1 f ( x, y
(1) 2
0
x
)dx 1 x y 0
(1) 2
dx 1
x
0
2 1 2 x 1 x x dx 2
x x 1 1 1 x 1 x 2 x 4 2 x x 2 x 3 dx 1 1 3 x 2 x 2 x 3 x 4 dx 0 0 4 4
1 x
3 2 2 3 1 4 1 5 x x x x 2 3 4 20
Jadi untuk menentukan y(0,1) masih lebih teliti jika diperoleh dari y(2)(0,1), yaitu : 3 2 1 1 y (0,1) 1 (0,1) (0,1) 2 (0,1) 3 (0,1) 4 (0,1) 5 2 3 4 20 3. Metode Euler y’ = f(x,y); y(0) = y0. x
y1 y 0 1 f ( x , y)dx x0
Jika f(x,y) f ( x 0 , y 0 ) pada x 0 x x1 maka pers. (7) dapat ditulis menjadi:
(7)
46
x
x
y1 y 0 1 f ( x 0 , y 0 )dx y 0 f ( x 0 , y 0 ) 1 dx y 0 hf ( x 0 , y 0 ) x0 x0
dengan cara yang sama untuk x1 x x 2 maka x
x
y 2 y1 2 f ( x1 , y1 )dx y1 f ( x1 , y1 ) 2 dx y1 hf ( x1 , y1 ) x1 x1
y n 1 y n hf ( x n , y n )
(8)
Ex: selesaikan y’ = -y dengan y(0) = 1 dengan metode Euler. Dengan menggunakan h = 0,01 maka y1= 1 + h(-1) y(0,01) = 1 + (0,01) (—1) = 0,99 y(0,02) = 0,99 + 0,01(-0,99) = 0,9801 y(0,03) = 0,9801 + 0,01(-0,9801) = 0,9703 y(0,04) = 0,9703 + 0,01(-0,9703) = 0,9606 Penyel. Eksak dari pers. di atas adalah y = e-x yang dengan x = 0,06 maka y = 0,9608.
47
y 0 hf ( x 0 , y 0 )
